Решение задач типа С2 при подготовке к ЕГЭ. №1.В

Решение задач типа С2 при подготовке к ЕГЭ.
№1.В прямоугольном параллелепипеде
,
заданы длины ребер
. Найдите объем пирамиды
если M — точка на ребре
,
, причем
.
Решение.
Заметим, что
основании,
равна
Площадь прямоугольного треугольника, лежащего в
половине
поскольку
произведения
,
катетов:
то
.
Пусть
,
значит,
.
Треугольник AME подобен треугольнику
, значит,
.
Ответ: 50.
№2.
В
правильной
треугольной
пирамиде
SABC
с
основанием
ABC
известны
ребра
Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой,
проходящей через середины ребер AS и BC.
Решение.
Пусть M и N — середины ребер AS и BC соответственно. AN — медиана правильного треугольника
ABC, следовательно, находится по формуле
. Прямая AS проектируется на
плоскость основания и прямую AN. Поэтому проекция точки M — точка
AN. Значит, прямая AN является проекцией прямой MN, следовательно, угол
— лежит на отрезке
— искомый.
где O — центр основания, значит,
— средняя линия треугольника ASO потому
—
Тогда
находим:
AO.
и
Из прямоугольного треугольника
Значит,
искомый
Из прямоугольного треугольника
находим:
угол
равен
Ответ:
№3.
В правильной треугольной SABC пирамиде с основанием ABC известны ребра
. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через
середины ребер AS и BC.
Решение.
Пусть N — середина ребра BC, а M — середина AS. Прямая AS проецируется на плоскость
основания в прямую AN. Поэтому проекция точки M — точка
прямая AN является проекцией прямой AM, следовательно, угол
, где O — центр основания,
— лежит на отрезке AN. Значит,
— искомый. Поскольку
— средняя линяя треугольника SAO.
Тогда
Кроме того,
Из прямоугольного треугольника
находим:
.
Ответ:
.
№4.
В прямоугольном параллелепипеде
. Найдите угол между плоскостями ABC и
известны ребра:
,
,
.
Решение.
Плоскости ABC и
о трех перпендикулярах
ABC и
— это угол
имеют общую прямую BD. Проведем перпендикуляр AH к BD. По теореме
. Значит, угол двугранного угла, образованного плоскостями
. Из прямоугольного треугольника BAD находим:
.
Из прямоугольного треугольника
находим:
.
Значит,
искомый
Ответ:
угол
равен
.
.
№5.
В кубе
Решение.
найдите косинус угла между плоскостями
Пусть точка O — центр куба, а M — середина
треугольника
,
поэтому
.
.
стороны
треугольника
треугольника
.
Из
.
, а MO — средняя линия
Треугольник
, следовательно, искомый угол равен углу
Найдем
и
—
равносторонний,
.
треугольника
,
находим
из
находим
.
поскольку O — середина диагонали
косинусов:
,
. Теперь применим к треугольнику
теорему
.
Ответ:
.
№6.
В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между высотой тетраэдра DH и медианой BM боковой
грани BCD.
Решение.
Пусть и MK — средняя линия треугольника CDH. Тогда
следовательно,
, значит,
и,
. Кроме того,
.
Далее имеем:
;
;
;
Ответ:
.
.
№7.
В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между медианой BM грани ABD и плоскостью BCD.
Решение.
Пусть, DN — высота грани BCD, O — центр треугольника BCD, MK — средняя линия треугольника
ADO. Тогда
искомый.
,
Кроме
того,
Далее имеем:
, значит,
и, следовательно,
,
откуда
—
.
;
.
Ответ:
.
№8.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла
между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку A перпендикулярно прямой BD.
Решение.
Пусть точка O — центр основания, а M — середина ребра AS. Поскольку
и
плоскость SAC перпендикулярна прямой BD. Это значит, что плоскость SAC и есть плоскость,
проходящая
через
точку
A
перпендикулярно
BD.
Проведем отрезки MD и MO. Так как треугольник SAD правильный,
треугольник ASO — равнобедренный,
Найдем стороны треугольника OMD:
Так как
Следовательно, искомый угол равен углу OMD.
.
По теореме косинусов:
.
Отсюда
.
Ответ:
.
№9.
В правильной шестиугольной призме
все ребра которой равны 1
найдите расстояние от точки Bдо прямой
Решение.
Проведем отрезки BF и
проекция
.
, поскольку
образом искмое расстояние — длина отрезка
Рассмотрим
а
на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах
треугольник
.
Он
. BF —
Таким
.
прямоугольный,
По теореме Пифагора находим:
.
.
Ответ: 2.
№10.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания которой равны 1, а боковые
ребра равны 2, найдите угол между прямыми SB и CD.
Решение.
Вместо прямой CD рассмотрим параллельную ей прямую BE. Искомый угол равен углу SBE.
Треугольник SBE равносторонний, поскольку большая диагональ правильного шестиугольника
вдвое
больше
Ответ:
.
его
стороны:
.
Следовательно,
Литература:
Использован образовательный портал для подготовки к ЕГЭ. Решу ЕГЭ
.