Спонтанное нарушение симметрии.

Спонтанное нарушение симметрии.
Вакуум – конфигурация полей с наименьшей энергией. Если рассматривать малые отклонения полей от вакуума, то уравнения линеаризуются, интерес представляет
спектр масс возбуждений.
Если лагранжиан инвариантен относительно некоторых преобразований, а основное
состояние – не инвариантно, то говорят, что симметрия нарушена спонтанно.
Пример. Комплексное скалярное поле φ,
L = ∂µ φ∗ ∂µ φ − m2 φ∗ φ − λ (φ∗ φ)2 − c
(c =
µ4
– константа, чтобы в вакууме E = 0). Энергия
4λ
E=
Z
d3 x |∂0 φ|2 + |∂i φ|2 + m2 |φ|2 + λ|φ|4 + c .
Если m2 > 0, то вакуум единственный, φ = 0, симметрия не нарушена. Если m2 ≡ −µ2 <
φ0
0, (“мексиканская шляпа”), то имеем непрерывное множество вакуумов φ = √ eiα , где
2
µ
φ0 = √ . Выбор одного из вакуумов нарушает симметрию лагранжиана φ → eiβ φ.
λ
Чтобы изучить спектр малых возбуждений, нужно сперва выбрать один из вакуумов, затем ввести новые переменные – отклонения от этого вакуума – по числу степеней
свободы и записать в их терминах лагранжиан. Квадратичные формы, соответствующие кинетическим членам и массовым членам из потенциала, нужно одновременно
диагонализовать, чтобы лагранжиан малых возмущений имел канонический вид:
L(2) =
X
i
X m2i
1
(∂µ φi )2 −
φ2i + . . . ,
2
2
i
где φi – действительные скалярные поля, соответствующие малым возбуждениям после
диагонализации; mi – их искомые массы (для векторных полей канонический кинетический член − 41 Fµν Fµν ).
В нашем случае (“мексиканская шляпа”) можно выбрать основное состояние φ =
√
φ0 / 2, т.е. α = 0, тогда малые возмущения χ и θ определяются как
1
φ = √ ((φ0 + χ(x)) + i(0 + θ(x))) .
2
Одно из полей (θ, соответствующее √
отклонениям вдоль “дна”) безмассовое – голдстоуновский бозон, другое имеет массу 2µ. Удобно это увидеть в обозначениях
φ(x) = eiα(x) ρ(x).
Литература:
Рубаков, ч.1, §5.1, 5.2.
Ченг, Ли, §5.3.
Райдер, §8.1.
Шварц, §I.5.
Коулмен (в сб. “Квантовая теория калибровочных полей”, с.23), §1, 2.1, 2.2.
5
Солитоны.
Локализованные решения классических уравнений поля – энергия должна быть конечна, то есть плотность энергии должна быстро убывать при |x| → ∞. Движущиеся
решения получаются из статических применением преобразований Лоренца. Для существования частицеподобных решений важна нелинейность уравнений поля. Частицы
квазиклассические при условии слабой связи – малости коэффициента при нелинейном
члене.
Кинк.
Действительное скалярное поле в двумерном пространстве-времени:
S=
Z
d2 x
1
(∂ν φ)2 − V (φ) ,
2
ν = 0, 1,
V (φ) = −
2
µ2 2 λ 4 µ2
λ 2
φ + φ +
=
φ − v2 ,
2
4
4λ
4
√
v = µ/ λ. Вакуумы φ = ±v, дискретная симметрия φ ↔ −φ спонтанно нарушена,
√
малые возбуждения около одного из вакуумов описывают частицы с массой m = 2µ.
Кинк – решение с конечной энергией, соединяющее разные вакуумы:
φ(x = −∞) = −v,
φ(x = +∞) = +v.
Решение уравнений поля с данными граничными условиями (кинк):
s

λ
φk (x) = v th 
v(x − x0 ) .
2
Размер кинка rk ∼ µ−1 ∼ m−1 .
Масса кинка – его статическая энергия – равна Mk = 23 mv 2 .
При условии слабой связи, λ µ2 ⇔ v 1, кинк является классическим объектом,
1
так как его комптоновская длина волны λ− ∼
rk .
Mk
Устойчивость решения: рассмотрим малые возмущения около кинка: φ(x, t) =
φk (x) + χ(x, t). В линеаризованном уравнении переменные x и t разделяются,
χ(x, t) = eiωt fω (x),
где fω удовлетворяет уравнению
−fω00 + g(x)fω = ω 2 fω ,
δ 2 V .
g(x) =
δφ2 φ=φk (x)
Если есть растущие решения – с мнимым ω, то решение φk неустойчиво. Если все собственные значения ω 2 ≥ 0, то решение устойчиво. Нулевые моды (ω 2 = 0) соответствуют
симметриям, переводящим решение в другое решение.
6
Топологическая классификация: Отображение множества пространственных бесконечностей x = {+∞, −∞} в множество вакуумов φ = {+v, −v} – четыре сектора.
Решения из разных секторов нельзя перевести друг в друга гладким преобразованием.
1
µν ∂ν φ сохраняется, ∂µ kµ = 0, всегда – не только на
Топологический ток kµ =
2v
уравнениях движения. Соответствующий топологический заряд
QT =
+∞
Z
k0 dx1 =
−∞
+∞
Z
−∞
1
1
∂1 φ dx1 =
(φ(x = +∞) − φ(x = −∞))
2v
2v
Для вакуумных секторов QT = 0, для кинка (антикинка φ = −φk (x)) QT = +1 (−1).
∂0 QT = 0, поэтому переходы между топологически различными секторами запрещены.
Литература:
Рубаков, ч.2, §7.1.
Ченг, Ли, §15.2.
Раджараман, §1, 2.1-2.4.
Шварц, §II.2.
Пример нетопологического солитона.
Существование устойчивых солитонов может быть связано с сохранением не топологических, а каких-либо иных зарядов.
Рассмотрим теорию комплексного скалярного поля с лагранжианом
L = |∂µ φ|2 − V (|φ|),
(2)
где V (φ) вблизи φ = 0 имеет вид mφ2 + . . ., а при больших φ выходит на постоянное
значение, V ≈ M 4 . На уравнениях движения сохраняется заряд
Q[φ] =
1Z ∗
(φ ∂t φ − φ∂t φ∗ ) d3 x.
i
Будем искать минимум энергии среди конфигураций с заданным Q, то есть условный
экстремум. Нужно проварьировать функционал E − ω(Q[φ] − Q), где ω – множитель
Лагранжа. Среди решений уравнений поля есть нелокализованные конфигурации –
плоские волны. Их энергия E ≥ Qm (см. задачу), так как для создания конфигурации
с зарядом Q нужно взять Q штук частиц массы m каждая. Есть, однако, и другие
конфигурации – локализованные в пространстве, например, имеющие при больших φ
вид
sin ωr
φ = φ0 eiωt
.
ωr
Заряд таких конфигураций Q[φ] ∼ φ20 /ω 2 , энергия E ∼ φ20 /ω + M 4 /ω 3 . Вариация по ω
приводит к соотношению E ∼ M Q3/4 , так что при достаточно больших Q энергия таких локализованных конфигураций меньше, чем энергия любой системы плоских волн.
Минимум энергии при фиксированном большом Q достигается на локализованной конфигурации – нетопологическом солитоне. Этот минимум устойчив, так как заряд Q
сохраняется.
Литература:
G.Dvali, A.Kusenko, M.Shaposhnikov, Phys.Lett. B417 (1998) 99-106 (hep-ph/9707423);
P.Tinyakov, hep-ph/9806247.
7
Задачи
13. В модели комплексного скалярного поля со спонтанным нарушением симметрии
(потенциал “мексиканская шляпа”) выписать полный лагранжиан в терминах отклонения от основного состояния – полей χ, θ. Сколько независимых констант он
содержит?
14. В той
√ же модели выписать полный лагранжиан в терминах полей α и ∆ρ = ρ(x) −
φ0 / 2. Найти в главном порядке по полям связь между α и θ.
15. Показать, что собственные значения, соответствующие малым возмущениям около кинка, неотрицательны, то есть кинк устойчив.
16. Рассмотрим модель комплексного скалярного поля с лагранжианом
L = ∂µ φ∗ ∂µ φ + µ2 φ∗ φ −
λ ∗ 2
(φ φ) .
2
(a) Показать, что кинк φ = φ∗ = φk (x) – решение классических уравнений поля
с конечной энергией.
(b) Изучить его устойчивость.
(c) Описать возможные граничные условия и топологические сектора в этой модели.
17. Доказать, что для нелокализованных возбуждений в модели (2) в (1 + 1)-мерии
E ≥ Qm, представив
dk
1 Z i(kx−ωk t)
φ(x) = √
e
ak + e−i(kx−ωk t) b∗k √
,
2ωk
2π
где ωk =
√
k 2 + m2 , и показав, что в линеаризованной теории
E=
Z
dk ωk (b∗k bk + a∗k ak ),
Q=
Z
dk (b∗k bk − a∗k ak ).
18. Пусть потенциал ведет себя как V (|φ|) ∼ const · |φ|β при |φ| → ∞, V = m2 |φ|2 +
. . . при |φ| → 0. Повторяя рассуждения, приведенные на лекции, найти область
значений β, при которых возможно существование стабильных Q-шаров, то есть
E(Q) растет медленнее, чем Q. Найти R(Q, β), ω(Q, β) (с точностью до числовых
коэффициентов).
19. Пусть потенциал ведет себя как V = m2 |φ|2 + . . . при |φ| → 0, а min (V /|φ|2 )
достигается при некотором |φ| = φ0 6= 0; пусть V (φ0 )/φ20 < m2 . Показать, что
при больших Q эти решения имеют |φ| ≈ φ0 внутри сферической области радиуса
R(Q), окруженной стенкой с толщиной, не зависящей от Q. Найти E(Q) и R(Q)
при больших Q.
20. Смерть нейтронной звезды. В суперсимметричных обобщениях Стандартной модели взаимодействий элементарных частиц имеются потенциалы типа (2), допускающие существование Q-шаров, стабильность которых связана с сохранением барионного заряда (Q = 1 для барионов, в частности, протонов и нейтронов, Q = 0
для остальных частиц). Параметры потенциала M ∼ 1 ТэВ, m ∼ 1 ГэВ.
8
(a) Оценить критическое значение заряда Qc , выше которого такой барионный
Q-шар стабилен. Оценить размер и массу Q-шара. Сравнить с барионным
зарядом, размером и массой человека.
(b) При Q > Qc , Q-шар энергетически выгоден по сравнению с отдельными барионами, поэтому при взаимодействии с барионами он их разрушает, увеличивая свой барионный заряд. Эффект заметен при большой плотности барионов в среде, например, в нейтронной звезде. Нейтронная звезда — плотное
(ρ ∼ 1015 г/см3 ) облако нейтронов, движущихся с релятивистскими скоростями v ∼ 1. Радиус звезды ∼ 10 км. Предположим, что Q-шар попал в такую
звезду.
i. Считая, что трение обусловлено только столкновениями Q-шара с нейтронами, описать количественно движение Q-шара в звезде, пренебрегая
эффектами общей теории относительности.
ii. Оценить скорость увеличения барионного заряда Q-шара. Считать, что
взаимодействие с нейтронами происходит в стенке Q-шара, где φ ≤ M , а
сечение рассеяния нейтрона на Q-шаре по порядку величины σ ∼ 1/M 2 .
iii. Нейтронная звезда стабильна, если ее масса больше 0.18 M (масса Солнца M ≈ 2 · 1030 кг), и взрывается, если масса уменьшается ниже этого
предела. Оценить время жизни типичной нейтронной звезды, поглотившей Q-шар.
9