Задания по физике часть 2. 10

II. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОЛИМПИАДАМ ПО ФИЗИКЕ
ПРИМЕРЫ ВАРИАНТОВ ЗАДАНИЙ ОЛИМПИАДЫ
I ЭТАП ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ
ВАРИАНТ № 1
З А Д А Ч А 1.
С помощью системы из подвижного и неподвижного блоков

Q
Q
поднимают с поверхности земли груз массой m = 15 кг. За какое
время груз достигнет высоты Н = 1,1 м, если верѐвку тянуть с
m
постоянной силой Q = 90 Н? Массами верѐвки, блоков и трением в
осях блоков пренебречь.
З А Д А Ч А 2.
Какие силы создают центростремительное ускорение конькобежцу при повороте на
ледовой дорожке?
З А Д А Ч А 3.
Шарик массы m падает под углом  к нормали со скоростью  .
После
 
упругого
соударения
с
горизонтальной
плоскостью
он
отскакивает под таким же углом и движется с такой же по модулю
скоростью. Найдите модуль изменения импульса шарика за время
соударения и работу силы упругости со стороны горизонтальной плоскости, действие
которой испытал шарик.
З А Д А Ч А 4.
V
График изменения состояния идеального газа в координатах V
1
2
Т представляет собой прямую 12. Как изменялось давление газа в
T
этом процессе? Ответ обосновать.
З А Д А Ч А 5.
P
На P  V диаграмме изображен цикл 1231,
проводимый
с
одноатомным
идеальным
2
4Pо
газом.
Определите коэффициент полезного действия этого цикла.
Pо
З А Д А Ч А 6.
1
3
Vо
2Vо
V
Как изменится ѐмкость плоского воздушного конденсатора, если площадь обкладок
и расстояние между ними уменьшить в два раза и заполнить всѐ пространство
между обкладками диэлектриком с диэлектрической проницаемостью   4 ?
З А Д А Ч А 7.
В электрической цепи, схема которой показана на
R
рисунке, установившееся напряжение на конденсаторе U = 28
В.
Считая
параметры
элементов
схемы
3R
2R
известными,
R
определите величину ЭДС источника тока.
З А Д А Ч А 8.
Чему равен
коэффициент
преломления
стекла,
из
которого
изготовлена
симметричная собирающая линза, если фокусное расстояние этой линзы равно половине
радиуса кривизны ее поверхностей?
З А Д А Ч А 9.
Тонкое проволочное кольцо площади S = 100 см
Bx, Тл
,
имеющее сопротивление R = 0,01 Ом, помещено в
0,2
0,1
0
2
однородное магнитное поле. Изменение проекции
1
2
3
4
5
6
0,1
7
8
t, c
0,2
вектора магнитной индукции этого поля (Bx) на ось x,
перпендикулярную плоскости кольца, от времени
представлено на графике. Найдите заряд q, прошедший через поперечное сечение кольца
за интервал времени от t = 2с до t = 4с. Индуктивностью кольца пренебречь.
З А Д А Ч А 10.
В системе, показанной на рисунке, масса каждого бруска m = 1 кг , жесткость
пружины k = 20 Н/м , коэффициент трения между бруском и плоскостью  = 0,4. Массы
блока и пружины пренебрежимо малы. Система пришла в движение с нулевой начальной
скоростью при недеформированной пружине.
m
k
Найдите максимальную скорость брусков. При
вычислениях принять ускорение свободного
m
падения g = 10 м/c2.
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА № 1
ЗАДАЧА 1. (8 баллов)
2
(2Q  mg )
at
Ускорение груза a 
. Высота поднятия груза H 
.
m
2
Из
t
записанных
2H

2Q
g
m
уравнений
2  1,1
1 c
2  90
 9,8
15
Ответ: t = 1 c
находим
время

Q
Q
m
ЗАДАЧА 2. (8 баллов)
Ответ: Силы реакции, действующие на конькобежца со стороны льда.
ЗАДАЧА 3. (10 баллов)
Ответ: p  m 3
V
ЗАДАЧА 4. (10 баллов)
Ответ: Давление уменьшалось.
1
2
T
ЗАДАЧА 5. (10 баллов)
Полезная работа газа в прямом цикле пропорциональна площади цикла на графике P-V.
A полезн 
РоVo 
1
1
3
3m
Р  V  (4Р о  Р о )(2Vo  Vo )  Р о Vo 
RTo
2
2
2
2 
m

RTo
1
( Po  4 Po )(2Vo  Vo ) 

2
3 m
5
21 m
5m
m
 R 8To  To   PoVo 
RTo 
RTo  13 RTo
2 
2
2 
2

Q12  U 12  A12  cv
Следовательно,  
Ответ:  
m
T12 
Aполезн 3 1
3
 

 0,115  11,5%
Q12
2 13 26
2
P
4Pо
Pо
8To
To Aп 2T
o
1
3
Vо
2Vо
V
Аполезн.
 0,115  11,5% .
Q
ЗАДАЧА 6. (10 баллов)
Ответ: Ёмкость конденсатора увеличится в четыре раза.
ЗАДАЧА 7. (10 баллов)
1) Полное сопротивление цепи
3
15
R  R  2R  R  R .

4
4
2) Ток в источнике ЭДС равен току в сопротивлении,
подключенном параллельно конденсатору
U R
15
15
E
U

 U  28  105 B .
 , откуда E 
R
R
R
4
4

Ответ: E  105 B .
R
3R
2R
R
ЗАДАЧА 8. (10 баллов)
1
1
1
 (n  1)(  ) R1= R2= R ; F = 0,5R, получим
F
R1 R2
Положим в равенстве
1
2
 (n  1)  . Откуда n = 2.
0,5R
R
Ответ: n = 2 .
ЗАДАЧА 9. (12 баллов)
q
Ф
R

Bt  2  S
R

Bx, Тл
0,2  10
10
Ответ: q 
0,2
2
2
Bt  2  S
R
 0,2 Кл
0,1
0
 0,2 Кл .
1
2
3
4
5
6
7
8
t, c
0,1
0,2
ЗАДАЧА 10. (12 баллов)
При опускании груза m , его скорость
1)
k
m
достигает максимального значения в момент, когда
сила тяжести равна сумме сил упругости и трения,
т.е.
mg  kx  mg , следовательно,
x
mg 1   
(1)
k
2). Используя закон сохранения энергии, запишем:
2
m 2 kx2
kx
2

 mgx  mgx , следовательно   gx1    
.
2
2
2m
Подставляя в последнее равенство x из формулы (1), получим
 g m
2
1   2
k
km2 g 2 1   
2

2mk
2
 g 1   
Подставляя числовые значения, получим
  10  1  0,4
1
 0,95 м / с
2  20
Ответ:   g 1   
m
 0,95 м / с .
2k
m
.
2k
m
ВАРИАНТ № 2 (1-2010-2011)
З А Д А Ч А 1.
С вершины башни, высотой 125 м, бросили мяч в горизонтальном направлении со
скоростью о = 20 м/c. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите модуль вектора
перемещения мяча за четвертую секунду полѐта.
З А Д А Ч А 2.
Тело движется по прямой. Под действием постоянной силы F = 4 H за время
t  2c , импульс тела увеличился с p1 до p 2  20
кг  м
. Определите величину импульса
с
p1 .
З А Д А Ч А 3.
L4
C L
B
Однородный стержень массы m и длины L опирается на
шарнир в точке С, как показано на рисунке. Определите массу
груза, которую нужно прикрепить с помощью невесомой нити к
концу В стержня, чтобы он находился в равновесии в горизонтальном положении.
З А Д А Ч А 4.
К концам невесомой и нерастяжимой нити, перекинутой через
невесомый блок, подвешены два груза массы М каждый. На один из
грузов положен перегрузок массы m . Найдите силу, с которой
M
перегрузок давит на груз. Силами трения пренебречь.
M
З А Д А Ч А 5.
Два цилиндрических сосуда, имеющих площади оснований
S и 2S, соединены снизу тонкой трубкой с краном. Первоначально
сосуд с площадью сечения S заполнен до высоты h жидкостью,
h
масса которой равна m. Какое количество тепла выделится после
открытия крана и перехода системы в положение равновесия?
З А Д А Ч А 6.
Груз массы m = 1 кг подвешен на пружине жѐсткости k = 100 Н/ м. В положении
равновесия грузу толчком сообщают в вертикальном направлении скорость v = 1 м/с .
Определите модуль максимального ускорения а груза при его дальнейшем движении.
З А Д А Ч А 7.
Два моля аргона, имеющего температуру T1 = 100 К в
P
состоянии 1, последовательно переводят в состояние 3.
2Pо
Считая аргон идеальным газом, определите изменение
Pо
внутренней энергии газа в процессе 23 .
3
1
Vо
2
3Vo
V
З А Д А Ч А 8.
В трѐх вершинах квадрата расположены точечные заряды 2q, +4q, 3q.
Определите, какой заряд нужно поместить в четвертую вершину квадрата, чтобы в центре
квадрата потенциал электрического поля равнялся нулю?
E
R
З А Д А Ч А 9.
В электрической цепи, схема которой показана на
R
рисунке, ЭДС источника тока E = 42 В. Считая параметры
элементов
схемы
известными,
найдите
2R
3R
установившееся
напряжение U между обкладками конденсатора. Внутренним сопротивлением источника
тока пренебречь.
З А Д А Ч А 10.
Стержень ОА сопротивлением R = 1 Ом и длиной L = 0,5 м, вращаясь вокруг точки
О, скользит по полукольцу, образуя проводящий контур.
Контур находится в однородном магнитном поле с индукцией
A
В = 0,5 Тл. Плоскость контура перпендикулярна вектору В.

1
Угловая скорость вращения стержня  = 2 с . Найдите
O
количество теплоты Q, которое выделится в стержне при его
повороте на угол Δ = /2. Сопротивлением остальных проводников контура пренебречь.
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА № 2 (1-2010-2011)
ЗАДАЧА 1. (8 баллов)
2
2
r  rx  ry
2
gt
gt
, где rx   o t ; t  t 4  t 3 ; ry  4  3 .
2
2
2
rx  20(4  3)  20 м ; ry 
2
2
g 2 g 2
4  3  35 м ; r  20  35  40,3 м
2
2
Ответ: r  rx  ry  40,3 м
2
2
ЗАДАЧА 2. (8 баллов)
 
p  Ft
Ответ: p1  p 2  Ft  20  4  2  12
F
кг  м
с
ЗАДАЧА 3. (10 баллов)
L 4 L 4
 Mi  0
Ответ: Масса груза равна m .
L
mg
L
C
B
m
ЗАДАЧА 4. (10 баллов)
Обозначим силу, с которой перегрузок действует на левый груз, F1.
Тогда для левого груза Мg  F1  T  Мa (1)
для правого груза Mg  T  Ma (2)
для перегрузка mg  F1  ma (3)
Решая систему уравнений (1), (2), (3), находим a 
T
mg
.
2M  m
m
y
M
2m  Mg
Сила давления перегрузка на груз F1  m( g  a) 
.
2M  m
Ответ: F1  m( g  a) 
T
M
2m  Mg
.
2M  m
ЗАДАЧА 5. (10 баллов)
Теплота
равна
Q
убыли
потенциальной
h
энергии системы
h
После
h/3
h/3
Q  W1  W2 .
открытия
крана высота жидкости в обоих коленах будет одинаковой и равной h1 
Sh  Sh1  2Sh1 . Тогда W1 
Ответ: Q 
h
, так как
3
mgh
mgh
mgh
, W2 
, Q
.
2
3
6
mgh
.
3
ЗАДАЧА 6. (10 баллов)
2
1) amax  A   max  ; 2)  
Ответ: amax   max
2
k
k
100
 1
 10 м / c .
; 3) a max   max
m
m
1
2
k
 10 м / c .
m
ЗАДАЧА 7. (10 баллов)
U 23
3
 RT23 ; T23  T3  T2  6T1  3T1  3T1 .
2
3
3
U 23  R  3T1  2 R3T1  7479 Дж .
2
2
P
3
2Pо
Pо
1
Vо
2
3Vo
V
3
Ответ: U 23  R  3T1  7479 Дж .
2
ЗАДАЧА 8. (10 баллов)
Ответ:  q .
ЗАДАЧА 9. (12 баллов)
1) Полное сопротивление цепи
E
R
2
14
R  R  3R  R  R

3
3
2) Ток в источнике ЭДС равен току в сопротивлении,
2R
R
3R
подключенном параллельно конденсатору
E  3R 42  3R  3
E
U

 27 B .
, откуда U 

R
3R
R
14 R


Ответ: U  27 B .
ЗАДАЧА 10. (12 баллов)
1)

  t
A
1
1 2
2) S  L  L  L t
2
2
3) Ф  BS 
1 2
Ф
1
  BL2
BL t 4) Ei  
t
2
2
A
ΔS + B
L

O
2
2
 BL2   B 2 L4
E
 
t  


5) Количество теплоты Q 
 2  R
R
4R


2
Подставив числовые значения, получим Q  3,9  10 Дж .
Ответ: Q  3,9 10
2
Дж .
ВАРИАНТ № 3 (5-2010-2011)
З А Д А Ч А 1.
Тело массы m = 1 кг движется по оси x по закону x = 5 + 4t  2t2 м. Определите
величину импульса тела в момент времени t = 1 c.
З А Д А Ч А 2.
F
Пятая часть однородного стержня, имеющего массу m и длину
L, выступает за край стола. Определите минимальную величину
вертикальной силы F, которую необходимо приложить к правому концу стержня, чтобы
его левый конец оторвался от стола.
З А Д А Ч А 3.
Автомобиль, масса которого m =1000 кг, движется по выпуклому мосту,
имеющему радиус кривизны R = 50 м , со скоростью v = 36 км/ ч . Найдите силу F, с
которой автомобиль давит на мост в верхней точке моста .
З А Д А Ч А 4.
vo
Тело массы m = 1 кг брошено с высоты h = 10 м под углом
 = 300 к горизонту с начальной скоростью vo= 20 м/с .

Определите количество теплоты, которое выделится при падении
h
тела на землю. Сопротивлением воздуха пренебречь, удар о
землю считать абсолютно неупругим.
З А Д А Ч А 5.
Математический маятник длины  совершает малые
колебания вблизи вертикальной стенки. Под точкой подвеса
маятника на расстоянии  1   / 2 от неѐ в стенку забили
1  

2
гвоздь. Найдите период Т колебаний маятника.
З А Д А Ч А 6.
p
2
График изменения состояния идеального газа в координатах р Т
представляет собой прямую 12. Как изменялся объѐм газа в этом
1
T
процессе ? Ответ обосновать.
З А Д А Ч А 7.
Моль азота, имеющий температуру T1 = 600 К в
состоянии 1, последовательно переводят в состояние 3. Считая
азот идеальным газом, определите среднюю квадратичную
скорость его молекул в состоянии 3.
P
2Pо
Pо
2
1
3
Vо
3Vо
V
З А Д А Ч А 8.
Как нужно изменить расстояние между точечными положительными зарядами,
чтобы при увеличении каждого из зарядов в 4 раза сила взаимодействия между ними
не изменилась?
З А Д А Ч А 9.
Конденсаторы емкостей С и 2С и три одинаковых
сопротивления включены в электрическую цепь, как
С
показано на рисунке. Найдите установившийся заряд на
Е
2С
конденсаторе C, если ЭДС источника тока равна Е , а его внутренним сопротивлением
можно пренебречь.
З А Д А Ч А 10.
По двум гладким медным шинам, установленным под углом  к горизонту,
скользит под действием силы тяжести медная перемычка
R
массы m. Шины замкнуты на сопротивление R.
m
Расстояние между шинами L. Система находится в
однородном
магнитном
поле
с
индукцией

B
В,
L
перпендикулярном к плоскости, в которой перемещается перемычка. Сопротивления шин,
перемычки и скользящих контактов, а также самоиндукция контура пренебрежимо малы.
Найдите установившуюся скорость перемычки.
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА № 3 (-5-2010-2011)
ЗАДАЧА 1. (8 баллов)
p  m  mx  m(4  4t ) . При t = 1c, p  1  (4  4  1)  0 .
Ответ: p  0 .
F
ЗАДАЧА 2. (8 баллов)
 Mi  0
mg
L/2
3
Ответ: F  mg .
2
L/5
ЗАДАЧА 3. (10 баллов)
2
2
m
1000  10
F  mg 
 1000  9,8 
 7800 H
R
50
2
m
 7800 H .
Ответ: F  mg 
R
ЗАДАЧА 4. (10 баллов)
vo

mvo
1  400
 mgh 
 1  9,8 10  298 Дж
2
2
2
Q
h
2
mvo
 mgh  298 Дж .
Ответ: Q 
2
ЗАДАЧА 5. (10 баллов)
Ответ: T  
 
2 
1
.
g 
2 

1  
2
ЗАДАЧА 6. (10 баллов)
pV  RT , откуда p 
R
V
T
Изохора
V = V1
.
V2 > V1
Изохора
V = V2
p
2
1
Ответ: Объѐм увеличивался.
T
ЗАДАЧА 7. (10 баллов)
T1
 100K . Газ-азот,   0,028кг/моль
6
T3 
3RT3
CP. KB. 

Ответ: CP. KB. 
3  8,31  100
м
 298
0,028
с

3RT3

 298
P
2
2Pо
1
Pо
3
м
.
с
V
Vо
3Vо
ЗАДАЧА 8. (10 баллов)
q2
r1
2

16q 2
r2
r2  4r1 .
2
Ответ: Увеличить в 4 раза.
ЗАДАЧА 9. (12 баллов)
qc  C БАТ U БАТ 
Ответ: q c 
2
2 E
4
CI 2 R  C
2 R  CE .
3
3 3R
9
R
R
4
CE .
9
С
R
2С
Е
ЗАДАЧА 10. (12 баллов)
При
постоянной
скорости
перемещения
перемычки
мощность
силы
тяжести,
действующей на перемычку, равна электрической мощности, выделяющейся на
сопротивлении R, т.е. F    I R , или
2
mgsin    I 2 R (1)
R
m

I
(2), где   BL .
R
Подставив  в (2), получим
I
BL
R
( 3). Подставив (3) в (1), получим mgv sin  
B
L
 2 B 2 L2
R
. (4)

Из (4) найдем  
Ответ:  
mgR sin 
2
2
B L
mgR sin 
2
2
B L
.
.
ВАРИАНТ № 4
З А Д А Ч А 1.
Какие силы создают центростремительное ускорение самолѐту при повороте в
горизонтальной плоскости?
З А Д А Ч А 2.
Определите максимальную величину скорости точки, колебательное движение
которой описывается уравнением x = 2 sin(5t) см.
З А Д А Ч А 3.
V х, м /c
10
2
На рисунке представлен график зависимости
0
скорости Vx тела массы m = 1 кг от времени для
10
3
1
4 t, c
прямолинейного движения вдоль оси x. Определите
модуль силы, действующей на тело в момент времени t = 1c.
З А Д А Ч А 4.
На рисунке показан цикл тепловой машины, состоящий из
1
Р
адиабатного расширения 12, изотермического сжатия 23 и
изохорического процесса 31. Напишите уравнение первого начала
3
2
термодинамики для процесса 31.
V
З А Д А Ч А 5.
Диэлектрическая проницаемость воды  = 81. Как нужно изменить расстояние
между двумя точечными зарядами, чтобы при погружении их в
воду, сила взаимодействия между ними была такой же, как
E 1, r
R
первоначально в вакууме?
З А Д А Ч А 6.
E 2, r
Напишите формулу для определения тепловой мощности,
выделяющейся на сопротивлении R электрической цепи, изображенной на рисунке .
Параметры элементов цепи считать известными.
З А Д А Ч А 7.
Как изменится период колебаний в колебательном контуре, состоящем из
конденсатора и катушки индуктивности, если в катушку ввести сердечник из
ферромагнитного материала? Ответ поясните.
З А Д А Ч А 8.
Определите внутреннюю энергию U неона, находящегося в баллоне объемом V =
3102 м3 под давлением Р = 2105 Па.
З А Д А Ч А 9.
m
Пружина жесткости k и длины L стоит вертикально на
столе. С высоты H над столом на нее падает небольшой шарик
H
L
массы m. Какую максимальную скорость будет иметь шарик
при
своем движении вниз? Массой пружины и трением пренебречь.
З А Д А Ч А 10.
По двум параллельным металлическим
b
направляющим, наклоненным под углом  к
горизонту и расположенным на расстоянии b

B
друг
от друга, скользит без трения металлическая
перемычка
массы
m
.
Направляющие
замкнуты снизу на батарею конденсаторов,
емкость каждого из которых равна C . Вся конструкция находится в магнитном поле,
индукция которого B направлена перпендикулярно плоскости, в которой перемещается
перемычка.
Определите
ускорение
перемычки.
Сопротивлением
направляющих,
перемычки и индуктивностью контура пренебречь.
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА № 4 9-2010
ЗАДАЧА 1.
Составляющие сил давления воздушного потока, действующие на крылья самолѐта
в направлении центра кривизны траектории.
ЗАДАЧА 2.
x = 2 sin(5t) см.
Ответ: V  A  0,1 м / c .
ЗАДАЧА 3.
V х, м /c
10
2
0
Ответ: F= 10 H
10
1
3
4 t, c
ЗАДАЧА 4.
Процесс 31 является изохорным. Уравнение первого начала термодинамики для этого
процесса Q  U .
Ответ: Q  U
ЗАДАЧА 5
2
Сила взаимодействия между двумя точечными зарядами в вакууме F1  q 2 .
r1
2
При погружении зарядов в воду, сила взаимодействия между ними F2  q 2 .
  r2
Так как F1  F2 , то
q2
r1
2

q2
  r2
2
. То есть r1 2    r2 2 ; r1  9  r2 ; r2 
r1
.
9
Ответ: Уменьшить в 9 раз.
ЗАДАЧА 6.
 E `1  E2
Ответ: P  
 R  2r
2

 R.


ЗАДАЧА 7.
Ответ: Период колебаний в колебательном контуре увеличится.
ЗАДАЧА 8.
3
PV  9  103 .
2
Ответ: U 
ЗАДАЧА 9.
По закону сохранения механической энергии mg( H  L  x) 
 max
m 2 kx 2

2
2
.
будет при kxo  mg
Ответ: v max  2 g ( H  L) 
mg 2
k
.
ЗАДАЧА 10.
ma  mg sin   IBb
I
mg sin 
4
dq d
 (CБАТ U ) , где CБАТ  С . U  E  VBb ; a 
.
4
3
dt dt
m  C B 2b 2
3
Ответ: a 
mg sin 
.
4
2 2
m C B b
3
ВАРИАНТ № 5
З А Д А Ч А 1.
Точка движется вдоль оси x со скоростью, проекция
x , м / с
которой
10
 x , как функция времени, представлена на графике.
Определите путь, пройденный точкой за время t = 3с.
0
1
2
3
t, с З А Д А Ч А 2.
Однородный стержень массы m, шарнирно закреплѐнный в
точке А, опирается о гладкую вертикальную стенку, образуя угол  =
60о с горизонтальной плоскостью. Определите силу, с которой
стержень давит на вертикальную стенку.

A
З А Д А Ч А 3.

Небольшой шарик массы m, прикреплѐнный к невесомой

нерастяжимой нити длины
1  
 , может колебаться вблизи
вертикальной стенки. Шарик отклонили так, что нить приняла
2
горизонтальное положение, и отпустили без начальной скорости.
При движении шарика вниз нить задевает вбитый в стену гвоздь,
расположенный на расстоянии  1   / 2 от оси вращения под углом  = 30о, как показано
на рисунке. Найдите величину силы натяжения нити T при прохождении шариком нижней
точки траектории. Силами трения пренебречь
З А Д А Ч А 4.
Две частицы массы m и 2m, двигавшиеся под прямым углом друг к другу,
испытали абсолютно неупругое столкновение. Скорость первой частицы до столкновения
1  3 , второй  2  2 . Определите модуль импульса частицы, образовавшейся в
результате столкновения.
З А Д А Ч А 5.
Определите величину энергии теплового движения U атомов неона, находящегося
в баллоне объемом V = 3102 м3 под давлением Р = 2105 Па.
З А Д А Ч А 6.
Потенциал электрического поля точечного заряда в точке 1
+
1
2
r
1  36В , а в точке 2  2  9В . Найдите потенциал
электрического поля в точке, лежащей посередине между точками 1 и 2.
З А Д А Ч А 7.
Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 1000 В, влетает в однородное
магнитное поле, перпендикулярное направлению его движения. Индукция магнитного
поля равна В = 1,19 103 Тл. Найдите радиус кривизны траектории электрона.
З А Д А Ч А 8.
Предмет расположен на расстоянии d = 0,15 м от рассеивающей линзы с фокусным
расстоянием F = 0,3 м. На каком расстоянии f от линзы получается изображение данного
предмета?
2E, 2r,
В схеме,
1
приведенной
на рисунке,
найдите
изображенных на рисунке, считать известными.
B
E, r
k
m
2R
C
R
энергию конденсатора. Параметры элементов схемы,
m
E, r
A
З А Д А Ч А 9.
2E, 2r,
З А Д А Ч А 10.
Четыре одинаковых шарика массы m каждый, соединенных
k
k
Одновременно
k
m
одинаковыми
m
пружинами
все
четыре
жесткости
шарика
образуют
k,
толкнули,
квадрат.
сообщив
им
одинаковые по модулю скорости, направленные к центру квадрата.
Через какое время после этого пружины будут сильнее всего сжаты? Массами пружин
пренебречь.
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА № 5 13-2010-11
ЗАДАЧА 1. (8баллов)
x , м / с
1
Ответ: S  1  10  2  10  25 м
2
ЗАДАЧА 2. (8 баллов)
10
0
1
2
3
t, с
Так как стержень находится в равновесии, то сумма моментов всех сил, действующих на
него, относительно оси, проходящей через точку А, равна нулю.
M

h1   sin  ; h2  cos  ; тогда
2

N

mg cos   N sin   0 , откуда
2
N
o
mg cos  mg
mg
mg 1
3

ctg  
ctg 60 

mg .
2 sin 
2
2
2 3
6

F
A
( Fi )  0 .

h1

mg
A

h2


Сила, с которой стержень давит на вертикальную стенку, F   N ; F 
Ответ: F 
3
mg .
6
mg
3
ctg  
mg .
2
6
ЗАДАЧА 3. (10 баллов)
По второму закону Ньютона для нижней точки траектории


h1
h
1  

 
ma  mg  T ,
2

2
2

где a 
.


2
T
h2
2

mg
2
2m
 T  mg .
Следовательно,

2

2


Искомая сила T  m g 



.


Используя закон сохранения механической энергии, найдѐм квадрат скорости

2
2
в нижней точке траектории:
тогда h 
 частицы
  2 gh , где h  h1  h2 ; при этом h1  sin  ;
h2 
0

 
 3
sin    sin 30    .
2
2 2
2 4
3
4
2
Итак,   2 gh  2 g   
3
2  3g 

g . Следовательно, T  m g 
  4mg .
2
2 

Ответ: T  4mg .
ЗАДАЧА 4. (10 баллов)
p1  m  3 ; p2  2m  2 ; тогда
p
2
2
Ответ: p  5m .
ЗАДАЧА 5. (10 баллов)
Ответ: U  cV T  
P
2
p1  p2  (3m )  (4m )  5m .
2
P2
5
2
3
3
3
3
RT  PV   2  10  3  10  9 10 ..
2
2
2
P1

;
2
ЗАДАЧА 6. (10 баллов)
k
1 r2

36
r r
r  4r1 5
q
 ; r2  r1 1  r1
 4r1 . rX  1 2  1
 r1 ;
; 1r1   2 r2   X rX ;
 2 r1
2
9
2
2
2
r
 X  1
r1
r 2 2
2
72
 1 1  1 ;  X  36 
 14,4 B .
rX
5r1
5
5
5
Ответ:  X  1
r1
 14,4 B .
rX
ЗАДАЧА 7. (10 баллов)
2
m
2eUm 1 2Um


 9  10 м .
eB
eB
B
e
Ответ: R 
ЗАДАЧА 8. (10 баллов)
Ответ: 
1 1 1
 
F d f
f 
Fd
 0,1м .
F d
ЗАДАЧА 9. (12 баллов)
В соответствии с законом Ома для замкнутой цепи сила тока в цепи I 
E
R
i
.
i
Так как сумма ЭДС, действующих в этом контуре, равна нулю, то I  0
Разность потенциалов на обкладках конденсатора найдѐм, используя закон Ома для
участка цепи AMNB:  A -  B  E  2E  0 , откуда
2E, 2r,
находим  A -  B  E . Разность потенциалов  A -  B 
1
это напряжение U между точками А и В . Тогда энергия
2R
C
R
CU 2 CE 2


конденсатора W 
2
2
Ответ: W 
E, r M
A
N
B
E, r
2E, 2r,
2
1
CE .
2
ЗАДАЧА 10. (12 баллов)
x/2
1). При смещении шарика к центру или от центра
квадрата
x  2
x
2
на
x
,
пружина
деформируется
m
на
k
x/2
x 2 .
2) Энергия системы W  4
m
x
k
m 2
k
x  4 (x ) 2 .
2
2
k
m
k
m
3) Т.к. W  соnst, следовател ьно,
dW
0 ,
dt
т.е. 2m  2x  x  2k  2  2x  x  0 .
Т.к.

x  0
скорость
2k
;
m
Ответ: t 
T  2
в
общем
случае,
mx  2kx  0 ,
то
следовательно,
T 
m
m
. Пружины будут сильнее всего сжаты через t   
.
2k
4 2 2k
T 
m
 
4 2 2k
ВАРИАНТ № 6
З А Д А Ч А 1.
Колебательное
движение
материальной
точки
описывается
уравнением
x = 2 sin(2t) см. Определите величину скорости точки в момент времени t = 0,25 c.
З А Д А Ч А 2.
На рисунке представлен график зависимости скорости  X
 X , м /c
тела массы m = 1 кг от времени для прямолинейного
10
2
0
10
1
3
4 t, c
движения
вдоль
оси
x.
Определите
модуль
силы,
действующей на тело в момент времени t = 1c.
З А Д А Ч А 3.
Однородный стержень массы m закреплѐн в точке А

B
с
помощью шарнира и удерживается за второй конец под
углом  = 45о к горизонту с помощью невесомой
нерастяжимой нити, привязанной к другому концу стержня
A

В,
как показано на рисунке. Найдите силу натяжения нити.
З А Д А Ч А 4.
По гладкой горизонтальной плоскости движутся по взаимно перпендикулярным
направлениям две частицы, имеющие одинаковые массы m =1 кг. Скорость первой
частицы 1  3 м / с , второй  2  4 м / с . В результате столкновения первая частица
останавливается. Определите импульс p второй частицы после столкновения.
ЗАДАЧА5
Сколько молекул гелия N было в закрытом сосуде, если при нагревании на Δt =
20оС внутренняя энергия газа увеличилась на ΔU = 2 кДж? Газ считать идеальным.
З А Д А Ч А 6.
Напряжѐнность электрического поля точечного заряда в точке 1 E1  36 В / м , а в
точке
+
1
r
2
2
E2  9 В / м .
Найдите
напряжѐнность
электрического поля в точке, лежащей посередине между
точками 1 и 2 .
З А Д А Ч А 7.
Найдите разность потенциалов на клеммах источника постоянного тока, если
внешнее сопротивление замкнутой цепи в 5 раз больше внутреннего сопротивления
источника. ЭДС источника тока Е = 6 В.
З А Д А Ч А 8.
B
A
Постройте изображение предмета
2F
АВ в собирающей линзе.
O
F
2F
F
З А Д А Ч А 9.
B
В системе, показанной на рисунке, однородному диску
45
A
сообщили угловую скорость вокруг горизонтальной оси О, а затем
осторожно опустили на его верхнюю точку конец А стержня АВ
о
O
так, что он образовал угол  = 45о с вертикалью. Трение имеется
только между диском и стержнем, его коэффициент k = 0,13. Пусть
n 1 – число оборотов диска до остановки при его вращении по часовой стрелке, а n 2 –
аналогично против часовой стрелки при одинаковой начальной скорости. Найдите
отношение n 2 / n 1.
З А Д А Ч А 10.
К
2L
3L
С
Заряженный
конденсатор
ѐмкости
С
через
ключ
К
подключен к двум параллельным соединенным катушкам с
индуктивностями 2L и 3L. В начальный момент времени ключ
разомкнут. Если замкнуть ключ К , то через катушки потекут токи.
Максимальный ток, протекающий через катушку 2L, оказался равным I1 Найдите
первоначальный заряд q на конденсаторе. Сопротивлениями катушек пренебречь.
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА № 6 17-2010
ЗАДАЧА 1. (8баллов)
Ответ: V  0 .
ЗАДАЧА 2. (8 баллов)
Ответ: F= 10 H.
ЗАДАЧА 3 . (10 баллов)
Условие равновесия стержня:
mg
L
cos   TL  sin  , где L – длина стержня.
2
Откуда T 

mg
ctg  .
2
о
При  = 45 T 
Ответ: T 
T
mg  ctg  mg

.
2
2
B
mg
A

mg
.
2
ЗАДАЧА 4. (10 баллов)
Так как после столкновения скорость первой частицы равна нулю, то, согласно
закону сохранения импульса, импульс второй частицы будет равен сумме импульсов





первой и второй частиц до столкновения. m1  m 2  mu . Так как 1   2 , то
2
2
mu  (m1 )  (m 2 )  m 1   2  5
2
Ответ: p  m 1   2  5
2
2
2
кг м
кг м
2
2
; p  m 1   2  5
с
с
кг м
.
с
ЗАДАЧА 5. (10 баллов)
Число молекул N    N A , где    число моль газа, находящегося в сосуде, N A 
число Авогадро.
3
2U
Увеличение внутренней энергии газа в сосуде U    RT . Откуда  
.
2
3RT
3
2UN A 2  2  10  6  10

Следовательно, N 
3RT
3  8,31  20
Ответ: N 
23
24
 4,8  10 .
24
2UN A
 4,8  10 .
3RT
ЗАДАЧА 6. (10 баллов)
Так как
Ek
q
r
2
2
; то
E1r1  E2 r2  E X rX ;
2
2
2
+
1
rx
2
E1
r
E1
r r
r  2r1 3
36
 2 2 ; r2  r1
 r1 .
 2r1 ; rX  1 2  1
, т.е. r2  r1
E2
E2
2
2
2
9
r1
r
2
r
E X  E1  1
 rX




2
Ответ: E X  16




r
36  4
B
 E1  1  
 16 .
3 
9
м
 r1 
2 
B
.
м
ЗАДАЧА 7. (10 баллов)
1   2  E  Ir ; 1   2  E  E
r
Rr
E
R
Rr
; R r  5 ; 1  2  5B .
Ответ: 1  2  E  Ir  5B .
ЗАДАЧА 8. (10 баллов)
B
Ответ:
O
2F
F
A
A1
F
2F
B1
ЗАДАЧА 9. (12 баллов)
В процессе вращения диска стержень АВ неподвижен. Запишем условие равновесия
стержня, обозначив массу стержня m, а его длину L:
mg
M
B
 0 , т.е
L
sin  FTP L cos   NL sin   0 (1)
2
Т.к. FTP 1  N , то, подставив N 
B
N

FTP

mg
FTP1
A
O
FTP
в (1), получим

F
mg
sin   FTP1 cos   TP1 sin   0 ,
2

mg
sin 
mg

.
2  sin 
 2(1  ctg)

 cos  
 



Сила трения F' TP  FTP1 , действуя на диск, тормозит его.
отсюда FTP1 
Согласно
закону
сохранения
энергии
WКИН  A TP , т.е.
WКИН  FTP1  2Rn1 , откуда n1 
WКИН
W
 2(1  ctg)
 КИН
FTP 1  2R
2R  mg
При вращении диска против часовой стрелки
для
диска:


mg sin   NL sin   FTP 2  sin   0
mg
.
2
 , откуда FTP 2 
2(1  ctg)

FTP 2  N

n2 
WКИН
W
 2(1  ctg)
n
1  ctg 1  0,13
 КИН

 1,3 .
. И тогда 2 
FTP 2  2R
2R  mg
n1 1  ctg 1  0,13
Ответ:
n 2 1  ctg

 1,3 .
n 1 1  ctg
ЗАДАЧА 10. (12 баллов)
В момент, когда токи через катушки достигают
максимума, вся энергия, ранее запасѐнная в конденсаторе,
переходит
в
энергию
2
2
магнитного
поля
К
2L
3L
С
токов:
2
I
I
q
2 L 1  3L 2 
, (1)
2
2
2C
Так как катушки включены параллельно, то после замыкания ключа К ЭДС индукции на
катушках должны быть равны между собой: 2 L
I1
I 2
 3L
.
t
t
Кроме того, начальные значения токов в момент замыкания ключа равны нулю,
следовательно, для момента, когда токи в катушках достигают максимальных значений,
выполняется соотношение:
q  I1
C 2 L ( 2 L  3L )
3L
Ответ: q  I1
 I1
2L  I1  3L  I 2 . (2). Из уравнений (1). (2) получим
2 LC  5L
10
 I1
LC .
3L
3
10
LC .
3
ВАРИАНТ № 7 (1 11-12)
З А Д А Ч А 1.
Метеорологическая ракета, запущенная вертикально, достигла высоты h = 10 км.
Во время работы двигателей ускорение ракеты а = 40 м/с2. Сколько времени ракета
находилась в состоянии невесомости на этапе подъѐма? Принять ускорение g = 10 м/с2.
З А Д А Ч А 2.
В сплошной однородной тонкой пластине, имеющей форму
В 1
квадрата со стороной L и первоначальную массу M, вырезали квадрат со
2
стороной L/2, как показано на рисунке. Пластину подвесили за углы А и
А
В на двух невесомых нитях 1 и 2. Определите силы натяжения этих
нитей: T 1 и T 2.
З А Д А Ч А 3.
Автомобиль, масса которого m=1000 кг, движется со скоростью   36 км / ч по
выпуклому мосту, имеющему радиус кривизны R = 50 м. Найдите силу F , с которой
автомобиль давит на мост в его верхней точке.
З А Д А Ч А 4.
На пути шайбы массы m , скользящей по
гладкому
горизонтальному
столу,
находится
m
H
M
u
незакрепленная «горка» массы M = 4m, высоты H.
При какой минимальной скорости u шайба сможет преодолеть горку? Шайба движется не
отрываясь от горки. Чему будут равны скорости шайбы и горки после того, как шайба
окажется по другую сторону горки? Трение между шайбой и горкой и между горкой и
столом отсутствует.
З А Д А Ч А 5.
Сколько молекул содержится в одном грамме углекислого газа ?
З А Д А Ч А 6.
P
На P - V диаграмме изображен цикл 1231,
проводимый
с
одноатомным
идеальным
газом.
Определите отношение количества теплоты Q
полученной газом в процессе 12, к Q
23,
12
,
3
2
2 Pо
Pо
1
полученной
Vо
3 Vо V
газом в процессе 23.
З А Д А Ч А 7.
Груз массы m = 1 кг подвешен на пружине жѐсткости k = 100 Н/ м. В положении
равновесия грузу толчком сообщают в вертикальном направлении скорость v = 1 м/с .
Определите модуль максимального ускорения а груза при его дальнейшем движении.
З А Д А Ч А 8.
Восемь одинаковых шарообразных капелек ртути заряжены одноимѐнным зарядом
до одного и того же потенциала 1 . Определите величину потенциала  большой
шарообразной капли ртути, получившейся в результате слияния этих капель.
З А Д А Ч А 9.
В электрической цепи, схема которой показана на
рисунке, ЭДС источников тока E1 = 1,25 В, E2 = 1,5 В
r
r
E1
E2
и одинаковые внутренние сопротивления r = 0,4 Oм.
Сопротивление R = 10 Ом. Найдите величину тока, протекающего через источник E1.
R
З А Д А Ч А 10.
Стержень АC вращается c постоянной угловой
скоростью  вокруг точки О в однородном магнитном

С

поле, вектор индукции B которого перпендикулярен
плоскости вращения стержня. Найдите разность
2
B
O

A
потенциалов между точками А и С стержня.
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА № 7 (1-11-12)
ЗАДАЧА 1.

a
h
 o , где  0  at  скорость ракеты к моменту выключения двигателя.
2
2g
2
2
Тогда h 
2
2
2 2
a
(a )
a  1 1 aa g 2
   
 . Отсюда  


2
2g
2  a g  2  g 
Искомое время равно t 
Ответ: t 
a

g
a
2hg
a(a  g )
g

2hg
.
a(a  g )
2ah
 40 c .
g (a  g )
2ah
 40 c .
g (a  g )
ЗАДАЧА 2. (8 баллов)
1). Предположим, что в пластине симметрично первому квадрату
вырезан второй. Тогда центр масс оставшейся части пластины
будет расположен в еѐ геометрическом центре, т.е. точке О.
1
2
А
О
2) Центр масс мысленно вырезанного второго квадрата пластины
находится на расстоянии
a 2
от точки О. Если М- масса целой
4
пластины, а m – масса вырезанной еѐ части, то положение центра масс пластины с
вырезанным квадратом определится из соотношения ( M  m) x  m(
a 2
 x) , где x –
4
расстояние искомого центра масс от точки О. Учитывая, что m/M = 1/4 (массы относятся
как площади соответствующих частей диска), получим x 
a 2
.
12
3) Силу натяжения нити T2 найдем из уравнения моментов относительно точки О:
T2
a 2 3
a 2
3
5
Mg
 Mg
, отсюда T2 
. T1  Mg  T2  Mg .
8
2
4
12
4
8
Ответ: T1 
5
1
Mg T2  Mg
8
8
ЗАДАЧА 3. (10 баллов)
mg  сила тяжести; N – реакция опоры.
N
В соответствии с третьим законом Ньютона искомая сила
давления автомобиля на мост F равна по величине реакции
опоры N.
R
Согласно второму закону Ньютона центростремительное
mg
ускорение автомобиля определяется суммой сил, действующих на него вдоль радиуса
m
 mg  N .
R
2
окружности,
N  F  mg 
по
которой
он
движется.:
Отсюда
m 2
1000  36 2
 1000  10 
 7800 H .
R
5  10 2
m1
 7800 H .
Ответ: F  mg 
R
2
ЗАДАЧА 4. (10 баллов)
Используя закон сохранения энергии и
закон сохранения импульса, запишем:
mu  (m  M) , откуда  
m
u
M
H
m
u (1)
mM
mu 2  2mgH  (m  M ) 2 (2) Подставим (1) в (2), получим
mu 2  2mgH 
u
(m  M)m 2 2
m
m2
2
u
u2
т.е.
mu

2mgH

u 2 , откуда u 2  2gH 
2
mM
mM
(m  M)
m 
2gH
mM
m


 2 gH
 2 gH 1   . u  2 gH 1 
  2,5 gH .
m
4m 
mM m
M


1
mM
m

Ответ: u  2gH 1    2,5 gH .
 M
ЗАДАЧА 5. (10 баллов)
1  10 3
N  N A ;   0,044 кг / моль , N 
 6,02  10 23  1,37  10 22 .

0,044
m
Ответ: N 
m

N A  1,37  10 22 .
Т
ЗАДАЧА 6. (10 баллов)
P
Q23 
Ответ:
Q23
3
А
To
Pо
1
5
Q
(2 P0  3V0  2 P0V0 )  10 P0V0 ; 12  0,15 .
2
Q23
Q12
6To
2To 2
2Pо
3
3
Q12  (2 P0V0  P0V0 )  P0V0
2
2
V
Vо
3Vо
 0,15
ЗАДАЧА 7. (10 баллов)
2
1) amax  A   max  ; 2)  
Ответ: amax   max
2
k
k
100
 1
 10 м / c .
; 3) a max   max
m
m
1
k
2
 10 м / c .
m
ЗАДАЧА 8. (10 баллов)
Пусть заряд каждой капельки равен q, а еѐ радиус r. Тогда еѐ потенциал в вакууме
1 
q
4 o r
, откуда q  4 o r  1 . Заряд большой капли равен
R, то еѐ потенциал  
8q
4 o R

8  4 o r1
4 o R

8q , и если еѐ радиус равен
81 r
. Объѐмы маленькой и большой
R
4 3
4
капель   r и V  R 3 связаны между собой соотношением V  8 . Следовательно,
3
3
8
r
1 1

 ; а   1  4  1 .
3
R
2
8 2
Ответ:   4  1 .
Обозначим токи, протекающие через источники Е 1
Е 2 как I 1 и I 2 соответственно, а ток, протекающий
b
a
ЗАДАЧА 9. (12 баллов)
r
E1
f
c
r
I1
I2
E2
e
R
I
d
через сопротивление, как I, выберем их направления и направления обхода контуров afeb
и bcde. Запишем уравнения Кирхгофа:

Для контура afeb ( направление обхода против часовой стрелки):
I1r  I 2 r  E2  E1 .

Для контура bcde ( направление обхода по часовой стрелке): I 2 r  IR  E2 .

Для узла b: I 2  I1  I  0 .
Из этих уравнений найдѐм I 1 
Ответ: I 1 
RE 2  ( R  r ) E1 )
 0,245 A .
r (2 R  r )
RE 2  ( R  r ) E1 )
 0,245 A .
r (2 R  r )
ЗАДАЧА 10. (12 баллов)
Ответ: U  E1  E2 
2
B
B(2)  B  3 2

 B  .
2
2
2
2
С
2

O

A
ВАРИАНТ № 8 ( 7 11-12)
З А Д А Ч А 1.
Пуля, летящая со скоростью   400 м / c , попадает в преграду и проникает в неѐ
на глубину   32 см . Найдите глубину h, на которой скорость пули уменьшится в 4
раза? Движение пули считать равнопеременным.
З А Д А Ч А 2.
Открытый бак, состоящий из двух соосных цилиндров
диаметрами d и 1,5d, заполненный жидкостью плотности ρ,
стоит
на
горизонтальной
поверхности.
Определите
силу
h
A
B
давления жидкости на горизонтальную поверхность AB,
соединяющую оба цилиндра. Атмосферное давление равно ро.
З А Д А Ч А 3.
К потолку лифта на нити подвешена гиря массы m 1 = 1 кг. К этой гире привязана
другая нить, на которой подвешена вторая гиря массы m 2 = 2 кг. Найдите натяжение T2
верхней нити, если натяжение нити между гирями Т1 = 29,4 Н.
З А Д А Ч А 4.
m
перпендикулярно
L
2m
0
…
1
Вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О
3
m
+
+
рисунка,
может
свободно
вращаться легкая крестовина, на концах которой укреплены
3m
L
2L
плоскости
2
грузы 1, 2, 3, 4. Массы грузов и их расстояния до оси
L
показаны
4
на
рисунке.
Первоначально
крестовина
удерживается в положении, показанном на рисунке. Затем еѐ
отпускают без начальной скорости. Определите линейную
скорость груза 3m в момент прохождения крестовиной положения равновесия. Силами
сопротивления пренебречь.
З А Д А Ч А 5.
Груз массы m подвешен на двух пружинах, жѐсткости
которых k и 2k . Определите период Т малых вертикальных
2k
колебаний груза.
g
З А Д А Ч А 6.
k
Сколько молекул содержится в одном грамме водорода Н2 ?
m
З А Д А Ч А 7.
Какую работу А нужно совершить над одним молем идеального газа для его
изобарного сжатия, при котором концентрация молекул в конечном состоянии в  = 4 раз
больше, чем в начальном ? Первоначальная температура газа Т1 = 600 К.
З А Д А Ч А 8.
Напряжѐнность электрического поля точечного заряда
+
1
2
r
в точке 1 E1  8 В / м , а в точке 2 E2  2 В / м . Найдите
напряжѐнность электрического поля в точке, лежащей посередине между
З А Д А Ч А 9.
В электрической цепи, схема которой показана на
рисунке, ЭДС источников тока E1 = 6 В, E2 = 5 В , внутренние
сопротивления r 1 = 1 Oм,. r 2 = 2 Oм. Сопротивление R = 10 Ом.
Найдите величину тока, протекающего через сопротивление R.
r1
E1
r2
R
E2
З А Д А Ч А 10.
Два параллельных идеально проводящих рельса расположены на расстоянии L друг
от друга в плоскости, перпендикулярной однородному магнитному полю индукции В. По
рельсам в одну сторону скользят две перемычки,
B
скорости которых V и 2V Сопротивления
перемычек
R
и
2R.
Найдите
величину
2V
V
индукционного тока в перемычках .
L
2R
R
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА № 8
ЗАДАЧА 1. (8баллов)
 
  
2

15
15
 2  2 15 2
4

  0,32  0,3 м





; 1
.;  1 
2a
2a 32a 32a
16
16
2a
2
2
Ответ:  1 
15
  0,3 м .
16
ЗАДАЧА 2. (8 баллов)
F   po  gh S ,
где S 
h
2
2
2

5

d .
 (1,5d )  d  
4

F   po  gh
Ответ: F 
A
B
16
5
5
d 2 
d 2 ( po  gh) .
16
16
5
d 2 ( po  gh) .
16
По второму закону Ньютона для первой гири
m1a  m1 g  T1  T2
T1
T2
ЗАДАЧА 3. (10 баллов)
m2
m1
(1)
Для второй гири m2 a  m2 g  T1 (2)
T1
m1 g
m2 g
Решая совместно уравнения (1) и (2), находим
T2 
m1  m2
1 2
T1 
29,4  44,1H
m2
2
Ответ: T2 
m1  m2
T1  44,1H .
m2
m
L
2m
1
3
0
…
3m
L
2L
2
L
m
+
+
4
ЗАДАЧА 4. (10 баллов)
1) Пусть скорости грузов 1 и 2 в момент прохождения положения равновесия равны 1 и
 2 . Тогда, пренебрегая трением,
В
соответствии с законом сохранения механической
энергии, запишем:
2m1
5m 2

 2mg  2 L  3mgL (1)
2
2
2
2
Поскольку угловая скорость  вращения грузов одинакова, то 1  2L ,  2  L , и
5 2
2
 4 gL  3gL , 13 2  2 gL , откуда
2
2
2
1  2 2 (2). Подставив (2) в (1), получим 4 2 
2 
2
gL .
13
2
gL .
13
Ответ:  2 
ЗАДАЧА 5. (10 баллов)
Коэффициент жесткости двух пружин, соединенных
последовательно, находится по формуле: k


2k  k 2
 k .
2k  k 3
2k
g
Период колебаний груза T  2
Ответ: T  2
m
k
 2

m
k

3m
 2
.
2k
k
m
3m
.
2k
ЗАДАЧА 6. (10 баллов)
1  10 3
N  N A ;   0,002 кг / мм , N 
6,02  10 23  3,0  10 23 .

0,002
m
Ответ: N 
m

N A  3,0  10 23 .
ЗАДАЧА 7. (10 баллов)
2
При P= const работа по сжатию газа
1
P
A  RT  R(T1  T2 )
(1)
V
Т.к. P  nkT , то n1T1  T2n2 . Отсюда T2  T1
n1
.
n2
По условию
n2
T
  , следовательно, T2  1 Подставляя Т2 в (1), найдем
n1

T
 1
4 1

A  R T1  1   RT1
 8,31  600
 3740 Дж .


4

Ответ: A  RT1
 1
 3740 Дж .

ЗАДАЧА 8. (10 баллов)
Так как E  k
q
r
2
+
1
; то E1r1  E2 r2  E X rX ;
2
2
2
rx
r
2
2
E1 r2
E1
8
 2r1 .
 2 ; r2  r1
, т.е. r2  r1
E2
2
E 2 r1
2
rX 
r1  r2 r1  2r1 3
r

 r1 ; E X  E1  1
2
2
2
 rX
Ответ: E X  3,6




2




r
4
4  8 32
B
 E1  1   E1 

 3,6 .
3 
9
9
9
м
 r1 
2 
B
.
м
ЗАДАЧА 9. (12 баллов)
Обозначим токи, протекающие через источники Е 1 и Е 2 как I 1 и I 2 соответственно, а ток,
протекающий через сопротивление, как I, выберем их направления и направления обхода
контуров abef и bcde. Запишем уравнения Кирхгофа:

Для контура abef ( направление обхода по часовой стрелке): I1r1  IR  E1 .

Для контура bcde ( направление обхода против часовой стрелки): I 2 r2  IR  E2 .

Для узла b: I1  I 2  I  0 .
Из этих уравнений найдѐм I 
Ответ: I 
r1 E 2  r2 E1 )
 0,53 A .
r1r2  R(r1  r2 )
r1 E 2  r2 E1 )
 0,53 A .
r1r2  R(r1  r2 )
ЗАДАЧА 10. (12 баллов)
E1  E2 2BL  BL BL


Ответ: I 
.
2R  R
3R
3R
b
a
r1
I
E1
I1 V
f
R
B
c
r2
R
2V
I2
e
2R
E2
d
L
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ
ВАРИАНТ № 9
З А Д А Ч А 1.
Тело массы m = 1 кг движется по оси x по закону x = 5 + 4t  2t2 м. Определите
величину импульса тела в момент времени t = 1 c.
З А Д А Ч А 2.
Пятая часть однородной линейки, имеющей массу
m и
F
длину L, выступает за край стола. Найдите минимальную
величину работы А, которую необходимо совершить,
чтобы переместить всю линейку на стол, сдвигая еѐ силой, направленной вдоль длинной
стороны. Коэффициент трения между линейкой и столом равен µ .
З А Д А Ч А 3.
Однородный стержень массы m закреплѐн в точке А с
помощью шарнира и удерживается за второй конец стержня под

углом  = 30о к горизонту с помощью невесомой нерастяжимой
B
нити, расположенной под таким же углом  к вертикали, как
показано на рисунке. Найдите силу натяжения нити.

A
З А Д А Ч А 4.
На горизонтальной плоскости лежат два бруска, массы
m
2m
F
которых
m
и
2m,
соединенных
ненапряженной
пружиной. Какую наименьшую постоянную силу F,
направленную горизонтально, нужно приложить к бруску массы 2m, чтобы сдвинулся и
второй брусок? Коэффициент трения брусков о плоскость равен .
З А Д А Ч А 5.
Идеальный одноатомный газ в количестве 1 моль сначала
P
1
охладили, а затем нагрели до первоначальной температуры 300 К,
увеличив при этом объѐм газа в 3 раза. Найдите количество
теплоты, отданное газом на участке 12.
2
0
3
300 K
T
З А Д А Ч А 6.
A
+2q
B
L
D
+q С
6q
L
L
В точках А, С, D расположены неподвижные
точечные заряды +2q, +q,  6q , как показано на
рисунке.
Определите
работу
сил
поля
при
перемещении заряда +q из бесконечности, где потенциал электрического поля
принимается равным нулю, в точку В.
З А Д А Ч А 7.
В электрической цепи, схема которой показана на
рисунке,
установившееся
напряжение
на
4R
конденсаторе
U = 20 В. Считая параметры элементов схемы известными,
R
2R
определите величину ЭДС источника тока. Внутренним
3R
сопротивлением источника тока пренебречь.
З А Д А Ч А 8.
B
Постройте изображение предмета АВ в
собирающей линзе.
A
O
2F
F
2F
F
З А Д А Ч А 9.
При
фотоэффекте
максимальный
импульс,
передаваемый
поверхности
вольфрамовой пластинки при вылете каждого электрона р = 3,451025 кгм/с. Найдите
энергию  квантов применяемого облучения. Работа выхода вольфрама А = 4,5 эВ.
З А Д А Ч А 10.
Из проволоки, общим сопротивлением R, сделан
плоский замкнутый контур, состоящий из двух квадратов со
B
2a
a
сторонами a и 2а. Контур находится в однородном
магнитном
поле
перпендикулярно
с
индукцией
плоскости
направленной
B,
контура.
Найдите
заряд,
который протечѐт через поперечное сечение провода при равномерном уменьшении
индукции поля до нуля. Между пересекающимися на рисунке проводами электрический
контакт отсутствует.
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА № 9 (2)
ЗАДАЧА 1. (10 баллов)
Ответ: p  m  mx  m(4  4t ) . При t =1c. p  1  (4  4  1)  0
ЗАДАЧА 2. (8 баллов)
F
1
Ответ: A  mgL
5
FТР = µmg
ЗАД АЧА 3. (10 баллов)
Условие равновесия стержня: mg
где L – длина стержня. Откуда T 
L
cos   TL ,
2

mg cos 
.
2
T
B
A

mg
При  = 30о T 
mg cos  mg 3

.
2
4
Ответ: T 
mg 3
4
ЗАДАЧА 4. (10 баллов)
F
Если брусок массы m остается неподвижным при
m
2m
смещении на x бруска массы 2m, то сила F совершает
работу по растяжению пружины и против сил трения (при условии, что в конечный
kx 2
   2mgx , (1) т.е.
момент скорость бруска массы 2m обращается в нуль): Fx 
2
F
kx
   2mg (2)
2
Уравнение движения второго бруска массы m ma  kx  mg (3)
Брусок массы m сдвинется при условии a  0 , т.е. при условии kx    mg (4)
Минимальное значение Fmin. получим, если положим kx  mg (5)
Таким образом, подставив (5) в (2) , найдем
Fmin 
m g
2
 2mg 
Ответ: Fmin 
5
mg .
2
5
mg
2
ЗАДАЧА 5. (10 баллов)
В соответствии с первым законом термодинамики U  Q  ABH .C. .
Учитывая, что на участке 12 : A12  0 , получим Q12    U12 . (1)
Формула
расчѐта
изменения
внутренней
энергии:
3
U 12  R(T2  T1 )
2
Применив закон Гей –Люссака для состояний 2 и 3, запишем
V3
T3

(2)
.
V2
V
, откуда T2  2 T3 .
T2
V3
Учитывая, что объѐм газа в состоянии 3 V3 увеличился в три раза, а температура в
состоянии 3 равна первоначальной, т.е. Т3 = Т1, T2 
T
V2
T
T3  3  1 (3). Тогда , подставив
V3
3
3
(3) в (2), а затем в (1), получим формулу для расчѐта количества теплоты, отданного газом
3
3 T
 3 2
Q12  R(T2  T1 )  R 1  T1   R T1  RT1 . Подставив теперь
2
2 3
 2 3
на участке 12:
числовые значения, найдѐм Q12  RT1  1  8,31  300  2,5 кДж
Ответ: Q12  RT1  2,5кДж .
ЗАДАЧА 6. (8 баллов)
A
+2q
B
L
+q
L
С
D
L
A  q(    B ) .
6q
Используя принцип суперпозиции, найдѐм
B  k
2q
q
6q
k k
 0 , тогда A  0 .
L
L
2L
Ответ: A  0
ЗАДАЧА 7. (10 баллов)
1) Полное сопротивление цепи
6
31
R  R  4R  R  R .

5
5
4R
2) Ток в источнике ЭДС равен току в сопротивлении,
R
2R
подключенном параллельно конденсатору
U R
E
U
31
31

, откуда E 


U
20  31B .
4R
45
20
R
4R

Ответ: E  31 B .
ЗАДАЧА 8. (10 баллов)
Ответ:
B
O
A
2F
F
F
2F
B1
ЗАДАЧА 9. (12 баллов)
Ответ:   h  A 
p
2
2m
 7,85  10
19
Дж .
A1
3R
ЗАДАЧА 10. (12 баллов)
E  E1  E2 .
По
закону
электромагнитной
индукции
Фарадея
E

B
2a
a
Ф1 Ф2
, где Ф1 и Ф2  изменения магнитных

t
t
2
1
потоков через поверхность большого и малого квадратов.
E
Ф1 Ф2
B
B
B
.

  S1
 S2
 ( S 2  S1 )
t
t
t
t
t
По закону Ома I 
S 2  S1
E
B . так как B  0  B  B ,
. Искомый заряд q  It 
R
R
2
2
2
S  S2
( 2a )  a
3a
то q  1
B
B 
B.
R
R
R
2
3a
B.
Ответ: q 
R
ВАРИАНТ № 10
З А Д А Ч А 1.
Южный полюс магнита приближается с некоторой скоростью
к металлическому кольцу, двигаясь вдоль его оси перпендикулярно
S
N
плоскости кольца. На рисунке покажите направление индукционного
тока в кольце. Ответ поясните.
З А Д А Ч А 2.
На столе лежат стопкой 10 одинаковых книг. В каком случае нужно приложить
меньшую силу: чтобы сдвинуть четыре верхние книги или вытянуть из стопки третью
книгу сверху? Ответ обосновать.
З А Д А Ч А 3.
Открытый бак, состоящий из двух соосных цилиндров
диаметрами d и 2d, заполнен жидкостью плотности ρ, как
A
h
B
показано на рисунке. Бак стоит на полу лифта, который
поднимается вверх с ускорением a = 0,25 g. Определите силу
давления жидкости на горизонтальную поверхность AB, соединяющую ба цилиндра.
Атмосферное давление равно ро.
З А Д А Ч А 4.
Груз массы m подвешен через пружину жѐсткости k на
2
нерастяжимой нити, перекинутой через блок, соединѐнной с
бруском 2, лежащим на горизонтальной плоскости. В начальный
k
1
момент груз m удерживается так, что пружина находится в
m
ненапряжѐнном состоянии, затем его отпускают без начальной
скорости. Найдите минимальную массу бруска 2, при которой он ещѐ будет оставаться
неподвижным. Коэффициент трения между бруском 2 плоскостью равен µ. Массой
пружины, нити, блока и трением в нѐм пренебречь.
З А Д А Ч А 5.
Один моль одноатомного идеального газа переходит из
3
V
состояния 1 в состояние 3 по изохоре 1-2 и изотерме 2-3, как
показано на графике зависимости объѐма V от температуры T
1
0
2
To
(T o =100 K). На участке 23 к газу подводят 2,5 кДж теплоты.
2To
3To T
Найдите отношение полной работы газа А123 ко всему количеству подведѐнной к газу
теплоты Q123 .
З А Д А Ч А 6.
По кольцу радиуса R равномерно распределѐн заряд q. Определите
R
А
0,5 R
потенциал  в точке А, находящейся на оси, перпендикулярной плоскости
кольца, и отстоящей от центра кольца на расстоянии h = 0, 5 R.
З А Д А Ч А 7.
Предмет располагается перед собирающей линзой, как показано на рис. 1. Линзу
разрезали по оси ОО1. Нижнюю половину линзы удалили, а верхнюю половину сдвинули
вверх по отношению к предмету, как показано на рис. 2. Постройте изображение предмета
в оставшейся верхней половине линзы (рис. 2).
B
B
A
O
2F
F
O1
F
Рис. 1
2F
O1
O
F
2F
A
F
2F
Рис. 2
З А Д А Ч А 8.
Найдите максимальный потенциал , до которого может зарядиться удаленный от
других тел медный шарик при облучении его электромагнитным излучением с длиной
волны  = 0,14 мкм. Работа выхода для меди A = 4,47 эВ.
З А Д А Ч А 9.
В электрической цепи, представленной на рисунке, ключ К в
R1
начальный момент замкнут, и по цепи идет постоянный ток. Какое
R2
количество теплоты выделится в резисторе R1 после размыкания
L
ключа. Параметры элементов цепи: индуктивность катушки равна L,
R1 = R, R
2
= 2R, R
сопротивлением
3
= R, ЭДС источника тока равна Е. Активным
катушки
и
сопротивлением
источника
тока
R3
E
K
пренебречь.
З А Д А Ч А 10.
На гладкой горизонтальной поверхности массивной плиты покоится клин массы М
с углом наклона  = 30o. Клин плотно прилегает к поверхности плиты. Летящий по
параболической траектории шар массы m ударяется о гладкую
m

наклонную поверхность клина, причѐм в момент удара его
M
скорость направлена горизонтально (удар абсолютно упругий).
В результате клин начинает двигаться по плите. Найдите отношение m M , если через
некоторое время шар попадает в ту же самую точку на клине, от которой он отскочил.
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА № 10
ЗАДАЧА 1. (8 баллов)
Ответ:
S
N
ЗАДАЧА 2. (8 баллов)
1) Сила F1, необходимая для того, чтобы сдвинуть верхние четыре книги F1  4mg .
2) Сила F2, необходимая для того, чтобы вытянуть из стопки третью книгу:
F2  2mg  3mg  5mg .
F1  F2 .
Таким
образом,
меньшую
силу
F1  4mg нужно приложить, чтобы сдвинуть верхние четыре книги.
Ответ: Меньшую силу F1  4mg нужно приложить, чтобы сдвинуть верхние
четыре книги.
ЗАДАЧА 3. (10 баллов)
F   po  h( g  a)S , где
2
2
2

3
S   (2d )  d   d
4

4
A
h
B
2
2
3
3
F   po  h( g  0,25 g ) d  d ( po  1,25gh) .
4
4
F
2
3
d ( po  1,25gh) .
4
Ответ: F 
2
3
d ( po  1,25gh) .
4
ЗАДАЧА 4. (10 баллов)
M
Брусок массы M на плоскости остается неподвижным до
тех пор, пока сила упругости, действующая на него со стороны
k
нити, не достигнет максимального значения силы трения покоя,
m
т.е. FTP  T , где FTP  N  Mg . Тогда Mg  T (1) .
Величина силы упругости нити Т зависит от амплитуды колебаний груза m. Амплитуда А
равна начальному отклонению груза от положения равновесия, которое определяется
равенством mg  kxo  kA , откуда xo  A 
растяжение пружины равно xmax  2 A 
mg
. Следовательно, максимальное
k
2mg
. Соответственно, сила упругости
k
T  kxmax  2mg (2) .
Подставляя (2) в (1), получим Mg  2mg , откуда M 
Ответ: M 
2m

2mg
2m

.
g

.
ЗАДАЧА 5. (10 баллов)
Согласно
первому
закону
термодинамики
Q123  U123  A123 , где A123  A12  A23 и U123  U12  U 23 .
В
изохорном
процессе
A12  0 ,
и
A123  A23 ;
а
в
1
0
изотермическом процессе U 23  0 и U123  U12 . Поэтому
Q123  U12  A23 .
При
Q123  U12  Q23 .
Изменение
переходе
2  3:
внутренней
3
V
2
To
Q23  U 23  A23  A23 .
энергии
газа
при
2To
3To
T
Следовательно,
переходе
1 2:
3
U 12  RT12 . Поскольку T12  2T0 , то U12  3RT0 . Поэтому: Q123  3RT0  Q23 .
2
A123
Q123

Q23
3RT0  Q23
 0,5 .
Ответ:
A123
Q123
 0,5 .
ЗАДАЧА 6. (10 баллов)
 k
q
R
; r
2
r
5;  
2q
q 5

.
4 o R 5 10 o R
r
R
А
0,5R
q 5
Ответ:  
.
10 o R
ЗАДАЧА 7. (10 баллов)
Ответ:
A
B
F
O
2F
O
F
2F
A
Рис. 2
ЗАДАЧА 8. (10 баллов)
B
В результате фотоэффекта на шарике накапливается положительный заряд, поле
которого тормозит фотоэлектроны. Величина заряда определяется электрической
ѐмкостью шарика и его потенциалом, т.е. q  4 o r   . Максимальный потенциал  max
шарика зависит от начальной кинетической энергии электронов. Так как приращение
кинетической энергии электронов равно работе сил поля шарика, то, принимая потенциал
поля шарика и скорость электронов в бесконечности равными нулю, а также то, что заряд
электрона отрицательный, можно записать
2
WКИН
2
m max
m max
 e max , откуда  max 
 e max , т.е. 
(1)
2
2e
2
m max
 h  A (2) ,
Используя формулу Эйнштейна для фотоэффекта, получим
2
и подставив (2) в (1), получим  max
 max 
6,625  10
1,6  10
19
34
 3  10
 0,14  10
Ответ:  max
8
6
 4,47  8,87  4,47  4,4 B .
c
A


 4,4 B .
e
h
c
A
h  A



.
e
e
h
ЗАДАЧА 9. (12 баллов)
1). До размыкания ключа установившаяся сила тока равна I 
E
R3
( через
резисторы R1 и R2 ток не течет, так как. разность потенциалов на катушке индуктивности
равна нулю).
2). После размыкания ключа электрическая энергия катушки
R1
выделится в виде тепла на резисторах R1 и R2 (через резистор R3 ток
течь не будет): Q 
2
R2
2
LI
LE

.
2
2R 2 3
L
3). Так как резисторы R1 и R2 соединены параллельно, разности
R3
E
потенциалов на них равны: I1 R1  I 2 R2  U .
K
По закону Джоуля Ленца количества теплоты, выделяющиеся в резисторах за небольшой
U2
U2
2
t , Q2  I 2 R2 t 
t .
интервал времени t , равны Q1  I 1 R1 t 
R1
R2
2
Из этих уравнений следует, что Q1 R1  Q2 R2 . Вместе с тем, Q1  Q2  Q . Окончательно
находим Q1 
Q
R
1 1
R2

LE 2

R
2 R 2 3 1  1
 R2





.
1 LE 2
Подставляя R1 = R, R 2 = 2R, R 3 = R, получим Q1 
.
3 R2
Ответ: Q1 
LE 2
.
3R 2
m
ЗАДАЧА 10. (12 баллов)
Пусть  о - скорость шара в момент удара.

M
Так как трение между клином и плитой отсутствует, то вдоль оси x выполняется закон
сохранения импульса:
m o  (m  M ) x
(1), где  x -горизонтальная составляющая
скорости шара после столкновения, равная скорости клина ( в противоположном случае
шар не упадѐт в ту же точку).
Закон сохранения энергии:
m o
2
2

(m  M ) 2 m 2
 x   y (2), где  y вертикальная
2
2
составляющая скорости шара после столкновения с клином. Пусть за время удара t
шарика о клин между ними действовала сила, среднее значение которой равно F. Тогда в
проекциях на координатные оси уравнение второго закона Ньютона для обоих тел будет
иметь вид:

F
y
m y  Ft cos  , (3)

M x  Ft sin  (4).
Из-за
отсутствия
трения

F
сила
направлена

F

О
x
перпендикулярно поверхности клина. Исключив Ft из (3) и (4) , получим выражение
m  y cos 
M
cos 

, откуда  y   x
. (5)
M  x sin 
m
sin 

m
Подставим  y в (2) и преобразуем полученное выражение:
2
2
m o 
2
2
2
2
2
sin 

mo
2
m sin   mM sin   M cos 

Ft
 x 2 (6).
Возведя (1) в квадрат и поделив его на (6), найдѐм искомое соотношение:
2
2
m cos   sin 

 2.
2
M
sin 
Ответ:
m
 2.
M
ВАРИАНТ № 11
З А Д А Ч А 1.
А
Из верхней точки окружности А одновременно начинают
g

B
двигаться две одинаковые бусинки. Одна бусинка падает вдоль
диаметра АD, другая скользит по абсолютно гладкой спице АВ,
вписанной в окружность, составляющей угол  = 600 с
D
вертикалью АD, как показано на рисунке. Найдите отношение
времени, за которое одна бусинка достигнет точки D, ко времени, за которое другая
бусинка достигнет точки В.
З А Д А Ч А 2.
Однородный стержень длины L и массы
шарнирно закреплѐн в точке О. Середина
L
m
L/2
O
L/4
2m
m
стержня опирается на пружину. На стержне
закреплены два маленьких груза массы 2m и m, положения которых показаны на рисунке.
Найдите силу упругости, возникающую в пружине в положении равновесия стержня, если
в этом положении стержень расположен горизонтально. Массой пружины и силами
трения пренебречь.
З А Д А Ч А 3.
Начальная скорость снаряда, выпущенного из пушки вертикально вверх, равна  o =
200 м/с. В точке максимального подъѐма снаряд разорвался на два одинаковых осколка.
Первый осколок упал на землю вблизи точки выстрела, имея скорость в два раза больше
начальной скорости снаряда. На какую максимальную высоту поднялся второй осколок?
Сопротивлением воздуха пренебречь.
З А Д А Ч А 4.
Вокруг горизонтальной оси О может свободно вращаться
2m
1
m
0
…
2L
2
L
легкий рычаг, плечи которого равны 2L и L. На концах рычага
укреплены грузы, массы которых 2m и m. Первоначально рычаг
удерживается в горизонтальном положении, как показано на рисунке.
+
Затем рычаг отпускают без начальной скорости. Определите
линейные скорости грузов в момент прохождения стержнем положения равновесия.
З А Д А Ч А 5.
Теплоизолированный сосуд разделѐн пористой неподвижной перегородкой на две
части. Атомы гелия могут свободно проникать через поры в перегородке, а атомы аргона
– нет. В начальный момент в одной части сосуда находится  He  2 моль гелия, а в
другой   Ar  1 моль аргона. Температура гелия THe  300 K , а температура аргона
TAr  600 K .
Считая аргон и гелий идеальными газами, определите температуру гелия
после установления равновесия в системе.
З А Д А Ч А 6.
+q
Три положительных точечных заряда +q, +q и +2q,
a
связанных между собой нитями, расположены в вершинах
+2q
+q
правильного треугольника со стороной а. После разрыва одной
a
из нитей заряды расположились вдоль одной прямой, как
a
+q
+2q
+q
показано на рисунке. Найдите работу сил электрического поля, необходимую для
перестройки системы расположения зарядов.
F2
F2
F1
З А Д А Ч А 7.
Оптическая
система
состоит
из
А
F1
В
Л1
Л2
рассеивающей Л1 и собирающей Л2 линз с общей главной оптической осью. Главные
фокусы рассеивающей линзы обозначены F1, а собирающей линзы – F2. Постройте
дальнейший ход луча АВ через оптическую систему.
З А Д А Ч А 8.
Найдите максимальный заряд q, который может накопиться на удаленном от
других тел медном шарике радиуса r = 3 cм при облучении его электромагнитным
излучением с длиной волны  = 0,14 мкм. Работа выхода для меди A = 4,47 эВ.
З А Д А Ч А 9.
В схеме, показанной на рисунке, перед замыканием
ключа
К
батарея,
состоящая
из
двух
R1
одинаковых
C
K
E
конденсаторов ѐмкости С каждый, не была заряжена. Ключ
замыкают на некоторое время, в течение которого
R2
конденсаторы зарядились до напряжения U. Определите,
C
какое количество теплоты Q1 выделится за это время на
резисторе
сопротивления
R1 .
ЭДС
источника
тока
равна
E,
его
внутренним
сопротивлением пренебречь.
З А Д А Ч А 10.
Горизонтальный контур образован двумя
замкнутыми
на
катушку
индуктивности
L
B
L
h
o
параллельными проводниками, находящимися на
расстоянии h друг от друга. По проводникам без трения может скользить перемычка.
Контур помещен в вертикальное однородное магнитное поле с индукцией B. В начальный
момент времени неподвижной перемычке сообщают скорость  0 . Определите массу
перемычки и время t1, за которое скорость перемычки уменьшится в два раза, если
известно расстояние S, которое пройдет перемычка до первой остановки. Сопротивлением
всех элементов контура пренебречь.
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА № 11
ЗАДАЧА 1. (8 баллов)
А
Пусть диаметр окружности равен d, т.е. путь, пройденный

B
2
первой бусинкой d 
gt
, тогда время свободного падения бусинки
2
до точки D t1 
2d
. Перемещение второй бусинки AB  d cos  , а
g
еѐ
a  g cos  ,
t2 
ускорение
2 AB

a
2d cos 

g cos 
следовательно,
2d
; t1  t 2 .
g
время
еѐ
движения
D
до
точки
В
Вывод: Бусинки одновременно достигают точек В и D, т.е.
Ответ:
t1
 1.
t2
t1
1
t2
ЗАДАЧА 2. (8 баллов)
Условие равновесия стержня:
 2mg
M
0
( Fi )  0
L
L
L
L
 mg  mgL  T  0 , отсюда
4
2
2
L/2
O
T
L/4
mg
2mg
1
1


T   2mg  mg  mg   2  4mg
4
2


mg
Ответ: T  4mg
ЗАДАЧА 3. ( 10 баллов)
Согласно закону сохранения энергии высоту подъѐма снаряда и второго осколка
можно рассчитать по формулам: mgh 
m o
2
2
, откуда h 
o 2
2g
, m2 ghmax
m
 m2 gh  2 2
2
2
Из закона сохранения энергии определяем начальную скорость первого осколка:
m1 2 o 
2
2
m11
2
2
2
, откуда 1  4 o  2 gh  4 o   o  3 o .
2
2
 m1 gh 
Согласно закону сохранения импульса m11  m2 2 ,
откуда начальная скорость второго осколка после разрыва снаряда  2 
Максимальная высота подъѐма второго осколка hmax 
Ответ: hmax 
2 o
2 o
m11
 o 3 .
m2
2
 8000 м .
g
2
 8000 м
g
2m
ЗАДАЧА 4. (10 баллов)
1
m
0
…
2L
L
2
Пусть скорости грузов в момент прохождения
положения
равновесия
пренебрегая трением,
В
равны
1
и
2 .
Тогда,
соответствии с законом сохранения механической энергии
запишем:
2m1
m 2

 2mg 2 L  mgL , (1)
2
2
2
+
2
Поскольку угловая скорость  вращения грузов одинакова, то
1   2L ,  2  L , 1  2 2 (2).
Подставив (2) в (1), получим 4 2 2 
1
2 2
2
 3gL , 9 2  6 gL .
2
Следовательно, искомые скорости равны:  2 
2 gL
2 gL
; 1  2
.
3
3
2 gL
2 gL
; 1  2
.
3
3
Ответ:  2 
ЗАДАЧА 5. (10 баллов)
1) После установления равновесия в системе, температура
He
Ar
 He  2
 Ar  1
THe  300
TAr  600
обеих частей сосуда станет одинаковой и равной Т, а гелий
равномерно распределится по всему сосуду.
2) Температура в сосуде определяется из закона сохранения
3
3
3
энергии U   He RTHe   Ar RT Ar   He   Ar RT .
2
2
2
Отсюда T 
 HeTHe   Ar TAr 2  300  1  600 600  600


 400 K .
 He   Ar
3
3
Ответ: T  400K
ЗАДАЧА 6. ( 10 баллов)
+q
Работа сил электрического поля, необходимая для
a
перестройки системы, равна убыли потенциальной энергии
+q
взаимодействующих зарядов при изменении конфигурации
a
+q
расположения зарядов A  W1  W2 .
Начальная энергия системы
2
qq
q  2q
2q  q
q
W1  k
k
k
 5k
.
a
a
a
a
2
qq
q  2q
q  2q
q
k
k
 4k
Конечная энергия системы W2  k
.
a
2a
a
a
2
2
2
2
q
q
q
q
A  W1  W2  5k
 4k
k

.
a
a
a
4 o a
Ответ: A 
q
2
4 o a
.
+2q
a
+q
+2q
ЗАДАЧА 7. (10 баллов)
F2
F1
F2
F1
Л1
Л2
ЗАДАЧА 8. (10 баллов)
В результате фотоэффекта на шарике накапливается положительный заряд, поле
которого тормозит фотоэлектроны. Величина заряда определяется электрической
ѐмкостью шарика и его потенциалом, т.е. q  4 o r   . Максимальный потенциал  max , а,
следовательно, и максимальный заряд шарика, зависит от начальной кинетической
энергии электронов. Так как приращение кинетической энергии электронов равно работе
сил поля шарика, то принимая потенциал поля шарика и скорость электронов в
бесконечности равными нулю, а также то, что заряд электрона отрицательный, можно
записать:
2
WКИН
2
m max
m max
 e max , откуда  max 
 e max , т.е. 
(1)
2
2e
2
m max
 h  A (2)
Используя формулу Эйнштейна для фотоэффекта, получим
e
Из (1) и (2) получим  max 
h  A
, и q max
e
c
A
h  A

 4 o r

.
e
e
h
Подставим числовые значения для работы выхода для меди, получим
q  4 o r 
h
c

A
e
 4   o  3  10
Ответ: q  4 o r
h
c

A
e
2


hc
  1,45  10 11 Кл


4
,
47
6


 e  0,14  10

 1,45 10 11 Кл .
ЗАДАЧА 9. (12 баллов)
R1
1) На обоих резисторах выделяется количество теплоты
Q  A  W , где
E
K
2) A  qE  (CBATU2  CBATU1 )E .
Т.к. U1 = 0, U2 = U; СBAT = 2С , то A  2CUE .
C
C
R2
3) W  W2  W1 
2CU 2
 CU 2 -приращение энергии батареи конденсаторов
2
4) Q  2СUE  CU 2 .
5) Так как резисторы соединены параллельно, то Q  Q1  Q2 .
2
2
Q
R
U
U
t , Q2 
6) По закону ДжоуляЛенца Q1 
t , тогда 1  2 .
Q2 R1
R1
R2
7) Из 4) , 5) и 6) находим Q1  Q
Ответ: Q1  CU (2 E  U )
R2
R2
 CU(2E  U)
..
R1  R 2
R1  R 2
R2
.
R1  R2
ЗАДАЧА 10. (12 баллов)
Так как сопротивление контура R = 0, то
L
суммарная ЭДС в контуре должна быть равна нулю.
B
o
h
Значит, суммарный магнитный поток через контур не должен изменяться. Если
перемычка сдвинулась на величину x, и в ней появился ток I, то изменение суммарного
. Отсюда I  
магнитного потока Ф  Bhx  LI  0
Bh
x.
L
B2h2
x.
По закону Ампера сила, действующая на перемычку с током Fx  IBh  
L
Fx
2
2
B h

x.
Ускорение перемычки a x 
m
mL
Из последнего уравнения следует, что перемычка совершает колебательное движение с
круговой частотой  
B h
.
mL
Для колебательного движения максимальная скорость
В нашем случае
max  A .
 max  o - максимальная скорость перемычки,
A = S – амплитуда колебаний, равная расстоянию, которое проходит перемычка до
первой остановки.
Поэтому  o  S 
SBh
Lm
2
. Отсюда найдем m 
2
S B h
L o
2
2
.
Скорость перемычки описывается уравнением   o  cost  ;  
o
.
S
В момент времени t  t1 скорость  
t1 

3
, откуда t1 
Ответ: t1 
o
o
1
  o cos t1 , cos t1  ;
. Тогда
2
2
2
o

S
, где  
. Тогда t1 
.
3 o
S
3
S
.
3 o
ВАРИАНТ № 12
З А Д А Ч А 1. ( 8 баллов )
Точки 1 и 2 движутся равномерно по осям x и y. В момент
времени t = 0 координата точки 1 xo = 2 м, а координата точки 2 yо= 4
м. Первая точка движется со скоростью v1 = 1 м /c. а вторая со
скоростью v2 = 5 м /c. Найдите наименьшее расстояние между точками.
y
2 
2 
1
0
1 x
З А Д А Ч А 2. (8 баллов )
Однородный брусок массы m находится на горизонтальной
2
a
1
b
поверхности в положении 1. Определите величину минимальной работы,
необходимой для перевода бруска в положение 2, если b = 3a.
З А Д А Ч А 3. (10 баллов )
Найдите момент сил приводов в шарнире А механизма робота –манипулятора,
находящегося в равновесии, когда первое звено
расположено
горизонтально,
а
второе
звено
поднято под углом 300 к горизонту. Масса объекта
манипулирования вместе с механизмом захвата,
mc
2
А
o
30
1
C
В
сосредоточенного в точке С, mС  15 кг . Длины
звеньев:  1  0,7 м ,  2  0,5 м . Звенья однородные и их массы соответственно равны
m1  35 кг ; m2  25 кг .
З А Д А Ч А 4. ( 10 баллов )
По трубопроводу, расположенному в горизонтальной плоскости и изогнутому под
прямым углом, подаѐтся топливо, расход которого Q = 10 дм3/ с. Площадь сечения трубы
3
3
S = 50 cм2. Плотность топлива   0,9 10 кг / м . Определите величину минимальной
горизонтальной составляющей силы, которую необходимо приложить к трубе, чтобы она
была неподвижна.
З А Д А Ч А 5. ( 10 баллов )
P
На P - V диаграмме изображены 2 цикла тепловой машины,
3
2
рабочим телом которой является идеальный газ. Определите
1
4
V
коэффициент полезного действия цикла 1-3-4-1, если КПД цикла 12-3-1 равен 8,7 %.
З А Д А Ч А 6. ( 10 баллов )
R1
Сопротивления R1 = 10 Ом и изменяемое сопротивление R
x
U
подключены к источнику постоянного напряжения U = 100 В.
Найдите значение сопротивления R
x
Rx
, при котором на нѐм выделяется максимальная
тепловая мощность, и значение этой мощности.
З А Д А Ч А 7. ( 10 баллов )
Излучение лазера с длиной волны  = 0,4 мкм регистрируется
помощью фотоэлектронного умножителя (ФЭУ), в котором на катоде
воздействием
света
возникает
фотоэлектронная
эмиссия,
и
КАТОД
СВЕТ
под
Д1
электроны, ускоренные электрическим полем, направляются на
вторичные катоды- диноды (Д1, …Дn ), из которых выбивают
с
Д2
Д3
вторичные электроны. Определите величину анодного тока ФЭУ с
числом динодов n = 5, если мощность излучения лазера Р = 1,0 мВт ,
Дn
квантовый выход (т.е. отношение числа выбиваемых из катода
АНОД
электронов к числу фотонов, падающих на катод, К1 = 0,1), а коэффициент вторичной
эмиссии (увеличения количества вторичных электронов) каждого динода К2 = 5.
З А Д А Ч А 8. ( 10 баллов )
Плоско-выпуклая линза с радиусом кривизны R = 50 см имеет оптическую
S
силу 1 дптр. Найдите оптическую силу этой линзы, если посеребрить еѐ
плоскую поверхность. Свет падает на не посеребренную поверхность.
З А Д А Ч А 9. ( 12 баллов )
Аппарат для точечной сварки состоит из магнитного сверхпроводящего накопителя
энергии с индуктивностью L, источника постоянного напряжения Е с внутренним
сопротивлением r и двух сварочных узлов 1 и 2 . Считая, что
E
L
r
1
R
P
2
сопротивления
сварочных
контактов
1
и
2
остаются
2R
постоянными в процессе сварки и равны R и 2R, соответственно,
определите количество теплоты, выделяющееся в узле 1 после
размыкания реле Р.
З А Д А Ч А 10. ( 12 баллов )
Механическая
шариков,
система
соединенных
состоит
между
собой
из
двух
невесомой
V1
m2 V
2
m1
пружиной. Массы шариков равны m 1 = 2m и m 2 = 3m.
В начальный момент пружина не деформирована, шарики удерживаются в одной
горизонтальной плоскости на некотором расстоянии от земли, и им сообщают начальные
скорости: шарику массы m1  скорость v1 = v в вертикальном направлении, а шарику
массы m2  скорость v2 = 2v в горизонтальном направлении. Скорости шариков находятся
в одной плоскости. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите величину импульса
этой системы в момент времени, когда еѐ центр масс достигнет половины максимальной
высоты относительно первоначального уровня.
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА № 12
ЗАДАЧА 1. (8 баллов)
S

2
1

2
  2 t  2( xo1  y o 2 )t  ( xo  y o )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
S  1  5 t  2(2  1  4  5)t  (2  4 )  26t  2  22  t  20  26t  44t  20 (1)


26  2  t  44
dS 1

dt 2
;
2
26t  44t  20
dS
22 11
 0 ; 26  2  t  44  0 ; t 
 c.
dt
26 13
Подставляя найденное значение t в (1), получим
y
2 
2 
0
112 (2  4)
11
11
 11 
 11 
S  26   44  20  26   4  11   20 
 20 
13
13
13
 13 
 13 
Ответ:
2
 20 
2
2  121
 20  18,62  1,38  1,17 м
13
S  1,38  1,17 м
ЗАДАЧА 2. (8 баллов)
2
a
1
b
h
hC 
2
2 2
2
1 2
1 2
a
a b 
a n a 
1 n
2
2
2
1
1 x
2
2
a
a  mga 
a


 1  n  1
A  mg hc    mg  1  n   
2
2
2 

2

A
2
2
mga 
 mga 
 mga
 1  n  1 
 1  3  1 
( 10  1)  1,08mga  1,1mga
2 
2 
2


Ответ: A  1,1mga
ЗАДАЧА 3. (10 баллов)
Чтобы
робот
равновесии,
манипулятор
необходимо
находился
равенство
в
1
нулю
A
( Fi )  0 . . M A  m1 g
mc g
30o
m 1g
звенья манипулятора.
M
C
В
А
суммы моментов всех сил, действующих на
mc
2
m2 g



 m2 g   1  2 cos    mC g ( 1   2 cos  )
2
2


1



0,7
0,5 3 
3 
M A  9,835 
 25 0,7 
 15 0,7  0,5



2
2 2 
2  ;



 9,8(12,25  22,9  16,99)  9,8  52,14  511Нм

1
Ответ: M A  511 Нм .
ЗАДАЧА 4. (10 баллов)

2

p  m  
По второму закону Ньютона
F;
  F (1) ,
t
t


где m  St - масса жидкости, протекающей через сечение трубы за время t . Из
рисунка видно, что    2 . Подставляя полученное выражение в (1), получим
F 
St 2
е
2
  S 2 .
Зная расход жидкости Q, можно найти скорость течения жидкости в трубе  
Окончательно получим F  
Q
S
получим F 
Ответ: F 

0,9  103 10  10 3
50  10 4
Q
2
S
2
2

2
2
Q
S 2
S
2 . Подставляя числовые значения,
2
2  25 H
 25 Н .
ЗАДАЧА 5. (10 баллов)
Q
.
S
P
1=8,7%
2
3
1
4
2
V
1) 1 
A
A
; Q123 
;
Q123
1
2) Q31  Q123  A 
3) 2 
 1  1 
 ; Q13  Q31 .
 A  A
1

 1 
A
A
A1
1
0,087



 0,095 ; .2  9,5% .
Q13
A(1  1 ) 1  1 1  0,087
Ответ:  2 
1
 0,095  9,5% .
1  1
ЗАДАЧА 6. (10 баллов)
1) Тепловая мощность, выделяющаяся на резисторе Rx, равна
2
Px  I Rx , где I 
U
..
R1  R x
R1
2) Искомую величину Rx найдѐм из условия
dPx
dR x
Rx
U
 0,
2
dPx
U
dR x
2
( R1  Rx )  Rx 2( R1  Rx )
( R1  R x )
4
 0 ; R1  2R1 Rx  Rx  2R1 Rx  2Rx  0
2
2
2
 Rx   R1 ; получаем Rx  R1  10 Ом .
2
2
3) Максимальная мощность на сопротивлении Rx
U
2
2
2
U R1
2
U
100

Rx 


 250 Вт Pmax  250 Вт
2
2
4
R
4

10
1
( R1  R x )
(2 R1 )
Pmax
Ответ: Rx =10 Ом; Pmax  250 Вт .
ЗАДАЧА 7. (10 баллов)
СВЕТ
1) Число фотонов, излучаемых лазером в 1 секунду
N
P
P

;
h
hc
Д1
Д2
n
n
2) Величина анодного тока I  N  k1  (k 2 )  e 
e  P    k1  (k 2 )
.
hc
I
19
3
7
 10  4  10  10
6,625  10
34
 3  10
8
1
5
Д3
Дn
Подставив числовые значения, получим
1,6  10
КАТОД
4
3
5  0,322  10  3,125  10  0,1 А
АНОД
n
Ответ: I  N  k1  (k 2 )  e  0,1 А .
ЗАДАЧА 8. (10 баллов)
Если посеребрить плоскую поверхность, то свет, падающий на
линзу, пройдѐт через неѐ, отразится от плоской поверхности и вновь
S
пройдѐт через линзу. Поэтому
D  D1  D2  D1  2D1  D 2 , где D1 оптическая сила линзы, а D2 –плоского зеркала. Так
как D1 =1 дптр, а D2 =0, то D =2 дптр,
Ответ: D =2 дптр
ЗАДАЧА 9. (12 баллов)
E
r
2
1
R
L
1). До размыкания ключа установившаяся сила тока равна I 
2R
P
E
r
( через резисторы R и 2R ток не течет, т.к. разность потенциалов
на катушке индуктивности равна нулю).
2). После размыкания ключа электрическая энергия катушки выделится в виде тепла на
2
2
LI
LE

резисторах R и 2R: Q 
.
2
2
2r
3). Т.к. резисторы R и 2R соединены параллельно, разности потенциалов на них
равны: I1 R  I 2 2R  U . По закону Джоуля Ленца количества теплоты, выделяющиеся в
2
резисторах
за
небольшой
интервал
времени
t ,
равны
U
Q1  I 1 Rt 
t
R
2
2
U
Q2  I 2 2 Rt 
t .
2R
2
Из этих уравнений следует, что Q1 R  Q2  2R . Вместе с тем, Q1  Q2  Q . Окончательно
находим Q1 
Ответ: Q1 
Q
R
1
2R
LE
3r
2
2
.

LE
2
R 

2 r 1 

 2R 
2

LE
3r
2
2
2
1 LE
. Q1 
.
3 r2
ЗАДАЧА 10. ( 12 баллов)
1) В произвольный момент времени t импульс
V1
системы равен
 

p  p o  (m1  m 2 )gt , (1)



где p o  m1 v1  m 2 v 2
m2 V
2
m1
2) Найдем время t  движения центра масс системы до высоты
h
, где h-максимальная
2
v 2 coц
высота подъема центра масс h 
, (2).
2g
Здесь v соц 
m1 v1
(3) – проекция на ось y начальной скорости центра масс.
m1  m 2
Движение центра масс системы вдоль вертикальной оси y описывается уравнениями:
v СY  v COY  gt (4)
v СOY  v CY  2gy (5)
2
2
Примечание. Уравнение (5) получено из закона сохранения механической энергии
( m1  m 2 )
(m  m 2 )
2
2
v COY  1
v CY  (m1  m 2 )gy .
2
2
Подставляя
в
(5)
выражение
для
координаты
y
h v 2 coy

,
2
4g
получим
2
v СY  v COY
2
t 
2
v
v
 2g COY , откуда v СY  COY (6). Подставляя (6) в (4), найдем t  :
4g
2
v COY  v CY v COY

g
g
1 

1 
 (7).
2

3) Запишем уравнение (1) в проекциях на оси координат, подставив в него найденное
выражение для t  и v COY :
p x  m 2 v 2 (8)
p y  m1 v1  (m1  m 2 )gt   m1 v1  (m1  m 2 )g
 m1 v1  ( m1  m 2 )
Итак, p y 
m1 v1
2
v COY 
1 
1 

g 
2
m1 v1 
1  m1 v1
1 

m1  m 2 
2
2
(9)
4) Величина искомого импульса системы p  p x  p y
2
2
(10)
2
Подставляя (8) и (9) в (10), получим p  m 2 v 2
2
2
m v
 1 1
2
2
(11)
Подставляя в (11) заданные в условии значения масс и скоростей системы (m1 = 2m; m2 =
4m 2 v 2
 mv 38 .
3m; v1 = v; v2 = 2v) , получим: p  9m  4v 
2
2
2
4m 2 v 2
 mv 38 .
Ответ: p  9m  4v 
2
2
2
ВАРИАНТ № 13
З А Д А Ч А 1. ( 8 баллов )
Из пункта А, находящегося на шоссе, необходимо за
A
C
D
L
кратчайшее время попасть на машине в пункт В, расположенный
в поле на расстоянии L от шоссе. Известно, что скорость машины
B
по полю в два раза меньше, чем еѐ скорость по шоссе. На каком расстоянии от точки D
следует свернуть с шоссе?
З А Д А Ч А 2. ( 8 баллов )
При освещении дифракционной решетки белым светом спектры второго и третьего
порядков накладываются друг на друга. На какую длину волны в спектре второго порядка
накладывается фиолетовая линия (  ф = 400 нм ) спектра третьего порядка?
З А Д А Ч А 3. ( 10 баллов )
Струя воды, площадь сечения которой S = 6 см 2, ударяется о стену под углом  =
60о к нормали и упруго отскакивает от стены без потери скорости. Найдите силу,
действующую на стену со стороны струи, если известно, что скорость течения воды в
струе V = 12 м/c. Плотность воды  = 10 3 кг/м3 .
З А Д А Ч А 4. ( 10 баллов )
Тонкостенный цилиндр массы m и радиуса R раскрутили
R
вокруг его оси до угловой скорости  и поместили затем в угол.
Коэффициент трения между стенками угла и цилиндром равен k.
Сколько оборотов сделает цилиндр до остановки ?
З А Д А Ч А 5. ( 10 баллов )
Определите
2k
2m
m
4k
максимальную
амплитуду
гармонических колебаний системы, состоящей из двух
брусков и двух невесомых пружин, при которой бруски
будут
совершать
колебания
по
горизонтальной
плоскости без проскальзывания относительно друг друга. Жесткость пружин 2k и 4k.
Масса нижнего бруска m, верхнего – 2m, коэффициент трения между брусками равен .. В
положении равновесия пружины не деформированы. Трение между нижним бруском и
плоскостью отсутствует.
З А Д А Ч А 6. ( 10 баллов )
Определите
отношение
коэффициентов
полезного
действия двух циклических процессов, проведенных с  моль
идеального одноатомного газа: первый процесс 1- 2- 4- 5- 1,
P
3P
4
3
2
o
2Po
5
1
Po
6
7
второй — 3- 4- 6- 7- 3, если известно, что во втором процессе
Vo 2Vo 3Vo V
газу было передано количество теплоты Q 2 =13,5 RTo , где То
–температура газа при давлении Po и объеме Vo .
З А Д А Ч А 7. ( 10 баллов )
В системе, состоящей из двух концентрических проводящих сфер
+2q
3R
R
радиусами R и 3R, внутренняя сфера соединена с землей через
#
R
q
источник ЭДС, равной Е. Заряд внешней сферы равен +2q. На
расстоянии 2R от центра системы находится точечный заряд q. Зная

+
величины q, Е, R, определите заряд внутренней сферы. Потенциал
E
земли принять равным нулю.
З А Д А Ч А 8. ( 10 баллов )
Плоско-
выпуклая
тонкая
линза
с
фокусным
расстоянием F = 40 см плоской стороной вплотную
прилегает к плоскому зеркалу. На оптической оси линзы на
S
d
расстоянии d = 10 см от зеркала находится светящаяся точка
S.
На каком расстоянии от зеркала расположено изображение точки?
З А Д А Ч А 9. ( 12 баллов )
К
L
Заряженный конденсатор ѐмкости С через ключ К подключен к
двум параллельным соединенным катушкам с индуктивностями L
2L
С
и 2L. В начальный момент времени ключ разомкнут. Если
замкнуть ключ К , то через катушки потекут токи. Максимальный
ток, протекающий через катушку L, оказался равным I1 Найдите первоначальный заряд q
на конденсаторе. Сопротивлениями катушек пренебречь.
З А Д А Ч А 10. ( 12 баллов )
Два маленьких шарика, массы 3m каждый, соединены
3m
+q

g
жестким невесомым изолирующим стержнем длины L и
размещены вертикально в углу, образованном гладкими

E
3m
+2q
u
плоскостями. Верхний шарик имеет заряд, равный +q, а нижний заряд +2q. В
пространстве,
где
находятся
шарики,
создано
однородное
электрическое
поле
напряженности Е, силовые линии которого направлены вертикально вниз. Нижний шарик
смещают вдоль нормали к вертикальной плоскости на очень маленькое расстояние, и
гантель начинает двигаться. Найдите скорость нижнего шарика в тот момент, когда
верхний шарик оторвется от вертикальной плоскости.
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА № 13
ЗАДАЧА 1. (8 баллов)
S
Пусть AD = S, CD= x, скорость движения машины по шоссе
x
равна  ,. скорость движения машины по полю равна  / 2 .
Тогда общее время движения из пункта А до пункта В равно
t
Sx

2
2
2
A
D
C
L
B
2
L x
S x2 L x


.
/2

Минимальное значение функция t (x) принимает при t ( x)  0 .
t ( x) 

1
2  2x

1

2
2
 
2 L x

t ( x)  0 ;
2
т.е.
2


2x
 1


1

  
2
2
L x



1
2x
1

2
2

L x

2
2
L  x  2 x ; 3x  L ; x 
L
; СD 
3
Ответ: СD 
L
3


  0 ;



 ;

1
2
L x
L
 0,58L .
3
 0,58L .
ЗАДАЧА 2. (8 баллов)
d sin   k 2 X  3Ф , откуда  X 
Ответ:  X 
3
Ф  600нм .
2
ЗАДАЧА 3. (10 баллов)
p x  Ft , px  2mv cos  , где
2
2x
3
3
Ф  400  600нм .
2
2
2
 0;
2
 L  x  2x
2
L x
2
 0;
F  2Sv 2 cos 60o F  2  103  6  104  122  0,5  86 H
Ответ: F  2Sv 2 cos 60 o  86 H .
ЗАДАЧА 4. (10 баллов)
Т.к. центр масс цилиндра неподвижен, то

F
i
 0 или в проекциях на оси x, y:
FTP1  N 2  0
N1  FTP 2

(1),
 mg  0
y
FTP1  N1 
(2)
FTP 2  N 2 
где силы трения скольжения
FTP2
R
N2
mg
N1
Из (1) (2) следует
FTP1
 
F

F

mg
FTP1  TP 2  0
TP1

1 2 


 , откуда
FTP1
2 

 FTP 2  mg  0
FTP 2  mg


1 2 

x
Согласно ТКЭ для цилиндра получим
2 R
(1  )
m2 R 2
(1  )
 (FTP1  FTP 2 )2Rn  2Rnmg
 2ng
, т.е.
2
2
2
1 
1 2
Из
n
последнего
равенства
находим
число
оборотов
цилиндра
до
остановки
2 R (1   2 )

.
4g (1  )
Ответ: n 
2 R (1   2 )

4g (1  )
ЗАДАЧА 5. (10 баллов)
1) Квадрат циклической частоты
колебательной системы 
2
2k
k

m
i
i
2k  4k 2k


2m  m m
2m
4k
m
2). Если бруски колеблются не проскальзывая относительно друг друга, то верхний брусок
движется под действием силы трения покоя , максимальная величина которой равна силе
трения скольжения, т.е. FTP .max .    2mg . Эта сила создает максимальное ускорение
 2mg
верхнего бруска a max . 
FTP .max
равно a max  A   , т.е.
g  A 2 .
2
2m

Откуда амплитуда колебаний A 
Ответ: A 
2m
 g , которое в случае гармонических колебаний
g mg
.

2k
2
mg
2k
P
ЗАДАЧА 6. (10 баллов)
1 A1Q 2 Q 2


, поскольку A 1 = A 2
 2 Q1 A 2 Q1
3Po
2
2Po
1
3
4
5
Po
7
Vo
Q1 = Q 1-2 + Q 2-4 = ΔU1-2+ ΔU2-4+A2-4;
6
2Vo 3Vo
V
Q2 = ΔU7-3+ ΔU3-4+A3-4
3
3
3
3
18
U 1-2  R (T2  T1 )  R (3To  2To )  RTo ; U 2  4  R (9To  3To )  RTo
2
2
2
2
2
A2-4 = 6PoVo . Т.к. PoVo = RTo, то A2-4 = 6RTo
Q1 
3
RTo  9RTo  6RTo  16,5RTo
2
По условию Q 2  13,5RTo , тогда
Ответ:
1 Q 2 13,5RTo


 0,82
2
Q1 16,5RTo
1 Q 2

 0,82
 2 Q1
ЗАДАЧА 7. (10 баллов)
+2q
Согласно принципу суперпозиции , потенциал внутренней
сферы равен    E 
Q
4 o R

3R
R
q
2q

, откуда
4 o  2 R 4 o 3R
#
R
q
находим искомый заряд внутренней сферы

+
1 

Q   4 o RE  q  .
6 

1 

Ответ: Q   4 o RE  q 
6 

ЗАДАЧА 8. (10 баллов)
S
d
E
Свет, падающий на эту оптическую систему, проходит через линзу. Следовательно,
оптическая сила системы
D  D1  D2  D1  2D1  D 2 ,
где D1-оптическая сила линзы,
D2-оптическая сила зеркала.
Так как D1 
D
1
, а D2 = 0, то оптическая сила системы линза – зеркало
F
2
2
F

 5 дптр . Так как d 
, то изображение точки S будет мнимым.
F 0,4
2
Используя формулу линзы D 
Ответ: f 
d
0,1
1 1

 0,2 м
 , найдем f 
d f
1 - d  D 1  0,1  5
d
 0,2 м
1 - dD
ЗАДАЧА 9. (12 баллов)
В момент, когда токи через катушки достигают максимума,
вся энергия, ранее запасѐнная в конденсаторе, переходит в
2
2
К
2L
L
С
2
I1
I
q
 2L 2 
энергию магнитного поля токов: L
, (1)
2
2
2C
Так как катушки включены параллельно, то после замыкания ключа К ЭДС индукции на
катушках должны быть равны между собой: L
I1
I 2
 2L
.
t
t
Кроме того, начальные значения токов в момент замыкания ключа равны нулю,
следовательно, для момента, когда токи в катушках достигают максимальных значений,
выполняется соотношение: L I1  2 L I 2 . (2).
Из уравнений (1). (2) получим q  I1
Ответ: q  I1
CL ( L  2 L )
2L
 I1
LC  3L
3
 I1
LC
2L
2
3
LC .
2
3m
+q
ЗАДАЧА 10. (12 баллов)

E
Δh
Пусть в момент отрыва верхнего шарика от вертикальной
плоскости гантелька составляет угол  с вертикалью,
скорость верхнего шарика равна V, скорость нижнего – u.
Согласно закону сохранения энергии


g
v
3m
+2q
u
3mV 2 3mu 2

 3mgh  qEh  (3mg  qE ) L(1  cos  ),
2
2
2
2
или V  u 
2(3mg  qE )
L1  cos   (1)
3m
(m-масса каждого шарика; q-заряд верхнего шарика, V, u, g , Е– модули соответствующих
векторов).
Поскольку стержень жесткий, V cos   u sin  . Следовательно, V  u
2
Подставляя (2) в (1) получим u
sin 
(2)
cos 
2(3mg  qE )
sin 2 
u2 
L1  cos  
2
3m
cos 
До момента отрыва центр масс гантельки двигался с горизонтальным ускорением ( это
ускорение сообщалось силой реакции вертикальной стенки). Поэтому к моменту отрыва
верхнего шарика от вертикальной стенки скорость u ( а, следовательно, и горизонтальная
составляющая скорости) максимальна. Найдем значение cos, при котором выражение
cos 2   cos 3 
x
2
(смотри

 x 3  2 x  3x 2  0

формулу
(3))
при x = 2/3 , т.е. cos = 2/3.
Подставив это значение cos  в (3), найдем:
u
2 2 (3mg  qE ) L 2 2(3mg  qE ) L

.
3 3
3m
9
m
Ответ: u 
2
9
максимально:
2(3mg  qE)L
m
Обозначим
x  cos   .