Основные формулы и определения

6 Молекулярная физика и термодинамика
Основные формулы и определения
● Скорость каждой молекулы идеального газа представляет собой случайную величину. Функция плотности распределения вероятности случайной величины имеет вид:
f (v) = dN / (N·dv),
где dN / (N·dv) - доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от v до (v+dv) в расчете на единицу этого интервала. Площадь, ограниченная графиком функции распределения f(v) и осью абсцисс, численно
равна единице, так как функция распределения удовлетворяет условию
нормировки.
● Для молекул идеального газа функция плотности распределения вероятности молекул по скоростям (распределение Максвелла) представляет собой
кривую с максимумом. Максимум функции распределения приходится на значение скорости, называемой наиболее вероятной, которая равна:
v вер =
,
где k - постоянная Больцмана, Т – абсолютная (или термодинамическая)
температура, - масса молекулы. Эту формулу можно записать в другом
виде:
v вер =
,
где R – газовая постоянная, μ – молярная масса.
● Числом степеней свободы называется число независимых координат,
полностью определяющих положение системы (молекулы или атома) в
пространстве. Полное число степеней свободы складывается из числа
степеней свободы поступательного, вращательного и удвоенного числа
степеней свободы колебательного движения:
i= iпост. + iвращ + 2∙i колеб
Для одноатомной молекулы i= iпост = 3, . Для многоатомной молекулы,
если не учитывать колебательное движение, то полное число степеней
свободы равно: i= iпост. + iвращ =3 +3 =6. Для двухатомной молекулы, если
не учитывать колебательное движение, то i = iпост.+ iвращ = 3+2 =5, т.к.
вращением относительно оси, проходящей через центр тяжести двух молекул, пренебрегают.
● Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева – Клапейрона) имеет вид:
116
p∙V= ν∙RT,
где p – давление, V- объем, T – термодинамическая температура, ν – количество вещества, R = 8.31 Дж/(моль∙К) – газовая постоянная.
● Изобарным называется процесс, протекающий при постоянном давлении
(p = const), изохорным – при постоянном объёме (V = const), изотермическим –
при постоянной температуре (T = const), адиабатным называется процесс,
протекающий без теплообмена с окружающей средой (Q =0).
● Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты, подводимое к системе, затрачивается на изменение внутренней энергии системы
и работу, совершаемую системой против внешних сил:
Q= ∆U + A.
● Изменение внутренней энергии идеального газа равно:
∆U=(i/2)∙ ν∙R∙∆T,
где i – число степеней свободы, ∆ T – изменение температуры.
●Работа, совершаемая системой против внешних сил при изобарном процессе равна произведению давления на изменение объёма:
А = р∙∆V.
При изохорном процессе А =0, т.к. ∆V=0 при V= const.
Работа, совершаемая за цикл, численно равна площади замкнутой фигуры, изображаемой на (р,V) – диаграмме.
● Молярная теплоемкость при постоянном объёме равна: С v= (i/2)∙R.
Молярная теплоёмкость при постоянном давлении равна: С p = (i + 2)∙R/2.
● Изменение энтропии равно отношению теплоты, полученной или отданной
телом, к абсолютной температуре тела:
ΔS= Q / T.
● Любой тепловой двигатель работает по замкнутому циклу. Коэффициент полезного действия тепловой машины равен: η = A/ Q1 , где A- полезная работа, совершенная за цикл, Q1 – теплота, полученная от нагревателя при температуре нагревателя Т1. Коэффициент полезного действия цикла Карно вычисляется по формуле: η = (Т1 – Т2)/Т1 , где Т2 – температура холодильника..
117
Тест 6 – 1
На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального
газа по скоростям (распределение Максвелла), гдеf (v) = dN / (N·dv) - доля молекул,
скорости которых заключены в интервале скоростей от v до (v+dv) в расчете на
единицу этого интервала. Верным утверждением является ...
Варианты ответов:
1) Площадь заштрихованной полоски с
ростом температуры будет уменьшаться.
2) С ростом температуры максимум кривой смещается влево.
3) С ростом температуры площадь под
кривой растет.
Решение.
Начнём с анализа третьего утверждения. Площадь, ограниченная графиком функции распределения f(v) и осью абсцисс, численно равна единице, так
как функция распределения удовлетворяет условию нормировки. Следовательно, с изменением температуры площадь остается постоянной, поэтому
третье утверждение является неверным.
Проанализируем второе утверждение. Максимум функции распределения приходится на значение скорости, называемой наиболее вероятной,
которая равна: v вер =
, где k - постоянная Больцмана, Т – абсо-
лютная температура, - масса молекулы. Из этой формулы следует, что
с ростом температуры максимум кривой смещается вправо, а не влево.
Поэтому второе утверждение также неверно.
Рассмотрим первое утверждение. Площадь заштрихованной полоски
приблизительно равна площади параллелограмма, которая равна произведению основания на высоту, т.е. f(v)∙dv. Но значение f(v) уменьшается с
ростом температуры, так как эта функция удовлетворяет условию нормировки, а значение dv остаётся неизменным, поэтому их произведение
уменьшается, и площадь заштрихованной полоски с ростом температуры
будет уменьшаться. Следовательно, утверждение 1 является верным.
Ответ: вариант 1.
118
Тест 6 – 2
На рисунке теста 6 – 1 представлен график функции распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где
f (v) =dN / (N·dv) - доля молекул, скорости которых заключены в интервале
скоростей от v до (v+dv) в расчете на единицу этого интервала.
Если, не меняя температуры и числа молекул, взять другой газ с большей
молярной массой, то...
Варианты ответов:
1) площадь под кривой увеличится;
2) максимум кривой сместится вправо в сторону больших скоростей;
3) максимум кривой сместится влево в сторону меньших скоростей.
Решение.
Начнём с анализа первого утверждения. Площадь, ограниченная графиком
функции распределения f(v) и осью абсцисс, численно равна единице, так как
функция распределения удовлетворяет условию нормировки. Следовательно, с
изменением массы молекулы площадь остается постоянной, поэтому первое
утверждение является неверным.
Рассмотрим два других утверждения. Максимум функции распределения
приходится на значение скорости, называемой наиболее вероятной. Наиболее
вероятная скорость равна: v вер =
, где
- постоянная Больцмана, Т –
абсолютная (или термодинамическая) температура,
- масса молекулы. Эту
формулу можно записать в другом виде: v вер =
, где R – газовая посто-
янная, μ – молярная масса. Из этой формулы следует, что с ростом молярной
массы максимум кривой смещается влево, а не вправо. Поэтому второе утверждение также неверно. Следовательно, верным является третье утверждение.
Ответ: вариант 3.
Задание С6-1 для самостоятельного решения.
На рисунке теста 6 – 1 представлен график функции распределения
молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где
f (v) = dN / (N·dv) - доля молекул, скорости которых заключены в интервале
скоростей от v до (v+dv) в расчете на единицу этого интервала. Для этой
функции верным утверждением является...
119
Варианты ответов:
1) при понижении температуры максимум кривой смещается влево;
2) при понижении температуры величина максимума уменьшается;
3) при понижении температуры площадь под кривой уменьшается.
Задание С6-2 для самостоятельного решения.
На рисунке теста 6 – 1 представлен график функции распределения
молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла),
где f (v) = dN / (N·dv) - доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от v до (v+dv) в расчете на единицу этого интервала. Для
этой функции верным утверждением является...
Варианты ответов:
1) с ростом температуры площадь кривой изменяется;
2) при понижении температуры величина максимума уменьшается;
3) положение максимума зависит от природы газа (массы молекул).
Задание С6-3 для самостоятельного решения.
Для функции распределения Максвелла верным утверждением является..
Варианты ответов:
1) при понижении температуры величина максимума растет;
2) при изменении температуры площадь под кривой изменяется;
3) при любом изменении температуры положение максимума не меняется.
Задание С6-4 для самостоятельного решения.
На рисунке теста 6 – 1 представлен график функции распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где
f (v) = dN / (N·dv) - доля молекул, скорости которых заключены в интервале
скоростей от v до (v+dv) в расчете на единицу этого интервала.
Если, не меняя температуры и числа молекул, взять другой газ с меньшей
молярной массой, то для этой функции верным утверждением является...
Варианты ответов:
1) максимум кривой сместится влево в сторону меньших скоростей;
2) максимум кривой сместится вправо в сторону больших скоростей;
3) площадь под кривой уменьшится.
120
Тест 6 – 3
В трех одинаковых сосудах при равных условиях находится одинаковое количество водорода, гелия и азота
Распределение скоростей молекул водорода будет описывать кривая...
Варианты ответов: 1) кривая 1;
2) кривая 2;
3) кривая 3.
Решение.
Функция распределения молекул по скоростям представляет собой кривую с максимумом.
Максимум функции распределения приходится на значение скорости,
называемой наиболее вероятной, которая равна: v вер =
, где k - по-
стоянная Больцмана, Т – абсолютная (или термодинамическая) температура, - масса молекулы. Из этой формулы следует, что с ростом температуры или с уменьшением массы молекулы максимум кривой смещается
вправо. Поскольку молекула водорода обладает наименьшей массой, то при
одинаковых температурах максимум функции распределения имеет наибольшее (из трех графиков) смещение вправо. Следовательно, распределение скоростей молекул водорода будет описывать кривая 3.
Ответ: вариант 3.
121
Задание С6-5 для самостоятельного решения.
В трех одинаковых сосудах при равных условиях находится одинаковое количество водорода Н 2, гелия Не и азота N 2.
Распределение скоростей молекул азота (смотрите рисунок теста 6 – 3) будет
описывать кривая…
Варианты ответов: 1) кривая 1;
2) кривая 2;
3) кривая 3.
Задание С6-6 для самостоятельного решения.
В трех одинаковых сосудах при равных условиях находится одинаковое количество водорода Н 2, гелия Не и азота N 2.
Распределение скоростей молекул гелия ( смотрите рисунок теста 6 – 3) будет
описывать кривая…
Варианты ответов: 1) кривая 1;
2) кривая 2;
3) кривая 3.
Тест 6 - 4
В трех одинаковых сосудах при равных условиях находится одинаковое количество водорода, гелия и азота
Распределение проекций скоростей
молекул водорода на произвольное
направление X будет описывать кривая...
Варианты ответов:
1) кривая 3;
2) кривая 2;
3) кривая 1.
122
Решение.
Распределение проекций скоростей молекул на произвольное направление X будет описывать функция f (vx ) =
∙ e xp ( - m vx2 /(2 k Т)), где число
exp = е =2,71…называется экспонентой, а в скобках стоит показатель степени
экспоненты. При значении скорости vx = 0 функция распределения имеет максимум, значение которого равно: f (0) =
, где k - постоянная Больцмана, Т – абсолютная (или термодинамическая) температура, - масса молекулы. Из этой формулы следует, что значение f (vx =0) тем больше, чем больше
масса молекулы и меньше температура газа. Так как по условию задачи одинаковое
число молекул находится в трёх сосудах в одинаковых условиях, то при одинаковых
температурах, чем меньше масса молекулы, тем меньше максимальное значение
функции f (vx). Массу молекулы можно определить с помощью таблицы Менделеева.
Масса молекулы, измеренная в атомных единицах массы, для водорода (H 2 ) равна
m = 2 а.е.м., для гелия (Не) m = 4 а.е.м., для азота ( N 2 ) m =14∙2 = 28 а.е.м. Так
как молекула водорода обладает наименьшей массой, то распределение проекций
скоростей молекул водорода на произвольное направление x будет описывать кривая
3.
Ответ: вариант 1.
Тест 6 – 5
В трех одинаковых сосудах находится одинаковое количество газа,
причем, Т1 >Т2 >Т3 .
Распределение проекций скоростей молекул водорода на произвольное
направление X для молекул в сосуде с температурой T1 будет описывать …
Варианты ответов: 1) кривая 2;
2) кривая 3; 3) кривая 1.
123
Решение
Распределение проекций скоростей молекул на произвольное направление x будет
описывать функция f (vx ) =
∙ exp ( - m vx2 /(2 k Т)). При значении скорости vx = 0 функция распределения имеет максимум, значение которого равно
f (0) =
, где k - постоянная Больцмана, Т – аб-
солютная (или термодинамическая) температура, - масса молекулы. Из
этой формулы следует, что f (vx =0) будет тем больше, чем больше масса молекулы и меньше температура газа. Так как по условию задачи одинаковое число молекул водорода находится в трёх сосудах при различных температурах,
то чем больше температура газа, тем меньше максимальное значение функции
f (vx). Следовательно, распределение проекций скоростей молекул водорода на
произвольное направление X при наибольшей температуре Т1 будет описывать
кривая 3.
Ответ: вариант 2.
Тест 6 – 6
Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа при температуре
T равна ‹ε› = (i /2)·k T. Здесь i= iпост. + iвращ + 2∙i колеб ,
где - iпост. , iвращ , i колеб - число степеней свободы поступательного, вращательного и колебательного движений молекулы. При условии, что имеют
место только поступательное и вращательное движение, для водяного пара
(Н2О) число i равно ...
Варианты ответов:
1) 7;
2) 5;
3) 6;
4) 2.
Решение.
Числом степеней свободы называется число независимых координат,
полностью определяющих положение системы (молекулы или атома) в
пространстве.
Для определения положения центра тяжести молекулы в пространстве
нужно задать три координаты: x,y,z. Поэтому число степеней свободы
поступательного движения iпост = 3. Заметим, что одноатомную молекулу
можно считать материальной точкой, поэтому для такой молекулы i = 3.
Для определения положения многоатомной молекулы в пространстве при
её вращательном движении тоже нужно задать 3 числа, так как враще124
ние происходит относительно трёх осей координат, поэтому число степеней свободы вращательного движения iвращ =3. Однако, если молекула состоит из двух атомов, то вращением относительно оси, проходящей через центр тяжести двух молекул, пренебрегают, поэтому двухатомная
молекула имеет 2 степени свободы вращательного движения.
Если не учитывать колебательное движение, то величина i представляет собой сумму числа степеней свободы поступательного и вращательного движения молекулы: i = iпост + iвращ .
Молекула водяного пара (Н2О) состоит из трёх атомов, поэтому она имеет три степени свободы поступательного движения (iпост = 3) и три степени
свободы вращательного движения (iвращ =3). Полное число степеней свободы
i = iпост + iвращ =3+3=6.
Ответ: вариант 3.
Задание С6-7 для самостоятельного решения.
Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа при
температуре T равна ‹ε› = (i /2)·k T. Здесь
i= iпост. + iвращ + 2∙i колеб ,
где iпост. , iвращ и i колеб - число степеней свободы поступательного, вращательного и колебательного движений молекулы. При условии, что имеют
место только поступательное и вращательное движение, для молекулы водорода (Н2) число i равно ...
Варианты ответов:
1) 7;
2) 5;
3) 6;
4) 2.
Задание С6-8 для самостоятельного решения.
Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа при температуре T равна ‹ε › = (i /2)·k T . Здесь i= iпост. + iвращ + 2∙i колеб ,
где iпост. , iвращ и i колеб - число степеней свободы поступательного, вращательного и колебательного движений молекулы. Для атомарного водорода (Н) число i равно ...
Варианты ответов: 1) 7;
2) 1;
125
3) 5;
4) 3.
Задание С6-9 для самостоятельного решения.
Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа при температуре T равна ‹ε› = (i /2)·k T . Здесь i= iпост. + iвращ + 2∙i колеб ,
где iпост. , iвращ и i колеб - число степеней свободы поступательного, вращательного и колебательного движений молекулы. Для гелия (Не) число i равно ...
Варианты ответов: 1) 7;
2) 1;
3) 5;
4) 3.
Тест 6 – 7
Средняя кинетическая энергия молекул газа при температуре Т зависит от их
структуры, что связано с возможностью различных видов движения атомов в
молекуле. Средняя кинетическая энергия молекул гелия (Не) равна ...
Варианты ответов: 1) 7 kT/2;
2) 5 kT/2;
3)
kT/2;
4)
3kT/2.
Решение.
Средняя кинетическая энергия молекулы равна: <ε> = (i /2)∙k T, где i –
число степеней свободы, k – постоянная Больцмана, T- абсолютная (или
термодинамическая) температура. Величина i представляет собой сумму
числа степеней свободы поступательного, вращательного и удвоенного
числа степеней свободы колебательного движения молекулы: i = iпост +
iвращ + 2∙iколеб . Молекула гелия состоит из одного атома, поэтому она имеет три степени свободы поступательного движения (i = 3), и средняя кинетическая энергия молекулы гелия равна: <ε> = 3∙k T/ 2.
Ответ: вариант 4.
Тест 6 – 8
Средняя кинетическая энергия молекул газа при температуре Т зависит от
их структуры, что связано с возможностью различных видов движения атомов в молекуле. При условии, что имеют место только поступательное и
вращательное движение, средняя энергия молекул водяного пара (Н2О) равна ... Варианты ответов: 1) 3kT/2;
2) 3kT;
3) 7kT/2;
4) 5kT/2.
126
Решение.
Средняя кинетическая энергия молекулы равна: ‹ε›= (i /2)∙k T, где i –
полное число степеней свободы, k – постоянная Больцмана, T- абсолютная
(или термодинамическая) температура. Величина i представляет собой
сумму числа степеней свободы поступательного и вращательного движения молекулы: i = iпост + iвращ. Молекула водяного пара (Н2О) состоит
из трёх атомов, поэтому она имеет три степени свободы поступательного движения (iпост = 3) и три степени свободы вращательного движения
(iвращ =3). Полное число степеней свободы i = iпост + iвращ =3+3=6. Поэтому средняя кинетическая энергия молекулы воды равна: ‹ε>= (6 /2)∙k
T=3∙k T.
Ответ: вариант 2
Задание С6-10 для самостоятельного решения.
Средняя кинетическая энергия молекул газа при температуре Т зависит от
их структуры, что связано с возможностью различных видов движения атомов в молекуле. При условии, что имеют место только поступательное и
вращательное движение, средняя энергия молекул азота (N2) равна ...
Варианты ответов: 1) 5kT/2;
2) 3kT/2;
3) 7kT/2;
4) kT/2.
Тест 6 – 9
Состояние идеального газа определяется значениями параметров: p∙V= ν∙RT,
где Т - термодинамическая температура, р - давление, V -объем газа. Определенное количество газа перевели из состояния (p0,V0) в состояние (2p0,V0). При
этом его внутренняя энергия...
Варианты ответов: 1) уменьшилась; 2) не изменилась; 3) увеличилась.
Решение.
Внутренняя энергия идеального газа равна: U=(i/2)ν∙RT, где i – число
степеней свободы, ν – количество вещества, R = 8.31 Дж/(моль∙К) – газовая постоянная. Из уравнения Менделеева – Клапейрона следует: p∙V= ν∙RT.
Тогда U= (i/2) p∙V. Отсюда следует: U1= (i/2) p0∙V0 и U2= (i/2)∙2 p0∙V0.
Таким образом , U2 > U1, т.е. внутренняя энергия увеличилась.
Ответ: вариант 3.
127
Задание С6-11 для самостоятельного решения.
Внутренняя энергия одного моля двухатомного газа при повышении
температуры в 2 раза …
Варианты ответов:
1) увеличится в 2 раза; 2) уменьшится в 2 раза; 3) не изменится.
Тест 6 – 10
Молярные теплоемкости гелия в процессах 1-2 и 1-3 равны C1 и С2 соответственно. Тогда C1/C2 составляет...
Варианты ответов:
1) 5/7;
2) 3/5;
3) 5/3;
4) 7/5.
Решение.
Процесс 1 – 2 происходит при постоянном объёме. Молярная теплоемкость при постоянном объёме равна С1 = (i/2)∙R. Процесс 1 – 3 происходит
при постоянном давлении. Молярная теплоёмкость при постоянном давлении равна С2 = (i + 2)∙R/2. Отношение С1 /С2 = i /(i +2). Так как гелий – это
одноатомный газ, то для него i =3. Тогда С1 /С2 = 3/(3+2) = 3/5.
Ответ: вариант 2.
Задание С6-12 для самостоятельного решения.
Состояние идеального газа изменяется в соответствии с рисунком,
представленном в тесте 6 – 10. Отношение молярной теплоёмкости кислорода (О2) при постоянном давлении С2 к молярной теплоёмкости при постоянном объёме С1 равно…
Варианты ответов:
1) 5/7;
2) 4/3;
128
3) 5/3;
4) 7/5.
Тест 6 – 11
В соответствии с первым началом термодинамики для
процесса в идеальном газе, график которого представлен
на рисунке, справедливо соотношение …
Варианты ответов:
1) Q>0; ∆U>0; A=0.
2)
Q <0; ∆U <0; A=0.
3) Q< 0; ∆U>0; A=0.
4)
Q>0; ∆U <0; A=0.
Решение.
Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты, подводимое к системе, затрачивается на изменение внутренней энергии системы и работу, совершаемую системой против внешних сил: Q= ∆U + A.
Изменение внутренней энергии идеального газа равно:
∆U=(i/2)∙ ν∙R∙∆T, где i – число степеней свободы, T – термодинамическая
температура, ν – количество вещества, R = 8.31 Дж/(моль∙К) – газовая
постоянная.
Работа, совершаемая системой против внешних сил при изобарном (р =
const) процессе равна произведению давления на изменение объёма: А
=р∙∆V, а при изохорном (V = const) процессе работа равна нулю.
Из графика, приведенного в тесте 6-11, видно, что объём остаётся постоянным, т.е.процесс изохорный (V = const и ∆V=0), поэтому А = 0. Из
графика также следует, что температура увеличивается, т.е. система
нагревается и изменение температуры ∆T>0, поэтому ∆U>0. Если температура системы увеличивается, то это значит, что система получает
тепло и Q>0. Следовательно, в соответствии с первым началом термодинамики для процесса в идеальном газе, график которого представлен на
рисунке, справедливо соотношение: Q>0, ∆U>0, А = 0. Ответ: вариант 1.
129
Тест 6 – 12
Если ∆U - изменение внутренней энергии идеального газа, А - работа газа,
Q - количество теплоты, сообщаемое газу, то для адиабатного расширения газа
справедливы соотношения...
Варианты ответов: 1) Q>0; A >0; ∆U =0.
2)
3) Q=0; A< 0; ∆U>0 . 4)
Q <0; A <0; ∆U =0.
Q=0; A>0; ∆U <0.
Решение
Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты,
подводимое к системе, затрачивается на изменение внутренней
энергии системы и работу, совершаемую системой против внешних
сил: Q= ∆U + A. При адиабатном процессе количество теплоты,
подводимое к системе, равно нулю: Q = 0, поэтому ∆U + A = 0. Так
как при расширении работа положительна, т.е. A > 0, то ∆U< 0,
что соответствует варианту 4.
Ответ: вариант 4.
Задание С6-13 для самостоятельного решения.
Если ∆U - изменение внутренней энергии идеального газа, А - работа
газа, Q - количество теплоты, сообщаемое газу, то для изотермического расширения газа справедливы соотношения...
Варианты ответов:
1) Q > 0; А > 0; ∆U = 0;
2) Q < 0; A < 0; ∆U = 0;
3) Q = 0; А < 0; ∆U > 0;
4) Q > 0; А > 0; ∆U< 0
130
Задание С6-14 для самостоятельного решения.
Если ∆U - изменение внутренней энергии идеального газа, А - работа газа, Q - количество теплоты, сообщаемое газу, то для изобарного нагревания
газа справедливы соотношения...
Варианты ответов:
1) Q > 0; А > 0; ∆U > 0;
2) Q < 0; A = 0; ∆U< 0;
3) Q = 0; А < 0; ∆U > 0;
4) Q > 0; А > 0; ∆U=0.
Тест 6 – 13
На ( p,V) - диаграмме изображены два циклических процесса.
Отношение работ, совершенных в каждом цикле АІ / АІІ , равно…
Варианты ответов:
1) - 1/2; 2) - 2;
3) 1/2;
4) 2.
Решение
Работа, совершенная за цикл, численно равна площади замкнутой фигуры, изображенной на (р,V) – диаграмме. Площадь можно подсчитать
в условных единицах как число клеток. Тогда отношение работ, совершенных в каждом цикле, равно отношению числа клеток. Причем, работа, совершенная за цикл, будет положительной, если обход совершается
по часовой стрелке, и отрицательной, если обход совершается против
часовой стрелки. В нашем примере обход совершается по часовой стрелке, поэтому АI >0 и A II >0 .Отношение работ, совершенных в каждом
цикле равно: АI / A II = 3 /6 = 1/2.
Ответ: вариант 3.
131
Задание С6-15 для самостоятельного решения.
На ( p,V) - диаграмме изображены два циклических процесса.
Отношение работ, совершенных в каждом цикле АІ / АІІ ,
равно …
Варианты ответов:
1) - 1/2; 2) - 2;
3) 1/2;
4) 2.
Тест 6 – 14
Тепловая машина работает по циклу Карно. Если температуру нагревателя
увеличить, то КПД цикла…
Варианты ответов: 1) увеличится ; 2) уменьшится; 3) не изменится.
Решение
Коэффициент полезного действия (КПД) цикла Карно вычисляется по
формуле: η = (Т1 – Т2)/Т1 , где Т1 – температура нагревателя, Т2 – температура холодильника. Иначе, КПД равен: η = (1 – Т2/Т1) . Отсюда следует, что при повышении температуры нагревателя Т1 отношение Т2/Т1
уменьшается, разность (1 – Т2/Т1) увеличивается, т.е. КПД увеличивается.
Ответ: вариант 1.
Тест 6 – 15
Процесс, изображенный на рисунке в координатах
(T,S), где S-энтропия, является...
132
Варианты ответов:
1)
изобарным сжатием;
2)
изохорным охлаждением;
3) адиабатным расширением;
4)
изотермическим сжатием.
Решение.
Изобарным называется процесс, протекающий при постоянном давлении
(p = const), изохорным – при постоянном объёме (V = const), изотермическим –
при постоянной температуре (T = const), адиабатным называется процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой (Q =0).
Из термодинамики известно, что отношение теплоты, полученной или отданной телом, к абсолютной температуре тела равно изменению энтропии:
ΔS= Q / T. Как видно из рисунка теста 6 –15 , энтропия постоянна (S = const),
поэтому ΔS= 0 и Q =0, т.е. рассматривается адиабатный процесс.
γ -1
Уравнение адиабаты можно записать в виде: T∙V
= const, где γ – показатель адиабаты, для данного газа являющийся постоянной величиной. Из уравнения
адиабаты следует, что при увеличении объёма (т.е. при расширении), температура понижается, а при сжатии – повышается. На рисунке изображен адиабатный процесс, связанный с понижением температуры, следовательно, процесс
является адиабатным расширением.
Ответ: вариант 3.
Задание С6-16 для самостоятельного решения.
Процесс, изображенный на рисунке в координатах (T,S), где S-энтропия,
является...
Варианты ответов:
1)
изотермическим расширением;
2)
3)
4)
адиабатным сжатием;
изобарным расширением;
изохорным нагреванием.
133
Тест 6 – 16
На рисунке изображен цикл Карно в координатах (T,S), где S-энтропия. Теплота
подводится к системе на участке ...
Варианты ответов:
1) 2– 3;
2) 1 – 2;
3) 4 – 3;
4) 4 – 1.
Решение
Цикл Карно состоит из двух адиабат (2 -3 и 4–1) и двух изотерм (1 – 2 и
3 – 4). При адиабатном процессе S=const, т.к. Q=0, т.е. при процессах (2 - 3
и 4 – 1) тепло не подводится. Теплота подводится при изотермическом
процессе от нагревателя, температура которого выше, чем температура
холодильника, поэтому теплота подводится к системе на участке 1 – 2.
Ответ: вариант 2.
Тест 6 – 17
На рисунке изображен цикл Карно в координатах (T,S), где S-энтропия.
Изотермическое сжатие происходит на этапе ...
Варианты ответов:
1) 2 – 3;
2) 3 – 4;
3) 1 – 2;
4) 4 – 1.
Решение.
Изотермическим называется процесс, протекающий при постоянной температуре, что соответствует на рисунке теста 6 – 17 процессам 1 – 2 и 3 –
4. Изменение энтропии при изотермическом процессе равно:
ΔS = νR ln(V2/V1), где ν – количество вещества, R – газовая постоянная. При
расширении отношение конечного и начального объёмов газа больше едини134
цы, т.е.V2 /V1>1. Тогда, логарифм натуральный ln(V2 / V1 )>0 , следовательно, ΔS = S2 – S1>0, т.е. при изотермическом расширении энтропия возрастает (S2 > S1). При сжатии конечный объём меньше начального, V2 /V1 < 1,
ln(V2 /V1) < 0 и S2 < S1, т.е. при изотермическом сжатии энтропия убывает.
Следовательно, изотермическое сжатие происходит на этапе 3 – 4.
Ответ: вариант 2.
Задание С6-17 для самостоятельного решения.
На рисунке изображен цикл Карно в координатах (T,S), где S-энтропия. Адиабатное
расширение происходит на этапе ...
Варианты ответов:
1) 2 – 3;
2) 3 – 4; 3) 1 – 2;
4) 4 – 1.
Тест 6 – 18
На рисунке представлен цикл тепловой машины в координатах Т, S, где Т термодинамическая температура, S - энтропия. Укажите нагреватели и
холодильники с соответствующими температурами.
Варианты ответов:
1) Нагреватели - Т2,T4,T5 ;
Холодильники - T1,T3.
2) Нагреватели - Т3,T4,T5;
Холодильники - T1,T2.
3) Нагреватели - Т4,Т5 ;
Холодильники - Т1,Т2,Т3.
4) Нагреватели - Т3,T5;
Холодильники - T1,T2,T4.
135
Решение.
Любой тепловой двигатель работает по замкнутому циклу. Цикл, изображенный на рисунке теста 6 – 18, состоит из адиабат и изотерм. При
адиабатном процессе теплота не подводится к системе (Q = 0 и S =const).
При изотермическом процессе (Т =const) при возрастании энтропии теплота
подводится от нагревателя, при уменьшении энтропии частично передается
холодильнику. Поэтому теплота подводится к системе при температурах Т5
и Т4 , а отдаётся холодильнику при температурах Т2 , Т1 и Т3. Следовательно, Т5 и Т4 – нагреватели, а Т1 , Т2 , Т3 – холодильники.
Ответ: вариант 3.
Тест 6 - 19
Ha (P,V)-диаграмме изображен циклический процесс. На участках АВ и
ВС температура ...
Варианты ответов:
1) повышается;
2) на АВ - повышается, на ВС понижается;
3) понижается;
4) на АВ - понижается, на ВС – повышается.
Решение.
Рассмотрим уравнение состояния идеального газа: p∙V = νR∙T, где ν –
количество вещества, R – газовая постоянная, T – термодинамическая температура. Так как νR= const, то изменение температуры зависит от произведения p∙V. Если произведение возрастает, то температура возрастает, и
наоборот, если произведение p∙V убывает, то температура понижается.
Рассмотрим циклический процесс, изображенный на диаграмме теста 6 - 19.
На участке АВ p = const, а V возрастает, значит, температура возрастает.
На участке ВС V= const, а p убывает, поэтому температура понижается. Следовательно, на участках АВ -ВС температура: на АВ - повышается,
на ВС - понижается, что соответствует варианту ответа 2.
Ответ: вариант 2.
136
Задание С6-18 для самостоятельного решения.
Ha (P,V)-диаграмме изображен циклический процесс.
температура ..
На участках
DA-AB
. Варианты ответов:
1) повышается;
2) на DA - повышается, на АВ - понижается;
3) на DA - понижается, на АВ – повышается;
4)
понижается.
Тест 6 – 20
Явление диффузии имеет место при наличии градиента...
Варианты ответов:
1) концентрации;
2) скорости слоев жидкости или газа;
3) температуры;
4) электрического заряда.
Решение.
Понятие градиента вводится для неравновесных систем, когда неоднородно распределён какой–либо параметр системы. Например, когда концентрация, температура или другой параметр являются функцией координат.
Градиент – это вектор, который показывает, в каком направлении функция
изменяется быстрее всего. При наличии градиента в системах возникают
необратимые процессы, называемые явлениями переноса, которые приводят
к выравниванию неравновесного параметра. В молекулярной физике к явлениям переноса относятся диффузия, вязкость и теплопроводность.
Явление диффузии обусловлено переносом массы, в результате которого
происходит самопроизвольное выравнивание концентрации. Диффузия продолжается, пока существует градиент плотности.
Если система состоит из заряженных частиц, то при наличии градиента
плотности возникнет градиент электрического заряда, что приведет, наряду
137
с диффузией, к появлению электрического тока.
Вязкость (или внутреннее трение) обусловлено переносом импульса молекул между слоями жидкости или газа, движущимися с различными скоростями, в результате чего более медленно движущиеся слои ускоряются, а
более быстрые – замедляются. Вязкость существует при наличии градиента
скорости.
Явление теплопроводности обусловлено переносом энергии молекул, в результате чего происходит выравнивание температуры тела. Явление теплопроводности наблюдается при наличии градиента температуры.
Таким образом, явление диффузии имеет место при наличии градиента
концентрации.
Ответ: вариант 1.
Тест 6 – 21
В потоке газа, направленном вдоль оси x , скорость газа растет в положительном направлении оси y. Перенос импульсов направленного движения
происходит…
Варианты ответов:
1) в отрицательном направлении оси z;
2) в положительном направлении оси z;
3) в положительном направлении оси y;
4) в отрицательном направлении оси y;
Решение.
В потоке жидкости или газа между параллельными слоями вещества,
движущимися с различными скоростями, возникает
внутреннее трение. Внутреннее трение (вязкость)
возникает благодаря тому, что из- за хаотического
теплового движения между слоями жидкости или
газа происходит обмен молекул. При этом импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, а
движущегося медленнее – увеличивается. Это приводит к торможению слоя, движущегося быстрее, и
ускорению слоя, движущегося медленнее.
138
Плотность потока импульса равна: jp = - η
, где
– градиент скоро-
сти, η – коэффициент вязкости. Знак минус показывает, что импульс переносится в направлении убывания скорости.
По условию задачи скорость растёт в положительном направлении оси y,
поэтому градиент скорости положителен, т.е. (
>0). Следовательно,
перенос импульса будет происходить в отрицательном направлении оси y.
Ответ: вариант 4.
Задание С6-19 для самостоятельного решения.
В некотором объёме газа температура неоднородна и растёт в
положительном направлении оси x. Перенос тепловой энергии происходит…
Варианты ответов:
1) в отрицательном направлении оси x;
2) в положительном направлении оси x;
3) в положительном направлении оси y;
4) в отрицательном направлении оси y.
Задание С6-20 для самостоятельного решения.
В некотором объёме газа плотность неоднородна и растёт в отрицательном направлении оси y. Перенос массы вещества происходит…
Варианты ответов:
1) в отрицательном направлении оси x;
2) в положительном направлении оси x;
3) в положительном направлении оси y;
4) в отрицательном направлении оси y.
139