РАБОТА МАГНИТНОГО ГАЗА В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ИЛИ ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ВЕЧНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ

РАБОТА МАГНИТНОГО ГАЗА В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
ИЛИ ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ВЕЧНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ
THE WORK OF MAGNETIC GAS IN GRAVITY FIELD
П.К. Томский.
ABSTRACT
We have Boltzmann distribution for two different gases in gravity field.
If one of these two gases is magnetic gas placed in external magnetic field
which adds magnetic force to balance gases pressures, we find unexpected paradox
simply calculating the mechanical work of gravity force.
Рассмотрим идеальный магнитный газ α в поле силы тяжести (g- ускорение
свободного падения). Распределение Больцмана [1] имеет вид (температура Т=const)
µ ( H )dH 

(1)
exp − αh + ∫

kT


где α = mg/kT, m- масса частиц газа α , µ(H)- средняя намагниченность в постоянном
внешнем поле Н. Пусть термостатом является равновесная атмосфера в поле силы
тяжести Земли по закону exp(-βh) и пусть на высоте h=0 плотность n(h=0)=1.
Теперь рассмотрим два закрытых ящика (единичного объема каждый) с газом α ,
соединенных тонкой гибкой вертикальной трубкой t, один из которых (при отсутствии
в нем поля H=0) всегда находится неподвижно внизу на высоте –h0
µ ( H )dH
h0 = ∫
= const.
(2)
αkT
а другой ящик передвигается по высоте h≥0 и в нем находится поршень (подвижная
перегородка) единичной площади, который изменяет его объем V(h), в зависимости от
давления атмосферы на высоте h (рис. 1) .
h
α
М
θ
β
*
H=const
α
H=0
t
М
µ
1
V
–h0
Рис.1
причем снаружи на подвижном поршне закреплен постоянный магнит М, который
создает постоянное магнитное поле H=const внутри этого ящика, которое можно
считать однородным с любой достаточной точностью (например, установив
симметричный неподвижный магнит М* с другой стороны, или добавив соленоид с
током и т.д.). А так как в постоянном однородном магнитном поле на магнитные
моменты частиц действует только вращательная сила, то давление газа α остается попрежнему nkT.
Однако, магнитное поле намагниченного газа α (за счет поля Н) снаружи ящика
будет неоднородным, поэтому на магнит М действует сила магнитного притяжения к
ящику пропорциональная намагниченности в нем µnV, которую компенсирует
механическая пружина θ=const такой же силы (но противоположного направления),
чтобы V=1 для n=1 при h=0. Выберем θ = χµ где коэффициент χ=const (определяется
геометрией и численно равен среднему градиенту поля газа α умноженному на
магнитный момент магнита М ).
Таким образом, на поршень с магнитом М действуют три силы разных типов.
Во-первых, переменная сила притяжения со стороны магнитного газа χµnV, во-вторых
противоположная постоянная сила пружины θ (=χµ) которая уравновешивает
магнитную силу при h=0, и в-третьих, сила разности давлений газов α и β . Вначале
(h=0) все силы скомпенсированы, но на высоте h>0 плотность n(h) падает и сила
пружины теперь уравновешивается перепадом давления газов α и β . Заметим, все эти
силы горизонтальны и не влияют на перемещение ящика по вертикали.
Из условия баланса всех сил получим
θ
2
e − βh − λ
θ
− βh
n=
=
e
−
(
1
−
nV
)
=
,
где λ ≡
.
(3)
αh
kT
1 − λV
kT
V +e
Откуда легко находим
βh

2e β h − e α h + λ e α h + β h
− βh  1 + λe


n
(
h
)
e
V (h) =
,
(4)
=
βh
αh 

1 + λe
 1 + λe 
Ограничимся движением по высоте в пределах 0 ≤ h ≤ 1 (чего всегда можно
добиться выбором масштаба измерения) и выберем α (считая β заданной константой
термостата) из условия
  1 − λ  −β 
− e 
(5)
α = β + ln 2
β 
  1 − λe 

чтобы V(1)=1 на высоте h=1 (например, для β =1, приближенно α ~3/2, если λ «1).
Это условие (5) позволяет нам осуществить замкнутый цикл из двух этапов:
1). Сначала фиксируем объем V=1 и поднимаем ящик от h=0 до h=1.
2). Затем освобождаем подвижный поршень и опускаем ящик обратно от h=1 до
h=0 при переменном объеме V(h)>1 согласно (4).
Заметим, что мы не можем здесь замкнуть цикл на бесконечности, так как при
конечном α должно выполняться λ < exp(-βh) и поэтому необходимо выбирать
некоторое конечное h (например h=1).
Суммарная механическая работа А (силы тяжести) перемещения ящика α по
вертикали в указанном цикле (с учетом силы Архимеда) находится из выражения
A
2αdh
= ∫ (αn(h) − βe − βh )V (h)dh − ∫
+ β ∫ e − βh dh
(6)
kT
1 + e αh
где интегрирование производится на интервале от 0 до 1, и подставляя сюда (4), с
учетом (5), в результате окончательно получим (для единицы объема) точную формулу
α −β α
1− eβ
1− λ
A = 2θ
+ 2kT ln(
) +θ
(e − 1) −
β
β
α
1 − λe
1 − λe
(7)
αe αh
β e βh
αh
(α − β ) h
− θ ∫ (2 − e
+ λe )(
−
)dh
1 + λ e αh 1 + λ e β h
что в первом линейном приближении в пределе очень малого параметра λ <<1 легко
интегрируется и полагая α~β+ln(2-e-β ) оценим приближенно
 4 ln 2 (2 − e − β )

eβ −1

A≈
− e − β ( β + ln(2 − e − β ))  θ > 0.
(8)
−β 
−β
β + 2 ln(2 − e )  β + ln(2 − e )

Например, для β~1, α ~ 3/2, будет А~χµ/10 конечно малый результат (порядка
изменения объема), однако точно не равный нулю!
Если заменить магнитный момент µ на поляризацию p , а магнитное поле Н на
электрическое Е, то процесс можно также произвести и в электрическом поле.
Таким образом, для такой простой модели, в казалось бы давно изученной
классической
физике,
неожиданно
получаем
совершенно
нетривиальный
теоретический результат (который может иметь и практическое значение). И самое
парадоксальное, данный результат не нарушает второго начала термодинамики, так как
не имеет к нему никакого отношения. В самом деле, заметим что цикл, состоящий из
двух различных неэквивалентных изотерм (на PV-диаграмме), пересекающихся в двух
точках (V(0)=V(1)=1) вообще не является циклом Карно состоящим как известно из
двух отрезков непересекающихся изотерм и двух адиабат (которые требуются именно
для того чтобы замкнуть цикл), поэтому его никак нельзя разложить на любую
(конечную или бесконечную) сумму циклов Карно, соответственно и формула Карно
для к.п.д. здесь абсолютно неприменима.
Очевидно, ненулевой эффект цикла возникает из-за того, что при увеличении
объема газа более тяжелого чем атмосфера, вес ящика увеличивается. И несмотря на то,
что энтропия является функцией состояния, сила тяжести априори может совершать
разную работу на разных изотермах (за счет поглощения эквивалентного количества
тепла), в зависимости от соотношения газов разной массы, так как энтропия вообще
независит от массы частиц газа, в отличие от силы тяжести, следовательно наиболее
корректным здесь является только закон сохранения энергии, в отличие от
(спекулятивной) энтропии, которая вообще не содержится в первоначальных
уравнениях движения (и взаимодействий), что и приводит к указанному результату.
Как говорится «есть маленькая ложь, большая, и статистика». И парадокс легко
объяснить, если рассматривать каждый «всеобщий» закон в области его конкретной
применимости (непересекающихся изотерм) и не делать глобального обобщения (на
все вообще циклы), так как истина всегда конкретна, что и доказывает данная работа.
Список литературы
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Boltzmann_distribution