Лекция 1 Введение.

Лекция 1
Введение.
Начертательная геометрия
дает возможность по изображениям изучать и
воспроизводить пространственные формы. Она занимается разработкой способов
построения изображений пространственных объектов на плоскости и изучением способов
решений. В связи с этим изображения – чертежи в начертательной геометрии должны
удовлетворять ряду требований:
1) Чертеж должен быть наглядным, чтобы по нему можно было представить,
как будет выглядеть та или иная фигура в натуре;
2) Чертеж должен быть обратимым, т. е. давать возможность определения
формы, размеров и положения в пространстве изображенного на нем объекта. В
соответствии с чертежом возводится здание. В натуре, причем чертеж должен
однозначно определять здание;
3) Чертеж должен быть как можно более простым по построению, а
графически его выполнение должно обеспечивать достаточную для практики
точность и т. д. Требование обратимости особенно важно так как по данным
чертежа производится сооружение объекта. Для того чтобы плоский чертеж
пространственной формы давал возможность воспроизвести эту форму в натуре, в
начертательной геометрии используется метод проекций. Чертежи, созданные на
основе этого метода, называются проекционными.
1. Метод проекции.
Рассмотрим способы построения проекционных чертежей
А). Центральная проекция. На рисунке 1 представлена плоскость П, на которой
строится изображение – чертеж. Эта плоскость называется плоскостью проекций или
картиной. Произвольную точку пространства Р, не лежащую в плоскости П называют
центром проекции или точкой зрения. Прямые проходящие через точку зрения
называют проецирующими прямыми, а плоскости – проецирующими плоскостями.
Для того чтобы на плоскости найти центральную проекцию А любой точки
А, следует провести на плоскости проецирующую прямую АР. Пересечение АР с
плоскостью проекций П определит искомую точку А. Каждая точка пространства
имеет единственную центральную проекцию, кроме точки зрения, проекция которой
не определена.
Проекция прямой линии является прямая так как проецирующие линии
проходящие через нее образуют проецирующую плоскость, которую пересекает
плоскость проекции по прямой. Если прямая линия проходит через точку зрения, то
она проецируется в точку. Таким образом с помощью центрального проектирования
могут быть построены проекции любой плоской или пространственной фигуры.
Изображения построенные с помощью центрального проецирования обладают
хорошей наглядностью. Однако выполнение этих изображений сложно так же, как и
сложно определение натуральных размеров по его изображению.
S
A’
A’
A
A
P
П’
П’
B
B’
B’
B
Рис 1
Рис 2.
1
Б). Параллельная проекция. На рисунке 2 показана плоскость проекции П, а в место
центра проекции задано направление проецирование не параллельная плоскости
проекции П. Чтобы на плоскости П найти параллельную проекцию А любой т А
пространства, следует провести через точку А проецирующую прямую параллельную
направлению проецирования. Точка А пересечения проецирующей прямой с
плоскостью П является параллельной проекцией т А. Параллельная проекция прямой
будет прямая линия, так же как и в случае центральной проекции. Параллельное
проецирование обладает следующими основными свойствами:
1. Прямые параллельные в пространстве имеют параллельные проекции, так как
проецирующиеся плоскости так же параллельны.(См Рис 3)
S
S
D≡D’
A
A
B
C
B
A’
A’
B’
C
B/
D
C’
с’
D'
Рис 3
Рис 4
2. Отношение длин параллельных отрезков равно отношению длин их
проекций. Действительно, АВ / АВ = К; СD / CD =К; так как углы образованные
отрезками в пространстве с их проекциями равны. Тогда АВ = АВ* К; CD = CD*K;
Разделив правое неравенство на второе, получим , АВ / АВ = СD / CD.
3. Отношение длин отрезков на прямой в пространстве равно отношению длин
проекций этих отрезков (Рис 4), так как прямые АС и АС образуют угол, стороны
которого делятся проецирующими линиями на пропорциональные части.
4. Ортогональная проекция – это частный случай параллельного
проецирования. При ортогональном проецировании направление проецирования
“S” направлено под прямым углом к плоскости проекции П. Изображение
пространственных форм строится с помощью ортогонального проецирования
сравнительно просто и по ним легко судить о действительных размерах этих форм,
но по наглядности изображения значительно хуже, чем в центральной проекции.
Обратимость чертежа.
Операция проецирования, рассматривается в первой главе, позволяет строить
изображения по заданному оригиналу, т.е. решить прямую задачу начертательной
геометрии.. Однако наряду с прямой задачей возникает и обратная задача,
заключающаяся в восстановлении оригинала по его пропорционным изображениям.
На производствах используются только такие чертежи которые полностью определяют
размеры и форму изделия. Отсюда ясно, что чертеж должен содержать информацию о
параметрах оригинала. Таким образом обратная задача имеет как теоретическое, так и
практическое значение.
Таким образом, рассмотренные нами ранее проекционные чертежи не
позволяют восстановить оригинал, т. е. не обладают свойством обратимости.
Возникает вопрос о том, как дополнить проекционный чертеж, чтобы сделать его
обратимым, т. е. вполне определяющим оригинал.
Привести геометрическую схему построения обратного чертежа, применяющуюся
в начертательной геометрии. Рассмотрим обратимые чертежи простых фигур.
2
Эпюр Моижа. Схему построения обратного чертежа развил знаменитый
французский геометр Г. Моиж, опубликовавший в 1798 г. В Париже первый
систематический курс по начертательной геометрии. По схеме Моижа оригинал
проецируется ортогонально на две взаимо перпендикулярные плоскости П1 и П2,
названные соответственно горизонтальной и фронтальной плоскостями проекции.
Z2≡-Y1
п2
f2
z
П2
e2≡d2
a2
A2
I
n2
A
П1
az
c2
f1
X12
X III
b2
m1 ax
Ax
n1
IV
A1
y
e1
m2
d1
П1
ay
a1
b1≡c1
Y1(-Z2)
Рис 5
Рис 6
Они разделяют пространство на четыре области называемыми четвертями которые
номеруются в порядке, который показан на рисунке 5.
После проецирования оригинала плоскости П1 и П2 совмещаются в одну
плоскость Эnо достигается путем вращения плоскости П1 во круг оси OX рисунок 6.
Полученный чертеж называется эпюром Моижа. Эпюр содержит изображения всех
осей координат которые называются осями проекций. Обозначения осей проекции
дополняются подстрочными индексами, совпадающими с индексами плоскостей
проекций, которым ось принадлежит (см рис. 6).
В современной литературе эпюр Моижа именуют также комплексным
чертежом.
Ортогональная проекция точки, например А (см. Рис. 5) на плоскости
проекций П1 и П2 называются соответственно горизонтальной – А1, и фронтальной
А2 проекциями. Информация о параметрах положения точки имеется на плоскостях
проекций. Так абсцисса точки А равна IOAzI=IayAzI, ордината – IOAyI=IAxA1I,
аппликата – IOAzI=IaxAzI. Линии связывающие пары проекций одной и тойже точки и
перпендикулярные оси проекции, называются линии связи. Они являются проекциями
соответствующих проецирующих прямых.
После совмещения проекций П1 иП2 в одну плоскость эпюры точек
расположенных в различных четвертях пространств, различаются различными по
внешнему виду. Так пример, мысленно поворачивая плоскость проекции П1, вокруг
оси проекции OX12, можно восстановить проекции точек, по их параметрам
положения, имеющимся на эпюре (См. Рис 6). Точка А расположена впервой четверти,
а точка F – во второй. Для точек, расположенных в разных четвертях, координаты
различаются по знакам. В первой четверти все знаки положительны, во второй –
ордината берется отрицательной. В третей – ордината и апликата отрицательна. На
конец в четвертой четверти отрицательна только аплииката. Анализируя положение
точек B и C по эпюру, устанавливаем, что это точки, конкурирующие по отношению к
плоскости П1. Сравнивая координаты точек B и С видим что аппликата точки B
больше чем точки С. В связи с этим проекция В1 на плоскости П1 является видимой, а
С1 – невидимой (при проецировании точек В и С на плоскость П1 точка В встречается
первой и прикрывает точку С).
3
На эпюре (Рис. 6) устанавливаем, что точки D и Е - конкурирующие по
отношению к П2, а точки M и N расположены в плоскостях проекции. M принадлежит
П1, а N принадлежит П2.
3.Прямые линии.
Прямая линия графически может быть задана двумя точками, принадлежащими
прямой, или двумя проекциями. (См. Рис 2.)В свою очередь точки, принадлежащие
прямой, задаются координатами осей проекций или просто проекциями.
Az
Az
A2
N2
L2
L2
B2
Bz
L2
M2
Ax
x12
By
x12
L1
B1
Ay
L1
L1
N1
M1
A1
y
Рис. 7
xyz
M(M1 M2)
L(L1 L2)
A(3,4,5) B(8,2,1)
N(N1N2)
т A, B принадлежит L → т A2B2 принадлежит L2, A1B1 принадлежит L2.
т M,N принадлежит L → M2N2 принадлежит L2, M1N1 принадлежит L2.
По расположению относительно плоскостей проекций, различают прямые общего
положения и частного положения. К прямым частного положения относятся
проецирующие прямые и прямые уровня. Проецирующими прямыми являются прямые
совпадающие с направлениями проецирующих лучей. (См. Рис 8).
а перпендикулярна П1 → а1 – точка
а2 перпендикулярна х12
т. А,В принадлежат а →А1≡В1≡а1
В перпендикулярна П2 → в1 – точка
В1 перпендикулярна х12
т. M, N принадлежат в →А2≡В2≡ в2
А2
а2
M2≡N2≡в2
В2
M1
В1
N1
А1≡В1≡а1
D2
C2 E2
C перпендикулярна С2 II C1 II x12
C3 - точка
y
D3≡E3≡C3
x
D1 C1 E1
а – горизонтально проецирующая прямая.
4
в – фронтально проецирующая прямая.
с – профильно проецирующая прямая.
Рис 8
Прямые уровня, это прямые параллельные плоскостям проекции. Проецирующие
прямые на комплексном чертеже одновременно являются и прямыми уровня.
(См. Рис. 9)
A2
h2
B2
x12
o
N2
β
γ
M2 f2
α
γ
A1
h1
x12
o
B1
f1
M1
N1
h II П1 → h2 II x12 - горизонталь; f II П2 → f1 II x12 – фронталь.
Z2
C2
C3
β
P II П3 → Р2 перпендикулярна х12;
Р1 перпендикулярна х12 – профильная
прямая.
P3
D2
α
D3
y2
C1
D1
Y1
Рис 9
Прямая не параллельная и не перпендикулярная к одной из плоскостей проекции
является прямой общего положения. (См. Рис 10)
M≡N2
N≡N2
L2
M2
L2
L
N1
L1
M2
N1
x
M1 ≡ M
Рис 10
Прямая L∩П1 = M≡M1 – горизонтальный след прямой.
Прямая L∩П2 = N≡N2 – фронтальный след прямой.
Следом прямой называется точка пересечения прямой с плоскостью проекций.
4. Построение натуральной величины и определение угла наклона отрезка прямой
общего положения.
5
Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения
заложен способ прямоугольного треугольника. (См. Рис. 11)
Возьмем отрезок AB(A принадлежит П1) и построим его ортогональную проекцию
на горизонтальной плоскости проекций. В пространстве при этом образуется
прямоугольный треугольник АВВ1, в котором гипотенузой является сам отрезок,
одним катетом – горизонтальная проекция этого отрезка, а вторым катетом разность
высот А и В отрезка. Так как по чертежу разность высот точек ее отрезка не
составляет труда, то можно построить на горизонтальной проекции отрезка (См Рис
12) прямоугольный треугольник, взяв вторым катетом превышение одной точки над
второй. Гипотенуза этого треугольника и будет натуральной величиной отрезка АВ. А
угол наклона натуральной величины АВ к горизонтальной проекции А1В1 является
наклоном прямой АВ к плоскости проекции П1.
Аналогичное построение можно сделать на фронтальной плоскости проекции
отрезка, только в качестве второго катета надо взять разность глубины его концов (См
Рис 13), замеренную на плоскости П1. При этом угол натуральной величины АВ к
фронтальной проекции А2В2 является наклоном к фронтальной плоскости проекции.
B2
∆ZAB
B
A2
h
α
A1
α
B1
П1
A≡A1
B1
н. в. AB
∆ZAB
Рис 11
Рис 12
B*
B*
∆YAB
B2
A2
∆ YAB
A1
Рис 13
B1
5. Взаимное положение двух прямых.
Две прямые в пространстве могут совпадать а ≡ b, быть параллельными a II b,
пересекаться m ∩ n и скрещиваться k l . (См Рис 14)
n
m
а≡б
с
k
L
d
m1 n1
k1
d1
с1
L1
6
а1≡б1
П1
Рис 14
Если две прямые параллельны, то на комплексном чертеже (См. Рис 15) их
одноименные проекции параллельны. c ll d →c2 II d2; c1 II d1. Если две прямые
пересекаются в некоторой точке М, то проекции этой точки должны принадлежать
одноименным проекциям прямых, т. е. точки пересечения одноименных проекций
пересекающихся прямых должны лежать на одной линии связи (См. Рис. 16). m ∩ n = M
→ m1 ∩ n1=M1, m2 ∩ n1 =M2. Если две прямые скрещиваются, то их одноименные
проекции могут пересекаться в точках, не лежащих на одной линии связи (См. Рис 17). a b
→ a1 ∩ b1 = A1 (11) – горизонтально конкурирующие точки.
a2 ∩ b2 = B2 (22) – фронтально конкурирующие точки. Или одна пара проекций
будет пересекаться, а вторая может быть параллельной. K2 ∩L2, K1 ll L1 →KL. (См.
Рис 18).
m2
с2
n2
a2 A2 B2≡22
k2
M2
d2
b2
L2
12
c1
A1 ≡11
m1
n1
a1
21
k1
d1
M1
b1
B2
Рис 15
Рис 16
L1
Рис 17
Рис18
Проекция прямого угла.
Прямые линии могут быть между собой взаимно перпендикулярными.
Теорема. Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекции, а ее
другая сторона не перпендикулярна этой плоскости проекции, то на данную плоскость
проекции прямой угол проецируется в натуральную величину. (См. Рис 19).
В
А
С
А1
В1
С1
П1
Рис 19
Угол АВС = 90˚ С IIС1, В II В1, AA1 перпендикулярен П1 четырехугольник ВВ1СС1
– прямоугольный ВС перпендикулярен АВ по условию, ВС перпендикулярен ВВ1 по
построению, ВС перпендикулярен АВВ1А1 (плоскость) следовательно согласно общей
теореме: “Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой
7
прямой в этой плоскости.”
Отсюда следует ВС перпендикулярна А1В1, В1С1
параллельна ВС, следовательно она также перпендикулярна плоскости АВВ1А1, отсюда
В1С1 перпендикулярна В1А1. Из выше приведенного доказательства угол АВС = углу
А1В1С1 = 90˚.
Построение прямого угла на комплексном чертеже.
Пусть одна сторона ВС прямого угла АВС = 90˚ параллельна горизонтальной
плоскости проекции П1 т.е. ВС II П1, тогда на комплексном чертеже В2С2 II Х, а
А1В1 перпендикулярна В1С1 (См. Рис 20 )
В2
С2
В2
А2
А2
С2
х
А1
А1
С1
В1
С1
В1
Рис 20
Рис 21
Пусть одна сторона BD, прямого угла ABD = 90˚, параллельной плоскости
проекции П2, т. е. BD II X, а B2D2 перпендикулярна A2B2 (См. Рис 21).
Если мы совместим эти два чертежа, то увидим AB перпендикулярна BD и АВ
перпендикулярна ВС. Причем DB ∩ BC
и образуют плоскость Q, т.е. АВ
перпендикулярна Q (BD ∩ ВС) отсюда следует, что АВ перпендикулярна DC. (См. Рис
22).
Лекция 3.
7. Плоскость. Положение плоскости относительно плоскостей
проекций.
На комплексном чертеже плоскость может быть задана: тремя точками не
лежащими на одной прямой; двумя пересекающимися прямыми; параллельными
прямыми; любой геометрической фигурой (треугольник, четырехугольник, круг и т.
д.); Следами (См. Рис 23)
A2
A2
m2
n2
a2 b2
B2
P2
C2
A2
L2
B2
C2
a1 b1
m1
B2
x
n1
L1
C1
C2
A1
B1
A1
A1
P1
Q (A,B,C)
∑ (L,A)
Ω (M ∩ N)
Ө (a II b) Г (А,В,С) Р(Р2,Р1)
Рис 23.
Плоскости относительно плоскостей проекции могут быть плоскостями частного и
общего положения. К плоскостям частного положения относятся проецирующие
плоскости и плоскости уровня.
8
Проецирующие плоскости.
Плоскости
совпадающие
с
направлением
проецирующими плоскостями. (См. Рис 24).
проецирования
называются
∑2
А2
о
А1
В1
х
γ
С1
∑1
Горизонтально проецирующая плоскость – это плоскость совпадающая с
направлением проецирования к горизонтальной плоскости проекции.
z
х
γ
α
o
a1
b1
y
Q1
Фронтально – проецирующая плоскость - это плоскость совпадающая с
направлением проецирования к фронтальной плоскости проекции.
m2
n2
α
x
m1
Q1
n1
y
Рис 24
Профильно – проецирующая плоскость - это плоскость совпадающая с
направлением проецирования к профильной плоскости проекции.
Плоскости уровня.
Плоскостями уровня называются плоскости параллельные плоскостям проекции.
Плоскость параллельная горизонтальной плоскости проекции называется
горизонтальной плоскостью. Любая плоская фигура расположенная в этой плоскости
проецируется на горизонтальную плоскость проекции в натуральную величину, а в во
фронтальной проекции в виде ограниченного отрезка прямой параллельной оси «Х».
А2
х
В2
С2
В1
9
С1
А1
Плоскость параллельная фронтальной плоскости проекции называется
фронтальной плоскостью. Любая плоская фигура, расположенная в этой плоскости,
проецируется на фронтальную плоскость проекции в натуральную величину.
B2
A2
C2
D2
x
А1
В1≡D1 C1
Плоскость параллельная профильной плоскости проекции называются профильной
плоскостью. Любая плоская фигура расположенная в такой плоскости проецируется в
виде отрезка прямой в горизонтальной и во фронтальной проекции, расположены на
одной линии связи.
O2
O1
Рис 25
Плоскость общего положения.
Плоскость не параллельная и не перпендикулярная ни к какой плоскости проекции
является плоскостью общего положения. Любая плоская фигура, взятая в плоскости
общего положения, проецируется в искаженном виде на плоскостях проекции. (См Рис
26). Q (ABC); Q ∩ П1 = Q1 – горизонтальный след.
B2
C2
A2
B1
A1
M1≡M
C1
M1’≡M’
Рис 26
Главные линии в плоскости.
10
Главными линиями в плоскости являются линии частного положения (горизонталь,
фронталь, профильная прямая), а также линия наибольшего уклона. Линиями
наибольшего уклона называются линии расположенные под прямым углом к линиям
уровня. Линии наибольшего уклона отрицают угол наклона плоскости проекции.
Линия наибольшего уклона к горизонтальной плоскости проекции называется линией
ската. (См. Рис 27)
Линия ската во фронтальной плоскости проекции
B2
H2 12
ΔZ b-z
C2
A2
B1
ΔZ b-z
h1
11
B*
A1
C1
Линия ската в горизонтальной проекции
Рис27
Взаимные положения прямой и плоскости. Взаимное положения
плоскостей.
Прямая линия относительно плоскости может быть: параллельной плоскости,
принадлежать плоскости, пересекать плоскость, пересекать плоскость под прямым
углом.
Пересечение геометрических фигур при частном расположении одной из них.
Пересечение прямой с проецирующей плоскостью. Рассмотрим построение
проекций точки А (А2, А1) пересечения прямой L (L1, L2) с фронтально
проецирующей плоскостью Е(Е2) (См. Рис 28 ). Дополним рисунок изображениями
видимых и невидимых участков прямой L. Полупрямая находящаяся выше плоскости
Е(Е2), до т. А пересечения с плоскостью будет видима на горизонтальной плоскости
проекции.
∑2
L2
A2
L1
Рис 28
11
Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения. Построим
точку Р пересечения горизонтально проецирующей прямой L (L1,L2) c плоскостью Ώ
(А,В,С) (См Рис 29)
L2
a2
B2
12
P2
22
A2
C2
B1
11
a1
L1≡P1
A1
21
C1
Рис 29
1. Горизонтальная проекция Р1 точки Р = L ∩ Ώ будет совпадать с горизонтальной
проекцией этой прямой; L1≡ P1
2. Строим недостающую проекцию Р2 искомой точки Р по принадлежности ее
плоскости Ώ по схеме:
а) проводим прямую а(а1), проходящую через точку Р(Р1) и принадлежащую
плоскости Ώ;
б) Строим фронтальную проекцию “а2” прямой ”а” по принадлежности ее
плоскости Ώ;
в) точка Р2 = а2 ∩ L2 будет искомой фронтальной проекцией точки Р.
3. Определяем видимость прямой L методом конкурирующих точек.
Пересечение конкурирующей плоскости с плоскостью общего положения.
Известно что две плоскости пересекаются по прямой линии. Находим две точки линии
пересечения , которые принадлежат одновременно двум плоскостям. Рассмотрим
построение линии “L” пересечения фронтально проецирующей плоскости А(А2) с
плоскостью Е (А,В,С) (См Рис 30)
Фронтальная проекция L2 линии пересечения L будет совпадать с вырожденной
проекцией плоскости А(А2) т. е. А2 ≡ L2.
Горизонтальная проекция L1 искомой линии L строится по принадлежности этой
линии плоскости Е (А,В,С).
B2
22
A2
12
C2
B1
A1
22
11
C1
Рис30
Пересечение произвольной прямой с плоскостью общего положения.
Для того чтобы построить точку пересечения прямой “L” с плоскостью общего
положения Е (А,В,С) необходимо:
1. Через данную прямую “L” провести вспомогательную проецирующую плоскость
частного положения т. е. L принадлежит Q(Q1) перпендикулярна П1.
12
2. Построить линию пересечения m (m1; m2) вспомогательную проецирующую
плоскость Q(Q1) c плоскостью Е (А,В,С), Q(Q1) ∩ Е (А,В,С) = m (m1; m2).
3. Строим искомую точку пересечения К (К1; К2) прямой L с прямой m. L ∩ m = K
так как m принадлежит Е (А,В,С) то L ∩ Е (А,В,С) = K.
4. Определяем видимость прямой относительно плоскости с которой она
пересекается способом конкурирующих точек.
A2
L
А1
B1
B2
k2
К
m
C2
m2
C
B1
A1
L1 ≡m1≡Q1
B2
A1
k1
L1≡Q1 ≡ m1
K1
П1
C1
C2
Рис 31
Рис 32
Параллельность прямой и плоскости.
Как известно прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой либо
прямой этой плоскости. Так на рисунке 33 прямая L параллельна плоскости Е (А,В,С),
так как проекция L1 и L2 прямой L параллельны соответствующим проекциям m1 и
m2 прямой m принадлежащей плоскости Е.
L2
B2
A2
L2 II m2
m2
L II m
L1 II m1
C2
A1
C1
m1
L1
B1
Рис 33
Перпендикулярность прямой к плоскости.
Общая теорема: “Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна
любой прямой принадлежащей этой плоскости”.
Теорема достаточного условия перпендикулярности прямой к плоскости: “Если
прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и плоскости, то она
перпендикулярна плоскости”.
Используя эту теорему, а также линии частного положения в плоскости, с
которыми прямой угол проецируется в проекциях в натуральную величину, построим
прямую h перпендикулярную к плоскости Е (А,В,С).
13
Для этого проведем линию h в плоскости Е (А,В,С) параллельно горизонтальной
плоскости проекции П1. (См. Рис 34)
B2
n2
22
f2
h1 12
C2
A1
X12
B1
11
h2
21
f1
A1
n1
C1
Рис 34
П1 II h принадлежит Е (А,В,С) → h2 II Х12
Из любой точки проводим горизонтальную проекцию h1 перпендикуляра h под
прямым углом к h1. Затем проводим линию Х12 f в плоскости Е (А,В,С) параллельно
фронтальной плоскости проекции П2. (См Рис 34) А1 П2 II f принадлежит Е (А,В,С) →
f1 II X12. Теперь из любой точки во фронтальной проекции проводим фронтальную
проекцию перпендикуляра h2 под прямым углом к линии f2. Таким образом линия h
перпендикулярна двум пересекающимся прямым (h перпендикулярна f)
принадлежащим плоскости Е (А,В,С), т.е. перпендикулярна плоскости. Отсюда
следует, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна
горизонтальной проекции горизонтали и фронтальной проекции фронтали
принадлежащие заданной плоскости.
Лекция 5.
Взаимные положения плоскостей.
Плоскости в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися, а также
взаимно перпендикулярными.
Рассмотрим случай, когда две плоскости параллельны между собой.
Согласно теореме: “Две плоскости параллельны между собой, если две
пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся
прямым другой плоскости”. (См. Рис 35)
B2
D2
m2
n2
A2
C2
C1
m1
A1
Рис 35
n1
D1
B1
14
Пусть требуется провести через точку D (D1;D2) плоскость Θ параллельную
плоскости треугольника АВС. Для этого через точку D (D1;D2) проводим прямую m
(m1;m2) параллельную стороне АВ, т. е. m2 II А2В2; m1 II А1В1. Аналогично строится
прямая n II ВС. Плоскость Θ (m∩n) будет параллельна плоскости треугольника
А1В1С1.
Рассмотрим случай когда две плоскости не параллельны между собой, т. е.
пересекаются.
В этом случае задачу построения линии пересечения можно решить двумя
способами.
1 – способ. Построить точку пересечения двух прямых одной плоскости с другой
плоскостью, т. е. использовать два раза схему решения нахождения точки пересечения
прямой с плоскостью. (См. Рис 36)
Построим проекции Р1М1 и Р2М2 прямой РМ пересечения плоскостей Г (А,В,С) и
треугольника (D,E,F) (Рис 37). Находим точки Р и М пересечения прямых АВ и АС с
плоскостью треугольника (D,E,F). Для решения этой задачи используется алгоритм
решения точки пересечения прямой с плоскостью. Прямая РМ (Р1М1; Р2М2) является
линией пересечения исходных плоскостей, так как точки Р и М одновременно
принадлежат двум плоскостям Г и треугольника.
E2
B2
p
г
b
c
D2
P2
C2
Δ
A2
M1
F2
m
D1
B1
P1
A1
M1
C1
F1
E1
Рис36
Рис 37
2 – способ. Построим линию пересечения двух плоскостей Е (А,В,С) и Θ (DE II
EK) (Рис 38). Для нахождения точек Ри М линии пересечения двух плоскостей Е и Θ,
пересечем заданные плоскости двумя вспомогательными горизонтальными секущими
плоскостями уровня Г (Г2) и ∆ (∆2). На рисунке 38 видно, что плоскости уровня Г (Г2)
пересечет каждую из исходных плоскостей по линиям уровня n (n1; n2) и n' (n1’n2’) ,
которые пересекутся в точке М (М1; М2). Аналогично плоскость уровня ∆ (∆2)
пересечет каждую исходную плоскость Е и Θ по линиям уровня n2 (n12 n22) и n3 (n13
n23), которые пересекутся в точке Р (Р1Р2). Эти точки М и Р лежат в плоскостях
уровня и одновременно принадлежат двум исходным плоскостям Е и Θ. Точки М и Р
определяют линии пересечения МР (М1Р1; М2Р2) плоскостей.
Плоскости взаимно перпендикулярны если одна из плоскостей содержит прямую
перпендикулярно направленную к другой плоскости.
Пусть требуется через т D (D1D2) принадлежащий некоторой прямой L (L1L2)
провести плоскость Θ перпендикулярную плоскости ∆ (А,В,С). (См Рис 38)
15
B2
22 f2
12
n2
L2
C2
D2
A2
B1
11
21 f1
A1
n1
D1
L1
C1
Рис 38
Для этого через точку D (D1D2) проводится прямая n (n1n2), перпендикулярная
соответственно к горизонтали и фронтали принадлежащей плоскости ∆ (А,В,С), где
горизонталь и фронталь, линии параллельные плоскости проекции.
Многогранники.
Основные понятия и определения.
Объединение конечного числа многоугольников называется многогранной
поверхностью.
Многоугольники, составляющие многогранную поверхность, называются ее
гранями; стороны многоугольников – ребрами, а вершины – вершинами многогранной
поверхности. Отрезок, соединяющий две вершины многогранника, не принадлежащие
одной грани, называются диагональю многогранника. Совокупность всех вершин и
ребер многогранной поверхности называется сеткой. Многогранная поверхность
называется замкнутой, если каждое ребро содержится в двух ее гранях.
Многогранники бывают выпуклыми (рис. 39) и невыпуклыми (рис. 40)
C2
S
B2
D2
A2
E2
C
B
C1
E
A
A1
B1
D
D1
E1
Рис39
Рис40
Многогранники выпуклые, если все, не принадлежащие произвольной грани этого
многогранника, расположены по одну сторону от плоскости этой грани.
16
Наиболее распространенными из всего многообразия многогранников,
практический интерес представляют призмы, пирамиды, правильные многогранники и
их разновидности.
Многогранник, две грани которого n-угольники, лежащие в параллельных
плоскостях, а остальные «n»
граней – параллелограммы называется n-угольной
призмой. (Рис 39). Указанные многоугольники называются основаниями призмы,
параллелограммы – боковыми гранями.
Многогранник, одна из граней которого – произвольный многоугольник, а
остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину, называются пирамидой.
( Рис 40).
Грань – многоугольник пирамиды принято называть основанием,
треугольники – боковыми гранями. Общая вершина треугольников называется особой
вершиной (или просто вершиной) пирамиды. Многогранник называется метрически
правильным, если все его грани являются правильными многоугольниками, все
многогранные углы – конгруэнтными правильными многогранными углами. К ним
относятся: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.
Тетраидер
Рис 41
октаэдр
икосаэдр
додекаэдр
Способы преобразования проекций.
Преобразование комплексного чертежа предназначается для упрощения решения
задач метрического или позиционного характера. Желание упростить решение
указанных задач приводит к необходимости такого преобразования при котором
прямые и плоскости общего положения становятся прямыми и плоскостями частного
положения.
Преобразование комплексного чертежа может быть осуществлено следующими
основными способами:
1. Замена плоскостей проекции.
2. Плоско параллельное перемещение или вращение проекции.
3. способ дополнительного проецирования.
Способ замены плоскостей проекции.
Особенностью способа замены плоскостей проекции является то, что объект в
пространстве остается неизменным, а плоскости проекции относительно объекта
перемещается последовательно. Причем одновременно все плоскости проекции
убирать нельзя.
При использовании данного способа следует соблюдать: а) замененная плоскость
проекции и оставшаяся (базовая) плоскость должны быть взаимно перпендикулярны;
б) Сохраняется ортогональный способ проецирования на новую плоскость проекции,
что позволяет направить линию связи, относительно сохранившейся проекции и новой
проекции, перпендикулярно к линии пересечения плоскостей проекции. (См. Рис 42) в)
сохраняются координаты замененной плоскости.
А2
п2
= А2
А
А4
А4
х12
=
=
=
17
А1
п4
п1
А1
Рис 42
Следует отметить, что замену плоскостей проекции можно производить
последовательно относительно проецируемого объекта бесконечное количество раз.
П3
А3
П3 П4
П2
lll
A4
ll
lll
А2
П2 -П1
=
А1
П3
П6
vv
v
v
l
vv
П1 П4
П3
А4
П4
Рис 43.
Способ плоско – параллельного перемещения.
Плоско – параллельным движением объекта в пространстве называется такое ее
движение, при котором все точки объекта перемещаются в параллельных плоскостях.
В отличии от способа замены плоскостей проекции, где объект приводится в
частные положения путем перемещения плоскостей проекции, в данном способе
принятые плоскости проекции не меняют своего первоначального положения, а объект
в пространстве совершает плоско – параллельное перемещение относительно одной из
плоскостей проекции, а затем относительно другой.
При плоско – параллельном перемещении относительно горизонтальной плоскости
проекции все точки объекта перемещаются в горизонтальных плоскостях, а потому
горизонтальная проекция перемещаясь сохраняется по форме и величине. А во
фронтальной проекции все точки объекта перемещаются по прямым линиям
относительно оси ОХ и наоборот. При плоскопараллельном перемещении объекта в
пространстве относительно фронтальной плоскости проекции, фронтальная проекция
по форме и величине сохраняется, а горизонтальные проекции всех точек объекта
перемещаются по линиям параллельным оси ОХ. (См .Рис 44)
А2
A’2
A’’2
x12 П2
П1
18
A1
A’1
A’’1
Рис 44
Частным случаем плоскопараллельного перемещения можно рассматривать
способы вращения объекта вокруг прямых линий.
Способ дополнительного проецирования.
Как уже указывалось ранее, помимо основных способов преобразования
комплексного чертежа замены плоскостей проекции и плоскопараллельного
перемещения, иногда при решении задач целесообразно использовать способ
дополнительного проецирования. При использовании этого способа направление
проецирования и плоскость на которую производят проецирование выбирают в
зависимости от требуемого в том или ином случае преобразования чертежа. Обычно
применяется косоугольное или центральное проецирование на какую- нибудь
плоскость уровня или проецирующую плоскость. Таким образом на комплексном
чертеже дополнительно строится проекция на выбранную плоскость, или иначе, тень
данного оригинала на выбранную плоскость.
Целью применения дополнительного проецирования является получение
вырожденных проекций того или иного оригинала при решении позиционных задач.
Как известно решение позиционных задач в этом случае значительно упрощается.
К примеру пусть нам дана точка А (А2А1) в проекциях на плоскостях проекции П1
и П2 и дано направление проецирования (косоугольное) S (S2;S1). (См Рис 45).
A2
S2
L2
х12 П2
П1
A2*
A1*≡A*
L1
S1
A1
Рис 45.
Следует построить новую проекцию точки А, по заданному направлению S (S1; S2)
на горизонтальную плоскость проекции. Для этого из точки А1 проводим линию L II
S1. Тоесть определим горизонтальный след луча L проходящего через точку А и
параллельно направлению проецирования S/
L2 ∩ X12 = A2‫ ٭‬- фронтальная проекция горизонтальной точки.
А2‫٭‬А1‫ ٭‬перпендикулярна Х12; А1 ‫ ≡٭‬А1‫ ;٭‬А‫ ٭‬- горизонтальная проекция тени,
которая совпадает с тенью точки А на горизонтальную плоскость проекции А‫٭‬.
Точно таким же образом можно построить тень точки А на фронтальную плоскость
проекции П2. Точка А принадлежит L II S → L2 II S2; L1 II S1; L1 ∩ X12 = A1‫ ٭‬горизонтальная проекция тени точки А на фронтальную плоскость проекции А2‫= ٭‬
А‫٭‬. А2‫ ٭‬А1‫ ٭‬перпендикулярна Х12. Точка А принадлежит L ∩ П2 = А‫ ٭‬- тень точки А
на фронтальной плоскости проекции. (См. Рис 46)
A2
S2
L2
П2
х12
П1
A2*≡A*
19
L1
S1
A1
Рис 46
Лекция 7.
Аксонометрическая проекция.
Проекция объекта в месте с пространственной системой координат на некоторую
плоскость называется аксонометрической проекцией объекта. Плоскость на которую
проецируют объект вместе с пространственной системой координат называют
аксонометрической плоскостью проекции. Слово аксонометрия означает буквально
осеизмерение.
Построение аксонометрической проекции.
Выберем плоскость проекции П’ и спроецируем на нее по заданному направлению
S данную точку А вместе с пространственной системой координат OXYZ, к которой
предварительно отнесена точка А (См Рис 47). Как известно для отнесения точки А к
системе координат, необходимо построить координатную ломанную OAxA1A точки
А. Тогда измеряя отрезки этой ломанной единицей длинны L, называемой
натуральным масштабом, получим натуральные координаты точки А.
В результате проецирования па плоскость П’ получим проекцию А’ данной точки
А, проекцию O’Ax’A1’A’ координатной ломанной и проекцию O’X’Y’Z’ натуральной
системы координат, на осях которой расположатся проекции Lx’Ly’Lz’ натурального
масштаба.
Проекция А’ называется аксонометрической проекцией точки А.
Проекция O’Ax’A1’A’ называется аксонометрической координатной ломаной.
Отрезки O’Ax’; Ax’A1 и A1’A’, соответственно параллельными осями x’, y’ , z’
аксонометрическими отрезками координат; проекции A1’ точки А1 называется
вторичной проекцией точки А.
Проекция O’X’Y’Z’ называется аксонометрической системой координат, которая
состоит из аксонометрических x’, y’, z’, пересекающихся в точке O’, называемой
аксонометрическим началом координат.
z’
П’
z
A’
A
e’z
e’y
Ax’
O
x’
A1
y’
e
e
O
Ax
x
A’
y
Рис 47.
Проекции Lx’; Ly’; Lz’ натурального масштаба L называются аксонометрическими
масштабами. В обще случае они различны, т. е. для каждой оси получается свой
аксонометрический масштаб. Из рисунка 47 видно, что для определения точки А на
аксонометрической плоскости, не достаточно иметь ее аксонометрическую проекцию
20
A’, нужно иметь и ее вторичную проекцию A1’, причем прямая A1’A’ II Z’.
Аксонометрическая проекция А’ определена аксонометрической ломаной O’Ax’A1’A’.
Если измерить аксонометрические координатные отрезки натуральным масштабом
L то получим аксонометрические координаты точки А: x’ = O’Ax’ / L; y’ = OAx’A’ /
L; z’ = A1A’ / L; которые в общем случае отличаются от натуральных координат.
Если же измерить аксонометрические координатные отрезки соответствующими
аксонометрическими масштабами, то получим натуральные координаты точки А: x =
O’Ax’ / L’x; y = Ax’A1’ / L’y; z = A1’A’ / L’z; Также как при параллельном
проецировании натуральные координатные отрезки и натуральные масштабы по осям
искажаются одинаково по каждой оси.
Показатели искажения.
Отношение аксонометрических координат к натуральным (при одной и той же
натуральной единице L) называется показателями искажения по осям. Обозначая через
U показатель искажения по оси X, через V показатель искажения по оси Y, через W
показатель искажения по оси Z получим:
U = x’/x = O’Ax’ / OAx = L’x / Lx; V = y’ / y = A1’Ax’ / A1Ax = L’y / Ly; W = z’ / z =
A1’A’ / A1A = L’z / Lz;
По этому построение аксонометрического чертежа производят не по
аксонометрическим масштабам, а по заданным показателям U, V. W.
Имея показатели искажений по осям, можно по натуральным координатам точки А
найти ее аксонометрические координаты: x’ = U * X; y’ = V * Y; z’ = W * Z; отсюда
натуральные координаты для построения аксонометрического чертежа: x = x’ / U; y =
y’ / V; z = z’ / W;
Виды аксонометрических проекций.
В зависимости от сравнительной величины коэффициентов искажения по осям
различают три вида аксонометрических проекций: если U = V = W то
аксонометрическая проекция – изометрия; если U = W ≠ V; U = V ≠ W; V = W ≠ U то
аксонометрическая проекция – диметрия; если U ≠ V ≠ W аксонометрическая проекция
– триметрия.
В зависимости от направления проецирования S по отношению к плоскости
проекций П’ аксонометрические проекции делятся на косоугольные и прямоугольные
(ортогональные). Если направление проецирования перпендикулярно к плоскости
проекции П’ то аксонометрическая проекция ортогональна (т. е. прямоугольна).
Если направление проецирования не перпендикулярно к плоскости проекции П’ то
аксонометрическая проекция косоугольна.
Теорема Польке: “Всегда найдется такое положение прямоугольной системы
натуральных координат в пространстве и такой размер натурального масштаба по
осям, а также такое направление проецирования, что любая аксонометрическая
система окажется параллельной проекцией натуральной системы”.
υ
При этом следует отметить, что показатели искажений U, V ,W и угол
с
2
2
2
аксонометрической плоскостью проекции связаны соотношением: U + V + W = 2 +
υ
ctg 2
(1).
Это соотношение легко получить в частном случае, когда две из координатных
осей натуральной системы параллельны плоскости проекции. К примеру пусть
координатная плоскость XOY II П’, тогда х ≡ х’ y ≡ y’ U=1; V = 1; W = ctg
следует соотношение (1), которое справедливо и в общем случае.
В случае ортогональной проекции когда
примет вид: U2 + V2 + W2 = 2 (2).
υ
= 90˚, ctg
υ. Отсюда
υ = 0, соотношение (1)
Ортогональная аксононометрическая проекция.
21
Наибольшее
распрастранение
в
практике
получила
ортогональные
аксононометрические проекции. Данная аксонометрическая проекция обладает
большей наглядностью, чем косоугольная. В ортогональной аксонометрии все три
координатные оси пересекают плоскость проекции. В самом деле, если одна из
координатных осей параллельна плоскости проекции, то две других оси будут
расположены в плоскости, перпендикулярной плоскости проекции и тогда проекция
этой оси выразится в точку. В обоих случаях аксонометрические проекции лишаются
наглядности и исключаются из рассмотрения. Обозначим точки пересечения
координатных осей x, y, z с плоскостью проекции П’ соответственно А, В, и С (См Рис
48). Треугольник x’ y’ z’ по которому плоскость П‘ пересекает координатные
плоскости натуральной системы координат будем называть треугольником следов так
как стороны этого треугольника являются следами координатных плоскостей на
плоскости П’.
z’
C’
П’
z
o’
o
x
A’
x’
F’
y B’
y’
Рис 48.
Рассмотрим некоторые свойства ортогональной аксонометрии:
1. Аксонометричекие оси в ортогональной аксонометрической проекции являются
высотами треугольника следов.
2. Треугольник следов всегда остроугольный.
3. Три выходящие из одной точки полупрямые плоскости только в том случае
могут являться аксонометрическими осями ортогональной аксонометрии, если они
образуют между собой тупые углы.
4. Показатели искажения в ортогональной аксонометрии равны косинусу углов
наклона натуральных осей к плоскости проекции. OO’ перпендикулярна П‘,
следовательно O’A’ проекцией OA’. Поэтому U = O’A’ / OA’ = x’ / x = cos α, где угол α
– угол наклона оси х к плоскости П’. V = O’B’ / OB’ = y’ / y = cos β, где угол β – угол
наклона оси y к плоскости П‘. W = O’C’ / OC = z’ / z = cos γ, где γ – угол наклона оси z
к плоскости П’.
Рассмотренные свойства ортогональной аксонометрии показывают что если в
косоугольной аксонометрии, согласно теореме Польке, систему координатных осей и
аксонометрические масштабы на них можно задавать совершенно произвольным
образом, то в ортогональной аксонометрии этого делать нельзя.
Рассмотрим построение ортогональной аксонометрии окружности, расположенной
в какой – нибудь из ортогональных плоскостей.
Согласно свойствам ортогональных проекций окружности было выяснено, что
большая ось эллипса, являющейся ортогональной проекции окружности равна
диаметру (d), а малая ось равна d cos φ, где φ – угол наклона плоскости (где
расположена проецируемая окружность) к плоскости проекции параллельна нормали
проецируемой плоскости.
22
5. Малая ось эллипса, изображающего окружность, лежащего в одной из
координатных плоскостей, параллельна аксонометричской проекции натуральной оси,
отсутствующей в этой плоскости, а большая ось ей перпендикулярна. Так как
величины осей эллипса определяются соотношениями: 2а = d; 2b = d cos φ, где а –
большая полуось эллипса, b – малая полуось эллипса. то показатель искажения по
направлению большей оси эллипса равен единице, а по направлению малой оси равен
косинусу угла наклона плоскости, в которой лежит окружность, к плоскости проекции
П’.
Нетрудно увидеть, что угол φxy наклона координатной плоскости xoy к плоскости
П’ является дополнительным углом угла γ (См Рис 48) так как у треугольника F’OZ’
угол при вершине О – прямой. Отсюда следует что cosφxy = sinγ точно также можно
определить показатели искажения малых осей для двух других плоскостей. В
результате получим, что показатели искажения малых осей эллипсов, изображающих
окружности лежащие в координатных плоскостях xoy, xoz и yoz соответственно
равны:
Все выводы о направлениях и размерах осей эллипсов, изображающих окружности,
расположенных в координатных плоскостях, также справедливы и для эллипсов,
изображающих окружности, лежащих в плоскостях, параллельных координатных
плоскостях.
Лекция 9.
Стандартные аксонометрические проекции.
ГОСТ ЕСКД предусматривает три частных вида аксонометрических проекций:
ортогональную изометрию
ортогональную димметрию
фронтальную димметрию (косоугольную)
1. Ортогональная изометрия.
В изометрии показатели искажения по всем трем осям одинаковы, т.е. U=V=W
Отсюда следует, что cosά=cosβ=cosγ и ά˚=β˚=γ˚. Это означает, что в ортогональной
изометрии натуральные оси координат одинаково наклонены к аксонометрической
плоскости проекции. Из равенств углов ά,β и γ вытекает и равенство отрезков
аксонометрических осей т.е. О́ А́, О́В́ и О́С́ см. рис 49. Тогда ∆А́В́С́ является
равносторонним треугольником. Как известно, высоты равностороннего треугольника
пересекаются в одной точке O’ и имеют углы наклона 120˚.
z’
C’
120° o’
120°
x’
A’
B’
y’
Рис 49
Так как в ортогональной аксонометрической проекции U2 + V2 + W2 = 2 отсюда
следует 3U2 = 2 или U = V = W = 0,82. На практике пользуется приведенными
коэффициентами: U = V =W = 1,0. При этом коэффициент m = 1,0 / 0,82 = 1,22. Это
означает что масштаб такого приведения будет М 1,22 : 1.
Построение эллипсов изображения окружности, расположенных в координатных
плоскостях параллельных им.
Малые оси этих эллипсов параллельны соответствующим аксонометрическим
осям, а большие оси им перпендикулярны. (Рис 50) величины этих осей в приведенной
изометрии легко определить с учетом коэффициентов приведения М = 1,22d получим,
23
что большая ось эллипса во всех трех аксонометрических плоскостях, изображающих
окружность диаметром d, расположенных в координатных плоскостях или в
плоскостях им параллельных, равен 1,22d. Малая ось каждого из этих эллипсов будет
равен по приведенным коэффициентам 0,71d.
На рисунке 50 показаны три эллипса,
изображающие окружности, расположенные в
плоскостях,
параллельных
координатным
плоскостям.
На
высотах
показаны
коэффициенты искажения соответствующих
диаметров изображаемых окружностей. Итак по
точным коэффициентам: U = V = W = 0,82 –
коэффициенты по осям x’ y’ z’ БОЭ = d; МОЭ
= 0,58d. По приведенным коэффициентам U = V
= W = 1.0 - коэффициенты по осям x’ y’ z’. БОЭ
= 1,22d; МОЭ = 0,71d.
Ортогональная димметрия
Это
такой
вид
ортогональной
аксонометрической проекции когда два
коэффициента равны между собой, но не
равны третьей. Т. е. U = W и V = U / 2
Рис 50.
отсюда на основании свойств ортогональной аксонометрической проекции где U2 +
V + W2 = 2 следует cosα = cosγ bkb α = γ. Из равенства этих углов вытекает и
равенство отрезков O’A’ = O’C’ (См. Рис 48). Тогда треугольник следов A’B’C’ будет
равнобедренным, равными сторонами которого будут стороны A’B’ = B’C’ (См Рис
48). Вычислим показатели искажения. Из вышеприведенных соотношений имеем U2 +
U2 / 2 + U2 = 2 откуда U = 0,94, тогда W = 0,94, V = 0,47.
2
z
z’
C’
F’
γ˚
o’
A’
x
x’
o
B’
y’
y
Рис 51
При приведении к единице двух из показателей искажения U и W третий
показатель V приведем к половине. Таким образом в приведенной ортогональной
димметрии коэффициенты искажения будут: U = W = 1,0 и V = 0,5
При этом приведенные коэффициенты m равны: m = 1,0 / 0,94 = 1,06. Это означает
что приведенная ортогональная димметрия дает изображение в масштабе М 1,06 : 1
Теперь определим взаимные расположения аксонометрических осей. Так как
треугольник следов A’B’C’ равнобедренный треугольник, то его высоты B’F’
являются в тоже время и медианой т. е. A’F’ = C’F’ (Рис 51). Из прямоугольного
24
треугольника O’F’C’ имеем sinδ = F’C’ / O’C’ : (A’C’)2 = (A’O)2 + (C’O)2 где A’O =
C’O = 1. (A’O)2 = 2; A’C’ = 1,4 ; F’C’ = A’C’ / 2 = 0,7
Sinδ = 3/4/
По найденному значению по таблице определяют величину угла, которая
составляет δ = 48˚, 35́ . а угол между осями x’ и z’ составляет 2δ т. е. угол между x’ и z’
равен 97˚, 10́. Угол между осями z’ и y’ будет равен 131˚,25́.
Углы наклона аксонометрических осей и горизонтальной прямой от начала
координат О’ составляет: ось O’x’ с горизонтальной прямой 7˚,10́, ось O’y’ с
горизонтальной прямой 41˚,25́.
Tg7˚10́ = 1/8 для удобства построения следует отложить 8 равных единиц по
горизонтали и одну единицу по вертикали, чтобы построить аксонометрическую ось
O’x’.
Tg41˚25
т. е. отложить вправо 8 равных единиц, чтобы провести
аксонометрическую ось O’y’ (См Рис 52)
z’
8ед
7˚10
97˚10
131˚25
8 ед
о
1ед
41˚25
x’
7ед
y’
Рис 52
́
Построение эллипсов изображающих окружности, расположенные в
координатных плоскостях или плоскостях им параллельных производится следующим
образом.
Малые оси эллипсов так же как в изометрии, параллельны соответствующим
аксонометрическим осям, и большие оси им перпендикулярны (См Рис 53). Большая
ось по приведенным коэффициентам равна 1,06d. Чтобы определить величину малых
осей необходимо вычислить их показатели искажения. Для координатных осей x’o’y’
и y’o’z’ величина малых осей 0,35d.
Для координатной плоскости x’o’z’величина малой оси равна 0,95d. (См Рис 53).
Рис 53
Косоугольная фронтальная диметрия.
25
На практике часто бывает полезным построение такой аксонометрической
проекции, в которой хотя бы одна из координатных плоскостей не искажалась. То есть
хотя бы одна из плоскостей проекций была параллельна аксонометрической плоскости
проекции. При этом невозможно пользоваться ортогональной проекцией, а
используется косоугольный способ проецирования.
Если расположить координатную плоскость проекции xoz параллельно
аксонометрической плоскости проекции П’, тогда показатели искажения по осям x’ и
z’ равны единице, т. е. U = V = 1.
Фигуры расположенные в плоскостях xoz ей параллельных будут в
аксонометрической проекции изображаться без искажений.
Направление аксонометрической оси y’ и величина показателя искажения V по
этой оси зависит от угла направления проецирования ОО’ (См Рис 54).
z
z’
x’
o’
o
x
y’
y
Рис 54
Поэтому направление оси y’ зависит от направления OO’ и может быть выбрано
произвольно. Но так как для косоугольной аксонометрии имеет место U2 + V2 + W2 = 2
+ ctg 2 φ и учитывается U = V = 1.0 получим V = ctgφ. Отсюда следует что показатель
V выражаясь через котангенс угла φ, может иметь любое числовое значение.
Практически направление оси y’ выбирается таким образом чтобы углы образованные
осью y’ с осями x’ и z’ равнялись 135˚, а показатель искажения V = 0,5. Такую
косоугольную изометрию называют фронтальной димметрией. Вычислим угол φ
наклона проецирующих лучей к плоскости проекции в фронтальной димметрии. Так
как ctgφ = V = 0,5 то φ = arcctg0,5 = 63˚. Во фронтальной изометрии, в которой U2 + V2
+ W2 = 1, φ = arcctg1 = 45˚.
На чертеже (Рис 55) показаны проекции трех окружностей, расположенных в
плоскостях параллельных координатам. Окружность расположения в плоскости
параллельной координатной плоскости xoz спроецируется без искажения, а
окружности в двух других координатных плоскостях xoy и yoz спроецируется в виде
эллипсов. Обычно они тоятся по сопряженным диаметрам.
26
Рис 55
Лекция 10.
Кривые линии и их проекции.
Основные понятия и определения.
Кривая – это множество точек пространства, координаты которых являются
функциями одной переменной. В начертательной геометрии кривую рассматривают
как траекторию. Описанную движущейся точки, как линию пересечения поверхностей
и т. д. Кривые линии подразделяются на закономерные и незакономерные.
К закономерным прямым линиям относятся такие линии, которые могут быть
описаны математическими формулами (алгебраическими и трансцендентальными).
Кривые которые не возможно описать математическими формулами являются
незакономерными (топографические линии земли и т. п.). Кривые линии также
подразделяются на плоские и пространственные.
Кривая называется плоской если все ее точки принадлежат некоторой плоскости, в
противном случае она называется пространственной. Для исследования локальных
свойств кривой, строят в выбранной точке касательную и нормаль. Касательной
прямой t в точке М кривой m называется предельное положение секущей MN, тогда
точка N стремится вдоль линии m к точке M. (См Рис 56)
Нормалью n к плоской кривой в точке М называется прямая, перпендикулярная
касательной t в этой точке. Нормаль плоской кривой принадлежит ее плоскости.
Точка кривой называется обыкновенной (регулярной), если в этой точке можно
построить единственную касательную к кривой.
Кривая линия характеризуется также своей кривизной. Предельное положение
окружности к, проходящей через точку М кривой и две другие ее близкие точки N и Р,
когда N→ M, P→M, называется центром кривизны кривой в точке М. Центр круга
кривизны называется центром кривизны для точки М и находится на нормали к кривой
в направлении ее вогнутости. (См Рис 57)
k
t
n
n
N
t
o
M
M
R
N
m
P
Рис 56
Рис 57
Радиус R круга кривизны называется радиусом кривизны. Величина k = 1/R,
обратная радиусу кривизны называется кривизной кривой в исследуемой точке.
Если в обыкновенной точке М кривой m кривизна имеет экстремальное значение, в
частности равна нулю, то точка М называется специальной. К специальным точкам
относятся точки перегиба (Рис 58а), вершины кривой (Рис 58б), несобственные точки
(Рис 58с)
а)
б)
в) n(N∞)
m(N∞)
С
M
m
t=k
A
B
D
27
Рис 58
В точке перегиба ветви кривой распространены по разные стороны от касательной
t, кривизна равна нулю, так как радиус кривизны становится бесконечно большим.
В вершинах эллипса кривизна имеет максимум или минимум: например в точке А,
В эллипса, кривизна имеет максимальное значение, а в точках С, D – минимальное.
Несобственная точка кривой – это действительная точка пересечения кривой с
несобственной прямой плоскости. Такие точки на чертеже задаются асимптотами.
Гипербола имеет две несобственные точки.
Точка кривой называется особой, если в ней не определено положение
касательной. К ним относятся угловые точки (Рис 59а), точки возврата первого рода
(Рис 59б), точки излома (Рис 59с) и т. д.
а)
б)
в)
г)
д)
Рис 59
Характеристика заданных кривых. Основной характеристикой кривой линии
является порядок кривой. Для алгебраических кривых линий порядок определяется
степенью уравнения. Геометрический порядок кривой линии определяется
количеством точек пересечения с прямой, если она плоская, или количеством точек
пересечения или количеством точек пересечений с секущей плоскостью, для
пространственных кривых линий.
Пространственные кривые и свойства их проекций.
Исследование свойств кривой включает в себя исследование кривой в целом и
исследование в окрестностях ее точки. Для исследования свойств кривой в целом
необходимо установить общие свойства кривой и ее порядок. Естественно они связаны
со свойствами проецирования и справедливы для проекции плоских кривых.
1. Несобственная точка кривой проецируется в несобственную точку ее проекции.
2. Касательная к кривой проецируется в касательную к ее проекции, если
направление проецирования не параллельно касательной.
3. Порядок проекции алгебраической кривой равен порядку самой кривой. (См Рис
60).
t
m
M
П1
M1
m1
t1
Рис 60.
Исследование свойств кривой в окрестностях ее точек, так называемых
дифференциальных (локальных) свойств производится путем построения проекций
кривой на грани сопровождающего трехгранника. Рассматриваемый трехгранник
28
состоит из трех ребер касательной, нормали и бинормали и из трех граней –
соприкасающейся, нормальной, спрямляющей прямой. (См Рис 61).
b
M
t
n
Рис 61.
Все плоскости проходящие через касательную t к кривой m в ее точке М
называются касательными. Среди них одна называется соприкасающейся плоскостью
Θ, являющейся предельным положением секущей плоскости. Плоскость Г
принадлежит М перпендикулярная касательной t, называется нормальной. Плоскость
φ с t. Перпендикулярная плоскости Θ называется спрямляющей плоскостью. Прямая n
= Г ∩ Θ называется главной нормалью.
Образование, задание и изображение поверхностей.
1. В начертательной геометрии пользуются главным образом кинематическим
способом образования плоскостей.
В этом случае поверхность рассматривается как совокупность всех
последовательных положений некоторых линий, перемещающихся в пространстве по
определенному закону.
Линия при своем движении может оставаться неизменной или непрерывно
меняться. На всякой поверхности Ω можно в общем случае провести два семейства
таких линий L и М (См Рис 62), которые будут удовлетворять следующему условию:
никакие две линии одного семейства не пересекаются между собой. И наоборот
каждая линия одного семейства пересекает все линии другого семейства. В этом
случае поверхность Ω может быть образована движением L, называемой образующей
по неподвижной линии m второго семейства, которая называется направляющей.
Нетрудно видеть, что можно образующие и направляющие поменять местами и при
этом получится одна и таже поверхность.
m’’
m’’
L’’’
L’’’
L’’’
Рис 62
2. Чтобы задать поверхность на комплексном чертеже, достаточно на нем иметь
такие элементы поверхности, которые позволят построить каждую ее точку.
29
Совокупность этих элементов поверхности называются определителями поверхности.
Часто поверхность задается проекциями своих направляющих, причем указывается
способ построения ее образующих. Для предания чертежу большей наглядности в
большинстве случаев на нем строят еще и очерк поверхности, а также ее наиболее
важные линии и точки.
Когда какая нибудь поверхность Ω проецируется параллельно на плоскость
проекции П́, то проецирующие лучи, касающиеся поверхности Ω, образуют
цилиндрическую поверхность (См Рис 63)
A’
A
Ω
L
L’
C’
C
П’
Рис 63
Проецирующие лучи касаясь поверхности Ω в точках, образуют линию касания L,
называемой контурной линией.
Очерком поверхности и является проекция контурной линии.
Таким образом, очерком поверхности называется граница, которая определяет
проекцию поверхности от остальной части плоскости проекции.
В основу систематизации поверхностей может быть положен их определитель.
Будем считать что поверхности принадлежат к одному классу, если они имеют единую
структурную форму определителя и одинаковое значение его геометрической части. Из выше
сказанного все многообразие поверхностей может быть разделено на два класса. Класс I
составляют поверхности имеющие определитель Ф (а, m) [А, А1] где а – криволинейная
образующая; m – направляющая; А – закон перемещения образующей; А1 – закон изменения
формы образующей.
Класс II составляют поверхности, определитель которых имеет вид Ф (m, n, L) здесь m,
n, L – направляющие; (прямолинейная образующая а в определитель не входит).
Класс I объединяет поверхности нелинейные (образующая – кривая линия).
Класс II объединяет поверхности линейчатые (образующая – прямая линия).
При такой классификации поверхностей во внимание принималась форма образующей. То
есть геометрическая часть определителя.
Условия алгоритмической части определителя, характеризующая закон движения
образующей, позволяет выделить из классов I и II три класса. (См. Схема I).
Подкласс 1 содержит поверхности образованные поступательным движением образующей
линии. Такие поверхности называют поверхностями параллельного переноса.
Подкласс 2 составляет поверхности, образованные вращательным движением образующей
линии – поверхности вращения.
Подкласс 3 включает поверхности, образованные винтовым перемещение образующей линии
– поверхности винтовые.
Поверхности 1, 2, 3 подклассов имеют одинаковую форму определителя Ф (a, m) [A] у них
может быть одинаковая геометрическая часть определителя, но алгоритмическая часть [A]
разная.
Каждый из классов I и II делится на группы А, Б, …, которые могут быть подразделены на
подгруппы а, б, … В свою очередь подгруппы состоят из отдельных видов поверхностей.
30
Критерий для деления на группы подгруппы также берутся из определителя поверхности.
Например, класс II (поверхности линейчатые) содержат три группы А11, Б11, В11. Признаками
такого деления служит число направляющих.
А11 поверхности линейчатые с тремя направляющими Ф (m, n, L).
Б11 поверхности линейчатые с двумя направляющими Ф (m, n) [A1].
В11 поверхности линейчатые с одной направляющей Ф (m) [A2].
В свою очередь каждая из отмеченных групп подразделяется на подгруппы. Так группа А11
содержит четыре подгруппы (См Схема2).
а11 – косой цилиндр с тремя направляющими Ф (m, n, L), где три направляющие кривые
линии.
б11 – дважды косой цилиндроид Ф (m, n, L), где направляющие m, n – кривые, направляющая
L – прямая линия.
в11 дважды косой коллоид Ф (m, n, L), где направляющая m – кривая, а направляющие n и L –
прямые линии.
г11 – однополосный гиперболоид Ф (m, n, L), где все три направляющие прямые линии.
Каждая из подгрупп включает отдельные виды поверхностей, например: в подгруппу б11 входят
α – поверхность косого клина, β – поверхность дважды косого винтового цилиндроида, γ –
поверхность косого перехода.
Лекция 14.
Линейчатые поверхности с одной направляющей (торсы) (группа В11)
Торсом называют линейчатую поверхность, которую можно совместить всеми ее точками с
плоскостью без складок и разрывов.
Таблица 5
S
m
H
a
a2
a3
a1
m’
m
H
Рис 80 Поверхность с
ребром возврата
Рис 81 Поверхность
цилиндрическая
S
a1
m
H
a5
a3
a2
a3
Рис 82
1. Поверхность с ребром возврата. Данная поверхность образуется движением
прямолинейной образующей по пространственной кривой направляющей, оставаясь при своем
движении касательной к кривой направляющей m – ребро возврата. Ф (m) [A], где m –
направляющая пространственная кривая линия, [A] – алгоритм движения прямолинейной
образующей касательно к кривой направляющей. (См Таблица 5 Рис 80)
31
2. Цилиндрическая поверхность. Поверхность образуется движением прямолинейной
образующей по кривой направляющей, оставаясь при своем движении параллельной своему
первоначальному положению или заданному направлению Ф(m) [A], где m – направляющая
прямая линия. [А] – алгоритм движения прямолинейной образующей а II a1, a1 II a2, a3 … IIan.
(См. Таблица 5 Рис 81)
3. Коническая поверхность. Образуется движением прямолинейной образующей, причем при
своем движении пересекается в точке S называемой вершиной конуса. Ф (m) [A] где m –
направляющая прямая линия. [A] – алгоритм движения прямолинейной образующей таким
образом, чтобы при своем движении образующая пересекалась в одной точке S, a ∩ a1 ∩ a2 ∩ a3
∩ … an = S/ (См таблица 5 Рис 82).
Поверхности вращения (подкласс 2).
Поверхностью вращения общего вида называют поверхность, которая образуется
произвольной кривой (плоской или пространственной) при ее вращении вокруг неподвижной
оси. В определители поверхности вращения входит образующая а, ось вращения m и условие [A]
о том, что эта образующая вращается вокруг оси m. Ф (a, m) [A] (См Рис 8) Каждая точка
образующей а (A, B, C, D, E) при вращении вокруг оси m описывает окружность с центром на
оси вращения. Эти окружности называют параллелями. Наибольшую и наименьшую параллель
называют соответственно экватором и горлом поверхности. Плоскости α проходящие через ось
поверхности вращения, называют меридианами. Меридиальную кривую линию, параллельную
плоскости проекции, называют главным меридианом. Проекция главного меридиана является
очерком поверхности.
При вращении кривой линии n – го порядка, когда ось кривой совпадает с осью вращения,
образуется поверхность таго же порядка, что и прямоя линия.
Если ось вращения не совпадает с осью кривой, то порядок образуемой поверхности будет 2n.
Ось вращения (m)
главный
меридиан
α
A
гл. меридиан
горло
B
экватор
D
E
горло
экватор
горло
экватор
меридиан
Рис 83
Рис 84
Поверхности винтовые (подкласс 3).
Винтовая поверхность образуется сложным движением линии образующей по винтовой
направляющей или когда образующая совершает вращательное и поступательное движение
одновременно.
Определитель винтовой поверхности имеет вид Ф (a, m) [A], где а – образующая (кривая или
прямая), m – направляющая винтовая линия, [A] – дополнительные указания о характере
винтового перемещения образующей а.
Если образующая а винтовой поверхности кривая линия, то образуемая винтовая поверхность
общего вида (либо циклическая винтовая поверхность, если образующая переменная кривая
линия). (См Рис 85)
Если образующая а винтовой поверхности прямая линия, то образующаяся винтовая
поверхность линейная. Если образующая линия пересекает ось направляющей, то винтовая
поверхность открытая.
32
В случае когда ось винтовой направляющей и образующаяся линия скрещиваются, то
образуемая винтовая поверхность открытая.
Линейчатые винтовые поверхности называются геликоидами. В зависимости от угла наклона
образующей к оси, геликоиды бывают прямыми (если образующая и ось винтовой направляющей
составляют 90˚) или косым (если образующая и ось винтовой направляющей составляет острый
угол, т. е. меньше 90˚).
an
m
a
a3
a2
a1
Рис 85
Поступательное перемещение образующей за один полный оборот (360˚) называется шагом
винтовой поверхности. (См Рис 86, 87).
m2
Рис 86 Прямой закрытый геликойд
Р шаг
a2
a1
m1
m2
Рис 87 Косой закрытый геликойд
Р шаг
a2
a1
33
Лекция 15.
Построение сечения поверхности плоскостью.
Сечение поверхности плоскостью в общем случае представляет плоскую кривую линию.
Определение проекции линии сечения обычно начинают с построения опорных точек,
расположенных на крайних очерковых линиях поверхности (точки, определяющие границы
видимости проекции кривой), точек удаленных на экстремальные (max и min) расстояния от
плоскостей проекции. После этого определяют остальные точки кривой сечения.
I. Построение сечения многогранника.
Построение сечения многогранников плоскостью в общем случае являются плоские
многоугольники, вершины которых принадлежат ребрам, а стороны граням многогранника. По
этому определить линию сечения поверхности многогранника с плоскостью можно свести к
задаче по нахождению точек встречи точек ребер многогранника с секущей плоскостью α.
E2
a2
K2
b2
22
12
F2
L2 H2
V
32
52
G2
42
62
A2
B2
72
82
M
D2
C2
A1
E1
B1
11
21
F1
D1
51
61
31
41
C1
G1
71
a1
81
b1
Рис 88.
Четырехгранная призма AEFBQHGC пересекается плоскостью α (a II b) (См Рис 86). Решаем
эту задачу путем нахождения точек встречи ребер призмы с плоскостью α. Для этого заключим
ребра призмы в горизонтально проецирующие плоскости γ1, γ2, γ3, γ4. γ1 (АЕ); γ2 (BF); γ3 (CG);
γ4 (DH); находим проекции линий пересечения этих плоскостей с плоскостью α (прямые 1, 2, 3,
4, 5, 5, 6, 7, 8) Отмечаем точки пересечения полученных прямых с соответствующими ребрами
34
призмы: К = (1, 2) ∩ (AE); L = (3, 4) ∩ (BF); M = (5, 6) ∩ (CG); N = (7, 8) ∩ (DH).
Четырехугольник KLMN – искомое сечение.
II Построение сечения поверхности вращения.
α - поверхность вращения, β – плоскость. Для нахождения общих точек Li , принадлежащих
как α так и β целесообразно в качестве вспомогательных секущих плоскостей γi принять
плоскости перпендикулярные к оси поверхности вращения: в этом случае плоскости γi будут
пересекать поверхность α по окружностям, а плоскость β – по прямым. Определение точек Li
будет сведено к нахождению точек пересечения прямой с окружностью. Построение начнем с
определения опорных точек. Найдем низшую А и высшую В точки кривой сечения. Для этого
чрз центр сферы О проводим вспомогательную секущую плоскость γ1 перпендикулярную βн.
Точи А и В принадлежат линии пересечения плоскостей γ 1 и β. Точки А и В находятся в
результате пересечения прямой (1, 2) = γ 1 ∩ β с поверхностью α. А,В = (1, 2) ∩ α. Для их
определения воспользуемся переменой плоскостей проекции. Прейдем от системы X* V/H к
системе X1 * V1/ H. Ось Х1 проводим перпендикулярно βн. По отношению к V1 плоскость β
занимает проецирующее положение, поэтому точки А*, и В* в которых фронтальный след βv1
пересекает новую фронтальную проекцию очерка сферы ά ́ ́ будут искомыми. Обратным
построением определяем положение горизонтальных (Á, B́́) и фронтальных (А’’ ,B ‘’) проекций
искомых точек. (См Рис 88). [A’B’] является малой осью горизонтальной проекции эллипса. Для
определения большой оси эллипса (D’E’) достаточно из вспомогательной проекции центра сферы
O’’ провести прямую перпендикулярную к отрезку [A1’’B’’]. Точка С (С1’’) в которой
перпендикуляр пересекает [A1’’ B1’’], является центром эллипса, через который пройдет
сопряженный (большой) диаметр эллипса DE.
[DE] принадлежит горизонтали плоскости β. Для определения точек D и Е вводим
горизонтальную вспомогательную плоскость γ2 э С. Эта плоскость пересекает поверхность
сферы по окружности 3, 4, которая проецируется на плоскость Н без искажения в окружность
радиуса С1’’З1’’, проведенную из центра С’.
Пересечение этой окружности с горизонтальной проекцией горизонтали h’ э C’ определяет
положение горизонтальных проекций точек D’ и Е’ . Для нахождения точек F и G, являющихся
граничными точками видимости для фронтальной проекции эллипса, воспользуемся плоскостью
(γ3 э O’) (γ3 II V). Эта плоскость пересечет поверхность сферы по окружности, которая
проецируется на V во фронтальную проекцию очерка сферы, а плоскость β по фронтали υ (υ’,υ’’).
Пересечение υ’’ с фронтальной проекцией очерка сферы укажет положение точек F’’ и G’’.
Для нахождения точек M и N, указывающих границы видимости горизонтальной проекции
сечения, проводим плоскость (γ4 э O’’) (γ4 II H). Плоскость γ4 β = h1, а поверхность сферы по
окружности, которая на плоскость H1 проецируется в горизонтальную проекцию очерка сферы,
пересечение h’, с окружностью определяет положение искомых горизонтальных проекций точек
М’ и N’.
Для определения произвольных точек Li , принадлежащих линии сечения, как правило
целесообразно в качестве вспомогательных секущих использовать плоскость уровня.
На рис 89 показано построение точек L1 и L2 с помощью горизонтальной плоскости γ5.
Проводя плоскость II γ5, каждый раз будем получать окружность в результате пересечения γ1 с α
и прямую горизонталь при пересечении γ с β. Пересечение окружности и горизонтали укажут
положение горизонтальных проекций линии сечения.
Если будет задана произвольная поверхность вращения, то ход решения задачи и
последовательность выполнения геометрических построений не отличается от случая
рассмотренного на рисунке 88.
35
Рис 89
На Рис. 90 показано построение сечения произвольной поверхности вращения α плоскостью
общего положения β. Как в предыдущем примере, в начале определяем опорные точки: низшая А
и высшая В; точки границы видимости на фронтальной (С’’ D’’) и на горизонтальной (E’ F’)
проекциях. На Рис 90 показано также построение произвольных точек L1 и L2.
Рис 91 дает представление о частном случае решения задачи. Из чертежа видно, что это
решение Проше решений рассмотренных на Рис 88 и 89. По этому оказывается целесообразным
при решении задачи по определению сечения поверхности плоскостью предварительно провести
секущую плоскость в проецирующее положение.
36
Рис 90
Рис91
Лекция 16
Способ вспомогательных сфер.
1. При построении линии пересечения двух поверхностей способом вспомогательных сфер
возможны 2 случая. В одном из них пользуются сферами, проведенными из одного, общего для
всех сфер центра, а в другом – сферами, проведенными из разных центров. В первом случае
имеем способ концентрических сфер, во втором – способ эксцентрических сфер.
2. Способ концентрических сфер. Выясним на примерах условия, при которых можно
построить линию пересечения двух поверхностей указанным способом.
Пример 1. Построить линию пересечения цилиндра и конуса вращения, оси которых i и f
пересекаются в некоторой точке О и параллельны плоскости проекции П2. (См Рис 92).
Проведем из точки О пересечения всех осей данных поверхностей , как из центра,
произвольную сферу, пересекающую каждую из этих поверхностей, эта сфера будет соосна с
данными поверхностями. Сфера пересечется с каждой из данных поверхностей по окружностям.
Эти поверхности изобразятся на плоскости проекции П2 отрезками прямых, что следует из
параллельности осей данных поверхностей плоскости П2. В пересечении отрезков прямых,
изображающих окружности, мы получим проекции точек, принадлежащих обеим данным
поверхностям, а значит и искомой линии пересечения.
37
Рис 92
В начале должны быть построены некоторые опорные точки. Так как обе данные
поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную плоскости проекции П2,
то их контурные образующие, по отношению к плоскости П2, пересекаются. Точки
A,B,C,D пересечения этих образующих являются точками видимости линии пересечения
поверхностей.
Далее следует определить радиусы максимальной и минимальной сфер, пригодных для
отыскания точек линии пересечения.
Радиус максимальной сферы Rmax равен расстоянию от проекции О2 центра сфер до
наиболее одоленной точки пересечения очерковых образующих, в данном случае до точки
А2.
Чтобы определить радиус наименьшей сферы Rmin, необходимо провести через точку
О2 нормали к очерковым образующим данных поверхностей. Тогда больший из отрезков
этих нормалей и будет Rmin. В этом случае сфера минимального радиуса будет касаться
одной из данных поверхностей, а со второй пересекаться. Если же взять в качестве Rmin
38
меньший отрезок, то одна из этих поверхностей с такой сферой не пересечется. В данном
примере сферой минимального радиуса будет сфера, касающаяся цилиндрической
поверхности. Эта сфера касается цилиндрической поверхности по окружности 1-2;
коническую поверхность она пересекает по двум окружностям 3-4 и 5-6. Точки E, F и G, H
пересечения этих окружностей будут точками искомой линии пересечения.
Для построения других точек линии пересечения проводят несколько концентрических
сфер с центром в точке О, причем радиус R этих сфер должен изменятся в пределах
Rmin < R < Rmax.
3 Способ эксцентрических сфер. Указанный способ построения линии пересечения
двух поверхностей состоит в применении вспомогательных сфер, имеющих различные
центры.
Пример. Построить линию пересечения поверхности тора с конической поверхностью
вращения, имеющих общую фронтальную плоскость симметрии (См Рис 93).
Отмечаем точки видимости А и В в пересечении контура поверхности тора с контуром
конической поверхности.
Рис 93
39
На рисунке 93 проведены три эксцентрические сферы из центров О1, О2 и О3, с
помощью которых найдены случайные точки линии пересечения. Так для построения
точек M и N проведен меридиан 3-4 поверхности тора, расположенный во фронтально
проецирующей плоскости, проходящей через ось i1(i2), и из его центра C1(C21)
восстановлен перпендикуляр к этой плоскости. В точке О1(О21) пересечения
перпендикуляра с осью i2(i21) и будет находится центр вспомогательной сферы. Если
теперь провести сферу с центром в точке О1 (О21) такого радиуса R, чтобы ей
принадлежала окружность 3-4, то эта сфера, пересекая коническую поверхность по
некоторой окружности 1-2 , определит в пересечении окружностей 1-2 и 3-4 искомые
точки M и N.
Способ эксцентрических сфер можно применять для построения линии пересечения
двух поверхностей, имеющих общую плоскость симметрии; каждая из этих поверхностей
должна содержать семейство окружностей, по которым ее могут пересекать
эксцентрические сферы, общие для обеих поверхностей.
Лекция 17. Взаимное пересечение поверхностей второго порядка.
Особые случаи пересечения.
Линия пересечения двух поверхностей второго порядка, имеющих двойное
прикосновение, распадается на пару кривых второго порядка, плоскости которых
проходят через прямую, соединяющую точки прикосновения. (См Рис 94)
Рис 94
Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго
порядка (или вписаны в нее), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые
второго порядка.(См Рис 95)
40
Рис 95
41