Н.М.Меженная, В.Г.Михайлов О распределении частот знаков в

ОБОЗРЕНИЕ
Т о м 22
ПРИКЛАДНОЙ И ПРОМЫШЛЕННОЙ
МАТЕМАТИКИ
Выпуск 4
2015
Н. М. М е ж е н н а я, В. Г. М и х а й л о в (Москва, МГТУ, МИАН). О
распределении частот знаков в неравновероятной мультициклической случайной последовательности по модулю 4.
Пусть n1 , . . . , nr > 2 — взаимно простые натуральные числа. Мультициклическая случайная последовательность {Zt }t>0 со значениями в {0, . . . , M −1} образуется
по правилу
(1)
(r)
Zt = Xt(n1 ) + . . . + Xt(nr ) mod M, t = 0, 1, . . . ,
(j)
(j)
где (X0 , . . . , Xnj −1 ), j = 1, . . . , r, — наборы независимых в совокупности случайных величин, распределенных на множестве неотрицательных вычетов по модулю M,
а t(nj ) = t − [t/nj ]nj . Отрезок Z = (Z0 , Z1 , . . . , Zn1 ...nr −1 ) будем называть циклом
мультициклической последовательности {Zt }.
Двоичная мультициклическая случайная последовательность была изучена в работах [1], [2]. Нас интересует случай M = 4. Целью исследования является изучение
асимптотического поведения при n1 , . . . , nr → ∞ совместного распределения случайных величин κa2 a1 (r) — количеств чисел в последовательности Z, имеющих двоичную запись a2 a1 , a1 , a2 ∈ {0, 1}.
Нетрудно показать (см. [3]), что формула
1
(n1 ∙ ∙ ∙ nr + (−1)a1 β(r) + 2(−1)a2 βa1 (r)) , a1 , a2 ∈ {0, 1},
4
однозначно определяет вектор ∇(r) = (β(r), β0 (r), β1 (r)) (понимаемый как векторстолбец). Этим задача исследования совместного распределения величин κa2 a1 сводится к изучению распределения вектора ∇(r).
(j)
В работе [3] был рассмотрен случай, когда распределение знаков Xk являет(j)
ся равномерным Здесь мы рассмотрим ситуацию, когда распределение знаков Xk
отличается от равномерного.
Сформулируем полученный нами результат. Введем обозначения
κa2 a1 =
(j)
Σ(j)
где

p(j)
a2 a1 = P{Xk
a1 , a2 ∈ {0, 1},

(j) (j)
(j) (j)
(j) (j)
(j)
(j)
(j) p 0 q0
p00 q00 − p10 q10
p0 p11 − p01

(j)
(j) (j)
(j)
(j)
(j) 2
(j)
(j)
(j)
(j) 
= p(j)
p0 − p00 − p10
− p00 − p10 p01 − p11  ,
00 q00 − p10 q10
(j)
(j)
(j) (j)
(j) (j)
(j) (j)
(j)
(j) 2
p0 p11 − p01
− p00 − p10 p01 − p11
p1 − p01 − p11
(j)
Пусть
= 2a2 + a1 },
(j)
(j)
q0 = 1 − p0 ,
(j)
(j)
(j)
q00 = 1 − p00 ,
(j)
(j)
(j)
(j)
q10 = 1 − p10 .
(j)
(j)
a ∈ {0, 1},
b(j) = (p00 + p10 ) − (p01 + p11 ), b(j)
a = p0a − p1a ,




b(j)
b(j) 0
0



(j) 
(1)
(j)
e(j) = b(j)
B (j) =  0 b(j)
−b1  , Cj = B ∙ ∙ ∙ B .
0 ,
0
(j)
(j)
(j)
b1
0 b1
b0
c Редакция журнала «ОПиПМ», 2015 г.
2
XVI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике
Будем использовать обозначение AT для матрицы, полученной транспонированием матрицы A.
Теорема. Пусть число r > 2 постоянно, каждая матрица B (1) , . . . , B (r) содержит хотя бы один ненулевой элемент, а числа n1 < ∙ ∙ ∙ < nr стремятся к
бесконечности. Тогда функция распределения вектора
1/2
n1
(n1 , . . . , nr )−1 ∇(r) − Cr−1 e(r)
сходится к функции трехмерного нормального распределения с нулевым вектором
средних и матрицей ковариаций Σr , которая вычисляется по рекуррентным формулам
T
Σ1 = Σ(1) ,
Σj = B (j) Σj−1 (B (j) )T + Cj−1 Σ(j) Cj−1
, j = 2, . . . , r.
З а м е ч а н и е 1. Условие теоремы о свойствах матриц B (1) , . . . , B (r) эквивалентно аналогичным условиям для матриц Σ(1) , . . . , Σ(r) или для векторов
e(1) , . . . , e(r) .
З а м е ч а н и е 2. В работе [4] доказано аналогичное одномерное утверждение
для случая M = 2.
Работа Н. М. Меженной поддержана грантом РФФИ номер 14-01-00318а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Меженная Н. М., Михайлов В. Г. О распределении числа единиц в выходной последовательности генератора Пола над полем GF (2). — Матем. вопросы криптографии, 2013, № 4, в. 4, с. 95–107.
2. Mezhennaya N. M. Convergence rate estimators for the number of ones in outcome
sequence of MCV generator with M -dependent registers items. — Siberian Electron.
Math. Rep., 2014, v. 11, p. 18–25.
3. Меженная Н. М., Михайлов В. Г. О числе появлений знаков в мультициклической
случайной последовательности по модулю 4. — Дискретн. матем., 2014, т. 26, в. 4,
с. 51–58.
4. Меженная Н. М. О распределении числа единиц в двоичной мультициклической
последовательности. — Прикл. дискретн. математика, 2015, № 1(27), с. 69–77.