Найти энергию идеального газа находящегося в цилиндрическом сосуде (радиуса длины l ), вращающемся вокруг своей оси с угловой скоростью Ω . R и Найти изменение концентрации с высотой для раствора, находящегося в поле тяжести. Показать, что если плотность газа, состоящего из частиц с массой m, достаточно низка, а температура достаточно высока, так что средняя длина волны де Бройля много меньше среднего расстояния между частицами, то можно пользоваться статистикой Больцмана с хорошей степенью точности вне зависимости от того, какой статистике подчиняются частицы, Ферми или Бозе. Показать, что для идеального газа вне зависимости от статистики справедливо соотношение E P = 2 кин , 3 V где Eкин − его полная кинетическая энергия. Идеальный газ, состоящий из N частиц массой m (подчиняющийся классической статистике), заключен в бесконечно высокий цилиндр, помещенный в однородное гравитационное поле, и находится в состоянии теплового равновесия. Вычислить классическую статистическую сумму, свободную энергию Гельмгольца, среднюю энергию и теплоемкость системы. Вычислить статистическую сумму Z(N,V,T) для идеального газа. Для системы, состоящей из N части, объемом V, находящейся при температуре T доказать тождество ln Z = N ( ∂ ln Z / ∂N )VT + V ( ∂ ln Z / ∂V ) NT . Выразить свободную энергию F через статистическую сумму Z. Используя классическое распределение Максвелла вычислить среднее число ударов молекул идеального газа о единицу площади стенки сосуда в единицу времени. Используя классическое распределение Максвелла вычислить наиболее вероятное значение скорости молекул идеального газа. Показать, что для описания электронного газа в металле нельзя использовать классическое распределение Максвелла. Найти давление P вырожденного электронного газа при Т=0. Найти полную энергию E вырожденного электронного газа при Т=0. Показать, что для Бозе-газа с постоянным числом частиц всегда выполняется соотношение ∂μ / ∂T < 0 . Показать, что теплоемкость вырожденного электронного газа CV при Т=0 равна нулю. Выразить энтальпию H через статистическую сумму Z. Выразить давление P через статистическую сумму Z. Выразить теплоемкость CV через статистическую сумму Z. Идеальный газ, занимающий объем V при температуре T , состоит из N двухатомных молекул с энергиями r r p12 p22 a r r 2 + + (r1 − r2 ) , 2m 2m 2 ε= где 1 и 2 – индексы атомов; массы атомов одинаковы. Найти теплоемкость cV . Вывести уравнения состояния идеального газа, для частиц которого энергия и импульс связаны соотношением ε = cp 4 . В цилиндре высоты H находится N молекул идеального газа. Цилиндр находится в поле силы тяжести. На какой высоте плотность газа равна средней плотности газа в цилиндре? Идеальный газ из N атомов заключен во вращающийся с угловой скоростью Ω цилиндр радиуса R и высотой H . Найти среднее давление газа на боковую поверхность цилиндра, если температура газа T . Какая часть молекул классического идеального газа имеет скорость, большую средней тепловой скорости 8T . πm εв = T / 2 < v >= Вычислить наиболее вероятную энергию газе. Показать, что εв ≠ mvв2 2 , где vв = молекул в идеальном классическом 2T m . Вычислить среднюю энергию линейного осциллятора, функция Гамильтона которого имеет вид H ( p, q ) = p2 + aq 4 , 2m где a = const . Найти наиболее вероятную скорость молекулы в газе и наиболее вероятное значение ее энергии. Найти среднее число частиц газа, падающих в секунду на 1 см2, нормальные составляющие скоростей которых больше некоторого v0 . Найти полную кинетическую энергию молекул газа, ударяющихся об единицу поверхности стенки в единицу времени. Прямой круговой цилиндр большой высоты с площадью основания σ и постоянной по высоте температурой T содержит N частиц массы m . Они находятся под воздействием гравитационного ускорения g , не зависящего от высоты. Найти концентрацию частиц на высоте z : ρ ( z) = mgN − mgz / T e σT Показать, что если уравнение состояния PV = NT выполняется на всех высотах, то давление меняется по закону mgN − mgz / T P( z ) = e . σ Идеальный газ из N частиц подчиняется классической статистике. Пусть энергия частицы ε = cp . Найти термодинамические функции такого газа, не учитывая внутренней структуры частиц. Найти центр масс столба идеального газа в однородном поле тяготения, если ускорение свободного падения g , масса молекулы m , температура газа T . Вычислить стат.интеграл, внутреннюю энергию и теплоемкость cV одномерного гармонического осциллятора с массой m и угловой частотой ω при температуре T , p 2 mω 2 q 2 если ε ( p, q) = + . 2m 2 Какая часть молекул идеального классического газа имеет кинетическую энергию 3 поступательного движения выше < ε >= T ? 2 Показать, что отношение числа молекул, имеющих скорости, превосходящие наивероятнейшую, к числу всех молекул газа, не зависит от температуры. Газ находится в поле с потенциальной энергией u = −a cos ϕ ( a = const , ϕ ∈ [0, π ] − угол между осью молекулы и некоторым выделенным направлением, например, напряженностью внешнего однородного электрического поля). Получить распределение молекул по направлениям и вычислить среднее значение потенциальной энергии молекулы. Найти дисперсию скорости молекул в газе. Найти вероятность того, что абсолютная величина скорости молекулы лежит в пределах [v1 , v2 ] . Найти число ударов молекул газа об единицу поверхности стенки в единицу времени, при которых угол между направлением скорости молекулы и нормалью к поверхности лежит между θ и θ + dθ .