Лекция 14 Применение изопроцессам

Лекция 14
Применение Iго закона термодинамики к
изопроцессам
1.
Изобарический, изохорический, изотермический
2.
Адиабатический процесс
Уравнение адиабаты
Работа при адиабатическом процессе
Применение Iго закона термодинамики к изопроцессам
1. Изохорический процесс (m = const, V = const) – изображается на PV-диаграмме
изохорой, которая параллельна оси ординат Р
P
P2
●2
P1
●1
Первый закон термодинамики
∆Q = dU + ∆A
2
V
V
где
∆A12 = ∫ PdV = 0
, так как V = const, а dV = 0
1
Следовательно, для изохорического процесса Iый закон термодинамики
запишется в виде
Q12 = ∆U12 (14.1)
Молярная теплоёмкость изохорического процесса СV
Учитывая, что ∆Q =
m
m
µ
CV ∆T
,а
CV ∆T = i m R∆T
µ
2µ
∆U =
→
i m
R∆T
2µ
CV =
i
R
2
, из уравнения (14.1) получим
(14.2)
2. Изобарический процесс (m = const, P = const) – изображается на PV-диаграмме
изобарой, которая параллельна оси абсцисс V
P
P
1
●
V1
Iый закон термодинамики для изобарического
процесса будет иметь вид
2
●
V2
Q12 = ∆U 12 + A12
V
где
2
V2
1
V1
(14.3)
A12 = ∫ PdV = P ∫ dV = P (V2 − V1 ) = P∆V12
∆U 12 =
mi
R∆T12
µ2
Молярная теплоёмкость изобарического процесса Ср
Q12
Q12 = C P ∆T12 ⇒ C P =
m
µ
∆T12
m
Из выражения для количества теплоты
при изобарическом процессе получим
µ
С учетом (14.3) выражение (14.4) запишется в виде
mi
R∆T12 + P∆V12
∆U 12 + A12 µ 2
P∆V12
i
=
= R+
CP =
m
m
m
2
∆T12
∆T12
∆T12
µ
µ
µ
(14.5)
(14.4)
PV =
Из уравнения Менделеева - Клапейрона найдем P∆V
m
и подставим в выражение (14.5)
R∆T
i
µ
CP = R +
m
2
µ
∆T
m
µ
RT ⇒ P∆V =
m
µ
R∆T
i
= R + R , где i R = CV
2
2
Следовательно, молярная теплоемкость изобарического процесса будет равна
C P = CV + R
или
i
i
C P = R + R = R( + 1)
2
2
- коэффициент Пуассона
Из уравнения Майера следует, что
Ср > СV. Это значит, что при Р =
const теплота расходуется не только
на увеличение внутренней энергии
газа, но и на совершение работы.
(14.7)
Одной из характеристик газа является отношение
CP
=γ
CV
(14.6) - Уравнение Майера
или
( 2i + 1) R i + 2
=
γ = i
i
2 R
Например, для воздуха (i = 6)
γ = 8/6 = 1.33
3. Изотермический процесс (m = const, T = const) – изображается на PV-диаграмме
изотермой
Iый закон термодинамики
P
Q12 = ∆U 12 + A12
P1 ● 1
Так как T = const, то ∆Т = 0 , следовательно
●2
P2
V1
V2
∆U 12 =
V
mi
R∆T12 = 0
µ2
Поэтому Iый закон термодинамики для изотермического процесса
запишется в виде
Q12 = A12 (14.8) - все подводимое тепло превращается
в работу расширения газа
2
Найдем работу
A12 = ∫ PdV
(14.9)
m
RT
const µ
и подставим в (14.9)
=
Из уравнения изотермы найдем связь Р и V P =
V
V
V2
dV
V
V
m
A12 = const ∫
= const ⋅ ln V V2 или A12 = RT ln 2 (14.10)
1
V
µ
V1
V1
1
Q
СТ = ∞
=∞
Теплоёмкость при изотермическом процессе CT = 12 m
∆T
т.к. ∆Т = 0
µ
4. Адиабатический процесс – это процесс, протекающий без теплообмена с
внешней средой, то есть ∆Q = 0
Iый закон термодинамики запишется в виде dU + ∆A = 0 (14.10)
• Уравнение адиабаты
Рассмотрим бесконечно малое изменение состояния, при котором можно считать Р и Т
константами
Изменение внутренней энергии в этом случае будет иметь вид
а работа, совершаемая газом в этом случае
Уравнение (14.10) в этом случае запишется
dU =
i m
RdT
2µ
dA = PdV
i m
RdT + PdV = 0
2µ
(14.11)
Найдем давление Р из уравнения Менделеева - Клапейрона и подставим в (14.11)
i m
m
dV
m RT
RdT
+
RT
= 0 (14.12)
PV = RT ⇒ P =
µ
2µ
V
µ
µ V
dV
= 0 (14.13)
С учетом того, что i/2 R = CV уравнение (14.12) будет иметь вид CV dT + RT
V
dT
R dV
Поделив уравнение (14.13) на СV·Т, получим
+
= 0 (14.4)
T CV V
m
Так как
dT
dV
= d (ln T ),
= d (ln V )
T
V
преобразуется к виду
R
R
ln V ) = 0 ⇒ ln T +
ln V = const
CV
CV
d (ln T +
Из уравнения Майера найдем R
и подставим в уравнение (14.15)
ln T + (
или
, уравнение (14.14)
(14.15)
C P = CV + R ⇒ R = C P − CV
ln T +
C P − CV
ln V = const (14.16)
CV
CP
− 1) ln V = ln T + (γ − 1) ln V = const (14.17) , где СР/CV = γ
CV
Используя свойства логарифмов, уравнение (14.17) запишем в виде
[
]
ln TV γ −1 = const ⇒ T ⋅ V γ −1 = const
(14.18) - Уравнение адиабаты
Выразив Т из уравнения Менделеева – Клапейрона через Р: PV =
и подставив в уравнение (14.18), получим
m
µ
RT ⇒ T =
γ
P ⋅V
= const ⇒ P ⋅ V γ = const
m
R
µ
(14.19) -Уравнение адиабаты
(уравнение Пуассона)
PV
m
R
µ
Представление адиабатического процесса на PV - диаграмме
P
P1
●1
изотерма (PV = const)
адиабата
●2
P ⋅V
γ
= const
При адиабатическом расширении –
температура уменьшается, то есть газ
охлаждается
●
V1
V2
При изотермическом расширении
газа температура не изменяется
V
Сжатие и расширение адиабатически
изолированного газа сопровождается
его нагреванием и охлаждением.
• Работа при адиабатическом процессе
Работу можно найти, используя общую формулу расчета работы, то есть
2
A12 = ∫ PdV
, где
1
P=
const (из уравнения адиабаты)
Vγ
а можно, используя уравнение Iго закона термодинамики
A12 = − ∆U 12
Воспользуемся вторым способом:
A12 = −∆U 12 = −
i m
m
m
R∆T = −CV (T2 − T1 ) = CV (T1 − T2 )
2µ
µ
µ
Из уравнения адиабаты
T ⋅ V γ −1 = const
имеем T1V1
γ −1
= T2V2
γ −1
(14.20)
γ −1
V 
T
⇒ 2 =  1  (14.21)
T1  V2 
Вынесем в уравнении (14.20) Т1 за скобки и подставим отношение(14.21)
 T2  i m   V1
A12 = CV T1 1 −  = R T1 1 − 
µ  T1  2 µ   V2

m
или
A12
P1V 1 
1 −
=
γ −1

 V1

 V2



γ −1



γ −1
m

R
T 1 = P1V 1
µ
 (14.22)
i+2
i
1

γ =
⇒ =
i
2 γ −1

 (14.23) Такая же формула
получится, если

использовать формулу
2
A12 = ∫ PdV
1
• Теплоемкость при адиабатическом процессе CQ
CQ =
∆Q
=0
m
∆T
CQ = 0
, так как ∆Q = 0
Исследуя все изопроцессы, мы
получили, что значения
теплоёмкостей заключены в
интервале [0 ÷ ∞]
µ
Для каждого процесса теплоёмкость остаётся постоянной.
Процесс, в котором теплоёмкость остается постоянной, называют политропным
Уравнение политропного процесса имеет вид
где
n=
PV = const
n
CP − C
(14.25) - показатель политропы
CV − C
(14.24)
Регулируя подвод тепла, можно получать почти любое значение показателя политропы n
Например:
для адиабаты С = 0, следовательно
n=
CP
=γ
CV
CP
− 1)
C
=1
для изотермы С = ∞, следовательно n =
CV
C(
− 1)
C
C(
PV γ = const
PV = const
На практике оказалось, что теплоёмкость зависит от температуры, то есть С ≠ const
Расхождения объясняются в рамках квантовой теории