ТЕПЛОВЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ СВАРКЕ

Федеральное агентство по образованию РФ
Дальневосточный государственный технический университет
(ДВПИ имени В.В. Куйбышева)
Е.Н. Негода
ТЕПЛОВЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ СВАРКЕ
Учебное пособие
Рекомендовано Дальневосточным региональным учебно-методическим центром
в качестве учебного пособия для студентов специальности 150202 «Оборудование
и технология сварочного производства», направления 150400 «Технологические
машины и оборудование» вузов региона
Владивосток • 2008
УДК 621.791
H41
Рецензенты:
В.Г. Добржанский, д-р техн. наук, проф., главный научный сотрудник ИХ ДВО РАН;
В.М. Макиенко, канд. техн. наук, доцент, зав. кафедрой технологии металлов ДВГУПС
Негода, Е.Н.
Тепловые процессы при сварке : учеб. пособие / Е.Н. Негода; Дальневосточный государственный технический университет. – Владивосток: Изд-во ДВГТУ,
2008. – 125 с.
ISBN 978-5-7596-0889-9
В учебном пособии рассматриваются вопросы анализа сварочного нагрева на
основе линейного уравнения теплопроводности. Даются примеры решения задач
теплообмена при сварке с использованием современных программных средств.
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности «Оборудование и технология сварочного производства», и может быть полезно для студентов родственных специальностей.
ISBN 978-5-7596-0889-9
© Дальневосточный государственный
технический университет, 2008
ВВЕДЕНИЕ
С
варка материалов является основным процессом изготовления
конструкций. Создание монолитного соединения материалов
требует затрат энергии активации. Большинство промышленных
сварочных технологий активируются тепловой энергией. Экзотермические явления природы при концентрации тепловой мощности в
ограниченной области (порядка 1 кВт/мм2) приводят к изменению
фазового состояния и состава соединяемых материалов. Так, переход материала из твердой фазы в жидкую и обратно есть суть сварки плавлением.
Система «источник энергии–изделие–среда» обменивается
энергией между компонентами. В сварочных термических и термомеханических процессах теплопроводность представляет собой основу энергетического обмена в свариваемом материале и определяет как технологические параметры, так и эксплуатационные свойства сварных конструкций.
Основы тепловых процессов при сварке как науки заложены
выдающимся исследователем сварочных процессов Н.Н. Рыкалиным. Современное состояние методов анализа теплопроводности
при сварке и методик ее расчета достигнуто благодаря работам
Н.Н. Прохорова, В.И. Махненко, К.М. Гатовского, В.Ф. Демченко,
А.А. Углова, А.Я. Недосеки, В.А. Кархина и других отечественных
и иностранных ученых.
Описание сварочной теплопроводности базируется на решении
соответствующего дифференциального уравнения, вывод и решение
которого требуют освоения курсов физики и высшей математики
программы технического университета.
Расчеты тепловых процессов при сварке в данном учебном пособии проведены с использованием возможностей вычислительной
системы MATLAB. Учебные программы и примеры расчета тепловых процессов при сварке даны в приложениях данного пособия.
Знание и уверенное владение методами анализа тепловых процессов при сварке являются базисом освоения дисциплин специальности «Оборудование и технология сварочного производства» и понимания смежных технологий.
3
1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПЕРЕДАЧИ ТЕПЛОТЫ ПРИ СВАРКЕ
1.1. Понятия и определения
П
ри сварочном термическом воздействии нагрев тел неравномерен. В соответствии со вторым Началом термодинамики
при этом возникает теплообмен между объемами рассматриваемой
среды, направленный от более нагретых к менее нагретым частям.
Мерой нагрева является температура T. В системе СИ температура
измеряется в кельвинах (К). В линейных расчетных схемах температуру можно представить в виде суммы: T=T0+ΔΤ, где T0 – начальная температура тела до применения анализируемого технологического процесса (температура окружающей среды); ΔΤ – приращение
температуры за счет сварочного нагрева. Так как в дальнейшем
исследуется приращение температуры при сварочных процессах, то для простоты записи вместо ΔΤ будем использовать просто символ T (если не оговорено особо).
Количество теплоты Q, содержащееся в заданном объеме среды, определяется температурой:
Q = c ρTV ,
где Q – теплосодержание (Дж ); cρ – удельная объемная теплоемкость (Дж/см3 К); T – средняя температура (К) объема V (см3).
Распределение температуры в среде в общем случае неравномерно. Значение температуры в каждой точке исследуемого объема
называется температурным полем. При этом если температура зависит от времени, поле называется нестационарным, в противном
случае – стационарным. Например: T=T(x, y, z, t) – трехмерное
(объемное) нестационарное температурное поле (зависит от времени); T=T(x, y, z) – трехмерное (объемное) стационарное температурное поле (не зависит от времени); T=T(x, y, t) – двумерное (плоское) нестационарное температурное поле; T=T(x) – одномерное (линейное) стационарное температурное поле. Совокупность точек, в
которых температура одинакова в данный момент времени, называ4
ется изотермической поверхностью. Сечение изотермической поверхности плоскостью есть изотермическая линия, или изотерма.
Совокупность изотерм, построенных для различных температур,
позволяют наглядно представить температурное поле в конкретном
случае. Например, на рис. 1.1 изображено температурное поле (рис.
1.1, а) и изотермы поля (рис. 1.1, б) при сварке движущимся со скоростью v в направлении x источником нагрева.
Кратчайшим между двумя близкими изотермами будет расстояние по нормали n. Относительный перепад температуры по
этому направлению при бесконечно близких изотермах называется
градиентом температуры (К/см):
grad (T ) =
∂T
.
∂n
Рис. 1.1. Температурное поле (а) и изотермы (б) при сварке
5
Если температура является скалярной величиной, то градиент –
вектор, направленный в сторону возрастания температуры. На
рис. 1.1 видно, что максимальный градиент температуры находится
впереди движущегося источника, а минимальный – позади него.
В нестационарном температурном поле Т=T(x, y, z, t) температура точек рассматриваемого тела изменяется со временем. При
сварочных процессах она сначала увеличивается, достигает максимальной температуры Tm и далее уменьшается, стремясь к температуре окружающей среды. Зависимость температуры от времени в
данной точке тела называется термическим циклом, пример которого приведен на рис. 1.2. Производная от температуры по времени,
очевидно, называется скоростью изменения температуры
w( x, y, z , t ) =
∂
T ( x, y , z , t ) .
∂r
(1.1)
Рис. 1.2. Термические циклы точек сварного соединения. 1–4 – точки, расположенные на различном расстоянии от источника нагрева
В сварочном производстве принято делить скорость изменения
температуры на скорость нагрева wнаг ( на участке увеличения температуры со временем, w>0) и скорость охлаждения wохл (на участке уменьшения температуры со временем, w<0).
6
Удельное количество теплоты (теплосодержание) h (Дж/г) выражает количество теплоты, сообщенное телу массой 1 г при нагреве его от температуры Т1 до температуры Т2. При технических расчетах теплосодержание тела отсчитывают обычно от нормальной
температуры (293 К), а не от абсолютного нуля. Вне критических
точек, соответствующих аллотропическим и фазовым превращениям, происходящим с поглощением или выделением теплоты, теплосодержание в металлах с ростом температуры возрастает монотонно. В критических точках оно изменяется скачкообразно.
Удельная теплота фазового превращения l есть количество теплоты, поглощаемой или выделяемой единицей массы материала при
изотермическом процессе фазового превращения.
Истинная удельная массовая теплоемкость с есть количество
теплоты, необходимое для изменения на один Кельвин температуры
единицы массы тела. В расчетax бывает удобно пользоваться средней удельной массовой теплоемкостью в данном интервале температур от Т1 до Т2:
Cm = (h2 − h1 ) (T2 − T1 ) .
(1.2)
В расчетах могут использоваться истинная С и средняя Сm
удельные объемные теплоемкости (Дж/см3К), которые связаны с
массовой удельной теплоемкостью c (Дж/г К) следующими соотношениями:
С = cρ; Сm = cт ρ,
(1.3)
где ρ – плотность тела в нормальных физических условиях (г/см3).
1.2. Теплообмен в сварочных процессах
Передача теплоты в средах происходит в основном за счет трех
видов теплообмена: теплопроводности, конвекции и радиации. В
сварочных процессах наиболее существенным процессом является
теплопроводность в свариваемых деталях. Конвекция и радиация
носят характер потерь тепла в окружающую среду.
7
1.2.1. Теплопроводность
В неравномерно нагретых твердых телах происходит перенос
теплоты от более нагретых точек к менее нагретым за счет передачи
тепловой энергии от атома к атому. Такой перенос тепла называется
теплопроводностью. Чем резче изменяется температура по данному направлению, тем большее количество тепла протекает в этом
направлении от более нагретой зоны к менее нагретой. Количество
тепла dQ, протекающее вследствие теплопроводности за время dt
через элемент изотермической поверхности, пропорционально градиенту температуры, площади элемента dF и времени dt
⎛ ∂T ⎞
dQ = λ ⎜ −
⎟ dFdt .
⎝ ∂n ⎠
(1.4)
Коэффициент пропорциональности λ называется коэффициентом теплопроводности, Дж/(см с К), и характеризует способность
вещества проводить теплоту. Численно коэффициент теплопроводности равен количеству теплоты, протекающему через единицу поверхности за единицу времени по направлению нормали к этой поверхности при градиенте температуры в 1 К на 1 см.
Удельным тепловым потоком q (x, y, z, t) Дж/(см2 с) называется
количество теплоты, протекающее через элементарную площадку в
единицу времени:
q=
dQ
dFdt
В этом случае выражение (1.4) упрощается и носит название закона теплопроводности Фурье
q = −λ qrad (T ) .
(1.5)
Знак минус в этом выражении учитывает тот факт, что вектор
теплового потока направлен в сторону уменьшения температуры, а
вектор градиента – в сторону возрастания температуры. Поскольку
Дж/с есть Вт, то размерность удельного теплового потока – Вт/см2,
и его еще называют плотностью мощности теплового потока.
Коэффициент теплопроводности является одной из фундаментальных теплофизических характеристик материалов. Он зависит от
8
химического состава, структуры и температуры. Коэффициент теплопроводности во многом определяет технологические особенности
сварки различных металлов и сплавов.
1.2.2. Конвективный теплообмен
При конвективном теплообмене теплота с поверхности свариваемых изделий уносится жидкостью или газом, которые перемещаются относительно поверхности. Движение жидкости или газа
может возникать вследствие различной плотности нагретых и ненагретых зон (что возможно только в условиях гравитации) или в результате принудительной циркуляции жидкости и газа.
Приближенно тепловой поток q2к с единицы поверхности (индекс 2) за единицу времени при конвективном теплообмене определяется по правилу Ньютона:
q2к=αк(Тs–Тс),
(1.6)
2
где αк – коэффициент конвективной теплоотдачи, Вт/(см К) ; Тs –
температура поверхности твердого тела; Тс – температура среды
(жидкости или газа).
Коэффициент αк – не постоянная величина, он может изменяться в широких пределах в зависимости от следующих факторов:
свойств окружающей среды (теплопроводности, плотности, вязкости) и ее движения относительно поверхности; от физических
свойств поверхности, отдающей теплоту; от формы поверхности тела и ее положения в пространстве; от разности температур Тs–Тс.
1.2.3. Лучистый теплообмен
Тепловое излучение представляет собой электромагнитные колебания, частота которых лежит в основном в инфракрасной области. Удельный тепловой поток излучения тела пропорционален четвертой степени его абсолютной температуры (закон Стефана–
Больцмана):
q2r=CT4.
(1.7)
Коэффициент C зависит от состояния поверхности тела. В реальных условиях нагретое тело окружено другими телами (помещение цеха, сварочные приспособления, изделия и др.). Между этими
9
телами происходит взаимный лучистый теплообмен. Каждое тело
излучает энергию и воспринимает часть энергии, излучаемой другими телами:
q2r=C(Ts4-T4c),
(1.8)
где Тs – температура поверхности тела, Тс – температура среды.
Первый член в правой части уравнения (1.8) после раскрытия
скобок выражает теплоту, излучаемую телом, второй – поглощаемую им. По аналогии с выражением (1.6) можно связать удельный
тепловой поток с разностью температур Тs–Тc :
q2r=αr(Ts-Tc),
(1.9)
где αr – коэффициент лучистого теплообмена, Вт/(см2 К).
Из двух предыдущих выражений
αr =C(Ts+Tc)(Ts2+Tc2).
Видно, что коэффициент αr растет с увеличением температуры
по закону кубической параболы.
Суммируя процессы конвективной (1.6) и радиационной (1.9)
теплоотдачи, удельный поток полной теплоотдачи можно представить следующим образом:
q2=αk(T-Tc)+αr(T-Tc)=α(T-Tc),
(1.10)
где α= αk+ αr – коэффициент полной поверхностной теплоотдачи.
Коэффициент α значительно изменяется с ростом температуры.
При приращении температур до 400–500 К основная часть теплоты
отдается конвективным, при более высоких температурах – лучистым теплообменом. В расчетах тепловых процессов при сварке с
достаточной для практики точностью коэффициент полной поверхностной теплоотдачи можно считать постоянным.
1.3. Дифференциальное уравнение теплопроводности
Неравномерное распределение температуры в теле, характерное
для большинства сварочных процессов, сопровождается наличием
тепловых потоков в соответствии с уравнением Фурье, что приво10
дит к изменению тепературного поля, т.е. T=T(x, y, z, t). Задача состоит в определении зависимости температуры точек тела от координат и времени, для чего одного уравнения Фурье недостаточно.
Для решения поставленной задачи воспользуемся наиболее общим
законом Природы – законом сохранения энергии, который для тепловых процессов заключается в тепловом балансе некоторого элементарного объема теплопроводящего тела. В общем случае пространственного потока тепла рассмотрим тепловой баланс элементарного параллелепипеда около точки А со сторонами dx, dy, dz
(рис. 1.3). За время dt температура точки А повышается на dT, а теплосодержание элементарного объема увеличивается на dQ. Теплосодержание элемента изменяется вследствие притока и оттока тепла
через его грани за счет теплообмена с соседними элементами.
Для расчета теплообмена через грани элементарного параллелепипеда, перпендикулярные оси x, рассмотрим распределение температуры по этой оси в некоторый момент времени T(x). Градиент
температуры в точке А измеряется углом наклона касательной в
этой точке относительно нормали к температурной кривой
gradT=tgα. Удельный тепловой поток qx+dx=qx+dqx через правую
грань элемента отличается от теплового потока через его левую
грань qx на бесконечно малую величину dqx
=
∂q x
dx, так как в
∂x
соответсвии с законом Фурье (1.5) потоки по любому направлению
пропорциональны соответствующим градиентам температуры. Через левую грань площадью dydz в рассматриваемый элемент объема
dV=dxdydz за время dt поступает количество тепла qxdydzdt, а через
правую грань из элемента уходит количество тепла qx+dxdydzdt. Так
как количества поступающего и уходящего тепла не равны, при
протекании тепла в направлении x через элемент объема в нем будет накапливаться тепло
dQx = qx dydzdt − qx + dx dxdydzdt = −dqx dydzdt = −
∂qx
dxdydzdt.
∂x
Аналогичным образом вычисляется количество тепла, накапливающееся в элементарном объеме при протекании тепла по другим
направлениям (y, z):
11
dQy = −
∂q y
∂y
dxdydzdt ; dQz = −
∂qz
dxdydzdt.
∂z
Рис. 1.3. К выводу дифференциального уравнения теплопроводности
Количество тепла, накапливаемое в элементе объема за счет теплопроводности во всех направлениях:
⎛ ∂q
dQ1 = dQx + dQy + dQz = − ⎜ x
⎜⎜ ∂x
⎝
+
∂q x
∂x
+
∂q z ⎞⎟
dVdt.
∂z ⎟⎟
⎠
Подставим вместо удельных тепловых потоков их выражение
по закону Фурье:
dQ1 =
∂ ⎡⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T
⎢⎜ λ
⎟ + ⎜λ
⎟ + ⎜λ
∂x ⎣⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z
12
⎞⎤
⎟ ⎥ dVdt.
⎠⎦
В элементарном объеме dV может действовать внутренний источник тепла удельной мощностью q3 Вт/см3. Таким источником
может быть, например, электрический ток, при прохождении которого выделяется тепло по закону Джоуля–Ленца, ядерный распад
изотопов и т.п. В этом случае в объеме накапливается тепло
dQ=dQ1+dQ2, где dQ2=q3dVdt. Таким образом, суммарное количество теплоты, поступающее в элементарный объем dV за счет теплопроводности и действия внутренних источников тепла:
⎡ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞
⎤
dQ = ⎢ ⎜ λ
⎟ + ⎜λ
⎟ + ⎜λ
⎟ + q3 ⎥ dVdt.
⎣ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠
⎦
(1.11)
Сообщенное элементарному объему тепло dQ вызывает повышение температуры на dT:
dQ = c ρ dTdVdt = c ρ
∂T
dtdV .
∂t
(1.12)
Приравнивая правые части выражений (1.12) и (1.11), получим
дифференциальное уравнение теплопроводности [5]
cρ
∂T ∂ ⎛ ∂T
= ⎜λ
∂t ∂x ⎝ ∂x
⎞ ∂ ⎛ ∂T
⎟ + ⎜λ
⎠ ∂y ⎝ ∂y
⎞ ∂ ⎛ ∂T
⎟ + ⎜λ
⎠ ∂z ⎝ ∂z
⎞
⎟ + q3 .
⎠
(1.13)
Данное уравнение относится к дифференциальным уравнениям в частых производных второго порядка параболического типа.
При этом считается, что коэффициент теплопроводности λ может
зависеть от координат, времени или температуры. В анизотропных телах, например в кристаллах, коэффициенты теплопроводности λ зависят от направления кристаллографических осей. В
составных телах, например в сердечниках трансформаторов, коэффициенты λ различны в направлениях вдоль и поперек набора
листов. В составных изделиях из различных металлов эти коэффициенты неодинаковы в различных областях тела. В указанных
случаях дифференциальное уравнение теплопроводности является нелинейным, и его решение представляет значительные математические трудности.
13
Расчет температурного поля упрощается, если по условиям задачи с достаточной для практики точностью можно принять коэффициент теплопроводности λ и удельную объемную теплоемкость
c ρ постоянными. Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности становится линейным и принимает вид
λ ⎛ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T
∂T
=
+
+
⎜
∂t c ρ ⎝ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
где a=
λ
cρ
⎞ q3
q
= a∇ 2T + 3 ,
⎟+
cρ
⎠ cρ
(1.14)
называется коэффициентом температуропроводности
(см2/с), ∇ 2 представляет собой оператор Лапласа
⎛ ∂2
⎛ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ⎞
∂2
∂2 ⎞
∇ 2 = ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ ; ∇ 2T = ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ .
∂y
∂z ⎠
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
⎝ ∂x
Если в расчетах теплопроводности при сварке необходимо
учитывать температурную зависимость λ= λ(Τ)= λΤ , то уравнение (1.13) можно привести к виду (1.14), введя переменную Кирхгофа [7]
Θ=
1
λ0
T
∫ λ dT .
T
(1.15)
0
Продифференцируем это выражение по температуре:
∂Θ λT ∂Θ ∂x
∂T λ0 ∂Θ
=
=
, откуда следует
=
. Аналогично
∂T λ0 ∂x ∂T
∂x λT ∂x
∂T λ0 ∂Θ ∂T λ0 ∂Θ
∂T λ0 ∂Θ
=
=
=
,
и
. Подстановка этих зави∂y λT ∂y ∂z λT ∂z
∂t λT ∂t
симостей в нелинейное уравнение (1.13) приводит к линеализованному дифференциальному уравнению, по структуре соответствующему уравнению (1.14)
1 ∂Θ ∂ 2 Θ ∂ 2 Θ ∂ 2 Θ q3
= 2 + 2 + 2 + ,
a ∂t
λ0
∂x
∂y
∂z
14
(1.16)
где a – коэффициент температуропроводности в условиях температурной зависимости свойств материала:
a = a (T ) = λ (T ) [c(T ) ρ (T )] .
Все входящие в a величины зависят от температуры. Однако
эксперименты показывают, что для многих материалов сам коэффициент температуропроводности можно считать постоянным. Это
значит, что, не смотря на существенную температурную зависимость λ (T ) и c ρ (T ) , их отношение, равное a, в определенном диапазоне температур остается неизменным.
Решив линеаризованное дифференциальное уравнение теплопроводности (1.16), распределение температуры можно получить из
(1.15), приняв конкретную зависимость λ (T ). Например, если
λ (T ) = λ0 (1 + ξ T ) , то, используя выражение (1.15), получим
T=
1
ξ
(
)
1 + 2ξΘ − 1 ,
где ξ и λ0 есть некоторые постоянные, определяющие линейную
зависимость коэффициента теплопроводности от температуры в
конкретной задаче расчета температурного поля при сварке. В
дальнейшем, если не оговорено особо, будем использовать линейное дифференциальное уравнение теплопроводности (1.14), так как
для большинства инженерных задач сварочного производства теплофизические свойства материалов можно считать не зависящими
от температуры.
Если температурное поле не зависит от времени T=T(x, y, z), то
∂T ∂t = 0 , и процесс теплопроводности является стационарным
(см. п. 1.1), уравнение (1.14) имеет вид
a∇ 2T +
q3
=0.
cρ
При отсутствии внутренних источников нагрева (q3=0) нестационарная теплопроводность описывается уравнением
∂T
= a∇ 2T .
∂t
15
(1.17)
В этом уравнении отсутствуют источники тепа, но это не означает отсутствие теплопроводности. Неравномерное температурное поле
в начальный момент времени T=T(x, y, z, 0) в дальнейшем вызовет
перераспределение тепла, описываемое уравнением (1.17). Кроме
этого, обмен теплом с окружающим пространством через границы
тела также приведет к возникновению теплопроводности. В приведенных случаях теплообмен определяется так называемыми краевыми условиями для данного дифференциального уравнения [5].
1.4. Краевые условия
Процесс распространения тепла в каждой точке и в любой момент времени удовлетворят дифференциальному уравнению теплопроводности (1.14). Для расчета тепловых процессов при сварке недостаточно располагать уравнением теплопроводности, так как оно
не устанавливает зависимости температуры от пространственных координат и от времени, а лишь связывает между собой частные производные температуры по этим переменным. Для того чтобы рассчитать процесс распространения тепла, необходимо кроме дифференциального уравнения теплопроводности задать краевые условия: начальное распределение температуры в теле (начальное условие) и условия теплообмена на границе тела (граничные условия).
Начальное условие является заданием распределения температуры внутри тела в начальный момент времени t=0: T(x, y, z, 0)=f(x,
y, z). В сварочной практике обычно принимают равномерное распределение начальной температуры T(x, y, z, 0)=T0 (см. п.1.1).
Граничные условия отражают взаимодействие поверхности
(границы) тела с окружающей средой. Неограниченное теплопроводящее тело характеризуется тем, что во всем бесконечном объеме
процесс распространения тепла подчиняется уравнению теплопроводности. Таких тел в действительности не существует. Сварные
изделия и конструкции в пространстве всегда ограничены. При задании граничных условий выделяют в бесконечном пространстве V
некоторую область V1 ⊂ V , имеющую поверхность S (например,
S1…S6 , рис. 1.4), в которой рассчитывается температурное поле.
16
Рис. 1.4. Расчетная область V1 в бесконечном пространстве V
Граничные условия могут быть разнообразны. Для практических расчетов наиболее существенны следующие типы граничных условий, называемые условиями 1-го, 2-го и 3-го рода.
Условие 1-го рода. Температура поверхности теплопроводящего
тела задается в зависимости от поверхностных координат и от времени T s = T (x s , y s , z s , t). Граничное условие 1-го рода требует, чтобы температура граничных точек равнялась заданной,
как бы ни была распределена температура внутри тела. При графическом изображении распределения температуры кривая температуры на границе должна иметь заданную ординату, которая
может изменяться со временем.
Изотермическое граничное условие представляет частный случай условия 1-го рода. При изотермической границе температуру поверхности тела принимают постоянной (Ts = const),
как, например, при интенсивном омывании поверхности жидкостью с определенной температурой (рис. 1.5, а). Для расчетов
удобно принимать эту постоянную температуру поверхности за начало отсчета температуры, тогда граничное условие выражается
особенно просто – Ts=0 (рис. 1.5, б).
Условие 2-го рода задает распределение удельного теплового
потока через поверхность тела в зависимости от поверхностных
17
координат и времени qs = qs(x, y, z, t). Условие 2-го рода определяет величину теплового потока на границе, т.е. кривая температуры на границе может иметь любую ординату, но обязательно
заданный градиент, в частном случае постоянный (рис. 1.5, в).
Адиабатическая граница представляет частный случай условия
2-го рода. При адиабатическом условии тепловой поток через
границы равен нулю (рис. 1.5, г).
Рис. 1.5. Типы условий теплообмена на границах тела (граничных условий): а и
б – условие 1-го рода (изотермическая граница); в и г – условие 2-го рода; г – адиабатическая граница; д – условие 3-го рода – теплообмен на границе со средой постоянной температуры; е – то же со средой нулевой температуры
Если теплообмен тела с окружающей средой незначителен в
сравнении с тепловыми потоками внутри тела, поверхность тела
можно считать практически не пропускающей тепла. Очевидно,
что в любой точке адиабатической границы S удельный тепловой
поток и пропорциональный ему градиент по нормали к поверхности равны нулю.
18
Если теплообмен тела с окружающей средой незначителен в
сравнении с тепловыми потоками внутри тела, поверхность тела
можно считать практически не пропускающей тепла. Очевидно,
что в любой точке адиабатической границы S удельный тепловой
поток и пропорциональный ему градиент по нормали к поверхности равны нулю.
Условие 3-го рода. При этом условии задают теплообмен на
границе со средой заданной температуры. Правило Ньютона (1.10)
выражает, что удельный поток теплоотдачи qs через граничную поверхность S пропорционален разности температур граничной
поверхности T s и окружающей среды То:
q2 S = α (TS − T0 ) .
Удельный поток тепла, подтекающего к граничной поверхности со стороны теплопроводящего тела, по закону Фурье пропорционален градиенту температуры по нормали к граничной поверхности. Приравнивая удельные потоки притекающего и уходящего тепла, получим простейшее условие 3-го рода:
⎛ ∂T ⎞
−λ ⎜
⎟ = α (TS − T0 ) ,
⎝ ∂n ⎠ S
выражающее, что градиент температуры по нормали к граничной
поверхности пропорционален перепаду температуры между граничной поверхностью и окружающей средой. Это условие требует, чтобы касательная к кривой распределения температуры в
граничной точке проходила через направляющую точку О с
температурой Tо, находящуюся вне тела на расстоянии λ α от граничной поверхности (рис. 1.5, д).
В частном случае постоянной температуры окружающей
среды (То = const) для расчетов удобно принимать эту постоянную температуру за начало отсчета температур, т.е. То = 0. Тогда
граничное условие 3-го рода выражается наиболее просто
(рис. 1.5, е).
⎛ ∂T ⎞
α TS = −λ ⎜ ⎟ .
(1.18)
⎝ ∂n ⎠ S
19
Правило Ньютона (1.10) лишь приближенно описывает реальный теплообмен конвекцией и излучением между поверхностью
твердого тела и окружающей жидкой или газообразной средой. При
расчете процессов распространения тепла в металлах, обладающих
большой теплопроводностью, условие теплообмена (1.18) позволяет
получать приближенные решения с удовлетворительной точностью.
Изотермическое условие представляет предельный случай условия теплообмена на границе, когда коэффициент теплоотдачи настолько велик, а коэффициент теплопроводности настолько мал, что
температура поверхности оказывается близкой к постоянной температуре окружающей среды. Например, при гранулировании флюса
поверхность зерен флюса быстро приобретает температуру омывающей воды; сварочные процессы под водой (особенно на больших глубинах) сопровождаются настолько интенсивным теплообменом с окружающей средой, что поверхность можно считать изотермической; и т.п.
Адиабатическая поверхность является другим предельным случаем условия теплообмена на границе, когда при весьма малом коэффициенте теплоотдачи и значительном коэффициенте теплопроводности поток тепла через граничную поверхность приближается к
нулю. Поверхность металлического изделия, соприкасающегося со
спокойным воздухом, при непродолжительном процессе может считаться адиабатической, так как действительный поток теплообмена
через поверхность незначителен. При длительном процессе поверхностный теплообмен успевает отнять у металла существенное количество тепла, и пренебрегать им уже нельзя.
Выбирая для расчета тип того или иного простейшего граничного условия, следует помнить, что в действительности поверхность твердого тела всегда обменивается теплом с жидкой или газообразной средой. Можно приближенно считать границу тела изотермической в тех случаях, когда интенсивность поверхностного
теплообмена заведомо велика, и адиабатической, если эта интенсивность заведомо мала.
20
2. РАСЧЕТ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ СВАРКЕ
2.1. Методы расчета теплопроводности при сварке
П
ри заданном дифференциальном уравнении теплопроводности (1.14) и наличии краевых условий поставленная задача
определения T=T(x, y, z, t), как говорят математики, имеет решение, причем единственное. Однако получение этого решения
представляет собой существенную проблему.
Для решения задач теплопроводности применяют аналитические и численные методы. Аналитические методы состоят в подборе уравнения процесса, удовлетворяющего дифференциальному
уравнению теплопроводности и краевым условиям. Из аналитических методов наиболее часто применяются методы интегральных
преобразований (преобразования Ханкеля, Лапласа, Фурье) и метод источников. Методы интегральных преобразований являются
мощным инструментом решения уравнений математической физики (к которым относится и уравнение теплопроводности), но их
использование требует уверенных навыков в разделах математики, которые выходят за рамки курса математического анализа машиностроительных специальностей технических университетов.
Поэтому в дальнейшем мы будем применять только метод источников как наиболее простой и, с достаточной для практических задач сварочного производства точностью, описывающий распределение температуры во большинстве случаях нагрева металла
при сварке.
Существующие аналитические методы дают возможность получать решения только для процессов, описываемых линейными
дифференциальными уравнениями при линейных граничных условиях, т.е. для тех случаев, когда теплофизические свойства
можно считать не зависящими от температуры. Аналитические
методы приводят к общим уравнениям процессов, действительным при разнообразных числовых значениях параметров, характеризующих данную задачу: геометрических размеров, тепловых
характеристик режима нагрева и физических свойств металла. В
21
простейших задачах удается получить решение в замкнутой форме, т.е. выразить уравнение процесса через известные функции от
времени, пространственных координат и постоянных параметров
процесса. В более сложных задачах решения описываются определенными интегралами или бесконечными рядами.
Численные методы, в отличие от аналитических, позволяют
решать задачу теплопроводности в сложной постановке, т.е. с
учетом реальной геометрии сварной конструкции, температурной зависимости теплофизических свойств, распределенности
источника нагрева и т.д. В настоящее время наиболее распространенным является численный метод конечных элементов
(МКЭ, или FEM). Современные программные продукты, например ANSYS, предоставляют широкие возможности расчета теплопроводности при сварке [4, 6, 10]. Численные расчеты сообщают информацию только для данных условий задачи при
определенных значениях всех постоянных параметров. Численный метод не дает, подобно аналитическому, общего решения задачи, но его целесообразно применять для инженерных расчетов в тех случаях, когда получение аналитического решения ввиду сложности условий задачи становится крайне трудоемким или
вообще недоступным.
Чем проще условия задачи, тем легче получить простое и ясное
аналитическое решение, описывающее процесс в общем виде и
дающее возможность полного анализа процесса. Для получения такого решения часто оказывается необходимым упрощать постановку задачи. Но, схематизируя явление, нужно осознать и правильно
оценить главные особенности изучаемого процесса, пренебрегая
второстепенными. Ошибки в схематизации процесса сварочного
нагрева приводят к принципиально не верному результату.
2.2. Тепловые схемы и классификация источников нагрева
Геометрическая форма свариваемых изделий в реальных условиях является сложной. Учет действительной формы может значительно усложнить решение температурных задач сварочных процессов. Поэтому реальную форму в тепловых расчетах идеализи22
руют, сводя ее к одной из следующих тепловых схем, для которых
решение уравнения теплопроводности можно получить в аналитическом виде.
Бесконечное тело – это такой объект, в котором теплопроводность происходит во всех пространственных направлениях T=T(x,
y, z, t). При этом реальные его границы в условиях локального сварочного нагрева не оказывают существенного влияния на величину
температуры. Эта схема предполагает действие источников нагрева внутри рассматриваемого объема q3 в уравнении (1.14).
Полубесконечное тело занимает область по одну сторону плоскости в бесконечном теле (рис. 2.1, а). В данном случае температурное поле также трехмерное: T=T(x, y, z, t). Подобная схема реализуется, например, при сварке листов значительной толщины, когда температура на обратной относительно сварки поверхности
повышается незначительно.
Рис. 2.1. Тепловые схемы: а – плубесконечное тело; б – плоский слой; в – пластина; г – стержень
Пластина характеризуется двумерным (плоским) температурным полем T=T(x, y, t). Геометрически это пространство, ограниченное двумя параллельными плоскостями, в направлении нормали к которым внутри тела теплопроводность отсутствует, т.е. температуры точек по толщине пластины одинаковы (рис. 2.1, в).
23
Плоский слой представляет собой промежуточный между полубесконечным телом и пластиной случай. В этой схеме также тело
ограничено двумя параллельными плоскостями, но температура в
направлении толщины значительно изменяется: T=T(x, y, z, t)
(рис. 2.1, б).
Стержень есть тело, в котором теплопроводность происходит
только в одном направлении: T=T(x, t) (рис. 2.1, г).
Приведенная схематизация нагреваемых тел условна. Например, полубесконечное тело можно рассматривать как плоский
слой бесконечной толщины, пластину – как плоский слой малой
толщины, когда можно пренебречь перепадом температуры по
толщине, стержень – как цилиндр без перепада температуры по
сечению. Более того, одному и тому же толстостенному свариваемому изделию могут соответствовать различные схемы тел: бесконечное тело – при выполнении корневых проходов при многопроходной сварке в узкий зазор (тепловые потоки существуют во
все стороны); полубесконечное тело – при выполнении на поверхности последнего прохода сварного шва (тепловые потоки направлены вглубь металла); плоский слой – при электронно-лучевой
сварке с несквозным проплавлением, но со сквозным прогревом
изделия (оказывает влияние тепловая изоляция нижней поверхности изделия) и пластина – при плазменной резке толстых листов
(тепловые потоки направлены практически только поперек оси
плазмы). Только понимание физической модели может позволить
грамотно выбрать соответствующую тепловую схему.
Характерным признаком всех способов сварки является локальный нагрев изделия, для чего используются разнообразные
концентрированные источники теплоты с высокой плотностью теплового потока.
Обычно при расчете тепловых процессов все сварочные источники (электрическая дуга, газовое пламя, электронный и лазерный лучи, электрошлаковая ванна и т.д.) идеализируют.
Идеализированные источники можно классифицировать по
длительности выделения теплоты на мгновенные (время выделения теплоты tw = 0) и непрерывно действующие (tw > 0). Непрерывно действующие источники могут быть неподвижными
(скорость движения v = 0) и движущимися (v > 0). Из движу-
24
щихся источников, в свою очередь, выделяют быстродвижущиеся источники теплоты и вводят их в расчетную схему тогда,
когда можно пренебречь тепловыми потоками вдоль оси движения источника, что значительно упрощает расчет. По пространству источники нагрева при сварке подразделяются на сосредоточенные и распределенные. Сосредоточенные источники характеризуются тем, что при их действии тепло вводится в область, не имеющую физического размера. Так, при трехмерной
теплопроводности сосредоточенным будет точечный источник,
при котором тепло вводится в точку с координатами x, y, z.
Двумерному температурному полю соответствует линейный источник, у которого тепловыделение равномерно по линии, перпендикулярной плоскости температурного поля. Если температурное поле одномерно, то сосредоточенным будет плоский источник нагрева, в котором тепло равномерно выделяется в
плоскости, перпендикулярной единственной координате. Таким
образом, источники сосредоточены по координатам рассматриваемого температурного поля. При этом мерность пространства
(dim) точечных источников = 0, линейных dim=l и плоских dim
= 2. Далее индексами i = 0; 1; 2; 3 у теплоты Qi Дж/см3, мощности qi Вт/см3 будем указывать мерность источника.
Математически сосредоточенные источники описываются с
помощью δ-функции (дельта-функции Дирака): δ (u)= ∞ при u = 0, δ
(u)= 0 при u ≠ 0, причем
∞
∫
f (u )δ (u )du = 1 .
−∞
В этих обозначениях мгновенный точечный источник с тепловыделением Q:
Q3 = Qδ ( x)δ ( y )δ ( z )δ (t ) .
Применение вида сосредоточенного источника нагрева должно
быть согласовано с принятой тепловой схемой расчета теплопроводности. Так, на поверхности полубесконечного тела и плоского
слоя действует точечный, в пластине – линейный, а в стержне –
плоский источники тепла.
25
В действительности при сварочном нагреве тепловой поток
распределен в некотором компактном пространстве, т.е. действует
распределенный источник нагрева. Например, для поверхностных
источников (электрическая дуга, газовое пламя, электронный или
лазерный луч и т.п.) экспериментально установлено, что удельный
тепловой поток описывается кривой Гаусса (закон нормального распределения)
q2 (r ) = q2 m exp(−kr 2 ) ,
(2.1)
где q2m – удельный тепловой поток в центре нагрева (при r = 0),
Вт/см2; k – коэффициент сосредоточенности теплового потока, см-2.
Соответствующий формуле (2.1) источник называется нормально
круговым (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Распределение теплового потока нормально кругового источника
Величины q2m и k зависят от метода и режима сварки. При дуговой сварке эффективная тепловая мощность дуги, вводимая в изделие q = UIη (Вт), где U – напряжение, I – ток дуги, η – эффективный
КПД процесса нагрева. Связь эффективной мощности дуги с параметрами распределения q2(r) устанавливается путем интегрирования выражения (2.1) с использованием подстановки u = kr2:
∞
∫
∞
∫
q = q2 (r )2π rdr = q2 m exp(−kr 2 )2π rdr =
0
0
26
π
k
q2 m .
Согласно формуле (2.1) источник действует на всей поверхности ( r → ∞ ). В практических расчетах вводится понятие условного
пятна нагрева диаметром dн = 2 rн, на границе которого удельный
тепловой поток q2 = 0,05q2m. Тогда
q2 (rн ) = q2 m exp(−krн 2 ) = 0.05q2 m ; exp(−krн 2 ) = 0.05; krн 2 = 3.
(2.2)
В результате условный диаметр пятна нагрева d н = 3, 46 k .
Сравним распределение удельных тепловых потоков для различных
методов сварки – газовой и дуговой, считая, что эффективная тепловая мощность источников одинакова и равна 5000 Вт. По данным
работы [9], для газовой сварки коэффициент сосредоточенности k =
0,3 см-2, для аргонодуговой – k = 1см-2, для автоматической сварки
под слоем флюса k = 5см-2 (рис. 2.3). Чем выше коэффициент сосредоточенности источника нагрева, тем меньше диаметр условного
пятна нагрева и больше значение максимального теплового потока.
Рис. 2.3. Распределение удельных тепловых потоков для газовой
сварки k = 0,3 см-2, аргонодуговой
k = 1 см-2 и автоматической сварки
под флюсом k = 5 см-2
Значительной сосредоточенностью могут обладать электронный и лазерный лучи при соответствующей фокусировке их на поверхности свариваемого тела. Концентрация энергии может быть
настолько существенной, что теплопроводность металла оказывается недостаточной для отвода теплоты в глубину тела и металл закипает, испаряясь с поверхности. Это тепловая разделительная резка
материала. В предельном случае, когда k = ∞ , источник становится
сосредоточенным:
q2 (r ) = qδ (0) .
27
Существуют источники теплоты при сварке со сложной формой
распределения теплового потока, например электрошлаковый. Теплота может распределяться по толщине металла по различным законам. В случае наплавки на массивное тело распределенностью
теплоты в направлении оси z можно пренебречь и считать источник
точечным, находящимся на поверхности тела.
При необходимости учесть распределенность теплоты, например от сварочной дуги по глубине металла, можно принять нормальный закон распределения по аналогии с формулой (2.1). В общем случае использования различных сварочных источников теплоты вопрос о распределенности теплового потока по толщине металла должен решаться конкретно в зависимости от свойств самого
источника и его взаимодействия со свариваемым металлом. В первом приближении о характере распределения вводимой энергии
можно судить по форме проплавления материала.
2.3. Метод источников при решении задач теплопроводности
Специфическим для задач теплопроводности при сварке является то, что в области высокой температуры на температурное поле оказывают влияние в большей степени особенности ввода теплоты (особенности сварочных источников) и в меньшей степени
граничные условия.
Существуют различные аналитические методы решения задач теории теплопроводности (метод разделения переменных,
операционные методы, метод источников и др.). Предложенный
еще лордом Кельвином метод источников (в математической физике называемый методом функций Грина) является предпочтительным в силу своей наглядности, простоты учета особенностей
сварочных источников теплоты; вместе с тем он обладает математической строгостью. Все это и обусловило его популярность
при расчете температурных полей в сварных изделиях.
Дифференциальное уравнение теплопроводности (1.14) является линейным. Одним из следствий линейности уравнения является
принцип суперпозиции: результат суммы воздействий равен сумме
результатов каждого воздействия отдельно. Физическая сущ28
ность метода источников заключается в том, что любой процесс распространения теплоты в теле можно представить в виде
суммы процессов выравнивания температуры от множества элементарных источников теплоты, распределенных как в пространстве, так и во времени. Подчеркнем, что заложенный в метод источников принцип суперпозиции (наложения) решений применим
только в случае, когда краевая задача линейна (в уравнении теплопроводности и граничных условиях c ρ , λ , a, q2 s , α не зависят от
температуры, а q3 есть линейная функция T).
Ранее введено понятие мгновенных сосредоточенных источников. Любой реальный постоянно действующий, движущийся и произвольно распределенный в пространстве источник можно, пользуясь принципом суперпозиции, представить в виде совокупности
мгновенных сосредоточенных источников и получить решение задачи, суммируя температурное поле от каждого из них [9].
В общем виде метод источников при решении дифференциального уравнения теплопроводности выглядит следующим образом.
Пусть выполняется сварное соединение конструкции с помощью
локализованного в некоторой области V (ξ, η, ς, τ) движущегося источника нагрева. Представим этот источник в виде совокупности
мгновенных сосредоточенных источников, каждый из которых действует в момент времени τ. Приращение температуры от одного источника в точке конструкции (x,y,z) в данный момент времени равно
dT {[ x − ξ (τ ) ] , [ y − η (τ ) ] , [ z − ς (τ )] , [t − τ ]} . Суммируя значения температуры от каждого мгновенного сосредоточенного источника
движущегося объема V, получим
∞ ∞ ∞ t
T ( x, y , z , t ) =
∫ ∫ ∫ ∫ dT {[ x − ξ (τ )],[ y − η (τ )],[ z − ς (τ )],[t − τ ]} dξ dη dζ dτ .
−∞ −∞ −∞ 0
(2.3)
Таким образом, для расчета температурных полей в сварочных
процессах необходимо в первую очередь решить уравнение теплопроводности при действии мгновенных сосредоточенных источников нагрева.
29
2.4. Фундаментальное решение уравнения
теплопроводности
Решение дифференциального уравнения теплопроводности
(1.14) при действии мгновенного сосредоточенного источника в неограниченной среде называется фундаментальным решением.
2.4.1. Мгновенный точечный источник
Для бесконечного тела, в начале координат которого действует
мгновенный точечный источник, решение дифференциального
уравнения теплопроводности следующее [9]:
T ( x, y , z , t ) =
⎛ R2 ⎞
Q
exp
⎜−
⎟,
c ρ (4π at )3 2
⎝ 4at ⎠
(2.4)
R2 = x2 + y 2 + z 2 ,
где T – температура точки с координатами x, y, z; Q – количество
тепла, выделившееся в момент t = 0 в начале координат; t – время,
прошедшее с момента введения тепла; R – расстояние от начала координат, где действует источник, до рассматриваемой точки (радиус-вектор). Уравнение (2.4) является фундаментальным решением
уравнения теплопроводности при действии мгновенного точечного
источника в бесконечном теле.
В любой момент t ≠ 0 температура самого источника (R = 0) отлична от нуля и с течением времени уменьшается по закону t-3/2, оставаясь выше температур других точек тела. Вместе с удалением от
источника температура понижается по закону нормального распределения exp(-R2/4at). Изотермическими поверхностями являются
сферы с центром в источнике, и температурное поле в данный момент времени зависит лишь от радиуса. В начальный момент времени (t = 0) температура не определена (T = ∞), что связано со схемой сосредоточенного источника, в котором в бесконечно малом
объеме в начальный момент времени содержится конечное количество тепла Q.
На основе решения для бесконечного тела (2.4) можно вывести
уравнение температурного поля для схемы полубесконечного тела,
30
которая применяется для описания тепловых процессов в массивных изделиях. Пусть в полубесконечном теле, ограниченном поверхностью S – S, действует мгновенный точечный источник Д
(рис. 2.4). Для массивных тел тепловые потоки внутри значительно
больше потока теплоотдачи с поверхности. Поэтому поверхность
полубесконечного тела можно считать адиабатической границей,
для которой (см. п. 1.4)
⎛ ∂T ⎞
q2 S = 0, ⎜
⎟ =0.
⎝ ∂n ⎠ S
(2.5)
Рис. 2.4. Моделирование адиабатической границы
Дополним полубесконечную область z > 0 до бесконечной, добавив область z < 0. В образовавшемся объеме введем дополнительный (фиктивный) источник нагрева Ф(-z), идентичный действительному источнику Д(z), но расположенный симметрично по другую сторону границы S. На рис. 2.4 приведено распределение температур в бесконечном теле отдельно для действительного (TД) и
фиктивного (Tф) источников. Суммарная температура от обоих источников T = TД + Tф . При этом на границе ( ∂T ∂z )S = 0 , что соот-
ветствует определению адиабатической границы (2.5). Если действительный источник находится на поверхности полубесконечного
тела, то фиктивный с ним совпадает, и T=2TД. Тогда температурное
поле мгновенного точечного источника на поверхности полубесконечного тела
31
T ( x, y , z , t ) =
⎛ R2 ⎞
2Q
exp
⎜−
⎟.
c ρ (4π at )3 2
⎝ 4at ⎠
(2.6)
По такой же схеме моделируется и изотермическая граница
(граничное условие 1-го рода) TS=0, но в этом случае T = TД–TФ.
Следует подчеркнуть, что источник нагрева не может действовать
на изотермической поверхности.
Графическое изображение температурного поля (2.6) требует
четкого понимания пространственного положения поверхности, на
которой строится распределение температуры. В декартовой системе координат (x, y, z) контрольными сечениями полубесконечного
тела при действии точечного источника являются плоскости xy, xz и
yz (рис. 2.5, а). Для полубесконечного тела изотермические поверхности являются полусферами ( температура зависит от радиусавектора R). В плоскости xy изотермы, как сечение поверхности
плоскостью z=const, являются окружностями, а в других плоскостях – полуокружностями (рис. 2.5, б). Температурное поле мгновенного точечного источника в разные моменты времени представлено на рис. 2.6 (см. П 1.1). На рисунке температура графически ограничена значением T=1000 K.
Температура в любой точке вне источника сначала возрастает, а
затем убывает (рис. 1.2). Момент достижения максимального значения температуры в данной точке найдется из условия ∂T ∂t = 0.
Рис. 2.5. Контрольные плоскости (а) и изолинии температурного поля (б) при
действии мгновенного точечного источника на поверхности полубесконечного тела
(Q=5000 Дж; теплофизические свойства соответствуют стали ВСт3сп)
32
Дифференцируя выражение (2.6) по времени, получаем формулу для определения времени, когда температура максимальна:
⎛ R 2 ⎞⎛ R 2
∂T
2Q
3⎞
=
− ⎟=0,
exp
⎜−
⎟⎜
32
2
∂t c ρ (4π at )
2t ⎠
⎝ 4at ⎠⎝ 4at
откуда
tT max =
R2
, Tmax
6a
2Q
⎛2 ⎞
cρ ⎜ π e ⎟
⎝3 ⎠
.
32
R
(2.7)
3
Максимальные температуры точек полубесконечного тела при
действии точечного источника уменьшаются с расстоянием как R3.
Рис. 2.6. Температурное поле при действии мгновенного точечного источника
(Q=5000 Дж) на поверхности полубесконечного тела (z=0) в моменты времени t =
0,5 c (а), t = 1 с (б), t =1,5 с (в), t=2 с (г)
33
2.4.2. Мгновенный линейный источник в пластине
При сварке «на проход», т.е. когда металл в зоне действия сварочного источника нагрева расплавляется на всю толщину, например при сварке листов на флюсомедной подкладке, разделительной
тепловой резке и подобных процессах, температуру по толщине металла T(z) можно считать постоянной. В этом случае реализуется
тепловая схема – пластина, и температурное поле является двумерным (плоским) T=T(x, y, t) (см. п. 2.1). Выведем фундаментальное
уравнение теплопроводности для этого случая, используя предыдущие результаты.
В линейный элемент теплопроводящего тела, имеющий форму
бесконечно длинной призмы малым основанием dxdy, в начальный
момент времени t = 0 внесем тепло, распределенное равномерно по
длине этой призмы с интенсивностью Q1 Дж/см. Температурное
поле, получающееся от действия мгновенного линейного источника, в силу линейности задачи можно получить наложением температурных полей бесконечного числа мгновенных точечных источников, равномерно распределенных вдоль оси z, совпадающей с
осью призмы, и вносящих в элемент длиной dz тепло
dQ = Q1 dz.
При этом для температуры любой точки тела в соответствии с
формулой (2.4) получим
∞
T ( x, y , t ) =
⎛ x2 + y 2 + z 2
Q1dz
exp
⎜−
32
4at
c
at
(4
)
ρ
π
⎝
−∞
∫
⎞
⎟,
⎠
или
⎛ x2 + y 2 ⎞
Q1 exp ⎜ −
⎟
4at ⎠ ∞
⎛ z2 ⎞
⎝
exp
T ( x, y , t ) =
⎜−
⎟ dz .
c ρ (4π at )3 2
⎝ 4at ⎠
−∞
∫
Введя новую переменную
u=
z
4at
34
,
(2.8)
будем иметь
∞
∞
⎛ z2 ⎞
2
exp ⎜ −
⎟dz = 4at exp(−u ) du .
⎝ 4at ⎠
−∞
−∞
∫
∫
Известно [2], что
∞
∫ exp(−u
2
)du = π .
−∞
При этом формула (2.8) примет вид
T ( x, y , t ) =
⎛ r2 ⎞
Q1
exp ⎜ −
⎟,
c ρ (4π at )
⎝ 4at ⎠
(2.9)
где r 2 = x 2 + y 2 .
Если из теплопроводящего тела вырежем пластину толщиной s
двумя плоскостями, нормальными к оси z, и в его элемент sdxdy в
начальный момент времени внесем тепло Q Дж, то в соответствии с
уравнением (2.9) мгновенный линейный источник тепла с интенсивностью
Q1 =
Q
Дж/см
s
создает плоское температурное поле
T ( x, y , t ) =
⎛ r2 ⎞
Q
exp ⎜ −
⎟.
c ρ s (4π at )
⎝ 4at ⎠
(2.10)
Это выражение и есть фундаментальное решение уравнения
теплопроводности при действии мгновенного линейного источника
в пластине.
Температурное поле мгновенного линейного источника в данный момент времени зависит лишь от плоского радиуса-вектора
r = x2 + y 2 ,
35
и его изотермические поверхности — круговые цилиндры, ось которых совпадает с осью источника. При этом изотермические линии
в плоскости yz представляют собой прямые (рис. 2.7) (см. П1.2.), а в
плоскости xy – окружности.
Максимальная в данной точке температура в момент времени,
определяемый из условия ∂T ∂t = 0 , приводит к результату
tT max =
r2
Q
, Tmax =
.
4a
π c ρ esr 2
(2.11)
Максимальные температуры линейного источника в пластине
уменьшаются с расстоянием как r2.
Рис. 2.7. Изотермы в плоскости yz при действии мгновенного линейного источника в пластине
Нагрев пластины (рис. 2.8) по сравнению с полубесконечным
телом (рис. 2.6) при аналогичном тепловложении происходит до
больших температур, и процесс выравнивания температурного поля
идет медленнее. Это связано с тем, что теплопроводность в пластине происходит только в двух направлениях – x и y, в то время как
для полубесконечного тела теплопередача трехмерна, а значит, более интенсивна.
При расчете процессов распространения тепла в пластинах необходимо учитывать влияние их теплообмена с окружающей средой через поверхность. Пусть на поверхностях пластины толщиной s задана теплоотдача по правилу Ньютона с коэффициентом α
36
Дж/см2сK (см. п. 1.4) в окружающую среду нулевой температуры.
В этом случае удельный тепловой поток теплоотдачи q2S=αT.
Пусть в начальный момент температура пластины площадью F постоянна по всему ее объему и равна Тн. Начиная с момента t=0
пластина свободно охлаждается за счет поверхностной теплоотдачи. Тогда температура T(t) в процессе свободного охлаждения будет оставаться одинаковой по всему объему пластины. За время dt
с двух сторон пластины 2F будет отдано в окружающую среду количество теплоты
dQ = q2 S 2 Fdt = α T 2 Fdt .
(2.12)
Рис. 2.8. Температурное поле при действии мгновенного линейного источника
(Q=5000 Дж) в пластине в моменты времени t = 0,5 c (а), t = 1 с (б), t =4 с (в),
t=5 с (г)
37
Температура пластины объемом sF за время dt понизится на величину
dT =
dQ
.
c ρ sF
(2.13)
После подстановки (2.12) в (2.13)
dT
2α
=−
dt = −bdt .
T
cρ s
(2.14)
Величина b = 2α ( c ρ s ) с-1 называется коэффициентом температуроотдачи для пластины. Интегрируя уравнение (2.14),
находим
ln T = −bt + C .
t=0:
Постоянную интегрирования определим из условия T=Tн при
C = ln Tн .
Таким образом, изменение температуры при свободном охлаждении пластины
T (t ) = Tн e − bt .
(2.15)
В начале процесса темп охлаждения наиболее высок. По мере
снижения температуры уменьшается и пропорциональная ей скорость охлаждения. С течением времени и температура, и скорость
охлаждения асимптотически стремятся к нулю. Если в качестве
начальной считать температуру в пластине без теплоотдачи, то
подставив вместо Tн выражение (2.10), получим температурное
поле мгновенного линейного источника в пластине с учетом теплоотдачи:
T ( x, y , t ) =
⎛ r2
⎞
Q
− bt ⎟ .
exp ⎜ −
c ρ s (4π at )
⎝ 4at
⎠
38
(2.16)
Интенсивность теплоотдачи существенно зависит от толщины
пластины s. Определим ΔT как разность между значениями температуры при нагреве пластины мгновенным линейным источником
без учета (2.10) и с учетом (2.16) теплоотдачи с поверхности:
ΔT =
⎛ r2 ⎞
Q
exp ⎜ −
⎟ ⎡⎣1 − exp ( −bt ) ⎤⎦ .
c ρ s (4π at )
⎝ 4at ⎠
(2.17)
Рис. 2.9. Влияние теплоотдачи на нагрев пластины мгновенным линейным источником в зависимости от толщины (а) и времени (б); y1=0,5 см, y2=1см, y3=1,5 см,
y4=2 см
На рис. 2.9 приведены геометрическая схема и результаты этого
сравнения. Из рис. 2.9, а следует, что чем меньше толщина пластины, тем большее влияние на значение температуры оказывает поверхностная теплоотдача. Влияние теплоотдачи усиливается с ростом времени (рис. 2.9, б). Как следует из формулы (2.17), зависимость ΔT от толщины пластины s гиперболическая. Для толщин,
больших, чем 5мм, влиянием теплоотдачи с поверхности пластины
можно пренебречь.
2.4.3. Мгновенный плоский источник в стержне
При одномерном процессе теплопроводности температура изменяется только по одной координате: T=T(x, t). Соответствующая
этому случаю тепловая схема – стержень. Поперечное сечение
стержня может быть произвольным. Возьмем бесконечное теплопроводящее тело и в его элемент, представляющий бесконечный
39
плоский слой толщиной dx, вырождающийся в пределе в плоскость
yz, в начальный момент внесем тепло, равномерно распределенное
по его площади с интенсивностью Q2 в Дж/см2. Температурное поле, вызываемое этим плоским источником, можно найти суммированием полей мгновенных точечных источников, распределенных
по всей плоскости уz. Полагая
dQ = Q2 dydz
и используя формулу температурного поля мгновенного точечного
источника (2.6), получим
∞ ∞
T=
⎛ x2 + y 2 + z 2 ⎞
⎛ x2 ⎞
Q2 dydz
Q2
exp
exp
−
=
−
⎜
⎟
⎜
⎟.
12
4at
c ρ (4π at )3 2
⎝
⎠ c ρ (4π at )
⎝ 4at ⎠
−∞ −∞
(2.18)
∫∫
Таким образом, температурное поле мгновенного плоского источника зависит лишь от расстояния x до плоскости уz источника,
и изотермическими поверхностями являются плоскости, параллельные плоскости уz. Например, если возьмем теплопроводящее
тело в форме бесконечно длинной прямоугольной призмы с площадью поперечного сечения F, боковые грани которой непроницаемы для тепла, и в элемент его объема Fdx в начальный момент
внесем тепло с интенсивностью Q2 Дж/см2, то температура в любом
его поперечном сечении x будет постоянна и определится по формуле (2.18). Общее количество тепла, выделившееся в сечении F
Q=Q2F Дж. В результате фундаментальное решение уравнения теплопроводности мгновенного плоского источника в стержне
T ( x, t ) =
⎛ x2 ⎞
Q
exp
⎜−
⎟.
c ρ F (4π at )1 2
⎝ 4at ⎠
(2.19)
При этом наибольшая температура в любом сечении |х| будет
иметь место в момент времени
tTmax =
40
x
,
2a
и для нее получим
Tmax =
Q
.
c ρ F (2π e)1 2 x
(2.20)
Распределение температуры в различные моменты времени
приведено на рис. 2.10.
Рис. 2.10. Тепловая схема (а) и распределение температуры (б) при деии мгновенного плоского источника в стержне в моменты времени t=0,5 с (1), t= 2 с (2),
t =5 с (3) и t =8 с (4)
Для плоского источника в стержне по аналогии с предыдущим
случаем линейного источника в пластине учитывается поверхностная теплоотдача:
T ( x, t ) =
⎛ x2
⎞
Q
− bt ⎟ ,
exp
⎜−
12
c ρ F (4π at )
⎝ 4at
⎠
(2.21)
где коэффициент температуроотдачи
b=
αP
,
cρ F
P – периметр сечения, F – его площадь.
2.4.4. Мгновенный точечный источник
на поверхности плоского слоя
Расчет температурного поля при сварке основывается на
корректной схематизации реального процесса. Рациональный выбор
41
тепловой схемы позволяет получить результаты расчета температурного поля с достаточной для практической реализации точностью. Определение тепловой схемы в первом приближении можно
вычислить следующим образом. Пусть необходимо сварить встык
два одинаковых стальных листа толщиною s. Проведем расчет по
схеме точечного источника на поверхности полубесконечного тела
и по формуле (2.7) вычислим максимальную температуру при z=s.
Если максимальная температура на нижней стороне листа z=s составляет десятки градусов, то данный случай моделируется схемой
полубесконечного тела. Когда максимальная температура в полубесконечном теле при z=s достигает температуры плавления материала ( при сварке в жидкой фазе) – это пластина. В случае значений максимальной температуры в сотни градусов при z=s мы имеем
дело с плоским слоем.
Плоский слой – это тело, ограниченное двумя параллельным
плоскостями (z=const) на расстоянии s друг от друга (рис. 2.1, б).
Как было отмечено выше (рис. 2.9), при значительных толщинах
свариваемых лиcтов, соответствующих этому случаю, теплоотдача
с поверхности незначительна, поэтому для плоского слоя обе поверхности считаются адиабатическими. Моделирование одной
адиабатической границы для мгновенного точечного источника
представлено на рис. 2.4. Наличие двух адиабатических границ при
действии точечного источника Д на поверхности плоского слоя
приводит к необходимости введения в бесконечном теле V системы
фиктивных источников Ф, которые обеспечивают путем отражения
от адиабатических поверхностей формирование температурного поля плоского слоя. Схема распределения действительного и фиктивных источников приведена на рис. 2.11.
Температура в точке A(x, y, z) от точечного источника Д на
адиабатической поверхности S1 полубесконечного тела определяется формулой (2.6). Наличие адиабатической границы плоского слоя
S2 приводит к необходимости введения фиктивного источника Ф1,
расположенного симметрично относительно границы S2.
Но при действии источника Ф1 нужно смоделировать границу
S1, установив источник Ф2 и т.д., что приводит к бесконечному ряду
фиктивных источников по оси z. Температура в контрольной точке
в соответствии с методом источников (принцип суперпозиции) яв42
ляется суммой всех действительных и фиктивных источников. Чем
больше номер фиктивного источника, тем дальше он находится от
контрольной точки А(x, y, z) и тем меньше его вклад в результирующее значение температуры. Поэтому этот ряд быстро сходится
(
)
как exp − R 2 4at , где R = x 2 + y 2 + z 2 – расстояние от действительного источника до контрольной точки А(x, y, z). Присвоив знак
«+» i-м источникам при z > 0 и знак «-» при z < 0, на основе формулы (2.6) получим искомое температурное поле мгновенного точечного источника на поверхности плоского слоя
T ( x, y , z , t ) =
⎛ R2 ⎞ ∞
2Q
⎡ is (is − z ) ⎤
,
exp
exp ⎢ −
⎜−
⎟
32
at ⎥⎦
c ρ (4π at )
⎣
⎝ 4at ⎠ i =−∞
∑
(2.22)
где i – номер источника.
Рис. 2.11. Моделирование адиабатических границ плоского слоя
Форма изотерм в плоском слое (рис. 2.12) подчеркивает наличие второй адиабатической границы с обратной стороны источника
нагрева, в районе которой температура повышается за счет отражения от границы.
43
Рис. 2.12. Изолинии температурного поля в плоскости yz при действии мгновенного источника Q=12 кДж на поверхности плоского слоя в момент времени t=1с
2.5. Расчет температурного поля
движущихся источников нагрева
Для вывода уравнения процесса распространения тепла при
движущемся непрерывно действующем источнике применяют
принцип суперпозиции (см. п. 2.3). Для этого весь период действия
источника разбивают на бесконечно малые элементы и рассматривают отдельные элементарные воздействия источника на теплопроводящее тело. Эти элементарные тепловые воздействия приложены
к поверхности тела в последовательные моменты времени в точках,
расположенных по оси перемещения источника. Процессы распространения тепла от элементарных воздействий источника можно
рассматривать вне зависимости друг от друга. Суммированием таких элементарных процессов можно получить уравнение процесса
распространения тепла при непрерывном действии подвижного источника [9].
Принцип наложения применим, если дифференциальные уравнения, описывающие процесс, линейны, т.е. если их коэффициенты
не зависят от искомой функции, в данном случае от температуры.
Дифференциальное уравнение теплопроводности (1.14) содержит
44
коэффициент температуропроводности а, изменяющийся с температурой; однако, принимая его постоянным, можно получить приближенные решения, достаточные для практических расчетов.
По принципу наложения изменение температуры в какой-либо
точке теплопроводящего тела представляется суммой изменений
температуры при распространении тепла от отдельных элементарных воздействий источника с учетом времени и места их приложения. Так как источник действует непрерывно, можно интегрировать
элементарные приращения температуры dT, вызванные действием
источника в течение бесконечно малых промежутков времени, т.е.
t
∫
полагать T = dT . При простых расчетных схемах оказывается
0
возможным выразить получаемые при рассмотрении непрерывного
процесса интегралы через известные функции.
В дальнейшем выведем уравнения процессов распространения
тепла для трех основных расчетных схем подвижных источников:
точечного источника на поверхности полубесконечного тела, линейного источника в неограниченной пластине, точечного источника на поверхности плоского слоя и плоского источника в неограниченном стержне, соответствующих практически важным типам сварочного нагрева металла.
2.5.1. Движущийся точеный источник на поверхности
полубесконечного тела
По поверхности массивного тела равномерно (т.е. с постоянной
скоростью v) и прямолинейно перемещается непрерывно действующий точечный источник тепла постоянной мощности q. Тело
будем считать полубесконечным с адиабатической плоскостью xy
(рис. 2.13).
Начало связанной с телом неподвижной (физической) системы
координат o0 совместим с положением точечного источника в момент t=0 начала его действия; ось o0 x совместим с направлением
перемещения источника со скоростью v. Введем подвижную систему координат xyz, начало которой o связано с движущимся источником нагрева. В любой момент времени t температура в точке А(x,
y, z) будет являться суммой температур от мгновенных точечных
45
источников o1, действовавших в моменты времени τ (τ =0…t) на
расстоянии vτ от начала движения. Длительность распространения
тепла мгновенного источника, введенного в точке o1, составляет t-τ .
От одного мгновенного источника с тепловложением Q=qdτ , где
q – мощность источника, Вт, приращение температуры на основе
выражения (2.6)
dT ( x, y, z , t ) =
⎛
R12 ⎞
−
exp
⎜
⎟,
c ρ ⎣⎡ 4π a(t − τ )3 2 ⎦⎤
⎝ 4a (t − τ ) ⎠
2qdτ
где R12 = [ x + v(t − τ ) ] + y 2 + z 2 .
2
Рис. 2.13. Схема движущегося точечного источника теплоты на поверхности
полубесконечного тела
Просуммируем приращение температуры от всех элементарных
источников, действовавших в течение времени t на дистанции o0 o:
⎛ [ x + v(t − τ ) ]2 + y 2 + z 2 ⎞
⎜−
⎟dτ =
exp
32
⎜
⎟
τ
4
a
(
t
)
−
⎡
⎤
c
4
a
(
t
)
−
ρ
π
τ
0
⎝
⎠
⎣
⎦
t
2
2
⎡
2q
1
R
v (t − τ ) ⎤
⎛ vx ⎞
=
−
exp ⎜ − ⎟
exp ⎢ −
⎥ dτ ,
32
32
4a ⎦
c ρ (4π a )
⎝ 2a ⎠ 0 (t − τ )
⎣ 4a(t − τ )
(2.23)
2
2
2
2
где R = x + y + z .
t
T ( x, y , z , t ) =
∫
2q
∫
46
Дальнейшее преобразование сводится к вычислению интеграла
(2.23) при различных значениях входящих в него параметров. Интегралы подобного типа не всегда берутся, и тогда приходится вычислять их по приближенным формулам, например Симпсона, или
разлагать решение в ряд. В рассматриваемом случае интеграл можно выразить через известные функции.
Предельное состояние. Если следить за подвижным температурным полем, связанным с дугой или другим сосредоточенным источником тепла, то можно заметить, что возникающая в начале нагрева область повышенных температур с течением времени увеличивается и достигает определенных предельных размеров. Подвижное температурное поле, «насыщенное» теплом сосредоточенного
источника, только перемещается вместе с ним, оставаясь неизменным. Такое состояние процесса называется предельным или установившимся. Таким образом, процесс нагрева источником постоянной
мощности делится на два периода: I период — теплонасыщение, когда размеры связанной с источником нагретой зоны увеличиваются;
II период — предельное или установившееся состояние процесса
распространения тепла, когда температурное поле остается постоянным. При неподвижном источнике тепла неподвижное поле предельного состояния называют стационарным. При подвижном источнике (v=const; q=const) связанное с ним температурное поле предельного состояния называют квазистационарным. Процесс распространения тепла стремится к предельному состоянию при неограниченно длительном действии источника постоянной мощности, т.е. при t → ∞ . При ручной дуговой сварке в начале процесса
сварщик не начинает движение вдоль оси соединения до тех пор,
пока не образуется сварочная ванна необходимых размеров. При автоматической сварке система управления сварочным автоматом
имеет устройство (реле времени), осуществляющее задержку включения привода движения автомата со скоростью сварки на время,
необходимое для прогрева металла и образования сварочной ванны.
Эти приемы исключают период теплонасыщения, и процесс сварки
характеризуется предельным состоянием температурного поля при
постоянстве параметров режима сварки.
47
Уравнение предельного состояния процесса распространения
тепла при нагреве поверхности полубесконечного тела подвижным
точечным источником тепла, отнесенное к подвижной системе координат, получим из уравнения (2.23), полагая t = ∞ . Интеграл в
уравнении (2.23), взятый между пределами 0 и ∞ , можно привести
подстановкой
u2 =
R2
4a(t − τ )
к известному несобственному интегралу [2]
∞
⎛
∫ exp ⎜⎝ − Au
0
2
−
B
u2
1 π
⎞
exp −2 AB .
⎟ du =
2 A
⎠
(
)
После ряда преобразований уравнение предельного состояния
процесса распространения тепла точечного источника постоянной
мощности, движущегося с постоянной скоростью v по поверхности
полубесконечного тела, отнесенное к подвижным координатам xyz,
принимает вид:
T ( x, R , ∞ ) =
⎛ vx vR ⎞
−
exp ⎜ −
⎟,
2πλ R
⎝ 2 a 2a ⎠
q
(2.24)
здесь R – пространственный радиус-вектор в подвижной системе
координат, т.е. расстояние рассматриваемой точки А(x,y,z) от начала
o подвижной системы; х – абсцисса точки А(x, y, z).
Следует обратить внимание на то, что температурное поле
(2.24) не зависит от времени. Это непосредственно следует из схемы квазистационарного температурного поля в подвижной системе
координат.
Температурное поле движущегося источника не симметрично
относительно оси y (рис. 2.14) (см. П 1.3). Источник нагрева «догоняет» теплопроводность по оси движения x. Градиент температуры
по оси x ∂T ∂x впереди источника увеличивается, а позади уменьшается с ростом скорости его движения. При этом в плоскости yz
(сечение поперек оси x движения источника) изотермические линии
так же, как и для мгновенного источника (рис. 2.5, б), остаются по48
луокружностями (в обоих случаях схема полубесконечного тела).
Из формулы (2.24) и рис. 2.14 видно, что поле симметрично относительно продольной оси х, т.е. изотермические поверхности являются поверхностями вращения вокруг оси х. Чем дальше точка нагреваемого тела от источника, тем меньше максимальная температура
и тем позже она достигается. Позади источника компоненты вектора градиента температуры вдоль оси движения источника x меньше,
чем в поперечном направлении y, а это значит, что тепловые потоки, пропорциональные градиенту температуры по закону Фурье
(1.5), вдоль оси х намного меньше, чем в поперечном направлении
y, т.е. теплота преимущественно распространяется в направлении у
и z. Это утверждение тем справедливее, чем больше асимметричность поля относительно оси у (чем больше скорость сварки v), и
оно будет использовано далее при построении схемы быстродвижущихся источников.
Неподвижный источник. Рассмотрим случай предельного состояния процесса нагрева поверхности полубесконечного тела точечным неподвижным непрерывно действующим источником тепла
постоянной мощности q=const. Подобная схема в сварочном производстве реализуется, например, при сварке пробочными швами, при
ремонте локальных дефектов поверхности и в подобных случаях.
Рис. 2.14. Температурное поле в предельном состоянии движущегося по поверхности полубесконечного тела точечного источника (а), изотермы в плоскости
xy при z=0 (б) и изотермы в плоскости xz при x=0 (в). Мощность источника
q=10 кВт; скорость v=1см/с, материал – сталь ВСт3сп.
49
При длительном нагреве ( t → ∞ ) процесс распространения тепла стремится к предельному состоянию, температурное поле которого можно получить, полагая в общем выражении (2.24) скорость
v=0:
q
T ( R) =
.
2πλ R
Температура зависит только от радиуса R. Поле симметрично
относительно точки начала координат, а изотермические поверхности являются концентрическими полусферами. По мере приближения к началу координат, т.е. при R → 0 , температура бесконечно
возрастает, как 1/R. По мере удаления от источника температура
уменьшается пропорционально радиусу-вектору R. Температура на
данном расстоянии R прямо пропорциональна мощности источника
q и обратно пропорциональна коэффициенту теплопроводности λ .
2.5.2. Движущийся линейный источник в пластине
Расчет температурного поля при движении линейного источника со скоростью v в пластине подобен предыдущей схеме движения
точечного источника на поверхности полубесконечного тела. В соответствии с тепловой схемой – пластина – температура по оси z
постоянна, и T ≠ T ( z ) (рис. 2.15).
Рис. 2.15. Схема сосредоточенного линейного движущегося источника в пластине
Приращение температуры от каждого мгновенного линейного
источника (2.16):
⎧⎪ [ x + v(t − τ )]2 + y 2
⎫⎪
qdτ
dT ( x, y, t ) =
exp ⎨−
− b(t − τ ) ⎬ .
c ρ s [ 4π a(t − τ )]
4a (t − τ )
⎪⎩
⎭⎪
50
Суммируя значения температур от мгновенных линейных источников при движении по оси x, получаем:
T ( x, r , t ) =
t
⎡
⎤
⎛ v2
⎞
q
r2
⎛ vx ⎞ 1
−⎜
+ b ⎟ ( t − τ ) ⎥ dτ
exp ⎜ − ⎟
exp ⎢ −
s 4πλ
⎝ 2a ⎠ 0 t − τ
⎢⎣ 4a (t − τ ) ⎝ 4a
⎥⎦
⎠
∫
Не представляет трудности численно рассчитать по приведенной формуле температурное поле, например в пакете MATLAB, где
есть достаточно корректные функции интегрирования (см. П 1.5).
Тем не менее понятие предельного состояния, когда t = ∞ , позволяет получить решение в аналитических функциях. С помощью
подстановки
⎛ v2
⎞
+ b ⎟ (t − τ )
u =⎜
⎝ 4a
⎠
и известного интеграла [2]
∞
∫u
0
−1
⎛ β
⎞
exp ⎜ − − γ u ⎟ du =2 K 0 2 βγ
⎝ u
⎠
(
)
температурное поле линейного источника, движущего в пластине со
скоростью v при наличии теплообмена с окружающей средой с коэффициентом температуроотдачи b
T ( x, r ) =
4ab ⎞
⎛ vx ⎞ ⎛ vr
exp ⎜ − ⎟ K 0 ⎜
1+ 2 ⎟ ,
2πλ s
v ⎟⎠
⎝ 2a ⎠ ⎜⎝ 2a
q
(2.25)
где K0 – функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Как видно, даже упрощение расчетной схемы предельного состояния процесса нагрева дает в результате выражение, в котором
используется специальная математическая функция, что затрудняет
качественный анализ формулы (2.25). Результаты расчета температурного поля приведены на рис. 2.16.
51
Рис. 2.16. Температурное поле в предельном состоянии движущегося в пластине толщиной 1см линейного источника (а), изотермы в плоскости xoy (б) и изотермы в плоскости xoz при x=0 (в). Мощность источника q=10 кВт; скорость
v=1см/с, материал – сталь ВСт3сп
2.5.3. Движущийся по поверхности плоского слоя точечный
источник
Температурное поле движущегося по поверхности плоского
слоя толщиной s точечного источника можно вывести, используя
формулу для движущегося точечного источника на поверхности полубесконечного тела (2.24). Считая поверхности плоского слоя
адиабатическими, с помощью метода отражения (рис. 2.11) получим
следующее выражение для искомого температурного поля в предельном состоянии:
T ( x, y , z , ∞ ) =
∞
1
⎛ vR
⎛ vx ⎞
exp ⎜ − ⎟
exp ⎜ − i
4πλ
⎝ 2a ⎠ i =−∞ Ri
⎝ 2a
q
∑
⎞
⎟,
⎠
(2.26)
где Ri = x 2 + y 2 + ( z − 2is ) 2 ; i – номер фиктивного источника в
системе отражений от адиабатических границ.
При нагреве плоского слоя движущимся источником можно
различить три зоны, отличающиеся характером распространения
тепла (рис. 2.17). В зоне I, непосредственно прилегающей к источнику тепла, распределение температуры в листе мало отличается от
распределения в массивном теле (рис. 2.14). По мере удаления от
52
источника влияние ограниченности тела по толщине сказывается
все более заметно на распределении температуры. В зоне II температура листа заметно повышена по сравнению с температурой массивного тела. С удалением от источника тепловой поток искажается
не пропускающей тепла нижней плоскостью листа, и температура
по толщине выравнивается. В зоне III, удаленной от источника тепла, температура по толщине выравнена, и температурное поле в
листе приближается к полю линейного источника в пластине
(рис. 2.16).
Рис. 2.17. Температурное поле в предельном состоянии движущегося со скоростью v по поверхности плоского слоя толщиной 1см точечного источника (а); изотермы в плоскости xoy при z=0 (б); изотермы в плоскости xoz при x=0 (в) и изотермы в плоскости yoz при x=-2 см (г). Мощность источника q=12 кВт; скорость сварки v=1 см/с, материал – сталь ВСт3сп. Максимальная температура графически ограничена значением 1500 K (температура плавления низкоуглеродистой стали)
Влияние ограниченности размеров изделия по ширине и длине
на процесс распространения тепла можно учесть так же, как и влияние ограниченности по глубине, введением дополнительных источников, представляющих отражения основного источника в ограничивающих плоскостях, которые предполагаются не пропускающими
тепла. Таким способом можно рассчитывать температурные поля в
листах различной толщины, в полосах различной ширины и у двугранных прямых углов, ограничивающих массивное тело. Наличие
53
непроницаемых для тепла граничных плоскостей стесняет поток тепла, распространяющийся от источника, и повышает температуру
тем больше, чем значительнее стеснен тепловой поток.
2.5.4. Движущийся плоский источник в стержне
Аналогично случаям полубесконечного тела и пластины определяется температурное поле в стержне (рис. 2.18). Используя
(2.21), получим
dT ( x, t ) =
qdτ
c ρ F [ 4π at (t − τ ) ]
12
T ( x, t ) =
⎧⎪ [ x + v(t − τ ) ]2
⎫⎪
exp ⎨ −
− b(t − τ ) ⎬ ;
4 a (t − τ )
⎪⎩
⎭⎪
q
⎛ vx ⎞
exp ⎜ − ⎟ ×
12
c ρ F (4π a)
⎝ 2a ⎠
⎡
⎤
⎛ v2
⎞
1
x2
−
−
+ b ⎟ (t − τ ) ⎥ dτ .
exp
⎢
⎜
12
(t − τ )
⎠
⎣⎢ 4a(t − τ ) ⎝ 4a
⎦⎥
0
t
×
∫
(2.27)
Рис. 2.18. Схема движущегося плоского источника при определении температурного поля в стержне
При t → ∞ , используя подстановку u2 = t - τ и интеграл [2]
∞
⎛
∫ exp ⎜⎝ − Au
0
2
−
B
u2
(
)
1
⎞
exp −2 AB ,
⎟du =
2 π a
⎠
получим
54
T ( x, ∞ ) =
⎡ v ⎛
4ab ⎞ ⎤
exp ⎢ − ⎜⎜ x + x 1 + 2 ⎟⎟ ⎥ .
v ⎠ ⎦⎥
4ab
⎣⎢ 2a ⎝
cρ F 1 + 2
v
q
(2.28)
Видно, что в стержне без поверхностной теплоотдачи (при b =
0) температура перед источником падает по закону exp(-vx/a), а позади него постоянна и равна q/(acpv). Теплоотдача уменьшает температуру.
Структура формул для полубесконечного тела (2.24), пластины
(2.25), плоского слоя (2.26) и стержня (2.28) одинакова: в первый
сомножитель входит плотность мощности (q, q/s, q/F), далее в показатель входят безразмерная продольная координата (критерий Пекле Ре) vx/(2a), характеризующая асимметричность температурного
поля, и функция, зависящая от безразмерного радиус-вектора
vR/(2a), vr/(2a) или v|х|/(2а)). Влияние поверхностной теплоотдачи
характеризуется безразмерным критерием 1 + 4ab / v 2 . Однотипность структуры формул и определяет однотипность температурных полей в различных телах.
2.5.5. Периоды теплонасыщения и выравнивания температур
Период теплонасыщения. Наступление предельного состояния
процесса проявляется в том, что связанное с источником тепла подвижное температурное поле не изменяется со временем и только
перемещается вместе с источником. Такое предельное состояние
процесса наступает не сразу. В момент зажигания тепло дуги вводится в холодный металл, начальная температура которого постоянна во всем объеме изделия. По мере горения дуги тепло постепенно прогревает металл изделия. При этом размеры (длина, ширина, глубина) прилегающей к источнику нагретой зоны увеличиваются. Когда размеры зоны, нагретой выше определенной температуры Тт, перестают увеличиваться, считают, что процесс распространения тепла в этой зоне практически достиг предельного установившегося состояния. В более удаленных от источника тепла зонах предельное состояние наступает позже, чем в зонах, близких к
источнику.
55
При действии неподвижного источника постоянной мощности
процесс распространения тепла стремится к предельному стационарному состоянию, при котором температуры во всем поле остаются постоянными. При действии источника постоянной мощности,
перемещающегося прямолинейно с постоянной скоростью, процесс
распространения тепла стремится к предельному квазистационарному состоянию, при котором температуры остаются постоянными
в подвижной системе координат, связанной с источником тепла.
Пусть в начальный момент t=0 тело находится при постоянной
температуре, принимаемой за ноль отсчета. В момент t=0 начинает
действовать источник постоянной мощности q, неподвижный (v=0)
или перемещающийся прямолинейно с постоянной скоростью v.
Период процесса распространения тепла от момента t=0 начала действия источника до установления предельного состояния (стационарного или квазистационарного) называется периодом теплонасыщения. В этом периоде температура T(t) любой точки тела, отнесенной к координатной системе, связанной с источником тепла (т.е.
подвижной или неподвижной, в зависимости от того, движется или
неподвижен источник), возрастает от начальной температуры
Т(0)=0 до температуры предельного состояния T (∞) = Tпр , наступающей теоретически при бесконечно длительном действии источника, t → ∞ .
Температуру Т(t) данной точки (x,y,z) в периоде теплонасыщения, т.е. при 0 < t < ∞ , выражают в разобранных нами ранее случаях
общие уравнения процесса распространения тепла: (2.23) — при точечном источнике на поверхности полубесконечного тела; (2.25) —
при линейном источнике в пластине с теплоотдачей.
Для удобства расчета целесообразно представить температуру
Т(t) в периоде теплонасыщения произведением температуры Тпр той
же точки в предельном состоянии на коэффициент теплонасыщения
ψ (t ) для той же точки:
T (t ) = ψ ( ρ ,τ )Tпр .
(2.29)
Коэффициент теплонасыщения, очевидно, возрастает от нуля в
начальный момент, ψ (0) = 0 , до единицы в предельном состоянии,
ψ (∞) = 1 . Возрастание этого коэффициента со временем характеризует интенсивность процесса насыщения теплом данной точки тела.
56
Рис. 2.19. Номограммы для определения коэффициентов теплонасыщения для
точечного источника (а), линейного источника (б) и плоского источника (в)
57
Коэффициенты теплонасыщения для трех основных схем процесса распространения тепла при сварке представлены на рис. 2.19 в
зависимости от безразмерных критериев τ, пропорциональных времени t, и критериев ρ, пропорциональных расстоянию рассматриваемой точки от источника тепла.
Для пространственного процесса распространения тепла точечного источника постоянной мощности, перемещающегося со скоростью v по поверхности полубесконечного тела (рис. 2.13), коэффициент теплонасыщения ψ 3 представлен в зависимости от безразмерных критериев расстояния и времени (рис. 2.19, а)
ρ3 =
ρR
2a
;τ=
v 2t
.
4a
Для плоского процесса распространения тепла от линейного источника постоянной мощности, перемещающегося со скоростью v в
пластине толщиной s, с теплоотдачей, характеризующейся коэффициентом b = 2α c ρ s , коэфициент теплонасыщения ψ 2 представлен
в зависимости от безразмерных критериев расстояния и времени
(рис. 2.19, б):
ρ2 = r
⎛ v2
⎞
v2
b
t
+
;
τ
=
+ b⎟.
⎜
2
a
4a
⎝ 4a
⎠
Для линейного процесса распространения тепла от плоского источника постоянной мощности, перемещающегося со скоростью v в
стержне с поперечным сечением F и периметром р с теплоотдачей,
характеризующейся коэффициентом b = ap c ρ F , коэффициент теплонасыщения ψ 1 представлен в зависимости от безразмерных критериев расстояния и времени (рис. 2.19, в)
ρ1 = x
⎛ v2
⎞
v2
b
+
;
τ
=
+
.
t
b
⎜
⎟
4a 2 a
⎝ 4a
⎠
С возрастанием продолжительности t действия сосредоточенного источника температура во всем объеме нагреваемого тела возрастает, стремясь к предельной температуре. Чем ближе располо-
58
жена к источнику рассматриваемая точка нагреваемого тела, т.е.
чем меньше ее расстояние R, r или x от источника, тем раньше начинает возрастать температура, тем быстрее она возрастает и тем
раньше приближается к предельной. Таким образом, в близкой к источнику области, нагреваемой до высоких температур, период теплонасыщения заканчивается раньше, чем в удаленной области низких температур. В пластине плоский поток тепла, распространяющегося от источника, более стеснен, чем пространственный поток в
полубесконечном теле, а линейный поток в стержне – более, чем
плоский поток в пластине. Чем более стеснен поток тепла, тем медленнее насыщается теплом область, находящаяся на данном расстоянии от источника тепла, т.е. тем ниже коэффициент ψ при данных значениях ρ и τ .
Период выравнивания температуры. По окончании действия
сосредоточенного источника введенное им тепло продолжает распространяться по металлу изделия вследствие теплопроводности.
Неравномерное распределение температуры, поддерживавшееся сосредоточенным источником, по прекращении его действия выравнивается, и температура нагретой области стремится к средней температуре тела. Период процесса распространения тепла начиная от
момента t=tk прекращения действия источника называется периодом выравнивания температуры.
Пусть сосредоточенный источник постоянной мощности q=
const неподвижный или перемещающийся прямолинейно с постоянной скоростью v=const начинает действовать в момент t=0 и прекращает действие в момент t=tk (рис. 2.20). Изменение температуры
определенной точки нагреваемого тела в периоде теплонасыщения
и предельного состояния, вычисленное по уравнению (2.29), представлено схематически кривыми 1, 2 (рис. 2.20).
Расчет процесса распространения тепла в периоде выравнивания температуры по окончании действия источника постоянной
мощности приведем к уже известному расчету процесса теплонасыщения, применяя фиктивные источники и стоки тепла. Рассчитаем температуру в процессе выравнивания в некоторый момент времени t (рис. 2.20). Пусть источник, в действительности отключенный в момент tk, продолжает фиктивно действовать и дальше. Для
моделирования этой ситуации в продолжение к действительному
59
источнику, существовавшему в течение времени tk, введем фиктивный источник той же мощности (рис. 2.20). Для того чтобы не изменить теплового состояния тела, введем в момент tk фиктивный
сток тепла мощностью (-q), приложенный к тем же участкам тела,
что и фиктивный источник (+q). Очевидно, что действия равных по
мощности источника и стока, приложенных одновременно к тем же
участкам тела, взаимно уничтожаются. Таким образом, введение
фиктивного источника и фиктивного стока не изменяет теплового
состояния тела, которое в действительности по прекращении в момент tk действия источника более тепла не получает.
Рис. 2.20. Моделирование периода выравнивания температур (а) и изменение
температуры в некоторой точке сварного соединения в подвижной системе координат (б) в период теплонасыщения (1), в предельном состоянии (2) и в период выравнивания температур (3); 4 – температура от фиктивного стока тепла
60
Температуру Тв (t) в периоде выравнивания после прекращения
в момент tk действия источника постоянной мощности q можно рассматривать как алгебраическую сумму температуры Т (t) от продолжающего действовать источника q и температуры Т (tk—t) от начавшего действовать в момент tk стока тепла (-q) (рис. 2.20).
Tв (t ) = T (t ) − T (t − tk ) .
(2.30)
Заметим, что обе температуры в правой части уравнения (2.30),
как температуры в периоде теплонасыщения при непрерывном действии источника q, можно выразить по уравнению (2.29) через температуру предельного состояния Тпр и соответствующие
коэффициенты теплонасыщения:
Tв (t ) = Tпр [ψ (t ) − ψ (t − tk )] .
(2.31)
Таким образом, расчет температуры в момент t в периоде выравнивания сводится к расчету температур в периоде теплонасыщения.
Для трех основных схем процесса распространения тепла при
сварке удобно вести расчет, пользуясь графиками рис. 2.19. При
расчете процесса распространения тепла в периоде выравнивания
после прекращения действия подвижного сосредоточенного источника следует иметь в виду, что фиктивные источник и сток движутся так же, как двигался бы и действительный источник, а с ними перемещается и начало подвижной системы координат.
2.6. Расчет температурного поля мощных
быстродвижущихся источников нагрева
Температурные поля источников, движущихся с любой скоростью v, тем более вытянуты вдоль оси движения х, чем выше скорость движения изотермы позади источника ( ∂T / ∂y >> ∂T / ∂x ) и,
следовательно, тем меньше продольные тепловые потоки относительно поперечных ( q2 x << q2 y ). Схемы быстродвижущихся источников построены на дополнительном допущении, что продольные потоки отсутствуют ( q2 x = 0 ), что, в свою очередь, позволяет
уменьшить мерность температурной задачи на единицу и, следова61
тельно, значительно упростить расчетные схемы. Это достоинство
быстродвижущихся источников обусловило их популярность для
расчетов температурных полей при сварке. В пределе скорость
движения источника и его мощность неограниченно возрастают, а
их отношение остается постоянным:
q → ∞; v → ∞; q / v = qп = const ,
(2.32)
где qп имеет размерность Дж/см и носит название погонной энергии.
2.6.1. Быстродвижущийся точечный источник
на поверхности полубесконечного тела
Уравнение температурного поля для рассматриваемого случая
можно получить на основе формулы (2.24) для предельного состояния процесса нагрева полубесконечного тела движущимся точечным источником подстановкой условия (2.32) и заменой x=-vt . С
учетом R = x 2 + y 2 + z 2 из выражения (2.24) получаем:
2
2
⎛
−t + t 2 + ( y + z ) 2
⎜
qп
v
T=
exp − v 2 ⎜
2
2
2a
⎜
2πλ t 2 + ( y + z ) 2
⎜
v
⎝
⎞
⎟
⎟,
⎟
⎟
⎠
(2.33)
где t – время, отсчитываемое от момента, когда источник теплоты
пересек перпендикулярную оси x плоскость, в которой расположена
рассматриваемая точка (рис. 2.21).
2
2
При v → ∞ значение выражения ( y + z ) 2 мало по сравнеv
2
нию с t . Тогда
2
2
t2 + ( y + z )
v
2
2
2
≈ t + (y + z )
2v 2 t
.
На основании формулы (2.24) и приведенных рассуждений
температурное поле при действии мощного быстродвижущегося точечного источника на поверхности полубесконечного тела
62
T (r , t ) =
⎛ r2 ⎞
qп
exp − ⎜
⎟,
2πλ t
⎝ 4at ⎠
(2.34)
где r 2 = y 2 + z 2 .
В данном выражении отсутствует координата x , что следует из
принятой схемы мощного быстродвижущегося точечного источника, при которой тепло в направлении этой оси не распространяется
( v → ∞ ). Уравнение (2.34) может быть использовано для технических расчетов в случае больших, но ограниченных скоростей сварки. Введя замену x = −vt , получим выражение, позволяющее построить изолинии температурного поля в плоскости xy:
T (r , t ) = −
⎛ r 2v ⎞
exp ⎜
⎟.
2πλ x
⎝ 4ax ⎠
q
(2.35)
Если данное выражение удобно для построения изолиний температурного поля, то формула (2.34) позволяет рассчитать термические циклы точек сварного соединения T(r, t). При расчете температур по приведенным формулам (2.34), (2.35) следует учитывать, что
при t=0 и x ≥ 0 корректное решение отсутствует.
Рис. 2.21. Схема моделирования мощного быстродвижущегося точечного источника выделением пластины единичной толщины
63
Допущение о незначительности теплопроводности вдоль оси x
и наличии теплового потока в основном в плоскости yz позволяет
вывести уравнение (2.34) другим, более наглядным способом. Выделим в полубесконечном теле тонкий поперечный слой (толщиной
s=1), в который внесена погонная энергия Q1=q/v (Дж/cм) в момент
пересечения слоя источником теплоты (рис. 2.21).
Рис. 2.22. Изотермы температурного поля в полубесконечном теле при нагреве
мощным быстродвижущимся точечным источником с погонной энергией 10000
Дж/см в плоскости xy (а) и xz (б)
Согласно принятому допущению, теплота распространяется
только в радиальном направлении r, что соответствует схеме мгновенного источника теплоты Q1 в полубесконечной пластине толщиной s =1 без поверхностной теплоотдачи. Заменяя в формуле (2.10)
Q/s на 2q/v, получим формулу, аналогичную выражению (2.34). На
рис. 2.22 приведены изотермы температурного поля в полубесконечном теле при нагреве мощным быстродвижущимся точечным
источником. На представленном рисунке видно, что тепло не распространяется впереди источника – все изотермы расположены в
полуплоскости с отрицательными значениями оси x. Изотермы температурного поля сходятся в начале координат в точку. Это противоречит физическим представлениям о температуре, поскольку в
точке может быть только одно значение температуры. Данное противоречие связано с особенностью схемы мощного быстродвижущегося источника, когда скорость его движения и мощность стремятся к бесконечности. Так как речь идет о пределе, к которому
стремятся указанные величины, то противоречие снимается представлением о бесконечно малом, но существующем расстоянием
между изотермами в начале координат.
64
Сравним температурные поля движущегося точечного источника в предельном состоянии (рис. 2.14) и в рассматриваемом случае
(рис. 2.21). Оказывается, что геометрические характеристики изотерм практически одинаковы, за исключением малой области в начале координат. Следует отметить, что распределение температуры
по отрицательной части оси x в указанных случаях идентично.
2.6.2. Линейный мощный быстродвижущийся источник
в пластине
Вывод формулы температурного поля для линейного мощного
быстродвижущегося источника в пластине основывается на схеме,
аналогичной предыдущему случаю точечного источника (рис. 2.23).
Рис. 2.23. Схема моделирования мощного быстродвижущегося линейного источника выделением стержня единичной ширины
Выделим в бесконечной пластине тонкий поперечный слой с
единичной шириной. Полагаем, что тепло вдоль оси x не распространяется при v → ∞ , но, в соответствии с тепловой схемой «пластина» оно не распространяется и вдоль оси z. Поэтому в выделенном слое теплопроводность будет одномерной вдоль оси y, что соответствует тепловой схеме мгновенного плоского источника в
стержне (2.21). Проведя в этом выражении замену Q / F = q vs , получим
65
T ( y, t ) =
⎛ y2
⎞
qп
exp
− bt ⎟ ,
⎜−
12
c ρ s (4π at )
⎝ 4at
⎠
(2.36)
где
в
данном
случае
коэффициент
температуроотдачи
b = 2α (c ρ s ) соответствует схеме линейного источника. Изотермы
температурного поля мощного быстродвижущегося линейного источника в пластине приведены на рис. 2.24. Как и в предыдущем
случае быстродвижущегося точечного источника, нагрев при положительных значениях координаты x отсутствует, так как тепло в
этом направлении не распространяется.
Рис. 2.24. Температурное поле мощного быстродвижущегося линейного источника в пластине. Погонная энергия 10000 Дж/см, толщина пластины 1 см (а) и
0,8 см (б)
Сравнение рис. 2.16, б и рис. 2.24, а показывает, что результаты
расчета температурного поля по схеме предельного состояния процесса нагрева и по схеме мощного быстродвижущегося источника
отличаются незначительно, что дает возможность применять для
расчета тепловых процессов при сварке более простое выражение
(2.36).
2.7. Расчет температурного поля непосредственным
интегрированием
2.7.1. Расчет температурного поля при сварке методом
интегрирования
Метод источников в расчетах тепловых процессов при сварке
основан, в связи с линейностью дифференциального уравнения теп66
лопроводности (1.14), на суммировании температурных полей при
действии заданной совокупности мгновенных источников нагрева,
как указано в формуле (2.3). Стремление получить аналитическое
выражение для температурного поля требует введения некоторых
допущений. Так, разделение термического цикла на периоды теплонасыщения и предельного состояния дает возможность вывести
аналитические формулы для расчета температурного поля при сварке в предельном состоянии процесса нагрева в подвижной системе
координат (2.24), (2.25). Дальнейшее упрощение аналитических
формул расчета температурного поля связано со схемой мощных
быстродвижущихся источников, как показано в формулах (2.35),
(2.36). При этом оказывается, что наиболее простые зависимости,
характерные для мощных быстродвижущихся источников, приводят
к расчетным результатам, практически адекватным схеме предельного состояния (см. п. 2.6.1, 2.6.2). Это существенно, например, для
расчета температурного поля линейного источника в пластине, когда результирующая формула предельного состояния процесса нагрева (2.25) содержит интегральную функцию Бесселя, а схема быстродвижущегося источника (2.36) не содержит специальных интегральных функций и доступна для качественного анализа.
Аналитические формулы расчета тепловых процессов при сварке обладают неоспоримым достоинством возможности оперативного определения влияния параметров режима сварки и теплофизических свойств свариваемых материалов на характеристики температурного поля. Однако корректность применения этих формул нужно
доказать решением задачи без введенных выше допущений, т.е. непосредственным интегрированием совокупности мгновенных сосредоточенных источников.
Пусть по поверхности полубесконечного тела от начала неподвижной системы координат (x=0, y=0) движется по оси x (y=0) точечный источник сварочного нагрева со скоростью v (рис. 2.25).
Пройдя расстояние xf , источник отключается в точке F. Необходимо
определить температуру в точке А в момент времени t. Предположим, что источник в это время находится в точке С. Представим
движение источника от точки О до точки С совокупностью мгновенных точечных источников В, действующих в момент времени τ,
расстояние точки А от каждого из которых – R:
67
R=
( x − vτ )2 + y 2 + z 2 .
На рис 2.25 схема процесса представлена в плоскости xy , поскольку координаты y и z при интегрировании от времени не зависят. Приращение температуры от каждого мгновенного точечного
источника нагрева
⎛
R2 ⎞
−
exp
⎜
⎟.
32
c ρ [ 4π a (t − τ ) ]
⎝ 4 a (t − τ ) ⎠
2qdτ
dT ( x, y, z , t ) =
(2.37)
Рис. 2.25. Схема движения точечного источника
по поверхности полубесконечного тела
Источник нагрева имеет ограниченное время действия tf . Если
время определения температуры t меньше tf, то интегрирование выражения (2.37) нужно осуществить в пределах tin = t. Если же время
t больше, чем время действия источника, то tin = tf. Таким образом,
выражение для определения температурного поля движущегося по
поверхности полубесконечного тела точечного источника тепла в
неподвижной системе координат следующее:
T ( x, y , z , t ) =
tin
2q
c ρ ( 4π a )
32
dτ
∫ (t − τ )
0
3
2
⎡ ( x − vτ ) 2 + y 2 + z 2 ⎤
exp ⎢ −
⎥ .(2.38)
4a(t − τ )
⎣
⎦
Формула (2.38) готова для численного интегрирования, например с помощью математического обеспечения пакета MATLAB (см.
П 1.5). На рис. 2.26 приведены изотермы температурного поля движущегося точечного источника, рассчитанные путем непосредственного интегрирования выражения (2.38).
68
Рис. 2.26. Температурные поля движущегося точечного источника в различные
моменты времени. Мощность источника q=10000 Вт, скорость сварки v=1 см/с.
Значения температур, считая от внутренней изотермы к внешней, соответственно
1500 К, 1000 К, 800 К, 600 К, 400 К
Как видно из приведенного рисунка, непосредственное интегрирование позволяет рассчитать температурное поле в начале действия источника, что является существенным при анализе теплопроводности коротких сварных швов, например при выполнении
сборочных прихваток. С увеличением времени действия источника
результаты расчета, полученные интегрированием (рис. 2.26, е) и
применением схемы предельного состояния процесса нагрева
(рис. 2.14), становятся близкими. Отличие температурных полей для
указанных схем расчета в начальные моменты времени (рис. 2.26,
а–д) обусловлено процессом теплонасыщения. Сравнительные результаты расчета по этим двум схемам при времени действия источника 100 с даны на рис. 2.27. Здесь в верхней части рисунка построены изотермы, рассчитанные непосредственным интегрирова69
нием по выражению (2.38), а в нижней – по формуле предельного
состояния процесса нагрева при движении точечного источника по
поверхности полубесконечного тела. Результаты идентичны, поскольку достигнуто предельное состояние процесса нагрева.
Рис. 2.27. Сравнение результатов расчета температурного поля движущегося
точечного источника по схемам интегрирования и предельного состояния. Значения температур, считая от внутренней изотермы к внешней, соответственно
1500 К, 1000 К, 800 К, 600 К, 400 К
Для линейного источника, движущегося в пластине, расчет
температурного поля методом непосредственного интегрирования
соответствует схеме рис. 2.25, где вместо R необходимо использовать радиус
r = ( x − vτ ) 2 + y 2 .
На основе формулы для мгновенного линейного источника в
пластине с теплоотдачей (2.16) получаем:
t
in
⎡ ( x − vτ ) 2 + y 2
⎤
q
dτ
T ( x, y , t ) =
exp ⎢ −
− b(t − τ ) ⎥ .(2.39)
c ρ s ( 4π a ) 0 (t − τ )
4 a (t − τ )
⎣
⎦
∫
Результаты расчета температурного поля движущегося линейного источника в различные моменты времени показаны на
рис. 2.28. Видно, что изотермы в начальный период движения источника имеют более ярко выраженную особенность, чем для точечного источника. Эта особенность выражается в большей полноте изотермических линий в хвостовой части температурного
поля по сравнению со случаем предельного состояния процесса
нагрева (рис. 2.16). Причиной такого характера температурного
поля является относительно длительный период теплонасыщения
70
и, соответственно, более позднее наступление предельного состояния, при достижении которого результаты расчета по обеим
схемам совпадают.
Рис. 2.28. Температурные поля движущегося линейного источника в различные моменты времени. Мощность источника q=10000 Вт, скорость сварки
v=1 см/с, толщина пластины 1 см. Значения температур, считая от внутренней изотермы к внешней, соответственно 1500 К, 1000 К, 800 К, 600 К, 400 К
2.7.2. Расчет периодов теплонасыщения и выравнивания
температур
Периоды теплонасыщения и выравнивания температуры для
точек сварного соединения можно также рассчитать методом непосредственного интегрирования. Для этого удобно воспользоваться
выражением температурного поля в подвижной системе координат.
Например, для движущегося по поверхности полубесконечного тела
точечного источника (рис. 2.13) это формула (2.23):
71
⎛ [ x + v(t − τ ) ]2 + y 2 + z 2 ⎞
⎟dτ =
T ( x, y , z , t ) =
exp ⎜ −
32
⎜
⎟
4a (t − τ )
⎡
⎤
0 c ρ ⎣ 4π a (t − τ )
⎝
⎠
⎦
t
⎡
2q
1
R2
v 2 (t − τ ) ⎤
⎛ vx ⎞
exp
exp
=
−
−
−
⎢
⎥ dτ .
⎜
⎟
32
4a ⎦
c ρ (4π a )3 2
⎝ 2a ⎠ 0 (t − τ )
⎣ 4a (t − τ )
(2.40)
Подстановка в эту формулу конкретных координат исследуемой точки и диапазона значений времени позволяет путем интегрирования, например в MATLAB, получить необходимые зависимости. Так, пусть по поверхности полубесконечного тела со скоростью
v=1см/с вдоль оси x движется точечный источник мощностью
q=10000 Вт. Через время tf=10 с источник отключается. Отметим
несколько точек по оси x в подвижной системе координат на расстоянии y от оси сварного шва (рис. 2.29).
t
∫
2q
∫
Рис. 2.29. Схема задачи и результаты расчета периодов теплонасыщения, предельного состояния и выравнивания температур (см. рис. 2.20). Время отключения
источника нагрева 10 с
72
На рис. 2.20 приведена качественная картина периодов сварочного нагрева. Метод непосредственного интегрирования (рис. 2.29)
позволяет получить конкретные результаты, на основе которых
можно сделать вывод о корректности схемы расчета периода выравнивания температур заданием фиктивного источника и стока тепла в соответствии с формулой (2.30).
Итак, выше рассмотрены три схемы расчета температуры при
сварке: расчет в предельном состоянии процесса нагрева; расчет по
схеме мощного быстродвижущегося источника и расчет методом
непосредственного интегрирования. Из приведенных результатов
видно, что указанные схемы расчета температурного поля при сварке в условиях предельного состояния процесса нагрева приводят к
очень близким результатам, и для практических расчетов при анализе сварочных процессов в указанных условиях рационально пользоваться схемой мощных быстродвижущихся источников. В случае
необходимости анализа температуры в начальный период движения
сварочного источника при сварке коротких швов и т.п. необходимо
определить степень законченности периода теплонасыщения по номограммам рис. 2.19 и скорректировать расчет по формуле (2.31)
или, что более рационально, воспользоваться методом непосредственного интегрирования.
73
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СВАРОЧНОГО НАГРЕВА
И
нженерные задачи, решаемые с помощью теории теплопроводности при сварке, являются основой проектирования сварочных технологий.
3.1. Влияние режима сварки и теплофизических свойств
металла на температурное поле при сварке
Рассмотрим влияние мощности источника нагрева и скорости
сварки на поле температур на примере движения точечного источника по поверхности плоского слоя в предельном состоянии (формула 2.26).
При увеличении мощности источника изотермы температурного поля становятся шире и удлиняются (рис. 3.1). Увеличение длины зон идет быстрее, чем ширины. При этом тепловая схема нагрева
постепенно переходит от полубесконечного тела (рис. 3.1, а) к схеме пластины (рис. 3.1, г). Все формулы расчета температурного поля при сварке содержат мощность источника нагрева как множитель. Поэтому для получения значений температуры схем полубесконечного тела и пластины достаточно пересчитать результаты, полученные при одном значении мощности источника, пропорционально другому значению мощности источника. Для схемы плоского слоя, по которой построены поля температур рис. 3.1, температурное поле изменяется не пропорционально мощности источника в
связи с наличием суммирования фиктивных источников, имеющих
разные координаты z. Изменение скорости сварки существенно сказывается на ширине изотерм. При уменьшении скорости ширина
зоны нагрева до заданной температуры увеличивается (рис. 3.2), а
тепловая схема постепенно переходит от полубесконечного тела
(рис. 2.1, а) к пластине (рис. 2.1, в). Теплофизические коэффициенты определяют интенсивность теплопередачи, а значит, параметры
температурного поля. Наиболее заметно влияние коэффициента те74
плопроводности металлов λ. Увеличение коэффициента теплопроводности при прочих равных условиях примерно соответствует
случаю одновременного уменьшения мощности и скорости при постоянной погонной энергии сварки. Зоны, охватываемые изотермами (в дальнейшем для краткости — просто «зоны»), сильно укорачиваются и несколько сужаются. В качестве примера можно сравнить между собой низкоуглеродистую и аустенитную стали
(табл. 3.1), у которых теплоемкости примерно одинаковы, а теплопроводность различная (рис. 3.3). У меди и алюминия, обладающих
высокой теплопроводностью, изотермы в области высоких температур близки к окружностям (рис. 3.3). Увеличение теплоемкости металла cρ оказывает примерно такое же влияние, как увеличение
скорости сварки при постоянной мощности [11]. С увеличением теплоемкости металла при прочих равных условиях зоны укорачиваются и сужаются.
Т а б л и ц а 3.1
Теплофизические свойства материалов
Коэффициент теплопроУдельная теплоемкость cρ,
Материал
водности λ, Вт/(см . К)
Дж/(см3 . К)
Низкоуглеродистая
0,38
4,8
сталь (а)
Хромоникелевая ау0,25
4,7
стенитная сталь (б)
Алюминий (в)
2,7
2,7
Медь (г)
4,0
4,2
При сварке массивных тел влияние параметров режима сварки
при постоянной мощности источника нагрева (q=const) в основном
сказывается на ширине зон и слабо влияет на их длину. С увеличение скорости сварки изотермы сгущаются впереди источника нагрева, а распределение температуры на отрицательной полуоси остается постоянным.
С увеличением мощности источника нагрева q увеличиваются
длина и ширина зон в плоскости xy. Увеличение длины зон происходит «быстрее», чем их ширины.
Одновременное увеличение мощности источника теплоты и
скорости сварки при постоянной погонной энергии q/v качественно
влияет на форму и размеры зон так же, как и при сварке пластин.
75
Рис. 3.1. Влияние мощности источника нагрева на температурное поле при
движении точечного источника по поверхности плоского слоя. Скорость сварки –
1см/с; толщина листа – 1см; значения мощности источника приведены в поле рисунка. Слева приведены изотермы в плоскости xy при z=0, справа – изотермы в
плоскости yz при x=-1. Значения температуры для изотерм в плоскости xy последовательно от внутренней изотермы к внешней 1500 К, 1000 К, 800 К, 600 К, 400 К
76
Рис. 3.2. Влияние скорости сварки на температурное поле при движении точечного источника по поверхности плоского слоя. Толщина листа – 1см; значения
мощности источника приведены в поле рисунка. Слева приведены изотермы в
плоскости xy при z=0, справа – изотермы в плоскости yz при x=-1. Значения температуры для изотерм в плоскости xy последовательно от внутренней изотермы к
внешней 1500 К, 1000 К, 800 К, 600 К, 400 К
Увеличение коэффициента теплопроводности λ равносильно
одновременному уменьшению мощности источника и скорости
сварки при постоянной погонной энергии.
77
Рис. 3.3. Влияние теплофизических свойств материалов на распределение
температуры при сварке. Расчетная схема – плоский слой толщиной 1 см; мощность источника – 8000 Дж; скорость сварки – 0,5 см/с; в плоскости yz x= -1; теплофизические свойства приведены в табл. 3.1 в соответствии с наименованием материала, указанным в поле рисунка
78
3.2. Параметры термического цикла сварки
При сварке плавлением металл нагревается местным сосредоточенным источником тепла. Тепло источника расплавляет кромки
изделия и распространяется в глубь металла. В зоне основного металла, прилегающей к свариваемым кромкам (зоне термического
влияния, см. П 3), температура быстро повышается, приближаясь к
температуре плавления металла, а затем постепенно снижается,
стремясь к средней температуре изделия. Термический цикл, т. е.
изменение со временем температуры металла, характеризует тепловое воздействие сварочного процесса на основной металл.
Основной металл в зоне термического влияния подвергается
своеобразной термической обработке. Структура металла в этой зоне изменяется в соответствии с термическим циклом нагрева и охлаждения. При данном термическом цикле характер изменений
структуры зависит от химического состава основного металла и его
предшествующей термической и механической обработки. Термические циклы слоев зоны, различно удаленных от границы зоны
проплавления, неодинаковы, поэтому сварное соединение представляет собой агрегат слоев с неоднородной структурой и механическими свойствами.
Термическое воздействие сварочного процесса иногда практически безразлично (например, в низкоуглеродистой стали), но вызванные им изменения структуры часто ухудшают механические
свойства околошовной зоны (например, в некоторых марках углеродистой и низколегированной стали) или снижают ценные в эксплуатации специальные свойства (например, сопротивление коррозии хромоникелевой аустенитной стали).
Термический цикл является основой для оценки влияния параметров режима сварки на изменения структуры в основном металле.
Теория процессов распространения тепла позволяет установить
влияние режима сварки, последовательности укладки слоев или
швов, формы и размеров изделия и условий подогрева на термический цикл, от которого зависят структура и свойства основного металла в зоне термического влияния (а в некоторой степени и наплавленного металла).
79
3.2.1. Термический цикл
При перемещении по телу подвижного температурного поля,
связанного с источником тепла, температура точек тела изменяется
со временем (рис. 3.4). Пока источник тепла не начал действовать,
температура всего тела равна температуре окружающей среды T0, с
которой тело находится в тепловом равновесии. По мере приближения связанного с источником температурного поля температура точек быстро возрастает, достигает максимума, а затем постепенно
понижается с убывающей скоростью, стремясь к температуре окружающей среды. Изменение температуры во времени в данной точке
тела, вызванное действием подвижного или временным действием
неподвижного источника тепла, называется термическим циклом в
данной точке (рис. 3.5).
Рис. 3.4. Термические циклы точек A, B, C, D, E, расположенных вдоль оси шва
на поверхности плоского слоя (а) при нагреве по схеме предельного состояния (б)
80
Термические циклы точек, различно удаленных от источника,
можно охарактеризовать, рассматривая графики распределения
температуры по осям, параллельным оси перемещения источника
(рис. 3.5).
Очевидно, что термический цикл точки A при действии подвижного источника связан с распределением температуры Т(x) в
подвижном поле по оси y=const, проходящей через точку А параллельно оси перемещения источника зависимостью vt = -x (рис. 3.6).
Время t здесь отсчитывают от момента, когда источник пересек
точку проекции A на ось x. Впереди источника изотермы сгущены,
позади источника – разрежены; поэтому в периоде нагрева точка
пересекает сгущенные изотермы и нагревается быстро, а в периоде
охлаждения пересекает разреженные изотермы и охлаждается медленно. В момент tm, когда изотерма (800 на рис. 3.6) касается точки
A, температура этой точки достигает максимума Тт. Момент tm наступления максимума связан с мгновенной абсциссой хт точки A в
подвижной системе координат зависимостью vtm= - xm.
Рис. 3.5. Параметры термического цикла при сварке по схеме движущегося по
поверхности плоского слоя точечного источника в предельном состоянии. Мощность источника – 8000 Вт; скорость сварки – 0,5 см/с; толщина слоя – 1 см; теплофизические свойства соответствуют стали ВСт3сп. Расстояния исследуемых точек
от оси шва: 1 – y=0,5 см; 2 – y=0,7 см; 3 – y=1 см; 4 – y=1,5 см; 5 – y=2 см; 6 –
y=2,5 см; z=0
81
Рис. 3.6. Термический цикл точки А (а) и температурное поле (б) при движении точечного источника по поверхности плоского слоя в предельном состоянии.
Значения температуры указаны на соответствующих изотермах. Пунктир – кривая
максимальных температур. Мощность источника – 8000 Вт; скорость сварки –
0,5 см/с; толщина слоя – 1см; теплофизические свойства соответствуют стали
ВСт3сп
Чем дальше расположены точки от пути перемещения источника, тем позже начинает заметно повышаться температура, тем медленнее она возрастает, тем ниже максимальная температура Тт и
тем позже она наступает. В процессе охлаждения температуры различно удаленных точек стремятся выровняться. Интересно отметить, что во время всего процесса распространения тепла сосредоточенного источника в неограниченном объекте (теле, пластине или
стержне) температуры более удаленных точек остаются ниже тем82
ператур точек, расположенных ближе к оси движения сварочного
источника нагрева.
Точки максимальных температур можно соединить плавной
кривой, как показано на рис. 3.6, б . Кривая максимальных температур, т.е. геометрическое место точек с максимальными температурами, делит подвижное температурное поле на две части.
Область, расположенная впереди кривой максимальных температур, нагревается, dT > 0 ; область же, расположенная позади криdt
вой максимальных температур, охлаждается, dT < 0 . Эта граница
dt
зон нагрева и охлаждения существенна при анализе металлургических и термодеформационных процессов при сварке. Так, в зоне нагрева происходит термическое расширение конструкционных металлов и сплавов, а в зоне охлаждения – их сужение, что определяет
кинетику формирования напряжений и деформаций при сварке.
3.2.2. Максимальные температуры
Значения максимальных температур точек сварного соединения
дают важную информацию о структурных превращениях при сварке.
Геометрическое место точек, максимальные температуры которых
превышают температуру плавления материала, является сварочной
ванной. Точки, нагретые выше температуры Ac3, претерпевают полное фазовое превращение и при охлаждении в процессе сварки меняют свою наследственную структуру основного материала.
Максимальную температуру Tm можно рассчитать, зная уравнение процесса распространения тепла. Особенно просто рассчитать
максимальные температуры в температурном поле предельного состояния, вызванного действием мощного быстродвижущегося источника.
Если уравнение процесса распространения тепла отнесено к неподвижной системе координат, связанной с телом, то момент tm наступления максимальной температуры Тт в данной точке тела
( x0 , y0 , z0 ) следует определять из условия равенства нулю скорости
∂T
изменения температуры в данной точке,
( x0 , y0 , z0 , t ) = 0 . При∂t
83
мер такого подхода приведен при определении максимальных температур мгновенного точечного источника ( выражения 2.7). Если
же данное уравнение предельного состояния процесса отнесено к
подвижной системе координат, связанной с источником, то абсциссу хт точки А (х, у, z) с максимальной температурой найдем из условия равенства нулю градиента температуры по оси (y, z), проходящей через данную точку параллельно оси перемещения источника:
∂T
( x, y , z , t ) = 0 .
∂x
Максимальные температуры в процессе распространения
тепла быстродвижущегося точечного источника. Процесс распространения тепла в полубесконечном теле описывается выражением (2.34):
T (r , t ) =
⎛ r2 ⎞
qп
exp − ⎜
⎟.
2πλ t
⎝ 4at ⎠
Дифференцируем данное выражение по времени:
⎛ r 2 ⎞⎛ r 2
⎞
qп
∂T
=
exp
−
− 1⎟ .
⎜
⎟⎜
2
∂t 2πλ t
⎝ 4at ⎠⎝ 4at ⎠
(3.1)
Приравнивание нулю производной дает значение времени, когда температура максимальна:
tm =
r2
,
4a
(3.2)
и подстановка выражения (3.2) в формулу для определения температурного поля (2.34) приводит к
Tm (r ) = T (r , tm ) =
qп 2a
q
= 0, 234 п 2 ,
2
πλ r e
cρ r
(3.3)
здесь r 2 = y 2 + z 2 — квадрат плоского радиуса-вектора, выражающего расстояние точки А от оси x, и учтено, что a = λ
84
cρ
.
Максимальная температура в точке А полубесконечного тела при
предельном состоянии нагрева быстродвижущимся точечным источником тепла пропорциональна погонной энергии источника
qп = q и обратно пропорциональна квадрату расстояния r от точv
ки А до оси шва. Зависимость (3.3) максимальной температуры Тт
от расстояния r до оси перемещения источника при различных скоростях v иллюстрируется графиком (рис. 3.7).
Рис. 3.7. Распределение максимальных температур по схеме мощного быстродвижущегося по поверхности полубесконечного тела точечного источника для различных значений погонной энергии: 1 – qп=2000 Дж/см; 2 – qп=5000 Дж/см; 3 –
qп=8000 Дж/см; 4 – qп=12000 Дж/см; 5 – qп=16000 Дж/см
Максимальные температуры в процессе распространения
тепла быстродвижущегося линейного источника. Распределение
максимальной температуры в бесконечной пластине определяется
на основе формулы (2.36) по схеме, аналогичной случаю полубесконечного тела. Скорость изменения температуры
⎛ y2
⎞⎛ 2
qп
y2 ⎞
∂T
bt
bt
t
=−
−
−
+
−
exp
0,5
⎜
⎟⎜
⎟.
∂t
4a ⎠
c ρ s (4π a)1 2 t 5 2
⎝ 4at
⎠⎝
(3.4)
Приравнивание к нулю выражения (3.4) приводит к уравнению,
корень которого есть
85
tm =
⎞
1 ⎛
4by 2
⎜ 1+
− 1⎟ .
⎟
4b ⎜
a
⎝
⎠
(3.5)
Подстановка формулы (3.5) в выражение (2.36) дает распределение максимальных температур при движении мощного линейного
источника в пластине:
Tm ( y ) =
qп
12
⎡π a ⎛
⎞⎤
4by 2
− 1⎟ ⎥
cρ s ⎢ ⎜ 1 +
⎟⎥
a
⎢⎣ b ⎜⎝
⎠⎦
⎡
⎤
⎢
⎥
⎞⎥
⎢
y2
1⎛
4by 2
exp ⎢ −
− ⎜ 1+
− 1⎟ ⎥
⎟
a
⎞ 4 ⎝⎜
⎢ a⎛
4by 2
⎠⎥
⎜ 1+
− 1⎟
⎢
⎥
⎟
b⎜
a
⎝
⎠
⎣⎢
⎦⎥
(3.6)
Если при нагреве пластины теплоотдача не учитывается, то
tm =
y2
,
2a
(3.7)
а
Tm =
qп
c ρ s 2π e y
= 0, 242
qп
.
c ρ sy
(3.8)
Функция Tm(y) при b = 0 (b – коэффициент поверхностной температуроотдачи) является равносторонней гиперболой.
3.2.3. Скорость охлаждения при данной температуре
При наличии зависимости T ( x, y , z , t ) для заданной тепловой
схемы можно путем дифференцирования получить производную
∂
T ( x, y, z , t ) , а затем определить скорость охлаждения
∂t
∂
ω = T ( x, y, z , T ) точки х, у, z при данной температуре Т. Для этого
∂t
из уравнения Т(х, у, z, t) на ветви охлаждения следует найти время t,
∂
когда Т(х, у, z, t) = T, и подставить его в формулу T ( x, y, z , t ) .
∂t
86
Анализ показывает, что скорость охлаждения dT/dt при данной температуре Т слабо зависит от координат точки х, у, z, если максимальная температура в ней Tmax ( x, y, z ) значительно больше температуры Т. Поэтому будем определять скорость охлаждения только
для оси источника (сварного шва), пользуясь схемой быстродвижущихся источников, так как в этом случае удается найти зависимость
∂
T ( x, y, z , T ) в явном виде.
∂t
Быстродвижущийся точечный источник на поверхности полубесконечного тела. При r = 0 из формулы (2.34) получим
q
∂T (0, t )
=− п 2 .
∂t
2πλ t
(3.9)
Время наступления данной температуры Т с учетом начальной
температуры T0 определим из (2.34):
t=
qп
.
2πλ (T − T0 )
(3.10)
Подставляя (3.10) в (3.9), получим скорость охлаждения сварного шва
ω=
(T − T0 ) 2
∂T (0, T )
= −2πλ
.
∂t
qп
(3.11)
Быстродвижущийся линейный источник в пластине. Аналогично предыдущему случаю точечного источника определяется
скорость охлаждения центра шва в пластине без поверхностной теплоотдачи (b= 0). При у = 0 из (2.36)
qп
∂T (0, t )
=−
;
∂t
4c ρ s π at 3
2
t=
⎤
qп
1 ⎡
⎢
⎥ ;
4π a ⎣ c ρ s (T − T0 ) ⎦
87
ω=
(T − T0 )3
∂T (0, T )
= −2πλ c ρ s 2
.
∂t
qп 2
(3.12)
Из выражений (3.11) и (3.12) видно, что скорость охлаждения
(на охлаждение указывает знак минус) зависит от режима сварки: qп
размеров изделия (s) начальной температуры T0 и свойств материала ( λ , c ρ ). С увеличением погонной энергии qп и начальной температуры T0 скорость охлаждения падает.
При расчете вместо температуры Т подставляют значение расчетной температуры, например температуры минимальной устойчивости аустенита. При выводе выражений (3.11) и (3.12) предполагается, что температура подогрева изделия в процессе сварки не изменяется, т.е. что изделие в целом остается при постоянной температуре подогрева. Это предположение справедливо для толстых листов, которые охлаждаются сравнительно медленно. Тонкие листы
(толщиной 2…4 мм) быстро охлаждаются через поверхность; их
иногда варят с сопутствующим подогревом, чтобы температура металла изделия в процессе сварки существенно не снижалась. Если
температура подогрева изделия при сварке изменяется, скорость
охлаждения околошовной зоны зависит при данном режиме сварки
не только от температуры подогрева, но также от знака и скорости
ее изменения.
Скорость охлаждения тем больше, чем выше разность (Т–То)
между мгновенной и начальной температурами. Влияние подогрева
резче сказывается при сварке тонких листов, так как в валике, наплавленном на массивное тело, мгновенная скорость охлаждения
пропорциональна квадрату разности температур, а при сварке тонких листов встык – кубу разности температур.
Мгновенная скорость охлаждения при данной температуре зависит не от абсолютных значений q и v, а только от их отношения:
qп = q / v . Чем больше эффективная погонная энергия qп, тем ниже
при прочих равных условиях скорость охлаждения. Влияние изменения погонной энергии резче сказывается в тонких листах, так как
мгновенная скорость охлаждения при наплавке валика на массивное
изделие обратно пропорциональна первой степени погонной энергии qп, а при сварке тонких листов встык – ее квадрату.
88
3.2.4. Размеры зоны нагрева
При сварке плавлением источник тепла – сварочная дуга должна проплавить основной металл изделия на определенную глубину.
Теоретически необходимая глубина проплавления основного металла, обеспечивающая получение прочного сварного соединения,
может быть весьма незначительной. Практически среднюю глубину
проплавления при дуговой сварке поддерживают в пределах не менее 1–1,5 мм, так как вследствие случайных отклонений режима дуги от стационарных условий при меньшей средней глубине проплавления возникает опасность непровара. Слишком большой прогрев основного металла может привести к подрезам у краев шва и к
сквозному проплаву свариваемых кромок, связанному с вытеканием
жидкого металла. Избыточная глубина проплавления может изменять свойства наплавленного металла вследствие увеличения доли
основного металла в шве, а также увеличивает удельный расход
электрической энергии.
Сварочная ванна. Сварочная дуга вследствие высокой концентрации тепла в пятне мгновенно оплавляет поверхностный слой металла и перегревает его до температуры кипения. В процессе горения дуги слой расплавленного металла увеличивается и образует на
поверхности основного металла сварочную ванну (рис. 3.8).
Поток газа, быстро расширяющегося в дуговом промежутке
вследствие высокой температуры дугового разряда, давит на поверхность ванны расплавленного металла и оттесняет жидкий металл из-под основания дуги. При этом дуга углубляется в образующийся под ее основанием кратер. Помимо заданных перемещений
вдоль шва и поперек шва (вследствие колебательных движений
электрода) сварочная дуга способна погружаться в глубь ванны.
Способность дуги углубляться в ванну зависит не только от дутья дуги, но и от многих других условий, в том числе от состава дуговой атмосферы, состава металла и шлаков, размеров ванны, положения шва и др. На практике наблюдаются весьма разнообразные
типы погружения дуги. В дальнейшем рассмотрим следующие
крайние типы – поверхностную дугу и погруженную дугу.
При поверхностной дуге кратер неглубок, пятно дуги мало углубляется относительно поверхности металла; под пятном остается слой
жидкого металла (3.8, а). При сварке поверхностной дугой глубина
проплавления сравнительно невелика.
89
Рис. 3.8. Сварочная ванна при наплавке дугой (а), при наплавке погруженной
дугой (б), при наплавке под флюсом (в)
При погруженной дуге жидкая ванна оттесняется к застывающему концу; пятно и столб дуги полностью или частично
погружаются в кратер и более эффективно оплавляют дно ванны и
ее переднюю кромку. Под дугой остается лишь весьма тонкий слой
жидкого металла (рис. 3.8, б). Такая погруженная дуга наблюдается
обычно при сварке на больших силах тока. Образующийся иногда
90
на конце электрода козырек из тугоплавкого покрытия может способствовать погружению дуги.
При сварке под флюсом большая глубина проплавления достигается также за счет погружения дуги. Пятно и столб дуги оплавляют непосредственно переднюю кромку ванны (рис. 3.8, в).
Геометрические размеры ванны и валика характеризуются следующими параметрами (рис. 3.8): L – длина ванны; В – ее ширина;
Н – глубина проплавления; А – высота наплавки; Нк – глубина кратера. Все измерители, за исключением L и Нк, определяют обычно
по шлифам поперечных сечений валика. Длину ванны L определяют
по застывшему кратеру в конце валика. Глубину Нк по застывшему
кратеру определить трудно, так как после обрыва дуги и прекращения дутья жидкий металл ванны стремится заполнить кратер. Поэтому застывший кратер имеет меньшую глубину, чем кратер в
жидкой ванне при горении дуги. Глубину Нк иногда определяют
просвечиванием рентгеновскими лучами.
Поперечное сечение переплавленного дугой металла условно
делят на зону наплавки Fн, находящуюся вне первоначальной кромки основного металла, и зону проплавления Fnp, расположенную
внутри этой кромки (рис. 3.8). Площадь зоны наплавки зависит от
количества присадочного металла, которое электрод подает в сварочную ванну. Избыточный металл располагается вне первоначальной кромки основного металла и образует валик.
Ванна расплавленного металла — эта область, нагретая в данный момент выше температуры плавления. Ванна ограничена мгновенной изотермической поверхностью температуры плавления. Зона проплавления – это область основного металла, которая при перемещении дуги нагревается выше температуры плавления. Зона
проплавления представляет собой след перемещения ванны.
В зависимости от режима сварки и способа ведения дуги зона
проплавления принимает различные очертания. Очертание зоны
проплавления характеризуют следующие измерители: относительная глубина проплавления Н/В и коэффициент полноты
μ = Fпр HB .
Сварка под флюсом характеризуется значительной глубиной
проплавления. Ручная сварка отличается большим разбросом значений Н/В, так как очертание зоны проплавления в этом случае зави91
сит как от технологических свойств электрода, так и от его поперечных колебаний.
Коэффициент полноты μ обычно меньше единицы, так как
очертание зоны проплавления вписывается в прямоугольник с основанием B и высотой H. При ручной дуговой наплавке валиков
стальными электродами разных типов без поперечных колебаний
при токе 140–300 А коэффициент полноты обычно колеблется в узких пределах – от 0,6 до 0,7. При наплавке валиков стальным электродом с поперечными колебаниями при силах тока 250–1100 А коэффициент полноты обычно не выходит из пределов 0,6–0,8. Таким
образом, коэффициент полноты достаточно устойчив, и его удобно
использовать при расчетах.
Расчетная схема. Размеры ванны и зоны проплавления будем
рассчитывать, предполагая, что тепло сосредоточенного источника – сварочной дуги – распространяется по металлу вследствие теплопроводности и прогревает прилегающую к источнику зону металла выше температуры его плавления Тпл.
Теория процессов распространения тепла при дуговой сварке
позволяет установить количественную зависимость размеров и
очертания зон, прогреваемых выше заданной температуры, от условий режима сварки, т.е. от тепловой мощности сварочной дуги и
скорости ее перемещения, от распределения ее тепла по поверхности изделия, от формы и размеров изделия и от теплофизических свойств основного металла. Расчетное очертание ванны расплавленного металла должно соответствовать мгновенному очертанию изотермы температуры плавления Тпл. Теоретическое очертание ванны не совпадает с действительным, потому что действительное очертание ванны зависит от параметров, которые не учтены
при выводе уравнений распространения тепла по свариваемому изделию.
При выводе уравнений, описывающих процессы распространения тепла сварочной дуги, предполагалось, что тепло дуги сосредоточено в точке или по линии, тогда как в действительности тепло
дуги неравномерно распределено по поверхности пятна, углубленного в кратер. Расчетные схемы учитывают только распространение
тепла вследствие теплопроводности, тогда как в действительности в
ванне расплавленного металла тепло переносится конвективными
92
потоками жидкого металла, вызванными дутьем дуги и неравномерностью распределения температуры в ванне. Расчет не учитывает также скрытой теплоты плавления, поглощаемой на передней
границе ванны и выделяемой на задней границе. Наконец, расчет по
средним значениям параметров режима – току, скорости сварки, напряжению дуги – не принимает во внимание случайных отклонений
этих параметров от расчетного режима, остающегося в среднем постоянным за время горения дуги. Эти отклонения могут существенно искажать размеры и очертание ванны и зоны проплавления.
Действительное очертание свариваемого изделия также не всегда совпадает с принятыми нами расчетными схемами (полубесконечным телом, пластиной, стержнем). Так, в листах, ограниченных
по толщине, действительный теплоотвод будет меньше расчетного
теплоотвода в неограниченном теле, а у края изделия — меньше,
чем в середине.
Отступления при расчете от действительных условий сварки и
приводят к тому, что очертания ванны и зоны проплавления не соответствуют очертанию изотермы Т=Тпл, теоретически рассчитанному по схеме сосредоточенного источника в твердом теле. На
больших расстояниях от дуги вследствие выравнивающего влияния
процесса теплопроводности поперечные колебания дуги и ее погружение в глубь ванны мало сказываются на очертаниях изотерм
Т<Тпл. При расчете размеров сварочной ванны и зоны проплавления
необходимо считаться с этими особенностями процесса.
Расчет позволяет оценить длину ванны. Для расчета ширины и
глубины зоны проплавления нет достаточных данных о распределении тепла дуги и углублении дуги в ванну. Отдельно от основного металла параметры сварочной ванны можно рассчитать по обобщенным формулам работы [8].
На основе приведенных выше схем тепловых процессов при
сварке размеры зон нагрева можно определить следующим образом.
Значения координаты r, при которой кривые максимальных
температур пересекают уровень температуры плавления металла
(1500 K), определяют размер сварочной ванны, т.е. ширину шва и
глубину проплавления металла, если сварочный нагрев соответствует схеме мощного быстродвижущегося точечного источника.
Прировняв в выражении (3.3) максимальную температуру Tm (rL )
93
температуре плавления TL , Tm (rL ) = TL , можно найти ширину B=2rL
и глубину H=rL жидкой ванны:
2qп
.
c ρπ eTL
B = 2H = 2
(3.13)
Подстановка в приведенную формулу значения любой другой
температуры позволяет вычислить ширину и глубину соответствующей изотермы.
В случае мощного быстродвижущегося линейного источника,
прировняв в выражении (3.8) максимальную температуру Tm температуре плавления TL , Tm= TL , можно найти ширину B=2yL жидкой
ванны:
B = 2 yL =
2qп
2π ec ρ sTL
.
(3.14)
Подстановка в приведенную формулу значения любой другой
температуры позволяет вычислить ширину соответствующей изотермы для указанной тепловой схемы.
Третьим геометрическим параметром, представляющим интерес при анализе температурного поля при сварке, является длина
заданной изотермы LT (рис. 3.9).
Мощный быстродвижущийся точечный источник. Для вывода
формулы длины изотермы в данном случае воспользуемся выражением для температурного поля (2.35). Длина изотермы на поверхности полубесконечного тела будет равна абсолютному значению координаты x при z=0, y=0. Подстановка этих условий в (2.35) дает:
T =−
q
2πλ x
и при LT=-x
LT =
q
2πλTL
,
(3.15)
где TL – значение температуры изотермы, длина которой рассчитывается.
94
Рис. 3.9. К определению длины изотермы температурного поля
Мощный быстродвижущийся линейный источник в пластине.
Вывод формулы для определения длины изотермы в данном случае
аналогичен предыдущей схеме мощного быстродвижущегося источника. В выражение (2.36), соответствующее мощному линейному источнику, подставим y=0 и решим относительно t при отсутствии теплоотдачи (b=0):
2
⎛ q ⎞ 1
.
t =⎜ п ⎟
⎝ c ρ sT ⎠ 4π a
Учитывая, что x = −vt и длина изотермы LT = - x,
2
v ⎛ qп ⎞
LT =
⎜
⎟ .
4π a ⎝ c ρ sTL ⎠
95
(3.16)
3.3. Расчет температурного поля распределенных
сварочных источников нагрева
При расчете тепловых процессов до сих пор полагалось, что источник теплоты либо точечный, либо равномерно распределенный
линейный, либо равномерно распределенный плоский. В действительности сварочные источники теплоты распределены по более
сложному закону. Например, сварочная дуга, газовое пламя, плазменная струя, электронный луч и т.п. являются нормально круговыми источниками (см. п. 2.2).
При выборе математической схемы источника следует исходить
из принципа местного влияния, который применительно к сварочному нагреву можно сформулировать так: закон распределения источника теплоты значительно сказывается на температурном поле
лишь на расстоянии одного порядка с размерами области, занятой
источником. Температурное поле в области, удаленной от источника, не изменится, если заменить произвольно распределенный источник теплоты эквивалентным по величине и расположению сосредоточенным источником. Например, вдали от сварочной дуги
температурное поле определяется формой изделия, т.е. в изделиях
значительной толщины является трехмерным, в пластине – двумерным, в стержне – одномерным.
Рассмотрим некоторые практически важные случаи распределенных источников в полубесконечном теле, плоском слое и
пластине.
3.3.1. Мгновенный нормально-круговой источник тепла
в пластине
Нормально-круговой источник с эффективной мощностью q и
коэффициентом сосредоточенности k приложен к адиабатической
поверхности пластины толщиной s (рис. 2.2). Пусть центр нормально-кругового источника находится в начале координат (r=0). Мгновенное распределение удельного теплового потока источника выразится нормальным законом (2.2).
Рассмотрим мгновенный нагрев пластины нормально-круговым
источником. За элемент времени dt элемент площади dF, находящийся на расстоянии r от центра, получит количество тепла q2 (r)
96
dFdt. Так как пластина тонка, тепло, введенное через элемент площади dF, практически мгновенно распространится по толщине s и
равномерно нагреет элементарную призму с основанием dF и высотой s.
Мгновенное повышение температуры элементарной призмы составит
dT ( r ) =
q2 dtdF
.
c ρ sdF
Подставив значение q2 по закону (2.1), получим
dT (r ) =
q2 m dt
exp(−kr 2 ) .
cρ s
(3.17)
Следовательно, мгновенный нормально-круговой источник вызывает в пластине элементарное повышение температуры, также
распределенное по нормальному закону (3.12).
Подберем теперь фиктивный сосредоточенный источник, тепло
которого Q, распространяясь по пластине в течение некоторого
времени t0 , приводит к такому же распределению температуры, как
и вызванное заданным нормально-круговым источником. Таким
фиктивным источником является линейный источник, распределенный равномерно по отрезку оси z, проходящей через центр нормально-кругового источника. Распределение температуры от такого
источника в момент t0 в соответствии с формулой (2.10)
T ( x, y , t ) =
⎛ r2
Q
exp ⎜ −
c ρ s (4π at0 )
⎝ 4at0
⎞
⎟.
⎠
(3.18)
Сравнивая выражения (3.17) и (3.18), видно, что они построены
однотипно и могут выражать одинаковые распределения температуры по радиусу. Таким образом, распределение температуры, вызванное мгновенным действием нормально-кругового источника,
можно рассматривать как распределение температуры от фиктивного мгновенного сосредоточенного источника, введенного в начале
координат на время t0 раньше. Подбирая соответствующим образом
длительность распространения тепла от фиктивного источника и
97
его количество тепла Q, можно обеспечить совпадение распределения (3.18), вызванного фиктивным источником, с распределением
(3.17), вызванным нормально-круговым источником. Приравняем
показатели указанных экспоненциальных функций
kr 2 =
r2
,
4at0
откуда
t0 =
1
.
4ak
(3.19)
Таким образом, длительность распространения фиктивного источника t0 обратно пропорциональна коэффициенту сосредоточенности k нормально-кругового источника и коэффициенту температуропроводности а металла пластины. Тепло линейного сосредоточенного источника, распространяясь в течение t0, приводит к распределению температуры с таким же коэффициентом сосредоточенности k, как и заданный нормально-круговой источник. Длительность распространения фиктивного сосредоточенного источника t0 (с) называется постоянной времени при нагреве данного металла нормально-круговым источником. Очевидно, что t0 зависит не
только от характера распределения тепла источника, но и от температуропроводности а металла, т.е., в отличие от коэффициента сосредоточенности k, этот коэффициент не остается постоянным при
нагреве различных металлов одним и тем же источником.
Приравняем теперь первые сомножители выражений (3.17) и
(3.18):
q dt
Q
= 2m .
c ρ s 4π at0
cρ s
Отсюда определим количество тепла Q, вводимое фиктивным
сосредоточенным линейным источником на оси z, проходящей через центр эквивалентного нормально-кругового источника
Q = 4π at0 q2 m dt .
98
Вместо t0 подставим его значение из уравнения (3.19) и используем соотношение q = q2 mπ k (см. п. 2.2), тогда
Q = qdt ,
т.е. мгновенное количество тепла, которое нужно сосредоточить на
центральной оси, равно количеству тепла, вводимому нормальнокруговым источником за элемент времени dt.
Рис. 3.10. Процесс распространения тепла мгновенного нормально-кругового
источника в пластине (сплошные линии) как часть процесса распространения тепла
фиктивного сосредоточенного линейного источника (пунктирные линии): а – изохроны (t=const); б – кривые изменения температуры на различных расстояниях r от
центра источника
Распределение температуры (3.17), вызванное в пластине действием мгновенного нормально-кругового источника qdt с коэффициентом сосредоточенности k, можно рассматривать как результат
фиктивного процесса (продолжительностью t=t0) распространения
того же количества тепла, сосредоточенного на оси z, проходящей
через центр нормально-кругового источника, на t0 с ранее. Процесс
выравнивания этого распределения температуры, очевидно, эквивалентен последующей части процесса распространения тепла мгновенного линейного источника, начиная с момента t0 (рис. 3.10). Таким образом, тепло мгновенного сосредоточенного линейного источника, распространяясь в соответствии с уравнением (2.10) в те99
чение времени t0, приводит к заданному нормальному распределению температуры (3.17). Эта часть процесса ( 0 ≤ t1 ≤ t0 ) является
фиктивной. Дальнейшая часть процесса t1 ≥ t0 описывает выравнивание заданного распределения (3.12).
Здесь время, отсчитываемое от момента приложения фиктивного сосредоточенного источника, обозначено t1. Введем счет времени
t от момента приложения мгновенного нормально-кругового источника t1 = t0 . Тогда t1 = t + t0 . Процесс распространения в пластине
тепла мгновенного нормально-кругового источника (2.1), эквивалентный части t1 ≥ t0 процесса (2.10) распространения тепла линейного сосредоточенного источника, выразится
T (r , t ) =
⎡
⎤
qdt
r2
exp ⎢ −
⎥.
c ρ s 4π a (t + t0 )
⎣ 4a(t + t0 ) ⎦
(3.20)
3.3.2. Мгновенный нормально-круговой источник на поверхности
полубесконечного тела или плоского слоя
Пусть мгновенный нормально-круговой источник в полубесконечном теле или плоском слое с адиабатическими границами
находится на глубине ζ . Тогда, используя в качестве исходных
формулы (2.4), (2.6), получим методом источников, как и в случае
пластины, решение для полубесконечного тела
T (r , z, t ) =
⎡
⎤
⎡ ( z − jζ ) 2 ⎤
Q
r2
exp
exp
−
⎢
⎥
⎢−
⎥.
4at ⎦
4πλ (t + t0 )(4π at )1 2
⎣ 4a (t + t0 ) ⎦ j =−1,1
⎣
(3.21)
∑
В данной формуле осуществлено суммирование теплового воздействия действительного источника, расположенного на глубине
ζ и фиктивного для моделирования адиабатической поверхности
полубесконечного тела.
Температурное поле в плоском слое толщиной s при действии
мгновенного распределенного источника на основе выражения
(2.21) представляется следующим образом
100
T (r , z , t ) =
×
⎡
⎤
Q
r2
exp
−
⎢
⎥×
12
4πλ (t + t0 )(4π at )
⎣ 4a (t + t0 ) ⎦
∞
⎡ ( z − jζ − 2is ) 2 ⎤
exp ⎢ −
⎥,
4at
j =−1,1
⎣
⎦
∑ ∑
i =−∞
(3.22)
3.3.3. Подвижный объемный источник, распределенный
произвольно по толщине плоского слоя
и нормально в плоскости слоя
Учет распределенности источника нагрева не только в плоскости xy, но и по оси z дает возможность моделировать целый ряд сварочных процессов, в которых распределенностью источника нельзя
пренебречь. Это сварка погруженной дугой, контактная сварка,
электрошлаковая сварка и др. Получение замкнутых аналитических
решений в большинстве подобных случаев представляет значительные трудности. Поэтому здесь ограничимся приведением схемы
решения [4].
Пусть мощность источника распределена произвольно по толщине (оси z) и нормально в радиальном направлении r в плоскостях
z = const :
q3 (r , z ) = q1 ( z ) f 2 (r ) ,
где
f 2 (r ) =
k
π
exp(−kr 2 ) .
Функцию f 2 (r ) можно понимать как нормально-круговой источник единичной мощности на произвольной глубине z. Эффективная мощность источника q (Вт) связана с распределением объемной плотности мощности q3(r,z) (Вт/м3) выражением
s∞
∫∫
0 0
s
∫
∞
∫
q3 (r , z )2π rdrdz = q1 ( z ) dz f 2 (r )2π rdr =
0
0
s
∫
q1 ( z )dz = q .
(3.23)
0
Пусть источник движется вдоль оси х в течение времени t с постоянной скоростью v и вся его мощность q сосредоточена в плос101
кости z = ζ . Температурное поле можно найти суммированием всех
последовательно действующих мгновенных источников, на которые
разбивается подвижный источник. С учетом (3.22) в подвижной
системе координат, когда центр источника находится на оси z, получим:
T ( x, y , z , t ) =
t
⎡ ( x + vt ) 2 + y 2 ⎤
1
exp ⎢ −
⎥×
4πλ s 0 τ + t0
4a (τ + t0 ) ⎦
⎣
q
∫
∞
⎡
π iz
π iζ
aτ ⎞ ⎤
⎛
cos
exp ⎜ −π 2i 2 2 ⎟ ⎥ .
× ⎢1 + 2 cos
s
s
s ⎠⎦
⎝
i =1
⎣
В данном выражении использована подстановка [4]
∑
(3.24)
∞
⎡
π iu
aτ ⎞ ⎤
⎛
+
1
2
*
cos
exp ⎜ −π 2i 2 2 ⎟ ⎥ ,
⎢
s
s ⎠⎦
⎝
i =1
⎣
⎡ (u − 2is ) 2 ⎤
π at
exp ⎢ −
⎥=
4at ⎦
s
i =−∞
⎣
∞
∑
∑
являющаяся результатом разложения рядов выражения (3.22) в косинусные ряды Фурье, что убыстряет сходимость этих рядов при
вычислении.
Имея решение (3.24) для сосредоточенного в плоскости
z = ζ подвижного источника, можно методом источников решить
задачу для произвольного распределения мощности по глубине
q1 ( z ) , Вт/м. Приращение температуры в любой подвижной точке
P( x, y, z ) от элементарного подвижного нормально кругового источника мощностью q1 (ζ )d ζ , центр которого находится на глубине
ζ , согласно выражению (3.19), равно:
dT ( x, y, z , t ) =
q1 (ζ )d ζ
4πλ s
t
⎡ ( x + vt ) 2 + y 2 ⎤
1
exp ⎢ −
⎥×
4a (τ + t0 ) ⎦
τ + t0
⎣
0
∫
∞
⎡
π iz
π iζ
aτ ⎞ ⎤
⎛
cos
exp ⎜ −π 2i 2 2 ⎟ ⎥ .
× ⎢1 + 2 cos
s
s
s ⎠⎦
⎝
i =1
⎣
∑
Тогда температура от рассматриваемого распределенного источника определяется суммированием по толщине всех элементарных источников:
102
T ( x, y , z , t ) =
t
⎡ ( x + vt ) 2 + y 2 ⎤
1
exp ⎢ −
⎥×
4πλ s 0 τ + t0
4a (τ + t0 ) ⎦
⎣
q
∫
s
∞
⎡
π iz
π iζ
π iζ ⎤
⎛ 2 2 aτ ⎞ 1
× ⎢1 + 2 cos
cos
exp ⎜ −π i 2 ⎟
q1 (ζ ) cos
d ζ ⎥ dτ . (3.25)
s
s
s
s ⎠q 0
⎝
i =1
⎣⎢
⎦⎥
∑
∫
Полученная в работе [4] зависимость (3.25) описывает достаточно произвольный случай распространения тепла при действии
распределенного по объему плоского слоя движущегося источника
нагрева. Данная формула может быть применена к расчету тепловых полей при точечной сварке (источник неподвижен), при ЭШС и
других методах сварки.
103
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Представленные методы расчета тепловых процессов при сварке исходят из постулата линейности дифференциального уравнения
теплопроводности, т.е. когда свойства материала не зависят от температуры. Кроме того, предполагается «регулярная геометрия», ограничивающая объект исследования декартовыми плоскостями. Реальные сварные конструкции «сложнее» как по геометрии, так и по
свойствам свариваемых материалов. Даже приведенные в приложениях способы интегрирования не позволяют учесть эту реальность,
но они дают возможность экспресс-аналитического анализа тепловых процессов.
Современное проектирование сварных конструкций и технологий их производства требует численного расчета технологического
влияния сварочного процесса на эксплуатационные свойства изделий. Конкретные задачи проектирования в настоящее время решают
численными методами (например, МКЭ [4]). В этой теме обращаю
Ваше внимание на систему ANSYS как на наиболее «продвинутый»
продукт анализа физических процессов в сплошных средах (в том
числе и тепловых) численными методами.
Необходимо отметить, что освоение представленной в данном
пособии системы анализа тепловых процессов при сварке позволит
Вам рассчитывать конкретные параметры теплопроводности сварочного процесса и профессионально ориентироваться в возможностях современных программных средств исследования и расчета характеристик сварочных технологий.
104
ПРИЛОЖЕНИЯ
Температурное поле при сварке в общем случае является
4-мерным: T=T(x, y, z, t). Основой анализа распределения температур является построение изотермических линий в различных координатных плоскостях – xy, xz, yz в заданные моменты времени, расчет их геометрических размеров и анализ параметров термических
циклов точек сварного соединения. Эта процедура весьма трудоемка. Поэтому для решения задач теплопроводности при сварке рациональным является использование программных средств, обладающих развитыми графическими возможностями. Одно из них –
MATLAB. Именно этот пакет программ использован в данном пособии для расчета примеров задач теплопроводности при сварке.
MATLAB (MATrixLABorotory) – одна из самых мощных систем
компьютерной математики, созданная корпорацией Math Works Inc.
(США). Система ориентирована на использование матричной алгебры, что значительно упрощает алгоритмирование инженерных
расчетов, но требует уверенных знаний в матричной алгебре.
MATLAB обладает развитыми возможностями визуализации двумерных и трехмерных данных. Высокоуровневые графические
функции призваны сократить усилия пользователя до минимума,
обеспечивая, тем не менее, получение качественных результатов.
Простой встроенный язык программирования позволяет достаточно
легко создавать собственные алгоритмы, направленные на решение
практических инженерных задач.
В представленных примерах расчета тепловых процессов при
сварке в методических целях использованы самые элементарные
возможности системы MATLAB, для освоения которых достаточно
беглого ознакомления с системой [1, 3] и навыков алгоритмирования, полученных на учебном курсе «Информатика». Изучение системы MATLAB не входит в учебный план данной дисциплины, и его
необходимо осуществить самостоятельно в режиме консультаций
с преподавателем.
105
Ниже приведенные приложения являются примерами решения
задач теплопроводности при сварке и структурированы следующим
образом: сначала дается формула, описывающая температурное поле для обозначенной тепловой схемы (в соответствии с нумерацией
формул данного пособия). Далее идет текст соответствующей
функции (function), представляющей собой алгоритм вычисления
требуемых значений с комментариями, начинающимися символом
«%». Список команд, определяющих фактические параметры функции и ее запуск на расчет, как строки командного окна (Command
windou) с необходимым символом «>>», дается далее. Результаты
расчета в виде изолиний температурного поля или других параметров температурного поля при сварке приведены без обозначения
осей, поскольку предоставляется возможность оформить графические результаты с использованием не только MATLAB, но и других
графических и текстовых редакторов (WORD, VISIO, EXEL …).
Приложение 1
П 1.1. Расчет температурного поля мгновенного точечного источника
на поверхности полубесконечного тела.
T ( x, y , z , t ) =
2Q
c ρ (4π at )3 2
⎛ R2 ⎞
.
exp ⎜ −
⎜ 4at ⎟⎟
⎝
⎠
function T=mti(x,y,z,t,Q);
% Расчет температурного поля
% мгновенного точечного источника
% на поверхности полубесконечного тела
%
% ФОРМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
% x – вектор координаты x (см)
% y – вектор координаты y (см)
% z – вектор координаты z (см)
% t – время анализа температурного поля (c)
% Q – тепловая энергия мгновенного точечного источника (Дж)
%________________________________________________________
% Пример задания исходных данных (в командном окне):
106
(2.6)
%>> x=[3:-0.1:-3]; (см)
% >>y=[3:-0.1:-3]; (см)
% >>z=0;
(см)
% >>t=2;
(с)
% >>Q=5000;
(Дж)
%________________________________________________________
lam=0.38;
% Коэффициент теплопроводности, Вт/(см К)
a=0.1;
% Коэффициент температуропроводности, см2/с
cro=lam/a;
% Коэффициент удельной объемной теплоемкости.
nx=length(x);
ny=length(y); % Определение длины векторов координат
nz=length(z);
for m=1:1:nz; % Организация циклического вычисления
for n=1:1:ny; % температуры в точках координатной сетки
for k=1:1:nx;
R2=x(k)^2+y(n)^2+z(m)^2;
ee=exp(-R2/(4*a*t));
Tc=Q*ee/(cro*(4*pi*a*t)^1.5);
if Tc>1500;
Tc=1500;
end %if
% Вычисление радиуса-вектора.
% Вычисление температуры
% (формула 2.6)
% Ограничение расчетного значения
% температурой плавления стали.
T(n,k,m)=Tc; % Для построения графики в плоскости x,y
%T(m,n,k)=Tc; % Для y,z
Формирование массива
%T(m,k,n)=Tc; % Для x,z
результата расчета.
end %x
end %y
end %z
Команды формирования исходных данных и запуска расчета (Command windou).
>> x=[3:-0.1:-3];
% Задание сетки координат по x
>> y=x;
% Задание сетки координат по y
>> T=mti(x,y,0,2,5000); % Запуск функции расчета с фактическими
параметрами
107
>> mesh(x,y,T)
% Построение поверхности температуры в виде сетки
>>vp=[300 250 200 150 100 50]; % Задание значений температуры изолиний
>> contour(x,y,T,vp) % Построение изолиний температурного поля в
плоскости xy
>> grid
% Нанесение координатной сетки
П 1.2. Расчет температурного поля мгновенного линейного источника
в пластине без теплоотдачи.
⎛ r2 ⎞
Q
exp ⎜ −
.
(2.10)
T ( x, y , t ) =
⎜ 4at ⎟⎟
c ρ s (4π at )
⎝
⎠
108
function T=mli(x,y,t,Q,del);
% Расчет температуры мгновенного линейного источника
%________________________________________________________
% ФОРМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
% x – вектор координаты x (см)
% y – вектор координаты y (см)
% t – время анализа температурного поля (c)
% Q – тепловая энергия мгновенного точечного источника (Дж)
% del – толщина пластины s (см)
%________________________________________________________
% Пример задания исходных данных
%x=[2:-0.1:-2];
(см)
%y=[-2:0.1:2];
(см)
% Q=10000
(Дж)
%del =1.2
(см)
%________________________________________________________
lam=0.38;
% Коэффициент теплопроводности, Вт/(см К)
a=0.1;
% Коэффициент температуропроводности, см2/с
cro=lam/a;
% Коэффициент удельной объемной теплоемкости
nx=length(x);
ny=length(y);
for n=1:1:ny;
for k=1:1:nx;
r2=x(k)^2+y(n)^2;
ee=exp(-r2/(4*a*t));
Tc=Q*ee/(cro*del*4*pi*a*t); %Формула (2.10).
if Tc>1500
Tc=1500;
end % if
T(n,k)=Tc; % Для плоскости x,y
end %x
end %y
Данный пример отличается от предыдущего только формулой температурного поля. Построение распределения температуры осуществляется
аналогичными командами. Результат можно посмотреть на рис. 2.7, 2.8.
109
П 1.3. Расчет температурного поля в предельном состоянии движущегося по поверхности плоского слоя точечного источника:
T ( x, y , z , ∞ ) =
∞
1
⎛ vR
⎛ vx ⎞
exp ⎜ − ⎟
exp ⎜ − i
4πλ
2
a
R
⎝
⎠ i =−∞ i
⎝ 2a
q
∑
⎞
⎟,
⎠
function T=sloypr(x,y,z,q,v,del);
% Расчет температуры плоского слоя в предельном состоянии.
%________________________________________________________
% ФОРМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
% x – вектор координаты x (см)
% y – вектор координаты y (см)
% z – вектор координаты z (см)
% q – тепловая мощность точечного источника (Вт=Дж/с)
% v – скорость сварки
(см/с)
% del – толщина пластины s (см)
%________________________________________________________
% Пример задания исходных данных (в командном окне):
%>>x=[1:-0.01:-5]; (см)
%>>y=[-3:0.01:3]; (см)
%>>z=[0:0.01:1];
(см)
%>>q=10000;
( Вт=Дж/с)
%>>v=1;
(см/с)
%>>del=1;
( см)
%________________________________________________________
lam=0.38;
a=0.1;
cro=lam/a;
nx=length(x);
ny=length(y);
nz=length(z);
qr=q/(4*pi*lam);
va=v/(2*a);
for m=1:1:nz;
for n=1:1:ny;
for k=1:1:nx;
Tc=0;
% Обнуление суммы
110
(2.26)
for nf1=1:1:21; %Организация циклического суммирования
nf=nf1-10; % фиктивных источников, ограниченных номером 21
R=sqrt(x(k)^2+y(n)^2+(z(m)-2*nf*del)^2); % Радиус-вектор источника nf
if R<del/1000
R=del/1000;
end% if
% Контроль деления на 0
dT=qr/R*exp(-va*(R+x(k)));
% Формула (2.26)
Tc=Tc+dT;
% Суммирование температур действительного и
% фиктивных источников
end %nf1
if Tc>1500
Tc=1500;
end %if
%T(n,k,m)=Tc; % Для x,y
%T(m,n,k)=Tc; % Для y,z
T(m,k,n)=Tc; % Для x,z
end %x
end %y
end %z
Команды формирования исходных данных и запуска расчета (Command windou).
>> x=[1:-0.01:-5]; % Задание координатной сетки
>> y=[-3:0.01:3];
>> z=[0:0.01:1];
>> T=sloypr(x,0,z,10000,1,1); % Вызов функции с фактическими
% параметрами
>> vp=[1500 1100 865 760 600]; % Задание значений температур изолиний
>> contour(x,z,T,vp)
% Построение изолиний в плоскости xz
>> grid
% Нанесение координатной сетки
111
>> T=sloypr(-2,y,z,10000,1,0.8);
раметрами
>> contour(y,z,T,vp)
>> grid
% Вызов функции с фактическими па% Построение изолиний в плоскости yz
П 1.4. Расчет термических циклов точек сварного соединения по схеме предельного состояния движущегося по поверхности плоского слоя точечного источника.
T ( x, y , z , ∞ ) =
где Ri =
∞
1
⎛ vR
⎛ vx ⎞
exp ⎜ − ⎟
exp ⎜ − i
4πλ
⎝ 2a ⎠ i =−∞ Ri
⎝ 2a
q
∑
⎞
⎟,
⎠
x 2 + y 2 + ( z − 2is ) 2 ; i – номер фиктивного источника в системе
отражений тепла от адиабатических границ. Для построения термических
циклов переход от подвижной системы координат в формуле (2.26) к физической (неподвижной) осуществляется подстановкой x=-vt.
В программе предусмотрена возможность построения ветви охлаждения термического цикла, начиная с максимальной температуры. Преобразование оси времени в логарифмический масштаб позволяет получить
кривые охлаждения, готовые к нанесению на диаграмму термокинетического превращения выбранной стали для определения фазового состава зоны термического влияния.
function T=sloytc(tim,y,z,q,v,del);
% Расчет термических циклов точек плоского слоя
% в предельном состоянии.
%_______________________________________________________
% ФОРМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
% tim – вектор значений времени
% y – вектор координаты y
% z – вектор координаты z
% q – мощность источника нагрева
% v – скорость сварки
% del – толщина слоя
112
(2.26)
%________________________________________________________
% Пример задания исходных данных (в командном окне):
%>>tim=[0:0.1:100]; %(с)
%>>y=[1 1.5 2 2.5 3]; % (см)
%>>z=0;
% (см)
%>>q=7500;
%(Вт)
%>>v=0.5;
%(см/с)
%>>del=1;
%(см)
%________________________________________________________
lam=0.38;
% Коэффициент теплопроводности, Вт/(см К)
a=0.1;
% Коэффициент температуропроводности, см2/с
cro=lam/a;
% Коэффициент удельной объемной теплоемкости
nt=length(tim);
ny=length(y);
nz=length(z);
% Определение длины вектора времени
% Определение длины векторов координат
qr=q/(2*pi*lam); % Промежуточные вычисления (см. формулу 2.26)
va=v/(2*a);
for m=1:1:nz;
% Организация циклического вычисления
zc=z(m);
% - по координате z
for n=1:1:ny;
% - по координате y
yc=y(n);
for k=1:1:nt; % - по времени
x=-v*tim(k);
Tc=0;
% Обнуление суммы
for nf1=1:1:21; %Организация циклического суммирования
nf=nf1-10; % фиктивных источников, ограниченных номером 21
R=sqrt(x^2+yc^2+(zc-2*nf*del)^2);% Радиус-вектор источника nf
if R<del/1000
R=del/1000; % Контроль деления на ноль
end% if
dT=qr/R*exp(-va*(R+x)); % Формула (2.26)
Tc=Tc+dT; % Суммирование температур действительного и
% фиктивных источников
end %nf1
113
if Tc>1500 % Ограничение расчетного значения
Tc=1500; % температурой плавления стали
end %if
T(k)=Tc;
% Формирование термического цикла точки yz
end %tim
[Tm,kmax]=max(T); % Расчет максимальной температуры
T1=T(kmax:nt);
%Формирование ветви охлаждения
tim1=tim(kmax:nt)-tim(kmax); % термического цикла
%plot(tim1, T1)
% Построение ветви охлаждения
plot(tim-tim(1),T)
% Построение всего ТЦ.
hold on
% Наложение ТЦ заданных (y или z) точек на один график.
end %y
end %z
grid
% Нанесение координатной сетки
Термические циклы точек заданных значений y
plot(tim1, T1)
%plot(tim-tim(1),T)
% Построение ветви охлаждения
% Построение всего ТЦ
Ветви
охлаждения
термических циклов точек
заданных значений y в логарифмической по времени
системе координат. Построение выполнено от
максимальных температур
114
П 1.5. Расчет температурного поля методом непосредственного интегрирования движущегося по поверхности полубесконечного тела точечного
источника при сварке.
В решении данного примера использованы возможности MATLAB с
привлечением стандартной функции интегрирования guad8():
T ( x, y , z , t ) =
tin
2q
c ρ ( 4π a )
32
dτ
∫ (t − τ )
0
3
2
⎡ ( x − vτ ) 2 + y 2 + z 2 ⎤
exp ⎢ −
⎥ . (2.38)
4a (t − τ )
⎢⎣
⎥⎦
function T=integ(t,tfi,x,y,z,q,v);
% Расчет температуры ПБТ интегрированием
% в физической системе координат
% Соответствует расчетам В.А. Кархина
%_______________________________________________________
% ФОРМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
% t – вектор значений времени
(с)
% tfi – время отключения источника нагрева (с)
% x – вектор координаты x
(см)
% y – вектор координаты y
(см)
% z – вектор координаты z
(см)
% q – мощность источника нагрева
(Вт)
% v – скорость сварки
(см/с)
%_________________________________________________________
% Пример задания исходных данных
% t=[0.5 1 1.5 2 2.5 3];
% tfi= 20;
% x=[1:-0.1:-8];
% y=[-3:0.1:3];
% z=[0:0.1:1];
% q=5000;
% v=1;
%__________________________________________________
lam=0.38;
a=0.08;
cro=lam/a;
nx=length(x);
ny=length(y);
nz=length(z);
115
ntime=length(t);
va=v/(2*a);
c1=2*q*(4*pi*a)^(-1.5)/cro;
c3=4*a;
for nt=1:1:ntime
tim=t(nt);
if tim < tfi;
tt=tim;
else
tt=tfi;
end %if
for m=1:1:nz;
for n=1:1:ny;
c2=y(n)^2+z(m)^2;
for k=1:1:nx;
xc=x(k);
Tc=c1*Ft(tt,c2,c3,tim,xc,v); %Вызов функции интегрирования
if Tc>1500;
Tc=1500;
end %if
T(n,k,m)=Tc; % Для x,y
%T(m,n,k)=Tc; % Для y,z
%T(m,k,n)=Tc; % Для x,z
if ntime > 1;
%Tt(nt,k)=Tc; % Для x
% Tt(n,nt)=Tc; % Для y
%Tt(nt,m)=Tc; % Для z
end %if
end %x
end %y
end %z
end %nt
116
%_________________________________________________________
function f=Ft(tt,c2,c3,tim,xc,v)
% Вычисление интеграла
f=quad8('fpar',0,tt,1.e-3,0,c2,c3,tim,xc,v); %Функция интегрирования
%_________________________________________________________
%_________________________________________________________
function Tf=fpar(tau,c2,c3,tim,xc,v)
% Подинтегральная функция
rtau=tim-tau;
nn=length(rtau);
for n=1:1:nn;
if rtau(n) < 1.e-3;
rtau(n)=1.e-3;
end %if
Tf(n)=rtau(n)^(-1.5)*exp(-(c2+(xc-v*tau(n))^2)/(c3*rtau(n)));
end % n
%_______________________________________________________________
_______________
Примеры решения задач расчета температурного поля по методу непосредственного интегрирования приведены на рис. 2.26.
Возможности встроенного языка программирования MATLAB позволяют рассчитать все параметры термического цикла сварки. Использование стандартных функций ( max(T) для расчета максимальной температуры …) значительно упрощает получение необходимых для проектирования сварочных процессов данных.
Следует отметить, что приведенная выше графика ориентирована на
черно-белое изображение. Применение команд
>>surf(x,y,T)
>> pcolor(x,y,T)
выводит на экран цветные изображения температурного поля, которые позволят глубже понять исследуемые процессы и при наличии соответствующего принтера украсят Вашу работу.
Приложение 2
Система MATLAB предоставляет возможности символьных преобразований с получением искомого решения в аналитическом виде [5].
117
Представленные далее результаты символьных вычислений приведены «с экрана», т.е. в виде символов командного окна. Элементарные алгебраические преобразования позволяют убедиться в соответствии вычисленной формулы приведенному под соответствующим номером выражению данного пособия.
Например, при определении максимальных температур в процессе
распространения тепла быстродвижущегося точечного источника необходимо продифференцировать температуру (2.34) по времени. Затем прировнять полученное выражение нулю, определить его корень (корни), и подставить результат в формулу теплопроводности (2.34), (формулы 3.1–3.3).
Осуществление этой процедуры в MATLAB:
исходная формула:
⎛ r2 ⎞
q
T (r , t ) = п exp− ⎜
.
(2.34)
⎜ 4at ⎟⎟
2πλ t
⎝
⎠
Команды вычисления:
>> syms s q lam pi a t b y f c1 c2 c3 c4 T % Определение переменных как
символьных
>> T=sym('qp/(2*pi*lam*t)*exp(-r^2/(4*a*t))');
% Формула (2.34)
>> dT=diff(T,t,1); %Символьное вычисление первой производной по времени
>> pretty(dT) %Представление производной в виде рациональной дроби
r2
r2
2
qp exp(- 1/4 ---)
qp r exp(- 1/4 ---)
at
at
- 1/2 ----------------- + 1/8 -------------------pi lam t2
pi lam t3
% Формула (3.1)
>> tm =solve(c1,t) %Определение корня производной
tm =1/4*r^2/a %Корень производной – время tm максимальной температуры
>> pretty(tm) %Представление значения корня в виде рациональной дроби
r2
1/4 ---a
% Формула (3.2)
>> Tm=simplify(subs(T,' t ', tm)) %Подстановка значения tm в формулу
температурного поля
Tm =2*qp/pi/lam/r^2*a*exp(-1) % Значение максимальной температуры
>> pretty(Tm) %Представление максимальной температуры в виде
рациональной дроби
118
qp a exp(-1)
2 -----------pi lam r2
% Формула (3.3)
Приложение 3
Сварочный термический цикл вызывает целый ряд физических процессов в свариваемом изделии. Это плавление и кристаллизация материала, возникновение внутренних механических напряжений и деформаций,
структурные превращения и другие явления.
Одним из наиболее существенных процессов является изменение
структуры основного материала в сварочных технологиях. Рассмотрим
структурные превращения при сварке углеродистой стали с применением
теории теплопроводности.
Структурные превращения в сталях связаны с фазовым переходом
Fe α ↔ Feγ и химической реакцией образования и распада цементита
Fe3C. Диаграмма состояния «железо–углерод (цементит)» представлена на
рис. П 3.1. В курсе «Материаловедение» эта диаграмма изучается достаточно подробно, и здесь приводится без объяснений как напоминание о ее
конкретном виде.
Рис. П 3.1. Диаграмма состояния «железо–углерод»
119
Большинство конструкционных сталей являются низкоуглеродистыми
и низколегированными феррито-перлитного класса. Выделим на диаграмме «железо–углерод» эту область концентрации углерода. При этом упростим высокотемпературную зону, убрав фазовый переход γ ↔ δ
(рис. П 3.2 ). Определим на диаграмме сталь конкретного состава C, проведя соответствующую вертикальную прямую.
Рис. П 3.2. Зона термического влияния сварного соединения
120
На этой прямой отмечены характерные температуры (сверху вниз)
при нагреве: температура плавления Tпл=1500 °С*, температура границы
нормализации 1100°С, температура окончания перекристаллизации Ac3,
температура начала фазового превращения Ac1 и температурная граница
рекристаллизации (600°С). Совместим кривую максимальных температур
Tm(y) с диаграммой «железо–углерод» и схемой свариваемого стального
листа (рис. П 3.2). Чем дальше исследуемая точка (координата y) находится от оси нагрева (y=0), тем ниже ее максимальная температура. Точки,
максимальная температура которых превышает температуру плавления
данной стали Tпл (1500 °С), находятся в области сварочного шва. Диапазон
максимальной температуры 1500–1100°С соответствует координатам точек основного металла, в которых за счет перегрева происходит интенсивный рост зерна аустенита (участок перегрева). Если максимальная температура точек выше Ac3 (температура окончания превращения феррит – аустенит, зависящая от марки стали) и ниже 1100°С, то они находятся на
участке нормализации, где происходит измельчение зерна исходного основного материала. Диапазон координат y, для которых максимальная температура больше Ac3 и ниже Tпл, является зоной полной перекристаллизации
(участок перегрева + участок нормализации). Участок, соответствующий
максимальным температурам Ac1 – Ac3, представляет собой точки, в которых
при нагреве произошло частичное превращение феррит – аустенит, и называется участком не полной перекристаллизации. Максимальный нагрев ниже температуры Ac1 не изменяет исходный фазовый состав стали, однако
при температуре выше 600°С (температура рекристаллизации) приводит к
исчезновению наследственной прокатной структуры основного материала и
сферитизации формы зерна (участок рекристаллизации).
Зона основного металла, заключенная в пределах координат y, соответствующих максимальным температурам плавления и рекристаллизации, называется зоной термического влияния (ЗТВ).
Сварочный шов вместе с зоной термического влияния называется
сварным соединением.
Приведенная выше диаграмма (рис. П 3.1) построена в условиях изотермического температурного цикла, т.е. когда температура изменяется
очень медленно ( dT / dt → 0 ). Сварочный термический цикл характеризуется нестационарностью теплопроводности при скоростях изменения температуры до тысяч К/с при нагреве и десятков К/с при охлаждении. Полиморфные превращения в металлах и сплавах есть процесс диффузионный,
при конечных скоростях изменения температуры он приводит к переохлаждению и смещению точек диаграммы «железо–углерод» Ar3, Ar1 «вниз»
по шкале температур. Чем больше скорость охлаждения, тем значительнее
степень переохлаждения ( Ac − Ar ) / Ac . Поэтому конечная структура зоны
121
термического влияния (ЗТВ) зависит от скорости охлаждения точек,
имеющих разные координаты y. Это явление отражено в диаграмме анизотермического распада аустенита (термокинетическая диаграммой), представленной на рис. П 3.3. Соподставление термокинетической диаграммы
и ветвей охлаждения точек ЗТВ, построенных в лагорифмической по времени шкале (см. П 1.4), позволяет определить конечную структуру зоны
термического влияния.
Выше приведена схема оценки структуры ЗТВ в рамках дисциплины
«Тепловые процессы при сварке». Инженерный анализ структуры ЗТВ и
принятие конкретного технологического решения требует уверенного владения навыками качественного и количественного расчета фазового и
структурного состояния сварного соединения при сварке.
Рис. П 3.3. К определению структурных составляющих зоны термического влияния
при сварке
122
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ануфриев И.Е. Самоучитель MatLab 5.3/6.x. – СПб.: БХВ-Петербург,
2002. – 736 с.
2. Градштейн И.С., Рыжик И.М.Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Наука, 1971. – 1108 с.
3. Дьяконов В.П. MATLAB 6.0/6.5/6.5+SPI Simulink 4/5: Обработка сигналов и изображений. – М.: СОЛОН-Пресс, 2005. – 592 с.
4. Кархин В.А. Тепловые процессы при сварке: учебное пособие. – Л.: Ленингр. гос. техн. ун-т, 1990. – 100 с.
5. Лыков А.В. Теория теплопроводности. – М.: Высшая школа, 1964. –
599 с.
6. Махненко В.И. Расчетные методы исследования кинетики сварочных
напряжений и деформаций. – Киев: Наук. думка,1976. – 320 с.
7. Недосека А.Я. Основы расчета сварных конструкций. – Киев: Выща
школа, 1988. – 263 с.
8. Прохоров Н.Н. Физические процессы в металлах при сварке. Т. 1: Элементы физики металлов в процессе кристаллизации. – М.: Металлургия, 1968. – 659 с.
9. Рыкалин Н.Н. Расчеты тепловых процессов при сварке. – М.: Машгиз,
1951. – 296 с.
10. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир,
1979. – 392 с.
11. Теория сварочных процессов / В.В Фролов [и др.]; под ред. В.В. Фролова. – М.: Высшая школа, 1988. – 559 с.
123
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение...............................................................................................................3
1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПЕРЕДАЧИ ТЕПЛОТЫ ПРИ СВАРКЕ ..........4
1.1. Понятия и определения...........................................................................4
1.2. Теплообмен в сварочных процессах ......................................................7
1.3. Дифференциальное уравнение теплопроводности.............................10
1.4. Краевые условия ....................................................................................16
2. РАСЧЕТ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ СВАРКЕ .......................... 21
2.1. Методы расчета теплопроводности при сварке............................ 21
2.2. Тепловые схемы и классификация источников нагрева .................. 22
2.3. Метод источников при решении задач теплопроводности.............. 28
2.4. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности ................30
2.5. Расчет температурного поля движущихся источников нагрева........44
2.6. Расчет температурного поля мощных быстродвижущихся
источников нагрева ...............................................................................61
2.7. Расчет температурного поля непосредственным интегрированием .66
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СВАРОЧНОГО НАГРЕВА .................74
3.1. Влияние режима сварки и теплофизических свойств металла
на температурное поле при сварке.......................................................74
3.2. Параметры термического цикла сварки ..............................................79
3.3. Расчет температурного поля распределенных сварочных источников нагрева .............................................................................................96
Заключение ......................................................................................................104
Приложения .....................................................................................................105
Приложение 1 .............................................................................................105
Приложение 2 .............................................................................................117
Приложение 3 .............................................................................................119
Библиографический список............................................................................123
124
Учебное издание
ТЕПЛОВЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ СВАРКЕ
Учебное пособие
Негода Евгений Николаевич
Редактор Л.А. Русова
Электронная верстка И.В. Кунщиковой
Подписано в печать 21.07.2008 г. Формат 60×84/16. Гарнитура «Таймс».
Усл. печ. л. 7,26. Уч.-изд. л. 6,3. Тираж 100 экз. Заказ 2777.
Издательство ДВГТУ. 690950, г. Владивосток, ул. Пушкинская, 10
Отпечатано в КГУП «Типография № 1». 690017, г. Владивосток, ул. Коммунаров, 21