Практические задания З 1.

к.э.н., доцент Литвинский К.О.
Экономика: Рабочая программа курса. Решение задач. Ответы к тестам.
Практические задания
ЗАДАЧА 1.
Решение
1. Найдем функцию спроса. Угловой коэффициент линии спроса равен
(9–2)/(1–15) = –0,5.
2. По условию задачи линия спроса проходит через точку (2; 15),
поэтому Q – 9 = –0,5 (Р – 0,5), или Q = 9,5 – 0,5 Р.
3. При максимальной цене спрос равен нулю, отсюда PDmax = 19.
ЗАДАЧА 2.
Решение
1. Максимальная цена спроса для первого потребителя равна PDmax = 5,
для второго – PDmax = 8, следовательно, при любой цене меньше 5 суммарный
спрос равен Q = q1+q2, или Q = –3P+18.
2. При любой цене больше 5 суммарный спрос равен спросу только второго
потребителя.
3. Суммарный спрос при цене 5 равен –3P(5)+18 = 3. Следовательно,
линия суммарного спроса есть ломаная АВС, где А (8; 0), В (5; 3) и С (0;
18). Математически функция суммарного спроса задана следующей
системой уравнений:
мпп Q = ‐ 3 p + 18;
н
ппо Q = ‐ p + 8
p = [0;5)
p = [5;8)
ЗАДАЧА 3.
Решение
1. Линия предложения первого рабочего проходит через точки (0; 10) и
(60; 70), отсюда QS1 = Р+10.
2. Линия предложения второго рабочего проходит через точки (4; 0) и
(60; 70), отсюда Q2 = 1,25Р – 5.
3. При Р = 50 находим значения функций: Q1 = 60, Q2 = 57,5.
ЗАДАЧА 4.
Решение
Исходя из данной функции спроса, можно утверждать, что ее угол
наклона равен (–0,2). Таким образом, можно представить расчет
коэффициента эластичности в следующем виде: eD = 0,2P/Q. Используя
формулу (1.10), подставив необходимые числа, находим цену
P
e D = 1 = 0, 2
. Ю P = 65 . Найдем значение функции спроса при
26 ‐ 0, 2 P
P = 65; QD=f(65) = 13.
ЗАДАЧА 5.
Решение
1. Спрос при данной цене равен Q(2,5) = 13,75.
2. Производная функции спроса равна Q' = Р–10Р, отсюда Q'(2,5) = –5.
к.э.н., доцент Литвинский К.О.
Экономика: Рабочая программа курса. Решение задач. Ответы к тестам.
D
3. e =
dQ / Q dQ P
P
2, 5
=
= Q '( P )
Ю ‐ 5
= ‐ 0, (90) » 0, 9
dP / P
dP Q
Q
13, 75
ЗАДАЧА 6.
Решение
Принадлежность товара к различным категориям можно определить
исходя из величины коэффициента эластичности спроса по доходу.
Определим величину дуговой эластичности спроса по доходу:
eI =
(8 ‐ 5) (8 + 5)
15
=
» 1,15 .
(30 ‐ 20) (30 + 20) 13
Коэффициент
eI=1,15
больше
единицы,
следовательно, товар принадлежит к предметам роскоши.
ЗАДАЧА 7.
Решение
1. Находим равновесную цену из условия QD = QS, 3,5–0,1Р = = 0,2Р–0,4
= > Р* = 13.
2. Выведем обратную функцию предложения в виде РS(Q) = = 5Q+2.
3. Новая функция предложения (S') после введения субсидии в размере 1
р. запишется как РS = 5Q+1, или QS = 0,2Р–0,2.
4. Равновесная цена товара после введения субсидии определяется из
условия 0,2Р–0,2 = 3,5–0,1Р = > Р*' = 12,33.
5. Следовательно, товар подешевеет на 0,67 р.
ЗАДАЧА 8.
Решение
При прямолинейных функциях спроса и предложения общий вид
функций: QD = a–bP; dQ/dP = –b, QS = m+nP dQS/dP = n.
Так
как
eD 
dQ D / Q D dQ D P

dP / P
dP Q D
eS 
dQ S / Q S dQ S P

,
dP / P
dP Q S
то
при
равновесии –0,05 = –b· 4/18 b = 0,225, 0,1 = n · 4/18 n = 0,45. Тогда
a = 18+0,225 · 4 = 18,9, m = 18–0,45 · 4 = 16,2.
Значит, на рассматриваемых участках кривых спроса и предложения они
представлены формулами: QD = 18,9–0,225P  QS = 16,2+0,45P.
После указанных в условии задачи изменений равновесие наступит при
1,1(18,9–0,225P) = 1,05(16,2+0,45P) P = 5,25 Q = 19,5.
ЗАДАЧА 9.
Решение
1. В точке рыночного равновесия выполняется следующее равенство:
D
Q = QS. Следовательно, (–Р+10) = (1,25Р–1,25). = > P* = 5,
QD(5) = –
5+10 = 5, QS(5) = 1,25 · 5 – 1,25 = 5 = > Q* = 5.
2. QD(2) = –2+10 = 8; QS(2) = 1,25 · 2 – 1,25 = 1,25. Объем дефицита
(неудовлетворенного спроса) находим по формуле QD–QS, что составит 8–
1,25 = 6,75 ед.
к.э.н., доцент Литвинский К.О.
Экономика: Рабочая программа курса. Решение задач. Ответы к тестам.
3. Так как налог уплачивает продавец, то цена для него составит PS = PD–
2,25. Отсюда, –РD+10 = 1,25(PD–2,25)–1,25. Следовательно, РD = 6,25; PS = PD–
2,25 = 6,25 – 2,25 = 4; Q* = 3,75.
4. Для ответа на этот вопрос воспользуемся графиком.
P
A
PD
S1
Е'
S0
Е
P*
PS
t
С
D
B'
B
0
3,75
Q*
Q
4.1. До введения налога излишек продавца есть площадь треугольника
ВР*E, а излишек покупателя – это площадь треугольника АР*E. Оба
треугольника прямоугольные. Следовательно, излишек продавца равен (5–
1) · 5/2 = 10; покупателя – (10–5) · 5/2 = 12,5.
4.2. После введения налога в размере 2,25 р. излишек продавца
сократился и стал равняться площади треугольника BРSC, а излишек
покупателя – это площадь треугольника APDE'.
Таким образом, излишек продавца равен (4–1) · 3,75/2 = 5,625; а излишек
покупателя – (10–6,25) · 3,75/2 = 7,03125.
4.3. Величина
налогового
сбора
определяется
площадью
S
D
прямоугольника Р CE'Р и составляет (6,25–4) · 3,75 = 8,4375.
Чистые потери от введения налога определяются площадью
треугольника E'EC и составляют (6,25–4)/2 · (5–3,75) = 1,40625.
ЗАДАЧА 10.
Решение
Предположим, что с каждой единицы товара взимается t р. налога.
Таким образом, равновесие на данном рынке достигается при равенстве
QD = QS, или 10–РD = 1,25 (РD–t) – 1,25. Следовательно, РD = 5t/9+5 
QD = 5–5t/9.
Очевидно, что величина собранных налогов исчисляется по следующей
формуле: Т = t*QD или T = (5–5t/9) · t = 5t–5t2/9. Как известно, функция
достигает максимума, только в тот момент, когда ее производная равна нулю.
Следовательно, Т' = 5–10t/9 = 0 = > t = 4,5.
При установлении налога в размере 4,5 р. на рынке установится
рыночное равновесие на уровне Р* = 7,5; Q* = 2,5; ТMAX = 11,25.
к.э.н., доцент Литвинский К.О.
Экономика: Рабочая программа курса. Решение задач. Ответы к тестам.
Тесты
Ключи к тестам
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
г
в
г
б
в
а
а
б
б
б
б
в
г
б
в
г
а
б
г
б
к.э.н., доцент Литвинский К.О.
Экономика: Рабочая программа курса. Решение задач. Ответы к тестам.
Практические задания
ЗАДАЧА 1.
Решение
Известно, что потребитель достигает максимума общей полезности в
том случае, когда предельная полезность равна нулю (MUХ = 0). Предельная
полезность есть производная функции общей полезности, следовательно,
MUХ = 6–2Х. В том случае, когда производная функции равна нулю, сама
функция достигает своего максимума, следовательно, 6 – 2Х = 0 => X = 3.
Рассчитаем значение функции полезности при потреблении 3 ед. блага:
U(3)=6*3–32=9. Итак, потребление трех единиц блага принесет потребителю
максимум полезности в количестве 9 ютилей.
ЗАДАЧА 2.
Решение
Первый вариант решения. Исходя из функции полезности, определяем
полезность набора (4;3), которая равна 12, таким образом, искомая кривая
безразличия, которая проходит через точку (4;3), задается следующей
формулой: XY = 12 , или Y = 12/Х. Далее находим производную данной
функции, которая равна: Y' = –12/Х2, следовательно, MRSXY = 12/42 = 0,75.
Второй вариант решения. Исходя из представленной в условии задачи
функции полезности, определяем ее частные производные: MUX = Y,
MUY = X. следовательно, MRSXY = Y/X = MUX / / MUY = 3/4 = 0,75.
ЗАДАЧА 3.
Решение
1. Определим величину предельной нормы замещения блага X в точке
касания линии бюджетного ограничения и кривой безразличия. Исходя из
того, что MUX = Y, MUY = X, и принимая во внимание, что в точке касания
выполняется равенство Y/X = = PX/PY, величину предельной нормы
замещения можно представить в виде MRSXY = PX/PY = 9/18 = 0,5.
2. Составим уравнение бюджетного ограничения: 9Х + 18Y = = 108.
3. Составим систему из двух выведенных ранее уравнений:
ппм Y
п X = 0, 5
н
пп
оп 9 X + 1 8 Y = 1 0 8
Решением данной системы является равновесный набор благ: Х = 6;
Y = 3. Исходя из данного набора благ, можно определить максимальное
значение полезности, которое равно U = XY=6 · 3 = = 18.
ЗАДАЧА 4.
Решение
Зная две точки, через которые проходит линия бюджетного
ограничения, мы можем вывести ее функцию, которая имеет вид: Y = 45–
0,6X. Далее определим точки пересечения данной функции с осями
координат: Ymax = 45; Хmax = 75. Исходя из этого, можно определить цены на
к.э.н., доцент Литвинский К.О.
Экономика: Рабочая программа курса. Решение задач. Ответы к тестам.
блага Х и Y: РХ = 990/75 = 13,2; PY = 990/45 = 22. Потребитель достигает
максимума полезности при заданном бюджете при выполнении следующего
равенства: Y/X = PX/PY или Y/X = 13,2/22 = 0,6.
Найдем набор благ, который обеспечит максимум полезности: Y/X = 0,6
=> Y = 0,6X. Подставим найденное равенство в бюджетное ограничение и
получим: 990 = 13,2 Х + 22 · 0,6Х => X = 37,5; Y = 22,5. Так как полезность от
потребления двух данных в условии наборов благ равна 750 ед., а полезность
найденного набора составляет 843,75 ед., то при заданном бюджете
потребитель получает максимум полезности от потребления набора благ
X = 37,5; Y = 22,5.
ЗАДАЧА 5.
Решение
Очевидно, общие отчисления в бюджет равны произведению ставки
налога на количество данного блага. После введения налога цена блага Х
увеличивается до уровня 5 руб. (4 руб. + 25%), из которых отчисления в
бюджет составляют 1 руб. с каждой единицы блага Х.
Далее определим оптимальный объем потребления блага Х на основе
условия максимизации общей полезности при заданном бюджете и ценах:
MRSXY = PX/PY. Цену расходов на композитное благо считаем равной единице,
таким образом, увеличивая потребление блага Х на 1 ед., потребитель
уменьшает расходы на композитное благо на 5 р. Исходя из данных условий,
составляем систему уравнений:
MRS 
MU X Y PX
 
5;
MU Y X PY
I = РХХ + PYY = 5X+1Y = 600.
Решив данную систему, находим X = 60 ед. – оптимальный объем
потребления блага Х; Y = 300 р. – оптимальный объем расходов на
композитное благо. Исходя из этого, находим уровень полезности от
потребления данного набора благ, который равен TU  1800 . Следовательно,
отчисления в бюджет государства равняются 60 ед. · 1 р. = 60 р.
ЗАДАЧА 6.
Решение
Потребитель достигает максимума полезности при выполнении
следующего равенства: PX/PY = Y/X. Основываясь на данном равенстве,
составляем систему уравнений
 280  20 X  14 Y

 20
Y
,

 14
X
решив которую, получаем: X = 7; Y = 10 – оптимальный набор, который
обеспечивает максимум полезности. UMAX = 2 · 7 + 3 · 10 = 44.
к.э.н., доцент Литвинский К.О.
Экономика: Рабочая программа курса. Решение задач. Ответы к тестам.
ЗАДАЧА 7.
Решение
Как известно, компенсирующее изменение дохода – это сумма денег,
которой необходимо компенсировать изменение (в данном примере –
повышение) цены блага Х, т.е. сумма, которую надо дать потребителю после
увеличения РХ с целью сохранения первоначального уровня полезности.
Для расчета этой суммы необходимо определить точку касания
первоначальной кривой безразличия (U1 = 2187) с прямой, параллельной
новой бюджетной линии (угол наклона линии бюджетного ограничения равен
Р'Х/PY). Таким образом, необходимо найти точку, в которой выполнялось бы
равенство MRSХY = 3. Y 
2187
2187
 Y '   2  3  X  27 . Тогда,
X
X
Y = 2187/27 = 81. Для приобретения данного набора благ потребителю
необходимо I = 9 · 27 + 3 · 81 = 486 р. Следовательно, компенсирующее
изменение дохода составляет 486–360 = 126 р.
Эквивалентное изменение дохода – это максимальная сумма денег,
которую готов заплатить потребитель за предотвращение увеличения цены
блага Х.
При ценах, равных РХ = 6, PY = 3, и бюджете – I = 360 р. потребитель
покупает некий набор благ, соответствующий точке касания кривой
безразличия U1 и линии бюджетного ограничения BC (точка А1). После
увеличения РХ до 9 р. (PY = 3) оптимальный набор благ соответствует точке
касания кривой безразличия U2 и линии бюджетного ограничения BD (точка
А2). Набор благ (А2) имеет меньшую полезность, нежели набор (А1) (U2<U1).
QY
В
В'
U1
U2
А2
А1
U1
U2
0
D
С'
С
QX
Для определения эквивалентного изменения дохода необходимо
провести отрезок B'C', параллельный первоначальной линии бюджетного
ограничения ВС.
Для расчета величины эквивалентного изменения дохода необходимо
найти точку оптимума после изменения цены блага Х до 9 руб. Для расчета
точки оптимума составляем систему уравнений, которая имеет следующий вид:
к.э.н., доцент Литвинский К.О.
Экономика: Рабочая программа курса. Решение задач. Ответы к тестам.
ппнм X Y = 3
. Исходя из этого, рассчитываем оптимальный набор благ для
ппо 360 = 9 X + 3Y
потребителя: Х’ = 20, Y’ = 60. Следовательно, после увеличения РХ потребитель
оказался на кривой безразличия: Y = 1200/X. Далее определяем точку касания
данной кривой безразличия с прямой, параллельной линии бюджетного
ограничения ВС:
Y=
1200
X
Y '= ‐
1200
= ‐ 2 Ю X » 24,5; Y » 50 .
X2
Для приобретения данного набора благ потребителю необходимо
I = 6 · 24,5+3 · 50 = 147+150 = 297 р. Следовательно, эквивалентное изменение
дохода составляет 360–297 = 63.
ЗАДАЧА 8.
Решение
Принимая во внимание, что цена композитного блага равна 1, можно
найти равновесие потребителя до и после снижения цены, основываясь на
следующей системе уравнений:
 I  PX 1 X 1  PY 1Y1

;
 PX 1 Y1

P
 Y1 X 1
подставив необходимые данные, получаем:
100  25 X 1  1Y1

 25 Y1
 Х1 = 2; Y1 = 50, U = 100.
1  X
1

Аналогично составляем систему уравнений для ситуации после снижения цены:
м100 = 10 X 1 + 1Y1
п
п
п
Y
н10
 Х2 = 5; Y2 = 50, U = 250.
п
= 1
п
X1
п
п
о1
Таким образом, по Слуцкому,
компенсирующее изменение дохода:
I'–I = (РХ2 X1 + РY Y) – 100=70 – 100 = –30
эквивалентное изменение дохода:
I'–I = (РХ1 X2 + РY Y) – 100=175 – 100 = 75
Для определения минимального уровня расходов потребителя, который
обеспечит ему 100 ед. полезности, при PX = 10, составляем систему
уравнений:
м100 = X 3Y3
п
п
п
н Y3
 X 3  10 ; Y3  10 10 , U = 100.
п
10
=
п
п
п
оX 3
Таким образом, по Хиксу, компенсирующее изменение дохода:
I'–I = (РХ2 X3 + РY Y3) – 100 ≈ 63,25 – 100 ≈ –36,75.
к.э.н., доцент Литвинский К.О.
Экономика: Рабочая программа курса. Решение задач. Ответы к тестам.
Аналогично, для определения, набора благ, который обеспечивает
минимальный уровень расходов потребителя, при PX = 25 и полезности
U2 = 250, составляем систему уравнений:
м
250 = X 4Y4
п
п
п
н Y4
X = 10 ; Y4 = 25 10 , U = 250.
п
= 25  4
п
п
п
оX 4
Из этого следует, что эквивалентное изменение дохода по Хиксу
составляет:
I'–I = (РХ1 X4 + РY Y4) – 100 ≈ 158,11 – 100 = 58,11
ЗАДАЧА 9.
Решение
Сначала рассчитаем, какую величину полезности получает потребитель
при исходных ценах, т.е. найдем равновесный набор благ при PX = 50 р.,
PY = 40 р. Для этого составим систему уравнений
 2100  50 X  40 Y
 50
,
 40  Y X
решив которую, получим: Х = 21, Y = 26,25, следовательно, U = 551,25.
Аналогично определяем равновесный набор благ при PX = 30 р., PY = 40
р., он равен: Х = 35, Y = 26,25, U = 918,75.
Следовательно, при исходных ценах, значение полезности для данного
потребителя составляет U1 = 551,25, после уменьшения цены – U2 = 918,75,
т.е.
его
благосостояние
возросло
на
U2 –
– U1 = 918,75–551,25 = 367,5 ед.
ЗАДАЧА 10.
Решение
Для определения эффекта замены и дохода необходимо определить
точку касания исходной кривой безразличия (U1) и новой линии бюджетного
ограничения (I2). В предыдущей задаче определено, что уравнение кривой
безразличия U1 имеет следующий вид: Y = 551,25/Х. Исходя из этого, можно
определить точку касания U1 и I2 из следующего равенства:

551,25
30


. Решив равенство, получаем, что Х = 27,11; Y = 20,33.
40
X2
Эффект замены состоит в увеличении потребления Х на величину
27,11–21 = 6,11; и в сокращении потребления блага Y на величину 20,33–
26,25 = –5,92.
Эффект дохода состоит в увеличении потребления блага Х на величину
35–27,11 = 7,89 и в увеличении потребления блага Y на величину 26,25–
20,33 = 5,92.
Общий эффект равен сумме эффекта замены и эффекта дохода: для
блага Х составляет 6,11+7,89 = 14; для блага Y составляет –5,91+5,91 = 0.
к.э.н., доцент Литвинский К.О.
Экономика: Рабочая программа курса. Решение задач. Ответы к тестам.
Исходя из того, что для блага Y эффект замены равен эффекту дохода, объем
спроса на него остался неизменным.
Тесты
Ключи к тестам
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
б
в
г
в
в
г
б
б
б
г
а
б
г
в
б
б
а
г
в
в