колебательные системы с малой диссипацией

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. М.В. ЛОМОНОСОВА
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
В.П. Митрофанов
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
С МАЛОЙ ДИССИПАЦИЕЙ
(ОТ МАКРО- ДО НАНООСЦИЛЛЯТОРОВ)
Москва
2010
В. П. Митрофанов. Колебательные системы с малой диссипацией
(от макро- до наносцилляторов): Учебное пособие. – М.: Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, 2010. – 74 с.
Учебное пособие предназначено для изучения материала одноименного специального курса, читаемого автором на кафедре физики колебаний. Спецкурс посвящен механическим, электромагнитным и оптическим
колебательным системам. Анализируются физические механизмы диссипации энергии в них, как общие для макро- и наносистем, так и специфические, связанные с малыми размерами последних. Рассмотрены вопросы
технологии изготовления высокодобротных систем, их роль и применение
в экспериментальной физике и технике.
Подписано к печати
Формат А5. Объем 5 п.л. Тираж 50 экз. Заказ №
Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова
119991, ГСП-2, Москва, Ленинские горы
Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ
© Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, 2010 г.
© Митрофанов В.П., 2010 г.
2
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Введение …………………………………………………………………… 5
Лекция 1. Высокодобротные механические, электромагнитные и
оптические колебательные системы. Их роль в фундаментальных и
прикладных исследованиях. Наноскопические колебательные системы. Колебательные системы с линейным и нелинейным диссипативным членом. Экспериментальные методы определения добротности
колебательной системы ………………………………………………….
6
Лекция 2. Наноэлектромеханические системы (НЭМС) на основе
полупроводниковых структур, углеродных нанотрубок и графена. Базовая конструкция наномеханического осциллятора. Технология изготовления наномеханических осцилляторов. Структура НЭМС. Резонансные частоты типовых конфигураций НЭМС. Управление резонансной частотой. Границы применимости континуального приближения при расчете резонансных частот НЭМС …………............... 10
Лекция 3. Механизмы потерь энергии в НЭМС. Общее уравнение,
связывающее напряжение и деформацию для неупругой среды. Модель стандартного неупругого тела. Термоупругая релаксация как
источник неупругости. Вычисление потерь при гармоническом воздействии на неупругое тело. Уравнения Дебая. Угол механических
потерь ……………………………………………………………………... 15
Лекция 4. Комплексный модуль Юнга. Связь между добротностью
осциллятора и тангенсом угла механических потерь материала. Термоупругие потери при изгибных колебаниях стержней. Термоупругие
потери в наномеханических осцилляторах ……………………………... 18
Лекция 5. Диссипация упругой энергии, обусловленная механизмом
фонон-фононных взаимодействий. Затухание Ахиезера. Затухание
Ландау-Румера. Нелинейность как причина фундаментальных процессов диссипации энергии упругих колебаний. Затухание упругих колебаний, обусловленное фонон-электронными взаимодействиями в
проводящих материалах ……………………………………………........ 22
Лекция 6. Точечные дефекты в кристаллах и связанные с ними релаксационные процессы. Уравнение Аррениуса для времени релаксации процесса, связанного с движением атомов в кристаллической
решетке. Зависимость потерь упругой энергии от температуры. ….. 26
Лекция 7. Диссипация, обусловленная движением дислокаций в
твердом теле. Дислокационная релаксация. Амплитудно-независимое
и амплитудно-зависимое внутренне трение, обусловленное дислокационным движением. Барьер Пайерлса и его влияние на уровень диссипации энергии упругих колебаний ……………………………………..
Лекция 8. Потери в креплении наноэлектромеханических систем.
Потери из-за взаимодействия с молекулами газа, окружающего ос-
31
3
циллятор. Поверхностные потери как преобладающие в наномеханических осцилляторах. Диссипативные механизмы, связанные с дефектами поверхности, адсорбированными молекулами и специально
нанесенными слоями. Методы уменьшения поверхностных потерь. ....
36
Лекция 9. Сенсоры и актюаторы для возбуждения механических
колебаний НЭМС и их преобразования в электрические сигналы. Обратное динамическое и флуктуационное влияние сенсоров и вносимая
ими диссипация. Подавление теплового шума НЭМС посредством
нетеплового охлаждения. Квантовое поведение НЭМС. Области
применения НЭМС .…………......................................................................
Лекция 10. Диссипация энергии электромагнитных колебаний в
различных резонансных системах. Колебательный контур. Расчет
потерь в катушке индуктивности и конденсаторе колебательного
контура. Собственная и нагруженная добротность. Радиационные
потери ………………………………………………………………………
Лекция 11. Металлические объемные резонаторы. Расчет потерь в стенках резонаторов. Поверхностное сопротивление. Сверхпроводящие резонаторы …………………………………………………
Лекция 12. Диэлектрические резонаторы. Диэлектрические резонаторы с модами типа шепчущей галереи. Механизмы потерь в диэлектрических резонаторах. Температурная зависимость потерь в
кольцевых диэлектрических резонаторах ……………………………….
Лекция 13. Открытые оптические резонаторы, их характеристики. Добротность и резкость оптического резонатора. Дифракционные потери. Оптические микрорезонаторы с модами шепчущей
галереи. Механизмы потерь в оптических микрорезонаторах ………..
Лекция 14. Оптический нанорезонатор (λ = 1,5μm) на основе двумерного фотонного кристалла из кремния как базовый элемент для
анализа диссипации в оптических нанорезонаторах. Технология изготовления. Механизмы потерь в оптических нанорезонаторах. Области применения оптических микро- и нанорезонаторов ……………
ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………...
4
42
49
52
56
60
66
71
ВВЕДЕНИЕ
Высокодобротные колебательные системы широко применяются в
научных исследованиях и в технике. Механические, электромагнитные,
оптические резонансные элементы перекрывают диапазон частот от малых
долей Герца до глубокого ультрафиолета. Увеличение добротности колебательных элементов позволяет значительно улучшить свойства тех систем, в которых они используются. Развитие нанотехнологии, ее использование в фундаментальных и прикладных научных исследованиях, в технике поставили задачу создать в различных частотных диапазонах высокодобротные колебательные системы с нанометровыми размерами. В решении этой задачи уже достигнуты определенные успехи, но предстоит сделать еще больше. В большинстве случаев, одни и те же физические механизмы потерь действуют в колебательных макро- и наносистемах, хотя они
могут иметь специфическое проявление в последних. Наносистемы, в которых сочетаются малая диссипация и малый физический объем, позволяют создавать объекты, обладающие уникальными свойствами.
Учебное пособие предназначено для изучения материала одноименного спецкурса, читаемого автором на кафедре физики колебаний физического факультета МГУ. Спецкурс посвящен изучению механических, электромагнитных и оптических колебательных систем, физических механизмов диссипации энергии в них. Автор старался придерживаться единого
подхода к исследованию диссипативных процессов в различных колебательных системах. Рассматриваются как процессы, имеющие фундаментальный характер, устанавливающие принципиальные ограничения на
добротность колебательных систем, так и имеющие технический характер,
связанные, как правило, с несовершенством технологии изготовления и
обработки элементов колебательных систем.
Материал разбит на отдельные лекции. В конце каждой лекции приведены контрольные вопросы и задачи. В списке литературы приводятся
учебники и монографии, ставшие классическими в освещении тех или
иных вопросов, однако во многих случаях детальный анализ проблем
можно найти только в научных статьях, особенно это относится к материалам о наноосцилляторах.
Автор благодарен Т.В. Михиной за помощь при подготовке пособия
к печати.
5
Лекция 1
Высокодобротные механические, электромагнитные и оптические
колебательные системы. Их роль в фундаментальных и прикладных исследованиях. Наноскопические колебательные системы. Колебательные системы с линейным и нелинейным диссипативным
членом. Экспериментальные методы определения добротности
колебательной системы.
Добротность Q (или фактор качества) является важнейшим параметром колебательных систем. Добротность можно определить через отношение энергии, запасенной в колебательной системе W, к энергии, теряемой
за период колебаний ∆WT [1]. Потери энергии или диссипация (в переводе
с латинского – рассеяние или переход энергии упорядоченных процессов в
энергию неупорядоченных процессов, в конечном счете, в теплоту) обычно связаны с необратимыми процессами внутреннего трения (вязкости),
теплопроводности, диффузии. Если диссипация происходит в замкнутой
системе, то энтропия последней возрастает.
Увеличение добротности колебательных элементов позволяет значительно улучшить свойства тех систем, в которых они используются. Вопервых, снижается поглощение энергии в элементах. Кроме того, увеличение добротности дает возможность уменьшить полосу пропускания частотных фильтров, понизить порог генерации и увеличить стабильность
частоты автогенераторов, увеличить чувствительность резонансных сенсоров, использующихся для измерения различных величин. Согласно
флуктуационно-диссипационной теореме в высокодобротных системах
уменьшается тепловой шум. Нелинейные и параметрические эффекты проявляются тем в большей степени, чем добротнее колебательная система. В
настоящее время проводятся интенсивные исследования по обнаружению
и изучению квантовых эффектов в макроскопических механических осцилляторах. Высокая добротность является одним из ключевых факторов в
таких экспериментах.
Резонансные колебательные системы перекрывают диапазон частот
от малых долей герц до тысяч террагерц, причем в каждом частотном поддиапазоне существуют определенные типы колебательных систем (механических, электромагнитных, оптических), позволяющие достигнуть максимальной добротности. Например, в миллигерцовом диапазоне наиболь6
шей добротностью обладают крутильные маятники, а в оптическом диапазоне – открытые оптические резонаторы. В результате проведенных многочисленных исследований были разработаны колебательные системы
(маятники, механические, электромагнитные и оптические резонаторы),
добротность которых достигает 108 – 1014 и ограничивается во многих случаях фундаментальными, принципиально неустранимыми механизмами
потерь энергии [2] (см. табл. 1.1). Как правило, чем больше размер колебательной системы, тем легче получить для нее высокую добротность. Развитие нанотехнологии, ее использование в фундаментальных и прикладных научных исследованиях, в технике поставили задачу создать в различных частотных диапазонах высокодобротные колебательные системы с
нанометровыми размерами. В решении этой задачи уже достигнуты определенные успехи, но предстоит сделать еще больше. В большинстве случаев, одни и те же физические механизмы потерь действуют в колебательных макро- и наносистемах, хотя они могут иметь специфическое проявление в последних. Все они рассматриваются в настоящем курсе.
Таблица 1.1
Максимальная добротность различных типов колебательных систем
Частота (Гц)
Тип колебательной системы
Добротность
10-3 – 3
Маятники
2×108
10 – 108
распределенные механические системы
5×108 – 5×109
109 – 3×1010
сверхпроводящие СВЧ резонаторы,
кольцевые диэлектрические резонаторы
1011
1014 – 1015
оптические с резонаторы с модами шепчущей галереи
открытые оптические резонаторы
1011
5×1014
Линейное и нелинейное трение в колебательных системах. Разнообразие диссипативных процессов определяет различный вид члена, описывающего диссипацию (обобщенную силу трения) в уравнении колебаний.
В курсе теории колебаний обычно рассматривается уравнение колебаний
для осциллятора с линейным вязким трением, когда обобщенная сила трения зависит линейно от обобщенной скорости (производная по времени от
обобщенной координаты q) и коэффициент трения h = const:
mq&& + hq& + kq = 0 .
(1.1)
7
Для механических осцилляторов такой случай реализуется крайне
редко, например, при движении тела в разреженном газе с малой скоростью. Более общая линейная зависимость силы трения от скорости должна
учитывать запаздывание (см., например, [3]):
mq&& +
t
∫ h(t − t ′)q& (t ′)dt ′ + kq = 0 .
(1.2)
−∞
Она приводит к зависимости коэффициента трения h от частоты колебаний ω.
Нелинейная зависимость сил трения от скорости может быть описана
различными аналитическими выражениями. В качестве примера рассмотрим следующее уравнение:
mq&& + h q&
n −1
q& + kq = 0 .
(1.3)
Наличие модуля в выражении (1.3) позволяет при любом показателе степени n иметь силу трения, действующую в направлении противоположенном скорости, и таким образом обеспечить диссипацию или затухание колебаний в осцилляторе.
Для решения уравнения (1.3) можно использовать метод энергетического баланса. Подробный расчет приведен в работе [4]. Он позволяет получить огибающую затухающих колебаний как функцию времени. Различные виды трения: линейное (n = 1), кулоновское (n = 0), квадратичное
(n = 2) дают различные законы убывания амплитуды со временем и зависимость добротности от амплитуды колебаний.
Экспериментальные методы определения добротности колебательной системы. Используются два основных метода. В первом (частотном) методе исследуется отклик q(ω) колебательной системы (1.1) на
внешнее гармоническое воздействие F(ω) = F0 cos ωt, причем частота воздействия изменяется вблизи резонансной частоты колебательной системы
ω0. Измеренные значения модуля комплексной амплитуды колебаний q(ω)
аппроксимируются резонансной зависимостью:
q 0 (ω ) =
(
m ω 02 − ω
F0
)
2 2
.
(1.4)
+ ω 02ω 2 / Q 2
Из нее определяется значение добротности Q, обеспечивающее наилучшую аппроксимацию экспериментальных данных. В случае очень большой
добротности, когда разрешение по частоте не достаточно, используется
8
временной метод. Этим методом измеряется время релаксации свободных
затухающих колебаний τ* = 2Q/ω0, возбужденных в колебательной системе. Добротность определяется как параметр, наилучшим образом аппроксимирующий временную зависимость огибающей его амплитуды колебаний:
A(t ) = A(0)e − ω0 t / 2Q .
(1.5)
Контрольные вопросы и задачи
1.1. Написать все известные Вам формулы для добротности осциллятора,
выраженной через его параметры.
1.2. Показать, что величина добротности высокодобротного осциллятора
может быть вычислена через производную от огибающей его амплитуды колебаний A(t): Q = -Aω/(2dA/dt).
1.3. Средняя энергия тепловых колебаний осциллятора равна кBТ независимо от его параметров. Почему увеличение добротности осциллятора
приводит к уменьшению теплового шума?
1.4. Изобразить графически зависимость добротности осциллятора с нелинейным трением от амплитуды его колебаний для случаев «сухого» и
«квадратичного» трения.
9
Лекция 2
Наноэлектромеханические системы (НЭМС) на основе полупроводниковых структур, углеродных нанотрубок и графена. Базовая конструкция наномеханического осциллятора. Технология изготовления
наномеханических осцилляторов. Структура НЭМС. Резонансные
частоты типовых конфигураций НЭМС. Управление резонансной
частотой. Границы применимости континуального приближения
при расчете резонансных частот НЭМС.
Разработка механических колебательных систем с размерами меньше микрометра прежде всего связана с их использованием в атомносиловой микроскопии, в устройствах обработки сигналов, а также с созданием различных миниатюрных резонансных сенсоров и молекулярных манипуляторов. Поскольку механический элемент обычно имеет входной и
выходной преобразователи, преобразующие механические колебания в
электрические сигналы, они называются наноэлектромеханическими системами или сокращенно НЭМС. Кроме того, в состав НЭМС обычно входит элемент, позволяющий изменять его резонансную частоту хотя бы в
небольших пределах.
Для изготовления механических нанорезонаторов используется хорошо разработанная технология, применяющаяся в полупроводниковой
электронике, в которой базовым материалом является кремний (Si). Кремний также обладает чрезвычайно малыми потерями упругой энергии, что
делает его прекрасным материалом для изготовления высокодобротных
механических колебательных систем. Среди других материалов можно отметить карбид кремния (SiC), арсенид галлия (GaAs), нитрид алюминия
(AlN). Кроме того, используются пленки нанокристаллического алмаза,
аморфный нитрид кремния (Si3N4) и т.д.
Несмотря на большое число различных механических структур, в которых возможно возбуждение упругих колебаний, таких как стержни,
мембраны, струны и т.д., в них действуют практически одни и те же механизмы потерь упругой энергии. Соответственно используются одинаковые
методы анализа и расчета потерь. Это позволяет провести рассмотрение
диссипативных процессов в НЭМС на примере базовой конструкции механического наноосциллятора, представляющей собой стержень прямоугольного сечения с обоими закрепленными концами, совершающий коле10
бания изгиба в плоскости, в которой он имеет минимальный поперечный
размер. Конструкция такого наноосциллятора показана на рис. 2.1. Здесь
же представлены основные этапы его изготовления. Технологические процессы, использующиеся
в производстве элементов микроэлектроники с субмикронными размерами
описаны, например,
Рис. 2.1. Схема процесса изготовления
наноосциллятора
в [6].
на основе полупроводниковых гетероструктур [5] .
Иногда на из(i) – исходная структура: верхний слой – материал
готовленный таким
осциллятора, промежуточный слой – удаляеспособом
наноосмый материал, нижний слой – подложка;
(ii) – нанесение защитной маски с помощью элекциллятор напыляют
тронно-лучевой литографии;
тонкую проводящую
(iii)– создание образца с помощью плазменного анизотропного травления;
пленку. Это позволя(iv) – удаление промежуточного слоя с помощью изет упростить возбубирательного травления.
ждение и регистрацию его колебаний Рабочими модами колебаний являются поперечные колебания стержня. Частоты собственных поперечных колебаний стержня
рассчитываются из уравнений теории упругости с соответствующими граничными условиями. Для стержня с закрепленными концами они равны [7]
β
ωn ≈ n
YI
,
ρA
(2.1)
l2
где l – длина стержня, A и I – площадь и момент инерции площади поперечного сечения стержня, Y и ρ - модуль Юнга и плотность материала, из
которого он изготовлен. Для стержня с прямоугольным поперечным сечением I = wt3/12, где w – ширина, t – толщина стержня. Численный множитель βn в формуле определяется корнем уравнения для вычисления собственных значений соответствующей краевой задачи. Для наименьшей из
собственных частот колебаний стержня он равен ≈ 22,4.
11
Если освободить один из закрепленных концов стержня, то получится осциллятор типа консоли. Такие осцилляторы или кантилеверы используются в качестве чувствительных элементов в атомно-силовой микроскопии. Уравнение колебаний стержня не изменится. Изменится только одно
из граничных условий и коэффициент в формуле для расчета собственных
частот колебаний. Для наименьшей из собственных частот его значение
будет ≈ 3,52 [7]. Таким образом, основным фактором, определяющим собственную частоту колебаний наноосциллятора, является отношение его
геометрических размеров t/l2.
На рис. 2.2, взятым из работы [5], приведена зависимость частоты
собственных поперечных колебаний стержня, сделанного из монокристаллов SiC, Si и GaAs, от
величины указанного отношения геометрических
размеров. В случае использования SiC частота
достигает гигагерца. Технология позволяет изготовлять механические наноосцилляторы с произвольными размерами, хотя
обычно их толщина делается не менее 30 нм. В чаРис. 2.2. Собственные частоты колебаний
стности, это связано с
наноосцилляторов, изготовленных из
проблемой получения вымонокристаллов SiC, Si, GaAs, в зависимости
от геометрических параметров[5]
сокой добротности, которая будет рассмотрена ниже.
Возможность регулируемого изменения собственной частоты колебаний механических наноосцилляторов является важным фактором для
многих их применений. Часто оказывается достаточно небольшой подстройки частоты в пределах долей процента. Такую подстройку можно
осуществить, например, изменяя температуру. Благодаря температурной
зависимости физических величин, входящих в формулу (2.1), это приводит
к изменению собственной частоты колебаний осциллятора. Кроме того,
собственная частота колебаний стержня зависит от продольного напряже12
ния в нем. Продольное напряжение в стержне с закрепленными концами
можно создать, например, приложив к нему постоянную поперечную силу,
вызывающую прогиб. Формула (2.1) для собственных частот справедлива,
если в стержне отсутствуют постоянные напряжения. Если создать напряжение σ0 вдоль оси стержня, то собственные частоты возрастут, причем наименьшая собственная частота изменяется в соответствии с уравнением [8]:
2
σ Al
,
(2.2)
ω1′ (σ 0 ) ≈ ω1 1 + 0
42YI
Часто бывает удобно поставить в соответствие колеблющейся на основной моде распределенной колебательной системе, каковой является
стержень с закрепленными концами, осциллятор с сосредоточенными параметрами, описываемый уравнением (1.1) с той же собственной частотой,
так чтобы при заданной амплитуде колебаний совпадали запасенные в них
энергии. Этими условиями однозначно определяется эффективная масса
осциллятора meff ≈ 0,73 mtot (mtot – полная масса стержня).
Открытие новых структурных форм углерода, таких как углеродные
нанотрубки, графен и т.д., вызвало интерес исследователей к их использованию для создания наномеханических осцилляторов с еще меньшими поперечными размерами. Углеродные нанотрубки (УНТ) это цилиндрические структуры с диаметром от одного до нескольких десятков нанометров
и длиной несколько микрон, составленных из одного или нескольких свернутых в трубку графитовых слоев с гексагональной решеткой атомов углерода [9]. Отдельные однослойные УНТ выращиваются методом химического осаждения из газовой фазы (CVD – chemical vapor deposition), например, из метана при температуре 900° С. Осаждение происходит на определенных местах, задаваемых предварительно напыленными островками
пленки Fe (железо играет роль катализатора) с размерами несколько нанометров. Направление нанотрубки можно задавать с помощью электрического поля. В частности, таким образом приготовляется наноструктура: стержень с закрепленными концами, где стержнем является УНТ диаметром от
≈ 3,5 нм и длиной несколько сотен нанометров. Собственная частота основной моды колебаний такого нанорезонатора достигает 1,3 ГГц [10].
Другая углеродная структура – графен – представляет собой один
или несколько слоев атомов углерода с гексагональной решеткой. Разрабо13
тана технология, позволяющая получать одноатомный слой графена на
SiO2 подложке. Технология основана на послойном удалении слоев предварительно нанесенного графита. В подложке вытравлена канавка шириной и глубиной несколько сотен нанометров, так что лист графена ложится
поперек канавки. Опять образуется механический наноосциллятор типа
стержня с закрепленными (посредством сил Ван-дер-Ваальса) концами.
Толщина «стержня» является предельной – размером в один атом (≈ 0,3
нм), хотя, часто такая пластинка является не плоской, а волнистой, сморщенной. Описание НЭМС, изготовленных из листков графена, представлено в работе [11].
При уменьшении поперечного размера стержня наноосциллятора до
сотни нанометров начинают сказываться поверхностные эффекты, и эффективный модуль Юнга материала уменьшается по сравнению с его значением,
измеренным в объемных образцах [12]. Когда поперечный размер составляет
десятки постоянных решетки материала, расчеты собственных частот в рамках механики сплошных сред (континуального приближения) приводят к
большим погрешностям и необходимо использование других методов расчета, например, метода молекулярной структурной механики [13].
Контрольные вопросы и задачи
2.1. Наноосциллятор, изготовленный из монокристаллического кремния,
представляет собой стержень с двумя закрепленными концами. Его
размеры: 50 нм × 80 нм × 780 нм. Определить собственную частоту
основной моды колебаний наноосциллятора и его эффективную массу.
Модуль Юнга кремния Y = 150 ГПa, его плотность ρ = 2,33 г/см3.
2.2. В стержне наноосциллятора (см. Задачу № 2.1) создано продольное
упругое напряжение σ0 = 10 ГПa. Определить собственную частоту
его основной моды колебаний.
2.3. Один конец стержня наноосциллятора (см. Задачу № 2.1) освободили
от закрепления, так что образовался стержень с одним закрепленным
концом. Как изменилась собственная частота его основной моды колебаний?
2.4. В каких случаях для изготовления наноосциллятора из карбида кремния необходимо использовать электронно-лучевую литографию?
14
Лекция 3
Механизмы потерь энергии в НЭМС. Общее уравнение, связывающее напряжение и деформацию для неупругой среды. Модель стандартного неупругого тела. Термоупругая релаксация как источник
неупругости. Вычисление потерь при гармоническом воздействии
на неупругое тело. Уравнения Дебая. Угол механических потерь.
Обратная величина добротности осциллятора или фактор потерь
представляет собой мощность потерь P его энергии, нормированную на
полную запасенную энергию W:
Q −1 =
P
.
Wω 0
(3.1)
Полные потери складываются из отдельных специфических потерь, определяемых различными физическими механизмами. Среди них можно выделить основные: потери в материале, из которого изготовлен механический осциллятор, причем отдельно выделяются потери в поверхностном
слое колеблющегося элемента; потери из-за взаимодействия с окружением
(передача энергии молекулам окружающего газа, взаимодействие с электрическими и магнитными полями); потери в креплении колеблющегося
элемента; потери, связанные с входным и выходным преобразователями
механических колебаний:
Q-1 = k1Q-1матер + k2Q-1поверх + Q-1крепл + Q-1взаим c окр + Q-1преобраз.
(3.2)
Изучение диссипации в материале, из которого изготовлен механический осциллятор, начнем с анализа общего уравнения, связывающего
напряжение σ и деформацию ε для неупругой среды [14]. Оно называется
уравнением «стандартного неупругого тела» и получается как обобщение
закона Гука (для простоты не учитывается тензорный характер величин,
входящих в уравнение):
ε + τε& = J Rσ + τJUσ& ,
(3.3)
где JR и JU - релаксированная и нерелаксированная податливость среды.
Смысл этих величин становится более понятным после рассмотрения реакции неупругой среды на приложение нагрузки (на примере стержня, сделанного из неупругого материала, к которому в некоторый момент времени приложена постоянная сила).
15
Одним из факторов, приводящих к неупругому поведению среды,
является термоупругость [15]. Явление термоупругости связано с тепловым расширением, а также с изменением температуры среды при деформировании. Учет этих эффектов приводит к дифференциальному уравнению для стандартного неупругого тела (3.3).
Затем рассматривается реакция неупругой среды, описываемой
уравнением стандартного неупругого тела (3.3), на периодическое воздействие, изменяющееся по гармоническому закону. Напряжение и деформация записываются, используя метод комплексных амплитуд, в следующем виде:
σ(t) = σ0 eiωt,
ε(t) = (ε1 – iε2) eiωt .
(3.4)
Такая запись отражает тот факт, что деформация отстает по фазе от напряжения. Тогда податливость становится комплексной величиной: J(ω) =
J1 (ω) – iJ2 (ω). Соответственно, становится комплексным модуль Юнга материала, который является величиной обратной величине податливости:
Y(ω) = Y1 (ω) + iY2 (ω).
Подставляя эти выражения в (3.3), получаем уравнения для действительной и мнимой частей податливости:
J1 (ω ) = JU + δJ
J 2 (ω ) = δJ
1
1 + ω 2τ 2
ωτ
1 + ω 2τ 2
,
,
(3.5)
(3.6)
где δJ = J R − J U – релаксация податливости.
Эти уравнения называются уравнениями Дебая, поскольку они были
впервые получены Дебаем для релаксации диэлектрической проницаемости. Функция J2 (ω) имеет максимум при ωτ = 1 (дебаевский пик). Часто
график J2 строят как функцию от lg ωτ . В таких координатах он становится симметричным.
Максимальное значение энергии, запасенной в единице объема упругой среды при периодическом деформировании, дается выражением
ωt =ϕ +π / 2
W=
∫
ωt =ϕ
16
1
σε&dt = J1σ 02 .
2
(3.7)
Фаза φ выбирается таким образом, чтобы в начальный момент кинетическая энергия деформируемой среды равнялась 0 ( ε& = 0 ), а в конечный момент она была бы максимальна.
Энергия ΔW, рассеянная за период в единице объема, равна
T
ΔW = ∫ σε&dt = πJ 2σ 02 ,
0
(3.8)
А их отношение связано с отношением податливостей, которое называют
тангенсом угла (механических) потерь tg φ:
ΔW/ 2π W = (J2/J1) = tg φ.
(3.9)
Если степень релаксации δJ/JU << 1, тогда:
tg φ ≈ φ ≈ (δJ/JU)
ωτ
.
1 + ω 2τ 2
(3.10)
Аналогичное выражение получается, если использовать комплексный модуль Юнга:
ΔW/ 2π W = (Y2/Y1) = tg φ.
(3.11)
Таким образом, при периодических деформациях среды, описываемых уравнением (3.3), возникают потери энергии. Среда характеризуется
тангенсом угла механических потерь tg φ с частотной зависимостью (3.10).
Контрольные вопросы и задачи
3.1. Показать, что дебаевский пик ωτ/(1+ ω2τ2), построенный в зависимости от lg ωτ, представляет собой пик, симметричный относительно
точки lg ωτ = 0, ширина которого на половине максимума равна 1, 14.
3.2. В упругой среде создается периодическое упругое напряжение с комплексной амплитудой σ1 и соответствующей комплексной амплитудой
деформации ε1. Показать, что: 1) средняя плотность запасенной энергии равна 1/2 Re {σ1 ε1*}, 2) средняя плотность диссипируемой мощности равна ω/2 Im {σ1 ε1*}. (При вычислении энергетических характеристик напряжение и деформация должны быть выражены в действительной форме, так как комплексная форма справедлива только для
линейных преобразований).
17
Лекция 4
Комплексный модуль Юнга. Связь между добротностью осциллятора и тангенсом угла механических потерь материала. Термоупругие потери при изгибных колебаниях стержней. Термоупругие
потери в наномеханических осцилляторах.
В случае, когда деформации в материале являются гармоническими
функциями времени, использование комплексной величины модуля Юнга
позволяет связать добротность механического осциллятора с тангенсом угла механических потерь материала, из которого изготовлен его упругий
элемент. Для иллюстрации этой связи рассмотрена простая задача вычисления добротности осциллятора с сосредоточенной массой m, упругим
элементом которого является стержень, изготовленный из материала с заданным комплексным модулем Юнга Y1 + iY2 = Y1 (1+i tg φ) , т.е. с заданным тангенсом угла механических потерь tg φ. Другие потери энергии в
осцилляторе отсутствуют. В результате получаем, что добротность этого
осциллятора Q = (tg φ)-1, т.е. численно равна обратной величине тангенса
угла механических потерь.
Но такая ситуация, когда добротность Q осциллятора, определяемая
диссипацией в его упругом элементе, равна (tg φ)-1, не всегда имеет место.
Рассмотрим, например, обычный маятник, представляющий собой массу m
(для простоты точечную), подвешенную на тонкой нити. Жесткость этой
колебательной системы kpend = mg/l = T/l (g – ускорение свободного падения, l – длина нити подвеса, T - натяжение в нити). Здесь нет физических
величин, которые можно рассматривать как комплексные. Следствием этого формально является отсутствие потерь в нити подвеса. Конечно, это не
так. Более точный расчет, учитывающий упругие свойства нити подвеса,
дает следующее значение величины жесткости маятника [16]:
k pend ≈
T⎛
YI ⎞
⎟,
⎜1 +
⎟
l ⎜⎝
Tl 2 ⎠
(4.1)
где I = πr4/4 – момент инерции (геометрический) площади поперечного сечения нити подвеса, имеющей радиус r [7]. Подставляя в (4.1) модуль Юн18
га в комплексном виде Y = Y1(1 + itgφ) и используя приближение
Y1 (1 + iϕ mat ) ≈ Y1 (1 + iϕ mat / 2) , получаем:
1
≈
Q −pend
ϕ mat
Y1 I
2
Tl 2
.
(4.2)
Отношение D = φmat /Q-1pend называется коэффициентом уменьшения
потерь (damping dilution factor). Аналогичный результат получается для
струнного осциллятора. Так величина Q-1viol для основной моды колебаний
струны связана с потерями в материале, из которого изготовлена струна,
следующим соотношением [17]:
−1
Qviol
≈ 2ϕ mat
Y1 I
.
Tl 2
(4.3)
Указанное свойство таких колебательных систем было использовано
для создания уникальных маятников и струнных осцилляторов из плавленого кварца с добротностью, превышающей 108 при комнатной температуре [18, 19]. Время затухания колебаний таких маятников превышает 3 года.
Рассмотрим влияние потерь в материале на добротность базового
наноосциллятора, рассмотренного выше. Используя выражение (2.1) для
собственной частоты колебаний и подставляя в него комплексное значение
модуля Юнга, снова получаем, что его добротность Q = (tg φ)-1 .
Однако такая ситуация имеет место, только если в стержне с закрепленными концами отсутствуют внутренние напряжения. Если в стержне
создано дополнительное постоянное механическое напряжение σ0, то собственная частота колебаний осциллятора определяется выражением (2.2).
Подставляя в (2.2) значение комплексного модуля Юнга, получаем, что потери Q-1в наноосцилляторе мостикового типа меньше, чем потери в материале, из которого он изготовлен, и это уменьшение тем значительнее, чем
больше механическое напряжение σ0.
Рассмотрим теперь физические механизмы потерь в материалах, из
которых изготовлены упругие элементы осцилляторов. Одним из фунда19
ментальных механизмов является термоупругость. Учет температурных
эффектов при деформировании материала показывает, что они являются
источником неупругого поведения и потерь (см. Лекцию № 3).
Важным случаем тепловой релаксации при неоднородном напряжении является релаксация, возникающая при поперечных колебаниях
стержней. Она рассматривается более подробно, поскольку является одним
из основных источников потерь в базовых конструкциях механических наноосцилляторов. Продольные напряжения в точке стержня, вызванные его
изгибом, зависят от расстояния до этой точки от центральной плоскости
стержня. Между противоположенными сторонами колеблющегося стержня
возникает переменный градиент температуры. Релаксация связана, таким
образом, с потоком тепла от более нагретых (сжатых) слоев к более холодным (растянутым) слоям стержня. Следуя [15], можно получить выражение для потерь в стержне, колеблющемся с собственной частотой ω, Q-1 =
tg φ:
Q
−1
Yα 2 T ωτ T
=
cσ 1 + ω 2τ T2 ,
(4.4)
где α – коэффициент линейного теплового расширения, T – температура
стержня, cσ – теплоемкость единицы объема при постоянном напряжении σ.
Время тепловой релаксации τT = t2/(π2DT) для тонкого стержня прямоугольного сечения толщины t, τT = d2/(13,55DT) для стержня с круговым
сечением диаметра d, где DT – коэффициент температуропроводности, DT
= κT/cσ (κT – коэффициент теплопроводности материала). Используя выражение (4.4) и вычисленное время тепловой релаксации можно рассчитать
термоупругие потери в осцилляторах, изготовленных из различных материалов. Соотношение (4.4) является приближенным. Более детальный расчет с учетом пространственного распределения деформаций и вариаций
температуры представлен в [14] и [15].
20
Контрольные вопросы и задачи
4.1. Уравнение движения механического осциллятора записано в виде:
m&x& + k (1 + itgϕ ) x = 0 . Поскольку коэффициент жесткости (упругость
пружины) k является комплексным, свободные колебания осциллятора
будут затухать. Решить уравнение. Найти собственную частоту колебаний осциллятора и его добротность.
4.2. Рассчитать добротность наномеханического осциллятора (стержень с
двумя закрепленными концами), в котором создано дополнительное
постоянное механическое напряжение σ0, если материал, из которого
изготовлен осциллятор, характеризуется тангенсом угла механических
потерь tg φ.
4.3. Рассчитать термоупругие потери Q-1 для наноомеханического осциллятора, изготовленного из монокристаллического кремния (стержень с
двумя закрепленными концами, имеющий размеры: 50 нм × 80 нм ×
780 нм), находящегося при комнатной температуре. Параметры кремния (при Т = 293К): модуль Юнга Y = 150 ГПa, коэффициент линейного расширения α = 2,3 × 10-6 K-1, удельная теплоемкость с = 1,6 × 106
Дж/м3К, коэффициент теплопроводности κT = 160 Вт/м К.
21
Лекция 5
Диссипация упругой энергии, обусловленная механизмом фононфононных взаимодействий. Затухание Ахиезера. Затухание ЛандауРумера. Нелинейность как причина фундаментальных процессов
диссипации энергии упругих колебаний. Затухание упругих колебаний, обусловленное фонон-электронными взаимодействиями в проводящих материалах.
Если деформации не приводят к изменению объема, например, деформации сдвига, создающиеся в стержне при крутильных колебаниях, то
они не сопровождаются изменением температуры и возникновением тепловых потоков, приводящих к диссипации. Тем не менее, есть другой фундаментальный механизм потерь, ограничивающий добротность механических осцилляторов. Он существует в идеальной кристаллической решетке
и обусловлен взаимодействием упругой волны с тепловыми фононами
вследствие ангармонизма кристаллической решетки. Если длина волны λ
значительно больше длины свободного пробега тепловых фононов lph, то
можно рассматривать ее взаимодействие со всем ансамблем тепловых фононов. Деформация среды, вызываемая волной, приводит к изменению
частот фононов и к отклонению их распределения от равновесного распределения Планка. Релаксационный процесс восстановления теплового равновесия фононного газа сопровождается рассеянием энергии звуковой
волны. Теория этого явления впервые была разработана Ахиезером. В
дальнейшем она получила развитие в работах других авторов (см. обзор в
[14]). Для оценок удобно пользоваться упрощенным выражением для величины потерь, обусловленных механизмом Ахиезера:
Q −ph1 ≈
cTγˆ 2
ωτ ph
(
ρv 2 1 + ωτ ph
)2 ,
(5.1)
где v – скорость распространения упругой волны в кристалле, ρ – и c – его
плотность и теплоемкость, отнесенная к единице объема, γˆ – величина,
связанная с константой Грюнайзена, которая характеризует ангармонизм
колебаний решетки, τph – время релаксации тепловых фононов, которое
можно отождествить с временем тепловой релаксации, входящим в выражение для коэффициента теплопроводности kТ = (1/3)cνD2τph, здесь vD –
средняя дебаевская скорость звука, которая для изотропного твердого тела
22
определяется соотношением: 3/vD2 = 1/vl2+2/vt2. Более точный расчет Q-1ph
основан на использовании упругих модулей третьего порядка (см., например [20]), но для оценок величины потерь, обусловленных фононной релаксацией, можно полагать величину γˆ ≈ 1.
Хотя теория фононной ре-
лаксации приводит к неупругому поведению, соответствующему стандартному неупругому телу, вычисления при ωτph > 1 становятся некорректными. Это связано с исходным предположением, что фононная релаксация происходит в области однородного напряжения. Такое предположение справедливо лишь в том случае, когда длина свободного пробега фонона lph мала по сравнению с длиной упругой волны λ. Это означает, что
ωτph << 1. В области ωτph >> 1используется другой подход для расчета затухания упругих волн, предложенный Л. Д. Ландау и Ю. Б. Румером. Упругая волна рассматривается как поток фононов, имеющих определенную
энергию и импульс. Затухание связано с взаимодействием такого фонона с
тепловым фононом, которое обусловлено нелинейностью или ангармонизмом колебаний кристаллической решетки. Коэффициент затухания упругой волны можно найти, определив скорость, с которой убывает число фононов упругой волны. Поперечные упругие волны могут взаимодействовать как с продольными, так и с поперечными тепловыми фононами. Коэффициент затухания αt поперечной упругой волны выражается следующей формулой [14]:
αt =
πk B4 T 4 ωγ t2
80 ρh 3 v l6
[1 − (v
t
]
/ v l )2 ,
(5.2)
здесь ρ – плотность, vt и vl – поперечная и продольная скорости звуковой
волны, γt – константа (величиной порядка единицы), характеризующая ангармонизм колебаний кристаллической решетки, равная отношению соответствующих упругих постоянных третьего порядка к упругим постоянным второго порядка. Колебания в рассмотренных выше механических осцилляторах можно рассматривать как стоячие упругие волны, поэтому потери Q-1, обусловленные взаимодействием с тепловыми фононами, выражаются через коэффициент затухания α:
Q −1 = 2αv / ω .
(5.3)
Более детальный анализ потерь в области ωτph >> 1 представлен в [21, 22].
В работе [23] представлены результаты наблюдения перехода от режима
23
затухания Ахиезера к режиму затухания Ландау-Румера при экспериментальном исследовании затухания ультразвуковых сдвиговых волн в кристаллах CdS в гигагерцовом диапазоне частот.
Рассмотренные выше механизмы затухания упругих колебаний обусловлены их взаимодействием с тепловыми колебаниями решетки или фононами в твердом теле. Такое взаимодействие возможно благодаря нелинейности или ангармонизму кристаллической решетки. Мы видим, что в
формулах, используемых для расчета, потери пропорциональны квадрату
коэффициента γˆ , характеризующего нелинейность решетки. Коэффициент теплового расширения среды также пропорционален γˆ . Заметим, что
квадратичная зависимость отражает то обстоятельство, что коэффициент
теплового расширения может принимать отрицательные значения, тогда
как потери имеют всегда положительный знак.
Упругие колебания взаимодействуют и с электронной системой кристалла. Результатом этого взаимодействия также может быть затухание колебаний. В металлах, полупроводниках и диэлектриках взаимодействие упругих колебаний с электронами проявляется по-разному (см., например, [14]).
Анализ затухания упругих колебаний в металлах в области не слишком больших частот, когда ωτe << 1 (τe – время электронной релаксации,
которое можно рассчитать из выражения для электропроводности σ =
ne2τe/me, n – число электронов в единице объема, me – масса электрона),
может быть проведен аналогично рассмотрению затухания по механизму
Ахиезера. Упругие напряжения вызывают изменение распределения электронов по импульсам, так что, например, сферическая форма поверхности
Ферми превращается в эллипсоидальную [14]. В низкочастотном пределе
ωτe << 1 величина потерь для поперечных колебаний дается выражением:
2
−1 nmv F
Qe =
5ρvt2
ωτ e .
(5.4)
В низкочастотном пределе ωτe << 1, ωτph << 1, для фундаментальных
механизмов потерь, связанных с взаимодействием упругой волны с фононной и электронной системами, получаем, что произведение (Qω) не зависит от резонансной частоты осциллятора, а определяется только свойствами материала. Значения величины произведения (Qω), рассчитанные для
24
нескольких материалов для двух характерных температур, приведены в
табл. 5.1.
Таблица 5.1
Значения произведения добротности на частоту Qω
для различных диссипативных процессов и материалов
Диссипативные процессы
фононфононтермоупругие
фононные
электронные
Материал
Т, К
Кварц (монокристалл)
300
4,2
6×1016
1,5×1016
1×1014
4,5×1014
-
Сапфир
300
4,2
5×1016
1×1016
2,4×1015
4×1015
-
Алюминий
300
4,2
6×1014
2×1016
3×1012
1×1014
5×1013
3×1011
Контрольные вопросы и задачи
5.1. Доказать соотношение (5.3) между коэффициентом затухания упругой
волны в материале и потерями Q-1 в осцилляторе, изготовленном из
этого материала, если все потери вызваны потерями в материале.
5.2. Рассчитать добротность (при комнатной температуре) наномеханического осциллятора, изготовленного из кремния (стержень с закрепленными концами, имеющий размеры 50 нм × 80 нм × 780 нм), если потери в нем определяются только взаимодействием упругой волны с тепловыми фононами. Скорости продольной и поперечной звуковых волн
в кремнии принять равными соответственно 9×103 м/с и 5×103 м/с.
25
Лекция 6
Точечные дефекты в кристаллах и связанные с ними релаксационные процессы. Уравнение Аррениуса для времени релаксации процесса, связанного с движением атомов в кристаллической решетке.
Зависимость потерь упругой энергии от температуры.
В предыдущих лекциях были рассмотрены механизмы потерь энергии
упругих колебаний, реализующиеся в идеальных структурах твердых тел,
например, в идеальных монокристаллах. Учитывая, что величины физических параметров материалов, входящие в формулы, описывающие диссипацию, в различных веществах, отличаются незначительно, получаем, что добротность резонаторов ультразвукового и звукового диапазонов частот при
комнатной температуре должна быть больше, чем 108. Но для подавляющего
большинства материалов измеряемые величины добротности гораздо меньше, чем 105. Кроме того, температурная зависимость затухания механических
колебаний оказывается весьма немонотонной, на ней наблюдаются пики, вызванные различными процессами внутреннего трения в твердых телах.
Большинство механизмов внутреннего трения можно рассматривать
как релаксационные процессы, связанные с зависящим от времени переходом структуры в новое равновесное состояние. В основном они связаны с
дефектами кристаллической решетки.
Реальные кристаллы содержат большое количество разнообразных
дефектов. Наиболее простыми из них являются точечные, то есть вакансии, межузельные атомы, примесные атомы и их комплексы [24]. Взаимодействие этих дефектов с полями однородных и неоднородных механических напряжений во многом определяет неупругие свойства кристаллов.
Эти свойства существенно зависят от симметрии искажений, создаваемых
дефектами, которая может совпадать с симметрией кристаллической решетки, а может быть более низкой.
Рассмотрим, например, дефект вакансию. Напомним, что пустые узлы
в кристаллической решетке – это следствие законов термодинамики, а не
только результат некачественного роста или воздействия на кристалл.
Идеальный кристалл должен иметь определенное равновесное число вакансий, поскольку «самопроизвольно процессы в системе идут в направлении уменьшения свободной энергии F = U – TS» (U – внутренняя энергия).
При этом увеличение энергии при образовании вакансии (нужно затратить
26
энергию, чтобы вытащить атом из кристалла) оказывается меньше, чем
увеличение ТS (S – энтропия, степень беспорядка).
Равновесная концентрация вакансий nυ в моноатомном кристалле определяется больцмановским выражением
nυ
⎛ U
= Cυ = exp⎜ − υ
n0
⎝ kT
⎞
⎟,
⎠
(6.1)
где n0 – число атомов в единице объема; Uυ – энергия, необходимая для
образования одного вакантного узла.
При приложении к кристаллу внешнего, например, изгибающего напряжения, в нем возникают растянутые и сжатые области, энергия образования вакансий в растянутых областях уменьшается, а в сжатых увеличивается.
Если площадь, на которой каждый атом подвергается действию напряжения
σ , равна b2 (b – межатомное расстояние), то работа, совершенная этим напряжением при перемещении атома на расстояние b, равна σb3, Эффективное
значение энергии образования вакансии становится равным Uυ ±σb3. Поэтому
при термодинамическом равновесии концентрация вакансий будет равна
⎛ U υ + σb 3
Cυ = C 0 exp⎜ −
⎜
kT
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛ U − σb 3 ⎞
⎟
Cυ = C 0 exp⎜ − υ
⎟
⎜
kT
⎠
⎝
в сжатых областях;
(6.2)
в растянутых областях.
(6.3)
При периодическом деформировании кристалла возникает рассеяние
энергии колебаний за счет необратимого процесса диффузии вакансий от
мест с растянутой решеткой к местам ее сжатия. Таков физический механизм поглощения энергии, обусловленный движением вакансий. Это схема
механизма. Она может реализовываться, например, при неоднородных деформациях, возникающих при изгибных колебаниях стержней.
В чистом виде наблюдать диссипацию, обусловленную диффузионным движением вакансий при неоднородной деформации трудно, поскольку даже при высоких температурах коэффициент диффузии вакансий
очень мал и характерные времена составляют более сотен секунд. Следует
отметить, что поскольку границы зерен, например, в металлах являются
эффективными источниками и местами стока вакансий, в них при высоких
температурах ∼ 400-600 0С этот механизм хорошо проявляется. В случае
27
однородной деформации больший эффект возникает не при движении
одиночных дефектов, а при движении комплексов дефектов.
В качестве примера рассмотрим модель «переориентации пар» дефектов под действием напряжений (релаксация Зинера) [14]. Переориентирование диполей к новым равновесным
концентрациям, обусловленное приложенным напряжением, называется
упорядочением в поле напряжений.
Такая пара и смещение атомов вокруг нее для г. ц. к. решетки схематически изображены на рис. 6. 1.
В состоянии (1) дефект имеет
Рис. 6.1 Смещение атомов грани
ориентацию <110>. Если механиче(100) г.ц.к. решетки, расположенных
ское напряжение приложено, напривокруг пары атомов замещения,
размеры которых больше размеров
мер, вдоль направления <100>, то
атома матрицы
(крестиками обозначено положение
диполь, образованный атомами заатомов в неискаженной решетке)
мещения может переориентироваться в состояние (2) и при этом изменится деформация решетки. Ее податливость увеличится, поскольку такой дефект деформирует решетку в наибольшей степени вдоль своей оси. Чтобы перейти из состояния (1) в состояние (2) нужно время, т.е. возникает релаксационный процесс.
Во многих случаях, когда релаксация связана с движением атомов через потенциальный барьер (рис. 6.2),
сать с помощью уравнения Аррениуса.
Вероятность перескока через барьер за
1 сек равна
⎛
Ua ⎞
⎟⎟
⎝ k BT ⎠
τ −1 = υ 0 exp⎜⎜ −
(6.4)
где Т – абсолютная температура; kВ –
постоянная Больцмана; υ0 – частотный
множитель, связанный с частотой колебаний решетки; Uа – энергия активации.
28
Энергия
Ua
скорость релаксации τ-1 можно опи-
ΔUa
p=1
p=2
Ориентация
Рис. 6.2. Активационный барьер
до (пунктирная линия) и после
(сплошная линия) приложения
механического напряжения
Выражение (6.4) часто записывают в виде:
⎛ Ua ⎞
⎟⎟
k
T
⎝ B ⎠
(6.5)
τ = τ 0 exp⎜⎜
Отметим, что процесс термической активации не является единственной возможностью преодоления частицей потенциального барьера. Частица может совершать переход из одного потенциального минимума в другой даже при температуре абсолютного нуля путем квантовомеханического эффекта туннелирования.
Вернемся к уравнению Аррениуса (6.4). Значение этого соотношения
состоит в том, что в случае, когда оно применимо, величину τ можно изменять в очень широкой области просто изменением температуры.
Предположим, что диссипация энергии механического осциллятора
обусловлена релаксационным процессом, связанным, например, с движением дефектов в материале колеблющегося элемента. Тогда частотная зависимость потерь описывается уравнением (3.10). Но это уравнение можно
также рассматривать как зависимость величины потерь Q-1 от времени релаксации процесса, ответственного за эти потери. На температурной зависимости потерь, измеренных для механического осциллятора при практически неизменной частоте будет наблюдаться дебаевский пик потерь, для
которого из условия максимума lnωτ =0 следует:
⎛ U ⎞⎛ 1
ln ωτ = ln ωτ 0 + ⎜⎜ a ⎟⎟⎜⎜
⎝ k B ⎠⎝ Tmax
⎞
⎟⎟ = 0 .
⎠
(6.6)
В случае если измерения проведены для двух частот (два осциллятора
с разными частотами изготовлены
Q-1
ω1
ω2
из одного и того же материала) и
построены зависимости потерь Q-1
от Т-1 для этих частот, то из сдвига
δT-1
максимума потерь (рис. 6.3) можно определить энергию активации
процесса, ответственного за релаксацию:
T1-1
T2-1
T -1
Рис. 6.3. Сдвиг по температуре пиков
потерь в осцилляторах, полученных
при двух различных частотах ω1 и ω2
ln
ω 2 U a −1
−1
(
=
Tmax 1 − Tmax
(6.7)
2 ).
ω1 k B
29
В качестве примера приведем температурные зависимости Q-1
(рис. 6.4) для резонатора из лейкосапфира (собственная частота f = 34 кГц
– кривая 1), и двух резонаторов из ру- Q-1
бина
(f = 17,3 кГц
–
кривая 2,
f = 13,9 кГц – кривая 3). На кривых затухания в рубине наблюдается мощ10-7
ный пик при температуре около 250 К.
3
2
Сдвиг максимума Q-1 при изменении
частоты колебаний резонатора (при
1
-8
возбуждении его на третьей гармони- 10
ке) указывает на релаксационный процесс с энергией активации ≈ 0,25 эВ,
вызывающий указанный пик. Можно
10-9
предположить, что он связан с присут50
100 150 200 250 Т, К
3+
ствием ионов Cr в кристаллической
Рис. 6.4. Сравнение затухания прорешетке сапфира. С уменьшением дольных звуковых колебаний в резонаторах из монокристалла сапфира
концентрации хрома высота пика за(кривая 1) и рубина (кривые 2,3) [2]
тухания уменьшается и у сапфира с
содержанием примесей хрома менее 10-3% пик вообще не виден на уровне
Q-1=10-8.
Контрольные вопросы и задачи
6.1. При измерении добротности основной моды продольных колебаний
механического резонатора, имеющего форму цилиндра, наблюдался
пик потерь при температуре Т1 = 27°С. Как убедиться, что он связан с
релаксационным процессом?
6.2. Если провести измерение добротности этого резонатора на 3-ей гармонике продольных колебаний, то пик потерь наблюдается при температуре Т2 = 110°С. Определить энергию активации релаксационного процесса, ответственного за потери, описываемого уравнением Аррениуса.
6.3. Какими способами дефект в кристаллической решетке может преодолевать потенциальный барьер?
30
Лекция 7
Диссипация, обусловленная движением дислокаций в твердом теле.
Дислокационная релаксация. Амплитудно-независимое и амплитудно-зависимое внутреннее трение, обусловленное дислокационным
движением. Барьер Пайерлса и его влияние на уровень диссипации
упругих колебаний.
Дислокация – это линейный дефект кристаллической решетки, т.е.
дефект, имеющий макроскопические размеры в одном измерении. Одно из
явлений, которое не находило объяснения до введения понятия дислокации, это несоответствие прочности твердых тел теоретическим расчетам,
основанным на модели идеального кристалла. В 1924 году Я. Френкель,
размышляя об этой проблеме, решил вычислить усилие, необходимое для
того, чтобы одну часть кристалла
а)
б)
сдвинуть относительно другой
στ
вдоль кристаллической плоскости.
Он исходил из простой модели
Рис. 7.1. Модель «чистого сдвига» (а)
(рис. 7.1): нужно в плоскости
и его схема (б) на атомном уровне
сдвига одновременно перемещать
все атомы сдвигаемой части кристалла относительно той, что остается неподвижной.
Оценка Френеля σ τ =
G
, при G ≈ 1011 Па (G – модуль сдвига) дала
2π
στ ≈ 1010 Па. Эксперимент же показывает, что для осуществления сдвига
кристалла нужно приложить напряжение σ τ ∼ 108 Па, т.е. в 100 раз меньшее, чем теоретический предел.
Чтобы понять, как можно осуществить сдвиг, прилагая гораздо
меньшее усилие, рассмотрим аналогию с ковром (рис. 7.2). В том случае,
когда ковер плотно прилегает к полу, для
его перемещения необходимо приложить
значительное усилие. Если же поперек
ковра имеется складка, вдоль которой ковер отделен от пола, усилия на ее разглаРис. 7.2. Перемещение ковра по
живание оказываются значительно ниже.
полу путем протаскивания (а)
и разглаживания складки (б)
При этом перемещение ковра по полу яв31
ляется результатом движения не всего ковра, а складки.
В кристалле, имеющем дислокацию в виде лишней полуплоскости
(краевая дислокация), скольжение вдоль плоскости, на которой обрывается
лишняя полуплоскость, аналогично перемещению складки ковра (рис. 7.3).
Очевидно, что оборванная полуплоскость должна перемещаться легче
прочих. При смещении ее на межатомное расстояние ее положение займет
следующая плоскость и т.д., т.е. происходит перемещение не всех атомов,
а дефекта структуры.
краевая дислокация
плоскость
скольжения
Рис. 7.3. Схема сдвига, обусловленного движением краевой дислокации
Рассчитаем деформацию, обусловленную движением дислокации
при сдвиге вдоль некоторой плоскости в кристалле, имеющем форму куба
со стороной l0. Пусть в плоскости скольжения расположено n дислокационных линий и каждая прошла путь li < l0. Тогда подвижная часть кристалла сместилась относительно неподвижной на расстояние
Δl = nb
li
,
l0
(7.1)
где b – вектор Бюргерса. Относительная деформация кристалла при этом
составит:
ε=
Δl
l0
= nb
li
l 02
⋅
l0
1
= nbl 0 li ⋅ ,
l0
V
(7.2)
где V – объем кристалла.
Введя понятие «плотность дислокаций», как отношение суммарной
длины всех дислокаций к объему кристалла Λ= nl0/V, получим выражение
для относительной деформации в следующем виде [24]:
ε = Λbli .
(7.3)
При приложении к кристаллу сдвигового напряжения, возникает деформация, которая состоит из двух частей: упругой деформации и дислокационной деформации, связной с движением дислокаций, которая запаздывает во времени. Таким образом возникает релаксационный процесс,
32
Q -1
приводящий к неупругости кристалла. Заметим, что скорость движения
дислокаций может быть достаточно высокой. Так, например, в чистой меди при приближении к пределу текучести она достигает 5·102 см/с.
Примером проявления релаксационного процесса дислокационной неупругости является возникновение пика внутреннего трения Бордони в таких
металлах как Cu, Al, Ag, Ph. Основные характеристики пика Бордони [14]:
− пик наблюдается как в моно-, так и поликристаллах;
− температура пика не зависит от предыстории образца;
− высота пика не зависит от амплитуды деформации, обычно используемой в экспериментах;
− в отожженных материалах пик Бордони отсутствует, но появляется после пластической деформации. Чем больше пластическая деформация, тем больше высота пика;
− примеси влияют на высоту пика, в небольших количествах они
уменьшают ее;
− частотный фактор, связанный с временем релаксации, равен 10-1010-12 с, энергия активации, например, в меди равна 0,14 эV.
Зависимость высоты пика от степени деформации, исчезновение после отжига, относительно низкий частотный фактор – все это позволяет
предположить дислокационный механизм пика.
Дислокационный пик внутреннего трения, аналогичный пику Бордони в металлах, наблюдался в механическом резонаторе с частотой ≈ 30 кГц
из монокристалла сапфира
10-6
(Al2O3) после удара по кристал1
лу [2] (см., рис.7.4).
10-7
Помимо релаксации Бордони существуют другие механизмы потерь, обусловленных
10-8
дислокациями. Эксперименты
2
показывают, что затухание ко10-9
10 20 30
100 200 T, K лебаний в высокочистых отожРис. 7.4. Влияние дефекта на Q-1
женных или слабодеформиров сапфировом резонаторе [2]
кривая 1 – после удара по кристаллу; ванных металлах с ростом амкривая 2 – после отжига кристалла
плитуды деформации, начиная
33
с ε ≈ 10-7÷10-6, увеличивается (становится амплитудно-зависимым). Такой
нелинейный эффект нельзя объяснить в рамках обычной теории неупругости.
Для объяснения амплитудно-независимой части внутреннего трения
используется модель Гранато-Люкке [14]. В ней дислокация моделируется
упругой струной, жестко закрепленной на концах и колеблющейся под
действием приложенных осциллирующих напряжений. Движущаяся дислокация рассеивает энергию через термоупругие эффекты, взаимодействие
дислокации с электронами и фононами. Следует отметить, что существует
много модификаций теории Гранато-Люкке, предлагающих различным образом учитывать распределение дислокационных сегментов по длинам,
наличие перегибов на дислокациях и т.д. Струнная модель объясняет также амплитудно-зависимое внутреннее трение, используя предположение
об отрыве дислокаций от точек закрепления.
Из сказанного можно сделать следующий вывод: дислокационное
поглощение тем меньше, чем менее подвижны дислокации в кристалле. А
одним из факторов, определяющих подвижность дислокаций, является напряжение Пайерлса – напряжение необходимое для преодоления дислокацией потенциального барьера, образуемого кристаллической решеткой.
Значения напряжения Пайерлса для различных материалов приведены в
табл. 7.1.
Таблица 7.1
Экспериментальные значения напряжения Пайерлса, нормированного на модуль
сдвига, в различных материалах
Химическая формула
Напряжение
Пайерлса, τρ /G
Металлы с г.ц.к. структурой
Ионные кристаллы типа NaCl
Сu, Al, Pl
LiF, KCl
< 10-5
(1-5)·10-4
Металлы с о.ц.к. структурой
Fe, Mo, Nb
∼5·10-3
Полупроводники IV группы типа алмаза
Ge, Si
∼1
Ионные кристаллы с плотной упаковкой
Al2O3
∼1
Материал
Из табл. 7.1 можно заключить, что в таких материалах как Ge, Si,
Al2O3 движение дислокаций затрудняется высоким барьером Пайерлса.
Следовательно, можно рассчитывать, что в них будут слабо проявляться
34
дислокационные механизмы внутреннего трения. Экспериментальные исследования подтверждают этот вывод.
Другим способом ограничения движения дислокаций в кристалле
является их закрепление дефектами [24]. Так сплав алюминия Al-5056, содержащий оптимальное количество примесей, используется в качестве материала с малыми акустическими потерями.
Контрольные вопросы и задачи
7.1. При измерении температурной зависимости потерь Q-1 в камертоне,
изготовленном из алюминия, обнаружено, что в некоторой области
температур потери значительно выше, чем при других температурах.
Как убедиться, что этот пик потерь обусловлен движением дислокаций в материале камертона?
7.2. Какая модель используется для объяснения амплитудно-зависимого
внутреннего трения в материале?
35
Лекция 8
Потери в креплении наноэлектромеханических систем. Потери изза взаимодействия с молекулами газа, окружающего осциллятор.
Поверхностные потери как преобладающие в наномеханических осцилляторах. Диссипативные механизмы, связанные с дефектами
поверхности, адсорбированными молекулами и специально нанесенными слоями. Методы уменьшения поверхностных потерь.
Важным фактором, ограничивающим добротность механических осцилляторов, являются потери в их креплении. Рассмотрим, например, базовую конструкцию наномеханического осциллятора. Обычно такой осциллятор изготавливается методом травления. Из целого куска получаем
монолитную конструкцию, в
z
которой тонкий стержень пеFs
y
реходит в опору. Схематически это изображено на рис.
Mb
h
hp
8.1. Колебания стержня возбуждают звуковые волны в
l
w
упругой среде опоры. В слуРис. 8.1. Схема крепления наноосциллятора
чае стержня, совершающего
поперечные колебания, к опоре приложена сила Fs, параллельная ее поверхности, и изгибающий момент Мb (нормальная сила FN тоже существует, но она обычно мала). Они являются гармоническими функциями, изменяющимися с частотой ω0 собственных колебаний стержня. Если толщина
опоры hp много больше толщины стержня h hp>>h , а также hp>>λs (длина
сдвиговой волны λs=2πсs/ω0 распространяющейся в опоре со скоростью сs),
то опору можно рассматривать как бесконечное упругое полупространство, и потери энергии колеблющегося стержня на возбуждение упругой
волны вычислять через работу силы Fs. Расчеты, приведенные в работе
[25] показывают, что мощность, излучаемая в опору благодаря действию
сдвиговой силы, много больше той, которая обусловлена действием изгибающего момента. Потери для фундаментальной изгибной моды колебаний стержня с обоими закрепленными концами выражаются следующей
формулой:
Q −1 = A
36
4
w⎛h⎞
⎜ ⎟ ,
l ⎝l⎠
(8.1)
где А – численный множитель, слабо зависящий от коэффициента Пуассона материала ν. Для ν = 0,3 А ≈ 45,0. Обращает на себя внимание сильная
зависимость потерь от длины колеблющегося стержня.
Потери для стержня с одним закрепленным концом описываются
выражением, аналогичным (8.1) со значительно меньшим (в ∼150 раз) численным коэффициентом А.
Формула (8.1) описывает идеализированную ситуацию, когда опора
рассматривается как полупространство. Это, в частности, означает, что упругая волна, вызываемая колебаниями осциллятора, распространяется в
опоре без отражений. Реальная опора всегда имеет конечные размеры и
границу с вакуумом или другим твердым телом. Отражения от границы
приводят к тому, что в месте крепления осциллятора прямая и отраженная
волны интерферируют. В частности, это может привести к уменьшению
амплитуды волны, уносящей энергию осциллятора, и снижению потерь в
его креплении.
С другой стороны, при наличии контакта опоры (вернее ее части, составляющей монолитный блок с осциллятором) с другими телами возникает диссипация энергии упругой волны из-за трения между поверхностями
в месте контакта. Таким образом, при разработке системы крепления механического осциллятора в каждом конкретном случае необходимо учитывать по возможности все факторы, определяющие утечку энергии в опору.
Следует также отметить так называемые нитяные подвесы механических осцилляторов килогерцового диапазона частот. Они используются
для крепления вполне макроскопических осцилляторов с массой от единиц
грамм до десятков килограмм и позволяют получать предельно низкие
значения потерь [2].
Любой механический осциллятор колеблется в окружающей среде.
Имеется в виду окружающий газ или вакуум с различной степенью разрежения. При перемещении твердого тела относительно газовой среды, оно
передает энергию молекулам газа. Возможны два основных механизма такой передачи. Первый обусловлен вязкостью среды, второй – излучением
звуковых волн при колебаниях тела. При относительно высоких давлениях
окружающего газа, когда длина свободного пробега молекул газа lсв много
меньше характерных размеров колебательного элемента, величина потерь
37
Qгаз-1 вычисляется по известным формулам механики сплошных сред. При
низких давлениях остаточного газа р, когда длина lсв свободного пробега
молекул газа больше характерных размеров колебательного элемента, потери оцениваются как Qгаз-1 ≈ рА/Мэффω0υм, где υм= k B T / μ – средняя тепловая скорость газовых молекул с молекулярной массой μ [5].
Заметим, что при уменьшении размеров наноосцилляторов переход к
молекулярному режиму происходит при бóльших давлениях.
В предыдущих лекциях были рассмотрены механизмы потерь, связанные с деформированием материала, из которого изготовлен осциллятор.
Их можно условно разделить на две группы. Одни проявляются в идеальных кристаллах, другие обусловлены дефектами кристаллической структуры. Отдельно рассматривается поверхность колебательного элемента, которую можно трактовать как особый дефект (в структуре бесконечного
кристалла). При этом, чем меньше объем осциллятора, тем больше соотношение поверхность/объем и тем значительнее роль поверхностных потерь. На рис. 8.2 приведены
1010
наилучшие значения величины
McGuigan ‘78
109
добротности механических осцилляторов, полученные в раз108
Duffy ‘90
личных лабораториях, как
функция логарифма объема
Agnolet‘84
107
Kleiman ‘87
Q
колебательного элемента. Из
106
рис. 8.2 можно заключить, что
Greywall ‘98
в наноосцилляторах потери в
LPS ‘04
105
Mihallovich ‘93
поверхностном слое играют
ключевую роль.
4
В макроскопических осцилляторах
колебательный
элемент обычно вырезается из
куска твердого тела. При этом
вблизи поверхности образуется
нарушенный слой, который
удаляется путем специальной
обработки поверхности, позво38
10
Caltech, Cornell ‘96-02
103
-10
-5
0
5
10
log(volume (mm3))
Рис. 8.2. Максимальная добротность
механических резонаторов,
изготовленных из монокристаллических
материалов, в зависимости
от объема колебательного элемента [5]
ляющей свести к минимуму нарушения кристаллической структуры в поверхностном слое. Эффективность методов обработки поверхности можно
косвенно оценить по значению такого параметра, как прочность образца на
разрыв, так как она существенно зависит от состояния поверхности образца, а именно, нарушений в его поверхностном слое, поскольку процесс
разрушения начинается с поверхностных дефектов. В табл. 8.1, взятой из
работы [26], приведены максимальные значения прочности на разрыв при
комнатной температуре, полученные для сапфировых стержней после указанного вида обработки. Лучшее качество поверхности получается при
пламенной обработке и химическом травлении.
Таблица 8.1
Зависимость максимальной прочности на разрыв сапфировых стержней
при комнатной температуре от вида их обработки [26]
Обработка, состояние поверхности
Пламенная полировка, выбранный рабочий участок образца
Травление бурой
Механическая полировка, отжиг в кислороде (1600 0С)
Отжиг, механическая полировка
Бесцентровая шлифовка
Непосредственно после изготовления
Прочность, 109Па
7,35
6,86
1,04
0,78
0,50
0,44
Потери, возникающие в поверхностном слое материала, из которого
изготовлен колеблющийся элемент, описываются углом потерь Φs. Составляющая потерь в осцилляторе, обусловленная поверхностными потерями имеет следующий вид [27]:
Q s−1 = μhΦ s
S
V
(8.1)
где μ – численный множитель, зависящий от геометрических параметров и
моды механического осциллятора, h – глубина поверхностного слоя, S и V
– площадь поверхности и объем колеблющегося элемента. Для стержня с
круговым поперечным сечением диаметра d, совершающего изгибные колебания, μ ≈ 2 [27].
При изготовлении наноосцилляторов используются методы травления и напыления, которые дают относительно хорошее качество поверхности. Но, как иллюстрирует рис. 8.2, оно не достаточно, чтобы получить ве39
личину добротности, ограниченную фундаментальными механизмами потерь, свойственными материалу, из которого изготовлен осциллятор.
Увеличить добротность наноосцилляторов, изготовленных из кремния, позволяет отжиг [28] и модификация поверхности [29]. Так, например,
если нанорезонатор мегагерцового диапазона частот в виде стержня толщиной около 300 нм, изготовленный из монокристаллического кремния
методом травления, покрыть монослоем метила СН3, то его добротность
оказывается на 20% выше, чем в случае, когда он покрыт монослоем водорода Н.
Наноосцилляторы, изготовленные из углеродных нанотрубок и графена, принципиально соQ
стоят из одного или не– А5056
скольких атомных слоев
– Nb [ ]
9
10
углерода [10,11]. Пока для
– Si [ ]
– Аl2O3[ ]
них не удалось получить
108
высокую добротность, тем
Темные значки
7
более такую, которая дос10
соответствуют
Т=300 К, светлые
тигнута для макроскопи– Т= 4,2 К
106
ческих
колебательных
систем (см. рис. 8.3). Здесь
105
перед
исследователями
стоят задачи, во-первых,
104
101
102
103
104
f, Гц
идентификации специфических механизмов поРис. 8. 3. Максимальная добротность
механических резонаторов,
терь, во-вторых, минимиизготовленных из различных материалов [2]
зации этих потерь.
Контрольные вопросы и задачи
8.1. Рассчитать потери в креплении наноосциллятора из кремния, описанного в
задаче 2.1. При каких толщинах опорной части конструкции можно пользоваться моделью опоры как упругой среды, заполняющей полупространство?
40
Q -1
8.2. Механический осциллятор, представляет собой сосредоточенную массу
Мo = 10 г, подвешенную на пружине с жесткостью Ко,
второй конец которой прикреплен к платформе с
Коп
массой Моп = 1 кг >> Мo. Платформа в свою очередь
Моп
подвешена к жесткому основанию на пружине с
Ко
жесткостью Коп и демпфером, снижающим
Мо
добротность собственных колебаний опоры до Qоп =
101. Определить потери в креплении для рассмотренного механического осциллятора.
8.3. На рис. 8.4 представлены резуль10-5
таты измерения добротности изгибных колебаний тонких квар10-6
цевых стержней, изготовленных
методом вытягивания в пламени
10-7
кислородно-газовой
горелки,
имеющих различный диаметр.
10-8 1
Определить величину hΦs.
102
10
103
104
105
Diameter, μm
Рис. 8.4
41
Лекция 9
Сенсоры и актюаторы для возбуждения механических колебаний
НЭМС и их преобразования в электрические сигналы. Обратное динамическое и флуктуационное влияние сенсоров и вносимая ими
диссипация. Подавление теплового шума НЭМС посредством нетеплового охлаждения. Квантовое поведение НЭМС. Области применения НЭМС.
В подавляющем большинстве применений высокодобротные механические осцилляторы снабжены входными и выходными преобразователями, которые служат для преобразования электрического сигнала в механические колебания осциллятора, а последние снова в электрический сигнал. Блок-схема такой электромеханической системы представлена на
рис. 9.1.
Входной
электрический
сигнал
Выходной
электрический
сигнал
Входной
преобразователь
(актюатор)
Выходной
преобразователь
(сенсор)
Механический
осциллятор
Дополнительное
воздействие
Обратное
влияние
Рис. 9.1. Блок-схема электромеханического осциллятора
Обычно преобразователи работают в линейном режиме F=K1Uвх,
Uвых= K2х (х – смещение механического осциллятора) и характеризуются
частотными коэффициентами передачи K1(ω) и K2(ω). Передаточная функция самого механического осциллятора имеет вид:
1
G (ω ) =
M eff
а квадрат ее модуля:
42
⎡
ωω 0 ⎤ ,
2
2
⎥
⎢ ω − ω0 + i
Q ⎥
⎢
⎦
⎣
(
)
(9.1)
G (ω )
2
=
1
(
⎡ 2
2
M eff
⎢ ω − ω 02
⎢⎣
)
2
+
ω 2ω 02 ⎤
.
(9.2)
⎥
Q 2 ⎥⎦
Например, для фундаментальной изгибной моды колебаний стержня
с двумя закрепленными концами Meff = 0,735Mtot, где Mtot – полная масса
стержня.
Входные преобразователи или актюаторы осуществляют преобразование электрического сигнала в силу, действующую на механический осциллятор. Их можно условно разделить на три группы: электрические (емкостные), магнитные, оптические (табл. 9.1).
Таблица 9.1
Характеристики входных преобразователей электромеханических
осцилляторов
Электрические
Магнитные
Оптические
Сила взаимодействия между двумя пластинами с
площадью S, разделенными
зазором d, между которыми приложено напряжение
U:
Сила, действующая на
проводник длиной L с
током I, помещенный в
магнитное поле с индукцией B:
Сила давления светового
пучка c плотностью потока
энергии N, поперечным сечением S, падающего нормально на поверхность с коэффициентом отражения R:
Fe =
ε 0U 2 S
2d
2
Fm = ILB
Fopt =
NS
(1 + R )
c
Следует отличать световое давление от паразитного радиометрического эффекта, связанного с тем, что поверхность пластины, на которую
падает световой поток, нагревается до температуры Т2, отличной от температуры противоположной стороны пластины Т1. В результате этого молекулы остаточного газа, отскакивающие от более нагретой поверхности,
приобретают больший импульс, и на пластину действует сила радиометрического давления. Также используются другие методы создания силового
воздействия, например, пьезоэлектрический, тепловой.
На рис. 9.2 и 9.3 приведены схемы силового воздействия на базовый
наноосциллятор (стержень с двумя закрепленными концами).
43
f(t)
B
i(t)
Рис. 9.2. Схема магнитного актюатора
Стержень помещен в магнитное поле.
Переменный
ток
протекает
через
проводящий стержень или нанесенное на
него проводящее покрытие. Сила Ампера
возбуждает колебания стержня.
Рис. 9.3. Схема электростатического
актюатора
Электростатическая сила создается между стержнем и электродом, если разность
потенциалов приложена между ними
Аналогичные методы используются для преобразования механических колебаний в электрический сигнал. В магнитных сенсорах механический осциллятор помещается в однородное магнитное поле, колебания
стержня создают изменение магнитного потока в контуре, включающем
стержень, которое генерирует ЭДС.
На рис. 9.4 приведена схема оптического сенсора для преобразования колебаний механического осциллятора в виде стержня с закрепленными концами в электрический
λ
RM
PD
сигнал [30]. В сенсоре используется
интерферометр
BS
OL
Майкельсона. Свет, отраженный от стержня, интерферирует с опорным пучком,
создаваемым дополнительным зеркалом RM, и падает
на фотодетектор PD. РаздеPис. 9.4. Схема оптического сенсора [30]
ление и смешение световых
пучков происходит на делителе пучка (beamsplitter BS). Детальный обзор
сенсоров и актюаторов для НЭМС представлен в работе [31].
Любой сенсор оказывает обратное влияние на осциллятор, колебания
которого он преобразует в электрический сигнал. Это свойство сенсора
отображено на рис. 9.1.
Рассмотрим обратное влияние на примере емкостных сенсоров, в которых перемещение (колебание) объекта преобразуется в изменение элек44
трической емкости измерительного конденсатора (рис. 9.5а), которое в
свою очередь преобразуется в электрический сигнал. Среди различных
вариантов схем преобраR
б)
а)
зования изменения емКо
C0 Uвых кости в электрический
М
U0
сигнал
рассмотрим
преобразователь
изоРис. 9.5. Схема емкостного сенсора (а)
браженный на рис. 9.5б.
и схема преобразования изменения емкости
Коэффициент преобразов электрический сигнал (б)
вания смещения Δх массы
М в электрический сигнал ΔU (в пренебрежении паразитными емкостями
схемы) и при условии RωC0 >>1:
ΔU U 0
≈
Δx
d ,
(9.3)
где d – величина зазора, разделяющего неподвижную пластину измерительного конденсатора и подвижную, которая укреплена на колеблющейся
массе осциллятора. Поскольку между пластинами приложено постоянное
напряжение U0, между ними действует сила электростатического притяжения Fe (см. табл. 9.1). Эта сила изменяется при колебаниях массы М, вызывающих изменение зазора d. Следовательно, в осциллятор вносится дополнительная жесткость:
∂Fe
ε 0 SU 02
1
.
K преобр = −
=−
⋅
3
2
∂x
4d
1 + R C 2ω02
(9.4)
Подробный расчет преобразователя Кпреобр приведен в [32]. Заметим, что
она имеет отрицательный знак, т.е. уменьшает собственный коэффициент
жесткости (жесткость) осциллятора К0.
Дополнительная отрицательная жесткость вносится в осциллятор с
запаздыванием τзап=RC (при изменении зазора должен изменяться заряд на
обкладках, чтобы сохранить равновесное значение разности потенциалов
U0 между ними). Это приводит к внесению в осциллятор дополнительного
затухания:
−1
=−
Qпреобр
К преобр
К0
ωτ зап .
(9.5)
Для описанного выше емкостного преобразователя:
45
Q
−1
преобр
ε 0 SU 02
RCω 0
=
⋅
.
4d 3 Mω 2 1 + R 2 C 2 ω 02
(9.6).
0
В [33] проанализирован емкостной преобразователь с высокочастотной накачкой. Он имеет бóльший коэффициент преобразования, чем вышеописанный. В зависимости от настройки сигнала накачки на правый или
левый склон резонансной кривой колебательного контура, входящего в состав емкостного преобразователя, в механический осциллятор вносится
либо дополнительное затухание, либо отрицательное дополнительное затухание, т.е. регенерация (увеличение добротности).
Обратное влияние сенсора приводит не только к изменению динамических характеристик механического осциллятора, но и к дополнительному флуктуационному воздействию на него, обусловленному шумами в
сенсоре. Оптимизация параметров сенсора с целью получения компромисса между чувствительностью и обратным флуктуационным влиянием привела к понятию стандартного квантового предела чувствительности [34].
В микромире действуют законы квантовой механики. Исследователей всегда интересовал вопрос, можно ли экспериментально наблюдать
квантовое поведение макроскопических объектов. Создание механических
наноосцилляторов значительно приближает решение этого вопроса. Под
квантовым поведением понимают наблюдение, в частности, таких эффектов как дискретность энергетических уровней осциллятора, когерентную
эволюцию, суперпозицию состояний и их перепутывание (entanglement),
квантовый шум, сжатые состояния. При каких условиях возможно наблюдение квантового поведения механических осцилляторов? Согласно квантовой механике энергия каждой моды или механического осциллятора,
имеющего собственную частоту ω, квантуется:
(
E = hω N +
1
2
),
где N=0, 1, 2 …
(9.7)
Основное состояние (N=0) с энергией ħω/2 описывается гауссовой
волновой функцией, имеющей ширину
< x 2 > = ΔxСКП =
h
.
2 mω
(9.8)
Эта величина известна как стандартный квантовый предел при измерении координаты осциллятора с массой m [35]. Чем меньше масса осцил46
лятора, тем больше амплитуда его нулевых колебаний (9.8) и тем проще ее
измерять.
Осциллятор, находящийся в тепловом равновесии с термостатом при
температуре Т, имеет среднюю энергию
⎛1
⎞
1
⎟.
< E > = hωN th = hω ⎜⎜ + hω / k T
B −1⎟
⎝2 e
⎠
(9.9)
Для того, чтобы достигнуть состояния с Nth < 1 необходимо уменьшить температуру термостата
kBT << ħω.
(9.11)
Важной техникой, которая, как предполагается, может помочь в экспериментальной реализации наномеханических осцилляторов, находящихся в основном квантовом состоянии, является их охлаждение с помощью
активных обратных связей или обратного динамического воздействия [36].
Заметим, что эффективность охлаждения увеличивается при уменьшении
диссипации в механических осцилляторах, т.е. при увеличении их добротности.
В настоящее время удается охладить наноосцилляторы до уровня,
соответствующего Nth ≈ 25.
Среди различных типов сенсоров, которые демонстрируют перспективность для измерения колебаний наноосцилляторов в квантовой области,
можно выделить сенсор, основанный на емкостной связи со сверхпроводящим радиочастотным одноэлектронным транзистором [37], сенсор, основанный на емкостной связи с резервуаром куперовских пар (cooper-pairbox), зарядовое состояние которого измеряется одноэлектронным транзистором [38], а также сенсор, использующий квантовый точечный контакт
[39].
Еще одно важное условие наблюдения квантовых эффектов в макроскопических механических осцилляторах связано с явлением декогеренции
или декогерентизации [40]. Оно возникает из-за связи квантового осциллятора с окружением. Время измерения должно быть меньше времени декогерентизации осциллятора, которое обычно пропорционально Q/T. Это обстоятельство еще раз подчеркивает значение высокой добротности, которой должны обладать механические наноосцилляторы для того, чтобы их
можно было бы рассматривать как полноценные квантовые объекты.
47
Контрольные вопросы и задачи
9.1. Каковы особенности применения оптических сенсоров для регистрации колебаний механических наноосцилляторов?
9.2. Как проявляется обратное влияние сенсора на осциллятор, колебания
которого он регистрирует?
9.3. Какие методы используются для осуществления «холодного» демпфирования механических осцилляторов?
48
Лекция 10
Диссипация энергии электромагнитных колебаний в различных резонансных системах. Колебательный контур. Расчет потерь в катушке индуктивности и конденсаторе колебательного контура.
Собственная и нагруженная добротность. Радиационные потери.
Анализ диссипативных процессов в электромагнитных колебательных системах начнем с колебательного контура с сосредоточенными элементами: индуктивностью L и емкостью С. Потери Q-1 в колебательном
контуре складываются из основных составляющих:
Q-1 = Q-1емк + Q-1инд+ Q-1излуч + Q-1связь.
(10.1)
-1
Потери Q емк в конденсаторе, заполненном диэлектриком, в основном определяются его тангенсом угла диэлектрических потерь tgδ. Анализ
механизмов потерь, возникающих при поляризации диэлектриков, а также
методика их расчетов аналогичны анализу механических потерь, возникающих при деформировании упругой среды. Они были рассмотрены в
предыдущих лекциях. Среди диэлектриков с малыми потерями можно выделить сапфир, плавленый кварц, тефлон.
Эквивалентная схема конденсатора с потерями показана на рис. 10.1.
Часто ее упрощают до последовательного соединения емкости С и сопротивления Rэкв.посл.. Чем больше потери в
C
L
Rэкв.посл.
конденсаторе, тем больше Rэкв.посл..
Потери в катушке индуктивности
Rэкв.пар.
определяются омическими потерями в
Рис. 10.1. Эквивалентная схема
проводе, которым намотана катушка
конденсатора с потерями
индуктивности с учетом того, что переменный ток течет не по всему сечению провода, а только в его поверхностном слое (скин-эффект). Глубина проникновения магнитного поля в
проводник δск определяется формулой для толщины скин-слоя:
δ cк =
1
1 ωμμ σ
0
2
(в системе СИ)
(10.2)
где σ – удельная проводимость материала; μ – магнитная проницаемость
материала; μ0 – магнитная постоянная.
49
Заметим, что в катушке индуктивности распределение тока по сечению провода отличается от такового для прямого провода. Этот эффект
необходимо учитывать при точном расчете величины индуктивности и сопротивления катушки индуктивности.
Переменный ток, протекающий в колебательном контуре, излучает
электромагнитные волны, которые уносят его энергию. Рассмотрим, например, виток с током i, который характеризуется магнитным моментом
|pm |=πr02i, где r0 – радиус витка. Пусть через виток протекает переменный
ток i = i0cosωt. Рассчитав поле такого диполя, можно найти вектор Пойнтинга, и проведя интегрирование по сфере, окружающей диполь, получить
полную среднюю мощность излучения [41]:
Wизл =
μ 0ω 4 pm 2
3
.
(10.2)
12πc
Поскольку средняя мощность излучения прямо пропорциональна
четвертой степени частоты колебаний, с ее увеличением мощность излучения быстро нарастает.
Для возбуждения колебаний в колебательном контуре используется
внешний генератор, для регистрации колегенератор
L1
L
баний – детектор. Они обычно подключа- C
детектор
L2
ются к колебательному контуру через элементы связи. На рис. 10.2 показана индукРис. 10.2. Схема индуктивной
тивная связь колебательного контура с ге- связи колебательного контура
с генератором и детектором
нератором и детектором через катушки L1
и L2. Поскольку генератор и детектор обладают внутренними активными
сопротивлениями, часть энергии колебаний контура рассеивается в них.
Потери в контуре Qн−1 могут быть записаны в виде:
Qн−1 =
⎛ P ⎞
P0 + Pсв
= Q0−1 ⎜⎜1 + св ⎟⎟ ,
ωW
P0 ⎠
⎝
(10.2)
где Qн – называют нагруженной добротностью, Q0 – собственная добротность, Рсв//Р0 – коэффициент связи, равный отношению мощности рассеиваемой в нагрузке к мощности, рассеиваемой в колебательном контуре.
Связь, при которой коэффициент связи равен 1, называется критической.
50
Добротность колебательных контуров в мегагерцовом диапазоне частот
обычно не превышает 103.
Контрольные вопросы и задачи
10.1. Колебательный контур с резонансной частотой fr = 10 МГц, в который
включен воздушный конденсатор С1 = 100 пФ, имеет добротность Q1
= 300. Параллельно подключили конденсатор С2 = 50 пФ, заполненный диэлектриком, и получили Q2 = 200. Найти тангенс угла диэлектрических потерь в диэлектрике (паразитной емкостью колебательного контура пренебречь).
10.2. Какие физические механизмы определяют электрические потери в
диэлектрике?
51
Лекция 11
Металлические объемные резонаторы. Расчет потерь в стенках
резонаторов. Поверхностное сопротивление. Сверхпроводящие резонаторы.
В диапазоне сантиметровых волн используются металлические объемные резонаторы. Объемные резонаторы цилиндрической и прямоугольной формы можно рассматривать как отрезки соответствующих волноводов с закрытыми торцами. Вследствие отражения от торцевых поверхностей поля в резонаторе образуют стоячие волны Аcos(kzz) + Bsin(kzz). В
прямоугольном резонаторе с размерами а, b, d компоненты векторов Е и Н
имеют следующую структуру:
mπx
nπy
pπz
;
E x = A1 cos
sin
sin
a
b
d
mπx
nπy
pπz
;
(11.1)
E y = A2 sin
cos
sin
a
b
d
mπx
nπy
pπz
;
sin
cos
E z = A3 sin
a
b
d
а собственные частоты для колебаний с индексами m,n,p равны:
2
2
2
⎛ mπ ⎞
⎛ nπ ⎞
⎛ pπ ⎞ .
⎟ +⎜
⎟ +⎜
⎟
⎝ a ⎠
⎝ b ⎠
⎝ d ⎠
ω mnp = c ⎜
(11.2)
Детальное описание объемных резонаторов дано в [41]. Основные
свойства объемных резонаторов без потерь: резонатор имеет дискретный
спектр собственных резонансных частот; каждой частоте соответствует
определенное распределение поля в резонаторе; поля различных по частоте колебаний ортогональны между собой; все компоненты вектора E и все
компоненты вектора H синфазны между собой; между векторами E и H
есть сдвиг по фазе на π/2 (четверть периода).
Плотность энергии электромагнитного поля равна W=½ (ε0E2 + μ0H2).
Для резонатора с идеально проводящими стенками средние за период значения энергии электрического и магнитного полей равны между собой:
W = 1 ∫ ⎛⎜ ε 0 E
4 ⎝
V
52
2
2
2
2
+ μ 0 H ⎞⎟ dV == 1 ∫ ⎛⎜ ε 0 E ⎞⎟ dV = 1 ∫ ⎛⎜ μ 0 H ⎞⎟ dV . (11.3)
2 ⎝
2 ⎝
⎠
⎠
⎠
V
V
Основной механизм диссипации энергии резонаторов электромагнитных колебаний – потери в стенках резонатора. Мощность потерь можно
рассчитать, проинтегрировав по поверхности стенок средний поток энергии, направленный в стенки:
P = 1 Re ∫ ([ EH * ] n) dS ,
2
(11.4)
S
где n – вектор нормали к стенке.
Доказательство этой формулы можно найти в [41].
Плотность потока энергии описывается вектором Пойнтинга:
S = [EH ] .
(11.5)
Учтем, что Е – гармоническая функция времени и при рассмотрении резонатора с потерями между Е и Н существует сдвиг фаз. Тогда, во-первых,
нужно рассматривать средние по времени значения, во-вторых, поскольку
вектор Пойнтинга – квадратичная величина, нужно при вычислении использовать поля, записанные в действительном виде.
Подставляя в (11.5) E и H, записанные в действительном виде
E = ½(E+E*), H =½(H+H*), для среднего за период вектора S имеем
{
}
S = ¼ [ EH ] + [ E * H ] + [ EH * ] + [ E * H * ] . Учитывая, что зависимость
полей от времени имеет вид е±iωt, первый и последний члены равны нулю.
Окончательно получаем:
ΣS = ¼{[E*H]+[EH*]}=½Re[EH*].
(11.6)
Известно, что в бегущей плоской волне, распространяющейся в направлении m, E = −
μ
[mH ] =
ε
μ
[Hm ] . Импеданс Z 0 =
ε
μ
определяет
ε
количественную связь между напряженностью электрического и магнитного поля.
Для того чтобы определить энергию, поглощенную в стенках резонатора, нужно решить электродинамическую задачу определения полей в
резонаторе с неидеальными стенками, учитывая, что поле проникает в них
на некоторую глубину, что достаточно сложно. Однако, если стенки обладают достаточно большой проводимостью, то задачу можно решить приближенно с малой погрешностью. При этом используются следующие
приближения:
53
− структура поля в резонаторе предполагается такой же, как в резонаторе с идеально проводящими стенками;
− в качестве граничных условий на стенках резонатора используются приближенные граничные условия Леонтовича.
Что это за условия? Они определяют связь между тангенциальными
компонентами электрического и магнитного полей на границе раздела между диэлектриком и хорошим проводником Et=ZS[Ht n], где ZS - импеданс
проводника. Их физическое обоснование связано с тем фактом, что при
произвольном угле падения плоской волны на проводящую поверхность
преломленная волна внутри последней распространяется почти нормально
к поверхности.
Используя выражения для энергии, запасенной в резонаторе, и среднего потока энергии, направленного в стенки, получаем выражение для величины добротности полого резонатора электромагнитных колебаний:
1 ωμ H 2 dV
ωμ0 ∫ H 2 dV
0∫
2
Wω
V
V
Q=
=
=
Pпотерь 1 (Re Z ) H 2dS (R ) H 2dS
S
tg
S
tg
2
S
S
∫
.
(11.7)
∫
При расчете ZS будем иметь в виду, что для изготовления резонаторов используются хорошо проводящие металлы, например, медь. Для них
относительная магнитная проницаемость μ ≈ 1, ε = εε0 + iσ/ω.
δ ск =
2
μ 0ωσ
μ 0ω 1 − i
=
iσ
2
ZS =
Тогда
μ 0ω
, а
σ
Re Z S =
μ 0ω μ 0ω
=
δ ск = RS , где
2σ
2
.
Подставляя Re ZS в выражение для добротности, получаем:
2
2
ωμ0 ∫ H dV
Q=
μ 0ω
2
∫ H dV
V
2
=
δ ск ∫ H tg dS
S
2 V
δ ск
2
.
∫ H tg dS
(11.8)
S
Из формулы (11.8) можно сделать следующий вывод. Запас энергии
в резонаторе пропорционален его объему и зависит от типа колебаний.
Энергия, теряемая в стенках резонатора пропорциональна объему, в котором происходят потери, т.е. произведению площади поверхности стенок на
толщину
54
скин-слоя
δск.
Для
основных
типов
колебаний
Q~
V
Sδ ск
~
λ3
λ2 λ
~ λ , поэтому с уменьшением длины волны уменьшается
добротность объемных металлических резонаторов.
Выражение для добротности резонатора иногда представляют в виде
Q=
Г
, где Г – геометрический фактор резонатора, зависящий от размеров
RS
резонатора и типа колебаний в нем. В табл. 11.1. приведены значения геометрического фактора для цилиндрического резонатора, у которого диаметр равен высоте (h = 2a).
Таблица 11.1
Геометрический фактор резонатора в зависимости от типа колебаний
Тип колебаний
Г (Ом)
Н011
Н111
Е010
Е011
Е111
780
321
302
271
392
Поверхностное сопротивление стенок объемных резонаторов можно
значительно уменьшить, изготовив их из сверхпроводящих материалов и
охладив ниже температуры перехода в сверхпроводящее состояние. Заметим, что сверхпроводники обладают нулевым сопротивлением только для
постоянного тока. В случае переменного тока поверхностное сопротивление отлично от нуля и увеличивается при увеличении частоты колебаний
поля [2]. Тем не менее, поверхностное сопротивление сверхпроводников
гораздо ниже поверхностного сопротивления нормальных металлов. Это
позволяет создавать в СВЧ диапазоне резонаторы с весьма высокой добротностью, достигающей значений Q ≈ (4-5)×1011, что на много порядков
превышает добротность резонаторов, изготовленных из хорошо проводящих нормальных металлов.
Контрольные вопросы и задачи
11.1. Резонатор СВЧ диапазона имеет форму цилиндра, у которого диаметр
равен высоте. Он изготовлен из меди с удельным сопротивлением ρ =
1,7×10-8 Ом·м. Вычислить добротность моды Н011 этого резонатора.
11.2. Каким образом получают приближенные граничные условия Леонтовича?
11.3. Какой смысл имеет величина поверхностного сопротивления RS?
11.4. Чем ограничена добротность сверхпроводящих СВЧ резонаторов?
55
Лекция 12
Диэлектрические резонаторы. Диэлектрические резонаторы с модами типа шепчущей галереи. Механизмы потерь в диэлектрических резонаторах. Температурная зависимость потерь в кольцевых
диэлектрических резонаторах.
Если внутренне пространство полого металлического резонатора заполнено диэлектриком с большой диэлектрической проницаемостью и малыми потерями, то можно значительно уменьшить размеры резонатора,
λ
поскольку λдиэл = вак . Прямоугольные и цилиндрические блоки, изгоε
товленные из диэлектриков, сами по себе являются резонаторами электромагнитных колебаний, поскольку происходит отражение электромагнитной волны на границе раздела диэлектрик-вакуум. Для уменьшения излучения электромагнитного поля в окружающее пространство они обычно
экранируются. При этом образуется система диэлектрический блок-экран,
собственная частота которой определяется как параметрами диэлектрического блок, так и размерами экрана. Диэлектрические резонаторы применяются в диапазоне СВЧ и миллиметровых волн. Добротность таких резонаторов не превышает 105. Существенное увеличение добротности достигается при применении диэлектрических резонаторов с модами «шепчущей галереи».
Использование полного внутреннего отражения электромагнитной
волны на границе двух диэлектриков и кольцевой конфигурации позволяет
создать высокодобротные электромагнитные резонаторы без применения
металла. По аналогии с акустическими резонаторами иногда употребляется
термин «резонатор на эффекте шепчущей галереи». Кольцевые диэлектрические резонаторы (замкнутые диэлектрические волноводы) в последние
годы начали довольно широко использоваться в технике СВЧ.
В диэлектрическом резонаторе, имеющем форму диска, электромагнитные волны распространяются в тонком слое между цилиндрической
границей и внутренней каустикой. Вне этой области поле волны спадает
экспоненциально. Экспоненциальный спад поля происходит также вне
плоских поверхностей диска. Распространение волны можно трактовать
как распространение лучей, испытывающих полное внутреннее отражение
56
на границе диэлектрик-воздух. Моды шепчущей галереи подразделяются
на моды типа Еn,m.l, в которых электрическое поле лежит почти полностью
в плоскости, перпендикулярной оси диска или типа Нn,m.l, в которых электрическое поле направлено вдоль оси. Азимутальный индекс n указывает
число полных периодов волны, укладывающихся вдоль цилиндрической
образующей резонатора; радиальный индекс m – число узлов волны, расположенных вдоль радиуса диска; аксиальный индекс l – число узлов
вдоль оси резонатора.
В очень грубом приближении рассматривая распространение электромагнитных волн вдоль цилиндрической поверхности дискового резонатора с радиусом а, можно полагать, что плоскость постоянной фазы волны
движется с тангенциальной скоростью:
vϕ ≈
c
,
ε
(12.1)
где с – скорость света в вакууме, ε – относительная диэлектрическая проницаемость материала резонатора.
Рассмотрим основные механизмы потерь энергии в дисковых СВЧ
резонаторах с модами шепчущей галереи [42].
Q-1 = Q-1матер. + Q-1изл. крив.+ Q-1расс. Δε + Q-1расс. пов. + Q-1креп. + Q-1связь
(12.2)
Потери на излучение вследствие изогнутости диэлектрического волновода. В изогнутом диэлектрическом волноводе фазовая скорость электромагнитной волны пропорциональна расстоянию до центра
кривизны. На некотором расстоянии от стенки волновода скорость волны
превышает скорость света. При этом поле «срывается», т.е. происходит излучение энергии. Поскольку поле вне волновода убывает экспоненциально, эти потери невелики. Численный анализ потерь в дисковых резонаторах из сапфира (ε⊥ = 8,5) для мод с азимутальным индексом n = 20 (R/λвак =
1,4) дает величину потерь на излучение Q-1изл. крив. ≈ 1,5×10-12.
Потери на излучение из-за вариаций диэлектрической проницаемости в материале резонатора Q-1расс. Δε.. В резонаторах, изготовленных из
кристаллических веществ, таких как сапфир (кристаллический Al2O3), вариации диэлектрической проницаемости ε связаны в первую очередь с
блочной структурой, существующей в реальных кристаллах, и анизотропи57
ей кристалла (ε|| ≈ 11, ε⊥ ≈ 8,5). Блочную структуру удобно характеризовать
углом Δϕ (характеризующим изменение направления главной оси кристалла в блоке) и средним размером блока в. Если Δϕ <<1, то вариации Δε от
блока к блоку будут составлять Δε ≈ ½(ε|| - ε⊥)(Δϕ)2.
Оценку потерь, вызванных излучением из-за вариаций Δε, можно
сделать, воспользовавшись расчетами, выполненными для плоского диэлектрического волновода [43].
Потери из-за излучения, вызванного шероховатостями и плавными
геометрическими неоднородностями на поверхности резонатора Q-1расс.пов.
Эти потери также можно оценить, используя методики, изложенные
в [43]. Шероховатость поверхности описывается среднеквадратичным отклонением стенки резонатора от идеальной геометрической фигуры (Δх)2 и
корреляционной длиной В (если функция корреляции отклонений С(х) =
(Δх)2exp{-|x|/B}).
В диэлектрических резонаторах СВЧ диапазона из сапфира с модами
шепчущей галереи удалось снизить потери на излучение и рассеяние настолько, что определяющими стали потери высокочастотного электромагнитного поля в материале – сапфире, которые можно охарактеризовать
тангенсом угла диэлектрических потерь tgδ.
Эти потери (так же как в случае потерь в механических осцилляторах) можно разделить на фундаментальные, т.е. присущие идеальным кристаллам, и потери, обусловленные дефектами кристаллической структуры.
В идеальных диэлектрических кристаллах потери в диапазоне СВЧ
вызваны взаимодействием электромагнитного поля с фононами. В гармоническом приближении взаимодействие между электромагнитным полем и
фононами отсутствует. Оно реализуется, если учесть ангармонизм кристаллической решетки [44]. Основную роль играет процесс присоединения
кванта поля к фонону с образованием фонона большей энергии.
В результате расчетов для кристалла с гексагональной симметрией
(симметрия кристаллической решетки сапфира близка к гексагональной)
получается следующее выражение для tgδ:
tgδ ≈ η
58
ω(k BT ) 5
ερv 5h 2 (k BTD ) 2
(12.4)
где ρ – плотность кристалла; v – средняя скорость звука в нем; η ≈ 10-100 –
безразмерный параметр, характеризующий ангармонизм кристаллической
решетки; ТD – температура Дебая, при которой возбуждаются все моды колебаний в рассматриваемом твердом теле.
Результаты измерения потерь в сапфировых резонаторах с модами
шепчущей галереи на частотах 9 ГГц и 72 ГГц в диапазоне температур Т =
3,5 К - 300 К представлены в работе [45]. При температурах от 300 К до
200 К температурная зависимость потерь хорошо аппроксимируется функцией Q-1 ∼ T4,8. При понижении температуры ниже ∼ 100 К - 50 К величина
потерь становится слабо зависимой от температуры, причем температура,
при которой это происходит зависит от количества дефектов в кристаллической структуре: чем больше концентрация дефектов, тем выше температура, при которой температурная зависимость потерь выходит на постоянный уровень, не зависящий от температуры.
Таким образом, добротность СВЧ резонаторов из сапфира с модами
шепчущей галереи в 10 ГГц диапазоне частот составляет ∼ 105 при температуре Т = 300 К и ∼ 109 при Т < 30 К. Можно ожидать увеличение добротности до ∼ 1015 при температуре Т = 4,2 К для резонаторов, изготовленных
из бездефектных кристаллов сапфира.
Контрольные вопросы и задачи
12.1. Оценить резонансную частоту моды шепчущей галереи с азимутальным индексом равным 16 для кольцевого диэлектрического резонатора из сапфира, диаметр которого равен 10 см.
12.2. Какую добротность можно ожидать для этого резонатора, если его
охладить до температуры 77 К (температура кипения жидкого азота)
и снизить величину всех потерь ниже уровня фундаментальных потерь в материале?
12.3. Как осуществляется связь кольцевого диэлектрического резонатора с
внешними устройствами?
59
Лекция 13
Открытые оптические резонаторы, их характеристики. Добротность и резкость оптического резонатора. Дифракционные потери. Оптические микрорезонаторы с модами шепчущей галереи. Механизмы потерь в оптических микрорезонаторах.
Существуют два основных типа оптических резонаторов: на стоячих
волнах и на бегущих волнах. Последние называются кольцевыми резонаторами. Простейший резонатор состоит из двух зеркал, направленных друг
на друга. Кольцевой резонатор состоит, по крайней мере, из трех зеркал. В
области видимого света и в инфракрасной области в оптических зеркалах
используются либо металлические покрытия (из алюминия, золота или серебра), либо многослойные диэлектрические покрытия.
Любое зеркало можно охарактеризовать амплитудными коэффициентами отражения r и прохождения t. В общем случае эти величины являются комплексными. Вводятся также коэффициенты отражения по мощности R = |r|2 и прохождения T = |t|2 [46,47].
Абсолютно совершенных зеркал не существует. Любое зеркало поглощает и рассеивает некоторую часть падающего на него света, т.е. обладает потерями энергии, характеризующимися коэффициентом L. Согласно
закону сохранения энергии R + T + L = 1.
Рассмотрим простейший оптический резонатор, состоящий из двух
зеркал находящихся на расстоянии d друг от друга. Пусть r1 и t1 относятся
к входному зеркалу, r2 и t2 – к выходному. Если амплитуда поля волны,
падающей слева на первое зеркало, равна E0, то через него проходит волна
с амплитудой E = t1E0. Далее волна распространяется до второго зеркала,
отражается от него, а затем снова отражается от первого зеркала. Сразу за
первым зеркалом, справа от него получаем:
Eh = t1E0 r2 r1e 2ikd ,
(13.1)
где k = 2πν/c – волновое число. После n проходов туда и обратно поле световой волны справа от входного зеркала
Ein = t1E0 (r1r2 ) n e 2nikd .
(13.2)
Если на входное зеркало все время падает оптическая волна, то справа от него существует суммарное поле волн, сделавших 0,1,2,…n круговых
60
проходов внутри резонатора. Полное поле может быть записано в виде ряда, сумма членов которого равна:
Ei = t1E0
∞
∑ (r1r2 ) n e 2nikd =
n=0
t1E0
1 − r1r2 e 2ikd
.
(13.3)
Соответствующая интенсивность излучения внутри резонатора:
I i = Ei
2
T1
=
I0 ,
2
R1R2 e ( 2nikd + iΦ 0 )
1−
(13.4)
где
⎛ Im{r1r2 } ⎞
⎟⎟ .
{
}
Re
r
r
⎝
12 ⎠
Φ 0 = arctg ⎜⎜
(13.5)
Поле волны, прошедшей через резонатор (через оба зеркала резонатора), и ее интенсивность равны соответственно:
E1 =
It =
t1t 2 e ikd
(1 − r1r2e )
2ikd
E0 ,
(13.6)
T1T2
1 − R1R2 e
I0 .
( 2ikd + iΦ 0 ) 2
(13.7)
Поле волны, отраженной от резонатора, состоит из двух составляющих: непосредственно отраженной от входного зеркала и волны, прошедшей через него изнутри резонатора:
⎡
r T e 2ikd
Er = ⎢− r1* + 2 1
1 − r1r2 e 2ikd
⎢⎣
(
⎤
⎥ E0 .
⎥⎦
)
(13.8)
Соответственно, интенсивность света, отраженного от входного зеркала, равна
Ir =
⎛
− 1 + ⎜⎜1 +
⎝
T1 ⎞
⎟⎟ R1R2 e ( 2ikd + iΦ 0 )
R1 ⎠
1 − R1R2 e
( 2ikd + iΦ 0 ) 2
2
Ri I 0 .
(13.9)
61
Все три выражения для интенсивностей отраженной, прошедшей и
накопленной внутри резонатора световых волн имеют одинаковый знаменатель. Если частота волны ν удовлетворяет условию 2kd + Φ0 = 2πn , или
2dν/c = n, где n – целое число, знаменатель становится малой величиной,
все три интенсивности значительно возрастают, и возникает резонанс.
Пространственная структура электромагнитного поля в оптическом
резонаторе зависит от формы его зеркал. В случае сферических зеркал
(включая плоские зеркала как предельный случай сферического зеркала с
бесконечным радиусом кривизны) оптические моды описываются гауссовыми пучками. Основными фундаментальными модами резонатора являются гауссовы моды. Профиль интенсивности в поперечном сечении гауссова пучка, распространяющегося вдоль направления z с поперечной радиальной координатой ρ, может быть записан в виде:
2
⎡ 2ρ 2 ⎤
⎡ w0 ⎤
I (ρ, z ) = I 0 ⎢
exp
⎢− 2 ⎥ .
⎥
w
z
(
)
⎦
⎣
⎢⎣ w ( z ) ⎥⎦
(13.10)
Пучок характеризуется радиусом w, который является функцией координаты z вдоль направления распространения. На радиусе ρ = w
инd
тенсивность пучка в e2 раз меньше,
чем на его оси. При z = 0 пучок имеw1
w2
ет минимальный радиус w0, который
w0
называется радиусом перетяжки. Область каустики гауссова пучка в оптиКонтур
Перетяжка
ческом резонаторе изображена на рис.
пучка
пучка
Рис. 13.1. Образование каустики
13.1. Зависимость w(z) имеет вид:
2
⎛ z ⎞
⎟⎟ ,
w( z ) = w0 1 + ⎜⎜
z
⎝ R⎠
где
(13.11)
πw02
– релеевская длина.
zR =
λ
z R2 =
d ( R1 − d )( R2 − d )( R1 + R2 − d )
( R1 + R2 − 2d )
2
,
где R1 и R2 - радиусы кривизны первого и второго зеркала.
62
(13.12)
Условие вещественности z R2 ≥ 0 определяет условие устойчивости
резонатора. Для устойчивого резонатора расстояние между зеркалами
должно быть либо меньше меньшего радиуса кривизны зеркал, либо больше большего радиуса кривизны, но меньше суммы величин R1 и R2 [48].
Радиус кривизны волнового фронта Rкр изменяется с координатой z
согласно уравнению:
⎡ ⎛ z ⎞2 ⎤
Rkp ( z ) = z ⎢1 + ⎜ R ⎟ ⎥ .
⎢⎣ ⎝ z ⎠ ⎥⎦
(13.13)
Расстояние от перетяжки до первого зеркала d1 определяется формулой:
d1 =
d ( R2 − d )
.
R1 + R2 − 2d
(13.14)
В лабораторной практике часто используется конфокальный оптический резонатор (R1 = R2 = d). Спектр его резонансных частот определяется
выражением:
ν q , m, n =
[
]
c
q + 1 + 1 (m + n + 1) ,
2
2d
(13.15)
где q – продольный индекс колебаний, m, n – поперечные индексы (число
обращений поля в ноль при изменении координат).
Характеристики оптических резонаторов. Качество резонатора определяется коэффициентом отражения зеркал и описывается параметром
F, называемым резкостью резонатора:
F=
π ( R1R2
1
)4
1 − R1R2
(13.16)
Резкость резонатора определяет отношение расстояния между соседними полосами к ширине полосы Δλ/δλ. Резкость не зависит от длины резонатора. Способность оптического резонатора сохранять и накапливать
энергию определяется его добротностью:
Q = ν/δν = λ/δλ = 2Fd /λ
(13.17)
Если параметры оптического резонатора выбраны таким образом,
что отсутствует отражение света от входного зеркала, то говорят, что резонатор согласован по импедансу. В этом случае коэффициент прохождения
63
входного зеркала равен сумме всех остальных потерь в резонаторе, включая коэффициент прохождения второго зеркала и потери на поглощение и
рассеяние обоих зеркал.
Важным моментом при работе с оптическими резонаторами является согласование мод (Mode Matching), т.е. осуществление возбуждения
только одной фундаментальной моды резонатора и полное подавление
возбуждения других мод. Один из вариантов согласования мод состоит в
установке собирающей линзы с соответствующим фокусным расстоянием
или двух линз перед входным зеркалом резонатора. Процедура согласования мод является в определенном смысле экспериментальным искусством.
Как показывает формула (13.17), добротность оптического резонатора определяется коэффициентом отражения зеркал. Коэффициент отражения зеркал с серебряным покрытием R = 0,94 для света с длиной волны λ =
0,6 мкм. Большим коэффициентом отражения обладают зеркала с многослойными диэлектрическими покрытиями, например, с четвертьволновыми чередующимися слоями SiO2 и Ta205. Резкость зеркал с 40 слоями такого диэлектрического покрытия достигает 2x106.
Поскольку в гауссовом пучке света, распространяющемся в открытом оптическом резонаторе, интенсивность экспоненциально уменьшается
с расстоянием от оси пучка, то часть мощности уходит за пределы зеркала,
т.е. рассеивается. Это явление можно также рассматривать с точки зрения
влияния дифракции на границе зеркала на распространение электромагнитной волны между двумя зеркалами. Поэтому эти потери называются
дифракционными потерями. Дифракционные потери определяются числом
Френеля резонатора NF = a2/(λd). Оно указывает число зон Френеля на поверхности зеркала резонатора с радиусом a, которое можно видеть из центра второго зеркала.
Оптические резонаторы с модами шепчущей галереи являются прямым продолжением в оптический диапазон кольцевых диэлектрических
резонаторов электромагнитных колебаний (см. лекцию 12). Широкое их
использование и применение началось в конце 90-х годов с работ В.Б. Брагинского с коллегами [49]. Тогда базовой конструкцией резонатора явился
шарик из плавленого кварца диаметром около 100 мкм, изготовленный
плавлением в пламени кислородно-газовой горелки. Оптическая волна
распространяется вдоль экватора такого шарика и эффект полного внут64
реннего отражения не позволяет ей выйти наружу. Ввод излучения в резонатор осуществляется с помощью призмы, установленной около резонатора на расстоянии ≈ λ. В настоящее время разработаны другие способы изготовления оптических микрорезонаторов с модами шепчущей галереи.
Используются и другие материалы, например, кристаллический CaF2 [50].
Механизмы потерь в оптических резонаторах с модами шепчущей галереи
во многом аналогичны механизмам, ограничивающим добротность СВЧ
диэлектрических резонаторов.
Потери в материале резонатора имеют свою особенность, связанную
со спецификой потерь в оптическом диапазоне. В резонаторах из SiO2 от
ультрафиолета до длин волн около 1,5 мкм основным механизмом потерь
является релеевское рассеяние на флуктуациях плотности [51]. При длинах
волн больше 1,5 мкм проявляется решеточное поглощение (мультифотонная граница) [52].
Максимальные значения добротности, достигнутые для резонаторов
с модами шепчущей галереи из плавленого кварца на длинах волн 633 нм и
1550 нм, составляют 8×109 [52]. Для резонаторов из CaF2 получена добротность 6×1010 на длине волны 1064 нм [48].
Контрольные вопросы и задачи
13.1. Сколько круговых проходов туда и обратно совершит фотон в резонаторе прежде, чем с вероятностью 1/е исчезнет из него (поглотится
или выйдет), если зеркала резонатора имеют коэффициент прохождения T и коэффициент поглощения L?
13.2. Как связано это число круговых проходов фотона с резкостью резонатора F?
13.3. Затухание световой волны (λ = 630 nm в вакууме) в кварцевом оптоволокне составляет 1дб/км. Какую добротность будет иметь оптический микрорезонатор с модами шепчущей галереи, изготовленный из
этого оптоволокна, если исключены все источники потерь кроме потерь в материале?
65
Лекция 14
Оптический нанорезонатор (λ = 1,5μm) на основе двумерного фотонного кристалла из кремния как базовый элемент для анализа
диссипации в оптических нанорезонаторах. Технология изготовления. Механизмы потерь в оптических нанорезонаторах. Области
применения оптических микро- и нанорезонаторов.
В последнее время внимание исследователей привлекают оптические резонаторы, основанные на фотонных кристаллах. Фотонные кристаллы – это материалы, в которых периодически изменяется диэлектрическая проницаемость среды. При определенных условиях в фотонных кристаллах создается фотонная запрещенная зона, т.е. свет с определенными
длинами волн не может распространяться через фотонный кристалл. Это
явление аналогично прохождению электронов и дырок через кристаллическую решетку полупроводника. В настоящее время предложено и реализовано несколько вариантов конструкций оптических нанорезонаторов с использованием как двумерных, так и трехмерных фотонных кристаллов
[53]. Рассмотрим оптический резонатор для диапазона длин волн 1550 nm.
Этот диапазон используется в оптической связи. На таких длинах волн
кремний имеет малые потери и является базовым материалом для изготовления оптических нанорезонаторов.
Сначала рассмотрим оптический волновод, основанный на двумерном фотонном кристалле [54]. Он изображен на рис. 14.1a. В пластине из
кремния сформирована треугольная решетка из отверстий, заполненных
воздухом. Расстояние между отверстиями a = 420 nm, радиус отверстия =
0,29a, толщина кремниевой пластины = 0,6 a. На длине волны λ = 1550
nm показатель преломления кремния = 3,4. Оптический волновод получается, если пропустить ряд в решетке, не делая в нем отверстия. Ширина
волновода =
3a . Электромагнитная волна, распространяющаяся в таком
волноводе, не выходит из пластины в окружающее пространство из-за
полного внутреннего отражения в кремниевой пластине, имеющей более
высокий показатель преломления, чем окружающая среда. Излучение в бо66
ковых направлениях подавляется благодаря фотонному кристаллу или, как
иногда говорят, из-за наличия распределенного брегговского отражения в
нем. Заметим, что распространение
электро-
магнитных волн в таких
структурах рассчитывается численным методом
конечных
разно-
стей во временной области.
Это
позволяет
оптимизировать
пара-
метры фотонных кристаллов для различных
применений.
Рис. 14.1. Волновод на основе фотонного
кристалла [54]
а) – схематическое изображение волновода;
б) рассчитанная дисперсионная кривая (пунктирная линия);
с) коэффициент пропускания волновода
На
рис.
14.1b изображена рассчитанная дисперсионная
характеристика
волновода (пунктирная
линия). На этом графике частота f и волновой вектор k нормированы на постоянную решетки a. Сплошная линия отделяет область излучательных
мод. Выше этой прямой электромагнитная волна излучается в пространство вне пластины. Таким образом, образуются три частотные области. Безизлучательное распространение волны возможно в области частот от 0,263
до 0,28 с/a, где с – скорость света. Ниже этой области волны не распространяются, так как попадают в запрещенную зону фотонного кристалла,
выше волна затухает из-за излучения. Коэффициент пропускания волновода представлен на рис. 14.1с.
Интересными свойствами обладает волноводная гетероструктура из
двух фотонных кристаллов с слегка различающимися периодами a (см.
рис. 14.2). Электромагнитная волна, частота которой выбрана таким обра67
зом, что в левом волноводе
она попадает в область распространения,а в правом – в
запрещенную область, отражается от границы, соединяющей два волновода,
как от зеркала.
Если теперь сделать
структуру, представленную
на рис. 14.3, то поле в волноводе с a2 = 420 nm, находящемся между двумя волноводами с
a1 = 410 nm,
оказывается
запертым
с
торцов отражающими гра-
Рис. 14.2. Гетероструктура из двух волноводов
на основе фотонных кристаллов [54]
а) – схематическое изображение гетероструктуры;
б) области пропускания и запрещенные зоны;
с) коэффициент пропускания гетероструктуры
ницами. Так образуется оптический нанорезонатор с
объемом моды ≈ 1,2(λ/n)3.
Связь с этим резонатором
можно осуществить, сформировав рядом на той же
подложке волновод, в котором волна с частотой резонатора
распространяется
свободно.
Обратимся теперь к
Рис. 14.3. Нанорезонатор на основе
двух гетероструктур из фотонных
кристаллов [54]
а) – схематическое изображение нанорезонатора;
б) области пропускания и запрещенные зоны;
с) частотная характеристика нанорезонатора
68
вопросу о максимальной величине добротности, которая может быть достигнута в
рассмотренных выше опти-
ческих нанорезонаторах. Кремниевая пластина с отверстиями, образующая
фотонный кристалл, в котором формируется оптический резонатор, имеет
конечные размеры (число рядов с отверстиями обычно не превышает нескольких десятков). Таким образом, брегговский отражатель не является
идеальным. Часть энергии излучается. Чтобы учесть это, в расчетах на
границах пластины помещаются идеально согласованные слои, которые
обеспечивают полное поглощение энергии волны на границах. Добротность резонатора, вычисленную таким образом, называют «идеальной» Qидеал. Из расчетов также следует, что распределение электрического поля
в нанорезонаторе должно быть как можно более плавным для того, чтобы
уменьшить излучательные потери. С этой целью в рассмотренную выше
конструкцию нанорезонатора между областями с a2 = 420 nm и a1 = 410 nm
добавляют области с a = 415 nm. В этом случае рассчитанная величина
Qидеал = 1,6·107. Экспериментально измеренная добротность составила Qэксп
= 1·106. Такое различие объясняется несовершенствами структуры, формирующей оптический нанорезонатор:
Q-1эксп = Q-1идеал + Q-1несоверш
(14.1)
Несовершенства структуры можно разделить на несколько групп. К
первой группе относятся геометрические несовершенства, основными из
которых являются вариации положения и радиуса отверстий в кремниевой
пластине, а также отклонения осей отверстий относительно нормали к поверхности пластины. Методика и результаты расчета потерь, связанных с
геометрическими несовершенствами представлены в работе [55]. Неровности поверхности кремниевой пластины и поверхности отверстий в ней определяют другую группу источников потерь в оптических нанорезонаторах
[56]. Конечно, важную роль играет поглощение электромагнитного излучения в материале-кремнии и в слоях воды, адсорбированных на поверхности пластины.
Подводя итоги рассмотрения потерь в резонаторах оптического диапазона, можно сделать вывод о том, что также как в случае механических
69
осцилляторов, уменьшение размеров оптических резонаторов приводит к
уменьшению их добротности. Как правило, это уменьшение связано, не с
фундаментальными механизмами потерь, а с недостатками в технологии
их изготовления. Можно ожидать, что в будущем она значительно усовершенствуется.
В настоящее время идет процесс перехода от стадии разработки оптических нанорезонаторов к стадии их широкого применения там, где необходима высокая добротность и малый модовый объем, например, в устройствах интегральной оптики и обработки информации, в различных
сенсорах для регистрации отдельных атомов и молекул, в нанолазерах и
источниках единичных фотонов. Интенсивно развиваются оптомеханические системы, в которых оптический резонатор связан с наномеханическим
осциллятором через оптическое излучение [57].
С оптомеханическими
системами связывают возможность наблюдения квантового поведения
объектов, содержащих не отдельные атомы или молекулы, а миллиарды
атомов.
Контрольные вопросы и задачи
14.1. Приведите примеры конструкций оптических резонаторов на основе
одномерного, двумерного и трехмерного фотонного кристалла.
14.2. Укажите физические механизмы потерь энергии в оптическом нанорезонаторе на основе гетероструктур из двумерных фотонных кристаллов из кремния.
14.3. Как осуществляется связь оптического нанорезонатора с внешними
устройствами?
14.4. На какую частоту (выраженную в Гц) настроен оптический нанорезонатор на основе двух гетероструктур из двумерных фотонных кристаллов (рис. 14.3) с периодом треугольной решетки 420 nm?
70
Литература
1. Мигулин В. В., Медведев В. И., Мустель Е. Р., Парыгин В. Н. Основы теории колебаний. – М.: Наука, 1978.
2. Брагинский В. Б., Митрофанов В. П., Панов В. И. Системы с малой
диссипацией. – М.: Наука, 1981.
3. O’Connell R. F. Noise in gravitational wave detector suspension
systems: A universal model // Phys. Rev. D. 1981. Т. 57. С. 659.
4. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний. – М.:
Наука, 1991.
5. Ekinci K. L., Roukes M. L. Nanoelectromechanical systems // Rev. Sci.
Instrum. 2005. V.76, 061101.
6. Гусев А. И. Наноматериалы, наноструктуры, нанотехнологии. –
М.: Физматлит, 2007.
7. Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М. Теория упругости. – М.: Физматлит,
2001.
8. Bokaian A. // J. Sound Vib. 1990. V.142. P.481.
9. Лозовик Ю. Е., Попов А. М. Свойства и нанотехнологические применения нанотрубок. // УФН. 2007. Т.177. №7. С.786-799.
10. Peng H. B., Chang C. W., Aloni S. et al. Ultrahigh Frequency Nanotube
Resonators. // Phys. Rev. Lett. 2006. V.97, 087203.
11. Bunch J. S., van der Zande A. M., Verbridge S. S. et al.
Electromechanical resonators from graphene sheets// Science. 2007. V. 315.
№5811. P. 490-493.
12. Li X., Ono T., Wang Y., Esashi M. Ultrathin single-crystalline-silicon
cantilever resonators: Fabrication technology and significant specimen size
effect on Young’s modulus. // Appl. Phys. Lett. 2003. V.83. №15. P.3081-3083.
13. Li C. and Chou T. Single-walled carbon nanotubes as ultrahigh
frequency nanomechanical resonators. // Phys. Rev. B. 2003. V.68, 073405.
14. Новик А., Берри Б. Релаксационные явления в кристаллах. – М.:
Атомиздат, 1975.
15. Зинер К. Упругость и неупругость металлов. – М.: Изд-во иностр.
лит., 1954.
71
16. Cagnoli G., Hough J., DeBra D., Fejer M.M., Gustafson E., Rowan S.,
Mitrofanov V. Damping dilution factor for a pendulum in an interferometric
gravitational waves detector. // Phys. Lett. A. 2000. V. 272. P. 39-45.
17. Willems P., Sannibale V., Weel J., Mitrofanov V. Investigation of the
dynamics and mechanical dissipation of a fused silica suspension. // Phys. Lett.
A. 2002. V. 297. P. 37-48.
18. Braginsky V. B., Mitrofanov V.P., Tokmakov K.V. Energy dissipation in
the pendulum mode of the test mass suspension of a gravitational wave antenna
// Phys. Lett. A. 1996. V. 218. Р.164-166.
19. Брагинский В.Б., Митрофанов В.П., Токмаков К.В. Диссипация в
струнных модах подвесов пробных масс гравитационных антенн. // Доклады PАН, 1995. Т.345. С. 324-327.
20. Митрофанов В.П., Оводова Л.Г., Шиян В.С. Затухание продольных звуковых волн в сапфире, обусловленное фонон-фононным взаимодействием // Физика твердого тела. 1980. Т. 22. №5. С. 1545-1547.
21. Maris H. J. // In Phys. Acoustics, Ed. W.P. Mason and R.N. Thruston,
N.Y.: Acad. Press. 1971, v. 8, p. 280.
22. Simpson I. C. On the ultrasonic attenuation of transverse modes in cubic
crystals // J. Phys. C: Solid State Phys. 1975. V. 8. P 399-416.
23. Hasson J., Many A. Observation of Akhiezer and Landau-Rumer
regimes in the frequency dependence of shear-wave lattice attenuation in CdS //
Phys. Rev. Lett. 1975. V. 35. N 12. P. 792-795.
24. Ван Бюрен. Дефекты в кристаллах. – М.: ИЛ, 1962.
25. Judge J.A., Photiadis D.M., Vignola J.F., Houston B.H., Jarzynski J.
Attachment loss of micromechanical and nanomechanical resonators in the
limits of thick and thin support structures // J. Appl. Phys. 2007. V. 101. 013521.
26. Разрушение. Под ред. Г. Либовиц: Пер. с анг. Под ред. Ю.Н. Работнова. – М.: Мир, 1976, т. 7, ч. 1.
27. Gretarsson A.M. and Harry G.M. Dissipation of mechanical energy in
fused silica fibers // Rev. Sci. Instrum. 1999. V.70. P. 4081.
28. Yang Y., Ono T., Esashi M. Surface effects and high quality factors in
ultrathin single-crystal silicon cantilevers // Appl. Phys. Lett, 2000. V.77. P.
3860-3862.
72
29. Wang Y., Henry J. A., Sengupta D., Hines M.A. Methyl monolayers
suppress mechanical energy dissipation in micromechanical silicon resonators //
Appl. Phys. Lett. 2004. V. 85. № 23. P. 5736-5737.
30. Karanacak D., Kouh T., Ekinci K.L. Analysis of optical interferometric
displacement detection in nanoelectromechanical systems // J. Appl. Phys.
2005. V. 98. 0124309.
31. Ekinci K.L. Electromechanical Transducers at the Nanoscale: Actuation
and Sensing of Motion in Nanoelectromechanical Systems (NEMS) // Small.
2005. 1. № 8-9. P. 786-797.
32. Eлкин И.А., Митрофанов В.П. Затухание в электромеханической
колебательной системе, обусловленное процессами в электрической подсистеме // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1999. №3. С. 31-34.
33. Брагинский В.Б. Физические эксперименты с пробными телами. М.:
Наука, 1970.
34. Брагинский В.Б.// ЖЭТФ 1967. Т.53. С. 1436.
35. Braginsky V.B., Khalili F.Ya. Quantum measurement. – NewYork:
Cambridge U. Press, 1992.
36. Городецкий М.Л., Данилишин Ш.Л., Халили Ф.Я., Чен Я. Оптическое охлаждение макро-, микро- и наномеханических осцилляторов // Нанотехнологии: разработка, применение. 2009. Т.1. № 1. С.56-67.
37. Naik A., Buu O., LaHaye M.D., Armour A.D., Ckerk A.A., Blencowe
M.P., Schwab K.C. Cooling a nanomechanical resonator with quantum backaction // Nature. 2006. V.443. P.193-196.
38. Armour A.D., Blencowe M.P., Schwab K.C. Entanglement and
decoherence of a micromechanical resonator via coupling to a cooper-pair-box //
Phys. Rev. Lett. 2002. V. 88. №14.
39. Cleland A.N. et.al. Nanomechanical displacement sensing using a
quantum point contact // Appl. Phys. Lett. 2002. V. 81. P.1699-1701.
40. Zurek W.H. // Rev. Mod. Phys. 2003. V. 75. P. 715.
41. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. – М.:
Наука, 1979.
42. Брагинский В.Б., Вятчанин С.П. // ДАН, 1980. Т. 252. С. 584.
43. Маркузе Д. Оптические волноводы: Пер.с анг. / Под ред. В.В. Шевченко. – М.: Мир, 1974.
44. Гуревич В.Л. Кинетика фононных систем. М.: Наука, 1980.
73
45. Braginsky V.B., IlchenkoV.S., Bagdasarov Kh.S. Experimental
observation of fundamental microwave absorption in high-quality dielectric
crystals // Phys. Lett. A. 1987. V. 120. №6. P. 300-305.
46. Хаус Х. Волны и поля в оптоэлектронике. М., 1988.
47. Быков В.П., Силичев О.О. Лазерные резонаторы. М.: Физматлит,
2003.
48. Гончаренко А. М. Гауссовы пучки света. М.: КомКнига, 2005.
49. Braginsky V.B., Gorodetsky M.L., IlchenkoV.S. Quality factor and
nonlinear properties of optical whispering gallery modes // Phys. Lett. A. 1989.
V. 137. P. 393-397.
50. Grudinin I.S., Ilchenko V.S., Maleki L. Ultrahigh optical Q factor of
crystalline resonators in the linear regime // Phys. Rev. A. 2006. V. 74. 063806.
51. Gorodetsky M.L., Pryamikov A.D., Ilchenko V.S. Rayieigh scattering in
high-Q microspheres // J. Opt. Soc. Am. 2000. V.17. №6. P.1051-1057.
52. Matsko A.B., Ilchenko V.S. Optical Resonators With Whispering-Gallery
Modes – Part I: Basics // IEEE Journal of Selected Topics in Quantum
Electronics. 2006. V.12. №1. P.3-14.
53. Noda S., Tomoda K., Yamamoto N., Chutinan A. Full ThreeDimensional Photonic Bandgap Crystals at Near-Infrared Wavelengths //
Science. 2000. V. 289. P. 604-606.
54. Song B.-S., Asano T., Noda S. Heterostructures in two-dimensional
photonic-crystal slabs and their application to nanocavities //J. Phys. D. Phys.
2007. V. 40. P. 2629-2634.
55. Hagino H., Takahashi Y., Tanaka Y., Asano T., Noda S. Effects of
fluctuation in air hole radii and positions on optical characteristics in photonic
crystal heterostructure nanocavities // Phys. Rev. B. 2009. 79. 085112. 8 p.
56. Asano T., Song B.-S., Noda S. Analysis of the experimental Q factors
(~ 1 million) of photonic crystal nanocavities // Optics Express 2006. V. 14. №
5. P. 1996-2002.
57. Kippenberg T.J. and Vahala K.J. Cavity Opto-Mechanics // Optics
Express. 2007. V. 15. P. 17172-17204.
74