1.3. Метод проекций

1
Сечения многогранников
Интерактивный комплект
1. Методы построения сечений
1.3. Построение сечений многогранников методом проекций
Пособие содержит описание метода проекций для построения сечений многогранников и
примеры применения метода вспомогательных плоскостей для решения задач. Решения
сопровождаются интерактивными файлами, выполненными в программе GInMA.
Оглавление раздела
1. Сечение тетраэдра, точки расположены в гранях.
2. Сечение тетраэдра, метод вспомогательных плоскостей.
3. Сечение тетраэдра, одна из заданных точек сечения расположена в грани.
4. Сечение правильной четырёхугольной пирамиды, параллельное двум данным прямым.
5. Сечение треугольной призмы, точки сечения на рёбрах.
6. Сечение треугольной призмы, точки сечения в боковых гранях.
7. Сечение пятиугольной призмы, точки сечения в боковых гранях.
Чтобы рисунки из комплекта ожили, установите на Вашем компьютере программу
GInMA c сайта http://deoma-cmd.ru/Products/Geometry/GInMA.aspx
Бесплатная базовая версия комплекта позволяет ознакомиться с возможностями
пособия. Во всех файлах доступны первые шаги решений с условием и исходным
интерактивным чертежом, в отдельных файлах доступны все шаги решения вплоть до ответа.
Чтобы научиться управлять рисунком, пользуйтесь Руководством для пользователя комплекта
Смотрите видео Как преобразовать рисунки из текста в интерактивные рисунки
Видео некоторых решений смотрите на Youtube, канал пользователя Vladimir Shelomovskii
Посмотрите пример методики применения комплекта Построение сечения в GInMA
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
2
Задание 1
Сечение тетраэдра, задающие сечение точки расположены в гранях
1 шаг (Условие) Постройте сечение тетраэдра АВСD плоскостью EFG, если точки E, F и
G находятся в гранях ABD, BCD и АВС, соответственно.
Анализ. Строим след плоскости сечения в плоскости основания АВС. Для этого ищем
вторую (кроме G) точку сечения в плоскости ABС. Для этого рассмотрим центральную
проекцию из вершины D прямой EF, принадлежащей сечению, на плоскость ABС. Проекция
точки Е – это точка H пересечения луча DE и ребра АВ. Проекция точки F – это точка I
пересечения луча DF и ребра ВC. Прямая EF пересекает собственную проекцию на плоскость,
прямую HI, в точке плоскости (Р), принадлежащей плоскости сечения. Прямая РG – это след
плоскости сечения на плоскости ABС. Она пересекает рёбра основания пирамиды в вершинах
сечения.
Построение.
2 шаг. Выполняем центральное проектирование прямой EF, принадлежащей плоскости
сечения, на плоскость основания АВС. В плоскости грани ABD строим проекцию точки Е на
ребро АВ.
3 шаг. В плоскости грани BСD строим проекцию точки F на ребро ВC. Проекция прямой
EF – это прямая HI, две точки которой H и I найдены.
4 шаг. След сечения на прямой HI, принадлежащей плоскости АВС, это точка Р
пересечения прямых HI и EF.
5 шаг. След сечения в плоскости АВС, это прямая РG содержащая данную и найденную
точки сечения.
6 шаг. Следы сечения на ребрах основания АВС это точки G', G'', G''' в которых прямая
РG пересекает стороны треугольника основания.
Исследуйте построенное сечение. Рассмотрите случай, когда прямая EF параллельна
плоскости основания.
Рис. 1. Сечение тетраэдра, точки в гранях
Задание 2
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
3
Сечение параллелепипеда, заданные точки сечения расположены на трёх взаимно не
параллельных рёбрах
1 шаг (Условие) Постройте сечение параллелепипеда АВСDА′В′С′D′ плоскостью EFG,
если точка E расположена на ребре AA', точка F – на ребре BC, точка G – на ребре C'D'.
Анализ. Ищем след плоскости сечения на плоскости ABС. Чтобы найти вторую (кроме
точки F) точку этой прямой в плоскости ABС, пользуемся свойством 2. Выполним
проектирование прямой EG на плоскость ABС, параллельное ребру AA'. Проекция точки Е –
это вершина А, проекция точки G – это точка пересечения GG'||AA' с ребром CD. Прямая EG
пересекает собственную проекцию на плоскость, прямую AG,' в точке плоскости (H),
принадлежащей плоскости сечения.
След плоскости сечения прямая FH плоскости ABС позволяет найти две точки сечения
на рёбрах, лежащих в этой плоскости. Далее по свойству 4, строим попарно параллельные
прямые на противолежащих гранях параллелепипеда, которые попарно параллельны.
Построение.
2 шаг. Прямая AG' – это параллельная боковому ребру параллелепипеда проекция
прямой ЕG, принадлежащей плоскости сечения, на плоскость АВС. Проекция Е это точка А.
Проекция G это точка G' пересечения прямой, параллельной АА' с ребром СD.
3 шаг. След плоскости сечения на прямой AG' – это точка Н пересечения прямой EG,
принадлежащей плоскости сечения, и прямой AG', принадлежащей плоскости АВС.
4 шаг. След плоскости сечения на плоскости АВС – это прямая НF, соединяющая
заданную (F) и построенную (Н) точки плоскости сечения. Точка I в которой НF пересекает
АВ, это вершина сечения.
5 шаг. Завершаем построение сечения, пользуясь параллельностью сторон сечения на
противолежащих гранях параллелепипеда (например, EJ||FK).
Рис. 2. Сечение параллелепипеда, точки на рёбрах
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
4
Задание 3
Сечение параллелепипеда, заданные точки сечения расположены в трёх гранях, две
из которых противолежащие
1 шаг (Условие) Постройте сечение параллелепипеда АВСDА'В'С'D' плоскостью EFG,
если точка Е расположена в грани AA'B'B, точка F – в грани ABCD, точка G – в грани
СC'D'D.
Анализ. Нет очевидной пары точек сечения, принадлежащих плоскости какой–либо
грани. Пробуем создать вторую (кроме F) точку в плоскости ABС. Рассмотрим проекцию
прямой сечения EG на плоскость ABС. Удобно выполнить проектирование, параллельное
ребру AA'. Проекция точки Е – это точка пересечения ЕЕ'||AA' с ребром АВ, проекция G – это
точка пересечения GG'||AA' с ребром CD. Прямая EG пересекает собственную проекцию на
плоскость прямую Е'G' в точке плоскости (H), принадлежащей плоскости сечения. Прямая
FH плоскости ABС позволяет найти две точки сечения на рёбрах, лежащих в этой плоскости, и
свести задачу к достаточно простой задаче построения попарно параллельных прямых, так как
противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны.
2 шаг. Прямая E'G' – это параллельная боковому ребру параллелепипеда проекция
прямой ЕG, принадлежащей плоскости сечения, на плоскость АВС. Проекция Е это точка E'
пересечения прямой, параллельной АА', с ребром BD. Проекция G это точка G' пересечения
прямой, параллельной АА', с ребром СD.
3 шаг. След плоскости сечения на прямой E'G' – это точка Н пересечения прямой EG,
принадлежащей плоскости сечения, и прямой E'G', принадлежащей плоскости АВС.
4 шаг. След плоскости сечения на плоскости АВС это прямая НF, соединяющая
заданную (F) и построенную (Н) точки плоскости сечения. Точки F' и F'' в которых НF
пересекает ребра основания, это вершины сечения.
5 шаг. Завершаем построение сечения, пользуясь параллельностью сторон сечения на
противолежащих гранях параллелепипеда (например, EF'||JK).
Рис. 3. Сечение параллелепипеда, точки в гранях
Задание 4
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
5
Сечение параллелепипеда, заданные точки сечения расположены на диагонали грани,
продолжении ребра, перпендикулярного этой грани, и на ребре параллельной грани
1 шаг (условие) Постройте сечение параллелепипеда АВСDА'В'С'D' плоскостью EFG,
если точка Е расположена на продолжении ребра СС' за точку С', точка F расположена на
ребре AD, точка G расположена на диагонали А'С' грани А'В'C'D'.
Анализ. Создадим вторую (кроме F) точку в плоскости ABС. Рассмотрим проекцию
прямой сечения EG на плоскость ABС. Удобно выполнить проектирование, параллельное
ребру AA'. Проекция – это прямая, содержащая диагональ AС. Прямая EG пересекает
собственную проекцию на плоскость, прямую АС, в точке плоскости (G''), принадлежащей
плоскости сечения. Прямая G''F плоскости ABС позволяет найти вторую точку сечения на
рёбрах грани АВСD и свести задачу к достаточно простой задаче построения попарно
параллельных прямых, так как противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны.
Построение.
2 шаг. Плоскость АСЕ содержит параллельные прямые АА' и СС' Точка G принадлежит
этой плоскости, значит, прямые АА' и EG пересекаются. Обозначим точку пересечения G'.
3 шаг. Прямая АС – это параллельная боковому ребру параллелепипеда проекция прямой
ЕG, принадлежащей плоскости сечения, на плоскость АВС. Проекция Е это точка С. Проекция
G' это точка А, так как АА' и параллельная ей СС' определяют проектирование.
4 шаг. След плоскости сечения на прямой АС – это точка G'' пересечения прямой EG,
принадлежащей плоскости сечения, и её проекции прямой АС, принадлежащей плоскости
АВС. След плоскости сечения на плоскости АВС это прямая FG'', соединяющая заданную (F)
и построенную (G'') точки плоскости сечения.
5 шаг. Точки, в которых прямая FG'' пересекает ребра основания, это вершины сечения.
6 шаг. Завершаем построение сечения, пользуясь параллельностью сторон сечения на
противолежащих гранях параллелепипеда (например, FF'||HM).
Рис. 4. Сечение параллелепипеда, точки на ребре и диагонали грани
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
6
Задание 5
Сечение треугольной призмы плоскостью, проходящей через точки, расположенные
по одной на ребрах призмы
1 шаг (условие) Постройте сечение призмы АВСА'В'С' плоскостью, проходящей через
точку D, лежащую на ребре AC, точку E на ребре ВВ' и точку F на ребре В′C′.
Анализ. Для того, чтобы создать след сечения в плоскости основания нужны две точки
следа. Пусть D расположена не дальше, чем E и F от плоскости ABС. Рассмотрим
параллельные боковому ребру AA' проекции прямых ED и FD, принадлежащих плоскости
сечения, на плоскость ABС. Точки пересечения каждой прямой и её проекции задают две
точки G и Н сечения, которые определяют прямую GН – след сечения на плоскости AВС.
Точки пересечения этой прямой с прямыми AВ, АС, ВС лежат в плоскостях боковых граней
призмы. Имея по две точки в плоскости каждой боковой грани, строим следы сечения на
гранях. Если
Построение.
2 шаг. Построены сторона сечения ЕF, прямая ЕF, принадлежащая плоскости сечения, и
точка G пересечения прямой ЕF и прямая ВС. Эта прямая является проекцией прямой ЕF,
параллельной боковому ребру призмы, на плоскость АВС. Точка G принадлежит плоскости
сечения.
3 шаг. Точка G пересечения прямой ЕD принадлежащей плоскости сечения и её
проекции на плоскость АВС – это след сечения на прямой E'D'. Если ЕD параллельна
плоскости основания, то след сечения — это прямая, параллельная ЕD.
4 шаг. Построены отрезки границы сечения DH и EH.
5 шаг. Прямая FI плоскости А'В'С', параллельная прямой DH, является следом
плоскости сечения на плоскости А'В'С'.
6 шаг. Построена точка I – след плоскости сечения на ребре A'C' основания A'B'C'.
7 шаг. По найденным вершинам построено искомое сечение.
Рис. 5. Сечение треугольной призмы, точки на рёбрах
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
7
Задание 6
Сечение треугольной призмы плоскостью, проходящей через точки, расположенные
по одной на боковых гранях призмы
1 шаг (условие) Постройте сечение призмы АВСА'В'С' плоскостью, проходящей через
точку D, лежащую в грани AA′C′C, точку E в грани AА'В'B и точку F в грани ВВ′C′C.
Анализ. Для того, чтобы создать след сечения в плоскости основания, нужны две точки
следа. Пусть D расположена не дальше, чем E и F от плоскости ABС. Рассмотрим
параллельные боковому ребру AA' проекции прямых ED и FD, принадлежащих плоскости
сечения, на плоскость ABС. Точки пересечения каждой прямой и её проекции задают две
точки G и Н сечения, которые определяют прямую GН – след сечения на плоскости AВС.
Точки пересечения этой прямой с прямыми AВ, АС, ВС лежат в плоскостях боковых граней
призмы. Имея по две точки в плоскости каждой боковой грани, строим следы сечения на
гранях. Если одна из прямых ED или FD параллельна плоскости основания, то и прямая GН
параллельна этой прямой. Если обе прямые ED и FD параллельны плоскости основания, то
искомое сечение — это треугольник, равный треугольнику основания и проходящий через
заданные точки.
2 шаг. Построение. Точки Е', F' и D' плоскости АВС построены, как результат
пересечения прямых, содержащих точки Е, F и D и параллельных боковым рёбрам призмы со
сторонами треугольника основания АВС.
3 шаг. Точка G пересечения прямой ЕD принадлежащей плоскости сечения и её
проекции на плоскость АВС – это след сечения на прямой E'D'. Если ЕD параллельна
плоскости основания, то след сечения — это прямая, параллельная ЕD.
4 шаг. Точка H пересечения прямой DF принадлежащей плоскости сечения и её
проекции на плоскость АВС – это след сечения на прямой D'F'. Если FD параллельна
плоскости основания, то след сечения — это прямая, параллельная FD. Если как FD, так и DF
параллельны плоскости основания, то сечение — это треугольник, равный треугольнику АВС
и проходящий через данные точки, так как его плоскость параллельна плоскостям оснований.
5 шаг. Прямая GH плоскости АВС, содержащая две точки, два следа плоскости сечения,
является следом плоскости сечения на плоскости АВС.
6 шаг. Точка D'' – результат пересечения прямой GН и прямой AC – это след сечения на
прямой АC. Если эта точка на ребре АC, то это вершина многоугольника сечения. Прямая DD''
– это след сечения на плоскости АА'C'C.
7 шаг. Пусть D'' = GH∩AC, E'' = GH∩AB, F'' = GH∩BC. Тогда прямые DD'', EE'' и FF''
принадлежат плоскости сечения.
Рис. 6. Сечение треугольной призмы, точки в боковых гранях
Задание 7
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
8
Сечение пятиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки расположенные
по одной на боковом ребре и двух не соседних боковых гранях призмы
1 шаг (условие) Постройте сечение призмы АВСDEА'В'С''D'E' плоскостью, проходящей
через точку F, лежащую на ребре AA', точку G в грани В'BCC' и точку H в грани DD'E'E.
Анализ. Для того, чтобы создать след сечения в плоскости основания нужны две точки
следа. Пусть G расположена не дальше, чем H и F от плоскости ABС. Другими словами, лучи
GH и FG либо параллельны плоскости АВС, либо пересекают её. Рассмотрим параллельные
боковому ребру AA' проекции прямых FG и GH, принадлежащих плоскости сечения, на
плоскость ABС. Точки пересечения каждой прямой и её проекции задают две точки I и J
сечения, которые определяют прямую IJ – след сечения на плоскости AВС. Точки пересечения
этой прямой с прямыми AВ, СD, ВС лежат в плоскостях боковых граней призмы. Имея по две
точки в плоскости каждой боковой грани, строим следы сечения на гранях. Если одна из
прямых GH или FG параллельна плоскости основания, то и прямая IJ параллельна этой
прямой. Если обе прямые GH и FG параллельны плоскости основания, то искомое сечение —
это пятиугольник, равный пятиугольнику основания и проходящий через заданные точки.
Построение.
2 шаг. Прямая GH принадлежит плоскости сечения. Прямая G'H' – это её параллельная
проекция на плоскость АВС. Точка I пересечения прямых GH и G'H' – это точка следа сечения
на плоскости АВС.
3 шаг. Прямая FG принадлежит плоскости сечения. Прямая AG' – это её параллельная
проекция на плоскость АВС. Точка J пересечения прямых FG и AG' – это точка следа сечения
на плоскости АВС.
4 шаг. Прямая IJ, содержащая две точки, два следа плоскости сечения, является следом
плоскости сечения на плоскости АВС. Точка K пересечения прямых IJ и АВ принадлежит
плоскости сечения.
5 шаг. Прямая FK, содержащая две точки плоскости сечения, является следом плоскости
сечения на плоскости АВA'. Если точка L пересечения прямых FK и ВВ' находится на ребре –
это вершина сечения. Иначе вершина сечения это точка пересечения АВ и FL.
6 шаг. Достраиваем сечение, пользуясь найденными вершинами и точкой N пересечения
прямой CD и прямой IJ.
Рис. 7. Сечение пятиугольной призмы
Литература:
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
9
1. И. Ф. Шарыгин. Геометрия. 10 – 11 кл.: Учебник. –М.: Дрофа, 2007. – 206 с.
2.2. Построения на изображениях.
2. А.Ю.Калинин, Д.А. Терешин. Стереометрия 10. –M.: МФТИ, 1996. – 256 с.
2.6. Сечение многогранника. Построения сечений методом следов.
2.7. Применение проектирования при построении сечений многогранников.
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/