Эл. Журнал «Полином - Санкт-Петербургский государственный

Синкевич Галина Ивановна
Санкт-Петербургский Государственный Архитектурноcтроительный университет, кафедра математики.
Старинные учебные математические задачи Восточной Европы.
Опубликовано:
Синкевич Г.И. Старинные польские задачи. –
Эл. Журнал «Полином» 2009, №4. – Электронный ресурс
http://www.mathedu.ru/polinom/polinom2009-4-view.pdf . С. 4-10. 7 с.
Нам
хорошо
известна
история
математики
как
последовательности открытий, появления новых понятий, методов
и приложений. Мы знаем, как работали передовые ученые разных
стран и эпох. Но это история передовых достижений, а наряду с ней
шло и развитие массовой математической культуры – обучение
купцов, чиновников по сбору налогов и организаторов работ,
ремесленников,
мореходов,
строителей,
финансистов
и
хозяйственников. Первые дошедшие до нас задачники –
древнеегипетские папирус Ринда и московский папирус, которым
приблизительно 4 тысячи лет, древнекитайский трактат
«Математика в девяти книгах», которому более двух тысяч лет.
В древней Греции возникла традиция обучения по системе
семидорожья – первая ступень – тривиум – содержала обучение
риторике, грамматике и диалектике, вторая ступень – квадривиум –
геометрия, арифметика, астрономия, гармония. Эта традиция
сохранялась в Европе до начала Нового времени, обучением
занимались монастыри, позже университеты, в XYI веке
иезуитские школы.
Можно упомянуть математические сочинения, содержащие
интересные задачи - Боэция Y век, Алкуина YIII век.
Существовали
школы
абака
(способа
практических
вычислений), например, во Флоренции в 1338 г. было 6 школ абака,
в каждой из которых было до 1200 учащихся. Это было вызвано
большой потребностью в торговых и финансовых расчетах.
Заметим, что в Италии в это время зарождается банковское дело,
уже проводятся депозитные, ссудные, вексельно-кредитные,
переводные и обменные операции. В 70-х годах XIYв. в торговых
книгах итальянской компании Уццано впервые ежемесячный
подсчёт итогов делается на разных сторонах листа – на левой
половине приход, на правой – расход. Такой способ учета кредита и
дебета получил название двойной бухгалтерии. В XIY веке во
Флоренции появляется первый учебник по коммерческой
деятельности.
Математике для практических нужд обучали частные
преподаватели – мастера счета. Часто они издавали собственные
сборники задач. Впоследствии они часто сочетали функции
владельца типографии, учителя и автора.
Заметим, что до появления книгопечатания был интересный
период тиражирования книг с помощью деревянных или
керамических форм – текст вырезался на доске, делался глиняный
отпечаток, затем он обжигался, протирался ольховыми чернилами,
позже свинцовой краской, и делался оттиск на бумаге с помощью
протирания щеткой. Даже наряду с появлением книгопечатания по
Европе
бродили
мастера
из
Нидерландов,
предлагая
ксилографические и литографические услуги.
В XIII веке в Пизе Леонардо Пизанский Фибоначчи написал
первый полный учебник практической арифметики «Книга абака»,
в которой обобщил вычислительный опыт индийской, греческой и
арабской математики. Он пропагандирует арабскую нумерацию,
правило умножения приводит с проверкой девяткой, где проба это остаток от деления на 9 суммы цифр данного числа; правило
деления приводит с проверкой семеркой и одиннадцатью. Излагает
правило решения коммерческих задач, основанное на пропорциях –
правило тройное. Рассматривает задачи на смешение. Формулирует
прямое правило Regula recta – арабского происхождения правило
решения линейных уравнений. Приводится задача: если первый
человек получит от второго 7 денариев, то он будет впятеро богаче
второго; если второй человек получит от первого 5 денариев, то он
будет всемеро богаче первого. Сколько было у каждого? Леонардо
принимает имущество первого за вещь (res) и 7 денариев; тогда
первый человек по условию должен иметь 5 вещей без 7 денариев.
Если первый даст второму 5 денариев, то у первого останется 5
вещей без 12 денариев, а у второго будет вещь и 12 денариев.
Таким образом, вещь и 12 денариев в семь раз больше, чем 5 вещей
без 12 денариев, откуда 34 вещи составляют 96 денариев, одна вещь
есть 2 и 14/17 денариев и т.д. Далее решаются задачи с более чем
двумя участниками.
В книге Леонардо Пизанского содержатся также алгебраические
и
геометрические
методы.
В последующие столетия появляется большое количество
руководств по практической арифметике, наиболее известны среди
многих
Pacioli Luca (fra Lucas de Burgo), Summa, Venezia 1494.
Tartaglia Niccolo. General trattato, v.1. Venezia 1556
Widman Jan. Behind und hűpsch Rechnung auff allen
Kauffmannschafften. Pforzheim, 1508 (1. Ausburg 1489)
Практические требования к арифметическому мастерству были
немалыми, ведь каждый город имел свои весовые единицы, разные
для разных продуктов, причем недесятичного подразделения; свои
денежные единицы, свои меры длины и объема. На торговом пути
было много таможенных пунктов, везде нужно было правильно
рассчитать пошлину. По Моравии и Силезии проходил торговый
путь из Ржезна в Краков, Киев и Ильтыз (совр. Астрахань), вдоль
Лабы (Эльбы), Волги, Днепра и Вислы вел путь в Италию, по этому
же пути проходили купцы из Руси, Франции, Испании. В XYI веке
на Рейне насчитывалось 64 заставы, на Эльбе 35 застав, на Дунае в
Нижней Австрии 77, около Нюрнберга имелось 24 заставы, из них
10 на расстоянии всего 3 мили от города. Чтобы не разориться и
остаться с прибылью, купец должен был знать все соответствия мер
весов и денег и иметь высокие расчетные навыки.
Приведем пример некоторых польских денежных соотношений к
концу XYI века. Самая мелкая монета шиллинг, 3 шилинга - это 1
грошу. Гривна польская равна 48 грошей польских. Копа литовская
равна половине трети злотого. Злотый польский равен 30 грошам.
Серебряный трояк равен 3 грошам. Шофтачка равна 6 грошам.
Шостак - это 12 грошей и 2 шилинга. Орлянки не везде
оценивались одинаково, чуть меньше злотого. Тынфа – это 1
злотый и 8 грошей. Чтвярки равны 2 злотым, полталерки равны 4
злотым. Червонный злотый равен 18 злотым.
Так как денежный обмен производился между областями с
различной валютой, использовали цепное правило (правило уплат).
Вот пример из Леонардо Пизанского (цит. По статье К.Фогеля):
12 имперских пфеннингов = 31 пфеннингу Пизы,
23 пфеннинга Пизы = 1 солидусу (12 пф.) Женевы,
13 пфеннингов Женевы = 1 солидусу Турина,
11 пфеннингов Турина = 1 солидусу Барселоны,
Спрашивается, сколько пфеннингов Барселоны получают за 15
имперских пфеннингов. Решение считывается по следующей схеме:
Барселонские
туринские
женевские пизанские имперские
→12
13
→31
12
12→
11
→12
23
→15▲
Правило гласит: следует разделить произведение связанных
направляющими стрелками чисел на произведение остальных.
Таким
образом,
решением
является
X
=
(12∙12∙12∙31∙15):(11∙13∙23∙12). Это получается, если каждое из
заданных отношений X:15, 12:31, 23:12, 13:12, 11:12 «удлинить»
при помощи соответсвующего члена следующего отношения,
начиная (X∙12): (15∙31), затем (X∙12∙23):(15∙31∙12) и т.д. В конце
получаем (X∙12∙23∙13∙11):(15∙31∙12∙12∙12). Последнее отношение
равно 1.
Расцвет экономики XYI века потребовал создания различных
таблиц. В сохранившихся рукописях 16 в. встречаются таблицы
процентов, таблицы умножения до 20∙90, и таблицы, необходимые
при обмене различных валют, например, в 1598 г. в Праге вышли
на латинском языке таблицы Вацлава Колидия, известные по
описанию Вацлава Петржилки Сушницкого, изданному в 1621 г.
под названием Knizka aneb tabule, w kterez se obsaguje, jakymi
auroky wedle narizeni w kralowstwie Ceskem od desiti tisic az do
gednoho grose mis, a to rozdilne od desiti let porad az do gednoho
tyhodne spocisti se mohou atd. Это простые таблицы расчета
налогообложения от одного гроша до десяти тысяч и от одного дня
до десяти лет с 6% начислением.
В обширных княжеских поместьях Восточной Европы вести
хозяйство могли только управляющие, хорошо знающие счет. Были
созданы городские уставы и собирались налоги. Сборщики их
подчинялись высшему чиновнику - коморнику, казначею. Со
временем были введены сборы податей - подушный налог,
поземельный налог. Нужно было иметь геометрические знания,
чтобы определить величину и доходность участка, виноградника,
пруда. В горном деле развивается геодезия, измерение штолен,
картография.
Возникает
также
необходимость
хорошо
рассчитывать ударную нагрузку фортификационных сооружений в
связи с развитием артиллерии, снабжение городов и управление
запасами.
Автор первого учебника в Чехии Algorismus Кржиштян (13661439) писал: "Руководствуясь любовью к малышам, я стремился
кратко описать основное искусство счета". Учебник содержал
нумерацию - написание чисел римскими и арабскими цифрами,
сложение, вычитание, деление пополам, удвоение, умножение по
средневековому способу (счет вверх), деление, извлечение
квадратного и кубического корня, приведены таблицы умножения
до 20*20, написание дробей.
Первая практическая книга на немецком языке для
использования в хозяйственной жизни вышла в 1489 г., автор её чех
Ян Видман (1460-1-я пол.16в) Behennde und hubsche Rechenung auff
allen Kauffmannschafft ‒ основные арифметические действия с
целыми и дробными числами, проверка девяткой и семеркой. Книга
содержит также учение об отношении и много примеров из
практической хозяйственной жизни, решенных тройным правилом
и правилом ложного положения. Книга заканчивается разделом,
посвященным практической геометрии. Небольшое сочинение
Видмана распространилось по Германии и в течение 37 лет было
издано в четырех различных немецких городах. Оно явилось
образцом для издаваемых позже немецких арифметик 16 века.
Другим представителем Силезии из Вроцлава в массовой
математической культуре 16 века был Крыштоф Рудольф из Явора
(ок1500-1545). Он был частным учителем математики в Вене. Его
сочинение Behend und Hubsch Rechnung durch die Kunstreiche regeln
Algebre,so gemeineniklich die Coss genennet werden (Страсбург 1525)
приобрело большую популярность и издавалось несколько раз. В
1526г. вышла его вторая работа Kunstliche Rechnung mit der Ziffer
und mit den Zahlpfenningen (Вена), которая также имела несколько
изданий. Здесь впервые встречается задача на т.н. Regula coeci или
Regula virginum (девичье правило) о совместной пирушке мужчин,
женщин и девушек, число которых нужно узнать по соотношению
их затрат, если дано общее число всех лиц и их общая затрата.
В 1535 г. в Намешти вышла книга преподавателя одной из школ
чешских братьев, протестанта Бенеша Оптата из Тельче
"Isagogikon..". В ней приводятся семь арифметических действий,
нумерация излагается прежде всего на латинских "арифметических
фигурах", т.е. на арабских цифрах, и позиционная система счета на
чешских "арифметических фигурах", т.е. с помощью римских цифр
на линиях. Учит счету на абаке. Он отмечает, что умножение на
латинских фигурах более быстрое.
Расцвет экономики XYI века потребовал создания различных
таблиц. В сохранившихся рукописях XYI в. встречаются таблицы
процентов, таблицы умножения до 20∙90 и таблицы, необходимые
при обмене различных валют, например, в 1598 г. в Праге вышли
на латинском языке таблицы Вацлава Колидия, известные по
описанию Вацлава Петржилки Сушницкого, изданному в 1621 г.
под названием Knizka aneb tabule, w kterez se obsaguje, jakymi
auroky wedle narizeni w kralowstwie Ceskem od desiti tisic az do
gednoho grose mis, a to rozdilne od desiti let porad az do gednoho
tyhodne spocisti se mohou atd. Это простые таблицы расчета
налогообложения от одного гроша до десяти тысяч и от одного дня
до десяти лет с 6% начислением.
Источником многих задач XYI и XYII в. являются более древние
задачи, пришедшие из Древней Греции, Индии, Китая, стран
ислама, но появляются и национальные задачи, адаптированные к
языку, к практике торговли и ремесел, банковскому делу. Образ
ученика становится персонажем или наблюдателем ситуаций для
многих задач, со временем меняется его социальная
принадлежность и возраст. В ранних задачниках XYI в. это купец
или ремесленник, или чиновник, которого нужно обучить расчетам.
Затем это уже дворянский недоросль, которому трудно
сосредоточиться на абстрактной пропорции, и вот учитель
придумывает ему задачу о количестве девушек в веселом саду, о
совместных расходах на выпивку, об украденных деньгах. Это
мальчик, которому интересна забавная или сказочная ситуация, и в
нее можно вложить более сложную математическую схему. Это
дама, которая озабочена расходами на хозяйство, скупостью мужа
или негодной прислугой, или барин, которого привлекают задачи
галантного содержания.
Заметим также, что решались эти задачи сложнее, чем сейчас - и
метод, и единицы измерения, и вычислительный способ были
иными. В некоторых задачах решение не единственно, либо
условие не полно, предполагалось, что недостающие данные
известны учителю и ученику, а порядок результата известен.
Иногда вопрос не ставится, а подразумевается. К некоторым
задачам прилагается ответ, иногда решение. Алгебраические
способы не привлекались. Основными правилами были тройное
или золотое правило (regula trium, fliue aurea) прямое и возвратное
(обратное) – причем кратность правила изменялась от трех до
одиннадцати членов. Использовалось фальшивое правило, или
правило ложного положения (regula falfi). Фальшивое правило
разделяется на правило одного положения и правило двух
положений.
Рассмотрим пример на правило одного положения из
«Арифметики» И.Ф. Вейдлера. Один игрок, проигравший 2/5 и
сверх того 3/7 всех денег, которые с собою имел, возвратясь домой
нашел, что у него от всех денег осталось 60 рублей. Спрашивается,
сколько у него было всех денег до начатия игры? Положим, что
всех денег у него было 140 рублей, то будет
140∙2/5=56 руб.
140
140∙3/7=60 руб.
116
───
──
116
24 – найденное по порядку решения
число.
Итак 24:
140
=60
60
24 | 8400 | 350 – искомое число
72
120
120
0
Правило двух положений (изложено по «Арифметике»
Курганова, [7])
1.Вместо искомого числа возьми какое-либо по изволению число
и производи из него предписанным в задаче порядком, и ежели оно
будет не равно данному,
2. тогда возьми разность между числом данным и
произведенным; и когда первое число меньше второго, то заметь
оную разность знаком убавочным ‒ , а ежели больше, то знаком
прибавочным +, так найдешь первое несходство.
3. Подобным образом учиняя другое положение и заметя разность
надлежащим знаком получишь второе несходство.
4. Потом из двух положений и двух найденных несходств
обрящется искомое число следующим образом.
Случай 1. Ежели найденные несходства будут одинаковых
знаков, тогда первое положение умножь на несходство второе, а
второе положение на несходство первое, и разность сих
произведений раздели на разность несходств, участок будет
искомое число.
Случай 2. Когда найденные несходства будут неподобные, тогда
первое положение умножь на несходство второе, а второе
положение умножь на несходство первое, и сумму сих
произведений раздели на сумму несходств, то участок будет
искомое число; чему из решения следующих вопросов можно
научиться:
Сыскать число, из которого ежели вычтешь онаго ж треть,
остаток разделишь но 2, выйдет 12.
I положение 12
II положение 15
12
15
3)12(4 12
3)15(5 12
2)8( 4
2)10
5
+8 несход.
+7
несход.
Потом по случаю 1 следует
15
+8
+8
+7
12
+7
120
84
84
1)36(36 искомое число.
Учиняя II положение 45, решение будет по 2 случаю тако:
45
3)45(15
45 12
2)30(15
2)+8
-3
12
+8 360
36
-3
-3
36
11)396(36 искомое число тожъ.
Пример к правилу двух положений. Трое имели по нескольку
денег: у первого со вторым было 90 рублей, у второго с третьим
было 140 рублей, у первого с третьим было 110 рублей.
Спрашивается, по скольку у каждого денег было? Положим, что
первый имел 20 рублей, то второго деньги будут 90-20=70, а
третьего 140-70=70. Итак, сумма денег первого и третьего будет
20+ 70=90, а должна быть 110. По чему погрешность будут
недостаточествующая, т.е. 110-90=20. Положим опять, что у
первого было 24 рубля, то второго деньги будут 90-24=66, а
третьего 140-66=74, следовательно, сумма денег первого и третьего
будет 98, т.е. погрешность опять будет недостаточествующая 11098=12. Почему искомое число, по первому случаю, найдется
следующим образом:
первое положение
20
второе положение 24
-20
*
-12
20
480
240
-12
-240
8 8 240| 30 столь рублей имел первый
90
30
60 рублей столько второй
140
-60
80 рублей столько третий.
Правило смешения использовалось в задачах на сплавы,
растворы, смешивание сыпучих тел. Правило смешения есть способ
находить, по скольку частей определенной меры вещей разных цен
взять надлежит, чтобы мера смешения была средней цены.
Пример. Требуется смешать серебро и золото, из которых
первого золотник стоит 25 коп, а другого золотник же 250 коп,
таким образом, чтоб смешения золотник стоил 170 коп, итак
спрашивается, по скольку частей золотника как того, так и другого
металла надлежит взять в смешение? Вопрос решится таким
образом:
25 | 80
170
250| 145
225:1=80:16/45 золотн. столько серебра
=145:29/45 золотн. столько золота взять надлежит в
смешении.
Решались задачи на пропорции по тройному правилу, сложному
тройному правилу, обратному тройному правилу, преподавалось
пятерное, семерное, девятирное правило и даже правило из 11
частей. Вот как решалась задача на тройное правило. Один пуд
соли продается 35 копеек, спрашивается, что будет стоить 1 лот
оной? 32 лота=1фунту,1 пуд=40 фунтов.
пуд коп лот
1 : 35 = 1
40
40
32 столько лотов в одном фунте
80
120
1280:35=1:35/1280=7/256
Заметим, что десятичные дроби совсем не используются.
Пример на обратное тройное правило. На 6 кафтанов потребно
сукна 13 ½ аршина, которое шириною в 2 аршина. Спрашивается,
много ли надобно подкладки, которой ширина ¾ аршина? Ответ 36
аршин.
Пример на семерное правило. Если 6 человек в 3 дни склали 12
квадратных саженей каменной стены, то сколько складут 18
человек в 8 дней? Ответ 96.
Решались задачи на пропорции по тройному правилу, сложному
тройному правилу, обратному тройному правилу, преподавалось
пятерное, семерное, девятирное правило и даже правило из 11
частей. Вот как решалась задача на тройное правило. Один пуд
соли продается 35 копеек, спрашивается, что будет стоить 1 лот
оной? 32 лота=1фунту, 1 пуд=40 фунтов.
пуд коп лот
1 : 35 = 1
40
40
32 столько лотов в одном фунте
80
120
1280:35=1:35/1280=7/256
Заметим, что десятичные дроби совсем не используются.
Пример на обратное тройное правило. На 6 кафтанов потребно
сукна 13 ½ аршина, которое шириною в 2 аршина. Спрашивается,
много ли надобно подкладки, которой ширина ¾ аршина? Ответ 36
аршин.
Пример на семерное правило. Если 6 человек в 3 дни склали 12
квадратных саженей каменной стены, то сколько складут 18
человек в 8 дней? Отв. 96.
Правило девятерное. Ужели 50 человек 16 дней, работая в
каждый день по 6 часов, а день (световой) был 7-ми часов, вынули
земли 120 кубичных сажен, то 100 человек, работая в день по 12
часов, когда день будет 14 часов, во сколько времени вынут 240
кубич. сажен? Отв.4 дни. [3]
Правило, состоящее из 11 частей.
450 человек, работая в сутки по 12 часов 7 месяцев, сделали 170
кусков сукна, каждый длиною 40, а шириною 1 ¼ аршина; то
сколько кусков сукна, длины в 50, а ширины в 1 ½ аршина сделать
могут 600 человек в год, работая в сутки по 15 часов? Отв. 323
куска 21 3/7 аршина.
Решение.
7 мес. 12 час. 170 кус. 40 аршин 1 ¼ арш. 12 мес. 15 ч.
30
50
1¼
30
210
8500
50 арш.кв.
360
12
арш.кв.
15
2520 часов
5400 часов
450 человек – 8500 арш. – 600 чел. (11333 1/3 столько кв. аршин
сделают 600 человек в 2520 часов, по том 2520 час – 11333 1/3 арш.
– 5400 час. (24285 3/7 арш. 50*1 ½=75)24285 5/7(323 17/21 куска)
или 323 куска 21 3/7 аршина, искомое число.
Деление осуществлялось в столбик, но текст располагался
иначе, например: 5. ) 320.( 64 здесь делитель 5
30
20
20
5. ) 2040 ( 408
20
40
40
О проверке сложения девяткой – при сложении данных частей
замечай посторону те единицы, которые отбрасываются, и оныя по
окончании действия сложи, чтобы можно было видеть, сколько раз
выпущено при сложении. Потом из суммы вычти столько раз
девять, сколько можно, и сии девятки сложи с теми, которые при
сложении выпущены, а оставшееся число, кое в счет девяти не
входит, запиши. На конец смотри, сколько раз можно вычесть
девять из данных чисел, и какое число напоследок останется; ибо,
ежели будет число выпущенных девяток в обоих местах равно, и
одно число останется, то сложение сделано верно. Например
4145 1 единица выпущенная от сложения единиц
8426 1 единица, выпущенная от сложения десятков
3765 1 единица сотен
16336
1 единица тысячей
4 столько раз выпущено при сложении
_ 2 столько раз девять выпущено
6 из суммы в остатке от них 1
6 раз по девяти вычтено из слагаемых чисел и от них в остатке 1. И
так число выпущенных девяток, сложенных с вычтенными из
суммы девятками, равняется вычтенным из слагаемых чисел
девятками и остатки сходны, то видно, что и сложение верно.
Аналогично проводится проверка вычитания, умножения и
деления. В западноевропейских задачниках 16-17 веков
производится проверка девяткой и семеркой.
Проверка умножения.
Умножение поверяется чрез отбрасывание девяток, т.е. сперва
должно счесть, сколько во множимом будет девяток, и что
останется сверх того, оное число написать вверху креста, нарочно
для сего способа изображенного, потом должно счесть также и в
множителе, и лишек сверх сочтенных девяток поставить внизу
креста, и умножить оным сверху поставленный лишек, и смотреть,
сколько лишку будет сверх девяти в сём произведении, и оной
поставь которого-нибудь боку креста, и ежели произведения
данных чисел такой же точно выдаст лишек, то умножение сделано
верно, например
7423
7 лишек от множимого
числа
624
остатки от произведений
29692
14846
44538
4631952
множителя
лишек от умноження лишков
3
3
3 лишек от
21
произведение
лишков
В 1538г. в Кракове вышел задачник Томаша Клоса, ксендза,
"Algorihmus: to iest nauka Liczby". Первая ее часть об особых
числах, вторая о правилах (Regule detri) - тройное правило,
пропорции, третья часть о решении уравнений и коммерческих
задачах. Вот некоторые из них. Отметим, что центар или цетнар –
это 100 местных фунтов.
1.Один человек купил во Вроцлаве воск, каждый брусок за 2
венгерских злотых, и повез его в Нюрнберг. Там продал каждый
вроцлавский цетнар по 1 и 1/2 венгерских злотых, а 132 фунта
cоставляют вроцлавский цетнар, а 128 вроцлавских фунтов дают
за 1 центар, т.е.100 фунтов в Нюрнберге, а за 100 венгерских
злотых 134 рыночных злотых. Вопрос, за сколько продавать 1
нюрнбергский цетнар, чтобы на 100 злотых 5 выгоды. Ответ 17
рыночных злотых 1 торговый шилинг 1/11.
2. О шерсти. Один человек купил 27 брусков шерсти, каждый по
34 белых гроша. Все продал по 30 польских гроша, а за 33 польских
гроша дают 37 белых гроша. Ответ 27 злотых 8 грошей 13 мелких
монеток.
3. Один человек купил три вида шерсти: первой 3 центара за 12
злотых, другой 7 центаров за 63 злотых, третьей 11 центаров за 88
злотых, перемешал её вместе. За сколько продавал 1 центар, если
выручил 11 и 1/2 злотых. Ответ 8 злотых 9 грошей 5 мелких монет
и 1/7.
1553г. Бернард Воевудка. Алгоритм, то есть наука
считать по-польски на линиях, с прилежанием изложенная и
улучшенная, пригодная к обучению более, чем все предыдущие.
Напечатано в Кракове в 1553 г.
Бернард Воевудка был краковским печатником (типографом),
происходившим из богатой семьи. Его «Алгоритм» имел несколько
изданий.
4. Один богатый купец поехал на рынок в Скармеж и купил воз
яиц по 7 яиц за четвертак, и привез в Краков на базар, продал все по
6 яиц за четвертак и выручил 4 злотых. Вопрос, сколько было яиц в
том возу, который он купил в Скармеже. Решать надо так: вопервых, предположим, что сначала он купил 6 яиц, которые продал
за 1 четвертак, скажем, купил 7 яиц за четвертак, зачтем, что 6 яиц
стоит 6/7 четвертака, которые получают с одного четвертака, а
оставшиеся 1/7 четвертака истратил на 6 яиц. При этом если счесть
все количество яиц на возу, так положи на каждую 1/7 четвертака
всего по 6 яиц, яйца дают 4 злотых прибыли. По этому правилу на
том возу было 30 240 яиц.
5. Король наш всемилостивейший Зыгмунд II Август взял из
своей казны 321400 злотых, которыми хотел оплатить кавалеристов
и пехотинцев, и две части хотел иметь кавалеристов, а третью часть
(войска) хотел иметь пехотинцев. В год платить кавалеристу 10
злотых ежеквартально, а пехотинцу 5 злотых. Вопрос, сколько
кавалеристов и пехотинцев можно иметь за 321400 злотых.
Cмотри: 2 верховых в год, по 20 злотых за квартал, две части
войска это верховые, итого 80 злотых. Потом смотри, еще 1
пехотинец за 20 злотых, которые прибавим к 80 и будет 100, потом
рассудим по правилу, сколько кавалеристов и пехотинцев можно
иметь за 1000 злотых, а наберем 321400злотых, так кавалеристов и
пехотинцев 9642. (Король выдает 100 злотых на трех солдат, а 1000
злотых на 30, след., 321 000 злотых на 321*30=9 630 солдат.Т.к. 100
злотых выдает на троих, то 400 злотых на 12). А если хочешь
узнать,сколько сколько было отдельно пеших и конных, дели 9642
на три.
1662г. Кшиштоф Шедель.
числительная, в трех книгах. Краков.
Арифметика
наука
Об авторе ничего неизвестно, кроме того, что он был
краковским типографом. После Арифметики издал философский
трактат "Наука доброго и счастливого умирания" (1675г.)
6. Одна штука большой обивки, 240 локтей в длину и 1 и 3/4 в
ширину. Это полотно подшито, и вышло на подшивке 140 локтей.
Вопрос, какой ширины было полотно. Ответ 3 локтя.
7. Один локоть черных шелковых кружев по 13 и 1/2 гроша.
Спрашивается, сколько придется заплатить за 31 и 1/4 локтя. Ответ
14 злотых 1 и 3/4 гроша (в злотом 30 грошей).
8. Один человек купил 6 штук голландского (нидерладского)
полотна, в которых было 28, 32, 27, 29, 31, 28 локтей. Первые две
штуки по 2 злотых 18 грошей за локоть, другие две штуки по 3
злотых, а последние две штуки стоили по 2 злотых 20 грошей.
Сколько заплатил за все. Ответ 481 злотый 10 грошей.
9. Один человек принес меднику старой меди 53 и1/4 фунта, по
14 грошей за фунт. Взял у медника новой меди 47 и 1/2 фунта, по
18 грошей за фунт. Вопрос, кто из них кому платит. Ответ. Медник
должен получить с заказчика 3 злотых и 19 и 2/3 грошей.
10. Одна пани купила разную новую оловянную посуду весом 56
и 3/4 фунта. Заплатила за каждый фунт по 16 грошей, и отдала
старую оловянную посуду весом 48 и 1/2 фунта, обещав ему еще на
каждый фунт добавить по 3 гроша. Вопрос, много ли должна она
заплатить посуднику. Ответ 9 злотых и 7 и 1/2 гроша.
11. Одна пани нанимает прислугу, обещает ей за год 13 злотых.
Та прослужила 16 недель, начались ссоры, да такие, что прислуга
уходит. Вопрос, сколько ей должны заплатить. Ответ 4 злотых.
12. Один пан нанял кучера на год, обещал ему 12 талеров и 25
грошей оплаты. Потом оказалось, что пану не нужен кучер, пан
кучера уволил и дал ему 17 злотых. Вопрос, сколько недель служил
у пана. Решение по тройному правилу.
злотые
недели
злотые
36 5/6
-------52
---------17
17
--------------------221
364
52
------------884
6
------------делим
5304
на 221 прихода
---------------------------------------ответ 24
недели.
13. 4 мешка изюма весят 225, 260, 251, 265 1/2 фунта. Вес мешка
3 1/2 фунта, каждый центар 133 злотых и 10 грошей, считаем в
центаре по 100 фунтов. Сколько все стоит.
14. Один кожевенник покупал 360 воловьих шкур, стал считать,
а в каждой сотне по 5 штук с изъяном. Платил за каждую сотню
хороших, т.е.
целых, по 251 3/4 талера, каждую по 3 злотых считал, а за шкуру с
изъяном по 1 3/4 талера. Сколько ему за все придется заплатить.
15. Мешок миндаля весит 327 416 3/4 фунта. Тара (вес?
пошлина?) за мешок 8 1/4 фунта по 81 злотых за цетнар, в центаре
100фунтов. Сколько за все заплатить.
16. Тюк мелких рожков весит 275 фунтов, стоит в сумме 68
польских злотых и 22 1/2 гроша. Спрашивается, сколько заплатить
за цетнар, т.е.за 100 фунтов, и почем один фунт. Ответ цетнар по 23
злотых, а за каждый фунт 7 1/2 гроша.
17. Одному купцу пришло 6 ящиков мыла. Первый весил 4
цетнара и 13 фунтов, второй 5 цетнаров и 4 фунта, третий 4 1/2
цетнаров и 7 фунтов, четвертый 3 1/2 цетнаров 38 фунтов, пятый 5
цетнаров 4 фунта, шестой 4 цетнара 19 фунтов. Тары от ящиков с
каждого цетнара 11 фунтов. Считаем каждый цетнар по 121 фунту
6 3/4 рыночных злотых, каждый злотый считаем по 60 грошей, а
тройной по 12 шилингов. Сколько за все заплатить.
18. Одному казначею нужны были талеры на выплаты, один за
80 грошей. Пришел он к доброму приятелю, чтобы 410 золотых
монет поменять на талеры, но таким образом, чтобы на каждый
была скидка 1 грош. Вопрос, сколько талеров можно поменять на
такую сумму. Ответ 300 талеров.
19. Один человек купил стадо овец, за каждые 5 штук платил по
7 рыночных злотых, а потом их сразу же продал, каждые 12 овец по
17 рыночных злотых, и заработал на всех этих овцах 28 рыночных
злотых. Теперь спрашиваю, сколько было овец. Ответ 1680 овец.
20. На 100 злотых суммы капитала берут в год по 6 злотых
интереса. Сколько приходится с 295 злотых через 3 года и 4
месяца?
21. Один добрый приятель ссудил другому 1200 злотых без
интереса на 1/2 года. Спрашиваю, на сколько месяцев в другой раз
в первый может у второго взять 840 злотых, ибо тот ему обязан,
без вознаграждения? Ответ на 8 4/7 месяца.
22. Один кавалер проводил время в веселом саду, встретил
несколько девушек, поклонился им, а затем спрашивал, не четверть
ли сотни их, потому что не всех перед проповедью разглядеть
может. На это одна из них сказала, что нас не четверть сотни,
однако если бы нас было два раза по столько, чем сейчас, и еще
полстолько, и еще 1/3 столько, и еще двое, тогда бы нас было 25.
Ответ 6 девушек.
23. Один юноша имел прекрасный сад, в котором росло 112
яблонь, на каждой 12 веток, на каждой ветке 99 яблок. В каждую
корзину входит 864 яблока, корзину можно продать за 6 гривен.
Сколько этот бедняк заработал?
24. Волк, Пес и Лис задрали на лугу трех баранов. Волк съел
своего за четверть часа, Пес за полчаса, а Лис за час. Вскоре Волк
поймал еще барана и начал его есть. Через полчетверти часа
пришли Пес и Лис и помогли ему доесть барана. Вопрос, как
быстро они его доели.
25. Один ростовщик дал 5000 злотых в рост по 20% на такой
срок, чтобы сумма удвоилась. Каков этот срок, если считать
проценты на проценты? Ответ 9 4/9 месяца.
26. (В стихах) Раз два сильных зверя были родственны, только
отличались ростом. Силы было достаточно. Первый из них был
Мул, а второй Осел. Опишу вам коротко, что случилось дальше.
Для них вес разделили, каждому на хребет положили по мере вина
итальянского или французского. Взмолился Мул отягощенный,
говорит ослу сокрушенным голосом: если бы тридцать кварт от
твоей ноши вина добавить к моей, так моя ноша станет в два раза
больше, а если тридцать кварт от моей ноши добавить к твоей, так у
нас станет поровну. Осел Мула послушал, но боялся он большого
Мула, уступил его просьбе, а так если бы подождали, так и жили
бы по-братски, догадайся теперь сколько каждый из них нес кварт
вина. Ответ Осел 150, а Мул 210 кварт.
28. Одна знатная дама взяла у мужа 300 гривен для шитья,
купила 3 штуки льняного полотна доброй работы, каждая штука 79
3/4 локтя, каждый локоть по 1 2/3 гривны. Сколько она сэкономила
на покупке? Ответ 98 3/4 гривны.
29. Один замок осадил враг. Комендант считает провиант из
расчета каждому солдату фунт хлеба в день, тогда они смогут
продержаться 9 месяцев и 24 дня. По прошествии 6 месяцев и 8
дней пришло известие, что нужно оборонять крепость еще 38 дней.
Спрашивается, сколько ежедневно выдавать каждому солдату
хлеба, чтобы продержаться это время. Ответ 8 4/9 лотов (лотединица веса, ок. 13г).
30. Завершение этой книги - басня с моралью. Ехал старик на
осле, а за ним маленький сын шел пешком. Люди увидели это и
стали укорять его, что же ты ребенка так мучаешь. Отец слез с осла,
и посадил сына, а люди стали говорить, глупый старик, что же ты
себя мучаешь, нечего мальчику отдыхать. "Слезай" - говорит отец,
пойдешь пешком. И смеялись люди, что осел идет пустой, а за ним
двое ненормальных. Тогда и отец и сын сели оба на осла, он их
повез, а люди снова смеялись. Видя это,сказал старик:" Как ни
старайся, трудно угодить ожиданиям,
не опасаясь досужих
языков."
XVIII век. "Арифметика как наука о числе. Как целые,
так и дробные, здесь же примеры различных любопытных
проблем, сводящихся к числам, из различных авторов. Собрана
Михалом Качвинским. В Кракове 1757 г."
Об авторе ничего не известно, кроме того, что происходил из
окружения
краковского
епископа.
Вероятнее
всего,
был ксендзом.
Золотое правило. Regula Zlota. Тройное правило. Regula Detri. За
ту особенность называется таковым, что как к золоту мы относимся
с почтением, так и это правило имеет ценность удивительной своей
операцией, а тройное правило за то так названо, что дает три
столбца, что и будет показано, и дается способ, как с трех вопросов
разузнать о четвертом, например, за 15 лотов хлеба взяли 123
злотых, сколько злотых заплатить за 364 лота? Ответ 2984 4/5
злотых.
31. За 6 месяцев осады города было достаточно продовольствия
для 300 солдат, а сколько солдат может прокормиться этим
продовольствием за год? Ответ 150.
32. О товарищеском правиле (или общественное правило).
Свойство пропорции или тройное правило еще применяется, когда
несколько купцов вкладывают в товар деньги непоровну, а нужно
рассчитать прибыль или убыток. Например, трое сложились на
покупку вина, А дал 1000 злотых, В дал 1500 злотых, С дал 2500
злотых. Прибыль составила 2000 злотых. Сколько злотых нужно
дать каждому? Ответ А 400, В 600, С 1000.
"Рахмистр (мастер счета) польский, т.е.
собрание всяких правил арифметических и алгебраических с
достаточными пояснениями и примерами, новым ясным языком
изложенный" От Йозефа Торжевского. В типографии Бердичевской
крепости Наисветлейшей Девы Марии, лета господня 1760 г.
Автор был инженером-металлургом.
Еще несколько примеров для пояснения товарищеского
правила.
33. Фунт изюма стоит 7 грошей, а фунт имбиря 5 грошей. Один
человек купил 30 лотов того и другого с тем, чтобы истратить денег
поровну, как за изюм, так и за имбирь. Вопрос. Сколько он купил
изюма и имбиря?
34. Чтобы вспахать пашню 12 локтей длины и 5 локтей
ширины, требуется 3 копальщика. Сколько потребуется
копальщиков на поле 8 локтей в длину и 10 в ширину.
35. Три человека делили 100 злотых с тем, чтобы второй взял
вдвое больше, чем первый и еще 4 злотых, а третий и 3 раза больше
чем второй минус 5 злотых. Сколько каждому досталось?
36. Двое делили 108 злотых так, что если бы взять третью
часть доли первого и четвертую часть второго, то это составило бы
32 злотых. Сколько каждому из тех 108 злотых досталось?
Решение. Пусть первый взял Х, а второй У. Тогда
Х+У=108, Х/3 + У/4 = 32,
выразим Х через У из первого уравнения. Это есть 108 минус У.
Будем иметь уравнение
432 - 4У + 3У = 384
тогда
У + 384 = 432
тогда
У = 48
след.,
Х = 60.
37. Трое хотели купить чашу, первый говорил остальным дайте половину ваших денег, а я дам все свои и будет уплачено.
Второй говорил - дайте свои деньги и т.д., и будет заплачено.
Третий говорил - дайте 1/3 ваших денег и будет заплачено. Вопрос:
сколько стоит и сколько каждый из них имел? Решение: Т.к.
каждый из них имел неизвестную сумму, предположим, что чаша
стоит А, тогда будет три уравнения
primo
Х + У/2 = Z/2 = A
secundo
У + X/3 + Z/3 = A
tertio
Z + У/4 + X/4 = A
След., Х = 5А/ 17 , вместо А можно поставить любое число, и
легко считать алгебраическую пропорцию.
Арифметика польская в форме иной арифметики с
достаточными объяснениями и новыми примерами. Автор P: W:
Написана в лето господне 1767.
Рукопись, возможное имя автора Петр Вырожебский.
Подзаголовок: "Шестое искусство, которое очень любопытно
для досконального решения многих задач, изложенное
красивым языком".
Здесь
уже
встречаются
задачи,
требующие
грамматического анализа, а также финансовые задачи на изменение
спроса.
38. Жаловался один кавалер своим друзьям, что украли у него
из сундука мешок с червоными злотыми. Спросили его друзья, а
сколько было денег? Плача, кавалер отвечал, что не помнит, но
больше 100 червоных злотых. А друзья опять с любопытством
спрашивали, как же он своих денег не знает. И отвечал кавалер, что
точно сказать не может, но только помнит, что недавно
раскладывал те червоные злотые парами, т.е. по два, и оставался в
конце счета 1 червоный злотый, не имеющий пары; а когда считал
по три, то оставалось два злотых; а когда считал по 4, оставалось
три; когда по 5, оставалось 4; когда по 6, оставалось 5; а когда по 7,
не оставалось ничего. Этот забавный рассказ кавалера вызвал
интерес у его приятелей, и они решили сосчитать, а сколько же
было денег; способ счета выбрали вот какой: взяли сначала то
число, на которое делилось без остатка, т.е. 7. Перед этим числом
написали единицу, получилось 17, потом это число умножили на 7,
отсюда получили ответ 119, что и составляло безошибочно сумму
украденых у кавалера червоных злотых. И если встретится кому
подобная задача, то действовать нужно таким способом: как
говорилось выше, берем сначала в работу первое число, для
которого деление производится без остатка, к нему прибавим
десять, а потом исе это число вместе с прибавленным десятком
умножим на то число, деление на которое производилось без
остатка, и так найдем решение для этой забавной задачи. (Пусть
читатель проверит, прав ли автор, утверждая общность метода).
39. Один барин встретил в поле пастушку с гусями и сказал ей:
"Девочка, у тебя хорошее стадо гусей", на что она ответила: "
Добрый господин, здесь нет стада, т.е. ста гусей, а вот если бы было
еще раз столько, да полстолько, да четвертьстолько, да еще один,
тогда было бы стадо, т.е.сто гусей." Спрашивается, сколько гусей
было у той пастушки. Ответ 36 гусей. Решение: было 36, да столько
же 36, да полстолько 18, да четвертьстолько 9, да еще 1, сумма 100.
40. Один господин увидел, как продаются яблоки и хотел
купить копу, т.е.60 штук, хороших яблок. На что ему сказали: "
Если бы здесь было еще раз столько, полстолько, да еще три и два,
тогда была бы копа." Спрашивается, сколько было яблок. Ответ 22.
Решение: было яблок 22, еще столько 22, полстолько 11, да еще
2+3, сумма 60.
41. Пришли три парня в корчму и пропили 1 злотый (1
злотый=30 грошей), первый дал неизвестно сколько, второй дал
столько же и еще раз столько, а третий дал три раза по столько.
Спрашивается, сколько дал каждый из них. Решение: первый дал 5
грошей, второй дал 10, третий 15, сумма 1 злотый или30 грошей.
42. Трое соседей купили одного вола, которого забили; стали
его делить. Каждому досталась голова, хвост и потроха. Где бы
найти такого вола, чтобы было три головы, три хвоста и трое
потрохов? Решение. Один сосед из троих носил имя Каждый,
поэтому ему это и досталось. Возможно, так все и было.
43. Шли муж и жена, брат и сестра. Купили три яблока,
которые поровну разделили. Спрашивается, как поделили, если
было три яблока, а на четверых делили поровну. Ответ. На каждого
пришлось по 1 целому яблоку, т.к. их было только три человека,
первый человек муж, второй человек жена, третий брат, чья сестра
была женой того первого дружка.
44. У трех торговок яблоками было у первой 10 яблок, у второй
30 яблок, а у третьей было 50 яблок. Все они продавали по
одинаковой цене, и продали все яблоки, но выручка у всех
оказалась одинаковой и составила 10 грошей. Это удивительно
звучит, и трудно понять, т.к. три торговки имели разное количество
яблок. Если бы первая за 10 яблок взяла 10 грошей, то другая
должна была бы за 30 яблок получить 30 грошей, а третья за 50
яблок 50 грошей. В чем же секрет?
А дело было так. Сначала они продавали по 7 яблок за
грош. Первая, которая имела 10 яблок, продала 7 яблок за 1 грош, и
у нее остались 3 штуки. Вторая, которая имела 30 яблок, продала по
той же цене 28 яблок, выручила 4 гроша, и у нее осталось 2 яблока.
Третья, которая имела 50, продала по этой цене 49 яблок, выручила
7 грошей, и осталось 1 яблоко.
Оставшиеся яблоки они продавали поштучно, потому что в
одном доме случилась потребность в яблоках, и посланец этого
дома был готов заплатить дорого, лишь бы достать яблоки.
Торговки стали продавать яблоки по 3 гроша за штуку. И вот что
получилось. Первая, у которой оставалось 3 яблока, продала
каждое по 3 гроша и выручила 9 грошей, к которым прибавила 1
грош от прежней выручки, итого получила 10. Вторая имела 2
яблока и продала их по 3 гроша, выручила 6 грошей, к которым
прибавила 4 гроша от прежней выручки и всего получила 10
грошей. Третья имела 1 яблоко, которое продала за 3 гроша,
добавила к 7 грошам от прежней выручки и всего получила 10
грошей. И так каждая наторговала по 10 грошей, хотя яблок имели
непоровну.
Заметим, что в этой задаче учитывается изменение стоимости
во времени.
Среди задач большую группу составляют задачи на рост
капитала с течением времени, называемый интересом, а также
задачи расчета дисконта, задачи на фьючерсы (т.е. на договоры о
будущих покупках по современной цене).
Использованная литература.
1. W. Wieslaw. Stare polskie zadania z matematyki. Opole 2000,
151str. Polska.
2. W. Wieslaw. Matematyka polska epoki Oswiecenia.Warszawa
2007, 360 str. Polska
3. Г. Феттер. Краткий обзор развития математики в чешских
землях до белогорской битвы. Историко-математические
исследования XIY М 1958 стр. 491-516.
4. К.Фогель. Средневековые купеческие руководства по
практической арифметике. Историко-математические исследования
XXIII М 1978 стр. 235-249.
5. Иоанна Фридерика Вейдлера Арифметика. Перевод с
латинского. Изд. 2-е, исправленное и умноженное многими
нужными прибавлениями. – Москва 1787 г. 99 стр.
6. Начальные правила арифметики, и краткое руководство к
географии в пользу российского юношества, собранное
А.Решетниковым. Москва 1972 г.
7. Арифметика или числовник, содержащий в себе все
правила цыфирнаго вычисления, случающегося в общежитии, в
пользу всякаго учащагося Воинскаго, Статскаго и Купеческаго
Юношества. Изд. 3, поправленное и умноженное проф. Николаем
Кургановым. – СПб при императорской Академии наук. 1776г.- 228
стр.