Реферат учебно-методической разработки «НЕЛИНЕЙНЫЕ

Реферат учебно-методической разработки
«НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В РЕШЕТОЧНЫХ СИСТЕМАХ С
БЕСПОРЯДКОМ»
М.В. Иванченко
Актуальность
Колебательно-волновая динамика, процессы локализации и переноса энергии
в решетках
осцилляторов является одной из фундаментальных проблем современной нелинейной физики.
Интенсивные исследования в этой области, ведущиеся на протяжении более 20 лет, связаны с
высокой степенью актуальности для целого спектра прикладных задач в области получения,
обработки, хранения и передачи информации. Так, решетки наномеханических осцилляторов на
настоящий момент представляются крайне перспективной элементной базой для миниатюрных
устройств, функционирование которых связано с высокоточными измерениями, обработкой и
передачей информации [1,2]. Низкоразмерные наносистемы (нанопровода, нанотрубки, графен)
характеризуются уникально высокими значениями электрической и тепловой проводимости, по
сравнению с трехмерными материалами. Это вызывает беспрецедентный интерес в фотонике и
оптоэлектронике (например, предлагаются высокоскоростные графеновые фотодетекторы [3]),
наноэлектронике и фононике [4,5]. В экспериментальных исследованиях динамики атомарных
конденсатов
в
оптических
решетках
изучаются
фундаментальные
квантовые
эффекты
в
многочастичных системах, разрабатываются принципы квантовых вычислений [6].
В основе современных теоретических представлений о колебательно-волновых процессах в
решеточных системах лежат такие фундаментальные явления как Андерсоновская локализация в
линейных системах с беспорядком ([7], Нобелевская премия за 1977 год), локализация и
делокализация энергии в модовом пространстве нелинейных систем без беспорядка (знаменитый
парадокс Ферми-Паста-Улама [8]). В центре современных исследований — системы с одновременным
присутствием беспорядка и нелинейности, как более реалистичные, так и обладающие более богатой
и сложной динамикой.
Без наличия базовых компетенций в этом предмете современная радиофизическая
подготовка не может считаться полной.
Нижегородская радиофизическая школа находится среди мировых лидеров в этой области.
Группой сотрудников кафедры теории колебаний (М.В. Иванченко, О.И. Канаков, К.Г. Мишагин, В.Д.
Шалфеев) выполнен цикл работ по локализации энергии в нелинейных системах без беспорядка,
предложена теория q-бризеров, разрешившая парадокс Ферми-Паста-Улама [10,12,15-22]. Автором
была развита теория q-бризеров в нелинейных системах с беспорядком [11,13,14], построена теория
аномальной теплопроводности в подобных системах [9], разработана теория Андерсоновской
локализации в нелинейных системах [23].
Внедрение научно-исследовательских результатов в учебный процесс необходимо для
подготовки высококлассных молодых специалистов мирового уровня по приоритетному
направлению развития УНИК-2.
Цель
Целью данной учебно-методической разработки является знакомство обучающихся с современными
методами и результатами теории нелинейных колебаний и волн в решеточных системах с
беспорядком.
Задачи
Основной методической задачей данной учебно-методической разработки является доступное и
целостное изложение как классических результатов теории колебательно-волновых процессов в
решеточных системах с беспорядком, так и передовых научных достижений, а также знакомство
студентов с актуальными прикладными задачами.
В настоящее время существует довольно много англоязычной научной и научно-учебной
литературы в предметной области (обзорные статьи, книги), в то время как русскоязычная литература
отсутствует. Практическая ценность данной учебно-методической разработки заключается в
возможности ее использования в качестве основной литературы в основных курсах и спецкурсах.
Научная ценность
Методическая разработка представляет собой внедрение результатов научных исследований в
рамках УНИК-2 – «разработка методов получения, обработки, хранения и передачи информации,
включая диагностику природных сред, искусственных материалов и живых систем», выполненных
М.В. Иванченко и опубликованных в высокорейтинговых рецензируемых изданиях [9-22] (3 из них —
в Physical Review Letters, 1 — в Europhysics Letters).
•
Разработана
теория
q-бризеров
(точных
периодических
решений,
экспоненциально
локализованных в модовом пространстве): для широкого класса колебательных решеток: с
акустическим и оптическими типами спектра, с произвольным порядком нелинейности в
функции
взаимодействия,
для
решеток
различной
размерности.
Найдены
условия
неустойчивости и делокализации q-бризеров, показана роль в процессах обмена энергией
между взаимодействующими модами, решена проблема перехода от локализации к
делокализации энергии [10-22].
•
Теория q-бризеров в нелинейных системах с беспорядком применена для изучения режимов
теплопроводности в нелинейных цепочках с беспорядком. Предсказано и подтверждено в
численных экспериментах существование переходов между режимами изолятора, нормальной
теплопроводности и двух видов аномальной в зависимости от размеров системы и средней
энергии [9].
•
Разработана теория нелинейной Андерсоновской локализации в системах с беспорядком.
Показано, что нелинейность приводит к вероятностному характеру локализации; локализация
либо распространение волновых пакетов зависит от конкретной реализации беспорядка. При
увеличении
нелинейности
вероятность
наблюдения
Андерсоновской
уменьшается и обращается в ноль над определенным порогом [23].
локализации
Целевая аудитория
Учебно-методическая разработка предназначена для использования как основной материал для курса
«Нелинейная физика: локализация» (в настоящий момент читается для студентов магистратуры
радиофизического факультета, лектор — М.В. Иванченко). Публикация учебно-методической
разработки позволит повысить эффективность обучения, значительно усилить прикладную
составляющую курса.
В целом, разработка ориентирована на студентов старших курсов по направлениям физика и
радиофизика, может быть использована как в общих, так и в специализированных курсах. Для
успешного усвоения материала желательно предварительное изучение дисциплин "Теория колебаний
и волн", "Механика (теоретическая)".
Оглавление
Введение
1. Колебательно-волновая динамика линейных пространственно-однородных решеток.
- Решетки линейных осцилляторов. Дисперсионное уравнение. Собственные колебания. Влияние
граничных условий. Акустический и оптический спектры. Классы систем Клейна-Гордона и ФермиПаста-Улама.
2. Динамика нелинейных пространственно-однородных решеток.
- Парадокс Ферми-Паста-Улама. Теория q-бризеров: локализация, устойчивость, объяснение
парадокса Ферми-Паста-Улама, обобщения на случай произвольного порядка нелинейности,
размерности решетки. Приложения: динамика наноэлектромеханических решеток.
3. Динамика нелинейных решеток со слабым пространственным беспорядком.
- Теория q-бризеров в решетках с беспорядком, локализация, устойчивость. Приложения: аномальная
теплопроводность.
4. Динамика линейных решеток с сильным пространственным беспорядком.
- Андерсоновская локализация. Локализация в квазипериодических системах. Экспериментальная
локализация света в фотонных кристаллах и невзаимодействующих Бозе-Эйнштейн конденсатов в
оптических решетках. Теория нелинейной андерсоновской локализации. Аномальная диффузия
волновых пакетов. Приложения: динамика взаимодействующих Бозе-Эйнштейн конденсатов.
Заключение
Литература
Содержание
1. Колебательно-волновая динамика линейных пространственно-однородных решеток.
Основная цель первой главы — дать обзор базовых понятий колебательно-волновой динамики
линейных пространственно-однородных решеточных систем, с которыми студенты знакомятся в
предшествующих курсах «Теория колебаний» и «Механика (теоретическая)». Эта вводная часть
поможет как закрепить материал, пройденный ранее, так и подготовит студентов к восприятию
основного содержания.
Будут даны примеры гамильтоновского описания осцилляторных решеток, продемонстрирован
переход к ньютоновским уравнениям движения. Будет рассмотрена задача о собственных (линейных)
колебаниях, приведен алгоритм получения дисперсионного уравнения, обсуждено влияние граничных
условий. Будут введены понятия акустического и оптического спектров колебаний, изложена
классификация нелинейных колебательных систем: классы Клейна-Гордона и Ферми-Паста-Улама.
2. Динамика нелинейных пространственно-однородных решеток.
Одной из основополагающих работ в области колебательно-волновой динамики нелинейных
систем является исследование Э. Ферми, Д. Пасты и С. Улама [8], в котором рассмотрена задача о
делокализации энергии, сосредоточенной в низкочастотных модах в модели атомарной цепочки с
нелинейными связями. Авторы предполагали, что именно нелинейное взаимодействие между
элементами (приводящее к неинтегрируемости уравнений) лежит в основе детерминистического
механизма термализации системы, равнораспределения энергии по всему спектру. Однако численные
эксперименты показали, что энергия остается локализованной в нескольких низкочастотных модах на
протяжении всего времени интегрирования, практически полностью возвращаясь к начальному
распределению с некоторой периодичностью. Потребовалось несколько десятилетий активных
исследований чтобы установить, что существуют так называемые пороги слабой и сильной
стохастичности по энергии, выше первого из которых колебания становятся хаотическими, оставаясь
локализованными в низкочастотных модах, а выше второго происходит быстрая делокализация за
счет развитого динамического хаоса, изучить зависимость этих порогов от размера системы и
временных масштабов делокализации от энергии [11].
Однако, несмотря на усилия большого числа исследователей, последовательную теорию
парадокса Ферми-Паста-Улама (ФПУ) долгое время построить не удавалось. В 2005 году было
обнаружено существование q-бризеров в колебательной цепочке ФПУ — точных периодических
решений, экспоненциально локализованных в модовом пространстве, что позволило объяснить все
основные особенности парадокса (М.В. Иванченко в соавторстве с С. Флахом и О.И. Канаковым) [21].
Изложение общей теории теория q-бризеров (разработанной М.В. Иванченко) [10-12,15-22]
составит основное содержание второй главы. Будет развита теория возмущений, которая позволяет
получить аналитическую оценку профиля энергии в q-пространстве. Будет показано, что, помимо
увеличения полной энергии системы/коэффициента нелинейности, к делокализации q-бризера может
привести и увеличение длины системы N, если порядок нелинейности меньше порогового. Для более
высоких порядков нелинейности длина локализации в модовом пространстве уменьшается с N; для
любых наперед заданных величин коэффициента и порядка нелинейности можно указать такое N,
выше которого q-бризер будет локализован.
Для общего вида нелинейности, где в уравнениях движения присутствуют члены различного
порядка, с увеличением полной энергии более высокие порядки начинают преобладать по силе
действия. Однако, порог делокализации q-бризеров (а, следовательно, термализации и разрушения
квазилинейного спектра) полностью определяется нелинейными членами низкого порядка.
Численные
эксперименты
по
непосредственному
моделированию
делокализации
низкочастотного одномодового возбуждения подтверждают теоретические предсказания. При порядке
нелинейности, меньше критического, наблюдается термализация системы. Выше этого порога
начальные возбуждения остаются локализованными в модовом пространстве, по крайней мере, на
доступных в численном эксперименте временах.
Наконец, анализ линейной устойчивости q-бризеров дает аналогичные результаты: устойчивость
с ростом размера системы при высоком порядке нелинейности и неустойчивость в обратном случае. В
силу соответствия порога неустойчивости порогу возникновения слабого хаоса, отсутствие/наличие
делокализации вследствие диффузии Арнольда зависит от размеров системы и порядка нелинейности
таким же образом.
Будет изложен численный алгоритм высокоточного нахождения q-бризеров и определения их
устойчивости, а также его параллельная реализация, позволяющая находить точные периодические
решения в цепочках существенно больших размеров, чем в последовательной реализации.
Будет исследована локализация и устойчивость q-бризеров в двумерных и трехмерных
решеточных системах. Было показано, что при увеличении размерности решетки локализационные
свойства q-бризеров улучшаются, что указывает на увеличения порога термализации в таких
системах.
Будут
обсуждены
прикладные
задачи
колебательно-волновой
динамики
нано-
электромеханических осцилляторов, для которых результаты теории q-бризеров имеют существенное
значение. Их решеточные структуры открывают возможности для обработки широкополосных
сигналов, использования волновых явлений, например, дисперсии. Вызывает интерес расширение
рабочего диапазона в нелинейную область, в которой эффекты нелинейности будут контролируемо
малы; более того, существуют предложения по использованию нелинейных эффектов.
3. Динамика нелинейных решеток со слабым пространственным беспорядком.
В третьей главе излагается теория q-бризеров в пространственно-неоднородных решетках [1113], исследуются явления делокализации и развития неустойчивости этих решений в системах с
двумя основными типами линейного спектра: акустическим (модель Ферми-Паста-Улама) и
оптическим (модель цепочек дискретных нелинейных уравнений Шредингера). Беспорядок здесь
вводится как случайная пространственная неоднородность в коэффициентах связи, моделируя
дислокации в кристаллических атомарных решетках или неоднородность в оптических решетках,
удерживающих Бозе-Эйнштейн конденсаты.
В обоих случаях q-бризеры сохраняют локализацию в модовом пространстве, если сила
пространственного беспорядка достаточно мала. Построенная теория возмущений позволяет
получить оценки на поправки в распределении энергии в модовом пространстве, возникающие за
счет беспорядка, согласующиеся с численными результатами.
Фундаментальным свойством систем с акустическим спектром является то, что в пределе
N → ∞ даже при большой силе беспорядка в низкочастотной области спектра существует зона qбризеров шириной
qc ∝
N , которые близки к q-бризерным решениям пространственно-
однородной задачи, локализованных в модовом пространстве и делокализованных в прямом
пространстве. Этот результат является ключевым в анализе теплопроводности в таких системах.
Напротив, в системах с оптическим спектром существует порог по силе беспорядка, при превышении
которого все q-бризеры делокализуются в модовом пространстве. Решения, делокализованные в
прямом пространстве, исчезают, что обусловливает нормальную теплопроводность.
Анализ устойчивости q-бризерных решений показывает, что беспорядок может не только
уменьшить порог неустойчивости по параметру нелинейности, но и увеличить его, в зависимости от
конкретной реализации. Среднее значение порога неустойчивости при этом остается приближенно
равным порогу в системе без беспорядка, а дисперсия растет с увеличением беспорядка.
Линейный характер зависимости порога неустойчивости от случайных коэффициентов связи
между осцилляторами, задающими беспорядок, позволяет рассмотреть задачу о собственном вкладе
пространственных гармоник беспорядка в поправки к порогу неустойчивости. Оказалось, что
основное влияние на порог неустойчивости q-бризера с центром в моде
q0 оказывают
пространственные гармоники с волновыми числами в диапазоне [2q 0 − 2;2q0 + 2] , причем знак
поправки от каждой из них определяется их пространственной фазой. Этот результат позволяет
сформулировать
принцип
управления
устойчивостью
q-бризеров
с
помощью
задания
пространственных неоднородностей определенного профиля.
Во втором разделе главы излагаются результаты применения теория q-бризеров в системах с
беспорядком для исследования процессов делокализации и переноса энергии [9,11].
Отклонения от нормальной теплопроводности (от закона Фурье) в низкоразмерных системах с
недавних пор стало объектом экспериментальных и прикладных исследований в контексте
нанотрубок, твердотельных термических выпрямителей и фононных волноводов. Аномальная
теплопроводность впервые наблюдалась в экспериментах с углеродными и бор-нитридными
нанотрубками. Была получена степенная зависимость коэффициента теплопроводности от длины
нанотрубки. И для нанотрубок, и для нанопроводов было показано, что основным каналом переноса
энергии являются фононы. Рассеяние фононов обусловлено беспорядком (дефектами в структуре
кристаллической решетки) и нелинейностью (межатомных связей), поэтому цепочки связанных
осцилляторов, где полный импульс является интегралом движения, широко используются как
качественные модели для изучения механизмов аномальной теплопроводности.
Теория q-бризеров позволяет установить, что беспорядок индуцирует «границу подвижности» в
спектре, разделяя его на зоны делокализованных ( q ≤ qc ~
N ) и локализованных ( qc < q ≤ N ) в
прямом пространстве мод. Эти моды определяют механизмы теплопроводности нелинейных
пространственно-дискретных систем с беспорядком. Делокализованные моды обеспечивают
баллистический транспорт энергии между термостатами на концах цепочки, что приводит к
нарушению закона Фурье (точнее, его аналога для колебательных решеток), аномальной
теплопроводности, выражающейся в степенной зависимости коэффициента теплопроводности от
размеров системы:
κ ∝ N α , α > 0 . Локализованные моды в присутствии нелинейности
обеспечивают диффузионный транспорт энергии, отвечающий нормальной теплопроводности
κ ∝ N 0 . Кроме того, нелинейность приводит к образованию третьего канала теплопроводности, в
котором энергия поступает в делокализованные моды не напрямую из термостатов (прямой поток
может быть мал вследствие большого входного сопротивления), а через «нагретые» локализованные
моды.
Теоретический и численный анализ обнаруживает, что, в зависимости от соотношения
управляющих параметров – средней плотности энергии («температуры») T и размера системы N –
реализуются следующие режимы теплопроводности: (а) цепочка-изолятор (при очень низких
температурах, когда из-за большого входного сопротивления коэффициент теплопроводности для
канал делокализованных мод убывает с увеличением размеров системы, остальные же каналы
неэффективны), (б) нормальная теплопроводность (при увеличении температуры возрастает
эффективность передачи тепла через канал локализованных мод, и он становится доминирующим),
(в) аномальная теплопроводность первого рода (доминирует третий канал теплопроводности), (г)
аномальная теплопроводность второго рода (режим сильного хаоса, в котором эффекты нелинейного
взаимодействия между модами доминируют над эффектами беспорядка).
Переходы между этими режимами могут оказаться наблюдаемы в экспериментах, связанных с
определением коэффициента теплопроводности нанотрубок и нанопроводов.
4. Динамика линейных решеток с сильным пространственным беспорядком.
Фундаментальным и ключевым явлением в линейных системах с пространственным
беспорядком
является
андерсоновская
локализация,
в
широком
смысле
понимаемая
как
экспоненциальная локализация линейных мод пространственно-неоднородных колебательных систем
[7].
Действительно,
если
с вероятностью 1
линейные моды
являются экспоненциально
локализованными в прямом пространстве, то любое начальное возбуждение конечного размера
экспоненциально локализованно в пространстве андерсоновских мод. Взаимодействие между модами
в линейном случае отсутствует, поэтому их начальные энергии сохраняются во времени. Эффективно
возбужденными окажутся и будут оставаться только те моды, амплитуды которых заметно отличны от
нуля в области начального возбуждения. В результате, начальный волновой пакет останется
локализованным в исходной области пространства.
В начале мы рассмотрим основные методы исследования андерсоновской локализации в
линейных системах с беспорядком и квазигармонической пространственной неоднородностью и
изложим классические результаты. Также будут описаны физические эксперименты (постановка
которых оказалась возможной лишь в последние 5 лет), в которых наблюдалась локализация света,
атомарных конденсатов и акустических волн [6].
Нелинейность, неизбежная в реальных физических системах, приводит к взаимодействию между
андерсоновскими модами. Закономерен вопрос, сохраняется ли андерсоновская локализация в
нелинейных системах с беспорядком, или начальное возбуждение будет делокализовываться с
отличной от нуля вероятностью для сколь угодно малой, но конечной нелинейности?
Ответ на этот вопрос до последнего времени оставался неизвестным, несмотря на
многочисленные работы в данной области. Так, J. Froеhlich, T. Spencer, и C.E. Wayne показали, что для
класса нелинейных решеток с конечным радиусом взаимодействия андерсоновских мод можно
построить продолжение бесконечномерных торов из линейного режима в нелинейный. Из этого
следует, что для достаточно слабой нелинейности существует область фазового пространства,
обладающая конечной мерой, начальные условия, принадлежащие которой, будут находиться на торе,
а соответствующие траектории – отвечать колебаниям локализованным в прямом пространстве
решетки. Был сделан вывод о существовании андерсоновской локализации в нелинейных системах
ограниченного класса. Здесь, однако, следует отметить, что неясным остается вопрос о
равномерности
продолжения
торов
и
зависимости
порога
их
существования
по
силе
нелинейности/энергии от различных факторов. В численных экспериментах было получено, что
точеные возбуждения оставались локализованными в течение всего времени наблюдения, если их
энергия была достаточно мала. Подобные численные результаты, однако, всегда оставляют открытым
вопрос о эволюции на больших временных масштабах.
В данной главе будет изложена теория нелинейной андерсоновской локализации [23]. Построив
теорию q-бризеров в базисе андерсоновских мод, мы покажем, что существует конечная вероятность
того, что локализованное решение нелинейной системы (периодическое или квазипероидическое во
времени) разрушается для произвольно малой нелинейности, либо, что полностью эквивалентно,
энергии. Таким образом, для произвольно малой нелинейности/энергии существует конечная
вероятность делокализации начального возбуждения. Верхняя граница для вероятности локализации
уменьшается экспоненциально с возрастанием энергии пакета/коэффициента нелинейности. Более
того, для произвольно малой энергии/нелинейности средняя по ансамблю длина локализации пакета
стремится к бесконечности, что также свидетельствует об отсутствии андерсоновской локализации.
В заключении будет дан обзор последних экспериментов по наблюдению андерсоновской
локализации во взаимодействующих Бозе-Эйнштейн конденсатах, обсуждены экспериментальные
следствия нелинейной теории и некоторые теоретические результаты квантовых двух- и трехчастичных задач [6].
1. K. L. Ekini, M. L. Roukes, Nano eletromechanial systems, Rev. Sci. Instr. 2005. Vol. 76, P.
06110.
2. M. Li, H.X. Tang, and M.L. Roukes, Ultra-sensitive NEMS-based cantilevers for sensing,
scanned probe and very high-frequency applications, Nature Nanoteh. 2007. Vol. 2, P. 114.
3. T.J. Echtermeyer et al., Strong plasmonic enhancement of photovoltage in graphene //
Nature Communications. 2011. Vol. 2, art. 458.
4. A.A. Balandin, Chill Out: New Materials and Designs Can Keep Chips Cool // IEEE
Spectrum. 2009. Vol. 29, October issue.
5. A.A. Balandin, Nanophononics: Phonon engineering in nanostructures and nanodevices // J.
Nanoscience and Nanotechnology. 2005. Vol. 5, P. 7.
6. L. Sanchez-Palencia and M. Lewenstein, Disordered quantum gases under control // Nature.
2010. Vol. 6, P. 89.
7. P. W. Anderson, Absence of Diffusion in Certain Random Lattices // Phys. Rev. 1958. Vol.
109, P. 1492.
8. E. Fermi, J. Pasta, and S. Ulam, Studies of Nonlinear Problems // Document LA-1940. May
1955.
9. M. Ivanchenko, S. Flach, Disorder-induced mobility edges and heat flow control in
anharmonic acoustic chains // Europhysics Letters. 2011. Vol. 94. P. 46004.
10. М.В.
Иванченко,
Модовая
локализация
в
цепочках
Ферми-Паста-Улама
с
произвольным порядком нелинейности // Изв. ВУЗов Прикладная нелинейная
динамика. 2011. Т. 19. №1. С. 55-62.
11. М.В. Иванченко, Q-бризеры: от парадокса Ферми-Паста-Улама до аномальной
теплопроводности // Изв. ВУЗов Прикладная нелинейная динамика. 2011. Т. 19. №1. С.
73-85.
12. M. Ivanchenko, q-Breathers and thermalization in acoustic chains with arbitrary nonlinearity
Письма в ЖЭТФ. 2010. Т. 92. С. 405-409.
13. M. Ivanchenko, q-Breathers in finite lattices: nonlinearity and weak disorder // Phys. Rev.
Lett. 2009. Vol. 102. P. 175507.
14. M. Ivanchenko, q-Breathers in Discrete Nonlinear Schroedinger arrays with weak disorder //
Письма в ЖЭТФ. 2009. Т. 89. С. 170-175.
15. K. Mishagin, O. Kanakov, M. Ivanchenko, S. Flach, q-breathers is discrete nonlinear
Schroedinger lattices // New J. Phys. 2008. Vol. 10. P. 073034.
16. S. Flach, M. Ivanchenko, O. Kanakov, K. Mishagin, Periodic orbits, localization in normal
mode space and the Fermi-Pasta-Ulam problem // Am. J. Phys. 2008. Vol. 76. P. 453-459.
17. S. Flach, O. Kanakov, K.G. Mishagin and М.V. Ivanchenko, q-Breathers in FPU-Lattices Scaling and Properties for Large Systems // Int. J. Mod. Phys. B. 2007. Vol. 21. P. 3925.
18. O. Kanakov, S. Flach, M. Ivanchenko, K.G. Mishagin, Scaling properties of q-breathers in
nonlinear acoustic lattices // Phys. Lett. A. 2007. Vol. 365. P. 416.
19. M. Ivanchenko, O. Kanakov, K. Mishagin, S. Flach, q-Breathers in finite two- and threedimensional nonlinear acoustic lattices // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 97. P. 025505.
20. S. Flach, M. Ivanchenko, O. Kanakov, q-breathers in Fermi-Pasta-Ulam chains: Existence,
localization, and stability // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73. P. 036618.
21. S. Flach, M. Ivanchenko, O. Kanakov, q-Breathers and the Fermi-Pasta-Ulam problem //
Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 95. P. 064102.
22. М. Ivanchenko, O. Kanakov, V. Shalfeev, S. Flach, Discrete breathers in transient processes
and thermal equilibrium // Physica D. 2004. Vol. 198. P. 120.
23. M.V. Ivanchenko, T.V. Lapteva, S. Flach, Anderson localization or nonlinear waves: a matter
of probability // arXiv: 1108.0899. 2011.