МЕТОД СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА СИГНАЛОВ В СИСТЕМАХ

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
7. Популярная механика [Электронный ресурс]. – Режим
доступа: http://www.popmech.ru/article/3378-parovoy-fantomtopliva/ (дата обращения: 02.07.2012).
ЮША Владимир Леонидович, доктор технических наук, профессор (Россия), заведующий кафедрой «Холодильная и компрессорная техника и технология».
ЧЕРНОВ Герман Игоревич, кандидат технических
наук, доцент кафедры «Холодильная и компрессорная техника и технология».
РАЙКОВСКИЙ Николай Анатольевич, кандидат
технических наук, старший преподаватель кафедры
«Холодильная и компрессорная техника и технология».
Адрес для переписки: [email protected]
Статья поступила в редакцию 12.07.2012 г.
© В. Л. Юша, Г. И. Чернов, Н. А. Райковский
С. Н. ЧИЖМА
Р. И. ГАЗИЗОВ
УДК 519.65
Омский государственный
университет путей сообщения
МЕТОД
СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА СИГНАЛОВ
В СИСТЕМАХ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ
Рассмотрен метод гармонического анализа сигналов в сетях электроснабжения, позволяющий оценивать частоту, амплитуду и фазу гармоник напряжения или тока при
наличии шума и отклонении частоты сигнала.
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА
Ключевые слова: частота, гармоники, амплитуда, фаза, быстрое преобразование Фурье, сглаживающее окно.
198
Большинство параметров качества электроэнергии могут быть определены с использованием спектрального метода анализа электрических сигналов
тока и напряжения. Наибольшее распространение
получили методы, использующие быстрое преобразование Фурье (БПФ).
При использовании БПФ в реальных условиях
возникает ряд сложностей. Помимо погрешности,
вносимой в амплитудный спектр отклонением частоты гармоники от значения, кратного размеру
окна наблюдения сигнала, имеют место погрешности, зависящие от фазы оцениваемой гармоники и
частоты дискретизации сигнала.
В случае, когда период сигнала не кратен размеру окна наблюдения, спектр такого сигнала не будет
линейчатым, а будет непрерывной функцией частоты [1]. Для решения этой проблемы применяет метод оконных сглаживающих функций, суть которого
заключается в наложении на сигнал во временной
области сглаживающего окна, имеющего более качественные характеристики в частотной области, чем
прямоугольное окно (сигнал без сглаживания) [2].
Рассмотрим синусоидальный сигнал x(t) с частотой f0 и спектром X(f).
.
(1)
Наложим на данный сигнал некоторое окно w(t)
со спектром W(f):
.
(2)
В результате наложения окна на сигнал получим
новый сигнал со спектром:
(3)
.
Согласно свойству преобразования Фурье,
спектр сигнала
представляет собой смещенный на величину f0 спектр сигнала w(t), а именно
W(f–f0). Соответственно, спектр синусоидального
сигнала, сглаженного оконной функцией, представляет собой смещенный спектр окна, взвешенный амплитудой синусоиды. На рис. 1 представлен
спектр синусоидального сигнала частотой 50 Гц с
наложенным на него окном Кайзера. На рисунке
виден спектральный пик, форма которого повторяет
форму использованного сглаживающего окна. Местоположение пика по оси частот определяет положение и частоту гармоники.
Для повышения точности оценки частоты гармоники в спектре сигнала воспользуемся указанным
выше свойством преобразования Фурье — перемножению сигнала и функции окна во временной области соответствует свертка спектров сигнала и окна в
частотной области:
.
(4)
Таким образом, рассматривая в идеальном случае единственную гармонику, можно оценить ее положение в спектре по максимуму корреляционной
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
Рис. 2. Вид корреляционной функции и соответствие ее максимума положению гармоники в амплитудном спектре
Рис. 3. Истинное положение гармоники
относительно максимума ДПФ
Рис. 4. Определение положения гармоники и ее амплитуды
по набору спектральных окон
функции смещенного спектра оконной функции и
спектра сглаженного сигнала:
гармоники будет находиться в диапазоне [fmax–fw/2;
fmax+fw/2] от максимума ДПФ (рис. 3).
Так как для дискретного спектра энергия гармоники (порядка 80 %) сосредоточена в ближайших
3–5 отсчетах в районе максимума амплитудного
спектра, то расчет коэффициента корреляции производится по пяти точкам, что повышает экономичность и быстродействие алгоритма.
Для дальнейшего повышения эффективности
работы алгоритма, определим минимально необходимый набор смещенных спектров сглаживающих
окон, с которыми рассчитывается корреляция. Так
как положение гармоники определяется максимумом амплитудного спектра ДПФ в диапазоне ±fw/2
от него, то и расчет корреляции стоит производить
для смещений спектра сглаживающего окна в соответствующем диапазоне относительно максимума
амплитудного спектра ДПФ. Необходимо определить
шаг смещений для обеспечения требований стандартов по точности оценки амплитуды гармоники.
Из формулы RXW(df)=ARWW(df) можно выразить
значение амплитуды гармоники как:
.
(5)
Таким образом, для синусоидального сигнала рассчитывается автокорреляционная функция
спектра сглаживающего окна, взвешенная амплитудой гармоники:
.
(6)
На рис. 2 приведен вид корреляционной функции спектра сглаженного сигнала и смещенных
спектров сглаживающего окна.
Как видно из рис. 2, при сопоставлении спектра
сигнала и корреляционной функции положение
максимума корреляционной функции (смещение
спектра сглаживающего окна) будет соответствовать положению гармоники и ее частоте.
В общем случае для поиска гармоники в спектре сигнала пришлось бы рассчитывать корреляцию бесконечного множества смещенных спектров
оконной функции со всеми отсчетами дискретного
амплитудного спектра сигнала, что не является эффективным. Для сужения области поиска воспользуемся предыдущим утверждением — местоположение максимума ДПФ определяет область местоположения гармоники. При этом истинное положение
.
(7)
По мере приближения к истинному положению
гармоники, значение RXW(df) будет стремиться к
максимуму, а значение RWW(df) к «мощности» соот-
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА
Рис. 1. Спектр синусоидального сигнала, сглаженный окном
Кайзера
199
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
В свою очередь, как было показано выше, результат ДПФ сигнала xcos(t) есть смещенный спектр сглаживающего окна, взвешенный амплитудой Acos:
(11)
вид реальной и мнимой составляющих непрерывного спектра которого представлен на рис. 6.
Используя тригонометрическую формулу замещения функции синус на косинус, можно получить:
Рис. 5. Вид автокорреляционной функции окна Кайзера
ветствующего спектра сглаживающего окна. Для
уменьшения вычислений можно произвести нормирование набора спектральных окон предварительно
на этапе их формирования:
.
.
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА
преобразование Фурье которого дает следующий результат:
(13)
Таким образом, реальная и мнимая составляющие непрерывного спектра синусной составляющей
сигнала x(t) могут быть представлены через реальную и мнимую составляющие косинусной составляющей (рис. 7):
(8)
В этом случае значение R`XW(df) будет стремиться к максимуму – значению амплитуды гармоники
(рис. 4). Вид автокорреляционной функции используемого окна Кайзера показан на рис. 5.
Для обеспечения точности оценки амплитуды
гармоники согласно ГОСТ 13109 (5 % относительной
погрешности для амплитуд больше 1 % номинального напряжения и 0,05 % номинального напряжения
для меньших амплитуд) определяется шаг смещений
для набора сглаживающих окон. Для этого строится
график автокорреляционной функции в диапазоне
смещений от –fw/2 до +fw/2.
Расчеты показывают, что необходимое количество спектральных окон в наборе должно составлять
не менее 1/0,045=23 окон.
После того, как было определено положение гармоники и оценена ее амплитуда, необходимо произвести оценку фазы гармоники. Для этого оценим
амплитуду ее синусной и косинусной составляющих
по аналогии с оценкой амплитуды, учитывая, что
уже известно смещение сглаживающего окна, при
котором корреляционная функция принимает максимальное значение.
Для общего случая представим сигнал x(t) как:
200
(12)
(14)
Далее, решая систему уравнений вида:
(15)
определим значения амплитуд косинусной и синусной составляющих сигнала как:
→
→
(16)
,
(9)
В формуле сигнал x(t) представлен в виде суммы
двух сигналов (косинуса и синуса) с нулевой начальной фазой и некоторыми амплитудами Acos и Asin. Согласно свойству линейности преобразования Фурье,
отсчеты результата ДПФ сигнала x(t) будут равны
сумме соответствующих отсчетов результата ДПФ
каждого из этих сигналов, взятых по отдельности:
→
→
(10)
. (17)
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
Рис. 6. Вид реальной и мнимой частей непрерывного спектра
сигнала Acoscos(ω0t)
Рис. 7. Вид реальной и мнимой частей непрерывного спектра
сигнала Asinsin(ω0t)
Знаменатели дробей представляют собой «мощности» спектра сглаживающей функции и, как в
случае с оценкой амплитуды гармоники, могут быть
исключены из вычислений на этапе формирования
набора спектров сглаживающих окон. Таким образом:
гармоники основной частоты должны располагаться
именно на частотах, кратных частоте основной гармоники, и, если в области поиска высшей гармоники
уровень составляющих амплитудного спектра ниже
уровня шума, делается вывод об отсутствии соответствующей гармоники.
Принимая во внимание то, что частота высшей
гармоники n-го порядка кратна частоте основной
гармоники, и при этом частота основной гармоники
оценивается с некоторой погрешностью, возможна
ситуация, когда область поиска высшей гармоники
существенно сместится относительно ее реального
положения:
(18) (19)
(21)
где Re`(W(f–f0)) и Im`(W(f–f0)) — нормированные реальный и мнимый спектры сглаживающего окна.
Используя полученные значения, фазу гармоники можно оценить по выражению:
(20)
(22)
что служит для повышения точности оценки частоты основной гармоники.
Библиографический список
1. Марпл-мл., С. Л. Цифровой спектральный анализ и его
приложения / С. Л. Марпл-мл. – М. : Мир, 1990. – 584 с.
2. Пат. 88157 Российская Федерация, МПК7 G01R 17/02.
Информационно-измерительная система для контроля качества электрической энергии / Грицутенко С. С., Чижма
С. Н., Альтман Е. А., Газизов Р. И., Циркин В. С. ; заявитель
и патентообладатель Омский гос. ун-т путей сообщения. –
2009125776/22 ; заявлено 06.07.2009 ; опубл. 27.10.2009, Бюл.
№ 30. – 4 с.
ЧИЖМА Сергей Николаевич, кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой «Автоматика и системы управления».
ГАЗИЗОВ Равиль Ильшатович, инженер кафедры
«Автоматика и системы управления».
Адрес для переписки: [email protected]
Статья поступила в редакцию 02.07.2012 г.
© С. Н. Чижма, Р. И. Газизов
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА
Точность разработанного алгоритма (точность
оценки положения гармоники, оценки ее амплитуды и фазы) определяется дискретностью формирования набора сглаживающих окон для сравнения.
Разработанный алгоритм способен оценить частоту, амплитуду и фазу единичной гармоники напряжения или тока. В случае присутствия в сигнале
нескольких гармоник следует оценивать параметры
каждой по отдельности. Таким образом, общий алгоритм проведения спектрального анализа мультигармонического сигнала разделяется на следующие
шаги:
— вычисление ДПФ сигнала по имеющейся выборке из N отсчетов;
— определение локальных максимумов полученного амплитудного спектра, как области расположения гармоник;
— оценка амплитуды и фазы каждой гармоники
по M отсчетам из каждой области.
Возможны два случая ложного срабатывания алгоритма: положение локального максимума амплитудного спектра ДПФ не соответствует положению
гармоники; уровень гармоники не превышает уровня шума, принятого в модели сигнала. Для исключения этих ситуаций алгоритм адаптируется под принятую модель. Для этого будем считать, что высшие
Для повышения точности определения области
поиска высших гармоник необходимо после каждого этапа оценки частоты гармоники n-го порядка
корректировать оценку частоты основной гармоники, если ожидаемая погрешность оценки частоты
этой гармоники не превышает значения n∆f0:
201