структура токонесущих ударных волн в конденсированных

СТРУКТУРА ТОКОНЕСУЩИХ УДАРНЫХ ВОЛН
В КОНДЕНСИРОВАННЫХ МАТЕРИАЛАХ И НЕКОТОРЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ
ЭФФЕКТЫ, СОПРОВОЖДАЮЩИЕ ИХ РАСПРОСТРАНЕНИЕ
Е.И. БИЧЕНКОВ
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского Отделения РАН,
г. Новосибирск
Введение
При ударно–волновом обжатии в магнитном поле образцов из проводящих материалов возникают
электромагнитные поля и генерируются токи. В некоторых случаях заметную долю энергии создаваемых
ударной волной гидродинамических течений можно преобразовать в сопутствующий волне поток электромагнитной энергии. Одним из заметных достижений в этом направлении оказался метод ударно–волновой компрессии магнитного поля материалом, способным при сжатии переходить из непроводящего
в проводящее состояние. Этот метод был предложен и осуществлен в экспериментах нами в Институте
гидродинамики СО РАН [1,2] и несколько позднее и независимо К. Нагаямой с сотрудниками в университете г. Кумамото (Япония) [3]. Его преимущества и перспективы описаны в [4].
При распространении ударной волны по проводящему материалу генерируется движущаяся
вместе с ней токовая волна, ток в которой определяется ударными и электрофизическими свойствами материалов. Возможности использования токонесущих ударных волн в электрофизическом
эксперименте определяются величиной тока в волне и его распределением.
1. Структура волны в проводящих материалах
Идеальный гидродинамический разрыв. Физическая модель
Стационарная ударная волна создает и переносит вместе с собой стационарную токовую волну.
Рассмотрев квазистационарную систему уравнений Максвелла в движущемся проводнике с постоянной проводимостью [5], несложно получить, что для существования стационарного решения этой
системы необходимо, чтобы
Bf
B0
= n.
(1)
Здесь B f — поле в сжатом материале, B0 — поле в несжатом материале, n = ρ f ρ0 — сжатие материала в волне, т. е. для поля должно выполняться условие вмороженности. Отсюда следует, что стационарная волна в проводнике генерирует и переносит ток с линейной плотностью
i = c(n − 1) B0 /(4π) . Часть этого тока диффундирует вперед в невозмущенный проводник и формирует там зону с экспоненциальным распределением плотности тока и с размером
ld =
vm
,
D
(2)
где vm — магнитная вязкость проводника, D — скорость волны. Остальной ток захватывается
внутрь волны. Распределение тока между диффузионной зоной и волной в рамках описанного приближения остается неопределенным, и нахождение его требует более содержательной модели.
Структура токонесущих ударных волн и некоторые физические эффекты, сопровождающие их распространение
Достаточной для решения задачи оказалась МГД–модель, рассматривающая материал как смесь
электронной и ионной жидкостей [5].
В первом приближении структуру скачка можно не учитывать, предполагая, что плотность
и скорость ионной основы изменяются скачком, поле считать слабым. Электронная компонента потока подвижна, и ее плотность релаксирует к плотности ионной компоненты в течение некоторого
времени, определяемого взаимодействием электронной жидкости с ионной. При этом в переходном
слое появляется объемный заряд и продольное электрическое ••••, • •••••••••••• плазменные колебания с частотой ω p . Для плотных проводников ω p колоссальна, амплитуда колебаний
a0 ≈ ( D − u ) / ω p мала. Колебания демпфируются трением электронов и ионов. Эффективную величину силы трения можно определить, задав время рассеяния импульса электрона на ионах τи вычислив его из электропроводности материала σ Время релаксации колебаний оказывается порядка τ
число циклов Q = ω p τ  размер осцилляционной зоны l p ≈ Dτ  В соответствии с принятыми
в классической теории колебаний определениями Q можно назвать добротностью материала. В проводниках Q  и даже в самых плохих из них ∼10. Взаимодействие потока электронов с магнитным полем приводит к повороту скорости электрона в поперечном направлении на ω c τ  где ω c — циклотронная частота, возникновению поперечной компоненты плотности тока и соответствующему приращению магнитного поля. Малость ωc τ и стационарность волны упрощают задачу и позволяют
связать величину поперечного электронного тока с продольным потоком материала и получить, что
связанное с описанными взаимодействиями приращение магнитного поля формируется на длине
равной толщине диффузионной зоны [2]. В результате удалось составить замкнутую систему уравнений и поставить хорошо обусловленную задачу, моделирующую структуру стационарной токонесущей волны в конденсированных проводящих материалах. Наличие в задаче двух масштабов — осцилляционного a0 и диффузионного ld , отличающихся на 6—8 порядков, позволили расщепить
задачу на две:
формирование сопутствующего ионам потока электронов и распределения плотности зарядов
и продольного электрического поля E x в зоне, которую мы назвали осцилляционной и
формирование диффузионной токовой зоны в результате рассеяния электронов на ионах и взаимодействия с поперечным магнитным полем Bz .
Результаты: величина тока, структура токовой зоны ударной волны
l0 =
c c
⋅
4πσ D
Рис. 1. Распределение магнитного поля, генерируемого ударной волной в проводящем материале
Е.И. Биченков
Распределение магнитного поля, создаваемого диффузией тока, показано на рис. 1. Это плавный
подъем поля, локализованный в сравнительно узкой зоне, сформированной перед скачком плотности
материала. Ее ширина 2,83 ⋅ 10−4 см для меди и 5,58 ⋅ 10−3 см для титана. Приращение поля в этой
зоне ∆B ≈ (n − 1) B0 , где n — сжимаемость материала, линейная плотность тока в проводнике
i = c(n − 1) B0 /(4π) и для поля 10 кГс и сжатия материала на 10% оказывается 10 кА/см.
Из–за огромной величины сил электрического взаимодействия электронов с ионами ширина осцилляционной токовой зоны, сопутствующей скачку плотности ионов, очень мала. Размер этой области
s  D2

l ≈ 2Q 2  1 +
ld .

 n2  c2
(3)
Время установления равновесия плотности электронов к плотности ионов
τei ≈
l
s 

= 2Q 2 1 +
 νm .
D
 n2 
(4)
В этих соотношениях s — изменение электропроводности в волне, Q — добротность материала, n — сжимаемость. По порядку величины l составляет 5 ⋅ 10−8 см для меди и 0, 25 ⋅ 10−8 см для
титана, время выравнивания плотности зарядов ∼ (10−13 − 10−15 ) с.
Основной результат проведенного анализа состоит в том, что осцилляционная зона в конденсированных материалах не оказывается препятствием для диффузии поля — приращение магнитного
поля в этой зоне ∝ D 2 / c 2 . В случае идеального скачка это приводит к сосредоточению практически
всего тока, генерируемого ударной волной, в стационарной диффузионной зоне перед скачком.
Волна конечной толщины
Условие диффузионного равновесия плотности электронов с плотностью ионов позволяет записать
уравнение для поля в материале с ударной волной в виде
 b (ς ) b f
db
= s ( r ) 
−
dς
 r (ς ) n

 .

(5)
Здесь ζ = ( x − Dt ) , b f — магнитное поле в сжатом материале, r (ζ ) = ρ(ζ ) / ρ0 — сжатие материала,
s (r ) — безразмерная функция, задающая ход проводимости материала в зависимости от сжатия,
поле отнесено к полю перед волной B0 . Для аналитических расчетов удобно в (5) перейти от пространственной переменной ζ к плотности r, ввести вместо r и b переменные x и y, определив их соотношениями r = 1 + ( n − 1) x , b = 1 + (n − 1) y , а также аппроксимировать r (ζ ) подходящей простой
функцией. Мы выбрали r (ζ ) = ( n + 1) / 2 + ( n − 1) / 2 th (ζ / l ) , где l — толщина фронта волны. В резуль-
{
тате (5) свелось к уравнению с особенностью (седло) в конце сжатия x = 1, y = y f
dy ls
1
y−x
ls 1 − y f
.
= ⋅
⋅
+
⋅
dx 2 1 + (n − 1) x x (1 − x) 2n x(1 − x )
}
(6)
В проводнике b f = n , т. е. y f = 1 . Для решения задачи о токонесущей волне необходимо определить функцию s (x) из дополнительных физических предположений. Наличие особенности в конечной точке приводит к необходимости начинать интегрирование из этой точки и производить вдоль
единственной выходящей из нее траектории. Если в волне есть фазовый переход со скачком
электропроводности, задача сводится к интегрированию двух уравнений со сшиванием в точке перехода xs.
3
Структура токонесущих ударных волн и некоторые физические эффекты, сопровождающие их распространение
Структура волны в материалах с переходом диэлектрик–проводник
Новые проблемы возникают при рассмотрении структуры токовых волн при переходе диэлектрик–проводник. Главная из них — величина тока, генерируемого волной. Очевидно, что этот ток
y f весь сосредоточен внутри волны, и зависимость поля от сжатия должна описываться решением
уравнения (6), удовлетворяющим условию y (1) = y f . Положение точки перехода определяется из
условия
y ( xs , y f ) = 1 ,
(7)
откуда можно определить величину тока в волне y f в зависимости от толщины фронта l, положения
точки перехода в проводящее состояние x s и сжимаемости n. Линейность уравнения (6) позволяет
записать его решение в квадратурах и получить условие перехода в проводящее состояние (7) в виде
интегрального уравнения между x s и y f , которое удается свести к [6]
dy f
dxs
=−
l 1 + ( n − 1) y f
⋅
2n 1 + (n − 1) xs
ny f 
1− y f
−

.
1 − xs 
 xs
(8)
Решение этого уравнения с прозрачным физическим условием, что при переходе в проводящее состояние в самом конце сжатия генерируемый ток равен нулю, т. е. y f (1) = 0 , дает искомую зависимость тока в волне y f ( xs ) . Эту зависимость можно найти в виде асимптотического ряда, отрезок
которого имеет вид
2
l (1 − xs ) l (1 − xs )  n − 1 2l ( n − 1)
2 
yf =
+
+
 2 +
.
2
n l + 2n
l + 4n  n
l + 2n 
n(l + 2n)
(9)
При l → ∞ этот ряд упрощается до
yf =

 2
1
1
1
(1 − xs ) 1 + 1 −  (1 − xs )  − (1 − xs ) 1 − (1 − xs )  ,
n
 n

  n
 l
(10)
при l → 0 до
 1 − xs
1 
1 
2
yf =l
+
1 −  (1 − xs ) 
2
2n  2n 
 2n

Из этих оценок видно, что тонкая волна генерирует небольшой ток, пропорциональный толщине
и расстоянию точки фазового перехода от конца волны. С ростом сжимаемости материала этот ток
уменьшается. При увеличении толщины волны генерируемый ею ток выходит на предельное значение (10), определяемое исключительно положением точки фазового перехода в проводящее состояние и обратно пропорциональный плотности сжатого материала.
Некоторые новые задачи физики ударных волн
Известно, что стационарный ток должен быть замкнутым. Для токонеущих волн это приводит
к появлению на проводящей поверхности образцов системы токов, величина которых равна току
в волне, а направление противоположно. Назовем такую пару токов системой ток–противоток. Распределение противотока определяется положением ударной волны, формой примыкающих к ней
проводников и их проводимостью. Тем самым мы приходим к постановке нового класса задач физики ударных волн, в которых решение гидродинамических проблем сопровождается рассмотрением
соответствующих задач электродинамики. Проиллюстрируем это несколькими примерами.
Е.И. Биченков
Распад токовых волн на границе раздела материалов
В физике ударных волн известна классическая задача о распаде разрыва на границе раздела сред
с разными ударно–волновыми свойствами. Нетрудно видеть, что для токонесущих волн эти распады
сопровождаются распадом токовых волн с рождением пары ток–противоток на каждой поверхности,
т. е. с появлением четырех токов.
Магнитные моменты, создаваемые токонесущими волнами
Система ток–противоток создает магнитный момент
m(t ) =
I (t ) S (t )
.
c
Наличие переменных во времени магнитных моментов приводит к возникновению потока электромагнитного излучения, мощность которого
dU
2
=
( m (t ) )2 .
3
dt 3c
Подсчет магнитного момента при ударно–волновой компрессии магнитного потока далеко
не тривиален. Дело осложняется тем, что надо рассматривать не только пару ток–противоток, но и
дополняющее ее распределение тока в проводящем материале за фронтом ударной волны, возникающее в процессе усиления поля при выжимании части магнитного потока в заполненную непроводящим материалом область перед фронтом волны. Качественно эта ситуация представлена на
рис. 2 для цилиндрической геометрии при n = 1, 2 и b f = 1,05 .
Рис. 2. Распределение плотности тока и магнитного поля при сжатии цилиндра. Ток в волне SW и противоток
на внешней поверхности образца изображены прямоугольниками I+ и I–
В соответствии с изложенным был проведен аккуратный подсчет магнитных моментов, создаваемых при работе плоского и цилиндрического ударно–волновых генераторов. Оказалось, что при
однородности магнитного поля в области сжатия магнитный момент токов лишь постоянным размерным сомножителем отличается от полного магнитного потока, сосредоточенного как в области
сжатия, так и переносимого вместе с проводником. При высокой проводимости используемых материалов это приводит к очень малому изменению магнитного момента во времени и к ничтожному
излучению в окружающее пространство, связанному в основном с релаксацией потока на активном
сопротивлении проводящего материала.
Однако в некоторых случаях за ударной волной может следовать волна разгрузки, в которой
происходит разрыв противотока на внешней поверхности образца и распределенного в проводящем
материале тока. Большая доля магнитной энергии, накопленной в материале, может при этом излу-
5
Структура токонесущих ударных волн и некоторые физические эффекты, сопровождающие их распространение
читься в окружающее пространство. Именно с этим обстоятельством, скорее всего, может быть связана природа больших потоков электромагнитного излучения, отмеченная в работах, относящихся
к ударно–волновой компрессии магнитного поля в цилиндрических образцах из CsJ [8]. Качественно эта ситуация показана на рис. 3.
Рис 3. Распространение ударной волны SW с током I+ и волны разрежения RW, в которой происходит разрыв
противотока I0- и распределенного тока j за волной.
Время формирования системы ток–протовоток
Для оценки времени формирования стационарного распределения тока в ударной волне рассмотрим задачу о вхождении ударной волны в проводник. Физически ясная постановка задачи должна
включать в себя одновременное рассмотрение формирования ударного разрыва в материале и двух
токов, сопровождающих этот разрыв. В такой задаче есть два линейных размера, определяемых магнитной и кинематической вязкостями материала и волновой скоростью, а структура волны и время
выхода на стационарное распределение будут определяться отношением этих двух вязкостей. В такой постановке задача оказывается достаточно сложной, и простой анализ ее затруднителен.
В гидродинамике плодотворно представление ударной волны идеальным разрывом. Естественно
поэтому исключить из задачи толщину фронта ударной волны, и рассмотреть формирование стационарной системы ток–противоток идеальным разрывом. Постановка начальных условий в такой задаче требует достаточной осмотрительности. Нетрудно показать, что для любой жидкой частицы
δm = ρdx сосредоточенный в ней магнитный поток δϕ = Bdx = δm( B / ρ) , и после элементарных преобразований получить, что (dB / dt ) = ρ(d( B / ρ) / dt ) + ( B / ρ)(dρ / dt ). Так как плотность материала на
идеальном разрыве меняется скачком, возникает альтернатива: принять, что магнитное поле непрерывно и магнитный поток терпит разрыв со всеми возникающими из этого последствиями, либо
принять поток непрерывным, заплатив за это скачком магнитного поля и появлением соответствующих токов уже в начальный момент времени. Задача в такой постановке была рассмотрена в [9]
и привела к выводу, что для установления стационарного распределения тока в диффузионной зоне
перед фронтом идеального разрыва достаточно, чтобы ударная волна вошла в материал на 4ld (2).
Совершенно другие предположения о начальных условиях сделали авторы работы [10]. Не проводя анализа сделанных предположений, они просто приняли, что в начальный момент электромагнитное поле непрерывно на скачке плотности материала. Оказалось, задача выходит на то же, что
и в [9], стационарное решение, а время построения этого решения почти не отличается от полученного в [9]. Как и следовало ожидать, задача установления стационарных распределений в газодинамических потоках с ударными волнами быстро забывает разницу в начальных условиях.
Е.И. Биченков
Заключение
Изложенные в настоящей работе подходы представляют собой первое и, пожалуй, простейшее
приближение в построении модели токонесущих ударных волн в конденсированных проводящих
материалах или в материалах с переходом в проводящее состояние. Изучение этого нового для гидродинамики объекта может оказаться важным для ряда приложений в импульсной электрофизике.
Часть работы выполнена при поддержке грантами ISF и РФФИ RBO 300 и РФФИ 99–02–17049
Литература
1. Авторское свидетельство СССР №762706 от 16.05.1980 (приоритет 30.11.1978) Магнитокумумятивный генератор // Биченков Е.И., Скоробогатых Н.Г., Трубачев А.М.
2. Биченков Е.И., Гилев С.Д., Трубачев А.М. МК–генераторы с использованием перехода полупроводникового материала в проводящее состояние // ПМТФ. — 1980. —№ 5. — С. 125—129.
3. Nagayama K. New Method of Magnetic Flux Compressionby Means of the Propagation of Shock Induced Metalic Transition in Semiconductor. / Appl. Phys. Lett. — Vol. 38. — № 2. —1981. — P.109—
116.
4. Биченков Е.И., Гилев С.Д., Рябчун А.М., Трубачев А.М. Ударно–волновая кумуляция магнитного
поля. Предельные возможности метода // Мегагауссная и мегаамперная импульсная технология и
применения. Ред. В.К.Чернышев, В.Д.Селемир, Л.Н.Пляшкевич. Саров.: ВНИИЭФ. —
Т.1. — С. 121—128.
5. Биченков Е.И. Структура стационарной токовой волны, создаваемой ударной волной в проводящем материале с поперечным магнитным полем // ФГВ. — 1997. — Т.33. — №4. —
С. 113—127.
6. Биченков Е.И. Электродинамические эффекты, сопровождающие распространение токонесущих
ударных волн в поперечном магнитном поле // ФГВ. — 2000. — Т. 36. — №6. — С. 146—152.
7. Бармин А.А., Мельник О.А., Прищепенко А.Б., Филиппова О.Л., Шахбазов А.Ш., Щелкачев М.В.
Потери электромагнитной энергии при сжатии магнитного поля скачком второго рода // МЖГ. —
1988. — №6. — С. 166—170.
8. Биченков Е.И. Электромагнитное поле и токовые волны, генерируемые при входе ударной волны
в проводящий образец с поперечным магнитным полем // ПМТФ. — 1997. — Т. 38. —
№ 2. — С. 19—25.
9. Гилев С.Д., Михайлова Т.Ю. Электромагнитное поле и токовые волны в проводнике, сжимаемом
ударной волной в магнитном поле // ФГВ. — 2000. — Т. 36. — №6. — С. 153—163.
7