P - Кафедра строительной механики

РАЗДЕЛ 11. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ.
11.1. Критическая сила. Равновесные состояния систем.
Все строительные сооружения и элементы должны отвечать не только условиям
прочности, но и условиям устойчивости. Под устойчивостью понимают свойство
сооружения или его элементов сохранять соответствующее внешней нагрузке
положение и форму деформированного состояния, оказывать сопротивление
посторонним
действиям
и
самостоятельно
восстанавливать
свое
первоначальное положение или форму равновесия, если посторонние действия
исчезают.
Устойчивость основания (грунтового) – способность основания сооружения
выдерживать приложенную нагрузку без возникновения незатухающих
перемещений.
Под действием внешних нагрузок геометрически неизменяемые системы
должны находиться в состоянии устойчивого равновесия.
Состояние сооружения считается устойчивым, если при всяком сколь угодно
малом возможном отклонении сооружения оно способно вернуться в исходное
состояние.
Состояние сооружения считается неустойчивым, если при каком-либо малом
возможном отклонении сооружения оно отклоняется до нового состояния, т.е. до
нового положения или новой формы равновесия.
Формой равновесия называют деформированное состояние упругой системы,
которому соответствуют внутренние силы, удовлетворяют условия равновесия. В
зависимости от величины посторонних возмущающих воздействий различают
устойчивость "в малом", когда эти действия как угодно малые, и устойчивость "в
большом", когда возмущения малы, но конечные.
Устойчивость состояния равновесия сооружения или его элементов для данной
схемы нагрузки зависит от величины действующих сил. В каждом конкретном случае
можно определить нагрузки, при котором начальная форма равновесия оказывается
неустойчивой и становится возможным иное состояние равновесия.
Переход сооружения из устойчивого состояния в неустойчивое называется
потерей устойчивости. Граница этого перехода или состояние сооружения, при
котором происходит потеря устойчивости, называется критическим состоянием, а
сила, действующая на сооружение при этом состоянии, называется критической
силой. Критическое состояние еще называют безразличным состоянием
(безразличным положением, безразличной формой равновесия).
Критическая нагрузка – та минимальная нагрузка, при которой сооружение
теряет устойчивость.
Различают устойчивость положения (характерно для жестких, не изгибаемых
систем) и устойчивость форм равновесия деформированного состояния
(характерно для изгибаемых систем).
На стадии проектирования при расчете сооружений по первому предельному
состоянию на прочность выполняются проверки:
1) потеря устойчивости формы несущих элементов;
2) потеря устойчивости положения.
Предельное состояние – состояние, при котором элементы сооружения или
основания перестают удовлетворять заданным эксплуатационным требованиям или
требованиям во время строительства.
При достижении предельного состояния – потери устойчивости – наступает
аварийное состояние, т.е. дальнейшая работа элемента или сооружения невозможна.
Потеря устойчивости положения характеризуется невозможностью сооружения в
целом сохранять свое первоначальное положения вследствие нарушения равновесия
между внешними силами. При этом сооружение вынуждена изменить свое
первоначальное положение.
На рис.1 изображена сечение подпорной стены - сооружения, препятствует
обрушению земляного откоса. На стену действуют боковое давление грунта E и
собственный вес стены G. Боковое давление пытается повернуть стену относительно
точки О. Момент опрокидывания Мопр = Е ∗ е. Сила собственного веса предотвращает опрокидывание, образуя удерживающий момент Мудер = 𝐺 ∗ 𝑏. Для устойчивости стены от опрокидывания необходимо, чтобы соблюдалась условие Мудер ≥
Мопр . В противном случае стена вернется относительно точки О и займет новое
положение, которое, хотя и может быть положением равновесия, будет тем не менее
равнозначно ее разрушению.
рис.1
Равенство Мудер = Мопр представляет собой условие неустойчивого
равновесия. Любое отклонение нагрузки или размеров стены от проектных величин
может привести к тому, что равенство будет нарушено, и стена перевернется, то есть
произойдет потеря устойчивости его положения.
Для иллюстрации устойчивости положения равновесия можно рассмотреть
расположение шарика на дне вогнутой сферы, на вершине выпуклой сферы и на
горизонтальной плоскости (рис.2).
рис.2
В первом случае (рис.2, а) при любом малом отклонению шарика от исходного
положения он вернется к нему, как только причина отклонения будет устранена.
Итак, положение шарика на дне вогнутой сферы является устойчивым. При этом
очевидно, что потенциальная энергия исходного состояния равновесия будет меньше,
чем потенциальная энергия любого отклоненного состояния. Таким образом,
устойчивому равновесию отвечает минимум потенциальной энергии системы (Π =
min).
Во втором случае (рис.2, б), от любого малого отклонения шарика от исходного
положения, он самостоятельно не вернется к нему после устранения причины
отклонения, а продолжит движение к новому состоянию устойчивости. Таким
образом, расположение шарика на вершине сферы является неустойчивым.
Очевидно, что неустойчивом состоянию системы соответствует максимум
потенциальной энергии (Π = max).
Третий случай (рис.2, в) иллюстрирует так называемую безразличное
равновесие, когда шарик на плоскости после смещения не уклонится дальше и не
вернется к исходному положению, а останется на месте. Потенциальная энергия при
этом не меняется (Π = const).
Нарушение равновесия между внешними и внутренними силами характеризует
потерю устойчивости формы равновесия в деформированном состоянии. При этом
становятся возможными новые формы равновесия, которые до сих пор
отсутствовали, и равновесие восстанавливается, но уже в новой форме. Возникает
ветвления (бифуркации) теоретически возможных форм равновесия, одна из которых
становится неустойчивой.
Такую потерю устойчивости называют потерей устойчивости первого рода или
потерей устойчивости по Эйлеру. Можно сказать, что потеря устойчивости первого
рода заключается в появлении качественно новых деформаций при
количественном увеличении нагрузки.
К потере устойчивости первого рода относится потеря устойчивости
центрального сжатия (рассмотрим рис.3а). Так, идеально прямой стержень,
шарнирно закреплённый с обоих сторон и нагруженный силой P, направленной вдоль
его оси, до наступления потери устойчивости испытывает только продольные
деформации. Данная форма деформированного состояния является устойчивой до тех
пор, пока величина силы P не достигнет определенного критического значения.
Критической силой стержня называется предельное значение центрально
приложенной сжимающей силы, при котором стержень остается прямолинейным.
После этого становятся возможными две формы равновесия: прямолинейная и
согнута (рис.3, б). Ранее существующая прямолинейная форма равновесия становится
неустойчивой и при любой внешнем случайном действии меняется согнутой формой
(рис.3, в) равновесия, то есть вместе с продольными деформациями, которые
существовали до потери устойчивости, возникают новые деформации изгиба.
Причинами, которые обусловили изменение форм деформации при достижении
силой P критического значения, могут быть как внешние факторы, связанные с
дополнительными силовыми действиями, так и внутренние (нарушения геометрии
стержня, неоднородность материала и т.д., которые всегда имеют место в реальных
конструкциях).
Р
f
Р
Р
P
N
M,Q,N
f
рис.3
Аналогичная картина возможна также при потере устойчивости стержневых
систем - рам, ферм. На рис.4 изображена потеря устойчивости первого рода в раме,
которая загружена осевыми сжимая силами.
рис.4
Здесь также до наступления потери устойчивости в стержнях имеют место
только продольные деформации, к которым при достижении силами критических
значений добавляются деформации изгиба.
Потерю устойчивости симметричной формы деформации показано на рис.5.
Двухшарнирная арка под действием равномерно распределенной нагрузки q
деформируется симметрично (рис.5а). Однако, когда интенсивность нагрузки q
достигает некоторой критической величины, симметричная форма деформации
становится неустойчивой и при любых дополнительных воздействиях меняется
кососимметричной деформацией (рис.5б).
рис.5
На рис.6 изображена потерю устойчивости плоской формы изгиба.
рис.6
Консольная балка, один размер которой (толщина) гораздо менее двух других
размеров, находится под действием сосредоточенной силы P, расположенной в
плоскости симметрии сечения. Первоначальная деформация - изгиб в плоскости
нагрузки. При достижении нагрузкой P критического значение данная форма
деформации становится неустойчивой и к изгибу в плоскости симметрии сечения
добавляется качественно новая деформация: кручение с изгибом вне плоскости
нагрузки.
Следует обратить внимание на то, что потеря устойчивости формы равновесия
в деформированном состоянии является характерной для объектов, в которых хотя
бы один из трех измерений намного меньше по сравнению с двумя другими.
Потеря устойчивости второго рода характеризуется большим развитием
предыдущих деформаций без возникновения деформаций нового типа. При такой
потери устойчивости сопротивление системы росту деформаций после достижения
максимума при дальнейшем росте деформаций начинает уменьшаться.
l0 Р
Р
f0
Р
P
P
f
f
f0
Р
Р
P
f
Р
Если продольная сила, приложенная с эксцентриситетом е, будет возрастать, то
будут увеличиваться изгибные деформации стержня. Стержень будет одновременно
сжат и изогнут. Такое напряженно-деформированное состояние стержня называется
продольно-поперечным изгибом. Происходит постепенная потеря устойчивости
второго рода при нагрузке меньшей критической (Р<Ркр).
Потеря устойчивости первого рода для реальных сооружений происходит очень
редко. Элементы сооружений находятся обычно в сжато-изогнутом состоянии и
разрушение сооружения происходит за счет потери несущей способности отдельных
элементов сооружения, т.е. потери устойчивости второго рода. Однако при
определении несущей способности сжато-изогнутых элементов необходимо знать
критические значения продольных сил, соответствующие потере устойчивости
первого рода всего сооружения.
11.2. Методы определения критических сил.
Целью расчета сооружений на устойчивость первого рода является определение
критических величин нагрузки, при которых система теряет устойчивость, то есть
переходит к новому, качественно отличного от первоначального, деформированного
состояния. Поскольку это состояние должен быть сбалансированным, к нему могут
быть применены уравнения статики и методы строительной механики. Однако в
этом случае необходимо исследовать равновесие системы уже после потери ею
устойчивости и вести расчет по деформированной схеме. Данное обстоятельство
значительно осложняет расчеты и поэтому для решения задачи устойчивости или
упрощают схему сооружения, или применяют приближенные методы анализа.
Будем рассматривать сооружения под действием консервативных сил, т.е. сил,
не изменяющих своего направления при деформациях сооружения. При определении
критических сил принимаются дополнительные допущения:
1. Загружение сооружения предполагается простым, т.е. возрастание всех сил
происходит одновременно с сохранением соотношений между ними.
2. До потери устойчивости в стержнях сооружения возникают только
продольные деформации.
3. В момент потери устойчивости для сплошных стержней учитываются только
деформации изгиба.
4. Для решения задач устойчивости используется техническая теория изгиба.
Упрощение расчетной схемы производится, как правило, за счет уменьшения
числа степеней свободы сооружения, которое определяет количество возможных
форм деформации при потере системой устойчивости. Для реальных сооружений,
представляющих собой упругие системы, количество степеней свободы составляет
бесконечность. Конечное число степеней свободы могут иметь системы, которые
состоят из абсолютно жестких элементов, сочетающихся между собой конечным
числом упругих связей. Так, система, состоящая из четырех абсолютно жестких
элементов AC, CD, DE и EB (рис.7а), которые сочетаются с помощью упругих
шарниров C, D, E, имеет три степени свободы.
Систему можно рассматривать как упрощенную схему упругой балки (рис.7б).
В отличие от исходной схемы эта упрощенная модель может иметь только три формы
потери устойчивости и соответственно три критических значение внешней силы.
Если расчет упругой системы с бесконечно большим числом степеней свободы
требует решения дифференциальных уравнений, то расчет упрощенной схемы решение уравнений.
Для практических целей достаточно вычислить только одну - минимальную
величину критического нагрузки, поскольку потеря устойчивости, которая ей
соответствует, приведет к разрушению сооружения и, следовательно, все другие
критические величины нагрузки имеют сугубо теоретическое значение.
Существуют три основных классических метода определения критических
нагрузок: статический, энергетический и динамический.
В статическом методе упругая система рассматривается как находящаяся в
состоянии равновесия, отличающегося от исходного состояния наличием бесконечно
малых перемещений, которые обусловливают новое, отличное от первоначального
состояние равновесия. При этом исходной системе предоставляется отклонённая
форма равновесия, которое ожидается во время потери устойчивости. В дальнейшем
вычисляются значения внешних нагрузок, способны удержать систему в новой форме
равновесия. Эти значения берутся за критические.
Например, для стержня записываются уравнения равновесия системы в
деформируемом состоянии и на основе анализа этих уравнений определяем Ркр.
Р
cv
l
v Р
 MA  0
P V  c V  l  cos   0

l  cos
V   P  c  l  cos    0
A
EI → ∞, с – жесткость пружины – нагрузка, которая вызывает единичное
перемещение.
 V = 0 – потери устойчивости нет
 P – c · l · cosθ = 0
P =c · l · cosθ
θ → 0; cosθ → 1
Ркр = c · l
Энергетический метод основан на анализе полной потенциальной энергии
системы П в отклоненном равновесном состоянии (теореме Лагранжа – Дирихле),
при котором полная потенциальная энергия системы минимальна по сравнению с
энергией системы в отклоненных состояниях. В случае системы с n степенями
свободы это выражается зависимостями:
(1)
где α1, α2, αn - параметры, которые определяют отклоненное состояние.
Энергетический метод используется тогда, когда можно легко составить
выражения работ внешних сил и потенциальной энергии исследуемой системы.
Динамический метод основан на динамическом критерии равновесия.
Согласно этому критерию частота малых собственных колебаний системы в
безразличном состоянии равна нулю.
Р
f (t )
P<P
t
Для реализации этого метода необходимо составить уравнение движения масс
или другие уравнения для определения первой частоты собственных колебаний
системы.
Для консервативных систем, то есть систем, в которых работа внешних сил не
зависит от пути, который проходят силы при переходе от начального до конечного
состояния, теоретически все три метода дают один и тот же результат. Однако,
поскольку энергетический метод используется для приближенного решения задач
устойчивости, когда необходимо задаваться формой упругой линии, он, как правило,
дает несколько завышенные значения критических сил. Исследование
неконсервативных систем следует проводить динамическим методом.
На основе этих критериев равновесия построены как точные, так и
приближенные методы расчета сооружений на устойчивость.