Математика Древнего Египта. (урок в 5

Математика Древнего Египта.
(урок в 5-6 классах проводится в Британском музее).
Учитель математики Ефремов Дмитрий Борисович.
1.
2.




3.
План.
Вводная задача.
Исторические сведения.
Запись цифр у египтян.
Арифметические действия.
Папирус Райнда.
Задачи из папируса.
Что дала миру египетская математика.
Содержание:
1. Выполнить действия устно и расшифровать слово:
1. 265 + 15;
2. 150 / 6;
3. 148 – 49;
4. 83 х 5;
5. 28 х 5 / 2;
6. (52 – 2) х 10.
Е
И
М
М
С
Ф
25 70 99 280 500 415
Какое слово получили? (Мемфис) Столицей какого государства был этот
город? (Египет)
2.
А) Самые ранние математические тексты, известные в наши дни,
оставили две великие цивилизации древности - Египет и Месопотамия.
Именно там появились первые математические задачи, решения которых
требовала повседневная жизнь.
Уровень древнеегипетской математики был довольно высок. Источников, по
которым можно судить об уровне математических знаний древних египтян,
совсем немного. Во-первых, это папирус Райнда, названный так по имени
своего первого владельца, который купил этот текст в Луксоре и потом
передал его Британскому музею. Он был найден в 1858 г., расшифрован и
издан в 1870 г. Рукопись представляла собой узкую (33 см) и длинную (5,25 м)
полосу папируса, содержащую 84 задачи. Во-вторых, так называемый
"Кожаный свиток египетской математики", с большим трудом
расправлѐнный в 1927 г. и во многом проливший свет на арифметические
знания египтян. Ныне он также хранится в Британском музее.
Б) Папирус начинается очень широковещательно: он обещает научить
«Совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их
сущности, познанию всех тайн..». Но если изучить его внимательно, то
можно заметить, что открываются только тайны счета и искусства
вычислений с дробями, в которые должен быть посвящен читатель на
примерах различных практических задач, с которыми приходилось иметь дело
чиновникам большого государства, таких, как распределение заработной
платы между известным числом рабочих, вычисление необходимого
количества зерна для приготовления такого-то количества хлеба или пива,
перевод одних мер зерна в другие.
В) Попробуем и мы приоткрыть тайну математических знаний Древнего
Египта.
1. Техника счета.
Египетская система счисления так же проста и примитивна как римская;
она десятичная. В иероглифах это будет так, как изображено на рисунке (
см. рис.1)
При помощи этих знаков, ставя их в ряд один за другим, можно записывать
любые числа.
Запишите с помощью этих знаков число 2010.
А вот как выглядит в египетской иероглифической нумерации число 35 736
(рис.2)
Сложение чисел не составляет трудностей, нужно только сосчитать
количество единиц, десятков, сотен и т.д. Удвоение представляет частный
случай сложения и так же не трудно. Однако совершенно своеобразным
является умножение.
Оно производится при помощи удвоения и сложения полученных результатов.
В качестве примера рассмотрим умножение 12 х 12 по задаче №32 из
Райндовского папируса сначала в иероглифической записи ( которую нужно
читать справа налево), а затем в современной ( см. рис.3)
Учетверение и увосьмерение дают вместе двенадцатикратное увеличение
заданного числа 12. Числа, которые надо последовательно сложить,
отмечаются косой черточкой справа ( в современной записи – слева). Перед
результатом 144, стоит иероглиф dmd, изображающий свиток с печатью.
Для быстроты счета иногда производится умножение на 10; иногда
удесятеренное число делится еще и пополам. Деление у египтян также
представляет собой своего рода умножение, но только в обратном
направлении: «Умножай 80 (буквально: складывай, начиная с 80), пока не
получишь 1120» стоит в №69 Райнда, и действие производится совершенно
так же, как при умножении
Мы должны записать этот результат как 1120:80=14. У египтян, однако,
результатом считается 1120, и это также отмечается иероглифическим знаком
«свитка»
Что же, однако, делал египтянин, когда у него деление не выходило? Тогда,
точно так же как и мы, он прибегал к дробям.
2.Натуральные и основные дроби.
В египетской науке не было дробей с числителем и знаменателем, как у нас,
1 121 3
1 1
но египтяне использовали , , , , , а также и , записанные особыми
2 334 4
1
6
8
знаками. Для записи дроби использовали число 12, над которым
12
располагался особый знак r (часть) (См. рис.4) .Для записи всех остальных
дробей использовалось представление в виде суммы ранее упомянутых дробей,
например:
3
1
1
11
2
6
1
= +
4
8
В папирусе Райнда приводятся некоторые равенства, которые мы сейчас
проверим .
2
1
1
1)
= +
,
8
2)
3)
4)
7
2
66
1
= +
13
2
99
6
= +
=
1
+ ,
14 21
1
1
1
8
1
66
+
52 104
1
+
198
,
,
3. Вычисление «АХА»
Египетское слово «АХА» (другой вариант – ХАУ) обозначает количество,
множество. Вычисление «АХА» приблизительно соответствует нашим
уравнениям. Вот один из примеров, задача № 26 Райнда.
«Количество и его четвертая часть дают вместе 15» Египетское решение
начинается так:
«Считай с 4; от них ты должен взять четверть, а именно 1; вместе 5».
Затем производится деление 15:5=3 и в заключение умножение 4·3=12.
Требуемое «количество» будет, таким образом, 12, его четверть 3, а сумма
15.
Решим задачу 12 из папируса Райнда:
«Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают: - Сколько приводишь ты из
своего многочисленного стада? Пастух отвечает:
- Я привожу две трети от трети скота. Сочти!» ( Узнать, сколько быков было
во всем стаде.)
Решим еще две задачи из папируса Райнда:
1) Если к некоторой величине прибавить ее седьмую часть, то получится 19.
Найдите эту величину.
2) У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая
мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семи
зерен. Как велики числа этого ряда?
Вычисления «АХА» составляют высшую ступень египетской арифметики; они
не были вызваны нуждами практики, а выросли из интереса египетских
вычислителей, которым нравился сам процесс счета и которые давали своим
ученикам действительно трудные задачи для вычислений.
4. Прикладные задачи.
Немало места в папирусе Райнда занимают прикладные вычисления, как,
например, «вычисления песу», которые относятся к определению количества
зерна, необходимого для приготовления хлеба. Технический термин «песу» припек-обозначает число хлебов, которые можно приготовить из одного
шефеля зерна. Таким образом, речь идет о следующих соотношениях:
(количество зерна) х (песу) = числу хлебов
Песу = (числу хлебов) : ( количество зерна).
Частное представляет собой «содержание» зерна в буханке хлеба.
При помощи этих простых соотношений можно просто решать все задачи
про «песу», пока не встретится никаких затруднений, вызванных различием в
сортах зерна; для этих случаев существовали переводные коэффициенты,
которые вычислитель должен был знать.
5. Кроме рассмотренных нами задач в папирусе Райнда, сведения в котором
относятся примерно к 2000 г. до н.э., также производятся действия с дробями,
вычисляются площади прямоугольника, треугольника, трапеции и круга,
объѐмы параллелепипеда, цилиндра, размеры пирамид. имеются также задачи
на пропорциональное деление , а при решении одной задачи находится сумма
геометрической прогрессии.
3. Итоги.
При изучении содержания математических папирусов обнаруживается
следующий уровень математических знаний древних египтян.
Ко времени написания этих документов уже сложилась определѐнная система
счисления: десятичная иероглифическая. алгоритмические числа
записывались комбинациями узловых чисел. С помощью этой системы
египтяне справлялись со всеми вычисленями, в которых употребляются целые
числа. Что касается дробей, то египтяне создали специальный аппарат,
опиравшийся на понимание дроби только как доли единицы.
Сложились также определѐнные приѐмы производства математических
операций с целыми числами и дробями. Общей для всей вычислительной
техники египтян является еѐ аддитивный характер, при котором все
процедуры по возможности сводятся к сложению.
При умножении, например, преимущественно используется способ
постепенного удвоения одного из сомножителей и складывания подходящих
частных произведений.
При делении также используется процедура удвоения и последовательного
деления пополам. Деление, по-видимому, было самой трудной
математической операцией для египтян. Здесь наблюдается самое большое
разнообразие приѐмов. Так, иногда в качестве промежуточного действия
применялось нахождение двух третей или одной десятой доли числа и т.п.
При сложении дробей, имеющих разные знаменатели, египтяне использовали
умножение их на вспомогательные числа. Способы подбора этих
вспомогательных чисел не дают, однако, права судить об этом приѐме как о
единообразном процессе, адекватном способу приведения дробей к общему
знаменателю. Исторические реконструкции во многом ещѐ спорны и не
подтверждены достаточным количеством фактов.
Материалы, содержащиеся в папирусах, позволяют утверждать , что за 20
веков до нашей эры в Египте начали складываться элементы математики как
науки. Эти элементы ещѐ только начинают выделяться из практических задач,
целиком подчинены их содержанию. Техника вычислений ещѐ примитивна,
методы решения задач не единообразны. Однако материалов, которые
позволяли бы судить о развитии математики в Египте, ещѐ недостаточно.
Рис.1
Рис.2
Рис.3
Рис.4
Литература:
1. Баврин И.И., Фрибус Е.А. Старинные задачи: книга для учащихся.-М.:
Просвещение, 1994.
2. Глейзер Г.И. История математики в школе: IV-VI кл. Пособие для учителей.-М.:
Просвещение, 1981.
3. Депман И.Я. История арифметики. М.:Просвещение,1989.
4. Энциклопедия элементарной математики. Под ред. П.С.Александрова, А.И.
Маркушевича и А.Я. Хинчина. Москва, 1961.
5. Будаева А.И. Математика и Древний Египет. Фестиваль педагогических идей
«Открытый урок».
6. Ван Дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта,
Вавилона и Греции. Москва, 1959.