УДК 538.945; 530.145 ОСОБЕННОСТИ ТОКОВОГО ТРАНСПОРТА В ДЖОЗЕФСОНОВСКИХ БИ-КАНАЛОМ СЛАБОЙ СВЯЗИ

УДК 538.945; 530.145
ОСОБЕННОСТИ ТОКОВОГО ТРАНСПОРТА В ДЖОЗЕФСОНОВСКИХ
ГЕТЕРОСТРУКТУРАХ С НОРМАЛЬНЫМ И ФЕРРОМАГНИТНЫМ
БИ-КАНАЛОМ СЛАБОЙ СВЯЗИ
Н. В. Кленов, В. К. Корнев
Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова,
Физический факультет; E-mail: [email protected]
Аннотация
Выполнен численный двумерный анализ транспорта тока через джозефсоновские
гетероструктуры с нормальным и ферромагнитным би-каналом слабой связи. Представлена
качественная физическая интерпретация полученных результатов. Рассмотрены возможные
топологии таких структур, особенности транспорта тока в них и вид ток-фазовых
зависимостей.
Ключевые слова: эффект Джозефсона, ферромагнетик, уравнение Узаделя
1. Введение
В последние годы развитие сверхпроводниковой электроники сформировало устойчивый
интерес
к
джозефсоновским
структурам
с
ферромагнитными
слоями.
В
таких
гетероструктурах сосуществование столь различных явлений, как сверхпроводимость и
ферромагнетизм, открывает путь к реализации джозефсоновских π-контактов – контактов с
джозефсоновской фазой φ0 = π в основном состоянии в отсутствие тока, т.е. отрицательным
критическим током IC. Использование уже созданных π-контактов с большим критическим
током для сдвига фазы на π (фазовых π-инверторов) может существенно уменьшить размеры
логических элементов и увеличить скорость работы интегральных схем быстрой
одноквантовой логики [1-3].
В настоящее время активно изучаются сложные гетероструктуры, в том числе, с
чередующимися нормальными (N) и ферромагнитными (F) слоями, расположенными вдоль
направления протекания тока. Ожидается, что использование таких структур позволит не
только улучшить характеристики существующих элементов и схем, но и создать новые
1
устройства. Так, например, на основе сверхпроводящих переходов со сложной прослойкой с
использованием
магнито-мягких
материалов
возможно
создание
высокочастотных
элементов памяти, обладающих высокой стабильностью цифровых состояний, высокой
скоростью доступа (десятки пикосекунд) и совместимых с существующей технологией
изготовления сверхпроводниковых интегральных схем [4]. Обсуждается также возможность
реализации спиновых переключателей на основе подобных структур [5,6].
Цель настоящей работы – численный анализ общего случая токового транспорта в
джозефсоновских гетероструктурах с N и F би-каналом в области слабой связи и
формулировка свойств таких структур в зависимости от их конкретной топологии.
2. Численный двумерный анализ транспорта тока через би-канал
Токовый
транспорт
через
нормально-ферромагнитный
би-канал
слабой
связи
рассматривается в грязном пределе (когда длина свободного пробега электрона le много
меньше и длины когерентности ξ, и характерного геометрического размера структуры) для
произвольных толщин используемых пленок. Для этой цели необходимо использовать
нелинейное уравнение Узаделя:
2
1

 G 2 
  ,
G
TC


(1)
где ∂ – двумерный оператор градиента, а G и Ф – функции Грина в Ф-параметризации, когда
для автоматического выполнения условий нормировки мы требуем:
G
энергетическая щель в спектре сверхпроводника; ω =πT(2n+1), n  N –

 2   *
. Δ –
мацубаровские
частоты, T – температура, TC – критическая температура для S-электродов. В используемых
Рис. 1. Схематические изображения исследуемых структур. (a) S-FN-S: продольно
ориентированный NF би-слой между сверхпроводящими (S) электродами; (b) и (c): NF
би-слой/ инвертированный FN би-слой под S-электродами; (d) SN-FN-NS: комбинация
топологий (a) и (b/c).
2
нормировках постоянные Больцмана и Планка равны единице. Уравнение Узаделя (1) может
описывать не только сверхпроводник, но и наведенную сверхпроводимость в нормальном
металле. В этом случае энергетическая щель в спектре возбуждений Δ будет равна нулю, и
уравнение принимает более просто вид:
N 2

1
 G 2 
0
G
TC


(2)
Важно подчеркнуть, что, в отличие от работ [7, 8], мы не использовали линеаризацию
уравнения (2), при которой функциия Грина G в нормальном металле и ферромагнетике
полагается равной sgn(ω).
В ферромагнетике обменное поле H изменяет эффективную энергию электронов, что
может быть описано заменой мацубаровской частоты   T ( 2n  1) на эффективную
~    iH .
частоту 
В используемой модели мы пренебрегаем подавлением энергетической щели Δ в
сверхпроводнике, что позволяет решать задачу о расчете функций Грина внутри нормальноферромагнитного би-слоя с жестко заданными граничными условиями Куприянова-Лукичева
на NF, NS, FS границах и на границах с изолятором [9-10]:
 BNF  N
 N
G 


  F   N  ~  F ,
z
GN 


 N
G
 N
  S 0  N  e i1\ 2 ,
x
GN

 N
 0,
z
 BFN 
R BFN A BFN
N N

где GS 0 
 2  2

 F
 0,
z
  BNF
N N
,
F F
 BFN  F
 F G N 
~


  F   N ,
z
GF 


GS 0 
 F
~ i1\ 2 
 F

  F  e  ,
GF 
x


 N2 / F  D N / F / 2TC ,
 N / F 
RN / F  N / F
N / F N /F
(3а)
(3б)
(3в)
,
 
 N N
,
FF
(3г)
,  S 0   - функции Грина однородного сверхпроводника, 1 ,  2 –
фазы комплексного параметра порядка в электродах, Rβ – сопротивление рассматриваемой
границы, Σ –площадь границы, D – коэффициент диффузии в материале, ρ – удельная
проводимость.
Численное решение двумерной задачи на функции Грина Ф и G в NF би-слое позволяло
затем рассчитать джозефсоновский ток через изучаемую структуру, используя известное
выражение:
d d
d
iTW   F QF dz F N QN dz 
I () 
  ~2    2 ;
2e   0 F
n
N n 
dF
 * * 

Q  G2 

 x


x


(4)
3
Здесь dN и dF – толщины слоев (размер вдоль оси z) соответственно нормального металла и
ферромагнетика; W – ширина слоев (размер вдоль оси y), причем мы полагали, что
распределение тока по ширине однородно. Длина би-канала L (расстояние между Sэлектродами) – произвольная в достаточно широких пределах.
Наиболее простой для базового анализа и обсуждения свойств S-FN-S слабой связи
является структура, представленная на рис. 1а. Результаты численного моделирования
показали, что характер изменения критического тока с увеличением длины L существенно
зависит от толщины NF-прослойки dN+dF. В случае малых толщин (dN ~dF<<ξN) и высокой
прозрачности границы за счет эффекта близости в F и N слоях формируется единый
коллектив частиц, переносящих ток, из-за чего измеряемые характеристики перехода
походят на характеристики SFS контакта с сильно разбавленным ферромагнетиком. Для
такого ферромагнетика характерны очень большие значения эффективной длинны
когерентности и пространственного периода осцилляций критического тока, что показано на
рис. 2. Этот результат совпадает с предсказаниями аналитического рассмотрения S-FN-S
структуры в рамках линеаризованного уравнения Узаделя [7].
Если нормальный и ферромагнитный слои достаточно толстые (dN ,dF > ξN ~100 нм), то
существуют два почти независимых канала протекания тока: нормальный канал (ток IN) и
ферромагнитный канал (ток IF). Эффект близости в этом случае будет работать только в
небольшой области около NF границы (~0,1…0,5·ξN), уменьшающейся с уменьшением
прозрачности границы, и, следовательно, протекающий в этой области ток INF может быть
Рис. 2. Зависимость амплитуды критического тока I C от расстояния между электродами L
для SFS (2) и S-FN-S (1) структур в пределе малых толщин прослоек. Здесь ξF = 0.1ξN,
dN /ξN = dF /ξN = 0.01, γBS = 0.1; γBNF =1; ρN =ρF; T = 0.7TC, H/ TC = 10.
4
Рис. 3 Первая A (сплошная линия) и вторая B (штриховая) гармоники ТФЗ S-FN-S (рис. 1а)
структуры в зависимости от расстояния между электродами L. Здесь ξF = 0.1ξN, dN /ξN =0.77,
dF /ξN = 12, γBN = 0.1; γBF = 1; γBNF =2; ρN =ρF; T = 0.7TC, H/ TC = 10. На вставке показано
схематичное распределение тока по структуре в точке первого изменения знака первой
гармоники.
относительно мал. В этом случае возможна даже ситуация, когда направления токов IN и IF в
этих каналах противоположны, в результате чего осцилляции критического тока с
увеличением длины L становятся апериодическими, а область параметров, в которой
критический ток через переход отрицателен (область существования π-контакта),
практически исчезает (см. рис. 3). В отличие от работ [7,8], оперирующих с
линеаризованным уравнением Узаделя, численное решение уравнения (2) позволяет
вычислять не только критический ток, но и ток-фазовые зависимости (ТФЗ) как для
компонент IN и IF , так и для перехода в целом. На рис. 3 сплошной и штриховой линиями
показаны поведения соответственно амплитуд первой (A) и второй (B) гармонических
компонент ТФЗ перехода:
IS(φ) = A sin(φ) + B sin(2φ).
(5)
Величина амплитуды второй гармоники B крайне мала и, поэтому, её роль пренебрежима
всюду за исключением областей, где первая гармоника близка к нулю.
Основные особенности токового транспорта через N и F каналы, и, следовательно,
через всю структуру, можно качественно объяснить с использованием «андреевских
диаграмм» (причем, как для баллистических траекторий квазичастиц в чистом пределе, так и
для диффузных траекторий в грязном пределе). Основной вклад в процесс переноса
сверхтока в этом формализме для SNS структуры определяется последовательными
андреевскими отражениями на левой и правой S-границах слабой связи, представленными на
5
(а)
(б )
Рис. 4. Диаграммы процессов, отвечающих за формирование первой и второй гармоники в
ТФЗ джозефсоновского тока в SNS структуре.
рис. 4а. Комплексные параметры порядка Δexp(iχ1,2) на сверхпроводящих берегах
определяют
вероятности
упомянутых
андреевских
отражений,
и,
как
следствие,
переносимый джозефсоновский ток равен: IS(φ) = A sin(φ), φ= χ1- χ2. Комбинация отражений
«андревское/обычное/андреевское»,
показанная
на
рис.
4б,
описывает
не
перенос
куперовских пар через слабую связь, а их отражение от левой S границы. Вероятность этого
процесса относительно мала и пропорциональна sin(2φ). Учет этого процесса дает вторую
гармонику ТФЗ нормального канала IN(φ) с отрицательной величиной амплитуды (BN < 0).
Поскольку эффективный путь квазичастицы (электрона/вакансии) в процессе, описывающем
появление второй гармоники равен L2 = 2L1 ≈ 4L, экспоненциальное затухание второй
гармоники в IN(φ) с увеличением длины L происходит гораздо быстрее:
AN  exp L  N , B N   exp 2 L  N  .
(6)
В магнитном слое за счет наличия обменного поля с энергией H происходит вращение
фазы волновой функции квазичастицы, пропорциональное пройденному ею пути,
приводящее к осцилляциям критического тока (и амплитуд гармоник ТФЗ) при увеличении
длины L. Для второй гармоники ТФЗ ферромагнитного канала IF(φ), согласно диаграммам на
рис. 4, осцилляции амплитуды происходят в два раза чаще, чем для первой гармоники:
AF  exp L  F 1   cosL  F 2 , B F   exp 2 L  F 1   cos2 L  F 2  .
(7)
Следует подчеркнуть, что нули этих двух осциллирующих функций не совпадают, причем в
области смены знака амплитуды первой гармоники, амплитуда второй гармоники имеет
положительный знак.
Сформулированные утверждения хорошо согласуются с известными аналитическими
решениями Кулика-Омельянчука в простой асимптотике ξF<<L<<ξN ; W, dF, dN<< ξN [11], а
также с целым рядом экспериментальных данных [9,12,13].
6
Используя соотношения (6)-(7) можно объяснить показанные на рис. 3 результаты
расчетов для случая, когда толщина dF ферромагнитной прослойки заметно больше толщины
dN
нормальной прослойки. Если расстояние L между сверхпроводящими электродами
стремится к нулю, общая плотность тока будет определяться только барьерами на SN и SF
границах и толщинами слоев. При близкой прозрачности барьеров транспортный ток в такой
структуре течет преимущественно через ферромагнетик. С увеличением L ток IF будет
убывать быстрее, чем ток IN, так как длина когерентности в магнитных средах существенно
меньше, чем в нормальных металлах, и при определенной длине LС амплитуды этих токов
сравниваются. При дальнейшем увеличении L будет наблюдаться доминирование тока через
N слой, и поэтому осцилляции полного критического тока IС пропадут (см. рис. 3).
Аналогичные рассуждения можно повторить отдельно для первой (A) и второй (B) гармоник
ТФЗ.
3. Зависимость транспорта тока от топологии структуры
Существенным недостатком рассмотренной S-FN-S структуры (см. рис. 1а) является
сложность ее точной практической реализации. Показанные на рис. 1б и рис. 1в, структуры с
первоначально формируемым би-слоем из N и F пленок, на который затем наносятся
сверхпроводящие электроды, представляются наиболее простыми для их реализации [14],
однако транспортные свойства этих двух структур существенно отличаются.
В случае, когда с S-электродами непосредственно контактирует N слой (рис. 1б),
основной ток будет течь в N канале. Если толщина приграничного слоя, в котором течет ток
Рис. 5. Зависимость амплитуды критического тока I C SFS сэндвича и S-FN-S структуры,
показанной на рис. 1б, от расстояния между электродами L при разных толщинах Nпрослойки. Параметры структуры: ξF = 0.1ξN, dF /ξN = 0.5, γBN = γBNF = 0.1, ρN =ρF/10,
T = 0.7TC, H/ TC = 10.
7
INF, относительно значима, возникают осцилляции полного критического тока, однако
период этих осцилляций теперь намного больше, чем он был бы в случае только одного Fканала (слоя) (рис. 5). Это позволяет формировать π-контакты с характерным напряжением,
более высоким, чем у типичных SFS сэндвичей. Решение уравнения Пуассона для
1
2
скалярного потенциала  N , F  U  0 позволяет показать, что для разумных топологий
нормальное сопротивление растет с ростом расстояния L между S-электродами:
RN  L d F  d N W .
VC 
Это
 L
TC
L
exp 
2e d F  d N
 N
дает
оценку
для
характерного
напряжения
π-контакта:

 . При оптимальном подборе параметров структуры характерное

напряжение VC может достигать 0.5 мкВ.
Если с S-электродами контактирует непосредственно F слой (рис. 1в), то в этом случае
возможно получение соизмеримых по величине токов через ферромагнитный и нормальный
слои. Однако, поскольку ток в нормальную область попадает всегда через F слой, т.е.
проходит путь S-F-N-F-S, он приобретает черты, типичные для тока через ферромагнетик.
Поэтом такая структура будет свойства близкие к свойствам SFS сэндвича, причем с
неизбежно толстой F прослойкой.
Все интересные свойства, обнаруженные для показанной на рис 1а структуры, могут
быть реализованы в структуре, которая изображена на рис. 1г. Это достигается за счет того,
что имеет место прямой контакт N канала с S-электродами, причем эффективная длина этого
канала близка к длине F канала. В качестве примера на рис. 6 показана зависимость
амплитуд первой и второй гармоник полного тока, а также токов IN и IF, для случая малого
влияния эффекта близости на NF границе (осцилляции тока IN отсутствуют).
Использование такой топологии с NF каналом позволит значительно улучшить все
основные параметры π-контактов. Более того, на основе такой структуры возможно
формирование φ-контакта – контакта, основным устойчивым состоянием которого в
отсутствие тока через слабую связь является состояние с отличной от нуля джозефсоновской
фазой φ0, то есть IS(φ0) = 0, φ0 ≠ 0, πn (n – целое число). Для существования такого состояния
необходимо выполнение двух следующих условий [15, 19]:
| B | > A/2 ,
B<0.
(8а)
(8б)
В обычных SNS переходах типа «сэндвич» условие (8б) на знак второй гармоники
выполняется, но условие (8а) не выполняется, так как величина второй гармоники мала при
всех разумных температурах (T > 0,1TC). В SFS сэндвичах условие (8а) на соотношение
амплитуд выполняется в области смены знак амплитуды первой гармоники, однако в этой
8
области вторая гармоника всегда положительна, то есть, не выполняется условие (8б). В
случае гетероструктур с FN би-каналом оба условия могут быть одновременно выполнены в
области смены знак амплитуды первой гармоники. Действительно, результирующая
величина второй гармоники есть сумма соответствующих гармоник в F и N каналах, и в
случае преобладания второй гармоники в N канале, амплитуда которой всегда отрицательна,
результирующая амплитуда второй гармоники будет тоже отрицательна.
Поскольку период осцилляций критического тока и амплитуд гармоник ТФЗ с
увеличением длины L может быть сделан достаточно большим для структур с FN биканалом, диапазон ΔL, в котором выполняются условия (8), также может быть достаточной
величины, при которой делается возможным воспроизводимое формирование φ-контактов.
Это подтверждают следующие оценки. При использовании меди с длиной когерентности N
= 100 нм в качестве нормальной прослойки (удельное сопротивление ρN= 5·10-8 Ом·м) в
качестве материала для F-канала можно взять сильно разбавленный ферромагнетик с длиной
когерентности порядка ξF ~10 нм. В качестве такого слабого ферромагнетика можно
использовать, например, сплав Pd0.99Fe0.01 с температурой Кюри для тонких пленок порядка
10 К [16]. Сверхпроводящие электроды в первых экспериментальных реализациях
гетероструктур с NF би-слоями были сформированы из алюминия с характерной
критической температурой TC = 1,21 K [14]. Подстановка перечисленных величин в
результаты численных расчетов позволяет оценить размеры структуры, на которых
возможна реализация φ-контакта, а также допустимый диапазон их отклонений: расстояние
между S-электродами L ~ 60 нм ± 3нм, толщина ферромагнетика dF ~ 200 нм ± 20 нм,
толщина нормального металла dN > 100 нм. Положив ширину перехода W=140 нм, получим,
что для φ-контакта критический ток примерно равен ~3 мкА. Таким образом, и размеры
структуры, и та точность, с которой эти размеры необходимо выдерживать, оказываются
вполне доступными для современной технологии. Ожидается, что реализация φ-контактов
позволит существенно оптимизировать конструкцию потоковых квантовых битов и
уменьшить их чувствительность к флуктуациям прикладываемых полей [17-19].
4. Заключение
Выполнен численный двумерный анализ транспорта тока через джозефсоновские
гетероструктуры с нормальным и ферромагнитным би-каналом слабой связи и рассчитаны
ток-фазовые
зависимости.
Представлена
качественная
физическая
интерпретация
полученных результатов. Рассмотрены возможные топологии таких структур, особенности
транспорта тока в них и вид ток-фазовых зависимостей.
9
Использование структур с NF би-каналом позволяет воспроизводимо формировать
π-контакты с характерным напряжением, более высоким, чем у типичных SFS сэндвичей.
Кроме того, структуры с NF би-каналом дают возможность реализации φ-контактов,
использование которых позволит существенно оптимизировать конструкцию потоковых
квантовых
битов
и
существенно
уменьшить
чувствительность
к
флуктуациям
прикладываемых к ним магнитных полей, увеличивая тем самым время потери
когерентности.
Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ (ГК
14.740.11.0389), гранта НШ 2456.2012.2. фонда «Династия», Авторы признательны М.Ю.
Куприянову за ценные замечания и С.В. Бакурскому за помощь с численными расчетами.
Список литературы.
[1]
Feofanov A. K., Oboznov V. A., Bol’ginov V. V., Lisenfeld J., Poletto S., Ryazanov V. V.,
Rossolenko A. N., Khabipov M., Balashov D., Zorin A. B., Dmitriev P. N., Koshelets V. P.,
Ustinov A. V. // Nature Physics, 2010. V. 6. P. 593.
[2]
Ustinov A. V., Kaplunenko V. K., // J. Appl. Phys., 2003. V. 94. P. 5405,
[3]
Wetzstein O., Ortlepp T., Stolz R., Kunert J., Meyer H.-G., Toepfer, H. // IEEE Transactions
on Applied Superconductivity, 2011. V. 21. P. 814 – 817.
[4]
Khabipov M.I., Balashov D.V., Maibaum F., Zorin A.B., Oboznov V.A., Bolginov V.V.,
Rossolenko A.N., Ryazanov V.V. // Superconductor Science and Technology, 2010. V. 23. P.
045032.
[5]
Fominov Ya.V., Golubov A.A., Karminskaya T.Yu., Kupriyanov M.Yu., Deminov R.G.,
Tagirov L.R. // JETP Letters, 2010. V. 91. P. 329-333.
[6]
Tagirov L.R. // Phys. Rev. Letters, 1999. V. 83. No 10. P. 258-261.
[7]
Karminskaya T.Yu., Golubov A.A., Kupriyanov M.Yu., Sidorenko A.S. // Phys.Rev.B,
2009. V.79. No.13. P. 134516.
[8]
Karminskaya T.Yu., Golubov A.A., Kupriyanov M.Yu., and Sidorenko A.S. // Phys. Rev. B,
2010. V. 81. P. 214518.
[9]
Golubov A.A., Kupriyanov M. Yu., Il'ichev E. // Rev. Mod. Phys., 2004. V. 76. P. 411.
[10]
Kupriyanov M.Yu., V. F. Lukichev // Sov. Phys. JETP, 1988. V. 67. P. 1163.
[11]
Kulik I. O., Omelyanchuk A. N. // JETP Lett., 1975. V. 21. P. 96.
[12]
F. Konschelle, J. Cayssol, A.I. Buzdin // Phys. Rev. B, 2010. V. 78. P. 134505.
10
[13]
Buzdin A. // Phys. Rev. B, 2005. V. 72. P. 100501-1-4.
[14]
Golikova T. E., Hubler F., Beckmann D., Batov I. E., Karminskaya T. Yu., Kupriyanovc, A.
A. Golubov M. Yu., Ryazanov V. V. // arXiv:1202.5460v1.
[15]
Кленов Н. В., Пугач Н. Г., Шарафиев А. В., Бакурский С. В., Корнев В. К. // Физика
Твердого Тела, 2010. Т. 52. С. 2104-2109.
[16]
Naoto Nagaosa, et. al. // Rev. Mod. Phys., 2010. V. 82. P. 1539–1592.
[17] Van der Waal C. H. , ter Haar A. C. J., Wilhelm F. K., Schouten R. N., Harmans C. J. P. M.,
Orlando T. P., Seth Lloyd, Mooij J. E. // Science, 2000. V. 290. P. 773-776.
[18]
Amin M. H. S., Smirnov A. Yu., Zagoskin A. M., Lindstrom T., Charlebois S. A.,
Claeson T., Tzalenchuk A. Ya.// Phys. Rev. B, 2005. V. 73. P. 064516-1-5,
[19]
Klenov N. V., Kornev V. K., Pedersen N. F. // Physica C, 2006. V. 435. P. 114-117.
11