программа курса - Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау

1
Глава 1
ПРОГРАММА КУРСА
Темы семинаров по курсу “Электродинамика конденсированных сред”
1.1 Уравнения Максвелла в среде; плоские волны
Уравнения Максвелла в среде. Диэлектрическая проницаемость и магнитная восприимчивость.
Принцип причинности; соотношения Крамерса-Кронига. Две простейшие модели электромагнитного отклика сред: идеальная плазма и среда с фононным резонансом. Плоские монохроматические волны. Волновые пакеты – фазовая и групповая скорость, дисперсия. Граничные
условия для уравнений Максвелла.
1.2 Термодинамика и кинетика переменного электромагнитного поля в среде с линейным откликом
Поток энергии в электромагнитной волне; вектор Умова-Пойнтинга. Плотность энергии переменного электромагнитного поля; формула Бриллюэна. Тепловые потери при распространении
электромагнитной волны.
1.3 Анизотропные среды. Магнитооптика
Установление симметрии тензора диэлектрической и магнитной восприимчивости. Обобщение
выражений для плотности энергии и мощности тепловых потерь для анизотропной среды. Феноменологическое рассмотрение магнитооптических эффектов. Эффект Фарадея. Нахождение
тензора диэлектрической восприимчивости для идеальной плазмы с постоянным наложенным
магнитным полем. Циклотронный резонанс.
1.4 Скин-эффект
Скин-эффект: запись граничных условий в форме Леонтовича; условие применимости описания
отражения волны от поверхности в терминах скин-эффекта. Нормальный скин-эффект. Связь
поверхностного импеданса с тепловым излучением; скорость излучения нагретой поверхности в
пустоту (через ФДТ).
1.5 Поверхностные электромагнитные волны
Поверхностные электромагнитные волны. Поверхностные плазмоны: условия существования,
фазовая и групповая скорости. Структура поля и плотности потока энергии. Дисперсия поверхностных плазмонов для модели Друде.
1.6 Волноводы
Распространение волн в полых волноводах с идеально проводящими стенками. Волноводы с односвязными полостями. Дисперсия мод, частота отсечки. Определение длины распространения
мод в полых металлических волноводах с учётом потерь на стенках. Распространение связанной
моды вдоль металлической проволоки. Связанные моды в плоских волноводах. Коаксиальный
волновод.
1.7 Рассеяние электромагнитных волн на макроскопических телах.
Рассеяние электромагнитных волн на макроскопических телах. Двумерный и трёх-мерный случаи. Оптическая теорема. Сечения рассеяния, поглощения и взаимодействия. Предел идеального металла, предел малых длин волн. Предел рассеяния на тонком стержне и на малом шаре
субволнового диаметра; оценки по порядку величины для амплитуд рассеяния и поглощения.
Глава 1. Программа курса
2
Прохождение света через коллоидные растворы металлических нано-частиц. Одномерное рассеяние.
1.8 Трансформационная оптика
Численное решение уравнений Максвелла. Частный случай систем, излучающих электромагнитные волны. Perfectly Matched Layers (PMLs) граничные условия. Запись уравнений Максвелла в
криволинейных координатах. Принцип Ферма. Метаматериалы. Частный случай ортогональных
координат. Трансформационная оптика: принципиальная возможность создания “невидимок”.
1.9 Квази-стационарные поля
Квазистационарные поля. Сведение уравнений Максвелла в квазистационарном пределе к виду
уравнения диффузии. Магнитная гидродинамика: вывод уравнения, эффект магнитного динамо. Учёт эффектов запаздывания в электрических цепях: получение поправок к сопротивлению
цепи.
1.10 Магнитостатика магнетиков.
Магнитное поле ферромагнетика. Магнитная энергия ферромагнетиков, различные формы её
записи. Энергия одноосного магнетика: энергии анизотропии и неоднородности.
1.11 Доменная структура магнетиков. Динамика магнитного момента.
Доменная структура в одноосном кристалле, ширина и энергия доменной стенки. Динамика
магнитного момента в магнетиках. Спиновый магнитный резонанс.
1.12 Нелинейная оптика
Нелинейная восприимчивость. Генерация
2-й
гармоники.
3
§1.1. Уравнения Максвелла в среде; плоские волны.
Уравнения Максвелла в среде. Диэлектрическая проницаемость и магнитная восприимчивость. Уравнения максвелла в вакууме. Разделе-
ние полного тока на поляризационный ток (ток связанных зарядов), циркулирующий ток (ток, связанной с намагниченностью среды) и ток свободных зарядов. Получение уравнений Максвелла в среде из уравнений Максвелла в пустоте. Диэлектрическая проницаемость и магнитная восприимчивость: понятие о
временной и пространственной дисперсии.
В ходе решения физических задач часто бывает полезным иметь возможность проводить описание отклика среды на электромагнитное поле, переходя от уравнений Максвелла в среде к уравнениям Максвелла в пустоте и обратно. Этот переход может прояснить физическую суть явления.
Принцип
причинности;
Крамерса-Кронига. Связь между
соотношения
электрической индукцией и электрическом полем в частотном представлении в случае нетривиальной временно́й дисперсии и отсутствии пространственной дисперсии. Аналитические свойства функции отклика в частотном
представлении; физический смысл полюсов функции
отклика. Соотношение Крамерса-Кронига. Литература: [1, §82].
∙ Задача 1: Вычислить диэлектрическую проницаемость в частотном представлении 𝜀(𝜔), если известно, что коэффициент поляризуемости (диэлектрическая
восприимчивость) во временно́м представлении имеет
зависимость æ(𝑡) = 𝐴 exp(−𝑡/𝜏 ).
Две простейшие модели электромагнитного
отклика сред: плазма с затуханием и среда с фононным резонансом. Модель Друде для электронной
плазмы в 𝜏 -приближении: запись кинетического уравнения в 𝜏 -приближении, выражение проводимости 𝜎
при конечной частоте 𝜔 через проводимость 𝜎0 при
нулевой частоте. Плазменная частота, предел низких
частот 𝜔𝜏 ≪ 1; связь диэлектрической проницаемости с проводимостью. Модель диэлектрика как среды,
состоящей из лорентцевых осцилляторов. Литература: [2, §15,§17]
∙ Задача 2:
Найти диэлектрическую проницае-
мость 𝜀(𝜔) для среды, состоящей из лорентцевых осцилляторов.
Плоские монохроматические волны. Уравнение
Гельмгольца (волновое уравнение) для свободного электромагнитного поля в среде. Разложение электромагнитного поля по временным и пространственным гармоникам. Связь закона дисперсии с дисперсией диэлектрической восприимчивости и магнитной проницаемости. Показатели преломления и поглощения. Прозрачные среды.
Волновые пакеты – фазовая и групповая скорость, дисперсия. Понятие о волновом пакете, спек-
тральная ширина волнового пакета. Плоской волновой
пакет. Фазовая скорость. Групповая скорость. Огибающая волнового пакета. Вторая дисперсия. Сопровождающая система координат. Уравнение Шредингера на волновой пакет в сопровождающей системе координат.
Литература: §4.1.
∙ Задача 3: Пусть в начальный момент времени
огибающая плоского волнового пакета в сопровождающей системе координат имела гауссову зависимость:
Ψ(𝑧, 𝑡 = 0) = 𝐴 exp(−𝑧 2 /2𝜍 2 ), где 𝜍/𝑣𝑔 – длительность
импульса, 𝑣𝑔 – групповая скорость, 𝐴 - начальная амплитуда импульса. Найти дальнейшую эволюцию огибающей, если известна вторая дисперсия 𝛽2 .
∙ Задача 4: Получить закон дисперсии для волн,
распространяющихся в плазме, отклик которой даётся
моделью Друде.
Граничные условия для уравнений Максвелла
в среде. Вывод, физическая интерпретация гранич-
ных условий для уравнений Максвелла в среде. Поверхностные заряды. Поверхностные токи. Методы измерения электрического поля E, электрической индукции
D, магнитной индукции B и магнитного поля H.
∙ Задача 5: Оценить по порядку величины распределение поля вокруг удлинённого и сплюснутого эллипсоидов вращения, сделанных из оптически плотного диэлектрика и помещённых во внешнее постоянное
электрическое поле. Литература: §10.1
§1.2. Термодинамика и кинетика переменного электромагнитного поля в
среде с линейным откликом.
Поток энергии в электромагнитной волне;
вектор Умова-Пойнтинга. Условие непрерывности
потока энергии на границе раздела; связь этого усло-
вия с граничными условиями для уравнений Максвелла в среде. Выражение для потока энергии через комплексные амплитуды полей.
Глава 1. Программа курса
4
Плотность энергии переменного электромагнитного поля; формула Бриллюэна. Запись выра-
жения для плотности электромагнитной энергии через комплексные амплитуды. Условие применимости
формулы Бриллюэна – малые потери.
∙ Задача 1: Показать, что в прозрачной диспергирующей среде для плоской монохроматической волны
выполняется соотношение
¯ = 𝑆,
¯
𝑢𝑊
(1.1)
¯ – средняя по времегде 𝑢 – групповая скорость, 𝑊
ни плотность запасённой электромагнитной энергии,
𝑆¯ – среднее по времени абсолютное значение вектора
Умова-Поинтинга.
Тепловые потери при распространении электромагнитной волны. Запись выражения для объём-
ной плотности тепловых потерь через комплексные
амплитуды полей. Выражение для полного количества
выделившегося тепла для импульса конечной длительности.
∙ Задача 2:
Показать, что в почти прозрачной
диспергирующей среде для плоской монохроматической
волны выполняется соотношение
𝜆
𝑆¯
¯ = 4𝜋k ,
𝑄
(1.2)
√
где k = Im 𝜀𝜇 – показатель поглощения среды, 𝜆 – дли¯ – средняя по времени объёмная
на волны в вакууме, а 𝑄
плотность потерь волны, уходящих в тепло.
§1.3. Анизотропные среды. Магнитооптика.
Установление симметрии тензора диэлектрической и магнитной восприимчивости. Вывод фор-
мулы Кубо – квантово-механического выражения для
коэффициента линейной восприимчивости. Установление симметрии коэффициентов обобщённой восприимчивости как следствия инвариантности уравнений
движения системы по отношению к операции обращения времени. Литература: §7.1.
∙ Задача 1: Установить симметрию диэлектрической проницаемости в случае, если среда прозрачна и
её внутренняя симметрия характеризуется выделенным
направлением. Также обсудить ситуацию, когда исходно
изотропное тело помещено в однородное электрическое
поле (эффект Керра).
Обобщение выражений для плотности энергии и мощности тепловых потерь для анизотропной среды. Запись выражений для плотности
энергии и мощности тепловых потерь для электромагнитной волны в анизотропной среде: физический
смысл эрмитовой и анти-эрмитовой частей тензоров
диэлектрической проницаемости и магнитной восприимчивости.
Феноменологическое рассмотрение магнитооптических эффектов. Эффект Фарадея. Нахож-
дение тензора диэлектрической восприимчивости для идеальной плазмы с постоянным наложенным магнитным полем. Циклотронный резонанс.
∙ Задача 2:
Установить симметрию диэлектрической проницаемости в случае, если среда прозрачна
и её внутренняя симметрия характеризуется выделенным направлением, обусловленным наложенным постоянным магнитным полем (в отсутствие магнитного поля
среда изотропна). Литература: §4.2.
∙ Задача 3:
Показать, что при распространении линейно поляризованной волны в изотропной среде
вдоль наложенного на неё магнитного поля плоскость
её поляризации испытывает равномерное вращение по
мере распространения (эффект Фарадея).
∙ Задача 4:
Найти явный вид диэлектрической
проницаемости для идеальной классической плазмы,
находящейся в однородном магнитном поле, рассмотрев
распространение линейных волн вдоль магнитного поля
(обе поляризации) и поперёк него (с линейной поляризацией направленной вдоль магнитного поля).
∙ Задача 5: Показать, что при распространении
радиоволн в ионосфере следует ожидать резонансных
явлений близи длины волны 𝜆 ≈ 210 м. Принять напряжённость магнитного поля земли 𝐻 = 0.5 э.
5
§1.4. Скин-эффект.
Граничные условия в форме Леонтовича позволяют
решать задачу об отражении электромагнитных волн от
поверхности тела, избегая рассмотрения того, что происходит внутри самого этого тела. Отражательные свойства поверхности характеризуются только поверхностным импедансом. Практическое применение этого подхода весьма обширно и включает в себя радиолокацию,
распространения переменного тока по проводам, и другие области электротехники.
Скин-эффект: запись граничных условий в
форме Леонтовича; условие применимости описания отражения волны от поверхности в терминах скин-эффекта. Связь тангенциальных ком-
понент электрического и магнитных полей на границе оптически плотного материала. Глубина скин-слоя.
Условие применимости локальной связи между полями: малая величина глубины проникновения в материал (длины волны в материале) по сравнению с длиной
волны в окружающем пространстве и радиусом кривизны поверхности. Принцип причинности для поверхностного импеданса; принцип причинности для обратного поверхностного импеданса. Физический смысл поверхностного импеданса: связь между электрическим
полем и поверхностным током.
Литература: [1, §87], §4.4.
Нормальный скин-эффект.
∙ Задача 1:
Выразить поверхностной импеданс
через диэлектрическую проницаемость 𝜀 и магнитную
восприимчивость 𝜇 отражающего материала в случае
нормального скин-эффекта. Связать между собой глубину скин-слоя 𝛿 , частоту волны 𝜔 и поверхностный импеданс 𝜁 .
∙ Задача 2:
Вычислить закона дисперсии поверхностного импеданса для почти идеального металла,
дисперсия проводимости которого соответствует модели
Друде.
∙ Задача 3:
Определить площадь полезного се-
чения для прутов диаметром 10см, сделанных из меди и из стали, по которым течёт переменный ток с частотой 50Гц. Принять, что сопротивление меди равно
𝜎Cu = 580ксим/см, магнитная восприимчивость 𝜇Cu = 1,
сопротивление стали 𝜎Fe = 100ксим/см, магнитная восприимчивость стали 𝜇Fe = 1000. Указание: найти поверхностный импеданс для обоих материалов, и через
него определить глубину скин-слоя на данной частоте.
Определить поверхностные импедансы для обоих материалов. Пояснение: для указанных параметров глубина
скин-слоя в меди – 𝛿Cu = 9.4 мм, в стали – 𝛿Fe = 0.74 мм.
Обсуждение области существования в частотном представлении нормального скин-эффекта для металла через рассмотрение кинетического уравнения
Больцмана: длина свободного пробега должна быть
меньше чем масштаб, на котором изменяется электрическое поле, т.е. глубина проникновения. Литература: [3, §7.2].
Связь поверхностного импеданса с тепловым излучением; скорость излучения нагретой
поверхности в пустоту (через флуктуационнодиссипационную теорему).
∙ Задача 4:
Рассмотрим гранулу сферической
формы радиуса 𝑎, находящуюся в вакууме и имеющую
температуру 𝑇 . Радиус гранулы мал по сравнению с глубиной скин-слоя 𝛿 на частоте 𝜔𝑇 = 𝑇 /~, соответствующей температуре, 𝑎 ≪ 𝛿 , при этом задана дисперсия диэлектрической проницаемости 𝜀(𝜔) материала частицы,
а его магнитная восприимчивость равна единице (предполагается, что радиус гранулы всё же достаточно велик для того, чтобы возможно было пользоваться приближением локальной связи между электрическим полем и плотностью тока). Найти в общем виде интенсивность теплового излучения гранулы, выразив её через
𝜀(𝜔). Провести окончательное вычисление для модели
Друде, приняв 𝜀(𝜔) = 𝜀𝑏 − 𝜔𝑝2 /(𝜔(𝜔 + 𝑖𝜔𝜏 )), считая, что
температура мала, так что 𝜔𝑇 ≪ 𝜔𝑝 .
§1.5. Поверхностные электромагнитные волны
Поверхностные электромагнитные волны. Поверхностные плазмоны: условия существования,
фазовая и групповая скорости. Структура поля и
плотности потока энергии. Исследование структу-
ры электромагнитного поля связанной волны (поверхностного плазмона), распространяющейся вдоль границы раздела металл-диэлектрик. Получить условие существования поверхностного плазмона: 𝜀𝑚 < −𝜀𝑑 , где
𝜀𝑚 – диэлектрическая проницаемость металла, а 𝜀𝑑 –
диэлектрика. Исследовать распределение потока энергии для плоского плазмона в случае, если в металле
происходят слабые потери (𝜀′′𝑚 > 0)
∙ Задача 1: Рассмотреть границу раздела металла
и диэлектрической среды, имеющих коэффициенты диэлектрической проницаемости 𝜀m и 𝜀d соответственно,
так что 𝜀m < −𝜀d , а 𝜀d > 0 (при этом потери в обо-
Глава 1. Программа курса
6
их материалах отсутствуют). Выразить поверхностную
плотность энергии ℰ в плоском поверхностном плазмоне
через амплитуду электрического поля на поверхности
раздела и диэлектрические проницаемости соприкасающихся сред. То же самое сделать для потока энергии
отдельно в каждой среде и в целом. Непосредственно
показать, что
𝑣𝑔 ℰ
= 𝑆,
𝑣𝑔 =
буждается синфазным движением сторонних зарядов с
частотой 𝜔 в плоскости 𝑂𝑦𝑧 , тогда при 𝑥 > 0 возбуждённая плоская поверхностная волна распространяется
в направлении возрастающих 𝑥. Найти распределение
среднего по времени потока энергии в пространстве. Нарисовать соответствующую картину в плоскости )𝑥𝑧 .
Дисперсия поверхностных плазмонов для модели Друде.
d𝜔
,
d𝛽
где 𝑆 – полная поверхностная плотность потока энергии, 𝑣𝑔 – групповая скорость, а 𝛽(𝜔) – закон дисперсии
поверхностного плазмона.
∙ Задача 2: Пусть теперь в металле присутствуют
малые потери, так что 𝜀′′m ≪ |𝜀′m |. Введём декартову систему координат 𝑂𝑥𝑦𝑧 , в которой поверхность раздела
есть плоскость 𝑂𝑥𝑦 . Пусть поверхностный плазмон воз-
∙ Задача 3:
Пусть дисперсия диэлектрической
проницаемости диэлектрика пренебрежимо мала, а дисперсия диэлектрической проницаемости металла описывается моделью Друде 𝜀m = 𝜀b − 𝜔𝑝2 /(𝜔(𝜔 + 𝑖𝜔𝜏 )), где
√
𝜔𝜏 ≪ 𝜔𝑝 / 𝜀b , а 𝜀b – положительная константа. Найдите частоту 𝜔𝑐 , ниже которой возможны поверхностные
плазмоны, а также дисперсию поверхностных плазмонов.
§1.6. Волноводы
Распространение волн в полых волноводах с
идеально проводящими стенками. Волноводы с
односвязными полостями. Дисперсия мод, частота отсечки. Определение длины распространения мод в полых металлических волноводах
с учётом потерь на стенках. Практическое при-
менение волноводов. Выражение всех компонент полей 𝐸 и 𝐻 через компоненты, направленные вдоль оси
волновода, 𝐸𝑧 и 𝐻𝑧 ; классификация мод. Достаточные граничные условия для 𝑇 𝑀 - и 𝑇 𝐸 -волн. Получение дисперсионного соотношения, минимальная частота распространения. Конечность длины распространения мод: выражение коэффициента затухания через
поверхностный импеданс металла (граничные условия
Леонтовича). Литература: [1, §91], [4, §14.1].
∙ Задача 1: Найти возможные типы волн в круглом волноводе радиуса 𝑎, считая его стенки идеально
проводящими. Определить граничную частоту 𝜔0 для
такого волновода. Найти коэффициенты затухания 𝛼
разных типов волн в случае, если поверхностный импеданс стенок равен 𝜁 . Литература: [4, стр. 628, задачи
14.12 и 14.13].
Распространение связанной моды вдоль металлической проволоки.
∙ Задача 2:
Определить дисперсию аксиально
симметричной моды металлической проволоки (в области рассматриваемых частот считать, что диэлектрическая проницаемость сердцевины меньше нуля). Отдельно рассмотреть длинноволновый предел. -NoValueЛитература: §12.3.3.
Связанные моды в плоских волноводах.
Клас-
сификация связанных мод в плоском волноводе, 𝑇 𝐸 - и
𝑇 𝑀 -волны. Разделение 𝑇 𝐸 -мод на четные и нечетные,
структура поля и собственные значения. Отсутствие
частоты отсечки для четной 𝑇 𝐸 -моды низшего порядка. Аналогия с круглым волноводом. Литература: [5,
§8.3].
∙ Задача 3:
Определить дисперсию четных и
нечетных связанных 𝑇 𝑀 -волн плоского симметричного волновода.
∙ Задача 4: Отдельно рассмотреть некоторые моды в плоском симметричном волноводе.
i) Моду, не имеющую частоты обрезки: определить
пространственную структуру электромагнитного поля и
вектора поляризации для предела, когда частота много
меньше самой низкой частоты отсечки.
ii) Рассмотреть моду с высоким номером: обсудить,
как можно описать моду в квази-классическом приближении.
Коаксиальный волновод. Рассмотрение коаксиального волновода на языке уравнений Максвелла. Существование в коаксиальном волноводе полностью поперечной моды, не имеющей частоты отсечки. Литература: [1, §91].
Описание коаксиального волновода в терминах линии Лехера: погонные ёмкость и индуктивность волновода, волновое уравнение на напряжение и ток. Эквивалентность описания моды в терминах уравнений
Максвелла и линии Лехера. Литература: [6, §143],[7, Ch.
14].
∙ Задача 5: Учесть затухание сигнала в коаксиальном волноводе за счёт потерь в скин-слое, и вычислить длину распространения главной моды. Внутренний
7
радиус коаксиального волновода равен 𝑎, внешний – 𝑏,
частота сигнала – 𝜔 , глубина скин-слоя – 𝛿 (предпола-
гается нормальный скин-эффект).
§1.7. Рассеяние электромагнитных волн на макроскопических телах.
Рассеяние электромагнитных волн на макроскопических телах. Сечения рассеяния, поглощения и взаимодействия. Двумерный и трёхмерный случаи. Оптическая теорема.
Асимптотический вид электромагнитного поля
вдали от рассеивающего тела: понятие амплитуды
рассеяния; парциальные амплитуды рассеяния. Сечения взаимодействия, поглощения и рассеяния. Связь
сечения рассеяния с амплитудой рассеяния. Трёхмерный случай: оптическая теорема. Литература:
§4.5, [4, стр. 480, Задача 12.77].
∙ Задача 1: Вычислить сечение поглощения 𝜎𝑎 монохроматической электромагнитной волны проводящим
шаром с малым поверхностным импедансом 𝜁 = 𝜁 ′ + 𝜁 ′′ .
Радиус шара мал по сравнению с длиной волны 𝜆, но
велик п сравнению с глубиной скин-слоя.
Предел идеального металла, предел малых
длин волн.
Предел рассеяния на тонком стержне и на малом шаре субволнового диаметра; оценки по порядку величины для амплитуд рассеяния и поглощения. Прохождение света через коллоидные
растворы металлических нано-частиц.
∙ Задача 2:
Вычислить сечения поглощения 𝜎𝑎
и рассеяния 𝜎𝑠 монохроматической электромагнитной
волны на металлическом шаре, размер которого 𝑎 мал
по сравнению с глубиной скин-слоя, 𝑎 ≪ 𝛿 , полагая, что
частота падающей волны 𝜔 близка к резонансной частоте дипольной поверхностной плазмонной моды шарика.
Литература: §4.5.2 ; Литература: §11.1.2.
∙ Задача 3:
Для предыдущей задачи рассмотреть рассеяние белого света на таком шаре: полагать, что спектр падающей волны плоский в диапазоне
[𝜔𝑟 − Δ/2, 𝜔𝑟 + Δ/2], где ширина спектра Δ велика по
сравнению с шириной резонанса. Показать, что сечение
взаимодействия не зависит от ширины резонанса (т.е.
его добротности).
∙ Задача 4: Рассмотреть двумерный вариант Задачи 2, когда происходит рассеяние плоской монохроматической волны на бесконечном цилиндре с круговым
сечением. Рассмотреть случай 𝑇 𝐸 -волны, когда электрическое поле падающей волны ортогонально оси.
Одномерное рассеяние
∙ Задача 5: На плоскую пластину толщиной ℎ падает по нормали электромагнитная волна с волновым
вектором 𝑘 = 𝜔/𝑐, таким, что глубина √︀
скин-слоя велика
по сравнению с толщиной пластинки, |𝜀|𝑘ℎ ≪ 1, где 𝜀
- диэлектрическая проницаемость материала пластины
(функция частоты). Не решая точные уравнения Максвелла, найти амплитуды отражения и прохождения волны через пластину, а также коэффициент поглощения
волны в пластине. Написать условие, при котором отражение является слабым. Литература: 11.2.
∙ Задача 6: Плоская электромагнитная волна падает нормальным образом на экран, составленный из
металлических шариков радиуса 𝑎, расположенных с периодом 𝑙, причем направление поляризации сонаправлено с линиями, вдоль которых выстроены шарики.
i) Считая, что 𝑘𝑙 ≪ 1, найти средний коэффициент
отражения волны от экрана.
ii) Определить величину его резонансного значения.
iii) Найти эффективную ширину резонансного пика,
считая, что диэлектрическая проницаемость шариков
𝜀 = 1 − 𝜔𝑝2 /𝜔(𝜔 + 𝑖/𝜏 ).
§1.8. Трансформационная оптика
Численное решение уравнений Максвелла.
Частный случай систем, излучающих электромагнитные волны. Perfectly Matched Layers
(PMLs) граничные условия.
Уравнения в частных производных, готовые пакеты для их решения: Comsol Multiphysics, Ansys HFSS.
Их возможности, ограничения и недостатки. Проблема ограничения области рассчета: постановка граничных условий на “бесконечности”. Создание слоя с боль-
шими мнимыми частями 𝜀 и 𝜇 для подавление волн;
проблема отражения волн от границы области расчета. Аналитическое продолжение решений за “границу”
области расчёта, PML граничные условия. “Stealth”технология невидимости самолетов. Литература: [8].
Принцип Ферма. Метаматериалы. Запись
уравнений Максвелла в криволинейных координатах. Частный случай ортогональных координат. Трансформационная оптика: принципиаль-
Глава 1. Программа курса
8
ная возможность создания “невидимок”.
Распространение световых лучей и принцип Ферма. Мираж в пустыне. Создание искусственных материалов, концепция метаатома, метаматериалы. Искривление траектории светового луча в криволинейных координатах. Запись уравнений Максвелла в произвольных координатах, эквивалентность замены координат и замены диэлектрических и магнитных проницаемостей. Частный случай ортогональных координат. Управление траекторией световых лучей с помощью метаматериалов. Создание “невидимок”: обла-
§1.9.
стей пространства, в которые не проникают световые лучи. Литература: [9],§4.3
∙ Задача 1: Одна из возможных замен координат,
которая заставляет все световые лучи огибать цилиндрическую область радиусом 𝑎, устроена следующим образом:
𝑏−𝑎
𝑟 + 𝑎, 𝑧 ′ → 𝑧, 𝜙′ → 𝜙.
𝑟′ →
𝑏
Определить тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости, которые были бы “эквивалентны” указанной замене координат. Литература: [9],§4.3.
Квази-стационарные поля.
Квазистационарные поля. Сведение уравнений Максвелла в квазистационарном пределе к
виду уравнения диффузии. Условие квацистацио-
нарности электромагнитного поля. Система уравнений Максвелла в пренебрежении эффектами, связанными с конечностью скорости распространения электромагнитных возмущений. Вывод уравнений на электрическое и магнитное поля в квазистационарном пределе;
аналогия с уравнением диффузии. Граничные условия
на компоненты электромагнитного поля в квазистационарном пределе. Скорость затухания магнитного
поля.
Литература: [1, §58].
∙ Задача 1: Определить наименьший из коэффициентов затухания магнитного поля в проводящем шаре.
Магнитная гидродинамика: вывод уравнения,
эффект магнитного динамо. Система уравнений
на эволюцию поля скорости проводящей жидкости во
внешнем магнитном поле. Бездиссипативный предел;
“вмороженность” силовых линий магнитного поля в
вещество жидкости. Кинематический режим магнитного динамо – режим, когда обратным влияние
магнитного поля на течение жидкости можно пренебречь. Эффект магнитного динамо на примере крупномасштабного стационарного течения несжимаемой
жидкости
Литература: [1, §65].
∙ Задача 2: Рассмотрим течение магнитной жидкости с большой проводимостью, когда коэффициент
кинематической вязкости 𝜈 мал по сравнению с коэффициентом диффузии магнитного поля 𝜅. Тогда вязкий
масштаб течения велик по сравнению с диффузионным
масштабом, на котором изменяет магнитное поле; будем
считать, что 𝜅 = 0. Течение жидкости считать постоянным, и поле скорости задаётся линейным по координате
выражением 𝑣 𝑖 = 𝜎 𝑖𝑗 𝑟𝑗 . Начальное распределение магнитного поля принять равным 𝐵0 = rot(𝑎 exp(−𝑟2 /𝑙2 )),
где a – некоторый вектор. Найдите дальнейшую конфигурацию магнитного поля в кинематическом режиме; в
частности, найдите полную энергию магнитного поля.
Учёт эффектов запаздывания в электрических цепях: получение поправок к сопротивлению цепи.
∙ Задача 3: Пусть имеется электрическая цепь с
индуктивностью и активным сопротивлением. При полном пренебрежении эффектами запаздывания внутри
цепи можно написать известную из курса общей физики
связь между током и ЭДС. Найдите поправки к индуктивности и сопротивлению не пренебрегая запаздыванием, но считая, что выполняется квазистационарный
закон Ома (связь между плотностью тока и полем), и
что ток в каждый момент времени одинаков вдоль всей
цепи. Дать интерпретацию полученным результатам, в
частности, разложению по степеням частоты.
§1.10. Магнитостатика магнетиков.
Магнитное поле ферромагнетика. Базовые соотношения для статической энергии магнетиков. Бездивергентность магнитной индукции. Потенциаль-
ность магнитного поля, уравнение на потенциал.
∙ Задача 1:
Найти поле 𝐵 для точечного диполя
9
𝑀 (𝑟) = 𝜇𝛿(𝑟).
∙ Задача 2:
Найти поля 𝐵 и 𝐻 для шара с
однородной намагниченностью: 𝑀 (𝑟) = 𝑀0 , 𝑟 < 𝑅,
𝑀 (𝑟) = 0, 𝑟 > 𝑅. Найти поля во всем пространстве
(внутри и вне шара).
∙ Задача 3: Найти поля 𝐵 и 𝐻 для бесконечного
цилиндра с однородной намагниченностью 𝑀0 вдоль и
поперек оси цилиндра.
∙ Задача 4: Найти поля 𝐵 и 𝐻 для бесконечной
пластины с однородной намагниченностью 𝑀0 вдоль и
поперек плоскости пластины.
Магнитная энергия ферромагнетиков,
личные формы её записи.
раз-
Литература: §6.2.1.1
∙ Задача 5: Доказать теорему взаимности: если
поле 𝐵1 (𝑟) создается намагниченностью 𝑀1 (𝑟) и поле
𝐵2 (𝑟) – намагниченностью 𝑀2 (𝑟), то:
ˆ
ˆ
𝑀1 𝐵2 𝑑𝑟 = 𝑀2 𝐵1 𝑑𝑟.
(1.3)
∙ Задача 6: Внутри шара радиуса 𝑅 с однородной
намагниченностью 𝑀0 вырезали шаровую же область
радиуса 𝑎 < 𝑅, в котoрой вектор намагниченности повернули на некоторый угол 𝜃 по отношению к 𝑀0 , сохранив его модуль. Найти изменение магнитной энергии
за счет поворота, считая расположение области внутри
шара произвольным.
∙ Задача 7: В условиях предыдущей задачи разворот намагниченности был осуществлен в двух неперекрывающихся шаровых областях. Найти изменение магнитной энергии, задав параметры областей и изменения
намагниченности.
Энергия одноосного магнетика: энергии анизотропии и неоднородности. Энергия магнитной
анизотропии, ее релятивистская природа. Энергия
магнитной неоднородности, ее обменная природа. Феноменологические выражения для энергии анизотропии
и энергии неоднородности. Связь структуры этих выражений с инвариантностью энергии по отношению к
операции обращения времени.
∙ Задача 8: Показать, что с точностью до слагаемых, пропорциональных 𝑀 2 , практически постоянных
в ферромагнетиках, энергия (6.15) может быть представлена в виде:
ℋ=
1
8𝜋
ˆ
ˆ
2
𝐻𝑀
𝑑𝑟 −
𝑀 𝐵0 𝑑𝑟 −
𝛽
2
ˆ
𝑀𝑧2 𝑑𝑟,
(1.4)
где 𝐻𝑀 = 𝐵𝑀 − 4𝜋𝑀 .
§1.11. Доменная структура магнетиков. Динамика магнитного момента.
Доменная структура в одноосном кристалле,
ширина и энергия доменной стенки. Причина обра-
зования доменов в ферромагнетике. Примеры доменных
структур. Однодоменные частицы, критерий однодоменности. Определение структуры доменной границы
в одноосном кристалле (блоховская доменная стенка).
Выражения для ширины и энергии доменной границы.
Литература: [1, §43,45], [10, Стр. 242], §6.2
∙ Задача 1: Найти пороговое значение 𝐵0 , направленного перпендикулярно плоскости ферромагнитной
пластины, выше которого образование доменов энерге-
тически невыгодно.
Динамика магнитного момента в магнетиках.
Спиновый магнитный резонанс. Динамика век-
тора намагниченности в ферромагнетиках. Уравнение Ландау-Лифшица. Динамика доменной границы во
внешнем магнитном поле.
∙ Задача 2: Найти собственные частоты малых
колебаний шара, 𝑀 = 𝑀0 + 𝑚, 𝑀 2 = 𝑀02 , |𝑀0 | ≫ |𝑚|
намагниченного вдоль оси анизотропии 𝑧 .
§1.12. Нелинейная оптика
Нелинейная восприимчивость. Нелинейные поправки к линейной зависимости 𝐷 от 𝐸 . Нелинейная восприимчивость 2-го и 3-го порядков. Симметрия
тензора нелинейной воприимчивости. Литература: [1,
§107-108].
∙ Задача 1:
Какие процессы описываются следу-
ющими нелинейными восприимчивостями: (а) 𝜒2 (𝜔, 𝜔),
(б) 𝜒2 (2𝜔, −𝜔), (в) 𝜒3 (𝜔, 2𝜔, −2𝜔)?
∙ Задача 2: Газ свободных электронов концентрации 𝑁 находится в поле плоской световой волны амплитудой 𝐸 и частотой 𝜔 . Определить нелинейную поляризацию на частотах 2𝜔 и 3𝜔 .
Глава 1. Программа курса
Генерация 2-й гармоники. Нелинейный эффект
2-го порядка 𝜀𝑖,𝑘𝑙 (−2𝜔; 𝜔, 𝜔), экспериментальное наблюдение генерации 2-й гармоники. Качественная картина происходящего: движение электрона со слабой нелинейностью 2-го порядка. Эффективная перекачка энергии из основной волны в гармонику, условие синхрониз-
10
ма. Точное решение уравнений Максвелла. Литература: [11, §11.2], [1, §110].
∙ Задача 3:
Определить угол синхронизма для
генерации второй гармоники в одноосном кристалле с
𝑛𝑒 > 𝑛𝑜 и с 𝑛𝑒 < 𝑛𝑜 .
11
Глава 2
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО
РЕШЕНИЯ
∙ Задача 1:
ℎ падает по нормали электромагнитная вол𝑘
=
𝜔/𝑐
, таким, что глубина скин-слоя велика по сравнению с толщиной
√︀
|𝜀|𝑘ℎ ≪ 1, где 𝜀 - диэлектрическая проницаемость материала пластины (функция чаНа плоскую пластину толщиной
на с волновым вектором
пластинки,
стоты). Не решая точные уравнения Максвелла, найти амплитуды отражения и прохождения волны
через пластину, а также коэффициент поглощения волны в пластине. Написать условие, при котором
отражение является слабым.
∙ Задача 2:
Как известно, для системы свободных зарядов при наличии трения, диэлектриче-
ская проницаемость, как функция частоты, может быть записана следующим образом:
𝜔𝑝2
𝜀=1− 2
,
𝜔 + 𝑖𝛾𝜔
где
а
𝛾
𝜔𝑝
- плазменная частота (и для модели плазмы
𝜔𝑝2 =
𝑛𝑒 –
4𝜋𝑒2 𝑛𝑒
,
𝑚𝑒
концентрация зарядов,
(2.1)
𝑚𝑒
– масса зарядов),
- декремент затухания.
∙
Связь между индукцией и полем можно записать и через поляризуемость:
ˆ
𝑡
𝜒(𝑡 − 𝑡′ )𝐸(𝑡′ )𝑑𝑡′
𝐷(𝑡) = 𝐸 + 4𝜋
(2.2)
−∞
𝜒(𝜏 ), соответствующую проницаемости (2.1). Объясните качественно
функции 𝜒(𝜏 ) при малых и больших временах.
Найдите функцию
поведение
∙
Рассмотрите распространение плоской электромагнитной волны в среде с диэлектрической проницаемостью (2.1), предполагая потерия малыми, так что
𝛾 ≪ 𝜔𝑝 .
Найдите
дисперсию такой волны, фазовую и групповую скорости, а также длину распространения.
∙ Задача 3:
Плоская электромагнитная волна падает на шар, состоящий из материала с диэлек-
𝜀(𝜔). На частоте волны значение действительной части диэлектрической
−2. Размер шара 𝑎 мал по сравнению с длиной падающей волны.
трической проницаемостью
проницаемости близко к
∙
Установить оптическую теорему в частном случае, когда рассеиватель излучает только
электро-дипольным образом
∙
Найти амплитуду электрического поля внутри шара, сечения рассеяния, поглощения и
полное сечение взаимодействия волны на шаре.
∙
Предполагая, что материал шарика – металл с диэлектрической проницаемостью (2.1),
найти энергию поверхностного плазмонного колебания как функцию амплитуды колебания электрического поля внутри шарика (воспользоваться формулой Бриллюэна).
Показать, что эта энергия состоит из двух частей – энергии электрического поля и
кинетической энергии электронов, равных друг другу в смысле среднего по времени
Глава 2. Программа курса
∙ Задача 4:
12
Цилиндрический волновод представляет собой бесконечный цилиндр из некоторого
вещества, окруженный другим веществом (в том числе, в вакууме). Вдоль таких волноводов возможно распространение волн в которых поле экспоненциально падает при удалении от центра цилиндра
(связанная мода). Найти условие, при котором возможно существование аксиально симметричной
связанной моды, с длинной волны, много большей чем размер цилиндра, и найти дисперсию такой
моды.
∙ Задача 5:
Рассмотрите распространение поверхностного плазмона вдоль бесконечной плоской
границы металл-диэлектрик. Проницаемость диэлектрической среды считать единицей. Проницаемость металлической среды имеет вид (2.1) c
∙
Найдите закон дисперсии для поверхностных плазмонов в терминах абстрактной зависимости
∙
𝛾 ≪ 𝜔𝑝 .
𝜀(𝜔).
Определите условие существования поверхностных плазмонных мод в терминах абстрактной зависимости
𝜀(𝜔)
и в терминах модели (2.1).
∙
Определите пространственную структуру электромагнитного поля в плоской поверх′′
ностно-плазмонной волне, для простоты предполагая отсутствие потерь, 𝜀 = 0.
∙
Определите пространственную структуру плотности потока энергии в плоской поверхностно-плазмонной волне, предполагая потери малыми, но не нулевыми (волна возбуждается на некоторой плоскости, нормальной к плоскости раздела металл-диэлектрик,
и распространяется от неё). Найдите полный поток энергии в каждой из двух сред, и,
наконец, полный поток энергии по всему сечению.
∙ Задача 6:
Пусть имеется электрическая цепь с индуктивностью и активным сопротивлением.
При полном пренебрежении эффектами запаздывания внутри цепи можно написать известную из
курса общей физики связь между током и ЭДС. Найдите поправки к индуктивности и сопротивлению
не пренебрегая запаздыванием, но считая, что выполняется квазистационарный закон Ома (связь
между плотностью тока и полем), и что ток в каждый момент времени одинаков вдоль всей цепи.
Дать интерпретацию полученным результатам, в частности, разложению по степеням частоты.
∙ Задача 7:
Найти сечение взаимодействия бесконечного цилиндра с волной, падающей нор-
мально к его оси. Рассмотреть случаи разных поляризаций. Отдельно рассмотреть случай длинных
волн (длинной, много большей чем радиус цилиндра).
∙ Задача 8:
Рассмотрите нелинейной уравнение Шредингера (НУШ)
[︂
]︂
𝛽2 2
𝜕 Φ = 𝛾|Φ|2 Φ,
−𝑖𝜕𝑧 +
2 𝑡
в котором коэффициент нелинейности положителен,
Φ = Φ(𝑡, 𝑥),
(2.3)
𝛾 > 0, а коэффициент второй дисперсии 𝛽2
для
может быть как положительным, так и отрицательным. В этом уравнении эволюция волнового пакета происходит вдоль координаты
от координаты
∙
𝑡,
𝑧,
тогда как форма волнового пакета описывается зависимостью
см. Пункт 4.1.2.4.
Плоские волны
exp(𝑖𝑘𝑧 − 𝑖𝜔𝑡)
по прежнему являются решением уравнения, как и в
линейном пределе. Исследуйте, как зависит дисперсия плоских волн
мости от волнового числа и интенсивности
∙
𝑘(𝜔, 𝑃 )
в зависи-
𝑃.
Рассмотрите устойчивость плоских волн на плоскости двух параметров – второй дис-
𝛽2 и мощности волны 𝑃 . Для этого надо рассмотреть начальные условия Φ𝜔,𝑃 (1+
𝜖), где Φ𝜔,𝑃 (𝑧, 𝑡) – решение для плоской волны, а 𝜖(𝑧, 𝑡) – произвольная малая добавка;
после этого надо установить линеаризованное уравнение на добавку 𝜖 и рассмотреть её
эволюцию по координате 𝑧 . В каких областях волна оказывается устойчивой (т.е. при
любом начальном 𝜖0 (𝑡) 𝜖(𝑧, 𝑡) не растёт по амплитуде по времени), а в каких нет?
персии
13
Глава 3
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В СРЕДЕ
§3.1. Уравнения Максвелла
среда под действием электромагнитного поля приобретает ненулевую поляризацию. Поэтому мы вводим переобозначение
Литература: [12, 13]
В пустоте уравнения Максвелла имеют вид
rot h =
1 𝜕e 4𝜋
+
j
𝑐 𝜕𝑡
𝑐
rot e =
−
div e =
4𝜋𝜌
div h =
0.
1 𝜕h
𝑐 𝜕𝑡
𝜌med
(3.1)
3.1.1
Разделение на составляющие плотности заряда 𝜌 и плотности тока j.
Исследуя распространения электромагнитного поля в
среде, удобно записывать уравнения Максвелла (3.1) в
изменённой форме.
Под действием проникновении в среду электромагнитного поля в ней начинают циркулировать токи: в
общем случае у среды появляются ненулевые объёмные
электрическая и поляризация поляризации. Величины
этих токов определяется самим электромагнитным полем и свойствами среды.
Кроме того, в принципе в среде могут быть и посторонние заряды, которые при движении также создают
электрический токи. Происхождение посторонних зарядов лежит определяет на свойствами среды, а внешними
условиями.
При написании уравнений Максвелла в среде принято разделять заряды и токи, на заряды и токи, которые являются результатом отклика среды на электромагнитное поле и на внешние заряды и токи:
𝜌
= 𝜌med + 𝜌ext ,
(3.2)
j = jmed + jext
3.1.2
Плотность заряда 𝜌.
Ненулевая плотность зарядов 𝜌med , появляющихся при
отклике среды на электромагнитное поле, означает, что
(3.3)
Вследствие изначальной электро-нейтральности среды
интеграл по объёму от величины 𝜌𝑝 равен нулю.
3.1.3
Здесь e – напряжённость электрического поля, h –
напряжённость магнитного поля, 𝜌 – плотность электрического заряда, а j – плотность электрического тока.
≡ 𝜌p .
Разделение на составляющие плотности тока j.
Электрический ток jmed , в отличие от поляризационных зарядов 𝜌p , имеет более сложную структуру. Дело
в том, что часть тока среды jmed является чисто соленоидальным и не приводит к появлению поляризационных
зарядов, но приводит, с другой стороны, к возбуждению
дополнительного магнитного поля. Выделим в электрическом токе два вклада:
jmed
= j𝑝 + j𝑚 ,
(3.4)
Вклад j𝑝 появляется из-за движения поляризационных зарядов. Введём поле P, которое задаёт дипольный момент единицы объёма среды. Поле P связано с
плотностью 𝜌𝑑 и током j𝑑 уравнениями
𝜌𝑝 = − div P,
𝜕 𝑡 P = j𝑝 .
Второй вклад jm возникает из-за движения зарядов
внутри атомов или элементарных ячеек среды. Природа
jm отличается от jp тем, что в jm вносит вклад орбитальное движение электронов в элементарных ячейках.
В токе jm нет дивергентной составляющей, поскольку
дивергентную составляющую мы выделили в токе jp .
Поэтому ток jm представляется в виде
j𝑚
=
𝑐 rot M.
Если ограничиться этим определением величины M,
то она оказывается не полностью зафиксированной, поскольку к ней можно добавить градиент любой скалярной величины при неизменном токе jm . Удобно зафиксировать M, положив эту величину равной магнитному моменту единицы объёма. Это становится осмысленным, если понимать материальные уравнения в усреднённом смысле, а именно, на масштабах много больших
размера ячейки среды.
Глава 3. Уравнения Максвелла в среде
14
Отметим, что в общем случае разделение тока среды
(3.4) является неоднозначным с математической точки
зрения. Поэтому при произведении разделения (3.4) надо пользоваться физическими соображениями.
уравнения (3.1-3.1) можно переписать в виде
rot H
=
1 𝜕D 4𝜋
+
jext
𝑐 𝜕𝑡
𝑐
rot E = −
3.1.3.1
Аналогия между поляризацией
нитным моментом M
P и магdiv D
Отметим, что аналогия между поляризацией P и магнитным моментом M становится буквальной только на
расстояниях, больших по сравнению с размерами образца. Действительно, для нахождения поля, создаваемого
образцом на больших расстояниях от него, образец
мож´
но заменить на электрический диполь D = dr P(r) (ес´ли 3нет свободных зарядов) и магнитный диполь ℳ =
d r M(r) (интегрирование происходит по всему объему образца), что следует, в частности, из пункта 13.1.1.
Эта аналогия между P и M теряется на расстояниях, меньше или порядка размеров образца. Например,
div M не есть плотность магнитных зарядов.
3.1.3.2
Получение
Максвелла
материальных
уравнений
Теперь усредним поля E, H, P и M на расстояниях,
много больших межатомного расстояния в среде. Введём электрическое поле E, поле электрической индукции D, магнитное поле H и поле магнитной индукции
B согласно равенствам
E = ⟨e⟩,
B = ⟨h⟩,
D
H
= E + 4𝜋⟨P⟩
= B − 4𝜋⟨M⟩.
(3.5)
Угловые скобки обозначают усреднение по расстояниям, иного большим межатомных. В дальнейшем под P
и M мы будем понимать усреднённые ⟨P⟩ и ⟨M⟩. Тогда
=
div B =
1 𝜕B
𝑐 𝜕𝑡
(𝑎)
(𝑏)
4𝜋𝜌ext
(𝑐)
0.
(𝑑)
(3.6)
К уравнениям (3.6) нужно добавить связь между полями H, B и E, D, иначе нет выгоды от произведённого
разделения зарядов и токов.
3.1.4
Граничные условия
Пусть есть граница раздела, на которой меняются скачком свойства среды. Кроме того, вдоль границы раздела может течь поверхностный ток iext и на ней может
находиться ненулевая плотность заряда 𝜎ext : эти величины являются частями величин jext и 𝜌ext соответственно, сконцентрированными на поверхности раздела. Обозначим единичную нормаль к поверхности 𝑛𝑖 .
Примем соглашение, что нормаль направлена из среды
с номером 1 в среду с номером 2. Разность значения
произвольной величины 𝑓 на разных сторонах границы раздела, а именно разность ”2−1”, будем обозначать
как ⌊𝑓 ⌋. Тогда из уравнений (3.6) следует
⌊︁
⌋︁
[n · H]
= 4𝜋iext
from eq. (3.6,a)
⌊︁
⌋︁
[n · E]
=
0
from eq. (3.6,b)
(3.7)
⌊︁
⌋︁
(n · D)
=
4𝜋𝜎ext
from eq. (3.6,c)
⌊︁
⌋︁
(n · B)
=
0
from eq. (3.6,d).
15
Глава 4
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ВОЛН
§4.1. Плоская электромагнитная волна
Эволюция электромагнитного поля в неограниченной однородной среде с линейным откликом описывается системой уравнений Максвелла
1
rot E = − 𝜕𝑡 𝜇
^H,
𝑐
1
rot H = 𝜕𝑡 𝜀^E,
𝑐
(4.1)
где диэлектрическая проницаемость 𝜀^ и магнитная восприимчивость 𝜇
^ в общем случае являются тензорами
второго ранга.
Рассмотрим распространение плоской монохроматической электромагнитной волны. Для этого положим,
что электромагнитное поле зависит от времени и координат как exp(𝑖k𝑟 − 𝑖𝜔𝑡). В результате исключения
магнитного поля, получаем уравнение
)︂
(︂
1
E𝜔,k = 0.
(4.2)
rot 𝜇
^−1 rot − 2 𝜕𝑡2 𝜀^
𝑐
𝜔,k
В частном случае, когда среда не магнитная, так что
магнитная восприимчивость равна единице, 𝜇
^ = 1, это
уравнение упрощается до
(︂
)︂
𝜔2
2 𝑖𝑘
𝑖 𝑘
𝑖𝑘
𝑘 𝛿 − 𝑘 𝑘 − 𝜀 (k, 𝜔) 2 𝐸 𝑘 = 0.
(4.3)
𝑐
Для изотропной среды можно сразу воспользоваться
условием div E = 0, что упрощает уравнение до вида
𝑘2 − 𝜀 𝜇
4.1.1
𝜔2
𝑐2
=
0,
(k · E) = 0.
(4.4)
Монохроматическая волна в изотропной среде
В общем случае при действительной частоте волновой
вектор волны оказывается комплексным. Разделим его
действительную и мнимую части, представим волновой
вектор волны в виде
k
(4.5)
= k′ + 𝑖k′′ ,
где k′ и k′′ – действительные векторы. Разделяя действительную и мнимую части в (4.4), получаем систему
уравнений
2
2
𝑘 ′ − 𝑘 ′′ =
𝜔2
Re[𝜀𝜇],
𝑐2
2k′ k′′ =
𝜔2
Im[𝜀𝜇].
𝑐2
(4.6)
4.1.1.1
Распространяющаяся плоская монохроматическая волна
Чаще всего под плоской волной подразумевают волну,
в которой поле зависит только от одной координаты,
так что k′ ‖ k′′ . В этом случае мнимая часть волнового
вектора определяется равенством
𝜔
√
Im 𝜀𝜇.
(4.7)
𝑘 ′′ =
𝑐
Величина 𝛿 = 1/𝑘 ′′ есть глубина проникновения волны
в среду, на этой длине интенсивность волны падает в 𝑒2
раз.
Можно ввести действительный единичный вектор n,
сонаправленный волновому вектору k. Из уравнений
Максвелла получаем, что связь между компонентами
электрического и магнитного поля задаётся равенствами
[n, E] = 𝑍H,
(n + 𝑖k)[n, E] = B,
(4.8)
√︀
где 𝑍 = 𝜇/𝜀 называется волновым импедансом, а n+𝑖k
– комплексный показатель преломления, см. (4.9). Если
𝜀 и 𝜇 действительны, то это равенство справедливо не
только для комплексных амплитуд, но и для самих действительных полей, см., например, Рис. 4.1. Если среда немагнитная, 𝜇 = 1, то волновой импеданс равен
обратному комплексному коэффициенту преломления,
𝑍 = (n + 𝑖k)−1 .
Для
описания распространения волн в среде вместо непосредственно 𝜀 и 𝜇 (которое, будучи комплексными, содержат в себе 4 действительных параметра) часто выбирают пару действительных параметров – показатель
преломления n (refractive index, или index of refraction)
и показатель поглощения (extinction coefficient) k, которые определяются через формулу
√
𝜀𝜇.
(4.9)
n + 𝑖k =
Показатели преломления и поглощения
Полное комплексное число n + 𝑖k называется комплексным показателем преломления (complex refractive
index). Особенно такая параметризация удобна, если известно, что среда немагнитная, т.е. 𝜇 = 1. Тогда по n и
k можно однозначно восстановить 𝜀.
В частности, длина волны в среде 𝜆 и глубина проникновения 𝛿 (penetration depth) равны
𝜆=
2𝜋
𝜆0
=
,
𝑘′
n
𝛿=
1
𝜆0
n 𝜆
=
=
,
2𝑘 ′′
4𝜋k
k 4𝜋
(4.10)
Глава 4. Распространение линейных волн
где 𝜆0 = 2𝜋𝑐/𝜔 – длина волны в вакууме на данной частоте. В определении 𝛿 мы добавили фактор 2,
при таком определении интенсивность, пропорциональная квадрату амплитуды поля, на расстоянии 𝛿 падает
−1
в 𝑒 раз; обратная величина 𝛼 = 1/𝛿 [см ] называется коэффициентом поглощения (absorption (attenuation)
coefficient). Если k ≪ n, то волна по мере распространения в среде успевает претерпеть много пространственных колебаний, прежде чем заметно ослабеть по интенсивности; в этом случае среда называется прозрачной.
------------------------------------------
16
4.1.2.1
Выделение огибающей
Рассмотрим волновой пакет и введём понятие огибающей. Любое поле, скажем, электрическое, можно представить в частотно-пространственном представлении,
E(𝑡, 𝑟)
+∞
ˆ
(d𝜔) E𝜔 (𝑟) 𝑒−𝑖𝜔𝑡 ,
=
(4.11)
−∞
где в силу вещественности поля E(𝑡) выполняется
E−𝜔 = E*𝜔 . Почти монохроматичность означает, что характерное время изменения временно́й огибающей Ẽ(𝑡)
Ẽ(𝑡)
=
+∞
ˆ
(d𝜔) 𝐸𝜔 𝑒−𝑖(𝜔−𝜔0 )𝑡 ,
(4.12)
0
E(𝑡)
= Ẽ(𝑡) 𝑒−𝑖𝜔0 𝑡 + Ẽ* (𝑡) 𝑒𝑖𝜔0 𝑡 = 2 Re[Ẽ(𝑡) 𝑒−𝑖𝜔0 𝑡 ]
˜*
E𝜔 (𝑟) = Ẽ𝜔−𝜔0 (𝑟) + 𝐸
𝜔+𝜔0 (𝑟)
Рис. 4.1 Электромагнитное поле в линейно поляризованной плоской волне в случае прозрачной среды.
------------------------------------------
является большим по сравнению с периодом колебания
поля 2𝜋/𝜔0 . Как следует из определения, огибающая
имеет только положительные Фурье-гармоники, в том
смысле, что Ẽ𝜔<𝜔0 = 0 (Фурье-образ огибающей определяется аналогично (4.11)). Время изменения огибающей Ẽ(𝑡) оценивается как 1/Δ𝜔 , где Δ𝜔 – характерная
частота, на которой убывает ẼΔ𝜔 ; она называется спектральной шириной пакета. Почти монохроматичность
волнового пакета означает, что
Δ𝜔 ≪ 𝜔0 .
Виды поляризаций плоской волны
4.1.2
Распространение волнового пакета
в среде с дисперсией
Волновым пакетом называется такая волна, распределение поля в которой слабо отличается от распределения
поля в монохроматической волне с некоторой частотой
𝜔0 и волновым вектором k0 , которые связаны между
собой законом дисперсии в среде,
𝜔0 = 𝜔0 (k0 )
Для волнового пакета называются 𝜔0 называется несущей частотой, а k0 – несущим волновым вектором. Таким образом, динамика поля в волновом пакете в первом приближении такая же, как и динамика поля в монохроматической волне. Тем не менее, обычно представляет интерес слабое отличие от этой динамики, которое
возникает из-за слабого отличия волнового пакета от
плоской волны (его слабой немонохроматичности). При
этом часто оказывается удобным рассматривать волновой пакет как единое целое, не раскладывая его заранее
по плоским волнам.
Если все волны в пакете распространяются почти
в одну сторону, то можно ввести вместо временно́й
пространственно-временну́ю огибающую. Электрическое поле в частотно-волновом представлении определяется согласно равенству
ˆ∞
ˆ∞
(d𝜔) E𝜔,k exp{−𝑖𝜔𝑡+𝑖k𝑟}, (4.13)
3
E(𝑡, 𝑟) =
(d 𝑘)
−∞
−∞
где например, (d𝑘) ≡ d𝑘/2𝜋 . По аналогии с (4.12) представим Фурье-компоненту электрического поля в виде
E𝜔,k
=
Φk−k0 ,𝜔−𝜔0 + Φ*k+k0 ,𝜔+𝜔0 ,
E(𝑡, 𝑟)
=
[︀
]︀
2 Re 𝑒−𝑖𝜔0 𝑡+𝑖k0 𝑟 Φ(𝑡, 𝑟) ,
где Фурье-образ огибающей Φ𝜔,𝑘 имеет один максимум
при нулевых значениях волнового вектора и частоты, и
убывает на 𝑘 ∼ Δ𝑘 , 𝜔 ∼ Δ𝜔 . В силу нашего предположения о том, что все волны в волновом пакете распространяются почти в одну сторону. ширина по волновому
вектору также должна быть малой, так что
Δ𝑘 ≪ 𝑘0 .
17
4.1.2.2
Волновое уравнение на электрическое
поле.
Для простоты изложения рассмотрим распространение
плоского волнового пакета в фиксированной поляризацией. Тогда электрическое поле 𝐸(𝑡, 𝑧) можно представить скалярной величиной, где 𝑧 – координата вдоль
направления распространения волны, а 𝑡 – время.
Волновое уравнение, учитывающее временну́ю дисперсию среды, имеет вид
ˆ∞
d𝑡′ 𝜀(𝑡′ ) 𝐸(𝑡 − 𝑡′ ) − 𝑓 (𝑡, 𝑧)
𝜕𝑧2 𝐸 = 𝜕𝑡2
(4.14)
где групповая скорость
𝑣g =
d𝜔
1
≡
.
d𝛽
𝛽1
В англоязычной литературе также используется параметр group index 𝑛g , который определяется как
ng = 𝑛 − 𝜆
d𝑛
,
d𝜆
𝑣g =
𝑐
.
𝑛g
(4.18)
В силу волнового уравнения неопределённости в волновом векторе Δ𝑘 и Δ𝜔 связаны между собой через
групповую скорость, так что верна оценка
0
Для краткости записи мы приняли, что магнитная восприимчивость равна единице, 𝜇 = 1, что в данном случае не ограничивает общности рассуждений. Сила 𝑓 играет роль внешнего источника, возбуждающего волну;
свободное электромагнитное поле соответствует 𝑓 = 0.
В частности, в силу 𝑓 можно включить нелинейную по
электрическому полю часть поляризации 𝑃 𝑁 𝐿 , положив
таким образом 𝑓 = 4𝜋𝜕𝑡2 𝑃 𝑁 𝐿 . В Фурье-представлении
уравнение (4.14) переписывается в виде
(︀ 2
)︀
𝑘 − 𝛽 2 (𝜔) 𝐸𝜔,𝑘 = 𝑓𝜔,𝑘 ,
(4.15)
где волновой вектор определяется дисперсионным соотношением
2
𝛽 (𝜔)
2
= 𝜀(𝜔) 𝜔 .
Для определённости мы предполагаем, что волна распространяется в право, так что следует выбирать решение Re 𝛽 > 0.
Вследствие того, что спектральная ширина рассматриваемых импульсов мала, нам не нужно знать всю зависимость 𝛽(𝜔) волнового вектора от частоты, а необходимо знать только несколько первых производных на
несущей частоте 𝜔 = 𝜔0 . Приняты следующие обозначение для этих производных:
𝛽𝑚
=
d𝑚 𝛽
.
d𝜔 𝑚
Δ𝜔
∼ 𝑣g Δ𝑘.
Групповая скорость, как будет показано ниже, определяет скорость движения волнового пакета.
Параметр 𝛽2 называется дисперсией групповой скорости, в англоязычной литературе – group delay dispersion. Если на интересующей частоте он положителен, 𝛽2 > 0, то говорят о нормальной
дисперсии (normal dispersion). Если 𝛽2 < 0, говорят об
аномальной дисперсии (anomalous dispersion).
Часто вместо коэффициента 𝛽2 пользуются другим
коэффициентом
Вторая дисперсия.
𝐷
=
d𝛽1
2𝜋𝑐
𝜆 d2 𝑛
= − 2 𝛽2 = −
,
d𝜆
𝜆
𝑐 d𝜆2
(4.19)
называемым коэффициентом хроматической дисперсией (group delay parameter). Как будет показано ниже,
дисперсия групповой скорости определяет скорость расплывания волнового пакета.
4.1.2.3
Волновое уравнение на огибающую
Запишем волновое уравнение (4.15) в терминах огибающей Φ:
[︁
(︀
)︀2 ]︁
(𝑘0 − 𝑖𝜕𝑧 )2 − 𝛽(𝜔0 + 𝑖𝜕𝑡 )
Φ(𝑡, 𝑧) = 𝑓+ ,
(4.20)
где мы у силы 𝑓 выделили огибающую 𝑓+ ,
Фазовая скорость 𝑣ph показывает, с какой скоростью движется гребень монохроматической волны:
𝜔0
𝑣ph =
= n𝑐,
(4.16)
𝑘0
Фазовая скорость.
где n – коэффициент преломления.
𝑓 = 2 Re[𝑓+ (𝑡, 𝑧) exp(−𝑖𝜔0 𝑡 + 𝑖𝑘0 𝑧)],
предполагая, что в Фурье-представлении 𝑓𝜔,𝑘 имеет узкие максимумы там же, где и 𝐸𝜔,𝑘 . При получении уравнения (4.20) мы пользовались соотношениями типа
𝜕𝑧 𝑒𝑖𝑘0 𝑧 Φ(𝑧) = 𝑒𝑖𝑘0 𝑧 (𝑖𝑘0 + 𝜕𝑧 )Φ(𝑧),
𝛽(𝑖𝜕𝑡 ) 𝑒−𝑖𝜔0 𝑡 Φ(𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔0 𝑡 𝛽(𝜔0 + 𝑖𝜕𝑡 ) Φ(𝑡),
Если мы удержим в дисперсии 𝛽(𝜔) только первую производную по частоте, то
𝛽(𝜔) представляется в виде
Групповая скорость.
𝛽(𝜔)
=
𝑘0 +
𝜔 − 𝜔0
,
𝑣g
(4.17)
Φ(𝑡 − 𝜏 ) = 𝑒−𝜏 𝜕𝑡 Φ(𝑡).
В силу узости спектральной ширины волнового пакета,
производные по времени и координате в (4.20) следует
воспринимать как малые поправки к 𝜔0 и 𝑘0 соответственно.
Глава 4. Распространение линейных волн
Разложимся до первого порядка по этим поправкам
и положим внешний источник нулём, 𝑓 = 0. В результате получим уравнение
(𝑣g 𝜕𝑧 + 𝜕𝑡 )Φ(𝑡, 𝑧) = 0.
Уравнение удовлетворяется, если огибающая зависит от
времени и координаты только через комбинацию 𝑧 −𝑣g 𝑡,
то есть Φ = Φ(𝑧 − 𝑣g 𝑡). Таким образом, в этом, первом,
приближении мы установили, что волновой пакет двигается в право со групповой скоростью 𝑣g (4.17).
Тем не менее, сделанное приближение не улавливает
изменения формы огибающей со временем. Поэтому наша цель – переписать волновое уравнение (4.20) в таком
виде, который был бы удобен для описания эволюции
волнового пакета. Для этого от лабораторной системы
координат {𝑡, 𝑧} имеет смысл перейти в такую систему координат, у которой одной из координат является
комбинация 𝑧 − 𝑣g 𝑡; так мы будем рассматривать волновые пакеты, двигающиеся ‘в право’, то есть в сторону
увеличения координаты 𝑧 и исключим их равномерное
движение с групповой скоростью 𝑣g . Вторая координата может быть выбрана в виде суммы исходных координат 𝑧, 𝑡 с произвольными коэффициентами, конкретный
выбор которых зависит от физической постановки задачи. Мы рассмотрим два варианта: сопровождающую
систему координат, см. Пункт 4.1.2.5, и лабораторную
запаздывающую систему координат, см. Пункт 4.1.2.4.
4.1.2.4
Переход в лабораторную запаздывающую систему координат
Лабораторная запаздывающая система координат
{𝑧new , 𝑡ret } определяется согласно равенствам:
𝑡ret = 𝑡 − 𝑧/𝑣g ,
𝑧new = 𝑧.
Смысл введённых новых координат следующий. Мы
фиксируем положение приёмника, иными словами, координату 𝑧new . Время же мы начинаем отсчитывать не
от абсолютного значения, а от момента, когда в точку
расположения приёмника придёт импульс, распространяющийся со скоростью 𝑣g и пущенный из начала координат в нулевой момент времени по абсолютному его
отсчёту. В итоге получаем, что форма волнового пакета
определяется зависимостью огибающей от 𝑡ret при фиксированном 𝑧new , тогда как его эволюция происходит с
ростом координаты 𝑧new . Стоит также также заметить,
что при выводе уравнения типа (4.23), описывающего
эволюцию волнового пакета, удобно записывать закон
дисперсии в виде 𝛽 = 𝛽(𝜔).
При такой замене переменных частные производные
по 𝑧new и 𝑡 преобразуются по закону
𝜕
𝜕
𝜕
1 𝜕
𝜕
=
,
=
−
𝜕𝑡
𝜕𝑡ret
𝜕𝑧
𝜕𝑧new
𝑣g 𝜕𝑡ret
Перепишем (4.20) в лабораторной запаздывающей системе координат, разложившись до второго порядка малости по ширине волнового пакета:
(︃
)︃
(︂
)︂2
𝜕
𝜕
−2𝑖𝑘0
+ 𝑘0 𝛽2
+ . . . Φ = 𝑓+ ,
(4.21)
𝜕𝑧new
𝜕𝑡ret
18
где многоточием обозначены вклады, пропорциональные перекрёстной производной по 𝑧new , 𝑡ret и второй
производной по 𝑧new .
Характерное значение частных производных по
координате и запаздывающему времени.
Харак-
терная величина производной по времени оценивается
как
𝜕
∼ Δ𝜔 ∼ 𝑣g Δ𝑘.
𝜕𝑡ret
Переход от простого времени к запаздывающему приводит к тому, что в волновом уравнении на Φ𝜔,𝑘 исключается первая производная по времени, тогда как первая
производная по координате 𝑧 не исчезает. Вследствие
этого, оценкой для производной по координате является
(︂
)︂2
Δ𝑘
1
𝜕
𝜕
𝜕
∼
∼
Δ𝑘 ≪
.
(4.22)
𝑣g
𝑧new
𝑣g 𝜕𝑡ret
𝑘0
𝜕𝑡ret
Уравнение на импульс в лабораторной запаздывающей системе отсчёта.
Таким образом, уравне-
ние на огибающую в лабораторной запаздывающей системе отсчёта приобретает вид уравнения Шредингера:
[︂
]︂
𝛽2 2
1
−𝑖𝜕𝑧 +
𝜕𝑡 Φ =
𝑓+ .
(4.23)
2
2𝑘0
При получении (4.23) мы пренебрегли в (4.21) высшими поправками по ширине импульса в соответствии с
оценкой (4.22) (эти поправки были уже скрыты многоточием). Мы также опустили индексы ‘new’ и ‘ret’ у координаты и запаздывающего времени.
4.1.2.5
Сопровождающая (движущаяся) система координат
Сопровождающая система координат {𝑡new , 𝑧rel }
𝑡new = 𝑡,
𝑧rel = 𝑧 − 𝑣g 𝑡 = −𝑣g 𝑡ret
является более интуитивно понятной: в этой системе
координат мы наблюдаем изменение со временем пространственной структуры волнового пакета, двигаясь
вместе с пакетом с групповой скоростью 𝑣g . При использовании сопровождающей системы координат, наоборот,
удобно записывать закон дисперсии в виде 𝜔 = 𝜔(𝛽).
Вторые производные преобразуются по правилам
𝜕
𝜕
𝜕
=
− 𝑣g
,
𝜕𝑡
𝜕𝑡new
𝜕𝑧rel
𝜕
𝜕
=
.
𝜕𝑧
𝜕𝑧rel
Проделывая ту же процедуру, что и в Пункте 4.1.2.4,
приходим к уравнению
[︃
]︃
𝑣g3 𝛽2 2
𝑣g
−𝑖𝜕𝑡 +
𝜕 Ψ =
𝑓+ ,
(4.24)
2 𝑧
2𝑘0
аналогичному уравнению (4.23). В главном порядке по
ширине пакета, как мы видим, уравнения (4.23,4.24) отличаются с точностью до простых замен 𝑣g 𝑡new ↔ 𝑧new
и 𝑣g 𝑡ret ↔ −𝑧rel .
19
§4.2. Магнитооптика
Рассмотрим среду, которая является изотропной в
состоянии покоя. В частности, в состоянии покоя тензор
диэлектрической проницаемости среды пропорционален
единичной матрице. Наложим внешнее постоянной магнитное поле на эту среду. В результате изотропия окажется нарушенной, поскольку в среде теперь есть выделенное направление – направление магнитного поля.
вдоль магнитного поля, компонента электромагнитной
индукции 𝐷𝑧 = 0. В силу вида тензора диэлектрической
проницаемости (4.25) электрическое поле волны также
направлено нормально к полю. Поэтому волновое уравнение (4.3) для нашего частного случая переписывается
в виде
[︀(︀
]︀
)︀
(𝑐𝑘)2 − 𝜔 2 𝜀𝑡 𝛿 𝑖𝑘 − 𝑖𝜔 2 𝜀𝑎 𝐻0 𝜖𝑖𝑘 𝐸 𝑘 = 0,
(4.26)
4.2.1
где единичный антисимметричный тензор определён согласно равенствам 𝜖𝑖𝑘 = −𝜖𝑘𝑖 , 𝜖12 = 1. Решением этого уравнения являются две круговые поляризации 𝐸𝜔± ,
распространяющиеся с волновыми векторами 𝑘± :
(︂ )︂
1
𝜔 √︀
𝜀𝑡 ± 𝐻0 𝜀𝑎 .
(4.27)
E𝜔± ∝
,
𝑘± =
𝑐
∓𝑖
Феноменология
Предположим, что среда в отсутствии магнитного поля при интересующих нас частотах является прозрачной. Тогда можно ожидать, что при наложении магнитного поля среда по-прежнему останется прозрачной. В
этом случае диэлектрическая проницаемость 𝜀𝑖𝑗 в присутствии магнитного поля имеет следующую структуру
(︀
)︀
𝜀𝑖𝑗 = 𝜀𝑡 𝛿 𝑖𝑗 − ℎ𝑖 ℎ𝑗 + 𝜀𝑙 ℎ𝑖 ℎ𝑗 + 𝑖𝜀𝑎 𝜖𝑖𝑗𝑘 𝐻 𝑘 ,
(4.25)
где коэффициенты 𝜀𝑡 , 𝜀𝑙 и 𝜀𝑎 являются функциями
квадрата магнитного поля 𝐻 2 , а единичный вектор ℎ𝑖 =
𝐻 𝑖 /𝐻 направлен вдоль постоянного магнитного поля
(таким образом, размерность 𝜀𝑎 отлична от размерностей 𝜀𝑡,𝑙 ). Вид (4.25) продиктован обобщённым принципом симметрии кинетических коэффициентов (см.
Пункт 7.1.4)
𝜀𝑗𝑖 (−H) = 𝜀𝑖𝑗 (H)
и предположением об отсутствии диссипации, которое
выражается условием (5.33):
𝜀*𝑗𝑖
= 𝜀𝑖𝑗 .
При этом в записи (4.25) мы выделили чётную и нечётную по магнитному полю части.
4.2.2
Эффект Фарадея
Продольный магнитооптический эффект Фарадея заключается в том, что линейно поляризованный свет,
распространяющей вдоль магнитного поля, испытывает вращение плоскости поляризации при прохождении
через среду, обладавшую изотропией в отсутствии магнитного поля. Это означает, что две круговые поляризации света распространяются с разными фазовыми скоростями.
Найдём связь этих эффектов с константами 𝜀𝑡 и
𝜀𝑎 . Направим ось 𝑂𝑧 декартовой системы координат по
магнитному полю H0 . Для волны, распространяющейся
где для вектора поляризации приведены только 𝑥𝑦 компоненты.
Если исходно (в точке 𝑧 = 0) поляризация поля была
линейной и направленной по оси 𝑂𝑥, то в ходе распространения волны получаем, что её поляризация меняется согласно закону
(︂ )︂
(︂ )︂
1
1 𝑖𝑘− 𝑧
𝑖𝑘+ 𝑧
E𝜔 (𝑧) ∝
𝑒
+
𝑒
∝
−𝑖
𝑖
(︂
)︂
cos(𝛿𝑘 𝑧)
∝ 𝑒𝑖𝑘𝑧
,
(4.28)
sin(𝛿𝑘 𝑧)
где средний волновой вектор 𝑘 = (𝑘+ +𝑘− )/2, а разность
волновых векторов 𝛿𝑘 = (𝑘+ − 𝑘− )/2. Таким образом,
поляризация линейно поляризованного света действительно поворачивается в процессе прохождения через
рассматриваемую среду.
При относительно слабом магнитном поле можно
считать, что антисимметричная добавка в тензор диэлектрической проницаемости мала, 𝐻0 𝜀𝑎 ≪ 𝜀𝑡 , а сама
величина 𝜀𝑡 слабо отличается от величины диэлектрической проницаемости 𝜀0 в отсутствие магнитного поля.
Тогда обратный период поворота вектора поляризации
даётся выражением,
𝛿𝑘
=
𝜔 𝜀 𝑎 𝐻0
√ .
𝑐 2 𝜀0
(4.29)
Если справедливо предположение, что при уменьшении
магнитного поля 𝜀𝑎 стремится к постоянному значению,
то из (4.29) следует, что период поворота вектора поляризации волны обратно пропорционален магнитному
полю.
Глава 4. Распространение линейных волн
20
§4.3. Трансформационная оптика
Пусть 𝜉 𝜇 , где {𝜇, 𝜈, 𝜆, . . .} = {1, 2, 3} – некоторые
криволинейные координаты. Индексами 𝑖, 𝑗, 𝑘, . . . попрежнему будем обозначать декартовы координаты.
Уравнения Максвелла, записанные в инвариантной
форме, имеют вид
E𝜇𝜈𝜆 𝜕𝜈 𝐻𝜆
=
1 𝜇𝜈
𝜕𝑡 𝜀 𝐸𝜈 ,
𝑐
(4.30)
E𝜇𝜈𝜆 ∇𝜈 𝐸 𝜆
=
1
− 𝜕𝑡 𝜇𝜇𝜈 𝐻 𝜈 ,
𝑐
(4.31)
где E𝜇𝜈𝜆 и E𝜇𝜈𝜆 – абсолютно антисимметричные контравариантный и ковариантный тензора, которые в декартовых координатах равны символу Леви-Чивиты 𝜖𝑖𝑗𝑘 .
Мы специально записали эти два уравнения Максвелла
в разных формах, чтобы показать возможные варианты.
4.3.1
Трансформационная оптика в ортогональных криволинейных координатах
где 𝑎 > 𝑏. Таким образом, те точки, которые заполняют
всю внутренность сферы радиуса 𝑏 в {𝑟′ , 𝜃, 𝜙}, соответствуют всего лишь слою 𝑎 < 𝑟 < 𝑏 в реальности. При
𝑟 > 𝑏 системы координат совпадают. Поставленные нами требования будут выполняться, если будет реализована концепция трансформационной оптики: при правильных свойствах слоя 𝑎 < 𝑟 < 𝑏 уравнения Максвелла
в координатах {𝑟′ , 𝜃, 𝜙} должны записываться в виде,
как если бы эта система координат была бы сферической (будем её называть мнимой сферической системой
координат). Тогда лучи будут идти примерно так, как
показано на Рис. 4.2.
Все величины, записанные для системы координат
{𝑟′ , 𝜃, 𝜙} будем снабжать штрихом; в частности, коэффициенты Ламе 𝑞𝜇′ равны
𝑞𝑟′ =
𝑏
,
𝑏−𝑎
𝑞𝜃′ = 𝑟,
𝑞𝜙′ = 𝑟 sin 𝜃.
(4.34)
Коэффициенты Ламе 𝑞𝜇 соответствуют сферической системе координат.
------------------------------------------
В ортогональных криволинейных координатах уравнения Максвелла могут быть упрощены. Для того, чтобы
в дальнейшем применить концепцию трансформационной оптики, которая изменяет метрику координатной
системы, следует использовать форму записи (4.30), поскольку в этом случае в уравнение явно не входит символ Кристоффеля, и таким образом зависимость уравнения от метрики объединяется с зависимостью от тензоров 𝜀^, 𝜇
^. Предположим также, что тензора 𝜀^ и 𝜇
^ имеют
диагональный вид в выбранных криволинейных координатах. Тогда уравнение Максвелла имеет вид
𝜖𝜇𝜈𝜆 𝜕𝜈 𝐻𝜆 =
1 𝑞1 𝑞2 𝑞3
𝜕𝑡 𝜀𝜇 𝐸𝜇
𝑐 𝑞𝜇2
(4.32)
где в правой части уравнения нет суммирования по 𝜇, 𝜀𝜇
– диагональный элемент матрицы диэлектрической проницаемости в ортонормированной системе координат, а
𝑞𝜇 – коэффициенты Ламе.
В качестве примера возьмём сферически симметричную задачу, см. Рис. 4.2. Нам хотелось бы, чтобы внутренняя область была недоступна для лучей, падающих
на конструкцию снаружи, более того, чтобы проходящие лучи с точки зрения внешнего наблюдателя как-бы
не замечали всей этой конструкции. Эта цель достигается подбором специальных свойств слоя 𝑎 < 𝑟 < 𝑏.
Для описания поведения лучей в слое введём криволинейную систему координат {𝑟′ , 𝜃, 𝜙}, которая отличается от сферической системы координат {𝑟, 𝜃, 𝜙} преобразованием
𝑟−𝑎
𝑏
(4.33)
𝑟′ =
𝑏−𝑎
Рис. 4.2 Огибание лучами внутреннего пространства радиуса 𝑎, расположенного за сферическим слоем толщиной 𝑏 − 𝑎. Рисунок взят из [14].
-----------------------------------------Формализуем концепцию трансформационной оптики для данного примера. Реальная точка (real point)
– это точка с координатами {𝑟, 𝜃, 𝜙} в сферической системе координат; мнимая точка (imaginary point) – это
точка с координатами {𝑟′ , 𝜃, 𝜙} в мнимой сферической
системе координат. Систему координат {𝑟′ , 𝜃, 𝜙} мы сделаем мнимой сферической, если припишем ей метрику
сферической системы координат 𝑞𝜇 (𝑟′ , 𝜃, 𝜙).
Для реализации процедуры, сначала надо записать уравнения Максвелла (4.32) в системе координат
{𝑟′ , 𝜃, 𝜙}:
𝜖𝜇𝜈𝜆 𝜕𝜈′ 𝐻𝜆 =
1 𝑞1′ 𝑞2′ 𝑞3′
𝜕𝑡
𝜀𝜇 𝐸 𝜇
𝑐
𝑞𝜇′2
21
Из приведённых рассуждений вытекает, что это уравнение должно совпадать с уравнением Максвелла в пустоте, записанным в мнимой сферической системе координат {𝑟′ , 𝜃, 𝜙}:
𝜖𝜇𝜈𝜆 𝜕𝜈′ 𝐻𝜆 =
⃒
1 𝑞1 𝑞2 𝑞3 ⃒⃒
𝜕𝑡
𝑐
𝑞𝜇2 ⃒
imaginary
point
𝐸𝜇
Таким образом, обведённые в прямоугольники факторы
должны быть равны,
⃒
⃒
𝑞1 𝑞2 𝑞3 ⃒⃒
𝑞1′ 𝑞2′ 𝑞3′ ⃒⃒
=
(4.35)
𝜀
𝜇⃒
𝑞𝜇′2
𝑞𝜇2 ⃒ imaginary
real
point
point
Аналогичные равенства выписываются для уравнения
Максвелла rot E = −𝜕𝑡 𝜇
^H/𝑐. При 𝑟 < 𝑏 для 𝜀𝑟 и 𝜇𝑟
получаем выражение
𝜀𝑟 = 𝜇𝑟 =
1 𝑟′2
𝑏 (𝑟 − 𝑎)2
=
,
𝑞𝑟′ 𝑟2
𝑏−𝑎
𝑟2
(4.36)
а для остальных компонент
𝜀𝜃 = 𝜀𝜙 = 𝜇𝜃 = 𝜇𝜙 = 𝑞𝑟′ =
𝑏
𝑏−𝑎
(4.37)
При 𝑟 > 𝑏 мнимая система координат совпадает с реальной, и потому, как и требовалось, в этой области остаётся пустота, 𝜀 = 𝜇 = 1.
4.3.2
Идеально согласованный слой
В задачах численного счёта по причине конечности расчётной памяти невозможно проводить моделирование
распространения электромагнитного поля в неограниченном пространстве. Таким образом, в любом случае,
численное моделирование распространения магнитного
поля производится в ограниченном объёме (как говорят,
ячейке). При этом геометрические параметры ячейки
часто выбираются не по физическим соображениям, а
по соображениям экономии расчётных ресурсов.
Для того, чтобы уравнения Максвелла стали полностью определёнными, на границе ячейки требуется поставить граничные условия. В случае самых простых
граничных условий – идеальный металл или идеальный
магнитный проводник – электромагнитные волны отражаются от границы ячейки. С другой стороны, для
большой части задач физическими граничными условиями является отсутствие падающих волн из бесконечности. Таким образом, геометрическая форма ячейки в
конечном итоге искажает результаты численного эксперимента.
Как оказывается, можно поставить такие граничные
условия, которые соответствуют отсутствию отражения
от внутренней поверхности ячейки. Будем рассматривать монохроматическую волну с частотой 𝜔 .
Обратимся сначала в формулам Френеля. В случае
нормального падения коэффициент отражения равен
нулю, если импедансы обеих сред равны между собой,
см. Пункт 4.4.1. С другой стороны, если коэффициент
преломления имеет мнимую часть, то прошедшая волна
экспоненциально затухает вглубь материала. В соответствии с этими рассуждениями, возьмём в качестве границы ячейки слой материала толщиной 𝑙 с коэффициентами 𝜇 = 𝜀 и комплексным показателем преломления
n + 𝑖k, так что глубина проникновения мала по сравнению с толщиной слоя,
𝛿=
𝑐 n
≪ 𝑙,
2𝜔 k
см. (4.10). На задней границе слоя поставим граничные
условия идеального металла. Тогда нормально падающая волна изнутри ячейки будет без отражения проходить в граничный слой, а затем ослабленной в exp(𝑙/𝛿)
отражается от задней границы слоя, и затем ослабленной ещё раз выходить обратно в объём ячейки. При
достаточной толщине слоя последним эффектом можно пренебречь, и, таким образом, для частного случая
нормально падающих волн мы достигли полного отсутствия отражения.
Тем не менее, если угол падения ненулевой, попрежнему сохраняется ненулевое отражение. ...
§4.4. Отражение и преломление волн на плоской поверхности раздела
Рассмотрим падение электромагнитной волны из вакуума на плоскую поверхность некоторого материала.
Мы предполагаем, что материал однороден вдоль поверхности раздела, но вообще говоря, может быть неоднородным в направлении от поверхности раздела. Введём систему координат, в которой поверхность материала есть плоскость 𝑧 = 0, а сам материал находится в
области 𝑧 < 0.
4.4.1
Граничные формулы Френеля
Пусть волна падает на плоскую границу раздела из среды ‘i’ характеризующуюся 𝜀𝑖 , 𝜇𝑖 , на среду ‘t’ с константами 𝜀𝑡 , 𝜇𝑡 . Угол падения (угол между нормалью и направлением распространения) равен 𝜃𝑖 ; введём соответственно величину 𝜃𝑡 согласно закону Снелла
sin 𝜃𝑡 =
n𝑡
sin 𝜃𝑖 ,
n𝑖
(4.38)
Глава 4. Распространение линейных волн
√
где n = 𝜀𝜇 – комплексный показатель преломления.
Введём также импедансы сред согласно формуле 𝜂 =
√︀
𝜇/𝜀. В случае, когда среда ‘t’ прозрачна, 𝜃𝑡 есть угол
между нормалью и направлением распространения прошедшей волны. Введём декартову систему координат
𝑂𝑥𝑦𝑧 , в которой ось 𝑂𝑧 направлена по нормали (из среды ‘t’ в среду ‘i’), а волновой вектор лежит в плоскости
𝑂𝑥𝑧 . Тогда TE и TM-волны определяются полями
(︀
)︀
𝐸𝑦 = 𝑒𝑖𝑘 sin 𝜃𝑖 𝑥 𝑒−𝑖𝑘 cos 𝜃𝑖 𝑧 + 𝑟𝑒𝑖𝑘 cos 𝜃𝑖 𝑧 ,
(︀
)︀
𝐻𝑦 = 𝑒𝑖𝑘 sin 𝜃𝑖 𝑥 𝑒−𝑖𝑘 cos 𝜃𝑖 𝑧 + 𝑟𝑒𝑖𝑘 cos 𝜃𝑖 𝑧 ,
𝑇𝐸 :
𝑇𝐻 :
при 𝑧 > 0, и
𝑇𝐸 :
𝐸𝑦 = 𝑒𝑖𝑘 sin 𝜃𝑖 𝑥 · 𝑡𝑒−𝑖𝑘 cos 𝜃𝑡 𝑧 ,
𝑇𝐻 :
𝐻𝑦 = 𝑒𝑖𝑘 sin 𝜃𝑖 𝑥 · 𝑡𝑒−𝑖𝑘 cos 𝜃𝑖 𝑧
при 𝑧 < 0.
Для TE-воны амплитуды прохождения и отражения
равны
𝜂𝑡 cos 𝜃𝑖 − 𝜂𝑖 cos 𝜃𝑡
,
𝜂𝑡 cos 𝜃𝑖 + 𝜂𝑖 cos 𝜃𝑡
(4.39)
тогда как для TM-волны эти амплитуды равны (из выражений для TE-волны могут получены путём замены
𝜂 → 1/𝜂 )
𝑡=
2𝜂𝑡 cos 𝜃𝑖
,
𝜂𝑡 cos 𝜃𝑖 + 𝜂𝑖 cos 𝜃𝑡
𝑟=
22
чим:
𝜖𝛼𝛽
𝐸 (𝑡) = −
𝑐
ˆ+0
ˆ+0
d𝑧 𝜕𝑡 𝐻 (𝑡, 𝑧) + 𝜕𝛼 d𝑧 𝐸 𝑧 (𝑡, 𝑧),
𝛽
𝛼
−∞
−∞
(4.42)
где единичный антисимметричный тензор второго ранга
задаётся условиями 𝜀𝛼𝛽 = −𝜀𝛽𝛼 и 𝜀𝑥𝑦 = 1. В равенстве
(4.42) стоят поля, взятые снизу от токи 𝑧 = +0, при
𝑧 ≤ 0. Поскольку источник электромагнитных волн у
нас предполагается находящимся сверху, то величины
в области 𝑧 < 0 причинно зависят от величин в точке
𝑧 = +0; всё же поле задаётся двумя скалярными величинами, в качестве которых могут быть выбраны в т.ч.
две касательные компоненты магнитного поля. Не смотря на то, что при 𝑧 = +0 есть вклад волн, отражённых
поверхностью, и потому причинно зависящих от величин при < 0, можно показать, что учёт (бесконечно
слабого) затухания в отражающем материале окончательно доказывает правомочность формулы (4.41), см.
Пункт 4.4.2.1.
Если мы теперь проинтегрируем уравнение Максвелла rot B = 𝜕𝑡 E/𝑐 + 4𝜋𝑗/𝑐 на интервале (−∞, +0), то получим эквивалентное уравнение уравнению (4.42):
𝛼
𝐻 (𝑡)
=
ˆ+0
𝜕𝛼 d𝑧 𝐻 𝑧 (𝑡, 𝑧) +
(4.43)
−∞
𝑡=
2𝜂𝑖 cos 𝜃𝑖
,
𝜂𝑖 cos 𝜃𝑖 + 𝜂𝑡 cos 𝜃𝑡
4.4.2
𝑟=
𝜂𝑖 cos 𝜃𝑖 − 𝜂𝑡 cos 𝜃𝑡
.
𝜂𝑖 cos 𝜃𝑖 + 𝜂𝑡 cos 𝜃𝑡
(4.40)
Граничные условия в форме Леонтовича: общая форма
Цель настоящего Параграфа – описать отражение волн,
падающих на поверхность материала из вакуума.
Граничные условия в форме Леонтовича выглядят
следующим образом:
ˆ𝑡
𝛼
⊥
ˆ
′
𝐸 (𝑡, 𝑟 ) =
d𝑡
−∞
d2 𝑟′⊥ 𝐾 𝛼𝛽 (𝑡 − 𝑡′ , 𝑟 − 𝑟 ′⊥ )𝐻 𝛽 (𝑡′ , 𝑟 ′⊥ )
(4.41)
на поверхности материала, т.е. при 𝑧 = 0, где {𝛼, 𝛽} =
^ имеет в общем случае как временную,
{𝑥, 𝑦}. Ядро 𝐾
так и пространственную дисперсию. Граничными условиями (4.41) полностью задаются отражательные свойства поверхности материала.
Покажем, что написание граничных условий в виде
(4.41) действительно возможно. Для этого проинтегрируем уравнение Максвелла в пустоте rot E = −𝜕𝑡 B/𝑐 на
интервале (−∞, +0) по нормальной координате 𝑧 . Мы
полагаем, что при 𝑧 = +0 магнитное поле и магнитная
индукция совпадают, H = B; кроме того, мы считаем,
что при 𝑧 → −∞ все поля исчезают. В результате полу-
𝜖𝛼𝛽
+
𝑐
ˆ+0
(︁
)︁
d𝑧 𝜕𝑡 𝐸 𝛽 (𝑡, 𝑧) + 4𝜋𝑗 𝛽 (𝑡, 𝑧) .
−∞
Таким образом, граничные условия в форме Леонтовича (4.41) могут быть переписаны и в обратном виде, когда касательные компоненты магнитного поля считаются откликом на касательные компоненты электрического поля.
4.4.2.1
Приложение:
проверка
выполнения
принципа причинности в граничном
условии Леонтовича
Рассмотрим скалярное поле 𝐴(𝑡, 𝑧) = 𝐴+ (𝑡, 𝑧) + 𝐴− (𝑡, 𝑧),
где ± соответствует волнам, распространяющимся соответственно в сторону бо́льших и меньших 𝑧 ; 𝑧 = 0 мы
по-прежнему считаем границей раздела, область 𝑧 > 0
заполнена однородной средой. Источник находится при
некотором большом 𝑧 = 𝐿, поэтому волна от источника,
которая распространяется ль него в сторону меньших 𝑧 ,
доходит до границы и частично отражается, после чего распространяется в обратном направлении. Поэтому
для величин вблизи поверхности мы можем написать
ˆ∞
𝐴+ (𝑡, +0)
=
d𝜏 𝐾(𝜏 ) 𝐴− (𝑡, +0),
0
23
Перепишем то же самое в частотном представлении,
также при 𝑧 = +0
𝐴+,𝜔
= 𝐾𝜔 𝐴−,𝜔
Для дальнейшего важно заметить, что помимо отсутствия полюсов у 𝐾𝜔 в верхней части комплексной плоскости 𝜔 , в этой области 𝐾𝜔 также удовлетворяет условию
Abs 𝐾𝜔 < 1,
Im 𝜔 > 0.
(4.44)
Действительно, ситуация Im 𝜔 > 0 соответствует экспоненциально растущей во времени волне, и по принципу причинности амплитуда отражённой волны не может
быть больше амплитуды падающей. Учёт потерь при отражении, которые, вообще говоря, всегда присутствуют
в веществе, делает неравенство строгим.
Равенство можно переписать в виде
где 𝜁^ называется поверхностным импедансом. Если же
материал изотропен в поперечной плоскости, то связь
можно переписать в виде
ˆ 𝑡
E𝑡 =
d𝑡′ 𝜁(𝑡 − 𝑡′ ) [H𝑡 (𝑡′ ), n],
(4.47)
где индекс ‘t’ означает проекцию на поперечную плоскость, а n – нормаль к поверхности.
Смысл именования параметра 𝜁 “поверхностным импедансом” может быть прояснён, если установить связь
между значением касательной компоненты E𝑡 электрического поля и поверхностного тока J𝑡 . Для этого в
уравнении Максвелла rot B = −𝜕𝑡 E/𝑐 + 4𝜋𝑗/𝑐 на продольные компоненты опустим малое слагаемое 𝜕𝑡 E/𝑐 и
проинтегрируем его по области 𝑧 < +0:
𝜁^−1 E𝑡 = [H𝑡 , 𝑛]
=
4𝜋
𝑐
ˆ+0
d𝑧 𝑗𝑡 ≡
4𝜋
J𝑡 . (4.48)
𝑐
−∞
𝐴+,𝜔
˜ 𝜔 𝐴𝜔 ,
= 𝐾
˜𝜔 =
𝐾
𝐾𝜔
,
1 + 𝐾𝜔
(4.45)
причём в силу неравенства (4.43) у комплексной функ˜ 𝜔 в верхней полуплоскости также нет полюсов. Рации 𝐾
венство (4.45) показывает возможность постановки граничных условий при отражении волны от поверхности
в форме (4.41).
4.4.3
Граничные условия в форме Леонтовича в случае скин-эффекта
В случае, когда поля проникают в материал на малую
глубину 𝛿 , много меньшую длины 𝜆 падающей волны,
𝛿 ≪ 𝜆, связь между касательными компонентами электрического и магнитного полей на поверхности материала можно считать локальной в пространстве, так что
ˆ
𝛼
𝐸 (𝑡)
=
Таким образом, 𝜁 есть (с точностью до множителя 4𝜋/𝑐)
коэффициент пропорциональности между поверхностным током и касательной компонентой электрического
поля (т.е., удельным падением напряжения на единицу
длины), что и оправдывает именование 𝜁 поверхностным импедансом.
Посчитаем мощность 𝑄, которая поглощается единицей поверхности в единицу времени. Эта мощность равна нормальной компоненте потока энергии на поверхности и её мгновенное значение равно
𝑄 =
Если волна (почти) монохроматическая, так что её можно представить в виде (4.12), то выделяющаяся мощность записывается в виде
𝑡
d𝑡′ 𝜁 𝛼𝛽 (𝑡 − 𝑡′ )𝐻 𝛼 (𝑡′ ),
(4.46)
𝑐
[E𝑡 , H𝑡 ].
4𝜋
𝑄 =
𝑐 |Ẽ𝑡,𝜔 |2
𝑐 ′
=
𝜁 |H̃𝑡,𝜔 |2
2𝜋 𝜁𝜔′
2𝜋 𝜔
(4.49)
Глава 4. Распространение линейных волн
24
§4.5. Рассеяние электромагнитных волн на частицах
Теория рассеяния в скалярном случае (когда поле
скалярно и потому волна не имеет различных поляризаций) подробно изложена в [15]. Нет смысла здесь повторять изложение общих вещей, верных и для частного случая рассеяния электромагнитных волн. С другой стороны, векторная структура уравнений уравнений Максвелла привносит дополнительные особенности
в процесс рассеяния. Главным образом этим особенностям будет посвящено наше изложение.
Рассмотрим монохроматическую плоскую волну,
рассеивающуюся на некотором центре рассеяния. Для
определённости будем полагать, что падающая волна
распространяется в вакууме. Перейдём к комплексным
амплитудам, введя огибающую Ẽ поля E, см. (4.12). В
дальнейшем знак ‘ ˜ ’ для краткости мы будем опускать.
В этом случае усреднённые по периоду колебаний значения потока и плотности энергии даны в Пункте 5.3.
Падающее поле представим в виде Ein = Ein,0 exp[𝑖kin 𝑟].
Тогда абсолютное значение плотности потока в падающей волне равно
𝐽
=
𝐼𝑠
𝜎𝑠 = ,
𝐽
𝐼𝑎
𝜎𝑎 = .
𝐽
(4.50)
Таким образом, мощность 𝐼 есть мощность, отбираемая
из падающей волны; 𝜎𝑠 называется сечением рассеяния,
𝜎𝑎 – сечением поглощения.
Рассмотрим сначала трёх-мерный случай. Вдалеке
от рассеивающего центра электромагнитное поле представляет из себя совокупность плоской и сферической
расходящейся волн,
𝐸𝑖
=
𝑖
𝐸in
+ 𝐸s𝑖 →
(4.51)
𝑗
𝑓 𝑖𝑗 𝐸in,0
𝑖
→ 𝐸in,0 exp[𝑖kin 𝑟] +
exp[𝑖𝑘𝑟],
𝑟
где |kin | = 𝑘 , а 𝑓 𝑖𝑗 – амплитуда рассеяния; среди 9ти пространственных матричных элементов амплитуды
рассеяния есть только 4 независимых, поскольку у электромагнитных волн есть только две поляризации. Рассеянная центром рассеяния мощность 𝐼𝑠 равна
ˆ
d𝜎𝑠
,
d𝜎𝑠 = 𝑟2 (S𝑠 ·𝑛)d𝑜, (4.52)
𝐼𝑠 =
d𝑜
d𝑜
S𝑠 =
4.5.1
Оптическая теорема
Оптическая теорема связывает амплитуду рассеяния
вперёд с полным сечением рассеяния, что может быть
использовано для упрощения вычисления сечения рассеяния.
------------------------------------------
𝑐|Ein,0 |2
.
2𝜋
Полное сечение рассеяния 𝜎 (сечение взаимодействия) определяется как отношение суммы мощности
𝐼𝑠 , рассеивающейся на центре рассеяния, и мощности
𝐼𝑎 , поглощающейся им, к плотности потока энергии в
падающей волне:
𝜎 = 𝜎𝑟 + 𝜎𝑠 ,
где интегрирование производится по сфере радиуса 𝑟,
единичный вектор 𝑛 = 𝑟/𝑟. Мы ввели дифференциальное сечение рассеяния d𝜎𝑠 , которое есть отношение мощности рассеянной волны, уходящей от рассеивателя в телесный угол d𝑜, к плотности потока энергии падающей
волны. Поглощаемая рассеивателем мощность равна
ˆ
𝑐
Re[E, H* ].
(4.53)
𝐼𝑎 = − 𝑟2 d𝑜 (S·𝑛),
S=
2𝜋
𝑐
Re[E𝑠 , H*𝑠 ],
2𝜋
−1
1
𝜇
Рис. 4.3 Контур интегрирования по переменной
𝜇 = cos 𝜃. Сплошной линией обозначен исходный контур, пунктирной – изменённый.
-----------------------------------------Полный поток через поверхность большого радиуса
𝑟, нормированный на плотность падающего потока, по
определению равен сечению поглощения, см. (4.53,4.50).
Преобразуем это выражение, используя разложение поля (4.51):
𝑐
Re
𝜎𝑎 = −𝜎𝑠 −
2𝜋𝐽
ˆ
𝑟2 d𝑜 ([Ein , H*s ] + [Es , H*in ]) 𝑛,
где квадратичный вклад по полю падающей волны опущен, поскольку даёт нуль. Первое слагаемое в правой
части соответствует излучению, производимому рассеивателем; второе слагаемое есть результат интерференции рассеянной волны с падающей. Теперь, используя
равенства
H𝑠 = [𝑛, E𝑠 ],
Hin = [𝑛in , Ein ],
(4.54)
верные для плоских волн, см. (4.8), где 𝑛in = kin /𝑘 , получаем
25
𝜎 = 𝜎𝑠 + 𝜎𝑎
= −
𝑐
Re
2𝜋𝐽
ˆ
{︁
}︁
)︀
*𝑗 (︀
*𝑗
𝑖
𝐸in,0
1 + (n·nin ) + (Ein,0 ·𝑛)𝐸in,0
(𝑛𝑖 + 𝑛𝑖in ) 𝑒𝑖(kin 𝑛−𝑘)𝑟
𝑟 d𝑜 𝑓 *𝑖𝑗 𝐸in,0
Для того, чтобы взять интеграл по телесному углу
в (4.55), перейдём к сферическим координатам {𝑟, 𝜃, 𝜙},
направив ось 𝑂𝑧 по волновому вектору kin падающей
волны, и введём переменную 𝜇 = cos 𝜃. Интеграл в правой части (4.55) имеет вид и при 𝑟 → ∞ оценивается
как
ˆ1
d𝜇 𝑒𝑖𝑘𝑟𝜇 𝑔(𝜇) =
𝑟
1
(𝑔(1) − 𝑔(−1)),
𝑖𝑘
(4.56)
−1
𝜎
=
[︀
]︀
4𝜋
Im 𝑓 𝑖𝑗 (0) 𝑒*𝑖 𝑒𝑗 ,
𝑘
𝑒𝑖 =
𝑖
𝐸in,0
|Ein,0 |
.
(4.57)
Равенство (4.57) составляет содержание оптической
теоремы: полное сечение рассеяния определяется мнимой частью амплитуды рассеяния вперёд.
4.5.2
Отметим, что рассмотрение [1, §93] верно́ только в случае, когда сечение поглощения велико по сравнению с
сечением рассеяния, 𝜎𝑎 ≫ 𝜎𝑠 , в общем же случае верно́
соотношение 4.58.
Зная дипольную восприимчивость, можно также отдельно вычислить сечение рассеяния, воспользовавшись
выражением для интенсивности гармонически колеблющегося дипольного момента:
𝜎𝑠 =
где 𝑔(𝜇) – некоторая функция, независящая от 𝑟. Действительно, поскольку 𝑔(𝜇) предполагается аналитической функцией, не имеющей особенностей на отрезке
[−1, 1], то мы можем деформировать контур интегрирования так, как показано на Рис. 12.3. При этом, в силу великости 𝑟, вклад в интеграл будут давать только
боковые участки контура; в пределе большого 𝑟 длина
вертикальных учасков контура может быть сколь угодно малой. Таким образом, приходим к (4.56).
В результате (4.55) упрощается (интегрирование по
углу 𝜙 даёт множитель 2𝜋 , поскольку интеграл определяется углом 𝜃 = 0),
Рассеяние света на малых частицах
Рассмотрим общие свойства рассеяния света частоты 𝜔
на частицах, размер 𝑎 которых мал по сравнению с длиной волны света 𝜆, так что 𝑘𝑎 ≪ 1, где 𝑘 – волновое
число падающего света. В этом пределе основным механизмом взаимодействия частицы с электромагнитным
полем является дипольное взаимодействие и, в отдельных случаях, магнито-дипольное взаимодействие. Литература: [1, §92].
Рассмотрим простейший случай, когда доминирующим является дипольное излучение, а поляризуемость
(дипольная восприимчивость) 𝛼 частицы изотропна,
так что вектор дипольного момента и поле налетающей
волны сонаправлены,
𝑑 = 𝛼Ein,0 .
В терминах дипольной восприимчивости 𝛼 оптическая
теорема (4.57) для дипольно излучающего рассеивающего центра переписывается в виде
𝜎 = 4𝜋𝑘 Im[𝛼].
(4.58)
(4.55)
4.5.2.1
4𝜔 4 |𝑑|2
8𝜋 𝜔 4 |𝛼|2
=
.
2
3𝑐3
3 𝑐4
𝑐 |Ein,0 |
2𝜋
(4.59)
Резонансное рассеяние света
Установим некоторые общие свойства рассеивания волн
на резонансных частицах: будем интересоваться случаем, когда частота падающей волны близка к частоте
𝜔0 некоторого резонанса частицы, который может быть
возбуждён электрическим полем падающей волны. Пока величина отстройки 𝛿𝜔 = 𝜔−𝜔0 не велика, дипольная
восприимчивость может быть представлена в виде
𝛼 = 𝐵𝑎3 −
𝐴𝜔02 𝑎3
,
𝜔 2 − 𝜔02 + 2𝑖𝛾𝜔
(4.60)
где 𝐴, 𝐵 – некоторые действительные безразмерные константы порядка или меньше единицы. Константа 𝛾 > 0
определяет ширину резонанса; для определённости мы
предполагаем его хорошую добротность, так что 𝛾 ≪
𝜔0 . Структура знаменателя в (4.60) выбрана таким образом, чтобы обеспечить принцип причинности и действительность величины 𝛼(𝜏 ) во временно́м представлении, см. (7.8,7.7) соответственно. Константа 𝐴 должна
быть положительной, 𝐴 > 0, для того, чтобы обеспечить положительность мнимой части восприимчивости
𝛼. Величина 𝐵 соответствует вкладу от всех прочих резонансов и может считаться константой, пока отстройка
𝛿𝜔 мала по сравнению с расстоянием до другого ближайшего резонанса.
Ширину резонанса можно разделить на два вклада,
𝛾 = 𝛾loss + 𝛾rad .
Поглощение частицей энергии падающей волны соответствует части 𝛾loss и сечению поглощения 𝜎𝑎 ; величина этого поглощения определяется внутренними свойствами частицы. Переизлучение электромагнитной волны частицей не зависит от внутренних свойств частицы, оно даёт вклад 𝛾rad и соответствует сечению рассеяния 𝜎𝑎 . Наконец заметим, что для полной ширины
резонанса действительно должна выполняться аддитивность, поскольку 2(𝛾loss + 𝛾rad ) является декрементом
затухания для свободных дипольных колебаний на резонансной частоте 𝜔0 , и каждое слагаемое соответствует
независимому каналу диссипации энергии.
Глава 4. Распространение линейных волн
26
Ниже для простоты рассуждений мы полагаем константу 𝐵 равной нулю, 𝐵 = 0, и малую отстройку по
частоте, 𝛿𝜔 = 𝜔 − 𝜔0 ≪ 𝜔0 . Тогда дипольная восприимчивость может быть записана в более простом виде
𝛼 = −
(𝐴/2)𝜔0 3
𝑎 .
𝛿𝜔 + 𝑖𝛾
3𝜆2
,
2𝜋
3𝑖 1
,
2 𝑘3
1
𝐴𝜔0 (𝑘𝑎)3 .
3
(4.62)
В частности, мы видим, что сечение рассеяния определяется длиной волны, а не размером частицы, и потому
оказывается значительно больше её геометрического сечения 𝜋𝑎2 . Наконец, посчитаем добротность резонанса
в этом случае:
𝛼=
𝑄max =
𝜎
=
𝜋𝐴 · 𝑘𝑎 · 𝜔0 𝛾 2
𝛾rad 𝛾
𝑎 =
𝜎max ,
2
2
(𝛿𝜔) + 𝛾
(𝛿𝜔)2 + 𝛾 2
𝜎𝑠
=
2
𝛾rad
2𝜋𝐴2 · (𝑘𝑎)4 · 𝜔02 2
(︀
)︀ 𝑎 =
𝜎max ,
(𝛿𝜔)2 + 𝛾 2
3 (𝛿𝜔)2 + 𝛾 2
(4.61)
Вычислим вклад 𝛾rad в ширину резонанса, вызываемого рассеянием света. Для этого предположим, что
частота падающей монохроматической волны совпадает с частотой резонанса частицы, 𝜔 = 𝜔0 , а внутренние
потери в частице отсутствуют, 𝛾loss = 0. В этом случае
дипольная восприимчивость 𝛼 = 𝑖𝐴𝜔0 𝑎3 /2𝛾rad , а полное
сечение и сечение рассеяния совпадают, 𝜎 = 𝜎𝑠 . Вычисляя полное сечение двумя способами – через излучение
(4.59) и через оптическую теорему (4.58), – находим, что
полное сечение 𝜎max , дипольная восприимчивость и ширина 𝛾rad резонанса равны:
𝜎max =
𝛿𝜔 ̸= 0. Сечение взаимодействия (4.58) и сечения рассеяния (4.59) в условиях резонанса, когда 𝛿𝜔 = 0, равны
𝛾rad =
то есть малы по сравнению с теоретически максимально возможным сечением рассеяния 𝜎max . Предположим,
что мы рассматриваем рассеяние и прохождение монохроматического света через среду, заполненную рассматриваемыми рассеивателями. В соответствии с нашими выводами, при увеличении внутренних потерь интенсивность прошедшей волны возрастает, тогда как интенсивность рассеянной волны падает.
Пусть теперь на частице рассеивается белый свет со
спектральной шириной Δ, большой по сравнению с шириной резонанса, но малой по сравнению с расстоянием
по частоте до соседнего резонанса. Усреднённое сечение
взаимодействия равно
ˆ
𝜋𝛾rad
1
𝜎(𝛿𝜔) d𝛿𝜔 =
𝜎max ,
(4.64)
𝜎 =
Δ
Δ
то есть не зависит от ширины резонанса. Сечение рассеяния
3
1
≫ 1.
2𝐴 (𝑘𝑎)3
𝜎𝑠
Теперь рассмотрим, как влияют потери внутри частицы на параметры рассеяния. Для этого положим,
что эти потери доминируют, так что полная ширина
резонанса 𝛾 ≫ 𝛾rad . Учтём также возможную отстройку частоты падающей волны от резонанса, полагая
(4.63)
=
2
𝜋𝛾rad
𝜎max ,
Δ𝛾
(4.65)
то есть уменьшается обратно пропорционально внутренним потерям. Таким образом, интенсивность прошедшего белого света не изменяется при увеличении потерь,
тогда как интенсивность рассеянного света уменьшается.
§4.6. Волноводы
Мы предполагаем, что в монохроматической волне
все поля от времени и продольной координаты 𝑧 зависят как exp(−𝑖𝜔𝑡 + 𝑖𝛽𝑧), где 𝛽 называется постоянной
распространения.
ние записывается в виде
(︂ )︂
(︂
)︂
ˆ
ˆ
−𝐸𝑦
𝜔
𝐵𝑥
𝛽 d𝑥d𝑦
=
d𝑥d𝑦
.
𝐸𝑥
𝑐
𝐵𝑦
Уравнение rot E = −𝜕𝑡 B для поперечных координат
есть
Краткая запись этого уравнения следующая:
(︂
𝜕𝑦 𝐸𝑧 − 𝜕𝑧 𝐸𝑦
𝜕𝑧 𝐸𝑥 − 𝜕𝑥 𝐸𝑧
)︂
(︂
)︂
1 −𝜕𝑡 𝐵𝑥
=
.
𝑐 −𝜕𝑡 𝐵𝑦
𝑛eff 𝜖𝛼𝛽 ⟨𝐸 𝛽 ⟩ = ⟨𝐵 𝛼 ⟩,
(4.66)
Используя 𝑡- и 𝑧 -зависимости для монохроматической
волны, получаем, что в усреднённой форме это уравне-
𝑛eff =
𝑐𝛽
,
𝜔
(4.67)
(4.68)
сравни с (4.8), где угловые скобки ⟨. . .⟩ означают усреднение по поперечной плоскости. Если все среды, из которых изготовлен волновод, немагнитные, то H = B, и
тогда импеданс 𝑍 = ⟨𝐸⟩/⟨𝐻⟩ = 1/𝑛eff .
27
Глава 5
ТЕРМОДИНАМИКА ТЕЛА ВО ВНЕШНЕМ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
§5.1. Термодинамика тела во внешнем электрическом и магнитном полях
Статистическая сумма
{︁
}︁
^ tot
𝑍 = tr exp −ℋ
5.1.1
Гамильтониан тела во
электромагнитном поле
(5.1)
внешнем
Предположим, что мы изучаем поведение некоторого образца, помещённого во внешнее электромагнитное поле. Этот образец описывается гамильтонианом
^ 𝜇 ), где 𝐴𝜇 (𝑟, 𝑡) – 4-потенциал электромагнитного
ℋ(𝐴
поля. Электромагнитное поле создаётся как внешними источниками, имеющими плотность зарядов 𝜌src и
плотность тока jsrc , так и зарядами и токами в самом
образце.
Полный гамильтониан системы, состоящей из исследуемого образца и электромагнитного поля, возбуждаемого источниками, складывается из трёх частей:
^ tot
ℋ
^ 𝜇) + ℋ
^𝑓 + ℋ
^ 𝑓,𝑠𝑐𝑟 ,
= ℋ(𝐴
𝑎
^ 𝑎 (𝑟) – оператор уничтожения частицы сорта 𝑎
где Ψ
в точке 𝑟 , а локальная плотность гамильтониана для
частиц сорта 𝑎
^ 𝑎 (𝑟; 𝐴^𝜇 ) =
ℋ
1
𝑒𝑎
𝑝^𝑎 − A𝑎
2 𝑚𝑎
𝑐
)︁2
Сейчас мы считаем, что электромагнитное поле
классично и, соответственно, подчиняется классическим
уравнениям Гамильтона. Кроме того, мы полагаем, что
тепловые флуктуации электромагнитного поля незначительны.
5.1.1.1
Электромагнитное поле
Уравнения Гамильтона для электромагнитного поля
выглядят следующим образом
𝜕𝑡 E =
−4𝜋
𝜕𝑡 A =
4𝜋
(5.2)
В (5.2) гамильтониан собственно исследуемого образца
∑︁ ˆ
𝜇
^
^
^ †𝑎 (𝑟) ℋ
^ 𝑎 (𝑟; 𝐴^𝜇 ) Ψ
^ 𝑎 (𝑟), (5.3)
ℋ({𝐴 }) =
d3 𝑟 Ψ
(︁
сопряжённый обобщённой координате 𝜙, тождественно равен нулю. Наконец, часть гамильтониана, отвечающая за возбуждение внешними источниками электромагнитного поля
)︂
(︂
ˆ
1
^ 𝑓,𝑠𝑐𝑟 =
ℋ
d3 𝑟 𝜙 𝜌src − (A·jsrc ) . (5.6)
𝑐
^ 𝑎 B𝑎 ) , (5.4)
+𝑒𝑎 𝜙𝑎 −(𝜇
^ 𝑎, B
^ 𝑎 и 𝜙𝑎 означают локальные значения
где A
вектор-потенциала, магнитного поля и скалярного потенциала в точке положения частицы 𝑎. Шляпки над
этими величинами означают, что электромагнитное поле само является функцией состояния исследуемой системы. Далее, гамильтониан электромагнитного поля
ˆ
(︀
)︀
^𝑓 = 1
ℋ
d3 𝑟 E2 + B2 − 2𝜙 div E . (5.5)
8𝜋
Каноническими сопряжёнными переменными являются A – обобщённые координаты, и E/(4𝜋) – обобщённые импульсы; обобщённый импульс, канонически
5.1.1.2
^ tot
𝛿ℋ
,
𝛿A
^ tot
𝛿ℋ
,
𝛿E
0 = −4𝜋
^ tot
𝛿ℋ
,
𝛿𝜙
Стационарная ситуация
Пусть внешние источники 𝜙src и 𝑗src постоянны во
времени. Положим по определению
Δ 𝜙src = −4𝜋𝜌src ,
Esrc = −∇𝜙src ,
(5.7)
4𝜋
jsrc , Bsrc = rot Asrc .
𝑐
Поскольку мы рассматриваем стационарную состояние, электромагнитное поле может быть найдено из
приравнивания его временных производных нулю:
из которых следует
rot rot Asrc = −
rot rot A
=
4𝜋
jtot .
𝑐
(5.8)
E = − grad 𝜙,
div E = 4𝜋𝜌tot .
Индекс ‘tot’ у плотности зарядов 𝜌tot и электрического
тока jtot означает, что эти величины являются суммой
вкладов от рассматриваемой системы и внешних источников:
𝜌tot = 𝜌^ + 𝜌src ,
jtot = ^j + jsrc ,
(5.9)
Глава 5. Термодинамика тела во внешнем электромагнитном поле
где индекс ‘src’ означает внешние источники. Из уравнений движения, записанных в форме Лагранжа, следует, что операторы плотности зарядов 𝜌^ и тока ^j
системы равны
^
𝛿ℋ
,
𝛿𝜙
𝜌^ =
^
^j = −𝑐 𝛿 ℋ .
𝛿A
(5.10)
Равенство нулю канонического импульса. сопряжённого обобщённой координате 𝜙, является связью. Поэтому полный гамильтониан системы можно переписать
с учётом этой связи, после чего получим:
)︂
(︂ 2
ˆ
E2
B
3
^
^
−
+
ℋtot = ℋ(𝜙, A) + d 𝑟
8𝜋
8𝜋
ˆ
d3 𝑟
+
(︂
)︂
1
𝜙 𝜌src − (A·jsrc ) ,
𝑐
(5.11)
причём электрическое поле удовлетворяет уравнению
связи
div E =
4𝜋𝜌tot .
(5.12)
28
где
ℋ𝑓,src =
(︂
)︂
ˆ
1
1
d3 𝑟 𝜙src 𝜌src − Asrc jsrc .
2
𝑐
Отметим, что интегрирование в последнем выражении
(5.16) производится только по объёму образца.
5.1.2.2
Фиксированное значение поля вокруг
исследуемого тела.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда фиксированы не
внешние источники, а значение электромагнитного потенциала на поверхности проводников. Свободная энергия для такого процесса получается из свободной энергии (5.14) преобразованием Лежандра:
𝐹˜ (𝜙, A)
(5.17)
=
ˆ
= 𝐹 (𝜌src , jsrc ) −
С учётом определений (5.7) гамильтониан можно переписать в виде
^ tot
ℋ
(5.13)
^
= ℋ(𝜙,
A) +
ˆ
+
5.1.2
5.1.2.1
d3 𝑟
[︂
]︂ ˆ
[︂ 2
]︂
B2
B Bsrc
E
E Esrc
−
− d3 𝑟
−
.
8𝜋
4𝜋
8𝜋
4𝜋
)︂
(︂
1
d 𝑟 𝜙𝜌src − Ajsrc =
𝑐
3
ˆ
= 𝐹 (𝜌src , jsrc ) −
d3 𝑟
(︂
)︂
ED 1
− Ajsrc .
4𝜋
𝑐
где определением 𝜙 и A является выражение для
вариации (5.14). Гамильтониан для такой системы записывается в виде
Термодинамические потенциалы
Фиксированное распределение зарядов
и токов вокруг исследуемого тела.
Свободная энергия для такой системы является функцией внешних источников 𝜌src и jsrc . Её вариацию по
этим параметрам можно переписать в следующих видах:
(︂
)︂
ˆ
1
𝛿𝐹 (𝜌src , jsrc ) =
d3 𝑟 𝜙 𝛿𝜌src − A 𝛿jsrc =
𝑐
ˆ
=
3
d 𝑟
[︂
]︂
E 𝛿D B 𝛿H
−
.
4𝜋
4𝜋
(5.14)
При выводе мы пользовались тем, что
4𝜋
div D = −4𝜋𝜌src ,
rot H =
jsrc .
(5.15)
𝑐
Можно исследовать несколько другую величину,
обозначим её 𝐹in : разность свободной энергии 𝐹 (5.14) и
энергии поля, которая была бы в отсутствии тела. Вариация потенциала 𝐹in записывается в следующем виде:
𝛿𝐹in (𝜌src , jsrc )
=
𝛿 [𝐹 (𝜌src , jsrc ) − ℋ𝑓,src ] = (5.16)
=
ˆ
− d3 𝑟 [P 𝛿Esrc + M 𝛿Bsrc ] ,
ˆ
^ tot
ℋ
^
ℋ(𝜙,
A) +
=
]︂
E2
B2
−
.
d 𝑟
8𝜋
8𝜋
3
[︂
Вариация свободной энергии равна
ˆ
𝛿 𝐹˜ (𝜙, A)
3
=
(︂
d 𝑟
ˆ
d3 𝑟
=
1
−𝜌src 𝛿𝜙 + jsrc 𝛿A
𝑐
(︂
−
D 𝛿E
H 𝛿B
+
4𝜋
4𝜋
)︂
=
)︂
.
(5.18)
Точно так же можно рассмотреть часть свободной энергии, которая относится именно к исследуемой системе
𝛿 𝐹˜in (𝜙, A)
[︁
]︁
= 𝛿 𝐹˜ (𝜙, A) + ℋ𝑓,src =
(5.19)
ˆ
d3 𝑟 [Esrc 𝛿P + Bsrc 𝛿M] =
=
ˆ
=
[︂
]︂
1
d3 𝑟 Esrc 𝛿P + Asrc 𝛿jbody .
𝑐
Опять, последний интеграл производится только по
внутренности образца.
29
§5.2. Пондеромоторные силы
Литература: [16, §32]
5.2.1
выражением. Перенося в (5.22) всё в одну сторону уравнения, получаем, что это уравнение переписывается в
виде
Жидкости
Свободная энергия тела равна интегралу от объёмной
плотности ℱ свободной энергии по объёму:
ˆ
𝐹 =
d3 𝑟 ℱ(𝑇, 𝜌, E).
(5.20)
где 𝜌 есть концентрация (а не массовую плотность), 𝑇
– температура. Отметим, что речь идёт о термодинамическом потенциале (5.18), поскольку именно он зависит
от электрического поля E; это есть более математическое обоснование. Более физическое обоснование можно извлечь из (5.19), которое означает, что 𝐹 зависит от
плотности поляризации вещества P (тогда как сопряжённый потенциал зависит от поля Esrc , создаваемого
внешними источниками в отсутствии тела, см. (5.16)).
Поскольку же пондеромоторные силы могут быть вычислены через вариацию термодинамического потенциала по деформации тела, то нас должен интересовать
именно тот термодинамический потенциал, который зависит от плотности поляризации в теле (и через неё, в
частности, от величины деформации).
Мы полагаем, что среда находится в термодинамическом равновесии, так что температура и химический
потенциал 𝜇 однородны в пространстве. Кроме того, мы
полагаем, что сторонние заряды отсутствуют. В таком
случае условиями равновесия являются
𝜕𝑇
= 0,
𝜕𝑟𝑖
𝜕𝜇
= 0,
𝜕𝑟𝑖
div D = 0.
(5.21)
где D – вектор индукции магнитного поля, 𝑟 – радиусвектор.
Выразим полную пространственную производную
плотности свободной энергии через градиенты локальных величин:
dℱ
d𝑟𝑖
=
𝜕ℱ 𝜕𝜌
𝜕ℱ 𝜕𝐸 𝑘
+
.
𝜕𝜌 𝜕𝑟𝑖
𝜕𝐸 𝑘 𝜕𝑟𝑖
(5.22)
Замечаем, что в условиях термодинамического равновесия
𝜕ℱ
𝐷𝑘
𝜕ℱ
=−
,
= 𝜇.
(5.23)
𝑘
𝜕𝐸
4𝜋
𝜕𝜌
Поскольку мы имеем дело со статикой, то электрическое
поле потенциально, E = − grad 𝜙, поэтому1
𝜕𝑖 𝐸 𝑘 = 𝜕𝑘 𝐸 𝑖 .
Используя условия равновесия (5.21) и потенциальность электрического поля, получаем, что в правой части (5.22) производную по 𝑟𝑘 можно вынести перед всем
𝜕𝑘 𝜎 𝑖𝑘
=
(5.24)
0,
𝑖
𝜎 𝑖𝑘
=
(ℱ − 𝜇𝜌) 𝛿 𝑖𝑘 +
𝑘
𝐸𝐷
,
4𝜋
что совпадает с уравнением [1, Ур. (15.7)], полученным
другим, более физически наглядным, но менее компактным образом. В (5.24) 𝜎 𝑖𝑘 – тензор напряжений, или,
что то же самое, пространственные компоненты тензора
энергии-импульса. Поскольку в жидкости вектора электрического поля и электрической индукции коллинеарны, то тензор напряжений, как и должно быть, симметричен, 𝜎 𝑖𝑘 = 𝜎 𝑘𝑖 . Отметим также, что комбинация
(5.25)
ℱ − 𝜇𝜌 = −𝑃𝑡𝑜𝑡 ,
где 𝑃𝑡𝑜𝑡 есть полное давление, которое включает в себя в
нашем случае два вклада – от вещества и от электрического поля. Так, при отсутствии вещества 𝑃𝑡𝑜𝑡 = 𝐸 2 /8𝜋 ,
а полное выражение для тензора напряжений соответствует свободному электрическому полю.
Приведённый вывод для тензора напряжений аналогичен выводу, произведённому при поучении тензора энергии-импульса для произвольной релятивистской
системы, движение которой описывается принципом минимума действия [18, § 32]. При этом
∙ Если в выводе [18, § 32] использовалось действие 𝑆 ,
написанное в формализме Лагранжа, то мы производили вывод с функционалом 𝐹 , который написан в формализме Гамильтона. Принципиально
схемы вывода это не меняет, но об этом следует
помнить.
∙ Мы рассматриваем стационарную ситуацию, поэтому производные по времени не появлялись в
наших вычислениях.
5.2.1.1
Предел слабых полей – линейная зависимость индукции от силы электрического поля
Рассмотрим предел слабых полей, когда связь между
индукцией электрического поля и интенсивностью электрического поля линейна, D = 𝜀E. В этом случае
ℱ(𝑇, 𝜌, E) = ℱ0 (𝑇, 𝜌) −
𝜀𝐸 2
,
8𝜋
1 С математической точки зрения равенства (5.21) можно считать уравнениями движения, а условие потенциальности электрического
поля – связью первого рода [17, Лекции по квантовой механике. Лекция 1].
Глава 5. Термодинамика тела во внешнем электромагнитном поле
где ℱ0 – выражение для свободной энергии в отсутствии
электрического поля. Проводя дальнейшие вычисления
получаем тензор напряжений
𝜎 𝑖𝑘
= 𝜎0𝑖𝑘 + 𝜎𝐸𝑖𝑘 ,
𝑖𝑘
𝜎𝐸
𝜎0𝑖𝑘 = −𝑃0 𝛿 𝑖𝑘 ,
(5.26)
ющая на единицу объёма образца со стороны электрического поля, равна
)︂
(︂
𝐸2
𝜕𝜀 𝐸 2
−
grad 𝜀 (5.27)
𝑓 𝑖 = 𝜕𝑘 𝜎𝐸𝑖𝑘 = grad 𝜌
𝜕𝜌 8𝜋
8𝜋
5.2.2
(︂
)︂ 2
𝜕𝜀
𝐸 𝑖𝑘
𝜀𝐸 𝑖 𝐸 𝑘
= 𝜌
−𝜀
𝛿 +
𝜕𝜌
8𝜋
4𝜋
Часть тензора напряжений 𝜎
^0 соответствует тензору напряжений при нулевом электрического поля. Другая
часть 𝜎
^𝐸 описывает влияние именно электрического поля, то есть описывает пондеромоторные силы, действующие в образце. Сила (пондеромоторная сила), действу-
30
Неоднородная среда
Выражение (5.24) верно также и для слабонеоднородной среды, поскольку в этом случае полученное локальное выражение для тензора напряжений
𝜎 𝑖𝑘 также применимо.
5.2.3
§5.3. Энергия поля в диспергирующих средах
Рассмотрим неподвижную непрерывную среду, в которой возбуждено переменное электромагнитное поле.
В этом Пункте мы изучаем поток и плотность энергии, связанный с электромагнитным полем, а также скорость диссипации этой энергии в тепло.
Прежде всего запишем плотность потока энергии –
вектор Умова-Пойнтинга S:
S
=
𝑐
[E, H].
4𝜋
(5.28)
В справедливости этого выражения можно убедиться, рассмотрев границу раздела рассматриваемой среды с вакуумом. Нормальная компонента потока энергии
должна быть непрерывна при переходе через границу,
и выражение (5.28) – единственное, удовлетворяющее
этому условию, поскольку на границе раздела остаются непрерывными тангенциальные компоненты именно
электрического поля E и магнитного поля H.
Мгновенное значение дивергенции от потока энергии должно быть равно мощности, передаваемой единице объёма со знаком минус:
𝜕𝑊
div S = −
.
𝜕𝑡
Используя уравнения Максвелла в среде, получаем, что
− div S
=
E𝜕𝑡 D + H𝜕𝑡 B
=
4𝜋
=
𝜕𝑡 (𝐸 2 + 𝐵 2 )
+ E𝜕𝑡 P − M𝜕𝑡 B.
4𝜋
(5.29)
При выводе мы полагали, что внешние заряды отсутствуют, jext = 0.
В случае, когда волна является почти монохроматической и имеющей частоту 𝜔 , можно переписать полученные формулы (5.28,5.29), усреднив их по периоду
колебаний поля. Выделим у всех полей огибающую по
времени (для электрического поля – Ẽ(𝑡)), как это было
сделано в Пункте 4.1.2.1. В результате усреднения исчезают слагаемые, осциллирующие с двойной частотой
2𝜔 , и мы получаем
[︁
]︁
𝑐
S =
Re Ẽ, H̃* ,
(5.30)
2𝜋
(︁ [︀
]︀*
[︀
]︀* )︁
1
Re Ẽ (𝜕𝑡 − 𝑖𝜔)D̃ + H̃ (𝜕𝑡 − 𝑖𝜔)B̃
𝜕𝑡 𝑊 =
.
2𝜋
5.3.1
Скорость диссипации энергии
Для того, чтобы посчитать скорость диссипации 𝑄 электромагнитной энергии в тепло, следует рассмотреть постоянную монохроматическую волну. Тогда скорость
диссипации 𝑄 = 𝜕𝑡 𝑊 , поскольку при постоянстве амплитуды колебаний поля вся уходящая в единицу объёма мощность переходит в тепло. Из (5.30) получаем
𝜕𝑡 𝑊
=
(︁
)︁
𝜔
Im ẼD̃* + H̃B̃* .
2𝜋
(5.31)
Теперь примем, что электрическая и магнитная индукция линейно зависят от электрического и магнитного полей,
˜ 𝑖 = 𝜀^𝑖𝑘 (𝜔)𝐸
˜𝑘,
𝐷
˜𝑖 = 𝜇
˜ 𝑘,
𝐵
^𝑖𝑘 (𝜔)𝐻
где диэлектрическая восприимчивость 𝜀^ и магнитная
проницаемость 𝜇
^ являются локальными операторами в
пространстве, но имеют некоторое запаздывание во времени (т.е. частотную дисперсию). В результате получаем, что
𝑄 =
(5.32)
(︁
)︁
𝜔
˜𝑖𝐸
˜ *𝑘 + 𝑖(𝜇*𝑘𝑖 − 𝜇𝑖𝑘 )𝐻
˜ 𝑖𝐻
˜ *𝑘 =
𝑖(𝜀*𝑘𝑖 − 𝜀𝑖𝑘 )𝐸
=
4𝜋
)︁
𝜔 (︁ 𝑖𝑘 ˜ 𝑖 ˜ *𝑘
˜ 𝑖 ˜ *𝑘 ,
=
𝜀𝑎 𝐸 𝐸
+ 𝜇𝑖𝑘
𝑎 𝐻 𝐻
2𝜋
31
где мы разложили тензора на эрмитову и антиэрмитву
части, например,
𝜀𝑖𝑘
=
𝑖𝑘
𝜀𝑖𝑘
ℎ + 𝑖𝜀𝑎 ,
𝑖𝑘
𝜀*𝑘𝑖
ℎ = 𝜀ℎ ,
𝑖𝑘
𝜀*𝑘𝑖
𝑎 = 𝜀𝑎 .
В частности, для того, чтобы колебания электромагнитного поля на частоте 𝜔 не испытывали диссипации в
среде, необходимо, чтобы анти-эрмитовы части диэлектрической проницаемости и магнитной восприимчивости на данной частоте были нулевыми, т.е. чтобы выполнялись равенства
*𝑘𝑖
𝜀
𝑖𝑘
(𝜔) = 𝜀 (𝜔),
𝜇
*𝑘𝑖
𝑖𝑘
(𝜔) = 𝜇 (𝜔).
(5.33)
Отметим, что условие (5.33) является только необходимым, но не достаточным для того, чтобы среда оказалась прозрачной, см. Пункт 4.1.1. При выполнении
условий (5.33) произведение 𝜀𝜇 может оказаться действительной отрицательной величиной – в этом случае
среда не будет прозрачной, хотя поглощение в ней будет
отсутствовать.
Наконец рассмотрим случай волнового пакета, когда время действия электрического поля конечно. Тогда имеет смысл говорить об объёмной плотности полного тепла 𝑊 , выделившегося в единице объёма. Для
упрощения записи возьмём частный случай изотропной
среды, тогда
𝑊
=
+∞
ˆ
d𝑡 𝑄 =
(5.34)
−∞
=
1
4𝜋
+∞
ˆ
(︀
)︀
(d𝜔) 𝜀′′ (𝜔)|𝐸𝜔 |2 + 𝜇′′ (𝜔)|𝐻𝜔 |2 .
−∞
5.3.2
Энергия электромагнитных волн
Рассмотрим почти монохроматическую волну с несущей
частотой 𝜔 . Будем предполагать, что амплитуда электромагнитного поля медленно увеличивается во времени, причём при 𝑡 → −∞ она была равна нулю. Для
простоты выкладок положим, что она возрастала экспоненциально, пропорционально exp(𝛾𝑡) с малым положительным 𝛾 . В этом случае огибающая (4.12)
Ẽ(𝜔 ′ ) = E𝜔 𝛿(𝜔 ′ − 𝑖𝛾),
Ẽ(𝑡) = E𝜔 𝑒−𝑖(𝜔+𝑖𝛾)𝑡 ,
где E𝜔 – константа. Работа 𝐴, затраченная внешними
источниками к моменту времени 𝑡, равна
1
𝐴 =
4𝜋
ˆ𝑡
d𝑡 (E 𝜕𝑡 D + ) ,
−∞
см. (5.14). Усредним это выражение по периоду, удерживая слагаемые не менее чем нулевого порядка по малому 𝛾 . В результате осциллирующие по времени члены
уйдут, и мы получим выражение
𝐴(𝑡 = 0)
=
1
4𝜋
(5.35)
Глава 6. Постоянное магнитное поле
32
Глава 6
ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§6.1. Магнитное поле постоянных токов
Выразим индуктивность 𝐿 контура через его геометрическое характеристики. Как известно, энергия магнитного поля в контуре может быть записана через самоиндукцию контура 𝐿:
𝑈𝐿 =
𝐿𝐽 2
2𝑐2
(6.1)
С другой стороны, можно записать эту энергию напрямую:
ˆ
1
𝑈𝐿 =
𝐵 2 𝑑𝑉
(6.2)
8𝜋
Преобразуем это выражение следующим образом
ˆ
ˆ
1
1
𝐵 2 𝑑𝑉 =
(𝐵, rot𝐴)𝑑𝑉 =
(6.3)
8𝜋
8𝜋
ˆ
ˆ
1
1
=
div[𝐴, 𝐵]𝑑𝑉 +
(𝐴, rot𝐵)𝑑𝑉.
8𝜋
8𝜋
где 𝐴 – вектор-потенциал, 𝐵 = rot𝐴. Интеграл от дивергенции исчезает, а во втором слагаемом пользуемся
уравнениями Максвелла:
ˆ
ˆ
1
1
(𝐴, rot𝐵)𝑑𝑉 =
(𝐴, 𝑗)𝑑𝑉
(6.4)
8𝜋
2𝑐
Если теперь подставить квазистационарное выражение
для векторного потенциала через ток в калибровке Лоренца, получим:
ˆ
1
(𝐴, 𝑗)𝑑𝑉 =
(6.5)
𝑈𝐿 =
2𝑐
=
1
2𝑐2
ˆ
(𝑗(𝑟1 ), 𝑗(𝑟2 ))
𝑑𝑉1 𝑑𝑉2 .
𝑟
Откуда сразу получаем:
ˆ
1
(𝑗(𝑟1 ), 𝑗(𝑟2 ))
𝑑𝑉1 𝑑𝑉2
𝐿= 2
𝐽
𝑟
(6.6)
Действительно, воспользовавшись условием бездивергентности тока в виде div 𝑗 = 0
ˆ
ˆ
d𝑉 (𝑟𝑖 𝑗 𝑘 + 𝑟𝑘 𝑗 𝑖 ) =
d𝑉 𝜕𝑚 (𝑟𝑖 𝑟𝑘 𝑗 𝑚 ) = 0
получаем, что магнитный момент определяется равенством
ˆ
𝑐 𝜀𝑖𝑘𝑙 𝜇𝑙 = 𝑐 𝜇𝑖𝑘 =
d𝑉 𝑟𝑖 𝑗 𝑘 ,
𝜇𝑖𝑘 = −𝜇𝑘𝑖 . (6.7)
§6.2. Магнитостатика. Динамика магнитного момента в магнетиках.
6.2.1
Базовые соотношения
Если в среде есть ненулевая плотность магнитного момента (намагниченность) 𝑀 (𝑟), то уравнения Максвелла в отсутствие внешних источников в статическом пределе (уравнения магнитостатики) имеют вид:
div 𝐵 = 0,
rot 𝐵 = 4𝜋 rot 𝑀 .
(6.8)
Здесь 𝐵(𝑟) – магнитное поле (по историческим причинам называется индукцией магнитного поля). Обычно уравнения магнитостатики применяют для ситуаций,
когда исследуемые эффекты происходят на масшабах,
существенно превышающих межатомные расстояния в
среде. В этом случае можно считать и намагниченность
𝑀 (𝑟), и поле 𝐵(𝑟) усредненными по флуктуациям на
молекулярных масштабах. Удобно ввести векторное поле 𝐻 = 𝐵 − 4𝜋𝑀 (которое по историческим причи-
нам называется магнитным полем), являющееся в отсутствие внешних токов потенциальным:
div 𝐻 = −4𝜋 div 𝑀 ,
rot 𝐻 = 0.
(6.9)
Последнее уравнение означает, что 𝐻 = −∇𝜑, где 𝜑 –
скалярное поле, и определение магнитного поля по данному распределению намагниченности сводится к решению уравнения типа Пуассона:
△𝜑 = 4𝜋 div 𝑀 .
6.2.1.1
(6.10)
Ферромагнетики и их магнитная энергия.
Ферромагнетик при макроскопическом описании характеризуется некоторой намагниченностью 𝑀 (𝑟), которая
33
не исчезает при выключении внешних полей (спонтанная намагниченность). За ее образование ответственны спины электронов и обменное взаимодействие, имеющие квантовомеханическую природу. Ниже мы будем считать, что модуль намагниченности фиксирован
|𝑀 (𝑟)| = 𝑀0 , направление же определяется минимумом
энергии, к которой сейчас и переходим.
Если нет внешних полей, то фундаментальные законы в магнитостатическом пределе дают следующее выражение для магнитной энергии (гамильтониана) среды:
ˆ
ˆ
𝐵2 3
d 𝑟 − 𝑀 𝐵 d3 𝑟.
(6.11)
ℋ𝑚 =
8𝜋
Имеется тождество:
ˆ
ˆ
3
𝐻𝐵 d 𝑟 = − ∇𝜑𝐵 d3 𝑟 = 0,
(6.12)
откуда следует другое выражение для магнитной энергии:
ˆ
1
𝑀 𝐵 d3 𝑟.
(6.13)
ℋ𝑚 = −
2
Энергия взаимодействия с внешним полем 𝐵src входит
аддитивно:
ˆ
ˆ
1
ℋ𝑚 = −
𝑀 𝐵𝑀 d3 𝑟 − 𝑀 𝐵src d3 𝑟.
(6.14)
2
𝐵𝑀 обозначает магнитное поле, создаваемое только намагниченностью 𝑀 (𝑟).
Выражение (6.11) может быть получено из (5.13)
следующим образом: во-первых, поскольку нет внешних полей, то следует положить 𝐵src = 0; во-вторых, из
^
гамильтониана ℋ(𝜙,
A) мы выделили слагаемое, аналогичное слагаемому ‘𝐵𝐵src ’ в (5.13)
ˆ
ˆ
1
3
−
d 𝑟 𝐵𝐵𝑀 = − d3 𝑟 𝐵𝑀 ;
4𝜋
^
вся же остальная часть ℋ(𝜙,
A), как мы предположили, не изменяется. В выражении (6.14) по сравнению с
(6.11) восстановлено слагаемое
´ ‘𝐵𝐵2src ’, но по сравнению
с (5.13) вычтено слагаемое d3 𝑟 𝐵src
/8𝜋 , то есть (6.14)
соответствует (5.16).
6.2.2
Магнитные
стенки
домены:
доменные
Образование доменной структуры обусловлено компромиссом между различными составляющими полной
энергии образца. Существует широкая область условий, в которых требование минимизации энергии ведет распаду ферромагнетика на участки с различными
направлениями вектора намагниченности 𝑀 . Намагниченность внутри доменов почти однородна, а переход
от одного направления к другому происходит плавно и
главным образом в пределах пограничного слоя - доменной стенки. Толщина областей перехода обычно мала по
сравнению с размерами доменов. С термодинамической
точки зрения соприкасающиеся домены представляют
собой различные фазы ферромагнетика и имеет смысл
к примеру говорить о поверхностном натяжении межфазных границ.
Зададимся целью определить пространственную
структуру намагниченности при переходе между соседними доменами. Поскольку искомая зависимость диктуется условиями термодинамического равновесия, то
необходимо прежде всего записать выражение для полной свободной энергии ферромагнетика. Эта величина складывается из энергии магнитной анизотропии
(на микроскопическом уровне обусловленной слабыми релятивистскими взаимодействиями между атомами ферромагнетика) и энергии магнитной неоднородности (главный вклад в которую дает обменное взаимодействие).
Спин-орбитальное взаимодействие в кристаллах
приводит к “привязке” намагниченности к кристаллическим осям - магнитной анизотропии. Простейшим и
достаточно распространенным является одноосная анизотропия, выражаемая в следующей модификации магнитного гамильтониана:
ˆ
ˆ
ˆ
𝛽
1
𝑀 𝐵𝑀 d3 𝑟 − 𝑀 𝐵src d3 𝑟 −
𝑀𝑧2 d3 𝑟.
ℋ=−
2
2
(6.15)
𝑀𝑧 – компонента намагниченности вдоль оси анизотропии 𝑧 . В равновесии при 𝛽 > 0 однородная намагниченность 𝑀0 выстраивается параллельно оси 𝑧 . Однако однородная по образцу намагниченность может не
быть термодинамически равновесным состоянием. Данное выражение учитывает первые члены разложение
энергии анизотропии в ряд по компонентам вектора 𝑀 .
Начинается это разложение с квадратичных членов, поскольку энергия анизотропии есть четная функция намагниченности (энергия инвариантна по отношению к
обращению времени, а намагниченность меняет знак
при этой операции).
С точностью до слагаемых, пропорциональных 𝑀 2 ,
практически постоянных в ферромагнетиках, энергия
(6.15) может быть представлена в виде:
ℋ=
1
8𝜋
ˆ
ˆ
2
𝐻𝑀
d3 𝑟 −
𝑀 𝐵src d3 𝑟 −
𝛽
2
ˆ
𝑀𝑧2 d3 𝑟, (6.16)
где 𝐻𝑀 = 𝐵𝑀 − 4𝜋𝑀 . Стремление системы к уменьшению модуля 𝐻𝑀 является причиной образования доменной структуры. Если при направлении 𝑀 вдоль оси
анизотропии 𝑧 поле 𝐻𝑀 оказывается равным нулю (такое может случиться при цилиндрической геометрии образца), то доменов не образуется. То же происходит при
достаточно сильном внешнем поле 𝐵src .
Если в силу малого объёма магнетика магнитной
энергией можно пренебречь, то отдельно объёмная
плотность энергии, связанная с анизотропией, может
Глава 6. Постоянное магнитное поле
34
быть записана в виде
𝑈ан
тропии и однородности может быть записана как
𝛽𝑀 2
=
sin2 𝜃
2
(6.17)
𝑊
=
+∞
ˆ
𝑑𝑥 (𝑈ан + 𝑈неодн ) =
−∞
где 𝜃 - угол между 𝑀 и главной осью симметрии кристалла 𝑧 .
Энергия неоднородности ферромагнетика феноменологически может быть записана через производные 𝑀
по координатам. При этом предполагается относительная малость градиента направления вектора 𝑀 , поскольку существенное изменение направления магнитных моментов происходит на расстояниях больших по
сравнению с межатомными. Разложение энергии неоднородности начинается с квадратичных членов по пространственным производным магнитного момента
𝑈неодн =
𝜕𝑀𝑙 𝜕𝑀𝑙
1
𝛼𝑖𝑘
2
𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑘
(6.18)
𝑈неодн
−∞
=
𝑀2
2
+∞
ˆ
]︁
[︁
2
𝑑𝑥 𝛼⊥ 𝜃′ + 𝛽 sin2 𝜃
[︃(︂
)︂2 (︂
)︂2]︃
(︂
)︂
𝛼‖ 𝜕𝑀 2
𝜕𝑀
𝜕𝑀
+
+
. (6.19)
𝜕𝑥
𝜕𝑦
2
𝜕𝑧
(6.21)
−∞
где ‘ ′ ’ означает дифференцирование по 𝑥. Бесконечные
пределы интегрирования выбраны в связи с предположением о малости ширины переходной области по сравнению с толщиной доменов. По этой же причине можно
записать следующие граничные условия
𝜃(+∞) = 0,
Наличие членов линейных по производным запрещено
в силу требования инвариантности энергии по отношению к обращению времени. В одноосном кристалле тензор 𝛼𝑖𝑘 имеет две независимые компоненты, поэтому в
выбранной системе координат
𝛼⊥
=
2
=
+∞
[︂
]︂
ˆ
)︁ 𝛽
𝛼⊥ (︁ ′ 2
′2
′2
𝑑𝑥
𝑀𝑦 + 𝑀𝑧 + 𝑀𝑦 =
2
2
𝜃(−∞) = 𝜋,
𝑑𝜃
(±∞) = 0.
𝑑𝑥
Решая вариационную задачу о минимизации полученного функционала, приходим к уравнению
𝛼⊥
𝑑2 𝜃
− 𝛽 sin 𝜃 cos 𝜃 = 0
𝑑𝑥2
решение которого имеет вид
(6.22)
cos 𝜃 = tanh(𝑥/𝛿)
где величину размерности дины 𝛿 = 𝛼⊥ /𝛽 следует назвать шириной доменной стенки.
Выполняя интегрирование в выражении для энергии
с учетом найденного распределения намагниченности,
находим
√︀
(6.23)
𝑊 = 2𝑀 2 𝛽𝛿 = 2𝑀 2 𝛼⊥ 𝛽
√︀
Покажем теперь, что в одноосном кристалле реализуется доменная структура в виде плоских слоев, параллельных главной оси симметрии ("легкой оси") и поворот намагниченности при этом происходит в плоскости
границы между слоями (блоховская доменная стенка).
Направим ось 𝑥 по нормали к плоскости слоев, а ось 𝑧
как и в указанных выше формулах вдоль главной оси
кристалла. Мы ищем решение, в котором распределение
намагниченности зависит только от координаты 𝑥 и для
компонент вектора 𝑀 справедливо
𝑀𝑥 = 0,
𝑀𝑦 = 𝑀 sin 𝜃,
𝑀𝑧 = 𝑀 cos 𝜃.
(6.20)
Тогда сумма поверхностной плотности энергий анизо-
6.2.3
Ферромагнитный резонанс.
При отклонении конфигурации намагниченности от такой, которая реализует минимум энергии, возникнут
магнитные колебания. Уравнения движения намагниченности в пренебрежении диссипацией имеют вид:
[︂
]︂
𝑑
𝛿ℋ
𝑀 = 𝑀
.
(6.24)
𝑑𝑡
𝛿𝑀
35
I.
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЯ
Часть I
Глава 7
ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ОТКЛИКА И
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ
§7.1. Обобщённая восприимчивость
Пусть на некоторую систему действует возмущение,
создаваемой внешними источниками. Добавка в гамильтониан от возмущения даётся выражением
^ = −^
𝒱(𝑡)
𝑥𝑓 (𝑡),
(7.1)
где 𝑥
^ – оператор, соответствующий некоторой наблюдаемой величине в системе, а 𝑓 (𝑡) – внешняя “сила”, зависящая от времени и характеризующая внешнее воздействие на систему. Если сила мала, то есть производит
малое воздействие на систему, то среднее значение величины 𝑥(𝑡) линейно по этой силе,
ˆ𝑡
𝑥(𝑡)
𝛼(𝑡 − 𝑡′ ) d𝑡′ 𝑓 (𝑡′ ).
=
(7.2)
−∞
В (7.2) интегрирование производится только по временам 𝑡′ < 𝑡, что гарантирует выполнения принципа причинности. Доопределим восприимчивость 𝛼(𝜏 ) на отрицательные времена, положив 𝛼(𝜏 < 0) = 0, тогда интегрирование по времени в (7.2) можно распространить
на все времена 𝑡′ .
Монохроматическую силу 𝑓 можно представить в
виде
𝑓 (𝑡) = 𝑓𝜔 𝑒−𝑖𝜔𝑡 + 𝑓𝜔* 𝑒𝑖𝜔𝑡 .
(7.3)
Если сила 𝑓 не монохроматическая, но имеет некоторый
спектр, то она может быть представлена в виде интеграла Фурье,
ˆ
𝑓 (𝑡) =
(d𝜔)𝑓𝜔 𝑒−𝑖𝜔𝑡 ,
(7.4)
При этом разумно предположить, что во временном
представлении сила действует в течении некоторого времени 𝜏𝑓 .
В Фурье-представлении связь между средним значением 𝑥 и силой 𝑓𝜔 имеет вид
𝑥𝜔
= 𝛼𝜔 𝑓𝜔 ,
где 𝛼𝜔 определяется равенством
ˆ
𝛼(𝑡) =
(d𝜔) 𝛼𝜔 𝑒−𝑖𝜔𝑡 .
(7.5)
7.1.1
Аналитические свойства обобщённой восприимчивости: соотношения Крамерса-Кронига
Из того, что во временно́м представлении восприимчивость является чисто действительной функцией следует
симметрия её действительной и мнимой частей в частотном представлении,
𝛼′ (−𝜔) = 𝛼′ (𝜔),
𝛼′′ (−𝜔) = −𝛼′′ (𝜔).
Из принципа причинности следует, что в Фурьепредставлении у комплексной функции 𝛼(𝜔) в верхней
полуплоскости, когда Im 𝜔 > 0, нет полюсов. В свою
очередь, из этого факта следует равенство
ˆ
d𝜔 ′
𝜔′
𝛼(𝜔 ′ )
− (𝜔 + 𝑖0)
=
2𝜋𝑖𝛼(𝜔),
где интегрирование производится по действительной
оси. Если в выписанном интегральном равенстве выделить действительную и мнимую части, то получим соотношения Крамерса-Кронига (Kramers–Kronig
relations):
𝛼′ (𝜔)
=
1
𝜋
𝛼′′ (𝜔)
=
−
d𝜔 ′
1
𝜋
𝛼′′ (𝜔 ′ )
𝜔 ′ − (𝜔 + 𝑖0)
d𝜔 ′
(7.8)
𝛼′ (𝜔 ′ )
𝜔 ′ − (𝜔 + 𝑖0)
где интегрирование вблизи полюса происходит в смысле
главного значения. Если воспользоваться антисимметрией мнимой части восприимчивости, то первое соотношение Крамерса-Кронига можно переписать в виде
+∞
2|𝜔|
𝛼 (𝜔) =
𝜋
′
(7.6)
(7.7)
d𝜔 ′
0
𝛼′′ (𝜔 ′ )
𝜔 ′2 − (|𝜔| + 𝑖0)2
(7.8𝑎)
Глава 7. Теория линейного отклика и элементы статистики
7.1.2
Диссипация энергии в системе
^ 0 – гамильтониан невозмущённой системы. Расклагде ℋ
дывая матрицу плотности в ряд по малому возмущению,
получаем, что
Мгновенная выделяющаяся мощность в системе
𝑄 = −𝑥𝑓˙,
(7.9)
Если сила гармоническая во времени, см. (7.3), то после усреднение по времени, большому по сравнению с
периодом колебания силы 2𝜋/𝜔 , получим, что
*
𝑄 = 𝛼𝜔 |𝑓𝜔 |2 𝑖𝜔 − 𝛼𝜔
|𝑓𝜔 |2 𝑖𝜔 =
=
(7.10)
′′
2 𝜔 𝛼𝜔
|𝑓𝜔 |2 .
Таким образом, диссипация определяется мнимой частью восприимчивости.
Поскольку скорость диссипации в системе, которая
находится в равновесии, должна быть неотрицательна,
то мнимая часть диэлектрической проницаемости должна удовлетворять условию
𝛼′′ (𝜔 > 0) >
0.
(7.11)
Если сила действовала в течении ограниченного времени, так что может быть представлена в виде (7.4), то
полное выделившееся тепло в системе равно
+∞
+∞
ˆ
ˆ
𝑊 =
d𝑡 𝑄 =
(d𝜔) 𝜔𝛼′′ (𝜔) |𝑓𝜔 |2 .
−∞
7.1.3
36
(7.12)
𝜌^(𝑡)
𝛼𝑖𝑘 (𝜏 )
Пусть теперь у нас есть несколько сил 𝑓 𝑖 и сопряжённых им величин 𝑥
^𝑖 , так что гамильтониан возмущения,
производимого внешними силами, равен
∑︁
^
𝒱(𝑡)
= −
𝑥
^𝑖 𝑓 𝑖 (𝑡).
𝑖
Среднее значение 𝑥𝑖 (𝑡) этих величин будет линейно по
силам, если они малы,
∑︁ ˆ ∞
𝑥𝑖 (𝑡) =
d𝜏 𝛼𝑖𝑘 (𝜏 ) 𝑓 𝑘 (𝑡 − 𝜏 ).
0
При 𝑖 ̸= 𝑘 функция отклика 𝛼𝑖𝑘 может быть названа
взаимной восприимчивостью.
Для восприимчивости 𝛼𝑖𝑘 (𝜏 ) может быть получена
формула Кубо, обобщающая ‘золотое правило Ферми’.
Общее выражение для среднего значения величины 𝑥
^𝑖
есть
𝑥𝑖 (𝑡)
=
=
tr{^
𝜌(𝑡) 𝑥
^𝑖 (𝑡)},
(7.13)
где 𝜌^ – матрица плотности системы. Будем работать в
представлении взаимодействия, так что
[︀
]︀
[︀
]︀
^ 0 , 𝒱^ ,
𝑖~𝜕𝑡 𝜌^ = 𝜌^, 𝒱^ ,
𝑖~𝜕𝑡 𝒱^ = ℋ
[︀
]︀
^ ′ ) d𝑡′ ,
𝜌^0 , 𝒱(𝑡
−∞
=
]︀ 𝑖
}︀
𝑖 {︀[︀
^𝑘 (𝑡) 𝑥
^ (𝑡 + 𝜏 ) = (7.14)
− tr 𝜌^0 , 𝑥
~
]︀}︀
𝑖 {︀ [︀ 𝑖
tr 𝜌^0 𝑥
^ (𝑡 + 𝜏 ), 𝑥
^𝑘 (𝑡) .
~
где[︀время ]︀𝑡 может быть выбрано произвольно, посколь^ 0 = 0. Это соотношение называется формулой
ку 𝜌^0 , ℋ
Кубо [19, §126, Ур.(126.9)], [20, §7.2, Ур.(7.25)].
7.1.4
Принцип симметрии коэффициентов обобщённой восприимчивости
Для взаимных восприимчивостей выполняется равенство симметрии
𝛼𝑖𝑘 (𝜏 ; H)
Формула Кубо
ˆ𝑡
где матрица плотности 𝜌0 соответствует статистическому равновесию, то есть является распределением Гибб^ 0 − 𝐹 )/𝑇 }, где 𝐹 – свободная энергия.
са, 𝜌^0 = exp{−(ℋ
Подставляя это в выражение (7.13), получаем выражение для восприимчивости:
−∞
𝑘
=
𝑖
𝜌0 +
~
= 𝛼𝑘𝑖 (𝜏 ; −H).
(7.15)
Это равенство связано с инвариантностью динамики системы по отношению к операции обращения времени,
поэтому требуется изменение знака перед магнитным
полем H. В (7.15) мы предполагаем, что обе величины
𝑥𝑖 и 𝑥𝑘 обладают одной и той же симметрией по отношению к операции обращения времени. Если же они
обладают противоположной симметрией по отношению
к этой операции, в (7.15) надо поставить знак минус, см.
[19, §125, Ур.(125.14)].
Докажем формулу (7.15). Из формулы Кубо (7.14)
следует, что
𝛼𝑘𝑖 (𝜏 )
=
]︀}︀
𝑖 {︀ [︀ 𝑖
− tr 𝜌^0 𝑥
^ (𝑡 − 𝜏 ), 𝑥
^𝑘 (𝑡) .
~
Поскольку восприимчивость 𝛼𝑖𝑘 – действительная величина во временном представлении, то
]︀}︀
𝑖 {︀ [︀ 𝑖,*
tr 𝜌^0 𝑥
^ (𝑡 − 𝜏 ), 𝑥
^𝑘,* (𝑡) .
~
где * означает операцию комплексного сопряжения.
Операция комплексного сопряжения, вместе с обращением знака магнитного поля, соответствует операции
обращения времени Таким образом, приходим к равенству
]︀}︀ ⃒⃒
𝑖 {︀ [︀ 𝑖
𝛼𝑘𝑖 (𝜏 ) =
tr 𝜌^0 𝑥
^ (−𝑡 + 𝜏 ), 𝑥
^𝑘 (−𝑡) ⃒
.
~
H→−H
𝛼𝑘𝑖 (𝜏 )
=
В результате приходим к соотношению (7.15).
37
I.
ПРИЛОЖЕНИЯ
§7.2. Флуктуации случайной величины: автокорреляционная функция
Пусть 𝑥 – измеряемая величина некоторой физической системы, 𝑥
^ – квантовомеханический оператор, соответствующий этой величине. Эта система имеет большое число степеней свободы и/или взаимодействует с
резервуаром, поэтому поведение во времени величины
𝑥(𝑡) носит случайный характер: есть вреднее по времени
значение ⟨𝑥⟩𝑡 , которое для упрощения записи дальнейших формул мы считаем нулевым, ⟨𝑥⟩𝑡 = 0, и на фоне
этого среднего величина 𝑥(𝑡) претерпевает случайные
флуктуации.
Хотя флуктуации 𝑥(𝑡) носят случайный характер, их
статистика однородна по времени, если состояние исследуемой системы во времени статистически не меняется; в таком случае 𝑥(𝑡) называется стационарной случайной функцией. В дальнейшем наших рассуждениях
мы будем предполагать такую статистическую однородность по времени. В таком случае характер флуктуаций
𝑥(𝑡) можно описать с помощью корреляционных функций. Простейшей корреляционной функцией является
парная корреляционная функция
7.2.1
Теорема Винера-Хинчина
Связь между 𝑥𝜔 и 𝐹𝜔 можно получить, исходя из определения 𝐹 (𝜏 ):
ˆ
𝐹𝜔 =
(d𝜔)(d𝜔 ′ ) ⟨𝑥𝜔 𝑥𝜔′ ⟩ exp[−𝑖𝑡(𝜔 + 𝜔 ′ )],
(7.20)
где ⟨𝑥𝜔 𝑥𝜔′ ⟩ – среднее значение, которое в данном случае
проще всего понимать в смысле усреднения по статистическому ансамблю. Для того, чтобы корреляционная
функция зависела только от разности времен 𝜏 , надо,
чтобы зависимость от абсолютного значения времени 𝑡
отсутствовалв. Это достигается, если среднее от Фурьекомпонент случайного процесса достигается только ри
совпадении абсолютного значения частот:
⟨𝑥𝜔 𝑥𝜔′ ⟩ = 2𝜋𝛿(𝜔 + 𝜔 ′ ) (𝑥2 )𝜔 ,
(7.16)
⟨𝑥(𝑡)𝑥(𝑡 + 𝜏 )⟩,
=
называемая также автокорреляционной функцией. В
(7.16) угловые скобки обозначают усреднение. Это
усреднение можно понимать как усреднение по времени
𝑡, так и усреднение по статистическому ансамблю рассматриваемых систем. В последнем случае левая часть
не зависит от общего времени 𝑡 именно в силу статистической однородности по времени.
Удобно иметь дело с Фурье-компонентами величин. Экспериментально измеренный случайный процесс
представим в виде
ˆ
𝑥(𝑡)
=
(7.17)
(d𝜔) 𝑥𝜔 𝑒−𝑖𝜔𝑡 ,
ˆ
𝐹 (𝜏 ) =
𝐹𝜔 =
d𝜏 𝐹 (𝜏 ) 𝑒𝑖𝜔𝜏 .
(7.18)
Предположим сейчас, что рассматриваемая величина 𝑥 классическая, т.е. 𝑥(𝑡)𝑥(𝑡′ ) = 𝑥(𝑡′ )𝑥(𝑡). Из этого
предположения, а также из статистической однородности по времени следует чётность автокорреляционной
функции, 𝐹 (−𝜏 ) = 𝐹 (𝜏 ). Действительно,
𝐹 (𝜏 )
1
=√
𝑇
𝑇 /2
ˆ
d𝑡 exp[𝑖𝜔𝑛 𝑡] 𝑥(𝑡),
𝜔𝑛 =
2𝜋𝑛
, (7.22)
𝑇
−𝑇 /2
ˆ
(d𝜔) 𝐹𝜔 𝑒−𝑖𝜔𝜏 ,
Получение корреляционных функций
путём усреднения по времени
Предположим, что случайный процесс 𝑥(𝑡) измерялся в течении некоторого (относительно продолжительного) промежутка времени 𝑇 . Выпишем здесь математические соотношения, позволяющие оперировать с
Фурье-компонентами случайного процесса 𝑥(𝑡) и автокорреляционной функции 𝐹 (𝜏 ). Мы будем считать,
что измерение проводилось во временном интервале
[−𝑇 /2, 𝑇 /2], а процесс 𝑥(𝑡) является периодичным с периодом 𝑇 . Поскольку в окончательных ответах будет
предполагаться предельный переход 𝑇 → ∞, то принятая периодичность не должна влиять на эти окончательные ответы.
Фурье-разложение процесса 𝑥(𝑡) имеет вид
x𝜔𝑛
также как и корреляционная функция,
(7.21)
Соотношение (7.21) называется теоремой ВинераХинчина (также известная как теорема ХинчинаКолмогорова), см. [21, §41] и оригинальные работы [22].
7.2.1.1
𝐹 (𝜏 )
(𝑥2 )𝜔 ≡ 𝐹𝜔 .
=
⟨𝑥(0) 𝑥(𝜏 )⟩ = ⟨𝛿𝑥(𝑡) 𝑥(𝜏 + 𝑡)⟩ =
=
⟨𝑥(0) 𝑥(−𝜏 )⟩ = 𝐹 (−𝜏 ).
В процессе выкладок мы выбрали 𝑡 = −𝜏 .
(7.19)
1 ∑︁
𝑥(𝑡) = √
exp[−𝑖𝜔𝑛 𝑡] x𝜔𝑛 ,
𝑇 𝑛∈Z
√
где 𝑛 – целое число, 𝑛 ∈ Z. Множитель 1/ 𝑇 в правой
части оставляет Фурье-компоненту 𝑥𝜔𝑛 конечной при
𝑇 → ∞. В непрерывном пределе обратное преобразование Фурье выглядело бы как
√ ˆ
1
𝑥(𝑡) = 𝑇 (d𝜔) 𝑒−𝑖𝜔𝑡 x𝜔 ,
x𝜔 = √ 𝑥𝜔 .
𝑇
сравни с (7.17). Таким образом, Фурье-образы x𝜔 и 𝑥𝜔 не
равны друг другу, а связаны между собой коэффициентом пропорциональности, зависящим от времени наблюдения; отметим, что удобство использования x𝜔 состоит
Глава 7. Теория линейного отклика и элементы статистики
в его конечности при увеличении времени наблюдения,
при 𝑇 → ∞. Корреляционная функция
𝐹 (𝜏 )
=
1
𝑇
𝑇 /2
ˆ
𝑥(𝑡) 𝑥(𝑡 + 𝜏 ) d𝑡.
(7.23)
38
Сравнивая это выражение с выражениями (7.20,7.21)
ещё раз приходим к естественному выводу: усреднение
по времени в этом выражении соответствует усреднению по статистическому ансамблю в выражении (7.21).
−𝑇 /2
Поскольку при 𝜏 → ∞ автокорреляционная функция
стремится к нулю, то при её Фурье-преобразовании частоту 𝜔 можно по-прежнему считать непрерывной величиной, оставляя поэтому определение преобразования
Фурье для 𝐹 (𝜏 ) в виде (7.18) Тем не менее, для проведения вычислений, сейчас мы будем считать 𝜔 дискретной. Итак,
∑︁
sin[(𝜔 − 𝜔𝑛 )𝑇 /2] sin[(𝜔𝑘 + 𝜔𝑛 )𝑇 /2]
,
𝐹𝜔 =
x𝜔𝑛 x𝜔𝑘
(𝜔 − 𝜔𝑛 )𝑇 /2
(𝜔𝑘 + 𝜔𝑛 )𝑇 /2
7.2.2
Представление
корреляционной
функции в квантовом случае
Фурье-компонента от оператора случайной величины и
его матричного элемента в представлении Гейзенберга в
базисе собственных функций Гамильтониана |𝑛⟩ даётся
выражениями:
ˆ
𝑥
^𝜔
=
d𝑡 𝑥
^(𝑡) exp[𝑖𝜔𝑡],
(7.25)
𝑛,𝑘∈Z
причём выражение типа sin(𝜔 ′ 𝑇 )/(𝜔 ′ 𝑇 ) при 𝜔 ′ = 0 надо
считать равным 1. При 𝑇 → ∞ из суммы выпадают все
слагаемые, кроме одного, которое определяется условием 𝜔𝑛 = 𝜔 , 𝜔𝑘 = −𝜔 . Поэтому
𝐹𝜔
= |x𝜔 |2 .
В этой формуле частоту 𝜔 можно уже считать непрерывным параметром: хотя величина |x𝜔𝑛 |2 как функция 𝑛 флуктуирует (вообще говоря, сильно) около своего среднего значения, но если произвести усреднение
этой величины по промежутку 𝛿𝑛 ≫ 1, то при 𝑇 → ∞
таким образом полученное среднее ⟨|𝑥𝜔 |2 ⟩ следует считать медленно меняющейся (на масштабах & 𝛿𝑛 и много меньших характерного изменения частот, на которой
меняется корреляционная функция 𝐹𝜔 ) функцией 𝜔 . Таким образом, окончательно получаем, что
(𝑥2 )𝜔 ≡ 𝐹𝜔 = ⟨|x𝜔 |2 ⟩ =
1
⟨|𝑥𝜔 |2 ⟩.
𝑇
(7.24)
Усреднение в этой формуле (реально происходящее по
𝑛) можно понимать и как усреднение по статистическому ансамблю: по сути, усреднив по 𝛿𝑛, мы провели
усреднение по 𝛿𝑛 почти независимым промежуткам времени длительностью 𝑇 /𝛿𝑛.
Если мы опустим в (7.23) усреднение по времени 𝑡
(при этом назовём такую функцию 𝐹 (𝜏, 𝑡)), то получим,
что
∑︁
𝐹𝜔 (𝑡) =
x𝜔𝑛 x𝜔 exp[−𝑖(𝜔𝑛 + 𝜔)𝑡].
(𝑥𝜔 )𝑛𝑚 ≡ ⟨𝑛|^
𝑥𝜔 |𝑚⟩ =
2𝜋𝛿(𝜔𝑛𝑚 − 𝜔) 𝑥𝑛𝑚 .
Матричный элемент квадрата обобщённой координаты
1
(^
𝑥𝜔 𝑥
^𝜔 ′ + 𝑥
^𝜔 ′ 𝑥
^𝜔 )𝑛𝑛 =
(7.26)
2
]︁
1 ∑︁ [︁
=
(𝑥𝜔 )𝑛𝑚 (𝑥𝜔′ )𝑚𝑛 + (𝑥𝜔′ )𝑛𝑚 (𝑥𝜔 )𝑚𝑛 =
2 𝑚
= 2𝜋 2
∑︁
[︁
]︁
|𝑥𝑛𝑚 |2 𝛿(𝜔𝑛𝑚 − 𝜔) + 𝛿(𝜔𝑛𝑚 + 𝜔) 𝛿(𝜔 + 𝜔 ′ )
𝑚
Здесь мы обобщили запись (7.21) на квантовый случай,
симметризовав выражение ⟨𝑥𝜔 𝑥𝜔′ ⟩ и затем использовали выражение (7.25). Поэтому величина (𝑥2 )𝜔 в случае,
если система находится в состоянии |𝑛⟩, равна
(𝑥2 )𝜔 = 𝜋
∑︁
[︁
]︁
|𝑥𝑛𝑚 |2 𝛿(𝜔𝑛𝑚 − 𝜔) + 𝛿(𝜔𝑛𝑚 + 𝜔) . (7.27)
𝑚
Если статистика системы описывается распределением Гиббса 𝜌𝑛 = exp[(𝐹 − 𝐸𝑛 )/𝑇 ], то выражение (7.27)
надо усреднить по этому распределению, в результате
чего получим
)︂]︂ ∑︁
[︂
(︂
~𝜔
𝜌𝑛 |𝑥𝑛𝑚 |2 𝛿(𝜔𝑚𝑛 − 𝜔)
(𝑥2 )𝜔 = 𝜋 1 + exp −
𝑇
𝑛,𝑚
(7.28)
𝑛∈Z
§7.3. Флуктуационно-диссипационная теорема
Согласно золотому правилу Ферми, обобщенная восприимчивость для величины 𝑥 по отношению к силе,
действующей на эту же величину, может быть получена из информации о матричных элементах оператора 𝑥
^ этой величины и распределении по микроканони-
ческим состояниям исследуемой системы. Эта же информация достаточна и для нахождения автокорреляционной функции величины 𝑥, а значит, и её флуктуаций. Более конкретно, и в обобщённую восприимчивость
(7.31), и в автокорреляционную функцию (7.28) вхо-
39
I.
дит усреднение по распределению Гиббса от квадрата
определённых матричных элементов оператора 𝑥
^. Поэтому удаётся установить связь (7.32) между обобщённой восприимчивостью и тепловыми флуктуациями величины 𝑥
^, что составляет содержание флуктуационнодиссипационной теоремы. Выведем эту теорему.
Рассмотрим некоторую систему, на которую действует гармоническая внешняя сила 𝑓 (𝑡) (7.3), описывающаяся гамильтонианом (7.1). Согласно ‘золотому правилу
Ферми’ скорость перехода d𝑤𝑛𝑚 из состояния |𝑛⟩ в состояния |𝑚⟩ из малого фазового объёма dΓ𝑚 равна
(︀
)︀
2𝜋
|𝑥𝑛𝑚 |2 |𝑓𝜔 |2 𝛿(𝜔𝑚𝑛 − 𝜔) + 𝛿(𝜔𝑚𝑛 + 𝜔) dΓ𝑚 ,
2
~
(7.29)
где две 𝛿 -функции в скобах соответствуют тому, что в
силе 𝑓 формально присутствуют две гармоники – ±𝜔 ,
разности частот 𝜔𝑚𝑛 = (𝐸𝑚 − 𝐸𝑛 )/~, и мы, как это всегда делается при применении ‘золотого правила Ферми’, предположили, что квадрат матричного элемента
|𝑥𝑛𝑚 |2 слабо отличается для разных состояний |𝑚⟩ в элементе фазового объёма dΓ𝑚 . Скорость выделения тепла
в системе
ˆ
𝑄 =
dΓ𝑛 dΓ𝑚 𝜌𝑛 𝑤𝑛𝑚 ~𝜔𝑛𝑚 =
(7.30)
d𝑤𝑛𝑚 =
=
2𝜋𝜔
|𝑓𝜔 |2 ×
~
ˆ
(︀
)︀
× dΓ𝑛 dΓ𝑚 𝜌𝑛 |𝑥𝑛𝑚 |2 𝛿(𝜔𝑚𝑛 − 𝜔) − 𝛿(𝜔𝑚𝑛 + 𝜔) =
[︂
=
(︂
)︂]︂
~𝜔
1 − exp −
×
𝑇
2𝜋𝜔
|𝑓𝜔 |2
~
ˆ
× dΓ𝑛 dΓ𝑚 𝜌𝑛 |𝑥𝑛𝑚 |2 𝛿(𝜔𝑚𝑛 − 𝜔),
где 𝜌𝑛 = exp[(𝐹 − 𝐸𝑛 )/𝑡] – распределение Гиббса.
Приводя в соответствие общее выражение (7.10) для
ПРИЛОЖЕНИЯ
скорости диссипации энергии при действии монохроматического внешнего возбуждения с полученным выражением (7.30), заключаем, что Фурье-компонента мнимой части восприимчивости
[︂
(︂
)︂]︂ ∑︁
~𝜔
𝜋
′′
1 − exp −
𝜌𝑛 |𝑥𝑛𝑚 |2 𝛿(𝜔𝑚𝑛 − 𝜔)
𝛼𝜔
=
~
𝑇
𝑛,𝑚
(7.31)
В (7.31) мы перешли от интегрирования по фазовому
пространству к сумме по состояниям для удобства сравнения правой части с Фурье-образом от автокорреляционной функции (7.28). В итоге получаем, что
[︂ ]︂
~𝜔
2
′′
.
(7.32)
(𝑥 )𝜔 = ~𝛼𝜔 cth
2𝑇
Это
равенство
и
называется
диссипационной теоремой.
7.3.1
флуктуационно-
Флуктуационно-диссипационная
теорема в классическом пределе
Классический предел достигается, когда постоянную
Планка следует считать малой, и потому соответствует
высоким температурам, 𝑇 ≫ ~𝜔 . В этом пределе выражение (7.32) принимает вид
(𝑥2 )𝜔
=
′′
2𝑇 𝛼𝜔
.
𝜔
(7.33)
В частности, средний (одновременной) квадрат флуктуаций даётся выражением, см (7.24):
+∞
+∞
ˆ
ˆ
𝛼′′
2
′
⟨𝑥 ⟩ =
(d𝜔) (𝑥 )𝜔 = 2𝑇
(d𝜔) 𝜔 = 𝑇 𝛼𝜔=0
,
𝜔
2
−∞
−∞
(7.34)
где мы воспользовались соотношением КрамерсаКронига (7.8).
Глава 8. Уравнения Максвелла в криволинейных координатах; специальные калибровки
40
Глава 8
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В
КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ;
СПЕЦИАЛЬНЫЕ КАЛИБРОВКИ
§8.1. Элементы дифференциальной геометрии
Рассмотрим трёх-мерное евклидово пространство
с декартовой системой координат 𝑟𝑖 , {𝑖, 𝑗, 𝑘, . . .} =
{1, 2, 3}. Пусть также в этом пространстве определена некоторая криволинейная система координат 𝜉 𝜇 ,
{𝜇, 𝜈, 𝜆, . . .} = {1, 2, 3}. Техника дифференциальной геометрии позволяет обобщать запись векторных и тензорных равенств, сформулированных исходно чаще всего в
декартовой системе координат, на криволинейные координаты.
Матрицы перехода для тензоров от декартовой к
криволинейной системе координат и обратно
Λ𝜇𝑖 =
𝜕𝜉 𝜇
≡ 𝜕𝑖 𝜉 𝜇 ,
𝜕𝑟𝑖
Λ𝑖𝜇 =
𝜕𝑟𝑖
≡ 𝜕𝜇 𝑟𝑖 ,
𝜕𝜉 𝜇
Λ𝜇𝑖 Λ𝑘𝜇 = 𝛿𝑖𝑘 .
(8.1)
Произвольные векторные поля 𝑣 , 𝑤 , записанные в декартовых координатах, переписываются в криволинейных координатах согласно правилу
𝑖
𝑣 𝜇 = Λ𝜇𝑖 𝑣 𝑖 ,
𝑖
𝑣𝜇 = Λ𝑖𝜇 𝑣 𝑖 .
(8.2)
Таким образом, если в декартовых координатах вопрос,
имеет ли векторный индекс верхнее и нижнее положение, не имеет значения, то для криволинейных координат верхнее 𝑣 𝜇 и нижнее 𝑣𝜇 положение векторного индекса соответствует контравариантному и ковариантному векторным полям 𝑣 . Вообще, величины, преобразующиеся при переходе из одной криволинейной системы
координат в другую согласно правилам (8.2), называются тензорами; например, тензором является произведение 𝑣 𝜇 𝑤𝜈 .
Скалярное произведение двух полей 𝑣 𝑖 и 𝑤𝑖 в криволинейных координатах записывается в виде свёртки по
нижнему и верхнему индексам:
𝑣 𝑖 𝑤 𝑖 = 𝑣𝜇 𝑤 𝜇 = 𝑣 𝜇 𝑤 𝜇 .
Отметим, что операция суммирования по двум верхним
или по двум нижним индексам в произвольном выражении, записанная в криволинейных координатах, не
приводит к получению тензора, и потому в общем случае запрещена. В общем случае операция суммирования
по паре верхний-нижний индексы называется свёрткой
(convolution).
Метрический тензор (metric tensor)
𝑔𝜇𝜈 = 𝑔𝜈𝜇 = Λ𝑖𝜇 Λ𝑖𝜈 ,
𝑔𝜇𝜈 𝑔 𝜈𝜆 = 𝛿𝜇𝜆 .
(8.3)
Метрический тензор 𝑔𝜇𝜈 содержит полную информацию
о соотношении малых приращений криволинейных координат с расстоянием, площадью и объёмом в декартовой системе координат. В частности, элемент объёма
√
𝑔 = det ||𝑔𝜇𝜈 ||.
d3 𝑟 = 𝑔 d3 𝜉,
Метрический тензор позволяет переводить контравариантное поле в ковариантное и обратно,
𝑣𝜇 = 𝑔𝜇𝜈 𝑣 𝜈 ,
𝑣 𝜇 = 𝑔 𝜇𝜈 𝑣𝜈 .
(8.4)
Градиент скалярного поля 𝜙 в криволинейных координатах вычисляется также, как и в декартовых:
Λ𝑖𝜈 𝜕𝑖 𝜙 ≡ ∇𝜈 𝜙 = 𝜕𝜈 𝜙
(8.5)
согласно (8.2). Поле 𝜕𝜈 𝜙 является, таким образом, ковариантным полем. Аналогично, градиент 𝜕𝑖 𝑣 𝑘 некоторого
векторного поля 𝑣 𝑘 в его ковариантной записи в криволинейных координатах определяется согласно правилу
Λ𝑖𝜇 Λ𝑘𝜈 𝜕𝑖 𝑣 𝑘 ≡ ∇𝜇 𝑣𝜈 = 𝜕𝜇 𝑣𝜈 − Γ𝜆𝜇𝜈 𝑣𝜆 .
(8.6)
Таким образом, в отличие от случая скаляра (8.5), 𝜕𝜇 𝑣𝜈
не является ковариантным тензором второго ранга, тогда как ∇𝜇 𝑣𝜈 – является. Не является, соответственно,
и тензором символ Кристоффеля (Christoffel symbols)
Γ𝜈𝜇𝜆 : при переходе из одной криволинейной системы координат в другую он не преобразуется согласно правилам (8.2); тем не менее, поднятие и опускание индексов
у символя Кристоффеля производится по тем же правилам (8.4). В случае, если в (8.6) градиент берётся не
от вектора, а от тензора ранга 𝑛 (например, 𝑣𝜇 𝑤𝜈 , ранг
2), то вместо одного слагаемого с символом Кристоффеля в (8.6) должно стоять, соответственно, 𝑛 слагаемых.
Градиент контравариантного поля имеет вид
Λ𝑖𝜇 Λ𝜈𝑘 𝜕𝑖 𝑣 𝑘 ≡ ∇𝜇 𝑣 𝜈 = 𝜕𝜇 𝑣 𝜈 + Γ𝜈𝜇𝜆 𝑣 𝜆 .
Приняты обозначения:
∇𝜇 𝑣𝜈 = 𝑣𝜈;𝜇 ,
𝜕𝜇 𝑣𝜈 = 𝑣𝜈,𝜇 ,
∇𝜇 = 𝑔 𝜇𝜈 ∇𝜈 ,
𝑣𝜈;𝜇 = 𝑔 𝜇𝜆 𝑣𝜈;𝜆 ,
(8.7)
41
I.
∇𝜇 называется ковариантной производной в отличии от
простой производной 𝜕𝜇 . Символы Кристоффеля могут
быть вычислены согласно формулам
Γ𝜆𝜇𝜈
=
Γ𝜆𝜈𝜇 = Λ𝑖𝜆 𝜕𝜇 Λ𝑖𝜈 = Λ𝑖𝜆 𝜕𝜇 𝜕𝜈 𝑟𝑖 =
=
(𝑔𝜆𝜇,𝜈 + 𝑔𝜆𝜈,𝜇 − 𝑔𝜇𝜈,𝜆 ) /2.
∇𝜆 E𝜇𝜈𝜌 = E𝜇𝜈𝜌 ∇𝜆 .
(8.8)
Эти равенства легко проверить, записав результат дифференцирования в декартовых координатах, где метрический и антисимметричный тензор постоянны в пространстве и равны соответственно 𝛿 𝑖𝑘 и 𝜖𝑖𝑘𝑙 .
Для того, чтобы понять, как устроена операция взятия ротора в криволинейных координатах, определим
сначала абсолютно антисимметричный тензор
E𝜇𝜈𝜆 =
√
𝑔 𝜖𝜇𝜈𝜆 , (8.9)
поскольку при преобразовании из декартовых координат в криволинейный фактически вычисляется детер√
минант матрицы перехода, det ||Λ𝜇𝑖 || = 1/ 𝑔 , с точностью до знака. В операции взятия ротора, записанной в
терминах ковариантного вектора, не участвуют символы Кристоффеля,
[︀
rot 𝑣
]︀𝜇
𝜇𝜈𝜆
=E
𝜇𝜈𝜆
∇𝜈 𝑣𝜆 = E
𝜕𝜈 𝑣𝜆
(8.10)
в силу симметрии символов Кристоффеля по последней паре индексов. Тем не менее, в выражении типа
E𝜇𝜈𝜆 ∇𝜈 𝑣 𝜆 нельзя заменять ковариантную производную
простой, поскольку дифференцируется контравариантное векторное поле 𝑣 .
8.1.0.1
(8.11)
Вариация якобиана перехода
∇𝜆 𝑔 𝜇𝜈 = 𝑔 𝜇𝜈 ∇𝜆 ,
𝜖𝜇𝜈𝜆
E𝜇𝜈𝜆 = Λ𝜇𝑖 Λ𝜈𝑗 Λ𝜆𝑘 𝜖𝑖𝑗𝑘 = √ ,
𝑔
Выпишем вариации некоторых величин в смысле их
субстанциональной производной, т.е. при фиксированных координатах 𝜉 . Вариация метрики
𝛿𝑔𝜇𝜈 = Λ𝑖𝜇 Λ𝑘𝜈 (𝜕𝑖 𝑣 𝑘 + 𝜕𝑘 𝑣 𝑖 ).
Ковариантная производная коммутирует с метрическим и абсолютно антисимметричным (8.10) тензорами,
∇𝜆 𝑔𝜇𝜈 = 𝑔𝜇𝜈 ∇𝜆 ,
ПРИЛОЖЕНИЯ
Вариации криволинейных координат
Предположим, что криволинейная система координат
связана с материальной средой, и мы производим (дальнейшую) деформацию этой среды, то есть подвергаем
некоторой вариации систему криволинейных координат
𝜉 : 𝜉(𝑟) → 𝜉(𝑟) + 𝛿𝜉(𝑟). Это же самое изменение можно
представить в виде движения лагранжевых маркеров,
𝛿𝑔 = 𝑀𝑔𝜇𝜈 𝛿𝑔𝜇𝜈 = 𝑔𝑔 𝜇𝜈 𝛿𝑔𝜇𝜈 = −𝑔𝑔𝜇𝜈 𝛿𝑔 𝜇𝜈 = 2𝑔 div 𝑣 𝛿𝑡,
(8.12)
где 𝑀𝑔𝜇𝜈 – матрица миноров матрицы ||𝑔𝜇𝜈 ||, так что
𝑔 = 𝑀𝑔𝜇𝜈 𝑔𝜇𝜈 /𝐷, где 𝐷 = 3 – размерность пространства.
8.1.1
Двумерная поверхность, вложенная в трёх-мерное пространство
Рассмотрим поверхность, которая задаётся уравнением
Φ(𝑟) = 0, а на самой поверхности введены координаты 𝜉 𝛼 , {𝛼, 𝛽 . . .} = {1, 2}. Совокупность {𝜉 1 , 𝜉 2 , Φ} можно рассматривать как систему криволинейных координат, вложенную в трёх-мерное пространство. Эта система координат определена по крайней мере в некоторой окрестности поверхности Φ = 0. Мы предполагаем,
что локальные координаты {𝜉 1 , 𝜉 2 , Φ} образуют правую
тройку. Матрицу перехода из декартовой системы координат в криволинейную будем обозначать Λ𝜇𝑖 , см. (8.1).
Для этих криволинейных координат может быть определена метрика 𝑔𝜇𝜈 , где {𝜇, 𝜈, . . .} = {1, 2, Φ}. Блок 𝑔𝛼𝛽
этой метрики является метрикой для криволинейных
координат 𝜉 𝛼 на рассматриваемой поверхности. Удобно
ввести обозначение
(8.13)
𝑔 ⊥ = det ||𝑔𝛼𝛽 ||.
Пусть ℓ – вектор нормали к поверхности, смотрящий
из области ‘1’ в область ‘2’; предположим также, что в
области ‘1’ Φ < 0, а в области ‘2’, соответственно, Φ > 0.
Тогда имеем соотношение
ℓ𝑖 =
ΛΦ
∇𝑖 Φ
≡ √︀ Φ𝑖 Φ .
| grad Φ|
Λ𝑘 Λ𝑘
где Λ𝜇𝑘 определено в (8.1).
На поверхности можно определить полностью антисимметричный тензор второго ранга
E𝛼𝛽 = √︀
𝜖𝛼𝛽
,
det ||𝑔𝛼𝛽 ||
E𝛼𝛽 =
√︁
det ||𝑔𝛼𝛽 || 𝜖𝛼𝛽
Введём на поверхности косой градиент
(8.14)
𝑟𝑖 (𝜉) → 𝑟𝑖 (𝜉) + 𝛿𝑟𝑖 (𝜉) = 𝑟𝑖 (𝜉) + 𝑣 𝑖 (𝜉) 𝛿𝑡
∇𝛼* = E𝛼𝛽 ∇𝛽 .
где 𝛿𝑡 – приращение (виртуального) времени, а 𝑣 – (виртуальная) скорость, 𝛿𝑟 = 𝑣𝛿𝑡. Вариации координатных
систем связаны между собой соотношениями типа
Простой и косой градиенты коммутируют с метрическим и антисимметричным тензорами,
𝛿Λ𝑖𝜇 = Λ𝑘𝜇 𝜕𝑘 𝑣 𝑖 𝛿𝑡,
𝛿Λ𝜇𝑘 =
𝜕 𝛿𝜉 𝜇
= −Λ𝜇𝑖 𝜕𝑘 𝑣 𝑖 𝛿𝑡.
𝜕𝑟𝑘
∇𝛼 𝑔𝛽𝛾 = ∇𝛼 E𝛽𝛾 = 0.
сравни с (8.8).
Глава 8. Уравнения Максвелла в криволинейных координатах; специальные калибровки
Внешняя кривизна
𝐾𝛼𝛽 = 𝐾𝛽𝛼 = ℓ𝑖 𝜕𝛽 Λ𝑖𝛼 = −Λ𝑖𝛼 𝜕𝛽 ℓ𝑖
(8.15)
Составленные из неё два инварианта
1 𝛼𝛽 𝛾𝛿
det ||𝐾𝛼𝛽 ||
E E 𝐾𝛼𝛾 𝐾𝛽𝛿 =
2
det ||𝑔𝛼𝛽 ||
(8.16)
называются, соответственно, средней и гауссовой кривизной. Если 𝑅1,2 – главные кривизны поверхности в
точке, то 1/𝐾 = 1/𝑅1 + 1/𝑅2 , 𝐾𝐺 = 1/(𝑅1 𝑅2 ).
𝐾 = 𝑔 𝛼𝛽 𝐾𝛼𝛽 ,
8.1.1.1
вектором нормали n должна давать ноль. Введём также
касательный градиент
⊥
𝜕𝑖⊥ = 𝛿𝑖𝑘
𝜕𝑘 .
Тензор кривизны
𝐾𝑖𝑘 = −𝜕𝑖⊥ ℓ𝑘 = −𝜕𝑘⊥ ℓ𝑖 ,
𝐾𝐺 =
Запись в терминах единичной нормали
Введём проектор на плоскость
𝛽
⊥
𝛿𝑖𝑘
= 𝛿𝑖𝑘 − ℓ𝑖 ℓ𝑘 = 𝑔𝛼𝛽 Λ𝛼
𝑖 Λ𝑘 .
Будем рассматривать такие криволинейные координаты, для которых бы локально в окрестности рассматриваемой точки вектора Λ𝑖𝜇 , 𝜇 = {1, 2, Φ} образуют правую ортонормированную тройку. В этом случае тензора,
определённые на поверхности, можно записывать в декартовых координатах; любая свёртка таких тензоров с
42
(8.17)
приведённый к диагональному виду, имеет на диагонали
ненулевыми элементами 1/𝑅1 и 1/𝑅2 , где 𝑅1,2 – главные
кривизны поверхности в данной точке; собственно говоря, это можно считать определением главных кривизн.
Направления на рассматриваемой поверхности, соответствующие главным кривизнам, ортогональны друг другу. В частности, средняя 𝐾 и гауссова 𝐾𝐺 кривизны равны соответственно
𝐾
=
𝐾𝑖𝑖 = − div ℓ,
𝐾𝐺
=
det(𝐾𝑖𝑘 + ℓ𝑖 ℓ𝑘 ) = (𝜕𝑖 ℓ𝑘 )(𝜕𝑘 ℓ𝑖 ) − (𝜕𝑖 ℓ𝑖 )2
Скорость изменения метрики равна
⊥
𝛿𝑔 ⊥ = 2𝑔 ⊥ 𝛿𝑖𝑘
𝜕𝑖 𝑣 𝑘 𝛿𝑡,
(8.18)
сравни с (8.12).
§8.2. Электромагнитное поле в случае сферической симметрии
Пусть дана бесконечная среда с показателем преломления 𝜀out . В эту среду вставлен шар радиуса 𝑟0 ,
имеющий показатель преломления 𝜀in . Для упрощения
записи мы обозначим контраст диэлектрической проницаемости 𝜀 = 𝑛2 = 𝜀out /𝜀in , и будем предполагать, что
𝜀out = 1.
8.2.1
Ковариантную производную некоторой величины 𝑓 на
поверхности единичной сферы мы будем обозначать как
∇𝛼 𝑓.
Кроме того, определим поверхностный ротор
∇𝛼* 𝑓
Математические обозначения
Координаты вектора в декартовых координатах будем
нумеровать индексами 𝑖, 𝑗, 𝑘, . . .. Поскольку задача
имеет сферическую симметрию, введём сферические координаты {𝑟, 𝜃, 𝜙}. Переходя в сферические координаты, мы будем отдельно нумеровать угловые координаты
индексами 𝛼, 𝛽, . . . = {𝜃, 𝜙}. Оператор Лапласа Δ мы
будем представлять в виде
Δ =
1
1 2
𝜕𝑟 𝑟 + 2 Δa .
𝑟
𝑟
Таким образом, дифференциальный оператор Δa является оператором Бельтрами-Лапласа на сфере единиченого радиуса. Введём также метрический тензор на
поверхнсти единичной сферы,
(︂
)︂
1
0
𝐺𝛼𝛽 =
(8.19)
0 sin2 𝜃
= 𝐺𝛼𝛽 E𝛽𝛾 ∇⊥𝛾 𝑓,
E𝛽𝛾 = √︀
(8.20)
𝜖𝛽𝛾
det ||𝐺𝜎𝛿 ||
где обсолютно антисимметричный символ определяется
условием 𝜖12 = 1, 𝜖𝛼𝛽 = −𝜖𝛽𝛼 .
8.2.2
Бездивергентное поле
Пусть нам дано трёхмерное бездивергентное векторное
поле 𝑣 ,
div 𝑣 = 0.
(8.21)
Если поле 𝑣 определено во всём пространстве и ограничено на бесконечности, то его можно представить в
виде ротора некоторого другого вектора,
𝑣 = rot A.
(8.22)
В некотором смысле представление (8.22) не очень хорошо, поскольку оно не подчёркивает того факта, что
среди трёх функций 𝑣 𝑖 есть только две независимые.
43
I.
Если же поле 𝑣 задано не во всём пространстве или
не убывает на бесконечности, то оно не представимо в
виде (8.22). В таком более общем случае бездивергентное поле можно представить в виде
(8.23)
𝑣 = ∇Φ + rot [r𝜒] + rot rot [r𝜂] ,
где ΔΦ = 0. Конечно, представление бездивергентного
векторного поля в виде (8.23) не единственно, но оно
удобно, если задача имеет сферическую симметрию.
Отметим, что если можно записать 𝑣 в виде (8.22),
то в (8.23) функция Φ = 0. Тогда как раз получаем, что
три компоненты поля 𝑣 𝑖 зависят только от двух независимых функций. Причина того, что в общем случае появляется ещё одна функция Φ состоит в том, что бездивергентным полем в ограниченной области может быть,
например, электрическое поле, создаваемое точечным
неподвижным зарядом. При этом такое поле вовсе не
является бездивергентным во всём пространстве.
8.2.2.1
Нахождение скалярных функций
𝜂 по векторному полю 𝑣
Φ, 𝜒 и
Отдельно для угловых и радиальной компонент имеем:
[rot[r𝜒]]𝛼 =
[rot rot[r𝜂]]𝛼 = ∇𝛼 𝜕𝑟 [𝑟𝜂],
(8.24)
𝑟∇*𝛼 𝜒,
1
[rot rot[r𝜂]]𝑟 = − Δa 𝜂.
𝑟
Проектируя уравнение (8.23), его ротор и двойной ротор
на радиус-вектор r, получаем [? –проверить знаки]:
Δa 𝜒 =
ΔΔa 𝜂
𝜕𝑟 Φ
=
𝑟
𝑟 [rot 𝑣] ,
𝑟
−𝑟 [rot rot 𝑣] ,
(8.25)
Сферически симметричная часть в функций 𝜒 и 𝜂 даёт
нулевой вклад в электромагнитное поле. Отметим также полезное свойство используемого представления:
Электромагнитное поле
Пусть нам дано электромагнитное поле 𝐸 𝑖 , 𝐻 𝑖 . По времени мы берём Фурье-компоненту, все компоненты векторных величин предполагаются пропорциональными
exp{−𝑖𝜔𝑡}.
Будем интересоваться областью, где нет источников.
В этой области div E = 0, div H = 0. Электрическое поле, также как и магнитное, в области с постоянной диэлектрической проницаемостью 𝜀 удовлетворяет уравнению
(Δ + 𝜀 𝜔 2 )E = 0.
E = rot [r𝜒] + rot rot [r𝜂]
(8.27)
В (8.27) отсутствует градиентный вклад по сравнению
с (8.23), поскольку в области с постоянным значением
диэлектрической проницаемости уравнение Максвелла
даёт 𝜕𝑡 E = 𝑐 rot H. Тогда магнитное поле
𝑖𝜔H = rot E = − rot [r Δ𝜂] + rot rot [r𝜒]
(8.28)
представляется в виде, симметричном представлению
электромагнитного поля (8.27).
Выпишем компоненты электромагнитного поля в
сферических координатах. Спроектируем уравнение
(8.27) на вектор r. Первое слагаемое в правой части
(8.27) даст нулевой вклад и мы получим
𝑟𝐸 𝑟 = −Δa 𝜂.
(8.29)
Точно также из уравнения (8.28) получаем, что
𝑖𝜔𝑟𝐻 𝑟 = −Δa 𝜒.
(8.30)
Тангенциальные компоненты электрического поля, записанные через функции 𝜂 и 𝜒, представляют из себя
сумму градиента и поверхностного ротора:
𝐸𝛼 = 𝑟∇𝛼* 𝜒 + ∇𝛼 𝜕𝑟 (𝑟𝜂) .
(8.31)
Аналогично для тангенциальных компонент магнитного
поля
𝑖
∇𝛼 𝜕𝑟 (𝑟𝜒) ,
(8.32)
𝐻𝛼 = −𝑖𝜀𝜔 𝑟∇𝛼* 𝜂 −
𝜔
где мы воспользовались уравнением (8.35).
Наконец, с учётом уравнений (8.35), которым удовлетворяют функции 𝜂 и 𝜒, выражения для электромагнитного поля можно переписать и в таком виде:
E =
grad(𝜕𝑟 (𝑟𝜂)) + 𝜀𝜔 2 𝑟𝜂 + rot(𝑟𝜒).
= −
8.2.4
(8.33)
𝑖
𝑖
grad(𝜕𝑟 (𝑟𝜒)) − 𝑖𝜀𝜔𝑟𝜒 −
rot(𝑟Δ𝜂).
𝜔
𝜔
Уравнение
на
две
скалярные
функции, параметризующие электромагнитное поле
Подставим в уравнение (8.26) представление (8.27) и домножим результат скалярно на радиус-вектор r. Таким
образом получим
Δ rot [r𝜒] = rot [r Δ𝜒]
8.2.3
Представим электрическое поле E в виде
H
Δa 𝜂
.
= 𝑣 −
𝑟
𝑟
ПРИЛОЖЕНИЯ
(8.26)
Δa (Δ + 𝜀 𝜔 2 )𝜂 = 0.
(8.34)
Уравнению (8.34) также удовлетворяет функция 𝜒. Это
можно показать, если то же самое проделать с уравнением (8.28).
Поскольку сферически симметричный вклад в функцию 𝜂 не имеет физического значения, мы можем считать, что Δa 𝜂 ̸= 0. Поэтому уравнение (8.34) эквивалентно уравнению
(Δ + 𝜀 𝜔 2 )𝜂 = 0,
(Δ + 𝜀 𝜔 2 )𝜒 = 0,
(8.35)
Глава 8. Уравнения Максвелла в криволинейных координатах; специальные калибровки
мы также выписали соответствующее уравнение на 𝜒.
Решение уравнения (8.35), остающееся конечным в
нуле, является
𝜒=
∑︁
𝜒𝑙,𝑚
in
𝑙,𝑚
J𝑙+1/2 (𝑘in 𝑟) 𝑙,𝑚
√
𝒴 (𝜃, 𝜙),
𝑘in 𝑟
𝜀in > 0. (8.36)
где
√
𝑘in = 𝜔 𝜀in ,
если диэлектрическая проницаемость внутри сферы
больше нуля. Если же диэлектрическая проницаемость материала внутри сферы отрицательна, то вместо
функции J следует взять фукцию I, которая связана с
J соотношением
I𝜈 (𝑧)
= 𝑒−𝜋𝜈𝑖/2 J𝜈 (𝑒𝜋𝑖/2 𝑧)
Решение во внешней области, не содержащей начало координат, записывается в виде
∑︁
𝜒 =
𝒴 𝑙,𝑚 (𝜃, 𝜙) ×
(8.37)
𝑙,𝑚
Наша цель – найти функции 𝜒 и 𝜂 , которые бы соответствовали этой волне. Для этого найдём сначала 𝑟компоненты полей с тем, чтобы затем воспользоваться
(8.29,8.30)) для нахождения исходных 𝜂 и 𝜒:
𝑟
𝑟
𝑟𝐸ext
= (𝑟·Eext ) = 𝑟 sin 𝜃 𝑒𝑖𝜙+𝑖𝑘𝑧 = −𝑖𝑟𝐻ext
.
(8.39)
Заметим здесь, что функции 𝑟𝐸 𝑟 и 𝑟𝐻 𝑟 также удовлетворяют уравнению Гельмгольца (8.26).
Теперь выпишем некоторые формулы, воспользовавшись [23, сс. 298, 300]
𝑒
𝑖𝑘𝑧
∞
1 ∑︁ √︀ 2
2𝜋 (2𝑙 + 1)𝑖𝑙 J𝑙+1/2 (𝑘𝑟)Y𝑙,0 (𝜃), (8.40)
= √
𝑘𝑟 𝑙=0
sin 𝜃𝑒𝑖𝜙 Y𝑙,0 (𝜃) = 𝐶𝑙,+ Y𝑙+1,1 (𝜃, 𝜙) + 𝐶𝑙,− Y𝑙−1,1 (𝜃, 𝜙),
(8.41)
где Y – сферические гармоники, а коэффициенты разложения
√︃
(𝑙 + 1)(𝑙 + 2)
𝐶𝑙,+ = −
,
(8.42)
(2𝑙 + 1)(2𝑙 + 3)
√︃
𝑙,𝑚
(1)
(2)
𝜒𝑙,𝑚
out− H𝑙+1/2 (𝑘𝑟) + 𝜒out+ H𝑙+1/2 (𝑘𝑟)
√
.
×
𝑘𝑟
𝐶𝑙,−
где первое слагаемое в правой части (8.37), с индексом
’out−’, соответствует расходящейся сферической волне,
тогда как слагаемое с индексом ’out+’ соответствует
сходящейся сферической волне. Аналогичные разложения следует написать для функции 𝜂 .
44
=
𝑙(𝑙 − 1)
,
(2𝑙 − 1)(2𝑙 + 1)
В результате получаем, что
√
𝜋 2
𝑟
𝑟𝐸ext = √ ×
(8.43)
𝑘 𝑘𝑟
∞ √︀
∑︁
×
𝑙(𝑙 + 1)(2𝑙 + 1) 𝑖𝑙−1 J𝑙+1/2 (𝑘𝑟) Y𝑙,1 (𝜃, 𝜙),
𝑙=1
8.2.4.1
Выражение для потока энергии
Поток энергии 𝐼 через сферу с центром в начале координат даётся выражением
𝐼
⟨︀[︀
1
* ]︀⟩︀
d𝑜 E𝛼𝛽 Re 𝐸𝛼 (𝐻𝛽 ) 𝑡 =
8𝜋
ˆ
𝑖𝑟
= −
d𝑜 ⟨(Δ𝑎 𝜒) 𝜕𝑟 (𝑟𝜒)⟩𝑡 −
8𝜋𝜔
ˆ
𝑖𝜀𝜔𝑟
d𝑜 ⟨(Δ𝑎 𝜂) 𝜕𝑟 (𝑟𝜂)⟩𝑡
−
8𝜋
=
(8.38)
где угловые скобки ⟨. . .⟩𝑡 означают усреднение по времени, кратном (или просто много больше) периоду колебания поля.
8.2.4.2
Разложение плоской волны по сферическим волнам
Пусть в декартовых координатах мы имеем плоскую
волну с круговой поляризацией, у которой поля Eext и
Hext имеют вид
⎛
⎞
⎛
⎞
1
𝑖
Eext = ⎝ 𝑖 ⎠ exp[𝑖𝑘𝑧],
Hext = ⎝ −1 ⎠ exp[𝑖𝑘𝑧].
0
0
Таким образом, используя (8.29), приходим к ответу
√ ∞ √
𝜋 2 ∑︁
2𝑙 + 1 𝑙−1
√︀
𝜂 = √
𝑖 J𝑙+1/2 (𝑘𝑟) Y𝑙,1 (𝜃, 𝜙). (8.44)
𝑘 𝑘𝑟 𝑙=1 𝑙(𝑙 + 1)
𝑟
=
Наконец, для выбранной круговой поляризации 𝑟𝐻ext
𝑟
𝑖𝑟𝐸ext , поэтому в силу (8.30) 𝜒 = −𝑘𝜂 .
Поскольку поле падающей волны вблизи сферы малого радиуса определяется первой гармоникой в разложении (8.37), для дальнейшего удобства выпишем цилиндрические функции с порядком 3/2:
√︂
(2)
H(1)
2 sin 𝑥 − 𝑥 cos 𝑥
3/2 (𝑥) + H3/2 (𝑥)
J3/2 (𝑥) =
=
,
𝜋
2
𝑥3/2
√︂
2 (𝑥 + 𝑖)𝑒𝑖𝑥
H(1)
,
3/2 (𝑥) =
𝜋 𝑥3/2
√︂
2 (𝑥 − 𝑖)𝑒−𝑖𝑥
H(2)
,
(8.45)
3/2 (𝑥) =
𝜋
𝑥3/2
В соответствии с определением (8.37) и разложением (8.44) для плоской волны, граничными условиями на
бесконечности являются
√
√
𝜋 3
𝜋 3
1,1
1,1
𝜂𝑜𝑢𝑡+ =
𝐸0 ,
𝜒𝑜𝑢𝑡+ = −
𝐻0
(8.46)
2𝑘
2
45
8.2.5
I.
Граничные условия на сфере
Если заданы компоненты 𝐸 𝑟 , 𝐻 𝑟 на поверхности сферы, то мы можем найти на поверхности сферы также
функции 𝜂 и 𝜒. Поскольку эти функции удовлетворяют
уравнению (8.35), то по значению на сфере и граничным
условиям на бесконечности мы можем восстановить их
во всём пространстве вне сферы. Окончательно, найдём
электромагнитное поле.
Спроектируем уравнения (8.29-8.30) на сферическую
гармонику 𝒴 𝑙,𝑚 и запишем граничные условия для нормальных к поверхности шара компонент электрического
и магнитного полей. В результате получим, что непрерывными функциями на поверхности должны являться
𝜒 и 𝜀𝜂 . Теперь напишем граничные условия на тангенциальные составляющие электрического и магнитного
полей. При этом надо отдельно приравнивать градиентные и роторные части. Баланс в роторных частях уже
подведён условием непрерывности нормальных компонент электромагнитного поля. Баланс градиентных частей приводит к тому, что непрерывными должны быть
также функции 𝜕𝑟 (𝑟𝜒) и 𝜕𝑟 (𝑟𝜂). Таким образом, получаем, что функции
𝜒, 𝜕𝑟 𝜒,
𝜀𝜂, 𝜕𝑟 (𝑟𝜂)
ПРИЛОЖЕНИЯ
должны быть непрерывны, т.е. граничные условия разделились в терминах функций 𝜂 и 𝜒.
Используя разложения (8.36,8.37) для функций 𝜂 и
𝜒 внутри и вне сферы, получаем граничные условия в
резделённых переменных для 𝜒:
1
√ 𝜒𝑙,𝑚
J𝑙+1/2 (𝑘in 𝑎)
𝑛 in
(8.47)
=
𝑙,𝑚
(2)
(1)
= 𝜒𝑙,𝑚
out− H𝑙+1/2 (𝑘𝑎) + 𝜒out+ H𝑙+1/2 (𝑘𝑎) ,
√
′
𝑛 𝜒𝑙,𝑚
in J𝑙+1/2 (𝑘in 𝑎)
(8.48)
=
𝑙,𝑚
(1)′
(2)′
= 𝜒𝑙,𝑚
out− H𝑙+1/2 (𝑘𝑎) + 𝜒out+ H𝑙+1/2 (𝑘𝑎) ,
а для функции 𝜂
𝑙,𝑚
𝑛3/2 𝜂in
J𝑙+1/2 (𝑘in 𝑎)
=
𝑙,𝑚
𝑙,𝑚
(2)
= 𝜂out−
H(1)
𝑙+1/2 (𝑘𝑎) + 𝜂out+ H𝑙+1/2 (𝑘𝑎) .
(8.49)
47
II.
ЗАДАЧИ
ЗАДАЧИ
Часть II
Глава 9
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
§9.1. Колебательный контур: учёт эффекта электромагнитного излучения
Найдем связь между током в контуре и ЭДС не пренебрегая запаздыванием внутри контура. Будем считать, что все величины (ЭДС, ток и т.д.) являются периодическими функциями времени с частотой 𝜔 . Обозначим ЭДС и амплитуду тока через источник напряжения
в контуре через ℰ и 𝐽 соответственно:
𝐽(𝑡) = 𝐽𝑒−𝑖𝜔𝑡 ;
ℰ(𝑡) = ℰ𝑒−𝑖𝜔𝑡
(9.1)
Будем также считать, что связь между плотностью тока и электрическим полем носит локальный и мгновенный характер, то есть подчиняется статическому закону
Ома:
(︀
)︀
𝑗(𝑡) = 𝜎(𝑟) 𝐸(𝑡, 𝑟) + 𝐸𝑒𝑥𝑡 (𝑡, 𝑟)
(9.2)
Где через 𝐸 обозначено поле, создаваемое зарядами
и токами контура, а через 𝐸𝑒𝑥𝑡 - поле сторонних сил
(ЭДС), 𝜎(𝑟) - локальное значение проводимости.
9.1.1
Нахождение поправок по малому
запаздыванию
Умножим равенство (9.2) скалярно на элемент длины
контура и проинтегрируем вдоль всего контура:
˛
˛
˛
(𝑗(𝑡), 𝑑𝑙)
= (𝐸(𝑡), 𝑑𝑙) + (𝐸𝑒𝑥𝑡 (𝑡), 𝑑𝑙)
(9.3)
𝜎
Где мы также предварительно разделили обе части на
проводимость.
Преобразуем теперь полученное выражение. Слагаемое с интегралом от внешнего поля дает просто величину ЭДС. Интеграл от плотности тока можно написать,
учитывая тонкость провода следующим образом:
˛
𝑠𝑙
(𝑗(𝑡), 𝑑𝑙)
= 𝐽(𝑡) = 𝑅𝐽(𝑡)
(9.4)
𝜎
𝜎
Где 𝑠 и 𝑙 - площадь сечения и длина контура соответственно, и введено обозначение 𝑅 для полного сопротивления контура. Преобразование интеграла от собственного поля является несколько более сложным. Необходимо выразить электрическое поле через величину со-
здающих его токов. Это проще всего сделать введя потенциалы:
1 𝜕𝐴
− ∇𝜑
(9.5)
𝐸=−
𝑐 𝜕𝑡
Где обычным образом введены скалярный и векторный
потенциалы, а временной аргумент опущен для сокращения формул. При интегрировании этого выражения
по замкнутому контуру (мы считаем, что в цепи нет конденсатора), скалярный потенциал не даст вклада, поэтому его можно не рассматривать. Векторный потенциал
выражается через создающие его токи следующим образом:
ˆ
1
𝑗(𝑟2 , 𝑡 − |𝑟1 − 𝑟2 |/𝑐)
𝐴(𝑟1 , 𝑡) =
d𝑉2
(9.6)
𝑐
|𝑟1 − 𝑟2 |
Подставим это выражение в уравнение (9.3) и учтем зависимость всех величин от времени. В итоге получим:
ˆ
𝑖𝜔
(𝑗2 , 𝑑𝑙1 ) 𝑖𝑘𝑟
𝑅𝐽 = ℰ + 2
𝑒 d𝑉2 ,
(9.7)
𝑐
𝑟
где введены обозначения |𝑟1 −𝑟2 | = 𝑟, 𝑘 = 𝜔/𝑐, 𝑗1 = 𝑗(𝑟1 )
и 𝑗2 = 𝑗(𝑟2 ). Преобразуем интеграл, стоящий здесь.
Вектор 𝑑𝑙1 в силу того, контур тонкий, совпадает по
направлению с током в точке 𝑟1 . Поэтому, написанное
выражение можно переписать:
[︂
]︂
ˆ
𝑖𝜔 1
(𝑗1 , 𝑗2 ) 𝑖𝑘𝑟
ℰ =𝐽 𝑅− 2 2
𝑒 d𝑉1 d𝑉2
(9.8)
𝑐 𝐽
𝑟
Выражение в квадратных скобках представляет собой
комплексное сопротивление. В нашем случае выполняется неравенство: 𝑘𝑙 ≪ 1. Поэтому, в главном приближении пишем:
[︂
]︂
ˆ
𝑖𝜔 1
(𝑗1 , 𝑗2 )
d𝑉1 d𝑉2
(9.9)
ℰ =𝐽 𝑅− 2 2
𝑐 𝐽
𝑟
Второе слагаемое в квадратных скобках является обычным вкдадом в сопротивление от индуктивности. Покажем это явно.
Таким образом, выражение (9.9) есть обычный импеданс:
[︂
]︂
𝑖𝜔𝐿
𝑍(𝜔) = 𝑅 − 2
(9.10)
𝑐
Глава 9. Разные задачи
48
Чисто мнимый вклад в импеданс означает, что это слагаемое не приводит к диссипации, то есть, является
реактивным сопротивлением. Это, однако, справедливо
лишь в главном порядке по 𝑘𝑙.
Вернемся к выражению (9.8) и отделим в нем действительную и мнимую части:
]︃
[︃
ˆ
(𝑗1 , 𝑗2 ) 𝑖𝑘𝑟
𝑖𝜔 1
𝑒 d𝑉1 d𝑉2
(9.11)
ℰ =𝐽 𝑅− 2 2
𝑐 𝐽
𝑟
Будем интересоваться действительной частью импеданса, которая определяет потери. Поэтому мы рассмотрим
вклад только от третьего слагаемого. Разлагаем его по
степеням 𝑘𝑙:
ˆ
𝜔 1
(𝑗1 , 𝑗2 )
sin(𝑘𝑟)d𝑉1 d𝑉2 ≈
(9.12)
2
2
𝑐 𝐽
𝑟
≈
𝜔2 1
𝑐3 𝐽 2
ˆ
(𝑗1 , 𝑗2 )d𝑉1 d𝑉2 −
𝜔4 1
6𝑐5 𝐽 2
Первое слагаемое в правой части (9.12) равно нулю, поскольку среднее от тока по объёму равно нулю. Второе слагаемое соответствует магнито-дипольному излучению: интеграл
ˆ
2
𝑟 (𝑗1 , 𝑗2 )d𝑉1 d𝑉2 = −2
∑︁ (︂ˆ
𝑟1𝑖 𝑗1𝑘
)︂2
d𝑉1
= −4𝑐2 𝜇2 .
𝑖,𝑘
см. (6.7). Таким образом, получаем, что полный импеданс
𝑍(𝜔) = 𝑅 −
𝑖𝜔𝐿 2𝜔 4 (︁ 𝜇 )︁2
+ 3
𝑐2
3𝑐
𝐽
(9.13)
ˆ
𝑟2 (𝑗1 , 𝑗2 )d𝑉1 d𝑉2
§9.2. Магнитооптика в плазме
Рассмотрим плазму, на которую наложено постоянное магнитное поле Hcst . Такая физическая система является частной реализацией изотропной среды, на которую наложено постоянное магнитное поле. Линейный
отклик такой среды на электромагнитное поле рассматривался в §4.2.
Этот вопрос разобран в [24, задачи 3.27-3.29].
плазмы запишутся в следующем виде
−𝑖𝑐𝑘^
𝜖H⊥
= −𝑖𝜔E⊥ + 4𝜋𝑗⊥ ,
−𝑖𝑐𝑘^
𝜖E⊥
= 𝑖𝜔H⊥
−𝑚𝜔 2 𝑟⊥
= 𝑒E⊥ −
𝑖𝑒𝜔𝐻cst
𝜖^𝑟⊥ ,
𝑐
𝑗⊥ = −𝑖𝜔𝑛𝑒𝑟⊥
(︂
𝜖^ =
0
−1
1
0
)︂
Полное электромагнитное поле складывается из
электромагнитного поля (электрическое поле E и магнитное поле H) волны и магнитного поля Hcst . Интенсивность волны мала, так что её магнитное поле много
меньше постоянного магнитного поля, 𝐻 ≪ 𝐻cst . Уравнение движение электрона
Из уравнения на движение частиц плазмы можно выразить вектор смещения частиц через электрическое поле,
𝑒
˙ Hcst ].
𝑚¨
𝑟 = 𝑒E + [𝑟,
𝑐
После этого подставим этот результат в первое уравнение, выразив также магнитное поле через электрическое. В результате получим:
[︃
(︃
)︃]︃
2
𝜔
𝜔(𝜔
+
𝑖𝜔
𝜖
^
)
𝐻
𝑝
𝑐2 𝑘 2 − 𝜔 2 1 − 2
E⊥ = 0
2
𝜔
𝜔 2 − 𝜔𝐻
(9.14)
К этому уравнению надо добавить уравнения на электромагнитное поле:
rot H
=
rot E =
1
4𝜋
𝜕𝑡 E +
j,
𝑐
𝑐
˙
j = 𝑛𝑒𝑟,
(9.15)
1
− 𝜕𝑡 H.
𝑐
Рассмотрим частную ситуацию, когда волновой вектор распространяющейся направлен по магнитному полю, так что все поля имеют зависимость exp{−𝑖𝜔𝑡+𝑖𝑘𝑧}.
В этом случае волна является чисто поперечной. В результате уравнения Максвелла и уравнение движения
E⊥
𝑟⊥
𝑚
𝑒𝐻cst
𝜔(𝜔 − 𝑖𝜔𝐻 𝜖^)𝑟⊥ .
𝜔𝐻 =
,
𝑒
𝑚𝑐
𝑒
(𝜔 + 𝑖𝜔𝐻 𝜖^)E⊥
= −
2)
𝑚𝑐(𝜔 2 − 𝜔𝐻
= −
Решением этого уравнения являются две круговые поляризации, E⊥ ∝ (1, ±𝑖), которым соответствуют волновые вектора
√︃
𝜔𝑝2
𝜔
𝜔
1− 2
𝑘± =
𝑐
𝜔 𝜔 ± 𝜔𝐻
Сравнивая общее выражение (4.25) и полученный результат, получаем, что коэффициенты 𝜀𝑠 и 𝜀𝑎 суть
𝜀𝑡 = 1 −
𝜔𝑝2
,
2
𝜔 2 − 𝜔𝐻
𝜀𝑎 = −
𝜔𝑝2 𝜔𝐻 /𝐻
.
2)
𝜔(𝜔 2 − 𝜔𝐻
(9.16)
49
II.
Последнюю компоненту тензора диэлектрической проницаемости легко получить заметив, что на движение
электронов вдоль магнитного поля оно не влияет. Таким образом,
𝜀𝑙
=
1−
𝜔𝑝2
.
𝜔2
(9.17)
ЗАДАЧИ
Если частота волны и ларморовская частота много
меньше плазменной частоты, то
√
𝑖𝜔𝑝
𝜔
√
𝑘± =
𝑐
𝜔 ± 𝜔𝐻
Глава 10. Электростатика
50
Глава 10
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
§10.1. Эллипсоид во внешнем электрическом поле
10.1.1
Удлинённое тело вращения во
внешнем параллельном электрическом поле: приближённое описание
Предлагаемое рассмотрение отталкивается от решении
задачи о тонком проводящем диэлектрическом стержне
[1, §3, задача 9].
Рассмотрим тело, представляющее из себя фигуру
вращения, помещённое во внешнее электрическое поле,
направленное вдоль оси вращения тела. Выберем систему координат, в которой ось 𝑂𝑧 направлена вдоль оси
вращения тела. Плоскость 𝑂𝑥𝑦 даёт круговое сечение
тела √︀
с радиусом 𝜌 = 𝜌(𝑧). Для эллипсоида вращения
𝜌 = 𝑎 1 − 𝑧 2 /𝑏2 . Тело выполнено из некоторого материала, имеющего диэлектрическую проницаемость 𝜀. Если
речь идёт о квази-стационарном поле, то может быть более удобно характеризовать электрический отклик материала тела проводимостью 𝜎 ,
𝜎=−
𝑖𝜔(𝜀 − 1)
.
4𝜋
В этом пункте мы полагаем тело вращения сильно
удлинённым, так что его длина 𝑏 ≫ 𝜌. Кроме того,
мы полагаем, что поперечное сечение тела меняется не
очень быстро, так что d𝜌/d𝑧 ≪ 1, т.е. на расстоянии
𝑧 ∼ 𝜌 поперечное сечение изменяется слабо. Это позволяет нам считать, что электрическое поле внутри тела
однородно в поперечном направлении.
Полное электрическое поле описывается внешним
полем Eext и наведённым потенциалом Φ, так что
E = Eext − grad Φ.
Поскольку в нашем приближении электрическое поле в
поперечном направлении однородно, то
4𝜋𝑃
𝑗
=
= 𝐸ext − 𝜕𝑧 Φ,
𝜀−1
𝜎𝑆𝑧
(10.1)
где сечение тела вращения плоскостью, перпендикулярной длинной оси, равно 𝑆𝑧 = 𝜋𝜌2 (𝑧), 𝑃 – 𝑧 -компонента
поляризации материала тела, а 𝑗 – ток через полное сечение, 𝑗 = −𝑖𝜔𝑆𝑧 𝑃 .
Найдём теперь связь потенциала Φ с погонной плотностью заряда 𝑞(𝑧). В пределе 𝑏 ≫ 𝜌 эта связь записы-
вается в виде
ˆ𝑏
Φ(𝑧) ≈
𝑞(𝑧 ′ ) d𝑧 ′
,
|𝑧 − 𝑧 ′ |
(10.2)
−𝑏
где интеграл берётся по области |𝑧 ′ − 𝑧| & 𝜌(𝑧). Преобразуем это выражение
ˆ𝑏
Φ(𝑧) ≈
𝑞(𝑧)
d𝑧 ′
+
|𝑧 − 𝑧 ′ |
𝑞(𝑧)
,
𝐶𝑧
(𝑞(𝑧 ′ ) − 𝑞(𝑧)) d𝑧 ′
≈
|𝑧 − 𝑧 ′ |
−𝑏
−𝑏
≈
ˆ𝑏
𝑏2 − 𝑧 2
1
𝑏2 − 𝑧 2
= ln
,
= ln
2
𝐶𝑧
𝜌
𝑆𝑧 /𝜋
где последний переход в цепочке равенств для Φ(𝑧) верен, когда 𝑞(𝑧 ′ ) не возрастает сильно при удалении 𝑧 ′
от 𝑧 . Таким образом, с логарифмической точностью, то
есть в пределе ln(𝑏/𝜌) ≫ 1, получаем локальную связь
между зарядом и потенциалом. Наконец, ток и погонная
плотность зарядов связаны меджду собой уравнением
непрерывности:
𝜕𝑧 𝑗 − 𝑖𝜔𝑞 = 0
⇔
𝜕𝑧 (𝑆𝑧 𝑃 ) = −𝑞
(10.3)
В результате получаем уравнение, записанное в терминах поляризации 𝑃 :
4𝜋
1
𝑃 − 𝜕𝑧 𝜕𝑧 (𝑆𝑧 𝑃 ) = 𝐸ext (𝑧).
𝜀−1
𝐶𝑧
(10.4)
Если помножить это уравнение на 𝑆𝑧 и продифференцировать его по 𝑧 , мы получим уравнение на заряд 𝑞 :
𝑞
4𝜋
𝑞 − 𝜕𝑧 𝑆𝑧 𝜕𝑧
= −𝜕𝑧 (𝑆𝑧 𝐸ext ).
𝜀−1
𝐶𝑧
(10.5)
Рассмотрим теперь частный случай эллипсоида вращения. Связь (10.3) между погонной плотностью заряда
и наведённым потенциалом переписывается упрощается, поскольку ёмкость 𝐶 перестаёт зависеть от 𝑧 :
Φ(𝑧) =
𝑞(𝑧)
,
𝐶
𝐶=
1
.
2 ln(𝑏/𝑎)
(10.6)
Если внешнее поле 𝐸ext однородно, то 𝑃 также однородно вдоль оси 𝑂𝑧 : действительно, из (10.4) получаем, что
51
II.
однородное решение для поляризации допускается этим
уравнением, её величина определяется равенством
(︂
)︂
1
+ 𝐿𝑏 4𝜋𝑃 = 𝐸ext ,
(10.7)
𝜀−1
где фактор деполяризации 𝐿𝑏 в пределе сильно вытянутого эллипсоида определён в (10.10). Решение (10.7)
совпадает с точным ответом (10.8).
10.1.2
Эллипсоид вращения в однородном внешнем поле: точное решение
Рассмотрим эллипсоид вращения, главная ось которого равна 𝑏, а две другие равны 𝑎. Эллипсоид помещён во внешнее однородное электрическое поле и его
материал имеет диэлектрическую проницаемость равную 𝜀. Диэлектрическая проницаемость окружающего
пространства равна единице. Выберем декартову систему координат, в которой главная ось эллипса направлена по оси 𝑧 . Обозначим факторы деполяризации эллипсоида 𝐿𝑎,𝑏 : поскольку они удовлетворяют равенству
2𝐿𝑎 + 𝐿𝑏 = 1, то достаточно знать только один из них.
Поле внутри цилиндра однородно и покомпонентно
равно (см. [1, §8, Ур.(8.9)]).
𝑧
𝐸in
=
1/𝐿𝑏
𝐸𝑧 ,
𝜀 − 𝜀𝑟𝑒𝑠,𝑏 ext
⊥
𝐸in
=
1/𝐿𝑎
𝐸 ⊥ , (10.8)
𝜀 − 𝜀𝑟𝑒𝑠,𝑎 ext
Положение резонансов
𝜀𝑟𝑒𝑠,𝑎 = −
1
+ 1,
𝐿𝑎
𝜀𝑟𝑒𝑠,𝑏 = −
1
+ 1.
𝐿𝑏
(10.9)
ЗАДАЧИ
Для вытянутого эллипсоида, когда 𝑏 > 𝑎, эксцентриситет
сечения эллипсоида плоскостью 𝑂𝑥𝑧 равен
√︀
𝑒 = 1 − 𝑎2 /𝑏2 , а фактор деполяризации для главной
оси есть (см. [1, §4, ур. (4.32)])
)︂ (︂
)︂
(︂
1
1+𝑒
1
−
1
ln
−
1
.
𝐿𝑏 =
𝑒2
2𝑒 1 − 𝑒
В пределе сильно вытянутого эллипсоида, когда 𝑏 ≫
𝑎, получаем приближённо, что
𝐿𝑏
10.1.3
=
𝑎2 2𝑏
ln .
𝑏2
𝑎
(10.10)
Эллиптический цилиндр во внешнем однородном поле
Рассмотрим эллиптический цилиндр, у которого 𝑐 = ∞,
и, для определённости, 𝑏 ≥ 𝑎 (𝑏 соответствует направлению по 𝑂𝑦 ). Тогда
𝐿𝑎 =
𝑏
,
𝑎+𝑏
𝐿𝑏 =
𝑎
.
𝑎+𝑏
(10.11)
Резонансные значения диэлектрической проницаемости
равны
𝑏
𝑎
𝜀𝑟𝑒𝑠,𝑏 = −
(10.12)
𝜀𝑟𝑒𝑠,𝑎 = − ,
𝑏
𝑎
Электрическое поле на острие вытянутого эллипса (вне
его) равно (если поле направлено по оси 𝑦 )
𝐸𝑜𝑢𝑡,𝑏 =
(1 + 𝑏/𝑎)𝜀
𝐸ext .
𝜀 + 𝑏/𝑎
(10.13)
Глава 11. Задачи рассеяния
52
Глава 11
ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ
§11.1. Резонансное рассеяние на сферических частицах малого размера
В этом параграфе мы рассматриваем рассеяние
плоской электромагнитной волны на сферической частице, размер которой 𝑎 мал по сравнению с длиной
волны, так что 𝑘𝑎 ≪ 1. В этом случае, с одной стороны, применима теория, развитая в Пункте 4.5.2 для
рассеяния на частицах малого размера. С другой стороны, поскольку геометрия задачи обладает сферической
симметрией, удобно параметризовать электромагнитное
поле потенциалами 𝜒 и 𝜂 , введёнными в Пункте 8.2.
Теория рассеяния на сферических частицах малого
размера, выполненных из однородного материала, вдали от резонансных явлений, хорошо изложена в [1, §92].
Рассмотрение этого параграфа посвящено резонансному рассеянию на таких частицах.
В случае частиц малого размера, когда 𝑘𝑎 ≪ 1, могут два сорта резонансных явлений. В первом случае,
разобранном в Пункте 11.1.1, материал частицы представляет из себя прозрачный оптически плотный диэлектрик, так что его показатель преломления велик,
𝑛 ≫ 1. Резонансные явления возникают, когда длина
волны в материале частицы становится сравнимой или
меньше диаметра частицы, 𝑛𝑘𝑎 & 𝜋 . Качественно, этот
тип резонанса можно описать следующим образом. В
силу большого показателя преломления происходит почти полное внутреннее отражение внутренней волны.
Когда при определённом размере частицы достигается положительная интерференция дважды отражённой
внутренней волны от противоположных сторон сферы,
возникает квази-свянный уровень для электромагнитного поля внутри частицы. Этот уровень соответствует
гармоническим колебаниям, в которых полная энергия
гармонически во времени распределяется между энергией электрического и магнитного полей.
Во втором случае, разобранном в Пункте 11.1.2, резонанс достигается в противоположном пределе, когда
длина волны (точнее, глубина проникновения) в материале велика по сравнению с размерами частицы. В
этом случае для дипольной восприимчивости частицы
верно выражение [1, §92,Ур. (92.2)] (оно же (11.13)), когда диэлектрическая проницаемость материала частицы 𝜀 близка к значению −2. Таким материалом может быть, например, либо металл на частоте, несколько ниже плазменной частоты, либо диэлектрик на частоте, несколько выше резонансной фононной частоты. Резонансное значение диэлектрической проницаемости 𝜀𝑟𝑒𝑠 = −2 определяется сферической формой ча-
стицы, для вытянутых частиц резонансное значением
диэлектрической проницаемости оказывается численно
другим. Резонансный уровень соответствует гармоническим колебаниям, при которых потенциальной и кинетической энергиям соответствуют энергия электрического поля и кинетическая энергия электронов в металле (или, для фононного резонанса – колебательная энергия кристаллической решётки).
Вне частицы, на расстояниях, малых по сравнению с
длиной волны в окружающем пространстве, для описания структуры электромагнитного поля в главном порядке по малому параметру 𝑘𝑎 можно пренебречь эффектами запаздывания. Если вблизи гранул доминирует электрическое поле, т.е. верно квази-статическое приближении, то для описания электрического поля можно
ограничиться потенциалом поля Φ, E = − grad Φ. Если
же доминирует магнитное поле, то для его описание вне
сферы также можно пользоваться потенциалом, обозначим его Φ𝐻 . Выражения для потенциалов суть
Φ = −𝜕𝑟 (𝑟𝜂),
Φ𝐻 =
𝑖
𝜕𝑟 (𝑟𝜒),
𝑘
(11.1)
что следует из точного выражения для электромагнитного поля (8.33) через потенциалы 𝜒, 𝜂 .
11.1.1
Диэлектрические гранулы: первые
магнито-дипольный
и
электро-дипольный резонансы
11.1.1.1
Магнито-дипольная мода
Рассмотрим первую магнито-мультипольную моду, т.е.
магнито-дипольную. Этот резонанс становится хорошо
выраженным, если показатель преломления 𝑛 материала шарика велик, 𝑛 ≫ 1, тогда размер шарика оказывается значительно меньше длины волны в окружающем
пространстве, 𝑎 ∼ 𝜆/𝑛. Для этого типа мод основной
вклад в электромагнитное поле происходит из функции
𝜒 (а относительный вклад от функции 𝜂 мал), в которой для случая магнито-дипольной моды надо оставить
только гармонику с 𝑙 = 1. В результате получаем, что
часть электромагнитного поля, связанная с индуцированной магнито-дипольной модой на грануле, даётся вы-
53
II.
ражением
H
(︀
)︀
𝑓 (𝑘𝑟)
= − grad + 𝑘 2 𝑟 (𝜇·∇)
,
𝑟
E =
𝑖𝑘[𝜇, 𝑛]𝑓 (𝑘𝑟)
,
𝑟2
𝑓 (𝜁) = −𝜁 2 𝜕𝜁
(11.2)
exp(𝑖𝜁)
,
𝜁
см. (8.33,11.4). Вблизи шарика можно считать 𝜁 ≪ 1 и
потому приближённо принять 𝑒𝑖𝜁 = 1; тогда магнитное
поле есть поле магнитного диполя с магнитным моментом 𝜇. Поведение магнитного момента вблизи резонанса
имеет вид
𝜇 =
𝐺𝑎3 Hext
,
𝜀 − 𝜀𝑟𝑒𝑠
(11.3)
это выражение аналогично (4.61). Исходя из того, что
асимптотика потенциала магнитного поля при 𝑟 → 0
есть Φ𝐻 = −(𝜇 · 𝑛)/𝑟2 , а, с другой стороны, для 𝑙 = 1
верно соотношение 𝜕𝑟 (𝑟𝜒) = −𝜒, см. (11.1), получаем,
что
exp(𝑖𝑘𝑟)
,
𝜒𝑜𝑢𝑡,− = −𝑖𝑘(𝜇∇)
𝑟
где для восстановления экспоненты мы использовали
выражение для H(1)
3/2 (𝑥) (8.45). Теперь можно связать
магнитный момент с коэффициентами разложения
(𝜇·𝑛)
=
√
1
2 1 ∑︁ 1,𝑚
√ 3
𝜒
Y1,𝑚 .
𝜋 𝑘 𝑚=−1 𝑜𝑢𝑡,−
(11.4)
ЗАДАЧИ
соответственно) записываются в виде системы уравнений
⎞
⎛
⎛
⎞
𝜒1𝑖𝑛
√ −𝑖˜𝑎
1
−
𝑖˜
𝑎
2
⎟
⎜
𝑏
^⎜
⎟ = 𝜋𝑖 3𝑒 𝐻0 ⎝
⎠,
ℳ
⎠
⎝ 𝑖𝑒𝑖𝑎 𝜒1
2˜
𝑎2
−2 − 2𝑖˜
𝑎+𝑎
˜2
𝑜𝑢𝑡−
−
𝑎
˜2
(11.5)
^ равна
где матрица ℳ
⎛
⎞
sin 𝑏 − 𝑏 cos 𝑏
1−𝑎
˜
⎝
⎠,
(11.6)
2
2
2𝑏 cos 𝑏 + (𝑏 − 2) sin 𝑏 −2 + 2𝑖˜
𝑎+𝑎
˜
В этих выражениях не была использована малость
𝑎 ≪ 𝜆.
В предположении резонанса и высокого показателя
преломления параметры 𝑏 = 𝑘𝑛𝑎 ∼ 1, 𝑎
˜ = 𝑘𝑎 ≪ 1. Если
положить 𝑎
˜ = 0 (что соответствует пренебрежению по^ =0
терями на излучение), то условие резонанса det ℳ
приводит к уравнению sin 𝑏 = 0. Таким образом, условием резонанса в пределе 𝑛 → ∞ является 𝑏 = 𝜋 , то
есть 𝜀′𝑟𝑒𝑠 = 𝜆2 /(4𝑎2 ) или 𝜆 = 2𝑛𝑎. Точное уравнение
^ = 0 выглядит следующим образом:
det ℳ
(︀
)︀
𝑛˜
𝑎 cos(𝑛˜
𝑎) + −1 + (1 − 𝑖˜
𝑎)𝑛2 sin(𝑛˜
𝑎) = 0
(11.7)
Учтём конечность размера гранулы, записав приближённое по малому параметру 𝑎
˜ условие резонанса:
𝑎
˜2 + 𝑖˜
𝑎3
,
𝜋
что приводит к резонансному значению диэлектрической проницаемости
𝑏 = 𝜋 + 𝛿𝑏,
------------------------------------------
𝛿𝑏 = −
𝜀𝑟𝑒𝑠
= 𝜀′𝑟𝑒𝑠 + 𝜀′′𝑟𝑒𝑠 ,
𝜀′𝑟𝑒𝑠
=
𝜆2
− 2,
4𝑎2
(11.8)
𝜀′′𝑟𝑒𝑠 = −
4𝜋𝑖𝑎
.
𝜆
В условиях резонанса, когда диэлектрическая проницаемость материала шарика действительна и равна
𝜀 = 𝜀′𝑟𝑒𝑠 , решение для внутреннего и внешнего поля есть
⎛ 1 ⎞
⎛ 2 ⎞
√
𝜒𝑖𝑛
𝑖𝑛 /𝜋
𝜋
3𝐻
0 ⎝
⎠
⎝
⎠ = −
2
1
1
𝜒𝑜𝑢𝑡−
так что
3𝑖
Hext
(11.9)
4𝑘 3
Наконец, в условиях резонанса поле внутри сферы равно
𝜇 =
Рис. 11.1 Качественное изображение структуры электромагнитного поля для магнито-дипольной моды. Рисунок взят из [25].
-----------------------------------------Запишем граничные условия. В результате граничные условия (непрерывность 𝜒 и 𝜕𝑟 𝜒, см. (8.47) и (8.48)
E =
𝑖𝑘[𝜇, 𝑛]𝑓 ′ (𝑘𝑛𝑟)
,
𝜋𝑟2
𝑓 ′ (𝜁) = −𝜁 2 𝜕𝜁
sin(𝜁)
𝜁
Посчитаем добротность резонанса. Для этого представим знаменатель в выражении (11.3) для интенсивности дипольного момента в виде
[︂
(︂
)︂]︂
𝑖 𝜀′′
𝜋
′ Δ𝜔
𝜀 − 𝜀𝑟𝑒𝑠 = 2𝜀0
+ ′
+
(11.10)
𝜔0
𝜀0 2
𝑛0
Глава 11. Задачи рассеяния
54
√︀
где 𝑛0 = 𝜀′0 – значения действительной части показателя преломления и коэффициента диэлектрической
проницаемости в резонансе, а Δ𝜔 = 𝜔 − 𝜔0 – отстройка по частоте от резонансной частоты 𝜔0 ; отметим, что
мы пренебрегли дисперсией коэффициента диэлектрической проницаемости. Таким образом, получаем, что
при малой диссипации, когда 𝜀′′ ≪ 𝜋/𝑛0 , добротность
резонанса равна
𝑛3
𝑄 = 0.
𝜋
11.1.1.2
⎞
1
𝜂𝑖𝑛
√
⎜
𝜋𝑖 3𝐸0
𝑏2 ⎟
^
⎟
⎜
ℳ⎝
⎠ =
1
2˜
𝑎2
𝑖𝜂𝑜𝑢𝑡−
−
𝑎
˜2
^ равна
где матрица ℳ
⎛
2
⎜ 𝑛 (sin 𝑏 − 𝑏 cos 𝑏)
⎜
⎜
⎝
𝑏 cos 𝑏 + (𝑏2 − 1) sin 𝑏
⎞
𝑎
˜2
𝑖˜
𝑎3
1
+
−
⎜
2
3 ⎟
⎜
⎟,
⎝
⎠
2
𝑎
˜
2𝑖˜
𝑎3
−1 +
−
2
3
(11.11)
𝑎
˜2
1+
2
⎞
𝑖˜
𝑎3
+
3 ⎟
⎟
⎟,
𝑎
˜2
2𝑖˜
𝑎3 ⎠
−1 +
+
2
3
(︂
)︂
(11.12)
Металлические гранулы: поверхностные плазмонные резонансы
= 𝛼Eext ,
𝛼=
𝜀−1 3
𝑎 ,
𝜀 − 𝜀𝑟𝑒𝑠
−2 +
(𝜀 + 10)𝜀 − 1
2(𝜀 − 1)𝑖
(𝑘𝑎)2 +
(𝑘𝑎)3 ≈
10
3
≈
−2 −
12
(𝑘𝑎)2 − 2𝑖(𝑘𝑎)3 .
5
Коэффициент перед (𝑘𝑎)2 в выражении для 𝜀𝑟𝑒𝑠 , определяющий смещение резонанса вследствие конечно размера частицы, не может быть найден феноменологическим путём и может быть получен с помощью теории
Ми. Результат этой процедуры приведён, в частности, в
работе [28]. Электрическое поле внутри
Ein
=
3𝑑
3
=
Eext
3
(𝜀 − 1)𝑎
𝜀 − 𝜀𝑟𝑒𝑠
(𝜕𝜔
[︁(︀
)︀−1 ]︁
𝛿𝜔 𝜕𝜔 𝜀′ + 𝑖(𝜀′′ + 2(𝑎𝑘)3 )
=
12𝜋𝑘𝑎3 (𝜀′′ + 2(𝑎𝑘)3 )
,
𝛿𝜔 2 + (𝜀′′ + 2(𝑎𝑘)3 )2
𝜀′ )2
ср. с выражением [1, §93, Ур. (93.3)], а сечение рассеяния
𝜎𝑠
=
24𝜋(𝑘𝑎)4 𝑎2
,
𝛿𝜔 2 (𝜕𝜔 𝜀′ )2 + (𝜀′′ + 2(𝑎𝑘)3 )2
(11.15)
где 𝛿𝜔 – отстройка по частоте от резонанса, определяемого уравнением (11.13).
Рассмотрим рассеяние монохроматической волны,
когда отстройка равна нулю, 𝛿𝜔 = 0. Если омические
потери пренебрежимо малы, то сечение рассеяния оказывается порядка квадрата длины волны, то сечения
рассеяния и взаимодействия совпадают и равны
𝜎max ≡ 𝜎𝑠 = 𝜎 =
3𝜆2
,
2𝜋
𝜀′′ ≪ (𝑘𝑎)3 .
В обратном случае, когда омические потери велики, сечение рассеяния 𝜎𝑠 составляет малую часть сечения взаимодействия 𝜎 , 𝜎𝑠 ≪ 𝜎 , а последнее, в свою очередь –
малую часть от максимально возможного сечения взаимодействия 𝜎max , 𝜎 ≪ 𝜎max :
𝜎
=
𝜎𝑠
=
(11.13)
=
(11.14)
4𝜋𝑘 Im[𝛼] =
= −12𝜋𝑘𝑎3 Im
⎛
[26, 27]
Дипольный момент: в пределе малого запаздывания,
когда 𝑘𝑎 ≪ 1, т.е. когда малы смещение резонанса вследствие конечности размера частицы и излучение
𝜀𝑟𝑒𝑠
=
=
√
Получаем, что при 𝑛 = 𝜀 ≫ 1 первый резонанс определяется уравнением tg 𝑏 = 𝑏, то есть приблизительно
𝜆 ≈ 1.4 𝑎𝑛
𝑑
𝜎
Дипольная мода
⎛
11.1.2
Полное сечение взаимодействия можно найти, используя оптическую теорему (4.57) и асимптотическое
выражением для поля гармонически колеблющегося диполя:
12𝜋𝑘𝑎 2
2(𝑘𝑎)3
𝜎max =
𝑎 ,
𝜀′′ ≫ 2(𝑘𝑎)3 ,
′′
𝜀
𝜀′′
(︂
)︂2
2(𝑘𝑎)3
2(𝑘𝑎)3
24(𝑘𝑎)4 2
𝜎max =
𝜎𝑠 =
𝑎 .
′′
′′
𝜀
𝜀
(𝜀′′ )2
Пусть на частице рассеивается белый свет со спектральной шириной Δ, большой по сравнению с шириной резонанса, но малой по сравнению с расстоянием
по частоте до соседнего резонанса. Усреднённое сечение
взаимодействия равно
𝜎
=
12𝜋 2 𝑘𝑎3
𝜕 𝜔 𝜀′ Δ
(11.16)
т.е. не зависит от ширины резонанса, а сечение рассеяния
𝜎𝑠
=
24𝜋 2 (𝑘𝑎)4 𝑎2
𝜕𝜔 𝜀′ Δ (𝜀′′ + 2(𝑘𝑎)3 )
(11.17)
55
II.
ЗАДАЧИ
§11.2. Рассеяние нормально падающей волны на пластине толщиной
меньше длины волны и глубины скин-слоя
Рассмотрим тонкую пластину толщиной 𝑎, состоящую из некоторого материала, находящуюся в вакууме.
На слой падает волна, нас интересуют амплитуды отражения r и прохождения t волны. Мы предполагаем толщину пластины 𝑎 малой как по сравнению с длиной волны в вакууме 𝜆, так и с глубиной скин-слоя в материале. Вообще говоря, пластина может быть неоднородной,
но характерный размер неоднородностей должен быть
мал по сравнению с длиной волны. Мы предполагаем,
что локальный отклик материала пластины описывается локальным значением диэлектрической проницаемости 𝜀(𝑟).
Для удобства введём декартову систему координат,
в которой ось 𝑂𝑧 направлена нормально к пластине,
а плоскость 𝑂𝑥𝑦 проходит через геометрический центр
пластины. Волновое уравнение может быть записано в
виде
(∇2 +𝑘 2 )E = 4𝜋(∇𝜌−𝑘 2 P),
𝜌 = div P,
(11.18)
где 𝑘 = 2𝜋/𝜆 – волновой вектор в вакууме, 4𝜋P =
(𝜀 − 1)E, а 𝜌 – плотность поляризационных зарядов.
Рассмотрим простейший случай нормального падения волны. Если платина однородна в в 𝑦𝑧 -плоскости,
то в (11.18) E и P имеют только поперечные 𝑦, 𝑧 компоненты. В противном случае, если пластина имеет неоднородности, то уравнение (11.18) имеет смысл
усреднить в плоскости 𝑦, 𝑧 . В результате получим уравнение
(𝜕𝑥2 + 𝑘 2 )⟨E⟩ = −4𝜋𝑘 2 ⟨P⟩,
(11.19)
которое верно для усреднённых 𝑦, 𝑧 -компонент полей.
Будем считать также, что свойства пластины изотропны в 𝑦𝑧 -плоскости. В этом случае прошедшая и отражённая волны имеют ту же поляризацию, что падающая, поэтому амплитуду падающей волны 𝐸in можно
считать скаляром. Выделим две плоскости 𝑥 = ±𝜉 по
одну и другую сторону пластины, причём 𝑎 ≪ 𝜉 ≪ 𝑘 −1 .
Тогда на расстоянии 𝜉 от пластины электрическое поле
можно считать практически однородным и направленным вдоль поляризации падающей волны. Вне области
|𝑥| < 𝜉 электрическое поле представляется как суперпозиция падающей и отражённой волны (по одну сторону)
и прошедшая волны (по другую сторону):
𝐸/𝐸in = exp(𝑖𝑘𝑥) + r exp(−𝑖𝑘𝑥),
𝐸/𝐸in = t exp(𝑖𝑘𝑥),
𝑥 . −𝜉;
𝑥 & 𝜉;
(11.20)
(11.21)
Первое уравнение на амплитуды t и r можно получить, рассмотрев ближнюю к пластине область |𝑥| . 𝜉 .
В этом случае можно считать электрическое поле потенциальным, E = − grad Φ (что соответствует пренебрежению слагаемыми, пропорциональных 𝑘 2 в (11.18)),
получив квази-статическое уравнение на электрическое
поле:
div(𝜀(𝑟) grad Φ)
=
(11.22)
0.
Из этого уравнения следует, что тангенциальные компоненты электрического поля слева и справа от пластины
равны, то есть, в терминах (11.20,11.21)
(11.23)
1 + r = t.
В противном случае потенциал Φ рос бы с разной
скоростью при движении вдоль пластины с противоположных сторон, так что неограниченно росла бы
𝑥-компонента электрического поля. Уравнение (11.23)
можно получить и непосредственно из волнового уравнения, проинтегрировав (11.19) два раза по 𝑥, опустив
при этом слагаемые порядка 𝑘 2 на основании того, что
глубина скин-слоя и длина волны в пустоте
√︀ велики по
сравнению с толщиной пластины, так что |𝜀| 𝑘𝑎 ≪ 1,
𝑘𝑎 ≪ 1.
Второе уравнение на амплитуды можно получить,
учтя первую поправку от эффектов запаздывания. Проинтегрируем волновое уравнение (11.19) один раз по 𝑥
на отрезке [−𝜉, 𝜉], подставим электрическое поле на краях области интегрирования в виде (11.20,11.21). D уравнении останется лидирующим 1-й порядок по 𝑘 , и для
амплитуды отражения мы получим
ˆ
𝑑
t + r − 1 = 4𝜋𝑖𝑘
,
𝑑 = d𝑥⟨𝑃 ⟩.
(11.24)
𝐸in
Величина 𝑑 имеет смысл средней поверхностной плотности дипольного момента пластины и определяется откликом пластины на внешнее по отношению к ней электрическое поле 𝐸0 , 𝑑 = 𝛼𝐸0 . Этим внешним электрическим полем является не 𝐸in , а поле прошедшей волны
(или что тоже самое, суммарное поле падающей и отражённой волн, см. (11.23)), 𝐸0 = t𝐸in . В результате,
используя (11.23,11.24), приходим к ответу
t=
11.2.1
1
,
1 − 2𝜋𝑖𝑘𝛼
r=
2𝜋𝑖𝑘𝛼
.
1 − 2𝜋𝑖𝑘𝛼
(11.25)
Отражение от плоской пластины
Here, we give expressions for a monochromatic
electromagnetic wave falling normally on a metallic flat
plate of width 𝑎. We assume that the plate surfaces are
determined by 𝑥 = 0 and 𝑥 = 𝑎, respectively, and that the
wave is falling from the left. Then the amplitude of the
electric field in the 𝑡-wave can be written as
𝐸/𝐸in = exp(𝑖𝑘𝑥) + r exp(−𝑖𝑘𝑥),
𝑥 < 0;
𝐸/𝐸in = t exp(𝑖𝑘𝑥 − 𝑖𝑘𝑎),
𝑥 > 𝑎;
Глава 11. Задачи рассеяния
where 𝐸in is the electric field in the incident wave, and t
and r are amplitudes of the passed and the reflected waves,
respectively.
We assume that the plate is homogeneous and has
dielectric constant 𝜀. Equating the electric field and its
derivative at 𝑥 = 0 and 𝑥 = 𝑎, one obtains
(𝑞 2 − 𝑘 2 )(𝑒−𝑖𝑞𝑎 − 𝑒𝑖𝑞𝑎 )
,
(𝑞 + 𝑘)2 𝑒−𝑖𝑞𝑎 − (𝑞 − 𝑘)2 𝑒𝑖𝑞𝑎
4𝑞𝑘
,
t=
2
−𝑖𝑞𝑎
(𝑞 + 𝑘) 𝑒
− (𝑞 − 𝑘)2 𝑒𝑖𝑞𝑎
r=−
56
√
where 𝑞 = 𝜀 𝑘 , Im 𝑞 > 0. We are interested in the case
𝑞 ≫ 𝑘 , 𝑞𝑎 ≪ 1 and 𝑞 2 𝑎 & 𝑘 (that is 𝜀𝑘𝑎 & 1). Then the
above expressions lead to
t=
1
,
1 − 𝑖(𝜀 − 1)𝑘𝑎/2
r=
𝑖(𝜀 − 1)𝑘𝑎/2
. (11.26)
1 − 𝑖(𝜀 − 1)𝑘𝑎/2
Этот ответ совпадает с (11.25), поскольку поверхностная дипольная восприимчивость однородной пластины
𝛼 = (𝜀 − 1)𝑎/4𝜋 .
57
II.
ЗАДАЧИ
Глава 12
ВОЛНОВОДЫ
§12.1. Распространение электромагнитной волны в тонкой плоской
прослойке диэлектрика между двумя массивными проводниками
Рассмотрим теперь распространение поверхностной
волны в тонком слое диэлектрика, помещённого между
толстыми металлическими обкладками.
Пусть толщина диэлектрика равна 𝑑, а отсчёт на
оси 𝑂𝑧 выберем так, чтобы
при
𝑧 < −𝑑/2
металл
при
−𝑑/2 < 𝑧 < 𝑑/2
диэлектрик
при
𝑧 > 𝑑/2
металл
Посчитаем количество мод, локализованных вблизи
диэлектрической прослойки. После выбора направления
распространения вдоль оси 0𝑥, неизвестными остаются 1+3 компоненты волновых векторов и 3x(1+2+1)
компонент электрического поля, т.е. всего 16 неизвестных. Имеется 14 условий, вытекающих из волнового
уравнения на электрическое поле (??): 2x3 в объёме
и 2x4 не границах раздела. Таким образом, всего при
данной частоте есть не более чем 16-14=2 моды.
------------------------------------------
Рис. 12.1 Распространение связанных колебаний электромагнитной волны и электронов вдоль плоской диэлектрической прослойки между двумя массивными
проводниками. Красными плюсами и синими минусами
обозначены области концентрации положительных и отрицательных поверхностных зарядов. а) Симметричная
мода. б) Антисимметричная мода.
-----------------------------------------Эти две моды можно разделить по признаку симметрии относительно инверсии поперечной координаты 𝑧 . Выберем в качестве тестовой величины 𝑧 компоненту электрического поля 𝐸𝑧 . Симметричная
мода, для которой 𝐸𝑧 (−𝑧) = 𝐸 − 𝑧(𝑧) соответствует колебаниям, в которых на двух поверхностях разде-
ла напротив друг друга собираются заряды противоположного знака. В антисимметричной моде, для которой
𝐸𝑧 (−𝑧) = −𝐸𝑧 (𝑧), наоборот, напротив друг друга собираются заряды одинакового знака.
12.1.1
Симметричная мода
Рассмотрим моду, у которой 𝑧 -компонента электрического поля симметрична по отношению к инверсии
𝑧 → −𝑧 ,
𝐸𝑧 (−𝑧) = 𝐸𝑧 (𝑧).
Решением волнового уравнения на электрическое поле
является следующая волна
(12.1)
Es ≡ Es (𝑥, 𝑧) =
⎧
{1, 0, −𝑖𝛽/𝐾m } exp [𝐾m (𝑧 + 𝑑/2)] ,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑧 < −𝑑/2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
{︂
}︂
⎪
⎪
1
⎪
⎨ − sh(𝐾d 𝑧), 0, 𝑖𝛽 ch(𝐾d 𝑧)
,
𝐾d
sh(𝐾d 𝑑/2)
= 𝑒𝑖𝛽𝑥 ·
⎪
⎪
⎪
|𝑧| < 𝑑/2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
{−1, 0, −𝑖𝛽/𝐾m } exp [−𝐾m (𝑧 − 𝑑/2))] ,
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑧 > 𝑑/2
√︀
√︀
где 𝐾m = 𝛽 2 − 𝜀m 𝜔 2 , 𝐾d = 𝛽 2 − 𝜀d 𝜔 2 . Кроме того,
из граничных условий вытекают следующие взаимосвязи на введённые волновые вектора
(︂
)︂
𝐾m
𝜀m
𝐾𝑑 𝑑
= −
th
,
(12.2)
𝐾d
𝜀d
2
2
𝐾m
=
−
𝜀2m (𝜀m − 𝜀d )
𝜔2
,
2
𝑐 𝜀2m − 𝜀2d cth2 (𝐾d 𝑑/2)
2
𝜀2 th2 (𝐾d 𝑑/2) − 1 = −
𝛽2
=
𝜀d 𝜔 2 1
𝑐2 𝐾d2 𝜀 − 1
𝜀d 𝜔 2 𝜀(𝜀 − cth2 (𝐾d 𝑑/2))
.
𝑐2 𝜀2 − cth2 (𝐾d 𝑑/2)
(12.3)
Глава 12. Волноводы
58
где 𝜀 = 𝜀m /𝜀d .
12.1.2
волны 𝜆 света в вакууме,
Антисимметричная мода
𝛿 ≪ 𝜆=
Теперь рассмотрим моду, у которой 𝑧 -компонента электрического поля антисимметрична по отношению к инверсии 𝑧 → −𝑧 . Для такой моды электрическое поле
имеет вид
⎧
{1, 0, −𝑖𝛽/𝐾m } exp [𝑖𝛽𝑥 + 𝐾m (𝑧 + 𝑑/2)] ,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑧 < −𝑑/2,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
}︂
{︂
⎪
⎪
⎪
𝑒𝑖𝛽𝑥
𝑖𝛽
⎨
sh(𝐾d 𝑧)
,
ch(𝐾d 𝑧), 0, −
𝐾d
ch(𝐾d 𝑑/2)
E =
⎪
⎪
⎪
|𝑧| < 𝑑/2,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
{1, 0, 𝑖𝛽/𝐾m } exp [𝑖𝛽𝑥 − 𝐾m (𝑧 − 𝑑/2))] ,
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑧 > 𝑑/2,
а волновые вектора удовлетворяют следующим условиям
)︂
(︂
𝐾m
𝜀m
𝐾𝑑 𝑑
,
= −
cth
𝐾d
𝜀d
2
2
𝐾m
=
𝜀2 (𝜀m − 𝜀d )
𝜔2
− 2 2 m2 2
,
𝑐 𝜀m − 𝜀d th (𝐾d 𝑑/2)
1
𝜀2
=
−
=
(︀
)︀
2
𝜔 2 𝜀d 𝜀m 𝜀m − 𝜀d th (𝐾d 𝑑/2)
.
𝑐2
𝜀2m − 𝜀2d th2 (𝐾d 𝑑/2)
cth2 (𝐾d 𝑑/2) −
𝛽
12.1.3
2
𝜔 2 𝜀d
(𝜀 − 1)
𝑐2 𝐾d2
Предел тонкой
электрика
прослойки
(12.4)
ди-
Пусть толщина пластины диэлектрика 𝑑 стремится к
нулю, а именно, является малой по сравнению с длиной
2𝜋𝑐
.
𝜔
В случае тонкой диэлектрической прослойки “антисимметричная” мода отсутствует, может распространяться
только “симметричная” мода. Для того, чтобы можно
было пренебречь эффектами запаздывания, следует наложить более сильные ограничения сверху на толщину
зазора
𝑑2
𝜆2
≪
1−𝜀 1
.
𝜀4 𝜀d
Расчёт надо начинать с уравнения на 𝐾d , которое замкнуто на эту неизвестную. При этом величину
𝐾d 𝜆 мы считаем большой. Пренебрегая правой частью
в (12.3), получаем
𝐾d = 𝐾m = 𝛽,
𝜀m
𝛽𝛿
= − cth
𝜀d
2
(12.5)
Отметим, что результат (12.5) может быть получен,
если в волновом уравнении пренебречь запаздыванием, таким образом рассмотрев квазистатический предел. Проделаем это. В этом приближении электрическое
поле потенциально, E = − grad Φ. Потенциал Φ удовлетворяет уравнению div(𝜀(𝑟) grad Φ) = 0 и потому для
монохроматической волны имеет следующую пространственную зависимость
Φ=𝑒
𝑖𝛽𝑥
·
[︀
]︀
⎧
exp 𝛽(𝑑/2 − |𝑧|) ,
⎪
⎨
⎪
⎩
sh(𝛽𝑧)
,
sh(𝛽𝑑/2)
|𝑧| > 𝑑/2,
(12.6)
|𝑧| < 𝑑/2
Условие непрерывности нормальной компоненты электрической индукции даёт закон дисперсии (12.5).
§12.2. Распространение электромагнитной волны в тонкой металлической
пластине, окружённой диэлектриком
Рассмотрим распространение волны в плоской металлической пластине. Для описания распределения такой волны годятся все уравнения, выписанные в Пункте
12.1, но в них надо поменять местами индексы, отвечающие металлы и диэлектрику, ‘m’ ↔ ‘d’.
Существует также анти-симметричная и антисимметричная мода. Однако теперь смысл их меняется
местами: при стремлении к нулю толщины металлической пластины остаётся только анти-симметричная мода. Найдём дисперсию для поверхностных плазмонных
колебаний в пределе тонкой металлической пластины.
Для этого в (12.4) надо, как уже говорилось, сделать замену индексов ‘m’ ↔ ‘d’, и пренебречь правой
частью. В результате получаем, что
𝐾m
= 𝐾d = 𝛽,
cth(𝛽𝑑/2) = −𝜀
при условии
√︀
𝑑 ≪ 𝜆/ |𝜀m |.
(12.7)
59
II.
ЗАДАЧИ
§12.3. Распространение связанной моды вдоль цилиндрического
волновода
Рассмотрим распространение связанных мод вдоль
волновода, представляющего из себя цилиндрический
стержень кругового сечения, изготовленный из одного
материала, окружённый слоем другого материала, который достаточно толстый для того, чтобы его можно
было считать формально бесконечным..
Главным примером цилиндрического волновода является оптоволокно, представляющее из себя более оптически плотный стержень, помещённый в менее оптически плотную среду. Стержень называют сердцевиной
оптоволокна, а окружающее пространство – обкладкой.
Классификация всех мод и описание их свойств такого
оптического волновода можно найти в [5, Гл. 8].
{𝜌, 𝜙, 𝑧}. В результате получаем, что компоненты электромагнитного поля имеют вид
⎧
𝜔 √︀
⎨ 𝐸𝑧𝑖𝑛 = 𝐴1 𝐽𝜈 (𝑘𝑐 𝜌)𝑒𝑖𝜈𝜙 ,
𝜀𝑐 − (𝛽𝑐/𝜔)2
𝑘𝑐 =
𝑐
⎩ 𝑜𝑢𝑡
𝐸𝑧 = 𝐴2 𝐾𝜈 (𝜅𝑑 𝜌)𝑒𝑖𝜈𝜙 ,
(12.9)
⎧ 𝑖𝑛
𝑖𝜈𝜙
⎨ 𝐻𝑧 = 𝐵1 𝐽𝜈 (𝑘𝑐 𝜌)𝑒 ,
12.3.1
12.3.2
Уравнение на собственные моды
Выберем декартову систему координат, ось 𝑂𝑧 которой
совпадает с осью сердцевины. Мы ищем собственные
моды волновода, поэтому предполагаем, что все компоненты электромагнитного поля зависят от времени 𝑡 и
продольной координаты 𝑧 как exp[𝑖𝛽𝑧 − 𝑖𝜔𝑡]. Поскольку электромагнитные волны имеют две поляризации, то
зная две компоненты электромагнитного поля, можно
восстановить остальные четыре. Рассматривая волноводы, в качестве двух независимых компонент электромагнитного поля почти всего удобно выбрать продольные компоненты 𝐸𝑧 и 𝐻𝑧 .
Обозначим диэлектрическую проницаемость сердцевины волновода 𝜀𝑐 , диэлектрическую проницаемость
материала обкладки – 𝜀𝑜 . Магнитную восприимчивость
обоих материалов мы считаем единицей. Радиус сердцевины мы обозначим 𝑎.
В областях с постоянным значением диэлектрической проницаемости 𝑧 -компоненты поля удовлетворяют двумерному дифференциальному уравнению Гельмгольца
Δ⊥
{︂
𝐸𝑧
𝐻𝑧
}︂
(︀
)︀
− 𝛽 2 − 𝜀𝑘 2
{︂
𝐸𝑧
𝐻𝑧
}︂
= 0,
(12.8)
где Δ⊥ = 𝜕𝑥2 + 𝜕𝑦2 , 𝑘 = 𝜔/𝑐 - волновой вектор плоской
волны той же частоты в вакууме, и 𝜀 – локальное значение диэлектрической проницаемости среды. К уравнению (12.8) должны быть добавлены граничные условия
на границе раздела сердцевины и обкладки (в общем
случае 4 условия), а также, поскольку мы рассматриваем связанные моды – граничное условие на бесконечности, представляющее из себя условие экспоненциально
быстрого убывания всех компонент электромагнитного
поля моды при удалении от сердцевины волновода.
Уравнение (12.8) может быть решено методом разделения переменных в цилиндрических координатах
𝜔 √︀
(𝛽𝑐/𝜔)2 − 𝜀𝑜
𝑐
(12.10)
где 𝐽𝜈 – функция Бесселя, а 𝐾𝜈 - функции Макдональда.
⎩ 𝐻 𝑜𝑢𝑡 = 𝐵 𝐾 (𝜅 𝜌)𝑒𝑖𝜈𝜙 ,
2 𝜈
𝑑
𝑧
𝜅𝑜 =
Безразмерные параметры моды
Безразмерными параметрами, определяющими структуру моды, удобно выбрать следующие:
Материальные параметры волокна
1) Отношение коэффициентов преломления сердцевины и оркужающую сердцевину материала
√︂
𝜀c
𝑛𝑟 =
.
(12.11)
𝜀𝑜
Отметим, что на практике 𝑛𝑟 всегда остаётся порядка единицы.
2) Безразмерный радиус сердцевины оптоволокна
𝑎
˜
=
√
𝜀𝑜 𝜔 𝑎/𝑐
(12.12)
Параметры распределения электромагнитного поля
3) безразмерная константа распространения
𝛽˜ =
𝛽𝑐
,
√
𝜀𝑜 𝜔
1 < 𝛽˜ < 𝑛𝑟 .
(12.13)
4) Аксиальное квантовое число 𝜈 .
5) Радиальное квантовое число 𝜇 (определяющее,
сколько нулей имеет 𝐸𝑧𝑖𝑛 и 𝐻𝑧𝑖𝑛 )
6) Дискретный параметр, принимающий два значения и соответствующий модам TE и TM для плоских электромагнитных волн, падающих на плоскую поверхность раздела. Только моды с 𝜈 = 0
имеют чистые 𝑇 𝑀 и 𝑇 𝐸 поляризации, поэтому все
остальные моды обозначаются 𝐸𝐻 и 𝐻𝐸 моды [5],
в зависимости от того, какая из 𝑧 -компонент поля
больше.
Глава 12. Волноводы
60
Каждая мода с фиксированными
квантовыми числами имеет свою частоту отсечки: при
фиксированном значении 𝑛𝑟 мода не существует, если
параметр 𝑎
˜ меньше некоторого критического значения
(это условие аналогично тому, при при прочих фиксированных параметрах есть минимально допустимая частота 𝜔 , при которой ещё существует мода). Если это
критическое значение равно нулю, говорят, что эта мода не имеет частоты отсечки.
⎧ 𝑖𝑛
⎨ 𝐻𝑧 = 𝐵1 𝐼𝜈 (𝜅𝑚 𝜌)𝑒𝑖𝑛𝜙
Частота отсечки
------------------------------------------
⎩
𝐻𝑧𝑜𝑢𝑡 = 𝐵2 𝐾𝜈 (𝜅𝑑 𝜌)𝑒𝑖𝑛𝜙
(12.15)
где 𝐼𝜈 и 𝐾𝜈 - модифицированные функции Бесселя первого и второго рода соответственно, а 𝜅𝑚,𝑑 =
√︀
𝛽 2 − 𝜀𝑚,𝑑 (𝜔/𝑐)2 .
Необходимо поставить условия сшивки на компоненты электромагнитного поля на границе раздела различных материалов. При этом достаточно сшить к примеру
только касательные компоненты полей, поскольку соответствующие условия на нормальные составляющие будут выполнены автоматически, как это легко показать
из уравнений Максвелла для монохроматических волн.
Здесь мы не стремимся определить закон дисперсии
для моды произвольного номера. Нас интересует аксиально симметричная мода, которой соответствует 𝜈 = 0.
Как мы покажем ниже, для любых параметров существуют только 𝑇 𝑀 -волны, а 𝑇 𝐸 -волн не существует.
12.3.3.1
TM-волна,
𝐻𝑧 = 0.
Касательная компонента магнитного поля
𝐻𝜙 = 𝜀
Рис. 12.2 Дисперсия связанных мод в оптоволокне при
𝑛𝑟 = 1.1. Моды с аксиальным числом 𝑚 = 0, 1, 2 обозначены красным, зелёным и синим соответственно. Мода с
𝑚 = 1 с наименьшим 𝑎
˜ есть та мода, которая существует
в оптоволокне при любых его характеристиках: частота её отсечки равна нулю. Все остальные моды имеют
ненулевую частоту отсечки.
------------------------------------------
12.3.3
Аксиально-симметричная мода в
металлическом проводе
Задача. Определить дисперсию аксиально симметричной моды металлической проволоки (в области рассматриваемых частот считать, что диэлектрическая проницаемость сердцевины меньше нуля, 𝜀𝑐 < 0).
В этом случае мы сделаем преобозначение: 𝜀𝑐 ≡ 𝜀𝑚 <
0 (metal), 𝜀𝑜 ≡ 𝜀𝑑 > 0 (dielectric).
Поскольку диэлектрическая проницаемость сердцевины волновода отрицательна, то волновое число 𝑘𝑐 в
(12.9,12.10) чисто мнимое. Учитывая, что функции Бесселя и модифицированные функции Бесселя связаны
соотношением 𝐼𝜈 (𝑧) = 𝑒∓𝑖𝜈𝜋/2 𝐽𝜈 (𝑧𝑒±𝑖𝜈𝜋 ), разложения
(12.9,12.10) удобно переписать в виде
⎧ 𝑖𝑛
⎨ 𝐸𝑧 = 𝐴1 𝐼𝜈 (𝜅𝑚 𝜌)𝑒𝑖𝑛𝜙
⎩
𝐸𝑧𝑜𝑢𝑡 = 𝐴2 𝐾𝜈 (𝜅𝑑 𝜌)𝑒𝑖𝑛𝜙
(12.14)
𝑖𝜔 𝜕𝐸𝑧
𝑐𝜅2 𝜕𝑟
(12.16)
Требование непрерывности компонент 𝐸𝑧 и 𝐻𝜙 ведет
к следующей системе уравнений
⎧
𝑖𝜈𝜙
⎪
⎨ 𝐴1 𝐼0 (𝜅𝑚 𝑎) = 𝐴2 𝐾0 (𝜅𝑑 𝑎)𝑒
(12.17)
𝜀
𝜀
⎪
⎩ 𝑚 𝐴1 𝐼0′ (𝜅𝑚 𝑎) = 𝑑 𝐴2 𝐾0′ (𝜅𝑑 𝑎)
𝜅𝑚
𝜅𝑑
Волновой вектор 𝛽 обнуляет детерминант характеристической матрицы этой системы
𝜀𝑑 𝜅𝑚 𝐼0 (𝜅𝑚 𝑎)𝐾0′ (𝜅𝑑 𝑎) − 𝜀𝑚 𝜅𝑑 𝐼0′ (𝜅𝑚 𝑎)𝐾0 (𝜅𝑑 𝑎) = 0.
(12.18)
Данное уравнение может быть решено численно.
Рассмотрим предел
тонкой проволоки, когда её радиус мал по сравнению
с длиной волны, то есть когда её безразмерный радиус
√
(12.12) мал, 𝑎
˜ = 𝜀𝑑 𝜔𝑎/𝑐 ≪ 1. Кроме того, мы предполагаем, что поле проникает на всю глубину проволоки,
то есть 𝛽𝑎 ≪ 1. Наконец, постоянную распространения
𝛽 мы полагаем большой, так что велико безразмерное
˜ 𝑟 | ≫ 1, см. (12.11,12.13). С учётом сделанных
число 𝛽|𝑛
предположений можно считать, что 𝜅𝑚,𝑑 = 𝛽 , а 𝛽𝑎 ≪ 1.
Раскладывая в (12.18) функции Бесселя по малому
аргументу, получаем трансцендентное уравнение
Предел тонкой проволоки
(𝛽𝑎)2 (ln(𝛽𝑎/2) + 𝛾) =
2𝜀𝑑
.
𝜀𝑚
(12.19)
где 𝛾 = 0.57721 – константа Эйлера. С логарифмической
точностью
√︂
[︂ √︂
]︂−1/2
1
2𝜀𝑑
−2𝜀𝑚
𝛽=
−
ln
−𝛾
.
(12.20)
𝑎
𝜀𝑚
𝜀𝑑
61
II.
√
В противоположном пределе, 𝜀𝑑 𝜔𝑎/𝑐 ≫ 1, исследуемая мода переходит в поверхностный плазмон на плоской границе металл-диэлектрик.
Поскольку при
малом радиусе провода, когда 𝜀𝑑 𝜔𝑎/𝑐 ≪ 1, вихревой
частью электрического поля можно пренебречь, то электрическое поле можно описывать с помощью электрического потенциала Φ, E = − grad Φ. Потенциал также
как и все компоненты электромагнитного поля зависит
от продольной координаты 𝑧 как exp{𝑖𝛽𝑧}.
В поперечной плоскости потенциал удовлетворяет
уравнениям
{︂
}︂
)︀ Φin
(︀ ⊥
Δ − 𝛽2
= 0,
Φout
Квази-статическое приближение
√
Поэтому потенциал имеет тот же вид, что и 𝐸𝑧 (12.14),
но надо теперь положить 𝜔 = 0 в соответствии со сделанным нами квази-статическим приближением: в этом
случае 𝜅𝑚,𝑑 = 𝛽 . В результате постановки граничных
условий
⃒
⃒
Φin = Φout ⃒
,
𝜀m 𝜕𝜌 Φin = 𝜀d 𝜕𝜌 Φout ⃒
.
𝜌=𝑎
𝜌=𝑎
ЗАДАЧИ
приходим к тому же характеристическому уравнению
(12.18), но с 𝜔 = 0.
12.3.3.2
Отсутствие TE-волны,
𝐸𝑧 = 0.
Касательная компонента магнитного поля
𝐸𝜙 = −
𝑖𝜔 𝜕𝐻𝑧
𝑐𝜅2 𝜕𝑟
(12.21)
Требование непрерывности компонент 𝐻𝑧 и 𝐸𝜙 ведет
к следующей системе уравнений
⎧
𝐵 𝐼 (𝜅 𝑎) = 𝐵2 𝐾0 (𝜅𝑑 𝑎)𝑒𝑖𝜈𝜙
⎪
⎨ 1 0 𝑚
⎪
⎩
1
1
𝐵1 𝐼0′ (𝜅𝑚 𝑎) =
𝐵2 𝐾0′ (𝜅𝑑 𝑎)
𝜅𝑚
𝜅𝑑
(12.22)
Обнуляем детерминант характеристической матрицы
𝜅𝑚 𝐼0 (𝜅𝑚 𝑎)𝐾0′ (𝜅𝑑 𝑎) − 𝜅𝑑 𝐼0′ (𝜅𝑚 𝑎)𝐾0 (𝜅𝑑 𝑎) = 0
(12.23)
Данное уравнение не имеет действительных корней.
Глава 12. Волноводы
62
§12.4. Колебания и волны
12.4.1
Двухпроводная линия (линия Лехера)
Рассмотрим распространение электромагнитной волны
по тонкому волноводу, в котором, несмотря на его тонкость, хорошо локализовано электромагнитное поле. Таким волноводом может быть, например, коаксиальный
кабель или два параллельных близко расположенных
металлических провода; для определённости мы будем
ниже иметь ввиду именно эти два случая.
Обозначим частоту сигнала 𝜔 , постоянную распространения 𝛽 , координату вдоль волновода – 𝑧 . Тонкость волновода означает, что выполняется квазистационарный предел, т.е. длина волны велика по сравнению с характерным поперечным размером 𝑎 волновода: 𝛽𝑎 ≪ 1. В этом случае на малых расстояниях
𝑟, 𝑟 ≪ 1/𝛽 , электрическое поле можно считать почти
потенциальным. В частности, устанавливается электростатическое равновесие поперёк волновода, так что в
итоге
E ≈ − grad⊥ 𝜙,
Δ⊥ 𝜙 = 0,
где символ ‘⊥’ означает, что производится ограничение
на 𝑥, 𝑦 -компоненты. При этом мы предполагаем, что 𝑧 компонента электрического поля мала, 𝐸 𝑧 /𝐸 ⊥ ∼ 𝛽𝑎.
Из уравнения Максвелла rot B = 𝑖𝜔/𝑐E следует, что
магнитное поле также почти поперечно, его поперечные
компоненты равны
𝐵𝛼 ≈
𝜔 𝛼𝛾
𝜖 ∇𝛾 𝜙
𝑐𝛽
выходим за рамки квази-стационарного приближения.
Точно также можно ввести ток 𝐽 , текущий по первому
проводу; по второму проводу будет течь ток −𝐽 .
Теперь установим связь между электромагнитным
полем в волноводе и величинами 𝜌, 𝐽 . Оставаясь попрежнему в рамках квази-стационарного приближения,
при расчёте локального значения электрического поля
следует считать, что плотность 𝜌 не зависит от координаты. Поскольку провода волновода металлические,
то их поверхности изопотенциальны, то можно ввести
разность 𝑉 между ними:
ˆ1
(d𝑟 · E),
𝑉 =
2
где интегрирование производится от точки ‘2’ на втором
волноводе до точки ‘1’; в силу квази-стационарности
поля не имеет значения конкретное положение точек.
Связь между погонной плотностью заряда и разностью
потенциалов зависит от геометрии и параметров материалов волновода через погонную ёмкость 𝐶 , [𝐶] = 1,
𝜌 = 𝐶𝑉,
Рассмотрим теперь погонную плотность потока магнитного поля
ˆ1
Φ =
(d𝑟 · [B × 𝑒𝑧 ]),
2
где {𝛼, 𝛾} = {𝑥, 𝑦}.
------------------------------------------
где 𝑒𝑧 – единичный вектор, направленный вдоль волновода. Этот поток создаётся током 𝐽 , который также в
нашем приближении следует считать не зависящим от 𝑧 .
Таким образом,
𝐿𝐽
,
Φ =
𝑐
где 𝐿 – погонная индуктивность, [𝐿] = 1.
Наконец, установим уравнения, определяющие распространения волн. Первое уравнение следует из закона
сохранения заряда,
𝜕𝑥 𝐽 = −𝜕𝑡 𝜌
a)
б)
Рис. 12.3 а) коаксиальный волновод; б) двух-проводная
линия
-----------------------------------------Пусть 𝜌1 = 𝜌 – погонная плотность заряда на одном
из проводов волновода, тогда на втором проводе погонная плотность заряда будет 𝜌2 = −𝜌: если бы мы учитывали отклонение 𝜌1 +𝜌2 от нуля, это означало бы, что мы
Второе уравнение можно получить, домножив уравнение Максвелла
1
rot E = − 𝜕𝑡 B
𝑐
векторно на 𝑒𝑧 , и затем проинтегрировав проекцию результата на d𝑟 по контуру ‘21’. В результате получим
⃒1
1
⃒
𝜕𝑡 Φ = 𝐸𝑧 ⃒ −
𝑐
2
ˆ1
(d𝑟 · 𝜕𝑧 E) = −𝜕𝑧 𝑉,
2
63
II.
где последнее приближение верно в квази-статическом
пределе. В итоге приходим к системе уравнений, связывающих напряжение и ток:
𝜕𝑧 𝐽
= −𝜕𝑡 𝜌 = −𝐶𝜕𝑡 𝑉,
𝜕𝑧 𝑉
1
𝐿
= − 𝜕𝑡 Φ = − 2 𝜕𝑡 𝐽.
𝑐
𝑐
между входной (𝑈, 𝐼) и выходной (𝑈𝐿 , 𝐼𝐿 ) парами напряжения и тока.
------------------------------------------
(12.24)
Для монохроматической волны, для которой 𝜌 ∝
exp(𝑖𝛽𝑧 − 𝑖𝜔𝑡), закон дисперсии
𝛽2 =
𝜔2
𝐿𝐶.
𝑐2
(12.25)
Отношение среднего значения электрического поля и
магнитной индукции в монохроматической волне равно
𝐸
𝜔
𝑉
1
=
=
= √
,
𝐵
Φ
𝑐𝛽
𝐿𝐶
причём последнее равенство справедливо для любого
волновода. Отношение напряжения и тока в линии
√︂
1 𝐿
𝑉
=
≡ 𝑍line ,
𝐽
𝑐 𝐶
где 𝑍line , [𝑍line ] = Ом, называется волновым сопротивлением линии.
Поток энергии 𝑊 , передаваемый монохроматической волной 𝑉 exp(−𝑖𝜔𝑡 + 𝑖𝛽𝑧), равен
ˆ
𝑐
𝑊 =
d𝑥d𝑦 Re(E, B* , e𝑧 ).
8𝜋
Используя поперечность электромагнитного поля и потенциальность электрического поля, выражение для 𝑊
переписывается в виде
ˆ
𝜔
𝑊 =
d𝑥d𝑦 |∇⊥ 𝜙|2 =
(12.26)
8𝜋𝛽
=
𝜔
8𝜋𝛽
˛
dΓ Re(𝜙𝐸𝑛* ) =
𝑐 𝐶|𝑉 |2
|𝑉 |2
=
,
2𝛽
2𝑍line
где во втором интеграле интегрирование производится
по обеим поверхностям двухпроводной линии, а затем
мы воспользовались теоремой Гаусса для заряда.
12.4.1.1
ЗАДАЧИ
Работа волноводных линий в электрических цепях
Рассмотрим работу двухпроводной линии на частоте 𝜔
с волновым сопротивлением 𝑍line , длиной 𝑙; постоянная
распространения волны на данной частоте равна 𝛽 . На
конце которой может быть подключена некоторая нагрузка, обладающая импедансом 𝑍𝐿 . Линия задаёт линейную связь
(︂
)︂
(︂
)︂ (︂
)︂
𝑈𝐿
𝑈
cos(𝛽𝑙) 𝑖 sin(𝛽𝑙)
=
𝑖 sin(𝛽𝑙) cos(𝛽𝑙)
𝑍line 𝐼𝐿
𝑍line 𝐼
Волна вправо:
𝐽+ 𝑒𝑖𝛽𝑧
Волна влево:
𝐽− 𝑒−𝑖𝛽𝑧
Рис. 12.4 Линия с нагрузкой на выходе.
-----------------------------------------Если на выходе известна величина импеданса 𝑍𝐿 нагрузки, 𝑈𝐿 /𝐼𝐿 = 𝑍𝐿 , то для входных величин величина
импеданса равна
𝑍𝐿 − 𝑖𝑍line tan(𝛽𝑙)
𝑈
=
𝑍line .
𝐼
𝑍line − 𝑖𝑍𝐿 tan(𝛽𝑙)
Предположим, что в линии потерь нет, так что её импеданс 𝑍line является чисто действительным, а нагрузка
чисто реактивная, так что 𝑍𝐿 также чисто действительно. В этом случае мощность 𝑊 = Re[𝑈 𝐼 * ]/2, поставляется в начало линии, полностью выделяется на ‘полезной’
нагрузке 𝑍𝐿 . Предположим, что наша задача состоит в
доставке до полезной нагрузки фиксированного значения нагрузки 𝑊 . Определим необходимую величину амплитуды напряжения 𝑈 для достижения этой цели. В
результате вычислений получаем:
|𝑈 |2 = 2
2
sin2 (𝛽𝑙)
𝑍𝐿2 cos2 (𝛽𝑙) + 𝑍line
𝑊.
𝑍𝐿
Таким образом, напряжение не сильно флуктуирует с
изменением дины линии, если волновое сопротивление
линии не сильно отличается от сопротивления нагрузки, 𝑍line ≈ 𝑍𝐿 ; в этом случае говорят, что сопротивление
линии согласовано с сопротивлением нагрузки. В противном случае амплитуда напряжения в условиях фиксированной передаваемой мощности резко изменяется
при вариации длины на 𝛿𝑙 = 𝜋/(2𝛽).
Представим теперь распределение тока (напряжения) в линии как совокупность двух волн, распространяющихся в право и в лево соответственно:
(︀
)︀
𝐽(𝑡, 𝑧) = 𝐽+ 𝑒𝑖𝛽𝑧 + 𝐽− 𝑒−𝑖𝛽𝑧 𝑒−𝑖𝜔𝑡 ,
где 𝑧 – координата вдоль линии, отсчитываемая от положения полезной нагрузки 𝑍𝐿 . Если известна амплитуда
набегающей полны, 𝐽+ , (т.е. мощность, передаваемая к
нагрузке, равна 𝑊 = |𝐽+ |2 Re 𝑍line /2) то напряжение 𝑈𝐿
на нагрузке и амплитуда обратной волны 𝐽− равны
𝑈𝐿 =
2𝑍𝐿
𝑍line 𝐽+ ,
𝑍line + 𝑍𝐿
𝐽− =
𝑍line − 𝑍𝐿
𝐽+ .
𝑍line + 𝑍𝐿
(12.27)
Глава 12. Волноводы
64
Если 𝑍line = 𝑍𝐿 , то есть волновое сопротивление линии согласовано с сопротивлением нагрузки, то амплитуда отражённой волны 𝐽− равна нулю: вся подводимая мощность в полезной нагрузке на ней и выделяется.
В противном случае, когда не достигнуто согласование,
амплитуда отражённой волны оказывается порядка амплитуды падающей, |𝐽− | ∼ |𝐽+ |, так что большая часть
подводимой к нагрузке мощности отражается обратно.
12.4.2
Трансформатор
Для трансформатора всегда выполняется условие
𝐿212 ≤ 𝐿1 𝐿2 ,
𝐿12 = 𝐿21 .
Последнее равенство называется также теоремой взаимности.
12.4.2.1
Нагрузка за трансформатором
------------------------------------------
В результате получаем, что с точки зрения внешнего
источника импеданс всей цепи как целого равен
𝑍 =
12.4.2.2
𝑈
𝑍1 𝑍2 + 𝜔 2 𝐿212
=
.
𝐼
𝑍2
(12.28)
Двухпроводная линия, питающая нагрузку за трансформатором
Рассмотрим подключение нагрузки ‘load’ к двухпроводной линии через трансформатор. Мы предполагаем, что
в двухпроводной линии фиксирована амплитуда падающей волны 𝐽+ . Импеданс 𝑍𝐿 нагрузки предполагается малой и почти действительной величиной вследствие
близости к резонансу. Наша цель – достигнуть максимального значения выделения тепла на нагрузке ‘load’
при фиксированном значении волнового сопротивления
линии 𝑍line .
При этом разумно предположить, что ёмкости перед и за трансформатором подобраны так, что 𝐿1 𝐶1 =
𝐿2 𝐶2 = 𝜔 2 (т.е. соответствующие замкнутые контура
являются резонансными), а сопротивление перед трансформатором пренебрежимо мало, так что можно принять 𝑅1 =0. В результате выделяющуюся мощность 𝑊
на нагрузке ‘load’ остаётся максимизировать по силе
связи трансформатора 𝐿12 . В результате получаем, что
𝑍1 = 0, 𝑍2 = 𝑍𝐿 (≡ 𝑅𝐿 ), эффективная величина нагрузки
𝑍 =
𝜔 2 𝐿212
𝑍𝐿
а выделяющаяся мощность на полезной нагрузке
Рис. 12.5 Нагрузка за трансформатором.
-----------------------------------------Рассмотрим схему, изображённую на Рис. 12.5. Схема содержит полезную нагрузку 𝑍𝐿 , подключённую к
источнику переменного напряжения 𝑈 через трансформатор; ёмкости 𝐶1 и 𝐶2 на относятся к полезной нагрузке и в дальнейшем могут быть выбраны с целью оптимизации того или иного параметра схемы. Уравнениями,
определяющими токи в схеме, являются
𝑈
= 𝐼𝑍1 − 𝑖𝜔𝐽𝐿12 ,
𝑍1 = 𝑅1 − 𝑖𝜔𝐿1 +
𝑖𝐶1
,
𝜔
0
= 𝐽𝑍2 − 𝑖𝜔𝐼𝐿12 ,
𝑍2 = 𝑍𝐿 − 𝑖𝜔𝐿2 +
𝑖𝐶2
.
𝜔
𝑊 = |𝐽+ |2
2
2
2𝑍𝑍line
2𝜔 2 𝐿212 𝑍line
𝑅𝐿
2
=
2 |𝐽+ | .
2
(𝑍line + 𝑍)2
(𝑅𝐿 𝑍line + 𝜔 𝐿212 )
см. (12.27); мы предположили, что в линии потерь нет,
так что её волновой импеданс 𝑍line чисто действителен.
Тогда максимум мощности 𝑊 достигается, когда
𝐿12 =
1 √︀
𝑍line 𝑅𝐿 ,
𝜔
то есть достигается условие согласования, 𝑍 = 𝑍line . В
этом случае выделяющаяся мощность оказывается равной 𝑊 = 𝑍line |𝐽+ |2 /2, как и следовало ожидать, поскольку в условиях согласования отражённая волна линии отсутствует. Отметим, что если сопротивление нагрузки 𝑅𝐿 мало (т.е. резонансный контур 𝑅𝐿 -𝐿2 -𝐶2 обладает высокой добротностью), то и величина связи 𝐿12
также оказывается малой.
65
II.
ЗАДАЧИ
Глава 13
МАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
§13.1. Магнитостатика
13.1.1
Кольцо тока и магнитный диполь
Пусть у нас есть кольцо из проводника радиуса 𝑟, по которому течёт ток 𝑗 . Поместим начало координат в центр
этого кольца. Единичную нормаль к плоскости кольца
обозначим E. Зафиксируем направление тока, а именно
пусть
𝑗
(13.1)
j(R) = − [e, R].
𝑟
Найдём распределение поля вдали от кольца. Введём
вектор-потенциал A в калибровке div A = 0 вдали от
кольца, на расстояниях много больших размера самого
кольца. Из уравнения (??) получаем, что
4𝜋 · 𝜋𝑟2 𝑗 [e, R]
[d𝑚 , R]
A=
=
,
3
𝑐
𝑅
𝑅3
D𝑚 =
4𝜋𝑆𝑗
e,
𝑐
𝑆 = 𝜋𝑟2 .
(13.2)
Если теперь взять предел 𝑗 → ∞ при постоянном значении D𝑚 , то выражение для вектор-потенциала A становится точным во всём пространстве.
В пределе 𝑗 → ∞ такое же поле создаёт бесконечно
малый диполь d𝑚 , расположенный в начале координат.
Действительно,
𝜙𝑏 = −(d𝑚 , ∇)
B = − grad 𝜙𝑏 = ∇(d𝑚 , ∇)
n=
1
,
𝑅
(13.3)
1
3(d𝑚 , n)n − d𝑚
=
,
𝑅
𝑅3
R
.
𝑅
Глава 13. Магнитные явления
66
Предметный указатель
Частота отсечки (критическая частота), 60
Функция
автокорреляционная, 37
Крамерса-Кронига соотношения, 35
Кристоффеля символ, 40
Критическая частота (частота отсечки), 60
Кубо
формула, 36
Оптическая теорема, 25
Показатель
поглощения, k, 15
преломления комплексный, n + 𝑖k, 15
преломления, n, 15
Система координат
лабораторная запаздывающая, 18
сопровождающая, 18
Среда
прозрачная, 16, 31
Запаздывающее время, 18
дисперсия
аномальная, 17
нормальная, 17
функция
стационарная случайная, 37
импеданс
волновой, 15
коэффициент
поглощения, 16
сечение поглощения, 24
сечение рассеяния, 24
дифференциальное, 24
сечение взаимодействия, 24
свёртка, 40
волновое сопротивление линии, 63
absorption coefficient, 16
Christoffel symbols, 40
convolution, 40
extinction coefficient, 15
group delay parameter, 𝐷, 17
index of refraction, 15
Transmission line, 62
67
ЛИТЕРАТУРА
Литература
[1] Л. Д. Ландау and Е. М. Лифшиц. Теоретическая физика, том VIII. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука,
1982.
[2] Е.А. Памятных and Е.А. Туров. Основы электродинамики материальных сред в переменных и неоднородных
полях. Физматлит, 2000.
[3] А.А. Абрикосов. Основы теории металлов. М., Наука, 1987.
[4] И.Н. Топтыгин. Современная электродинамика, часть 2. Теория электромагнитных являений в веществе. МоскваИжевск: РХД, 2005.
[5] Д.Маркузе. Оптические волноводы. М.: МИР, 1974.
[6] Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том III. Электричество. ФИЗМАТЛИТ, 4-е издание, стереотипное edition,
2004.
[7] Tony R. Kuphaldt. Lessons in Electric Circuits. SelfPublishing, sixth edition, 2007.
[8] Steven Johnson. Notes on Perfectly Matched Layers (PMLs). Technical Report, Massachusetts Institute of Technology.
2010.
[9] Pu Zhang. Theory of transformation optics and invisibility cloak design. PhD thesis, KTH Electrical Engineering,
Stockholm, Sweden, 2011.
[10] Гуревич А.Г. and Мелков Г.А. Магнитные колебания и волны. Физматлит, 1994.
[11] Ольхов О.А. Кингсеп А.С., Локшин Г.Р. Основы физики. Курс общей физики. Том 1. Механика, электричество
и магнетизм, колебания и волны, волновая оптика. ФИЗМАТЛИТ, 2001.
[12] AP Vinogradov and AV Aivazyan. Scaling theory for homogenization of the Maxwell equations. Physical Review E, 60
(1):987–993, 1999. URL http://pre.aps.org/abstract/PRE/v60/i1/p987_1.
[13] Виноградов А.П. К вопросу о форме материальных уравнений в электродинамике. Успехи Физических Наук, 172
(3):363–370, 2002. URL http://ufn.ru/ru/articles/2002/3/h/.
[14] J.B. Pendry, D. Schurig, and D.R. Smith. Science, 312:1780, 2006.
[15] Л. Д. Ландау and Е. М. Лифшиц. Теоретическая физика, том III. Квантовая механика (нерелятивистский случай).
М.: Наука, Издание четвёртое, исправленное. edition, 1989.
[16] И.Е. Тамм. Основы теории электричества: Учебное пособие для вузов. Моква: ФИЗМАТЛИТ, 11-е издание,
исправленное и дополненное edition, 1966. ISBN 5-9221-0313-X.
[17] П.А.М. Дирак. Принципы квантовой механики. М., Наука, 1979.
[18] Л. Д. Ландау and Е. М. Лифшиц. Теоретическая физика, том II. Теория поля. М: Наука, 1988.
[19] Л. Д. Ландау and Е. М. Лифшиц. Теоретическая физика, том V. Статистическая физика, часть 1. НаукаФизматлит, Издание 4-е edition, 1995.
[20] Л.С.Левитов and А.В.Шитов. Функции Грина. Задачи и решения. ФИЗМАТЛИТ, 2003.
[21] С.М. Рытов. Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы. Наука, Москва, 1976.
[22] А. Я. Хинчин. Теория корреляции стационарных стохастических процессов. Успехи математических наук, 5:
42–51, 1938.
[23] З.Флюгге. Задачи по квантовой механиве, том 2. М.: Мир, 1974.
Глава 13. Магнитные явления
68
[24] Е. Г. Векштейн. Сборник задачи по электродинамике. Высшая школа, 1966.
[25] Arseniy I. Kuznetsov, Andrey E. Miroshnichenko, Yuan Hsing Fu, JingBo Zhang, and Boris Luk’yanchuk. Magnetic
light. Scientific Reports, 2:492, 2012.
[26] S. B. Ogale, V. N. Bhoraskar, and P. V. Panat. Surface plasmon dispersion relation for spherical metal particles.
Pramana, 11:135–144, 1978.
[27] A. D. Boardman and B. V. Paranjape. The optical surface modes of metal spheres. Journal of Physics F: Metal Physics,
7:1935, 1977.
[28] Hitoshi Kuwata, Hiroharu Tamaru, Kunio Esumi, and Kenjiro Miyano. Resonant light scattering from metal
nanoparticles: Practical analysis beyond Rayleigh approximation. Applied Physics Letters, 83(22):4625, 2003. ISSN
00036951. doi: 10.1063/1.1630351. URL http://scitation.aip.org/content/aip/journal/apl/83/22/10.1063/1.
1630351.
Оглавление
Глава 1
1
Программа курса
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
Уравнения Максвелла в среде; плоские волны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Термодинамика и кинетика переменного электромагнитного поля в среде с линейным откли- . . . . . . .
ком.
Анизотропные среды. Магнитооптика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Скин-эффект. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Поверхностные электромагнитные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Волноводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Рассеяние электромагнитных волн на макроскопических телах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Трансформационная оптика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Квази-стационарные поля.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Магнитостатика магнетиков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Доменная структура магнетиков. Динамика магнитного момента. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Нелинейная оптика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 2
Задачи для самостоятельного решения
Глава 3
Уравнения Максвелла в среде
3.1.
Уравнения Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Разделение на составляющие плотности заряда 𝜌 и плотности тока j. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Плотность заряда 𝜌. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Разделение на составляющие плотности тока j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 4
Распространение линейных волн
4.1.
4.1.1
4.1.2
4.2.
4.2.1
4.2.2
4.3.
4.3.1
4.3.2
4.4.
4.4.1
4.4.2
4.4.3
4.5.
4.5.1
Плоская электромагнитная волна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Монохроматическая волна в изотропной среде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Распространение волнового пакета в среде с дисперсией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Магнитооптика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Феноменология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эффект Фарадея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Трансформационная оптика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Трансформационная оптика в ортогональных криволинейных координатах . . . . . . . . . . . . .
Идеально согласованный слой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Отражение и преломление волн на плоской поверхности раздела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Граничные формулы Френеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Граничные условия в форме Леонтовича: общая форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Граничные условия в форме Леонтовича в случае скин-эффекта . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Рассеяние электромагнитных волн на частицах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Оптическая теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
5
5
6
7
7
8
8
9
9
11
13
13
13
13
13
14
15
15
15
16
19
19
19
20
20
21
21
21
22
23
24
24
ОГЛАВЛЕНИЕ
70
4.5.2 Рассеяние света на малых частицах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.6.
Волноводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Глава 5
Термодинамика тела во внешнем электромагнитном поле
5.1.
Термодинамика тела во внешнем электрическом и магнитном полях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Гамильтониан тела во внешнем электромагнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Термодинамические потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.
Пондеромоторные силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Неоднородная среда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.
Энергия поля в диспергирующих средах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Скорость диссипации энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Энергия электромагнитных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 6
Постоянное магнитное поле
6.1.
Магнитное поле постоянных токов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.
Магнитостатика. Динамика магнитного момента в магнетиках. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Базовые соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Магнитные домены: доменные стенки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Ферромагнитный резонанс. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
27
27
28
29
29
30
30
30
30
31
32
32
32
32
33
34
Часть I
ПРИЛОЖЕНИЯ
Глава 7
Теория линейного отклика и элементы статистики
7.1.
Обобщённая восприимчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Аналитические свойства обобщённой восприимчивости: соотношения Крамерса-Кронига . . . . .
7.1.2 Диссипация энергии в системе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Формула Кубо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.4 Принцип симметрии коэффициентов обобщённой восприимчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.
Флуктуации случайной величины: автокорреляционная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Теорема Винера-Хинчина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Представление корреляционной функции в квантовом случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.
Флуктуационно-диссипационная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Флуктуационно-диссипационная теорема в классическом пределе . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 8
Уравнения Максвелла в криволинейных координатах; специальные калибровки
8.1.
Элементы дифференциальной геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Двумерная поверхность, вложенная в трёх-мерное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.
Электромагнитное поле в случае сферической симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Математические обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
35
35
36
36
36
37
37
38
38
39
40
40
41
42
42
71
ОГЛАВЛЕНИЕ
8.2.2
8.2.3
8.2.4
8.2.5
Бездивергентное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Электромагнитное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Уравнение на две скалярные функции, параметризующие электромагнитное поле
Граничные условия на сфере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
42
43
43
45
Часть II
ЗАДАЧИ
Глава 9
Разные задачи
47
9.1.
Колебательный контур: учёт эффекта электромагнитного излучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
9.1.1 Нахождение поправок по малому запаздыванию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
9.2.
Магнитооптика в плазме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Глава 10
Электростатика
50
10.1.
10.1.1
10.1.2
10.1.3
50
50
51
51
Эллипсоид во внешнем электрическом поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Удлинённое тело вращения во внешнем параллельном электрическом поле: приближённое описание
Эллипсоид вращения в однородном внешнем поле: точное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эллиптический цилиндр во внешнем однородном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 11
Задачи рассеяния
11.1.
11.1.1
11.1.2
11.2.
Резонансное рассеяние на сферических частицах малого размера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Диэлектрические гранулы: первые магнито-дипольный и электро-дипольный резонансы . . . . .
Металлические гранулы: поверхностные плазмонные резонансы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Рассеяние нормально падающей волны на пластине толщиной меньше длины волны и глубины . . . . .
скин-слоя
11.2.1 Отражение от плоской пластины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 12
12.1.1
12.1.2
12.1.3
12.2.
12.3.
12.3.1
12.3.2
12.3.3
12.4.
12.4.1
12.4.2
52
52
54
55
55
57
Волноводы
12.1.
52
Распространение электромагнитной волны в тонкой плоской прослойке диэлектрика между . . . . .
двумя массивными проводниками
Симметричная мода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Антисимметричная мода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Предел тонкой прослойки диэлектрика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Распространение электромагнитной волны в тонкой металлической пластине, окружённой ди- . . . . .
электриком
Распространение связанной моды вдоль цилиндрического волновода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Уравнение на собственные моды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Безразмерные параметры моды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Аксиально-симметричная мода в металлическом проводе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Колебания и волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Двухпроводная линия (линия Лехера) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Трансформатор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
57
58
58
58
59
59
59
60
62
62
64
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 13
Магнитные явления
72
65
13.1.
Магнитостатика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
13.1.1 Кольцо тока и магнитный диполь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Предметный указатель
66