ЗВІТ - Національний технічний університет

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
"Харківський політехнічний інститут" (НТУ "ХПІ")
Кафедра фізики металів та напівпровідників (ФМНП)
ЗВІТ
про курсову роботу
ДИНАМІЧНЕ ДВОХБАР’ЄРНЕ ДЖЕРЕЛО КВАНТОВАНОГО СТРУМУ
Керівник курсової роботи
к.ф.-м.н., с.н.с. кафедри ФМНП
М.В. Москалець
(дата, підпис)
Виконавець курсової роботи
студентка гр. ФТ-15а
І.А. Циганкова
(дата, підпис)
2007
2
АННОТАЦИЯ
Отчет о курсовой работе: 30 с., 6 рис., 6 источников.
Рассмотрен гигагерцовый квантовый насос заряда. Описывается
механизм
перекачки
потенциальных
прибора
по
электронов
барьеров.
сравнению
посредством
Анализируется
с
турникетными
изменения
преимущество
величины
приведенного
устройствами.
На
основе
теоретических данных выведены некоторые расчетные формулы, которые в
дальнейшем могут быть использованы для вычисления генерируемого тока.
ГИГАГЕРЦОВЫЙ
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ
КВАНТОВЫЙ
БАРЬЕР,
ЗАТВОР,
НАСОС
МАТРИЦА
ЗАРЯДА,
РАССЕЯНИЯ,
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ, АМПЛИТУДА ПРОХОЖДЕНИЯ, АМПЛИТУДА
ОТРАЖЕНИЯ
АНОТАЦІЯ
Розглянуто гігагерцову квантову помпу заряду. Описується механізм
перекачки електронів шляхом зміни величини потенціальних бар’єрів.
Аналізуються переваги наведеного приладу порівняно з турнікетними
пристроями. На основі теоретичних даних виведені деякі розрахункові
формули, які надалі можуть бути використані для обчислення генерованого
струму.
ГІГАГЕРЦОВА ЗАРЯДНА КВАНТОВА ПОМПА, ПОТЕНЦІАЛЬНИЙ
БАР’ЄР, ЗАТВОР, МАТРИЦЯ РОЗСІЮВАННЯ, ХВИЛЬОВА ФУНКЦІЯ,
АМПЛІТУДА ПРОХОДЖЕННЯ, АМПЛІТУДА ВІДБИТТЯ
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение …………………………………………………………………… 4
1 Литературный обзор …………………………………………………….
5
1.1 Описание экспериментальной установки …………………………
5
1.2 Механизм генерирования тока …………………………………….. 7
2 Методика расчета матрицы рассеяния …………………………………
11
2.1 Точечный барьер ……………………………………………………. 11
2.2 Двухбарьерная структура …………………………………………... 18
Выводы …………………………………………………………………….. 29
Перечень ссылок …………………………………………………………... 30
4
ВВЕДЕНИЕ
Высокоскоростной перенос одиночных электронов в наноприборах, как
ожидается, является базой для будущего электроники. Одним из применений
такого источника одиночных электронов является создание стандарта
электрического тока. При использовании переменного управляющего
напряжения в гигагерцовом диапазоне получают ток порядка нескольких
наноампер.
Следует
сказать,
что
время
туннелирования
электронов
через
ограничивающий потенциальный барьер является одним из главных
ограничений, накладываемых на частоту управляющего напряжения в такого
рода источниках. Поэтому до недавнего времени рабочая частота источников
тока
была
в
мегагерцовом
диапазоне.
В
работе
[1]
представлен
принципиально новый механизм перекачивания одиночных зарядов при
котором отпадает необходимость в туннелировании электронов сквозь
потенциальный барьер, что позволяет значительно уменьшить время
рабочего цикла и, соответственно, увеличить значение генерируемого тока.
Относительная точность при перекачке одиночных электронов сквозь
потенциальные барьеры была получена выше, чем
достигала 3,4 ГГц.
, а рабочая частота
5
1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР
1.1 Описание экспериментальной установки [1, 2]
Контролированный перенос зарядов впервые был осуществлен в
наноустройстве, которое называется одноэлектронный турникет и которое
вначале было реализовано при помощи туннельного барьера металл-оксид, а
затем и в двумерном проводящем электронном газе. Позже были развиты
смешанные перекачивающие приборы, которые осуществляли перенос
заряда даже против приложенного напряжения. Константа
при
фиксированном времени туннелирования ограничивает рабочую частоту
таких устройств до частоты не более 20 МГц, отвечающей току в несколько
пикоампер, где
- сопротивление туннельных барьеров, а
- объем
заряженной области.
В работе [1] реализован новый гигагерцовый электронный зарядовый
насос, работа которого основана на использовании двух модулированных
потенциальных барьеров. Рабочая температура устройства 300 мK. Насос
работает без смещающего напряжения, которое необходимо для турникетных
приборов.
Необходимая
модуляция
для
двух
барьеров
создаётся
монохроматическими синусоидальными сигналами.
Устройство, которое рассматривается в данной статье, использует три
поверхностных
пальцевых
затвора
для
возбуждения
потенциального
ландшафта в продольном направлении проводящего канала. Изображение
устройства, полученное в сканирующем электронном микроскопе, показано
на рис. 1.1. Квантовый канал длиной
двумерным
электронным
газом
мкм соединяет структуру с
гетероструктуры
,
где
создаются омические контакты. Поверх канала созданы шесть Ti (15 нм)/Al
(33 нм) затворов шириной 100 нм и высотой 250 нм.
6
- затворы, на которых создаются потенциалы,
амперметр, измеряющий генерируемый ток
который смещает дно ямы,
прикладываемые к
и
- потенциал,
- постоянные потенциалы,
соответственно,
потенциалы, прикладываемые к
,
-
и
,
- переменные
соответственно.
Рисунок 1.1 – Активная область прибора с соответствующим подключением
источников напряжения и измерительных устройств.
В обсуждаемых экспериментах используются только первые три
затвора, как показано на рис. 1.1, которые используются для создания
переменного потенциала. Квантовая точка в канале может быть создана при
помощи отрицательного постоянного напряжения, приложенного ко всем
трём затворам. Внешние затворы (L и R) определяют входной и выходной
барьеры, а центральный затвор (M) – потенциал квантовой точки. Последний
определяет общее число электронов, которое может удерживаться в
квантовой
точке,
если
ее
полностью
отсоединить
от
двумерного
электронного газа. Приблизительный размер квантовой точки фактически
7
зависит от напряжений на всех трех затворах. При этом размер ее будет тем
меньше, чем большие (отрицательные) потенциалы приложены к затворам.
В отличие от турникетных устройств, в данном приборе в любой
момент цикла какой-либо один из внешних барьеров всегда достаточно
высок, чтобы предотвратить нежелательное туннелирование в направлении
противоположном направлению генерируемого тока.
1.2 Механизм генерирования тока
Рис. 1.2 описывает то, как работает насос. Показан ряд схематических
диаграмм потенциального ландшафта вдоль проводника, соответствующего
различным фазам перекачивающего цикла.
В фазе, представленной на диаграмме (I), барьер, создаваемый левым
затвором, низкий, поэтому квантовая точка соединена с левым резервуаром.
При этом один электрон (или несколько электронов) переходят из левого
резервуара в область квантовой точки. Строго говоря, на данной стадии заряд
в области квантовой точки может быть произвольным (т.е., не квантован).
На диаграмме (II) показана фаза, когда потенциал левого барьера (и дна
средней области) начинает возрастать, при этом начинает формироваться
собственно квантовая точка.
Рисунок 1.2 – Схема работы насоса.
8
На следующей стадии, диаграмма (III), квантовая точка должным
образом сформировалась (число захваченных электронов в квантовой точке
является целым), и потенциалы обоих внешних барьеров так же, как и
уровень дна квантовой точки, находятся над уровнем Ферми
.
Диаграмма (IV) описывает ситуацию, когда потенциал средней области
поднимается выше правого барьера, но не выше левого. Здесь захваченные
электроны из точки выпускаются вправо. Результирующий ток после одного
цикла перемещения слева направо определяется по формуле:
(1.1)
где
- количество электронов, пойманных в точке на стадии (II),
количество электронов в квантовой точке на стадии (IV), а
-
- частота
переменных сигналов, которые поступают на правый и левый затворы. В
идеальном случае
(все электроны перешли из квантовой точки в
правый резервуар).
На рис. 1.2 показаны значения потенциалов левого, центрального и
правого затворов:
потому что
,
,
. Барьер справа всегда существует,
во время всего цикла. Это предотвращает
нежелательный переход электронов справа налево (т.е., против направления
генерируемого тока). Предполагается, что среднее значение
и
определяются, главным образом, глубиной и размером квантовой точки.
Значение
, поэтому, устанавливается потенциалом средней области во
время формирования точки в фазе (II), а
- во время испускания электронов
из точки в фазе (IV). Чтобы получить достаточно хорошо квантованный ток,
неопределенность в количестве захваченных и испущенных электронов
и
должны быть минимизированы. Величина
должна быть достаточно
малой, чтобы быть уверенными, что все электроны испускаются. Это может
9
быть получено в том случае, если в фазе (IV) птенциал квантовой точки
больше энергии Ферми.
Основной график на рис. 1.3 иллюстрирует центральную область
первой ступени зависимости тока измеренного при
МГц от
постоянного напряжения среднего затвора:
Рисунок 1.3 – Плато генерированного квантованного тока.
Можно увидеть, что ступенька достаточно плоская. Ток данной
ступени лежит в пределах: 87.64 пА ± 10 фА, что является значительным
достижением
составляющая
для
источников
высокоточного
тока.
Погрешность,
, является величиной на два порядка меньшей, чем
максимальная ошибка, оцененная при частоте 100 МГц, для пульсирующего
турникета.
10
2. МЕТОДИКА РАСЧЕТА МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ
2.1 Точечный барьер
Для начала вычислим амплитуды прохождения и отражения для
точечного барьера. Поток частиц может осуществляться справа или
слева, при этом считается, что с противоположной стороны никаких
потоков нет. Задачу можно решить двумя способами: используя
уравнение Шрёдингера [3] и методом матрицы рассеяния [4,5], которая в
общем случае имеет следующий вид:
(2.1)
где
и
- соответственно амплитуды отражения и прохождения
электрона, летящего слева,
и
- соответственно амплитуды
отражения и прохождения электрона, летящего справа.
Пусть электрон летит слева направо. Волновая функция электрона
удовлетворяет уравнению Шредингера:
,
где
- комплексная единица,
функция,
– постоянная Планка, ψ – волновая
- эффективная масса электрона,
рассматриваем движение частицы,
момент времени,
(2.2)
- время, при котором
- координата частицы в данный
- величина потенциала.
В нашем случае потенциал не зависит от времени и определяется
условием:
11
,
где
(2.3)
- дельта функция Дирака. Поэтому зависимость волновой
функции от времени может быть записана в следующем виде:
,
где
(2.4)
>0 – энергия электрона.
Продифференцируем уравнение Шредингера по времени, учитывая
зависимость (2.4) и определение (2.3), и получим стационарное
уравнение Шредингера:
.
(2.5)
Так как барьер у нас точечный, то, приняв во внимание (2.3),
уравнение (2.4) при
можно переписать в виде:
.
Общее
решение
этого
уравнения
может
(2.6)
быть
представлено
в
экспоненциальном виде:
(2.7)
где
- волновое число.
12
Для нашей структуры выражение (2.7) при
, а при
обозначим через
обозначим через
:
(2.8)
где
,
- коэффициенты, причём коэффициенты
определяют амплитуды прохождения и отражения электронов
и
и
соответственно.
Рисунок 2.1 – Рассеяние электрона, летящего слева на точечном барьере.
Коэффициент
в силу того, что по условию при
. Коэффициент
, так как мы не имеем никакого
потока электронов приходящего справа. Следовательно, задача сводится
к нахождению
и
. Тогда выражение (2.8) можно
переписать следующим образом:
(2.9)
13
Для определения этих коэффициентов воспользуемся граничными
условиями, которым должна удовлетворять волновая функция на стыке
областей 1 и 2, то есть в точке
, в которой уравнение Шредингера не
определено. Таких условий два. Первое – это условие непрерывности
волновой функции:
(2.10)
где
- волновая функция слева от барьера,
- волновая
функция справа от барьера.
Второе
условие
отражает
сохранение
потока
(плотности
вероятности волновой функции) при прохождении через барьер. Для
того, чтобы получить это условие, проинтегрируем уравнение (2.5) в
некоторой малой
-окрестности точки
, возьмём предел при
и получим граничное условие для точечного барьера:
.
(2.11)
Таким образом, мы узнали, как ведёт себя волновая функция в
точке, где потенциал равен бесконечности. В результате получили два
уравнения, (2.10) и (2.11), для нахождения двух неизвестных.
Подставляя выражения (2.9) в граничное условие (2.10), получаем:
,
что при
(2.12)
есть:
.
(2.13)
14
Далее подставляя уравнение (2.9) в граничное условие (2.11), находим:
(2.14)
Сделаем замену:
, и при
получим:
(2.15)
Находим
и
, решив систему уравнений (2.13) и (2.15):
(2.16)
(2.17)
Аналогичным образом можно найти амплитуды прохождения и
отражения для точечного барьера, если поток электронов осуществляется
справа налево:
Рисунок 2.2 - Рассеяние электрона, летящего справа, на точечном
барьере.
15
(2.18)
.
(2.19)
Как видно, для случая точечного барьера значения амплитуд
прохождения и отражения не зависят от того, с какой стороны летит
частица. С учётом этого сделаем переобозначение. Пусть для всей
системы значения амплитуд будут обозначены следующим образом:
(2.20)
Полученное решение можно записать с помощью матрицы
рассеяния
(2.1):
(2.21)
Для электрона летящего слева направо, получим:
(2.22)
а для электрона, летящего справа налево, имеем:
(2.23)
Сохранение числа частиц при рассеянии требует, чтобы матрица
рассеяния была унитарной [4], то есть:
16
(2.24)
где
- эрмитово-сопряженная матрица,
Сопряженная матрица
- единичная матрица.
получается из матрицы
транспонированием
матрицы и комплексным сопряжением матричных элементов. Так как
наша волновая функция нормирована на дельта-функцию Дирака, то в
этом случае унитарность матрицы рассеяния отражает сохранение потока
частиц: поток падающих частиц равен потоку рассеянных частиц. Таким
образом, из свойства унитарности матрицы рассеяния можно получить
следующие свойства элементов этой матрицы:
(2.25)
где
,
,
и
- комплексно сопряженные значения амплитуд.
Вторым свойством элементов матрицы рассеяния является равенство
единице суммы квадратов модулей амплитуд, которое можно записать в
виде:
(2.26)
где
- вероятность отражения от левого (первого) барьера,
вероятность отражения от правого (второго) барьера,
прохождения сквозь левый (первый) барьер,
прохождения сквозь правый (второй) барьер.
-
- вероятность
- вероятность
17
Учитывая (2.18), (2.19) и (2.20), можем записать матрицу рассеяния
для точечного барьера в следующем виде:
(2.27)
Нетрудно проверить, что свойства элементов матрицы рассеяния
(2.25) и (2.26) выполняются.
2.2 Двухбарьерная структура
В данной работе рассматривается структура с двумя барьерами,
подключённая к резервуарам с электронами. Поэтому важно знать,
какими будут амплитуды прохождения и отражения для этой структуры.
Вновь рассмотрим случай, когда электрон летит слева направо. В данном
случае зависимость потенциала от координаты имеет следующий вид:
(2.28)
В этом случае уравнение Шредингера не определено в двух точках,
и
, Поэтому мы вводим три области (см. рис. 2.3), для которых
известно решение уравнение Шредингера:
18
(2.29)
Рисунок 2.3 – Рассеяние электронов, летящих слева, для
двубарьерного потенциала.
Теперь неизвестных коэффициентов 6:
,
,
,
,
,
.
Как и в случае с точечным барьером, для задачи с электроном,
летящим слева направо, имеем
и
. В связи с этим уравнение
(2.29) можно переписать следующим образом:
(2.30)
В точках
и
воспользуемся граничными условиями (2.10)
и (2.11) и получим следующие уравнения:
19
(2.31)
(2.32)
Таким образом, получили четыре уравнения (2.31) и (2.32) для
нахождения четырёх неизвестных. Решив систему из этих уравнений,
получаем выражения для
и
:
(2.33)
Для того, чтобы найти амплитуды прохождения и отражения с
помощью метода матрицы рассеяния, необходимо записать отдельно
матрицу рассеяния для левого и для правого барьеров:
(2.34)
Выполнив умножение, получим систему уравнений:
(2.35)
20
Решив систему, можно записать ответ:
(36)
который тождественен уравнению (2.33).
Для электрона, летящего справа налево, имеем:
(37)
а при решении с помощью метода матрицы рассеяния получаем:
(2.38)
Используя уравнения (2.36) и (2.38) матрица рассеяния
(2.1) для
двухбарьерного потенциала может быть записана следующим образом:
(2.39)
21
Как видим, для структуры с двумя барьерами амплитуда
прохождения не зависит от начального направления движения электрона,
то есть
, в то время как амплитуда отражения зависит от
направления движения электрона,
.
Нетрудно проверить, что условия (2.25) и (2.26) для элементов
матрицы рассеяния выполняются и в случае двух барьеров.
Так как запись (2.36) более удобная для расчетов, чем (2.33), то в
дальнейшем будем оперировать именно с ней.
Одной из наших задач является определение условий, при которых
будем наблюдать резонанс, ведь он вносит основной вклад в ток, который
в итоге мы хотим найти. Поэтому нас интересует, какими будут
амплитуды прохождения и отражения в этом случае. На самом деле более
важной для нас является полная амплитуда прохождения, потому что
электроны, вернувшиеся обратно в свой резервуар в результате
отражения, в протекании тока через барьеры вклад не вносят. У
электрона есть несколько способов пройти сквозь оба барьера. Он может
это сделать сразу, не отразившись ни от одного барьера, или отразиться
от каждого по одному разу, или отразиться множество раз. Сумма
частичных амплитуд, которые электрон приобретает при взаимодействии
с каждым из барьеров, дает нам полную амплитуду прохождения.
Резонанс мы будем наблюдать только в том случае, когда частичные
амплитуды прохождения и отражения имеют одинаковые фазы или,
точнее, фазы, различающиеся на
. В фазы этих частичных амплитуд
коэффициенты прохождения через единичные потенциалы
вносят
одинаковый вклад, равный сумме фаз амплитуд прохождения через
левый и через правый единичные барьеры. При таком положении фазы,
соответствующие сумме вкладов от амплитуд отражения электрона от
левого и правого барьеров и кинематического вклада от движения
электрона между барьерами, для различных частичных амплитуд при
резонансе будут отличаться друг от друга на
. Ведь, если частичные
22
амплитуды имеют одинаковые фазы, то при их сложении будем
наблюдать усиление сигнала. На графическом изображении зависимости
вероятности прохождения частицы сквозь барьер от энергии положению
резонанса будут соответствовать максимумы кривой. Следовательно,
теперь нам необходимо найти эту зависимость.
Запишем связь между вероятностями прохождения и отражения
сквозь точечные барьеры и амплитудами в следующем виде:
(2.40)
где
и
- фазы коэффициентов отражения для левого (первого) и
правого (второго) точечных барьеров, соответственно.
Для двухбарьерной структуры в соответствии с (2.40) запишем
выражение для
:
(2.41)
где
. Тогда коэффициент прохождения
будет
иметь вид:
(2.42)
Введём замену. Пусть
, а
. Тогда получаем
следующие выражения для амплитуд:
(2.43)
23
Связь между коэффициентами прохождения и отражения и вновь
введённой переменной будет следующая:
(2.44)
Приняв
во
переменными
внимание
и
(43),
можем
записать
связь
и фазами коэффициентов отражения
между
и
соответственно:
(2.45)
Посмотрим, каким же энергиям соответствует резонанс при малых
значениях
и
. С учетом сказанного ранее, резонанс имеет место при
. Приняв во внимание определение
и
и поставленные условия для
, запишем:
(2.46)
Подставляя в данное уравнение зависимость
от
, получим
(2.47)
где
- резонансное значение волнового числа. Представим волновое
число в следующем виде:
(2.48)
24
где
- малое отклонение от резонанса.
Используя (2.44), (2.46) и (2.48) и попутно раскладывая (2.42) по
малым
и
, получим:
(2.49)
При резонансе
и
также имеют особые значения,
соответствующие (2.46). Запишем их:
(2.50)
Теперь, имея все данные, запишем выражение для коэффициента
прохождения при резонансе:
(2.51)
Для
электрона,
летящего
справа
налево,
выражение
для
вероятности прохождения будет иметь также вид (2.51) в силу того, что
.
Уравнение (2.51) полностью описывает кривую зависимости
коэффициента прохождения от энергии.
Так как элементами матрицы рассеяния, которая необходима для
расчета
тока,
проходящего
через
барьеры,
являются
амплитуды
25
прохождения и отражения, то нам важно знать их значения вблизи
резонанса.
Вместо использования выражения (2.48) более удобным является
использовать следующее выражение:
(2.52)
где
- резонансное значение;
- отклонение от резонансного
значения.
Чтобы в дальнейшем было удобней проводить вычисления,
сделаем тождественное преобразование: умножим и разделим элементы
матрицы рассеяния (2.39) на член
Матрица рассеяния будет при
этом выглядеть так:
(2.53)
Воспользовавшись формулами (2.40) и (2.44), разложим (2.53) по
малым
и
, при этом применив (2.52), получаем:
(2.54)
где
26
Таким образом, мы нашли амплитуды прохождения и отражения
вблизи резонанса, которых нам достаточно для того, чтобы записать ту
матрицу рассеяния, которая в дальнейшем будет использована для
нахождения тока, проходящего через оба барьера.
Но для начала запишем (2.53) и (2.54) в следующей форме:
(2.55)
где
- номер строки матрицы рассеяния,
рассеяния,
(
- номер столбца матрицы
- элемент матрицы рассеяния,
;
),
- символ Кронекера
- ширина (вероятность туннелирования)
резонансной линии, обусловленной туннелированием слева,
ширина
(вероятность
обусловленной
туннелирования)
туннелированием
,
резонансной
справа.
При
-
линии,
этом
.
Сделав алгебраические преобразования и приняв во внимание
новую запись амплитуд (2.55), можем записать следующую матрицу
рассеяния:
(2.56)
Полученное выражение является ключевым для дальнейшего расчёта тока.
27
ВЫВОДЫ
1. Экспериментально реализован новый высокоскоростной высокоточный
источник одиночных электронов. Рассмотренный источник является
перспективным, в качестве стандарта тока, и для использования в
электронных устройствах нового поколения, что сделает актуальным
теоретическое рассмотрение данных устройств.
2. Генерирование квантованного тока
достигается за счет
локализации электронов в ограниченной области пространства, что
позволяет произвести перенос фиксированного количества электронов
за один цикл работы насоса.
3. Высокая точность достигается за счет того, что в данном приборе в
любой момент цикла работы насоса один из внешних барьеров (
или
) всегда достаточно высок, чтобы предотвратить нежелательное
туннелирование электронов в обратном направлении.
4. В курсовой работе вычислена матрица рассеяния двухбарьерной
структуры, которая будет использована для расчета генерируемого
тока.
5. Выражение для матрицы рассеяния для двухбарьерной структуры при
энергии, близкой к резонансной, приведена к форме, известной из
литературы (2.55). При этом показано, что феноменологические
параметры
и
зависят не только от параметров соответствующего
барьера (1 или 2), но и от параметров другого барьера. Это важно
учитывать при описании динамических структур, в которых параметры
барьеров изменяются независимо друг от друга.
28
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Blumenthal M.D., Kaestner B., Li L., et al. Gigahertz quantized charge
pumping // Nature physics. – 2007. – Vol. 3. – P. 343-347.
2. Kaestner B., Kashcheyevs V., Amakava S., et al. Single-parameter nonadiabatic quantized charge pumping // arXiv: 0707. 0993 (unpublished).
3. Давыдов А.С. Квантовая механика. – М.: Издательство «Наука», 1973.
– 704 с.
4. Büttiker M. Scattering theory of current and intensity noise correlations in
conductors and wave guides // Physical review B. – 1992. – V. 46. - № 19. –
P. 12485-12507.
5. Levinson Y., Entin-Wahlman O., Wölfle P. Pumping at resonant
transmission and transferred charge quantization // Physica A. – 2001. = V.
302. – P. 335-344.