СТАБИЛИЗАЦИЯ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ

Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Королёва
Кафедра теоретической механики
Реферат квалификационной работы магистра
СТАБИЛИЗАЦИЯ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
Попова Е.В.
Научный руководитель: Безгласный С.П.
Цель работы – реализовать асимптотически устойчивые нестационарные программные движения
гамильтоновых систем. В работе построены уравнения управляемых движений нестационарной системы,
определено стабилизирующее управление, полученные результаты продемонстрированы на примере движения
стержня во вращающейся плоскости.
Ключевые слова: функция Гамильтона, канонические уравнения механики, программное движение, асимптотическая
устойчивость, стабилизация движения, функция Ляпунова, управление.
ВВЕДЕНИЕ
В работе решена задача синтеза и стабилизации
программных движений гамильтоновых систем на основе
прямого метода Ляпунова с использованием функции
Ляпунова со знакопостоянными производными, с
применением метода предельных уравнений и предельных
систем.
На основе полученных результатов решена задача о
стабилизации произвольно заданного программного
движения однородного тяжелого стержня, движущегося
без трения в плоскости, которая вращается с постоянной
угловой скоростью ω вокруг неподвижной вертикальной
оси,
лежащей
в
этой
плоскости.
Численное
интегрирование систем проведено в математическом
пакете Maple 10.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Рассматривается
управляемая
механическая система, описываемая
уравнениями Гамильтона.
нелинейная
каноническими
⎧ dq ∂H (t , q, p)
+ u1 ,
⎪ dt =
∂p
⎪
⎨
⎪ dp = − ∂H (t , q, p) + u .
2
∂q
⎩⎪ dt
Целью работы являлось осуществление синтеза
управляющих
воздействий
u,
реализующих
асимптотически устойчивое произвольно заданное
программное
движение
механической
системы
p* = p* (t ), q* = q* (t ) .
⎧ x1 = Ax2 ,
⎪
1 T ∂A
⎨
⎪ x2 = − 2 x2 ∂q x2 − Bx2 + C0
⎩
Подобрана знакоопределенная функция Ляпунова
V ( x1 , x2 , t ) =
1 T
x2 Ax2 + x1T Cx1
2
и получена оценка на ее производную
1 ∂A
1
∂C
⎡
⎤
V ≅ −2 x2T ⎢ AB −
+ D ⎥ x2 + x1T
x1.
∂t
2 ∂t
2
⎣
⎦
Синтезировано стабилизирующее управление
u = −C0 − Cx2 − A−1Dx2 ,
и получены условия на матрицу D в зависимости от вида
квадратичной формы по скоростям Гамильтониана
механической
системы,
обеспечивающее
асимптотическую устойчивость заданных программных
движений.
ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СТЕРЖНЯ ВО
ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ПЛОСКОСТИ
В качестве примеров решены задачи о
произвольных программных движений
систем.
Первый
пример
–
задача
о
произвольных программных движений
стержня постоянной и переменной
вращающейся плоскости (рис. 1).
стабилизации
механических
стабилизации
однородного
длины во
Исследование проведено на основе второго метода
Ляпунова
классической
теории
устойчивости
с
использованием
метода
предельных
функций
и
предельных систем, позволяющих применять функции
Ляпунова со знакопостоянными производными [1].
В работе определены программные управления
⎧
∂H (t , q* , p* )
*
,
⎪u1пр = q −
∂p*
⎪
⎨
*
*
⎪u = p * + ∂H (t , q , p ) ,
2
пр
⎪⎩
∂q*
реализующие заданное движение объекта, не являющееся
его собственным движением (решением исходной
системы).
Для классической гамильтоновой системы [2] с
Гамильтонианом
H( t, p,q ) =
1 T
p Ap + U( t,q )
2
построены уравнения возмущенного движения
Рисунок 1 – Механическая система
Рассмотрен случай программного движения
⎧ x* = cos t + 2,
⎪ *
⎨ y = sin t + 2,
⎪ *
⎩θ = ω0t.
Показана неустойчивость такого программного
движения, определены обеспечивающие устойчивость
стабилизирующие воздействия. Проведено численное
интегрирование уравнений движения.
Вторым рассмотренным случаем движения системы
является плоское движение стержня переменной,
изменяемой по закону:
k = k (t ) = a + b cos t
Гамильтониан такой системы
переменных q1 = x, q2 = y, q3 = θ равен
H =
в
обобщенных
1 2
p2
( p1 + p2 2 + 2 3 + ω 2 k 2 (t ) cos 2 q3 + ω 2 q12 ) − gq2
2
k (t )
Определены канонические уравнения движения, а
программное движение имеет вид:
Программное движение маятника переменной длины
исследовано на устойчивость. Проведен синтез
асимптотически устойчивого программного движения.
Асимптотическая устойчивость синтезированной
системы
доказывается
методом
Ляпунова
и
подтверждается численным интегрированием. Графики
отклонений x1 , x2 и скоростей отклонений y1 , y2
представлены на рис. 3.
x1
x2
0,1
0,1
0,08
0,08
0,06
0,06
⎧q1* = cos t + 2,
⎪ *
⎪q2 = sin t + 2,
⎪ *
⎪q3 = ω0t ,
⎨ *
⎪ p1 = − sin t ,
⎪ p * = cos t ,
⎪ 2
⎪ p * = k 2 (t )ω .
0
⎩ 3
0,04
0,04
0,02
0,02
0
-0,02
0
10
20
30
40
50
0
0
t
10
20
30
40
50
y1
0,05
0,05
Определены стабилизирующие управления системы.
Полученные результаты проиллюстрированы численным
интегрированием
систем
уравнений
движения,
графическим представлением текущих отклонений,
скоростей отклонений.
Второй пример исследованных механических систем –
маятник переменной длины на вращающемся основании
(рис. 2).
0
0
-0,05
-0,1
0
10
20
30
40
50
t
-0,05
0
10
20
30
40
50
Рисунок 3 – Отклонения и скорости отклонений
синтезированного асимптотически устойчивого движения
маятника переменной длины.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Основные утверждения, полученные в работе,
развивают и обобщают соответствующие результаты из
[3].
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ
ИСТОЧНИКОВ
Рисунок 2 – Математический маятник переменной длины
на вращающемся основании
Длина маятника и его программное движение заданы
системой уравнений
⎧⎪l * = l0 + a sin t ,
⎨ *
⎪⎩θ = ω0t.
Гамильтониан системы равен
H ( q, p ) =
1 2
1
p1 +
p2 2 −
2m
2mq12
−
ω2
2m
(ξ 0 2 + 2ξ 0 q1 sin q2 + q12 sin 2 q2 ) − mgq1 cos q2 .
Управляющие силы, реализующие
воздействие определяются системой
t
y2
программное
⎧ F1 = a cos t − a cos t = 0,
⎪
⎪ F2 = ω0 − ω0 = 0
⎪
ω2
(ξ 0 sin ω0t + (l0 + a sin t ) ×
⎪ F1′ = − ma sin t − mω0 2 (l0 + a sin t ) −
m
⎪
⎨
2
⎪× sin ω0t ) − mg cos ω0t
⎪
ω2
⎪ F2′ = 2mω0 (l0 + a sin t ) a cos t −
(2ξ 0 (l0 + a sin t ) cos ω0t +
2m
⎪
⎪+ (l + а sin t ) 2 sin 2ω t ) + mg (l + a sin t )sin ω t
0
0
0
⎩ 0
1. Андреев А.С. Об устойчивости и неустойчивости
нулевого решения неавтономной системы//ПММ, 1984.
Т.48. Вып.2
2. Маркеев А.П. Теоретическая механика:[Учеб. пособие
для мех.-мат. спец. ун-тов]. – М.: Наука,1990. – 414 с.
3. Bezglasnyi S. The stabilization of program motions of
controlled nonlinear mechanical systems// Journal of applied
mathematics  computing. Vol 14 (2004), No1-2, pp 251-266.
t