Лекция 16. Нормальные формы, локальный и условный

Лекция 16. Нормальные формы, локальный и
условный экстремумы
1
Нормальные формы отображений вблизи некритических точек.
Теорема 1 C N -отображение из Rn в Rm в окрестности некритической точки выбором C N -координат в прообразе превращается в проектирование на координатную
плоскость: (x1 , ..., xn ) 7→ (x1 , ..., xm ).
2
Необходимое условие локального экстремума (напоминание)
Теорема 2 Пусть C 1 -функция f имеет локальный экстремум в некоторой внутренней точке области определения. Тогда эта точка–критическая: дифференциал
функции в этой точке равен нулю.
3
Достаточное условие локального экстремума.
Определение 1 Вторым дифференциалом функции в точке называется однородная
квадратичная часть ее тейлоровского многочлена степени 2. Обозначение: d2 f (a).
Второй дифференциал называется также гессианом.
Теорема 3 Пусть второй дифференциал C 2 -функции f в критической точке является положительно (или отрицательно) определенной квадратичной формой. Тогда
эта точка является локальным минимумом (соответственно, локальным максимумом) функции f .
1
4
Условный экстремум функции на гиперповерхности.
Рассмотрим C 1 -функцию f и гиперповерхность Γ в Rn .
Определение 2 Условным экстремумом функции f на Γ называется локальный
экстремум ограничения f |Γ .
Замечание 1 Условный экстремум функции f на Γ может приниматься в некритической точке функции. Пример: функция x на единичной окружности принимает
максимум в точке (1, 0).
Теорема 4 [необходимое условие локального экстремума] Пусть a – некритическая
точка для C 1 -функций f и g, и пусть a – экстремум для ограничения f на поверхность уровня функции g, проходящую через a. Тогда дифференциалы функций f и g
в точке a линейно зависимы: существует такое λ что
dfa + λdga = 0.
Коэффициент λ в этом равенстве называется множителем Лагранжа.
Доказательство Достаточно доказать, что
Kerdfa = Kerdga .
Другими словами, пусть Γ - поверхность уровня функции g, проходящая через a. Тогда
dfa |Ta Γ = 0.
На прошлой лекции формулировалась теорема
Теорема 5 Касательное пространство к поверхности уровня функции в некритической точке – это ядро ее дифференциала в этой точке.
Было доказано, что касательное пространство принадлежит ядру. Ниже мы докажем обратное включение.
Пусть ξ – произвольный единичный вектор из Ta Γ, и пусть a – локальный минимум
функции f |Γ (случай локального максимума аналогичен.)
Предложение 1 В предыдущих обозначаниях, dfa (ξ) ≥ 0.
2
Теорема 4 немедленно следует из этого предложения. Действительно, ξ – единичный вектор из Ta Γ. Вектор −ξ обладает тем же свойством. Следовательно, dfa (−ξ) ≥ 0.
Это возможно только если dfa (ξ) = 0.
Доказательство [ предложения] По теореме 5, существует последовательность векторов hk → 0, такая что a + hk ∈ Γ, |hhkk | → ξ. Имеем:
hk
o(hk )
0 ≤ f (a + hk ) − f (a) = dfa hk + o(hk ) = |hk | dfa
+
.
|hk |
|hk |
Последняя большая скобка положительна и стремится к dfa (ξ) при k → ∞, поскольку
hk
o(hk )
→ ξ,
→ 0.
|hk |
|hk |
Поэтому dfa (ξ) ≥ 0.
Доказательство Доказательство второй части теоремы 5 основано на следующем
полезном утверждении.
Лемма 1 Пусть a – некритическая точка функции g в Rn . Возьмем касательную
плоскость к поверхности уровня функции g в точке a в качестве координатной гиперплоскости с координатой x = (x1 , ..., xn−1 ), x(a) = 0. Пусть y – координата на
дополнительной прямой. Тогда гиперповерхность Γ в окрестности точки a задается как график функции y = ϕ(x), причем dϕ(a) = 0.
Доказательство По условию, dg(a) 6= 0. С другой стороны, плоскость y = 0 – это
Ta Γ = Kerdga . Следовательно, Dj g(a) = 0 при j = 1, ..., n − 1. Поскольку dga 6= 0,
Dn g(a) 6= 0. По теореме о неявной, Γ = {y = ϕ(x)} в окрестности точки a. Если
g ∈ C N , то и ϕ ∈ C N .
Докажем, что dϕ(a) = 0. Действительно,
Dj ϕ(a) = −
Dj g(a)
, j = 1, . . . , n − 1
Dn g(a)
Числитель равен нулю, поскольку плоскость y = 0–это Ker dg(a).
Это доказывает лемму.
Докажем теперь теорему 5. Возьмем произвольный единичный вектор ξ ∈ Ta Γ.
Пусть x - его конец. В координатах (x, y) положим: hk = ( xk , ϕ( xk )). Тогда hk → 0.
Возьмем ξk = |hhkk | . Имеем: |hk | = k1 (1 + o(1)), поскольку |x| = 1, а также dϕ(a) = 0, и
значит, ϕ( xk ) = o( xk ). Следовательно
x → x = ξ.
ξk = x(1 + o(1)), kϕ
k
3
5
Достаточные условия наличия условного экстремума
Пример 1 Положительно определенная квадратичная форма 2x2 +y 2 имеет на единичной окружности два локальных минимума и два локальных максимума.
Вывод: ограничение положительно определенной квадратичной фармы на подмногообразие может иметь локальный максимум.
Теорема 6 Пусть гиперповерхность Γ задана уравнением g = 0 и точка a – некритическая для g. Пусть точка a – критическая для ограничения f |Γ , но не для самой
функции f . Пусть λ – соответствующий множитель Лагранжа:
dfa + λdga = 0.
Пусть гессиан функции f +λg в точке a – положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма. Тогда a – локальный минимум (максимум) для ограничения
f |Γ .
Теорема 7 Пусть выполнены все условия предыдущей теоремы, кроме последнего.
Пусть ограничение гессиана функции f + λg в точке a на касательную плоскость
Ta Γ – положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма. Тогда a –
локальный минимум (максимум) для ограничения f |Γ .
Теорема 6 следует из теоремы 7, но она легче, и потому доказана отдельно.
В условиях теоремы 7 сигнатура гессиана может быть либо ±n, либо ±(n − 2).
4