ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÈÌÅÍÈ Í.Ý. ÁÀÓÌÀÍÀ Ì.Ñ. Âèíîãðàäîâà, Ñ.Á. Òêà÷åâ ÁÓËÅÂÛ ÔÓÍÊÖÈÈ Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ òèïîâîãî ðàñ÷åòà Ì î ñ ê â à Èçäàòåëüñòâî ÌÃÒÓ èì. Í.Ý. Áàóìàíà 2 0 0 7 ÓÄÊ 519 ÁÁÊ 22.176 B 493 Ðåöåíçåíò Ã.Ï. Êàçàíäæàí Âèíîãðàäîâà Ì.Ñ., Òêà÷åâ Ñ.Á.  493 Áóëåâû ôóíêöèè: Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ òèïîâîãî ðàñ÷åòà. { Ì.: Èçä-âî ÌÃÒÓ èì. Í.Ý. Áàóìàíà, 2007. { 32 ñ.: èë. Ïðèâåäåíû êðàòêèå ñâåäåíèÿ î òåîðèè áóëåâûõ ôóíêöèé è óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ äîìàøíåãî çàäàíèÿ. Ðàññìîòðåíû çàäà÷è ðàñ÷åòà çíà÷åíèé áóëåâîé ôóíêöèè, çàäàííîé ôîðìóëîé, ñ èñïîëüçîâàíèåì òàáëèöû, à òàêæå çàäà÷è ìèíèìèçàöèè áóëåâûõ ôóíêöèé â êëàññå äèçúþíêòèâíûõ íîðìàëüíûõ ôîðì ñ èñïîëüçîâàíèåì êàðò Êàðíî. Ïîäðîáíî ðàññìîòðåíû ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ ìèíèìèçàöèè ôóíêöèé òðåõ è ÷åòûðåõ ïåðåìåííûõ. Äëÿ ñòóäåíòîâ 2{3-ãî êóðñîâ ôàêóëüòåòîâ ÈÓ, ÐÊ, ÔÍ. Èë. 16. Áèáëèîãð. 2 íàçâ. ÓÄÊ 519 ÁÁÊ 22.176 Ìåòîäè÷åñêîå èçäàíèå Ìàðèíà Ñòàíèñëàâîâíà Âèíîãðàäîâà Ñåðãåé Áîðèñîâè÷ Òêà÷åâ ÁÓËÅÂÛ ÔÓÍÊÖÈÈ Ðåäàêòîð Ñ.À. Ñåðåáðÿêîâà Êîððåêòîð Ð.Â. Öàðåâà Êîìïüþòåðíàÿ âåðñòêà Ñ.Á. Òêà÷åâà Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 26.02.2007. Ôîðìàò 60 × 84/16. Áóìàãà îôñåòíàÿ. Ïå÷. ë. 2,0. Óñë. ïå÷. ë. 1,86. Ó÷.-èçä. ë. 1,75. Òèðàæ 500 ýêç. Èçä. ¹ 33. Çàêàç ¹ Èçäàòåëüñòâî ÌÃÒÓ èì. Í.Ý. Áàóìàíà 105005, Ìîñêâà, 2-ÿ Áàóìàíñêàÿ, 5 c ÌÃÒÓ èì. Í.Ý. Áàóìàíà, 2007 Äîìàøíåå çàäàíèå ïî ðàçäåëó <Áóëåâû ôóíêöèè> êóðñà <Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà> âêëþ÷àåò ðåøåíèå äâóõ çàäà÷: âû÷èñëåíèÿ òàáëèöû çíà÷åíèé áóëåâîé ôóíêöèè, çàäàííîé ôîðìóëîé, è ìèíèìèçàöèè áóëåâîé ôóíêöèè â êëàññå äèçúþíêòèâíûõ íîðìàëüíûõ ôîðì. 1. ÑÏÎÑÎÁÛ ÇÀÄÀÍÈß ÁÓËÅÂÎÉ ÔÓÍÊÖÈÈ 1.1. Áóëåâà ôóíêöèÿ. Áóëåâ êóá Áóëåâà ôóíêöèÿ îò n ïåðåìåííûõ (ïðè n > 0) | ýòî ïðîèçâîëüíîå îòîáðàæåíèå f : {0, 1}n → {0, 1}. Îáëàñòü èçìåíåíèÿ êàæäîãî ïåðåìåííîãî áóëåâîé ôóíêöèè åñòü ìíîæåñòâî {0, 1}, çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè òàêæå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòû óêàçàííîãî ìíîæåñòâà. Áóëåâó ôóíêöèþ îò n ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xn çàïèñûâàþò â âèäå y = = f (x1 , . . . , xn ). Ìíîæåñòâî {0, 1}n íàçûâàþò áóëåâûì êóáîì ðàçìåðíîñòè n è îáîçíà÷àþò Bn . Ýëåìåíòû áóëåâà êóáà íàçûâàþò n-ìåðíûìè áóëåâûìè âåêòîðàìè, èëè íàáîðàìè. ×èñëî âñåõ ýëåìåíòîâ áóëåâà êóáà {0, 1}n ñîñòàâëÿåò 2n . Íà Bn ìîæíî çàäàòü îòíîøåíèå ïîðÿäêà: äëÿ äâóõ ïðîèçâîëüíûõ íàáîðîâ α e = (α1 , . . . , αn ) è βe = (β1 , . . . , βn ) èç Bn èìååò ìåñòî α e 6 βe òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà αi 6 βi äëÿ êàæäîãî i = 1, n. Ââåäåííîå îòíîøåíèå íàçûâàþò áóëåâûì ïîðÿäêîì. Ýòîò ïîðÿäîê ïðè n > 2 ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íûì, ïîñêîëüêó íå âñå íàáîðû ïîïàðíî ñðàâíèìû. Íàïðèìåð, â áóëåâîì êóáå B3 (0, 0, 1) 6 (1, 0, 1), ïîñêîëüêó 0 6 1, 0 6 0 è 1 6 1. Îäíàêî íàáîðû (0, 1, 0) è (1, 0, 1) íåñðàâíèìû, òàê êàê, íàïðèìåð, ïåðâàÿ êîìïîíåíòà âòîðîãî íàáîðà (1) áîëüøå ïåðâîé êîìïîíåíòû ïåðâîãî íàáîðà (0), à âòîðàÿ êîìïîíåíòà ïåðâîãî íàáîðà (1) áîëüøå âòîðîé êîìïîíåíòû âòîðîãî íàáîðà (0). Áóëåâ êóá êàê óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî ìîæíî èçîáðàçèòü â âèäå äèàãðàììû Õàññå. Íà ðèñ. 1.1 ïîêàçàíû äèàãðàììû Õàññå äëÿ áóëåâûõ êóáîâ ðàçìåðíîñòåé 0, 1, 2 è 3. 3 Ðèñ. 1.1 1.2. Òàáëèöû áóëåâûõ ôóíêöèé Çàäàòü áóëåâó ôóíêöèþ f (x1 , . . . , xn ) îò n ïåðåìåííûõ ìîæíî, óêàçàâ çíà÷åíèå ôóíêöèè íà êàæäîì èç íàáîðîâ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ. Ïîñêîëüêó êàæäîå ïåðåìåííîå ìîæåò ïðèíèìàòü òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ | 0 è 1, èìååòñÿ 2n ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, áóëåâà ôóíêöèÿ îò n ïåðåìåííûõ ìîæåò áûòü çàäàíà òàáëèöåé, ñîñòîÿùåé èç äâóõ ñòîëáöîâ è 2n ñòðîê.  ïåðâîì ñòîëáöå ïåðå÷èñëÿþò âñå íàáîðû èç Bn , à âî âòîðîì | çíà÷åíèÿ ôóíêöèè íà ñîîòâåòñòâóþùèõ íàáîðàõ.  òàáëèöå ïðèìåíÿþò ñòàíäàðòíîå ðàñïîëîæåíèå íàáîðîâ: êàæäûé íàáîð ðàññìàòðèâàþò êàê çàïèñü íàòóðàëüíîãî ÷èñëà â äâîè÷íîì èñ÷èñëåíèè è ðàñïîëàãàþò íàáîðû â ñîîòâåòñòâèè ñ åñòåñòâåííûì ÷èñëîâûì ïîðÿäêîì. Ïîñêîëüêó íà êàæäîì íàáîðå áóëåâà ôóíêöèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ | 0 è 1, ÷èñëî áóëåâûõ ôóíêöèé îò n ïåðåìåín íûõ ðàâíî 22 . Cóùåñòâóþò äâå áóëåâû êîíñòàíòû: 0 è 1. Èõ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèè îò ëþáîãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ. Äëÿ ôóíêöèè îäíîãî ïåðåìåííîãî ìîæíî çàäàòü ÷åòûðå áóëåâûõ ôóíêöèè (òàáë. 1.1). Ôóíêöèþ f1 íàçûâàþò òîæäåñòâåííîé ôóíêöèåé, à ôóíêöèþ f4 | îòðèöàíèåì. Äëÿ çàïèñè îòðèöàíèÿ êàê óíàðíîé 4 îïåðàöèè èñïîëüçóþò îáîçíà÷åíèå x. Ôóíêöèè f2 è f3 ïðèíèìàþò ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ 0 è 1 ñîîòâåòñòâåííî, èõ òàêæå íàçûâàþò êîíñòàíòîé 0 è êîíñòàíòîé 1. Òàáëèöà 1.1 x 0 1 f1 (x) 0 1 f2 (x) 0 0 f3 (x) 1 1 f4 (x) 1 0 Ñóùåñòâóþò 16 ðàçëè÷íûõ áóëåâûõ ôóíêöèé îò äâóõ ïåðåìåííûõ. Ïîñêîëüêó êàæäàÿ áóëåâà ôóíêöèÿ ω(x1 , x2 ) îò äâóõ ïåðåìåííûõ îäíîâðåìåííî ÿâëÿåòñÿ è áèíàðíîé îïåðàöèåé íà ìíîæåñòâå {0, 1}, äëÿ òàêèõ ôóíêöèé ïðèìåíÿþò çàïèñü x1 ω x2 .  òàáë. 1.2 ïðèâåäåíû ñåìü íàèáîëåå ÷àñòî óïîòðåáëÿåìûõ áóëåâûõ ôóíêöèé îò äâóõ ïåðåìåííûõ. Òàáëèöà 1.2 x1 0 0 1 1 x2 x1 ∨ x2 x1 ∧ x2 x1 ⊕ x2 x1 → x2 x1 ∼ x2 x1 | x2 x1 ↓ x2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 Ôóíêöèè, îïèñàííûå â òàáë. 1.2, èìåþò ñïåöèàëüíûå íàçâàíèÿ. Òàê, x1 ∨ x2 íàçûâàþò äèçúþíêöèåé, x1 ∧ x2 | êîíúþíêöèåé, x1 ⊕ x2 | ñëîæåíèåì ïî ìîäóëþ 2, x1 → x2 | èìïëèêàöèåé, x1 ∼ x2 | ýêâèâàëåíòíîñòüþ, x1 | x2 | øòðèõîì Øåôôåðà, x1 ↓ x2 | ñòðåëêîé Ïèðñà. ×àñòî äëÿ îáîçíà÷åíèÿ êîíúþíêöèè èñïîëüçóþò çíàê óìíîæåíèÿ è ïèøóò x1 · x2 , à ÷àñòî è ýòîò çíàê îïóñêàþò è ïèøóò x1 x2 . Øòðèõ Øåôôåðà åñòü îòðèöàíèå êîíúþíêöèè, à ñòðåëêà Ïèðñà | îòðèöàíèå äèçúþíêöèè: x1 | x2 = x1 · x2 , x1 ↓ x2 = x1 ∨ x2 .  ÷èñëî áóëåâûõ ôóíêöèé îò äâóõ ïåðåìåííûõ òàêæå âõîäÿò äâå ôóíêöèè, ïðèíèìàþùèå ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ 0 è 1. 5 Òàáëè÷íûé ñïîñîá çàäàíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé ïðèìåíÿþò îãðàíè÷åííî, ïîñêîëüêó, íàïðèìåð, äëÿ çàäàíèÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè îò äåñÿòè ïåðåìåííûõ ïîòðåáóåòñÿ òàáëèöà èç 1024 ñòðîê. Äàæå âñå ôóíêöèè îò ïÿòè ïåðåìåííûõ ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî çàäàòü òà5 áëèöàìè, ïîñêîëüêó ÷èñëî òàêèõ ôóíêöèé ðàâíî 22 = 4 294 967 296. Ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé îò òðåõ ïåðåìåííûõ | 256. Ïðèâåäåì äëÿ ïðèìåðà òàáëèöó áóëåâîé ôóíêöèè îò òðåõ ïåðåìåííûõ (òàáë. 1.3), êîòîðóþ íàçûâàþò ìàæîðèòàðíîé ôóíêöèåé (èëè ôóíêöèåé ãîëîñîâàíèÿ). Òàáëèöà 1.3 Íîìåð íàáîðà x1 x2 x3 f (x1 , x2 , x3 ) 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 Äëÿ çàäàíèÿ ôóíêöèè îò n ïåðåìåííûõ ìîæíî ïðèìåíÿòü áîëåå ýêîíîìíûå ñïîñîáû | äîñòàòî÷íî çàïèñàòü âåêòîð çíà÷åíèé áóëåâîé ôóíêöèè íà âñåõ íàáîðàõ â ïîðÿäêå èõ ñëåäîâàíèÿ â òàáëèöå èëè ïåðå÷èñëèòü íîìåðà òåõ íàáîðîâ, íà êîòîðûõ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1. Íàïðèìåð, ìàæîðèòàðíàÿ ôóíêöèÿ f ìîæåò áûòü çàäàíà â âèäå f = (0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1) èëè f = {3, 5, 6, 7}. 1.3. Ôîðìóëû Ïîìèìî òàáëè÷íîãî ñïîñîáà ñóùåñòâóåò ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé â âèäå ôîðìóë. Ïóñòü äàíû íåêîòîðîå ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî P , ýëåìåíòû êîòîðîãî áóäåì íàçûâàòü áóëåâûìè ïåðåìåííûìè, è íåêîòîðîå ìíîæåñòâî 6 áóëåâûõ ôóíêöèé F . Ýëåìåíòû ìíîæåñòâà P áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëàìè x1 , x2 , . . . , xn , . . . Ýëåìåíòû ìíîæåñòâà F áóäåì îáîçíà÷àòü ñòðî÷íûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè. Îòìåòèì, ÷òî êîíñòàíòû 0 è 1 òàêæå ìîãóò âêëþ÷àòüñÿ â F . Ïîíÿòèå ôîðìóëû ââîäèòñÿ èíäóêòèâíî. 1. Áàçèñ èíäóêöèè. Ôîðìóëîé íàä ìíîæåñòâîì F ñ÷èòàþò ëþáóþ êîíñòàíòó èç F (åñëè îíà òàì åñòü) è ëþáîå áóëåâî ïåðåìåííîå èç P . 2. Èíäóêòèâíûé ïåðåõîä. Åñëè Φ1 , . . . , Φn (n > 1) | ôîðìóëû íàä ìíîæåñòâîì F , à f | ôóíêöèÿ èç F îò n ïåðåìåííûõ, òî âûðàæåíèå f (Φ1 , . . . , Φn ) åñòü ôîðìóëà íàä ìíîæåñòâîì F . 3. Çàìûêàíèå. Íèêàêèõ äðóãèõ ôîðìóë íàä ìíîæåñòâîì F , êðîìå îïðåäåëåííûõ âûøå, íå ñóùåñòâóåò. Ïðîìåæóòî÷íûå ôîðìóëû, èñïîëüçóåìûå ïðè ïîñòðîåíèè íåêîòîðîé ôîðìóëû, íàçûâàþò ïîäôîðìóëàìè ýòîé ôîðìóëû. Ïðè ïîñòðîåíèè ôîðìóë ñ èñïîëüçîâàíèåì ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ áóäåì ïðèìåíÿòü òðàäèöèîííóþ ôîðìó çàïèñè ôóíêöèè êàê áèíàðíîé îïåðàöèè. Ïóñòü F = {∨, ·, }. Ýòî ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ôóíêöèé äèçúþíêöèè, êîíúþíêöèè è îòðèöàíèÿ, íàçûâàþò ñòàíäàðòíûì áàçèñîì. Ïîñòðîèì íåêîòîðóþ ôîðìóëó íàä ýòèì áàçèñîì. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, ôîðìóëîé íàä ñòàíäàðòíûì áàçèñîì áóäåò ëþáîå ïåðåìåííîå èç P , íàïðèìåð, x1 , x2 . Èç ïåðåìåííûõ x1 , x2 êàê ôîðìóë è ôóíêöèè ∨ ìîæíî ïîñòðîèòü íîâóþ ôîðìóëó Φ1 = = x1 ∨ x2 . Èç ïåðåìåííîãî x3 (êîòîðîå áóäåò ôîðìóëîé), ôîðìóëû Φ1 è ôóíêöèè · ìîæíî ïîñòðîèòü ôîðìóëó Φ2 = x3 · Φ1 . Èç ôîðìóëû Φ2 , èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ îòðèöàíèÿ, ìîæíî ïîñòðîèòü ôîðìóëó Φ3 = Φ2 .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì Φ3 = Φ2 = x3 · Φ1 = x3 · (x1 ∨ x2 ). Êàæäîìó íàáîðó çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, âõîäÿùèõ â çàäàííóþ ôîðìóëó, ñîïîñòàâëÿåòñÿ çíà÷åíèå ýòîé ôîðìóëû. Âû÷èñëåíèå ýòîãî çíà÷åíèÿ â òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâóåò ïðîöåññó ïîñòðîåíèÿ ôîðìóëû èç ïîäôîðìóë. Ñëåäîâàòåëüíî, êàæäàÿ ôîðìóëà, ïîñòðîåííàÿ ïî óêàçàííûì âûøå ïðàâèëàì, îïðåäåëÿåò (èëè ïðåäñòàâëÿåò) íåêîòîðóþ áóëåâó ôóíêöèþ. 7 Åñëè áóëåâà ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ) ïðåäñòàâëÿåòñÿ ôîðìóëîé Φ(x1 , . . . , xn ), òî ïèøóò f = Φ(x1 , . . . , xn ). Ïðåäñòàâëåíèå áóëåâîé ôóíêöèè ôîðìóëîé ïðè áîëüøîì ÷èñëå ïåðåìåííûõ ñóùåñòâåííî êîðî÷å, ÷åì ïðåäñòàâëåíèå åå òàáëèöåé. Òàê, òàáëèöà ôóíêöèè îò äâàäöàòè ïåðåìåííûõ f (x1 , . . . , x20 ) = = x1 ∨ . . . ∨ x20 ñîäåðæèò áîëåå ìèëëèîíà ñòðîê. Îäíà è òàæå ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ðàçëè÷íûìè ôîðìóëàìè. Íàïðèìåð, ýêâèâàëåíòíîñòü (ñì. òàáë. 1.2) íàä ìíîæåñòâîì {∨, ·, , →} ìîæíî ïðåäñòàâèòü, íàïðèìåð, êàê x1 ∼ x2 = (x1 ∨ x2 ) · (x2 ∨ x1 ); x1 ∼ x2 = (x1 → x2 ) · (x2 → x1 ). Ôîðìóëû íàçûâàþò ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñîîòâåòñòâóþùèå èì ôóíêöèè ðàâíû. 1.4. Ðàñ÷åò áóëåâîé ôóíêöèè, çàäàííîé ôîðìóëîé Ðàññìîòðèì áóëåâó ôóíêöèþ îò òðåõ ïåðåìåííûõ, çàäàííóþ ôîðìóëîé f (x1 , x2 , x3 ) = (((x1 ↓ x2 ) ⊕ ((x1 ∨ x2 ) ∼ x3 )) ∨ (x1 | x3 )) |(x1 ∧ x2 ). Äëÿ ðàñ÷åòà ðàçîáúåì ôîðìóëó íà ïîäôîðìóëû A, B, C, D, E, I è J è ñâåäåì ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ â òàáë. 1.4. Òàáëèöà 1.4 ¹ x1 x2 x3 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 A B C D E I J f x1 ↓ x2 x1 ∨ x2 B ∼ x3 A ⊕ C x1 | x3 x1 ∧ x2 D ∨ E J | I 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 Îòìåòèì, ÷òî â äàííîì ïðèìåðå ðàçáèåíèå èñõîäíîé ôîðìóëû íà ïîäôîðìóëû îäíîçíà÷íî çàäàåòñÿ ðàññòàíîâêîé ñêîáîê. 8 1.5. Äèçúþíêòèâíûå è êîíúþíêòèâíûå íîðìàëüíûå ôîðìû Ðàññìîòðèì çàäàíèå áóëåâûõ ôóíêöèé ôîðìóëàìè íàä ñòàíäàðòíûì áàçèñîì. Ëþáóþ ôîðìóëó âèäà x èëè x íàä ñòàíäàðòíûì áàçèñîì, ãäå x | ïðîèçâîëüíîå ïåðåìåííîå, íàçûâàþò ëèòåðàëîì. Äëÿ óíèôèêàöèè çàïèñè ââîäÿò îáîçíà÷åíèå x, σ = 1; σ x = (1.1) x, σ = 0. Ïîäñòàâëÿÿ â (1.1) 0 è 1 âìåñòî x, ïîëó÷àåì 0, σ = 1; 1, σ = 1; σ σ 0 = 1 = 1, σ = 0, 0, σ = 0. Âèäíî, ÷òî xσ = 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x = σ, ò. å. çíà÷åíèÿ îñíîâàíèÿ è ïîêàçàòåëÿ ñîâïàäàþò. ×àñòî èñïîëüçóþò òàêæå îáîçíà÷åíèå x e, ïîíèìàÿ ïîä ýòèì ëþáîé èç äâóõ ëèòåðàëîâ | x èëè x. Ôîðìóëó âèäà x e1 · x e2 · . . . · x em , ãäå âñå ôèãóðèðóþùèå â íåé ïåðåìåííûå ïîïàðíî ðàçëè÷íû, íàçûâàþò ýëåìåíòàðíîé êîíúþíêöèåé, à ôîðìóëó âèäà x e1 ∨ x e2 ∨ . . . ∨ x em | ýëåìåíòàðíîé äèçúþíêöèåé. Îáû÷íî ïðè çàïèñè ýëåìåíòàðíîé êîíúþíêöèè çíàêè óìíîæåíèÿ îïóñêàþò. Äèçúþíêòèâíàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà (ÄÍÔ) îò ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xn | ýòî ôîðìóëà âèäà K1 ∨ . . . ∨ Km , ãäå Ki , i = 1, m, | ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ, ñîäåðæàùàÿ íåêîòîðûå èç ëèòåðàëîâ x1 , . . . , xn . Åñëè â êàæäóþ êîíúþíêöèþ Ki äëÿ êàæäîãî íîìåðà j = 1, n âõîäèò ðîâíî îäèí èç ëèòåðàëîâ xej , ÄÍÔ íàçûâàþò ñîâåðøåííîé äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé (ÑÄÍÔ). Êîíúþíêòèâíàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà (ÊÍÔ) îò ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xn | ýòî ôîðìóëà âèäà D1 · . . . · Dm , ãäå Di , i = 1, m, | ýëåìåíòàðíàÿ äèçúþíêöèÿ, ñîäåðæàùàÿ íåêîòîðûå èç ëèòåðàëîâ x1 , . . . , xn . Åñëè â êàæäóþ äèçúþíêöèþ Di äëÿ êàæäîãî íîìåðà j = 1, n âõîäèò ðîâíî îäèí èç ëèòåðàëîâ xej , ÊÍÔ íàçûâàþò ñîâåðøåííîé êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé (ÑÊÍÔ). 9 ÑÄÍÔ äëÿ ôóíêöèè f èìååò âèä _ xα1 1 · . . . · xαnn . f= (1.2) (α1 ,...,αn ): f (α1 ,...,αn )=1 ÑÊÍÔ äëÿ òîé æå ôóíêöèè ^ f= xα1 1 ∨ . . . ∨ xαnn . (1.3) (α1 ,...,αn ): f (α1 ,...,αn )=0 Òåîðåìà. Ëþáàÿ áóëåâà ôóíêöèÿ, îòëè÷íàÿ îò êîíñòàíòû 0, ïðåäñòàâèìà â âèäå ÑÄÍÔ, à ëþáàÿ áóëåâà ôóíêöèÿ, îòëè÷íàÿ îò êîíñòàíòû 1, | â âèäå ÑÊÍÔ. Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ïîñòðîåíèå ÑÄÍÔ è ÑÊÍÔ äëÿ ìàæîðèòàðíîé ôóíêöèè (ñì. òàáë. 1.3). Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ÑÄÍÔ ïî ôîðìóëå (1.2) íàäî âûäåëèòü íàáîðû, íà êîòîðûõ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1. Òàêèõ íàáîðîâ ÷åòûðå: (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0) è (1, 1, 1). Èì ñîîòâåòñòâóþò ýëåìåíòàðíûå êîíúþíêöèè K1 = = x01 x12 x13 = x1 x2 x3 , K2 = x11 x02 x13 = x1 x2 x3 , K3 = x11 x12 x03 = x1 x2 x3 è K4 = x11 x12 x13 = x1 x2 x3 . ÑÄÍÔ, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ìàæîðèòàðíóþ ôóíêöèþ, èìååò âèä K1 ∨ K2 ∨ K3 ∨ K4 = x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 . (1.4) Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ÑÊÍÔ äëÿ òîé æå ôóíêöèè ïî ôîðìóëå (1.3) âûäåëèì íàáîðû (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), íà êîòîðûõ ôóíêöèÿ ðàâíà 0. Èì ñîïîñòàâëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûå äèçúþíêöèè D1 = x01 ∨ x02 ∨ x03 = x11 ∨ x12 ∨ x13 = x1 ∨ x2 ∨ x3 , D2 = x01 ∨ x02 ∨ x13 = x11 ∨ x12 ∨ x03 = x1 ∨ x2 ∨ x3 , D3 = x01 ∨ x12 ∨ x03 = x11 ∨ x02 ∨ x13 = x1 ∨ x2 ∨ x3 , D4 = x11 ∨ x02 ∨ x03 = x01 ∨ x12 ∨ x13 = x1 ∨ x2 ∨ x3 ñîîòâåòñòâåííî. ÑÊÍÔ äëÿ ìàæîðèòàðíîé ôóíêöèè èìååò âèä D1 ∧ D2 ∧ D3 ∧ D4 = (x1 ∨ x2 ∨ x3 ) ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x3 ) ∧ ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x3 ) ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x3 ). (1.5) 10 2. ÌÈÍÈÌÈÇÀÖÈß ÁÓËÅÂÛÕ ÔÓÍÊÖÈÉ Â ÊËÀÑÑÅ ÄÍÔ 2.1. Ïðîáëåìà ìèíèìèçàöèè ÑÄÍÔ, êîòîðàÿ ñòðîèòñÿ ïî òàáëèöå áóëåâîé ôóíêöèè, çà÷àñòóþ îêàçûâàåòñÿ âåñüìà ñëîæíîé, òàê êàê îíà îáû÷íî ñîäåðæèò äîñòàòî÷íî ìíîãî ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé è ëèòåðàëîâ. Îáû÷íî ÑÄÍÔ óäàåòñÿ óïðîñòèòü è ïîëó÷èòü íåêîòîðóþ áîëåå ïðîñòóþ ÄÍÔ, ïðè÷åì òàêîå óïðîùåíèå ìîæíî ïðîäåëàòü ðàçíûìè ñïîñîáàìè. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó âûáîðà ñðåäè âñåõ ÄÍÔ, ïðåäñòàâëÿþùèõ äàííóþ ôóíêöèþ, òàêîé ÄÍÔ, êîòîðàÿ ïðåäïî÷òèòåëüíåé, ïðîùå â ñìûñëå íåêîòîðîãî êðèòåðèÿ. Ïðè ðåøåíèè óêàçàííîé çàäà÷è â êà÷åñòâå êðèòåðèåâ ïðîñòîòû ïðèìåíÿþò ÷èñëî ëèòåðàëîâ, ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé è ÷èñëî îòðèöàíèé, èñïîëüçóåìûõ äëÿ çàïèñè ôîðìóëû. ×èñëî âõîäÿùèõ â ÄÍÔ ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé íàçûâàþò åå äëèíîé. Íàïðèìåð, ÑÄÍÔ (1.4) ñîäåðæèò 12 ëèòåðàëîâ (ïî òðè ëèòåðàëà â êàæäîé èç ÷åòûðåõ ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé), åå äëèíà ðàâíà ÷åòûðåì è â åå çàïèñè èñïîëüçîâàíî òðè îòðèöàíèÿ. ÄÍÔ íàçûâàþò: { ìèíèìàëüíîé, åñëè îíà ñîäåðæèò íàèìåíüøåå ÷èñëî ëèòåðàëîâ ñðåäè âñåõ ÄÍÔ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ôóíêöèþ f ; { êðàò÷àéøåé, åñëè îíà èìååò íàèìåíüøóþ äëèíó ñðåäè âñåõ ÄÍÔ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ôóíêöèþ f . Ïðèìåð 2.1. ÄÍÔ x1 x2 ∨ x1 x2 íå ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé, òàê êàê åå ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê ýêâèâàëåíòíîé ÄÍÔ, íå ñîäåðæàùåé íè îäíîãî èç ëèòåðàëîâ x e1 , ò. å. x1 èëè x1 : x1 x2 ∨ x1 x2 = (x1 ∨ x1 )x2 = x2 . Âìåñòî ÷åòûðåõ ëèòåðàëîâ â èñõîäíîé ÄÍÔ ïîëó÷àåì ÄÍÔ, ñîñòîÿùóþ èç îäíîãî ëèòåðàëà. I  ïðèíöèïå, ïðîáëåìó ïîèñêà ÄÍÔ, íàèëó÷øåé ïî ëþáîìó èç ïðèâåäåííûõ âûøå êðèòåðèåâ, ìîæíî ðåøèòü ïîëíûì ïåðåáîðîì 11 âàðèàíòîâ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè äëÿ ôóíêöèè f âûïèñàòü âñå ïðåäñòàâëÿþùèå åå ÄÍÔ è ðàññ÷èòàòü äëÿ êàæäîé êðèòåðèè ïðîñòîòû, òî ìîæíî âûáðàòü íàèëó÷øóþ ïî çàäàííîìó êðèòåðèþ ÄÍÔ. Ïðè ýòîì íå âïîëíå ÿñíî, êàê äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè f îò n ïåðåìåííûõ âûïèñàòü âñå ïðåäñòàâëÿþùèå åå ÄÍÔ. Òåîðåòè÷åñêè ìîæíî ïåðåáðàòü âñå ÄÍÔ îò n ïåðåìåííûõ è ñðåäè íèõ âûáðàòü íóæíûå. Ïîñêîëüêó â êàæäóþ ýëåìåíòàðíóþ êîíúþíêöèþ êàæäîå ïåðåìåííîå ìîæåò âõîäèòü, íå âõîäèòü èëè âõîäèòü ñ îòðèöàíèåì, ÷èñëî ðàçëè÷íûõ êîíúþíêöèé (âêëþ÷àÿ ïóñòóþ) ðàâíî 3n , à äëÿ ïðîâåðêè n ñîîòâåòñòâèÿ ÄÍÔ ôóíêöèè ïðèäåòñÿ âûïîëíèòü íå ìåíåå 23 áîëåå ìåëêèõ îïåðàöèé. Äàæå ïðè n = 3 ïîëó÷èì 134 217 728 îïåðàöèé, ÷òî ãîâîðèò î ïðàêòè÷åñêîé íåïðèìåíèìîñòè ìåòîäà ïðÿìîãî ïåðåáîðà. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ôóíêöèè f , ïðèíèìàþùåé õîòÿ áû îäíî íåíóëåâîå çíà÷åíèå, âñåãäà ñòðîèòñÿ ÑÄÍÔ. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â ëþáóþ ÄÍÔ, ïðåäñòàâëÿþùóþ ôóíêöèþ f , ìîãóò âõîäèòü òîëüêî êîíúþíêöèè, ïîëó÷åííûå èç íåêîòîðîé êîíúþíêöèè, âõîäÿùåé â ÑÄÍÔ, ïóòåì âû÷åðêèâàíèÿ èç íåå íåêîòîðîãî ÷èñëà ëèòåðàëîâ. Ñäåëàííîå íàáëþäåíèå ïîçâîëÿåò ñîêðàòèòü êîëè÷åñòâî ïðîñìàòðèâàåìûõ âàðèàíòîâ, îäíàêî äëÿ ôóíêöèé îò áîëüøîãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ ýòî êîëè÷åñòâî âñå ðàâíî îñòàåòñÿ çíà÷èòåëüíûì. Ê ñîæàëåíèþ, ïîñòðîèòü àëãîðèòì, êîòîðûé áû íå îñíîâûâàëñÿ íà ïåðåáîðå âàðèàíòîâ, íåâîçìîæíî â ñèëó òîãî, ÷òî äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè f â îáùåì ñëó÷àå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü íåñêîëüêî ÄÍÔ, íå ðàçëè÷èìûõ ïî ïðèâåäåííûì âûøå êðèòåðèÿì. Ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðàçóìíûì ñíà÷àëà ìàêñèìàëüíî ñîêðàòèòü êîëè÷åñòâî àíàëèçèðóåìûõ âàðèàíòîâ, èñïîëüçóÿ ÑÄÍÔ, à çàòåì âûáðàòü ñðåäè íàéäåííûõ âàðèàíòîâ íàèëó÷øèé ïî çàäàííûì êðèòåðèÿì. 2.2. Ìèíèìèçàöèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì òîæäåñòâ ñêëåéêè è ïîãëîùåíèÿ Îñíîâîé àëãîðèòìà ìèíèìèçàöèè ÿâëÿþòñÿ òîæäåñòâî ïðîñòîé ñêëåéêè è òîæäåñòâî ïîãëîùåíèÿ xK ∨ xK = K, xK ∨ K = K, ãäå K | íåêîòîðàÿ ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ. 12 (2.1) Åñëè xK è xK | íåêîòîðûå ýëåìåíòàðíûå êîíúþíêöèè, ïðèñóòñòâóþùèå â ÑÄÍÔ ìèíèìèçèðóåìîé ôóíêöèè, òî òîæäåñòâî ñêëåéêè ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ýëåìåíòàðíóþ êîíúþíêöèþ K, êîòîðàÿ ñîäåðæèò íà îäèí ëèòåðàë ìåíüøå, ÷åì èñõîäíûå êîíúþíêöèè, à òîæäåñòâî ïîãëîùåíèÿ ïîçâîëÿåò óäàëèòü èç ôîðìóëû ýëåìåíòàðíûå êîíúþíêöèè xK è xK, çàìåíèâ èõ íà K. Îáðàçíî ãîâîðÿ, äâå ýëåìåíòàðíûå êîíúþíêöèè <ñêëåèâàþòñÿ> â îäíó, â êîòîðîé ÷èñëî ëèòåðàëîâ íà åäèíèöó ìåíüøå. Ñîîòâåòñòâåííî ïðèìåíåíèå òîæäåñòâà ïîãëîùåíèÿ óìåíüøàåò äëèíó ÄÍÔ íà åäèíèöó. Ê ïîëó÷åííîé ÄÍÔ ìîæíî ñíîâà ïðèìåíèòü äâà óêàçàííûõ òîæäåñòâà. Òàê ñëåäóåò ïðîäîëæàòü äî òåõ ïîð, ïîêà ïðèìåíåíèå òîæäåñòâ íå ñòàíåò íåâîçìîæíûì. Ïîñêîëüêó òîæäåñòâî ñêëåéêè ïðèìåíèìî ê ðàçëè÷íûì ïàðàì êîíúþíêöèé, âõîäÿùèõ â ÄÍÔ, ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ òîæäåñòâà ñêëåéêè óäîáíî äîïèñûâàòü â ÄÍÔ áåç óäàëåíèÿ <ñêëåèâàåìûõ> êîíúþíêöèé, ÷òî íå íàðóøàåò ðàâåíñòâà â ñèëó òîæäåñòâ áóëåâîé àëãåáðû. Óäàëÿòü êîíúþíêöèè ñ èñïîëüçîâàíèåì òîæäåñòâà ïîãëîùåíèÿ ïðè ýòîì ñëåäóåò ïîñëå òîãî, êàê âñå âîçìîæíûå ñêëåéêè âûïîëíåíû. Ïðîâîäèìûå â ïðèìåðå 2.1 ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ïîñëåäîâàòåëüíîå ïðèìåíåíèå îäèí ðàç òîæäåñòâà ñêëåéêè è äâà ðàçà òîæäåñòâà ïîãëîùåíèÿ: x1 x2 ∨ x1 x2 = x1 x2 ∨ x1 x2 ∨ x2 = x2 .  äàííîì ñëó÷àå ðåçóëüòèðóþùàÿ ÄÍÔ îêàçàëàñü åäèíñòâåííîé, à ñëåäîâàòåëüíî, è ìèíèìàëüíîé, è êðàò÷àéøåé, è íàèëó÷øåé ïî êîëè÷åñòâó îòðèöàíèé. Ïðèìåð 2.2. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ òðåõ ïåðåìåííûõ, çàäàííóþ â âèäå ÑÄÍÔ: f = x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 . (2.2) Ïðèìåíèì òîæäåñòâî ñêëåéêè ê ïåðâîé è âòîðîé, âòîðîé è òðåòüåé, à òàêæå ê ÷åòâåðòîé è ïÿòîé êîíúþíêöèÿì. Ðåçóëüòàòû âûïîëíåíèÿ 13 òîæäåñòâà ñêëåéêè äîáàâèì ê èñõîäíîé ÑÄÍÔ. Çàìåòèì, ÷òî òàêîå äîáàâëåíèå äàåò ÄÍÔ, ýêâèâàëåíòíóþ èñõîäíîé. Ïîëó÷èì x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 ∨ ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x2 x3 ∨ ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 . Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ òîæäåñòâà ïîãëîùåíèÿ çàïèøåì ÄÍÔ x1 x2 ∨ x2 x3 ∨ x1 x2 . (2.3) Äàëüíåéøåå óïðîùåíèå ôîðìóëû ñ èñïîëüçîâàíèåì òîæäåñòâ ñêëåéêè è ïîãëîùåíèÿ íåâîçìîæíî. Ðàññìîòðåííûé âàðèàíò ïðåîáðàçîâàíèÿ íå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì. Ïðèìåíèì òîæäåñòâî ñêëåéêè ê ïåðâîé è âòîðîé, òðåòüåé è ïÿòîé, ÷åòâåðòîé è ïÿòîé êîíúþíêöèÿì. Çàïèøåì x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 ∨ ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x3 ∨ ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 . Ïîñëå âûïîëíåíèÿ òîæäåñòâà ïîãëîùåíèÿ ïîëó÷èì ÄÍÔ x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x1 x2 , (2.4) îòëè÷íóþ îò ÄÍÔ (2.3). Äàëüíåéøåå óïðîùåíèå ÄÍÔ (2.4) òàêæå íåâîçìîæíî. Åñëè â èñõîäíîé ÑÄÍÔ êî âñåì âîçìîæíûì ïàðàì (ïåðâîé è âòîðîé, âòîðîé è òðåòüåé, òðåòüåé è ïÿòîé, ÷åòâåðòîé è ïÿòîé êîíúþíêöèÿì) ïðèìåíèòü òîæäåñòâî ñêëåéêè, à çàòåì òîæäåñòâî ïîãëîùåíèÿ, ïîëó÷èì ÄÍÔ x1 x2 ∨ x2 x3 ∨ x1 x2 ∨ x1 x3 , (2.5) êîòîðàÿ ñîäåðæèò âñå êîíúþíêöèè, âõîäÿùèå â ÄÍÔ (2.3) è (2.4). Äðóãèõ ÄÍÔ, ýêâèâàëåíòíûõ ÑÄÍÔ (2.2), ïîñòðîèòü íå óäàåòñÿ. 14 Èç òðåõ ïîëó÷åííûõ ÄÍÔ äâå ïåðâûå ÿâëÿþòñÿ êðàò÷àéøèìè è ìèíèìàëüíûìè, ïðè÷åì ÄÍÔ (2.4) ñîäåðæèò íà îäíî îòðèöàíèå ìåíüøå. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíÿòü âñå òðè êðèòåðèÿ, òî èìåííî (2.4) îêàçûâàåòñÿ íàèëó÷øåé ÄÍÔ. I Íåîæèäàííûì îêàçàëñÿ ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ òîæäåñòâà ñêëåéêè êî âñåì âîçìîæíûì ïàðàì ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé â ÑÄÍÔ: ïîëó÷åííàÿ ÄÍÔ îêàçàëàñü äëèííåå, ÷åì ÄÍÔ (2.3) è (2.4). Çàìåòèì, ÷òî âñå òðè ïîëó÷åííûå ÄÍÔ ñîäåðæàò îáùóþ ÷àñòü D = x1 x2 ∨ x1 x2 , à ÄÍÔ (2.3) è (2.4) îáðàçóþòñÿ äîáàâëåíèåì ê D êîíúþíêöèé x2 x3 è x1 x3 ñîîòâåòñòâåííî, ïðè÷åì äîáàâëÿåìûå êîíúþíêöèè ñîäåðæàòñÿ â (2.5). 2.3. Àëãîðèòì ìèíèìèçàöèè Àíàëèç ïðèìåðà (2.2) ïîçâîëÿåò ïðåäëîæèòü ñëåäóþùèé àëãîðèòì ìèíèìèçàöèè: 1) ïîñëåäîâàòåëüíî âûïîëíÿÿ âñå âîçìîæíûå ñêëåéêè, à çàòåì ïðèìåíÿÿ ê ðåçóëüòàòó òîæäåñòâî ïîãëîùåíèÿ, ïîëó÷èòü ÄÍÔ (íàçûâàåìóþ ñîêðàùåííîé ÄÍÔ), ñîäåðæàùóþ âñå êîíúþíêöèè, äàëüíåéøåå óïðîùåíèå êîòîðûõ ñ ïîìîùüþ óêàçàííûõ òîæäåñòâ íåâîçìîæíî; 2) âûäåëèòü èç ñîêðàùåííîé ÄÍÔ îáùóþ ÷àñòü, âõîäÿùóþ â ëþáóþ ÄÍÔ, ñîñòàâëåííóþ èç ïðîñòûõ èìïëèêàíò è ïðåäñòàâëÿþùóþ ôóíêöèþ f , à çàòåì ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðîñòûõ èìïëèêàíò, âõîäÿùèõ â ñîêðàùåííóþ ÄÍÔ, âûïèñàòü âñå âîçìîæíûå ÄÍÔ, ïðåäñòàâëÿþùèå ôóíêöèþ f ; 3) íàéòè ñðåäè âûïèñàííûõ ÄÍÔ ëó÷øèå ïî ïðèâåäåííûì âûøå êðèòåðèÿì. Ýëåìåíòàðíûå êîíúþíêöèè, âõîäÿùèå â ñîêðàùåííóþ ÄÍÔ ôóíêöèè f , íàçûâàþò ïðîñòûìè èìïëèêàíòàìè áóëåâîé ôóíêöèè f . Ïðîñòóþ èìïëèêàíòó áóëåâîé ôóíêöèè f ìîæíî îïðåäåëèòü êàê òàêóþ ýëåìåíòàðíóþ êîíúþíêöèþ â ñîñòàâå íåêîòîðîé ÄÍÔ, ïðåäñòàâëÿþùåé ôóíêöèþ f , ÷òî óäàëåíèå èç íåå ëþáîãî ëèòåðàëà ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî îíà ïåðåñòàåò áûòü èìïëèêàíòîé. 15 Íàïðèìåð, êîíúþíêöèÿ x1 x2 x3 (ñì. ïðèìåð 2.2) íå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé èìïëèêàíòîé ôóíêöèè f , òàê êàê èç íåå ìîæíî óäàëèòü ëèòåðàë x3 è ïîëó÷èòü êîíúþíêöèþ x1 x2 . Ýòà êîíúþíêöèÿ áóäåò ïðîñòîé èìïëèêàíòîé. Äàäèì ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ïåðâîìó øàãó ïðåäëîæåííîãî àëãîðèòìà. Óñòàíîâèì ñìûñë ïðîñòîé ñêëåéêè ñ òî÷êè çðåíèÿ ãåîìåòðèè áóëåâà êóáà. Íàïîìíèì, ÷òî êàæäîìó íàáîðó α e = (α1 , . . . , αn ), äëÿ êîòîðîãî f (e α) = 1 â ÑÄÍÔ ñîîòâåòñòâóåò ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ Kαe = = xα1 1 · . . . · xαnn , ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèå 1 òîëüêî íà íàáîðå α e. Ïðîñòàÿ ñêëåéêà ìîæåò áûòü ïðèìåíåíà ëèøü ê òàêèì äâóì ýëåìåíòàðíûì êîíúþíêöèÿì Kαe è Kβe, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ òîëüêî îäíèì ëèòåðàëîì. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå íàáîðû α e, βe ðàçëè÷àþòñÿ çíà÷åíèåì âñåãî îäíîé êîìïîíåíòû, ò. å. îíè îáðàçóþò ðåáðî áóëåâà êóáà Bn . Ñëåäîâàòåëüíî, òîæäåñòâî ïðîñòîé ñêëåéêè ìîæíî ïðèìåíèòü òîëüêî ê òåì ýëåìåíòàðíûì êîíúþíêöèÿì èñõîäíîé ÑÄÍÔ, ïðåäñòàâëÿþùåé ôóíêöèþ f , êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò ýëåìåíòàì êàêîãîëèáî ðåáðà áóëåâà êóáà, íà êîòîðîì ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò åäèíè÷íîå çíà÷åíèå. Ïðèìåíÿÿ ïðîñòóþ ñêëåéêó ê èñõîäíîé ÑÄÍÔ Φ, ïîëó÷àåì íîâóþ ÄÍÔ Φ1 . Åñëè âîçìîæíî, ê íåé òàêæå ïðèìåíÿåì ïðîñòóþ ñêëåéêó | ïîëó÷àåì ÄÍÔ Φ2 . Ãåîìåòðèÿ ïîâòîðåíèÿ ïðîñòîé ñêëåéêè ñîñòîèò â äàëüíåéøåì ñêëåèâàíèè êàæäîé ïàðû ðåáåð, ïðèíàäëåæàùèõ îäíîé ãðàíè ðàçìåðíîñòè 2 è íå èìåþùèõ îáùåé âåðøèíû (ïðîòèâîëåæàùèõ), íà êîòîðûõ çíà÷åíèå ôóíêöèè ðàâíî 1, â ãðàíè ðàçìåðíîñòè 2. Îòìåòèì, ÷òî äâà ðåáðà, ïðèíàäëåæàùèå îäíîé ãðàíè ðàçìåðíîñòè 2 è èìåþùèå îáùóþ âåðøèíó, íå ñêëåèâàþòñÿ. Ïðîäîëæàåì âûïîëíÿòü ýòó îïåðàöèþ äî òåõ ïîð, ïîêà íå îêàæåòñÿ, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî k â ÄÍÔ Φk óæå íåëüçÿ ñêëåèòü íèêàêèå äâå ýëåìåíòàðíûå êîíúþíêöèè.  ñèëó êîíå÷íîñòè áóëåâà êóáà òàêîå k âñåãäà íàéäåòñÿ. 16 Ïðèìåð 2.3. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f îò òðåõ ïåðåìåííûõ, çàäàííóþ ñëåäóþùåé ÑÄÍÔ: x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 . (2.6) Ïðèìåíèì òîæäåñòâî ïðîñòîé ñêëåéêè ê ïåðâîé è òðåòüåé, à òàêæå êî âòîðîé è ÷åòâåðòîé ýëåìåíòàðíûì êîíúþíêöèÿì â (2.6): x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 = x2 x3 , x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 = x2 x3 .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì f = x2 x3 ∨ x2 x3 . (2.7) Ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ñêëåéêà ïåðâîé è òðåòüåé êîíúþíêöèé â ôîðìóëå (2.6) îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò åäèíè÷íîå çíà÷åíèå íà ðåáðå [000, 100] (ñì. ðèñ. 2.1), à ñêëåéêà âòîðîé è ÷åòâåðòîé êîíúþíêöèé | íà ðåáðå [001, 101]. Ýòè ðåáðà ÿâëÿþòñÿ ñîñåäíèìè. Êðîìå òîãî, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò åäèíè÷íîå çíà÷åíèå è íà äðóãîé ïàðå ñîñåäíèõ ðåáåð: [000, 001] è [100, 101]. Åñëè ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò åäèíè÷íîå Ðèñ. 2.1 çíà÷åíèå íà äâóõ ñîñåäíèõ ïðîòèâîëåæàùèõ ðåáðàõ áóëåâà êóáà, òî îíà ðàâíà 1 â ëþáîé òî÷êå îáðàçóåìîé èìè ãðàíè ðàçìåðíîñòè 2. Ïðèìåíÿÿ ïðîñòóþ ñêëåéêó ê (2.7) (ïî ïåðåìåííîìó x3 ), ïîëó÷àåì f (x1 , x2 , x3 ) = x2 . I Ïðèìåð 2.4. Ðàññìîòðèì ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ïîèñê ñîêðàùåííîé ÄÍÔ äëÿ ôóíêöèè, ïðèâåäåííîé â ïðèìåðå 2.2. Íà ðèñ. 2.2 âûäåëåíû ïÿòü âåðøèí, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1, è ÷åòûðå ñîîòâåòñòâóþùèõ èì ðåáðà áóëåâà êóáà. Êàæäîìó èç âûäåëåííûõ ÷åòûðåõ ðåáåð ñîîòâåòñòâóåò êîíúþíêöèÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ ðåçóëüòàòîì âûïîëíåíèÿ ïðîñòîé ñêëåéêè: ðåáðó 17 [000, 001] ñîîòâåòñòâóåò ñêëåéêà x1 x2 x3 ∨ ∨ x1 x2 x3 = x1 x2 , ðåáðó [001, 101] | ñêëåéêà x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 = x2 x3 , ðåáðó [101, 111] | ñêëåéêà x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 = x1 x3 , à ðåáðó [111, 110] | ñêëåéêà x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 = = x1 x2 . Ïîñêîëüêó êàæäàÿ ïàðà ðåáåð, ïðèíàäëåæàùèõ îäíèì ãðàíÿì êóáà ðàçìåðíîñòè 2, èìååò îáùóþ âåðøèíó, ïðèìåíèòü òîæäåñòâî ñêëåéêè ê êîíúþíêöèÿì, íàéäåíÐèñ. 2.2 íûì íà ïåðâîì øàãå, íå óäàåòñÿ. Ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå ïðåîáðàçîâàíèé ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ èìååò âèä x1 x2 ∨ x2 x3 ∨ x1 x3 ∨ x1 x2 . I 2.4. Êàðòû Êàðíî Äëÿ áóëåâûõ ôóíêöèé îò òðåõ è ÷åòûðåõ ïåðåìåííûõ ïðîöåäóðà ñêëåéêè íàãëÿäíî è ïðîñòî âûïîëíÿåòñÿ íà òàê íàçûâàåìûõ êàðòàõ Êàðíî, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ïðÿìîóãîëüíûå òàáëèöû. Äëÿ ôóíêöèè îò òðåõ ïåðåìåííûõ êàðòà Êàðíî ñ çàäàííîé íà íåé ôóíêöèåé èç ïðèìåðà 2.3 ïîêàçàíà íà ðèñ. 2.3, à. Íà ðèñóíêå òàêæå èçîáðàæåí áóëåâ êóá B3 è âûäåëåíû íàáîðû, íà êîòîðûõ ýòà ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 1.  êàðòå Êàðíî còðîêè îòìå÷åíû íàáîðàìè çíà÷åíèé ïåðåìåííîãî x1 , à ñòîëáöû | x2 , x3 .  êëåòêàõ òàáëèöû ïèøóò 1 â òîì ñëó÷àå, åñëè íà ñîîòâåòñòâóþùåì íàáîðå èññëåäóåìàÿ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1. Ïîýòîìó êàðòó Êàðíî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñïåöèàëüíóþ òàáëèöó, çàäàþùóþ áóëåâó ôóíêöèþ. Ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ íàáîðîâ ïåðåìåííûõ â ñòðîêàõ è ñòîëáöàõ îïðåäåëåí òàê, ÷òîáû äâóì ñîñåäíèì ïî ãîðèçîíòàëè èëè âåðòèêàëè êëåòêàì ñîîòâåòñòâîâàëè íàáîðû, ñîåäèíåííûå â áóëåâîì êóáå ðåáðîì. Èìåííî ñ ýòèì ñâÿçàíî ñëåäîâàíèå íàáîðà 11 ïîñëå íàáîðà 01 â çàãîëîâêàõ ñòîëáöîâ òàáëèöû. Íàïðèìåð, ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî 18 êëåòêè òàáëèöû, ïîìå÷åííûå íàáîðàìè 000 è 010, ñîîòâåòñòâóþò â áóëåâîì êóáå âåðøèíàì, ïðèíàäëåæàùèì îäíîìó ðåáðó. Ïî ñóùåñòâó êàðòà Êàðíî åñòü òàáëè÷íûé ñïîñîá îïèñàíèÿ áóëåâà êóáà. Óêàçàííàÿ îñîáåííîñòü êàðòû Êàðíî ïîçâîëÿåò ëåãêî íàõîäèòü ýëåìåíòàðíûå êîíúþíêöèè, ê êîòîðûì ìîæíî ïðèìåíèòü òîæäåñòâî ñêëåéêè: åñëè äâå åäèíèöû ðàñïîëîæåíû ðÿäîì â ñòðîêå èëè â ñòîëáöå, ëèáî ÿâëÿþòñÿ ñîñåäíèìè ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç <êðàé> òàáëèöû, òî ñîîòâåòñòâóþùèå èì ýëåìåíòàðíûå êîíúþíêöèè ñêëåèâàþòñÿ. Âåðíåìñÿ ê çàäà÷å ìèíèìèçàöèè ôóíêöèè, îïèñàííîé â ïðèìåðå 2.3. Âûïîëíåííûå â ýòîì ïðèìåðå ñêëåéêè ïîêàçàíû íà ðèñ. 2.3, à â âèäå ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Ñêëåéêà ïåðâîé è òðåòüåé êîíúþíêöèé â ÑÄÍÔ (2.6) ñîîòâåòñòâóåò ñêëåéêå äâóõ åäèíèö â ïåðâîì ñòîëáöå, à âòîðîé è ÷åòâåðòîé êîíúþíêöèé | äâóõ åäèíèö âî âòîðîì ñòîëáöå. Ðåçóëüòàò ñêëåéêè íà êàðòå óäîáíî çàïèñûâàòü â âèäå ñïåöèàëüíîãî íàáîðà, ñîäåðæàùåãî 0, 1 è × (êðåñòèê), ïðè÷åì êðåñòèê çàíèìàåò ïîçèöèþ òîãî ïåðåìåííîãî, ïî êîòîðîìó ïðîâåäåíà ñêëåéêà. Ïî òàêîìó íàáîðó ðåçóëüòàò ñêëåéêè âûïèñûâàþò òàê: 0 ñîîòâåòñòâóåò îòðèöàíèå ïåðåìåííîãî, 1 | ñàìî ïåðåìåííîå, à ïåðåìåííûå, ñîîòâåòñòâóþùèå ×, ïðîïóñêàþòñÿ. Çàìåòèì, ÷òî â ïðèìåðå 2.3 óäàëîñü ïðèìåíèòü òîæäåñòâî ñêëåéêè åùå ðàç. Íà êàðòå Êàðíî ýòîìó ñîîòâåòñòâóåò ñêëåéêà, îáúåäèíÿþùàÿ ÷åòûðå åäèíèöû. Ðåçóëüòàò òàêîé ñêëåéêè ìîæíî ïîëó÷èòü, ñðàâíèâ íàáîðû, îïèñûâàþùèå ðåçóëüòàòû ñêëååê äâóõ åäèíèö. Ðåçóëüòèðóþùåìó íàáîðó ×0× ñîîòâåòñòâóåò êîíúþíêöèÿ x2 . Íà ðèñ. 2.3, à â áóëåâîì êóáå âûäåëåíû ðåáðà, à íà ðèñ. 2.3, â | äâóìåðíàÿ ãðàíü, â êîòîðûå <ñêëåèëèñü> âåðøèíû. Ïðèìåíÿòü òîæäåñòâî ñêëåéêè ìîæíî áûëî è â äðóãîì ïîðÿäêå | ïî ñòðîêàì (ñì. ðèñ. 2.3, á).  ýòîì ñëó÷àå íà ïåðâîì ýòàïå âîçíèêàþò êîíúþíêöèè, îòëè÷íûå îò êîíúþíêöèé, ïîëó÷àåìûõ ïðè âûïîëíåíèè ñêëåéêè ïî ñòîëáöàì. Íà âòîðîì ýòàïå òàêæå óäàåòñÿ âûïîëíèòü ñêëåéêó, ðåçóëüòàò êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷åííûì ïðè ïåðâîíà÷àëüíîé ñêëåéêå ïî âåðòèêàëè. Ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå äðóãàÿ ïàðà ïðîòèâîëåæàùèõ ðåáåð <ñêëåèëàñü> â òó æå ãðàíü ðàçìåðíîñòè 2. 19 Ðèñ. 2.3 20  äàííîì ñëó÷àå ìîæíî ñðàçó ãîâîðèòü î ñêëåéêå íà ÷åòûðå åäèíèöû (ñì. ðèñ. 2.3, â) è íå âûäåëÿòü âõîäÿùèå â òàêóþ ñêëåéêó áîëåå ìåëêèå. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò âûäåëåíèþ ãðàíè â áóëåâîì êóáå. Ðèñ. 2.4 Ïðèìåð 2.5. Âûïîëíèì ñ èñïîëüçîâàíèåì êàðòû Êàðíî ïîñòðîåíèå ñîêðàùåííîé ÄÍÔ äëÿ ìàæîðèòàðíîé ôóíêöèè (ñì. òàáë. 1.3). Íà êàðòå, ïîêàçàííîé íà ðèñ. 2.4, ïðèâåäåíû âñå âîçìîæíûå ñêëåéêè. Çäåñü ñêëåéêà 11× ñîîòâåòñòâóåò ðåáðó áóëåâà êóáà [110, 111], 1 × 1 è × 1 1 | ðåáðàì [101, 111] è [011, 111] ñîîòâåòñòâåííî. Êàæäîé ñêëåéêå ñîîòâåòñòâóåò ïðîñòàÿ èìïëèêàíòà ôóíêöèè.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ñîêðàùåííóþ ÄÍÔ ìàæîðèòàðíîé ôóíêöèè â âèäå x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 . I Ðèñ. 2.5 Ïðèìåð 2.6. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ îò òðåõ ïåðåìåííûõ f = {0, 1, 2, 4, 5}. Êàðòà Êàðíî ôóíêöèè è ìàêñèìàëüíûå ñêëåéêè ïîêàçàíû íà ðèñ. 2.5. Îòìåòèì, ÷òî îäíà èç ñêëååê âûïîëíÿåòñÿ <÷åðåç êðàé>, à äðóãàÿ | ñðàçó íà ÷åòûðå åäèíèöû. Ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ èìååò âèä x2 ∨ x1 x3 . I Êàðòà Êàðíî äëÿ ôóíêöèè îò ÷åòûðåõ ïåðåìåííûõ åñòü òàáëè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå áóëåâà êóáà B4 . Ñòðîêè êàðòû ïîìå÷åíû íàáîðàìè çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ x1 , x2 , à ñòîëáöû | x3 , x4 . Íà ðèñ. 2.6 ïîêàçàíà êàðòà Êàðíî äëÿ ôóíêöèè f = {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}. Íà êàðòå îáîçíà÷åíû ìàêñèìàëüíûå ñêëåéêè, ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîñòûì èìïëèêàíòàì ôóíêöèè. Òàêæå íà ðèñóíêå ïîêàçàí áóëåâ êóá, íà êîòîðîì âûäåëåíû ðåáðà è ãðàíè, ñîîòâåòñòâóþùèå ìàêñèìàëüíûì ñêëåéêàì. 21 Ðèñ. 2.6 Íà êàðòå âûäåëÿþò äâà ïðÿìîóãîëüíèêà íà ÷åòûðå åäèíèöû: ×0×0 è 0×0×, ñîîòâåòñòâóþùèå ãðàíÿì ðàçìåðíîñòè 2, è îäèí ïðÿìîóãîëüíèê 01×1, îòâå÷àþùèé ðåáðó, êîòîðîå íå ñîäåðæèòñÿ íè â îäíîé èç óêàçàííûõ âûøå ãðàíåé. Äëÿ êàðòû, ïîêàçàííîé íà ðèñ. 2.6, ïîëó÷èì ñîêðàùåííóþ ÄÍÔ â âèäå x2 x4 ∨ x1 x3 ∨ x1 x2 x4 . Âûäåëåíèå ïðÿìîóãîëüíèêîâ íà êàðòå Êàðíî ïðîâîäèòñÿ ñ ó÷åòîì ãåîìåòðèè áóëåâà êóáà. Òàê, ïðÿìîóãîëüíèê íà êàðòå, îáîçíà÷åííûé ×0×0, îáðàçîâàí äâóìÿ ïàðàìè ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâûõ êëåòîê, íî ñîîòâåòñòâóåò îäíîé ãðàíè êóáà. Äëÿ ôóíêöèè îò ÷åòûðåõ ïåðåìåííûõ âîçìîæíî ïîëó÷åíèå ñêëåéêè íà âîñåìü åäèíèö (ðèñ. 2.7). Òàêàÿ ñêëåéêà îòâå÷àåò ãðàíè êóáà ðàçìåðíîñòè 3. Îòìåòèì, ÷òî è çäåñü ñêëåéêà âûïîëíÿëàñü <÷åðåç êðàé> òàáëèöû ñ ó÷åòîì ãåîìåòðèè áóëåâà êóáà.  ïðèíöèïå, äëÿ ôóíêöèè ÷åòûðåõ ïåðåìåííûõ âîçìîæíà ñêëåéêà øåñòíàäöàòè åäèíèö, îäíàêî ýòî | òðèâèàëüíûé ñëó÷àé. Òàêèì îáðàçîì, åñëè íà êàðòå Êàðíî ìû ñðàçó áóäåì âûäåëÿòü âñå ìàêñèìàëüíûå (â óêàçàííîì âûøå ñìûñëå) ïðÿìîóãîëüíèêè íà 22 Ðèñ. 2.7 2k åäèíèö (äëÿ íåêîòîðîãî k > 0, íå ïðåâûøàþùåãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ), òî òåì ñàìûì ìû ãåîìåòðè÷åñêè ðåàëèçóåì îïèñàííûé ðàíåå àëãåáðàè÷åñêèé èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ñêëåéêè è â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì âñå ïðîñòûå èìïëèêàíòû èñõîäíîé ôóíêöèè, ñîñòàâëÿþùèå ñîêðàùåííóþ ÄÍÔ. Ýòè èìïëèêàíòû ëåãêî âûïèñûâàþòñÿ ïî óñëîâíûì îáîçíà÷åíèÿì ïðÿìîóãîëüíèêîâ. 2.5. Îïðåäåëåíèå ÿäðà. ÄÍÔ Êâàéíà Ïðèìåíåíèå êàðò Êàðíî ïîçâîëèëî âûïèñàòü âñå ïðîñòûå èìïëèêàíòû è ïîëó÷èòü ñîêðàùåííóþ ÄÍÔ. Ñëåäóþùåé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ âûäåëåíèå îáùåé ÷àñòè, âõîäÿùåé âî âñå ïðåäñòàâëÿþùèå çàäàííóþ ôóíêöèþ ÄÍÔ, êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü èç ñîêðàùåííîé ÄÍÔ âû÷åðêèâàíèåì íåêîòîðûõ êîíúþíêöèé. Ãîâîðÿò, ÷òî ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ K ïîêðûâàåò ýëåìåíòàðíóþ êîíúþíêöèþ L (è ïèøóò K L), åñëè ëþáîé ëèòåðàë, âõîäÿùèé â K, âõîäèò â L. Òàê, x1 x2 x1 x2 x3 , x1 x3 x1 x2 x3 , 23 íî x1 x3 6 x1 x2 x3 , ïîñêîëüêó âòîðàÿ êîíúþíêöèÿ ñîäåðæèò ëèòåðàë x3 , îòñóòñòâóþùèé â ïåðâîé êîíúþíêöèè. Ñîãëàñíî òîæäåñòâó ïîãëîùåíèÿ, èç K L ñëåäóåò, ÷òî K ∨ L = K. Êàæäàÿ âõîäÿùàÿ â ñîêðàùåííóþ ÄÍÔ ïðîñòàÿ èìïëèêàíòà ïîêðûâàåò íåêîòîðóþ ýëåìåíòàðíóþ êîíúþíêöèþ èñõîäíîé ÑÄÍÔ. Íà êàðòå Êàðíî ýòîìó îòâå÷àåò ïðÿìîóãîëüíèê, çàêðûâàþùèé ñîîòâåòñòâóþùóþ åäèíèöó. Ïðîñòóþ èìïëèêàíòó íàçûâàþò ÿäðîâîé, åñëè îíà ïîêðûâàåò íåêîòîðóþ ýëåìåíòàðíóþ êîíúþíêöèþ èñõîäíîé ÑÄÍÔ, íå ïîêðûâàåìóþ íèêàêîé äðóãîé ïðîñòîé èìïëèêàíòîé. Íà êàðòå Êàðíî î÷åíü ëåãêî îòûñêàòü ïðÿìîóãîëüíèê, ñîîòâåòñòâóþùèé ÿäðîâîé èìïëèêàíòå: ýòî òàêîé ïðÿìîóãîëüíèê, óäàëèâ êîòîðûé, ìû ïîëó÷èì åäèíèöó, íå çàêðûòóþ íèêàêèì äðóãèì ïðÿìîóãîëüíèêîì. Ñëåäîâàòåëüíî, íè îäíà ÿäðîâàÿ èìïëèêàíòà íå ìîæåò áûòü óäàëåíà èç èñêîìîé ìèíèìàëüíîé ÄÍÔ èñõîäíîé ôóíêöèè. Ìíîæåñòâî âñåõ ÿäðîâûõ èìïëèêàíò (ñêëååê) ñîêðàùåííîé ÄÍÔ íàçûâàþò ÿäðîì. Ïðèìåð 2.7. Ó ìàæîðèòàðíîé ôóíêöèè âñå èìïëèêàíòû ÿâëÿþòñÿ ÿäðîâûìè (ñì. ðèñ. 2.4), ïîñêîëüêó óäàëåíèå ëþáîãî ïðÿìîóãîëüíèêà ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ åäèíèöû, íå çàêðûòîé äðóãèìè ïðÿìîóãîëüíèêàìè. Ðèñ. 2.8 Ó ôóíêöèè, èçîáðàæåííîé íà êàðòå Êàðíî (ðèñ. 2.8), ÿäðî ïóñòî, ò. å. íè îäíà èìïëèêàíòà íå ÿâëÿåòñÿ ÿäðîâîé, ïîñêîëüêó ïðè óäàëåíèè îäíîãî ëþáîãî ïðÿìîóãîëüíèêà âñå åäèíèöû îñòàþòñÿ çàêðûòûìè. Íà êàðòå Êàðíî (ðèñ. 2.9) âûäåëåíû ñêëåéêè 0××1, 0×1×, 1×00, ÿâëÿþùèåñÿ ÿäðîâûìè. Äâå ñêëåéêè 10×0 è ×010 íå ÿäðîâûå, ïîñêîëüêó óäàëåíèå ëþáîãî èç èçîáðàæàþùèõ èõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ íå ïðèâåäåò ê ïîÿâëåíèþ îòêðûòûõ åäèíèö. I 24 Åñëè âñå ïðîñòûå èìïëèêàíòû îêàçàëèñü â ÿäðå, òî ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ è åñòü åäèíñòâåííàÿ ìèíèìàëüíàÿ è êðàò÷àéøàÿ ÄÍÔ äëÿ äàííîé ôóíêöèè. Èìåííî òàê îáñòîèò äåëî ñ ìàæîðèòàðíîé ôóíêöèåé (ñì. ïðèìåð 2.5). Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî íà êàðòå Êàðíî èìåþòñÿ ñêëåéêè, íå ÿâëÿþùèåñÿ ÿäðîâûìè, íî ïîêðûâàþÐèñ. 2.9 ùèå òîëüêî åäèíèöû, óæå ïîêðûòûå ÿäðîâûìè ñêëåéêàìè. Òàêèå ñêëåéêè îêàçûâàþòñÿ ëèøíèìè, ò. å. óäàëåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ èì ïðîñòûõ èìïëèêàíò èç ñîêðàùåííîé ÄÍÔ íå ïðèâîäèò ê íàðóøåíèþ ýêâèâàëåíòíîñòè ýòîé ÄÍÔ ñ èñõîäíîé ÑÄÍÔ. ÄÍÔ, ïîëó÷àþùàÿñÿ èç ñîêðàùåííîé ÄÍÔ ïîñëå óäàëåíèÿ âñåõ ïðîñòûõ èìïëèêàíò, ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàêñèìàëüíûì ñêëåéêàì, öåëèêîì ïîêðûâàåìûõ ÿäðîì, íàçûâàþò ÄÍÔ Êâàéíà. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé áóëåâîé ôóíêöèè, îòëè÷íîé îò êîíñòàíòû 0, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ÄÍÔ Êâàéíà. Íà ðèñ. 2.10 ïîêàçàí ïðèìåð ôóíêöèè, ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ êîòîðîé ñîäåðæèò ïðîñòóþ èìïëèêàíòó, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü óäàëåíà.  ÿäðî çäåñü âõîäÿò ñêëåéêè, îáîçíà÷åííûå 10× è 0×1. Ñêëåéêà ×01, ðàñïîëîæåííàÿ âåðòèêàëüíî, èçáûòî÷íàÿ, è ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðîñòàÿ èìïëèêàíòà ìîæåò áûòü óäàëåíà. Òàêèì îáðàçîì, ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ èìååò âèä x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 , à ÄÍÔ Êâàéíà | x1 x2 ∨ x1 x3 . Îòìåòèì, ÷òî ÄÍÔ Êâàéíà ìîæåò ñîâïàäàòü ñ ñîêðàùåííîé ÄÍÔ, åñëè ëèøíèõ ñêëååê íà êàðòå Êàðíî íåò. Ðèñ. 2.10 25 2.6. Ïåðå÷èñëåíèå òóïèêîâûõ ÄÍÔ Âûøå ïîêàçàíî, êàê âûäåëèòü èç ñîêðàùåííîé ÄÍÔ ÿäðî, âõîäÿùåå â ëþáóþ ÄÍÔ, êîòîðóþ ìîæíî ïîëó÷èòü èç ñîêðàùåííîé, è ïåðåéòè îò ñîêðàùåííîé ÄÍÔ ê ÄÍÔ Êâàéíà. Äàëüíåéøàÿ ìèíèìèçàöèÿ îñíîâàíà íà ïåðåáîðå âñåõ âîçìîæíûõ ÄÍÔ, ïðåäñòàâëÿþùèõ èññëåäóåìóþ ôóíêöèþ, êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü èç ÄÍÔ Êâàéíà ïóòåì óäàëåíèÿ íåêîòîðûõ êîíúþíêöèé. Ïðîñòóþ èìïëèêàíòó íàçûâàþò èçáûòî÷íîé (îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé ÄÍÔ, ñîäåðæàùåé òîëüêî ïðîñòûå èìïëèêàíòû è ýêâèâàëåíòíîé èñõîäíîé ÑÄÍÔ), åñëè åå ìîæíî óäàëèòü èç ýòîé ÄÍÔ áåç ïîòåðè ýêâèâàëåíòíîñòè åå èñõîäíîé ÑÄÍÔ. Òàê, ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ (ñì. ðèñ. 2.9) ñîäåðæèò èçáûòî÷íûå èìïëèêàíòû. Ìîæåò áûòü óäàëåíà èìïëèêàíòà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðÿìîóãîëüíèêó 10×0, èëè èìïëèêàíòà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðÿìîóãîëüíèêó ×010 (íî íå îáå ñðàçó!). Ýòî çíà÷èò, ÷òî êàæäàÿ èç ýòèõ èìïëèêàíò ÿâëÿåòñÿ èçáûòî÷íîé îòíîñèòåëüíî ñîêðàùåííîé ÄÍÔ, íî óäàëåíèå îäíîé èç íèõ ïðèâîäèò ê íîâîé ÄÍÔ, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé âòîðàÿ èç óïîìÿíóòûõ èìïëèêàíò óæå íå áóäåò èçáûòî÷íîé.  òîì ñëó÷àå, êîãäà êàæäóþ ýëåìåíòàðíóþ êîíúþíêöèþ èñõîäíîé ÑÄÍÔ ïîêðûâàåò íåêîòîðàÿ ÿäðîâàÿ èìïëèêàíòà, èìïëèêàíòû, íå âîøåäøèå â ÿäðî, ìîæíî óäàëèòü îäíîâðåìåííî. Òîãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü ïðîöåññ ïîøàãîâîãî óäàëåíèÿ èçáûòî÷íûõ èìïëèêàíò, íà÷èíàÿ ñ ñîêðàùåííîé ÄÍÔ, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî ïîëó÷èòñÿ íåêîòîðàÿ ÄÍÔ, óæå íå ñîäåðæàùàÿ íè îäíîé èçáûòî÷íîé ñêëåéêè. Ëþáóþ ÄÍÔ, ýêâèâàëåíòíóþ èñõîäíîé ÑÄÍÔ, ñîäåðæàùóþ âñå ÿäðîâûå èìïëèêàíòû è íå ñîäåðæàùóþ íè îäíîé èçáûòî÷íîé èìïëèêàíòû, íàçûâàþò òóïèêîâîé. Äëÿ ÑÄÍÔ, êàðòà Êàðíî êîòîðîé ïîêàçàíà íà ðèñ. 2.9, èìåþòñÿ äâå òóïèêîâûå ÄÍÔ: x1 x4 ∨ x1 x3 ∨ x1 x3 x4 ∨ x2 x3 x4 è x1 x4 ∨ x1 x3 ∨ x1 x3 x4 ∨ x1 x2 x4 . Ïåðâûå òðè êîíúþíêöèè ñîîòâåòñòâóþò ÿäðó. 26 Äëÿ ïåðå÷èñëåíèÿ âñåõ òóïèêîâûõ ÄÍÔ ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí àëãîðèòì, îñíîâàííûé íà ïîñòðîåíèè âñïîìîãàòåëüíîé ÊÍÔ, êîòîðóþ íàçûâàþò ôóíêöèåé Ïàòðèêà. Îáîçíà÷èì ñêëåéêè íà êàðòå Êàðíî (ò. å. ïðîñòûå èìïëèêàíòû ñîêðàùåííîé ÄÍÔ) ÷åðåç K1 , K2 , . . . , Km . Äëÿ êàæäîé åäèíèöû êàðòû Êàðíî, íå ïîêðûâàåìîé ÿäðîì, çàïèøåì ýëåìåíòàðíóþ äèçúþíêöèþ âèäà Ki ∨ Kj . . . ∨ Kl , â êîòîðóþ âêëþ÷èì òîëüêî èìåíà ñêëååê, ïîêðûâàþùèõ äàííóþ åäèíèöó. Èç ïîëó÷åííûõ äèçúþíêöèé ñîñòàâëÿåì ÊÍÔ (ôóíêöèþ Ïàòðèêà). Îòìåòèì, ÷òî ïåðåìåííûìè â ïîñòðîåííîé ÊÍÔ ñ÷èòàþòñÿ ââåäåííûå âûøå èìåíà ñêëååê (ïðîñòûõ èìïëèêàíò). Ïî ñóùåñòâó, ôóíêöèÿ Ïàòðèêà îïèñûâàåò âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû íåèçáûòî÷íûõ ïîêðûòèé âñåõ åäèíèö íà êàðòå Êàðíî, íå âîøåäøèõ â ÿäðî. Ðàñêðûâ â ôóíêöèè Ïàòðèêà ñêîáêè, ìàêñèìàëüíî óïðîñòèâ è çàïèñàâ åå â âèäå ÄÍÔ, ïîëó÷èì îïèñàíèå âàðèàíòîâ ïîêðûòèé âñåõ íåÐèñ. 2.11 ÿäðîâûõ åäèíèö. Ïðèìåð 2.8. Ðàññìîòðèì êàðòó Êàðíî (ðèñ. 2.11). Àíàëèç ðàñïîëîæåíèÿ ñêëååê ïîêàçûâàåò, ÷òî íè îäíà ñêëåéêà íå ÿâëÿåòñÿ ÿäðîâîé. Îáîçíà÷èì K1 = x1 x2 (00××); K4 = x2 x4 (×1×1); K2 = x2 x4 (×0×0); K5 = x1 x2 (11××); K3 = x1 x4 (0××1); K6 = x1 x4 (1××0). Çàïèøåì ôóíêöèþ Ïàòðèêà, ïðîñìàòðèâàÿ åäèíèöû ñëåâà íàïðàâî ïî ñòðîêàì êàðòû: 27 (K1 ∨ K2 ) ∧ (K1 ∨ K3 ) ∧ (K1 ∨ K3 ) ∧ (K1 ∨ K2 ) ∧ ∧ (K3 ∨ K4 ) ∧ (K3 ∨ K4 ) ∧ (K5 ∨ K6 ) ∧ (K4 ∨ K5 ) ∧ ∧ (K4 ∨ K5 ) ∧ (K5 ∨ K6 ) ∧ (K2 ∨ K6 ) ∧ (K2 ∨ K6 ). (2.8) Ïðèìåíèâ òîæäåñòâî K ∧ K = K, ôóíêöèþ (2.8) ìîæíî óïðîñòèòü, óäàëèâ ïîâòîðÿþùèåñÿ äèçúþíêöèè: (K1 ∨ K2 ) ∧ (K1 ∨ K3 ) ∧ (K3 ∨ K4 ) ∧ ∧ (K5 ∨ K6 ) ∧ (K4 ∨ K5 ) ∧ (K2 ∨ K6 ). (2.9)  (2.9) óäîáíî ðàñêðûâàòü ñêîáêè ïî ïàðàì, âûáèðàÿ ïàðû òàê, ÷òîáû â íèõ ñîäåðæàëèñü îäèíàêîâûå êîíúþíêöèè. Ïðèìåíåíèå òîæäåñòâà ïîãëîùåíèÿ Ki ∨ Ki Kj = Ki è äðóãèõ òîæäåñòâ áóëåâîé àëãåáðû ïîçâîëÿåò â ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü ðåçóëüòàò. Òàê, (K1 ∨ K2 ) ∧ (K1 ∨ K3 ) = = K 1 ∨ K1 K 3 ∨ K1 K 2 ∨ K2 K3 = K1 ∨ K2 K3 . Àíàëîãè÷íî (K3 ∨ K4 ) ∧ (K4 ∨ K5 ) = K4 ∨ K3 K5 , (K5 ∨ K6 ) ∧ (K2 ∨ K6 ) = K6 ∨ K2 K5 . Âûïîëíÿÿ äàëüíåéøèå óïðîùåíèÿ, ïîëó÷àåì (K1 ∨ K2 K3 )(K4 ∨ K3 K5 )(K6 ∨ K2 K5 ) = = (K1 K4 ∨ K1 K3 K5 ∨ K2 K3 K4 ∨ K2 K3 K5 )(K6 ∨ K2 K5 ) = = K 1 K4 K6 ∨ K1 K2 K4 K5 ∨ K1 K3 K5 K6 ∨ K1 K2 K 3 K5 ∨ ∨ K2 K3 K4 K6 ∨ K2 K3 K4 K5 ∨ K2 K3 K 5 K6 ∨ K 2 K3 K 5 . Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî ïîãëîùåíèÿ, ýòó ÄÍÔ ìîæíî óïðîñòèòü, ïîñêîëüêó K1 K 2 K3 K 5 ∨ K2 K 3 K5 = K2 K3 K 5 , K2 K 3 K4 K5 ∨ K2 K3 K5 = K 2 K3 K 5 , K2 K 3 K5 K6 ∨ K2 K3 K5 = K 2 K3 K 5 . 28  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ÄÍÔ K1 K4 K6 ∨ K1 K2 K 4 K5 ∨ K 1 K3 K5 K6 ∨ ∨ K2 K 3 K4 K 6 ∨ K2 K 3 K5 , (2.10) â êîòîðîé êàæäàÿ ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîé òóïèêîâîé ÄÍÔ, è íàîáîðîò, êàæäîé òóïèêîâîé ÄÍÔ ìîæåò áûòü ñîïîñòàâëåíà îäíà èç ýòèõ êîíúþíêöèé. Íà îñíîâå ôóíêöèè Ïàòðèêà òóïèêîâûå ÄÍÔ ìîæíî ïîëó÷èòü, çàìåíèâ â êàæäîé êîíúþíêöèè çíàêè ∧ íà çíàêè ∨. Òàêèõ òóïèêîâûõ ÄÍÔ ïî (2.10) ïÿòü: 1) K1 ∨ K4 ∨ K6 = x1 x2 ∨ x2 x4 ∨ x1 x4 ; 2) K1 ∨ K2 ∨ K4 ∨ K5 = x1 x2 ∨ x2 x4 ∨ x2 x4 ∨ x1 x2 ; 3) K1 ∨ K3 ∨ K5 ∨ K6 = x1 x2 ∨ x1 x4 ∨ x1 x2 ∨ x1 x4 ; 4) K2 ∨ K3 ∨ K4 ∨ K6 = x2 x4 ∨ x1 x4 ∨ x2 x4 ∨ x1 x4 ; 5) K2 ∨ K3 ∨ K5 = x2 x4 ∨ x1 x4 ∨ x1 x2 . Çàìåòèì, ÷òî ïåðå÷èñëåíèå òóïèêîâûõ ÄÍÔ ÿâëÿåòñÿ ñàìûì òðóäîåìêèì ýòàïîì âñåãî àëãîðèòìà ìèíèìèçàöèè. I 2.7. Îòûñêàíèå êðàò÷àéøèõ è ìèíèìàëüíûõ ÄÍÔ Ñðåäè íàéäåííûõ òóïèêîâûõ ÄÍÔ íàõîäÿò êðàò÷àéøèå è ìèíèìàëüíûå. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ìèíèìàëüíàÿ ÄÍÔ âñåãäà ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé, íî îáðàòíîå íåâåðíî. Äëÿ ôóíêöèè, ðàññìîòðåííîé â ïðèìåðå 2.8, ïåðâàÿ è ïÿòàÿ ÄÍÔ ÿâëÿþòñÿ êðàò÷àéøèìè. Êîëè÷åñòâî ëèòåðàëîâ â îáåèõ ÄÍÔ ñîâïàäàåò, ïîýòîìó îáå ÄÍÔ ìèíèìàëüíûå. Êîëè÷åñòâî îòðèöàíèé â ýòèõ ÄÍÔ òàêæå îäèíàêîâî, è ïî ýòîìó Ðèñ. 2.12 êðèòåðèþ îíè íåðàçëè÷èìû. 29 Íà ðèñ. 2.12 èçîáðàæåíî ïîêðûòèå âñåõ åäèíèö ñêëåéêàìè, ñîîòâåòñòâóþùåé ïåðâîé ÄÍÔ, à íà ðèñ. 2.13 | ïîêðûòèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ïÿòîé ÄÍÔ. Ïðèìåð 2.9. Ðàññìîòðèì êàðòó Êàðíî (ñì. ðèñ. 2.14). Íà êàðòå ïîêàçàíû âñå ñêëåéêè ìàêñèìàëüíîãî ðàçìåðà. ßäðîâûå ñêëåéêè âûäåëåíû.  ÿäðîâûõ ñêëåéêàõ ïîëóæèðíûì øðèôòîì âûäåëåíû åäèíèöû, ïîêðûâàåìûå òîëüêî ýòèìè ñêëåéêàìè. ßäðî ñîñòàâëÿþò ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì ñêëåéÐèñ. 2.13 êàì ïðîñòûå èìïëèêàíòû x1 x3 è x1 x2 .  ðåçóëüòàòå ïðîâåäåíèÿ ñêëåéêè ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñîêðàùåííóþ ÄÍÔ: x1 x3 ∨ x1 x2 ∨x2 x4 ∨ x2 x3 ∨ x3 x4 ∨ x1 x2 x4 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x3 x4 . {z } | ßäðî Ïîñêîëüêó â ÿäðå ëèøíèõ ñêëååê íåò, ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ ñîâïàäàåò ñ ÄÍÔ Êâàéíà. Øåñòü êëåòîê, ñîäåðæàùèõ åäèíèöó, íà êàðòå Êàðíî îñòàþòñÿ íåïîêðûòûìè ÿäðîâûìè ñêëåéêàìè. Íåÿäðîâûå ñêëåéêè îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî K1 , . . . , K6 è ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ïàòðèêà â âèäå Ðèñ. 2.14 30 (K3 ∨ K4 )(K4 ∨ K5 )(K5 ∨ K6 ) (K1 ∨ K2 )(K2 ∨ K3 )(K1 ∨ K6 ). Ïåðåìíîæèâ ïîïàðíî ïåðâóþ è âòîðóþ, òðåòüþ è øåñòóþ, ÷åòâåðòóþ è ïÿòóþ ñêîáêè, ïîëó÷èì (K4 ∨ K3 K5 )(K6 ∨ K1 K5 )(K2 ∨ K1 K3 ). Ðàñêðûâ ñêîáêè è ïðèìåíèâ òîæäåñòâî ïîãëîùåíèÿ, ïîëó÷àåì ÄÍÔ K1 K3 K5 ∨ K2 K4 K 6 ∨ K2 K 3 K5 K 6 ∨ K1 K2 K4 K5 ∨ K1 K3 K4 K6 . Êàæäàÿ èç ïîëó÷åííûõ êîíúþíêöèé ïîêàçûâàåò, êàêèå èìïëèêàíòû íóæíî äîáàâèòü ê ÿäðó, ÷òîáû ïîëó÷èòü òóïèêîâóþ ÄÍÔ. Òàêèõ ÄÍÔ ïÿòü: x2 x4 ∨ x3 x4 ∨ x1 x2 x3 ; x2 x3 ∨ x1 x2 x4 ∨ x1 x3 x4 ; x1 x3 ∨ x1 x2 ∨ x2 x3 ∨ x3 x4 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x3 x4 ; | {z } x2 x4 ∨ x2 x3 ∨ x1 x2 x4 ∨ x1 x2 x3 ; ßäðî x2 x4 ∨ x3 x4 ∨ x1 x2 x4 ∨ x1 x3 x4 . Èç ïîëó÷åííûõ ïÿòè òóïèêîâûõ ÄÍÔ êðàò÷àéøèìè ÿâëÿþòñÿ ïåðâàÿ è âòîðàÿ. Èç íèõ, â ñâîþ î÷åðåäü, ìèíèìàëüíîé ÿâëÿåòñÿ ïåðâàÿ, òàê êàê îíà ñîäåðæèò íà îäèí ëèòåðàë ìåíüøå.  èòîãå ïîëó÷àåì ìèíèìàëüíóþ ÄÍÔ â âèäå x1 x3 ∨ x1 x2 ∨ x2 x4 ∨ ∨ x3 x4 ∨ x1 x2 x3 .  äàííîì ñëó÷àå ìèíèìàëüíàÿ ÄÍÔ îêàçàëàñü åäèíñòâåííîé. Íà ðèñ. 2.15 èçîáðàæåíî ïîêðûòèå êàðòû Êàðíî ñêëåéêàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè ìèíèìàëüíîé ÄÍÔ. I Ðèñ. 2.15 Ïåðå÷èñëåíèåì òóïèêîâûõ ÄÍÔ è âûáîðîì èç íèõ ñíà÷àëà êðàò÷àéøèõ, à çàòåì èç êðàò÷àéøèõ | ìèíèìàëüíûõ çàêàí÷èâàåòñÿ ðàáîòà àëãîðèòìà ìèíèìèçàöèè. 31 ÑÏÈÑÎÊ ÐÅÊÎÌÅÍÄÓÅÌÎÉ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ Áåëîóñîâ À.È., Òêà÷åâ Ñ.Á. Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà / Ïîä ðåä. Â.Ñ. Çàðóáèíà, À.Ï. Êðèùåíêî. { Ì.: Èçä-âî ÌÃÒÓ èì. Í.Ý. Áàóìàíà, 2006. 744 ñ. (Ñåð. Ìàòåìàòèêà â òåõíè÷åñêîì óíèâåðñèòåòå; Âûï. XIX). ßáëîíñêèé Ñ.Â. Ââåäåíèå â äèñêðåòíóþ ìàòåìàòèêó. 3-å èçä. Ì.: Âûñø. øê., 2001. 384 ñ. ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ 1. Ñïîñîáû çàäàíèÿ áóëåâîé ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Áóëåâà ôóíêöèÿ. Áóëåâ êóá . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Òàáëèöû áóëåâûõ ôóíêöèé . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Ðàñ÷åò áóëåâîé ôóíêöèè, çàäàííîé ôîðìóëîé . . . . . 1.5. Äèçúþíêòèâíûå è êîíúþíêòèâíûå íîðìàëüíûå ôîðìû . . . . . . . . . . . . 3 3 4 6 8 9 2. Ìèíèìèçàöèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé â êëàññå ÄÍÔ . . . . . . . . . . 2.1. Ïðîáëåìà ìèíèìèçàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ìèíèìèçàöèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì òîæäåñòâ ñêëåéêè è ïîãëîùåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Àëãîðèòì ìèíèìèçàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Êàðòû Êàðíî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Îïðåäåëåíèå ÿäðà. ÄÍÔ Êâàéíà . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Ïåðå÷èñëåíèå òóïèêîâûõ ÄÍÔ . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Îòûñêàíèå êðàò÷àéøèõ è ìèíèìàëüíûõ ÄÍÔ . . . . . . . 11 11 Ñïèñîê ðåêîìåíäóåìîé ëèòåðàòóðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 12 15 18 23 26 29