Определение отношения теплоёмкостей воздуха по скорости

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ухтинский государственный технический университет»
(УГТУ)
15
Определение отношения теплоёмкостей
воздуха по скорости звука в воздухе
Методические указания к лабораторной работе
Ухта 2013
УДК 53 (075)
ББК 22.3 Я7
Л 24
Лапина, Л. Н.
Определение отношения теплоёмкостей воздуха по скорости звука в воздухе :
метод. указания к лабораторной работе /Л. Н. Лапина. – Ухта : УГТУ, 2013. –
12 с.; ил.
Методические указания предназначены для выполнения лабораторной работы
по физике по теме «Молекулярная физика» для студентов всех направлений
дневной и заочной формы обучения.
Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой физики от
28.12.2012, пр. №10.
Рецензент: Н. А. Северова, доцент кафедры физики Ухтинского государственного
технического университета.
Редактор: В. Н. Шамбулина, доцент кафедры физики Ухтинского государственного технического университета.
Корректор К. В. Коптяева. Технический редактор Л. П. Коровкина.
В методических указаниях учтены предложения рецензента и редактора.
План 2013 г., позиция 101. Компьютерный набор.
Подписано в печать 28.02.2013 г.
Объем 12 с. Тираж 100 экз. Заказ № 272.
© Ухтинский государственный технический университет, 2013
169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Первомайская, д. 13.
Типография УГТУ.
169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Октябрьская, д. 13.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ВОЗДУХА
ПО СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ
Краткая теория
Вследствие того, что молекулы идеального газа на расстоянии не взаимодействуют друг с другом, внутренняя энергия такого газа будет складываться
из энергии отдельных молекул. Следовательно, внутренняя энергия одного моля идеального газа будет равна произведению числа Авогадро на среднюю
энергию одной молекулы:
U м = N Aε =
i
i
N A kT = RT ,
2
2
(1)
где i – число степеней свободы молекулы; k – постоянная Больцмана;
NА – число Авогадро, число молекул в 1 моле.
Внутренняя энергия произвольной массы газа m будет равна внутренней
энергии одного моля, умноженной на число молей газа, содержащихся в массе m:
U=
m
m i
Uм =
RT ,
M
M 2
(2)
где
R – молярная газовая постоянная; М – молярная масса газа.
Теплоемкостью какого-либо тела называется величина, численно равная
количеству теплоты, которое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один градус. Величина Cтела имеет размерность Дж/К.
C тела =
dQ
.
dT
(3)
Теплоемкость моля вещества будем обозначать буквой C ( C большое) и
называть молярной теплоемкостью. Размерность C равна Дж/моль·К.
Теплоемкость единицы массы вещества называется удельной теплоемкостью. Ее мы будем обозначать буквой c ( c малое). Размерность c равна Дж/К·кг.
Между молярной и удельной теплоемкостью вещества имеется очевидное
соотношение:
c=
C
.
M
3
(4)
Величина теплоемкости зависит от условий, при которых происходит нагревание тела. Наибольший интерес представляет теплоемкость при постоянном объеме Cv или при постоянном давлении C p , когда нагревание
происходит при постоянном объеме или при постоянном давлении. Согласно
первому началу термодинамики количество теплоты, сообщенное газу, идет на
приращение внутренней энергии и на работу расширения газа.
dQ = dU + dА.
Если нагревание происходит при постоянном объеме, тело не совершает
работы над внешними телами, и, следовательно, вся теплота идет на приращение внутренней энергии тела:
dQv = dU .
(5)
Из (5) вытекает, что теплоемкость любого тела при постоянном объеме
равна:
Cv =
dU
.
dT
(6)
Следовательно, чтобы получить теплоемкость моля идеального газа при
постоянном объеме, нужно продифференцировать по температуре выражение
(1) для внутренней энергии газа. Произведя дифференцирование, получим:
i
Cv = R .
2
(7)
Как следует из этого выражения, молярная теплоемкость идеального газа
при постоянном объеме оказывается постоянной величиной, не зависящей от
параметров состояния газа, в частности от температуры.
Заметим, что с учетом (7) выражение для внутренней энергии 1 моля идеального газа может быть записано в следующем виде:
Uм = Сν · T.
(8)
Если нагревание газа происходит при постоянном давлении, то газ будет
расширяться, совершая над внешними телами положительную работу. Следовательно, для повышения температуры газа на один градус в этом случае понадобится больше тепла, чем при нагревании при постоянном объеме, т. к.
дополнительно теплота будет затрачиваться на совершение газом работы. По4
этому теплоемкость при постоянном давлении должна быть больше, чем при
постоянном объеме на работу расширения газа.
Напишем уравнение первого начала термодинамики для одного моля газа:
dQм = dU м + pdVм ,
(9)
где dА = pdV .
Тогда
Cp =
dU м
⎛ dV ⎞
+ p⎜ м ⎟ .
dT
⎝ dT ⎠ p
(10)
dU м
дает, как мы видим, молярную теплоемкость газа при
dT
Слагаемое
постоянном объеме. Поэтому формула (10) может быть записана следующим
образом:
⎛ dV ⎞
C p = Cv + p ⎜ м ⎟ .
⎝ dT ⎠ p
(11)
⎛ dVм ⎞
⎟ представляет собой приращение объема моля при по⎝ dT ⎠ p
Величина ⎜
вышении температуры на один градус, получающееся в случае, если давление
постоянно.
⎛
⎝
В соответствии с уравнением состояния ⎜ pV =
m
⎞
RT ⎟ объем одного
M
⎠
моля:
Vм =
RT
.
p
Дифференцируя это выражение по температуре T ( p = const ) , находим:
R
⎛ dVм ⎞
=
.
⎜
⎟
⎝ dT ⎠ p p
Наконец, подставляя этот результат в (11), получаем:
C p = Cv + R .
5
(12)
Таким образом, работа, которую совершает один моль идеального газа
при повышении его температуры на один градус при постоянном давлении,
оказывается равной молярной газовой постоянной.
Отметим, что соотношение (12) получено с использованием уравнения
идеального газа и, следовательно, справедливо только для идеального газа.
С учетом формулы (7) можно получить для C p следующее выражение:
Cp =
i
i+2
R+R=
R.
2
2
(13)
Поделив (13) на (12), найдем характерное для каждого газа отношение
теплоемкостей:
γ=
Cp
=
Cv
Как следует из (14), величина
i+2
.
i
(14)
γ определяется числом и характером сте-
пеней свободы i. При жесткой связи молекул учитываются только поступательные и вращательные степени свободы. Число степеней свободы определяется
числом атомов в молекуле. Для одноатомного газа i = 3 (поступательные степени свободы); для двухатомного газа i = 5 (три поступательные и две вращательные степени свободы); для трех и более атомов в молекуле i = 6 (три
поступательные и три вращательные степени свободы).
Звуковые волны в газах и жидкостях являются продольными. В твердых
телах могут распространяться как продольные, так и поперечные звуковые волны. Скорость их распространения (скорость звука) зависит от упругих свойств
среды и плотности и определяется формулой:
Vпр =
где
E
ρ
,
(15)
ρ – плотность среды; E – модуль продольной упругости.
Процесс распространения звуковых волн в газах схематически можно
представить следующим образом: источник механических колебаний передает
эти колебания окружающим его газовым молекулам: в результате изменяется
давление газа в данной микрообласти пространства. Так как газ обладает упругими свойствами, то он немедленно расширяется, и в данном элементарном
объеме газа образуется разрежение, а микрообласть повышенного давления пе6
ремещается несколько дальше от источника звука и т. д. Процессы сжатия и
разряжения протекают очень быстро, поэтому изменение давления газа происходит без теплообмена.
Так как для газов модуль продольной упругости связан с давлением соотношением:
E = γ P,
то для скорости звука в газе можно записать:
υ= γ
P
ρ
.
(16)
Выразив из уравнения Клапейрона – Менделеева
pV =
m
RT
M
(17)
плотность газа и подставив в (16), получим:
υ=
γ RT
,
M
(18)
откуда
γ=
υ 2M
RT
.
(19)
Таким образом, для определения отношения теплоемкостей газа надо измерить температуру газа и определить скорость звука в газе.
Установка для определения скорости звука в воздухе (рис. 1) состоит из
звукового генератора, динамика и вертикальной трубы с водой, уровень которой можно менять с помощью соединенного с ней сосуда.
Звуковой генератор заставляет колебаться мембрану динамика с определенной фиксированной частотой ν . В результате возникают звуковые волны определенной длины λ , которые распространяются во все стороны от динамика.
Звуковая волна, отраженная поверхностью воды в трубе, возвращается
обратно к мембране динамика. В результате амплитуда колебаний мембраны
или увеличивается, или уменьшается.
Усиление колебаний мембраны произойдет в том случае, если отраженная
волна подойдет к плоскости мембраны в той же фазе, в которой находится в
7
данный момент времени сама мембрана. Совпадение фаз сопровождается заметным усилением звука.
Рис. 1
Пусть уровень воды в трубе находился в самом верхнем положении. При
медленном опускании уровня можно заметить несколько его положений
( h0 , h1 , h2 и т. д.), при которых происходит усиление звука. Очевидно, что расстояние l между ближайшими уровнями усиление звука равно половине длины
волны, т. к. усиление колебаний происходит только тогда, когда разность хода
двух волн равна целому числу длин волн.
Таким образом, для определения длины волны λ , соответствующей данной частоте ν , необходимо определить расстояние между двумя ближайшими
уровнями воды, дающими усиление звука, и удвоить его, т. е.
λ = 2l , где:
l = h1 − h0 = h2 − h1 = h2 − h2 = ...
Скорость звука υ может быть определена через частоту и длину волны посредством соотношения:
υ = λν.
8
(20)
Подставляя найденное значение V в формулу (19), получим окончательную формулу для отношения теплоемкостей:
γ=
4ν 2λ 2 µ
.
RT
(21)
Выполнение работы
Целью работы является определение отношения теплоемкостей для воздуха.
1. Тумблером 1 «сеть» включить звуковой генератор и подождать 2-3 минуты, пока он прогреется.
2. Ручкой установки частоты 2 установить на круглой частотной
шкале 3 одну из частот, заданных преподавателем в диапазоне 600-1200 Гц.
Для этого при положении переключателя множителя 4 в положении 10
установить против неподвижного штриха одно из чисел из интервала
60-120. С учетом множителя 10 это и будет заданная частота вынужденных колебаний мембраны динамика.
3. После того как прибор прогреется, ручкой «Регулятор вых.» 5
установить минимальную громкость звука с тем, чтобы не мешать остальным работающим в лаборатории.
4. Изменяя уровень воды в трубе от самого низкого до самого
высокого и наоборот, найти и записать в таблицу высоту воздушного
столба ( h0 , h1 , h2 ,...) , при которой громкость звука заметно возрастает.
Запись высот производить, начиная с наибольшей высоты.
Т. к. для измерения длины волны берется абсолютное значение
разности высот h1 − h0 ,h2 − h1 и т. д., то не имеет значения, где
находится нулевая отметка шкалы. Отсчет можно вести как от
динамика, так и от любого конца трубы.
5. Закончив измерения с одной частотой, перейти на следующую и повторить измерения высот в той же последовательности.
6. Проведя все измерения, выключить звуковой генератор тумблером «сеть».
7. Измерить и записать в таблицу температуру воздуха вблизи
установки.
8.
По данным таблицы найти отрезки l1 , l2 , l3 , ... и вычислить
их среднее значение.
9
9.
По формуле (21) вычислить γ для каждого опыта. Найти
среднее значение γ .
10. По формуле:
∆γ
2
2
2
2
2
⎛ ∆ν ⎞
⎛ ∆l ⎞ ⎛ ∆µ ⎞ ⎛ ∆ R ⎞ ⎛ ∆ T ⎞
= 4⎜
+
4
⎟
⎜ ⎟ +⎜
⎟ +⎜
⎟ =δ
⎟ +⎜
γ
⎝ ν ⎠
⎝ l ⎠ ⎝ µ ⎠ ⎝ R ⎠ ⎝ T ⎠
вычислить относительную погрешность δ по результатам одного из
опытов, затем оценить абсолютную погрешность.
∆γ = δ ⋅ γ ср .
Таблица измерений и вычислений
Номер опыта
Измеряемые
величины
Т
1
2
3
Численное значение измеряемой величины
( x ± ∆x )
ν
h0
h1
h2
h3
h4
h5
l1
l2
l3
l4
lср
µ
R
γ
∆γ
γ
∆γ
γ ср ± ∆γ
10
Контрольные вопросы
1. Дайте определение теплоемкости тела, удельной и молярной теплоемкости вещества.
2. Как связаны удельная и молярная теплоемкости?
3. Что такое C p и Cv ?
4. Почему γ всегда больше единицы?
5. Каково ожидаемое значение γ для воздуха, если считать, что воздух представляет собой смесь двухатомных газов?
6. К какому типу волн относятся звуковые волны?
7. Объясните назначение воды в данной работе.
8. Какой физический смысл имеет молярная газовая постоянная?
Индивидуальные задания
1. Вычислить удельные теплоёмкости cp и cv газов: 1) гелия; 2) водорода;
3) углекислого газа.
Ответ: 1) 3,12 кДж / (кг·К), 5,29 кДж / (кг·К); 2) 10,4 кДж / (кг·К),
14,6 кДж / (кг·К); 3) 567 Дж / (кг·К), 756 Дж / (кг·К).
2. Разность удельных теплоёмкостей cp - cv некоторого двухатомного газа
равна 266 Дж /(кг·К). Найти молярную массу М газа.
Ответ: 0,032 кг / моль.
3. Каковы удельные теплоёмкости cp и cv смеси газов, содержащей кислород массой m1 = 10 г и азот массой m2 = 20 г ?
Ответ: 715 Дж / (кг · К).
4. Водород массой m = 4 г был нагрет на ∆Т = 10 К при постоянном давлении. Определить работу А расширения газа.
Ответ: 166 Дж.
5. Азот массой m = 5кг, нагретый на ∆Т = 150 К, сохранил постоянный V.
Найти: 1) количество теплоты Q, сообщенное газу; 2) изменение ∆U внутренней
энергии; 3) совершенную газом работу А.
Ответ: 67 кДж, 0.
11
6. При изохорном нагревании кислорода объемом V = 50 л давление газа
изменилось на ∆р = 0,5 МПа. Найти количество теплоты Q, сообщенное газу.
Ответ: 62,5 кДж.
7. Воздух массой m = 29 г нагрели на ∆Т = 200 К, причем газу было передано количество теплоты Q = 10 кДж. Найти изменение ∆U внутренней энергии
газа и совершенную им работу А.
Ответ: 4,2 кДж; 6,8 кДж.
Библиографический список
Трофимова Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – M. : Высшая шк., 2000. –
Гл. 9. § 50-54.
12