Лекция 12. Тема: Гидродинамика и аэродинамика.

Лекция 12.
Тема: Гидродинамика и аэродинамика.
Характеристики течения. Поток жидкости (газа) и уравнение неразрывности.
Уравнение Бернулли. Формула Торричелли. Подъемная сила крыла самолета.
Жидкость, в которой можно пренебречь силами внутреннего трения, называется
идеальной. Но во многих случаях пренебрегать внутренним трением, называемым
вязкостью нельзя. Вблизи поверхности твердого тела возникает так называемый
пограничный слой жидкости, в котором скорость нарастает от 0 (жидкость как бы
прилипает к поверхности, которую обтекает) до значения скорости в потоке.
Для количественной оценки
вязкости жидкости рассмотрим
опыт. Пусть жидкость находится
между двумя параллельными
пластинами. Нижняя пластина
неподвижна, верхняя движется со
скоростью V. Опыт показывает,
что для поддержания
равномерного движения
необходима сила F, которая
характеризует внутреннее трение,
то есть между слоями жидкости, а
не жидкостью и твердым телом,
так как жидкость "прилипает" к
Sv
поверхности. F  
, где S- площадь пластин, d – расстояние между ними, - величина,
d
описывающая вязкие свойства жидкости и называется вязкостью. Для воды вязкость при
повышении температуры от 0 до 20оС уменьшается почти вдвое. При наличии вязкости
для поддержания стационарного течения в горизонтальной трубе необходимо создания
разности давления, когда для идеальной жидкости в этом нет необходимости (см. далее
уравнение Бернулли).
Течение жидкости вдоль цилиндрической трубы, при котором скорость частиц
всюду направлена вдоль оси, называют ламинарным. Турбулентным называют
неупорядоченное движение частиц по сложным траекториям, при котором происходит
перемешивание различных слоев.
Уравнение Бернулли.
Рассмотрим установившееся стационарное течение жидкости. Графически это
можно представить линиями тока, касательные к которым показывают направление
векторов скоростей частиц жидкости. Часть жидкости, ограниченная линиями тока
образует трубку тока. Выберем такую
трубку тока в произвольном
перпендикулярном сечении которой
скорость всех частиц одинакова (Рис.1.).
Через любое сечение за одинаковое
время протекает одинаковый объем
несжимаемой жидкости:
S1v1=S2v2
(12.1)
Это соотношение называется уравнением
неразрывности.
Рассмотрим движение жидкости в трубке малого сечения (рис.2.). Выясним какие
энергетические изменения происходят с
частью жидкости 1-2 при перемещение в
положение
1'-2' . Изменение кинетической энергии:
mv 22 mv12 1
E k 

  S 2 L2 v 22  S1 L1v12 
2
2
2
Работа силы тяжести:
AT  mg (h1  h2 )  g ( S1 L1 h1  S 2 L2 h2 )
Работа внешних сил, оказывающих
давление р1 и р2:
A p  p1 S1 L1  p 2 S 2 L2
Так как Ек=Ат+Ар , то
1
 ( S 2 L2 v22  S1 L1v12 )  g ( S1 L1h1  S 2 L2 h2 )  p1 S1 L1  p 2 S 2 L2 После преобразований
2
v 2
v 2
имеем: p1  1  gh1  p 2  2  gh2 , что означает для произвольного сечения
2
2
2
трубки:
p 
v
2
 gh  const
(12.2)
Уравнение Бернулли.
Р- называют статическим давлением, оно не связано с движением жидкости и может
быть измерено манометром.
v2/2 - динамическое давление, обусловленное движением жидкости. Сумма статического
и динамического давления называется полным давлением.
Слагаемое gh – весовое давление.
Частный случай – горизонтальная трубка
переменного сечения (рис.3). Полное
v 2
p

 const . В более узких
давление :
2
местах скорость больше, следовательно
статическое давление, показываемое
манометрическими трубками, меньше. Измерив
давления в разных сечениях можно определить и
расход жидкости.
Трубка Пито (измерение скорости жидкости.)
Измерить скорость можно и с помощью трубки Пито
(рис.4.) -трубка №1. По высоте столба жидкости в этой
v 2
трубке измеряем полное давление: p1  p 2 
.
2
Трубка 2 показывает статическое давление.
Отсюда вычисляем скорость течения.
Формула Торричелли (истечение жидкости из
отверстия сосуда).
Воспользуемся уравнением Бернулли:
v 2
v 2
p1  1  gh1  p 2  2  gh2
2
2
Пусть значения с индексом 1 соответствуют верхнему
уроню жидкости, с цифрой 2 –отверстию, тогда:
Р1=Р2=ро, скоростью v1 можно пренебречь, так как S1>>S2,
а h2 принять за 0. Тогда мы получим: v  2gh (10.3)
Подъемная сила. При стационарном обтекании
твердого тела потоком идеальной жидкости
лобовое сопротивление и подъемная сила
должны отсутствовать. В этом состоит парадокс
Даламбера. Легко можно показать из уравнения
Бернулли, что силы действующие на тел в
точках А и В равны и компенсируют друг друга
в направлении параллельном потоку.
Совсем другое дело при наличии вязкости. В
этом случае может возникнуть циркуляция
воздуха вокруг обтекаемого тела, которая и
необходима для появления подъемной силы.
Роль вязкости в образовании циркуляции можно
проиллюстрировать следующим примером. Пусть
на дне русла имеется углубление (рис. 6.). При
отсутствии вязкости жидкость в углублении была
бы неподвижна. В реальной жидкости в
придонном слое возникает касательная сила,
которая приводит верхний слой воды в яме в
движение, в результате чего возникает "система
вращающихся сцепленных шестерен".
Вязкость воздуха приводит к возникновению
циркуляции вокруг крыла самолета. Это
происходит следующим образом. Вблизи острой
задней кромки крыла возникают вихри, которые
вращаются против часовой стрелки (рис.7.). Эти
вихри отрываются от крыла и уносятся
набегающим потоком воздуха. При этом
остальная масса начинает циркулировать по
часовой стрелке. Циркуляционный поток
складываясь с набегающим ускоряет воздух
над крылом и замедляет под ним. В
результате давление под крылом
повышается, над крылом –
понижается (рис.8).
Пример. Объяснить "крученый" удар в футболе и теннисе.
Решение. Из-за вязкости происходит ускорение движения потока воздуха по
направлению мяча и его замедление с
противоположной стороны. В результате
возникает сила, обусловленная разностью
давлений. (см. рис.9).