Урок XXII

111
5. Излучение
Урок XXII
Рассеяние волны. Давление света Дифференциальное сечение рассеяния
dσ
< dI/dΩ >
=
,
dΩ
< S0 >
где < dI/dΩ > - угловое распределение интенсивности вынужденного излучения, а
< S0 >– среднее значение вектора Пойнтинга падающего излучения.
5.21. (Задача 4.66.) Определить эффективное сечение рассеяния свободным зарядом поляризованной волны с поляризацией: а) линейной; б) круговой; в) эллиптической.
Решение а) Пусть плоская гармоническая волна летит вдоль направления z, так
что электрическое поле направлено вдоль оси x. Тогда движение свободной частицы
в поле такой волны описывается уравнением
mẍ = eE0 e−iωt .
В дипольном приближении средний поток энергии излучения частицы в единицу телесного угла (интенсивность)
2
dI
e4
e4 E02
−iωt 2
=
|E
e
|
sin
θ
=
sin2 θ,
0
dΩ
4πc3 m2
4πc3 m2 2
откуда, используя выражение для < S0 >=
dσ
=
dΩ
e2
mc2
c
2
4π E0 /2,
2
получим
sin2 θ,
где θ – угол между электрическим полем E падающей волны и направлением рассеяния;
dσ
б) и в) dΩ
=
e2
mc2
2
[A×n]2 +[B×n]2
,
A2 +B 2
где E – поле падающей волны, взятое в
виде E = A cos (ωt + α)+B sin (ωt + α), а векторы A и B ортогональны. Случай
|A| = |B| описывает рассеяние волны, поляризованной по кругу.
5.22. (Задача 4.67.) Линейно поляризованная волна падает на изотропный гармонический осциллятор. Скорость электрона v c. Найти дифференциальное dσ/dΩ
и полное σ сечение рассеяния волны с учетом силы лучистого трения.
Решение Гармонический осцилятор в поле плоской волны
ẍ + ω02 x =
eE0 −iωt
e
.
m
112
Есть еще сила трения. Позже будет показано, что
2 e2 ...
x.
3 c3
fT =
Тогда полное уравнение движения с учетом силы трения имеет вид
2 re ...
e
x + ω02 x = E0 e−iωt ,
3 c
m
ẍ −
где re = e2 /m0 c2 . Будем искать установившееся решение этого уравнения в виде
Aeiωt . Тогда
e
E0 e−iωt
x (t) = − 2 m 2
e
ω − ω0 + iω 3 2r
3c
2
d¨ =
ω 2 em E0 e−iωt
.
e
ω 2 − ω02 + iω 3 2r
3c
Тогда сечение рассеяния согласно определению
2
d̈ sin2 θ · 8π
dI dσ
= dΩ =
=
dΩ
hSi
4πc3 E02 c
e4
2
1 ¨ ¨∗ 2
ω 4 sin2 θ
m2 E0
=
= Re d · d
2
2
2
c4 E0
c4 E0 (ω 2 − ω 2 )2 + 4
0
9
σ = F (ω, ω0 ) ·
8
· πre2 = σT F (ω, ω0 )
3
1.
ω ω0
1
F ≈
2
4 re
1+ 9
σ = σT
c2
ω2
=
1
2
1+ 94 ( reλ2π )
=
1
2
1+ 49 ( rλe )
Но силой торможения можно воспользоваться только
λ re
2.
ω ≈ ω0
F =
9 λ20
4 re2
≈1
re 2
c
ω6
113
5. Излучение
σ=
94
2πλ20 = 6πλ20 σT
43
3.
σ=
8π
3
e2
mc2
2
ω ω0
4
ω
F ≈
ω0
4
ω
σ = σT
σT
ω0
ω4
2
ω02 −ω 2 +ω 2 γ 2
, где γ =
2 2
2 e ω0
3 mc3
(
)
лучистого трения, взятую в виде Fтр = −mγ ṙ.
– фактор, учитывающий силу
5.23. (Задача 4.69.) Найти дифференциальное сечение рассеяния плоской линейно поляризованной монохроматической волны на маленьком шаре (λ a). В поле
электромагнитной волны у шара возникают дипольный электрический d = αE и
магнитный m = βH моменты.
Решение
d = αE
m = βH
Ex = E0 eikz−iωt
Hy = E0 eikz−iωt
dx = αE0 e−iωt
d¨x = −αE0 ω 2 e−iωt
my = βE0 e−iωt
m̈y = −βE0 ω 2 e−iωt
Hd =
1
1
Ȧd × n = 2 d̈ × n
c
c rp
Hm =
1
(m̈ × n) × n
c2 rp
(m̈ × n)kd̈.
o
1 n
H = Hd + Hm = 2
d̈ + m̈ × n × n
c rp
4
2 ω
dσ
sin2 θ, где θ – угол между электрическим полем падающей
dΩ = (α + β)
c
волны и направлением рассеяния.
114
5.24. (Задача 4.71.) Плоская монохроматическая волна с круговой поляризацией
и длиной волны λ рассеивается на двух электронах, находящихся на расстоянии λ/4
друг от друга. Волна идет вдоль линии, соединяющей электроны. Найти поляризацию
и отношение интенсивностей в продольном и поперечном направлениях.
Решение Для 1-го заряда
Ex = E0 cos ωt
Ey = E0 sin ωt
(1)
Hd =
1
1
Ȧ × n = 2 d̈ × n
c
c rp
2
e
d¨x = −ω 2 E0 cos ωt
m
e2
d¨y = −ω 2 E0 sin ωt
m
Hx = d¨y
Hy = d¨x
2-ой заряд
λ
π
Hx = E0 cos ωt − k
= E0 cos ωt −
= E0 sin ωt
4
2
π
λ
Hy = E0 sin ωt − k
= E0 sin ωt −
= E0 cos ωt
4
2
Вдоль оси Zпри сложении H(1) , H (2) надо учесть еще и запаздывание возбужденной волны, как раз равно запаздыванию возбуждения.
π
Hx(1) (ωt) + Hx(2) ωt +
2
поперек наблюдения (вдоль x, например) есть только запаздывание возбуждения.
Hz = nx d̈y ,
то есть поляризация линейная. Ik /I⊥ = 4. В продольном направлении поляризация
круговая, а в поперечном – линейная.
на
5.25. (Задача 4.75.) Волновой пакет длиной cτ с несущей частотой ω0 налетает
два
115
5. Излучение
свободных электрона, расстояние между которыми
AB = l . cτ . Пакет амплитуды E0 образован линейA
B
l
но поляризованными электромагнитными волнами, волновой вектор которых направлен вдоль AB, а электрическое поле перпендикулярно
плоскости рассеяния волн. Найти спектр излучения, рассеянного под углом θ к первоначальному направлению.
Решение
Eω =
Zτ
e
−iωt iω0 t
e
0
=e
i(ω0 −ω) τ2
E (t) dt =
Zτ
ei(ω0 −ω)t dt =
0
ei(ω0 −ω)τ − 1
ω0 − ω
sin [(ω0 − ω) τ ]
τ
(ω0 − ω) τ
E (1) ∼ e−iωt
l cos θ
l
E (2) ∼ e−iω(t+ c − c )
kl
i(ω0 −ω) τ2 −iωt
il(1−cos θ)
E∼e
e
1+e
sin c = cos
(1 − cos θ)
2
θ)
0 )τ
cos kl(1−cos
.
Eω (θ) ∼ E0 sinc (ω−ω
2
2