Оглавление 1. Интегральное преобразование Фурье. Свойства ИПФ. ....................................................................................... 3 2. Эффект конечной длины выборки. Явление Гиббса............................................................................................ 6 3. Взвешивание. Оконные функции. Основные параметры оконных функций. ................................................... 7 4. Кепстральный анализ. Области применения кепстров мощности. ................................................................... 9 5. Медианная фильтрация. Пример применения МФ...........................................................................................11 6. Оценка параметров сигналов. Основные характеристики оценок. .................................................................13 7. Основные характеристики случайных дискретных сигналов. .........................................................................14 8. Связь между основными характеристиками случайных дискретных сигналов. Теорема Винера-Хинчина ....................................................................................................................................................................................16 9. Фильтрация дискретных случайных последовательностей. .............................................................................17 10. ___О-Т-С-У-Т-С-Т-В-У-Е-Т___!!!__СДЕЛАТЬ__ ....................................................................................................19 11 . Прямые и косвенные методы получения спектральной плотности мощности (СПМ) ................................20 12 . Метод модифицированных периодограмм ....................................................................................................21 13. Параметрические методы спектрального анализа .........................................................................................22 14-15. АР-, СС- и АРСС-модели случайных процессов. Соотношение АР-, СС- и АРСС-параметров с автокорреляционной последовательностью. ........................................................................................................23 16. Введение в адаптивные фильтры. Примеры применения АФ. ......................................................................26 17. Методы оптимального оценивания. Оптимальное нерекурсивное винеровское оценивание. .................27 18. Пример устройства, реализующего винеровскую оценку ..............................................................................29 19. Оптимальное рекурсивное калмановское оценивание. Скалярный фильтр Калмана ................................31 20. Адаптивные алгоритмы для фильтров с конечной импульсной характеристикой. Рекурсивный алгоритм наименьших квадратов. ...........................................................................................................................................32 21. ___О-Т-С-У-Т-С-Т-В-У-Е-Т___!!!___(в_2008_не_требуется) ..............................................................................33 22. Адаптивная фильтрация помех__ПРОВЕРИТЬ__ .............................................................................................33 23. Примеры устройств с АПП. .................................................................................................................................34 24. Введение в вейвлет-преобразование (ВП). Общая характеристика ВП. Непрерывное ВП ..........................36 25. Ограничение и недостатки преобразования Фурье. Оконное ПФ .................................................................37 26. ___О-Т-С-У-Т-С-Т-В-У-Е-Т___!!!___(в_2008_не_требуется) ..............................................................................38 27. Представление функций при помощи вейвлетов. Обратное вейвлет-преобразование. ............................39 28. Признаки вейвлетов. Свойства ВП ....................................................................................................................41 29. ___О-Т-С-У-Т-С-Т-В-У-Е-Т___!!!___(в_2008_не_требуется) ..............................................................................42 30. Принципы построения цифро-аналоговых преобразователей (ЦАП). ..........................................................43 31. Основные параметры ЦАП .................................................................................................................................45 32. Устройства выборки и хранения (УВХ). Принципы построения, основные параметры, примеры применения. ..............................................................................................................................................................46 33. АЦП с двухтактным интегрированием. .............................................................................................................48 34. АЦП последовательного приближения ............................................................................................................49 35. Параллельные и многокаскадные АЦП. ...........................................................................................................50 36. Основные характеристики АЦП. ........................................................................................................................51 37. Принципы построения сигма-дельта АЦП ........................................................................................................52 38. Фильтры на переключаемых конденсаторах. ..................................................................................................54 39. Особенности цифровых сигнальных процессоров (ЦСП). ...............................................................................55 40. Базовая архитектура ЦСП типа TMS320C6xxx. Основные технические характеристики. .............................56 41. Организация интерфейсов, внутренней памяти и периферийных устройств TMS320C6xxx. ......................58 42. Особенности процессоров TMS320C64xx. ........................................................................................................59 43 . Проблемы проектирования прецизионных аналого-цифровых систем (АЦС). Борьба с токами утечки в изоляторах. Паразитные эффекты в резисторах. ...................................................................................................60 44. Емкостной шум, экран Фарадея. Паразитные эффекты в конденсаторах. ....................................................62 45.Принцип индуктивной связи. Взаимная индуктивность. .................................................................................64 46. Заземление, земляные шумы и земляные петли. ...........................................................................................65 47. Земляные полигоны. Заземление экранированных кабелей.........................................................................66 48? Выбор наиболее рационального размещения основных узлов АЦС на печатной плате. __ПРОВЕРИТЬ__ ....................................................................................................................................................................................67 49. ___О-Т-С-У-Т-С-Т-В-У-Е-Т___!!!___(в_2008_не_требуется) ..............................................................................68 50. ___О-Т-С-У-Т-С-Т-В-У-Е-Т___!!!___(в_2008_не_требуется) ..............................................................................68 1. Интегральное преобразование Фурье. Свойства ИПФ. (из «ИПФ(1-3)/(4-9).ДОК») Χ(𝑓) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 - прямое преобразование Фурье (перевод в спектральную область) 𝑥(𝑡) = ∫ Χ(𝑓)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 – обратное преобразование Фурье (по спектру получаем временное представление сигнала) Дельта-функция: δ(t) - единичная высота, нулевая ширина , S=1 ∫ 𝑥(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑡0 )𝑑𝑡 = 𝑥(𝑡0 ) - выделяющая функция { ∫ 𝛿(𝑓 − 𝑓0 )𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 = 𝑒 𝑗2𝜋𝑓0 𝑡 ∫ 𝛿(𝑓 + 𝑓0 )𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 = 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓0 𝑡 (1) Формула Эйлера: 𝑒 𝑗𝛼 = cos 𝛼 + 𝑗 sin 𝛼 𝑒 −𝑗𝛼 = cos 𝛼 − 𝑗 sin 𝛼 𝑒 𝑗𝛼 + 𝑒 −𝑗𝛼 cos 𝛼 = 2 𝑒 𝑗𝛼 − 𝑒 −𝑗𝛼 sin 𝛼 = 2𝑗 Из (1) с учетом формулы Эйлера получаем: 1 cos 2𝜋 𝑓0 𝑡 = ∫[𝛿(𝑓 − 𝑓0 ) + 𝛿(𝑓 + 𝑓0 )]𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 2 sin 2𝜋𝑓0 𝑡 = 1 ∫[𝛿(𝑓 − 𝑓0 ) − 𝛿(𝑓 + 𝑓0 )]𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 2𝑗 Cos представляется как δ-функция, смещенная на 𝑓0 и −𝑓0 . Sin – это δ-функция, смещенная на 𝑓0 (в отрицательной области) и −𝑓0 Каждую функцию можно представить как сумму четной и нечетной составляющей: 𝑥(𝑡) = 𝑥ч (𝑡) + 𝑥н 𝑇 𝑇 Χ(𝑓) = ∫−𝑇[𝑥ч (𝑡) + 𝑥н (𝑡)][cos(2𝜋𝑓𝑡) − 𝑗 sin(2𝜋𝑓𝑡)]𝑑𝑡 == ∫−𝑇[𝑥ч (𝑡) cos(2𝜋𝑓𝑡) + 𝑥н (𝑡) cos(2𝜋𝑓𝑡) − 𝑗𝑥ч (𝑡) sin(2𝜋𝑓𝑡) − 𝑗𝑥н (𝑡) sin(2𝜋𝑓𝑡)]𝑑𝑡= 𝑇 (Интеграл от нечетной функции на симметричном интервале: ∫−𝑇 𝑥н (𝑡)𝑑𝑡 = 0) ∞ ∞ = Χ(𝑓) = ∫ 𝑥ч (𝑡) cos(2𝜋𝑓𝑡)𝑑𝑡 − 𝑗 ∫ 𝑥н sin(2𝜋𝑓𝑡)𝑑𝑡 −∞ −∞ Вывод: в общем случае спектр – комплексная величина, четная функция – чисто действительный спектр, нечетная функция – чисто мнимый спектр. Свойства интегрального преобразования Фурье (ИПФ): 1. Линейность 𝑎1 𝑥(𝑡) + 𝑎2 𝑦(𝑡) ⟹ 𝑎1 Χ(𝑓) + 𝑎2 Υ(𝑓) Χ, Υ – спектр (спектральный образ); ⟹ - перевод в спектральную область 𝟐. Сдвиг во временной области 𝐹{𝑥(𝑡)}=Χ(𝑓) подставляем в прямое преобразование Фурье 𝐹{𝑥(𝑡 − 𝑡1 )} = ∫ 𝑥(𝑡 − 𝑡1 )𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑥(𝑡 − 𝑡1 ) 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓(𝑡−𝑡1 ) 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡1 𝑑𝑡 = Χ(𝑓)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡1 , т.е., появляется дополнительная осцилляция в спектре (осциллирующий сомножитель при X(f)). 𝟑. Сдвиг в спектральной области X(f − f1 ) Используя обратное преобразование Фурье, подставляем 𝑓 − 𝑓1 вместо f: 𝑥(𝑡) = ∫ 𝑋(𝑓 − 𝑓1 )𝑒 𝑗2𝜋(𝑓−𝑓1) ∗ 𝑒 𝑗2𝜋𝑓1 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 , (t)=x(t)𝑒 𝑗2𝜋𝑓1 𝑡 - появление модуляции в сигнале 4. Дуальность 𝐹{𝑋(𝑓)} = 𝑥(−𝑡) Двойное вычисление спектра приводит к изменению знака независимой переменной (-t) Состоит из двух операций: 1) 𝑋(𝑓) = 𝐹{𝑥(𝑡)} 2) ∫ 𝑋(𝑓)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 = ∫ 𝑋(𝑓)𝑒 𝑗2𝜋𝑓(−𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑥(−𝑡) 5. Масштабирование по оси времени t ┌Спектр прямоугольной функции: 𝑈(𝑓) = ∫ 𝑇⁄ 2 1 ∗ 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 = −𝑇⁄ 2 =𝑇 подстановка − 𝑗2𝜋𝑓𝑡 = 𝑆 1 −𝑗2𝜋𝑓 𝑇⁄2 |=− 𝑒 | −𝑇 𝑑𝑆 = −𝑗2𝜋𝑓𝑑𝑡 𝑗2𝜋𝑓 ⁄2 sin(𝜋𝑓𝑇) = 𝑇 sinc(𝜋𝑓𝑇) 𝜋𝑓(𝑇) Используем формулу Эйлера после интегрирования; sin x x =sinc ┐ 𝐹{𝑥(𝑡)} = 𝑋(𝑓) 𝐹{𝑥(𝑘𝑡)} = 1 𝑓 𝑋( ) |𝑘| 𝑘 Т.е., 𝐾 ≠ 1 ⇒ 𝐾 = 0.5 ⇒ в 2 раза высота больше и площадь равна S=S 6. Масштабирование по спектру (по f) 𝐹{𝑥(𝑡)} = 𝑋(𝑓) 𝐹 −1 {𝑋(𝑘𝑓)} = 1 𝑡 ∗𝑋( ) |𝑘| 𝑘 Используется в радиолокации: чем уже импульс, тем шире спектр. 7. Теорема Парсеваля ∫|𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡 = ∫|𝑋(𝑓)|2 𝑑𝑓 2. Эффект конечной длины выборки. Явление Гиббса (из «ИПФ(1-3)/(4-9).ДОК») Явление Гиббса Для непрерывной: cos 2𝜋𝑓𝑡 ⇒ 1 [𝛿(𝑓 − 𝑓0 ) + 𝛿(𝑓 + 𝑓0 )] [−∞; ∞] 2 Ограничим синусоиду интервалом T\2 𝑥𝑇 (𝑡) – ограниченная x(t) 𝑥𝑇 (𝑡) = 𝑋(𝑡)𝑈(𝑡) 𝐹{𝑥𝑇 (𝑡)} = ∫ 𝑋(𝜂)𝑈(𝑓 − 𝜂)𝑑𝜂 – интегральная запись свертки 1 sin(𝜋𝑓𝑇 − 𝜂) 𝑇 𝐹{𝑥𝑇 (𝑡)} = ∫[𝛿(𝑓 − 𝑓0 ) + 𝛿(𝑓 + 𝑓0 )] 𝑑𝜂 = [𝑠𝑖𝑛𝑐(𝜋(𝑓 − 𝑓0 )𝑇) + 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝜋(𝑓 + 𝑓0 )𝑇)] 2 𝜋𝑓 2 Интервал наблюдения желательно увеличивать. Ограничение интервала наблюдения приводит к размыванию спектральной составляющей. 3. Взвешивание. Оконные функции. Основные параметры оконных функций. (из «ИПФ(1-3)/(4-9).ДОК») Рассмотрим sinc: Дискретное преобразование Фурье применимо только для периодических сигналов. Тогда для (1) есть один выход: умножать не на U(t), а на V(n), тогда скачков не будет. Выбор оконных функций V(n) для спектрального анализа: Свойства оконных функций: 1. Уровень бокового лепестка (первого). Диапазон изменения уровня (-13;-90) дБ 2. Асимптотическая скорость спада боковых лепестков. 3. Эффективная шумовая полоса – это ширина прямоугольного окна, которая накапливает ту же мощность шума. 4. Паразитная амплитудная модуляция (ПАМ) Генератор→АЦП→ДПФ→Экр 5. Ширина главного лепестка на уровне – 6 дБ – определяется спектральным разрешением Окна Максимальный уровень боковых лепестков [дБ] Скорость спада боковых лепестков, дБ/октава прямоугольное -13 Хэннинга ЭШП ΔF на уровне 6дБ, [бин] Паразитная амплитудная модуляция, [дБ] -6 1,0 1,21 3,9 -47 -6 0,5 3,1 0,8 Тьюки -19 -18 0,8 1,8 1,7 БиэкманаХэрриса -92 -6 0,36 2,7 0,8 4. Кепстральный анализ. Области применения кепстров мощности. (из «ИПФ(1-3)/(4-9).ДОК») Этот метод линейной обработки сигналов, который применяется во многих областях. Особенность: с помощью кепстров можно разделять сигналы, образованные сверткой. 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡), где 𝑥(𝑡) - знак свертки, ℎ(𝑡) - импульсная характеристика 𝑌(𝑓) = 𝑋(𝑓) ∗ 𝐻(𝑓) log 𝑌(𝑓) = log 𝑋(𝑓) + log 𝐻(𝑓) 𝐹{log 𝑌(𝑓)} = 𝐹{log 𝑋(𝑓)} + 𝐹{log 𝐻(𝑓)} 𝐾𝑦 (𝜏) = 𝐹{log 𝑌(𝑓)} Кепстр определяется как спектр логарифма спектра. 𝐾𝑦 (𝜏) = 𝐹{log|𝐹{𝑦(𝑡)}|} Пусть дана функция ℎ(𝑡), ей соответствует спектр 𝐻(𝑓) 𝐻(𝑓) = |𝐻(𝑓)|𝑒 𝑗𝜑(𝑡) (1) 𝜑(𝑡) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐼𝑚[𝐻(𝑓)] 𝑅𝑒[𝐻(𝑓)] |𝐻(𝑓)| = √𝑅𝑒 2 [𝐻(𝑓)] + 𝐼𝑚2 [𝐻(𝑓)] Логарифмируем 1 и получаем комплексный кепстр: ln{𝐻(𝑓)} = ln{|𝐻(𝑓)|} + 𝑗𝜑(𝑡) 𝐾𝑛𝑘 (𝜏) = 𝐹{ln{H(f)}} h(t) АЦП ДПФ ДПФ – дискретное преобразование Фурье H(f) Re(H(f)) Im(H(f)) |H(f)| ? (f) БФФ F{…} Kn БФФ – блок формирования фазы (обычно от – 𝜋 до 𝜋) Применение: 1. Обработка речевых сигналов (выделение основного тона) 𝐼2 [𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡 − 𝜏)] + 𝑥(𝑡) 𝐼1 𝐼2 𝐼2 𝐹{𝑦(𝑡)} = [𝑋(𝑓) ∗ 𝐻(𝑓)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝜏 ] + 𝑋(𝑓) = 𝑋(𝑓) [1 + ∗ 𝐻(𝑓)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝜏 ] 𝐼1 𝐼1 𝐼2 log 𝐹{𝑦(𝑡)} = log 𝑋(𝑓) + log [1 + ∗ 𝐻(𝑓)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝜏 ] 𝐼1 𝐼2 𝐾𝑦 (𝜏) = 𝐾𝑥 (𝜏) + 𝐹 {log [1 + ∗ 𝐻(𝑓)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝜏 ]} 𝐼1 𝑦(𝑡) = отражение + осн. часть = log(1 + 𝑥) = 𝑥 − 𝑥2 2 + 𝑥3 2 − 𝑥4 2 – разложение в ряд 2. Диагностика машинного оборудования 3. Радио и гидролокация 5. Медианная фильтрация. Пример применения МФ. (из «ИПФ(1-3)/(4-9).ДОК») Медиа́нный фи́ льтр — один из видов цифровых фильтров, широко используемый в в цифровой обработке сигналов и изображений для уменьшения уровня шума. Медианный фильтр является нелинейным фильтром. Реализуется с помощью окна, состоящего из определенного количества отсчётов. Значения отсчётов внутри окна сортируются по порядку; и среднее значение, то есть значение находящееся в середине упорядоченного списка, принимается выходным значением. На следующем шаге окно передвигается на один отсчёт вперёд и вычисления повторяются. Крайние значения массива считаем продублированными столько раз, чтобы можно было применить окно к первому и к последнему значению. Медиана последовательности: 𝑆𝑛 + 𝑆𝑛−1 𝑀𝑒𝑑 {𝑆𝑘 } , 𝑁 − четное ={ 2 1≤𝑘≤𝑛 𝑆 , 𝑁 − нечетное 𝑛 Свойства медианных фильтров: 1. 𝑚𝑒𝑑{𝑎 ∗ 𝑆𝑘 } = 𝑎 ∗ 𝑚𝑒𝑑{𝑆𝑘 } 2. 𝑚𝑒𝑑{𝑆0 + 𝑆𝑘 } = 𝑆0 + 𝑚𝑒𝑑{𝑆𝑘 } , где 𝑆0 и 𝑎 - постоянные величины 3. 𝑚𝑒𝑑{𝑆1 (𝑘) + 𝑆2 (𝑘)} ≠ 𝑚𝑒𝑑{𝑆1 (𝑘)} + 𝑚𝑒𝑑{𝑆2 (𝑘)} , т.е. операция не линейная Медианная фильтрация — обычная процедура обработки изображений. Она особенно часто используется для уменьшения шума в изображении. Хорошо отфильтровывает импульсные хаотические помехи. Для обработки изображений применяются различные двумерные апертуры Применение медианного фильтра с окном размеров в три отсчёта ко входному массиву x (искусственно введённые продублированные значения показаны полужирно): x = [2 80 6 3] y[1] = медиана[2 2 80] = 2 y[2] = медиана[2 80 6] = медиана[2 6 80] = 6 y[3] = медиана[80 6 3] = медиана[3 6 80] = 6 y[4] = медиана[6 3 3] = медиана[3 3 6] = 3 и в итоге: y = [2 6 6 3] — выход медианного фильтра 6. Оценка параметров сигналов. Основные характеристики оценок. (из «ИПФ(1-3)/(4-9).ДОК») 𝑥(𝑡) = 𝑠(𝑡, 𝜃) + 𝑛(𝑡), где 𝜃 – параметр сигнала, 𝑛(𝑡) – шум Априорная плотность вероятности параметра 𝜃: 𝑊𝑝𝑟 (𝜃) Условная плотность вероятности: 𝑊𝑝𝑠 (𝜃) = 𝑊(𝑥(𝑡)|𝜃) 𝑊𝑝𝑟 (𝜃) ∗ 𝑊(𝜃|𝑥(𝑡)) = 𝑊(𝑥(𝑡)) ∗ 𝑊𝑝𝑠 (𝜃) 𝑊𝑝𝑠 (𝜃) = 𝑊𝑝𝑟 (𝜃) ∗ 𝑊(𝜃|𝑥(𝑡)) 𝑊(𝑥(𝑡)) 𝑊[𝑥(𝑡)] = ∫ 𝑊(𝑥(𝑡)|𝜃) 𝑊𝑝𝑟 (𝜃)𝑑𝜃 𝜃̂ – оценка параметра 𝑚𝜃̂ = 𝑀[𝜃̂] 2 𝛿𝜃̂2 = 𝑀 [(𝜃̂ − 𝑚𝑥 ) ] Классификация оценок: 1. Информативные/неинформативные 2. Энергетические (А(амплитуда), 𝜏(длительность))/ неэнергетические(f (частота), 𝜑 (фаза)) 3. Случайные/неслучайные Оценка качества оценки: 1. Состоятельность 2. Несмещаемость 3. Эффективность 4. Достаточность Оценка называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру при бесконечном увеличении объема выборки. lim 𝑃{(𝜃̂ − 𝜃) ≥ 𝜀}=0, 𝜀 ≥ 0 𝑛→∞ Оценка называется несмещеной, если ее мат. ожидание равно оцениваемому параметру 𝑀[𝜃̂] = 𝜃 ̂𝑛.эфф Оценка называется эффективной, если 𝑀 [(𝜃 2 2 − 𝜃) ] ≤ 𝑀 [(𝜃̂𝑛 − 𝜃) ] для ∀𝜃̂𝑛 Оценка называется достаточной, если никакой дополнительной обработкой нельзя получить лучшую оценку 7. Основные характеристики случайных дискретных сигналов. (из «ИПФ(1-3)/(4-9).ДОК») 1. Стационарный сигнал – характеристики сигналов не зависят от начального момента времени 2. Эргодичные – характеристики сигналов идентичны при усреднении по времени и по ансамблю 1. Математическое ожидание 𝑥(𝑛) – случайная последовательность 𝑥(𝑡) - случайный сигнал 𝑚𝑥 = 𝐸[𝑥(𝑡)] = ∫ 𝑥(𝑡)𝑓(𝑥)𝑑𝑡 𝑓(𝑥) – плотность распределения вероятностей случайного сигнала 𝑥(𝑡) 𝐸 - знак усреднения (либо по времени либо по ансамблю реализаций 1 Для равномерного распределения 𝑓(𝑥) Для гаусового распределения 𝑓(𝑥) = , 𝑥 ≥ 𝑥 ≥ 𝑥1 = {𝑥2−𝑥1 2 0, в остальных 1 √2𝜋𝜎 Среднее значение по времени 𝑥(𝑡): ̅̅̅̅̅̅ 𝑋(𝑛) ̂ Оценочный момент ожидания (𝑋̂): 𝑋 exp (− (𝑥−𝑚𝑥 )2 2𝜎 2 1 = lim 𝑁→∞ 2𝑁+1 ) ∑+𝑁 𝑛=−𝑁 𝑥(𝑛) 1 = ∑𝑁−1 𝑛=0 𝑋(𝑛) 𝑁 2. Средняя мощность 𝑃𝑐𝑝 𝑃𝑐𝑝 = 𝐸[𝑋 2 (𝑡)] = ∫ 𝑥 2 𝑓(𝑥)𝑑𝑡 В дискретном виде 𝑃𝑐𝑝 𝑥 = 𝐸[𝑋 2 (𝑛)]= lim 1 𝑁→∞ 2𝑁+1 𝑥 2 (𝑛) 𝛿 2 = 𝐸[(𝑥(𝑛) − 𝑥̂)2 ] = 𝐸[𝑥 2 (𝑛)] − 𝑚𝑥2 = 𝑃𝑐𝑝 𝑥 − 𝑚𝑥2 Оценка дисперсии: 𝛿̂ 2 = 1 𝑁−1 ∑𝑁−1 𝑛=0 (𝑥(𝑛) − 𝑚𝑥 ) 3. Корреляционная функция (корреляционная последовательность для 𝑥(𝑛)) 𝑅𝑥 (𝜏) = ∫ 𝑥(𝑡) 𝑥(𝑡 + 𝜏)𝑑𝑡 𝑅𝑥 (𝑚) = 𝐸[𝑥(𝑛)𝑥(𝑛 + 𝑚)] +𝑁 1 𝑅𝑥 (𝑚) = lim ∑ 𝑥(𝑛)𝑥(𝑛 + 𝑚) 𝑁→∞ 2𝑁 + 1 𝑛=−𝑁 Оценка 𝑅𝑥 (𝑡) 𝑁−𝑚−1 1 𝑟̂𝑥 (𝑚) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑥(𝑛 + 𝑚) 𝑁−𝑚 𝑛=0 Свойства: А) 𝑅𝑥 (𝑚) - четная функция 𝑅𝑥 (𝑚) = 𝑅𝑥 (−𝑚) Б) 𝑅𝑥 (0) = 𝐸[𝑥 2 (𝑛)] = 𝑃𝑐𝑝 𝑥 = 𝛿 2 + 𝑚𝑥2 В) 𝑅𝑥 (𝑚) ≤ 𝑅𝑥 (0) наибольшая степень взаимодействия с самим собой Взаимная корреляционная последовательность 𝑥(𝑛) и 𝑦(𝑛): 𝑅𝑥𝑦 (𝑚) = 𝐸[𝑥(𝑛)𝑦(𝑛 + 𝑚)] Свойство: 𝑅𝑥𝑦 (𝑚) = 𝑅𝑦𝑥 (−𝑚) 4. Спектральная плотность мощности 8. Связь между основными характеристиками случайных дискретных сигналов. Теорема Винера-Хинчина (из «ИПФ(1-3)/(4-9).ДОК») Средняя мощность 𝑃𝑐𝑝 с математическим ожиданием 𝑚𝑥 связаны через дисперсию 𝛿 2 = 𝑃𝑐𝑝 𝑥 − 𝑚𝑥2 Из одного из свойств корреляционной функции получаем получаем ее связь со средней мощностью 𝑃𝑐𝑝 в частном случае: 𝑅𝑥 (0) = 𝑃𝑐𝑝 𝑥 = 𝛿 2 + 𝑚𝑥2 Теорема Винера-Хинчина определяет связь между спектральной плотностью мощности (СПМ) и корреляционной функцией. +∞ 𝑆𝑥 (𝑤) = ∫ 𝑅𝑥 (𝜏)𝑒 −𝑗𝑤𝜏 𝑑𝜏 − прямое преобразование Фурье −∞ +∞ 𝑅𝑥 (𝜏) = ∫ 𝑆𝑥 (𝑤)𝑒 −𝑗𝑤𝜏 𝑑𝑤 − обратое преобразование Фурье { −∞ Пример: дана функция 𝑆𝑥 (𝑓) = { 𝑁, |𝑓| ≤ 𝐹 0, в остальных случаях Корреляционная функция тогда будет равна: (т.к. функция четная то sin нет) 𝐹 𝐹 1 2𝜋𝑓𝜏 = 𝑆 𝑅𝑥 (𝜏) = ∫ 𝑁𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝜏)𝑑𝑓 = | 𝑐𝑜𝑠(𝑠)𝑑𝑆 | = 2𝑁 ∫ 2𝜋𝑑𝑓 = 𝑑𝑆 2𝜋𝑓 = 2𝑁𝐹 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝑐 (2𝜋𝐹𝜏) Вывод: случайный процесс, разделенный интервалом, кратным 𝑚 2𝐹 , не кореллирован, т.е. 𝑅𝑥 (𝜏) = 0 9. Фильтрация дискретных случайных последовательностей. (из «ИПФ(1-3)/(4-9).ДОК») Постановка задачи: есть фильтр и есть передаточная функция H(z) ∞ 𝑦(𝑛) = ∑ ℎ(𝑘)𝑥(𝑛 − 𝑘) = ℎ(𝑛) ∗ 𝑥(𝑛) 𝑘=0 Известны параметры этого фильтра, т.е. характеристики передаточной функции: 𝑃𝑐𝑝 𝑥 , 𝑅𝑥 (𝑚), 𝑆𝑥 (𝑤) Необходимо найти: 𝑃𝑐𝑝 𝑦 = 𝑓(ℎ(𝑛), 𝑃𝑐𝑝 𝑥 ), 𝑅𝑦 (𝑚) = 𝑓(ℎ(𝑛), 𝑅𝑥 (𝑚)), 𝑆𝑦 (𝑤) = 𝑓(ℎ(𝑛), 𝑆𝑥 (𝑤)) 1. Для нахождения 𝑃𝑐𝑝 𝑦 +𝑁 𝑃𝑐𝑝 𝑦 1 = 𝐸[𝑦 (𝑛)] = lim ∑ 𝑦 2 (𝑛) 𝑁→∞ 2𝑁 + 1 2 𝑛=−𝑁 𝑦(𝑛) = ∑ ℎ(𝑘) ∗ 𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑘 искусственно разбиваем 𝑦(𝑛) = ∑ ℎ(𝑙) ∗ 𝑥(𝑛 − 𝑙) } 𝑙 +𝑁 𝑃𝑐𝑝 𝑦 = 𝐸[𝑦 2 (𝑛)] 1 = lim ∑ [∑ ∑ ℎ(𝑘) ∗ ℎ(𝑙) ∗ 𝑥(𝑛 − 𝑘) ∗ 𝑥(𝑛 − 𝑙)] 𝑁→∞ 2𝑁 + 1 𝑛=−𝑁 𝑘 𝑙 +𝑁 1 = ∑ ∑(ℎ(𝑘) ∗ ℎ(𝑙)) ∗ [ lim ∑ 𝑥(𝑛 − 𝑘) ∗ 𝑥(𝑛 − 𝑙)] 𝑁→∞ 2𝑁 + 1 𝑘 𝑙 𝑛=−𝑁 Окончательная формула: 𝑃𝑐𝑝 𝑦 = 𝑃𝑐𝑝 𝑥 ∑𝑘 ℎ2 (𝑘) 2. 𝑅𝑦 (𝑚) = 𝐸[𝑦(𝑛)𝑦(𝑛 + 𝑚)] = lim 1 𝑁→∞ 2𝑁+1 ∑+𝑁 𝑛=−𝑁 𝑦(𝑛)𝑦(𝑛 + 𝑚) = 𝑦(𝑛) = ∑ ℎ(𝑘) ∗ 𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑘 подставляем 𝑦(𝑛 + 𝑚) = ∑ ℎ(𝑙) ∗ 𝑥(𝑛 + 𝑚 − 𝑙) } 𝑙 1 = lim ∑ [∑ ∑ ℎ(𝑘) ∗ ℎ(𝑙) ∗ 𝑥(𝑛 − 𝑘) ∗ 𝑥(𝑛 + 𝑚 − 𝑙)] = 𝑁→∞ 2𝑁 + 1 𝑛 𝑘 𝑙 𝑙 =𝑘+𝑝 1 = 𝑁→∞ 2𝑁 + 1 Обозначим корреляционную последовательность для импульсной характеристики ℎ(𝑛): 𝑔(𝑝) = ∑𝑘(ℎ(𝑘) ∗ ℎ(𝑘 + 𝑝)) = lim 1 ∑ 𝑥(𝑛 − 𝑘) ∗ 𝑥(𝑛 + 𝑚 − 𝑘 − 𝑝)] +1 = ∑ 𝑔(𝑝) [ lim 𝑁→∞ 2𝑁 𝑝 𝑛 𝑅𝑦 (𝑚) = ∑𝑝 𝑔(𝑝)𝑅𝑥 (𝑚 − 𝑝) = 𝑔(𝑚)𝑅𝑥 (𝑚) (1) 3. z-преобразование формулы 1 𝑆𝑦 (𝑧) = 𝐺(𝑧) ∗ 𝑆𝑥 (𝑧), где −𝑚 𝑆𝑦 (𝑧) = ∑∞ 𝑚=−∞ 𝑅𝑦 (𝑚)𝑧 𝑧 = 𝑒 𝑗𝑤𝑡 ∞ −𝑚 (𝑧) ∑ 𝑆𝑥 = 𝑚=−∞ 𝑅𝑥 (𝑚)𝑧 𝐺(𝑧) = ∑ 𝑔(𝑝)𝑧 −𝑝 = ∑ [∑(ℎ(𝑘) ∗ ℎ(𝑘 + 𝑝))] 𝑧 −𝑝 = | 𝑝 𝑝 𝑘 𝑧 = 𝑒 𝑗𝑤𝑡 |= 𝑘+𝑝 =𝑛 = ∑ [∑ ℎ(𝑘)ℎ(𝑛)] 𝑧 −𝑛 𝑧 𝑘 𝑝 𝑘 ∑ ℎ(𝑛)𝑧 −𝑛 = 𝐻(𝑧) − передаточная функция 𝑛 𝑘 ∑ ℎ(𝑘)𝑧 = 𝐻(𝑧 −1 ) − пер. функция инверированной последовательности 𝑘 𝑆𝑦 (𝑧) = 𝐻(𝑧)𝐻(𝑧 −1 ) 𝐺(𝑧) = 𝐻(𝑧)𝐻(𝑧 −1 ) ∗ 𝑆𝑥 (𝑧), т.к. 𝑧 = 𝑒 , то 𝑗𝑤𝑡 𝑆𝑦 (𝑒 𝑗𝑤𝑡 ) = 𝐻(𝑒 𝑗𝑤𝑡 )𝐻(𝑒 −𝑗𝑤𝑡 ) ∗ 𝑆𝑥 (𝑒 𝑗𝑤𝑡 ) 2 2 𝑆𝑦 (𝑒 𝑗𝑤𝑡 ) = |𝐻(𝑒 𝑗𝑤𝑡 )| ∗ 𝑆𝑥 (𝑒 𝑗𝑤𝑡 ), где |𝐻(𝑒 𝑗𝑤𝑡 )| - квадрат АЧХ 10. ___О-Т-С-У-Т-С-Т-В-У-Е-Т___!!!__СДЕЛАТЬ__ 11 . Прямые и косвенные методы получения спектральной плотности мощности (СПМ) (из «современные методы спектр анализа(11-15).doc») Прямой метод: обычное преобразование Фурье Для дискретной последовательности: Косвенный метод: Для дискретной последовательности: 12 . Метод модифицированных периодограмм (из «современные методы спектр анализа(11-15).doc») Задача состоит в том, чтобы вычислить спектр по мере поступления данных. Нашу диаграмму разбивают на блоки; размер блока М (объем выборки в блоке), они перекрываются Для уменьшения объема выборки представим выборку в виде комплексной величины (модифицированный метод) Спектр вычисляется по мере поступления данных. 13. Параметрические методы спектрального анализа (из «современные методы спектр анализа(11-15).doc») Причина появления этих методов: прямые и косвенные методы основана на том, что мы рассматриваем ограниченный интервал Т, у них недостатки: - явление Гибса (размывание спектральных составляющих) - эти методы обладают несостоятельностью и несмещенностью (иногда) - разрешение по частоте ∆𝑓~1/𝑇 следовательно если есть ограниченный интервал выборки, то больше разрешение чем 1/Т мы не получим У параметрических методов можно сделать больше разрешение, чем 1/Т. Но эти методы менее эффективны в вычислительном аспекте. Здесь все построено на моделях – мы модулируем процесс с помощью линейной системы 14-15. АР-, СС- и АРСС-модели случайных процессов. Соотношение АР-, СС- и АРСС-параметров с автокорреляционной последовательностью. (из «современные методы спектр анализа(11-15).doc») Авторегрессионная составляющая с параметром р Скользящая составляющая с параметром q Авторегрессия скользящего среднего Получим авторегрессионную последовательность: y*(n-m), E [ ] – усреднение – это делаем с выражением АКП – автокорреляционная последовательность ВКП- взаимнокорреляционная последовательность (2) – окончательное выражение для авторелляционного последовательности для линейной системы, которую мы имеем. Теперь по известным параметрам белого шума (𝛿 2 ) найти параметры линейной системы а(к), b(к). А зная эти параметры потом найдем спектр: Спектральная плотность мощности (СПМ): Система линейных уравнений в матричном виде: р-линейных уравнений с р-неизвестными (неизвестное а/к) Система уравнений Юла-Уокера Это тёплицева матрица (на диагоналях равные элементы). Решение такой матрицы известно следовательно алгоритм ревинсона В результате находим а(1), а(2)….Р0(р), следовательно находим Пу(m) и находим спектр: Если рассмотреть другой случай – когда мы имеем чисто регрессионный процесс Здесь принцип точно такой же. Чисто скользящее среднее с параметром q: СС(q), p=0 из системы (2) получаем: Рекуррентная формула вычисления АКП при m>p При помощи (3) получаем точки за интервалы [-p; p] например (р+1), (р+2)….. Т.о. делаем интерполяцию – удленяем вправо и влево, т.е. искусственно удлиняем АКП + : не надо накладывать окна!!!!! Рекомендации: 16. Введение в адаптивные фильтры. Примеры применения АФ. (из «адаптивная фильтрация(16-22).doc») Адаптивный фильтр позволяет подстраиваться под окружающую среду Типы фильтров: 1. БИХ – с бесконечной импульсной характеристикой. +: быстрая сходимость -: возможна нелинейная ФЧХ, неустойчивость 2. КИХ – с конеч. имп характеристикой. +: лин. ФЧХ, устойчивость -: для получения крутых срезов необходимо большое число отчетов 3. Фильтры, исп. ДПФ Примеры использования: -шумодавы -подавление наводок от частоты питающей сети -подавление помех речи в кабине самолета -разговор по мобильному телефону -радиолокация, гидрология, сейсмология -ЭКГ 17. Методы оптимального оценивания. Оптимальное нерекурсивное винеровское оценивание. (из «адаптивная фильтрация(16-22).doc») 1. Оценка выхода АФ 2. Оценка параметров АФ y(n)=x(n)+ŋ(n) наблюдаемая последовательность ŋ(n) - белый шум, дисперсия σŋ2 , нулевое среднее xˆ (n) - оценка сигнала, методы оценивания направлены на то, чтобы найти оптим оценку N 1 N 1 k 0 k 0 xˆ (n) y (k )h(n k ) h(k ) y (n k ) Используем метод наименьших квадратов: e(n)=|x(n)- xˆ (n) | - ошибка E[e2(n)]=E{|x(n)- xˆ (n) |2} – вычисленная ошибка (1) Оптимальное нерекурсивное винеровское оценивание Воспользуемся ошибкой и ее вычисленной оценкой (1) E[e2(n)]=E{|x(n)- xˆ (n) |2} – нахождение среднеквадратичной оценки (2) N 1 xˆ (n) h(k ) y (n k ) H T (n) Y (n) (3) k 0 h(0) h(1) H ( n) ... h( N 1) y ( n) y (n 1) Y ... y (n N 1) Подставим (3) в (2) E[e2]=E{|x(n)- H T (n) Y (n) |2}, дифференцируем усредненную ошибку E[e2] по НТ: E[e2 ] 2 E{[x(n) H T (n) Y (n)]Y T ( n)} H T Чтобы найти минимум : 2E{[x(n) H T (n) Y (n)]Y T (n)} =0 2E{[x(n) Y T (n) H T (n) Y (n) Y T (n)]} =0 E{x(n) Y T (n)} E{H T (n) Y (n) Y T (n)} , H T (n) Y (n) не коррелированны => E{x(n) Y T (n)} H ОПТ T E{Y (n) Y T (n)} , E{Y (n) Y T (n)} - матрица автокорреляции входной наблюдаемой последователности R= E{Y (n) Y T (n)} P= E{x(n) Y (n)} - взаимная корреляция между входной наблюдаемой последовательностью и полезным вх сигналом. PT H ОПТ T R - уравнение Винера-Хопфа Транспонируем: ( PT R 1 H ОПТ T )T H ОПТ P R 1 18. Пример устройства, реализующего винеровскую оценку (из «адаптивная фильтрация(16-22).doc») x ( n) sin y (n) sin n 4 n 4 ( n) - белый шум, дисперсия 2 y ( n) y (n 1) R E{ y (n), y (n 1), y (n 2), y (n 3) } y (n 2) y (n 3) y (n)(n 1) y 2 (n 1) y (n 2) y (n 1) y (n 3) y (n 1) y 2 ( n) y (n 1) y (n) E{ y (n 2) y (n) y (n 3) y (n) y (n) y (n 2) y (n 1) y (n 2) y 2 (n 2) y (n 3) y (n 2) y (n) y (n 3) y (n 1) y (n 3) } y (n 2) y (n 3) y 2 (n 3) Т.к. мы рассматриваем случайные стационарные посл-ти, то : E[ y 2 (n)] E[ y 2 (n 1)] E[ y 2 (n 2)] E[ y 2 (n 3)] E[ y (n) y (n 1)] E[ y (n 1) y(n 2)] E[ y(n 2) y(n 3)] E[ y (n) y (n 2)] E[ y (n 1) y (n 3)] Матрица примет следующий вид: y 2 ( n) y (n 1) y (n) R E{ y (n 2) y (n) y (n) y (n 1) y 2 (n 1) y (n) y (n 1) y (n) y (n 2) y (n) y (n 1) y 2 (n) y (n) y (n 3) y (n) y (n 2) y (n) y (n 1) y (n 3) y (n) y (n) y (n 2) y (n) y (n 1) y 2 (n ) Заполним эту матрицу: E[ y 2 (n)] 1 3 2 1 1 1 1 y n [(0 2 ) ( 2 ) (1 2 ) ( 2 )] 2 - y(n) коррел. c y(n) + 2 4 n 0 4 2 2 2 E[ y (n) y (n 1)] 1 3 1 2 2 1 y (n) y (n 1) [0 0 ] 4 n 0 4 2 2 2 2 E[ y (n) y (n 2)] 1 3 1 1 1 y (n) y ( n 2) [0 0 ] 0 4 n 0 4 2 2 E[ y (n) y(n 3)] 1 3 1 2 2 1 y(n) y(n 3) [0 0] 4 n 0 4 2 2 2 2 R E{ 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 0 1 0 2 2 0 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 0 } 1 2 2 1 2 2 y ( n) y (n 1) P= E{x(n) Y (n)} = E{x(n) } y (n 2) y (n 3) E[ x(n) y (n)] 1 3 1 1 1 1 x(n) y n [0 1 ] 4 n 0 4 2 2 2 E[ x(n) y (n 1)] 1 3 1 2 2 1 x(n) y(n 1) [0 0 ] 4 n 0 4 2 2 2 2 E[ x(n) y (n 2)] 1 3 1 1 1 x(n) y (n 2) [0 0 ] 0 4 n 0 4 2 2 E[ x(n) y (n 3)] 1 3 1 2 2 1 x(n) y (n 3) [0 0] 4 n 0 4 2 2 2 2 P= E{x(n) Y (n)} = E{x ( n) y ( n) y (n 1) y (n 2) y (n 3) R-1 находим из матрицы R h1 H ОПТ P R 1 h2 h3 h4 1 2 1 } 2 2 0 1 2 2 19. Оптимальное рекурсивное калмановское оценивание. Скалярный фильтр Калмана (из «адаптивная фильтрация(16-22).doc») Калмановское оценивание основано на модели генерации сигнала: x(n) ax(n 1) g (n) , g(n)-белый шум, дисперсия g2 y (n) cx(n) (n) , (n) - белый шум, дисперсия 2 xˆ (n) b(n) xˆ (n 1) k (n) y (n) - оценка b(n), k(n)- коэфф, зависящие от времени y(n) – текущее значение на выходе измерительной системы b n a[1 ck (n)] xˆ (n) a[1 ck (n)]xˆ (n 1) k (n) y(n) axˆ (n 1) k (n) [ y(n) acxˆ(n 1)] прогнозируемая оценка k (n) c[a 2 p(n 1) g2 ] 2 c 2 g2 c 2 a 2 p(n 1) 1 p (n) 2 k (n) c коэфф калмана ошибка предсказания 20. Адаптивные алгоритмы для фильтров с конечной импульсной характеристикой. Рекурсивный алгоритм наименьших квадратов. (из «адаптивная фильтрация(16-22).doc») e(n) y (n) h1 y (n 1) h2 y (n 2) ... hN y (n N ) (1) T (n) [ y(n 1), y(n 2), y(n N )] h1 H h2 ... hN H T [h1 , h2 ,..., hN ] e(n) y(n) T (n) H n V (n) e2 ( S ) - функция стоимости S 0 V (n) eT (n)e(n) - в результате минимизации получим H – оптим значение коэффициентов Применим формулу (1) в матричном виде: e(0) y (0) 0 e(1) y (1) y (0) e(2) y (2) y (1) ... ... ..... e(n) y (n) y (n 1) 0 0 y (0) ..... y (n 2) 0 0 0 ..... y (n 3) h1 ..... 0 h2 ..... 0 h3 ..... 0 ..... ..... ... ..... y( n N ) hN y (n) 0 при n 0 Yn H (n 1) [Y T (n)Y (n)]1Y T (n) y(n) Рекурсивный РАНК Hˆ (n 1) Hˆ (n) k (n 1)[ y (n 1) T (n 1) Hˆ (n)] T (n 1) [ y(n), y(n 1), y(n 2),..., y(n N 1)] k (n 1) p(n 1) (n 1) p(n 1) [Y T (n)Y (n) (n 1) T (n 1)]1 Недостатком является то, что предыдущие отчеты берутся с тем же весом, а лучше брать устаревшие отчеты с меньшим весом .Существуют алгоритмы с экспоненциальным взвешиванием, где отчеты берутся с не одинаковым весом. n V (n) n S e 2 ( S ) , 0 1 - отчеты пойдут с меньшим весом S 0 V (n) eT (n)e(n) , diag{ n n1 n2 ...11} H (n 1) [Y T (n)Y (n)]1Y (n)y(n) p(n) [Y T (n)Y (n)] Hˆ (n 1) Hˆ (n) k (n 1)e(n 1) e(n 1) y (n 1) T (n 1) Hˆ (n) k (n 1) p(n 1) (n 1) p(n) (n 1) [ T (n 1) p( n) ( n 1)]1 21. ___О-Т-С-У-Т-С-Т-В-У-Е-Т___!!!___(в_2008_не_требуется) 22. Адаптивная фильтрация помех__ПРОВЕРИТЬ__ (из «адаптивная фильтрация(16-22).doc») (адаптивное ПОДАВЛЕНИЕ(?) помех?) Помеха n1 коррелированна с помехой n0, не корр. с сигналом. e(k)=S(k)+(n0-y) e2(k)=S2(k)+2S(n0-y)+(n0-y)2 E[e2]=E[s2]+E[2S(n0-y)]+E[(n0-y)2] E[e2]=E[s2]+E[(n0-y)2] min E[e2]= E[s2]+min E[(n0-y)2] n0=y то есть задача фильтра – построить такой сигнал, чтобы y=n0, то есть получить чистый сигнал без помех и отношение сигнал/шум на выходе фильтра – макс. 23. Примеры устройств с АПП. (из «адаптивная фильтрация(16-22).doc») - шумодавы Например, разговор по сотовому телефону -подавление наводок от частоты питающей сети (например в ЭКГ) 50-60 Гц -удаление артефактов из электроэнцефалограммы Артефакт – ЭОГ(элетроокулография) – датчики ставятся вокруг глаз и с них отдельно снимается ЭОГ. На голове датчики, чувствительность примерно 20 мкВ, заметно даже морагние – снимается ЭЭГ. -речь в кабине самолета -фильтрация гармонических сигналов на фоне широкополосной помехи -выделение сердцебиения эмбриона -радиолокация. /// Адаптивные антенные решетки (управление антенным ключом) (в 2008 не требуется) Радио-, гидро-, сейсмология. В качестве опорного берется сигнал «чистая помеха» 24. Введение в вейвлет-преобразование (ВП). Общая характеристика ВП. Непрерывное ВП (из «вейвлет(23,24,26).doc») Вейвлет – преобразование сигналов является обобщением спектрального анализа, типичный представитель которого – классическое преобразование Фурье. Термин "вейвлет" (wavelet) в переводе с английского означает "маленькая (короткая) волна". Вейвлеты - это обобщенное название семейств математических функций определенной формы, которые локальны во времени и по частоте, и в которых все функции получаются из одной базовой (порождающей) посредством ее сдвигов и растяжений по оси времени. Вейвлет-преобразования рассматривают анализируемые временные функции в терминах колебаний, локализованных по времени и частоте. Как правило, вейвлет-преобразования подразделяют на дискретное и непрерывное. Дискретное используется для преобразований и кодирования сигналов, непрерывное - для анализа сигналов. Непрерывное вейвлет-преобразование определяется как: W(a, b) = f(t), ab(t) = (1/ |а |) f(t)((t-b)/a) dt, (a, b)R, a0 Таким образом, непрерывное вейвлет-преобразование представляет собой разложение сигнала по всем возможным сдвигам и сжатиям/растяжениям некоторой локализованной финитной функции вейвлета. При этом переменная 'a' определяет масштаб вейвлета и эквивалентна частоте в преобразованиях Фурье, а переменная 'b' – сдвиг вейвлета по сигналу от начальной точки в области его определения, шкала которого полностью повторяет временную шкалу анализируемого сигнала. Отсюда следует, что вейвлетный анализ является частотно-пространственным анализом сигналов. 25. Ограничение и недостатки преобразования Фурье. Оконное ПФ (из «вейвлет(23,24,26).doc») // без принципа Гейзенберга, которого убрали в 2008 1. Применимо только к стационарным сигналам Например : x1(t ) cos w1t cos w2t cos w3t 2. Если в сигнале появляется какая-то особенность, например всплеск, несущий информацию, то он не распознается на Фурье, тк размажется по всей спектрально оси Чтобы обойти это недостатки, вводится оконное ПФ: вводим квазистационар – окно, которое можно смещать X ( w , b0 ) x(t )W (t b0 )e jwt dt частота момент времени 26. ___О-Т-С-У-Т-С-Т-В-У-Е-Т___!!!___(в_2008_не_требуется) 27. Представление функций при помощи вейвлетов. Обратное вейвлетпреобразование. (из «25_2.док») -пространство, ограниченное энергией сигнала -образует двоично-ортогональный (двоично-ортонормальный) базис Если это так, то любую функцию можно представить -Cn -коэффициенты Фурье. Базисные функции должны обладать условием ортонормальности (скалярное произведение должно быть равно нулю). Обратное вейвлет-преобразование Функциональное пространство L2(R), R(-∞,∞). Вся ось перекрывается масштабирования (a — коэффициент масштабирования, b — коэффициент сдвига). -это определение вейвлета со сдвигом и масштабированием. Таким образом, мы можем определить набор базисных функций непрерывн ое вейвлетпреобразо вание с помощью (прямое), где * - обозначение комплексно-сопряжённого. Полу чает ся двум ерна я свёр тка по осям b и a, т.е. снач ала фикс ируем a и проходим по всем b. Обратное преобразование возможно, если базисные функции ортонормированы обра тное прео бразование функции по известному вейвлет-преобразованию. 28. Признаки вейвлетов. Свойства ВП (из «вейвлет(23,24,26).doc») Признаки вейвлетов: 1. Локализация по времени t и частоте f, то есть он существует не на (, ) , а ограничен 2. Нулевое среднее (t) dt = 0 – момент 1го порядка, иногда требуется момент большего порядка: tm(t) dt = 0 3. Ограниченность. Необходимое и достаточное условие: |(t)|2 dt < 4. Автомодальность базиса или самоподобие. Форма всех базисных вейвлетов ab(t) должна быть подобна материнскому вейвлету (t), т.е. должна оставаться одной и той же при сдвигах и масштабировании (растяжении/сжатии), иметь одно и то же число осцилляций Свойства ВП k11 k1 f1 (t ) 1. Линейность k2 f 2 (t ) ... ... W k2 2 ... ... 2. Инвариантность по отношению к сдвигу [ f (t b0 )] f (a, b b0 ) 3. Инвариантность к сжатию, растяжении, масштабированию t a b 1 [ f ] f , a0 a0 a0 b0 4. Дифференцирование m f m t m * (t ) m ( 1) f ( t ) dt m t Отсюда следует, что безразлично, дифференцировать ли функцию или анализирующий вейвлет. 5. Аналог теоремы Парсеваля | f (t ) f 1 * 2 2 (t ) | dt f 1 (a, b) f 2* (a, b) dadb a2 29. ___О-Т-С-У-Т-С-Т-В-У-Е-Т___!!!___(в_2008_не_требуется) 30. Принципы построения цифро-аналоговых преобразователей (ЦАП). (из «элементная база срв(27-39).doc») C матрицей двоично-взвешанных резисторов С матрицей R-2R 1: На подходящих к резисторам линиях имеются элек-трические потенциалы, соответствующие 1 цифрам в разрядах кода, причем цифре 0 соответствует 0 В, а цифре 1 – потенциал U . Снизить 0 потенциал U логического 0 до нулевого значения можно, установив перед резисторами матрицы 0 диоды в про-пускном направлении с напряжением отпирания, большим U . n-1 К резистору R подходит линия старшего разряда, а к резистору 2 R – линия младшего разряда. При наличии 1 в старшем разряде кода ток через резистор R (точка a – “кажущаяся земля”, ее 1 потенциал весьма близок к нулю) равен U /R, при наличии 1 в следующем разряде ток через 1 n-1 резистор 2R равен U /(2R) и т.д., при наличии 1 в младшем разряде ток через резистор 2 R равен 1 n-1 U /(2 R). Таким образом, напряжение на выходе ЦАП пропорционально весу действующего на входе кода. Достоинством рассмотренного ЦАП является простая и недорогая структура, а недостатком – необходимость тщательного отбора резисторов разных номиналов, с тем чтобы их сопротивления находились в должном соответствии, а также невозможность практи-чески выдержать это соответствие в диапазоне температур. 2: Здесь входное сопротивление матрицы постоянно равно R, а 2R-резисторы подключаются в зависимости от значения двоичного разряда либо к нулевой точке, либо к инвертирующему входу операционного усилителя На каждый ключ (Кл) действует разряд входного кода an-1, an-2,…, a0. Когда в разряде присутствует 0, ток через ключ замыкается на “землю”. Если в разряде присутствует 1, то ток проходит к инвертирующему входу операционного усилителя (ОУ). В силу этого правые по схеме выводы резисторов 2R имеют нулевой потенциал: через ключи они подключены к “земле” или к инвертирующему входу ОУ, потенциал которого близок к нулю (U0≈0). Если в разрядах кода присутствуют 1, то ключи коммутируют токи соответствующих ветвей к неинвертирующему входу ОУ, где они складываются, и на резисторе R0 (на выходе ЦАП) создают напряжение, эквивалентное весу действующего на входе кода. Заметим, что операционный усилитель в данном случае осуществляет преобразование тока в напряжение. Из схемы рис.10.4,а следует, что полное сопротивление между источником опорного напряжения Uоп и инвертирующим входом ОУ (точкой, имеющей нулевой потенциал) равно R и не зависит от числа единиц в разрядах кода. Отсюда следует, что ток на входе матрицы I0=Uоп/R, а коэффициент усиления ОУ K=R0/R. Так как в каждом узле ток делится пополам, то через ключ, на который воздействует младший n n разряд кода, проходит ток I1= I0/2 = Uоп/(R2 ), где n – число разрядов преобразователя. Его вклад в выходное напряжение ЦАП, т. е. напряжение от единицы в младшем разряде кода n n, ΔU = (Uоп/R·2 )R0 = Uоп K / 2 а полное напряжение на выходе ЦАП n-1 n-2 n uвых=ΔU(an-1·2 +an-2·2 +…+a1·2+a0)=UопKN/2 , n-1 n-2 где an-1·2 + an-2·2 +…+a1·2+a0 = N – вес входного кода в десятичном счислении. n Если во всех разрядах кода единицы, то N = 2 –1. При этом выходное напряжение n n -n uвых max = Uоп K(2 -1) N/2 = Uоп K(1-2 ) ≈ Uоп K. 31. Основные параметры ЦАП (из «элементная база срв(27-39).doc») Статические : 1. Характеристика преобразования h – ступень преобразования 2 I - нелинейность, измеряется в единицах младшего разряда (ЕМР) h - разрешающая способность, номинальное значение h D hh (ЕМР) – дифференциальная нелинейность h 3. Немонотоннсть Динамические : 1. Выбросы (glitch) Например, на входе преобразователя при изменении кода с 011 на 100 сначала переключаются последние два разряда, поэтому в какой то момент получаем 000 и только чуть позже 1ый разряд меняется и получаем 100 – отсюда всплеск 2. Время установления N 1 y (t ) x(nT )h(t nT ) n 0 32. Устройства выборки и хранения (УВХ). Принципы построения, основные параметры, примеры применения. (из «элементная база срв(27-39).doc») В — выборка Хр — хранение Следует использовать фторопласта. конденсаторы из Диэлектретная абсорбция (поляризация). 1- зарядка конденсатора 2- пустили конденсатор в свободное плавание и он постепенно заряжается - это и есть диэлектрическая абсорбция. Такой конденсатор использовать нельзя 3- разрядка конденсатора Характеристики 1) Апертурное время ta — апертурное время (порядок 1 мс) tу — время установления 2) Время восстановления (установления) Область применения Используется на входе АЦП. 1) Системы сбора данных 2) Системы распределения данных 3) Борьба с glitch'ем Пиковый детектор 33. АЦП с двухтактным интегрированием. (из «элементная база срв(27-39).doc») Сч — счётчик Рг — регистр УУ — устройство управления К — компаратор S=1, q1 = Uвх T / Rc; S=2, q2 = Uоп t / Rc При q1 =q2 => tвх = UвхT / Uоп n(Uвх1) = UвхNmax / Uоп Достоинства: 1. сглаживание углов, помех 2. Т.к. Цепочка заряда и разряда одна и та же, то все статические параметры сглаживаются Недостатки: 1. Невысокое быстродействие (сотни кГц) Коэффициент подавления помехи (КПП) КПП ~ 70...80 дБ У неё на схеме 2 положения: S=1 и S=2. Автокалибровка при S=3 (1, 2, 3 — положения ключа, 3 — замыкание на землю) 34. АЦП последовательного приближения (из «элементная база срв(27-39).doc») Здесь заложен принцип дихотомии (если преобразователь m-разрядный, то за m тактов выполняется преобразование). РгПП — регистр последовательного приближения Недостатки: 1. Невысокое быстродействие /// ??? что-то тут не так, по-моему 35. Параллельные и многокаскадные АЦП. (из «элементная база срв(27-39).doc») Параллельные АЦП (на примере трёхразрядного АЦП) Опорное напряжение делится. Все компараторы срабатывают быстро, на выходе шифратора — обычный двоичный код. Достоинства: 1. Высокая скорость и частота преобразования (единицы ГГц) Недостатки: 1. Ограничение разрядов — 12 (но существуют 16-разрядные с частотой 110 МГц) Многокаскадные АЦП 36. Основные характеристики АЦП. (из «элементная база срв(27-39).doc») 1. Шаг преобразования 2. Интегральная нелинейность m — шаг преобразования (квант), цена деления младшего разряда (EMP, q или LSB). Динамические характеристики: 1. Время преобразования — минимальное время, за которое на выходе получается устойчивый код. С ним связана такая характеристика, как максимальная частота преобразования. 2. Апертурное времяАпертурная неопределённость, апертурная дрожь, jitter: Δta — джиттер 3. Отношение сигнал-шум (SNR — signal to noise ratio): SNR = 6,02n+1,77 [дБ], где n — количество разрядов Т.е. при n=16 SNR=97 дБ Эффективное число разрядов ENOB (effective number of bits): nэф = (SNR-1,77)/6,02 4. THD — суммарные гармонические искажения (total harmonic distortion) 5. SFDR — свободный динамический диапазон (Spurious-free dynamic range) 37. Принципы построения сигма-дельта АЦП (из «элементная база срв(27-39).doc») 1. Разрядность до 24 (шумы дискретизации должны быть минимальными) 2. Частота преобразования до 100 кГц. Служат для измерительных целей, легко технологически реализуемы. Принципы: 1. Передискрети зация 2. Формировани е спектра шума (Noise shaping) 3. Цифровая фильтрация 4. Децимация АЭФ — антиалиасинговый фильтр (antialiasing filter) Σ-Δ мод — сигма-дельта модулятор Сигма-дельта модулятор Получаем на выходе последовательность 010101... Если на вход подадим ¾ Uоп , то уже на выходе будет больше. Мы должны его усреднить на большом интервале, получим какой-то код, т.е. одно значение для аналогового сигнала. Далее подаём следующее значение и т.д. Далее делаем цифровую фильтрацию. В качестве фильтров используются классические фильтры. Можно совместно производить децимацию и фильтрацию. Недостатки: 1. Маленькая частота Σ-Δ можно представить следующим образом: Qмд — заряд модулятора Сигма-дельта модулятор второго порядка Чем выше порядок, тем меньше уровень шума в области рабочих частот. Достоинства: Не требует УВХ. 38. Фильтры на переключаемых конденсаторах. (из «элементная база срв(27-39).doc») - заряд -ток - эквивалентное, т.е. Rэ эквивалентную нашему переключателю. Преимущество — конденсатор и пара транзисторов занимают гараздо меньше места, чем резисторы. Фильтр по данной схеме строится очень легко: - не более 70-80 дБ из-за шумов дискретизации. 39. Особенности цифровых сигнальных процессоров (ЦСП). (из «элементная база срв(27-39).doc») 1. Гарвардская структура (раздельная память программ и память данных). 2. Конвейерная организация (для достижения максимальной производительности процессора). В данном случае применяется параллельное выолнение: 3. Короткий командный цикл (tцикла ~ 1 нс). 4. Наличие специализированных команд (например MAC X=A*B+C). 40. Базовая архитектура ЦСП типа TMS320C6xxx. Основные технические характеристики. (из «элементная база срв(27-39).doc») Делятся на: - с фиксированной точкой (С6701); - с плавающей точкой (С6200). Особенности С6000: - архитектура с очень длинным командным словом (VLIW, VelociTI): 8 команд х 32 разряда = 256 элементов (командное слово) - CPU (центральное процессорное ядро) — содержт 2 умножителя и 6 АЛУ (т.е. За 1 такт можно выполнить 2 операции умножения и 6 операций на АЛУ). Достигает 3 млн. операций в секунду на одном кристалле. L – арифметико-логические операции (АЛУ). S – операции сдвига, перехода (АЛУ). M – умножение (32х32 если с фиксированной точкой). D – адресный генератор, т.е. преобразование адреса (формирует адрес следующей команды). Операнды, с которыми производятся эти операции, находятся в регистровых файлах (т.к. В регистрах быстрее всего выполняются команды). Здесь можно выполнять операции как параллельно, так и последовательно или параллельнопоследовательно. Здесь видно распараллеливание на 6 операционных устройств и конвейеризация (начиная с выборки, диспетчеризации и т.д.). 41. Организация интерфейсов, внутренней памяти и периферийных устройств TMS320C6xxx. (из «элементная база срв(27-39).doc») DSP C6701 Шина EMIF — Extended Memory Interface, к ней можно подключить: SRAM, SDRAM, SBSRAM, Flash, FIFO – это все Glue less, т.е. Не надо дополнительных устройств для подключения таких видов памяти, все уже предусмотрено. HPY – для связи с синхронными и асинхронными устройствами и т.п. McBSP – позволяет работать в дуплексном режиме, отслеживать протоколы для раличных модемных приложений. Управляющих регистров ~ 100. JTAG – внутренний модулятор — с помощью него можно посмотреть состояние всех регистров, удобно для отладки. 42. Особенности процессоров TMS320C64xx. (из «элементная база срв(27-39).doc») - 3 ядра, 24000 HIPS (16 Hz); - 64 канала DMA; - Ethernet Controller (1000 Mbit/s); - L2 – 24 Mbit; - управляющий семафор; - GPIO (16 р.); - антенный интерфейсю 43 . Проблемы проектирования прецизионных аналого-цифровых систем (АЦС). Борьба с токами утечки в изоляторах. Паразитные эффекты в резисторах. (из «срв40-43.doc») АЦП — 16 разрядов. FS = ± 5В — Uвх LBS — цена разряда Схема: Первая проблема: Размещаем ее на печатном проводнике (п/п). Схема проводника: E = 10В/216 = 150мкВ Rп/п ~ 0,09 Ом — удельное споротивление 0,09/5000 = 0,0018% - влияние неудачного АЦП (т.е. этот проводник может внести ошибку). 10В/150мкВ ~ 1/216 = 0,0015% - ошибка будет соразмерна с ценой младшего разряда (0,0018%). Следовательно, необходима калибровка, иначе возможна потеря младшего разряда. Вторая проблема: Skin-эффект — в высокочастотной схеме. Чем выше частота, тем ток будет перераспределяться ближе к повехности проводника (плотность тока). Этот эффект сказывается на десятках мегагерц. Борьба с токами утечки в изоляторах. Утечка на печатном проводнике. Охранные кольца. Матреиал для производства плат — стеклотекстолит. Поверхностое сопротивление R1 Объемное сопротивление R2 R1 » R 2 10-15А, следовательно, дельта А. Здесь это тоже может быть, следовательно, ставим охранное кольцо. Паразитные эффекты на резисторах. В обычных резисторах (МЛТ) может образовываться термо-ЭДС ~ 40 мкВ/оС. Изменение на 2 градуса по цельсию приводит к потере младшего разряда. В прицезионных резисторах точность 0,09. RC2-29 с точностью 0,01%, 5 мкВ/оСЮ следовательно, их нельзя располагать около источников тепла. Индуктивность может достигать 10-ов и сотен нано Генри. 44. Емкостной шум, экран Фарадея. Паразитные эффекты в конденсаторах. (из «срв40-43.doc») Тепловой шум, он же шум Джонсона. постоянная Больцмана К = 1,38*10-23 Дж/ оС. В — полоса (Гц) Т — собственная температура R (Ом) Это шум, который присутствует в каждом сопротивлении. Его можно уменьшить за счет полосы и за счет температуры. 80 оК — надо охладить до такой температуры. Паразитные эффекты в конденсаторах. Толщина стандртной платы 1,5 мм, следовательно, 2,8 pF/см2 — паразитная емкость между проводниками. - разделен обкладкой конденсатора, следовательно, ток течет, как показано на нижнем рисунке; - физически это делается с помощью многослойной печатной платы, где средний слой — земля. С = 0,2 pF (пикофарад) На аналоговый хвод наводится много мусора, следовательно, выход следующий — промежуточный регистр: Еще присутствует диэлектрическая абсорбция: Некоторые конденсаторы обладают диэлектречиской абсорбцией. - многослойные керамические кондесаторы, у которые меньшая индуктивность. Токи утечки кондесаторов. Максимальным током утечки обладают алюминиевые конденсаторы ~ 20 nA/мкВ Танталовые конденсаторы — 1÷ 5 20 nA/мкВ. 45.Принцип индуктивной связи. Взаимная индуктивность. (из «срв40-43.doc») Проводник: Толщина тпроводника 0,038. Данный проводник обладает индуктивностью 7,2 нГн. F = 10 МГц XL = 2πfL = 45*107*10-9 = 0,45 Ом (данное индуктивное сопротивление дает рассматриваемый проводник при частоте F = 10 МГц). Т.е. получаем, что 0,45 Ом дают ошибку 1% в 50-и омной системе. Принцип индуктивной связи. S – площадь. 2 контура на одной стороне печатной платы (ПП) или на двух. М — взаимная индуктивность. IN – поисковый ток. В — плотность магнитного поля. - наведенное напряжение. Вывод — надо ставить Пермаллюминиевый экран: Он экранирует наводки. Или можно использовать μ-металл. Пример плоского кабеля: неверное решение верное решение Еще более верное решение: 46. Заземление, земляные шумы и земляные петли. (из «срв40-43.doc») предполагаем, но в действительности идет напряжение, т.к. есть обратный ток. Эквивалентная схема: Точка а и точка b будут находиться под разным потенциалом. Пример земляной петли: - добавив это, получаем наводящееся напряжение и изменение тока. Вывод — таких земляных петель быть не должно, их надо избегать. 47. Земляные полигоны. Заземление экранированных кабелей. /// название вопросу подписал я, как понял. Соответственно, советую перепроверить (из «44,45.doc») Земляные полигоны должны быть как аналоговые, так и цифровые. Нельзя объединять аналоговую и цифровую земли. Между полигонами – диоды Шотки. Рекомендации разводки: 1) Раздельные источники питания – ИИП (импульсные источники питания) 2) Разделять аналоговые и цифровые земли , делать для них отдельные полигоны и объединять по схеме «звезда» общим источником питания. 3) Разделять аналоговые и цифровые ИП (лучше делать как можно больше ИП) Дифференциальная передача сигналов Мы экран заземлили у приемника, и это правильно. Если его просто не заземлять [X на рисунке], то экран будет антенной, которая всё ловит. Ещё один вариант – с 2-х сторон , то получаем контур и опять что-то наводится. Большое Rвх от датчика, с которого снимаем показания, тогда делаем так: (ставим предусилитель) 48? Выбор наиболее рационального размещения основных узлов АЦС на печатной плате. __ПРОВЕРИТЬ__ /// название вопросу подписал я, как понял. Соответственно, советую перепроверить (из «44,45.doc») Маршрутизация сигнала ГТИ – генератор тактовых импульсов Это система входа и обработки аналогового сигнала (типичная схема) Как будет на плате: ГТИ – это не цифровая и не аналоговая часть. Нельзя пересекать аналоговые и цифровые сигналы, т.к., с цифровой на аналоговый может быть наведен какой-то сигнал, тогда ослабнет сигнал и увеличится шум. ИП может быть много (1 – для АЭФ, 1 – для АЦП, 1 – для DSP и т.п.) Рекомендации: 1) Не допускать пересечения между аналоговыми и цифровыми сигналами и аналоговыми сигналами разного уровня (низкого и высокого) 2) Аналоговые и цифровые ИП и аналоговые и цифровые земли, обязательно надо как можно больше. 3) Аккуратное обращение с сигналами – samp CLK (min-ый jitter) - на ОУ (операционном устройстве) с большим входным сопротивлением могут быть паразитные сигналы, которые будет сложно отфильтровать ГТИ: min-ый jitter 1 𝑆𝑁𝑅 = 20 log10 2𝜋𝑓𝑡𝑎 Чем выше частота, на которой мы работаем (если 50 МГц), тем ниже 𝑡𝑎 (то должна составлять наносекунды). Характеристики: 1. Дрейф 2. Шум переключения (для ИИП) (работают на частоте в сотни кГц =100÷ 500 кГц могут пропадать и влиять на схему, т.е. ИП необходимо фильтровать ) 3. Шум для ИП прямого преобразования (50-100Гц) – неотфильтрованные шумы 4. Шум взаимовлияния (мы предполагаем, что сопротивление ИП=0, но это не таки если от одного ИП запитать 2схемы) Если включить схему В, то уже на А (на напряжение на А будет влиять схема В – из-за R≠ 0 на ИП) 49. ___О-Т-С-У-Т-С-Т-В-У-Е-Т___!!!___(в_2008_не_требуется) 50. ___О-Т-С-У-Т-С-Т-В-У-Е-Т___!!!___(в_2008_не_требуется)