С. Л. Гаврилюк, Н. И. Макаренко, С. В. Сухинин Волны в

advertisement
ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ
Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Ñ.Ë. Ãàâðèëþê, Í.È. Ìàêàðåíêî, Ñ.Â. Ñóõèíèí
ÂÎËÍÛ Â ÑÏËÎØÍÛÕ ÑÐÅÄÀÕ
Ó÷åáíîå ïîñîáèå
Äîïóùåíî ÓÌÎ ïî êëàññè÷åñêîìó óíèâåðñèòåòñêîìó
îáðàçîâàíèþ â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ
äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé
Íîâîñèáèðñê
2011
ÓÄÊ 517
Ãàâðèëþê Ñ.Ë., Ìàêàðåíêî Í.È., Ñóõèíèí Ñ.Â. Âîëíû â ñïëîøíûõ
ñðåäàõ // Íîâîñèá. ãîñ. óí-ò. Íîâîñèáèðñê, 2011.
Ó÷åáíîå ïîñîáèå ñîîòâåòñòâóåò ïðîãðàììå êóðñà ëåêöèé è ñåìèíàðîâ "Âîëíû â ñïëîøíûõ ñðåäàõ", ÷èòàåìîãî ñòóäåíòàì 4-ãî êóðñà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÍÃÓ. Ýëåìåíòû äàííîãî êóðñà ÷èòàþòñÿ òàêæå ñòóäåíòàì ãåîëîãî-ãåîôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÍÃÓ è ñòóäåíòàì Óíèâåðñèòåòà
Aix Marseille (Ôðàíöèÿ). Îñíîâíîé öåëüþ êóðñà ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé âîëíîâûõ ïðîöåññîâ è îâëàäåíèå ìåòîäàìè èõ èññëåäîâàíèÿ. Ïîñîáèå ñîäåðæèò òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë ïî âñåì ðàçäåëàì êóðñà,
èëëþñòðèðóåìûé ïðèìåðàìè è ðåøåíèÿìè òèïîâûõ çàäà÷. Êàæäàÿ èç ãëàâ
ñîïðîâîæäàåòñÿ ñïèñêîì çàäà÷ è óïðàæíåíèé ðàçëè÷íîé ñòåïåíè òðóäíîñòè
äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèé è ñåìåñòðîâûõ çàäàíèé.
Ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ ñòàðøèõ êóðñîâ óíèâåðñèòåòîâ, àñïèðàíòîâ è íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ â îáëàñòè ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä è ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè.
Èçäàíèå îñóùåñòâëåíî ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå íàöèîíàëüíîãî ïðîåêòà
"Îáðàçîâàíèå"è ãðàíòà N 2.1.1.4918 "Ìàòåìàòè÷åñêèå ïðîáëåìû äèíàìèêè
ñèëüíî íåîäíîðîäíûõ ñðåä" Ìèíèñòåðñòâà îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ðîññèéñêîé
Ôåäåðàöèè.
c Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, 2011
°
c Ñ.Ë. Ãàâðèëþê, Í.È. Ìàêàðåíêî, Ñ.Â. Ñóõèíèí, 2011
°
Îãëàâëåíèå
Ïðåäèñëîâèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Îñíîâíàÿ ëèòåðàòóðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1. Ãèïåðáîëè÷åñêèå âîëíû
1.1. Ãèïåðáîëè÷åñêèå ñèñòåìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Ðàñïðîñòðàíåíèå ñëàáûõ ðàçðûâîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Äâèæåíèÿ ñ ñèëüíûìè ðàçðûâàìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Êèíåìàòè÷åñêèå âîëíû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5. Ìíîãîìåðíûå âîëíîâûå ôðîíòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6. Ñèììåòðèçàöèÿ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Ëèòåðàòóðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2. Äèñïåðãèðóþùèå âîëíû
2.1. Äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2. Ìíîãîìåðíûå âîëíîâûå ïàêåòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
2.3. Äèññèïàöèÿ è íåóñòîé÷èâîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4. Ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5. Ìåòîä ñòàöèîíàðíîé ôàçû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6. Àñèìïòîòèêà â îêðåñòíîñòè ôðîíòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.7. Íåëèíåéíàÿ äèñïåðñèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Ëèòåðàòóðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3. Âîëíû â æèäêîñòÿõ
3.1. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2. Ëèíåéíàÿ òåîðèÿ ïîâåðõíîñòíûõ âîëí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75
3.3. Óðàâíåíèÿ äëèííûõ âîëí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3
3.4. Íåëèíåéíûå äèñïåðñèîííûå óðàâíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5. Ñòàöèîíàðíûå âîëíû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.6. Âîëíû â äâóõñëîéíîé æèäêîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.7. Âíóòðåííèå âîëíû â ñòðàòèôèöèðîâàííîé æèäêîñòè . . . . . . . . . . . . . . 90
Ëèòåðàòóðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4
Ïðåäèñëîâèå
Âîëíîâûå ÿâëåíèÿ âñòðå÷àþòñÿ ïîâñåìåñòíî â ïðèðîäå è ïîýòîìó óæå äàâíî èçó÷àþòñÿ âî ìíîãèõ åñòåñòâåííîíàó÷íûõ äèñöèïëèíàõ. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ
òåîðèÿ âîëí âûäåëèëàñü â áîëüøîå ñàìîñòîÿòåëüíîå íàó÷íîå íàïðàâëåíèå â
ñåðåäèíå 70-õ ãîäîâ äâàäöàòîãî ñòîëåòèÿ. Ýòî ïðîèçîøëî áëàãîäàðÿ åå ìíîãî÷èñëåííûì ïðèìåíåíèÿì â åñòåñòâîçíàíèè è òåõíèêå, ñòèìóëèðîâàâøèì áóðíîå ðàçâèòèå ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ.
Êóðñ "Âîëíû â ñïëîøíûõ ñðåäàõ"ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâíîé ÷àñòüþ öèêëà äèñöèïëèí ïî ìåõàíèêå ñïëîøíûõ ñðåä è ìàòåìàòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ, âõîäÿùèõ â ïðîãðàììó îáó÷åíèÿ ñòóäåíòîâ ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà
Íîâîñèáèðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. Â ÍÃÓ äàííûé ëåêöèîííûé
êóðñ áûë âïåðâûå ïðî÷èòàí àêàäåìèêîì Ë.Â. Îâñÿííèêîâûì, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò öåëûé ðÿä îñíîâîïîëàãàþùèõ ðåçóëüòàòîâ â âîëíîâîé ãèäðîäèíàìèêå. Ñôîðìóëèðîâàííûå èì ïðèíöèïû îòáîðà ìàòåðèàëà èñïîëüçîâàëèñü
àâòîðàìè ïîñîáèÿ ïðè ÷òåíèè íåñêîëüêèõ âàðèàíòîâ êóðñà ëåêöèé ñòóäåíòàì
ðàçíûõ ñïåöèàëüíîñòåé ìàòåìàòèêàì, ìåõàíèêàì è ãåîôèçèêàì.
Äàííîå ó÷åáíîå ïîñîáèå ñîäåðæèò óïðàæíåíèÿ äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèé è çàäà÷è äëÿ èíäèâèäóàëüíûõ ñåìåñòðîâûõ çàäàíèé, òðåáóþùèå îò ñòóäåíòîâ ðàçâèòèÿ íàâûêîâ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû. Ýòè çàäà÷è ïðîøëè òùàòåëüíûé îòáîð è ìíîãîëåòíþþ àïðîáàöèþ â õîäå ïðåïîäàâàíèÿ íà ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîì è ãåîëîãî-ãåîôèçè÷åñêîì ôàêóëüòåòàõ ÍÃÓ, à òàêæå Óíèâåðñèòåòà Aix Marseille (Ôðàíöèÿ). Äëÿ îáëåã÷åíèÿ ðàáîòû â ïîñîáèå âêëþ÷åí
íåîáõîäèìûé òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë, ïðèâåäåíû èëëþñòðèðóþùèå ïðèìåðû è îáðàçöû ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ òèïè÷íûõ çàäà÷. Áîëüøèíñòâî çàäà÷ ñíàáæåíû îòâåòàìè ê ðåøåíèþ, à íàèáîëåå òðóäíûå èç íèõ óêàçàíèÿìè.
Äâà ïåðâûõ ðàçäåëà çíàêîìÿò ÷èòàòåëÿ ñ îñíîâíûìè ïîíÿòèÿìè è àëãîðèòìàìè ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè âîëí. Ïðåäñòàâëåííûå çäåñü çàäà÷è ñâÿçàíû ñ âûÿâëåíèåì ñâîéñòâ ãèïåðáîëè÷íîñòè è äèñïåðñèè âîëíîâûõ ñèñòåì.
Ýòè óïðàæíåíèÿ ðàçâèâàþò íàâûêè îòûñêàíèÿ õàðàêòåðèñòèê, èíâàðèàíòîâ
5
Ðèìàíà è çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ äëÿ ñèñòåì êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà. Çäåñü æå ïðåäïîëàãàåòñÿ ïîñòðîåíèå è àíàëèç ðåøåíèé ñî
ñëàáûìè è ñèëüíûìè ðàçðûâàìè, îïèñûâàþùèõ ãèïåðáîëè÷åñêèå âîëíû.
Çàäà÷è âòîðîé ÷àñòè ïîäðàçóìåâàþò âûâîä è èññëåäîâàíèå äèñïåðñèîííûõ ñîîòíîøåíèé, íàõîæäåíèå ôàçîâûõ è ãðóïïîâûõ ñêîðîñòåé äëÿ âîëí,
îïèñûâàåìûõ äèôôåðåíöèàëüíûìè è èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè, ïîñòðîåíèå àñèìïòîòèê ðåøåíèé ñèñòåì ñ äèñïåðñèåé. ×àñòü çàäà÷
ïîñâÿùåíà ïîñòðîåíèþ è èññëåäîâàíèþ ðåøåíèé òèïà áåãóùèõ âîëí äëÿ ìîäåëåé, ñâîäÿùèõñÿ ê íåëèíåéíûì ýâîëþöèîííûì óðàâíåíèÿì. Áîëüøèíñòâî
çàäà÷ ïåðâîé è âòîðîé ÷àñòåé ôîðìóëèðóåòñÿ â ðàìêàõ è òåðìèíàõ ìîäåëåé
âîëíîâûõ ïðîöåññîâ, âîçíèêàþùèõ â ãàçîâîé äèíàìèêå è ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêå, òåîðèè óïðóãîñòè è ïëàñòè÷íîñòè, ëèíåéíîé è íåëèíåéíîé àêóñòèêå,
õèìè÷åñêîé êèíåòèêå. Òåì ñàìûì ïðåñëåäóåòñÿ öåëü ïîïóòíîãî îçíàêîìëåíèÿ
ñ êîíêðåòíûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ìîäåëÿìè, âñòðå÷àþùèìèñÿ â òåîðèè âîëí.
Âñå çàäà÷è òðåòüåé ÷àñòè îòíîñÿòñÿ ê òåîðèè ïîâåðõíîñòíûõ è âíóòðåííèõ âîëí â íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. Ýôôåêòèâíîñòü ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ çäåñü ïîñëåäîâàòåëüíî èëëþñòðèðóåòñÿ íà ïðèìåðå îäíîé îáùåé ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ìîäåëè, ïîðîæäàþùåé èåðàðõèþ ïðèáëèæåííûõ ïîäìîäåëåé.
×àñòü çàäà÷ äàííîãî ðàçäåëà çàèìñòâîâàíà èç êëàññè÷åñêîé ëèíåéíîé òåîðèè
ïîâåðõíîñòíûõ âîëí è òåîðèè äëèííûõ âîëí íà ìåëêîé âîäå. Äðóãàÿ ÷àñòü
ñôîðìóëèðîâàíà äëÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïîâåðõíîñòíûõ âîëí ñ äèñïåðñèåé è óðàâíåíèé âíóòðåííèõ âîëí â íåîäíîðîäíîé (ñòðàòèôèöèðîâàííîé ïî
ïëîòíîñòè) æèäêîñòè. Êðîìå òîãî, íåêîòîðûå çàäà÷è èëëþñòðèðóþò âëèÿíèå
ýôôåêòîâ âÿçêîñòè è çàâèõðåííîñòè.
Êàæäûé èç òðåõ ðàçäåëîâ ñîïðîâîæäàåòñÿ ñïèñêîì äîïîëíèòåëüíîé ëèòåðàòóðû, â êîòîðîì óêàçàíû èñòî÷íèêè äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî óãëóáëåííîãî
èçó÷åíèÿ ïðåäìåòà.  òî æå âðåìÿ àâòîðû ñòðåìèëèñü ê çàìêíóòîìó èçëîæåíèþ ìàòåðèàëà, áàçèðóþùåìóñÿ íà ëåêöèîííîì êóðñå è âïîëíå äîñòàòî÷íîìó
äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷. Áîëüøóþ ïîìîùü ïðè ïîäãîòîâêå ïîñîáèÿ ê èçäàíèþ îêà6
çàëè êîëëåãè ïî êàôåäðå ãèäðîäèíàìèêè ÍÃÓ, êîòîðûì àâòîðû âûðàæàþò
ñâîþ èñêðåííþþ ïðèçíàòåëüíîñòü. Ìû îñîáî áëàãîäàðíû áåçâðåìåííî óøåäøåìó ÷ëåíó-êîððåñïîíäåíòó ÐÀÍ Â.Ì. Òåøóêîâó çà ìíîãî÷èñëåííûå îáñóæäåíèÿ, ñîâåòû è çàìå÷àíèÿ.
Îñíîâíàÿ ëèòåðàòóðà
1. Áðåõîâñêèõ Ë.Ì., Ãîí÷àðîâ Â.Â. Ââåäåíèå â ìåõàíèêó ñïëîøíûõ ñðåä â
ïðèëîæåíèè ê òåîðèè âîëí. Ì.: Íàóêà, 1982. 336 ñ.
2. Ëàéòõèëë Äæ. Âîëíû â æèäêîñòÿõ. Ì.: Ìèð, 1981. 598 ñ.
3. Îâñÿííèêîâ Ë.Â. Âîëíîâûå äâèæåíèÿ ñïëîøíûõ ñðåä. Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà. Íîâîñèáèðñê, ÍÃÓ, 1985.
4. Óèçåì Äæ. Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå âîëíû. Ì.: Ìèð. 1977. 624 ñ.
7
1. Ãèïåðáîëè÷åñêèå âîëíû
1.1. Ãèïåðáîëè÷åñêèå ñèñòåìû
Ðàññìàòðèâàþòñÿ êâàçèëèíåéíûå ñèñòåìû óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà
ut + A(u, x, t)ux + b(u, x, t) = 0
(1)
ñ ìàòðèöåé A ïîðÿäêà n×n è âåêòîðîì b, çàâèñÿùèìè îò x, t è u = (u1 , ..., un ).
Íàïðàâëåíèå dx/dt = c íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì, åñëè ñóùåñòâóåò
òàêàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ óðàâíåíèé (1), â êîòîðîé êàæäàÿ èç èñêîìûõ
ôóíêöèé ui äèôôåðåíöèðóåòñÿ â ýòîì íàïðàâëåíèè. Âåëè÷èíà c, çàäàþùàÿ
õàðàêòåðèñòè÷åñêîå íàïðàâëåíèå, ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ìàòðèöû
A:
det (A − cI) = 0.
(2)
Äëÿ êàæäîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ c è ñîîòâåòñòâóþùåãî åìó ëåâîãî ñîáñòâåííîãî âåêòîðà l ìàòðèöû A, lA = cl, ñëåäñòâèåì óðàâíåíèé (1) ÿâëÿåòñÿ
óñëîâèå íà õàðàêòåðèñòèêå
l · (dt u + b) = 0,
(3)
ãäå dt = ∂t + c∂x îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ âäîëü õàðàêòåðèñòèêè.
Ñèñòåìà (1) íàçûâàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé, åñëè ñóùåñòâóþò n ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåùåñòâåííûõ ëåâûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû A. Ãèïåðáîëè÷åñêàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ýêâèâàëåíòíà ñèñòåìå n ñîîòíîøåíèé íà õàðàêòåðèñòèêàõ. Ñèñòåìà ãèïåðáîëè÷íà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (2) âåùåñòâåííû è íîðìàëüíàÿ æîðäàíîâà ôîðìà
ìàòðèöû A äèàãîíàëüíà. Äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè äëÿ ýòîãî ÿâëÿþòñÿ: (à)
ìàòðèöà A ñèììåòðè÷íà; (á) âñå êîðíè óðàâíåíèÿ (2) âåùåñòâåííû è ðàçëè÷íû.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå, êîãäà ìàòðèöà A íå èìååò êðàòíûõ ñîáñòâåííûõ
çíà÷åíèé, ãèïåðáîëè÷åñêàÿ ñèñòåìà (1) íàçûâàåòñÿ ñòðîãî ãèïåðáîëè÷åñêîé
ñèñòåìîé.
8
Ïðèìåð. Ïðîöåññ õèìè÷åñêîé ñîðáöèè, èñïîëüçóåìûé äëÿ ðàçäåëåíèÿ âåùåñòâ â æèäêîé
èëè ãàçîîáðàçíîé ñìåñè ìåòîäîì õðîìàòîãðàôèè, îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé
∂t (u + f (u)) + v ∂x u = 0.
(4)
Çäåñü u = (u1 , ..., un ) êîíöåíòðàöèè ðàçäåëÿåìûõ âåùåñòâ â ñìåñè, ïðîïóñêàåìîé ÷åðåç
ñîðáöèîííóþ êîëîíêó, f (u) = (f1 (u), ..., fn (u)) êîíöåíòðàöèè ýòèõ æå âåùåñòâ, ïîãëîùåííûõ ñîðáåíòîì, v = const > 0 ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ñìåñè. Ïóñòü âåêòîð-ôóíêöèÿ
f (u), íàçûâàåìàÿ èçîòåðìîé ñîðáöèè, òàêîâà, ÷òî âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû ßêîáè f 0 (u) = ∂(f1 , ..., fn )/∂(u1 , ..., un ) âåùåñòâåííû, ïîëîæèòåëüíû è ðàçëè÷íû: 0 < λ1 <
... < λn . Òîãäà èñõîäíûå óðàâíåíèÿ (4) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó (1) ñ ìàòðèöåé
A(u) = v (I + f 0 (u))−1 è âåêòîðîì b = 0. Ïîñêîëüêó
µ
¶
0
A − cI = (v − c)I − c f (u) (I + f 0 (u))−1 ,
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû A ñâÿçàíû ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ìàòðèöû f 0 (u) ðàâåíñòâàìè cj = v/(1 + λj ) (j = 1, 2, ..., n). Ñëåäîâàòåëüíî, â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè
ñèñòåìà (4) ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî ãèïåðáîëè÷åñêîé, ïðè÷åì âñå åå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ñêîðîñòè ïîëîæèòåëüíû è íå ïðåâîñõîäÿò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ñìåñè. Ðàçëè÷èå ýòèõ ñêîðîñòåé
ci 6= cj (i 6= j) ëåæèò â îñíîâå ìåòîäà õðîìàòîãðàôèè.
Ñîîòíîøåíèå (3) ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ dt r(u) = −µ l·b, åñëè ñóùåñòâóþò ñêàëÿðíûå ôóíêöèè r(u) è µ(u, x, t), äëÿ êîòîðûõ
∂r
= µ li (i = 1, ..., n).
∂ui
Âåëè÷èíà r(u) íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòîì Ðèìàíà. Ìîòèâèðîâêà ýòîãî íàçâàíèÿ ñòàíîâèòñÿ ÿñíîé â ñëó÷àå l · b = 0, êîãäà èíâàðèàíò Ðèìàíà r ïîñòîÿíåí
âäîëü õàðàêòåðèñòèêè. Èíâàðèàíòû Ðèìàíà âñåãäà ñóùåñòâóþò äëÿ ñèñòåìû
(1), ñîñòîÿùåé èç îäíîãî èëè äâóõ óðàâíåíèé. Ïðè n > 3 èíâàðèàíòû ìîãóò
íå ñóùåñòâîâàòü.
Çàäà÷à. Íàéòè õàðàêòåðèñòèêè è èíâàðèàíòû Ðèìàíà äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé äëèííûõ
âîëí â ñëîå æèäêîñòè íàä ðîâíûì äíîì
ht + (uh)x = 0,
ut + uux + ghx = 0,
(5)
ãäå h(x, t) ãëóáèíà ñëîÿ, u(x, t) ãîðèçîíòàëüíàÿ ñêîðîñòü æèäêîñòè, g óñêîðåíèå
ñèëû òÿæåñòè.
9
Ðåøåíèå. Ñîñòàâëÿÿ ìàòðèöó êîýôôèöèåíòîâ èñõîäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé, ïîëó÷àåì:

A − cI = 

u−c
h
g
u−c
.
√
Îòñþäà íàõîäèì õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ñêîðîñòè c± = u ± gh. Ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé â îáëàñòè h > 0. Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè dx/dt = c+ ëåâûé ñîáñòâåííûé âåêòîð, îïðåäåëÿåìûé ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîëüíîãî ñêàëÿðíîãî ìíîæèòåëÿ, èìååò âèä
√ √
l = ( g, h). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ îòûñêàíèÿ èíâàðèàíòà Ðèìàíà r(h, u) ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé
√
∂r
∂r
√
= µ g,
= µ h,
∂h
∂u
ãäå µ(h, u) íåèçâåñòíûé èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü. Èñêëþ÷àÿ ýòîò ìíîæèòåëü,
ïîëó÷àåì ëèíåéíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ ôóíêöèè r
s
∂r
h ∂r
−
= 0.
∂u
g ∂h
p
Ñîñòàâëÿÿ äëÿ íåãî óðàâíåíèå õàðàêòåðèñòèê du = − g/h dh, íàõîäèì ïåðâûé èíòåãðàë
√
r = u + 2 gh. Ïîñêîëüêó â îïðåäåëåíèè èíâàðèàíòà Ðèìàíà èìååòñÿ ôóíêöèîíàëüíûé
ïðîèçâîë, íàéäåííûé ïåðâûé èíòåãðàë ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå èñêîìîãî èíâàðèàíòà.
Õàðàêòåðèñòèêà dx/dt = c− ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
Îòâåò:
dx
dt
=u+
√
√
gh : u + 2 gh = const;
dx
dt
=u−
√
√
gh : u − 2 gh = const.
1.2. Ðàñïðîñòðàíåíèå ñëàáûõ ðàçðûâîâ
Çàäà÷à Êîøè äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (1) ñòàâèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ïðè t = t0 çàäàíû çíà÷åíèÿ ui (x, t0 ) = ui0 (x), òðåáóåòñÿ íàéòè ðåøåíèå ïðè
t > t0 .
Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè. Ïóñòü ñèñòåìà (1) ãèïåðáîëè÷íà, à êîýôôèöèåíòû ìàòðèöû A è âåêòîðà b íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû. Ïóñòü êóñî÷íîãëàäêîå íåïðåðûâíîå ðåøåíèå u(x, t) îïðåäåëåíî â õàðàêòåðèñòè÷åñêîì òðåóãîëüíèêå X1 M Xn . Òîãäà åñëè åñëè ū íåïðåðûâíîå êóñî÷íî-ãëàäêîå ðåøåíèå ñèñòåìû (1), îïðåäåëåííîå â X1 M Xn , è åñëè ū = u íà îòðåçêå X1 Xn , òî
ū = u âî âñåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîì òðåóãîëüíèêå X1 M Xn .
Èç ýòîé òåîðåìû âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå âîëíîâûõ ôðîíòîâ, ðàçäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ è äâèæåíèÿ. Ïóñòü îáëàñòü D ðàçäåëåíà ãëàäêîé êðèâîé Γ : x = χ(t) íà äâå ïîäîáëàñòè D− è D+ . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðåøåíèå
10
ãèïåðáîëè÷åñêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé íåïðåðûâíî â çàìêíóòîé îáëàñòè D è
ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûì â çàìûêàíèÿõ D− è D+ . Ïðè ýòîì
äîïóñêàåòñÿ, ÷òî íà ëèíèè Γ ïðîèçâîäíàÿ ðåøåíèÿ ∂x u = v ìîæåò èìåòü ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà ñî ñêà÷êîì [v] = v+ − v− .  ñèëó íåïðåðûâíîñòè ðåøåíèÿ
u ñêà÷îê åãî êàñàòåëüíîé ïðîèçâîäíîé dt u = ∂t u + χ0 (t)∂x u íà ëèíèè Γ ðàâåí
íóëþ, îòêóäà ñëåäóþò âûðàæåíèÿ äëÿ ñêà÷êîâ ïðîèçâîäíûõ
[∂x u] = [v],
[∂t u] = −χ0 [v].
Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó ñèñòåìû (1) èìååì (A−χ0 I)[v]. Òàêèì îáðàçîì, ðàçðûâ
ïðîèçâîäíîé ðåøåíèÿ âîçìîæåí òîëüêî íà õàðàêòåðèñòèêå, ïðè÷åì ñàì ñêà÷îê ÿâëÿåòñÿ ïðàâûì ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ìàòðèöû A.  ñëó÷àå ïðîñòîãî
ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ ìàòðèöû A àìïëèòóäà ñëàáîãî ðàçðûâà õàðàêòåðèçóåòñÿ ñêàëÿðíûì ìíîæèòåëåì σ , ñ êîòîðûì [v] = σ r, ãäå r = (r1 , ..., rn ) çàäàííûé ïðàâûé ñîáñòâåííûé âåêòîð. Âåëè÷èíà σ óäîâëåòâîðÿåò îáûêíîâåííîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ âäîëü õàðàêòåðèñòèêè
(l · r) dt σ + P σ + Q σ 2 = 0,
ãäå P è Q èçâåñòíûå ôóíêöèè.  ÷àñòíîñòè, Q =
(6)
n
P
i,j,k=1
li (∂aij /∂uk ) rk rj . Ñî-
îòíîøåíèå (6), ïî ñâîåìó âèäó ÿâëÿþùååñÿ óðàâíåíèåì Ðèêêàòè, íàçûâàåòñÿ
òðàíñïîðòíûì óðàâíåíèåì äëÿ àìïëèòóäû ñëàáîãî ðàçðûâà.
Çàäà÷à. Äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé îäíîìåðíîãî èçýíòðîïè÷åñêîãî äâèæåíèÿ ïîëèòðîïíîãî
ãàçà
(
rt + (u + c) rx = 0,
r =u+
lt + (u − c) lx = 0,
çàäàíû íà÷àëüíûå äàííûå
(
0,
x > a,
u(x, 0) =
c0 (x − a)/(l0 + a − x),
ãäå a = const,
c0 = const,
2
c,
γ−1
x < a,
l =u−
2
c
γ−1
c(x, 0) = c0 ,
l0 = const (c0 > 0, l0 > 0). Òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü ñêà÷îê
ïðîèçâîäíîé [ux ] íà õàðàêòåðèñòèêå x = c0 t + a â ìîìåíò âðåìåíè t.
Ðåøåíèå. Èç òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ñëåäóåò u(x, t) ≡ 0, c(x, t) ≡
c0 ïðè x > c0 t + a. Äàëåå, äëÿ èíâàðèàíòà Ðèìàíà l âäîëü õàðàêòåðèñòèêè dx/dt = u + c
11
èìååì
[lt ] + (u − c)[lx ] = 0,
[lt ] + (u + c)[lx ] = 0.
Ïåðâîå èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé âûòåêàåò íåïîñðåäñòâåííî èç óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, âòîðîå îçíà÷àåò íåïðåðûâíîñòü êàñàòåëüíîé ïðîèçâîäíîé èíâàðèàíòà l íà ëèíèè ñëàáîãî
ðàçðûâà. Îòñþäà âäîëü ðàññìàòðèâàåìîé õàðàêòåðèñòèêè ïîëó÷àåì [lt ] = 0, [lx ] = 0 è,
êàê ñëåäñòâèå, [ux ] = [rx ]/2. Äèôôåðåíöèðóÿ ïî x ïåðâîå óðàâíåíèå èñõîäíîé ñèñòåìû è
áåðÿ ñêà÷îê, ñ ó÷åòîì óñòàíîâëåííîãî ñâîéñòâà lx (x−0, t) = lx (x+0, t) = 0 ïðè x = c0 t+a
ïîëó÷àåì òðàíñïîðòíîå óðàâíåíèå
dt [rx ] −
γ+1
[rx ]2 = 0
4
ñ âûòåêàþùèì èç íà÷àëüíûõ äàííûõ óñëîâèåì [rx ] = −c0 /l0 ïðè t = 0. Èíòåãðèðîâàíèå
óðàâíåíèÿ äàåò äëÿ èñêîìîãî ñêà÷êà [ux ] ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
Îòâåò:
[ux ] = −
c0
2l0 +
γ+1
2
c0 t
.
1.3. Äâèæåíèÿ ñ ñèëüíûìè ðàçðûâàìè
Ðåøåíèÿ, îïèñûâàþùèå ðàñïðîñòðàíåíèå óäàðíûõ âîëí, ñòðîÿòñÿ íà îñíîâå çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ
∂t ϕ(x, t, u) + ∂x ψ(x, t, u) = f (x, t, u)
(7)
ñ n-ìåðíûìè âåêòîðàìè ïëîòíîñòåé èñêîìûõ âåëè÷èí ϕ = (ϕ1 , ..., ϕn ), èõ
ïîòîêîâ ψ = (ψ1 , ..., ψn ) è èñòî÷íèêîâ f = (f1 , ..., fn ). Íå âñÿêàÿ ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (1) ìîæåò áûòü çàïèñàíà â äèâåðãåíòíîé ôîðìå
(7). Äëÿ ìîäåëåé ñïëîøíûõ ñðåä óêàçàííîå ñâîéñòâî àâòîìàòè÷åñêè âûòåêàåò
èç ôîðìóëèðîâêè îñíîâíûõ óðàâíåíèé â âèäå ñèñòåìû èíòåãðàëüíûõ çàêîíîâ
ñîõðàíåíèÿ
d
dt
Zx2
¯x=x2 Zx2
¯
ϕ(x, t, u) dx + ψ(x, t, u)¯¯
=
f (x, t, u) dx.
x=x1
x1
(8)
x1
Óðàâíåíèÿ (1), äîïóñêàþùèå ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ñèñòåìû íåçàâèñèìûõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ñ îòëè÷íûì îò íóëÿ ÿêîáèàíîì |∂(ϕ1 , ..., ϕn )/∂(u1 , ..., un )| 6=
12
0 íàçûâàþòñÿ êîíñåðâàòèâíûìè.  ðÿäå ñëó÷àåâ ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé èìåþò äèâåðãåíòíûå ôîðìû â áîëüøåì êîëè÷åñòâå, ÷åì ÷èñëî óðàâíåíèé èñõîäíîé ñèñòåìû.  òàêîé ñèòóàöèè âûáîð ñèñòåìû çàêîíîâ
ñîõðàíåíèÿ äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèé ñ ñèëüíûìè ðàçðûâàìè îïðåäåëÿåòñÿ ñ
ó÷åòîì äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé (óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ, ñóùåñòâîâàíèå ðàçðûâíîãî ðåøåíèÿ êàê ïðåäåëà ãëàäêèõ ðåøåíèé, ôèçè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ
çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ è ò.ï.)
Çàäà÷à. Íàéòè âñå ñêàëÿðíûå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ∂t ϕ(u, v) + ∂x ψ(u, v) = 0 ñ ïîëèíîìèàëüíûìè ïî v ïëîòíîñòÿìè ϕ ñòåïåíè, íå âûøå âòîðîé, äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé íåëèíåéíûõ
óïðóãèõ âîëí
ut = v x ,
ρ0 vt = σx ,
σ = σ(u),
ρ0 = const.
Ðåøåíèå. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìååì
ϕu ut + ϕv vt + ψu ux + ψv vx = 0.
Èñêëþ÷àÿ ïðîèçâîäíûå ut è vt â ñèëó óðàâíåíèé èñõîäíîé ñèñòåìû è çàòåì ñîáèðàÿ è
ïðèðàâíèâàÿ íóëþ âåëè÷èíû îòäåëüíî ïðè ux è vx , ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ ϕ, ψ
ρ0 ψu + σ 0 (u) ϕv = 0,
ψv + ϕu = 0.
Èñêëþ÷àÿ îòñþäà ïåðåêðåñòíûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì ôóíêöèþ ψ , ïîëó÷àåì ëèíåéíîå
óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ ïëîòíîñòè ϕ
ρ0 ϕuu = σ 0 (u) ϕvv .
 çàäà÷å òðåáóåòñÿ íàéòè âñå ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ, èìåþùèå âèä ϕ = α(u) v 2 +
β(u) v + γ(u). Äëÿ êîýôôèöèåíòîâ óêàçàííîãî ïîëèíîìà èìååì ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:
α00 = 0, β 00 = 0, ρ0 γ 00 = 2σ 0 α. Èõ èíòåãðèðîâàíèå äàåò ïÿòèìåðíîå ïðîñòðàíñòâî êâàäðàòè÷íûõ ïî v ðåøåíèé ϕ = C1 ϕ1 + ... + C5 ϕ5 ñ ïðîèçâîëüíûìè âåùåñòâåííûìè ïîñòîÿííûìè Cj è óêàçàííûìè íèæå áàçèñíûìè ïëîòíîñòÿìè ϕj .
Îòâåò:
ϕ1 = u,
1
ϕ2 = ρ0 v, ϕ3 = uv, ϕ4 = ρ0 v 2 +
2
Zu
σ(ξ) dξ,
0
1
ϕ5 = ρ0 uv 2 +
2
Zu
(2ξ − u) σ(ξ) dξ.
0
Ïóñòü ðåøåíèå u èìååò ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà íà ëèíèè x = X(t) è ÿâëÿåòñÿ
ãëàäêèì ïî îáå ñòîðîíû îò íåå. Âûáåðåì íåïîäâèæíûå ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ x1 è x2 â èíòåãðàëüíîì çàêîíå ñîõðàíåíèÿ (8) òàê, ÷òîáû â äàííûé
13
ìîìåíò âðåìåíè áûëî x1 < X(t) < x2 . Ðàçáèâàÿ ïðîìåæóòîê èíòåãðèðîâàíèÿ
òî÷êîé x = X(t) íà äâå ÷àñòè è äèôôåðåíöèðóÿ ïî âðåìåíè âîçíèêàþùèå èíòåãðàëû, â ïðåäåëå ïðè x1 → x2 ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèÿ íà ñèëüíîì ðàçðûâå
óñëîâèÿ ÐýíêèíàÃþãîíèî
D[ϕ] = [ψ],
(9)
ãäå D = Ẋ(t) ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèëüíîãî ðàçðûâà. Çàôèêñèðóåì
ñîñòîÿíèå ñ îäíîé èç ñòîðîí ðàçðûâà, çàäàâàåìîå òî÷êîé u = u0 â ïðîñòðàíñòâå u ∈ Rn . Òîãäà â êà÷åñòâå ãåîìåòðè÷åñêîãî ìåñòà äîïóñòèìûõ ñîñòîÿíèé
ïî äðóãóþ ñòîðîíó âîëíû áóäåò âûñòóïàòü êðèâàÿ â Rn , çàäàâàåìàÿ óðàâíåíèÿìè (9). Ýòà êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ óäàðíîé àäèàáàòîé, îíà ìîæåò ñîñòîÿòü
èç íåñêîëüêèõ ãëàäêèõ âåòâåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç öåíòð àäèàáàòû u0 .
Ïðèìåð. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ íåëèíåéíîé òåîðèè óïðóãîñòè (7)
ñ âåêòîðàìè ϕ = (u, v), ψ = −(v, σ(u)/ρ0 ), f = 0. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ íàïðÿæåíèé σ(u) îáëàäàåò ñâîéñòâàìè σ 0 (u) > 0, σ(0) = 0, σ 0 (0) = λ + 2µ (çäåñü λ > 0 è µ > 0
êîýôôèöèåíòû Ëàìå). Âûïèñûâàÿ ñîîòíîøåíèÿ (9) íà ñèëüíîì ðàçðûâå, ñîïðÿãàþùåì
ñîñòîÿíèÿ (u0 , v0 ) è (u, v), èñêëþ÷èì èç íèõ ñêîðîñòü âîëíû D.  ðåçóëüòàòå âîçíèêàåò
óðàâíåíèå óäàðíîé àäèàáàòû
©
ª
ρ0 (v − v0 )2 = σ(u) − σ(u0 ) (u − u0 ).
(10)
Äàííàÿ êðèâàÿ â ïëîñêîñòè ïåðåìåííûõ (u, v) (äåôîðìàöèÿ è ñêîðîñòü ìàòåðèàëà) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî ñîñòîÿíèé, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ â ðåçóëüòàòå ïðîõîæäåíèÿ óäàðíîé âîëíû ïî ñîñòîÿíèþ (u0 , v0 ). Óäàðíàÿ àäèàáàòà (10) ñîñòîèò èç äâóõ
âåòâåé, îïèñûâàþùèõ ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí âëåâî (v < v0 ) èëè âïðàâî (v > v0 ). Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ñêîðîñòè âîëíû ïîëó÷àåòñÿ âûðàæåíèå
s
1 σ(u) − σ(u0 )
D=±
.
ρ0
u − u0
Ðàññìîòðèì óïðóãèé ïîëóáåñêîíå÷íûé ñòåðæåíü x > 0, êîòîðûé íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè
ïîä íàãðóçêîé σ0 = σ(u0 ), âîçíèêøåé â ðåçóëüòàòå îäíîðîäíîé íà÷àëüíîé äåôîðìàöèè
u0 = const. Ïðè âíåçàïíîì ñíÿòèè íàãðóçêè íà êîíöå ñòåðæíÿ x = 0 îí âåðíåòñÿ â íåäåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå u = 0, σ = 0 â ðåçóëüòàòå ïðîõîæäåíèÿ óäàðíîé âîëíû ðàçq
0)
ãðóçêè, áåãóùåé âïðàâî ñî ñêîðîñòüþ D = σ(u
. Ïðè ìàëûõ íà÷àëüíûõ äåôîðìàöèÿõ u0
ρ0 u0
14
ñêîðîñòü óäàðíîé âîëíû ïðèáëèæåííî ðàâíà ñêîðîñòè c0 =
q
λ+2µ
ρ0
ëèíåéíîé ïðîäîëüíîé
óïðóãîé âîëíû.
1.4. Êèíåìàòè÷åñêèå âîëíû
Êèíåìàòè÷åñêèìè âîëíàìè íàçûâàþò êëàññ îäíîìåðíûõ äâèæåíèé ñïëîøíîé ñðåäû, äëÿ êîòîðûõ çàäàíà çàâèñèìîñòü q = Q(ρ) ìàññîâîãî ðàñõîäà îò
ïëîòíîñòè. Çíàíèå òàêîé çàâèñèìîñòè ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü çàìêíóòóþ ìîäåëü
äâèæåíèÿ, èñïîëüçóÿ òîëüêî ëèøü çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû
(11)
ρt + qx = 0.
Äëÿ êîíêðåòíûõ ñðåä ôóíêöèîíàëüíàÿ ñâÿçü ìåæäó ðàñõîäîì è ïëîòíîñòüþ
îáû÷íî íàõîäèòñÿ îïûòíûì ïóòåì èëè â ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ äðóãèõ
óðàâíåíèé áîëåå îáùåé ìîäåëè.  ïðèáëèæåíèè êèíåìàòè÷åñêèõ âîëí îïèñàíèå äâèæåíèÿ ñâîäèòñÿ ê îòûñêàíèþ ðåøåíèé êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ â
÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà
ρt + c(ρ)ρx = 0,
ãäå c(ρ) = Q0 (ρ) õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ñêîðîñòü.
Ïðèìåð. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäåëü êèíåìàòè÷åñêèõ âîëí â ïîòîêå àâòîìîáèëüíîãî òðàíñïîðòà.  ñëó÷àå îäíîñòîðîííåãî äâèæåíèÿ ôóíêöèÿ Q, îïðåäåëåííàÿ íà ïðîìåæóòêå 0 6
ρ 6 ρ∗ , õàðàêòåðèçóåòñÿ ñâîéñòâàìè
(a) Q(ρ) > 0 (0 < ρ < ρ∗ ), (b) Q00 (ρ) < 0,
(c) Q(0) = Q(ρ∗ ) = 0.
(12)
 ýòîé ìîäåëè ñïëîøíîé ñðåäû ñêîðîñòü "÷àñòèö"(îòäåëüíûõ àâòîìîáèëåé) ðàâíà âåëè÷èíå u = Q(ρ)/ρ. Çíà÷åíèå ρ∗ > 0 äàåò ïðåäåëüíóþ ïëîòíîñòü àâòîìîáèëåé íà äîðîãå,
êîãäà îíè ñòîÿò âïëîòíóþ áàìïåð ê áàìïåðó, òàê ÷òî ñîãëàñíî âòîðîìó èç ðàâåíñòâ (12c)
äâèæåíèå îêàçûâàåòñÿ íåâîçìîæíûì. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñîãëàñíî ïåðâîìó èç ðàâåíñòâ
(12c) ñóùåñòâóåò ïðåäåë u0 = lim Q(ρ)/ρ > 0, ðàâíûé ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìîé ñêîðîñòè
ρ→0
äâèæåíèÿ ïî ñâîáîäíîìó øîññå. Èç óñëîâèÿ (12b) âûòåêàåò, ÷òî c0 (ρ) < 0, òàê ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ñêîðîñòü ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî óáûâàþùåé ôóíêöèåé ïëîòíîñòè ρ. Âîçìóùåíèÿ ñ ðåçêèìè ôðîíòàìè ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ïî ïîòîêó äâèæóùåãîñÿ òðàíñïîðòà
ïðè åãî âíåçàïíîì òîðìîæåíèè â êàêîì-ëèáî ìåñòå.
15
Ñîîòíîøåíèå íà ñèëüíîì ðàçðûâå äëÿ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ (11) èìååò âèä
D[ρ] = [q], èëè â ðàçâåðíóòîé ôîðìå
D=
Q(ρ2 ) − Q(ρ1 )
.
ρ2 − ρ1
(13)
Çàäà÷à î ðàñïàäå ðàçðûâà (çàäà÷à Ðèìàíà) äëÿ óðàâíåíèÿ êèíåìàòè÷åñêèõ
âîëí ñòàâèòñÿ êàê çàäà÷à Êîøè ñ êóñî÷íî-ïîñòîÿííûìè íà÷àëüíûìè äàííûìè
(
ρ(x, 0) =
ρ1 ,
x < 0,
ρ2 ,
x > 0,
ãäå ρi = const, ρ1 6= ρ2 . Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è ñóùåñòâóåò â êëàññå àâòîìîäåëüíûõ äâèæåíèé ρ = ρ(x/t) ñ ñèëüíûìè è ñëàáûìè ðàçðûâàìè. Ïðè ρ1 < ρ2 îíî
êóñî÷íî-ïîñòîÿííî è èìååò ñèëüíûé ðàçðûâ íà ïðÿìîé x = Dt, ãäå âåëè÷èíà
D äàåòñÿ ðàâåíñòâîì (13). Ñîãëàñíî ýòîé ôîðìóëå
D=
1
ρ2 − ρ1
Zρ2
c(ρ) dρ,
ρ1
îòêóäà â ñëó÷àå ìîíîòîííî óáûâàþùåé ôóíêöèè c(ρ) ñëåäóþò íåðàâåíñòâà
c1 > D > c2 , ãäå ci = Q0 (ρi ). Ñèëüíûå ðàçðûâû, óäîâëåòâîðÿþùèå óêàçàííîìó óñëîâèþ, óñòîé÷èâû. Åñëè æå íà÷àëüíûå äàííûå òàêîâû, ÷òî ρ1 > ρ2 , òî
äëÿ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ óäàðíîé âîëíû âûïîëíåíû ïðîòèâîïîëîæíûå
íåðàâåíñòâà c1 < D < c2 óêàçàííûå ñèëüíûå ðàçðûâû íåóñòîé÷èâû ïî îòíîøåíèþ ê ìàëûì âîçìóùåíèÿì íà÷àëüíûõ äàííûõ.  ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò óñòîé÷èâîå íåïðåðûâíîå ðåøåíèå, èìåþùåå âèä öåíòðèðîâàííîé âîëíû ñ
ðàñïðåäåëåíèåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ñêîðîñòè



 c1 ,
c(x, t) =
x/t,


c,
x < c1 t,
c1 t < x < c2 t
x > c2 t.
2
Òàêèì îáðàçîì, âûáîð óñòîé÷èâîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è î ðàñïàäå ðàçðûâà äëÿ
óðàâíåíèÿ êèíåìàòè÷åñêèõ âîëí îïðåäåëÿåòñÿ çíàêîì ðàçíîñòè ∆ρ = ρ1 − ρ2 .
16
Çàäà÷à. Ïîòîê àâòîìîáèëåé äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ u0 > 0 è ïëîòíîñòüþ ρ0 ïî óëèöå,
íà êîòîðîé â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 íà ñâåòîôîðå, ñòîÿùåì â òî÷êå x = 0, çàãîðàåòñÿ
êðàñíûé ñâåò.  ïðèáëèæåíèè êèíåìàòè÷åñêèõ âîëí îïèñàòü äâèæåíèå òðàíñïîðòà ïðè
t > 0 â îêðåñòíîñòè ñâåòîôîðà.
Ðåøåíèå. Â ïðîöåññå äâèæåíèÿ ïðè t > 0 ñëåâà îò ñâåòîôîðà äîëæíû áûòü ñîïðÿæåíû
äâà ñîñòîÿíèÿ íàáåãàþùåãî ïîòîêà òðàíñïîðòà ñî ñêîðîñòüþ u0 âäàëè îò ñâåòîôîðà
è êîëîííû íåïîäâèæíûõ àâòîìîáèëåé ñ ïëîòíîñòüþ ρ∗ â íåïîñðåäñòâåííîé áëèçîñòè
îò ñâåòîôîðà. Ýòó ñèòóàöèþ ìîäåëèðóåò ïîñòàíîâêà çàäà÷è ñ ðàçðûâíûìè â òî÷êå
x = 0, t = 0 íà÷àëüíî-êðàåâûìè óñëîâèÿìè
ρ(x, 0) = ρ0 (x < 0),
ρ(0, t) = ρ∗ .
Ïîñêîëüêó ρ0 < ρ∗ , â äâèæåíèè âîçíèêàåò óäàðíàÿ âîëíà (âîëíà âíåçàïíîé îñòàíîâêè àâòîìîáèëåé), êîòîðàÿ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íàçàä ïî ïîòîêó òðàíñïîðòà. Ñîãëàñíî ôîðìóëå
(13) è ââèäó ñâîéñòâà (12c) åå ñêîðîñòü ðàâíà âåëè÷èíå D0 = −Q(ρ0 )/(ρ∗ − ρ0 ) < 0. Äàëåå, íà ó÷àñòêå äîðîãè ñïðàâà îò ñâåòîôîðà ïðè t > 0 àâòîìîáèëè äîëæíû îòñóòñòâîâàòü. Óêàçàííîå ñîñòîÿíèå íåîáõîäèìî ñîãëàñîâàòü ñ óõîäÿùèì ïîòîêîì òðàíñïîðòà,
óñïåâøèì ïðîéòè ìèìî ñâåòîôîðà äî êðàñíîãî ñâåòà. Ýòîìó ñîîòâåòñòâóåò çàäà÷à c
ðàçðûâíûìè äàííûìè
ρ(x, 0) = ρ0 (x > 0),
ρ(0, t) = 0.
Çäåñü âîçíèêàåò óäàðíàÿ âîëíà, áåãóùàÿ âïðàâî ñî ñêîðîñòüþ D = (Q(ρ0 ) − Q(0))/ρ0 .
Ïîñêîëüêó Q(0) = 0, ôðîíò ýòîé âîëíû îòìå÷àåò ïîëîæåíèå õâîñòà êîëîííû àâòîìîáèëåé, óõîäÿùåé îò ïåðåêðåñòêà ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ u0 = Q(ρ0 )/ρ0 .
Îòâåò:
u = u0 , ρ = ρ0 (x < D0 t);
u = 0, ρ = ρ∗ (D0 t < x < 0);
u = 0, ρ = 0 (0 < x < u0 t);
u = u0 , ρ = ρ0 (x > u0 t).
1.5. Ìíîãîìåðíûå âîëíîâûå ôðîíòû
Ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèíåéíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ n-ìåðíîãî âåêòîðà u =
(u1 , ..., un )
∂t u +
3
X
Ai ∂xi u + Bu = 0
(14)
i=1
ñ çàäàííûìè ìàòðèöàìè Ai (x, t) è B(x, t) ïîðÿäêà n × n, çàâèñÿùèìè îò t è
x = (x1 , x2 , x3 ). Ïóñòü
ξ1 x1 + ξ2 x2 + ξ3 x3 + τ t = const
17
ãèïåðïëîñêîñòü â R4 ñ íîðìàëüíûì âåêòîðîì ν = (ξ1 , ξ2 , ξ3 , τ ). Íàïðàâëåíèå ν íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì, åñëè äëÿ íåãî âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå
det (τ I +
3
X
ξi Ai ) = 0.
(15)
i=1
Ñèñòåìà (14) íàçûâàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé â òî÷êå (x, t), åñëè óðàâíåíèå (15)
ïðè ëþáûõ ξ = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) èìååò n âåùåñòâåííûõ êîðíåé τk = Hk (ξ; x, t) (k =
1, ..., n), à õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ìàòðèöà A(ν) = τ I +
3
P
i=1
ξi Ai îáëàäàåò íàáîðîì
n ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ l ∈ Rn òàêèõ, ÷òî l · A(ν) = 0.
Ãëàäêàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü â R4 , äëÿ êîòîðîé êàñàòåëüíàÿ ãèïåðïëîñêîñòü
â êàæäîé òî÷êå èìååò õàðàêòåðèñòè÷åñêîå íàïðàâëåíèå, íàçûâàåòñÿ õàðàê-
òåðèñòèêîé ñèñòåìû (14). Ïóñòü õàðàêòåðèñòèêà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîðíþ
τ = H(ξ; x, t), çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì
ϕ(x1 , x2 , x3 , t) = 0.
Òîãäà åå íîðìàëü ν = (ϕx1 , ϕx2 , ϕx3 , ϕt ) èìååò õàðàêòåðèñòè÷åñêîå íàïðàâëåíèå, è ïîýòîìó ôóíêöèÿ ϕ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü íåëèíåéíîìó óðàâíåíèþ â
÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà óðàâíåíèþ Ãàìèëüòîíàßêîáè
(16)
ϕt = H(∇x ϕ; x, t).
Õàðàêòåðèñòèêè ýòîãî óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ áèõàðàêòåðèñòèêàìè ñèñòåìû
(14).  òåîðèè âîëí èõ íàçûâàþò ëó÷àìè. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ
áèõàðàêòåðèñòèê èìåþò âèä
∂H
dxi
=−
,
dt
∂pi
dpi
∂H
=
dt
∂xi
(i = 1, 2, 3)
ãäå pi = ∂ϕ/∂xi . Äëÿ ëèíåéíîé ãèïåðáîëè÷åñêîé ñèñòåìû (14) ñ ïîñòîÿííûìè
ìàòðèöàìè Ai ôóíêöèÿ H íå çàâèñèò îò x è t, è ïîýòîìó èìååì dpi /dt = 0, òàê
÷òî ïðàâûå ÷àñòè Hpi (p1 , p2 , p3 ) äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ xi ïîñòîÿííû âäîëü ëó÷åé. Ñëåäîâàòåëüíî, ñàìè ëó÷è â ýòîì ñëó÷àå ïðÿìîëèíåéíû,
(0)
xi = xi − Hp(0)
t.
i
18
Çàäà÷à. Ôðîíò äâóìåðíîé çâóêîâîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ ïî ïîêîÿùåìóñÿ ãàçó ñî
ñêîðîñòüþ çâóêà c0 , ïðè t = 0 èìååò ôîðìó ïàðàáîëû y = x2 . Íàéòè âðåìÿ T , çà êîòîðîå
çâóê äîñòèãíåò íàáëþäàòåëÿ, íàõîäÿùåãîñÿ â òî÷êå A(3, 0).
Ðåøåíèå. Óðàâíåíèÿ àêóñòèêè â ïîêîÿùåìñÿ ãàçå èìåþò âèä
ρ0 ut + px = 0,
ρ0 vt + py = 0,
pt + ρ0 c20 (ux + vy ) = 0,
ãäå u, v êîìïîíåíòû âåêòîðà ñêîðîñòè, p âîçìóùåíèå äàâëåíèÿ. Çàïèñûâàÿ ýòó
ñèñòåìó â ìàòðè÷íîì âèäå (14) è ñîñòàâëÿÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèé îïðåäåëèòåëü ñ íîðìàëüíûì âåêòîðîì ν = (ξ, η, τ ), ïîëó÷àåì
¯
¯
¯ τ
0
ξ/ρ0 ¯¯
¯
¯
¯
¢
¡
¯
¯
x
y
det (τ I + ξ A + η A ) = ¯ 0
τ
η/ρ0 ¯ = τ τ 2 − c20 (ξ 2 + η 2 ) = 0.
¯
¯
¯
¯
¯
¯ ρ0 c2 ξ ρ 0 c2 η
τ
0
0
p
Îòñþäà äëÿ çâóêîâûõ õàðàêòåðèñòèê èìååì H(p, q) = ±c0 p2 + q 2 , ãäå p = ϕx , q =
ϕy
(ϕ(x, y, t) = 0 ïîëîæåíèå ôðîíòà â ìîìåíò âðåìåíè t). Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ H
íå çàâèñèò îò x, y , áèõàðàêòåðèñòèêè ïðÿìîëèíåéíû. Èíòåãðèðîâàíèå äàåò óðàâíåíèÿ
çâóêîâûõ ëó÷åé â âèäå
p0 c0 t
x = x0 ± p 2
,
p0 + q02
q0 c 0 t
y = y0 ± p 2
.
p0 + q02
Ñëåäîâàòåëüíî, áèõàðàêòåðèñòèêè â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè íàïðàâëåíû ïî íîðìàëè ê
ôðîíòó, ïðè÷åì âîçìóùåíèÿ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ âäîëü ëó÷åé ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ c0 .
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íàáëþäàòåëÿ ðàíüøå âñåãî äîñòèãíåò âîçìóùåíèå, èäóùåå èç òî÷êè
B(x, x2 ) â íà÷àëüíîì ïîëîæåíèè ôðîíòà, áëèæàéøåé ê A. Ìèíèìóì ðàññòîÿíèÿ |AB|
äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå B ñ àáñöèññîé, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ ýêñòðåìóìà 2x3 + x − 3 =
√
0. Òàêàÿ òî÷êà åäèíñòâåííà B(1, 1), ñîîòâåòñòâóþùåå ðàññòîÿíèå ðàâíî 5.
Îòâåò:
T =
√
5/c0 .
 ðÿäå ñëó÷àåâ óðàâíåíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè óäîáíî èñêàòü
â âèäå t = ψ(x). Â ñèëó óðàâíåíèÿ (16) ñ ϕ = ψ(x) − t ôóíêöèÿ ψ äîëæíà
óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ
H(∇x ψ) = −1.
Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ýéêîíàëà. Ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ áèõàðàêòåðèñòèê â äàííîì ñëó÷àå óïðîùàåòñÿ äî ñëåäóþùåé:
dxi
∂H
=
,
dt
∂qi
dqi
∂H
=−
,
dt
∂xi
19
(i = 1, 2, 3)
ãäå qi = ∂ψ/∂xi .
1.6. Ñèììåòðèçàöèÿ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé
A(u) ∂t u +
3
X
B i (u) ∂xi u = 0
(17)
i=1
ñ èñêîìîé âåêòîð-ôóíêöèåé u = (u1 , ..., un ), çàâèñÿùåé îò ïåðåìåííûõ t è x =
(x1 , x2 , x3 ). Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êâàäðàòíûå ìàòðèöû A(u) è B i (u) ïîðÿäêà
n×n ñèììåòðè÷íû, ïðè÷åì ìàòðèöà A = (aij )ni,j=1 ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà:
n
P
aij pi pj > 0 äëÿ ëþáîãî âåêòîðà p = (p1 , ..., pn ), p 6= 0. Ñèñòåìà (17) ñ
i,j=1
óêàçàííûìè ìàòðèöàìè íîñèò íàçâàíèå ñèììåòðè÷åñêîé t ãèïåðáîëè÷åñêîé
ñèñòåìû óðàâíåíèé ïî Ôðèäðèõñó.
ßñíî, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (1) ñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè t, x
è ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé A ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷åñêîé t ãèïåðáîëè÷åñêîé
ñèñòåìîé ïî Ôðèäðèõñó. Ñâîéñòâî t ãèïåðáîëè÷íîñòè âìåñòå ñî ñâîéñòâîì
êîíñåðâàòèâíîñòè èãðàåò âàæíóþ ðîëü ïðè àíàëèçå êà÷åñòâåííûõ ñâîéñòâ
òàêèõ ñèñòåì è èõ ÷èñëåííîì ðåøåíèè. Ïîýòîìó ïîëåçíî óìåòü ïðèâîäèòü
çàäàííóþ ãèïåðáîëè÷åñêóþ ñèñòåìó êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé ê ñèììåòðè÷åñêîìó âèäó (17). Òàêîå ïðèâåäåíèå âîçìîæíî â ñëåäóþùåì ñëó÷àå.
Òåîðåìà (Ãîäóíîâ, Ôðèäðèõñ, Ëàêñ). Ïóñòü ñèñòåìà çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ
∂t u +
3
X
∂xi ψ i (u) = 0
(18)
i=1
äîïóñêàåò äîïîëíèòåëüíûé çàêîí ñîõðàíåíèÿ
∂t e(u) +
3
X
∂xi f i (u) = 0,
(19)
i=1
ãäå ôóíêöèÿ e(u) ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé ïî ïåðåìåííûì u = (u1 , ..., un ), ò.å.
ìàòðèöà Ãåññå e00 (u) = (∂ui ∂uj e(u))ni,j=1 ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé. Òîãäà ñèñòåìà (18) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó (17).
20
Äîêàçàòåëüñòâî. Îäíîâðåìåííîå âûïîëíåíèå óðàâíåíèé (18) è (19) âëå÷åò âûïîëíåíèå
óñëîâèé ñîâìåñòíîñòè
¡
¢0
∇u f i (u) = ∇u e(u) ψ i (u)
(i = 1, ..., n)
(20)
äëÿ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé f i è âåêòîð-ôóíêöèé ψ i . Ââåäåì ïðåîáðàçîâàíèå Ëåæàíäðà e∗ (v)
ôóíêöèè e(u), ïîëàãàÿ
e∗ (v) = v · u − e(u),
ãäå âåêòîð u îïðåäåëÿåòñÿ íåÿâíî óðàâíåíèåì v = ∇u e(u). Îáðàùåíèå óêàçàííîé çàâèñèìîñòè v îò u âîçìîæíî, ïîñêîëüêó ÿêîáèàí |∂(v1 , ..., vn )/∂(u1 , ..., un )| = det e00 (u) îòëè÷åí îò íóëÿ â ñëó÷àå âûïóêëîé ôóíêöèè e(u). Ïðè ýòîì, î÷åâèäíî, èìååì u = ∇v e∗ (v).
Áîëåå òîãî, ôóíêöèÿ e∗ (v) òàêæå ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé ôóíêöèåé îò v. Ââåäåì äîïîëíèòåëüíî ôóíêöèè
f i∗ (v) = v · ψ i (u) − f i (u) (i = 1, ..., n).
Òîãäà â ñèëó ñîîòíîøåíèÿ (20) ïîëó÷àåì ψ i (u) = ∇v f i (v). Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà óðàâíåíèé (18) ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå
∗
∂t ∇v e (v) +
3
X
∂xi ∇v f i∗ (v) = 0,
i=1
ò.å. â âèäå (17) ñ ìàòðèöàìè Ãåññå A(v) = (∂vk ∂vj e∗ (v))nk,j=1 è B i (v) = (∂vk ∂vj f i∗ (v))nk,j=1
•
Äîêàçàòåëüñòâî äàííîé òåîðåìû ñîäåðæèò êîíñòðóêòèâíûé ìåòîä ñèììåòðèçàöèè ñèñòåì çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ.
Ïðèìåð. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè t è x
ht + (uh)x = 0,
µ
¶
1 2
2
(hu)t + hu + gh
= 0,
2
x
(21)
ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé äèâåðãåíòíóþ ôîðìó çàïèñè óðàâíåíèé ìåëêîé âîäû (5) â âèäå
ñèñòåìû çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ìàññû è èìïóëüñà.  êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíîãî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ (19) âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè
∂t e(h, u) + ∂x f (h, u) = 0
ñ ôóíêöèÿìè
e=
1 2
1
u h + gh2 ,
2
2
f=
21
1 3
u h + guh2 .
2
Çàïèøåì ñíà÷àëà óðàâíåíèÿ (21) â èñõîäíîé ôîðìå (18) ñ âåêòîðîì ïëîòíîñòåé ñîõðàíÿþùèõñÿ âåëè÷èí u = (u1 , u2 ), ãäå u1 = h, u2 = uh.  ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ äëÿ ôóíêöèé e, f
è êîìïîíåíò âåêòîðà ψ = (ψ1 , ψ2 ) èìååì âûðàæåíèÿ
e(u) =
u22
1
+ gu21 ,
2u1 2
f (u) =
u32
+ gu21 u2 ,
2u21
Îòñþäà íàõîäèì
v1 = eu1 = gu1 −
ψ1 (u) = u2 ,
u22
,
2u1
ψ2 (u) =
u22 1 2
+ gu .
u1 2 1
u2
.
u1
v2 = eu2 =
Îáðàùàÿ çàâèñèìîñòü v = ∇u e(u), ïîëó÷àåì
µ
¶
µ
¶
1 2
1
1 2
1
v1 + v2
u2 = v2 v1 + v2 .
u1 =
g
2
g
2
Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèè e∗ = v · u − e è f ∗ = v · ψ − f èìåþò âèä
1
e (v) =
2g
∗
µ
1
v1 + v22
2
¶2
¶2
µ
1
1 2
f (v) =
v2 v1 + v2 .
2g
2
∗
,
Âû÷èñëÿÿ ìàòðèöû Ãåññå äëÿ óêàçàííûõ ôóíêöèé, ïîëó÷àåì ñèììåòðè÷åñêóþ ôîðìó
A(v)vt + B(v)vx = 0 ñèñòåìû (21) ñ ìàòðèöàìè




1
v2
v2
v1 + 32 v22
,
.
A=
B=
3 2
3 2
5 2
v2 v1 + 2 v2
v1 + 2 v2 3v1 + 2 v2
Âîçìîæíû è äðóãèå ôîðìû çàïèñè ãèïåðáîëè÷åñêèõ ñèñòåì óðàâíåíèé â
ñèììåòðè÷åñêîì âèäå. Íàïðèìåð, äëÿ ñèñòåì ñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè òàêóþ ôîðìó äàåò ïðåîáðàçîâàíèå èñõîäíûõ óðàâíåíèé ê óðàâíåíèÿì â
èíâàðèàíòàõ Ðèìàíà (ïðè óñëîâèè, ÷òî òàêîâûå ñóùåñòâóþò). Òàê, äëÿ óðàâíåíèé ìåëêîé âîäû (5) óêàçàííàÿ ôîðìà èìååò âèä
rt + (u +
√
p
gh) rx = 0,
lt + (u −
p
gh) lx = 0,
√
ãäå r = u + 2 gh è l = u − 2 gh. Îäíàêî ýòîò ïîäõîä ÿâëÿåòñÿ ìåíåå îáùèì,
ïîñêîëüêó îí îãðàíè÷åí óñëîâèÿìè ñóùåñòâîâàíèÿ èíâàðèàíòîâ Ðèìàíà.
22
Ëèòåðàòóðà
1. Âèíîãðàäîâà Ì.Á., Ðóäåíêî Î.Â., Ñóõîðóêîâ À.Ï. Òåîðèÿ âîëí. Ì.: Íàóêà. 1990. 432 ñ.
2. Ãîäóíîâ Ñ.Ê., Ðîìåíñêèé Å.È. Ýëåìåíòû ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä è çàêîíû ñîõðàíåíèÿ. Íîâîñèáèðñê.: Íàó÷íàÿ êíèãà. 1998. 268 c.
3. Êóëèêîâñêèé À.Ã., Ñâåøíèêîâà Å.È. Íåëèíåéíûå âîëíû â óïðóãèõ ñðåäàõ. Ì.: 1998. 416 c.
4. Ëàíäà Ï.Ñ. Íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ è âîëíû. Ì.: Íàóêà, 1997. 496 ñ.
5. Íåëèíåéíûå âîëíû. Ðåä. Ñ. Ëåéáîâè÷, À. Ñèáàññ. Ì.: Ìèð, 1977. 320 ñ.
6. Îâñÿííèêîâ Ë.Â. Ëåêöèè ïî îñíîâàì ãàçîâîé äèíàìèêè. Ìîñêâà, Èæåâñê:
Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâàíèé, 2003. 336 ñ.
7. Ðîæäåñòâåíñêèé Á.Ë., ßíåíêî Í.Í. Ñèñòåìû êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé
è èõ ïðèëîæåíèÿ ê ãàçîâîé äèíàìèêå Ì.: Íàóêà. 1968. 592 c.
23
Çàäà÷è
1. Íàéòè ïîëå ñêîðîñòåé u(x, t) â îäíîìåðíîì äâèæåíèè ñïëîøíîé ñðåäû,
âñå ÷àñòèöû êîòîðîé ïåðåìåùàþòñÿ ïî èíåðöèè, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ñðåäà çàïîëíÿëà ïîëóïðîñòðàíñòâî x > 0 è ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé èìåëî ñëåäóþùèé âèä: (a) u(x, 0) = x2 ; (b) u(x, 0) =
√
x.
Îòâåò: (a) u(x, t) =
2
2x√
;
2xt+1+ 4xt+1
(b) u(x, t) =
√
4x+t2 −t
.
2
2. Ïðîèíòåãðèðîâàòü óðàâíåíèå õàðàêòåðèñòèê äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè
ut + uux + u = 0,
Îòâåò:
u(x, 0) = ax + b (a, b = const).
x = x0 + (ax0 + b) (1 − e−t ) .
3. Ïîñòðîèòü ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè
ut + c(u)ux = 0,
u(x, 0) = c−1 (ax + b) (a, b = const)
ñ ãëàäêîé ìîíîòîííîé ôóíêöèåé c(u). Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ a è b íàñòóïàåò ãðàäèåíòíàÿ êàòàñòðîôà?
Îòâåò: u(x, t) = c−1
¡ ax+b ¢
1+at
4. Íàéòè õàðàêòåðèñòèêè è èíâàðèàíòû Ðèìàíà äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé
(
ut + 2 cos v ux + sin u vx = 0,
vt + cos v ux + (sin u + cos v) vx = 0.
Îòâåò:
dx
= cos v : u − v = const;
dt
dx
1 + sin v
u
= sin u + 2 cos v :
tg = const.
dt
cos v
2
5. Ïîêàçàòü, ÷òî ÿêîáèàí |∂(r1 , ..., rn )/∂(u1 , ..., un )| ïðåîáðàçîâàíèÿ r = r(u),
ïðèâîäÿùåãî ãèïåðáîëè÷åñêóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ut + A(u)ux = 0 ê ñèñòåìå â èíâàðèàíòàõ Ðèìàíà
rt + C(r)rx = 0
24
(22)
ñ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé C(r) = diag(c1 , ..., cn ), îòëè÷åí îò íóëÿ.
6. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðèâåäåííàÿ ê èíâàðèàíòàì Ðèìàíà ñòðîãî ãèïåðáîëè÷åñêàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (22) (ò.å. ci 6= cj ïðè i 6= j ). Äîêàçàòü, ÷òî â
íåâûðîæäåííîé ïðîñòîé âîëíå r = r(α(x, t)), r0 (α) 6= 0, âñå èíâàðèàíòû
ri çà èñêëþ÷åíèåì îäíîãî òîæäåñòâåííî ïîñòîÿííû, à ëèíèè óðîâíÿ ïðîñòîé âîëíû α(x, t) = const ñåìåéñòâî ïðÿìîëèíåéíûõ õàðàêòåðèñòèê,
ñîîòâåòñòâóþùèõ íå òîæäåñòâåííî ïîñòîÿííîìó èíâàðèàíòó Ðèìàíà.
7. Äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé
(
ut + c(u, v)ux = 0,
vt + c(u, v)vx = 0
ñ êðàòíîé õàðàêòåðèñòèêîé dx/dt = c(u, v) äîêàçàòü, ÷òî íåðàâåíñòâà
ux > vx > 0 ñîõðàíÿþòñÿ âäîëü ýòîé õàðàêòåðèñòèêè, åñëè îíè áûëè
âûïîëíåíû â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0.
8. Îäíîìåðíîå äâèæåíèå áàðîòðîïíîé ñïëîøíîé ñðåäû îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé
ρt + uρx + ρux = 0
ut + uux +
c2 (ρ)
ρ
ρx = 0
ñ ãëàäêîé ôóíêöèåé c(ρ), c0 (ρ) > 0, c(0) = 0. Äëÿ êàêèõ ôóíêöèîíàëüíûõ çàâèñèìîñòåé c = c(ρ) âñå õàðàêòåðèñòèêè äàííîé ñèñòåìû â ëþáîì
äâèæåíèè ñðåäû ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûìè?
Îòâåò:
c = A ρ (A = const > 0).
9. Ðàññìàòðèâàþòñÿ óðàâíåíèÿ îäíîìåðíûõ äâèæåíèé ñìåñè äâóõ áàðîòðîïíûõ ñðåä
ρt + uρx + ρux = 0,
ut + uux +
1
px = 0,
ρ
y1t + uy1x = 0,
ãäå u ñêîðîñòü ñìåñè; ρ = α1 ρ1 + α2 ρ2 ïëîòíîñòü ñìåñè (çäåñü ρi
ïëîòíîñòè ñðåä, αi èõ îáúåìíûå êîíöåíòðàöèè: 0 6 αi 6 1, α1 +
25
α2 = 1); p = p1 (ρ1 ) = p2 (ρ2 ) äàâëåíèå (dp1 /dρ1 > 0, dp2 /dρ2 > 0
ïðè ρ1 > 0, ρ2 > 0); ôóíêöèÿ y1 ìàññîâàÿ êîíöåíòðàöèÿ ïåðâîé èç
ñðåä (yi = αi ρi /ρ). Ïîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé è åå
õàðàêòåðèñòèêè èìåþò âèä dx/dt = u, dx/dt = u ± c, ãäå ñêîðîñòü çâóêà
â ñìåñè c (ñêîðîñòü Âóäà Óîëëèñà) äàåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè
α1
1
α2
=
+
,
2
ρc2
ρ1 c1 ρ2 c22
c2i =
dpi
dρi
(i = 1, 2)
10.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è ïîêàçàòü, ÷òî ïðè çàäàííûõ çíà÷åíèÿõ 0 < ρ1 < ρ2 , 0 < c1 < c2 è ïåðåìåííîé êîíöåíòðàöèè α1 ñêîðîñòü
çâóêà â ñìåñè c = c(α1 ) èìååò åäèíñòâåííûé ìèíèìóì cmin â ïðîìåæóòêå 0 6 αi 6 1. Íàéòè ýòîò ìèíèìóì. ×åìó ðàâíÿåòñÿ cmin äëÿ
âîçäóøíîâîäÿíîé ñìåñè ñ ïàðàìåòðàìè ρ1 = 1 êã/ì3 , ρ2 = 1000 êã/ì3 ,
c1 = 340 ì/ñåê, c2 = 1500 ì/ñåê?
Îòâåò:
c2min =
4ρ1 ρ2 (ρ2 − ρ1 ) c21 c22
,
(ρ1 + ρ2 ) (ρ22 c22 − ρ21 c21 )
21.5 ì/ñåê.
11. Ïîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ãèïåðáîëè÷åñêàÿ ñèñòåìà (1) ñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè
ïåðåìåííûìè t, x ïðèâîäèòñÿ óìíîæåíèåì ñëåâà íà ïîäõîäÿùóþ ìàòðèöó
ê âèäó
But + Cux + Db = 0,
ãäå B, C, D ñèììåòðè÷åñêèå ìàòðèöû, çàâèñÿùèå îò u, x, t, ïðè÷åì
ìàòðèöà B ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà (ñèñòåìà òàêîãî âèäà íàçûâàåòñÿ
ñèììåòðè÷åñêîé tãèïåðáîëè÷åñêîé ïî Ôðèäðèõñó).
12. Ïóñòü u = (u1 , ..., un ) ∈ Rn è çàäàíî ãëàäêîå îòîáðàæåíèå e : Rn → R
òàêîå, ÷òî ìàòðèöà Ãåññå e00 (u) = k∂ui ∂uj e(u)kni,i=1 ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà, ò.å. e(u) âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ. Ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèå Ëåæàíäðà e∗ ôóíêöèè e,
e∗ (v) = v · u − e(u),
26
ãäå v = ∇u e(u) è u = u(v) ïðîîáðàç ýëåìåíòà v ïðè äåéñòâèè ëîêàëüíî îáðàòèìîãî îòîáðàæåíèÿ v = ∇u e(u). Ïîêàçàòü, ÷òî e∗ (v) âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ îò v. Ïîêàçàòü, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ëåæàíäðà èíâîëþ-
òèâíî, ò.å. åãî ïîâòîðíîå ïðèìåíåíèå äàåò èñõîäíóþ ôóíêöèþ e.
¡
¢00
Óêàçàíèå: ïîêàçàòü, ÷òî u = ∇v e∗ (v) è e∗ (v) = (e00 (u))−1 .
13. Ðàññìàòðèâàþòñÿ óðàâíåíèÿ îäíîìåðíîãî äâèæåíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà ñ
íóëåâûì äàâëåíèåì
ρt + (ρu)x = 0,
ut + uux = 0.
(ýòî ïðèáëèæåíèå âîçíèêàåò â àñòðîôèçèêå). Ïîêàçàòü, ÷òî äàííàÿ ñèñòåìà íå ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé. Íàéòè âñå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ
∂t P (ρ, u) + ∂x Q(ρ, u) = 0, äîïóñêàåìûå ýòîé ñèñòåìîé. Ñóùåñòâóþò ëè
ñðåäè íèõ çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ñ âûïóêëîé ôóíêöèåé P ?
Îòâåò:
P (ρ, u) = a(u)ρ + b(u),
a, b ïðîèçâîëüíûå ãëàäêèå ôóíêöèè;
P íåâû-
ïóêëà.
14. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ãàçîâîé äèíàìèêè
ρt + (ρu)x = 0,
(ρu)t + (p + ρu2 )x = 0,
(ρs)t + (ρus)x = 0,
p = p(ρ, s),
ãäå ρ ïëîòíîñòü, u ñêîðîñòü, p äàâëåíèå è s ýíòðîïèÿ. Òåðìîäèíàìè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ñðåäû ïðè ýòîì õàðàêòåðèçóåòñÿ âíóòðåííåé
ýíåðãèåé ãàçà ε(ρ, s) è òåìïåðàòóðîé T (ρ, s), êîòîðûå ñâÿçàíû ìåæäó
ñîáîé òîæäåñòâîì
µ ¶
1
T ds = dε + p d
.
ρ
Ïîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé ãàçîâîé äèíàìèêè äîïóñêàåò äîïîëíèòåëüíûé çàêîí ñîõðàíåíèÿ et + fx = 0 ñ ôóíêöèÿìè
¡
1 ¢
e = ρ ε + u2 ,
2
¡
1 ¢
f = ρu ε + u2 + pu.
2
27
15.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è âû÷èñëèòü ìàòðèöó Ãåññå e00 (u) ôóíêöèè
e = ρ (ε + u2 /2) ïî ïåðåìåííûì u = (u1 , u2 , u3 ), ãäå u1 = ρ, u2 = ρu,
u3 = ρs.

Îòâåò:
1
e (u) =
ρ
00




u2 + K
−u ρερs − sεss
−u
1
0
ρερs − sεss
0
εss



,

ãäå K = ρ2 ερρ − 2ρsερs + s2 εss + 2ρ ερ
16. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàò ïðåäûäóùåé çàäà÷è, äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ e =
¡
¢
ρ ε + u2 /2 ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé ôóíêöèåé ïî ïåðåìåííûì u = (ρ, ρu, ρs)
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ôóíêöèÿ E(τ, s) = ε(1/τ, s) âûïóêëà ïî
ïåðåìåííûì (τ, s).
17. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ãîäóíîâà Ôðèäðèõñà Ëàêñà çàïèñàòü ñèñòåìó
çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ãàçîâîé äèíàìèêè
ρt + (ρu)x = 0,
(ρu)t + (p + ρu2 )x = 0,
(ρs)t + (ρus)x = 0,
p = p(ρ, s)
â âèäå ñèììåòðè÷åñêîé t ãèïåðáîëè÷åñêîé ïî Ôðèäðèõñó ñèñòåìû óðàâíåíèé A(v)vt + B(v)vx = 0 (A = AT > 0, B = B T ), èñïîëüçóÿ äëÿ ýòîãî
çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ñ ôóíêöèåé e = ρ(ε + 12 u2 ) (çäåñü ε âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ).
Îòâåò:
¡
¢−1
A = (e∗ (v))00 = e(u))00 ,
ãäå
e∗ (v) = p,
v = (ε +
¡
¢00
B = ue∗ (v) ,
p
ρ
− T s − 12 u2 , u, T ).
18. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ∂t P + ∂x Q = 0 ãèïåðáîëè÷åñêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé (22), çàïèñàííîé â èíâàðèàíòàõ Ðèìàíà
r = (r1 , ...., rn ), ôóíêöèÿ P (r1 , ...., rn ) óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé
∂ 2P
1
=
∂ri ∂rj
ci − cj
µ
∂cj ∂P
∂ci ∂P
−
∂ri ∂rj
∂rj ∂ri
28
¶
(i, j = 1, ..., n; i 6= j)
19. Íàéòè âñå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ∂t P (r, l) + ∂x Q(r, l) = 0 äëÿ ñèñòåìû
óðàâíåíèé â èíâàðèàíòàõ Ðèìàíà
rt + l rx = 0,
lt + r l x = 0
(èçýíòðîïè÷åñêèé ãàç ×àïëûãèíà ñ ïîêàçàòåëåì ïîëèòðîïû γ = −1).
Îòâåò:
P (r, l) =
f (r)−g(l)
,
r− l
f è g ïðîèçâîëüíûå ãëàäêèå ôóíêöèè.
20. Âûÿñíèòü, ñóùåñòâóþò ëè çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ∂t P (r, l, s) + ∂x Q(r, l, s) =
0 äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé
rt + l rx = 0,
Îòâåò:
lt + s lx = 0,
st + r sx = 0.
íå ñóùåñòâóþò.
21. Íàéòè ñêà÷êè ïðîèçâîäíîé ρx íà ëèíèÿõ ñëàáîãî ðàçðûâà ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé
(
ρt + uρx + ρux = 0
ut + uux + ρρx = 0
ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè
ρ(x, 0) = ρ0 ,
Îòâåò:
x = ±ρ0 t :
(
u(x, 0) =
0, x 6 0,
kx, x > 0,
k, ρ0 = const > 0.
k
[ρx ] = ± 2(1+kt)
.
22. Ïîêàçàòü, ÷òî ðàçðûâû âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ ðåøåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé
ñèñòåìû, íåïðåðûâíîãî âìåñòå ñî ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêà, ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ òîëüêî âäîëü õàðàêòåðèñòèê.
23. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñëàáûõ êèíåìàòè÷åñêèõ
óäàðíûõ âîëí â ñïëîøíîé ñðåäå ñ ïëîòíîñòüþ ρ ñïðàâåäëèâî âûðàæåíèå
1
(c1 + c2 ) + O([ ρ ]2 ),
2
ãäå ci ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ñêîðîñòè íà ëèíèè
D=
ðàçðûâà. Ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ êèíåìàòè÷åñêèõ âîëí ñ êâàäðàòè÷íîé ïî ρ
ôóíêöèåé q = Q(ρ) ñïðàâåäëèâî òî÷íîå ðàâåíñòâî D = (c1 + c2 )/2.
29
24. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñêîðîñòè D êèíåìàòè÷åñêîé óäàðíîé âîëíû, îáðàçóþùåéñÿ â ðåçóëüòàòå ñëèÿíèÿ äâóõ óäàðíûõ âîëí, èìåâøèõ ñêîðîñòè
D1 < D2 , âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî D1 < D < D2 , åñëè âçàèìîäåéñòâèå
âîëí îïèñûâàåòñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ∂t ρ + ∂x Q(ρ) = 0 ñ âûïóêëîé
ôóíêöèåé Q (Q 00 (ρ) > 0).
25. Êèíåìàòè÷åñêàÿ óäàðíàÿ âîëíà, ðàñïðîñòðàíÿþùàÿñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ D1 , â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 äîãîíÿåò â òî÷êå x = 0 óäàðíóþ âîëíó, áåãóùóþ ñî ñêîðîñòüþ D0 ïî ïîñòîÿííîìó ôîíó ρ0 > 0.
Èçâåñòíî, ÷òî ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ êàæäîé èç ýòèõ óäàðíûõ âîëí ïëîòíîñòü ρ âîçðàñòàëà âäâîå, à âåñü ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ∂t ρ + c0 ∂x (ρ3 /ρ20 ) = 0, ãäå c0 = const > 0. Íàéòè ïëîòíîñòü ñðåäû
ρ(x, t) ïðè t > 0. ×åìó ðàâíû ñêîðîñòè âñåõ óäàðíûõ âîëí, ó÷àñòâóþùèõ
â äâèæåíèè?
Îòâåò:
ρ(x, t) = ρ0 (x > Dt),
ρ(x, t) = 4ρ0 (x < Dt),
D = 3D0 ,
D1 =
4D0 , D0 = 7c0 .
26. Óäàðíàÿ âîëíà, îïèñûâàåìàÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ∂t u + ∂x (u2 /2) = 0,
ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ D = 2u0 > 0 ïî ñîñòîÿíèþ
u = u0 è â ìîìåíò âðåìåíè t = 1 äîãîíÿåò çàäíèé ôðîíò öåíòðèðîâàííîé
âîëíû u = x/t (u0 t < x < 2u0 t), áåãóùåé âïðàâî ïî ñîñòîÿíèþ u = 2u0 .
Íàéòè òðàåêòîðèþ óäàðíîé âîëíû â ïëîñêîñòè (x, t) äî è ïîñëå íà÷àëà
åå âçàèìîäåéñòâèÿ ñ öåíòðèðîâàííîé âîëíîé. Äîãîíèò ëè óäàðíàÿ âîëíà
ïåðåäíèé ôðîíò öåíòðèðîâàííîé âîëíû?
Îòâåò:
x = u0 (2t − 1) (t 6 1);
¡5
¢
u0 2 t − 2 (t > 4); äîãîíèò.
√
x = u0 (3t − 2 t)
(1 6 t 6 4);
x =
27. Ðàññìàòðèâàþòñÿ êèíåìàòè÷åñêèå âîëíû â ïîòîêå òðàíñïîðòà ñ êâàäðàòè÷íîé çàâèñèìîñòüþ ïîòîêà q = Q(ρ) îò ïëîòíîñòè àâòîìîáèëåé
30
ρ ∈ [0, ρ∗ ]:
ρ
Q(ρ) = 4qm
ρ∗
µ
ρ
1−
ρ∗
¶
,
qm = const > 0.
Ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå óñëîâèé (12) äëÿ äàííîé ôóíêöèè Q(ρ). ×åìó
ðàâíî ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå çíà÷åíèå um = max u(ρ) ñêîðîñòè àâòî06ρ6ρ∗
ìîáèëåé u(ρ) = Q(ρ)/ρ? Íàéòè çàâèñèìîñòü ïîòîêà q = q(u) îò ñêîðîñòè
u ∈ [0, um ] è îïðåäåëèòü, ïðè êàêîì çíà÷åíèè u äîñòèãàåòñÿ ìàêñèìàëüíàÿ âåëè÷èíà ïîòîêà qm = max q(u). ×åìó ðàâíû ýêñòðåìàëüíûå çíà÷å06u6um
íèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ñêîðîñòè c(ρ) = Q0 (ρ) íà ïðîìåæóòêå ρ ∈ [0, ρ∗ ]?
Íàéòè äëÿ íåå âûðàæåíèå â âèäå ôóíêöèè c = c(q) äëÿ çíà÷åíèé ïîòîêà
q = Q(ρ), ïðèíèìàåìûõ íà ïðîìåæóòêå ρ ∈ [0, ρ∗ /2].
Îòâåò:
µ
¶
4qm
u
um =
,
q(u) = ρ∗ u 1 −
,
qm = q(u)¯¯
;
u=um /2
ρ∗
um
max c(ρ) = c(ρ)¯¯
= um ,
min c(ρ) = c(ρ)¯¯
= −um ,
ρ=0
ρ=ρ∗
06ρ6ρ∗
06ρ6ρ∗
r
q
c(q) = um 1 −
.
qm
28. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (12) âñå íåïðåðûâíûå âîçìóùåíèÿ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ òîëüêî íàçàä ïî ïîòîêó òðàíñïîðòà: ïðè 0 < ρ 6
ρ∗ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî u(ρ) > c(ρ), ãäå u(ρ) = Q(ρ)/ρ ñêîðîñòü
àâòîìîáèëåé, c(ρ) = Q0 (ρ) õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ñêîðîñòü.
29. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ êèíåìàòè÷åñêîé óäàðíîé
¡
¢
âîëíû D(ρ) = Q(ρ) − Q(ρ0 ) /(ρ − ρ0 ), ðàññìàòðèâàåìîé êàê ôóíêöèè
ñîñòîÿíèÿ ρ ïðè ôèêñèðîâàííîì ñîñòîÿíèè ρ0 ïî äðóãóþ ñòîðîíó ôðîíòà,
ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
1
D 0(ρ) =
(ρ − ρ0 )2
Zρ
(% − ρ0 ) Q 00(%) d%.
ρ0
Âûâåñòè îòñþäà, ÷òî D(ρ) ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé ôóíêöèåé
â ñëó÷àå Q00 (ρ) > 0 è ìîíîòîííî óáûâàþùåé â ñëó÷àå Q00 (ρ) < 0.
30. Ïîòîê àâòîìîáèëåé äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ u0 > 0 ïî óëèöå ñ îäíîñòîðîííèì äâèæåíèåì, íà êîòîðîé â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 íà÷èíàåò ðàáîòàòü
31
ñâåòîôîð äëÿ ïåøåõîäîâ â ïåðèîäè÷åñêîì ðåæèìå "êðàñíûé-çåëåíûé".
Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå êèíåìàòè÷åñêèõ âîëí ñ ðàñõîäîì
ρ
Q(ρ) = 4qm
ρ∗
µ
¶
ρ
1−
, ρ∗ = const > 0, qm = const > 0, (u0 < 4qm /ρ∗ )
ρ∗
îïèñàòü äâèæåíèå òðàíñïîðòà â îêðåñòíîñòè ñâåòîôîðà ïðè t > 0. Ïðè
êàêîé ïðîäîëæèòåëüíîñòè âðåìåííûõ èíòåðâàëîâ êðàñíîãî è çåëåíîãî
ñâåòà Tê è Tç â äâèæåíèè òðàíñïîðòà âîçíèêàåò ïðîáêà?
Îòâåò:
ïðîáêà îáðàçóåòñÿ ïðè
q0
Tê
>
,
Tç
qm − q0
ãäå q0 = ρ0 u0 .
31.  ðåçóëüòàòå äîðîæíîãî ïðîèñøåñòâèÿ íà àâòîñòðàäå ïîòîê àâòîìîáèëåé q0 , äâèãàâøèõñÿ ñ ïëîòíîñòüþ ρ0 , âðåìåííî (â òå÷åíèå ïðîìåæóòêà
T ) ñíèçèëñÿ íà ìåñòå ñîáûòèÿ äî çíà÷åíèÿ q1 < q0 . Ïîñòðîèòü ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ êèíåìàòè÷åñêèõ âîëí ñ ôóíêöèåé Q(ρ), óêàçàííîé â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, ïðè óñëîâèÿõ 0 < q0 = Q(ρ0 ) < qm è 0 < ρ0 < ρ∗ /2.
Îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå l îò ìåñòà ïðîèñøåñòâèÿ, íà êîòîðîì ïðîèñõîäèò çàäåðæêà òðàíñïîðòà.
32. Ïîêàçàòü, ÷òî ïðîñòàÿ âîëíà äëÿ óðàâíåíèé îäíîìåðíûõ èçýíòðîïè÷åñêèõ òå÷åíèé ïîëèòðîïíîãî ãàçà, ðàñïðîñòðàíÿþùàÿñÿ ïî ñîñòîÿíèþ ïîêîÿ ñ ïëîòíîñòüþ ρ0 è ñêîðîñòüþ çâóêà c0 , ÿâëÿåòñÿ êèíåìàòè÷åñêîé âîëíîé. Íàéòè âèä çàâèñèìîñòè q = Q(ρ) ðàñõîäà q = ρu îò ïëîòíîñòè ρ.
µ
Îòâåò:
Q(ρ) = ±
2c0
γ−1
ρ 1−
¶
³ ´ γ−1
2
ρ
ρ0
.
33. Ïðîöåññ ôèëüòðàöèè æèäêîñòè â ïîðèñòîé ñðåäå îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ÁàêëåÿËåâåðåòòà
¡
¢
∂t s + qm ∂x 3s2 − 2s3 = 0,
ãäå 0 6 s(x, t) 6 1 íàñûùåííîñòü ïîð æèäêîñòüþ, qm = const ìàêñèìàëüíûé ðàñõîä (qm > 0). Ïîñòðîèòü àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è î ðàñïàäå ðàçðûâà ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè s(x, 0) = 0 ïðè x > 0 è
32
s(x, 0) = 1 ïðè x < 0. Êàêîâà ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ôðîíòà ôèëüòðóþùåéñÿ æèäêîñòè?
Îòâåò:
µ
¶
9qm t
s(x, t) = 1 (x < 0),
s(x, t) = 0 x >
,
8
p
µ
¶
2 − (x/t)2
9qm
1
9qm t
s(x, t) = +
0<x<
.
2
6qm
8
34. Ïîñòðîèòü ðåøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû u(x, t) = U (x − Dt) äëÿ óðàâíåíèÿ Áþðãåðñà
ut + uux = νuxx
(ν = const > 0),
óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì u → u1 (x → +∞) è u → u2 (x → −∞), ãäå
u1 , u2 = const (u1 6= u2 ). Íàéòè àñèìïòîòèêó ðåøåíèÿ ïðè ν → 0.
Îòâåò:
1
u −u
© u2 −u 1
ª , D = (u1 +u2 );
u(x, t) = u1 +
2
1
2
1 + exp
(x − Dt)
2ν
(
lim u(x, t) =
ν→0
u1 x > Dt,
u2 x < Dt.
35. Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ u = −2ν vx /v ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ
Áþðãåðñà, åñëè ôóíêöèÿ v óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè
vt = ν vxx
(ïðåîáðàçîâàíèå Êîóëà Õîïôà). Êàêîå ðåøåíèå v∗ (x, t) óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè äàåò ïðè óêàçàííîì ïðåîáðàçîâàíèè àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Áþðãåðñà u∗ (x, t) = x/t?
Îòâåò:
1
2
v∗ (x, t) = √ e−x /(4νt) .
t
36. Ïðîâåðèòü, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Áþðãåðñà, ðàññìàòðèâàåìîå â çàäà÷å
34, ÿâëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Êîóëà Õîïôà ñóììû v = v1 + v2 äâóõ
ðåøåíèé òèïà áåãóùèõ âîëí äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè, èìåþùèõ
âèä
n u ³
uj ´o
j
vj (x, t) = exp −
x− t
2ν
2
33
(j = 1, 2)
(23)
37. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ðåøåíèå u(x, t) óðàâíåíèÿ Áþðãåðñà, ÿâëÿþùååñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Êîóëà Õîïôà ñóììû v(x, t) = v1 (x, t) + v2 (x, t) + v3 (x, t)
òðåõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè âèäà (23) ñ ïàðàìåòðàìè u3 >
u2 > u1 . Íàéòè àñèìïòîòèêó ðåøåíèÿ u â ïðåäåëå ïðè ν → 0.



 u1 (x > D1 t)
lim u(x, t) =
ïðè t < 0,
u2 (D2 t < x < D1 t)
ν→0


 u (x < D t)
3
3
(
u1 (x > D3 t)
lim u(x, t) =
ïðè t > 0,
ν→0
u3 (x < D3 t)
Îòâåò:
ãäå
D1 =
1
(u1 + u2 ),
2
D2 =
1
(u2 + u3 ),
2
D3 =
1
(u1 + u3 ).
2
38. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíâàðèàíòà Ðèìàíà ñèñòåìû óðàâíåíèé
ut + A(u)ux = 0,
u = (u1 , u2 , u3 ),
ïîñòîÿííîãî âäîëü õàðàêòåðèñòèêè dx/dt = c, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî
âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâà l · rot l = 0, ãäå l(u) ëåâûé ñîáñòâåííûé âåêòîð
ìàòðèöû A ïîðÿäêà 3 × 3 ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì c.
39. Îïðåäåëèòü, äëÿ êàêèõ õàðàêòåðèñòèê ñóùåñòâóþò èíâàðèàíòû Ðèìàíà
óðàâíåíèé îäíîìåðíûõ äâèæåíèé ïîëèòðîïíîãî ãàçà



 ρt + uρx + ρux = 0
ut + uux +
1
ρ
px = 0


 p + up + γpu = 0.
t
x
x
Îòâåò:
dx
dt
= u(x, t) :
p ρ−γ = const
(ïîñòîÿíñòâî ýíòðîïèè íà êîíòàêòíîé
õàðàêòåðèñòèêå)
40. Âûÿñíèòü, ïðè êàêîé çàâèñèìîñòè ñêîðîñòè çâóêà c = c(ρ, p) îò ïëîòíîñòè ρ è äàâëåíèÿ p ñóùåñòâóþò èíâàðèàíòû Ðèìàíà r± , ñîõðàíÿþùèåñÿ
34
íà çâóêîâûõ õàðàêòåðèñòèêàõ dx/dt = u ± c ñèñòåìû óðàâíåíèé îäíîìåðíîé ãàçîâîé äèíàìèêè



 ρt + uρx + ρux = 0
ut + uux + ρ1 px = 0


 p + up + ρc2 u = 0.
t
Îòâåò:
c(ρ, p) =
a(p)
,
ρ
r± = u ±
x
R
dp
,
a(p)
x
a(p) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ.
41. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêàÿ ñèñòåìà çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ
∂t u + ∂x ψ(u) = 0.
(24)
Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé âåòâè óäàðíîé àäèàáàòû êàñàòåëüíûé âåêòîð
ê ýòîé âåòâè â öåíòðå àäèàáàòû u = u0 ÿâëÿåòñÿ ïðàâûì ñîáñòâåííûì
âåêòîðîì ìàòðèöû A(u0 ) = ψ 0 (u0 ).
42. Èùåòñÿ àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå u = u(ξ), ξ = x/t, ñòðîãî ãèïåðáîëè÷åñêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ∂t u + A(u) ∂x u = 0. Ïîêàçàòü, ÷òî íåîáõîäèìûì
óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ òàêîãî ðåøåíèÿ ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà r(u) · ∇u c(u) 6= 0 õîòÿ áû äëÿ îäíîãî èç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé
c(u) ìàòðèöû A(u) (çäåñü r ïðàâûé ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû A,
îòâå÷àþùèé ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ c). Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ïîëå c(u) óäîâëåòâîðÿåò äàííîìó óñëîâèþ (óñëîâèå èñòèííîé
íåëèíåéíîñòè ïî Ëàêñó), òî ðåøåíèå u(ξ) ïîëó÷àåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì
ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
r(u)
du
=
.
dξ
r(u) · ∇u c(u)
43. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ïîëå c(u) íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî âûðîæäåííûì ïî Ëàê-
ñó, åñëè r(u) · ∇u c(u) ≡ 0 äëÿ ïðàâîãî ñîáñòâåííîãî âåêòîðà r, ñîîòâåòñòâóþùåãî ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ c. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè c(u) ïðîñòîå
ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû A(u) = ψ 0 (u) ãèïåðáîëè÷åñêîé ñèñòåìû
çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ (24), òî òîãäà âåòâü óäàðíîé àäèàáàòû D (u − u0 ) =
35
ψ(u) − ψ(u0 ), êàñàþùàÿñÿ â òî÷êå u = u 0 âåêòîðà r(u0 ), ñîâïàäàåò ñ èíòåãðàëüíîé êðèâîé u = u(s) ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé
du
= r(u), u|s=0 = u0 .
ds
Ïðè ýòîì äëÿ ñêîðîñòè óäàðíîé âîëíû âûïîëíåíî ðàâåíñòâî D = c(u).
44. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ãàçîâîé äèíàìèêè
ρt + uρx + ρux = 0,
ut + uux +
1
px = 0,
ρ
st + usx = 0,
p
çâóêîâûå õàðàêòåðèñòèêè dx/dt = u ± c (çäåñü c =
p = p(ρ, s)
pρ (ρ, s) ñêîðîñòü
çâóêà) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ èñòèííîé íåëèíåéíîñòè ïî Ëàêñó, åñëè
óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ p = g(τ, s), τ = 1/ρ, òàêîâî, ÷òî gτ τ (τ, s) > 0.
Ïîêàçàòü, ÷òî êîíòàêòíûå õàðàêòåðèñòèêè dx/dt = u ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî
âûðîæäåííûìè ïî Ëàêñó.
45. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ìàññû, èìïóëüñà è ýíåðãèè
îäíîìåðíîãî äâèæåíèÿ ïîëèòðîïíîãî ãàçà



 ρt + (ρu)x = 0
(ρu)t + (ρu2 + p)x = 0


 ¡ 1 p + 1 ρu2 ¢ + ¡ 1 ρu3 +
γ−1
2
2
t
γ
γ−1
pu
¢
x
= 0.
 ïðîñòðàíñòâå òî÷åê (ρ, u, p) íàéòè ïðîåêöèè óäàðíîé àäèàáàòû, îòâå÷àþùåé çàäàííîìó ñîñòîÿíèþ (ρ0 , u0 , p0 ) ïî îäíó èç ñòîðîí ñèëüíîãî
ðàçðûâà, íà êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè: (a) ρ = ρ0 ; (b) u = u0 .
46. Çàïèñàòü â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå óðàâíåíèÿ âåòâè óäàðíûõ âîëí äëÿ
óäàðíîé àäèàáàòû ïîëèòðîïíîãî ãàçà â ïðîñòðàíñòâå (ρ, u, p) ñ öåíòðîì
(ρ0 , u0 , p0 ), èñïîëüçóÿ â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà ÷èñëî Ìàõà M = |u0 − D|/c0 ,
p
ãäå D ñêîðîñòü óäàðíîé âîëíû, c0 = γp0 /ρ0 .
Îòâåò:
©
ρ = ρ0 1 +
2(M 2 −1)
(γ−1)M 2 +2
ª
,
u = u0 ±
36
2|M 2 −1|
(γ+1)M
c0 ,
©
p = p0 1 +
2γ
(M 2
γ+1
ª
− 1) .
47. Íàéòè õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû óðàâíåíèé ëèíåéíîé òåîðèè óïðóãîñòè
∂ui
∂vi
=
,
∂t
∂x
ρ0
∂vi
∂ ∂Φ
=
∂t
∂x ∂ui
(i = 1, 2, 3)
ñ ïîòåíöèàëîì
Φ(u1 , u2 , u3 ) =
1
1
µ (u21 + u22 ) + (λ + 2µ) u23 ,
2
2
ãäå 0 < ρ0 = const ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà â íåäåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè, ui ïåðåìåùåíèÿ, vi ñêîðîñòè, λ, µ êîýôôèöèåíòû Ëàìå
(λ > 0, µ > 0). ßâëÿåòñÿ ëè ýòà ñèñòåìà ãèïåðáîëè÷åñêîé?
q
q
= cj (j = 1, ..., 6), ãäå c1,2 = ρµ0 , c3,4 = − ρµ0 (ïîïåðå÷íûå âîëíû);
q
c5,6 = ± λ+2µ
(ïðîäîëüíûå âîëíû);
ñèñòåìà ãèïåðáîëè÷íà.
ρ0
dx
dt
Îòâåò:
48. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ñêîðîñòè äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé êâàçèïîïåðå÷íûõ âîëí
∂t ui = ∂x vi ,
ρ0 ∂t vi = ∂x Φui
(i = 1, 2)
â èçîòðîïíîé íåëèíåéíîé ñðåäå ñ óïðóãèì ïîòåíöèàëîì
Φ(u1 , u2 ) =
Îòâåò:
c1,2
1
1
µ (u21 + u22 ) + κ2 (u21 + u22 )2
2
4
q 2 2 2
µ+κ (u1 +u2 )
=±
,
ρ0
q
c3,4 = ±
(κ = const)
µ+3κ2 (u21 +u22 )
.
ρ0
49. Íàéòè õàðàêòåðèñòèêè è èíâàðèàíòû Ðèìàíà ñèñòåìû óðàâíåíèé ïðîäîëüíûõ íåëèíåéíûõ óïðóãèõ âîëí â ñòåðæíå
u t = vx ,
ρ0 vt = σx ,
ãäå σ = σ(u) íàïðÿæåíèå (σ 0 (u) > 0).
Îòâåò:
dx
dt
q
=±
σ 0 (u)
ρ0
:
r± (u, v) = v ∓
Ru q σ0 (ξ)
0
ρ0
dξ.
50. Ïîêàçàòü, ÷òî óäàðíàÿ àäèàáàòà (10) äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé íåëèíåéíûõ
óïðóãèõ âîëí â ñòåðæíå èìååò â ñâîåì öåíòðå (u0 , v0 ) âòîðîé ïîðÿäîê
êàñàíèÿ ñ ëèíèÿìè óðîâíÿ èíâàðèàíòîâ Ðèìàíà r± (u, v) = r± (u0 , v0 ).
37
51. Íàéòè õàðàêòåðèñòèêè è èíâàðèàíòû Ðèìàíà äëÿ óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ
èäåàëüíîãî æåñòêîïëàñòè÷åñêîãî òåëà ïðè ïëîñêîé äåôîðìàöèè
¶
∂θ
∂θ
cos 2θ
+ sin 2θ
= 0,
∂x
∂y
µ
¶
∂σ
∂θ
∂θ
− 2k sin 2θ
− cos 2θ
= 0,
∂y
∂x
∂y
ãäå σ(x, y) = (σ11 + σ22 )/2 ñðåäíåå íàïðÿæåíèå, k = const ïðåäåë
∂σ
− 2k
∂x
µ
òåêó÷åñòè ïðè ñäâèãå (ìàêñèìàëüíîå êàñàòåëüíîå íàïðÿæåíèå), θ(x, y) óãîë íàêëîíà ëèíèè ìàêñèìàëüíîãî êàñàòåëüíîãî íàïðÿæåíèÿ â òî÷êå
(x, y).
dy
dx
Îòâåò:
dy
dx
= tg θ : σ − 2kθ = const;
= −ctg θ : σ + 2kθ = const.
52. Ðàññìàòðèâàþòñÿ óðàâíåíèÿ ïëîñêîãî íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ æåñòêîïëàñòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà ïðè óñëîâèè òåêó÷åñòè Ìèçåñà, èìåþùèå âèä
´ ∂ω √
∂ω
∂ϕ
+ 3 sin ω sin 2ϕ
− 2 sin ω
= 0,
∂x
∂y
∂y
´ ∂ω
√
∂ω ³√
∂ϕ
3 sin ω sin 2ϕ
−
3 sin ω cos 2ϕ + cos ω
+ 2 sin ω
= 0,
∂x
∂y
∂x
ãäå ôóíêöèÿ ω(x, y) ñâÿçàíà ñ ãëàâíûìè íàïðÿæåíèÿìè σ1 è σ2 ôîðìó³√
3 sin ω cos 2ϕ − cos ω
ëàìè
³
³
π´
π´
σ1 = 2k cos ω −
, σ2 = 2k cos ω +
6
6
(çäåñü k = const ïðåäåë òåêó÷åñòè), à ϕ(x, y) óãîë ìåæäó ïåðâûì
ãëàâíûì íàïðàâëåíèåì òåíçîðà íàïðÿæåíèé è îñüþ Ox. Íàéòè õàðàêòåðèñòèêè è èíâàðèàíòû Ðèìàíà äàííîé ñèñòåìû â îáëàñòè åå ãèïåðáîëè÷íîñòè.
dy
dx
Îòâåò:
¡π
6
√
=
√
3√
sin ω sin 2ϕ± 3−4 cos2 ω
3 sin ω cos 2ϕ−cos ω
<ω<
5π 7π
, 6
6
<ω<
11π
6
¢
:
ϕ∓
Rω
π/6
√
3−4 cos2 s
2 sin s
ds = const,
.
53. Âûâåñòè óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíàßêîáè äëÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé ñèñòåìû äâóìåðíûõ óðàâíåíèé ëèíåéíîé òåîðèè óïðóãîñòè
ρ0
∂v1
∂σ11
∂σ12
=
+
,
∂t
∂x
∂y
38
ρ0
∂v2
∂σ21
∂σ22
=
+
,
∂t
∂x
∂y
∂σ11
∂v1
∂v2
∂σ22
∂v1
∂v2
= (λ + 2µ)
+λ
,
=λ
+ (λ + 2µ)
,
∂t
∂x
∂y
∂t
∂x
∂y
µ
¶
∂σ12
∂v1
∂v2
=µ
+
,
(σ12 = σ21 ),
∂t
∂x
∂y
ãäå v = (v1 , v2 ) âåêòîð ñêîðîñòè, σij êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿæåíèé.
Îòâåò:
ϕt = 0,
ϕt = ±
q
µ
ρ0
q
p
ϕ2x
+
ϕ2y ,
ϕt = ±
λ+2µ
ρ0
p
ϕ2x + ϕ2y .
54. Ðàññìàòðèâàþòñÿ óðàâíåíèÿ õèìè÷åñêîé ñîðáöèè (4) äâóõêîìïîíåíòíîé
ñìåñè ñ èçîòåðìîé Ëåíãìþðà
f (u) =
¢
1¡
Γ1 u1 , Γ2 u2 ,
p
p(u1 , u2 ) = 1 + Γ1 u1 + Γ2 u2 ,
ãäå Γk êîýôôèöèåíòû Ãåíðè (0 < Γ1 < Γ2 ). Ïîêàçàòü, ÷òî ïðè u1 > 0,
u2 > 0 ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
(a) λ ∈ R ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ìàòðèöû f 0 (u) òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà λ êîðåíü óðàâíåíèÿ
Γ21 u1
Γ22 u2
+
= p;
Γ1 − pλ Γ2 − pλ
(25)
(b) ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λj ìàòðèöû f 0 (u) âåùåñòâåííû è ðàçëè÷íû:
0 < λ1 < Γ1 /p < λ2 < Γ2 /p (ãèïåðáîëè÷íîñòü óðàâíåíèé ëåíãìþðîâñêîé
ñîðáöèè).
55. Ïðîâåðèòü, ÷òî óðàâíåíèÿ õèìè÷åñêîé ñîðáöèè (4) ïðåîáðàçóþòñÿ çàìåíîé íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ τ = vt − x, ξ = x ê âèäó
∂τ f (u) + ∂ξ u = 0.
Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ êàæäîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ λ ìàòðèöû f 0 (u), çàäàâàåìîãî óðàâíåíèåì (25), ôóíêöèÿ r = p λ ÿâëÿåòñÿ äëÿ õàðàêòåðèñòèêè
dτ /dξ = λ èíâàðèàíòîì Ðèìàíà: (∂ξ + λ∂τ ) r = 0.
39
56. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé â èíâàðèàíòàõ Ðèìàíà
∂ξ r1 + r12 r2 ∂τ r1 = 0,
∂ξ r2 + r1 r22 ∂τ r2 = 0.
Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèè
1
u1 =
Γ2 − Γ1
µ
¶µ
¶
Γ1
Γ1
−1
−1 ,
r1
r2
1
u2 =
Γ1 − Γ2
µ
¶µ
¶
Γ2
Γ2
−1
−1
r1
r2
ñ ïîñòîÿííûìè Γ1 6= Γ2 óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèé ëåíãìþðîâñêîé ñîðáöèè äâóõêîìïîíåíòíîé ñìåñè
µ
∂ξ u1 + ∂τ
Γ1 u1
1 + Γ1 u1 + Γ2 u2
¶
= 0,
µ
∂ξ u2 + ∂τ
Γ2 u2
1 + Γ 1 u1 + Γ 2 u2
¶
= 0.
57. Ïîêàçàòü, ÷òî äèôôåðåíöèàëüíûì ñëåäñòâèåì ãàçîäèíàìè÷åñêèõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ìàññû è èìïóëüñà
ρt + div(ρu) = 0,
(ρu)t + div(ρu ⊗ u + pI) = 0
ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå äëÿ ïëîòíîñòè
ρtt −
c20 4ρ
3
X
∂ 2 Tij
=
,
∂x
∂x
i
j
i,j=1
ãäå c0 ñêîðîñòü çâóêà â ïîêîÿùåìñÿ ãàçå,
Tij = ρui uj + (p − c20 ρ) δij
(i, j = 1, 2, 3)
êîìïîíåíòû òåíçîðà àêóñòè÷åñêèõ íàïðÿæåíèé, u = (u1 , u2 , u3 ) âåêòîð ñêîðîñòè, p äàâëåíèå, δij ñèìâîëû Êðîíåêêåðà.
58. Ïîêàçàòü, ÷òî ïîòåíöèàë ϕ ïîëÿ ñêîðîñòåé u = ∇ϕ áåçâèõðåâîãî èçýíòðîïè÷åñêîãî òå÷åíèÿ ãàçà óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
µ
¶
1
2
dt ϕt + |∇ϕ| = c2 4 ϕ,
2
ãäå c ñêîðîñòü çâóêà.
40
(dt = ∂t + ∇ϕ · ∇)
59. Ïîêàçàòü, ÷òî ñëàáîíåëèíåéíûå àêóñòè÷åñêèå âîëíû â ïîëèòðîïíîì ãàçå
îïèñûâàþòñÿ ïðèáëèæåííûì (ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èí òðåòüåãî ïîðÿäêà
ìàëîñòè) óðàâíåíèåì
µ
¶
∂ γ−1 2
2
ϕt + |∇ϕ| = 0,
ϕtt − 4 ϕ +
∂t
2c20
ãäå γ ïîêàçàòåëü ïîëèòðîïû, c0 ñêîðîñòü çâóêà â ïîêîÿùåìñÿ ãàçå.
c20
60. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé àêóñòèêè â ïîòîêå ãàçà,
èìåþùåãî ïëîòíîñòü ρ0 = const è äâèæóùåãîñÿ ñ çàäàííîé ïîñòîÿííîé
ñêîðîñòüþ u0 ,
ρ0 dt u + ∇ p = 0,
dt p + ρ0 c20 div u = 0
(dt = ∂t + u0 · ∇)
âûïîëíåí èíòåãðàëüíûé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè
1 d
2 dt
¶
¶
ZZZ µ
ZZ µ
p2
1
p2
2
2
ρ0 |u| +
dΩ +
ρ0 |u| +
u0 · n dS+
ρ0 c20
2
ρ0 c20
Ω
S
ZZ
+
p u · n dS = 0,
S
3
ãäå Ω ⊂ R ïðîèçâîëüíàÿ îáëàñòü ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåé S è
åäèíè÷íîé âíåøíåé íîðìàëüþ n ê íåé.
61. Äëÿ óðàâíåíèé àêóñòèêè â ãàçå, äâèæóùåìñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ
u0 = (u0 , 0, 0), íàéòè çâóêîâûå õàðàêòåðèñòèêè è ñîîòâåòñòâóþùèå èì
áèõàðàêòåðèñòèêè, åñëè ïðè t = 0 êàæäàÿ èç ýòèõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ
ïîâåðõíîñòåé ñôåðà |x| = R.
Îòâåò:
(x + u0 t)2 + y 2 + z 2 = (R ± c0 t)2 õàðàêòåðèñòèêè;
¡
x = 1±
c0 t
R
¢
x0 − u0 t,
¡
y = 1±
c0 t
R
¢
y0 ,
¡
z = 1±
c0 t
R
¢
z0 áèõàðàêòåðè-
ñòèêè.
62. Ïóñòü çàâèñèìîñòü ôóíêöèè p(x, t) îò ïåðåìåííûõ x = (x, y, z) è t çàäàíà
íåÿâíî ñîîòíîøåíèåì
p = f (x · k(p) + c0 t |k(p)|),
41
ãäå f, k ∈ C 2 . Ïîêàçàòü, ÷òî p ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ
ptt = c20 4p (ôóíêöèîíàëüíî èíâàðèàíòíîå ðåøåíèå Ñìèðíîâà Ñîáîëåâà).
63. Íàéòè îáùèé âèä ðåøåíèÿ òèïà ñôåðè÷åñêîé âîëíû p = p(|x|, t) äëÿ
âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ.
Îòâåò: p =
1
|x|
¡
¢
f (|x| − c0 t) + g(|x| + c0 t) ,
f, g ïðîèçâîëüíûå ãëàäêèå ôóíêöèè.
64. Èçëó÷åíèå çâóêà øàðîì ðàäèóñà r0 , ïóëüñèðóþùèì ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ ÷àñòîòîé ω , îïèñûâàåòñÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì ur (x, t) =
U cos ωt (U = const 6= 0) ïðè |x| = r0 äëÿ ðàäèàëüíîé êîìïîíåíòû ur
ñêîðîñòè ãàçà u. Ðàçûñêèâàÿ ðåøåíèå óðàâíåíèé àêóñòèêè â âèäå ñôåðè÷åñêîé âîëíû, óõîäÿùåé îò èñòî÷íèêà çâóêà (ò.å. çàâèñÿùåé îò |x| − c0 t),
íàéòè ïîëå äàâëåíèÿ p â îáëàñòè |x| > r0 .
Îòâåò: p(x, t) = Re
n
a
|x|
iω(t−|x|/c0 )
o
e
,
a=
iρ0 c0 r0 mU
1+im
eim
¡
m=
ωr0
c0
¢
.
65. Íàéòè ïîòîê àêóñòè÷åñêîé ýíåðãèè I ÷åðåç ñôåðó SR : |x| = R,
Z
I=
p u · n dS,
SR
äëÿ èñòî÷íèêà çâóêà ÷àñòîòû ω â ïîêîÿùåìñÿ ãàçå, ñîçäàþùåãî ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèÿ p(x, t) = a|x|−1 cos ω(t − |x|/c0 ).
Îòâåò: I =
4πa2
ρ0 c0
¡ 2
cos [ω(t − R/c0 )] +
c0
2ωR
¢
sin[2ω(t − R/c0 )] .
66. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, îïèñûâàþùèå ðàñïðîñòðàíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â ñðåäå ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ ε è ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ µ, èìåþò âèä
bt + rot e = 0,
µ ε et − rot b = 0,
div e = 0,
div b = 0.
Ïîêàçàòü, ÷òî âåêòîð íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ e è âåêòîð
ìàãíèòíîé èíäóêöèè b óäîâëåòâîðÿþò âîëíîâîìó óðàâíåíèþ. ×åìó ðàâíà ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí?
42
67. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ñïðàâåäëèâ èíòåãðàë
ýíåðãèè
1 d
2 dt
¶
ZZZ µ
2
µε |e| + | b|
2
ZZ
dΩ +
Ω
s · n dΓ = 0,
Γ
ãäå s = e × b âåêòîð ÓìîâàÏîéíòèíãà (âåêòîð ïîòîêà ýíåðãèè),
Ω ⊂ R3 ïðîèçâîëüíàÿ îáëàñòü ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåé Γ = ∂Ω, n
îðò âíåøíåé íîðìàëè.
68. Íàéòè õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû óðàâíåíèé ìàãíèòíîé ãàçîâîé äèíàìèêè
ρt + uρx + ρux = 0,
ρ (ut + uux ) + px = j b,
pt + upx + γpux = σ −1 (γ − 1)j 2 ,
bt + ex = 0,
µ ε et + bx + µ j = 0.
Çäåñü j = σ(e − ub) òîê â ãàçå, σ = const åãî ýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîâîäèìîñòü.
Îòâåò:
c1 = u; c2,3 = u ±
q
γp
;
ρ
c4,5 = ± √1µε .
69. Íàéòè õàðàêòåðèñòèêè óðàâíåíèé îäíîìåðíîãî äâèæåíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà ñ áåñêîíå÷íîé ïðîâîäèìîñòüþ
ρt + uρx + ρux = 0,
bt + ubx + bux = 0,
ρ (ut + uux ) + px + µ1 bbx = 0,
Îòâåò:
q
c1,2 = u; c3,4 = u ±
γp
ρ
pt + upx + γpux = 0.
b2
.
µρ
+
70. Ïîñòðîèòü ðåøåíèå òèïà ïðîñòîé öåíòðèðîâàííîé âîëíû ñ ïëîòíîñòüþ
ρ â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà ïðîñòîé âîëíû äëÿ óðàâíåíèé áåñêîíå÷íî ïðîâîäÿùåãî ãàçà ñ ïîêàçàòåëåì ïîëèòðîïû γ = 2.
Îòâåò:
b = Aρ,
√
u = 2k ρ,
³
p=
k2
32
−
A2
2µ
´
ρ2 ,
ρ=
¡ x ¢2
kt
(A, k = const).
71. Ïîêàçàòü, ÷òî íà õàðàêòåðèñòèêàõ x = x(t) óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà
ßêîáè (16) âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ
dϕ
= 0,
dt
43
dϕt
= Ht .
dt
72. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ êàæäîãî êîðíÿ τ = H(ξ; x, t) õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ det (τ I +
3
P
i=1
ξi Ai ) = 0 ñèñòåìû (14) ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà H
óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó Ýéëåðà
H=
3
X
ξi ∂ξi H.
i=1
73. Íàéòè ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ßêîáè ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè òèïà ïëîñêîé âîëíû
ϕt = H(∇x ϕ),
ϕ(x, 0) = k · x
(k ∈ R3 ïîñòîÿííûé âåêòîð)
ïðè óñëîâèè, ÷òî ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà H ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîîäíîðîäíîé
ôóíêöèåé ïåðâîé ñòåïåíè: H(λp) = λH(p) (λ > 0).
Îòâåò:
ϕ(x, t) = k · x + H(k) t.
74. Èçâåñòíî, ÷òî âîëíîâîé ôîíò Γ(t) ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòèêîé ñèñòåìû
óðàâíåíèé
ut + x vy = 0,
v t + y ux = 0
è ïðè t = 0 çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì Γ0 : ϕ0 (x, y) = 0. Îïðåäåëèòü òðàåêòîðèþ ëó÷à â ïëîñêîñòè (x, y), èñõîäÿùåãî èç òî÷êè (x0 , y0 ) ∈ Γ0 . Íàéòè
ïîëîæåíèå ôðîíòà â ìîìåíò âðåìåíè t > 0, åñëè ïðè t = 0 îí èìåë ôîðìó
ãèïåðáîëû xy = 1 è âîçìóùåíèÿ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â îáëàñòü xy < 1.
Îòâåò:
(x/x0 )x0 p0 = (y/y0 )y0 q0 ,
p0 = ∂x ϕ0 (x0 , y0 ), q0 = ∂y ϕ0 (x0 , y0 );
44
xy = e−t .
2. Äèñïåðãèðóþùèå âîëíû
2.1. Äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå
Ðàññìàòðèâàþòñÿ âîëíîâûå ïðîöåññû, îïèñûâàåìûå ëèíåéíûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè
n X
m
X
bsp ∂ts ∂xp u(x, t) = 0.
(26)
s=0 p=0
Çäåñü t âðåìÿ, x ∈ R ïðîñòðàíñòâåííàÿ ïåðåìåííàÿ, à êîýôôèöèåíòû
bsp è ðåøåíèå u ìîãóò áûòü êîìïëåêñíûìè. Âîëíà, îïèñûâàåìàÿ êîìïëåêñíîçíà÷íûì ðåøåíèåì
u(x, t) = a ei(kx−ωt) ,
(27)
íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíûì âîëíîâûì ïàêåòîì. Çäåñü a àìïëèòóäà âîëíû, k âîëíîâîå ÷èñëî, ω ÷àñòîòà, θ = kx − ωt ôàçà âîëíû.  ñëó÷àå
âåùåñòâåííûõ ïàðàìåòðîâ (Im k = 0 è Im ω = 0) âîëíîâîå ÷èñëî óêàçûâàåò êîëè÷åñòâî âîëí, óêëàäûâàþùèõñÿ íà îòðåçêå îñè x äëèíû 2π , à ÷àñòîòà
êîëè÷åñòâî ãðåáíåé èëè âïàäèí, ïðîõîäÿùèõ ìèìî íåïîäâèæíîãî íàáëþäàòåëÿ çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè 2π . Ñ óêàçàííûìè ïàðàìåòðàìè îïðåäåëåíû
äëèíà âîëíû L = 2π/k è åå âðåìåííîé ïåðèîä T = 2π/ω . Êàæäîå ïîñòîÿííîå
çíà÷åíèå ôàçû θ ïåðåíîñèòñÿ ñî ñêîðîñòüþ cp = ω/k , êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ôà-
çîâîé ñêîðîñòüþ. Ó÷èòûâàÿ ýòî, âîëíîâîé ïàêåò ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
áåãóùåé âîëíû u(x, t) = a exp ik(x − cp t), ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ êîòîðîé
ðàâíà ôàçîâîé ñêîðîñòè.
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèè u â (27) äàåò ∂t u = −iω u è ∂x u = ik u.
Ïîýòîìó äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (26) â âèäå âîëíîâûõ ïàêåòîâ
ñ àìïëèòóäîé a 6= 0 íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèå ñîîòíîøåíèÿ
D(ω, k) = 0,
45
(28)
ãäå ôóíêöèÿ D èìååò âèä
D(ω, k) =
m
n X
X
bsp (−iω) s (ik) p .
s=0 p=0
Ðàâåíñòâî (28), ñâÿçûâàþùåå ÷àñòîòó è âîëíîâîå ÷èñëî, íàçûâàåòñÿ äèñïåð-
ñèîííûì ñîîòíîøåíèåì. Ïîñêîëüêó D(ω, k) ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì ñòåïåíè n
îòíîñèòåëüíî ω , óðàâíåíèå (28) ïðè çàäàííîì k èìååò â îáùåì ñëó÷àå n
êîìïëåêñíûõ êîðíåé ωj = ωj (k) (j = 1, ..., n). Ñåìåéñòâî âîëíîâûõ ïàêåòîâ
u(x, t) = a exp i(kx − ω(k) t) ñ ïðîèçâîëüíûì âîëíîâûì ÷èñëîì k è ÷àñòîòîé
ω(k), ïîðîæäåííîé îäíèì ôèêñèðîâàííûì èç êîðíåé äèñïåðñèîííîãî ñîîòíîøåíèÿ, íàçûâàåòñÿ âîëíîâîé ìîäîé. Êîëè÷åñòâî âîëíîâûõ ìîä äëÿ óðàâíåíèÿ (26) ñîâïàäàåò ñ ïîðÿäêîì ýòîãî óðàâíåíèÿ ïî ïåðåìåííîé t. Çàâèñèìîñòü
ôàçîâîé ñêîðîñòè cp (k) = ω(k)/k îò âîëíîâîãî ÷èñëà ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî
ïðîôèëü âîëíû, ñîñòîÿùåé èç íåñêîëüêèõ âîëíîâûõ ïàêåòîâ çàäàííîé ìîäû
ñ ðàçíûìè k , äåôîðìèðóåòñÿ â ðåçóëüòàòå ðàñïëûâàíèÿ ýòèõ ïàêåòîâ, áåãóùèõ ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè. Óêàçàííîå ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèåé âîëí.
Ñîîòâåòñòâåííî, âîëíû íàçûâàþòñÿ äèñïåðãèðóþùèìè, åñëè ω 00 (k) 6= 0.
Ïðèìåð. Óðàâíåíèå Êëåéíà Ãîðäîíà Ôîêà
utt − c20 uxx + α2 u = 0
(29)
ñ âåùåñòâåííûìè ïîñòîÿííûìè c0 6= 0 è α äàåò äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå (28), â êîòîðîì
D(ω, k) = −ω 2 + c20 k 2 + α2 . Ýòî ñîîòíîøåíèå ïîðîæäàåò äâå âîëíîâûå ìîäû ñ ÷àñòîòàìè
p
ω± (k) = ± c20 k 2 + α2 , âåùåñòâåííûìè ïðè k ∈ R. Äëÿ k > 0 ìîäà ñ ÷àñòîòîé ω+ (k)
îïèñûâàåò âîëíû, áåãóùèå âïðàâî âäîëü îñè Ox, à ìîäà ñ ÷àñòîòîé ω− (k) âîëíû, ðàñ00
ïðîñòðàíÿþùèåñÿ âëåâî. Ïðè çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòà α 6= 0 èìååì ω±
(k) 6= 0 âîëíû
ÿâëÿþòñÿ äèñïåðãèðóþùèìè.  ñëó÷àå α = 0 óðàâíåíèå (29) ïðåâðàùàåòñÿ â îäíîìåðíîå
âîëíîâîå óðàâíåíèå utt = c20 uxx . Åãî îáùåå ðåøåíèå ñîãëàñíî ôîðìóëå Äàëàìáåðà ÿâëÿåòñÿ
ñóììîé äâóõ áåãóùèõ âîëí u(x, t) = f (x − c0 t) + g(x + c0 t), à äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå
ïðèâîäèò ê âîëíîâûì ìîäàì ñ ÷àñòîòàìè ω± (k) = ±c0 k è ôàçîâûìè ñêîðîñòÿìè cp = ±c0 .
 ýòîì ñëó÷àå äèñïåðñèÿ îòñóòñòâóåò.
Îòìåòèì, ÷òî (29) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì âòîðîãî
ïîðÿäêà, êîòîðîå ïðèâîäèòñÿ â íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ ξ = x − c0 t, η = x + c0 t ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó uξη = (α2 /4c20 ) u. Ýòà ôîðìà çàïèñè óðàâíåíèÿ (29) íàçûâàåòñÿ òåëåãðàôíûì
46
óðàâíåíèåì, ïîñêîëüêó äàííîå óðàâíåíèå îïèñûâàåò êîëåáàíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
âäîëü ïðîâîäíèêà áîëüøîé ïðîòÿæåííîñòè (ëèíèè ñâÿçè). Íàëè÷èå äèñïåðñèè ïðèâîäèò
ê èñêàæåíèþ ñèãíàëà, ñîñòîÿùåãî èç ãàðìîíèê ñ íåñêîëüêèìè ÷àñòîòàìè. Ìåíåå âñåãî ýòî
ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè áîëüøèõ k (òî åñòü â îáëàñòè âûñîêèõ ÷àñòîò ω ), òàê êàê ïðè k → ∞
p
ôàçîâûå ñêîðîñòè c± (k) = ± c20 + α2 k −2 àñèìïòîòè÷åñêè ïîñòîÿííû: c±
p (k) → ±c0 .
2.2. Ìíîãîìåðíûå âîëíîâûå ïàêåòû
Äëÿ ñèñòåì l äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âèäà (26) ñ èñêîìûì âåêòîðîì u = (u1 , ..., ul ) ýëåìåíòàðíûå âîëíîâûå ïàêåòû îïèñûâàþòñÿ ðåøåíèÿìè
u(x, t) = a exp i(kx − ωt), ãäå a = (a1 , ..., al ) àìïëèòóäíûé âåêòîð.
Ïðèìåð. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà
dt u + A ∂x u = 0
(30)
äëÿ n-ìåðíîãî âåêòîðà u = (v, u1 , u2 , ..., un−1 ), n > 2, ñ îïåðàòîðîì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
dt = ∂t + v∂x . Âûäåëåííàÿ êîìïîíåíòà v èñêîìîé âåêòîð-ôóíêöèè u çäåñü èìååò ñìûñë
ñêîðîñòè ïåðåìåùåíèÿ ÷àñòèö ñïëîøíîé ñðåäû âäîëü òðàåêòîðèé dx/dt = v(x, t). Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ cj (j = 1, ..., n) ïîñòîÿííîé ìàòðèöû A ïîðÿäêà
n × n âåùåñòâåííû è ðàçëè÷íû. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ëèíåàðèçàöèÿ óðàâíåíèé (30) íà
ñîñòîÿíèè ïîêîÿ u = 0 äàåò ãèïåðáîëè÷åñêóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè
∂t u + A ∂x u = 0.
Îòûñêàíèå åå ðåøåíèé â âèäå ýëåìåíòàðíîãî âîëíîâîãî ïàêåòà u(x, t) = a exp i(kx − ωt)
ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ (A − cI)a = 0 äëÿ àìïëèòóäíîãî âåêòîðà a, ãäå c = ω/k ôàçîâàÿ
ñêîðîñòü. Ðåøåíèÿ ñ íåíóëåâîé àìïëèòóäîé âîçìîæíû òîëüêî ïðè óñëîâèè
det (A − cI) = 0,
êîòîðîå è ÿâëÿåòñÿ äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèåì.  ñèëó ãèïåðáîëè÷íîñòè ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû ÷àñòîòû ωj (k) = cj k (j = 1, ..., n) âåùåñòâåííû äëÿ âñåõ âîëíîâûõ ìîä.
Çàìåòèì, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (30) èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ
t̃ = t,
x̃ = x − u0 t,
ṽ = v − u0 ,
ũi = ui (i = 1, ..., n − 1),
îçíà÷àþùåãî ïåðåõîä â ñèñòåìó îòñ÷åòà, äâèæóùóþñÿ ñî ñêîðîñòüþ u0 = const. Ëèíåàðèçàöèÿ èñõîäíîé ñèñòåìû (30) íà ïîñòîÿííîì ðåøåíèè u = (u0 , 0, ..., 0) äàåò ñèñòåìó
47
óðàâíåíèé ìàëûõ âîçìóùåíèé ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ îòíîñèòåëüíî äâèæóùåãîñÿ íàáëþäàòåëÿ
∂t u + Ã ∂x u = 0
ñ ìàòðèöåé à = A + u0 I . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïîëó÷åííîå ðàíåå äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå
ïîçâîëÿåò íàéòè ïðåîáðàçîâàííóþ ôàçîâóþ ñêîðîñòü ïî ôîðìóëå c̃ = ω̃(k)/k , ãäå ÷àñòîòà
âîëíû ω̃ â äâèæóùåéñÿ ñèñòåìå îòñ÷åòà ñâÿçàíà ñ ÷àñòîòîé ω â íåïîäâèæíîé ñèñòåìå
ñîîòíîøåíèåì
ω̃ = ω − u0 k.
Óêàçàííîå èçìåíåíèå ÷àñòîòû âîëíû ïðè ïåðåõîäå â äâèæóùóþñÿ ñèñòåìó îòñ÷åòà â òåîðèè âîëí íàçûâàåòñÿ ýôôåêòîì Äîïïëåðà, à ïîïðàâêà ê ÷àñòîòå, ðàâíàÿ âåëè÷èíå u0 k ñäâèãîì Äîïïëåðà.
 ðàññìîòðåííîì âûøå ïðèìåðå âîëíîâûå ìîäû ãèïåðáîëè÷åñêîé ñèñòåìû
óðàâíåíèé (30), ëèíåàðèçîâàííîé íà ïîñòîÿííîì ðåøåíèè, îáëàäàþò ñâîéñòâîì ω 00 (k) ≡ 0, òàê ÷òî âñå ôàçîâûå ñêîðîñòè îêàçûâàþòñÿ íå çàâèñÿùèìè
îò âîëíîâîãî ÷èñëà. Äàííîå ñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðíûì èìåííî äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ âîëí.
 ïðîñòðàíñòâåííîì ñëó÷àå x ∈ R3 ýëåìåíòàðíûì âîëíîâûì ïàêåòîì íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ âèäà
u(x, t) = a ei(k·x−ωt) ,
ãäå k = (k1 , k2 , k3 ) âîëíîâîé âåêòîð. Ïîâåðõíîñòüþ ïîñòîÿííîé ôàçû ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîñòü
k1 x1 + k2 x2 + k3 x3 − ωt = const,
êîòîðàÿ ïåðåìåùàåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå R3 â íàïðàâëåíèè âåêòîðà k ñ íîðìàëüíîé ôàçîâîé ñêîðîñòüþ cp = ω/|k|.
Çàäà÷à. Íàéòè íîðìàëüíûå ôàçîâûå ñêîðîñòè äëÿ òðåõìåðíûõ âîëíîâûõ ïàêåòîâ w(x, t) =
a cos(k · x − ωt), a ∈ R3 , óäîâëåòâîðÿþùèõ ñèñòåìå óðàâíåíèé ëèíåéíîé òåîðèè óïðóãîñòè
(óðàâíåíèÿ Ëàìå)
ρ0 wtt = (λ + µ) ∇ div w + µ4 w
Çäåñü w = (w1 , w2 , w3 ) âåêòîð ïåðåìåùåíèé, 4 = ∂x21 +∂x22 +∂x23 , div w = w1x1 +w2x2 +w3x3 ,
∇ = (∂x1 , ∂x2 , ∂x3 ); ρ0 = const ïëîòíîñòü ñðåäû, λ > 0, µ > 0 ïîñòîÿííûå Ëàìå.
48
Ðåøåíèå. Íàéäåì ñíà÷àëà ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ îñíîâíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ
íà âåêòîð-ôóíêöèþ w(x, t), èìåþùóþ âèä êîñèíóñîèäàëüíîãî âîëíîâîãî ïàêåòà:
4w = −|k|2 a cos (k · x − ωt),
∇ div w = −k (a · k) cos (k · x − ωt).
Îòñþäà è èç óðàâíåíèé Ëàìå ñëåäóåò, ÷òî àìïëèòóäíûé âåêòîð a, âîëíîâîé âåêòîð k
è ÷àñòîòà ω äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ðàâåíñòâó
(ρ0 ω 2 − µ|k|2 ) a = (λ + µ) k (a · k).
(31)
Äëÿ çàäàííîãî âåêòîðà k 6= 0 ïðåäñòàâèì àìïëèòóäíûé âåêòîð â âèäå a = |k|−2 (a ·
k) k + b, ãäå âåêòîð b îðòîãîíàëåí âîëíîâîìó âåêòîðó: b · k = 0. Ïðîåêöèè âåêòîðíîãî
ðàâåíñòâà (31) íà íàïðàâëåíèå k è íà ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ýòîìó íàïðàâëåíèþ,
äàþò ñèñòåìó óðàâíåíèé
¡
¢
ρ0 ω 2 − (λ + 2µ) |k|2 a · k = 0,
(ρ0 ω 2 − µ|k|2 ) b = 0.
Åñëè a · k 6= 0, òî ñ íåîáõîäèìîñòüþ ïîëó÷àåì ω 2 = (λ + 2µ) |k|2 /ρ0 , è, êàê ñëåäñòâèå,
b = 0.  ýòîì ñëó÷àå íàïðàâëåíèå âåêòîðà ïåðåìåùåíèé w ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì
k, ò.å. âîëíîâîé ïàêåò ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëüíîé âîëíîé, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ ñ íîðìàëüíîé
p
ôàçîâîé ñêîðîñòüþ cp = ± (λ + 2µ)/ρ0 . Åñëè æå a·k = 0, íî ïðè ýòîì a 6= 0, òî òîãäà è
b 6= 0, ïîýòîìó ïîëó÷àåì ω 2 = µ |k|2 /ρ0 . Ýòîò ñëó÷àé äàåò ïîïåðå÷íóþ âîëíó, â êîòîðîé
âåêòîð ïåðåìåùåíèé w îðòîãîíàëåí íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, à íîðìàëüíàÿ
p
ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ðàâíà âåëè÷èíå cp = ± µ/ρ0 .
Îòâåò:
c2p = (λ + 2µ)/ρ0
(a · k 6= 0);
c2p = µ/ρ0
(a · k = 0)
2.3. Äèññèïàöèÿ è íåóñòîé÷èâîñòü
 ñëó÷àå, êîãäà ÷àñòîòà, çàäàâàåìàÿ äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèåì (28),
îêàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîé âåëè÷èíîé ω = ωre + iωim , âîëíîâîé ïàêåò èìååò
âèä
u(x, t) = a(t) ei(kx−ωre t)
ñ çàâèñÿùèì îò âðåìåíè àìïëèòóäíûì ìíîæèòåëåì a(t) = a exp (ωim t). Åñëè
ìíèìàÿ ÷àñòü ÷àñòîòû ω îòðèöàòåëüíà, ωim < 0, àìïëèòóäà âîëíû ýêñïîíåíöèàëüíî çàòóõàåò ïðè t → +∞ èìååò ìåñòî äèññèïàöèÿ.
Ïðèìåð. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèíåàðèçîâàííîå óðàâíåíèå Áþðãåðñà
ut + c0 ux = ν uxx
49
ñ ïîñòîÿííûìè c0 è ν > 0. Åäèíñòâåííàÿ âîëíîâàÿ ìîäà äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ çàäàåòñÿ
÷àñòîòîé ω(k) = c0 k − iνk 2 . Ïîñêîëüêó Im ω = −νk 2 < 0 ïðè k 6= 0, èìååò ìåñòî çàòóõàíèå âîëíû. Ýòî çàòóõàíèå îáóñëîâëåíî íàëè÷èåì â óðàâíåíèè âòîðîé ïðîèçâîäíîé uxx
ñ êîýôôèöèåíòîì ν , èìåþùèì ñìûñë âÿçêîñòè ñïëîøíîé ñðåäû. Äëèííûå âîëíû (ïðåäåë
k → 0) íàèìåíåå ïîäâåðæåíû äèññèïàöèè, à áîëüøàÿ âÿçêîñòü, íàîáîðîò, óñèëèâàåò çàòóõàíèå. Îòìåòèì, ÷òî ïðè c0 = 0 èñõîäíîå óðàâíåíèå ñîâïàäàåò ïî ôîðìå ñ óðàâíåíèåì
òåïëîïðîâîäíîñòè, äëÿ êîòîðîãî òàêæå õàðàêòåðíî ÿâëåíèå çàòóõàíèÿ âîëí.
 ñëó÷àå ωim > 0 àìïëèòóäà íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò c ðîñòîì âðåìåíè
íàáëþäàåòñÿ íåóñòîé÷èâîñòü âîëíîâîãî ïðîöåññà. Ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ (26), âîçíèêàþùèå â ðåçóëüòàòå ëèíåàðèçàöèè
áîëåå îáùèõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé, èçíà÷àëüíî ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìàëûõ âîçìóùåíèé â ñïëîøíîé ñðåäå. Òàêèì îáðàçîì,
âîëíîâîé ïàêåò ñ ωim > 0 ìîæåò ìîäåëèðîâàòü òîëüêî íà÷àëüíóþ ñòàäèþ
ðàçðóøåíèÿ íåóñòîé÷èâîãî âîëíîâîãî ïðîöåññà, ïîñêîëüêó ñ ðîñòîì âîçìóùåíèé èñõîäíîå ëèíåéíîå ïðèáëèæåíèå òåðÿåò ñìûñë. Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ
ýëåìåíòàðíûé âîëíîâîé ïàêåò, èìåþùèé âåùåñòâåííóþ ÷àñòîòó (ωim = 0) è
ïîñòîÿííóþ àìïëèòóäó a, îïèñûâàåò ðåãóëÿðíîå ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí, êîãäà
âëèÿíèå äèññèïàöèè èëè íåóñòîé÷èâîñòè ïðåíåáðåæèìî ìàëî.
2.4. Ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü
Câîéñòâî äèñïåðñèè ÿðêî ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè âçàèìîäåéñòâèè âîëíîâûõ ïàêåòîâ u(x, t) = a cos(kx − ωt) ôèêñèðîâàííîé ìîäû ñ âåùåñòâåííîé ÷àñòîòîé
ω = ω(k), èìåþùèõ îäèíàêîâóþ àìïëèòóäó, íî ðàçíûå âîëíîâûå ÷èñëà k .
Äëÿ ñóììû äâóõ òàêèõ ïàêåòîâ èìååì
a cos(kx − ωt) + a cos(k1 x − ω1 t) =
¶
µ
¶
µ
ω1 − ω
k1 + k
ω1 + ω
k1 − k
x−
t cos
x−
t ,
= 2a cos
2
2
2
2
ãäå ω1 = ω(k1 ). Âîëíîâîå äâèæåíèå, îïèñûâàåìîå äàííîé ñóììîé, èìååò âèä
ïåðèîäè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãðóïï âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ ñî ñêîðîñòüþ (ω1 −ω)/(k1 −k).  ïðåäåëå ïðè k1 → k ñêîðîñòü îãèáàþùåé ñîâïàäàåò
50
ñ ïðîèçâîäíîé
dω
.
dk
êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ. Ìàêñèìàëüíàÿ àìïëèòóäà ãðåáíåé
cg (k) =
íåñóùåé âîëíû âíóòðè êàæäîé èç ãðóïï ïðèáëèæåííî ðàâíà óäâîåííîé àìïëèòóäå èñõîäíûõ âîëíîâûõ ïàêåòîâ, à ñêîðîñòü èõ ïåðåìåùåíèÿ ôàçîâîé
ñêîðîñòè cp (k). Äëÿ äèñïåðãèðóþùèõ âîëí ãðóïïîâàÿ è ôàçîâàÿ ñêîðîñòè íå
ñîâïàäàþò.
Çàäà÷à. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèíåéíîå óðàâíåíèå Áóññèíåñêà, îïèñûâàþùåå äëèííûå âîëíû
ìàëîé àìïëèòóäû íà ìåëêîé âîäå
utt − c20 uxx =
1 2
h uxxtt .
3 0
Çäåñü h0 ãëóáèíà æèäêîñòè â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ, g óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè, c0 =
√
gh0 .
Òðåáóåòñÿ íàéòè ôàçîâóþ ñêîðîñòü cp , ãðóïïîâóþ ñêîðîñòü g è âûÿñíèòü, ÷åìó ðàâíÿþòñÿ
ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ |cp | è |cg |.
Ðåøåíèå. Ðàçûñêèâàÿ ðåøåíèå â âèäå ýëåìåíòàðíîãî âîëíîâîãî ïàêåòà u(x, t) = a exp(i(kx−
ωt)), ïîëó÷àåì äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå
µ
¶
1 2 2
2
ω 1 + h0 k = c20 k 2 ,
3
êîòîðîå çàäàåò äâå ìîäû, ñîîòâåòñòâóþùèå âîëíàì, ðàñïðîñòðàíÿþùèìñÿ âëåâî è âïðàâî. Îòñþäà äëÿ êàæäîé èç ìîä íàõîäèòñÿ ôàçîâàÿ ñêîðîñòü
¶−1/2
µ
1 2 2
cp (k) = ±c0 1 + h0 k
3
è ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü
µ
cg (k) = ±c0
1
1 + h20 k 2
3
¶−3/2
.
Ýòè ñêîðîñòè íå ñîâïàäàþò äðóã ñ äðóãîì ïðè âñåõ k 6= 0, ïîýòîìó ðàññìàòðèâàåìûå
âîëíû ÿâëÿþòñÿ äèñïåðãèðóþùèìè. Êðîìå òîãî, äëÿ îáåèõ ñêîðîñòåé ñïðàâåäëèâà îöåíêà |cp (k)| 6 c0 , |cg (k)| 6 c0 , ïðè÷åì ðàâåíñòâà äîñòèãàþòñÿ â äëèííîâîëíîâîì ïðåäåëå
k = 0. Òàêèì îáðàçîì, ôàçîâàÿ è ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòè äëÿ äàííîé âîëíîâîé ìîäåëè íå
√
ïðåâîñõîäÿò ïî ìîäóëþ êðèòè÷åñêîé ñêîðîñòè gh0 .
 ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé cg (k) =
∇ω(k). Äëÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ äèñïåðãèðóþùèõ âîëí ìîãóò îòëè÷àòüñÿ íå
51
òîëüêî àáñîëþòíûå âåëè÷èíû, íî è íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ ôàçîâîé è ãðóïïîâîé ñêîðîñòè.
Ïðèìåð. Ïóñòü ÷àñòîòà ω ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé ôóíêöèåé íóëåâîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî
âîëíîâîãî âåêòîðà k, òî åñòü ω(λk, λl, λm) = ω(k, l, m) ïðè âñåõ λ > 0. Äèôôåðåíöèðîâàíèå
óêàçàííîãî òîæäåñòâà ïî ïàðàìåòðó λ â òî÷êå λ = 1 äàåò ñîîòíîøåíèå
k
∂ω
∂ω
∂ω
+l
+m
= 0,
∂k
∂l
∂m
(32)
êîòîðîå îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîðà cg (k) è k ïåðïåíäèêóëÿðíû â êàæäîé òî÷êå k ∈ R3 . Îäíîðîäíîñòü ÷àñòîòû ÿâëÿåòñÿ è íåîáõîäèìûì óñëîâèåì îðòîãîíàëüíîñòè ãðóïïîâîé ñêîðîñòè
âîëíîâîìó âåêòîðó. Äåéñòâèòåëüíî, ñîîòíîøåíèå (32) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè ω(k, l, m). Óðàâíåíèÿ õàðàêòåðèñòèê äëÿ íåãî èìåþò âèä dk/k = dl/l = dm/m, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî îáùåå
ðåøåíèå ω = ω(k/l, k/m) ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé ôóíêöèåé íóëåâîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî
ïåðåìåííûõ k, l, m.
2.5. Ìåòîä ñòàöèîíàðíîé ôàçû
Âîëíîâîé ïðîöåññ â äèñïåðãèðóþùåé ñðåäå ñ òå÷åíèåì âðåìåíè îáû÷íî
ïðèîáðåòàåò ðåãóëÿðíûé õàðàêòåð, äàæå åñëè ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí âûçâàíî
íà÷àëüíûì âîçìóùåíèåì îáùåãî âèäà. Äëÿ çàäàííîé âîëíîâîé ìîäû ω =
ω(k) ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ ñóïåðïîçèöèþ ýëåìåíòàðíûõ âîëíîâûõ ïàêåòîâ
Z+∞
a(k) ei(kx−ω(k)t) dk.
u(x, t) =
(33)
−∞
Âõîäÿùèé ñþäà àìïëèòóäíûé ìíîæèòåëü a(k) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíîé ôóíêöèåé u(x, 0) â âèäå èíòåãðàëà Ôóðüå
1
a(k) =
2π
Z+∞
u(x, 0) e−ikx dx.
−∞
Ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ (33) ïðè áîëüøèõ t óäîáíî ðàñìàòðèâàòü äëÿ ôèêñèðîâàííîãî îòíîøåíèÿ x/t = U , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò äâèæåíèþ íàáëþäàòåëÿ ñ
ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ U . Ââåäåì ôàçîâóþ ôóíêöèþ ψ(k) = kx/t − ω(k), ñ
52
êîòîðîé äëÿ v(t) = u(U t, t) èìååì
Z+∞
a(k) eitψ(k) dk.
v(t) =
−∞
Äàëåå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèè a(z) è ψ(z) ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèìè
ôóíêöèÿìè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé z = k + il â ïîëîñå |Im z| < l0 ñ íåêîòîðûì l0 > 0. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðîìåæóòêè èíòåãðèðîâàíèÿ, íà êîòîðûõ
ψ 0 (k) 6= 0, äàþò ïðè t → +∞ ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëûé âêëàä â ðåøåíèå. Â
îêðåñòíîñòè òî÷êè k0 , äëÿ êîòîðîé ψ 0 (k0 ) = 0, íî ψ 00 (k0 ) 6= 0, ñïðàâåäëèâî
ðàçëîæåíèå
ψ(z) = ψ(k0 ) +
¡
¢
1
(z − k0 )2 ψ 00 (k0 ) + O |z − k0 |3 ,
2
è ïîýòîìó êàðòèíà ëèíèé óðîâíÿ Im ψ(z) = C âáëèçè òàêîé ñòàöèîíàðíîé
òî÷êè àíàëîãè÷íà ñòðóêòóðå ëèíèé óðîâíÿ ñåäëîâîé ïîâåðõíîñòè (k − k0 ) l =
6C/ψ 00 (k0 ). Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äëÿ ôóíêöèè (33) ôàçà ñòàöèîíàðíà â òî÷êå k0 , îïðåäåëÿåìîé ñîîòíîøåíèåì ω 0 (k0 ) = U = x/t, ò.å. â òî÷êå, äâèæóùåéñÿ
ñ ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ cg (k0 ). Äåôîðìàöèÿ âåùåñòâåííîãî êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ â êîìïëåêñíóþ îáëàñòü è ïîñëåäóþùåå âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà ïðèâîäÿò ê àñèìïòîòèêå
s
u(x, t) =
³1´
2π
i( k0 x−ω(k0 )t− π4 sign ω 00 (k0 ))
+O
a(k0 ) e
.
|ω 00 (k0 )|t
t
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè t → +∞ íà÷àëüíîå âîçìóùåíèå ðàñïàäàåòñÿ íà ãðóïïû
√
âîëíîâûõ ïàêåòîâ, àìïëèòóäà êîòîðûõ óáûâàåò êàê 1/ t. Äëÿ äèñïåðãèðóþùèõ ñðåä ïëîòíîñòü ïåðåíîñèìîé ýíåðãèè îáû÷íî îêàçûâàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíîé êâàäðàòó àìïëèòóäû ðåøåíèÿ |u(x, t)|2 . Ñîãëàñíî óêàçàííîé âûøå àñèìïòîòèêå ðåøåíèÿ ÷àñòü ýíåðãèè, çàêëþ÷åííàÿ ìåæäó òî÷êàìè xj =
ω 0 (kj ) t (j = 1, 2), â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ñîõðàíÿåòñÿ:
Zx2
Zk2
|u(x, t)|2 dx = 2π
x1
|a(k)|2 dk.
k1
53
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýíåðãèÿ ïåðåíîñèòñÿ ñ ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ, ïðè÷åì äèñïåðñèÿ âîëí ïðèâîäèò ê åå ðàññåÿíèþ â ïðîñòðàíñòâå.
2.6. Àñèìïòîòèêà â îêðåñòíîñòè ôðîíòà
Îïèñàííîå ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ ïðè t → +∞ èìååò ìåñòî ïðè óñëîâèè
ω 00 (k0 ) 6= 0. Óêàçàííîå óñëîâèå íàðóøàåòñÿ â òî÷êàõ ýêñòðåìóìà ãðóïïîâîé
ñêîðîñòè, ãäå ω 00 (k0 ) = c0g (k0 ) = 0.  îêðåñòíîñòè òàêèõ ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê
ðåøåíèå èìååò äðóãóþ àñèìïòîòèêó. Ïðè åå ïîñòðîåíèè ôàçîâàÿ ôóíêöèÿ ψ
ââîäèòñÿ èíà÷å ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû ψ(k) = kω 0 (k0 ) − ω(k), òàê ÷òî ôàçà
¡
¢
âîëíû θ = kx − ωt ñâÿçàíà ñ ψ ðàâåíñòâîì θ = k x − cg (k0 )t + ψ(k) (ïðè
ýòîì îòíîøåíèå x/t îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì).  ýòîì ñëó÷àå äëÿ ôóíêöèè ψ(z)
ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå
ψ(z) = ψ(k0 ) +
¡
¢
1
(z − k0 )3 ψ 000 (k0 ) + O |z − k0 |4 ,
6
ñîãëàñíî êîòîðîìó ðåøåíèå âèäà (33) â îêðåñòíîñòè òî÷êè x = cg (k0 )t, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ c0g (k0 ) = 0, c00g (k0 ) 6= 0, èìååò àñèìïòîòèêó

³ 2´
 x − cg (k0 ) t  i( k0 x−ω(k0 )t)
q
Ai 
+ O t− 3 .
 e
3
(1/2)|c00g (k0 )| t
(1/2) |c00g (k0 )| t
u(x, t) = q
3

2π a(k0 )
Àìïëèòóäíûé ìíîæèòåëü â ýòîé ôîðìóëå ñîäåðæèò ôóíêöèþ Ýéðè
1
Ai(x) =
π
Z+∞
0
µ
1
cos kx + k 3
3
¶
dk,
êîòîðàÿ èìååò ñëåäóþùåå ïîâåäåíèå ïðè |x| → ∞ :

´
³
2 32

exp − 3 x
1
³
´
Ai(x) ∼ √
1
3
2
π
2 π |x| 4  2 cos 3 |x| 2 − 4
(x → +∞),
(x → −∞).
Ãðàôèê ôóíêöèè Ýéðè äàåò îãèáàþùóþ êðèâóþ äëÿ âîëíîâûõ ïàêåòîâ, êîòîðàÿ ïåðåìåùàåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ cg (k0 ). Ïðè ýòîì ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè
íóëÿìè îãèáàþùåé â îáëàñòè åå îñöèëëÿöèé íåîãðàíè÷åííî óâåëè÷èâàåòñÿ ñ
54
ðîñòîì t. Òàêèì îáðàçîì, ôðîíò ïåðâîíà÷àëüíî ëîêàëèçîâàííîãî âîçìóùåíèÿ
ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ, ðàâíîé ýêñòðåìàëüíîìó çíà÷åíèþ ãðóïïîâîé ñêîðîñòè. Ïðè ýòîì âáëèçè ôðîíòà âîëíîâûå ïàêåòû çàòóõàþò ìåäëåííåå
(êàê t−1/3 ), ÷åì âíóòðè îáëàñòè äâèæåíèÿ. Ñîãëàñíî ïðèâåäåííîé àñèìïòîòèêå ôóíêöèè Ýéðè ïðè x → +∞ âîëíîâîå äâèæåíèå ýêñïîíåíöèàëüíî áûñòðî
èñ÷åçàåò â íåâîçìóùåííîé îáëàñòè íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä ôðîíòîì.
2.7. Íåëèíåéíàÿ äèñïåðñèÿ
Ïðè îïèñàíèè íåëèíåéíûõ âîëí ñ äèñïåðñèåé â êà÷åñòâå ìîäåëüíîãî óðàâíåíèÿ ÷àñòî âîçíèêàåò óðàâíåíèå Êîðòåâåãàäå Ôðèçà
(34)
ut + uux + uxxx = 0.
Ðîëü íåëèíåéíîñòè âûÿâëÿåòñÿ ïðè îòûñêàíèè ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (34) â âèäå
áåãóùåé âîëíû u(x, t) = v(x − ct), ãäå ôóíêöèÿ v óäîâëåòâîðÿåò îáûêíîâåííîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ
−cv 0 + vv 0 + v 000 = 0.
Äâóêðàòíûì èíòåãðèðîâàíèåì îíî ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ ïåðâîãî ïîðÿäêà
v 02 =
1
(v − v1 )(v − v2 )(v3 − v),
3
(35)
ãäå êîðíè êóáè÷åñêîãî ïîëèíîìà â ïðàâîé ÷àñòè ñâÿçàíû ñ êîíñòàíòàìè èíòåãðèðîâàíèÿ è ïàðàìåòðîì c ôîðìóëàìè Âèåòà.  ÷àñòíîñòè, v1 + v2 + v3 = 3c.
Ðåøåíèÿ â âèäå ïåðèîäè÷åñêîé âîëíû ïîëó÷àþòñÿ äëÿ ïðîñòûõ âåùåñòâåííûõ
êîðíåé v1 < v2 < v3 è äàþòñÿ êâàäðàòóðîé
v3
√ Z
p
± 3
v
ds
(s − v1 )(s − v2 )(v3 − s)
= x − ct.
Óêàçàííûé èíòåãðàë â îáùåì ñëó÷àå íå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå
ôóíêöèè, îäíàêî ïîäñòàíîâêîé
s = v2 + (v3 − v2 ) cos2 ψ,
v = v2 + (v3 − v2 ) cos2 ϕ
55
äàííàÿ çàâèñèìîñòü ñâîäèòñÿ ê ñîîòíîøåíèþ
Zϕ
p
0
dψ
1 − κ 2 sin2 ψ
= ξ,
(36)
ãäå îáîçíà÷åíî
κ2 =
v3 − v2
,
v3 − v1
p
ξ = ± (v3 − v1 )/12 (x − ct).
Ôóíêöèÿ ϕ = am(ξ; κ), îïðåäåëÿåìàÿ ñîîòíîøåíèåì (36), íîñèò íàçâàíèå
àìïëèòóäû ßêîáè, à åå ñóïåðïîçèöèÿ cn(ξ; κ) = cos am(ξ; κ) íàçûâàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèì êîñèíóñîì. Òàêèì îáðàçîì, èñêîìûé âîëíîâîé ïðîôèëü èìååò
ôîðìó
2
u(x, t) = v2 + (v3 − v2 ) cn
¡p
¢
(v3 − v1 )/12 (x − ct) .
Òàêàÿ âîëíà íàçûâàåòñÿ êíîèäàëüíîé âîëíîé ïî ïðè÷èíå ïðèñóòñòâèÿ ôóíêöèè cn â åå îïðåäåëåíèè. Ôóíêöèÿ cn(ξ; κ) ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ïî ξ c
ïåðèîäîì, ðàâíûì âåëè÷èíå 2K(κ), ãäå
π
Z2
dψ
p
K(κ) =
1 − κ 2 sin2 ψ
0
ïîëíûé ýëëèïòè÷åñêèé èíòåãðàë.
Ïðèìåð. Ê óðàâíåíèþ Êîðòåâåãà äå Ôðèçà, çàïèñàííîìó â ôîðìå (34), ñâîäèòñÿ óðàâíåíèå
µ
η t + c0
3
1+
η
2h0
¶
ηx +
1
c0 h20 ηxxx = 0
6
äëÿ ôóíêöèè η(x, t), äàþùåé âîçâûøåíèå ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè â íåëèíåéíîé äëèííîé
âîëíå íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè êîíå÷íîé ãëóáèíû h0 .
Ëèòåðàòóðà
1. Áõàòíàãàð Ï. Íåëèíåéíûå âîëíû â îäíîìåðíûõ äèñïåðñíûõ ñèñòåìàõ.
Ì.: Ìèð, 1979. 136 ñ.
2. Ãàáîâ Ñ.À. Ââåäåíèå â òåîðèþ íåëèíåéíûõ âîëí. Ì.: Èçäàòåëüñòâî Ìîñêîâñêîãî óíèâåðñèòåòà. 1988. 176 ñ.
56
3. Æåðìåí Ï. Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä. Ì.: Ìèð, 1965. 480 ñ.
4. Íüþýëë À. Ñîëèòîíû â ìàòåìàòèêå è ôèçèêå. Íîâîêóçíåöê: ÈÎ ÍÔÌÈ.
1998. 322 ñ.
5. Ñíåääîí È. Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Ì.: Èçä-âî èíîñòðàííîé ëèòåðàòóðû,
1955. 667 ñ.
6. Ñîëèòîíû. Ðåä. Ð. Áóëëàô, Ô. Êîäðè. Ì.: Ìèð, 1983. 408 ñ.
7. Òîäà Ì. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ðåøåòîê. Ì.: Ìèð, 1984. 264 ñ.
8. Ôåäîðþê Ì.Â. Àñèìïòîòèêà. Èíòåãðàëû è ðÿäû. Ì.: Íàóêà. 1987. 544 ñ.
57
Çàäà÷è
1. Íàéòè ôàçîâóþ ñêîðîñòü cp (k) = ω(k)/k è ãðóïïîâóþ ñêîðîñòü cg (k) =
dω/dk äëÿ äèñïåðñèîííûõ ñîîòíîøåíèé ω = ω(k), ïîðîæäàåìûõ ñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìè:
(a) ut + c0 ux + c0 h20 uxxx = 0;
(b) ut + c0 ux − h20 uxxt = 0
(çäåñü c0 > 0, h0 > 0 ïîñòîÿííûå). Ïîêàçàòü, ÷òî ïðè âñåõ k > 0
âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà
ω (a) (k) 6 ω (b) (k),
(b)
c(a)
p (k) 6 cp (k),
(b)
c(a)
g (k) 6 cg (k),
â êîòîðûõ ðàâåíñòâà äîñòèãàþòñÿ òîëüêî ïðè k = 0. ×åìó ðàâíû ïðåäåëû
(a)
(a)
(b)
(b)
îòíîøåíèé cg (k)/cp (k) è cg (k)/cp (k) â äëèííîâîëíîâîì (k → 0) è
êîðîòêîâîëíîâîì (k → ∞) ïðèáëèæåíèÿõ? Ïîñòðîèòü ãðàôèêè ôóíêöèé
ω(k), cp (k), cg (k) ïðè −∞ < k < +∞ äëÿ óðàâíåíèé (a) è (b).
Îòâåò:
(b)
(a)
lim
k→0
cg (k)
(a)
cp (k)
= lim
k→0
cg (k)
(b)
cp (k)
(a)
= 1,
lim
k→∞
cg (k)
(a)
cp (k)
(b)
= 3,
lim
k→∞
cg (k)
(b)
cp (k)
= −1.
2. Èçâåñòíî, ÷òî ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü âîëí, îïèñûâàåìûõ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè x, t è êîìïëåêñíûìè ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè, âåùåñòâåííà è ñîâïàäàåò ñ óäâîåííîé
ôàçîâîé ñêîðîñòüþ. Âîññòàíîâèòü âèä óðàâíåíèÿ, åñëè îíî èìååò (a) ïåðâûé ïîðÿäîê ïî t; (b) âòîðîé ïîðÿäîê ïî t.
Îòâåò:
(a) iut + γuxx = 0;
(b) utt − i(γ1 + γ2 ) uxxt − γ1 γ2 uxxxx = 0
(γ, γ1 , γ2 ∈ R − const).
3. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ óðàâíåíèÿ utt − c20 uxx + u = 0 ïðè ëþáûõ x1 , x2 ∈ R
ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå áàëàíñà ýíåðãèè
d
dt
Zx2
¯x2
¯
e(x, t) dx + f (x, t)¯¯ = 0
x1
x1
ñ ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè e = (u2t + c20 u2x + u2 )/2 è ïîòîêîì ýíåðãèè f =
−c20 ux ut .
58
4. Ñêîðîñòü ïåðåíîñà ýíåðãèè âîëíîâûì ïàêåòîì u = a sin(kx − ωt) îïðåäåëÿåòñÿ êàê îòíîøåíèå U = F/E óñðåäíåííîãî çà âðåìåííîé ïåðèîä
T = 2π/ω ïîòîêà ýíåðãèè ê ñðåäíåé ïî ïðîñòðàíñòâåííîìó ïåðèîäó
L = 2π/k ïëîòíîñòè ýíåðãèè,
F =
1
T
tZ
1 +T
f (x, t) dt,
E=
t1
1
L
xZ1 +L
e(x, t) dx.
x1
 óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è ïîêàçàòü, ÷òî U ñîâïàäàåò ñ ãðóïïîâîé
ñêîðîñòüþ cg (k).
5. Ïîêàçàòü, ÷òî ëîêàëüíàÿ ÷àñòîòà ω , ëîêàëüíîå âîëíîâîå ÷èñëî k è ôàçà
θ ãðóïïû âîëí, çàäàâàåìûå êàê ôóíêöèè îò x è t íåÿâíûì îáðàçîì ñ
ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé
ω = W (k),
x = W 0 (k) t,
θ = kx − ωt,
óäîâëåòâîðÿþò ïðè óñëîâèè W 00 (k) 6= 0 äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì
kt + W 0 (k)kx = 0,
θx = k,
θt = −ω.
6. Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ìîäû ω = ω(k) ñ äâóìåðíûì âîëíîâûì âåêòîðîì
k = (k, l) âåêòîð ãðóïïîâîé ñêîðîñòè cg = (∂ω/∂k, ∂ω/∂l) ïðè âñåõ k 6= 0
îáðàçóåò ñ âîëíîâûì âåêòîðîì ïîñòîÿííûé óãîë α (0 6 α 6 π). Îïðåäåëèòü âèä çàâèñèìîñòè ω(k), äëÿ êîòîðîé ýòî âîçìîæíî.
Îòâåò:
ω(k) = f (|k| e± ϕ tg α ), ãäå ϕ = arctg(k/l), à ôóíêöèÿ f ∈ C 1 òàêîâà, ÷òî
f 0 (ξ) > 0 (ξ ∈ R) ïðè 0 6 α < π/2, è f 0 (ξ) 6 0 (ξ ∈ R) ïðè π/2 < α 6 π ;
ω(k) = f (k/l) ïðè α = π/2.
7. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ äèñïåðñèîííîé êðèâîé ω = ω(k), óäîâëåòâîðÿþùåé
óñëîâèþ ω(0) = 0 è âûïóêëîé ïðè k > 0, ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü cg (k) =
ω 0 (k) è ôàçîâàÿ ñêîðîñòü cp (k) = ω(k)/k èìåþò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
(a) cg (k) > cp (k), åñëè ω 00 (k) > 0 ïðè âñåõ k > 0 (äèñïåðñèîííàÿ êðèâàÿ
âûïóêëà âíèç).
59
(b) cg (k) < cp (k), åñëè ω 00 (k) < 0 ïðè âñåõ k > 0 (äèñïåðñèîííàÿ êðèâàÿ
âûïóêëà ââåðõ).
Ïîêàçàòü, ÷òî ýòè óòâåðæäåíèÿ ïåðåñòàþò áûòü âåðíûìè äëÿ ó÷àñòêîâ
âûïóêëîñòè èëè âîãíóòîñòè äèñïåðñèîííîé êðèâîé ïðè íàëè÷èè òî÷åê
ïåðåãèáà.
8. Ïîêàçàòü, ÷òî ðåçîíàíñ ôàçîâîé è ãðóïïîâîé ñêîðîñòåé cp (k0 ) = cg (k0 )
â òî÷êå k0 6= 0 ðàâíîñèëåí âûïîëíåíèþ ëþáîãî èç äâóõ ñëåäóþùèõ
ñâîéñòâ:
(a) äèñïåðñèîííàÿ êðèâàÿ ω = ω(k) êàñàåòñÿ â òî÷êå k = k0 ïðÿìîé,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò â ïëîñêîñòè (k, ω);
(á) çíà÷åíèå âîëíîâîãî ÷èñëà k = k0 ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé äëÿ
ôàçîâîé ñêîðîñòè: c0p (k0 ) = 0.
9. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ èçîòðîïíûõ âîëí ω = ω(|k|) ñ ω(0) = 0 â ñëó÷àå
ω 0 (k) > 0, ω 00 (k) < 0 âñåãäà ñóùåñòâóåò íàáîð âåêòîðîâ k1 , k2 , k3 , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì òðåõâîëíîâîãî ðåçîíàíñà
k3 = k1 + k2 ,
ω(|k3 |) = ω(|k1 |) + ω(|k2 |),
à â ñëó÷àå ω 0 (k) > 0, ω 00 (k) > 0 ýòèì óñëîâèÿì óäîâëåòâîðèòü íåâîçìîæíî.
10. Îïðåäåëèòü, ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ âåùåñòâåííûõ ïàðàìåòðîâ a è b óñòîé÷èâû âñå âîëíîâûå ìîäû ñèñòåìû
(
utt − a2 uxx + vxx = 0,
vtt − b2 vxx + uxx = 0.
Îòâåò:
a2 b2 > 1.
11. Îïðåäåëèòü, çà êàêîå âðåìÿ T óìåíüøèòñÿ âäâîå àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà
|u(x, t)| âîëíîâîãî ïàêåòà u = a exp i(kx − ωt) äëÿ óðàâíåíèÿ
n
X
ut − νuxx +
bs ∂x2s+1 u = 0,
s=0
60
ãäå ν > 0 const,
Îòâåò:
bs = const (s = 1, ..., n).
T = ln 2/(νk 2 ).
12. Íà÷àëüíûé âîëíîâîé ïðîôèëü u0 èìååò âèä ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òðåóãîëüíûõ èìïóëüñîâ, ñîñðåäîòî÷åííûõ íà ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ
èíòåðâàëàõ Im = (xm − 2, xm + 2) (m = 1, ..., n):
(
u0 (x) =
2 − |x − xm |,
0,
x ∈ Im ,
x 6∈ Im (m = 1, ..., n).
Íàéòè àìïëèòóäíûé ìíîæèòåëü a(k) äëÿ óêàçàííîé ôóíêöèè u0 .
Îòâåò:
n
2 sin2 k X ikxm
a(k) =
e
.
πk 2 m=1
13. Íàéòè àìïëèòóäíûé ìíîæèòåëü a(k), åñëè íà÷àëüíûå äàííûå u0 èìåþò
âèä ìîäóëèðîâàííîãî âîëíîâîãî ïàêåòà:
(a) u0 (x) = e−|x| cos k0 x; (b) u0 (x) = e−x
2
/2
cos k0 x (k0 = const).
1
1 + k 2 + k02
1
Îòâåò: (a) a(k) =
; (b) a(k) = √ e− 2
2
2
π[1 + (k + k0 ) ][1 + (k − k0 ) ]
2π
¡
k2 +k02
¢
ch(kk0 ).
14. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ íà÷àëüíîé ôóíêöèè u0 (x), óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ
Z+∞
A =
el0 |x| |u0 (x)| dx < ∞
def
(l0 > 0)
−∞
àìïëèòóäíàÿ ôóíêöèÿ a(k) äîïóñêàåò àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå â ïîëîñó |Im z| < l0 êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé z = k + il, ãäå äëÿ íåå ñïðàâåäëèâû îöåíêè
| a(z)| 6
A
,
2π
| a0 (z)| 6
A
.
2πe (l0 − |Im z|)
15. Ïóñòü àìïëèòóäíàÿ ôóíêöèÿ a è ôàçîâàÿ ôóíêöèÿ ψ óäîâëåòâîðÿþò
óñëîâèÿì
a(k) ∈ C 1 ,
ψ(k) ∈ C 2 ,
ψ 0 (k) 6= 0 (−∞ < k1 6 k 6 k2 < +∞).
61
Ïîêàçàòü, ÷òî ïðè t → +∞ ñïðàâåäëèâà àñèìïòîòèêà
Zk2
a(k) e
k1
Óêàçàíèå:
itψ(k)
¯k=k
µ ¶
a(k) eitψ(k) ¯¯ 2
1
dk =
+
o
.
itψ 0 (k) ¯k=k1
t
âîñïîëüçîâàòüñÿ ëåììîé Ðèìàíà Ëåáåãà.
16. Âîëíîâîå äâèæåíèå îïèñûâàåòñÿ ðåøåíèåì u(x, t) âèäà (33) ñ ìîäîé ω =
ω(k) ∈ C 2 è íà÷àëüíûìè äàííûìè
u(x, 0) = A0 (x) eik0 x ,
b0 ñ êîìïàêòíûì íîñèòåãäå ôóíêöèÿ A0 èìååò ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå A
ëåì:
Zr
b0 (k) = 0 (|k| > r > 0),
A
b0 (k)| dk < ∞
|A
M=
−r
(íà÷àëüíîå âîçìóùåíèå ñ óçêîïîëîñíûì ñïåêòðîì). Äîêàçàòü, ÷òî ïðè
ìàëûõ âðåìåíàõ t > 0 ðåøåíèå u èìååò âèä ìîäóëèðîâàííîé ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû:
¡
¢
u(x, t) = A0 x − ω 0 (k0 )t ei(k0 x−ω(k0 )t) + ũ(x, t),
ãäå ôóíêöèÿ ũ äîïóñêàåò ðàâíîìåðíóþ ïî x îöåíêó
|ũ(x, t)| 6
1
M r2 t max |ω 00 (k)|.
2
|k−k0 |6r
17. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ñòàöèîíàðíîé ôàçû íàéòè àñèìïòîòèêó èíòåãðàëà
Z+∞
1
3
ei (tk− 3 k ) e−k
v(t) =
−∞
ïðè t → +∞.
Îòâåò:
µ √
¶
µ ¶
√
2 π
2t t π
1
−
v(t) = √
cos
+O
.
4
3
4
t
e t
62
2
/t
dk
18. Èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè Ýéðè â âèäå êîíòóðíîãî èíòåãðàëà â
ïëîñêîñòè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé ζ = k + il
1
Ai(x) =
2π
Z
1
3
ei(xζ+ 3 ζ ) dζ
C
√
ñ êîíòóðîì C = {k + il : l = (1/ 3)|k|}, ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ Ai(z)
ÿâëÿåòñÿ öåëîé àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé z =
x + iy è óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ Ai00 (z) = zAi(z).
√
√
19. Èùåòñÿ àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå u(x, t) = (1/ 3 3t) v(x/ 3 3t) ëèíåéíîãî
óðàâíåíèÿ Êîðòåâåãàäå Ôðèçà
ut + uxxx = 0.
Êàêîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ôóíêöèÿ v(ξ)? Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ v = Ai(ξ) äàåò îäíî èç òàêèõ ðåøåíèé.
Îòâåò:
v 00 = ξv + C (C = const).
20. Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à Êîøè äëÿ ëèíåàðèçîâàííîãî óðàâíåíèÿ Êîðòåâåãà
äå Ôðèçà
ut + c0 ux + uxxx = 0,
u(x, 0) = u0 (x)
c íà÷àëüíîé ôóíêöèåé u0 , óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ
Z+∞
M =
u0 (x) dx 6= 0.
def
−∞
Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ñòàöèîíàðíîé ôàçû íàéòè àñèìïòîòèêó ðåøåíèÿ ïðè
t → +∞ â îêðåñòíîñòè òî÷êè x = c0 t (c0 > 0).
Îòâåò:
M
u(x, t) = √
Ai
3
3t
µ
x − c0 t
√
3
3t
¶
³ 2´
+ O t− 3 .
21. Íàéòè ðåøåíèå òèïà óåäèíåííîé âîëíû u = u(x − ct) (u, u0 , u00 → 0 ïðè
|x| → ∞) äëÿ óðàâíåíèÿ Êîðòåâåãà äå Ôðèçà
ut + uux + uxxx = 0.
63
22. Ïðîâåðèòü ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì, ÷òî ôóíêöèÿ
u(x, t) = 72a2
3 + 4 ch 2a(x − 4a2 t) + ch 4a(x − 16a2 t)
[3 ch a(x − 28a2 t) + ch 3a(x − 12a2 t)]2
(a = const)
óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Êîðòåâåãà äå Ôðèçà (äâóõñîëèòîííîå ðåøåíèå).
23. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ðåøåíèé u(x, t) óðàâíåíèÿ ÊäÔ, çàòóõàþùèõ âìåñòå
ñî ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè ïðè |x| → ∞, ñïðàâåäëèâû çàêîíû ñîõðàíåíèÿ
d
dt
Z+∞
u2 (x, t) dx = 0,
−∞
d
dt
Z+∞µ
u2x (x, t)
−∞
¶
1 3
− u (x, t) dx = 0.
3
24. Ãîâîðÿò, ÷òî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè x è t, èìåþùåå ïåðâûé ïîðÿäîê ïî t, äîïóñêàåò ãàìèëüòîíîâó
ôîðìóëèðîâêó, åñëè åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
³
´
(n)
ut = Dx δu H u, ux , ..., ux...x .
Çäåñü Dx îïåðàòîð ïîëíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî x, à δu îïåðàòîð
Ýéëåðà (îïåðàòîð âàðèàöèîííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ),
Dx = ∂x + ux ∂u + uxx ∂ux + uxxx ∂uxx + ...,
δu = ∂u − Dx ∂ux + Dx2 ∂uxx − ...,
ãäå x, u, ux , uxx , ... ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå. Íàéòè
ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà H(u, ux ) äëÿ óðàâíåíèÿ Êîðòåâåãà äå Ôðèçà.
Îòâåò:
H(u, ux ) =
1 2 1 3
u − u.
2 x 6
25. Ðàçûñêèâàÿ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ÊäÔ â âèäå u = u(kx − ωt) ñ 2π -ïåðèîäè÷åñêîé ïî x ôóíêöèåé u, íàéòè âûðàæåíèå cp = cp (a, k) äëÿ ôàçîâîé
ñêîðîñòè cp = ω/k ïðè ìàëûõ àìïëèòóäàõ a ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èí
ïîðÿäêà O(a3 ).
26. Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèè v(x, t) è u(x, t) = −v 2 (x, t) − vx (x, t) ñâÿçàíû
òîæäåñòâîì
ut + 6uux + uxxx = −(2v + ∂x ) (vt − 6v 2 vx + vxxx )
64
(ïðåîáðàçîâàíèå Ìèóðû).
27. Äëÿ ìîäèôèöèðîâàííîãî óðàâíåíèÿ Êîðòåâåãà äå Ôðèçà
vt − (6v + 6v 2 ) vx + vxxx = 0
(37)
íàéòè îãðàíè÷åííîå ðåøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû v = v(x − t), óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì v, v 0 , v 00 → 0 ïðè x → −∞.
Îòâåò:
v=−
1
1 + e−(x−t)
(âîëíà òèïà ôðîíòà)
28. Ïîñòðîèòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (37) òèïà óåäèíåííîé âîëíû v = v(x−ct),
áåãóùåé ñî ñêîðîñòüþ 0 < c < 1 è óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèÿì çàòóõàíèÿ
v, v 0 , v 00 → 0 ïðè x → ±∞.
Îòâåò:
v=−
1+
√
c
.
√
1 − c ch c (x − ct)
29. Âûâåñòè äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå äëÿ âîëíîâûõ ïàêåòîâ u(x, t) =
a exp (ik · x − ωt), óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà ñ ïîñòîÿííûì ïîòåíöèàëîì V = const:
~2
i~ ut +
4u − V u = 0,
2m
ãäå 4 = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 îïåðàòîð Ëàïëàñà, ~ ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà
(âîëíû äå Áðîéëÿ â êâàíòîâîé ìåõàíèêå, îïèñûâàþùèå ïîâåäåíèå ÷àñòèöû ìàññû m â ïîëå ñ ïîòåíöèàëîì V ). Ïîêàçàòü, ÷òî ñêîðîñòü ÷àñòèöû U = p/m, îïðåäåëÿåìàÿ êàê îòíîøåíèå åå èìïóëüñà p = ~ k (k âîëíîâîé âåêòîð) ê ìàññå m, ñîâïàäàåò ñ ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ cg (k).
√
√
30. Íàéòè îáùèé âèä àâòîìîäåëüíîãî ðåøåíèÿ u(x, t) = v(x/ t)/ t äëÿ
îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà
i ut + uxx = 0.
µ
Îòâåò:
1
2
u(x, t) = √ eix /4t C1 + C2
t
√
x/
Z t
¶
−iξ 2 /4
e
0
65
dξ
(C1 , C2 ∈ C).
31. Ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïîñòðîèòü ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè
i ut + uxx = 0,
Îòâåò:
u(x, t) =
1
√
2 t
ix2
e 4t
u(x, 0) =
n ³
´
³
´o
2t+x
√
√
f 2t−x
+
f
,
2 t
2 t
sin x
.
x
Rz
2
f (z) = e−is ds.
0
32. Äëÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà
i ut + uxx + |u|2 u = 0
ïîñòðîèòü ðåøåíèå òèïà ñîëèòîíà îãèáàþùåé u(x, t) = A(x−ct) exp i(kx−
ωt) ñ âåùåñòâåííîé àìïëèòóäîé A, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ A(ξ) → 0
ïðè |ξ| → ∞.
33. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ çàòóõàþùèõ ïðè |x| → ∞ ðåøåíèé íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñïðàâåäëèâû çàêîíû ñîõðàíåíèÿ
d
dt
Z+∞
|u(x, t)|2 dx = 0,
−∞
d
dt
Z+∞µ
1
|ux (x, t)| − |u(x, t)| 4
2
¶
2
−∞
dx = 0.
34. Ïóñòü êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ u(x, t) ∈ C 4 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà
i ut + γ uxx = 0,
u(x, 0) = u0 (x)
(γ = const)
ñ íà÷àëüíîé ôóíêöèåé u0 , ïðèíèìàþùåé òîëüêî âåùåñòâåííûå çíà÷åíèÿ:
Im u0 (x) ≡ 0. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ v(x, t) = Re u(x, t) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ èçãèáíûõ âîëí â óïðóãîì ñòåðæíå
vtt + γ 2 vxxxx = 0,
v(x, 0) = u0 (x),
vt (x, 0) = 0.
35. Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ âîëí èçãèáà â ñòåðæíå
utt + γ 2 uxxxx = 0
(−∞ < x < +∞)
ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè u(x, 0) = u0 (x),
ut (x, 0) = 0, ãäå u0 (x) ∈ C ∞
÷åòíàÿ ïî x àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà
ñòàöèîíàðíîé ôàçû íàéòè àñèìïòîòèêó ðåøåíèÿ ïðè t → +∞.
66
Îòâåò:
u(x, t) =
q
π
γt
³
a
x
2γt
´
³
cos
x2
4γt
−
π
4
´
+O( 1t ), ãäå
a(k) =
1
π
+∞
R
0
u0 (x) cos kx dx.
36. Èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ïîñòðîèòü â ÿâíîì âèäå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ èçãèáíûõ êîëåáàíèé áàëêè, óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíûì äàííûì
2
u(x, 0) = a e−x
Îòâåò:
a
u(x, t) = √
4
1+γt2
e
−
/4
,
x2
4(1+γt2 )
ut (x, 0) = 0
n
cos
γtx2
4(1+γt2 )
−
1
2
(a = const)
o
arctg γt .
37. Âûâåñòè äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå äëÿ óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé íàãðóæåííîé áàëêè íà óïðóãîé îïîðå
utt + γ 2 uxxxx + P uxx + ku = 0,
ãäå P ïðîäîëüíàÿ íàãðóçêà, k æåñòêîñòü îïîðû. Íàéòè ÷àñòîòó
îòñå÷êè ωmin = min ω(k).
k
38. Âûâåñòè äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå, íàéòè íîðìàëüíóþ ôàçîâóþ è ãðóïïîâóþ ñêîðîñòè äëÿ óðàâíåíèÿ èçãèáíûõ êîëåáàíèé ïëàñòèíû
utt + γ 2 42 u = 0,
¡
ãäå 4 = ∂x21 + ∂x22 äâóìåðíûé îïåðàòîð Ëàïëàñà, γ 2 = Eh2 / 12ρ0 (1 −
¢
ν 2 ) . Çäåñü h òîëùèíà ïëàñòèíû, E ìîäóëü Þíãà, ν êîýôôèöèåíò
Ïóàññîíà.
Îòâåò:
ω(k) = ± γ|k|2 ,
cp (k) = ±γ|k|,
cg (k) = ±2γ k.
39. Äëÿ âåêòîðà ïåðåìåùåíèé w = (w1 , w2 , w3 ), ÿâëÿþùåãîñÿ ðåøåíèåì òðåõìåðíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé Ëàìå
ρ0 wtt = (λ + µ) ∇ div w + µ4 w,
ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå Ãåëüìãîëüöà w = ∇ϕ + rot v (div v = 0)
ñ ôóíêöèÿìè ϕ è v, îïðåäåëåííûìè ïðè âñåõ x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 è
67
èìåþùèìè îãðàíè÷åííûå âòîðûå ïðîèçâîäíûå ïî x è t. Ïîêàçàòü, ÷òî
ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë ϕ è âåêòîðíûé ïîòåíöèàë v óäîâëåòâîðÿþò âîëíîâûì óðàâíåíèÿì ϕtt = c21 4ϕ è vtt = c22 4v. ×åìó ðàâíû ñêîðîñòè c1 è
c2 ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âîëí?
Îòâåò:
q
c1 =
λ+2µ
,
ρ0
c2 =
q
µ
.
ρ0
40. Ðàâåíñòâî (31), ñâÿçûâàþùåå àìïëèòóäíûé âåêòîð a, âîëíîâîé âåêòîð k
è ÷àñòîòó ω âîëíîâîãî ïàêåòà äëÿ òðåõìåðíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé Ëàìå, èìååò âèä ëèíåéíîé îäíîðîäíîé îòíîñèòåëüíî a ñèñòåìû óðàâíåíèé
A(ω, k) a = 0, ãäå
A(ω, k) = (ρ0 ω 2 − µ|k|2 ) I − (λ + µ) k ⊗ k
Íàéòè äèñïåðñèîííóþ ôóíêöèþ D(ω, k) = det A(ω, k) äëÿ óðàâíåíèé
Ëàìå.
Îòâåò:
¡
¢2 £
¤
D(ω, k) = ρ0 ω 2 − µ|k|2 ρ0 ω 2 − (λ + 2µ) |k|2
41. Èñïîëüçóÿ äâóìåðíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé Ëàìå ñ âåêòîðîì ïåðåìåùåíèé
w = (w1 , w2 ), âûâåñòè äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå äëÿ ïîâåðõíîñòíûõ
âîëí Ðýëåÿ, îïèñûâàåìûõ âîëíîâûìè ïàêåòàìè
w1 = A1 (x2 ) cos (kx1 − ωt),
w2 = A2 (x2 ) sin (kx1 − ωt)
ñ óñëîâèÿìè îòñóòñòâèÿ íàïðÿæåíèé
∂x2 w1 + ∂x1 w2 = 0,
λ ∂x1 w1 + (λ + 2µ) ∂x2 w2 = 0.
íà ãðàíèöå ïîëóïðîñòðàíñòâà x2 6 0 è óñëîâèåì çàòóõàíèÿ w → 0 ïðè
x2 → −∞.
42. Ðàññìàòðèâàåòñÿ óðàâíåíèå
³
ξtt = ξ
3/2
+ξ
68
1/4
³
ξ
5/4
´ ´
xx xx
,
îïèñûâàþùåå ðàñïðîñòðàíåíèå îäíîìåðíûõ íåëèíåéíûõ âîëí â ñëàáî
ñæèìàåìûõ ãðàíóëèðîâàííûõ ìàòåðèàëàõ. Çäåñü ξ = −wx > 0 äåôîðìàöèÿ, w ïåðåìåùåíèå. Ïðîâåðèòü, ÷òî äàííîå óðàâíåíèå èìååò
òî÷íîå ðåøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû
25 4
ξc (x, t) =
c cos4
16
µ
¶
x − ct
.
5
Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ η(x, t), îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì η = ξc ïðè |x −
ct| < (5/2)π , è η = 0 ïðè |x − ct| > (5/2)π , òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì
(”êîìïàêòîí” óåäèíåííàÿ âîëíà ñ êîìïàêòíûì íîñèòåëåì).
43. Ìàëûå êîëåáàíèÿ îäèíàêîâûõ ãðóçîâ ìàññû m, ñâÿçàííûõ ïðóæèíàìè
æåñòêîñòè β 2 â áåñêîíå÷íóþ öåïî÷êó, îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
m ẍn = β 2 (xn+1 − 2xn + xn−1 ),
n ∈ Z.
Íàéòè ôàçîâóþ è ãðóïïîâóþ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèãíàëà ïî öåïî÷êå â âèäå âîëíîâîãî ïàêåòà xn (t) = a exp {i(kn − ωt)}.
Îòâåò:
β sin(k/2)
cp (k) = ± √
,
m (k/2)
β
cg (k) = ± √ cos(k/2).
m
44.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ äâèæåíèé ãðóçîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ çàòóõàíèÿ xn , ẋn → 0 (n → ±∞), ñóììàðíûé
èìïóëüñ M è ïîëíàÿ ýíåðãèÿ E äàííîé ñèñòåìû ñîõðàíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì:
def
M (t) =
+∞
X
def 1
mẋn = const, E(t) =
n=−∞
+∞
X
©
2 n=−∞
ª
mẋ2n +β 2 (xn+1 −xn )2 = const.
45. Íàïèñàòü óðàâíåíèÿ ìàëûõ êîëåáàíèé è âûâåñòè äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå äëÿ öåïî÷êè ÷åðåäóþùèõñÿ ãðóçîâ äâóõ ñîðòîâ ñ ìàññàìè m1 6=
m2 , ñâÿçàííûõ îäèíàêîâûìè ïðóæèíàìè æåñòêîñòè β 2 .
(
Îòâåò:
ω 2 (k) = β 2
1
m1
+
1
m2
r³
±
1
m1
69
−
1
m2
´2
)
+
4 cos2 k
m1 m2
.
46. Èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ãèëüáåðòà H äåéñòâóåò íà ôóíêöèþ u ïî
ôîðìóëå
Hu(x) = v.p.
1
π
Z+∞
−∞

u(y) dy
1 
= lim
A→+∞ π
x−y
ε→ 0+

Zx−ε
x+A
Z
+
x−A
x+ε
 u(y) dy
x−y
d
Êàê ñâÿçàíî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Hu(k)
ôóíêöèè Hu(x) ñ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå ôóíêöèè u(x)? Íàéòè ïðåîáðàçîâàíèå Ãèëüáåðòà Hv(x)
äëÿ ôóíêöèè v(x) = b/(x2 + b2 ) (b > 0).
Îòâåò:
d
Hu(k)
= −i sign k u
b(k);
Hv(x) = x/(x2 + b2 ).
47. Ðàçûñêèâàÿ ðåøåíèå â âèäå ýëåìåíòàðíîãî âîëíîâîãî ïàêåòà u(x, t) =
a ei(kx−ωt) , âûâåñòè äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå äëÿ ëèíåàðèçîâàííîãî
óðàâíåíèÿ Áåíäæàìèíà Îíî
ut + c0 ux + Huxx = 0
(çäåñü H ïðåîáðàçîâàíèå Ãèëüáåðòà).
Îòâåò:
ω(k) = (c0 + |k|) k.
48. Ïîñòðîèòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Áåíäæàìèíà Îíî
ut + uux + Huxx = 0
â âèäå áåãóùåé óåäèíåííîé âîëíû u = u(x − ct) ñ äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé
ôóíêöèåé u(ξ), ÿâëÿþùåéñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ôóíêöèé v1 (ξ) =
b/(ξ 2 + b2 ) è v2 (ξ) = ξ/(ξ 2 + b2 ) (èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàò çàäà÷è 46 è
ïåðåñòàíîâî÷íîñòü ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãèëüáåðòà ñ îïåðàòîðîì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ).
Îòâåò:
u(x, t) =
c2 (x
4c
.
− ct)2 + 1
49. Âûâåñòè äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå äëÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ
π
ut +
4
Z+∞
π
e− 2 |x−y| uy (y, t) dy = 0.
−∞
70
50. Ïîñòðîèòü ðåøåíèå òèïà óåäèíåííîé âîëíû äëÿ óðàâíåíèÿ Óèçåìà
π
ut + uux +
4
Óêàçàíèå:
Z+∞
π
e− 2 |x−y| uy (y, t) dy = 0.
−∞
ïðèìåíèòü ê óðàâíåíèþ îïåðàòîð ∂x2 − (π/2)2 I .
71
3. Âîëíû â æèäêîñòÿõ
3.1. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ
Ðàññìàòðèâàþòñÿ äâèæåíèÿ èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé íåîäíîðîäíîé æèäêîñòè â ïîëå ñèëû òÿæåñòè g = (0, 0, −g). Èñêîìûìè âåëè÷èíàìè ÿâëÿþòñÿ âåêòîð ñêîðîñòè u = (u, v, w), ïëîòíîñòü ρ è äàâëåíèå p, çàâèñÿùèå îò
x = (x, y, z) ∈ R3 è âðåìåíè t. Äëÿ ëþáîé íåïîäâèæíîé îáëàñòè Ω ñ êóñî÷íîãëàäêîé ãðàíèöåé S (n îðò âíåøíåé íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè S ) ñïðàâåäëèâû
èíòåãðàëüíûå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ îáúåìà æèäêîñòè
ZZ
u · n dS = 0,
S
åå ìàññû
d
dt
d
dt
ρ dΩ +
ZZZ
ZZZ µ
ρ u · n dS = 0,
S
ZZ
ρu dΩ +
Ω
d
dt
ZZ
Ω
èìïóëüñà
è ýíåðãèè
ZZZ
¡
¢
ρu(u · n) + pn dS =
S
ZZZ
ρg dΩ
Ω
¶
¶
ZZ µ
1
1
ρ|u|2 + ρgz dΩ +
ρ|u|2 + p + ρgz (u · n) dS = 0.
2
2
Ω
S
 îáëàñòè íåïðåðûâíîãî äâèæåíèÿ, îïèñûâàåìîãî ãëàäêèìè ôóíêöèÿìè u, ρ, p,
óêàçàííàÿ ñîâîêóïíîñòü çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ðàâíîñèëüíà ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
div u = 0,
ρt + u · ∇ρ = 0,
ut + (u · ∇)u +
1
∇p = g.
ρ
(38)
Âåêòîð âèõðÿ ω = rot u ïðè ýòîì óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ãåëüìãîëüöà
ω t + (u · ∇)ω = (ω · ∇)u −
1
∇p × ∇ρ.
ρ2
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî çàâèõðåííîñòü â íåâÿçêîé íåîäíîðîäíîé æèäêîñòè ìåíÿåòñÿ ïîä äåéñòâèåì äâóõ ôàêòîðîâ: ïåðåíîñà íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðÿ
72
è îáðàçîâàíèÿ íîâûõ âèõðåé âñëåäñòâèå íåñîâïàäåíèÿ â òå÷åíèè ïîâåðõíîñòåé
óðîâíÿ äàâëåíèÿ è ïëîòíîñòè (èçîáàðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé p(x, t) = const è
èçîõîðîè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé ρ(x, t) = const).
Ïðèìåð. Ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (38) ñ òîæäåñòâåííî ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòüþ ρ = ρ0 îïèñûâàþò òå÷åíèÿ îäíîðîäíîé æèäêîñòè â ýòîì ñëó÷àå óêàçàííàÿ ñèñòåìà ñâîäèòñÿ ê
óðàâíåíèÿì Ýéëåðà èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè
1
∇p = g.
ρ0
Ñîîòâåòñòâåííî, óðàâíåíèå äëÿ âèõðÿ ïðèíèìàåò ôîðìó
div u = 0,
ut + (u · ∇)u +
(39)
dω
∂u
d
=
hωi,
= ∂t + (u · ∇)
(40)
dt
∂x
dt
è áëàãîäàðÿ ñâîåé ñïåöèàëüíîé ñòðóêòóðå èíòåãðèðóåòñÿ ïóòåì ïåðåõîäà îò ýéëåðîâûõ ïåðåìåííûõ (x, t) ê ëàãðàíæåâûì (ξ, t). Çàâèñèìîñòü x = x(ξ, t) ìåæäó ïåðåìåííûìè Ýéëåðà
è Ëàãðàíæà óñòàíàâëèâàåò çàäà÷à Êîøè äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé òðàåêòîðèé
æèäêèõ ÷àñòèö
dx
= u(x, t),
x|t=0 = ξ.
(41)
dt
 ëàãðàíæåâûõ ïåðåìåííûõ äëÿ èñêîìîé ôóíêöèè ω̃(ξ, t) = ω(x(ξ, t), t) èìååì ∂t ω̃ =
dω/dt. Ïîýòîìó äëÿ êàæäîé òðàåêòîðèè ñ çàäàííûì íà÷àëüíûì ïîëîæåíèåì ÷àñòèöû ξ
ñèñòåìà (40) ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ âåêòîðôóíêöèè ω̃(ξ, t). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äèôôåðåíöèðîâàíèå óðàâíåíèé (41) ïî ïàðàìåòðè÷åñêîé ïåðåìåííîé ξ äàåò óðàâíåíèÿ â âàðèàöèÿõ
dM
∂u
=
◦ M,
M|t=0 = I
dt
∂x
ñ ìàòðèöåé ßêîáè M = x0ξ (ξ, t) = ∂(x, y, z)/∂(ξ, η, ζ) è åäèíè÷íîé ìàòðèöåé I .  ñèëó
ôîðìóëû Îñòðîãðàäñêîãî Ëèóâèëëÿ äëÿ îïðåäåëèòåëÿ |M | = det M èìååì |M |t =
|M | tr u0x = |M | div u = 0, òàê ÷òî ìàòðèöà M íåâûðîæäåíà: |M (ξ, t)| = 1. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî M ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöåé ðåøåíèé äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (40). Òàêèì îáðàçîì, èçìåíåíèå âåêòîðà âèõðÿ
âäîëü òðàåêòîðèé ÷àñòèö æèäêîñòè îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé Êîøè ω = M ω 0 , ãäå ω 0 íà÷àëüíîå ïîëå âèõðÿ.  êà÷åñòâå ñëåäñòâèÿ ýòî äàåò òåîðåìó Ëàãðàíæà, ñîãëàñíî êîòîðîé
ω ≡ 0 â æèäêîì îáúåìå îäíîðîäíîé æèäêîñòè Ω(t) ïðè âñåõ t > 0, åñëè çàâèõðåííîñòü
îòñóòñòâîâàëà â Ω(0). Äëÿ áåçâèõðåâîãî òå÷åíèÿ ïîëå âåêòîðà ñêîðîñòè u îáëàäàåò ïîòåíöèàëîì ϕ ãàðìîíè÷åñêîé ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì x, y, z ôóíêöèåé (∆ϕ = 0),
ñ êîòîðîé u = ∇ϕ.  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå èìïóëüñà â ñèñòåìå (39) ñâîäèòñÿ ê èíòåãðàëó
ÊîøèËàãðàíæà
ϕt +
1
1
|∇ϕ|2 + p + gz = b(t),
2
ρ0
73
ãäå b ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ âðåìåíè.
Äëÿ îäíîçíà÷íîãî îïðåäåëåíèÿ íåóñòàíîâèâøåãîñÿ äâèæåíèÿ âî âñåé îáëàñòè, çàíèìàåìîé æèäêîñòüþ ïðè t = 0, çàäàåòñÿ ïîëå ñêîðîñòåé u = u0 , à
ïðè t > 0 íà ãðàíèöàõ îáëàñòè òå÷åíèÿ çàäàþòñÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Òàê, íà
íåïîäâèæíûõ ïîâåðõíîñòÿõ ñ âåêòîðîì íîðìàëè n ñòàâèòñÿ óñëîâèå íåïðîòåêàíèÿ u · n = 0, à íà ñâîáîäíûõ ãðàíèöàõ f (x, y, z, t) = 0 êèíåìàòè÷åñêîå
óñëîâèå
(ft + u · ∇f )|f =0 = 0
è äèíàìè÷åñêîå óñëîâèå p = p̃ ñ çàäàííîé ôóíêöèåé p̃. Íàïðèìåð, ïðè êîíòàêòå æèäêîñòè ñ àòìîñôåðîé äàâëåíèå íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè ïðèíèìàåòñÿ
ïîñòîÿííûì, åñëè äâèæåíèå âîçäóõà íå ó÷èòûâàåòñÿ: p = p0 ; â ýòîì ñëó÷àå
êîíñòàíòà p0 áåç íàðóøåíèÿ îáùíîñòè ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ ðàâíîé íóëþ. Êèíåìàòè÷åñêîå óñëîâèe íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ íåñìåøèâàþùèõñÿ æèäêîñòåé
èìååò âèä
(ft + uj · ∇f )|f =0 = 0 (j = 1, 2),
ãäå uj ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ ñêîðîñòè ñ äâóõ ñòîðîí êîíòàêòíîé ïîâåðõíîñòè, à äèíàìè÷åñêîå óñëîâèå ïðåäïîëàãàåò íåïðåðûâíîñòü äàâëåíèÿ:
[p ] = p2 − p1 = 0.
Ñòàöèîíàðíûå òå÷åíèÿ îïèñûâàþòñÿ ðåøåíèÿìè ñèñòåìû (38), äëÿ êîòîðûõ ρt = 0 è ut = 0.  ýòîì ñëó÷àå äëÿ ëþáîé ëèíèè òîêà L :
dx
u
=
dy
v
=
dz
w
ñïðàâåäëèâ èíòåãðàë Áåðíóëëè
1 2 1
|u| + p + gz = b(L)
2
ρ
(êîíñòàíòà Áåðíóëëè b(L) çàâèñèò îò ëèíèè òîêà).
Ïðè îïèñàíèè ïëîñêèõ äâèæåíèé æèäêîñòè áóäåì èñïîëüçîâàòü äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò Oxy ñ îñüþ Oy , íàïðàâëåííîé âåðòèêàëüíî ââåðõ. Äëÿ
âåêòîðà ñêîðîñòè ïëîñêîãî òå÷åíèÿ u = (u, v) ìîæíî ââåñòè ôóíêöèþ òîêà
ψ , ïîëàãàÿ u = ψy , v = −ψy . Òîãäà óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè div u = 0 âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, à â ñëó÷àå ñòàöèîíàðíûõ òå÷åíèé èíòåãðèðóåòñÿ è
74
óðàâíåíèå äëÿ ïëîòíîñòè u · ∇ρ = 0, äàþùåå çàâèñèìîñòü ρ = ρ(ψ). Èíòåãðàë
Áåðíóëëè â òàêîì ñëó÷àå çàïèñûâàåòñÿ â òåðìèíàõ ôóíêöèè òîêà â âèäå
1
1
|∇ψ|2 +
p + gy = b(ψ).
2
ρ(ψ)
3.2. Ëèíåéíàÿ òåîðèÿ ïîâåðõíîñòíûõ âîëí
Ðàññìàòðèâàåòñÿ áåçâèõðåâîå äâèæåíèå îäíîðîäíîé æèäêîñòè â ñëîå Ω(t) =
{(x, y) ∈ R2 : 0 < z < h(x, y, t)}, îãðàíè÷åííîì ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòüþ
z = h(x, y, t) è ðîâíûì äíîì z = 0. Èñõîäíûå óðàâíåíèÿ äëÿ ïîòåíöèàëà
ñêîðîñòåé ϕ è ôóíêöèè h èìåþò âèä
∆ϕ ≡ ϕxx + ϕyy + ϕzz = 0,
x ∈ Ω(t),
ϕz = 0,
z = 0,
ht + ϕx hx + ϕy hy − ϕz = 0,
¡
¢
ϕt + 12 ϕ2x + ϕ2y + ϕ2z + gh = 0,
)
z = h(x, y, t).
Çàäà÷à îòûñêàíèÿ ðåøåíèÿ óêàçàííûõ óðàâíåíèé ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì ïðè
t=0
h = h(0) (x, y),
ϕ = ϕ(0) (x, y, z)
¡ (0)
¢
∆ϕ = 0, x ∈ Ω(0)
íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé Êîøè Ïóàññîíà.
Ðàññìàòðèâàåìûå óðàâíåíèÿ èìåþò òî÷íîå ðåøåíèå h = h0 = const, ϕ =
ϕ0 = u0 x − 12 u20 t − gh0 t, êîòîðîå îïèñûâàåò ðàâíîìåðíîå äâèæåíèå ñëîÿ æèäêîñòè ïîñòîÿííîé ãëóáèíû h0 ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ u0 â íàïðàâëåíèè îñè
Ox. Ìàëûå âîçìóùåíèÿ äàííîãî ñîñòîÿíèÿ ϕ = ϕ0 + Φ, h = h0 + ζ ïðèáëèæåííî îïèñûâàþòñÿ ëèíåéíîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé
Φxx + Φyy + Φzz = 0,
Φz = 0,
(0 < z < h0 ),
z = 0,
ζt + u0 ζx − Φz = 0,
Φt + u0 Φx + gζ = 0,
75
)
z = h0 .
Ðàññìîòðèì ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà, èìåþùèå âèä âîëíîâûõ ïàêåòîâ,
óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ íåïðîòåêàíèÿ íà äíå:
ζ = a ei(kx+ly−ωt) ,
Φ = b ch mz ei(kx+ly−ωt) ,
m=
p
k 2 + l2 .
Èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïðè z = h0 ñëåäóåò, ÷òî òàêèå ðåøåíèÿ ñ íåíóëåâûìè
àìïëèòóäàìè a è b ñóùåñòâóþò, åñëè è òîëüêî åñëè ÷àñòîòà ω è âîëíîâîé
âåêòîð k = (k, l) óäîâëåòâîðÿþò äèñïåðñèîííîìó ñîîòíîøåíèþ
(ω − u0 k)2 = gm th mh0 .
(42)
Äëÿ ïëîñêèõ âîëí èìååì l = 0 è m = |k|, è â ýòîì ñëó÷àå ôàçîâàÿ è ãðóïïîâàÿ
ñêîðîñòè äàþòñÿ ôîðìóëàìè
p
ω
cp = = u0 ± gh0
k
ãäå îáîçíà÷åíî
r
th kh0
,
kh0
dp
1
f (ξ) =
ξ th ξ =
dξ
2
cg =
Ãs
p
dω
= u0 ± gh0 f (kh0 ),
dk
s
th ξ
1
+ 2
ξ
ch ξ
ξ
th ξ
!
.
Çäåñü âûäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèå ÷àñòíûå ñëó÷àè:
(a) Ñòàöèîíàðíûå âîëíû.  ýòîì ñëó÷àå ôàçîâàÿ ñêîðîñòü âîëíû ðàâíà
√
íóëþ: cp = 0, è äëÿ ÷èñëà Ôðóäà F = |u0 |/ gh0 ïîëó÷àåòñÿ ñîîòíîøåíèå
F =
p
th kh0 /(kh0 ). Âåëè÷èíà
√
gh0 íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêîé ñêîðîñòüþ,
ïîýòîìó ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ëèíåéíûå ñòàöèîíàðíûå âîëíû âîçìîæíû
òîëüêî äëÿ äîêðèòè÷åñêîãî òå÷åíèÿ ñî ñêîðîñòüþ |u0 | <
√
gh0 .
(b) Âîëíû â ãëóáîêîé æèäêîñòè.  ïðåäåëå áåñêîíå÷íîé ãëóáèíû h0 → ∞
ôàçîâàÿ è ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòè âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ ïî ñîñòîÿíèþ ïîêîÿ (u0 = 0), äàþòñÿ ôîðìóëàìè cp =
p
g/k è cg =
1
2
p
g/k . Òàêèì îáðàçîì,
ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü âîëí íà ãëóáîêîé âîäå ñîñòàâëÿåò ïîëîâèíó ôàçîâîé ñêîðîñòè.
(c) Äëèííûå âîëíû.  ýòîì ïðåäåëüíîì ñëó÷àå èìååì k → 0, è òîãäà cp =
√
u0 ± gh0 = cg . Ñîâïàäåíèå ôàçîâîé è ãðóïïîâîé ñêîðîñòè äëÿ äëèííûõ âîëí
óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ýòè âîëíû ÿâëÿþòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèìè.
76
Çàäà÷à. Íàéòè òðàåêòîðèè ÷àñòèö â áåãóùåé ïëîñêîé âîëíå ñ ïîòåíöèàëîì ñêîðîñòåé
Φ = gaω −1 eky sin(kx − ωt), ãäå ω è k ñâÿçàíû äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèåì ω 2 = gk
ëèíåéíîé òåîðèè âîëí â ãëóáîêîé æèäêîñòè (ïàðàìåòð α = ak ïðåäïîëàãàåòñÿ ìàëûì).
Ðåøåíèå. Óêàçàííûé ïîòåíöèàë Φ(x, y, t) ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèåé ïî ïåðåìåííûì x, y â îáëàñòè y < 0, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ çàòóõàíèÿ ∇Φ → 0 ïðè y → −∞,
à òàêæå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì ζt = Φy , Φt + gζ = 0 ïðè y = 0, ãäå ôóíêöèÿ ζ , çàäàþùàÿ
ïðîôèëü ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè y = ζ(x, t), èìååò âèä âåùåñòâåííîãî âîëíîâîãî ïàêåòà
ζ(x, t) = a cos(kx − ωt). Òðàåêòîðèè ÷àñòèö ñ ïîëåì ñêîðîñòåé u = ∇Φ îïèñûâàþòñÿ
äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè
dx
= gαω −1 eky cos(kx − ωt),
dt
dy
= gαω −1 eky sin(kx − ωt)
dt
(43)
è íà÷àëüíûìè äàííûìè (x(0), y(0)) = (ξ, η). Ìàëîñòü ïàðàìåòðà α = ak = 2πa/L îçíà÷àåò ìàëîñòü îòíîøåíèÿ àìïëèòóäû âîëíû a ê åå äëèíå L. Èñïîëüçóÿ ýòî ñâîéñòâî,
áóäåì èñêàòü ðåøåíèå x = (x, y) â âèäå x(t) = x0 (t) + α x1 (t) + O(α2 ). Ïîäñòàâëÿÿ óêàçàííîå ðàçëîæåíèå â óðàâíåíèÿ (43) è ñîáèðàÿ ñëàãàåìûå ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ α,
ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ x0 (t) è x1 (t):
dx0
= 0,
dt
dx1
ω
= eky0 cos(kx0 − ωt),
dt
k
dy0
= 0,
dt
(x0 , y0 )|t=0 = (ξ, η),
dy1
ω
= eky0 sin(kx0 − ωt),
dt
k
(x1 , y1 )|t=0 = (0, 0).
Îòñþäà íàõîäèì (x0 (t), y0 (t)) = (ξ, η) è, êàê ñëåäñòâèå,
x1 (t) =
¢
1 kη ¡
e sin kξ − sin(kξ − ωt)
k
y1 (t) =
¢
1 kη ¡
e cos(kξ − ωt) − cos kξ .
k
Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèè x0 (t) è x1 (t) ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè ñ ïåðèîäîì T = 2π/ω ,
ñîâïàäàþùèì ñ âðåìåííûì ïåðèîäîì ïðîãðåññèâíîé ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû. Çà ïîëíûé ïåðèîä T ÷àñòèöà ñ êîîðäèíàòàìè x(t) = x0 (t) + α x1 (t), âçÿòûìè ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìûõ ïîðÿäêà O(α2 ), ïðîáåãàåò îêðóæíîñòü |x − xc | = r ðàäèóñà r = a ekη ñ öåíòðîì
â òî÷êå xc = (ξ + aekη sin kξ, η − aekη cos kξ). Îòñþäà ÿñíî, ÷òî àìïëèòóäà êîëåáàíèé
÷àñòèö â âîëíå ìàêñèìàëüíà íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè è ýêñïîíåíöèàëüíî çàòóõàåò ñ
ðîñòîì ãëóáèíû ïîãðóæåíèÿ.
Îòâåò:
¡
¢
x(t) = ξ + a ekη sin kξ − sin(kξ − ωt) + O(a2 k 2 ),
¡
¢
y(t) = η − a ekη cos kξ − cos(kξ − ωt) + O(a2 k 2 ).
3.3. Óðàâíåíèÿ äëèííûõ âîëí
 òåîðèè íåëèíåéíûõ äëèííûõ âîëí ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî õàðàêòåðíàÿ äëèíà
77
âîëíû L ìíîãî áîëüøå ãëóáèíû æèäêîñòè h0 . Ñ ýòèìè ìàñøòàáàìè ââîäÿòñÿ
áåçðàçìåðíûå ïåðåìåííûå x0 , t0 , ϕ0 , h0 :
0
0
(x, y) = L (x , y ),
0
0
(z, h) = h0 (z , h ),
L 0
t=√
t,
gh0
ϕ=L
p
gh0 ϕ0 .
Òîãäà ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ε = h0 /L èñõîäíûå óðàâíåíèÿ ïðèíèìàþò ôîðìó
ε2 (ϕxx + ϕyy ) + ϕzz = 0 (0 < z < h),
ht + ϕx hx + ϕy hy = ε−2 ϕz ,
ϕt +
ϕz = 0 (z = 0),
¢
1 ¡ 2
ϕx + ϕ2y + ε−2 ϕ2z + h = 0 (z = h)
2
(øòðèõè â îáîçíà÷åíèÿõ áåçðàçìåðíûõ âåëè÷èí çäåñü îïóùåíû). Ìåòîä Ëàãðàíæà â òåîðèè äëèííûõ âîëí èñïîëüçóåò ïðåäñòàâëåíèå ïîòåíöèàëà ϕ ÷åðåç
åãî çíà÷åíèÿ ϕ|z=0 = A(x, y, t) â âèäå ñòåïåííîãî ðÿäà
∞
X
z 2n
ϕ(x, y, z, t) =
(−1) ε
∆n2 A(x, y, t),
(2n)!
n=0
n 2n
ãäå 42 = ∂x2 + ∂y2 îïåðàòîð Ëàïëàñà ïî ãîðèçîíòàëüíûì ïåðåìåííûì x, y . Â
ñèëó óêàçàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè
z = h(x, y, t) äàþò â ïðèáëèæåíèè íèçøåãî ïîðÿäêà ïî ε äèôôåðåíöèàëüíûå
óðàâíåíèÿ ìåëêîé âîäû äëÿ ôóíêöèé h è u = ∇A
ht + div(hu) = 0,
(44)
ut + (u · ∇)u + g∇h = 0,
ãäå îïåðàöèè div è ∇ âûïîëíÿþòñÿ ïî ïåðåìåííûì x, y . Äàâëåíèå p âíóòðè
ñëîÿ æèäêîñòè â ñèëó èíòåãðàëà ÊîøèËàãðàíæà èìååò ñ òî÷íîñòüþ O(ε2 )
¡
¢
âûðàæåíèå p(x, y, z, t) = ρ0 g h(x, y, t) − z , òî åñòü çàâèñèò îò ãëóáèíû ïî
çàêîíó ãèäðîñòàòèêè.
 òåîðèè ìåëêîé âîäû èìååò ìåñòî ãàçîäèíàìè÷åñêàÿ àíàëîãèÿ: åñëè ââåñòè â êà÷åñòâå íîâûõ îáîçíà÷åíèé "ïëîòíîñòü"
1
2
ρ = h è "äàâëåíèå" p̃ =
gh2 , òî óðàâíåíèÿ (44) ïðèìóò ôîðìó
ρt + div(ρu) = 0,
ut + (u · ∇)u +
78
1
∇p̃ = 0,
ρ
p̃ =
1 2
gρ ,
2
(45)
êîòîðàÿ ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèÿìè èçýíòðîïè÷åñêîãî òå÷åíèÿ ïîëèòðîïíîãî
ãàçà ñ ïîêàçàòåëåì ïîëèòðîïû γ = 2.
Çàäà÷à.  ìîìåíò âðåìåíè t = 0 âíåçàïíî ðàçðóøàåòñÿ ïëîòèíà, ñäåðæèâàþùàÿ âîäîõðàíèëèùå ãëóáèíû h0 . Îïðåäåëèòü â ïðèáëèæåíèè ìåëêîé âîäû ôîðìó ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè y = h(x, t) ïðè t > 0, ñêîðîñòü u0 äâèæåíèÿ âîäÿíîãî ôðîíòà ïî ñóõîìó ðóñëó è ðàñõîä
âîäû q0 â ñòâîðå ïëîòèíû.
Ðåøåíèå. Ïî ñâîåé ïîñòàíîâêå ýòî çàäà÷à Êîøè äëÿ îäíîìåðíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé
ìåëêîé âîäû
ht + (uh)x = 0,
ñ ðàçðûâíûìè íà÷àëüíûìè äàííûìè
(
h(x, 0) =
ut + uux + ghx = 0
h0 ,
x < 0,
0,
x > 0,
u(x, 0) = 0.
Åå ãàçîäèíàìè÷åñêèì àíàëîãîì ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à îá èñòå÷åíèè ïåðâîíà÷àëüíî ïîêîèâøåãîñÿ ãàçà â âàêóóì. Íåïðåðûâíîå ïðè t > 0 ðåøåíèå èìååò âèä ïðîñòîé öåíòðèðîâàííîé
âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âëåâî ïî ïîêîÿùåéñÿ æèäêîñòè ñ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ñêî√
ðîñòüþ c0 = gh0 , ðàâíîé êðèòè÷åñêîé ñêîðîñòè äëÿ äàííîãî âîäîåìà. Óðàâíåíèÿ ýòîé
ïðîñòîé âîëíû èìåþò âèä
u+2
p
gh = 2c0 ,
u−
p
gh =
x
t
(ïåðâîå èç óêàçàííûõ ñîîòíîøåíèé åñòü óñëîâèå òîæäåñòâåííîãî ïîñòîÿíñòâà èíâàðèàíòà Ðèìàíà, âòîðîå óðàâíåíèå öåíòðèðîâàííîãî ñåìåéñòâà ïðÿìîëèíåéíûõ õàðàêòåðèñòèê. Îòñþäà íàõîäèì ÿâíóþ çàâèñèìîñòü ôóíêöèé u è h îò ïåðåìåííûõ x, t â
îáëàñòè ïðîñòîé âîëíû −c0 < x/t < 2c0 :
u(x, t) =
2
(x + c0 t),
3t
h(x, t) =
1
(x − 2c0 t)2 .
9gt2
Òàêèì îáðàçîì, ñâîáîäíàÿ ïîâåðõíîñòü èìååò ôîðìó ïàðàáîëû ñ âåðøèíîé â òî÷êå x =
√
2c0 t, áåãóùåé âïðàâî ñî ñêîðîñòüþ u0 = 2c0 = 2 gh0 . Ãëóáèíà âîäû è åå ñêîðîñòü íåïîñðåäñòâåííî â ñòâîðå ïëîòèíû îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè âî âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ: h(0, t) =
(4/9) h0 , u(0, t) = (1/3) c0 . Îòñþäà íàõîäèòñÿ ðàñõîä q0 = (4/27) h0 c0 êîëè÷åñòâî âîäû,
åæåñåêóíäíî èñòåêàþùåé èç âîäîõðàíèëèùà.
Îòâåò:



 h0 ,
h(x, t) =
(x − 2c0 t)2 /(9gt2 ),


 0,
79
x < −c0 t,
−c0 t < x < 2c0 t,
x > 2c0 t,
u0 = 2c0 ,
q0 = (4/27) h0 c0
(c0 =
p
gh0 ).
Ðàçðûâíûå ðåøåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ìåëêîé âîäû îïèñûâàþò
ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí òèïà áîðà, â êîòîðûõ ãëóáèíà æèäêîñòè è åå ñêîðîñòü
ìåíÿþòñÿ ñêà÷êîì. Äëÿ îïèñàíèÿ òàêèõ äâèæåíèé èñïîëüçóåòñÿ äèâåðãåíòíàÿ ôîðìà çàïèñè ñèñòåìû (44) â âèäå çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ìàññû è ïîëíîãî
ïî ãëóáèíå ãîðèçîíòàëüíîãî èìïóëüñà æèäêîñòè.  ñëó÷àå îäíîìåðíûõ äâèæåíèé ýòè çàêîíû ñîõðàíåíèÿ èìåþò âèä
µ
¶
¡ ¢
1 2
2
∂t uh + ∂x u h + gh = 0.
2
∂t h + ∂x (uh) = 0,
(46)
Îíè äàþò ñîîòíîøåíèÿ íà ñèëüíîì ðàçðûâå
D[h] = [uh],
D[uh] = [u2 h +
1 2
gh ],
2
ãäå D ñêîðîñòü áîðà.
3.4. Íåëèíåéíûå äèñïåðñèîííûå óðàâíåíèÿ
Ïðèáëèæåíèÿ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ïî ïàðàìåòðó ε ïîçâîëÿþò ó÷åñòü
äèñïåðñèîííûå ñâîéñòâà íåëèíåéíûõ äëèííûõ âîëí íà âîäå. Ðàññìîòðèì äâóìåðíîå áåçâèõðåâîå äâèæåíèå â ïëîñêîñòè ïåðåìåííûõ x è y , äëÿ êîòîðîãî
ïîëå ñêîðîñòåé óäîáíî ïðåäñòàâèòü ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè òîêà: u = (ψy , −ψx ).
Ôóíêöèÿ òîêà âìåñòå ñ ïîòåíöèàëîì ñêîðîñòåé îáðàçóþò ïàðó ñîïðÿæåííûõ ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé, ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé óðàâíåíèÿìè Êîøè
Ðèìàíà ϕx = ψy , ϕy = −ψx . Çàïèøåì èñõîäíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ æèäêîñòè, èñïîëüçóÿ áåçðàçìåðíóþ ôóíêöèþ òîêà ψ 0 = ψ/(h0
√
gh0 ) è îïóñêàÿ
øòðèõè â îáîçíà÷åíèÿõ:
ε2 ψxx + ψyy = 0 (0 < y < h),
ht + (ψx + ψy hx )|y=h = 0,
(ψyt − ε2 hx ψxt )|y=h +
1 ∂
2 ∂x
ψ = 0 (y = 0),
© 2 2
ª
ε ψx (x, h, t) + ψy2 (x, h, t) + hx = 0.
Ïîñëåäíåå èç óêàçàííûõ óðàâíåíèé åñòü çàïèñàííûé â òåðìèíàõ ôóíêöèè òîêà ðåçóëüòàò äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî x èíòåãðàëà ÊîøèËàãðàíæà â òî÷êàõ
80
ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè (ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ ïîñòîÿíñòâà äàâëåíèÿ p(x, h(x, t), t) =
const). Äàëåå ââîäèòñÿ ñðåäíÿÿ ïî ãëóáèíå ãîðèçîíòàëüíàÿ ñêîðîñòü æèäêîñòè
u(x, t) =
1
h(x, t)
h(x,t)
Z
ϕx (x, y, t) dy,
0
ñ êîòîðîé äëÿ ôóíêöèè òîêà ψ âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå ψ|y=h = uh. Ïðèáëèæåííîå ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè ψ âíóòðè îáëàñòè Ω(t) ÷åðåç ôóíêöèè u è h,
àíàëîãè÷íîå ðÿäó Ëàãðàíæà äëÿ ïîòåíöèàëà ϕ, èìååò âèä
ψ = uy +
1 2 2
ε (h y − y 3 ) uxx + O(ε4 ).
6
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî ðàçëîæåíèå â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ïðè y = h(x, t) è îñòàâëÿÿ
âåëè÷èíû äî ïîðÿäêà ε2 âêëþ÷èòåëüíî, ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé âòîðîãî
ïðèáëèæåíèÿ òåîðèè äëèííûõ âîëí (óðàâíåíèÿ ÑóÃàðäíåðà)
ht + (uh)x = 0,
ut + uux + hx =
¢
1 2¡ 3
ε h (uxt + uuxx − u2x ) x .
3h
(47)
Ïðè ε = 0 äàííàÿ ñèñòåìà, çàïèñàííàÿ â ðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ, ñîâïàäàåò
ñ óðàâíåíèÿìè ìåëêîé âîäû. Ñëàãàåìûå ñ ïðîèçâîäíûìè òðåòüåãî ïîðÿäêà â
ïðàâîé ÷àñòè äàþò äèñïåðñèîííóþ ïîïðàâêó ê íèì. Äåéñòâèòåëüíî, â ñëó÷àå
ìàëûõ âîçìóùåíèé ðàâíîìåðíîãî ïîòîêà h = h0 + ζ, u = u0 + v ëèíåàðèçîâàííûå óðàâíåíèÿ (47) èìåþò âèä
ζt + u0 ζx + h0 vx = 0,
vt + u0 vx + gζx =
¢
1 2¡
h0 vt + u0 vx xx .
3
Îòñþäà äëÿ ýëåìåíòàðíûõ âîëíîâûõ ïàêåòîâ ζ(x, t) = a exp{i(kx − ωt)},
v(x, t) = b exp{i(kx − ωt)} ïîëó÷àåòñÿ äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå
gh0 k 2
.
(ω − u0 k) =
1 + 13 h20 k 2
2
Ñðàâíåíèå ñ òî÷íûì äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèåì (42) ïîêàçûâàåò, ÷òî ëèíåàðèçàöèÿ óðàâíåíèé (47) ðàâíîñèëüíà èñïîëüçîâàíèþ äðîáíî-ðàöèîíàëüíîãî
ïðèáëèæåíèÿ äëÿ ôóíêöèè ξ th ξ â ïðåäåëå ξ = h0 k → 0 äëèííûõ âîëí èëè
ìàëîé ãëóáèíû.
81
Äèñïåðñèîííûì ñëàãàåìûì â ñèñòåìå (47) ìîæíî ïðèäàòü äðóãóþ ôîðìó,
èñïîëüçóÿ äëÿ ýòîãî îïåðàòîð ïîëíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ dt = ∂t + u∂x ñ
ââåäåííîé âûøå ñðåäíåé ñêîðîñòüþ u. Ñëåäñòâèåì ïåðâîãî èç óðàâíåíèé (47)
ÿâëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå d2t h ≡ (∂t + u∂x )2 h = −h(uxt + uuxx − u2x ), ñ ó÷åòîì
êîòîðîãî â ðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ ïîëó÷àþòñÿ óðàâíåíèÿ ÃðèíàÍàãäè
1 2 2
(h dt h)x = 0.
(48)
3h
Äàííóþ ïðèáëèæåííóþ ìîäåëü, êàê è îáû÷íûå óðàâíåíèÿ ìåëêîé âîäû, òàêht + (uh)x = 0,
ut + uux + ghx +
æå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñèñòåìû óðàâíåíèé ãàçîâîé äèíàìèêè (45), íî
ñ áîëåå ñëîæíûì óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ
1 2 1 2 2
gρ + ρ dt ρ.
2
3
Ìíîãîìåðíûé àíàëîã óðàâíåíèé Ãðèíà Íàãäè èìååò âèä
1 ¡ 2 2 ¢
ht + div (hu) = 0, dt u + g∇h +
∇ h dt h = 0, dt = ∂t + u · ∇, (49)
3h
ãäå îïåðàòîðû div è ∇ áåðóòñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíûì ïåðåìåííûì x = (x, y),
p̃ =
à âåêòîð u èìååò, êàê è â îäíîìåðíîì ñëó÷àå, ñìûñë ñðåäíåé ïî ãëóáèíå
ãîðèçîíòàëüíîé ñêîðîñòè æèäêîñòè:
1
u(x, t) =
h(x, t)
h(x,t)
Z
∇x ϕ(x, z, t) dz.
0
Âåêòîðíàÿ ñòðóêòóðà ñèñòåìû óðàâíåíèé Ãðèíà Íàãäè (49) î÷åíü ïîõîæà íà ñòðóêòóðó îñíîâíûõ óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìèêè, ïîýòîìó äëÿ äàííîé
ñèñòåìû ñïðàâåäëèâû àíàëîãè ñîîòâåòñòâóþùèõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ è ïåðâûõ èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ.  ÷àñòíîñòè, çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîëíîãî èìïóëüñà
èìååò âèä
¡
¢
(hu)t + div hu ⊗ u + p̃I = 0,
p̃ =
1 2 1 2
gh + dt h.
2
3
(50)
Ïðèìåð. Ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ çàïèñü óðàâíåíèÿ èìïóëüñà â âèäå (50) íå ñîâñåì
óäîáíà, òàê êàê ïîòîê èìïóëüñà ñîäåðæèò ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà ïî âðåìåíè îò
ôóíêöèè h. Ïîýòîìó ââåäåì âìåñòî âåêòîðà ñêîðîñòè u íîâóþ èñêîìóþ âåêòîð-ôóíêöèþ
1 ¡ 2 ¢
v =u+
∇ h dt h
3h
82
è ïåðåïèøåì óðàâíåíèå ëîêàëüíîãî èìïóëüñà (âòîðîå èç óðàâíåíèé èñõîäíîé ñèñòåìû (49))
â ñëåäóþùåì âèäå:
µ
¶
¡ 2 ¢
¡ 2 ¢
1
1
1 ¡ 2 2 ¢
dt v + 2 dt h ∇ h dt h −
dt ∇ h dt h + g∇h +
∇ h dt h = 0.
3h
3h
3h
¡ ¢T
Âîñïîëüçóåìñÿ çäåñü òîæäåñòâîì dt (∇f ) = ∇(dt f ) − u0x ∇f , ñïðàâåäëèâûì äëÿ ëþáîé
ãëàäêîé ôóíêöèè f (x, t) ∈ C 2 . Òîãäà ïîñëå íåáîëüøèõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì
µ ¶T
¡
¢
∂u
1
dt v +
v − u + g∇h − ∇ (dt h)2 = 0.
∂x
2
Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàêæå â âèäå
µ
¶
1 2
1
2
vt + rot v × u + ∇ v · u − |u| + gh − (dt h) = 0,
2
2
(51)
ãäå ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî îïåðàöèÿ rot è âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ïðèìåíÿþòñÿ ê òðåõìåðíûì âåêòîðàì (v, 0) è (u, 0). Ñîîòíîøåíèå (51) ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì ôîðìû Ãðîìåêè Ëýìáà äëÿ óðàâíåíèÿ èìïóëüñà â ñèñòåìå óðàâíåíèé Ýéëåðà (39) èëè â èñõîäíîé ñèñòåìå
(38). Ñëåäñòâèåì (51) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå Ãåëüìãîëüöà äëÿ âåêòîðà îáîáùåííîé çàâèõðåí-
íîñòè Ω = rot v, èìåþùåå âèä
¡
¢
Ωt + rot Ω × u = 0.
Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, âûòåêàåò ñîõðàíåíèå îáîáùåííîé öèðêóëÿöèè
I
Γ=
v · dx
C(t)
âäîëü ëþáîãî êîíòóðà C(t) â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè x = (x, y), êîòîðûé ñîñòîèò èç
îäíèõ è òåõ æå ÷àñòèö, ïåðåìåùàþùèõñÿ ïîä äåéñòâèåì ïîëÿ ñêîðîñòåé u. Äðóãèì ñëåäñòâèåì ñîîòíîøåíèÿ (51) ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå àíàëîãà èíòåãðàëà Êîøè Ëàãðàíæà
ϕt + v · u −
1 2
1
|u| + gh − (dt h)2 = b(t)
2
2
â ñëó÷àå îáîáùåííûõ ïîòåíöèàëüíûõ òå÷åíèé, êîãäà v = ∇ϕ.
Áîëåå ïðîñòûå ïî ñðàâíåíèþ ñ (47) è (48) íåëèíåéíûå äèñïåðñèîííûå óðàâíåíèÿ ïîëó÷àþòñÿ äëÿ êëàññà äâèæåíèé, îïèñûâàåìîãî â áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ ôóíêöèÿìè h = 1+ε2 ζ,
u = ε2 v . Òàêîå ìîäåëèðîâàíèå îçíà÷àåò, ÷òî
ðàññìàòðèâàþòñÿ ñëàáîíåëèíåéíûå äèñïåðãèðóþùèå âîëíû ìàëîé àìïëèòóäû íà ìåëêîé âîäå.  ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà (47) ïîðîæäàåò ïðèáëèæåííûå
óðàâíåíèÿ
ht + (uh)x = 0,
ut + uux + ghx −
83
1
uxxt = 0,
3
(52)
à ñèñòåìà ÃðèíàÍàãäè óðàâíåíèÿ
ht + (uh)x = 0,
ut + uux + ghx +
1
hxtt = 0,
3
(53)
Îáå ñèñòåìû (52) è (53) íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè Áóññèíåñêà.
Ïðèáëèæåííîå îïèñàíèå äëèííûõ âîëí, áåãóùèõ òîëüêî â îäíó ñòîðîíó
âëåâî èëè âïðàâî ïîëó÷àåòñÿ â íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ τ = ε2 t, ξ =
x−c0 t, ãäå c02 = gh0 . Óêàçàííîå ðàñòÿæåíèå ïåðåìåííîé t îçíà÷àåò, ÷òî äîëãîâðåìåííàÿ ýâîëþöèÿ âîëíû íàáëþäàåòñÿ â ìåäëåííîì âðåìåííîì ìàñøòàáå.
 ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà (47) ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èí ïîðÿäêà O(ε4 ) ñâîäèòñÿ
ê óðàâíåíèþ Êîðòåâåãà äå Ôðèçà
ζτ +
3
1
ζζξ + c0 h20 ζξξξ = 0.
2
6
3.5. Ñòàöèîíàðíûå âîëíû
 ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ áåãóùåé âîëíîé, äâèæåíèå îïèñûâàåòñÿ
ñòàöèîíàðíûì ðåøåíèåì, â êîòîðîì èñêîìûå ôóíêöèè íå çàâèñÿò îò t. Çàäà÷à îïèñàíèÿ äâóìåðíûõ ñòàöèîíàðíûõ ïîâåðõíîñòíûõ âîëí ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Òðåáóåòñÿ íàéòè ôóíêöèþ òîêà ψ(x, y) è ôóíêöèþ
h(x) > 0, óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèÿì
ψxx + ψyy = 0 (0 < y < h(x)),
ψ(x, 0) = 0,
ψ(x, h(x)) = Q,
(54)
ψx2 + ψy2 + 2gh = 2b (y = h(x)),
ãäå b êîíñòàíòà Áåðíóëëè, Q ðàñõîä, ïîñòîÿííûé â êàæäîì âåðòèêàëüíîì
ñå÷åíèè ñëîÿ æèäêîñòè.
Äëÿ ñèñòåìû (47) â ýòîì ñëó÷àå ïåðâîå óðàâíåíèå äàåò èíòåãðàë ðàñõîäà
uh = Q = const. Èñêëþ÷àÿ ñ åãî ïîìîùüþ ñêîðîñòü u èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ,
ïîñëå äâóêðàòíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëó÷àåì îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ ôóíêöèè h:
1 2
Q
3
µ
dh
dx
¶2
= −gh3 + bh2 − 2ch + Q2
84
(55)
(óðàâíåíèå Áóññèíåñêà Ðýëåÿ). Çäåñü b è c êîíñòàíòû èíòåãðèðîâàíèÿ,
êîòîðûå ñâÿçàíû ñ êîðíÿìè hi (i = 1, 2, 3) êóáè÷åñêîãî ïîëèíîìà â ïðàâîé
÷àñòè ôîðìóëàìè Âèåòà
Q2
h1 h2 h3 =
.
g
2b
h1 + h2 + h3 = ,
g
Íåòðèâèàëüíûå âîëíîâûå êàðòèíû ïîëó÷àþòñÿ òîãäà, êîãäà âñå êîðíè âåùåñòâåííû è ôóíêöèÿ h ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ â ïðîìåæóòêå h1 6 h2 < h < h3 .
 íåÿâíîì âèäå ôîðìà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ êâàäðàòóðîé
x=
Q
3g
Zh3
p
h
ds
(s − h1 )(s − h2 )(h3 − s)
.
 îáùåì ñëó÷àå ýòîò èíòåãðàë íå âûðàæàåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ.
Òàê, äëÿ ïðîñòûõ êîðíåé h1 < h2 < h3 ïîäñòàíîâêà
s = h2 + (h3 − h2 ) cos2 α,
h = h2 + (h3 − h2 ) cos2 β
è çàìåíà ïàðàìåòðîâ
r=
3g(h3 − h1 )
,
2Q
κ2 =
h3 − h2
h3 − h1
ïðèâîäÿò óêàçàííóþ ôóíêöèîíàëüíóþ çàâèñèìîñòü ê ñòàíäàðòíîé ôîðìå, èñïîëüçóþùèé ýëëèïòè÷åñêèé èíòåãðàë:
Zβ
p
rx =
0
dα
1−
κ 2 sin2 α
,
Çàäàâàåìàÿ ýòèì ñîîòíîøåíèåì ñïåöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ β = am(rx; κ) íàçûâàåòñÿ àìïëèòóäîé ßêîáè, à åå ñóïåðïîçèöèè ñ òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè äàþò ýëëèïòè÷åñêèé ñèíóñ è êîñèíóñ ñîîòâåòñòâåííî: sn(ξ; κ) =
sin am(ξ; κ) è cn(ξ; κ) = cos am(ξ; κ). Òàêèì îáðàçîì, ôîðìà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè â ñòàöèîíàðíîé âîëíå èìååò âèä
h(x) = h2 + (h3 − h2 ) cn2 (rx; κ).
85
Ââèäó ïðèñóòñòâèÿ çäåñü ôóíêöèè ”cn” òàêóþ âîëíó íàçûâàþò êíîèäàëüíîé
âîëíîé. Ýòà íåëèíåéíàÿ âîëíà èìååò àìïëèòóäó a = (h3 − h2 )/2 è ÿâëÿåòñÿ
ïåðèîäè÷åñêîé ñ ïåðèîäîì
2Q
L=
3g
Zh3
p
h2
ds
(s − h1 )(s − h2 )(h3 − s)
.
 ïðåäåëå âîëí ìàëîé àìïëèòóäû a → 0 ïîëó÷àåì çíà÷åíèå κ = 0, òàê ÷òî
àìïëèòóäà ßêîáè ñòàíîâèòñÿ ëèíåéíîé ôóíêöèåé β = rx, è êíîèäàëüíàÿ âîëíà ïðèíèìàåò ôîðìó ýëåìåíòàðíîãî âîëíîâîãî ïàêåòà h(x) = h0 + a cos kx
ñ âîëíîâûì ÷èñëîì k = 2r è ñðåäíåé ãëóáèíîé æèäêîñòè h0 = (h2 + h3 )/2.
Åñëè ââåñòè ôàçîâóþ ñêîðîñòü âîëíû u0 ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà u20 + 2gh0 = 2b
(ýòî âïîëíå îïðàâäàíî, ïîñêîëüêó ïàðàìåòð b èìååò ñìûñë êîíñòàíòû Áåð-
√
íóëëè), òî òîãäà ñ ÷èñëîì Ôðóäà F = u0 / gh0 ïîëó÷àåòñÿ äèñïåðñèîííîå
ñîîòíîøåíèå
1
.
1 + 13 h20 k 2
Ñëåäîâàòåëüíî, â ëèíåéíîì ïðåäåëå ñòàöèîíàðíàÿ âîëíà îêàçûâàåòñÿ äîêðèF2 =
òè÷åñêîé, ÷òî õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ âûâîäàìè ï. 3.2.
 äðóãîì ïðåäåëüíîì ñëó÷àå, êîãäà êîðåíü h2 → h1 ñòàíîâèòñÿ äâóêðàòíûì, ïðè κ → 1 ýëëèïòè÷åñêèé êîñèíóñ òàêæå ïðåâðàùàåòñÿ â ýëåìåíòàðíóþ
ôóíêöèþ: cn(ξ; κ) → 1/ ch ξ . Â ýòîì ïðåäåëå ïåðèîä L êíîèäàëüíîé âîëíû
íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò, è îíà òðàíñôîðìèðóåòñÿ â óåäèíåííóþ âîëíó ñ àìïëèòóäîé a = h3 − h2 è ïðîôèëåì ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè
h(x) = h0 +
a
.
ch2 rx
Âåëè÷èíà h0 = h2 äàåò àñèìïòîòèêó ãëóáèíû ñëîÿ æèäêîñòè ïðè |x| → ∞,
√
ïîýòîìó çäåñü ÷èñëî Ôðóäà F = u0 / gh0 åñòåñòâåííî îïðåäåëèòü ïî ñêîðîñòè æèäêîñòè u0 íà áåñêîíå÷íîñòè (ò.å. èç óñëîâèÿ u20 + 2gh2 = 2b). Îòñþäà
ïîëó÷àåòñÿ ôîðìóëà Áóññèíåñêà äëÿ óåäèíåííîé âîëíû
F2 = 1 +
86
a
,
h0
ñîãëàñíî êîòîðîé ýòà íåëèíåéíàÿ âîëíà ÿâëÿåòñÿ ñâåðõêðèòè÷åñêîé.
3.6. Âîëíû â äâóõñëîéíîé æèäêîñòè
Ðàññìàòðèâàåòñÿ ïëîñêîå áåçâèõðåâîå äâèæåíèå èäåàëüíîé æèäêîñòè, ñîñòîÿùåé èç äâóõ ñëîåâ Ωj (t) (j = 1, 2) ñ ïëîòíîñòÿìè ρ1 6= ρ2 , ðàçäåëåííûõ ïîâåðõíîñòüþ y = h(x, t). Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñíèçó âñÿ æèäêîñòü îãðàíè÷åíà
ðîâíûì äíîì y = 0, à ñâåðõó íåïðîíèöàåìîé êðûøêîé y = H . Ïîòåíöèàëû
ñêîðîñòåé ϕj è ôóíêöèÿ h óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì óðàâíåíèÿì.
ϕjxx + ϕjyy = 0,
x = (x, y) ∈ Ωj (t) (j = 1, 2),
ϕ1y = 0 (y = 0),
ϕ2y = 0 (y = H),

ht + ϕjx hx − ϕjy = 0,
(j = 1, 2) 


¡
¢
1 2
1 2
y = h(x, t).
ρ1 ϕ1t + 2 ϕ1x + 2 ϕ1y + gh =

¡
¢

= ρ ϕ + 1 ϕ2 + 1 ϕ2 + gh , 
2
2t
2
2x
2y
2
Íàïîìíèì, ÷òî â óêàçàííîé ñèñòåìå óðàâíåíèé êèíåìàòè÷åñêîå óñëîâèå äîïóñêàåò íàëè÷èå íåíóëåâîãî ñêà÷êà êàñàòåëüíîé ñêîðîñòè æèäêîñòè íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñëîåâ, à äèíàìè÷åñêîå óñëîâèå òðåáóåò íåïðåðûâíîñòè äàâëåíèÿ.
Ëèíåéíàÿ òåîðèÿ ðàññìàòðèâàåò ìàëûå âîçìóùåíèÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîãî
ãîðèçîíòàëüíîãî òå÷åíèÿ ñ ïðÿìîëèíåéíîé ãðàíèöåé h(x, t) = h1 = const
è ïîñòîÿííûìè ñêîðîñòÿìè uj â ñëîÿõ (ò.å. ñ ïîòåíöèàëàìè ϕ0j (x, y, t) =
uj x − (gh1 + 12 u2j )t ). Îòûñêàíèå ðåøåíèé ëèíåàðèçîâàííûõ óðàâíåíèé â âèäå
âîëíîâûõ ïàêåòîâ
h = h1 +aei(kx−ωt),
ϕ1 = ϕ01 +A ch kyei(kx−ωt),
ϕ2 = ϕ02 +B ch k(H−y)ei(kx−ωt)
ñ ïîñòîÿííûìè àìïëèòóäàìè a, A, B ïðèâîäèò ê äèñïåðñèîííîìó ñîîòíîøåíèþ
ρ1 (ω − u1 k)2 cth kh1 + ρ2 (ω − u2 k)2 cth k(H − h1 ) = (ρ1 − ρ2 )gk
(56)
êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî ÷àñòîòû ω . Ïðè íàëè÷èè ïàðû êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûõ êîðíåé ó ýòîãî óðàâíåíèÿ îñíîâíîå òå÷åíèå îêàçûâàåòñÿ íåóñòîé÷èâûì. Òàê, ÷àñòîòà ω ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîé äëÿ âñåõ âîëíîâûõ
87
÷èñåë k â ñëó÷àå ρ1 < ρ2 , êîãäà áîëåå òÿæåëàÿ æèäêîñòü íàõîäèòñÿ â âåðõíåì
ñëîå. Ýòîò òèï íåóñòîé÷èâîñòè ãðàíèöû ðàçäåëà ñëîåâ íàçûâàåòñÿ íåóñòîé-
÷èâîñòüþ Ðýëåÿ Òåéëîðà. Åñëè æå ρ1 > ρ2 , íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì
óñëîâèåì âåùåñòâåííîñòè êîðíåé ñëóæèò íåðàâåíñòâî
(u2 − u1 )2 6
¢g
µ¡
th k(H − h1 ) + λ th kh1 ,
λ
k
(57)
ãäå îáîçíà÷åíî λ = ρ2 /ρ1 , µ = 1 − λ. Åñëè u2 6= u1 (îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü
äâèæåíèÿ ñëîåâ îòëè÷íà îò íóëÿ), òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ |k| äàííîå íåðàâåíñòâî íàðóøàåòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè íàëè÷èè ïðîñêàëüçûâàíèÿ ñëîåâ
èìååò ìåñòî êîðîòêîâîëíîâàÿ íåóñòîé÷èâîñòü, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ íåóñòîé-
÷èâîñòüþ Êåëüâèíà Ãåëüìãîëüöà.
Ïðèáëèæåíèå ìåëêîé âîäû äëÿ äâóõñëîéíîé æèäêîñòè ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðåäñòàâëåíèÿ ïîòåíöèàëîâ ϕj (x, y, t) â âèäå ðÿäîâ Ëàãðàíæà
∞
X
y 2n 2n
∂x A(x, t),
ϕ1 =
(−1) ε
(2n)!
n=0
n 2n
ϕ2 =
∞
X
− y)2n 2n
∂x B(x, t),
(2n)!
n 2n (H
(−1) ε
n=0
ãäå A(x, t) = ϕ1 |y=0 , B(x, t) = ϕ2 |y=H . Óðàâíåíèÿ äâóõñëîéíîé ìåëêîé âîäû
äëÿ ôóíêöèé h, u = Ax , v = Bx èìåþò âèä
ht + (uh)x = 0,
ht − (v(H − h))x = 0,
ut + uux + µghx = λ(vt + vvx ).
Íåëèíåéíûå ñòàöèîíàðíûå âîëíû â äâóõñëîéíîé æèäêîñòè ïîä êðûøêîé
îïèñûâàþòñÿ â òî÷íîé ïîñòàíîâêå ñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìè äëÿ ôóíêöèé
òîêà ψj (x, y) (j = 1, 2) è ôóíêöèè h(x) (0 < h(x) < H):
ψ1xx + ψ1yy = 0 (0 < y < h(x)),
ψ1 (x, 0) = 0,
ψ2xx + ψ2yy = 0 (h(x) < y < H),
ψ1 (x, h(x)) = ψ2 (x, h(x)) = Q1 ,
ψ2 (x, H) = Q1 + Q2 ,
(58)
2
2
2
2
ρ1 (ψ1x
+ ψ1y
+ 2gh − 2b1 ) = ρ2 (ψ2x
+ ψ2y
+ 2gh − 2b2 ) (y = h(x)),
ãäå Qj îáúåìíûé ðàñõîä æèäêîñòè, bj ïîñòîÿííàÿ Áåðíóëëè â j -ì ñëîå.
 îòñóòñòâèå âîëí òå÷åíèå c ïðÿìîëèíåéíîé ãðàíèöåé ðàçäåëà è ïîñòîÿííûìè ñêîðîñòÿìè â ñëîÿõ äàåòñÿ ðåøåíèåì h(x) = h1 = const (0 < h1 < H),
88
ψ1 (x, y) = u1 y , ψ2 (x, y) = u2 y + u1 h1 . Äàííîå ðåøåíèå ïîëó÷àåòñÿ ïðè ñëåäóþùèõ çíà÷åíèÿõ ðàñõîäîâ è êîíñòàíò Áåðíóëëè:
Q1 = h1 u1 ,
Q2 = h2 u2 ,
b1 = u21 + 2gh1 ,
b2 = u22 + 2gh1 ,
(59)
ãäå h2 = H − h1 ãëóáèíà íåâîçìóùåííîãî âåðõíåãî ñëîÿ æèäêîñòè. Óêàçàííûå çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííûõ Qj , bj äîëæíû ôèãóðèðîâàòü â óðàâíåíèÿõ (58) è
ïðè îòûñêàíèè ðåøåíèé òèïà óåäèíåííûõ âîëí ñ àñèìïòîòèêîé h(x) → h1 ,
∇ψj → (0, uj ) (j = 1, 2) ïðè |x| → +∞.
Âòîðîå ïðèáëèæåíèå òåîðèè ìåëêîé âîäû äàåò äëÿ ôóíêöèè h(x) íåëèíåéíîå îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
µ
¶ µ ¶2
1
dh
ρ1 Q21 (H − h) + ρ2 Q22 h
= P (h),
(60)
3
dx
µ
¶
P (h) = h(h − H) (ρ1 − ρ2 )gh2 − 2(ρ1 b1 − ρ2 b2 )h + c + ρ1 Q21 (H − h) + ρ2 Q22 h,
ãäå c ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ. Äëÿ óåäèíåííûõ âîëí óñëîâèå h(x) → 0,
h0 (x) → 0 ïðè |x| → +∞ ñ íåîáõîäèìîñòüþ äàåò
c = ρ1 u21 h1 + ρ2 u22 h2 − g(ρ1 − ρ2 )h21 + 2(ρ1 b1 − ρ2 b2 )h1 .
Óðàâíåíèå (60), ïîëó÷åííîå Ë.Â.Îâñÿííèêîâûì äëÿ ïðèáëèæåííîãî îïèñàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ âîëí â äâóõñëîéíîé æèäêîñòè, ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì óðàâíåíèÿ Áóññèíåñêà Ðýëåÿ (55) â òåîðèè ïîâåðõíîñòíûõ âîëí.  çàâèñèìîñòè
îò êðàòíîñòè è ðàñïîëîæåíèÿ âåùåñòâåííûõ êîðíåé h ∈ (0, H) ïîëèíîìà
÷åòâåðòîé ñòåïåíè P (h), ïðèñóòñòâóþùåãî â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (60),
ïîëó÷àþòñÿ óåäèíåííûå âîëíû â âèäå âîçâûøåíèÿ èëè âïàäèíû íà ãðàíèöå
ðàçäåëà ñëîåâ, à òàêæå âîëíû òèïà ïëàâíîãî áîðà.
Ïðèìåð. Çàïèøåì óðàâíåíèå (60) â áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ, ïîëàãàÿ â íåì h(x) =
h1 (1 + η(x̄)), x = h1 x̄ è ââîäÿ áåçðàçìåðíûå ïàðàìåòðû îòíîøåíèå íåâîçìóùåííûõ
ãëóáèí ñëîåâ r = h2 /h1 è äåíñèìåòðè÷åñêèå (ïëîòíîñòíûå) ÷èñëà Ôðóäà
F12
ρ1 u201
=
,
g(ρ1 − ρ2 )h1
F22
89
ρ2 u202
=
.
g(ρ1 − ρ2 )h2
Òîãäà ñîãëàñíî (60) äëÿ ôóíêöèè η , äàþùåé îòêëîíåíèå ãðàíèöû ðàçäåëà ñëîåâ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå
£
¡
¢
¡
¢¤
µ ¶2
3η 2 η 2 + F22 − rF12 − 1 + r η + r F12 + F22 − 1
dη
=
dx̄
r3 F12 (1 − η) + F22 (r + η)
(61)
Îáëàñòè äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé 0 < h(x) < H çäåñü ñîîòâåòñòâóåò èíòåðâàë −1 < η < r.
Ïîñêîëüêó äëÿ òàêèõ η çíàìåíàòåëü äðîáè â ïðàâîé ÷àñòè (61) ïîëîæèòåëåí, ïîëîæèòåëüíûì äîëæåí áûòü è ÷èñëèòåëü. À ýòî âîçìîæíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïàðàìåòðû
F1 è F2 óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó
F12 + F22 > 1.
(62)
Äàííîå îãðàíè÷åíèå äëÿ ïàðû ïàðàìåòðîâ (F1 , F2 ) èìååò âïîëíå îïðåäåëåííûé ñìûñë ñ
òî÷êè çðåíèÿ äèñïåðñèîííûõ ñâîéñòâ ðàññìàòðèâàåìûõ íåëèíåéíûõ âîëí. À èìåííî, çàìåòèì, ÷òî äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå (56) â ñëó÷àå ñòàöèîíàðíûõ âîëí (ò.å. âîëíîâûõ
ïàêåòîâ ñ çàäàííîé ÷àñòîòîé ω = 0 è èñêîìûì áåçðàçìåðíûì âîëíîâûì ÷èñëîì ξ = kh0 )
èìååò â áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ ñëåäóþùèé âèä: F12 ξ cth ξ + F22 rξ cth rξ = 1. Ïîñêîëüêó
÷åòíàÿ ôóíêöèÿ f (ξ) = ξ cth ξ ñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàåò ïðè ξ > 0, âåùåñòâåííûå êîðíè
ξ ∈ R âîçìîæíû òîëüêî ïðè F12 + F22 6 1. Òàêèì îáðàçîì, ëèíåéíûå ñòàöèîíàðíûå âîëíû
â äâóõñëîéíîé æèäêîñòè, èìåþùèå âèä ñèíóñîèäàëüíûõ âîëíîâûõ ïàêåòîâ, ñóùåñòâóþò
òîëüêî â äîêðèòè÷åñêîé îáëàñòè F12 + F22 6 1. À óðàâíåíèå (61) îïèñûâàåò íåëèíåéíûå
âîëíû, ñóùåñòâóþùèå â ñâåðõêðèòè÷åñêîé îáëàñòè (62).
3.7. Âíóòðåííèå âîëíû â ñòðàòèôèöèðîâàííîé æèäêîñòè
Äëÿ ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ u = 0 â ñèñòåìå (38) îñòàåòñÿ óðàâíåíèå ∇p = ρg,
îòêóäà ñëåäóåò p = p0 (z), ρ = ρ0 (z), ãäå ôóíêöèè p0 è ρ0 ñâÿçàíû çàêîíîì
ãèäðîñòàòèêè dp0 /dz = −gρ0 (z). Ñëåäîâàòåëüíî, ïîêîÿùàÿñÿ íåîäíîðîäíàÿ
æèäêîñòü ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè ðàññëàèâàåòñÿ ïëîñêîñòÿìè z = const
íà ãîðèçîíòàëüíûå ñëîè (ñòðàòû), â êàæäîì èç êîòîðûõ ïëîòíîñòü ïîñòîÿííà. Òàêîå ðàññëîåíèå íàçûâàåòñÿ ñòðàòèôèêàöèåé, à ñàìà ðàññëîåííàÿ æèäêîñòü ñòðàòèôèöèðîâàííîé æèäêîñòüþ. Ñòðàòèôèêàöèÿ èìååò ìåñòî è â
ãîðèçîíòàëüíîì ñäâèãîâîì òå÷åíèè, êîòîðîå îïèñûâàåòñÿ òî÷íûì ðåøåíèåì
u = u0 (z),
v = v0 (z),
w = 0,
ρ = ρ0 (z) p = p0 (z),
ñ ïðîèçâîëüíûìè ãëàäêèìè ôóíêöèÿìè u0 , v0 , ρ0 è äàâëåíèåì p0 , ñâÿçàííûì
ñ ρ0 óðàâíåíèåì ãèäðîñòàòèêè.
90
 îáùåì ñëó÷àå ñîãëàñíî âòîðîìó èç óðàâíåíèé ñèñòåìû (38) ïëîòíîñòü
ρ ñîõðàíÿåò ñâîå çíà÷åíèå âäîëü òðàåêòîðèé ÷àñòèö æèäêîñòè èíòåãðàëüíûõ êðèâûõ ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé dx/dt =
u(x, t). Ïîýòîìó êàæäàÿ ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ ïëîòíîñòè ρ(x, t) = const â ïðîöåññå äâèæåíèÿ âñå âðåìÿ ñîñòîèò èç îäíèõ è òåõ æå ÷àñòèö æèäêîñòè, ñîõðàíÿÿñü êàê ìàòåðèàëüíûé îáúåêò. Ðàñïðîñòðàíåíèå âîçìóùåíèé âäîëü òàêèõ
ïîâåðõíîñòåé â òîëùå æèäêîñòè íàçûâàþò âíóòðåííèìè âîëíàìè.
Äëÿ îïèñàíèÿ âîëíîâîãî äâèæåíèÿ â ñëîå æèäêîñòè êîíå÷íîé ãëóáèíû 0 <
z < h(x, y, t), îãðàíè÷åííîãî ðîâíûì äíîì z = 0 è ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòüþ
z = h(x, y, t), çàäàþòñÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ:
w = 0 (z = 0);
ht + uhx + vhy = w,
p = p0 = const (z = h).
×àñòî, ÷òîáû èñêëþ÷èòü èç ðàññìîòðåíèÿ ïîâåðõíîñòíûå âîëíû, â êà÷åñòâå
âåðõíåé ãðàíèöû ñëîÿ ðàññìàòðèâàþò æåñòêóþ íåïðîíèöàåìóþ êðûøêó z =
h0 , íà êîòîðîé âûïîëíåíî óñëîâèå íåïðîòåêàíèÿ w = 0.
Ìàëûå âîçìóùåíèÿ
u = u0 + u0 ,
ρ = ρ0 + ρ0 ,
p = p0 + p0
ñäâèãîâîãî òå÷åíèÿ ñ âåêòîðîì ñêîðîñòè u0 = (u0 (z), v0 (z), 0) îïèñûâàþòñÿ
ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé
u0x + vy0 + wz0 = 0,
D0 ρ0 + ρ0z w0 = 0,
1 0
1
px + u0z w0 = 0, D0 v 0 + p0y + v0z w0 = 0,
ρ0
ρ0
1
g
D0 w0 + p0z + ρ0 = 0,
ρ0
ρ0
ãäå îáîçíà÷åíî D0 = ∂t + u0 ∂x + v0 ∂y . Äàííàÿ ñèñòåìà ïîñëåäîâàòåëüíûì
D0 u0 +
èñêëþ÷åíèåì èñêîìûõ ôóíêöèé ñâîäèòñÿ ê îäíîìó óðàâíåíèþ äëÿ âåðòèêàëüíîé ñêîðîñòè æèäêîñòè w0
¡
¢
∂
ρ0 N 2 + D02 ∆2 w0 + D02
∂z
µ
∂w0
ρ0
∂z
91
¶
−
µ
¶
∂w0
∂w0
−D0 (ρ0 u0z )z
+ (ρ0 v0z )z
= 0,
∂x
∂y
(63)
ãäå ∆2 = ∂x2 +∂y2 . Âõîäÿùàÿ ñþäà âåëè÷èíà N = N (z) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
N2 = −
gρ0z
,
ρ0
îíà èìååò ðàçìåðíîñòü ÷àñòîòû è íàçûâàåòñÿ ÷àñòîòîé ÁðåíòàÂÿéñÿëÿ
(òàêæå ÷àñòîòîé ïëàâó÷åñòè). Äëÿ îïèñàíèÿ âíóòðåííèõ âîëí â æèäêîñòè
ñî ñëàáîé ñòðàòèôèêàöèåé ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ïðèáëèæåíèå Áóññèíåñêà (íå
ñëåäóåò ïóòàòü åãî ñ ìîäåëÿìè Áóññèíåñêà â òåîðèè ìåëêîé âîäû!), ñîãëàñíî
êîòîðîìó êîýôôèöèåíòû ρ0 è N â óðàâíåíèè (63) ñ÷èòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè:
ρ0 (z) ≈ ρ00 = const > 0, N (z) ≈ N0 = const 6= 0. Â îòñóòñòâèå ñäâèãà
ñêîðîñòè ýòî äàåò óðàâíåíèå
∆wtt + N02 ∆2 w = 0,
ãäå ∆ = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 .
Ïðèìåð. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîöåññ ãåíåðàöèè âíóòðåííèõ âîëí â ñëàáîñòðàòèôèöèðîâàííîé æèäêîñòè, çàïîëíÿþùåé âñå ïðîñòðàíñòâî R3 . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî òî÷å÷íûé èñòî÷íèê âîçìóùåíèé ñîñðåäîòî÷åí â íà÷àëå êîîðäèíàò x = 0 è êîëåáëåòñÿ ñ ìàëîé àìïëèòóäîé
è çàäàííîé ÷àñòîòîé ω0 , âîçáóæäàÿ âîëíîâîå ïîëå â âèäå ýëåìåíòàðíûõ âîëíîâûõ ïàêåòîâ
w = a exp{i(kx + ly + mz − ω0 t)}. Êîìïîíåíòû âîëíîâîãî âåêòîðà k = (k, l, m) ñâÿçàíû ñ
÷àñòîòîé ω0 äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèåì
ω02 = N02
k 2 + l2
.
k 2 + l 2 + m2
Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî ÷àñòîòà ãåíåðèðóåìûõ âîëí íå ìîæåò ïðåâîñõîäèòü ÷àñòîòû
ÁðåíòàÂÿéñÿëÿ: ω0 6 N0 . Êðîìå òîãî, èçâåñòåí òàêæå è óãîë β0 , ïîä êîòîðûì âîëíîâîé âåêòîð íàêëîíåí ê ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè Oxy : β0 = arccos(ω0 /N0 ). Ïîñêîëüêó
ýíåðãèÿ âîëíîâûõ ïàêåòîâ ïåðåíîñèòñÿ îò èñòî÷íèêà âîçìóùåíèé â íàïðàâëåíèè âåêòîðà
ãðóïïîâîé ñêîðîñòè cg = ∇ω(k), ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ âûÿñíèòü âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå
âåêòîðîâ cg è k. Äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå äàåò çàâèñèìîñòü ω = ω(k), îäíîðîäíóþ íóëåâîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî k, ïîýòîìó â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà R3 âåêòîð ãðóïïîâîé
ñêîðîñòè îðòîãîíàëåí âîëíîâîìó âåêòîðó: k · cg (k) = 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âñå âîëíîâîå
äâèæåíèå, âîçáóæäàåìîå òî÷å÷íûì èñòî÷íèêîì êîëåáàíèé, ñîñðåäîòî÷åíî â îêðåñòíîñòè
êîíóñà, îñü êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ îñüþ Oz , à óãîë ðàñòâîðà êîíóñà ðàâåí β0 .
92
Äëÿ ñëîÿ ñòðàòèôèöèðîâàííîé æèäêîñòè, èìåþùåãî êîíå÷íóþ ãëóáèíó h0
è íåîãðàíè÷åííîãî â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè, âíóòðåííèå âîëíû îïèñûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíûìè âîëíîâûìè ïàêåòàìè
w(x, y, z, t) = W (z) ei(kx+ly−ωt) .
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
τ (z) = ku0 (z) + lv0 (z) − ω,
m2 = k 2 + l 2 .
Òîãäà äëÿ àìïëèòóäíîé ôóíêöèè W â ñèëó (63) ïîëó÷àåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
d
dz
µ
¶
¡
¢W
d
W
ρ0 τ 2
= ρ0 m2 τ 2 − N 2
dz τ
τ
(0 < z < h0 ).
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ æèäêîñòè ïîä êðûøêîé èìåþò âèä
W (0) = W (h0 ) = 0,
à ïðè íàëè÷èè ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè îíè òàêîâû:
W = 0 (z = 0),
τ2
d W
W
= gm2
dz τ
τ
(z = h0 )
 ýòèõ óðàâíåíèÿõ ïðè çàäàííîì âîëíîâîì âåêòîðå k = (k, l) íàðÿäó ñ ôóíêöèåé W èñêîìûì ÿâëÿåòñÿ è ïàðàìåòð ω , âõîäÿùèé â êîýôôèöèåíò τ è óñëîâèå íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè. Òå çíà÷åíèÿ ω , ïðè êîòîðûõ èìåþòñÿ íåíóëåâûå ðåøåíèÿ W , îáðàçóþò ñïåêòð. Åñëè ñïåêòð òàêîâ, ÷òî âñåãäà Re ω 6 0,
òî èñõîäíîå îñíîâíîå òå÷åíèå ñ âåêòîðîì ñêîðîñòè u0 = (u0 , v0 , 0) óñòîé÷èâî.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî íåóñòîé÷èâîñòü ñäâèãîâîãî òå÷åíèÿ. Äëÿ
âíóòðåííèõ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ â ïîêîÿùåéñÿ æèäêîñòè (u0 = v0 = 0)
ïîä êðûøêîé, ñïåêòðàëüíàÿ çàäà÷à ïðèíèìàåò âèä
µ
(ρ0 Wz )z = ρ0 m2
N2
1− 2
ω
¶
W
(0 < z < h0 ),
W (0) = W (h0 ) = 0. (64)
Åñëè âåðõíÿÿ ãðàíèöà ñëîÿ æèäêîñòè ñâîáîäíà, ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ èìåþò
âèä
W (0) = 0,
m2
W (h0 ) = g 2 W (h0 ).
ω
0
93
Çàìåòèì, ÷òî ïðè êîìïëåêñíûõ ω 2 òàêæå êîìïëåêñíîé áóäåò è ñîáñòâåííàÿ
ôóíêöèÿ W . Äîìíîæåíèå íà êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííóþ âåëè÷èíó W è èíòåãðèðîâàíèå ïî èíòåðâàëó (0, h0 ) äàåò ñ ó÷åòîì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ñëåäóþùåå
ñîîòíîøåíèå:
Zh0
ω2
¡
¢
ρ0 |Wz |2 + m2 |W |2 dz = gρ0 (h0 )|W (h0 )|2 +
0
Zh0
ρ0 N 2 |W |2 dz.
0
Åñëè ñòðàòèôèêàöèÿ òàêîâà, ÷òî ïëîòíîñòü ρ0 (z) íå óáûâàåò ïðè óìåíüøåíèè
z , ìû èìååì N 2 (z) > 0 âñþäó ïðè z ∈ (0, h0 ).  ýòîì ñëó÷àå âñåãäà ω 2 > 0,
è ñïåêòð âåùåñòâåííûé. Áîëåå äåòàëüíàÿ èíôîðìàöèÿ î ñâîéñòâàõ ñïåêòðà
äàåòñÿ ñëåäóþùèìè óòâåðæäåíèÿìè.
(a) ñóùåñòâóåò ñ÷åòíîå ñåìåéñòâî âîëíîâûõ ìîä ωn2 (m) (n = 1, 2, ...), ïðè÷åì
ω12 (m) > ω22 (m) > ... > ωn2 (m) > ...;
ωn2 (m) → 0 (n → ∞)
(b) ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ Wn (z) èìååò íà ïðîìåæóòêå [0, h0 ] ðîâíî n íóëåé â
ñëó÷àå ñâîáîäíîé âåðõíåé ãðàíèöû, è ðîâíî n + 1 íóëü äëÿ âîëíîâîãî äâèæåíèÿ ïîä êðûøêîé;
(ñ) ôàçîâàÿ ñêîðîñòü cn (m) = ωn (m)/m äëÿ êàæäîé èç âîëíîâûõ ìîä ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî ìîíîòîííî óáûâàþùåé ôóíêöèåé ïàðàìåòðà m (ìîäóëÿ âîëíîâîãî
âåêòîðà).
Çàäà÷à.  ïðèáëèæåíèè Áóññèíåñêà íàéòè ñïåêòð ôàçîâûõ ñêîðîñòåé è ñîáñòâåííûå
ôóíêöèè çàäà÷è î äâóìåðíûõ ëèíåéíûõ âíóòðåííèõ âîëíàõ â ñëîå ñòðàòèôèöèðîâàííîé
æèäêîñòè ïîä êðûøêîé. ×åìó ðàâíû ãðóïïîâûå ñêîðîñòè äëÿ êàæäîé èç âîëíîâûõ ìîä?
Ðåøåíèå. Ïîëîæèì â (64) äëÿ ïëîñêîãî äâèæåíèÿ m2 = k2 , ãäå k âîëíîâîå ÷èñëî, è
ïðèìåì ρ0 (z) = const è N (z) = N0 = const ñîãëàñíî ïðèáëèæåíèþ Áóññèíåñêà. Äàëåå, â
ñëó÷àå ω 6 N0 îáîçíà÷èì
µ
2
λ = −m
2
N2
1 − 20
ω
¶
.
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ
Wzz + λ2 W = 0
(0 < z < h0 ),
94
W (0) = W (h0 ) = 0,
÷òî ñðàçó äàåò λ = λn = πn/h0 è ϕn (z) = sin λn z
(n = 1, 2, ...). Âûðàæàÿ ω ÷åðåç
λ, îòñþäà íàõîäèì âîëíîâûå ìîäû ωn2 (k) = N02 k 2 /(k 2 + λ2n ). Ñîîòâåòñòâåííî, ôàçîâûå
(n)
(n)
ñêîðîñòè cp = ωn (k)/k è ãðóïïîâûå ñêîðîñòè cg = dωn (k)/dk èìåþò âèä
c(n)
p (k) = ± p
(n)
N0
,
k 2 + λ2n
cg(n) (k) = ±
N0 λ2n
.
(k 2 + λ2n )3/2
(n)
ßñíî, ÷òî |cg (k)| < |cp (k)| ïðè âñåõ k 6= 0, è ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîëüêî â äëèí(n)
íîâîëíîâûì ïðåäåëå k = 0, êîòîðûé äîñòàâëÿåò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå cp
(n)
= cg
=
N0 h0 /(πn) ôàçîâîé è ãðóïïîâîé ñêîðîñòè n-é ìîäû.
 ñëó÷àå ω > N0 äîïîëíèòåëüíûõ ðåøåíèé äëÿ çàäà÷è ñ êðûøêîé íà âåðõíåé ãðàíèöå
ñëîÿ íå âîçíèêàåò íàéäåííûå ðåøåíèÿ èñ÷åðïûâàþò âåñü ñïåêòð.
Åñëè æå ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ W (z) èìååò íóëü W (h∗ ) = 0 â òî÷êå z =
h∗ , ëåæàùåé â èíòåðâàëå (0, h0 ], è ïðè ýòîì âûïîëíåíî N 2 (z) < 0 äëÿ z ∈
(0, h∗ ), òî òîãäà äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ñïåêòðàëüíîãî çíà÷åíèÿ èìååì ω 2 < 0,
è äâèæåíèå íåóñòîé÷èâî.  ÷àñòíîñòè, äâèæåíèå âñåãäà íåóñòîé÷èâî, åñëè
ïëîòíîñòü æèäêîñòè ρ0 (z) ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé ôóíêöèé íà
ïðîìåæóòêå (0, h0 ).
Ëèòåðàòóðà
1. Êî÷èí Í.Å., Êèáåëü È.À., Ðîçå Í.Â. Òåîðåòè÷åñêàÿ ãèäðîìåõàíèêà. ×. 1.
- Ì.: Ôèçìàòãèç, 1963.
2. Ëàâðåíòüåâ Ì.À., Øàáàò Á.Â. Ïðîáëåìû ãèäðîäèíàìèêè è èõ ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè. Ì.: Íàóêà, 1973, 416 ñ.
3. Ëàìá Ã. Ãèäðîäèíàìèêà. Ì.-Ë.: ÃÈÒÒË, 1947. 928 ñ.
4. Ëÿïèäåâñêèé Â.Þ., Òåøóêîâ Â.Ì. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ðàñïðîñòðàíåíèÿ äëèííûõ âîëí â íåîäíîðîäíîé æèäêîñòè. Íîâîñèáèðñê: Èçä-âî ÑÎ
ÐÀÍ, 2000, 420 ñ.
5. Ìèëí-Òîìñîí Ë. Ì. Òåîðåòè÷åñêàÿ ãèäðîäèíàìèêà. Ì.: Ìèð, 1964, 656 ñ.
6. Íàëèìîâ Â.È., Ïóõíà÷åâ Â.Â. Íåóñòàíîâèâøèåñÿ äâèæåíèÿ èäåàëüíîé
æèäêîñòè ñî ñâîáîäíîé ãðàíèöåé. Íîâîñèáèðñê, ÍÃÓ, 1975, 174 ñ.
95
7. Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä â çàäà÷àõ. Òîì 1: Òåîðèÿ è çàäà÷è. Òîì 2:
Îòâåòû è ðåøåíèÿ. Ïîä ðåä. Ì.Ý. Ýãëèò. Ì.: Ìîñêîâñêèé ëèöåé, 1996.
8. Îâñÿííèêîâ Ë.Â., Ìàêàðåíêî Í.È., Íàëèìîâ Â.È. è äð. Íåëèíåéíûå ïðîáëåìû òåîðèè ïîâåðõíîñòíûõ è âíóòðåííèõ âîëí. Íîâîñèáèðñê: Íàóêà,
1985. 320 ñ.
9. Ñîâðåìåííàÿ ãèäðîäèíàìèêà. Óñïåõè è ïðîáëåìû. Ðåä. Äæ. Áýò÷åëîð, Ã.
Ìîôôàò. Ì.: Ìèð, 1984. 504 ñ.
10. Ñðåòåíñêèé
Ë.Í. Òåîðèÿ âîëíîâûõ äâèæåíèé æèäêîñòè. Ì.: Íàóêà,
1977. 816 ñ.
11. Ñòîêåð Äæ. Äæ. Âîëíû íà âîäå. Ì.: ÈË, 1959.
12. Òåðíåð Äæ. Ýôôåêòû ïëàâó÷åñòè â æèäêîñòÿõ. Ì.: Ìèð, 1977. 432 ñ.
13. Debnath L. Nonlinear water waves. San Diego, London: Academic Press,
1994. 544 p.
14. Johnson R.S. A modern introduction to the mathematical theory of water
waves. Cambridge Univ. Press, 1997.
15. Yih C.S. Stratied ows. N.-Y.: Academic Press, 1980. 418 p.
96
Çàäà÷è
1. Ïîïëàâîê ïîäíèìàåòñÿ è îïóñêàåòñÿ íà âîëíå ïÿòíàäöàòü ðàç â ìèíóòó.
Íàéòè äëèíó âîëíû L è ñêîðîñòü åå ðàñïðîñòðàíåíèÿ c, ñ÷èòàÿ àìïëèòóäó âîëíû ìàëîé è ãëóáèíó æèäêîñòè áåñêîíå÷íî áîëüøîé.
Îòâåò: L = 24.98 ì,
c = 6.25 ì/ñ.
2. Öèêëîï Ïîëèôåì áðîñèë â êîðàáëü Îäèññåÿ áîëüøóþ êàìåííóþ ãëûáó,
íî íå ïîïàë. Ïåðâàÿ ãðóïïà ñàìûõ áûñòðûõ è îïàñíûõ âîëí äîñòèãëà
ñóäíà ÷åðåç 5 ñåêóíä è åäâà íå îïðîêèíóëà åãî. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò
êîðàáëÿ, ñòîÿâøåãî â áóõòå íà ÿêîðå íà ãëóáèíå 5 ì, óïàëà ãëûáà?
Îòâåò:
35 ì.
3. Ðàññìàòðèâàåòñÿ áåãóùàÿ ïëîñêàÿ âîëíà â æèäêîñòè êîíå÷íîé ãëóáèíû
ñî ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòüþ y = h0 + a cos(kx − ωt) (|a| < h0 ; ïàðàìåòðû ω è k ñâÿçàíû äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèåì ëèíåéíîé òåîðèè
ω 2 = gk th kh0 ). Íàéòè òðàåêòîðèè ÷àñòèö x = x(t), ðàçûñêèâàÿ ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå x(t) = (x(t), y(t)) óðàâíåíèé
dx g ak ch ky
cos(kx − ωt),
=
dt
ω ch kh0
dy
g ak sh ky
sin(kx − ωt),
=
dt
ω ch kh0
(65)
(x, y)|t=0 = (ξ, η)
â âèäå x(t) = x0 (t) + α x1 (t) + O(α2 ) ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì α = ak . Ïî
êàêîé êðèâîé â ïëîñêîñòè (x, y) äâèæåòñÿ òî÷êà x∗ (t) = x0 (t) + α x1 (t)?
ßâëÿåòñÿ ëè åå äâèæåíèå ïåðèîäè÷åñêèì ïî t?
Îòâåò:
ch kη
sh kh0
sh kη
y(t) = η − a
sh kh0
x(t) = ξ + a
¡
¢
sin kξ − sin(kξ − ωt) + O(a2 k 2 ),
¡
¢
cos kξ − cos(kξ − ωt) + O(a2 k 2 );
òî÷êà x∗ (t) âðàùàåòñÿ ñ ïåðèîäîì T = 2π/ω ïî ýëëèïñó.
4. Íàéòè òî÷íîå ðåøåíèå x(t) = (x(t), 0) óðàâíåíèé (65), îïèñûâàþùåå ãîðèçîíòàëüíîå äâèæåíèå ÷àñòèöû â ïðèäîííîì ñëîå y = 0, èìåþùåé ïðè
97
t = 0 êîîðäèíàòû x(0) = (0, 0). Âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíòû â ðàçëîæåíèè ýòîãî ðåøåíèÿ x(t) = x0 (t) + a x1 (t) + a2 x2 (t) + O(a3 ) ïî ñòåïåíÿì
àìïëèòóäíîãî ïàðàìåòðà a.
Îòâåò:
¢
¡
Rz
1¡
ak ¢
ds
ωt + f −1 (ωt) , ãäå f (z) =
β=
;
k
sh kh0
0 β cos s − 1
1 2ωt − sin 2ωt
sin ωt
, x2 (t) = k
.
x0 (t) ≡ 0, x1 (t) =
sh kh0
4
sh2 kh0
x(t) =
5.  ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè ðàññìàòðèâàåòñÿ òðåõìåðíîå âîëíîâîå äâèæåíèå áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé æèäêîñòè ñ âåùåñòâåííûì ïîòåíöèàëîì ñêîðîñòåé ϕ = Im (ϕ1 + ϕ2 ), ãäå ϕj êîìïëåêñíûå âîëíîâûå ïàêåòû
ϕj (x, z, t) = b emz+i(kj ·x−ωt) ,
x = (x, y)
ñ ðàçíûìè âîëíîâûìè âåêòîðàìè k1 = (k, l), k2 = (−k, l), íî îäèíàêîâîé
÷àñòîòîé ω =
√
gm (m = |k1 | = |k2 |) è àìïëèòóäîé b ∈ R. Ïîêàçàòü,
÷òî äàííûé ïîòåíöèàë ϕ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ íåïðîòåêàíèÿ ϕx = 0
íà âåðòèêàëüíîé ñòåíêå x = 0, è íàéòè ôîðìó ëèíèè êîíòàêòà ñâîáîäíîé
ïîâåðõíîñòè z = ζ(x, y, t) ñ ýòîé ñòåíêîé â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè.
Îòâåò:
ζ(0, y, t) =
2bω
cos(ly − ωt).
g
6.  ðàìêàõ ëèíåéíîé òåîðèè âîëí îïðåäåëèòü ÷àñòîòû ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé æèäêîñòè ñ ïîòåíöèàëîì ñêîðîñòåé ϕ = eiωt Φ(x, y, z) â ïðÿìîóãîëüíîì áàññåéíå ãëóáèíû h0 , äëèíû a è øèðèíû b. ×åìó ðàâíà íàèìåíüøàÿ èç ýòèõ ÷àñòîò?
Îòâåò:
2
= gλnm th λnm h0 ,
ωnm
¢
¡
λ2nm = π 2 (n/a)2 + (m/b)2
(n, m = 0, 1, 2, ...; n + m 6= 0),
2
=
min ωnm
nm
πg πh0
th
.
a
a
7. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèíåéíàÿ çàäà÷à Êîøè Ïóàññîíà î äâóìåðíûõ âîëíàõ íà ïîâåðõíîñòè áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé æèäêîñòè (ìàëûå âîçìóùåíèÿ
ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ):
Φxx + Φyy = 0
98
(−∞ < y < 0),
∇Φ → 0
ζt = Φy ,
(y → −∞),
Φt + gζ = 0
Φ(x, y, 0) = Φ0 (x, y),
(y = 0),
ζ(x, 0) = ζ0 (x).
Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ ζ , îïèñûâàþùàÿ ôîðìó ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè
y = ζ(x, t), óäîâëåòâîðÿåò èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ
Z+∞
g
ζx (x0 , t) 0
ζ tt (x, t) + v.p.
dx = 0
π
x − x0
−∞
ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè
ζ(x, 0) = η0 (x),
Óêàçàíèå:
ζt (x, 0) = Φ0y (x, 0).
âîñïîëüçîâàòüñÿ èíòåãðàëüíîé ôîðìóëîé Êîøè äëÿ êîìïëåêñíîé ôóíê-
öèè f (z, t) = Φxt − iΦyt , àíàëèòè÷åñêîé ïî z = x + iy â ïîëóïëîñêîñòè Im z < 0.
8.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è ïîñòðîèòü ðåøåíèå ζ(x, t) äëÿ íà÷àëüíûõ äàííûõ
ζ(x, 0) = 0,
ζt (x, 0) =
x2
2a
+ a2
(a > 0 − const),
èñïîëüçóÿ &i