теплоемкость идеального газа. метод стоячих

Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра физики
ТЕПЛОЕМКОСТЬ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА.
МЕТОД СТОЯЧИХ ЗВУКОВЫХ
ВОЛН ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ
ЗВУКА И ОТНОШЕНИЯ CP/CV
Учебно-методическое пособие к лабораторным работам
по молекулярной физике
2-2
УФА 2010
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов всех форм
обучения и содержит краткие сведения по теории и описание порядка
выполнения лабораторной работы по разделу “Молекулярная физика”.
Составители:
Гусманова Г.М., доц., канд. хим. наук
Сафиуллина А.Г., доц., канд. хим. наук
Рецензент
Лейберт Б.М., доц., канд. техн. наук
 Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2010
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2-2
"Теплоемкость
идеального
газа.
Метод
стоячих
звуковых
волн для определения скорости звука и отношения Cp/Cv"
Цель работы: изучить молекулярно-кинетическую теорию теплоемкости с
помощью метода стоячих звуковых волн.
Приборы и принадлежности: стеклянная труба с миллиметровой шкалой,
емкость с жидкостью, динамик, генератор звуковых колебаний, датчик
электрических колебаний, телефон.
ТЕОРИЯ МЕТОДА
Внутренняя
энергия
представляет
собой
энергию
всех
видов
внутренних движений в теле (системе) и энергию взаимодействия всех
частиц (атомов, молекул, ионов и т. д.), входящих в тело (систему). При
вычислении изменения внутренней энергии учитывают ту ее часть, которая
не остается постоянной в исследуемых процессах. Под внутренней энергией
газа
понимают
кинетическую
энергию
движения
молекул
газа
и
потенциальную взаимодействия молекул между собой.
Идеальным
газом
называется
газ,
взаимодействиями
между
молекулами которого можно пренебречь. Таким образом, потенциальная
энергия взаимодействия молекул идеального газа не учитывается.
Числом степеней свободы i называется число независимых координат
(уравнений), с помощью которых можно однозначно определить положение
молекулы (тела) в пространстве. Для одноатомной молекулы i = 3, для
двухатомной - i = 5, для трехатомной (и далее многоатомной) - i = 6.
Внутренней энергией идеального газа называется сумма кинетических
энергий беспорядочного движения всех его молекул, которая равна:
m
Ui
RT
2M
где i - число степеней свободы, т — масса газа, М - молярная масса,
R
=
8,31
Дж/(моль-К)
универсальная
-
газовая
постоянная,
Т
-
термодинамическая температура.
Внутренняя энергия является функцией состояния, т.е. не зависит от
вида перехода из одного состояния в другое (процесса), а зависит лишь от
параметров начального и конечного состояний системы.
Работа газа равна
A
V2

pdV
V1
гдер - давление, dV- бесконечно малое изменение объема.
Теплота и работа не являются функциями состояния, т.е. зависят от вида
перехода из одного состояния в другое (процесса).
Первое начало термодинамики является законом сохранения энергии
для
тепловых процессов: количество теплоты,
переданное
системе,
расходуется на приращение внутренней энергии системы и совершение
системой работы:
dQ = dU+dA
Иногда имеются отличия в записи малых величин теплоты, работы и
приращения внутренней энергии, которые отражают зависимость теплоты
δQ и работы δА от вида перехода из одного состояния в другое (процесса), а
изменения внутренней энергии dU - только от начального и конечного
состояний системы.
Теплоемкостью называется величина, равная количеству теплоты,
которое требуется передать телу, чтобы изменить его температуру на
единицу (на 1К - в СИ). Единицей измерения теплоемкости является 1 Дж/К.
C
dQ
dT
Удельной теплоемкостью называется величина, равная количеству
теплоты, которое требуется передать единице массы m (1кг - в СИ) газа,
чтобы изменить его температуру на единицу (на 1К - в СИ), т. е.
теплоемкость единицы массы вещества. Единицей измерения удельной
теплоемкости является 1 Дж/(кгК).
c
C
dQ

m mdT
Молярной теплоемкостью называется величина, равная количеству
теплоты, которое требуется передать единице количества вещества v (l молю
в СИ), чтобы изменить его температуру на единицу (на 1К - в СИ), т. е.
теплоемкость 1 моля вещества. Единицей измерения молярной теплоемкости
является 1 Дж/(моль-К).
N 
m
C dQ

 dT
Процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой,
называется адиабатическим. В этом случае dQ=0, следовательно, первое
начало термодинамики для него принимает вид
dU = - dA.
При этом работа совершается газом за счет убыли его внутренней энергии.
В адиабатическом процессе все термодинамические параметры р, V и Т
меняются. Их можно связать уравнением Пуассона:
pVγ=const
γ-1
(1-γ)/ γ
или соотношениями TV =const, Tp
где γ- показатель адиабаты, равный

=const
C i2

, - уравнениями
i
C
p
v
адиабатического процесса.
В адиабатном процессе работу можно рассчитать по формуле:

pV
pV
V
A   pdV   1 dV  1 1 [1  ( 1 )  1 ]
V1
V1
V
 1
V2
V2
V2
По первому началу термодинамики при постоянном объеме dA = О, и
вся подводимая системе теплота идет на увеличение его внутренней энергии,
т.е. dQ= dU. Поэтому молярная теплоемкость при постоянном объеме равна
Nv  (
dQ
i
)v  dU  R
dT 2
dT
По первому началу термодинамики при постоянном давлении вся
подводимая системе теплота идет на увеличение его внутренней энергии и
совершение работы, т.е. dQ = dU + dA. Поэтому молярная теплоемкость
при постоянном давлении равна
Np  (
Или
dQ
i2
dU  pdV
)p 
 Cv  R 
R
dT
dT
2
Cp=Cv+R. Это уравнение называется уравнением Майера.
Молярная теплоемкость при постоянной температуре Ст равна:
N 
T
dQ

dT
Молярная теплоемкость в адиабатном процессе Сад равна:
N aa 
dQ
0
dT
Таким образом, в молекулярно-кинетической теории теплоемкость
принимает различные значения в зависимости от типа процесса.
ОПИСАНИЕ МЕТОДА
Один из доступных, достаточно точных методов определения
отношения Ср /Су основан на измерении скорости распространения звука в
газе. При распространении звука в газе звуковое поле представляет собой
чередующиеся зоны сжатия и разрежения. В одном и том же объеме
происходит последовательная смена сжатия разрежением. Звуковые волны
являются достаточно высокочастотными, температура газа, претерпевающего
деформацию, не успевает выравниваться с температурой других участков,
поэтому происходящие процессы можно считать адиабатическими.
Запишем волновое уравнение, которое в общем виде описывает
распространение волнового процесса:
2
d2x
2 d x
V
dt 2
dy 2
(1)
т.е. вторая производная смещения по времени пропорциональна второй
производной
смещения
по
координате,
причем
коэффициентом
пропорциональности служит квадрат скорости распространения волны V.
Для определения скорости распространения волны в упругой среде
плотностью ρ для участка, мысленно вырезанного в сплошной среде длиной
dy, поперечного сечения S, который растянут или сжат на величину dx,
f 
воспользуемся законом Гука:
где
?
-
сила
1 dx
S
 dy
α
упругости,
-
(2)
коэффициент
упругости.
По второму закону Ньютона получим:
d 2x
1 d 2x

dt 2  dy 2
(3)
Сравнивая (1) и (3), получим, что
V
1

(4)
Так как коэффициент упругости а связан с модулем Юнга E по формуле
α=1/E, то перепишем (4) в виде
V
E

(5)
По определению для деформируемого упругого стержня модуль Юнга
равен
E
p
dL / L
n
(6)
где рп - сила, отнесенная к единице площади поперечного сечения
стержня, a dL/L - относительная линейная деформация. Для столба газа рn
заменим на давление dp, вызывающее сжатие газа, a dL/L
- на
относительную объемную деформацию dV/V и получим модуль Юнга в виде
E  V
dp
dV
Звуковые
колебания
газа
считаем
дифференцируя уравнение Пуассона, получим
адиабатическими,
dp
p
  ,
dV
V
поэтому
где γ = Ср /Сv-
показатель адиабаты. Теперь E   .
Заменим плотность газа ρ в (5) по формуле  
p , где R RT
универсальная газовая постоянная; Т - термодинамическая температура газа;
? - его молярная масса, р - давление газа. Таким образом, скорость звука (5) в
газах определим по формуле
V
RT

(7)
Преобразуя эту формулу найдем
V 2

RT
Таким образом, для определения показателя адиабаты достаточно знать
температуру газа и определить скорость звука в нем (молярная масса газа
предполагается известной). Для воздуха ?=29·10-3кг/моль.
В данной работе измеряется скорость звука в воздухе методом стоячих
волн, образующихся в столбе газа, заключенного в трубе. Стоячая волна у
является результатом наложения (интерференции) двух одинаковых бегущих
волн у 1 и у 2 , распространяющихся навстречу друг другу:
y= y1(x,t)+y2 (x,t)=A о sinω(t-x/V)+A 0 sinω[(t-x/V)+π]=
=-2А о sin ωx/V cosωt,
Y
A
B
X
где ω - циклическая частота, t - время, А0 - амплитуда колебаний,
X
-
смещение данной точки от начала координат.
В результате чего в трубе возникают точки, амплитуда которых
принимает максимальные (т.А) и минимальные (т.В) значения, называемые,
соответственно, пучностями и узлами.
Координаты
узлов находятся
из условия sin ωx/V=O,
отсюда
ωx/V=±πn.
Скорость звука
cоотношением
V связана с
его частотой
v и длиной
V= λ v,
волны λ
(9)
так как λ = VТ=V/ v = 2πV/ω, где Т - период колебаний. Следовательно,
координаты узлов
x n=±2n λ / 4=±n λ /4,
пучностей находятся из условия
где п =0,1,2,... . Координаты
sinωx/V=1, отсюда ωx/V=±(2n+1)π/2.
Следовательно, координаты пучностей x n=±(2n+1) λ / 4,
где п =0,1,2,...
Звуковые колебания в трубе, вообще говоря, очень сложны. Звуковая
волна, распространяющаяся в трубе, испытывает многократные отражения
от поверхности воды и верхнего торца трубки. На закрытых концах трубки
всегда образуется узел. Расстояние между двумя соседними узлами находят
из условия координат узлов: x n+1- x n = λ / 2. Картина резко упрощается, если
длина воздушного столба равна целому числу n полуволн с длиной волны λ,
l=n λ / 2.
то
(10)
Если условие (10) выполнено, то волна, отраженная от водной
поверхности, вернувшаяся к верхнему торцу и вновь отраженная, совпадает
по фазе с падающей. Совпадающие по фазе волны усиливают друг друга, в
чем можно убедиться с помощью осциллографа или на слух.
При неизменной частоте звукового генератора (а, следовательно, и
длине волны) можно изменять длину воздушного столба. Для этого в работе
применяют
сосуд
с
водой,
соединенный
резиновым
шлангом
с
измерительной трубой. Поднимая или опуская сосуд, меняем длину
воздушного столба, то есть длину l (см. (10)). При этом при определенных
значениях l наблюдается усиление звука, в чем можно убедиться с помощью
осциллографа или на слух. Для длин воздушного столба 1п и l n + 1 имеем:
1п =n λ / 2 ,
1п+1 =(n+1) λ / 2 ,
λ=2 ( l n + 1 -l n ).
(11)
Используя уравнения (9) и (11), получаем
V=2ν( l n+1 -l n ).
(12)
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Схема установки изображена на рис. 2. Стеклянная труба, соединенная
с емкостью С, снабжена миллиметровой шкалой, по которой отсчитывается
расстояние между мембраной М и уровнем жидкости, то есть l длина
воздушного столба. Уровень жидкости в трубе можно изменять путем
поднятия соединенной с трубой емкости С. Колебания воздуха в трубе
возбуждаются под действием мембраны динамика М, питающегося от
генератора электрических колебаний звуковых частот ЗГ. Вблизи динамика
смонтирован датчик электрических колебаний ДК, который преобразует
механические колебания в газовом столбе в электрические. С датчика
колебаний электрическое напряжение подается на вход телефона ТФ.
ЗГ
М
ТФ
ДК
С
Рис. 2. Схема экспериментальной установки
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1.Включить звуковой генератор.
2.Установить на генераторе частоту 1100 Гц .
3. Поднимая емкость, изменяют уровень воды в трубе. Провести отсчеты
положений /n, при которых возникает усиление звука (эти положения
определяются по максимальному значению амплитуды звукового сигнала в
телефоне).
4. Аналогичные измерения провести для двух других частот по указанию
преподавателя.
5. Результаты измерений занести в таблицу
Положение
Среднее значение
Скорость звука V, м/с
Гц максимумов l, м
разности (ln-ln+1), м
V=2ν( l n + 1 -l n )
V,
1
2
3
4
5
V1
V2
ν3
Средняя скорость Vcp, м/с
как погрешность прямого измерения. Полученный результат сравнить с
табличным значением скорости звука при комнатной температуре. При
температуре 15° С - 340,3 м/с, при температуре 20° С - 343,2 м/с, при
температуре 21° С - 343,8 м/с, при температуре 22° С - 344,4 м/с, при
температуре 25° С - 346,1 м/с.
7. По соотношению (8) определить у = Cp/Cv. Вывести формулу погрешности
и рассчитать по ней погрешность косвенного измерения γ.
8.Представить окончательный результат записать в виде
γ = [‹γ ›±‹Δ γ ›],  
  
,%

9. Рассчитать значение γтсор по молекулярно-кинетической теории через число
степеней свободы. Отклонение
  oai?
 100%
oai?
сравнить с погрешностью
опыта ε.
ТЕХНИКА БЕЗОПАСНОСТИ
1. Соблюдать правила техники безопасности для работы в учебных
лабораториях.
2. К выполнению работы приступать после изучения учебно-методического
пособия.
3. Соблюдать осторожность при работе с электроприбором.
4. Соблюдать осторожность при работе с жидкостью в стеклянных сосудах.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ДОПУСКА К РАБОТЕ
1.Что называют адиабатическим процессом?
2.Как образуются стоячие волны в данной работе?
3.Какова принципиальная схема установки для определения скорости
звука в воздухе?
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ЗАЩИТЫ РАБОТЫ
1.
Что называют удельной теплоемкостью вещества? Молярной
теплоемкостью? Какова связь между ними?
2.
Теплоемкость - это функция состояния или функция процесса?
3.
Почему теплоемкость газа зависит от типа процесса?
4.
Чему равны молярные теплоемкости идеальных газов при
изопроцессах?
5.
От каких параметров зависит внутренняя энергия идеального
газа?
6.
Записать первое начало термодинамики для адиабатического
процесса.