ОБРАЗОВАНИЕ МАГИСТРАЛЬНОЙ ТРЕЩИНЫ В МИКРОНЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ Сбойчаков А.М., Гончарук В.А., Кухаренко Ю.А. Москва, Россия В ряде работ (см., напр., [1]) для описания процесса кластеризации трещин используется уравнение Смолуховского: 1 n(t , m) dmA(m m, m)n(t , m m)n(t , m) t 20 (1) dmA(m, m)n(t , m)n(t , m), 0 где n(t , m) – число трещин в единице объема и в единичном интервале размеров, A(m, m) A(m, m) 0 - вероятность образования кластера из двух трещин с размерами m и m . По размерам трещины мы понимаем проекцию ее размера на произвольно заданное направление. Уравнение Смолуховского строго применимо лишь в термодинамическом пределе, когда полное число частиц N в объеме V достаточно велико, так что микроскопичекое число трещин очень велико: n(t ) N V dmn(t , m) 0. (2) 0 Несмотря на то, что в процессе объединения кластеров величина n(t ) становится сколь угодно малой, уравнение Смолуховского формально применяется при любых значениях n(t ) . Такая экстраполяция приводит, однако, к трудностям, которые проще всего проиллюстрировать на поведении моментов функции распределения n(t , m) : M k (t ) dmm k n(t , m), k 0,1, 2,... (3) 0 В частности, n(t ) стремится к 0, M1 const , M 2 при t (все высшие моменты также расходятся). Таким образом, стационарное решение n (m) уравнения (1) и концентрация кластеров (2) равны 0, первый момент сохраняется, а все моменты распределения, начиная со второго, расходятся. В настоящей работе предложен выход из создавшейся противоречивой ситуации, основанный на обобщении уравнения (1). Вместо уравнения Смолуховского (1) мы будем рассматривать уравнение 1 n(t , m) dmA(m m, m) f12 (t , m m, m)n(t , m) t 20 (4) dmA(m, m) f12 (t , m, m), 0 где f12 (t , m, m) - парная корреляционная функция, определенная как среднее число пар трещин с размерами m и m , и нормированная условием 1 0 dm0 dm f12 (t , m, m) n(t ) n(t ) V (5) Введем также плотность вероятности 1 (t , m) найти трещину с размером m в момент t в единице объема и плотность вероятности 12 (t , m, m) найти пару трещин с размерами m и m , определенные соотношениями: n(t , m) n(t ) 1 (t , m), 1 f12 (t , m, m) n(t ) n(t ) 12 (t , m, m). V (6) Предполагая статистическую независимость распределения трещин по размерам: 12 (t , m, m) 1 (t , m) 2 (t , m), (7) получаем 1 f12 (t , m, m) n(t , m)n(t , m) 1 . n(t )V (8) В результате уравнение (4) записывается в виде: 1 1 n(t , m) dmA(m m, m) 1 n(t , m m) n(t , m) t 20 n(t )V 1 dmA(m, m) 1 n(t , m) n(t , m) n(t )V 0 (9) Таким образом, обобщение уравнения Смолуховского сводится к перенормировке ядра, обусловленной корреляцией плотностей трещин вследствие учета конечности объема системы. Существенно, что эта перенормировка сама определяется искомым решением. В термодинамическом пределе V , n 0 она исчезает, и уравнение (9) переходит в уравнение Смолуховского (1) В отличие от A(m, m) перенормированное ядро не является положительно определенным и уравнение (9) имеет ненулевое стационарное решение n (m) 1 , соответствующее макси- V мальному кластеру – магистральной трещине. Релаксация к этому решению происходит по экспоненциальному закону, что позволяет ввести не зависящее от спектра n(t , m) - время релаксации. Продемонстрируем эти свойства уравнения (9) на аналитически решаемых примерах ядер: A(m, m) a и A(m, m) b m m , где a , b - положительные константы. 1. A(m, m) a . Из (9) находим уравнение для концентрации: d a 1 n(t ) n(t ) n(t ) dt 2 V (10) Его решение имеет вид 1 1 n(t ) n0 Vn0 V (n0 ) exp( a t , n0 n(t 0) 2 V V При a t 2V 1 , решение (11) переводит в (11) n(t ) n0 1 n0 a(t ) 2 1 (12) 2V ) концентрация релаксирует по известному a 2V ) - по экспогиперболическому закону (12), а на последующей флуктуационной стадии (t a 1 ненциальному закону (11) к стационарной величине n , соответствующей магистральной V Таким образом, на термодинамической стадии (t трещине. 2. A(m, m) b m m . Из (9) получаем уравнение для концентрации: d 1 n(t ) bM 1 n(t ) dt V (13) Его решение n(t ) 1 1 n0 exp(bM 1t ) (14) V V стремится при t к стационарному значению n 1 . V Таким образом, предложенное нами обобщенное уравнение Смолуховского описывает не только термодинамическую стадию релаксации, но и флуктуационную стадию, когда число кластеров мало, и позволяет найти правильное стационарное решение (магистральную трещину) и характерное время ее образования – время релаксации. Литература: 1. Zeifman M.I., Ingman D. A percolation model for lifetime variability in polymeric materials under creep conditions // J. App. Phys. 2000, Vol. 88, No. 1, P. 76-87.