surfaces-program-hse-Вербицкий

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины НИС «Геометрия комплексных поверхностей»/
«Complex surfaces»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы: Вербицкий М.С., PhD, verbit@verbit.ru
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2012 г.
Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2012 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Геометрия комплексных поверхностей» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра,
направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
 ГОС ВПО;
 Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и
010100.68 «Математика» подготовки магистра.
 Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика»
подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины Complex surfaces являются Understanding the Kaehler and
complex geometry of complex surfaces and their moduli spaces.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать The student would learn basic notions of complex geometry and 4-dimensional topology
 Уметь The student would learn to apply the Hodge theory, Calabi-Yau theorem, and Riemann-Roch theorem to the geometry of complex surfaces
 Иметь навыки (приобрести опыт) The student would obtain useful experience of work
with the Hermitian structures and Kaehler structures on complex surfaces.
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин теоретического обучения и блоку
дисциплин по выбору.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 algebraic geometry, differential geometry, complex analysis
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 K3 surfaces, Torelli theorem, positive currents, Kahler currents, Riemann-Roch theorem
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при
изучении следующих дисциплин:
 topics in algebraic geometry, complex geometry and complex analysis
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Геометрия комплексных поверхностей» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
5
Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
4
5
6
Всего
часов
Название раздела
Аудиторные часы
СамостояПрактиче
тельная
Лекци Семин
ские
работа
и
ары
занятия
Riemann-Roch theorem, Hopf algebras,
Chern classes (a brief reminder)
K3 surfaces and Torelli theorem
Frechet spaces and currents
Hahn-Banach theorem and its applications in
complex geometry, via Harvey-Lawson
Buchsdahl-Lamari theorem on complex surfaces with even b1
Bogomolov's theorem on Inoue surfaces
10
20
10
10
22
10
162/288
6
Форма
контроля
Контрольная
работа
1
*
2
8
1 год
3
8
Итоговы Зачет
й
7
1.
90/216
Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Текущий
(неделя)
6.1
72
Параметры **
4
8
The students receive a set of problems to take home,
after they solve half of the problems, they explain
their solutions. Grades are based on the number of
problems solved and the student's ability to substantiate the claims.
V
Критерии оценки знаний, навыков
A student should demonstrate an ability to understand the problem and to solve it correctly
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-балльной шкале.
Содержание дисциплины
Section 1: Riemann-Roch theorem, Hopf algebras, Chern classes (a brief reminder)
Literature:
Pierre Cartier, A primer of Hopf algebras, IHES preprint, September 2006, 81 pages
H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of
Math. 42 (1941), 22-52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119–151, Springer, Berlin (1964).
R. Hartshorne, Algebraic Geometry, GTM 52, Springer, 1977.
Barth W., Peters C., Van de Ven A., Compact complex surfaces, 1984
2.
Section 2: K3 surfaces and Torelli theorem.
Literature:
Besse, Arthur L. (1987). Einstein Manifolds. Classics in Mathematics. Berlin: Springer
A global Torelli theorem for hyperkahler manifolds
Misha Verbitsky http://arxiv.org/abs/0908.4121
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Геометрия комплексных поверхностей» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Семинар Артура Бессе 1978-1979 -М.:Мир, 1985
Section 3: Frechet spaces and currents.
Literature:
Grothendieck, A. (1973). Topological vector spaces
Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces, Elements of mathematics, Springer-Verlag
Jean-Pierre Demailly, Complex analytic and differential geometry
Jean-Pierre Demailly, Lecture Notes of the short course given at Luminy at the GAGC session ("Géométrie Algébrique et Géométrie Complexe", March 12-16, 2012): Holomorphic Morse inequalities and
entire curves on projective varieties
4.
Section 4: Hahn-Banach theorem and its applications in complex geometry, via HarveyLawson.
Literature:
R. Harvey and H. B. Lawson, "An intrinsic characterisation of Kahler manifolds, Invent. Math 74
(1983) 169-198.
5.
Section 5: Buchsdahl-Lamari theorem on complex surfaces with even b1.
Literature:
A. Lamari, Courrants kahleriens et surfaces compactes, Ann. Inst. Fourier 49 (1999), 263-285
6.
Section 6, Bogomolov's theorem on Inoue surfaces.
Literature:
Andrei Teleman, The pseudo-effective cone of a non-Kahlerian surface and applications, Math. Ann.
Vol. 335, No 4, 965-989, 2006. http://www.cmi.univ-mrs.fr/~teleman/documents/ampleness.pdf
Andrei Teleman, Donaldson Theory on non-Kahlerian surfaces and class VII surfaces with $b_2=1$,
Invent. math. 162, 493-521, 2005. http://www.cmi.univ-mrs.fr/~teleman/documents/classVIIshortnew-new.pdf
Andrei Teleman, Instantons and curves on class VII surfaces, preprint, December 2006.
http://www.cmi.univ-mrs.fr/~teleman/documents/instantons-simple.pdf
Buchdahl, Nicholas On compact Kähler surfaces. Annales de l'institut Fourier, 49 no. 1 (1999), p. 287302 http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=AIF_1999__49_1_287_0
Buchdahl, Nicholas A Nakai-Moishezon criterion for non-Kähler surfaces. Annales de l'institut Fourier,
50
no.
5
(2000),
p.
1533-1538
http://www.numdam.org/numdambin/fitem?id=AIF_2000__50_5_1533_0
Hubbard, John H.; Oberste-Vorth, Ralph W. Hénon mappings in the complex domain I : the global
topology of dynamical space. Publications Mathématiques de l'IHÉS, 79 (1994), p. 5-46
http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=PMIHES_1994__79__5_0
Dloussky, Georges On surfaces of class VII_0 with numerically anticanonical divisor. Amer. J. Math.
128 (2006), no. 3, 639--670. http://arxiv.org/abs/math.CV/0406387
Dloussky, Georges; Oeljeklaus, Karl; Toma, Matei Class VII_0 surfaces with $b_2$ curves. Tohoku
Math. J. (2) 55 (2003), no. 2, 283--309. http://arxiv.org/abs/math.CV/0201010
3.
8
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
The best method of control, for this particular course, is informal discussions
with the students:
1. Did you like these scones?
2. The scones are good.
8.1
Final homework would be distributed :
1. Birational; geometry of complex manifolds (problems).
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Геометрия комплексных поверхностей» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
2.
9
A list of problems для каждого студента утверждается преподавателем в
индивидуальном порядке.
Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется по 10-балльной
системе.
Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по
текущему контролю следующим образом:
Отекущий = n1* Ок/р + n2* Осам. работа
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения
домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность
решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель
выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед
промежуточным (итоговым) контролем.
Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ni = 1 Способ округления
накопленной оценки текущего контроля в пользу студента.
Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из
результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой
составляет k1 = 0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.
Опромежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет/экзамен
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей
оценкой по учебной дисциплине.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
Четырехмерная риманова геометрия. Семинар Артура Бессе 1978-1979 -М.:Мир, 1985
10.2 Основная литература
Griffiths, Ph., Harris, J.,
Principles of Algebraic Geometry, Wiley-Interscience,
New York, 1978.
R. Hartshorne, Algebraic Geometry, GTM 52,
Springer, 1977
10.3 Дополнительная литература
М.С.Вербицкий Геометрия комплексных поверхностей - Записки лекций
10.4 Справочники, словари, энциклопедии
http://en.wikipedia.org/