Элементы топологии 5.pmd

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
И ОТОБРАЖЕНИЯ
§ 1. Топологические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Понятие топологического пространства . . . . . . . . . . . . .
1.2. База топологического пространства . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Подпространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Упражнения для самостоятельного решения . . . . . . . .
8
8
14
18
19
§ 2. Операции над множествами
в топологическом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1. Основные понятия и факты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Упражнения для самостоятельного решения . . . . . . . . 25
§ 3. Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Метрические пространства,
изометрия пространств, сходимость
в метрических пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Топология, индуцированная метрикой . . . . . . . . . . . .
3.3. Упражнения для самостоятельного решения . . . . . . . .
26
26
34
38
§ 4. Аксиомы отделимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1. Основные понятия и факты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2. Упражнения для самостоятельного решения . . . . . . . . 43
§ 5. Непрерывные отображения
топологических пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.1. Основные понятия и факты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2. Упражнения для самостоятельного решения . . . . . . . . 54
185
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 6. Связность топологических пространств . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1. Связность топологических
пространств и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Линейная связность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Упражнения для самостоятельного решения . . . . . . . .
56
56
61
64
§ 7. Компактные топологические пространства . . . . . . . . . . . . . 65
7.1. Основные понятия и факты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2. Упражнения для самостоятельного решения . . . . . . . . 68
§ 8. Топологические конструкции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1. Топологическая сумма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Топологическое произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3. Факторпространство и фактортопология . . . . . . . . . . .
8.4. Упражнения для самостоятельного решения . . . . . . . .
69
69
70
76
81
§ 9. Модели проективного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1. Определение проективного пространства . . . . . . . . . . .
9.2. Векторная модель проективного пространства
и модель, построенная с помощью связки
аффинного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1. Векторная модель
проективного пространства . . . . . . . . . . . . .
9.2.2. Связка аффинного пространства
как модель проективного
пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3. Арифметическая модель Pn.
Расширенное аффинное пространство
как модель проективного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1. Арифметическая модель проективного
пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.2. Расширенное аффинное пространство
как модель проективного . . . . . . . . . . . . . . .
9.4. Модели проективного пространства,
построенные с помощью сферы и полусферы . . . . . . . .
9.5. Упражнения для самостоятельного решения . . . . . . . .
83
84
86
86
87
89
89
90
93
97
ГЛАВА ВТОРАЯ
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ
И ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ.
ПОВЕРХНОСТИ
В МНОГООБРАЗИЯХ
§ 10. Топологические многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1. Понятие топологического многообразия . . . . . . . . . .
10.2. Топологическое многообразие с краем . . . . . . . . . . . .
10.3. Клеточные разбиения.
Характеристика Эйлера–Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . .
10.4. Карты и атласы на многообразии . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5. Упражнения для самостоятельного решения . . . . . . .
100
100
103
105
110
114
186
В. Е. ПОДРАН. ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ
§ 11. Двумерные многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1. Ориентируемые и неориентируемые
многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2. Классификация одномерных
и замкнутых двумерных многообразий . . . . . . . . . . .
11.3. Упражнения для самостоятельного решения . . . . . . .
116
116
122
129
§ 12. Гладкие многообразия и их погружения . . . . . . . . . . . . .
12.1. Гладкие отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2. Гладкие многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3. Гладкие вложения и погружения . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4. Упражнения для самостоятельного решения . . . . . . .
130
130
132
138
147
§ 13. Гладкие кривые и поверхности в многообразиях . . . . . .
13.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2. Поверхности в евклидовом пространстве . . . . . . . . . .
13.3. Геометрические свойства поверхностей
в евклидовых пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4. Упражнения для самостоятельного решения . . . . . . .
150
150
154
164
175
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое вниманию читателя учебное пособие адре
совано, в первую очередь, студентамматематикам педаго
гических специальностей университетов и педагогических
институтов. В нем обобщен многолетний опыт автора по
изложению элементов топологии в рамках единого трех
летнего курса геометрии. Содержание этой книги не все
гда ограничено программным минимумом, поэтому она
может быть полезной для студентов, обучающихся по дру
гим специальностям, ее можно использовать также при
написании курсовых или дипломных работ.
Изучение элементов топологии в нашем курсе, пред
шествующее дифференциальной геометрии, опирается на
богатый фактический материал евклидовой, аффинной и
проективной геометрий, а также на содержание смежных
математических дисциплин.
В первой главе книги излагается ряд сведений теорети
комножественной топологии. При этом топологическая
структура на множестве вводится на основе аксиоматики
открытых множеств. Рассматриваются, в частности, хаус
дорфовы, регулярные и нормальные пространства, важней
шие виды непрерывных отображений и топологических
конструкций. В книге много примеров и иллюстраций. Не
сомненно, это делает материал более доступным и способст
вует более глубокому его усвоению. Иллюстративный ха
рактер носит и заключительный параграф первой главы, в
котором приведено детальное описание различных моделей
проективного пространства и его топологических свойств.
4
В. Е. ПОДРАН. ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ
Во второй главе рассматриваются наиболее интересные
с геометрической точки зрения пространства — многооб'
разия. Изучение топологических многообразий заверша'
ется обсуждением вопроса о классификации замкнутых
двумерных многообразий. Заключительные параграфы
второй главы посвящены введению понятия гладкой по'
верхности в гладком многообразии и доказательству ряда
утверждений, связанных со способами задания поверхно'
стей в евклидовом пространстве. Изложение материала
здесь сопровождается рассмотрением интересного факти'
ческого материала, взятого из статей в отечественных и
зарубежных научных журналах. Можно надеяться, что это
вызовет интерес у читателя и приведет к желанию попро'
бовать свои силы в занятиях современной геометрией.
Отметим, что эта книга может рассматриваться в ка'
честве вводной главы в такие области современной мате'
матики, как теоретико'множественная и алгебраическая
топология, дифференциальная топология, современная
дифференциальная геометрия и др. Дальнейшее изуче'
ние вопросов, затронутых в данном курсе, можно продол'
жить, например, по книгам, указанным в списке литера'
туры.
В книге принята сквозная нумерация параграфов. В но'
мерах теорем, примеров и упражнений на первом месте
стоит номер параграфа, на втором — номер пункта в этом
параграфе, на третьем — номер теоремы, примера или уп'
ражнения.
В конце каждого параграфа имеется небольшая подбор'
ка упражнений, решение которых поможет в освоении тео'
ретического материала, а в ряде случаев и дополнит его.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
В основе изложения материала этой книги используется
стандартная теоретикомножественная система терминов
и обозначений. При этом множества обозначаются, как
правило, большими буквами латинского алфавита, ино
гда привлекаются и другие алфавиты, например греческий.
Запись M = {a: …} означает, что множество M состоит из
элементов a таких, что … (после знака «:» указывается свой
ство, которому удовлетворяют элементы a множества M).
Запись {x Î M: …} обозначает часть множества M, со
ставленную из тех x, которые удовлетворяют условию, ука
занному на месте многоточия. Вместо двоеточия после бу
квы M пишут также вертикальную черту.
Если M = {x, y, …, v}, то M — конечное множество, со
стоящее из элементов x, y, …, v.
Î — знак принадлежности, запись x Î M означает, что
x — элемент множества M.
Ì — знак включения, запись M Ì L или L É M означа
ет, что M — часть множества L, или L содержит M. В част
ности, если M Ì L и L É M, то M = L — множества M и L
равны.
Ï, Ë, ¹ — знаки, обозначающие отрицания указанных
выше отношений.
I — знак пересечения, пересечение M I L множеств M
и L определяется так: M I L = {x: x Î M и x Î L}.
U — знак объединения, объединение M U L множеств
M и L определяется так: M U L = {x: x Î M или x Î L}.
Æ — пустое множество.
6
В. Е. ПОДРАН. ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ
\ — знак дополнения, дополнение M\L множества L до
множества M определяется так: M\L = {x: x Î M, x Ï L}.
$ — квантор существования, запись $x Î M: … означа'
ет, что существует элемент x множества M такой, что ….
" — квантор общности, запись "x Î M означает «для
всех элементов x множества M», а запись "x Î M: … —
«для всех элементов множества M, таких что …».
Пусть дано некоторое множество G. Поставим в соот'
ветствие каждому a Î G некоторое множество Ma. Семей'
ство всех таких множеств Ma обозначают через {Ma}aÎG.
Определим множество 1 11 следующим образом:
123
1 11 4 12 2 51 2 3 такое, что 2 2 11 34
123
Аналогичным образом определяется 1 11 1 а именно:
123
1 11 4 12 2 2 2 11 для 51 2 334 Вместо 1 11 и 1 11 пи'
123
123
123
шут также 1 11 1 2 11 1 когда из контекста ясно, что a Î G.
1
1
Множество G называют множеством индексов для семей'
ства {Ma}aÎG, говорят также, что {Ma}aÎG заиндексировано
с помощью множества индексов G.
Если G совпадает с множеством натуральных чисел N,
то вместо a пишут обычно i и для соответствующих опера'
ций объединения и пересечения употребляют записи
1
1
1 21
1 21
1 21 2 2 21 3
Для любой (конечной или бесконечной) совокупности
подмножеств Aa данного произвольного множества M име'
ют место тождества
1 1 1 21 2 221 1 21 34 1 1 1 21 2 221 1 21 34
1
1
1
1
называемые соотношениями двойственности для объеди'
нения и пересечения.
Для заданных множеств X, Y рассматриваются различ'
ные виды отображений.
Отображение f: X ® Y называется отображением из X
в Y, если f(X) Ì Y.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
7
Отображение f: X ® Y называется отображением из X
на Y, если f(X) = Y, такое отображение называют также
сюръективным.
Отображение f: X ® Y называют инъективным, если из
x1 ¹ x2 следует, что f(x1) ¹ f(x2).
Отображение f: X ® Y, инъективное и сюръективное
одновременно, называют биективным (биекцией) или вза$
имно однозначным.
Если X1 Ì X, то ограничение отображения f на X1 на$
зывают сужением f на X1 и обозначают 2211 3 то есть 2211 3
отображение X1 в Y, заданное по правилу: для "x Î X1 зна$
чение 2211 на x равно f(x).
Через I: X ® X или 1: X ® X мы обозначаем так назы$
ваемое тождественное отображение, то есть такое, что
"x Î X имеем I(x) = 1(x) = x. Вместо обозначений I и 1 пи$
шут также IX, 1X.
Если M, L, …, V — некоторые множества, то их декар$
тово произведение M ´ L ´ … ´ V состоит (по определению)
из всевозможных упорядоченных наборов (x, y, …, z), где
x Î M, y Î L, …, z Î V.
В книге используются следующие стандартные обозна$
чения для основных числовых множеств:
N — множество натуральных чисел;
Z — множество целых чисел;
Q — множество рациональных чисел;
R — множество действительных (вещественных) чисел;
C — множество комплексных чисел.