gardner-ostrovsky 5

A. V. Kovalev
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
NUMERICAL STUDY OF THE FIFTH-ORDER GARDNER–
OSTROVSKY EQUATION
Article tutor: A. I. Zemlyanukhin, Doctor of Science, Professor
An implicit pseudospectral scheme is proposed for the solution of the fifth-order Gardner–
Ostrovsky equation arising in the model of propagation of nonlinear deformation waves in thinwalled structures interacting with the surrounding elastic medium. The present paper shows
advantages of using implicit pseudospectral method for Ostrovsky-type equations with periodic
boundary conditions. It is shown that the introduction of the integral term inside pseudospectral
scheme ensures the stability of the calculation. The paper analyzes the set of parameters that allows
observing the spreading and attenuation of soliton perturbations.
Уравнение Островского было выведено в [1] при моделировании внутренних волн во
вращающемся океане и имеет следующий вид:
(U t  αUU x  βU xxx ) x  γU ,
(1)
где α, β, γ - некоторые постоянные.
Заметим, что учёт физической нелинейности приводит к появлению в левой части
слагаемого, пропорционального U 2U x , и (1) становится так называемым уравнением
Гарднера–Островского [2].
В статье [2] проведено численное моделирование уравнения Гарднера–Островского.
Показано, что явная двухслойная разностная схема формально неустойчива, но может быть
применима на небольшом временном интервале при выполнении критерия устойчивости
вида τ 
h3
.
2β sin k (1  cos k )
В отличие от гидродинамических, в задачах нелинейной волновой динамики
деформируемых сред с микроструктурой могут возникать члены с пространственными
производными высокого порядка. В статье [3] выведено неинтегрируемое эволюционное
уравнение пятого порядка с кубической нелинейностью, моделирующее осесимметричное
распространение пучка продольных волн в цилиндрической оболочке, усиленной ребрами
жесткости, построено точное солитоноподобное решение и выявлена его связь с нелинейным
уравнением Шредингера. Для таких уравнений критерий устойчивости разностной схемы
налагает слишком жесткие требования к соотношению шагов по времени и пространству
даже в случае только одной пространственной переменной, и более предпочтительным
представляется использование спектральных методов [4].
В настоящей работе на основе неявного псевдоспектрального метода рассмотрим
уравнение Гарднера–Островского пятого порядка:
(u t  αuu x  α1u 2 u x  βu xxx  β1u xxxxx ) x  γu.
(2)
Для построения расчетной схемы рассмотрим это уравнение в интегральном виде:
x
ut  αuu x  α1u u x  βu xxx  β1u xxxxx  γ  u ( x' , t )dx'.
2
(3)
0
Введя операторы D  F 1 (iξF (u)),
D n  F 1 ((iξ) n F (u)) , где F – прямое преобразование
Фурье, F 1 – обратное преобразование Фурье, получаем из (3) уравнение:
u t  αD(
u2
u3
)  α1 D( )  βD 3 (u )  β1 D 5 (u )  γI (u ) ,
2
3
(4)
где I (u ) – внесенный внутрь схемы интегральный член, для вычисления которого
используется метод Фурье-интегрирования: умножение Фурье-образа функции на
1
и
iξ
вычисление обратного преобразования.
В [2] показано, что именно из-за интегрального члена разностная схема становится
неустойчивой. Его внесение внутрь схемы (4) решает эту проблему, поскольку устойчивость
псевдоспектральных методов не зависит от значений параметров при
линейных членах
уравнения [5].
Проинтегрируем уравнение (4) от t до t  τ методом трапеций, перенесем все линейные
члены со слоя t  τ в левую часть и запишем выражение в операторном виде:
βτ 3 β1 τ 5 γτ
D 
D  I )u (t  τ) 
2
2
2
(5)
α1 τ
βτ 3 β1 τ 5 γτ
ατ
2
2
3
3
 (1  D 
D  I )u (t )  D(u (t )  u (t  τ)) 
D(u (t )  u (t  τ)).
2
2
2
4
6
(1 
Теперь, вводя обозначения
βτ 3 β1 τ 5 γτ
D 
D  I
2
2
2 ,
C
βτ 3 β1 τ 5 γτ
1 D 
D  I
2
2
2
ατ D
B
,
βτ 3 β1 τ 5 γτ
6(1  D 
D  I)
2
2
2
α 1 τD
A
,
βτ 3 β1 τ 5 γτ
4(1  D 
D  I)
2
2
2
1
переписываем (5) в виде
u(t  τ)  Cu(t )  B(u 3 (t )  u 3 (t  τ))  A(u 2 (t )  u 2 (t  τ)).
(6)
Для каждого u V , где V – область определения u, вводим в рассмотрение отображение
H u :V  V :
H u ( )  Cu  B(u 3  ω 3 )  A(u 2  ω 2 ) ,
где u  u (t ), ω  u (t  τ) , и получаем из (6) уравнение
u (t  τ)  H u (t ) (u (t  τ)).
(7)
Таким образом, для нахождения значений функции u (t  τ) , нужно найти неподвижную
точку отображения H u . Учитывая, что H u – сжимающий оператор [4], можно с помощью
простой итерации уравнения (7) найти его решение. В [4] показано, что для большинства
задач хорошей точности решения можно достичь уже после двух-трех итераций.
В качестве начального условия для итерации оператора
Hu
берется значение
u (t  τ)  u (t ) , таким образом, инициализирующий шаг будет иметь вид:
H u (t ) (u (t  τ))  F 1[Cˆ Fu(t )  Bˆ F (2u 3 (t ))  Aˆ (2u 2 (t ))],
где
(8)
βτ 3 β1 τ 5 γτ
iξ 
iξ 
2
2
2iξ
Cˆ 
,
βτ 3 β1 τ 5 γτ
1  iξ 
iξ 
2
2
2iξ
ατ iξ
Bˆ 
,
βτ 3 β1 τ 5 γτ
6(1  iξ 
iξ 
)
2
2
2iξ
α 1 τ iξ
Aˆ 
.
βτ 3 β1 τ 5 γτ
4(1  iξ 
iξ 
)
2
2
2iξ
1
[1] Островский Л. А. Нелинейные внутренние волны во вращающемся океане. // Океанология.
1978. Т. 18. №2. С. 181–191.
[2] Obregon M. A., Stepanyants Y. A. On Numerical Solution of the Gardner–Ostrovsky Equation. Math.
Model. // Nat. Phenom. 2012. Vol. 7. No. 2. P. 113–130.
[3] Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в неоднородных цилиндрических
оболочках: новое эволюционное уравнение. // Акустический журнал. 2001. Т. 47. №3. С. 359–363.
[4] Fornberg B., Driscoll T. A Fast Spectral Algorithm for Nonlinear Wave Equations with Linear
Dispersion // Journal of Computational Physics. 1999. Vol. 155. P. 456–467.
[5] Fornberg B. A practical guide to pseudospectral methods. / Cambridge University Press, 1996