Математическое моделирование в задачах физики плазмы

ПРИЛОЖЕНИЕ №1
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
АННОТАЦИЯ
Математическое моделирование в задачах физики плазмы
Автор: Савенков Е.Б.
Кафедра ФН-2, «Прикладная математика»
Курс «Математическое моделирование в задачах физики плазмы» читает кафедра
ФН-2 для студентов 6-го курса факультета ФН специальности «Прикладная математика». Этот
курс занимает важное место среди математических дисциплин, определяющих теоретический
уровень профессиональной подготовки бакалавров и дипломированных специалистов в области
прикладной математики и математического моделирования. В курсе рассматриваются вопросы,
связанные с постановкой и исследованием задач газовой динамики и магнитной гидродинамики
и методами их численного решения. Необходимость численного решения задач указанного
типа возникает в большом количестве естественно-научных и инженерных приложений,
например, аэродинамике, технической гидродинамике и так далее. При этом большинство из
рассматриваемых задач являются многомерными и существенно нелинейными и их
исследование аналитическими методами обычно затруднено или просто невозможно. Поэтому
методы построения и исследования численных методов решения таких задач занимает важное
место в профессиональной подготовке специалистов в области математического моделирования
и прикладной математики.
Содержание дисциплины.
Абстрактные законы сохранения. Консервативные переменные. Тензор плотности потока.
Источники. Гидродинамика: законы сохранения массы, импульса и энергии. Тензоры
плотности потоков. Обобщения: вязкость, теплопроводность, работа вязких сил. Замыкание
системы уравнений. Уравнение состояния. Двухпараметрические газы. Идеальный (невязкий
нетеплопроводный газ). Уравнения идеальной газовой динамики. Простые и консервативные
переменные. Квазилинейная и консервативная форма записи уравнений. Упрощения:
одномерные задачи, акустика, изоэнтропические течения.
Системы квазилинейных уравнений в случае одной пространственной переменной (и
почему достаточно рассматривать только такие). Квазилинейная и консервативная форма
записи уравнений. Задача Коши.
Собственные числа, правые и левые собственные векторы. Матрицы правых и левых
собственных векторов. Диагонализация. Гиперболичность и строгая гиперболичность.
Линейное одномерное уравнение переноса. Характеристики. Решение задачи Коши.
Решение задачи Римана о распаде разрыва.
Системы линейных гиперболических уравнений. Диагонализация. Характеристические
переменные. Характеристики. Решение задачи Коши. Решение задачи Римана о распаде
разрыва.
Квазилинейное уравнение переноса. Характеристики. Градиентная катастрофа. Решение
задачи Коши. Решение задачи Римана о распаде разрыва. Пример: уравнение Бюргерса.
1
ПРИЛОЖЕНИЕ №1
Системы квазилинейных уравнений. Линейно вырожденные и истинно нелинейные
характеристические поля. Инварианты Римана. Разрывные решения. Соотношения Гюгнонио.
Контактные разрывы и ударные волны. Допустимые разрывные решения – энтропийные
условия. Использование инвариантов Римана и условий Гюгонио для построения решений.
Применение общей теории: гиперболичность системы уравнений идеальной газовой
динамики. Собственные числа и собственные векторы. Скорость звука. Связь между
свойствами уравнения состояния и гиперболичностью.
Структура собственных чисел и типы характеристических полей для уравнений идеальной
газовой динамики и соответствующие типы разрывов.
Условия Гюгонио. Типы разрывов как следствия условий Гюгонио. Контактные разрывы и
ударные волны. Энтропийные условия.
Инварианты Римана. Простые волны (волны Римана) и их свойства. Центрированная волна
разрежения.
Некоторые свойства уравнений Эйлера: поворотная инвариантность, связь между вектором
потока и матрицей квазилинейной формы записи (для уравнения состояния идеального газа).
Общие вопросы теории линейных разностных схем: аппроксимация, устойчивость,
сходимость. Принцип максимума.
Теорема Годунова: зачем необходимо нужны нелинейные схемы. Определение монотонной
нелинейной разностной схемы и ослабленные условия монотонности: TVD, TVB, ENO схемы.
Связь между аппроксимацией и монотонностью для нелинейных схем (аналог теоремы
Годунова для нелинейных схем).
Консервативные схемы для одномерного случая. Численные потоки в общем виде.
Определение монотонного численного потока. Почему достаточно рассматривать одномерные
численные потоки. Одномерный численный поток – основной «кирпич» для построения
монотонных схем высокого порядка аппроксимации для систем уравнений и в случае
нескольких пространственных переменных.
Метод конечных объемов для систем уравнений в случае нескольких пространственных
переменных. Основные соотношения с точностью до выбора монотонного численного потока.
Аппроксимация по времени.
Метод Годунова – способ построения численных потоков на основе решения задачи Римана
о распаде разрыва. Пример: метод Годунова для решения систем линейных уравнений.
Приближенное решение задачи Римана о распаде разрыва. Линеаризованные задачи.
Простейшие методы годуновского типа: Куранта-Изаксона-Рисса, Лакса-Фридрихса. Метод
Роу.
Повышение порядка аппроксимации по пространству. Кусочно-гладкое восполнение.
Схемы второго порядка: кусочно-линейное восполнение. Геометрические лимитеры. Примеры.
Использование лимимтеров для решения систем уравнений. Понятие о потоковых лимитерах.
Повышение порядка аппроксимации по времени. Методы типа «предиктор-корректор».
Другие способы построения монотонных разностных схем для систем гиперболических
уравнений: метод расщепления вектора потока и разрывные галеркинские аппроксимации.
Граничные условия. Общие факты и реализация в рамках конечно-объемных схем.
Плазма и модели, используемые для ее описания. Многообразие моделей: кинетическое
описание – многожидкостные модели – двухжидкостные модели – одножидкостные модели –
идеальная МГД.
Феноменологический вывод. Основные уравнения и законы сохранения. Связанная задача
электродинамики и гидродинамики: сила Лоренца плюс уравнения Максвелла в движущейся
среде. Закон Ома.
2
ПРИЛОЖЕНИЕ №1
Полная система уравнений МГД в общем случае. Система уравнений Максвелла: энергия и
импульса электромагнитного поля, плотность потока энергии и импульса электромагнитного
поля. Квазистационарное приближение.
Вывод уравнений идеальной МГД.
Гиперболичность системы уравнений идеальной МГД. Основные типы волн.
Особенности реализации конечно-объемных методов для решения уравнений идеальной
МГД: численный магнитный заряд и как его «убить».
3