Структура связности графа

Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå áþäæåòíîå ó÷ðåæäåíèå íàóêè Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîå îòäåëåíèå Ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòà èìåíè Â. À. Ñòåêëîâà Ðîññèéñêîé àêàäåìèè íàóê Íà ïðàâàõ ðóêîïèñè Êàðïîâ Äìèòðèé Âàëåðüåâè÷ ÑÒÐÓÊÒÓÐÀ ÑÂßÇÍÎÑÒÈ ÃÐÀÔÀ (01.01.09 äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà è ìàòåìàòè÷åñêàÿ êèáåðíåòèêà) Äèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíè äîêòîðà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2015 Îãëàâëåíèå Ââåäåíèå 4 Âåðøèííàÿ ñâÿçíîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ×àñòè ðàçáèåíèÿ, ãðàíèöà è âíóòðåííîñòü . . . . . . . . . . . . . 10 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Ñòðóêòóðà äèññåðòàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1 2 Äåðåâüÿ ðàçáèåíèÿ 40 1.1 Äåðåâî ðàçáèåíèÿ äëÿ íàáîðà ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ 40 1.2 Äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà 1.3 Ïðèìåíåíèå äåðåâà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà . . . . . . 49 1.4 Äåðåâî ðàçðåçîâ Ìèíèìàëüíûå 2.1 . . . . . . . . . . . . . 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 k -ñâÿçíûå ãðàôû 68 Ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû ñ ìèíèìàëüíûì êîëè÷åñòâîì âåðøèí ñòåïåíè k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3 2.2 Ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.3 Ñòðóêòóðà ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ ïðè k ≤ 5 . . . . 109 Ãèïåðäåðåâî è òåîðåìà ðàçáèåíèÿ 118 3.1 Ãèïåðãðàô è ãèïåðäåðåâî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.2 Ãèïåðäåðåâî Struct(V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2 3 ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ 4 5 Êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè 124 4.1 Íåêîòîðûå òåõíè÷åñêèå ëåììû . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.2 Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè . . . . . . . 130 Óäàëåíèå âåðøèí èç 5.1 k -ñâÿçíîãî ãðàôà 137 Óäàëåíèå âåðøèí èç äâóñâÿçíîãî ãðàôà ñ ñîõðàíåíèåì äâóñâÿçíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.2 6 Óäàëåíèå âåðøèí èç k -ñâÿçíîãî ãðàôà ïðè k > 2 . . . . . . . 140 Îñòîâíûå äåðåâüÿ 6.1 Íèæíÿÿ îöåíêà íà u(G) ÷åðåç êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíåé 3 è íå ìåíåå 4 6.2 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Íèæíÿÿ îöåíêà íà u(G) ÷åðåç êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíåé 1, 3 è íå ìåíåå 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.3 Íèæíÿÿ îöåíêà íà u(G), ó÷èòûâàþùàÿ âåðøèíû ñòåïåíè 2 . 228 Ëèòåðàòóðà 238 Ââåäåíèå Òåîðèÿ ãðàôîâ ÿâëÿåòñÿ âàæíûì, èíòåðåñíûì è äèíàìè÷íî ðàçâèâàþùèìñÿ ðàçäåëîì äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè. Îäíèì èç êëàññè÷åñêèõ íàïðàâëåíèé èññëåäîâàíèé â òåîðèè ãðàôîâ ÿâëÿþòñÿ èññëåäîâàíèÿ ïî âåðøèííîé ñâÿçíîñòè ãðàôîâ. Ïîíÿòèå k -ñâÿçíîãî ãðàôà ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà. Ýòî ïîä÷åðêèâàåò è êëàññè÷åñêàÿ òåîðåìà Ìåíãåðà, ñ êîòîðîé â 1927 ãîäó ôàêòè÷åñêè íà÷àëèñü èññëåäîâàíèÿ ïî ñâÿçíîñòè. Èõ ïðîäîëæèëè Óèòíè, Òàòò, Ôîðä è Ôàëêåðñîí, Äèðàê, Õàëèí, Ìàäåð è äðóãèå. Â 60-80 ãîäû XX âåêà áûë âñïëåñê èíòåðåñà ê ñâÿçíîñòè ãðàôîâ. Ñåé÷àñ ïðîäîëæàþò ïîÿâëÿòüñÿ íîâûå ðàáîòû ïî ýòîé òåìàòèêå, ïóñòü è íå â òàêîì êîëè÷åñòâå, êàê 30 ëåò íàçàä. Äèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ ñòðóêòóðû âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ íàèìåíüøåãî ðàçìåðà â ãðàôå. Îñòàíîâèìñÿ íà êëàññè÷åñêèõ àíàëîãàõ ðåøàåìûõ â äèññåðòàöèè çàäà÷. Ïîíÿòèÿ áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà õîðîøî èçâåñòíû è âåñüìà ïîëåçíû, ñ èõ ïîìîùüþ äîêàçàíî íåìàëî óòâåðæäåíèé, ïðè÷åì íå òîëüêî î ñâÿçíîñòè ãðàôîâ. Ïîìîãàåò ðàáîòàòü ñ áëîêàìè ñòðóêòóðà äåðåâà áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ, îïèñàííàÿ, íàïðèìåð, â êëàññè÷åñêîé êíèãå Ô. Õàðàðè Òåîðèÿ ãðàôîâ [57]. Èìåííî ñòðóêòóðà äåðåâà ïîçâîëÿåò óñïåøíî ïðèìåíÿòü áëîêè â äîêàçàòåëüñòâàõ. Ïîýòîìó íåîäíîêðàòíî âîçíèêàëè âîïðîñû îá àíàëîãè÷íîé ñòðóêòóðå äëÿ ãðàôîâ áîëüøåé ñâÿçíîñòè. Íî äàæå ñòðóêòóðà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà åãî äâóõâåðøèííûìè ðàçäåëÿþùèìè ìíîæåñòâàìè, ïîñòðîåíí4 5 ÂÂÅÄÅÍÈÅ íàÿ Â. T. Òàòòîì â 1966 ãîäó [36], íàìíîãî ñëîæíåå. Ãëàâíàÿ ïðè÷èíà â òîì, ÷òî óæå äâóõâåðøèííûå ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà ìîãóò áûòü çàâèñèìû, òî åñòü, ðàçáèâàòü äðóã äðóãà íà ÷àñòè. Ïîýòîìó íåâîçìîæíî ïîñòðîèòü äðåâîâèäíóþ ñòðóêòóðó, ïîñëåäîâàòåëüíî ïðîâîäÿ ðàçðåçû äâóñâÿçíîãî ãðàôà ïî äâóõâåðøèííûì ðàçäåëÿþùèì ìíîæåñòâàì: ðàçðåçàÿ ãðàô ïî íåêîòîðîìó ìíîæåñòâó, ìû òåðÿåì èíôîðìàöèþ îáî âñåõ çàâèñèìûõ ñ íèì ìíîæåñòâàõ, à ñòðóêòóðà, çàâèñÿùàÿ îò ïîðÿäêà ðàçáèåíèÿ, áåñïîëåçíà. Ê ñîæàëåíèþ, äåðåâî áëîêîâ äâóñâÿçíîãî ãðàôà, ïîñòðîåííîå Òàòòîì, ïðàêòè÷åñêè íå íàøëî ïðèìåíåíèÿ. Îäíàêî, ìíîãèå ðàáîòû, âûøåäøèå ïîçæå, ìîãëè áû áûòü çíà÷èòåëüíî óïðîùåíû ñ ïîìîùüþ ðåçóëüòàòîâ Òàòòà. Ñ ïîâûøåíèåì âåðøèííîé ñâÿçíîñòè ñëîæíîñòü ñòðóêòóðû âîçðàñòàåò ìíîãîêðàòíî. Òîëüêî â 2011 ãîäó äèññåðòàíò è À. Â. Ïàñòîð [54] çàâåðøèëè ðàáîòó ïî ïîñòðîåíèþ àíàëîãè÷íîé ñòðóêòóðû ðàçáèåíèÿ òð¼õñâÿçíîãî ãðàôà åãî òð¼õâåðøèííûìè ðàçäåëÿþùèìè ìíîæåñòâàìè. Ýòà ñòðóêòóðà íàìíîãî ñëîæíåå è ðàçíîîáðàçíåå, ÷åì ñòðóêòóðà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà. Èìåííî èññëåäîâàíèÿ ïî ñâÿçíîñòè ãðàôîâ ñïîñîáíû ïðèîòêðûòü íàì íîâûå èíâàðèàíòû ãðàôîâ, êîòîðûå áóäóò ïîëåçíû è â äðóãèõ îáëàñòÿõ ìàòåìàòèêè. Ïîýòîìó èìååò ñìûñë ïðîäîëæàòü òàêèå èññëåäîâàíèÿ, ñòðîèòü íîâûå ñòðóêòóðíûå èíâàðèàíòû ãðàôîâ è èçó÷àòü ïîñòðîåííûå ðàíåå. Òàê êàê îñíîâíûå ïðîáëåìû â îïèñàíèè ñòðóêòóðû ðàçáèåíèÿ k -ñâÿçíîãî ãðàôà ïðè k ≥ 2 ïðåäñòàâëÿþò ïàðû çàâèñèìûõ ìíîæåñòâ, â ïåðâîé ãëàâå äèññåðòàöèè ìû ñîñðåäîòî÷èìñÿ íà îïèñàíèè ñòðóêòóðû ðàçáèåíèÿ ãðàôà íàáîðàìè èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ (äëÿ ïðîèçâîëüíîãî k ). Ïîëó÷àåòñÿ äåðåâî, ïî ñâîéñòâàì âî ìíîãîì àíàëîãè÷íîå äåðåâó áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà. ×àñòíûì ñëó÷àåì ïîñòðîåííîé ñòðóêòóðû ÿâëÿåòñÿ äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà, ïîõîæåå íà êîíòðóêöèþ Òàòòà. Íåêîòîðûå ïðèìåíåíèÿ ïîñòðîåííûõ êîíñòðóêöèé ïîêàçàíû â ïåðâîé ãëàâå. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Âî 6 âòîðîé ñ ïîìîùüþ ïîñòðîåííûõ â ïåðâîé ãëàâå êîíñòðóêöèé èññëå- äóþòñÿ ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû. Â òðåòüåé ãëàâå äîêàçûâàåòñÿ òåîðåìà î ðàçáèåíèè àáñòðàêòíîå óòâåð- æäåíèå î ñòðóêòóðå, îáîáùàþùåé êëàññè÷åñêîå äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà. Â ÷åòâåðòîé ãëàâå ñ ïîìîùüþ òåîðåìû î ðàçáèåíèè èçó÷àåòñÿ ñòðóêòóðà âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè ïðîèçâîëüíîãî íàáîðà k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ k -ñâÿçíîãî ãðàôà. Â ïÿòîé ãëàâå äîêàçûâàþòñÿ òåîðåìû îá îäíîâðåìåííîì óäàëåíèè íåñêîëü- êèõ âåðøèí èç k -ñâÿçíîãî ãðàôà áåç ïîòåðè k -ñâÿçíîñòè. Â øåñòîé ãëàâå äîêàçûâàþòñÿ íèæíèå îöåíêè íà ìàêñèìàëüíîå êîëè÷å- ñòâî ëèñòüåâ â îñòîâíîì äåðåâå ñâÿçíîãî ãðàôà. Íîâûé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ îñòîâíûõ äåðåâüåâ ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì ëèñòüåâ, ïðåäëîæåííûé äèññåðòàíòîì, îñíîâàí êàê ðàç íà èñïîëüçîâàíèè áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Âìåñòå ñ êëàññè÷åñêèìè ìåòîäàìè ýòî ïîçâîëÿåò ó÷èòûâàòü â îöåíêàõ âèñÿ÷èå âåðøèíû èñõîäíîãî ñâÿçíîãî ãðàôà, ÷òî íå ïîëó÷àëîñü ñäåëàòü ðàíåå. Äàëåå ñëåäóþò îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ è áîëåå ïîäðîáíûé ðàññêàç î ðåçóëüòàòàõ äèññåðòàöèè. Îáîçíà÷åíèÿ Ìû ðàññìàòðèâàåì íåîðèåíòèðîâàííûå ãðàôû áåç ïåòåëü è êðàòíûõ ð¼áåð. Â ðàáîòå áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ ñòàíäàðòíûå îáîçíà÷åíèÿ. Ìíîæåñòâî âåðøèí ãðàôà G ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç V (G). Ìíîæåñòâî ð¼áåð ãðàôà G ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç E(G). Äëÿ êîëè÷åñòâà âåðøèí è ð¼áåð ãðàôà G ìû èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèÿ v(G) è e(G) ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ ìíîæåñòâ âåðøèí A, B ⊂ V (G) îáîçíà÷èì ÷åðåç eG (A, B) êîëè÷åñòâî ð¼áåð ãðàôà G, ó êîòîðûõ îäèí êîíåö 7 ÂÂÅÄÅÍÈÅ ëåæèò â A, à äðóãîé â B . Îïðåäåëåíèå 1. Ïóñòü R ⊂ V (G) ∪ E(G). 1) ×åðåç G − R ìû îáîçíà÷èì ãðàô, ïîëó÷åííûé èç G â ðåçóëüòàòå óäàëåíèÿ âñåõ âåðøèí è ð¼áåð ìíîæåñòâà R, à òàêæå âñåõ ð¼áåð, èíöèäåíòíûõ âåðøèíàì èç R. 2) Ïóñòü x, y ∈ V (G). Åñëè xy ∈ / E(G), òî îáîçíà÷èì ÷åðåç G + xy ãðàô G, ê êîòîðîìó äîáàâëåíî ðåáðî xy . Åñëè xy ∈ E(G), òî ãðàô G + xy ñîâàäàåò ñ G. 3) Íàçîâ¼ì ìíîæåñòâî R ðàçäåëÿþùèì, åñëè ãðàô G − R íåñâÿçåí. ×åðåç R(G) îáîçíà÷èì íàáîð, ñîñòîÿùèé èç âñåõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ ãðàôà G. ×åðåç dG (x) îáîçíà÷èì ñòåïåíü âåðøèíû x â ãðàôå G. Ìèíèìàëüíóþ ñòåïåíü âåðøèíû ãðàôà G îáîçíà÷èì ÷åðåç δ(G), à ìàêñèìàëüíóþ ñòåïåíü ÷åðåç ∆(G). Âåðøèíà x ãðàôà G íàçûâàåòñÿ âèñÿ÷åé, åñëè dG (x) = 1. Åñëè ãðàô G äåðåâî, åãî âèñÿ÷èå âåðøèíû ÷àñòî íàçûâàþò ëèñòüÿìè. Äëÿ ðåáðà e ∈ E(G) ÷åðåç G · e ìû îáîçíà÷èì ãðàô, ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå ñòÿãèâàíèÿ ðåáðà e (êîíöû ðåáðà e = xy ñòÿãèâàþòñÿ â íîâóþ âåðøèíó x · y , c êîòîðîé â ãðàôå G · e áóäóò ñìåæíû âñå îòëè÷íûå îò x è y âåðøèíû, ñìåæíûå â G õîòÿ áû ñ îäíèì èç êîíöîâ ðåáðà e). ×åðåç χ(G) îáîçíà÷àåì õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ãðàôà G, òî åñòü, íàèìåíüøåå âîçìîæíîå êîëè÷åñòâî öâåòîâ â ïðàâèëüíîé ðàñêðàñêå âåðøèí ýòîãî ãðàôà. Äëÿ âåðøèíû x ∈ V (G) ÷åðåç NG (x) îáîçíà÷èì åå îêðåñòíîñòü â ãðàôå G, òî åñòü, ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí ãðàôà G, ñìåæíûõ ñ x. Ïóñòü X ⊂ V (G). ×åðåç NG (X) îáîçíà÷èì îêðåñòíîñòü ýòîãî ìíîæåñòâà â ãðàôå G, òî åñòü, ìíîæåñòâî âñåõ íå ïðèíàäëåæàùèõ X âåðøèí, ñìåæíûõ õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç X . 8 ÂÂÅÄÅÍÈÅ ×åðåç G(X) îáîçíà÷èì èíäóöèðîâàííûé ïîäãðàô ãðàôà G íà ìíîæåñòâå âåðøèí X (òî åñòü, ãðàô ñ ìíîæåñòâîì âåðøèí X è âñåìè ð¼áðàìè ãðàôà G, îáà êîíöà êîòîðûõ ëåæàò â X ). ×åðåç Kn îáîçíà÷èì ïîëíûé ãðàô íà n âåðøèíàõ. Âåðøèííàÿ ñâÿçíîñòü Îäíèì èç îñíîâíûõ ïîíÿòèé â òåîðèè ãðàôîâ ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ñâÿçíî- ñòè. Ãðàô íàçûâàåòñÿ ñâÿçíûì, åñëè ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ åãî âåðøèíàìè ñóùåñòâóåò ïóòü. Ìíîæåñòâî âåðøèí íåñâÿçíîãî ãðàôà ðàçáèâàåòñÿ íà êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè. (Ïîä êîìïîíåíòîé ñâÿçíîñòè ìû ïîíèìàåì ìàêñèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâî âåðøèí ãðàôà, ëþáûå äâå èç êîòîðûõ ñâÿçàíû ïóòåì.) Îïðåäåëåíèå 2. 1) Ãðàô íàçûâàåòñÿ (âåðøèííî) k -ñâÿçíûì, åñëè â íåì íå ìåíåå k + 1 âåðøèí è ïðè óäàëåíèè ëþáûõ k − 1 âåðøèí ïîëó÷àåòñÿ ñâÿçíûé ãðàô. 2) Ñâÿçíîñòüþ äâóõ âåðøèí x è y ãðàôà G íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî âåðøèí, êîòîðîå íåîáõîäèìî óäàëèòü èç G äëÿ òîãî, ÷òîáû â îñòàâøåìñÿ ãðàôå âåðøèíû x è y îêàçàëèñü â ðàçíûõ êîìïîíåíòàõ ñâÿçíîñòè. Âåðøèííàÿ ñâÿçíîñòü äâóõ ñìåæíûõ âåðøèí ñ÷èòàåòñÿ ðàâíîé +∞. Îáîçíà÷àåòñÿ âåðøèííàÿ ñâÿçíîñòü x è y ÷åðåç κG (x, y). Òàêèì îáðàçîì, ãðàô ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â íåì õîòÿ áû k + 1 âåðøèíà è κG (x, y) ≥ k äëÿ ëþáûõ äâóõ âåðøèí x è y . Íà÷àëî èññëåäîâàíèé ñâîéñòâ âåðøèííîé ñâÿçíîñòè ãðàôà ïîëîæèë â 1927 ãîäó Ê. Ìåíãåð [28], äîêàçàâøèé ñëåäóþùóþ òåîðåìó: äëÿ ëþáûõ äâóõ íåñìåæíûõ âåðøèí x, y ñâÿçíîñòü κG (x, y) ðàâíÿåòñÿ íàèáîëüøåìó êîëè÷åñòâó íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïðîñòûõ ïóòåé ìåæäó x è y â ãðàôå G. Ïîçæå, â 1932 ãîäó, Õ. Óèòíè äîêàçàë, ÷òî â k -ñâÿçíîì ãðàôå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ âåðøèíàìè åñòü k ïóòåé áåç îáùèõ âíóòðåííèõ âåðøèí. Îáðàòíîå 9 ÂÂÅÄÅÍÈÅ óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Òåì ñàìûì, ïîíÿòèå âåðøèííîé k -ñâÿçíîñòè ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ ñâÿçíîñòè. Ñ ýòèì ñâÿçàíû è ïîïûòêè îáîáùèòü êëàññè÷åñêèå ðåçóëüòàòû äëÿ ñâÿçíûõ ãðàôîâ íà ãðàôû áîëüøåé ñâÿçíîñòè. Ïîíÿòíî, ÷òî ìèíèìàëüíàÿ ñòåïåíü âåðøèíû k -ñâÿçíîãî ãðàôà íå ìåíåå k . Â ñâÿçè ñ ýòèì ìíîãèå èññëåäîâàòåëè èçó÷àëè âåðøèíû ñòåïåíè k â k -ñâÿçíîì ãðàôå. Ñóùåñòâåííàÿ ÷àñòü äèññåðòàöèè òàêæå ïîñâÿùåíà ýòîìó. Îïðåäåëèì äâà âàæíûõ ïîíÿòèÿ. Îïðåäåëåíèå 3. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô. 1) Ãðàô G íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì, åñëè v(G) ≥ k + 2 è äëÿ ëþáîé âåðøèíû x ∈ V (G) ãðàô G − x íå ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì. 2) Ãðàô G íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî ðåáðà e ∈ E(G) ãðàô G − e íå ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì. Êðèòè÷åñêèå k -ñâÿçíûå ãðàôû èññëåäîâàëèñü, íà÷èíàÿ ñ 70-õ ãîäîâ 20 âåêà, â ðàáîòàõ [5, 14, 29]. Â îñíîâíîì, èññëåäîâàíèÿ ïîñâÿùåíû äîêàçàòåëüñòâó íàëè÷èÿ âåðøèí ñòåïåíè k â êðèòè÷åñêèõ ãðàôàõ è îöåíêå êîëè÷åñòâà òàêèõ âåðøèí. Ïðî ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû èçâåñòíî äîâîëüíî ìíîãî. Îíè èçó÷àëèñü ñ êîíöà 60-õ ãîäîâ 20 âåêà â ðàáîòàõ [7, 31, 24, 25, 30] è äðóãèõ. Èññëåäîâàíèÿ ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ òàêæå â îñíîâíîì ïîñâÿùåíû îöåíêå êîëè÷åñòâà âåðøèí ñòåïåíè k â òàêèõ ãðàôàõ. Ïîäðîáíåå î ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôàõ ìû ñêàæåì ïîçæå. Äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ Äèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ äåðåâüåâ, â òîé èëè èíîé ñòåïåíè îòîáðàæàþùèõ ñòðóêòóðó ñâÿçíîñòè ãðàôà. Íàèáîëåå êëàññè÷åñêèì îáúåêòîì òàêîãî ðîäà ÿâëÿåòñÿ äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Ìû íàïîìíèì ïîíÿòèÿ áëîêà è òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà, à òàêæå ðÿä èõ ñâîéñòâ. 10 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ïîäðîáíåå î íèõ ìîæíî ïðî÷èòàòü, íàïðèìåð, â êíèãå [57]. Îïðåäåëåíèå 4. Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô. Âåðøèíà a ∈ V (G) íàçûâà- åòñÿ òî÷êîé ñî÷ëåíåíèÿ, åñëè ãðàô G − a íåñâÿçåí. Áëîêîì íàçûâàåòñÿ ëþáîé ìàêñèìàëüíûé ïî âêëþ÷åíèþ ïîäãðàô ãðàôà G, íå èìåþùèé òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ ýòî êàê ðàç îäíîâåðøèííûå ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà. Áëîêè è òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ ýòî ìîùíûé è ïîëåçíûé èíñòðóìåíò ðàáîòû ñ ãðàôàìè, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî äîêàçàíî ìíîæåñòâî ôàêòîâ, ïðè÷åì íå òîëüêî èç òåîðèè ñâÿçíîñòè. Â äîêàçàòåëüñòâàõ ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ, êîòîðîå ìû ñåé÷àñ îïðåäåëèì. Îïðåäåëåíèå 5. Äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G ýòî äâó- äîëüíûé ãðàô B(G), âåðøèíû îäíîé äîëè êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò âñåì òî÷êàì ñî÷ëåíåíèÿ a1 , . . . , an ãðàôà G, à äðóãîé âñåì åãî áëîêàì B1 , . . . , Bn (ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ýòè âåðøèíû òàê æå, êàê è áëîêè). Âåðøèíû ai è Bj ñìåæíû, åñëè è òîëüêî åñëè ai ∈ V (Bj ). Íåñëîæíî äîêàçàòü, ÷òî äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ýòî äåéñòâèòåëüíî äåðåâî, âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò áëîêàì (äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [57]). Èìåííî ñòðóêòóðà äåðåâà ïîìîãàåò ðàáîòàòü ñ áëîêàìè è òî÷êàìè ñî÷ëåíåíèÿ. Ïîýòîìó íåîäíîêðàòíî âîçíèêàëè è âîçíèêàþò ïîïûòêè ïîñòðîåíèÿ äëÿ ãðàôîâ áîëüøåé ñâÿçíîñòè ñòðóêòóðû, àíàëîãè÷íîé ïî ñâîèì ñâîéñòâàì äåðåâó áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Íåêîòîðûå èç òàêèõ ñòðóêòóð îïèñûâàþòñÿ â ïåðâîé ãëàâå äèññåðòàöèè. ×àñòè ðàçáèåíèÿ, ãðàíèöà è âíóòðåííîñòü Ïåðåä îïèñàíèåì ðåçóëüòàòîâ äèññåðòàöèè îïðåäåëèì íåîáõîäèìûå íàì ïîíÿòèÿ. Âïåðâûå îïðåäåëåííûå äèññåðòàíòîì â [43], îíè îêàçàëèñü óäîá- 11 ÂÂÅÄÅÍÈÅ íû äëÿ îïèñàíèÿ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ â ãðàôå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Rk (G) íàáîð, ñîñòîÿùèé èç âñåõ k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ ãðàôà G. Îïðåäåëåíèå 6. Ïóñòü S ⊂ Rk (G). 1) Ìíîæåñòâî A ⊂ V (G) íàçîâåì ÷àñòüþ S-ðàçáèåíèÿ, åñëè íèêàêèå äâå âåðøèíû èç A íåëüçÿ ðàçäåëèòü íèêàêèì ìíîæåñòâîì èç S, íî ëþáàÿ äðóãàÿ âåðøèíà ãðàôà G îòäåëåíà îò ìíîæåñòâà A õîòÿ áû îäíèì èç ìíîæåñòâ íàáîðà S. Ìíîæåñòâî âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G íàáîðîì ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ S ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Part(S). (Â ñëó÷àå, êîãäà íåî÷åâèäíî, êàêîé ãðàô ðàçáèâàåòñÿ, ìû áóäåì ïèñàòü Part(G; S).) 2) Âåðøèíû ÷àñòè A ∈ Part(S) íàçîâåì âíóòðåííèìè, åñëè îíè íå âõîäÿò íè â îäíî èç ìíîæåñòâ íàáîðà S. Ìíîæåñòâî òàêèõ âåðøèí íàçîâåì âíóòðåííîñòüþ ÷àñòè A è áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Int(A). Âåðøèíû, âõîäÿùèå â êàêèå-ëèáî ìíîæåñòâà èç S ìû áóäåì íàçûâàòü ãðàíè÷íûìè, à âñå èõ ìíîæåñòâî ãðàíèöåé è îáîçíà÷àòü ÷åðåç Bound(A). Çàìå÷àíèå. Åñëè A, B ∈ Part(S) äâå ðàçëè÷íûå ÷àñòè, òî ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî S ∈ S, îòäåëÿþùåå A îò B . Ïîíÿòíî, ÷òî òîãäà A ∩ B ⊂ S . Ñëåäóþùàÿ ëåììà ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîíÿòèÿ ãðàíèöû è âíóòðåííîñòè ÷àñòè ðàçáèåíèÿ ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû íåçàâèñèìî îò íàáîðà ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ S. Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû íåñëîæíî è ïðèâåäåíî â ãëàâå 4. Ëåììà 4.3. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, S ⊂ Rk (G) è A ∈ Part(S). Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Âåðøèíà x ∈ Int(A) íå ñìåæíà íè ñ îäíîé èç âåðøèí ìíîæåñòâà V (G) \ A. Ãðàíèöà Bound(A) ñîñòîèò èç âñåõ âåðøèí ÷àñòè A, èìåþùèõ ñìåæíûå âåðøèíû â V (G) \ A. 2) Åñëè Int(A) 6= ∅, òî Bound(A) îòäåëÿåò Int(A) îò V (G) \ A. 12 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ýòèõ ïîíÿòèé ñàìûé ïðîñòîé, è â òî æå âðåìÿ î÷åíü âàæíûé ñëó÷àé: ðàçáèåíèå k -ñâÿçíîãî ãðàôà îäíèì k -âåðøèííûì ðàçäåëÿþùèì ìíîæåñòâîì S . ×òî òàêîå òîãäà ÷àñòü A ∈ Part(S)? Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî åå âíóòðåííîñòü Int(A) ýòî êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà G − S , à ñàìà ÷àñòü A ïîëó÷àåòñÿ äîáàâëåíèåì ê ýòîé êîìïîíåíòå âåðøèí ìíîæåñòâà S . Ñëåäîâàòåëüíî, èíäóöèðîâàííûé ïîäãðàô G(A) ñâÿçåí è èç êàæäîé âåðøèíû ìíîæåñòâà S âûõîäèò õîòÿ áû îäíî ðåáðî ê âåðøèíàì èç Int(A). Âåðíåìñÿ ê ñëó÷àþ k = 1 è îòìåòèì, ÷òî òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà G ýòî åãî ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà, èç íèõ ñîñòîèò R1 (G). Ìíîæåñòâà âåðøèí âñåõ áëîêîâ ýòî ÷àñòè Part(R1 (G)). Ñ ïîìîùüþ ïîíÿòèÿ ÷àñòè ðàçáèåíèÿ óäîáíî îïèñûâàòü ñâîéñòâà áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè Äåðåâî ðàçáèåíèÿ Íåîäíîêðàòíî âîçíèêàëè è âîçíèêàþò ïîïûòêè ïîñòðîåíèÿ äëÿ ãðàôîâ áîëüøåé ñâÿçíîñòè ñòðóêòóðû, àíàëîãè÷íîé ïî ñâîèì ñâîéñòâàì äåðåâó áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Â ïåðâîé ãëàâå äèññåðòàöèè ìû ïðåäëîæèì íàø âçãëÿä íà ýòó ïðîáëåìó è ïîñòðîèì äåðåâî ðàçáèåíèÿ äëÿ íàáîðà èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ â k -ñâÿçíîì ãðàôå. ×àñòíûì ñëó÷àåì ýòîé êîíñòðóêöèè ÿâëÿåòñÿ äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà êîíñòðóêöèÿ, â öåëîì àíàëîãè÷íàÿ äåðåâó, ïîñòðîåííîìó Òàòòîì [36]. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñòðóêòóðû ìû èñïîëüçóåì îïðåäåëåííîå âûøå ïîíÿòèå ÷àñòè ðàçáèåíèÿ. Íà÷íåì ñ íåîáõîäèìûõ îïðåäåëåíèé. Îïðåäåëåíèå 7. Ïóñòü R ⊂ V (G) ∪ E(G). 1) Ïóñòü X, Y ⊂ V (G), X 6⊂ R, Y 6⊂ R. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî R îòäå- ëÿåò ìíîæåñòâî X îò ìíîæåñòâà Y , åñëè íèêàêèå äâå âåðøèíû vx ∈ X 13 ÂÂÅÄÅÍÈÅ è vy ∈ Y íå ëåæàò â îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ãðàôà G − R. 2) Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî R ðàçäåëÿåò ìíîæåñòâî X ⊂ V (G), åñëè íå âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà X \ R ëåæàò â îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ãðàôà G − R. Îïðåäåëåíèå 8. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô. Íàçîâåì ìíîæåñòâà S, T ∈ Rk (G) íåçàâèñèìûìè, åñëè S íå ðàçäåëÿåò T è T íå ðàçäåëÿåò S . Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìû áóäåì íàçûâàòü ýòè ìíîæåñòâà çàâèñèìûìè. Ê ñîæàëåíèþ, ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùèå èç k ≥ 2 âåðøèí, ìîãóò áûòü çàâèñèìûìè. Èìåííî ñ ýòèì ñâÿçàíû îñíîâíûå òðóäíîñòè â èçó÷åíèè k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ ïðè k ≥ 2. Â ðàáîòàõ [17, 53] äîêàçàíî, ÷òî äëÿ ìíîæåñòâ S, T ∈ Rk (G) âîçìîæíû äâà âàðèàíòà: ëèáî îíè íåçàâèñèìû, ëèáî êàæäîå èç íèõ ðàçäåëÿåò äðóãîå. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà î÷åíü ïðîñòîå. Íàëè÷èå ïàð çàâèñèìûõ ìíîæåñòâ ìåøàåò ïîñòðîèòü íà ìíîæåñòâàõ èç Rk (G) è ÷àñòÿõ èç Part(Rk (G)) îòîáðàæàþùåå èõ ñòðóêòóðó äåðåâî, ïîõîæåå íà äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Îäíàêî, òàêóþ ñòðóêòóðó ìîæíî ïîñòðîèòü äëÿ íàáîðà èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ, ÷òî ìû ïîêàæåì äàëåå. Îïðåäåëåíèå 9. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, S ⊂ Rk (G), ïðè÷åì âñå ìíîæåñòâà íàáîðà S ïîïàðíî íåçàâèñèìû. Ïîñòðîèì äåðåâî ðàçáèåíèÿ T (G, S) ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âåðøèíû îäíîé äîëè T (G, S) ýòî ìíîæåñòâà èç S, à âåðøèíû äðóãîé äîëè ÷àñòè Part(S). Îáîçíà÷àòü âåðøèíû T (G, S) ìû áóäåì òàê æå, êàê ñîîòâåòñòâóþùèå ìíîæåñòâà âåðøèí ãðàôà G. Âåðøèíû S ∈ S è A ∈ Part(S) ñìåæíû â T (G, S), åñëè è òîëüêî åñëè S ⊂ A. Ïîñòðîåíèå T (G, S) àíàëîãè÷íî ïîñòðîåíèþ äåðåâà áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Àíàëîãè÷íûìè áóäóò è åãî ñâîéñòâà. 14 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Òåîðåìà 1.1. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ Rk (G) íàáîð, ñîñòîÿ- ùèé èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) T (G, S) ýòî äåðåâî. 2) Äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà S ∈ S âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî dT (G,S) (S) = |Part(S)|. Áîëåå òîãî, äëÿ êàæäîé ÷àñòè A ∈ Part(S) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ÷àñòü B ∈ Part(S), òàêàÿ ÷òî B ⊂ A è B ñìåæíà ñ S â T (G, S). Âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâà T (G, S) ñîîòâåòñòâóþò ÷àñòÿì Part(S). 3) Ìíîæåñòâî S ðàçäåëÿåò â ãðàôå G ÷àñòè B, B 0 ∈ Part(S) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà S ðàçäåëÿåò B è B 0 â T (G, S). Òåîðåìà âêëþ÷åíà â ãëàâó 1 äèññåðòàöèè. Äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà ×àñòíûì ñëó÷àåì äåðåâà ðàçáèåíèÿ ÿâëÿåòñÿ äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà. Äàäèì íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ. Äàëåå äî êîíöà ðàçäåëà ãðàô G áóäåò äâóñâÿçíûì. Îáúåêòîì ðàññìîòðåíèÿ áóäóò ìíîæåñòâà èç R2 (G). Îïðåäåëåíèå 10. Íàçîâåì ìíîæåñòâî S ∈ R2 (G) îäèíî÷íûì, åñëè îíî íåçàâèñèìî ñî âñåìè äðóãèìè ìíîæåñòâàìè èç R2 (G). Îáîçíà÷èì ÷åðåç O(G) íàáîð, ñîñòîÿùèé èç âñåõ îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ ãðàôà G. Â 1966 ãîäó Â. Ò. Òàòò [36] îïèñàë ñòðóêòóðó âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ äâóõâåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ â äâóñâÿçíîì ãðàôå èìåííî ñ ïîìîùüþ äåðåâà, êîòîðîå îí íàçâàë T (G). Ýòî äåðåâî ïî÷òè ÷òî äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà îäèíî÷íûìè ðàçäåëÿþùèìè ìíîæåñòâàìè (òîëüêî ýòè ìíîæåñòâà è ñàìî äåðåâî áûëè îïðåäåëåíû â êíèãå Òàòòà áîëåå ñëîæíûì îáðàçîì). 15 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ìû ïîñòðîèì ïîõîæåå äåðåâî ñ ïîìîùüþ ðàçðàáîòàííîé âûøå òåõíèêè. Ïîíÿòíî, ÷òî îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà ïîïàðíî íåçàâèñèìû, ÷òî ïîçâîëÿåò íàì äàòü ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëåíèå 11. 1) Äåðåâî ðàçáèåíèÿ BT(G) äâóñâÿçíîãî ãðàôà G ýòî äåðåâî T (G, O(G)). 2) Áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå Part(G) âìåñòî Part(O(G)) è íàçûâàòü ÷àñòè ýòîãî ðàçáèåíèÿ ïðîñòî ÷àñòÿìè ãðàôà G. ×àñòü A ∈ Part(G) íàçîâåì êðàéíåé, åñëè îíà ñîîòâåòñòâóåò âèñÿ÷åé âåðøèíå äåðåâà ðàçáèåíèÿ BT(G). Çàìå÷àíèå. 1) Èç òåîðåìû 1.1 ñëåäóåò, ÷òî BT(G) äåðåâî, âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò êðàéíèì ÷àñòÿì Part(G). 2) Åñëè A ∈ Part(G) êðàéíÿÿ ÷àñòü, òî Bound(A) îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî ãðàôà G. Äàëåå ìû õàðàêòåðèçóåì ÷àñòè ãðàôà G è èçó÷èì ðàñïîëîæåíèå íåîäèíî÷íûõ äâóõâåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ â ýòîì ãðàôå. Îïðåäåëåíèå 12. 1) Äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G îáîçíà÷èì ÷åðåç G0 ãðàô, ïîëó÷åííûé èç G äîáàâëåíèåì âñåõ îòñóòñòâóþùèõ â E(G) ðåáåð âèäà ab, ãäå {a, b} ∈ O(G). 2) Íàçîâ¼ì ÷àñòü A ∈ Part(G) öèêëîì, åñëè ãðàô G0 (A) ïðîñòîé öèêë è áëîêîì, åñëè ãðàô G0 (A) òð¼õñâÿçåí. Åñëè ÷àñòü A öèêë, òî ìû áóäåì íàçûâàòü |A| äëèíîé öèêëà A. Òåîðåìà 1.2. Ïóñòü G äâóñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþ- ùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Êàæäàÿ ÷àñòü ãðàôà G áëîê èëè öèêë. 2) Ìíîæåñòâî R = {a, b} íåîäèíî÷íîå ìíîæåñòâî èç R2 (G), åñëè è òîëüêî åñëè a è b íåñîñåäíèå â öèêëè÷åñêîì ïîðÿäêå âåðøèíû íåêîòîðîé ÷àñòè-öèêëà. 16 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Òàêèì îáðàçîì, íåîäèíî÷íûå äâóõâåðøèííûå ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà ãðàôà G ñîîòâåòñòâóþò äèàãîíàëÿì ÷àñòåé-öèêëîâ, èìåþùèõ äëèíó õîòÿ áû 4. Ïðèìåíåíèå äåðåâà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà Âàæíî íå òîëüêî ïîñòðîèòü ñòðóêòóðó, íî è ïîêàçàòü, êàê îíà ïðèìåíÿåòñÿ. Óäèâèòåëüíî, íî ñòðóêòóðà Òàòòà ïðàêòè÷åñêè íå íàøëà ïðèìåíåíèÿ çà ñòîëüêî ëåò. Ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû ïîä÷åðêíóò àíàëîãèþ ìåæäó êëàññè÷åñêèìè äâóñâÿçíûìè áëîêàìè ñâÿçíîãî ãðàôà è ÷àñòÿìè ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà. Ìû ïðèìåíèì äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà äëÿ îöåíêè åãî õðîìàòè÷åñêîãî ÷èñëà. Ñ ïîìîùüþ äåðåâà ðàçáèåíèÿ ìû ïîéìåì, êàê âûãëÿäÿò êðèòè÷åñêèå äâóñâÿçíûå ãðàôû. Î÷åâèäíî, íåñâÿçíûé ãðàô ïëàíàðåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïëàíàðåí èíäóöèðîâàííûé ïîäãðàô íà êàæäîé èç åãî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè. Ïîíÿòíî, ÷òî ñâÿçíûé ãðàô ïëàíàðåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïëàíàðåí ëþáîé åãî áëîê. Â 1937 ãîäó Ìàêëåéí [20] èññëåäîâàë ïðîöåññ ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà íà àòîìû è ïîêàçàë ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Êóðàòîâñêîãî î õàðàêòåðèçàöèè íåïëàíàðíûõ ãðàôîâ, ÷òî äâóñâÿçíûé ãðàô ïëàíàðåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïëàíàðíû âñå åãî àòîìû. Ìû ïîêàæåì ñâÿçü ìåæäó àòîìàìè è ÷àñòÿìè äâóñâÿçíîãî ãðàôà è ïåðåôîðìóëèðóåì òåîðåìó Ìàêëåéíà â íàøèõ òåðìèíàõ: äâóñâÿçíûé ãðàô ïëàíàðåí åñëè è òîëüêî åñëè ïëàíàðíû èíäóöèðîâàííûå ïîäãðàôû íà âñåõ åãî ÷àñòÿõ-áëîêàõ. Ïîíÿòíî, ÷òî õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ñâÿçíîãî ãðàôà ðàâíî ìàêñèìóìó õðîìàòè÷åñêèõ ÷èñåë åãî äâóñâÿçíûõ áëîêîâ. Ìû äîêàæåì âåðõíèå îöåíêè íà õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ãðàôà ÷åðåç õðîìàòè÷åñêèå ÷èñëà åãî ïîäãðàôîâ, èíäóöèðîâàííûõ íà ÷àñòÿõ ðàçáèåíèÿ. Òåîðåìà 1.4. æäåíèÿ. Äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåð- 17 ÂÂÅÄÅÍÈÅ 1) χ(G) ≤ χ(G0 ) = max χ(G0 (A)). A∈Part(G) 2) χ(G) ≤ max χ(G(A)) + 1. A∈Part(G) max χ(G(A)) + 1 . A áëîê G Èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû áóäåò ïîíÿòíî, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèè ìàêñè- 3) χ(G) ≤ max 3, ìóìà â ïóíêòàõ 2 è 3 ê õðîìàòè÷åñêîìó ÷èñëó îäíîãî èç áëîêîâ ìîæíî íå ïðèáàâëÿòü 1, ïðè÷åì ýòîò áëîê ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíî. Ñïèñî÷íûå ðàñêðàñêè (list colorings) ïîÿâèëèñü îòíîñèòåëüíî íåäàâíî è ÿâëÿþòñÿ ñåé÷àñ âåñüìà ïîïóëÿðíûì îáúåêòîì äëÿ èññëåäîâàíèé. Êàæäîé âåðøèíå ãðàôà v ∈ V (G) ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ñïèñîê L(v) èç k öâåòîâ, ïîñëå ÷åãî ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðàâèëüíàÿ ðàñêðàñêà âåðøèí, â êîòîðîé êàæäàÿ âåðøèíà v äîëæíà áûòü ïîêðàøåíà â öâåò èç ñïèñêà L(v). Ìèíèìàëüíîå òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî k , ÷òî äëÿ ëþáûõ ñïèñêîâ èç k öâåòîâ ñóùåñòâóåò ïðàâèëüíàÿ ðàñêðàñêà âåðøèí ãðàôà G, îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç ch(G) (è íîñèò íàçâàíèå choice number èëè ñïèñî÷íîå õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî). Î÷åâèäíî, ch(G) ≥ χ(G). Ñ ïîìîùüþ äåðåâà ðàçáèåíèÿ ìû äîêàæåì îöåíêó íà ch(G). Òåîðåìà 1.5. Äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåð- æäåíèÿ. 1) ch(G) ≤ max ch(G(A)) + 2. A∈Part(G) max ch(G(A)) + 2 . A áëîê G Èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû áóäåò ïîíÿòíî, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèè ìàê2) ch(G) ≤ max 3, ñèìóìà â ïóíêòàõ 2 è 3 ê ñïèñî÷íîìó õðîìàòè÷åñêîìó ÷èñëó îäíîãî èç áëîêîâ ìîæíî íå ïðèáàâëÿòü 2, ïðè÷åì ýòîò áëîê ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíî. Êðîìå òîãî, ñ ïîìîùüþ äåðåâà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà ìû äîêàæåì íåñêîëüêî ôàêòîâ î ñòðóêòóðå êðèòè÷åñêèõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ. Ñëåäñòâèå 1.3. 1) Äâóñâÿçíûé ãðàô G ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì òîãäà è 18 ÂÂÅÄÅÍÈÅ òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå åãî ÷àñòè-áëîêè è ÷àñòè-òðåóãîëüíèêè èìåþò ïóñòóþ âíóòðåííîñòü. 2) Ïóñòü A ∈ Part(S) êðàéíÿÿ ÷àñòü êðèòè÷åñêîãî äâóñâÿçíîãî ãðàôà G, ñìåæíàÿ â BT(G) ñ îäèíî÷íûì ìíîæåñòâîì S . Òîãäà A öèêë äëèíû õîòÿ áû 4 è âñå âåðøèíû A, êðîìå äâóõ âåðøèí ìíîæåñòâà S , èìåþò â ãðàôå G ñòåïåíü 2. Â ðàáîòå [29] áûëî äîêàçàíî, ÷òî â êðèòè÷åñêîì äâóñâÿçíîì ãðàôå íà íå ìåíåå ÷åì 6 âåðøèíàõ åñòü õîòÿ áû 4 âåðøèíû ñòåïåíè 2. Èç ñëåäñòâèÿ 1.3 î÷åâèäíî ñëåäóåò àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ ãðàôîâ íà íå ìåíåå ÷åì 4 âåðøèíàõ. Ñ ïîìîùüþ ñëåäñòâèÿ 1.3 è äåðåâà ðàçáèåíèÿ áóäóò îïèñàíû âñå êðèòè÷åñêèå äâóñâÿçíûå ãðàôû, èìåþùèå ðîâíî 4 âåðøèíû ñòåïåíè 2. Â ãëàâå 1 ìû õàðàêòåðèçóåì ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû ñ ïîìîùüþ äåðåâà ðàçáèåíèÿ. Òåîðåìà 1.6. Äâóñâÿçíûé ãðàô G ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûì òîãäà è òîëü- êî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: (a) åñëè {a, b} ∈ R2 (G), òî âåðøèíû a è b íåñìåæíû; (b) äëÿ ëþáîãî áëîêà A ãðàôà G ãðàô G(A) íå èìååò íè îäíîãî ðåáðà . Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 1.6 ìîæíî âûÿñíèòü íåìàëî ôàêòîâ î ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôàõ. Ñëåäñòâèå 1.5. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà âû- ïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Åñëè A áëîê ãðàôà G, òî Int(A) = ∅. 2) Ïóñòü A êðàéíÿÿ ÷àñòü ãðàôà G, ñìåæíàÿ â BT(G) ñ îäèíî÷íûì ìíîæåñòâîì S . Òîãäà A öèêë, à âñå åãî âåðøèíû, êðîìå äâóõ âåðøèí ìíîæåñòâà S , èìåþò ñòåïåíü 2. 3) Ìíîæåñòâî âíóòðåííèõ âåðøèí ÷àñòåé ãðàôà G ñîñòîèò èç âñåõ âåðøèí ýòîãî ãðàôà, èìåþùèõ ñòåïåíü 2. 19 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Äåðåâî ðàçðåçîâ Ïåðåä îïèñàíèåì ýòîãî îáúåêòà íàì íåîáõîäèìî äàòü îïðåäåëåíèå ðàçðåçà è ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà ðàçðåçîì. Îïðåäåëåíèå 13. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô. 1) Áóäåì íàçûâàòü ðàçðåçîì k -ýëåìåíòíîå ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî èç âåðøèí è ð¼áåð ãðàôà G, ñîäåðæàùåå õîòÿ áû îäíî ðåáðî. Ìíîæåñòâî âñåõ ðàçðåçîâ ãðàôà G îáîçíà÷èì ÷åðåç T(G). 2) Äëÿ ðàçðåçà T ∈ T îáîçíà÷èì ÷åðåç V (T ) ìíîæåñòâî âñåõ âõîäÿùèõ â T âåðøèí, à ÷åðåç W (T ) ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ âåðøèí, âõîäÿùèõ â ðàçðåç T è âñåõ âåðøèí, èíöèäåíòíûõ ð¼áðàì ðàçðåçà T . Ðàçðåç îáúåêò, ïî ñâîéñòâàì ïîõîæèé íà âåðøèííîå ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî, íî èìåþùèé ñâîþ ñïåöèôèêó. Äëÿ ëþáîãî ðàçðåçà T ∈ T(G) ãðàô G − T èìååò äâå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè, ïóñòü ýòî U1 è U2 . Äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ T êîìïîíåíòû U1 è U2 ñîäåðæàò ïî îäíîìó êîíöó e. Òåïåðü îïðåäåëèì ÷àñòè ðàçáèåíèÿ ãðàôà ðàçðåçîì è ãðàíèöû ðàçðåçà. Îïðåäåëåíèå 14. 1) Ïóñòü T ∈ T(G), à U1 è U2 êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà G − T . Íàçîâåì ìíîæåñòâà Ai = Ui ∪ V (T ) ÷àñòÿìè ðàçáèåíèÿ ãðàôà G ðàçðåçîì T . Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå Part(T ) = {A1 , A2 }. 2) Ãðàíèöàìè ðàçðåçà T ìû áóäåì íàçûâàòü ìíîæåñòâà âåðøèí A1 ∩ W (T ) è A2 ∩ W (T ). Îïðåäåëåíèå 15. Ïóñòü S ⊂ T(G). Íàçîâåì ÷àñòÿìè ðàçáèåíèÿ ãðàôà G ìíîæåñòâîì ðàçðåçîâ S ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâà âèäà A= \ S∈S AS , ãäå AS ∈ Part(S). 20 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ìíîæåñòâî âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G ìíîæåñòâîì ðàçðåçîâ S áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Part(G; S). Â ñëó÷àå, êîãäà ÿñíî, êàêîé ãðàô ðàçáèâàåòñÿ, áóäåì óïîòðåáëÿòü îáîçíà÷åíèå Part(S). 3) Ãðàíèöåé ÷àñòè A ∈ Part(S) áóäåò ìíîæåñòâî Bound(A) âñåõ âåðøèí ýòîé ÷àñòè, ÿâëÿþùèõñÿ âåðøèíàìè ðàçðåçîâ èç S. Âíóòðåííîñòüþ ÷àñòè A áóäåò ìíîæåñòâî Int(A) = A \ Bound(A). Îïðåäåëåíèå 16. Ðàçðåçû S, T ∈ Tk (G) íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñ- ëè ìîæíî ââåñòè òàêèå îáîçíà÷åíèÿ Part(S) = {A1 , A2 }, Part(T ) = {B1 , B2 }, ÷òî A1 ⊃ B2 è B1 ⊃ A2 . Èíà÷å ìû áóäåì íàçûâàòü ðàçðåçû S è T çàâèñè- ìûìè. Îïðåäåëåíèå 17. 1) Ïóñòü S ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ïîïàðíî íåçàâè- ñèìûõ ðàçðåçîâ ãðàôà G. Äåðåâî ðàçðåçîâ ìíîæåñòâà S ýòî äâóäîëüíûé ãðàô BT(G, S): îäíó äîëþ îáðàçóþò ðàçðåçû èç S, à âòîðóþ ÷àñòè èç Part(S), ïðè÷åì ìíîæåñòâî S ∈ S è ÷àñòü A ∈ Part(S) ñìåæíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A ñîäåðæèò îäíó èç ãðàíèö ðàçðåçà S . 2) Åñëè ÷àñòü A ∈ Part(S) ñîîòâåòñòâóåò âèñÿ÷åé âåðøèíå äåðåâà BT(G, S), òî íàçîâåì òàêóþ ÷àñòü êðàéíåé. Êàê ìû âèäèì, îïðåäåëåíèå äåðåâà ðàçðåçîâ àíàëîãè÷íî îïðåäåëåíèþ äåðåâà ðàçáèåíèÿ, êîòîðîå äàíî â íà÷àëå ðàçäåëà, è îïðåäåëåíèþ êëàññè÷åñêîãî äåðåâà áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Ïîýòîìó íåóäèâèòåëüíî, ÷òî äåðåâî ðàçðåçîâ îáëàäàåò ïîõîæèìè ñâîéñòâàìè. Òåîðåìà 1.7. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ T(G) íàáîð èç ïî- ïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ, ïðè÷åì â S íåò äâóõ ðàçðåçîâ, ñîäåðæàùèõ îäíî è òî æå ðåáðî. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ãðàô BT(G, S) äåðåâî. 2) Ëþáîé ðàçðåç S ∈ S ñìåæåí â BT(G, S) ðîâíî ñ äâóìÿ ÷àñòÿìè Part(S), ïðè÷åì ýòè äâå ÷àñòè ñîäåðæàòñÿ â ðàçíûõ ÷àñòÿõ Part(S). 21 ÂÂÅÄÅÍÈÅ 3) Ðàçðåç S ∈ S îòäåëÿåò âåðøèíó B îò âåðøèíû C â BT(G, S), åñëè è òîëüêî åñëè S îòäåëÿåò ìíîæåñòâî B îò ìíîæåñòâà C â ãðàôå G. 4) Åñëè êðàéíÿÿ ÷àñòü A ∈ Part(S) ñìåæíà â BT(G, S) ñ ðàçðåçîì T , òî A ∈ Part(T ). 5) Êðàéíèå ÷àñòè Part(S) ýòî â òî÷íîñòè ìèíèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ÷àñòè ñðåäè âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G îäíèì ðàçðåçîì èç ìíîæåñòâà S. Ó÷òåì ñïåöèôèêó ðàçðåçîâ êàæäûé èç íèõ äåëèò ãðàô ðîâíî íà äâå ÷àñòè è îïðåäåëèì ñîêðàùåííûé âàðèàíò äåðåâà ðàçðåçîâ. Îïðåäåëåíèå 18. Ïóñòü S ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ïîïàðíî íåçà- âèñèìûõ ðàçðåçîâ ãðàôà G. Ìû ïîñòðîèì ãðàô PT(G, S) ñëåäóþùèì îáðàçîì: âåðøèíû ýòîãî ãðàôà ýòî ÷àñòè èç Part(S), ïðè÷åì ÷àñòè A, B ∈ Part(S) ñìåæíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîäåðæàò ãðàíèöû îäíîãî è òîãî æå ðàçðåçà èç S. Ñëåäñòâèå 1.6. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ T(G) íàáîð èç ïî- ïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ, ïðè÷åì â S íåò äâóõ ðàçðåçîâ, ñîäåðæàùèõ îäíî è òî æå ðåáðî. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ãðàô PT(G, S) äåðåâî. 2) Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ðåáðó AB äåðåâà PT(G, S) ðàçðåç èç S, ãðàíèöû êîòîðîãî ñîäåðæàòñÿ â ÷àñòÿõ A è B . Òîãäà ýòî îòîáðàæåíèå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ð¼áðàìè äåðåâà PT(G, S) è ðàçðåçàìè èç S. 3) |Part(S)| = |S| + 1. 4) Ïóñòü R ãðàíèöà îäíîãî èç ðàçðåçîâ íàáîðà S. Òîãäà ñóùåñòâóåò ðîâíî îäíà ÷àñòü Part(S), ñîäåðæàùàÿ R. 5) Åñëè ÷àñòè A, B ∈ Part(S) ñìåæíû â äåðåâå BT(G, S) ñ îäíèì ðàçðåçîì S , òî A ∩ B = V (S). 22 ÂÂÅÄÅÍÈÅ 6) Åñëè ÷àñòè A, B ∈ Part(S) ñìåæíû â äåðåâå PT(G, S), òî |A ∩ B| = k − 1. 7) Äëÿ ÷àñòè A ∈ Part(S) åå ãðàíèöà Bound(A) ýòî îáúåäèíåíèå ñîäåðæàùèõñÿ â A ãðàíèö ðàçðåçîâ, ñìåæíûõ ñ A â BT(G, S). Îïèñàíèå ñòðóêòóðû âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ðàçðåçîâ âàæíî, íàïðèìåð, äëÿ èçó÷åíèÿ ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ, â êîòîðûõ êàæäîå ðåáðî âõîäèò õîòÿ áû â îäèí ðàçðåç. Ýòî áóäåò ïðîäåìîíñòðèðîâàíî â ãëàâå 2 äèññåðòàöèè. Ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû Âî âòîðîé ãëàâå ñ ïîìîùüþ ðàçðàáîòàííîé â ïåðâîé ãëàâå òåõíèêè èçó÷àþòñÿ ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû. Íàïîìíèì, ÷òî k -ñâÿçíûé ãðàô íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíûì, åñëè îí òåðÿåò k -ñâÿçíîñòü ïîñëå óäàëåíèÿ ëþáîãî ñâîåãî ðåáðà. Î÷åâèäíî, âñå âåðøèíû k -ñâÿçíîãî ãðàôà èìåþò ñòåïåíü íå ìåíåå k . ×åðåç Vk (G) ìû îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí ãðàôà G, èìåþùèõ ñòåïåíü k , ïóñòü Vk+1 (G) = V (G) \ Vk (G), vk (G) = |Vk (G)| è vk+1 (G) = |Vk+1 (G)|. Äèðàê [7] â 1967 ãîäó è Ïëàììåð [31] â 1968 ãîäó èññëåäîâàëè ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû. Èç ðåçóëüòàòîâ ýòèõ ðàáîò ìîæíî âûâåñòè, ÷òî v2 (G) ≥ v(G)+4 3 äëÿ ìèíèìàëüíîãî äâóñâÿçíîãî ãðàôà G. Â 1979 ãîäó Â. Ìàäåð [24, 25] äîêàçàë î÷åíü ñèëüíûé ðåçóëüòàò, îáîáùàþùèé íàïèñàííîå âûøå: vk (G) ≥ (k − 1)v(G) + 2k 2k − 1 (1) äëÿ ìèíèìàëüíîãî k -ñâÿçíîãî ãðàôà G. Ýòà îöåíêà òî÷íàÿ: äëÿ ëþáîãî k ≥ 2 ñóùåñòâóþò áåñêîíå÷íûå ñåðèè ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ, 23 ÂÂÅÄÅÍÈÅ äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî (1) îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî. Äàëåå ìû ðàññìîòðèì òàêèå ãðàôû è áóäåì íàçûâàòü èõ ýêñòðåìàëüíûìè ìèíèìàëüíûìè k -ñâÿçíûìè ãðàôàìè. Îïðåäåëåíèå 19. Ïóñòü k ≥ 2, à T äåðåâî ñ ∆(T ) ≤ k + 1. Ãðàô Gk,T ñòðîèòñÿ èç k êîïèé T1 , . . . , Tk äåðåâà T ñ íåïåðåñåêàþùèìèñÿ ìíîæåñòâàìè âåðøèí. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû a ∈ V (T ) îáîçíà÷èì ÷åðåç ai ñîîòâåòñòâóþùóþ âåðøèíó êîïèè Ti . Åñëè dG (a) = j , òî ìû äîáàâèì k + 1 − j íîâûõ âåðøèí ñòåïåíè k , ñìåæíûõ ñ {a1 , . . . , ak }. Î÷åâèäíî, åñëè v(T ) = n, òî v(Gk,T ) = (2k − 1)n + 2. Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî Gk,T ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô è, ñëåäîâàòåëüíî, îí ýêñòðåìàëüíûé. b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b T b b b b b b b b b G 2, T Ðèñ. 1: Äåðåâî T è ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô G2,T . Îäíèì èç îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ äèññåðòàöèè ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, â êîòîðîé äîêàçàíî, ÷òî äðóãèõ ýêñòðåìàëüíûõ ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ íåò. Òåîðåìà 2.1. Ëþáîé ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô ýòî ãðàô Gk,T äëÿ íåêîòîðîãî äåðåâà T ñ ∆(T ) ≤ k + 1. Â 1982 Îêñëè [30] ïðåäñòàâèë àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ è òð¼õñâÿçíûõ ãðàôîâ. Áûëî äîêàçàíî, ÷òî ëþáîé ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç ïîëíîãî äâóäîëüíîãî ãðàôà K2,3 íåñêîëüêèìè îïåðàöèÿìè çàìåíû âåðøèíû ñòåïåíè 2 íà ãðàô K2,2 , ïðèñîåäèíåííûé ê äâóì âåðøèíàì èç îêðåñòíî- 24 ÂÂÅÄÅÍÈÅ ñòè çàìåíÿåìîé âåðøèíû (ñì. ðèñóíîê 2a). Ëþáîé ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé òð¼õñâÿçíûé ãðàô ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç ïîëíîãî äâóäîëüíîãî ãðàôà K3,4 íåñêîëüêèìè îïåðàöèÿìè çàìåíû âåðøèíû ñòåïåíè 3 íà ãðàô K3,3 (ñì. ðèñóíîê 2b). b b b b b b b b b b b a b b b b b b b b b b b b Ðèñ. 2: Îïåðàöèè çàìåíû. Èç òåîðåìû 2.1 íåñëîæíî âûâåñòè àíàëîãè÷íûé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ âñåõ ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ. Ñëåäñòâèå 2.3. Ïóñòü G ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà G ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç Kk,k+1 ñåðèåé îïåðàöèé çàìåíû âåðøèíû ñòåïåíè k íà ïîëíûé äâóäîëüíûé ãðàô Kk,k (â õîäå îïåðàöèè äîáàâëÿåòñÿ ïàðîñî÷åòàíèå, ñîåäèíÿþùåå k âåðøèí îäíîé äîëè Kk,k c âåðøèíàìè, âõîäÿùèìè â îêðåñòíîñòü çàìåíÿåìîé âåðøèíû ñòåïåíè k ). Ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû ñ ìàëûì ÷èñëîì âåðøèí ñòåïåíè 2 Ìû áîëåå ïîäðîáíî èçó÷èì ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû ïðè ïîìîùè êîíñòðóêöèè äåðåâà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà. Íàïîìíèì, ÷òî ìèíèìàëüíûé äâóñâçÿíûé ãðàô G óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó v2 (G) ≥ Îïðåäåëåíèå 20. v(G) + 4 . 3 ×åðåç GM(n) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ ìèíèìàëü- íûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ íà n âåðøèíàõ, â êîòîðûõ ðîâíî d n+4 3 e âåðøèí ñòåïåíè 2. 25 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ïîíÿòíî, ÷òî ðàâåíñòâî v2 (G) = v(G)+4 3 ìîæåò äîñòèãàòüñÿ òîëüêî ïðè v(G) = 3m+2. Èç òåîðåìû 2.1 ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî GM(3m+2) ñîñòîèò èç ãðàôîâ âèäà G2,T , ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) ≤ 3. Îêñëè â ñòàòüå [30] ècñëåäîâàë ñòðóêòóðó ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ èç GM(n). Äëÿ n ñðàâíèìûõ ñ 0 è 1 ïî ìîäóëþ 3 â [30] äîêàçàíî, ÷òî ãðàôû èç GM(n) ìîæíî ïîëó÷èòü íåñêîëüêèìè îïåðàöèÿìè çàìåíû âåðøèíû ñòåïåíè 2 íà ãðàô K2,2 èç îäíîãî èç íà÷àëüíûõ ãðàôîâ, ïåðå÷èñëåííûõ â ðàáîòå. Íà÷àëüíûå ãðàôû ýòî K3 , òðè ãðàôà íåñêîëüêî áîëåå ñëîæíîé ñòðóêòóðû è äâå áåñêîíå÷íûå ñåðèè ãðàôîâ. Ìû äàäèì îïèñàíèå ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ èç GM(n) ñ ïîìîùüþ ãðàôîâ âèäà G2,T è ñòÿãèâàíèÿ ð¼áåð. Òåîðåìà 2.2. Ïóñòü m ≥ 2. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäå- íèÿ. 1) GM(3m + 1) ñîñòîèò èç ãðàôîâ âèäà G2,T · xy , ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) = 3, x, y ∈ V3 (G2,T ) è xy ∈ E(G2,T ). 2) Äëÿ ëþáîãî ãðàôà G ∈ GM(3m + 1) ïðåäñòàâëåíèå â âèäå G2,T · xy èç ïóíêòà 1 åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà. Äëÿ îïèñàíèÿ ãðàôîâ èç GM(3m) íàì ïîòðåáóåñÿ îïðåäåëèòü åùå îäíó ñåðèþ ãðàôîâ. Îïðåäåëåíèå 21. Ïóñòü T äåðåâî ñ ∆(T ) = 3 è a ∈ V (T ) âåðøèíà ñòåïåíè dT (a) = 3. Ïóñòü NT (a) = {x, y, z}. Ðàññìîòðèì ãðàô G2,T : ïóñòü Ra , Rx = {x1 , x2 }, Ry = {y1 , y2 }, Rz = {z1 , z2 } åãî îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà, ñîîòâåòñòâóþùèå âåðøèíàì a, x, y , z . Ïîëîæèì GT,a = (G2,T − Ra ) + x1 y2 + y1 z2 + z1 x2 (ñì. ðèñóíîê 3). Íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) = 3, òî GT,a ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô ñ v(GT,a ) = v(G2,T ) − 2 = 3m è v2 (GT,a ) = v2 (G2,T ) = m + 2. 26 ÂÂÅÄÅÍÈÅ b b x a b b b y b b b z b b b b b b Rz b b b b b b b b b b b b b b b b b b A Ry b Rz b b b GT– R a T b b b b Rx b Ry b b b b b b b Rx b b b b b b b b G T,a Ðèñ. 3: Ïîñòðîåíèå ãðàôà GT,a . Ïîýòîìó GT,a ∈ GM(3m). Òåîðåìà 2.3. Ïóñòü m ≥ 2. Òîãäà GM(3m) ñîñòîèò èç ãðàôîâ òð¼õ ïåðå÷èñëåííûõ íèæå âèäîâ. 1◦ Ãðàôû G2,T · xy · zt, ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) ≤ 3, xy, zt ∈ E(G2,T ) äâà ðàçëè÷íûõ ðåáðà, êîíöû êîòîðûõ èìåþò â ãðàôå G2,T ñòåïåíü 3 (ó âûáðàííûõ ð¼áåð ìîãóò áûòü ñîâïàäàþùèå êîíöû). 2◦ Ãðàôû, ïîëó÷åííûå èç ãðàôîâ âèäà G2,T − xy ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m − 1 è ∆(T ) ≤ 3, à xy ∈ E(G2,T ), äîáàâëåíèåì íîâîé âåðøèíû ñòåïåíè 2, ñìåæíîé ñ x è y . 3◦ Ãðàôû âèäà GT,a , ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) = 3, à a ∈ V (T ) âåðøèíà ñòåïåíè 3. Îñíîâíûì èíñòðóìåíòîì â äîêàçàòåëüñòâàõ ïîñëåäíèõ äâóõ òåîðåì áóäåò äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà, îïðåäåëåííîå â ïåðâîé ãëàâå. Ñòðóêòóðà ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ ïðè k≤5 Â ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôàõ êàæäîå ðåáðî âõîäèò õîòÿ áû â îäèí ðàçðåç. Ïîýòîìó îïèñàíèå ñòðóêòóðû âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ðàçðåçîâ âàæíî äëÿ èçó÷åíèÿ òàêèõ ãðàôîâ. Êàê âèäíî åùå èç êëàññè÷åñêèõ ðàáîò Ìàäåðà [22]-[24], íàèáîëåå âàæíî èçó÷èòü â ìèíèìàëüíîì k -ñâÿçíîì ãðàôå ñòðóêòóðó ìíîæåñòâà ð¼áåð Ek+1 (îáà êîíöà êîòîðûõ èìåþò ñòåïåíü õîòÿ áû k + 1). Â äèññåðòàöèþ âêëþ÷åí ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Òåîðåìà 2.4. Ïóñòü k ≤ 5, à G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà 27 ÂÂÅÄÅÍÈÅ äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ Ek+1 ìîæíî âûáðàòü ñîäåðæàùèé e ðàçðåç Se ∈ R òàê, ÷òî âñå âûáðàííûå ðàçðåçû ïîïàðíî íåçàâèñèìû. Äàëåå ê îïèñàííîìó ìíîæåñòâó ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ íàçîâåì åãî S ìîæíî ïðèìåíèòü êîíñòðóêöèþ äåðåâà ðàçðåçîâ è îïðåäåëèòü äåðåâüÿ BT(G, C) è PT(G, C). Ýòè äåðåâüÿ ïîêàçûâàþò âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ðàçðåçîâ ìíîæåñòâà C è ÷àñòåé èç Part(C). Ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ð¼áðàìè äåðåâà PT(G, C) è ð¼áðàìè èç Ek+1 . Ïîýòîìó, äåðåâüÿ BT(G, C) è PT(G, C) ïîêàçûâàþò òàêæå ñòðóêòóðó âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ð¼áåð èç ìíîæåñòâà Ek+1 . Êðîìå òîãî, äëÿ èçó÷åíèÿ ñòðóêòóðû ìèíèìàëüíîãî k -ñâÿçíîãî ãðàôà òåïåðü ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìíîãî÷èñëåííûå ñâîéñòâà, äîêàçàííûå â òåîðåìå 1.7 è ñëåäñòâèè 1.6. Ãèïåðäåðåâî è òåîðåìà ðàçáèåíèÿ Äëÿ ãèïåðãðàôà H ìû áóäåì ïðèìåíÿòü òàêèå æå îáîçíà÷åíèÿ, êàê è äëÿ ãðàôà: ìíîæåñòâà âåðøèí è ãèïåððåáåð áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç V (H) è E(H), ñîîòâåòñòâåííî. Ãëàâíîå îòëè÷èå ãèïåðãðàôà îò îáû÷íîãî ãðàôà â òîì, ÷òî ãèïåððåáðî ýòî ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî V (H), ñîñòîÿùåå õîòÿ áû èç äâóõ âåðøèí. Ïîýòîìó óäîáíî îïåðèðîâàòü ñ ãèïåðð¼áðàìè êàê ñ ìíîæåñòâàìè âåðøèí ãðàôà. Äëÿ âåðøèíû v ∈ V (H) îáîçíà÷èì ÷åðåç dH (v) åå ñòåïåíü â ãèïåðãðàôå H , òî åñòü, êîëè÷åñòâî ñîäåðæàùèõ v ãèïåððåáåð. Äëÿ ìíîæåñòâà âåðøèí X ⊂ V (H) îïðåäåëèì ãèïåðãðàô H − X ñëåäóþùèì îáðàçîì: V (H − X) = V (H) \ X , à E(H − X) ñîñòîèò èç âñåõ ìíîæåñòâ âèäà R \ X (ãäå R ∈ E(H)), ñîäåðæàùèõ õîòÿ áû äâå âåðøèíû. Îïðåäåëåíèå 22. 1) Áóäåì íàçûâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçëè÷íûõ âåð- øèí a1 a2 . . . ak ïóò¼ì, åñëè ñóùåñòâóþò ãèïåððåáðà e1 , e2 , . . . , ek−1 òàêèå, ÷òî ai , ai+1 ∈ ei . 28 ÂÂÅÄÅÍÈÅ 2) Åñëè, êðîìå òîãî, ñóùåñòâóåò ãèïåððåáðî ek 3 ak , a1 , òî ìû íàçîâåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Îïðåäåëåíèå 23. ðàçëè÷íûõ âåðøèí a1a2 . . . ak öèêëîì 1) Ãèïåðãðàô íàçûâàåòñÿ ñâÿçíûì, åñëè ëþáûå äâå åãî âåðøèíû ñâÿçàíû, òî åñòü, ñîåäèíåíû ïóò¼ì. 2) Êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà îïðåäåëÿþòñÿ òàê æå, êàê è êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà ýòî ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâa ïîïàðíî ñâÿçàííûõ âåðøèí. Ãëàâà 3 íà÷èíàåòñÿ ñ îïðåäåëåíèÿ ãèïåðäåðåâà è èçó÷åíèÿ åãî ñâîéñòâ. Îïðåäåëåíèå 24. Áóäåì íàçûâàòü ãèïåðãðàô H ãèïåðäåðåâîì, åñëè îí ñâÿçåí, íè îäíî åãî ãèïåððåáðî íå ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì äðóãîãî è äëÿ ëþáîãî öèêëà â ýòîì ãèïåðãðàôå ñóùåñòâóåò ãèïåððåáðî, ñîäåðæàùåå âñå åãî âåðøèíû. Ãèïåðäåðåâî èìååò ìíîæåñòâî ñâîéñòâ, àíàëîãè÷íûõ ñâîéñòâàì îáû÷íîãî äåðåâà, ýòè ñâîéñòâà îïèñàíû â òåîðåìå 3.1. Äàëåå â òðåòüåé ãëàâå ñòðîèòñÿ àáñòðàêòíàÿ ñòðóêòóðà, îáîáùàþùàÿ ñâîéñòâà òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà. Îïðåäåëåíèå 25. Ðàññìîòðèì êîíå÷íîå ìíîæåñòâî âåðøèí V . Ïóñòü êàæ- äîé âåðøèíå w ∈ V ñîîòâåòñòâóåò ðàçáèåíèå Vw ìíîæåñòâà V \ {w} íà íåñêîëüêî êëàññîâ (âîçìîæíî, òàêîé êëàññ âñåãî îäèí). Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî âåðøèíà w ðàçäåëÿåò âåðøèíû v1 è v2 , åñëè v1 è v2 ëåæàò â ðàçíûõ êëàññàõ Vw . Íàçîâåì âåðøèíû v1 , v2 ∈ V ñîñåäíèìè, åñëè èõ íå ðàçäåëÿåò íèêàêàÿ îòëè÷íàÿ îò íèõ âåðøèíà ìíîæåñòâà V . Ïîñòðîèì ãèïåðãðàô ðàçáèåíèÿ Struct(V ) íà âåðøèíàõ ìíîæåñòâà V , ãèïåððåáðà êîòîðîãî ýòî ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâà ïîïàðíî ñîñåäíèõ âåðøèí. Ïðèâåäåì ïðèìåð ìíîæåñòâà âåðøèí è ãèïåðãðàôà ðàçáèåíèÿ, ïîêàçûâàþùèé, êàêîå îòíîøåíèå èìååò ýòà êîíñòðóêöèÿ ê òåîðèè ñâÿçíîñòè. 29 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ïóñòü F ñâÿçíûé ãðàô, R1 (F ) ìíîæåñòâî âñåõ åãî òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ, à äëÿ êàæäîé òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ a ∈ R1 (F ) êëàññû ðàçáèåíèÿ (R1 (F ))a ñîñòîÿò èç òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ, ëåæàùèõ â îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ãðàôà F − a. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ãèïåððåáðà Struct(R1 (F )) ýòà ìíîæåñòâà âñåõ òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ, ëåæàùèõ â êàêîì-ëèáî íåêðàéíåì áëîêå. Ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî ãèïåðãðàô Struct(R1 (F )) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðäåðåâîì. Èìåííî êëàññè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà ïîäñêàçûâàåò íàì ðåçóëüòàò òåîðåìû 3.2. Òåîðåìà 3.2. Ïóñòü äëÿ ëþáûõ a, b, c ∈ V åñëè a ðàçäåëÿåò b è c, òî b íå ðàçäåëÿåò a è c. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ãðàô Struct(V ) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðäåðåâîì. 2) Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîé âåðøèíû a ∈ V ãèïåðãðàô Struct(V )−a ðàñïàäàåòñÿ íà êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè W1 , . . . , W` . Òîãäà Va = {W1 , . . . , W` }. Îòìåòèì, ÷òî ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 3.2 ìîæíî äîêàçàòü ïðèâåäåííûå â ãëàâå 1 äèññåðòàöèè ðåçóëüòàòû î ñòðóêòóðíûõ äåðåâüÿõ (òåîðåìû 1.1 è 1.7): äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü äëÿ ìíîæåñòâà ðàññìàòðèâàåìûõ îáúåêòîâ (ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ èëè ðàçðåçîâ) óñëîâèå èç òåîðåìû 3.2, ïîñëå ÷åãî ìîæíî ïåðåéòè îò ãèïåðäåðåâà ê äåðåâó ñ ïîìîùüþ êîíñòðóêöèè, îïèñàííîé â òåîðåìå 3.1. Ìû äàëè â ýòèõ òåîðåìàõ áîëåå ýëåìåíòàðíûå äîêàçàòåëüñòâà. Îäíàêî, èíîãäà îáîéòèñü áåç òåîðåìû 3.2 ãîðàçäî ñëîæíåå íàïðèìåð, â ñëó÷àå êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè, î êîòîðûõ èäåò ðå÷ü â ñëåäóþùåì ðàçäåëå. Êðîìå òîãî, îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [54] äèññåðòàíò è À. Â. Ïàñòîð èìåííî ñ ïîìîùüþ òåîðåìû î ðàçáèåíèè îïèñàëè ñòðóêòóðó âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ òð¼õâåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ â òð¼õñâÿçíîì ãðàôå. Ýòà ñòðóêòóðà ìíîãî ñëîæíåå è ðàçíîîáðàçíåå ñòðóêòóðû âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ äâóõâåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ â äâóñâÿçíîì ãðàôå, 30 ÂÂÅÄÅÍÈÅ îïèñàííîé â äèññåðòàöèè. Êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè Îïðåäåëåíèå 26. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ Rk (G). 1) Ãðàô çàâèñèìîñòè Dep(S) íàáîðà S ýòî ãðàô, âåðøèíû êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò ìíîæåñòâàì íàáîðà, à äâå âåðøèíû ñìåæíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå èì ìíîæåñòâà çàâèñèìû. 2) Áóäåì íàçûâàòü êîìïîíåíòîé çàâèñèìîñòè íàáîðà S ëþáîé íàáîð T ⊂ S, ñîñòîÿùèé èç âñåõ ìíîæåñòâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ âåðøèíàì îäíîé èç êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà çàâèñèìîñòè Dep(S). 3) Îáîçíà÷èì ÷åðåç Comp(S) ìíîæåñòâî âñåõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè íàáîðà S. Â ÷åòâåðòîé ãëàâå èçó÷àåòñÿ âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå êîìïîíåíò çàâèñèìîcòè íàáîðà S. Äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ ðàçëè÷íûõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè T, T0 ∈ Comp(S) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ÷àñòü A ∈ Part(T), êîòîðàÿ ñîäåðæèò âñå ìíîæåñòâà êîìïîíåíòû T0 , à ëþáàÿ îòëè÷íàÿ îò A ÷àñòü Part(T) íå ñîäåðæèò íè îäíîãî ìíîæåñòâà èç T0 . Êàæäîé êîìïîíåíòå çàâèñèìîñòè T ∈ Comp(S) ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ðàçáèåíèå îñòàëüíûõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè íà êëàññû: êàæäûé êëàññ áóäóò îáðàçîâûâàòü êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè, ñîäåðæàùèåñÿ â îäíîé èç ÷àñòåé Part(T). Îïðåäåëåíèå 27. Ãèïåðãðàô Struct(Comp(S)) îïèñàííîãî âûøå ðàçáè- åíèÿ ìû áóäåì íàçûâàòü ãèïåðãðàôîì êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè íàáîðà S è äëÿ ïðîñòîòû îáîçíà÷àòü ÷åðåç Struct(S). Òåîðåìà 4.1. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ Rk (G). Òîãäà âûïîëíÿ- þòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 31 ÂÂÅÄÅÍÈÅ 1) Ãèïåðãðàô êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè Struct(S) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðäåðåâîì. 2) Ïóñòü T ∈ Comp(S), à C1 , . . . , Cn êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà Struct(S) − T. Òîãäà êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè èç ìíîæåñòâà Ci ñîäåðæàòñÿ â îäíîé ÷àñòè Bi ∈ Part(T), ïðè÷åì Bi 6= Bj ïðè i 6= j . 3) Ïóñòü T ∈ Comp(S), à ÷àñòü A ∈ Part(T) ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíî ìíîæåñòâî èç S \ T. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ãèïåððåáðî ãèïåðãðàôà Struct(S), âåðøèíàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ T è íåñêîëüêî (áûòü ìîæåò, îäíà) êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè, ëåæàùèõ â ÷àñòè A. Ìû èìååì äåëî ñ áîëåå îáùåé ñèòóàöèåé, ÷åì â ãëàâå 2: òàì ðàññìàòðèâàëñÿ íàáîð èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ, à çíà÷èò, åãî êîìïîíåíòàìè çàâèñèìîñòè áûëè ñàìè ìíîæåñòâà. Ïîýòîìó â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å âîçíèêàåò áîëüøå òåõíè÷åñêèõ òðóäíîñòåé ïðè èçó÷åíèè ÷àñòåé Part(S) ñ ïîìîùüþ ãèïåðäåðåâà Struct(S). Îïðåäåëåíèå 28. Ïóñòü R = {S1 , . . . Sn } ãèïåððåáðî Struct(S). Äëÿ âñåõ i ∈ {1, . . . , n} ïóñòü Ai ∈ Part(Si ) ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ ìíîæåñòâà âñåõ îñòàëüíûõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè èç R. Òîãäà ìíîæåñòâî âåðøèí A= n \ Ai i=1 íàçîâåì ÷àñòüþ, ñîîòâåòñòâóþùåé ãèïåððåáðó R (äàæå â ñëó÷àå, êîãäà A∈ / Part(S)). Èìåííî èç-çà òîãî, ÷òî íå êàæäîìó ãèïåððåáðó Struct(S) ñîîòâåòñòâóåò ÷àñòü Part(S), íå ïîëó÷àåòñÿ ââåñòè íà êîìïîíåíòàõ çàâèñèìîñòè è ÷àñòÿõ Part(S) ñòðóêòóðó äåðåâà, êàê â ñëó÷àå ñ íàáîðîì èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ. Áóäåò äîêàçàíî, ÷òî ÷àñòü A, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ãèïåððåáðó R ãèïåðäåðåâà Struct(S) íå ïðèíàäëåæèò Part(S) òîëüêî â îäíîì ñëó÷àå: A ∈ S è ãèïåððåáðî R ñîñòîèò ðîâíî èç äâóõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè, îäíà èç êîòîðûõ ýòî {A}, à äðóãàÿ êîìïîíåíòà çàâèñèìîñòè èìååò ÷àñòü ðàçáèåíèÿ ñ ãðàíèöåé A. 32 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà îïèñûâàåò ÷àñòè Part(S) ñ ïîìîùüþ ãèïåðäåðåâà Struct(S). Òåîðåìà 4.2. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, S ⊂ Rk (G). Òîãäà âûïîëíÿ- þòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ïóñòü S0 ∈ Comp(S) è ÷àñòü A ∈ Part(S0 ) òàêîâû, ÷òî A íå ñîäåðæèò ìíîæåñòâ èç S \ S0 . Òîãäà A ∈ Part(S). 2) Ïóñòü H ∈ Part(S). Òîãäà ëèáî ÷àñòü H ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîìó ãèïåððåáðó R ãèïåðäåðåâà Struct(S), ëèáî cóùåñòâóåò òàêàÿ êîìïîíåíòà çàâèñèìîñòè S0 ∈ Comp(S), ÷òî H ∈ Part(S0 ). Óäàëåíèå íåñêîëüêèõ âåðøèí ñ ñîõðàíåíèåì k -ñâÿçíîñòè Îòìåòèì åùå îäíî âàæíîå ñâîéñòâî êëàññè÷åñêèõ áëîêîâ ñâÿçíîãî ãðàôà. Ïóñòü W ìíîæåñòâî âåðøèí, íå ÿâëÿþùèõñÿ òî÷êàìè ñî÷ëåíåíèÿ è ïðèíàäëåæàùèõ ðàçëè÷íûì áëîêàì. Òîãäà íåñëîæíî äîêàçàòü, ÷òî ãðàô G − W ñâÿçåí. Â ïÿòîé ãëàâå äèññåðòàöèè áóäåò äîêàçàíî àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà è ñäåëàíà ïîïûòêà îáîáùèòü ýòè ñâîéñòâà äëÿ ãðàôîâ áîëüøåé ñâÿçíîñòè. Òåîðåìà 5.1. Ïóñòü G äâóñâÿçíûé ãðàô, à W ìíîæåñòâî, ñîñòîÿ- ùåå èç âíóòðåííèõ âåðøèí íåïóñòûõ ÷àñòåé-áëîêîâ ãðàôà G è ñîäåðæàùåå íå áîëåå ÷åì ïî îäíîé âåðøèíå èç êàæäîãî áëîêà. Òîãäà ãðàô G − W äâóñâÿçåí. Ïåðåéäåì ê îäíîâðåìåííîìó óäàëåíèþ íåñêîëüêèõ âåðøèí èç k -ñâÿçíîãî ãðàôà. Â äèññåðòàöèþ âêëþ÷åíà òåîðåìà, äîêàçàííàÿ â ñîâìåñòíîé ðàáîòå äèññåðòàíòà è À. Â. Ïàñòîðà [53]. Ñôîðìóëèðóåì íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ è ñàìó òåîðåìó. Îïðåäåëåíèå 29. Ïóñòü S ∈ Rk (G), à H êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà G − S . Ìû áóäåì íàçûâàòü H ôðàãìåíòîì. 33 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Îïðåäåëåíèå 30. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, A ∈ Part(Rk (G)). Ïóñòü Int(A) 6= ∅. Íàçîâåì ìíîæåñòâî S ∈ Rk (G) ñóùåñòâåííûì äëÿ ÷àñòè A, åñëè íå ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâà T ∈ Rk (G), îòäåëÿþùåãî S îò Int(A). Îáîçíà÷èì ÷åðåç Bound2 (A) ìíîæåñòâî âñåõ ãðàíè÷íûõ âåðøèí ÷àñòè A, âõîäÿùèõ â äâà è áîëåå ñóùåñòâåííûõ äëÿ ÷àñòè A ìíîæåñòâà. Íàçîâåì ÷àñòü A õîðîøåé, åñëè |Int(A)| > |Bound2 (A)|. Òåîðåìà 5.2. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, ïðè÷åì ñòåïåíü ëþáîé âåð- øèíû, âõîäÿùèé â îäíî èç ìíîæåñòâ Rk (G), íå ìåíåå 2k − 1, à ëþáîé ôðàãìåíò èìååò õîòÿ áû k+1 2 âåðøèí. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìíîæå- ñòâî W , ñîäåðæàùåå ïî îäíîé âíóòðåííåé âåðøèíå êàæäîé õîðîøåé ÷àñòè Part(Rk (G)), òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî W 0 ⊂ W ãðàô G − W 0 ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì. Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [58], îïóáëèêîâàííîé ïîñëå [53], À. Ñ. ×óõíîâ äîêàçàë äâà ïîõîæèõ óòâåðæäåíèÿ îá óäàëåíèè íåñêîëüêèõ âåðøèí èç k ñâÿçíîãî ãðàôà áåç ïîòåðè k -ñâÿçíîñòè, íî òàêæå ëèøü äëÿ ãðàôîâ ñ äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèåì: ñòåïåíè âñåõ âåðøèí (â òîì ÷èñëå, íå âõîäÿùèõ â k -âåðøèííûå ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà) äîëæíû áûòü íå ìåíåå ÷åì 3k−1 2 . Îñòîâíûå äåðåâüÿ ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì ëèñòüåâ Â øåñòîé ãëàâå äèññåðòàöèè èçó÷àåòñÿ âîïðîñ î ïîñòðîåíèè â ñâÿçíîì ãðàôå îñòîâíûõ äåðåâüåâ ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì ëèñòüåâ. Îòìåòèì, ÷òî ê êëàññè÷åñêèì ìåòîäàì ïîñòðîåíèÿ äîáàâëÿþòñÿ íîâûå ìåòîäû, îñíîâàííûå íà ïðèìåíåíèè áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà. Èìåííî ýòè ìåòîäû ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü íîâûå íèæíèå îöåíêè íà êîëè÷åñòâî ëèñòüåâ â îñòîâíîì äåðåâå, ó÷èòûâàþùèå âèñÿ÷èå âåðøèíû è äàæå âåðøèíû ñòåïåíè 2 èñõîäíîãî ñâÿçíîãî ãðàôà. Îïðåäåëåíèå 31. Äëÿ ñâÿçíîãî ãðàôà G îáîçíà÷èì ÷åðåç u(G) ìàêñè- ìàëüíî âîçìîæíîå êîëè÷åñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí â îñòîâíîì äåðåâå ãðàôà G. ÂÂÅÄÅÍÈÅ 34 Çàìå÷àíèå. Åñëè F äåðåâî, òî íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî u(F ) êîëè÷åñòâî åãî ëèñòüåâ. Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô. Ñ 1981 ãîäà, êîãäà Äæ. Ñòîðåð [34] ïðåäïîëîæèë, ÷òî u(G) > v(G) 4 , åñëè âñå âåðøèíû ãðàôà G èìåþò ñòåïåíü 3, áûëî îïóáëèêîâàíî íåìàëî ðàáîò î íèæíèõ îöåíêàõ u(G). Â 1981 ãîäó Í. Ëèíèàë âûñêàçàë ãèïîòåçó: d−2 v(G) + c ïðè δ(G) ≥ d ≥ 3, d+1 ãäå êîíñòàíòà c > 0 çàâèñèò òîëüêî îò d. Ýòà ãèïîòåçà ïîÿâèëàñü íå íà u(G) ≥ ïóñòîì ìåñòå: äëÿ ëþáîãî d ≥ 3 íåñëîæíî ïðèäóìàòü áåñêîíå÷íóþ ñåðèþ ïðèìåðîâ ñâÿçíûõ ãðàôîâ ñ ìèíèìàëüíîé ñòåïåíüþ d, äëÿ êîòîðûõ ñòðåìèòñÿ ê u(G) v(G) d−2 d+1 . b b b b b b b b b – Kd+1 Kd+1 b b b b b b b b b b – Kd+1 b b b b Kd+1 Íà ðèñóíêå èçîáðàæåí òàêîé ïðèìåð: êðàéíèå áëîêè â öåïî÷êå ýòî ïîëíûå ãðàôû íà d + 1 âåðøèíå, îñòàëüíûå áëîêè ýòî ïîëíûå ãðàôû íà d + 1 âåðøèíå, èç êîòîðûõ óäàëåíî ðåáðî, ñîåäèíÿþùåå âåðøèíû, èç êîòîðûõ âûõîäÿò ð¼áðà â ñîñåäíèå áëîêè öåïî÷êè. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî åñëè Gn òàêàÿ öåïî÷êà èç n áëîêîâ, òî v(Gn ) = n(d + 1) è u(Gn ) = n(d − 2) + 4. Â 1991 ãîäó Ä. Êëåéòìàí è Ä. Âåñò [19] äîêàçàëè, ÷òî u(G) ≥ 41 ·v(G)+2 ïðè δ(G) ≥ 3 è 2 8 · v(G) + ïðè δ(G) ≥ 4. (2) 5 5 Â 1992 ãîäó Äæ. Ãðèããñ è Ì. Âó [9] åùå ðàç äîêàçàëè îöåíêó (2) è äîêàçàëè, u(G) ≥ ÷òî u(G) ≥ 1 2 · v(G) + 2 ïðè δ(G) ≥ 5. Â îáåèõ ðàáîòàõ ïðèìåíÿëñÿ ìåòîä 35 ÂÂÅÄÅÍÈÅ ì¼ðòâûõ âåðøèí, êîòîðûé áóäåò ïðèìåíåí è â íåêîòîðûõ äîêàçàòåëüñòâàõ ýòîé äèññåðòàöèè. Äåòàëüíîå îïèñàíèå ìåòîäà ìîæíî íàéòè â øåñòîé ãëàâå äèññåðòàöèè. Ñ ðàçâèòèåì ýòîãî ìåòîäà äëÿ d ≥ 6 åñòü çíà÷èòåëüíûå ïðîáëåìû, äàëüíåéøèõ ðåçóëüòàòîâ íà íàñòîÿùèé ìîìåíò íåò. Èç ðàáîò [1, 4, 6] ñëåäóåò, ÷òî äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ d ãèïîòåçà Ëèíèàëà íåâåðíà. Îäíàêî, äëÿ ìàëûõ çíà÷åíèé d > 5 âîïðîñ îñòàåòñÿ îòêðûòûì. Â ðàáîòå [19] ñêàçàíî î åùå îäíîé, áîëåå ñèëüíîé ãèïîòåçå Ëèíèàëà: X dG (x) − 2 dG (x) + 1 u(G) ≥ x∈V (G) äëÿ ñâÿçíîãî ãðàôà G ñ δ(G) ≥ 2. Ïîíÿòíî, ÷òî ðàç äëÿ áîëüøèõ ñòåïåíåé íåâåðíà áîëåå ñëàáàÿ ãèïîòåçà, òî íåâåðíà è ýòà. Îäíàêî, îíà ñòèìóëèðóåò ïîïûòêè ïîëó÷èòü îöåíêó íà u(G), â êîòîðóþ êàæäàÿ âåðøèíà âíîñèò âêëàä, çàâèñÿùèé îò åå ñòåïåíè. Í. Â. Ãðàâèí â ðàáîòå [41] äîêàçàë, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñâÿçíîãî ãðàôà G, â êîòîðîì s âåðøèí ñòåïåíè 3 è t âåðøèí ñòåïåíè õîòÿ áû 4, u(G) ≥ 25 t + 2 15 s. Â ýòîé ðàáîòå äîïóñêàåòñÿ íàëè÷èå â ãðàôå âåðøèí ñòå- ïåíè 1 è 2. Òî÷íîñòü êîíñòàíòû 2 5 íå âûçûâàåò ñîìíåíèé (ñì. ñåðèþ ïðè- ìåðîâ, îïèñàííóþ âûøå), à âîò êîíñòàíòó 2 15 ìîæíî çàìåíèòü íà áîëüøóþ. Â ðàáîòå [47] äèññåðòàíò äîêàçàë ñëåäóþùóþ òåîðåìó. Òåîðåìà 6.1. Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô ñ áîëåå ÷åì îäíîé âåðøèíîé, s êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí ñòåïåíè 3, à t êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí ñòåïåíè íå ìåíåå 4. Òîãäà 2 1 u(G) = t + s + α, 5 5 ãäå 8 α≥ . 5 Áîëåå òîãî, α ≥ 2, êðîìå òð¼õ ãðàôîâ-èñêëþ÷åíèé: C62 , C82 (êâàäðàòû öèêëîâ íà 6 è 8 âåðøèíàõ) è ðåãóëÿðíîãî ãðàôà G8 ñòåïåíè 4 íà 8 âåðøèíàõ, èçîáðàæåííîãî íà ðèñóíêå. 36 ÂÂÅÄÅÍÈÅ b b b b b b b b b b b b C 62 b b r b b b b b b b 2 C8 b G8 Ýòà òåîðåìà âõîäèò â ïåðâóþ ãëàâó äèññåðòàöèè. Ïðèâåäåíà áåñêîíå÷íàÿ ñåðèÿ ïðèìåðîâ ãðàôîâ, äëÿ êîòîðûõ äîñòèãàåòñÿ ðàâåíñòâî. Êëåéòìàí è Âåñò [19] ïðåäïîëîæèëè, ÷òî â íåðàâåíñòâå (2) àääèòèâíóþ êîíñòàíòó ìîæíî çàìåíèòü íà 2 äëÿ âñåõ ãðàôîâ, êðîìå äâóõ èñêëþ÷å- íèé: ýòî è C82 (êâàäðàòû öèêëîâ íà 6 è 8 âåðøèíàõ). Îäíàêî, áûëî 8 5 C62 äîêàçàíî ëèøü, ÷òî ãðàô-èñêëþ÷åíèå äîëæåí áûòü ðåãóëÿðíûì ãðàôîì ñòåïåíè 4, êàæäîå ðåáðî êîòîðîãî âõîäèò â òðåóãîëüíèê. Èç ðåçóëüòàòîâ äèññåðòàöèè ñëåäóåò, ÷òî íà ñàìîì äåëå äëÿ çàäà÷è, èññëåäîâàííîé Êëåéòìàíîì è Âåñòîì, ðàâíî êàê è äëÿ áîëåå îáùåé çàäà÷è, èññëåäîâàííîé â òåîðåìå 6.1, èñêëþ÷åíèé òðè (ñì. ðèñóíîê). Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû èñïîëüçóåò êëàññè÷åñêèé ìåòîä ìåðòâûõ âåðøèí. Îòìåòèì, ÷òî â òåîðåìå 6.1 äîïóñêàåòñÿ íàëè÷èå â ãðàôå âåðøèí ñòåïåíè 1 è 2. Îäíàêî, ýòè âåðøèíû íå ó÷èòûâàþòñÿ â îöåíêå íà u(G). Â ñîâìåñòíîé ðàáîòå [39] äèññåðòàíò è À. Â. Áàíêåâè÷ äîêàçàëè ðÿä îöåíîê íà u(G), â êîòîðûõ ó÷èòûâàþòñÿ âåðøèíû ñòåïåíè 1. Â ÷àñòíîñòè, òàì áûëî äîêàçàíî, ÷òî äëÿ ñâÿçíîãî ãðàôà G ñ áîëåå ÷åì îäíîé âåðøèíîé, èìåþùåãî s âåðøèí ñòåïåíè, îòëè÷íîé îò 2, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî u(G) ≥ 14 s + 32 . Òî÷íîñòü îöåíêè ïîäòâåðæäåíà áåñêîíå÷íîé ñåðèåé ïðèìåðîâ. Ìåòîä ìåðòâûõ âåðøèí íå ìîæåò ó÷èòûâàòü â îöåíêå íà u(G) âèñÿ÷èå âåðøèíû, ïîýòîìó â ðàáîòå [39] äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îöåíêè áûëà ïðèäóìàíà íîâàÿ ðåäóêöèîííàÿ òåõíèêà. Ýòà òåîðåìà íå âêëþ÷åíà â äèññåðòàöèþ. Ïîçæå, â ðàáîòå [46] äèññåðòàíò äîêàçàë áîëåå ñèëüíîå óòâåðæäåíèå. Òåîðåìà 6.2. Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô c áîëåå ÷åì îäíîé âåðøèíîé, s 37 ÂÂÅÄÅÍÈÅ êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí ñòåïåíåé 1 è 3, à t êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí ñòåïåíè íå ìåíåå 4. Òîãäà 1 1 3 u(G) ≥ t + s + . 3 4 2 Ýòà òåîðåìà âõîäèò â ïåðâóþ ãëàâó äèññåðòàöèè. Îòìåòèì, ÷òî ñóùåñòâóþò áåñêîíå÷íûå ñåðèè ïðèìåðîâ ãðàôîâ, äëÿ êîòîðûõ îöåíêà äîñòèãàåòñÿ. Ìû ïðèâåä¼ì áåñêîíå÷íóþ ñåðèþ ïðèìåðîâ, â êîòîðîé ãðàôû ñîäåðæàò òîëüêî âåðøèíû ñòåïåíåé 1, 3 è 4. Äîêàçàòåëüñòâî èñïîëüçóåò öåëûé ðÿä ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ îñòîâíîãî äåðåâà ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì âèñÿ÷èõ âåðøèí: èñïîëüçóåòñÿ ðåäóêöèîííàÿ òåõíèêà, îñíîâàííàÿ íà ïðèìåíåíèè áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ (êàê ðàçðàáîòàííàÿ â [39], òàê è íîâàÿ), à â îñòàâøèõñÿ ïîñëå ðåäóêöèè ñëó÷àÿõ èñïîëüçóåòñÿ ìîäèôèêàöèÿ êëàññè÷åñêîãî ìåòîäà ìåðòâûõ âåðøèí (ãëàâíîå îòëè÷èå â òîì, ÷òî áàçîâàÿ êîíñòðóêöèÿ, ñ êîòîðîé íà÷èíàåòñÿ ïîñòðîåíèå íå äåðåâî, êàê â êëàññè÷åñêîì âàðèàíòå ìåòîäà, à ëåñ, âêëþ÷àþùèé â ñåáÿ âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû ãðàôà). Èíòåðåñíî, ÷òî ìîãóò óâåëè÷èòü êîëè÷åñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí â îñòîâíîì äåðåâå è âåðøèíû ñòåïåíè 2: íåòðóäíî ïðèäóìàòü ïðèìåðû ãðàôîâ, â êîòîðûõ ïðè çàìåíå âåðøèíû ñòåïåíè 2 íà ðåáðî, ñîåäèíÿþùåå äâå ñìåæíûå ñ íåé âåðøèíû, óìåíüøàåòñÿ ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ëèñòüåâ â îñòîâíîì äåðåâå. Îïðåäåëåíèå 32. Îáîçíà÷èì ÷åðåç `(G) êîëè÷åñòâî âåðøèí â ìàêñè- ìàëüíîé öåïî÷êå ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèí¼ííûõ âåðøèí ñòåïåíè 2 â ãðàôå G. Îòìåòèì, ÷òî íàëè÷èå â ãðàôå G äëèííûõ öåïî÷åê èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèí¼ííûõ âåðøèí ñòåïåíè 2 ìîæåò ñäåëàòü âåëè÷èíó u(G) ñêîëü óãîäíî áëèçêîé ê 0: íå áîëåå ÷åì äâå âåðøèíû èç êàæäîé òàêîé öåïî÷êè ìîãóò 38 ÂÂÅÄÅÍÈÅ áûòü âèñÿ÷èìè â îñòîâíîì äåðåâå ãðàôà. Ïîýòîìó âîçíèêàåò åñòåñòâåííîå îãðàíè÷åíèå íà ãðàô: íóæíî îãðàíè÷èòü ñâåðõó `(G). Â ðàáîòå [45] äèññåðòàíò äîêàçàë ñëåäóþùóþ òåîðåìó. Òåîðåìà 6.3. Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô, v(G) ≥ 2, `(G) ≤ k , k ≥ 1. Òîãäà u(G) ≥ 3 1 v(G) + . 2k + 4 2 Â êîíöå ãëàâû 6 ïîñòðîåíû áåñêîíå÷íûå ñåðèè ïðèìåðîâ, ïîäòâåðæäàþùèå òî÷íîñòü îöåíêè èç òåîðåìû 6.3. Ñòðóêòóðà äèññåðòàöèè Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ è øåñòè ãëàâ. Â ïåðâîé ãëàâå ñòðîèòñÿ äåðåâî ðàçáèåíèÿ k-ñâÿçíîãî ãðàôà íàáîðîì, ñîñòîÿùèì èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ. Â êà÷åñòâå ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ ýòîãî äåðåâà ðàññìàòðèâàåòñÿ äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî èçó÷àåòñÿ ðÿä ñâîéñòâ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ: äîêàçûâàþòñÿ îöåíêè íà õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ãðàôà, èçó÷àåòñÿ ñòðóêòóðà êðèòè÷åñêèõ è ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ. Êðîìå òîãî, ñòðîèòñÿ äåðåâî ðàçðåçîâ è äîêàçûâàþòñÿ åãî ñâîéñòâà. Âî âòîðîé ãëàâå èçó÷àþòñÿ ìèíèìàëüíûå k-ñâÿçíûå ãðàôû. Èññëåäó- åòñÿ ñòðóêòóðà ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ ñ ìèíèìàëüíûì ÷èñëîì âåðøèí ñòåïåíè k , çàòåì èçó÷àåòñÿ ñòðóêòóðà ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ ñ ìàëûì (íî íå îáÿçàòåëüíî ìèíèìàëüíûì âîçìîæíûì) ÷èñëîì âåðøèí ñòåïåíè k . Âñå òàêèå ãðàôû ïîäðîáíî îïèñàíû ñ ïîìîùüþ äåðåâüåâ. Îòäåëüíî èññëåäóåòñÿ ñòðóêòóðà ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ ïðè k ≤ 5. Â òðåòüåé ãëàâå äîêàçûâàåòñÿ òåîðåìà î ðàçáèåíèè àáñòðàêòíîå óòâåð- æäåíèå î ñòðóêòóðå, îáîáùàþùåé êëàññè÷åñêîå äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â 39 ÷åòâåðòîé ãëàâå ñ ïîìîùüþ òåîðåìû î ðàçáèåíèè èçó÷àåòñÿ ñòðóêòó- ðà âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè ïðîèçâîëüíîãî íàáîðà k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ k -ñâÿçíîãî ãðàôà è ÷àñòåé, íà êîòîðûå ìíîæåñòâà ýòîãî íàáîðà ðàçáèâàþò ãðàô. Â ïÿòîé ãëàâå äîêàçûâàþòñÿ òåîðåìû îá îäíîâðåìåííîì óäàëåíèè íåñêîëü- êèõ âåðøèí èç k -ñâÿçíîãî ãðàôà áåç ïîòåðè k -ñâÿçíîñòè. Áîëåå äåòàëüíî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé äâóñâÿçíîãî ãðàôà. Â øåñòîé ãëàâå äîêàçûâàþòñÿ íèæíèå îöåíêè íà u(G) ìàêñèìàëü- íîå êîëè÷åñòâî ëèñòüåâ â îñòîâíîì äåðåâå ñâÿçíîãî ãðàôà. Äîêàçàòåëüñòâî êàæäîé îöåíêè áóäåò ñîïðîâîæäåíî àëãîðèòìîì ïîñòðîåíèÿ îñòîâíîãî äåðåâà ñîîòâåòñòâóþùèì êîëè÷åñòâîì ëèñòüåâ. Áóäóò ïîñòðîåíû áåñêîíå÷íûå ñåðèè ãðàôîâ, ïîäòâåðæäàþùèå òî÷íîñòü äîêàçûâàåìûõ îöåíîê. Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíû â ðàáîòàõ [42] -[53]. Íóìåðàöèÿ îïðåäåëåíèé, òåîðåì, ëåìì, çàìå÷àíèé, ðèñóíêîâ è ôîðìóë â äèññåðòàöèè âåä¼òñÿ îòäåëüíî äëÿ êàæäîé ãëàâû. Ãëàâà 1 Äåðåâüÿ ðàçáèåíèÿ Â ïåðâîé ãëàâå ñòðîÿòñÿ äåðåâüÿ ðàçáèåíèÿ ñòðóêòóðû, àíàëîãè÷íûå äåðåâó áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà, íî äëÿ áîëåå ñëîæíûõ îáúåêòîâ â ãðàôàõ áîëüøåé ñâÿçíîñòè: íàáîðîâ, ñîñòîÿùèõ èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ èëè ðàçðåçîâ k ñâÿçíîãî ãðàôà. Îòäåëüíî ðàññìàòðèâàåòñÿ äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî èçó÷àåòñÿ ðÿä ñâîéñòâ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ: äîêàçûâàþòñÿ îöåíêè íà õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ãðàôà, èçó÷àåòñÿ ñòðóêòóðà êðèòè÷åñêèõ è ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ. 1.1 Äåðåâî ðàçáèåíèÿ äëÿ íàáîðà ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ Íàïîìíèì, ÷òî R(G) ýòî íàáîð èç âñåõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ ãðàôà G, êîòîðûå ìîãóò ñîäåðæàòü êàê âåðøèíû, òàê è ð¼áðà ãðàôà. Â ýòîì ðàçäåëå ãðàô G áóäåò k -ñâÿçíûì. ×åðåç Rk (G) îáîçíà÷àåòñÿ íàáîð, ñîñòîÿùèé èç âñåõ k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ k -ñâÿçíîãî ãðàôà. Ïîäðîáíåå âñå íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ äàíû âî ââåäåíèè. Îïðåäåëåíèå 1.1. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, S ⊂ Rk (G), ïðè÷åì âñå ìíîæåñòâà íàáîðà S ïîïàðíî íåçàâèñèìû. Ïîñòðîèì äåðåâî ðàçáèå40 ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 41 íèÿ T (G, S) ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âåðøèíû îäíîé äîëè T (G, S) ýòî ìíîæåñòâà èç S, à âåðøèíû äðóãîé äîëè ÷àñòè Part(S). Îáîçíà÷àòü âåðøèíû T (G, S) ìû áóäåì òàê æå, êàê ñîîòâåòñòâóþùèå ìíîæåñòâà âåðøèí ãðàôà G. Âåðøèíû S ∈ S è A ∈ Part(S) ñìåæíû â T (G, S), åñëè è òîëüêî åñëè S ⊂ A. Äàëåå ìû äîêàæåì, ÷òî îïðåäåëåííûé òàêèì îáðàçîì ãðàô äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ äåðåâîì. Ïîñòðîåíèå T (G, S) àíàëîãè÷íî ïîñòðîåíèþ äåðåâà áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Àíàëîãè÷íûìè áóäóò è åãî ñâîéñòâà. Íà÷íåì ñî âñïîìîãàòåëüíîãî îïðåäåëåíèÿ è òåõíè÷åñêîé ëåììû. Îïðåäåëåíèå 1.2. Ïîñòðîèì ãðàô GS íà ìíîæåñòâå âåðøèí V (G) ñëåäó- þùèì îáðàçîì: âîçüìåì ãðàô G è äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà S ∈ S äîáàâèì âñå îòñóòñòâóþùèå â E(G) ð¼áðà, ñîåäèíÿþùèå ïàðû íåñìåæíûõ â G âåðøèí ìíîæåñòâà S . Îòìåòèì íåñêîëüêî ñâîéñòâ ãðàôà GS . Ëåììà 1.1. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ Rk (G) íàáîð, ñîñòîÿ- ùèé èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) S ⊂ Rk (GS ). Áîëåå òîãî, Part(G; S) = Part(GS ; S). 2) Ïóñòü T ⊂ S, B ∈ Part(G; T), à ìíîæåñòâî R ∈ R(GS (B)) íå ñîäåðæèò ð¼áðà, ñîåäèíÿþùèå ïàðû âåðøèí, âõîäÿùèõ â êàêîå-ëèáî ìíîæåñòâî íàáîðà S. Òîãäà R ∈ R(G). Â ÷àñòíîñòè, ãðàô GS (B) ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ðàññìîòðèì ëþáîå ìíîæåñòâî S ∈ S. Òàê êàê ìíî- æåñòâà íàáîðà S ïîïàðíî íåçàâèñèìû, íèêàêîå ðåáðî èç E(GS ) \ E(G) íå ìîæåò ñîåäèíÿòü âíóòðåííèå âåðøèíû äâóõ ðàçíûõ ÷àñòåé Part(G; S). Òàêèì îáðàçîì, âåðøèíû ðàçäåëåíû îäíèì èç ìíîæåñòâ íàáîðà S â ãðàôå G åñëè è òîëüêî åñëè îíè ðàçäåëåíû ýòèì ìíîæåñòâîì â GS , îòêóäà î÷åâèäíî ñëåäóþò óòâåðæäåíèÿ ïóíêòà 1. 42 ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß x b b B b b y a b b z T Ðèñ. 1.1: Ïîñòðîåíèå ïóòè â ãðàôå GS (B). 2) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî R ∈ / R(G). Ïóñòü x, y ∈ B , à ìíîæåñòâî R îòäåëÿåò x îò y â ãðàôå GS (B). Îäíàêî, R íå îòäåëÿåò x îò y â ãðàôå G, à ñëåäîâàòåëüíî, è â GS . Ðàññìîòðèì êðàò÷àéøèé xy -ïóòü P â ãðàôå GS − R. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îí ñîäåðæèò âåðøèíó z ∈ / B (ñì. ðèñóíîê 1.1). Òîãäà ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî T ∈ T, îòäåëÿþùåå z îò B . Ïðè äâèæåíèè îò z â îáå ñòîðîíû ïî ïóòè P ìû ïîïàäåì â ðàçëè÷íûå âåðøèíû a è b ìíîæåñòâà T , êîòîðûå â GS ñìåæíû. Ïî óñëîâèþ, ab ∈ / R. Íî òîãäà ñóùåñòâóåò áîëåå êîðîòêèé ïóòü: ìîæíî çàìåíèòü ó÷àñòîê ïóòè, ñîäåðæàùèé z , íà ðåáðî ab. Ïðîòèâîðå÷èå ñ âûáîðîì ïóòè P ïîêàçûâàåò, ÷òî V (P ) ⊂ B , à çíà÷èò, P ïóòü â GS (B) − R. Íî òàêîãî ïóòè íåò ïî óñëîâèþ. Ñëåäîâàòåëüíî, R ∈ R(G). Â çàâåðøåíèè äîêàçàòåëüñòâà îñòàåòñÿ îòìåòèòü, ÷òî Rk−1 (G) = ∅ (ãðàô G k -ñâÿçíûé), à çíà÷èò è Rk−1 (GS (B)) = ∅, òî åñòü, ãðàô GS (B) òàêæå ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì. Òåîðåìà 1.1. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ Rk (G) íàáîð, ñîñòîÿ- ùèé èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) T (G, S) ýòî äåðåâî. 2) Äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà S ∈ S âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî dT (G,S) (S) = |Part(S)|. Áîëåå òîãî, äëÿ êàæäîé ÷àñòè A ∈ Part(S) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òàêàÿ ÷àñòü B ∈ Part(S), ÷òî B ⊂ A è B ñìåæíà ñ S â T (G, S). Âñå 43 ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß âèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâà T (G, S) ñîîòâåòñòâóþò ÷àñòÿì Part(S). 3) Ìíîæåñòâî S ðàçäåëÿåò â ãðàôå G ÷àñòè B, B 0 ∈ Part(S) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà S ðàçäåëÿåò B è B 0 â T (G, S). Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì äîêàçûâàòü âñå óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû èíäóê- öèåé ïî êîëè÷åñòâó ìíîæåñòâ â íàáîðå S, ïðè÷åì ãðàô G. Áàçà äëÿ ïóñòîãî íàáîðà î÷åâèäíà. íå ôèêñèðóÿ k-ñâÿçíûé Äîêàæåì èíäóêöèîííûé ïåðåõîä. Ðàññìîòðèì ãðàô G∗ = GS . Èç ëåììû 1.1 ñëåäóåò, ÷òî ðàçáèåíèÿ ãðàôîâ G è G∗ íàáîðîì S îäèíàêîâû, áóäåì îáîçíà÷àòü ýòî ðàçáèåíèå ÷åðåç Part(S). Áîëåå òîãî, òîãäà T (G, S) = T (G∗ , S). Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî äîêàçàòü óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû äëÿ ãðàôà G∗ . Ïóñòü S ∈ S, Part(S) = {A1 , . . . , An }, Gi = G∗ (Ai ). Ïî ëåììå 1.1, âñå ãðàôû G1 , . . . , Gn ÿâëÿþòñÿ k -ñâÿçíûìè. Ïóñòü íàáîð Si ñîñòîèò èç âñåõ ìíîæåñòâ íàáîðà S, ëåæàùèõ â Ai è îòëè÷íûõ îò S . Òîãäà êàæäîå ìíîæåñòâî èç S\{S} ëåæèò ðîâíî â îäíîì èç íàáîðîâ S1 , . . . , Sn . T2 T1 U1 U2 S T3 U3 T4 U4 Ðèñ. 1.2: Äåðåâî T (G, S). Ïóñòü Ui ∈ Part(Gi ; Si ) ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ S . Ïî ëåììå 1.1, äëÿ ëþáîé ÷àñòè U ∈ Part(Gi ; Si ) ãðàô G∗ (U ) ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì, à çíà÷èò, åãî íå ðàçäåëÿåò íè îäíî èç ìíîæåñòâ íàáîðà S, íå ëåæàùèõ â U . Ìíîæåñòâî S ëåæèò â ÷àñòè Ui , íî òàêæå íå ðàçäåëÿåò åå, òàê êàê Ui ⊂ Ai ∈ Part(G; S). 44 ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî Part(Gi ; Si ) ⊂ Part(G∗ ; S), ïðè÷åì èìåííî ÷àñòü Ui ñîäåðæèò S . Ñëåäîâàòåëüíî, ∗ Part(G ; S) = n [ Part(Gi ; Si ), i=1 ïðè÷åì îáúåäèíåíèå äèçúþíêòíîå, à ÷àñòè Part(S), ñîäåðæàùèå ìíîæåñòâî S ýòî U1 , . . . , Un . Òàêèì îáðàçîì, óòâåðæäåíèå 2 òåîðåìû äîêàçàíî äëÿ ìíîæåñòâà S , äëÿ îñòàëüíûõ ìíîæåñòâ èç S äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî. Êàæäàÿ ÷àñòü Part(Gi ; Si ), êðîìå Ui , ñìåæíà â Ti = T (Gi , Si ) ñ òåìè æå âåðøèíàìè, ÷òî â T (G, S). Äëÿ ÷àñòè Ui â T (G, S) äîáàâëÿåòñÿ ðåáðî ê ìíîæåñòâó S . Ïîýòîìó T (G, S) − S ðàñïàäàåòñÿ ðîâíî íà n ñâÿçíûõ ïîäãðàôîâ: ýòî ãðàôû Ti , ãäå i ∈ {1, . . . , n} (ñì. ðèñóíîê 1.2). Ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ, âñå ýòè ãðàôû äåðåâüÿ, à çíà÷èò, âûïîëíåíû óòâåðæäåíèÿ ïóíêòîâ 1 è 3 òåîðåìû. Êàê ìû âèäèì, ñâîéñòâà äåðåâà ðàçáèåíèÿ àíàëîãè÷íû õîðîøî èçâåñòíûì íàì ñâîéñòâàì êëàññè÷åñêîãî äåðåâà áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. 1.2 Äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà Â ýòîì ðàçäåëå ãðàô G áóäåò äâóñâÿçíûì. Îáúåêòîì ðàññìîòðåíèÿ áóäóò ìíîæåñòâà èç R2 (G). Íàïîìíèì îïðåäåëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 1.3. Íàçîâåì ìíîæåñòâî S ∈ R2 (G) îäèíî÷íûì, åñëè îíî íåçàâèñèìî ñî âñåìè äðóãèìè ìíîæåñòâàìè èç R2 (G). Îáîçíà÷èì ÷åðåç O(G) íàáîð, ñîñòîÿùèé èç âñåõ îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ ãðàôà G. Ïîíÿòíî, ÷òî îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà ïîïàðíî íåçàâèñèìû, ÷òî ïîçâîëÿåò íàì äàòü ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëåíèå 1.4. 1) Äåðåâî ðàçáèåíèÿ BT(G) äâóñâÿçíîãî ãðàôà G ýòî äåðåâî T (G, O(G)). ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 45 2) Áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå Part(G) âìåñòî Part(O(G)) è íàçûâàòü ÷àñòè ýòîãî ðàçáèåíèÿ ïðîñòî ÷àñòÿìè ãðàôà G. ×àñòü A ∈ Part(G) íàçîâåì êðàéíåé, åñëè îíà ñîîòâåòñòâóåò âèñÿ÷åé âåðøèíå äåðåâà ðàçáèåíèÿ BT(G). Çàìå÷àíèå 1.1. 1) Èç òåîðåìû 1.1 ñëåäóåò, ÷òî BT(G) äåðåâî, âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò êðàéíèì ÷àñòÿì Part(G). 2) Åñëè A ∈ Part(G) êðàéíÿÿ ÷àñòü, òî Bound(A) îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî ãðàôà G. Äàëåå ìû õàðàêòåðèçóåì ÷àñòè ãðàôà G è èçó÷èì ðàñïîëîæåíèå íåîäèíî÷íûõ äâóõâåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ â ýòîì ãðàôå. Îïðåäåëåíèå 1.5. 1) Äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G îáîçíà÷èì ÷åðåç G0 ãðàô, ïîëó÷åííûé èç G äîáàâëåíèåì âñåõ îòñóòñòâóþùèõ â E(G) ðåáåð âèäà ab, ãäå {a, b} ∈ O(G). 2) Íàçîâ¼ì ÷àñòü A ∈ Part(G) öèêëîì, åñëè ãðàô G0 (A) ïðîñòîé öèêë è áëîêîì, åñëè ãðàô G0 (A) òð¼õñâÿçåí. Åñëè ÷àñòü A öèêë, òî ìû áóäåì íàçûâàòü |A| äëèíîé öèêëà A. Íà÷íåì ñ íåñêîëüêèõ ëåìì. Ëåììà 1.2. Ïóñòü S îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî äâóñâÿçíîãî ãðàôà G, à x ∈ S . Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Åñëè îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî S èìååò ñòåïåíü dBT(G) (S) = d, òî dG (x) ≥ d. Åñëè dG (x) = d, òî âåðøèíû ìíîæåñòâà S íåñìåæíû. 2) dG (x) ≥ 3. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïî òåîðåìå 1.1 ìû èìååì |Part(S)| = dBT(G) (S) = d, à âî âíóòðåííîñòè êàæäîé èç d ÷àñòåé Part(S) åñòü âåðøèíà, ñìåæíàÿ ñ x (èíà÷å ãðàô íåäâóñâÿçåí). Ïîýòîìó dG (x) ≥ d, à â ñëó÷àå ðàâåíñòâà âñå ñìåæíûå ñ x âåðøèíû ëåæàò âî âíóòðåííîñòÿõ ÷àñòåé Part(S). ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 46 2) Ïóñòü dG (x) = 2. Ïî ïóíêòó 1 òîãäà |Part(S)| = 2 è âåðøèíû ìíîæåñòâà S íåñìåæíû. Çíà÷èò, NG (x) ∈ R2 (G) ìíîæåñòâî, çàâèñèìîå ñ S , ïðîòèâîðå÷èå. Òåïåðü íàøà çàäà÷à ïîíÿòü ñìûñë ÷àñòåé ãðàôà G. Îïèøåì âàæíîå ñâîéñòâî ÷àñòåé ãðàôà è îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ, àíàëîãè÷íîå ñâîéñòâó áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Ýòî ñâîéñòâî ïîçâîëèò íàì ðàçðåçàòü äâóñâÿçíûé ãðàô ïî îäèíî÷íîìó ìíîæåñòâó. Ëåììà 1.3. Äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåð- æäåíèÿ. 1) Ìíîæåñòâî S ∈ R2 (G) ðàçäåëÿåò âåðøèíû a, b ∈ V (G) â ãðàôå G òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà S ðàçäåëÿåò èõ â G0 . Â ÷àñòíîñòè, R2 (G) = R2 (G0 ). 2) Ïóñòü S ∈ R2 (G) íåîäèíî÷íîå ìíîæåñòâî, S ⊂ A ∈ Part(G). Òîãäà S ∈ R2 (G0 (A)), ïðè÷åì ýòî ìíîæåñòâî íåîäèíî÷íîå è â G0 (A). Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïðè ïîñòðîåíèè G0 ìû ñîåäèíÿåì äîïîëíèòåëüíûìè ð¼áðàìè òîëüêî ïàðû âåðøèí, ñîñòàâëÿþùèõ îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî, à òàêèå âåðøèíû íå ðàçäåëåíû íè îäíèì èç ìíîæåñòâ íàáîðà R2 (G). Îòñþäà ëåãêî ñëåäóþò äîêàçûâàåìûå óòâåðæäåíèÿ. 2) Ïóñòü S 0 ∈ R2 (G) çàâèñèìîå ñ S ìíîæåñòâî. Ïî ïóíêòó 1, ìû èìååì S, S 0 ∈ R2 (G0 ), ïðè÷åì ýòè ìíîæåñòâà çàâèñèìû è â ãðàôå G0 . Òàê êàê ãðàô G0 (A) äâóñâÿçåí, íåëüçÿ ðàçäåëèòü äâå âåðøèíû ìíîæåñòâà S ⊂ A â ãðàôå G0 , óäàëèâ ìåíåå äâóõ âåðøèí èç ÷àñòè A. Ñëåäîâàòåëüíî, S 0 ⊂ A. Òîãäà S è S 0 ðàçäåëÿþò äðóã äðóãà è â ãðàôå G0 (A). Ñëåäîâàòåëüíî, S, S 0 ∈ R2 (G0 (A)), ïðè÷åì ýòè ìíîæåñòâà çàâèñèìû. Ñëåäóþùàÿ ëåììà õàðàêòåðèçóåò íåîäèíî÷íûå ìíîæåñòâà. Ïîõîæóþ õàðàêòåðèñòèêó èñïîëüçîâàë â ñâîåé êíèãå [36] Òàòò. 47 ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß Ëåììà 1.4. Ïóñòü S = {a, b} ∈ R2 (G) íåîäèíî÷íîå ìíîæåñòâî. Òî- ãäà |Part(S)| = 2, ïðè÷¼ì äëÿ êàæäîé ÷àñòè A ∈ Part(S) ãðàô G(A) íåäâóñâÿçåí è èìååò òî÷êó ñî÷ëåíåíèÿ, îòäåëÿþùóþ a îò b. Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê S íåîäèíî÷íîå, ñóùåñòâóåò çàâèñèìîå ñ íèì Çíà÷èò, íå ñóùåñòâóåò ab-ïóòè ïî âåðøèíàì ÷àñòè A â ãðàôå G, êîòîðûé íå ïåðåñåêàåòñÿ ñ S 0. Îäíàêî, åñëè S 0 íå ïåðåñåêàåò Int(A), òî òàêîé ïóòü, î÷åâèäíî, ìíîæåñòâî S 0 ∈ R2 (G). Ìíîæåñòâî S 0 , êàê ìû çíàåì, ðàçäåëÿåò S . ñóùåñòâóåò. Ïðîòèâîðå÷èå. Òàêèì îáðàçîì, S 0 ïåðåñåêàåò âíóòðåííîñòü êàæäîé ÷àñòè Part(S), îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ÷àñòåé ðîâíî äâå. Áîëåå òîãî, åñëè {x} = S 0 ∩ Int(A), òî x îòäåëÿåò äðóã îò äðóãà âåðøèíû a è b â G(A). Ëåììà 1.5. Ïóñòü G äâóñâÿçíûé ãðàô áåç îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ. Òî- ãäà ëèáî G òð¼õñâÿçåí, ëèáî G ýòî ïðîñòîé öèêë. Çàìå÷àíèå 1.2. Íàïîìíèì, ÷òî òð¼õñâÿçíûé ãðàô ñîäåðæèò õîòÿ áû 4 âåðøèíû. Â ÷àñòíîñòè, òðåóãîëüíèê íå ÿâëÿåòñÿ òð¼õñâÿçíûì ãðàôîì è äâå àëüòåðíàòèâû èç ëåììû 1.5 âçàèìíî èñêëþ÷àþùèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàø ãðàô G íåòð¼õ- Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 1.5. ñâÿçåí. Äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà S = {a, b} ∈ R2 (G) è êàæäîé ÷à- ñòè A ∈ Part(S) ìû äîêàæåì, ÷òî G(A) ýòî ïðîñòîé ab-ïóòü. x b Ua Ra Ub Rb Ua b x S b a a b b Ra Rb b S b Ub a b b Ðèñ. 1.3: Äâóñâÿçíûé ãðàô áåç îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ. ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 48 Äîêàçàòåëüñòâî áóäåò èíäóêöèåé ïî |A|, áàçà äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ÷àñòü A èìååò ðîâíî îäíó âíóòðåííþþ âåðøèíó, î÷åâèäíà. Äîêàæåì ïåðåõîä. Ïóñòü ìû õîòèì äîêàçàòü óòâåðæäåíèå äëÿ ÷àñòè A ∈ Part(S), à äëÿ ìåíüøèõ ÷àñòåé óòâåðæäåíèå óæå äîêàçàíî. Ïóñòü H = G(A). Òàê êàê ìíîæåñòâî S íåîäèíî÷íîå, ïî ëåììå 1.4 ãðàô H èìååò òî÷êó ñî÷ëåíåíèÿ x, îòäåëÿþùóþ a îò b. Ïóñòü Ua è Ub êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà H − x, ñîäåðæàùèå a è b ñîîòâåòñòâåííî (ñì. ðèñóíîê 1.3a). Èç äâóñâÿçíîñòè ãðàôà G ñëåäóåò, ÷òî äðóãèõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè â ãðàôå H − x íåò (òàêàÿ êîìïîíåíòà âûäåëèëàñü áû è â G − x). Ïóñòü Ua0 = Ua \ {a} 6= ∅. Òîãäà Ra = {a, x} îòäåëÿåò Ua0 îò îñòàëüíûõ âåðøèí â ãðàôå G. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ, ãðàô G(Ua0 ∪ Ra ) = G(Ua ∪ {x}) ïðîñòîé ax-ïóòü. Åñëè Ua = {a}, òî NH (a) = {x} è G(Ua ∪ {x}) òàêæå ïðîñòîé ax-ïóòü. Àíàëîãè÷íî, ãðàô G(Ub ∪ {x}) ïðîñòîé bx-ïóòü. Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàô G(A) ýòî ïðîñòîé ab-ïóòü (ñì. ðèñóíîê 1.3b). Ïî ëåììå 1.4 ìû çíàåì, ÷òî Part(S) = {A1 , A2 }. Êàê ìû äîêàçàëè, îáà ãðàôà G(A1 ) è G(A2 ) ïðîñòûå ïóòè ìåæäó âåðøèíàìè ìíîæåñòâà S , îòêóäà, î÷åâèäíî, ñëåäóåò, ÷òî G ïðîñòîé öèêë. Òåîðåìà 1.2. Ïóñòü G äâóñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþ- ùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Êàæäàÿ ÷àñòü ãðàôà G áëîê èëè öèêë. 2) Ìíîæåñòâî R = {a, b} íåîäèíî÷íîå ìíîæåñòâî èç R2 (G), åñëè è òîëüêî åñëè a è b íåñîñåäíèå â öèêëè÷åñêîì ïîðÿäêå âåðøèíû íåêîòîðîé ÷àñòè-öèêëà. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïî ëåììå 1.1 ìû çíàåì, ÷òî ãðàô G0 (A) äâóñâÿ- çåí. Ïðåäïîëîæèì, S ∈ R2 (G0 (A)). Ïî ëåììå 1.1 ìû èìååì S ∈ R2 (G). Ìíîæåñòâî S íå ìîæåò áûòü îäèíî÷íûì â G, òàê êàê ðàçäåëÿåò ÷àñòü A ∈ Part(G). Ïî ëåììå 1.3 òîãäà S íåîäèíî÷íîå ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî â G0 (A). Ñëåäîâàòåëüíî, â G0 (A) íåò îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ, à çíà÷èò, ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 49 ïî ëåììå 1.5 ýòîò ãðàô ëèáî òð¼õñâÿçåí, ëèáî ÿâëÿåòñÿ öèêëîì. Â ïåðâîì ñëó÷àå ÷àñòü A ÿâëÿåòñÿ áëîêîì, à âî âòîðîì öèêëîì. 2) ⇐. Ïóñòü A = {a1 , a2 , . . . , ak }, ïðè÷åì âåðøèíû óêàçàíû â öèêëè÷åñêîì ïîðÿäêå, R = {a1 , am }, ãäå 2 < m < k . Òîãäà R ∈ R2 (G0 (A)) è äåëèò ãðàô G0 (A) ðîâíî íà äâå ÷àñòè: U1 = {a1 , a2 , . . . , am } è U2 = {am , am+1 , . . . , a1 }. Ïî ëåììå 1.1 ìû èìååì R ∈ R2 (G). Î÷åâèäíî, R ∈ / O(G). ⇒. Ìíîæåñòâî R íåçàâèñèìî ñî âñåìè îäèíî÷íûìè ìíîæåñòâàìè ãðàôà G, à ïîòîìó ëåæèò â îäíîé èç ÷àñòåé A ∈ Part(G). Ïî ëåììå 1.3 òîãäà R ∈ R2 (G0 (A)). Èç ïóíêòà 1 òåîðåìû ÿñíî, ÷òî òîãäà A öèêë äëèíû õîòÿ áû 4. Òåïåðü ïîíÿòíî, ÷òî R ñîñòîèò èç äâóõ íåñîñåäíèõ âåðøèí ýòîãî öèêëà. Â çàâåðøåíèè îòìåòèì åùå îäíî î÷åâèäíîå ñâîéñòâî. Ñëåäñòâèå 1.1. Åñëè ÷àñòü A ∈ Part(G) öèêë, òî âñå âåðøèíû èç Int(A) èìåþò ñòåïåíü 2 â ãðàôå G. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè x ∈ Int(A), òî ð¼áðà ãðàôà G âûõîäÿò èç x òîëü- êî ê âåðøèíàì ÷àñòè A, à òàêèõ ð¼áåð, î÷åâèäíî, ðîâíî äâà. Íà ýòîì çàêîí÷èì èçó÷åíèå ñîáñòâåííî äåðåâà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà è ïåðåéä¼ì ê åãî ïðèìåíåíèþ. 1.3 1.3.1 Ïðèìåíåíèå äåðåâà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà ×àñòè ðàçáèåíèÿ è ïëàíàðíîñòü Ïîíÿòíî, ÷òî ñâÿçíûé ãðàô ïëàíàðåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïëàíàðåí ëþáîé åãî áëîê. Â ýòîì ðàçäåëå ìû îáñóäèì àíàëîãè÷íûé êðèòåðèé ïëàíàðíîñòè äëÿ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ â òåðìèíàõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ýòîãî ãðàôà. ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß Îïðåäåëåíèå 1.6. 50 1) Ãðàô H 0 íàçûâàåòñÿ ïîäðàçáèåíèåì ãðàôà H , åñ- ëè H 0 ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç H çàìåíîé íåêîòîðûõ ð¼áåð íà ïðîñòûå ïóòè. Ïðè ýòîì, âñå âíóòðåííèå âåðøèíû äîáàâëÿåìûõ ïóòåé ðàçëè÷íû, èìåþò ñòåïåíü 2 è íå ñîäåðæàòñÿ â ãðàôå H . 2) ×åðåç G ⊃ H áóäåì îáîçíà÷àòü, ÷òî ãðàô G ñîäåðæèò â êà÷åñòâå ïîäãðàôà ïîäðàçáèåíèå ãðàôà H . Ëåììà 1.6. Ïóñòü G äâóñâÿçíûé ãðàô, A ∈ Part(G). Òîãäà G ⊃ G0 (A). Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ðåáðî ab ∈ E(G0 (A))\E(G). Òîãäà a, b ∈ A è {a, b} ∈ O(G). Ïóñòü Ua,b ∈ Part({a, b}) ÷àñòü, íå ñîäåðæàùàÿ A. Òîãäà ñóùåñòâóåò ab-ïóòü Sa,b ïî âåðøèíàì ÷àñòè Ua,b â ãðàôå G. Çàìåíèì ðåáðî ab íà ïóòü Sa,b . Â ðåçóëüòàòå íåñêîëüêèõ òàêèõ çàìåí ìû ïîëó÷èì ïîäãðàô H ãðàôà G. Ïóñòü ab è xy äâà ðàçíûõ çàìåíåííûõ ðåáðà (âîçìîæíî, îíè èìåþò îáùèé êîíåö). Òîãäà ÷àñòè Ua,b è Ux,y ðàçåäåëåíû ÷àñòüþ A â BT(G), ïîýòîìó íå èìåþò îáùåé âíóòðåííåé âåðøèíû. Ñëåäîâàòåëüíî, íèêàêèå äâà äîáàâëåííûõ ïóòè íå èìåþò îáùåé âíóòðåííåé âåðøèíû, à çíà÷èò, ãðàô H ÿâëÿåòñÿ ïîäðàçáèåíèåì G0 (A). Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïî÷òè ïîâòîðÿåò òåîðåìó, äîêàçàííóþ Ìàêëåéíîì â 1937 ãîäó [20]. Òåîðåìà 1.3. Äâóñâÿçíûé ãðàô G ïëàíàðåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî áëîêà B ∈ Part(G) ãðàô G0 (B) ïëàíàðåí. Åäèíñòâåííîå îòëè÷èå íàøåé âåðñèè îò òåîðåìû Ìàêëåéíà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ó Ìàêëåéíà âìåñòî ïîäãðàôîâ âèäà G0 (B) ôèãóðèðóþò òàê íàçûâàåìûå àòîìû, êîòîðûå íà ñàìîì äåëå ÿâëÿþòñÿ ïîäðàçáèåíèÿìè ïîäãðàôîâ G0 (B). Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1.3 íåñëîæíî ñëåäóåò èç òåîðåìû Êóðàòîâñêîãî î õàðàêòåðèçàöèè íåïëàíàðíûõ ãðàôîâ. ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 1.3.2 51 ×àñòè ðàçáèåíèÿ è õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî Òåîðåìà 1.4. Äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåð- æäåíèÿ. 1) χ(G) ≤ χ(G0 ) = max χ(G0 (A)). A∈Part(G) 2) χ(G) ≤ max χ(G(A)) + 1. A∈Part(G) 3) χ(G) ≤ max 3, Äîêàçàòåëüñòâî. max χ(G(A)) + 1 . A áëîê G Ðàçîáüåì äåðåâî BT(G) íà óðîâíè, ïóñòü óðîâåíü 0 ñî- ñòîèò èç ëþáîé ÷àñòè B ∈ Part(G), â êàæäûé ñëåäóþùèé óðîâåíü ` + 1 âîéäóò âåðøèíû, íå âîøåäøèå â óðîâíè 0, . . . , ` è ñìåæíûå õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé óðîâíÿ `. Ïî ïîñòðîåíèþ äåðåâà BT(G) ïîíÿòíî, ÷òî ÷åòíûå óðîâíè ñîñòîÿò èç ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ, à íå÷åòíûå èç îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ. Ìû áóäåì êðàñèòü âåðøèíû ÷àñòåé ãðàôà G â ïîðÿäêå, çàäàííîì ðàçáèåíèåì íà óðîâíè. 1) Äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü ïðàâèëüíóþ ðàñêðàñêó ãðàôà G0 â k= max χ(G0 (A)) A∈Part(G) öâåòîâ. Ãðàô G0 (B) ìû, î÷åâèäíî, ìîæåì ïîêðàñèòü â k öâåòîâ. Ïóñòü âåðøèíû ÷àñòåé èç óðîâíåé ìåíåå 2` > 0 óæå ïîêðàøåíû. Ðàññìîòðèì ÷àñòü A ∈ Part(G) óðîâíÿ 2`, òîãäà îíà ñìåæíà â BT(G) ðîâíî ñ îäíèì îäèíî÷íûì ìíîæåñòâîì S óðîâíÿ 2` − 1 è â ÷àñòè A ïîêðàøåíû òîëüêî äâå âåðøèíû ìíîæåñòâà S , ïðè÷åì â ðàçíûå öâåòà, òàê êàê îíè ñìåæíû â G0 . Ïîíÿòíî, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðàâèëüíàÿ ðàñêðàñêà ãðàôà G0 (A) â k öâåòîâ. Ïîñêîëüêó âåðøèíû ìíîæåñòâà S â ýòîé ðàñêðàñêå ðàçíîöâåòíû, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî èõ öâåòà èìåííî òàêèå, êàê â ðàñêðàñêå âåðøèí ÷àñòåé ïðåäûäóùèõ óðîâíåé. 2) Äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü ïðàâèëüíóþ ðàñêðàñêó ãðàôà G â m+1= max χ(G(A)) + 1 A∈Part(G) ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 52 öâåòîâ. Ãðàô G(B) ìû ìîæåì ïîêðàñèòü äàæå â m öâåòîâ. Ïóñòü âåðøèíû ÷àñòåé èç óðîâíåé ìåíåå 2` > 0 óæå ïîêðàøåíû. Ðàññìîòðèì ÷àñòü A ∈ Part(G) óðîâíÿ 2`, òîãäà îíà ñìåæíà â BT(G) ðîâíî ñ îäíèì îäèíî÷íûì ìíîæåñòâîì S óðîâíÿ 2` − 1 è â ÷àñòè A ïîêðàøåíû òîëüêî äâå âåðøèíû ìíîæåñòâà S = {a, b}. Ïóñòü âåðøèíû a è b ïîêðàøåíû â öâåòà i è j , âîçìîæíî, ñîâïàäàþùèå. Åñëè i = j , òî ïîêðàñèì âåðøèíû G(A) ïðàâèëüíûì îáðàçîì â m öâåòîâ, íå èñïîëüçóÿ öâåò i, à ïîòîì ïåðåêðàñèì âåðøèíû a è b â öâåò i. Åñëè i 6= j , òî ïîêðàñèì âåðøèíû G(A) ïðàâèëüíûì îáðàçîì â m öâåòîâ òàê, ÷òîáû a áûëà ïîêðàøåíà â öâåò i, íå èñïîëüçóÿ ïðè ýòîì öâåò j , à ïîòîì ïåðåêðàñèì âåðøèíó b â öâåò j . Â ëþáîì ñëó÷àå ïîíÿòíî, ÷òî ïîëó÷èòñÿ ïðàâèëüíàÿ ðàñêðàñêà âåðøèí ÷àñòè A, ñîãëàñîâàííàÿ ñ ðàñêðàñêîé âåðøèí ÷àñòåé ïðåäûäóùèõ óðîâíåé. 3) Åäèíñòâåííîå îòëè÷èå îò ïóíêòà 2 ñîñòîèò â òîì, ÷òî åñëè ðàññìàòðèâàåìàÿ ÷àñòü A öèêë, ó êîòîðîãî êàê-òî ïîêðàøåíû äâå âåðøèíû, òî îñòàëüíûå âåðøèíû ÷àñòè A íåñëîæíî äîêðàñèòü, íå íàðóøàÿ ïðàâèëüíîñòü ðàñêðàñêè è èñïîëüçîâàâ ïðè ýòîì òðè öâåòà. Çàìå÷àíèå 1.3. Â äîêàçàòåëüñòâå óòâåðæäåíèÿ 2 òåîðåìû 1.4 ìû ìî- æåì ïðîèçâîëüíî âûáðàòü ÷àñòü B , ñ êîòîðîé íà÷èíàåòñÿ ïîêðàñêà, à äëÿ ýòîé ÷àñòè íå íóæíî èñïîëüçîâàòü äîïîëíèòåëüíûé öâåò. Ïîýòîìó ïðè âû÷èñëåíèè ìàêñèìóìà ìîæíî íå ïðèáàâëÿòü 1 ê õðîìàòè÷åñêîìó ÷èñëó ãðàôà G(A) äëÿ îäíîé èç ÷àñòåé A ∈ Part(G) (èìåííî ýòó ÷àñòü íóæíî áóäåò âûáðàòü â êà÷åñòâå B ). Àíàëîãè÷íî, â óòâåðæäåíèè 3 ìîæíî íå ïðèáàâëÿòü 1 ê õðîìàòè÷åñêîìó ÷èñëó îäíîãî èç áëîêîâ. Ñëåäñòâèå 1.2. Åñëè âñå ÷àñòè äâóñâÿçíîãî ãðàôà G öèêëû, òî χ(G) ≤ 3. ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 53 Ïåðåéäåì ê îöåíêàì íà ñïèñî÷íîå õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî äâóñâÿçíîãî ãðàôà. Òåîðåìà 1.5. Äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåð- æäåíèÿ. 1) ch(G) ≤ max ch(G(A)) + 2. A∈Part(G) 2) ch(G) ≤ max 3, Äîêàçàòåëüñòâî. max ch(G(A)) + 2 . A áëîê G 1) Àíàëîãè÷íî òåîðåìå 1.4, ìû ðàçîáüåì âåðøèíû äå- ðåâà ðàçáèåíèÿ íà óðîâíè, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîé ÷àñòè B , è áóäåì êðàñèòü ÷àñòè ïî óðîâíÿì. Ïóñòü âåðøèíû ÷àñòåé èç óðîâíåé ìåíåå 2` > 0 óæå ïîêðàøåíû. Ðàññìîòðèì ÷àñòü A ∈ Part(G) óðîâíÿ 2`, òîãäà îíà ñìåæíà â BT(G) ðîâíî ñ îäíèì îäèíî÷íûì ìíîæåñòâîì S óðîâíÿ 2` − 1 è â ÷àñòè A ïîêðàøåíû òîëüêî äâå âåðøèíû ìíîæåñòâà S = {x, y}. Â ñïèñêå êàæäîé âåðøèíû ãðàôà G(A) õîòÿ áû ch(G(A)) + 2 öâåòà. Óäàëèì èç ñïèñêîâ öâåòà âåðøèí x è y , îñòàâøèõñÿ öâåòîâ õâàòèò äëÿ ïðàâèëüíîé ðàñêðàñêè îñòàâøèõñÿ âåðøèí ÷àñòè A. 2) Îòëè÷èå îò ïóíêòà 1 ñîñòîèò â ðàñêðàñêå ÷àñòåé-öèêëîâ. Ïóñòü A öèêë. Òîãäà ðàíåå ïîêðàøåíî äâå âåðøèíû ÷àñòè A. Òåïåðü ïîêðàñèì îñòàëüíûå âåðøèíû: ýòî âîçìîæíî, òàê êàê â ìîìåíò ïîêðàñêè î÷åðåäíîé âåðøèíû ïîêðàøåíî íå áîëåå äâóõ åå ñîñåäåé, à â ñïèñêå åñòü òðè öâåòà. Çàìå÷àíèå 1.4. Â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.5 ìû ìîæåì ïðîèçâîëüíî âûáðàòü ÷àñòü B , ñ êîòîðîé íà÷èíàåòñÿ ïîêðàñêà, à äëÿ ýòîé ÷àñòè íå íóæíî èñïîëüçîâàòü äîïîëíèòåëüíûå äâà öâåòà. Ïîýòîìó ïðè âû÷èñëåíèè ìàêñèìóìà ìîæíî íå ïðèáàâëÿòü 2 ê ch(G(A)) äëÿ îäíîé èç ÷àñòåé A ∈ Part(G) (èìåííî ýòó ÷àñòü íóæíî áóäåò âûáðàòü â êà÷åñòâå B ). 54 ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 1.3.3 Êðèòè÷åñêèå äâóñâÿçíûå ãðàôû Äåðåâî BT(G) ïîìîãàåò ïîíÿòü, êàê óñòðîåíû êðèòè÷åñêèå äâóñâÿçíûå ãðàôû. Ñëåäñòâèå 1.3. 1) Äâóñâÿçíûé ãðàô G ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå åãî ÷àñòè-áëîêè è ÷àñòè-òðåóãîëüíèêè èìåþò ïóñòóþ âíóòðåííîñòü. 2) Ïóñòü A ∈ Part(S) êðàéíÿÿ ÷àñòü êðèòè÷åñêîãî äâóñâÿçíîãî ãðàôà G, ñìåæíàÿ â BT(G) ñ îäèíî÷íûì ìíîæåñòâîì S . Òîãäà A öèêë äëèíû õîòÿ áû 4 è âñå âåðøèíû A, êðîìå äâóõ âåðøèí ìíîæåñòâà S , èìåþò â ãðàôå G ñòåïåíü 2. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Èç òåîðåìû 1.2 î÷åâèäíî, ÷òî âåðøèíû, íå âõîäÿ- ùèå â ìíîæåñòâà èç R2 (G) (òî åñòü âåðøèíû, óäàëåíèå êîòîðûõ íå íàðóøàåò äâóñâÿçíîñòü ãðàôà G) ýòî êàê ðàç âíóòðåííèå âåðøèíû áëîêîâ è òðåóãîëüíèêîâ ãðàôà G. b b b b b b b b b b S b b b b b b b b a b b b Ðèñ. 1.4: Êðèòè÷åñêèå äâóñâÿçíûå ãðàôû. 2) Ïóñòü A êðàéíÿÿ ÷àñòü ãðàôà G. Ïî ïóíêòó 1, òîãäà A öèêë äëèíû õîòÿ áû 4, à S ñîñòîèò èç äâóõ ñîñåäíèõ âåðøèí ýòîãî öèêëà. Îñòàëüíûå (õîòÿ áû äâå) âåðøèíû A âíóòðåííèå è ïî ñëåäñòâèþ 1.1 èìåþò ñòåïåíü 2 â ãðàôå G (ñì. ðèñóíîê 1.4a). Ñëåäñòâèå 1.4. Êðèòè÷åñêèé äâóñâÿçíûé ãðàô íà íå ìåíåå ÷åì 4 âåð- øèíàõ èìååò õîòÿ áû 4 âåðøèíû ñòåïåíè 4. ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß Äîêàçàòåëüñòâî. 55 Åñëè ãðàô G èìååò õîòÿ áû îäíî îäèíî÷íîå ìíîæå- ñòâî, òî ó ãðàôà G íå ìåíåå äâóõ êðàéíèõ ÷àñòåé, óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî ñëåäóåò èç ïóíêòà 2 ñëåäñòâèÿ 1.3. Ïóñòü îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ ó ãðàôà G íåò. Êðèòè÷åñêèé äâóñâÿçíûé ãðàô, î÷åâèäíî, íå ÿâëÿåòñÿ òð¼õñâÿçíûì è ñîäåðæèò õîòÿ áû 4 âåðøèíû. Çíà÷èò, ïî ëåììå 1.5 ãðàô G öèêë äëèíû íå ìåíåå 4, â ýòîì ñëó÷àå óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Áîëåå òîãî, òåïåðü ïîíÿòíî, êàê óñòðîåíû êðèòè÷åñêèå äâóñâÿçíûå ãðàôû, ó êîòîðûõ ðîâíî 4 âåðøèíû ñòåïåíè 2. Âî-ïåðâûõ, ýòî öèêë èç ÷åòûðåõ âåðøèí. Òåïåðü ðàññìîòðèì òàêîé ãðàô G íå ìåíåå ÷åì ñ ïÿòüþ âåðøèíàìè. Òîãäà äåðåâî BT(G) äîëæíî èìåòü ðîâíî äâå âèñÿ÷èå âåðøèíû è îíè ñîîòâåòñòâóþò öèêëàì äëèíû 4. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå íåêðàéíèå áëîêè è âñå îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà èìåþò ñòåïåíü 2 â BT(G). Çíà÷èò, êàæäîå îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî äåëèò ãðàô ðîâíî íà äâå ÷àñòè (äëÿ íåîäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ ýòî âñåãäà òàê). Êðàéíèå ÷àñòè íàøåãî ãðàôà ñîäåðæàò ðîâíî 4 âíóòðåííèõ âåðøèíû ñòåïåíè 2, ñëåäîâàòåëüíî, â íåêðàéíèõ ÷àñòÿõ âåðøèí ñòåïåíè 2 íåò. Ðàññìîòðèì íåêðàéíþþ ÷àñòü A ∈ Part(G). Òàê êàê dBT(G) (A) = 2, ãðàíèöà A ñîñòîèò ðîâíî èç äâóõ îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ, òî åñòü, èìååò 3 èëè 4 âåðøèíû. Äîêàæåì, ÷òî Int(A) = ∅. Åñëè A áëîê, òî ýòî äîêàçàíî â òåîðåìå 1.3. Åñëè A öèêë, òî åãî âíóòðåííÿÿ âåðøèíà èìååò ñòåïåíü 2 â ãðàôå G, êàê óæå äîêàçûâàëîñü âûøå, òî åñòü, êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíè äâà áóäåò áîëåå 4. Òàêèì îáðàçîì, íåêðàéíÿÿ ÷àñòü Part(G) ìîæåò áûòü òðåóãîëüíèêîì, ÷åòûð¼õóãîëüíèêîì èëè áëîêîì èç ÷åòûð¼õ âåðøèí, ïðè÷åì åå âåðøèíû ïîêðûâàþòñÿ äâóìÿ îäèíî÷íûìè ìíîæåñòâàìè, ñìåæíûìè ñ ýòîé ÷àñòüþ â äåðåâå BT(G). Ïðèìåð êðèòè÷åñêîãî äâóñâÿçíîãî ãðàôà G ñ 4 âåðøèíàìè ñòåïåíè 2 ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 1.4á. 56 ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 1.3.4 Ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû Òåîðåìà 1.6. Äâóñâÿçíûé ãðàô G ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûì òîãäà è òîëü- êî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå äâà óñëîâèÿ: (a) åñëè {a, b} ∈ R2 (G), òî âåðøèíû a è b íåñìåæíû; (b) äëÿ ëþáîãî áëîêà A ãðàôà G ãðàô G(A) íå èìååò íè îäíîãî ðåáðà. Äîêàçàòåëüñòâî. ⇒. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô. Ïðåä- ïîëîæèì, ÷òî S = {a, b} ∈ R2 (G), ab ∈ E(G), Part(S) = {A1 , . . . , An }. Òàê êàê G äâóñâÿçåí, îáå âåðøèíû a è b ñìåæíû ñ Int(Aj ). Ãðàô G(Int(Aj )) ñâÿçåí, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò ab-ïóòü, âíóòðåííèå âåðøèíû êîòîðîãî ëåæàò â Int(Aj ) è èõ ìíîæåñòâî íåïóñòî. Òàêèì îáðàçîì, â ãðàôå G − ab ñóùåñòâóåò n ≥ 2 íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïî âíóòðåííèì âåðøèíàì ab-ïóòåé, îòêóäà ñëåäóåò äâóñâÿçíîñòü ãðàôà G − ab. Ïðîòèâîðå÷èå ñ ìèíèìàëüíîñòüþ G ïîêàçûâàåò, ÷òî óñëîâèå (a) âûïîëíåíî. Ïóñòü A áëîê ãðàôà G; x, y ∈ A, xy ∈ E(G). Ãðàô G0 (A) òð¼õñâÿçåí, ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå Ìåíãåðà ñóùåñòâóåò òðè xy -ïóòè â ãðàôå G0 , íå èìåþùèå îáùèõ âíóòðåííèõ âåðøèí. Ïî ëåììå 1.6, ãðàô G ñîäåðæèò ïîäðàçáèåíèå G0 (A), ïîýòîìó òàêæå ñîäåðæèò òðè xy -ïóòè áåç îáùèõ âíóòðåííèõ âåðøèí. Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàô G − xy ñîäåðæèò äâà òàêèõ ïóòè, à çíà÷èò, îí äâóñâÿçåí. Ïðîòèâîðå÷èå ñ ìèíèìàëüíîñòüþ G. Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå (b) âûïîëíåíî. ⇐. Ïóñòü G íå ìèíèìàëüíûé ãðàô, à ðåáðî xy ∈ E(G) òàêîâî, ÷òî ãðàô G−xy äâóñâÿçåí. Ïîíÿòíî, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü A ∈ Part(G), ÷òî x, y ∈ A. Èç óñëîâèÿ (b) ñëåäóåò, ÷òî A öèêë. Ïóñòü z ∈ A \ {x, y}. Òîãäà ìíîæåñòâî T = {z, xy} äåëèò öèêë G0 (A) íà äâå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè Ux 3 x è Uy 3 y . Òàê êàê {x, y}, î÷åâèäíî, íå ÿâëÿåòñÿ îäèíî÷íûì ìíîæåñòâîì ãðàôà G, ïî ïóíêòó 2 ëåììû 1.1 ãðàô G − T íåñâÿçåí, à çíà÷èò, ãðàô G − xy íåäâó- ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 57 ñâÿçåí. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî ãðàô G ìèíèìàëåí. Ñëåäñòâèå 1.5. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà âû- ïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Åñëè A áëîê ãðàôà G, òî Int(A) = ∅. 2) Ïóñòü A êðàéíÿÿ ÷àñòü ãðàôà G, ñìåæíàÿ â BT(G) ñ îäèíî÷íûì ìíîæåñòâîì S . Òîãäà A öèêë, à âñå åãî âåðøèíû, êðîìå äâóõ âåðøèí ìíîæåñòâà S , èìåþò ñòåïåíü 2. 3) Ìíîæåñòâî âíóòðåííèõ âåðøèí ÷àñòåé ãðàôà G ñîñòîèò èç âñåõ âåðøèí ýòîãî ãðàôà, èìåþùèõ ñòåïåíü 2. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïóñòü x ∈ Int(A), ðàññìîòðèì ðåáðî xy ∈ E(G). Ïîíÿòíî, ÷òî y ∈ A, òàêèì îáðàçîì, ãðàô G(A) èìååò ðåáðî, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò òåîðåìå 1.6. 2) Òàê êàê A êðàéíÿÿ ÷àñòü, òî Int(A) 6= ∅. Çíà÷èò, A öèêë è óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. 3) Ïðÿìîå ñëåäñòâèå ëåììû 1.2 è ïóíêòà 1. 1.4 Äåðåâî ðàçðåçîâ Ìû íà÷íåì ñ îïðåäåëåíèÿ ðàçðåçà k -ñâÿçíîãî ãðàôà è ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ k -ñâÿçíîãî ãðàôà ìíîæåñòâîì åãî ðàçðåçîâ. Â ýòîì ðàçäåëå ãðàô G áóäåò k -ñâÿçíûì. 1.4.1 Ðàçðåçû Îïðåäåëåíèå 1.7. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô. 1) Áóäåì íàçûâàòü ðàçðåçîì k -ýëåìåíòíîå ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî èç âåðøèí è ð¼áåð ãðàôà G, ñîäåðæàùåå õîòÿ áû îäíî ðåáðî. Ìíîæåñòâî âñåõ ðàçðåçîâ ãðàôà G îáîçíà÷èì ÷åðåç T(G). ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 58 2) Äëÿ ðàçðåçà T ∈ T(G) îáîçíà÷èì ÷åðåç V (T ) ìíîæåñòâî âñåõ âõîäÿùèõ â T âåðøèí, à ÷åðåç W (T ) ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ âåðøèí, âõîäÿùèõ â ðàçðåç T è âñåõ âåðøèí, èíöèäåíòíûõ ð¼áðàì ðàçðåçà T . Çàìå÷àíèå 1.5. 1) Íèêàêàÿ âåðøèíà ðàçðåçà T ∈ T(G) (òî åñòü, èç ìíî- æåñòâà V (T )) íå ìîæåò áûòü èíöèäåíòíà íèêàêîìó ðåáðó èç T . 2) Äëÿ ëþáîãî ðàçðåçà T ∈ T(G) ãðàô G − T èìååò äâå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè, ïóñòü ýòî U1 è U2 . Äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ T êîìïîíåíòû U1 è U2 ñîäåðæàò ïî îäíîìó êîíöó e. Òåïåðü îïðåäåëèì ÷àñòè ðàçáèåíèÿ ãðàôà ðàçðåçîì è ãðàíèöû ðàçðåçà. Îïðåäåëåíèå 1.8. 1) Ïóñòü T ∈ T(G), à U1 è U2 êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà G − T . Íàçîâåì ìíîæåñòâà Ai = Ui ∪ V (T ) ÷àñòÿìè ðàçáèåíèÿ ãðàôà G ðàçðåçîì T . Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå Part(T ) = {A1 , A2 }. 2) Ãðàíèöàìè ðàçðåçà T ìû áóäåì íàçûâàòü ìíîæåñòâà âåðøèí A1 ∩ W (T ) è A2 ∩ W (T ). Çàìå÷àíèå 1.6. Ïóñòü T ∈ T(G), Part(T ) = {A1 , A2 }. Òîãäà âûïîëíÿþò- ñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) A1 ∪ A2 = V (G), A1 ∩ A2 = V (T ). 2) Ãðàíèöû ðàçðåçà T ñîäåðæàò ïî k ýëåìåíòîâ. Êàæäàÿ èç ãðàíèö ðàçðåçà T ñîäåðæèò V (T ) è ïî îäíîìó êîíöó âñåõ âõîäÿùèõ â T ð¼áåð. 3) Åñëè ìíîæåñòâî A0 = A1 \ W (T ) íåïóñòî, òî A1 ∩ W (T ) ãðàíèöà ðàçðåçà T îòäåëÿåò A0 îò V (G) \ A1 , à êàæäàÿ âåðøèíà x ∈ A1 ∩ W (T ) ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç A0 . Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå ãðàíèöà ðàçðåçà ÿâëÿåòñÿ k -âåðøèííûì ðàçäåëÿþùèì ìíîæåñòâîì â k -ñâÿçíîì ãðàôå G (òî åñòü, ïðèíàäëåæèò Rk (G)). ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 1.4.2 59 ×àñòè ðàçáèåíèÿ Îïðåäåëèì ðàçáèåíèå ãðàôà ìíîæåñòâîì èç íåñêîëüêèõ ðàçðåçîâ. Îïðåäåëåíèå 1.9. Ïóñòü S ⊂ T(G). Íàçîâåì êâàçè÷àñòÿìè ðàçáèåíèÿ ãðàôà G ìíîæåñòâîì ðàçðåçîâ S ìíîæåñòâà âèäà A= \ AS , ãäå AS ∈ Part(S). (1.1) S∈S ×àñòÿìè ðàçáèåíèÿ ãðàôà G ìíîæåñòâîì ðàçðåçîâ S ìû íàçîâåì âñå ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ êâàçè÷àñòè. Ìíîæåñòâî âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G ìíîæåñòâîì ðàçðåçîâ S áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Part(G; S), à ìíîæåñòâî âñåõ êâàçè÷àñòåé ÷åðåç QPart(G; S). Â ñëó÷àå, êîãäà ÿñíî, êàêîé ãðàô ðàçáèâàåòñÿ, áóäåì ïèñàòü ïðîñòî Part(S) è QPart(S). Îïðåäåëåíèå 1.10. Ïóñòü S ⊂ T(G), A ∈ QPart(S). 1) Ãðàíèöåé êâàçè÷àñòè A áóäåò ìíîæåñòâî Bound(A) âñåõ âåðøèí ýòîé êâàçè÷àñòè, ÿâëÿþùèõñÿ âåðøèíàìè ðàçðåçîâ èç S. 3) Âíóòðåííîñòü êâàçè÷àñòè A ýòî ìíîæåñòâî Int(A) = A \ Bound(A). 4) Oïðåäåëèì ãðàíè÷íûé ðàçðåç Cut(A) êâàçè÷àñòè A: îí ñîñòîèò èç ìíîæåñòâà âåðøèí Bound(A) è âñåõ ð¼áåð, âõîäÿùèõ â ðàçðåçû ìíîæåñòâà S è èíöèäåíòíûõ âåðøèíàì èç Int(A). Çàìå÷àíèå 1.7. 1) Åñëè äâå ðàçëè÷íûå êâàçè÷àñòè A1 , A2 ∈ QPart(S) èìåþò íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå, òî A1 ∩ A2 ⊂ V (S) äëÿ íåêîòîðîãî ðàçðåçà S ∈ S. 2) Ãðàíè÷íûé ðàçðåç ÷àñòè íå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ðàçðåçîì. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî, ÷òîáû Cut(A) ñîäåðæàë ðîâíî k ýëåìåíòîâ è ñðåäè íèõ áûëî õîòÿ áû îäíî ðåáðî. 60 ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß Ëåììà 1.7. Äëÿ ìíîæåñòâà ðàçðåçîâ S ⊂ T(G) âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþ- ùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ïóñòü êâàçè÷àñòü B ∈ QPart(S) íå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ Part(S). Òîãäà B ⊂ V (S) äëÿ íåêîòîðîãî ðàçðåçà S ∈ S. 2) Ïóñòü S = S1 ∪ S2 , ïðè÷åì S1 ∩ S2 = ∅. Òîãäà ÷àñòè Part(S) ýòî ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâà âåðøèí, ïðåäñòàâèìûå â âèäå A = A1 ∩ A2 , Äîêàçàòåëüñòâî. B= \ Ai ∈ Part(Si ). (1.2) 1) Ïóñòü B ( B 0 ∈ Part(S), ïðè÷åì BS , S∈S ãäå B0 = \ BS0 , ãäå BS , BS0 ∈ Part(S). S∈S Cóùåñòâóåò òàêîå S ∈ S, ÷òî BS 6= BS0 . Òîãäà B ⊂ BS ∩ BS0 = V (S). 2) Ïóñòü A ∈ Part(S), òîãäà äëÿ i ∈ {1, 2} ñóùåñòâóþò òàêèå ÷àñòè Ai ∈ Part(Si ), ÷òî A ⊂ Ai . Ïóñòü A0 = A1 ∩ A2 . Òîãäà A0 ∈ QPart(S) è A ⊂ A0 , îòêóäà ïî îïðåäåëåíèþ ÷àñòè ñëåäóåò, ÷òî A = A0 . Òàêèì îáðàçîì, âñå ÷àñòè Part(S) ïðåäñòàâèìû â âèäå (1.2). Ïóñòü A = A1 ∩A2 ìàêñèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâî âèäà (1.2) èA∈ / Part(S). Î÷åâèäíî, A ∈ QPart(S). Çíà÷èò, ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü B ∈ Part(S), ÷òî A ( B . Êàê ìû çíàåì, ÷àñòü B ïðåäñòàâèìà â âèäå (1.2), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ìàêñèìàëüíîñòè A. Ëåììà 1.8. Ïóñòü S ⊂ T(G), A ∈ Part(S), ïðè÷åì Int(A) 6= ∅. Îáî- çíà÷èì ÷åðåç A îáúåäèíåíèå âñåõ îòëè÷íûõ îò A ÷àñòåé Part(S). Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Cut(A) îòäåëÿåò A îò A. 2) Åñëè |Cut(A)| = k è Cut(A) ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíî ðåáðî, òî Cut(A) ðàçðåç ñ Part(Cut(A)) = {A, A}. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Îòìåòèì, ÷òî A ∩ A = Bound(A), A ∪ A = V (G). (1.3) 61 ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß Ëþáîå ðåáðî e ∈ E(G), âûõîäÿùåå èç Int(A) â A \ Bound(A), ñîåäèíÿåò äâå âåðøèíû, ðàçäåëåííûå õîòÿ áû îäíèì èç ðàçðåçîâ ìíîæåñòâà S, à çíà÷èò, ïðèíàäëåæèò îäíîìó èç ýòèõ ðàçðåçîâ. Íî òîãäà e ∈ Cut(A). 2) Èç óñëîâèÿ è ïóíêòà 1 ñëåäóåò, ÷òî Cut(A) ðàçðåç. Ñëåäîâàòåëüíî, |Part(Cut(A))| = 2. Â ñèëó (1.3) ïîíÿòíî, ÷òî Part(Cut(A)) = {A, A}. 1.4.3 Íåçàâèñèìûå ðàçðåçû Îïðåäåëåíèå 1.11. Ðàçðåçû S, T ∈ Tk (G) íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè ìîæíî ââåñòè òàêèå îáîçíà÷åíèÿ Part(S) = {A1 , A2 }, Part(T ) = {B1 , B2 }, ÷òî A1 ⊃ B2 è B1 ⊃ A2 . Èíà÷å ìû áóäåì íàçûâàòü ðàçðåçû S è T çàâèñè- ìûìè. Ëåììà 1.9. Ïóñòü ðàçðåçû S, R, T ∈ T(G) òàêîâû, ÷òî S è R íåçàâè- ñèìû, à òàêæå T è R íåçàâèñèìû. Ïóñòü Part(S) = {A1 , A2 }, Part(T ) = {B1 , B2 }, Part(R) = {D1 , D2 }, ïðè÷åì D1 ⊃ A1 è D2 ⊃ B2 . Òîãäà ðàçðåçû S è T íåçàâèñèìû. Äîêàçàòåëüñòâî. Èç íåçàâèñèìîñòè ðàçðåçîâ S è R ñëåäóåò, ÷òî A2 ⊃ D2 ⊃ B2 . Èç íåçàâèñèìîñòè ðàçðåçîâ T è R ñëåäóåò, ÷òî B1 ⊃ D1 ⊃ A1 . Òàêèì îáðàçîì, S è T íåçàâèñèìû. Ëåììà 1.10. Ïóñòü ðàçðåçû S, T ∈ T(G) íåçàâèñèìû, Part(S) = {A1 , A2 }, Part(T ) = {B1 , B2 } ïðè÷åì A1 ⊃ B2 è B1 ⊃ A2 . Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) A1 ⊃ Bound(B2 ), A2 6⊃ Bound(B2 ). 2) Åñëè S è T íå èìåþò îáùèõ ð¼áåð, òî A1 ⊃ W (T ) è A2 6⊃ Bound(B1 ). Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Î÷åâèäíî, A1 ⊃ B2 ⊃ Bound(B2 ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî A2 ⊃ Bound(B2 ). Òîãäà k − 1 = |V (S)| = |A1 ∩ A2 | ≥ |Bound(B2 )| = k, ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 62 ÷òî íåâîçìîæíî. 2) Ïóñòü b1 b2 ∈ T , bi ∈ Int(Bi ). Ìû çíàåì, ÷òî b2 ∈ A1 . Åñëè b2 ∈ S , òî b2 ∈ A2 ⊂ B1 , ÷òî íåâåðíî. Çíà÷èò, b2 ∈ / S . Ïîñêîëüêó b1 b2 ∈ / S , òî âåðøèíû b1 è b2 íå ðàçäåëåíû ðàçðåçîì S , òî åñòü, b1 ∈ A1 . Ñëåäîâàòåëüíî, A1 ⊃ W (T ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî A2 ⊃ Bound(B1 ). Òîãäà k − 1 = |V (S)| = |A1 ∩ A2 | ≥ |Bound(B1 )| = k, ÷òî íåâîçìîæíî. 1.4.4 Äåðåâî ðàçðåçîâ è åãî ñâîéñòâà Îïðåäåëåíèå 1.12. 1) Ïóñòü S ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ïîïàðíî íåçà- âèñèìûõ ðàçðåçîâ ãðàôà G. Äåðåâî ðàçðåçîâ ìíîæåñòâà S ýòî äâóäîëüíûé ãðàô BT(G, S): îäíó äîëþ îáðàçóþò ðàçðåçû èç S, à âòîðóþ ÷àñòè èç Part(S), ïðè÷åì ìíîæåñòâî S ∈ S è ÷àñòü A ∈ Part(S) ñìåæíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A ñîäåðæèò îäíó èç ãðàíèö ðàçðåçà S . 2) Åñëè ÷àñòü A ∈ Part(S) ñîîòâåòñòâóåò âèñÿ÷åé âåðøèíå äåðåâà BT(G, S), òî íàçîâåì òàêóþ ÷àñòü êðàéíåé. Òåîðåìà 1.7. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ T(G) íàáîð èç ïî- ïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ, ïðè÷åì â S íåò äâóõ ðàçðåçîâ, ñîäåðæàùèõ îäíî è òî æå ðåáðî. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ãðàô BT(G, S) äåðåâî. 2) Ëþáîé ðàçðåç S ∈ S ñìåæåí â BT(G, S) ðîâíî ñ äâóìÿ ÷àñòÿìè Part(S), ïðè÷åì ýòè äâå ÷àñòè ñîäåðæàòñÿ â ðàçíûõ ÷àñòÿõ Part(S). 3) Ðàçðåç S ∈ S îòäåëÿåò âåðøèíó B îò âåðøèíû C â BT(G, S) åñëè è òîëüêî åñëè S îòäåëÿåò ìíîæåñòâî B îò ìíîæåñòâà C â ãðàôå G. 4) Åñëè êðàéíÿÿ ÷àñòü A ∈ Part(S) ñìåæíà â BT(G, S) ñ ðàçðåçîì T , òî A ∈ Part(T ). 63 ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 5) Êðàéíèå ÷àñòè Part(S) ýòî â òî÷íîñòè ìèíèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ÷àñòè ñðåäè âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G îäíèì ðàçðåçîì èç ìíîæåñòâà S. Äîêàçàòåëüñòâî. Èíäóêöèÿ ïî êîëè÷åñòâó ðàçðåçîâ. Áàçà: ïðè |S| = 1 âñå ïÿòü óòâåðæäåíèé î÷åâèäíû. Èíäóêöèîííûé ïåðåõîä. Ïóñòü äëÿ ëþáîãî ìåíüøåãî ÷åì S ìíîæåñòâà ðàçðåçîâ óòâåðæäåíèå óæå äîêàçàíî. Âûáåðåì ðàçðåç T ∈ S òàê, ÷òî îäíà èç ÷àñòåé B ∈ Part(T ) ìèíèìàëüíàÿ ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G îäíèì ðàçðåçîì èç S. Ïóñòü S0 = S \ {T }. Òîãäà ãðàô BT(G, S0 ) äåðåâî. Ïóñòü Part(T ) = {B, B 0 }. Ðàññìîòðèì ðàçðåç S ∈ S0 . Òàê êàê S è T íåçàâèñèìû è â ñèëó ìèíèìàëüíîñòè ÷àñòè B ∈ Part(T ), ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü AS ∈ Part(S), ÷òî B ⊂ AS . Ïóñòü Part(S) = {AS , A0S }. Òîãäà B 0 ⊃ A0S . Ïî ëåììå 1.10 ìû èìååì A0S 6⊃ Bound(B). Ââåäåì îïèñàííûå âûøå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàçðåçîâ S ∈ S0 è ðàññìîòðèì êâàçè÷àñòü A= \ AS ∈ QPart(S0 ). S∈S0 Ëþáàÿ îòëè÷íàÿ îò A ÷àñòü A0 ∈ Part(S0 ) ëåæèò â A0S äëÿ íåêîòîðîãî ðàçðåçà S ∈ S0 è ïîòîìó A0 6⊃ Bound(B). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî A ∈ Part(S0 ). Âñïîìíèì, ÷òî ïî ëåììå 1.7 ÷àñòè D ∈ Part(S) ýòî ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâà âèäà D = H ∩ F, ãäå H ∈ Part(T ) è F = \ FS ∈ Part(S0 ). (1.4) S∈S0 Ðàçáåðåì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ. a. Ïóñòü F ∈ Part(S0 ), F 6= A. Òîãäà äëÿ íåêîòîðîãî S ∈ S0 ìû èìååì FS 6= AS è ïîýòîìó FS = A0S . Ñëåäîâàòåëüíî, B 0 ⊃ A0S ⊃ F . Ïîýòîìó B ∩ F ( F = B 0 ∩ F . Ñëåäîâàòåëüíî, âñå ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâà âèäà (1.4), ãäå F 6= A 64 ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß ýòî ÷àñòè F ∈ Part(S0 ) è òîëüêî îíè. Òàêèì îáðàçîì, âñå îòëè÷íûå îò A ÷àñòè Part(S0 ) ýòî ÷àñòè Part(S). Îòìåòèì, ÷òî ïî ëåììå 1.10 ÷àñòü FS = A0S íå ñîäåðæèò íè îäíî èç ìíîæåñòâ Bound(B) è Bound(B 0 ), ñëåäîâàòåëüíî, F íå ñìåæíà â BT(G, S) ñ ðàçðåçîì T . Òàêèì îáðàçîì, NBT(G,S) (F ) = NBT(G,S0 ) (F ). D = H ∩ A. b. Åñëè H = B , òî D = A ∩ B = B . Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî B ìàêñèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâî âèäà (1.4), à çíà÷èò, B ∈ Part(S). Ïî ëåììå 1.10, ÷àñòü B íå ñîäåðæèò íèêàêèõ ãðàíèö ðàçðåçîâ ìíîæåñòâà S0 , ñëåäîâàòåëüíî, B âèñÿ÷àÿ âåðøèíà äåðåâà BT(G, S), ñìåæíàÿ òîëüêî ñ ðàçðåçîì T . Îñòàåòñÿ ïîñëåäíèé ñëó÷àé D = A ∩ B 0 . Êàê ìû çíàåì ïî ëåììå 1.10, ÷àñòü B 0 ñîäåðæèò âñå ãðàíèöû ðàçðåçîâ èç S0 , êîòîðûå ëåæàò â A. Êðîìå òîãî, äëÿ âñåõ S ∈ S0 ïî ëåììå 1.10 ìû èìååì AS ⊃ Bound(B 0 ), à çíà÷èò, A ⊃ Bound(B 0 ). Ñëåäîâàòåëüíî, D = A ∩ B 0 ñîäåðæèò Bound(B 0 ) è âñå ãðàíèöû ðàçðåçîâ èç S0 , ëåæàùèå â A, à äðóãèõ ãðàíèö ðàçðåçîâ èç S íå ñîäåðæèò. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî NBT(G,S) (D) = NBT(G,S0 ) (A) ∪ {T }. b b rs b b rs rs rs rs b b rs b rs b b b b b rs b rs b b b rs b rs b rs b rs b b rs D rs rs rs b rs rs A rs b rs rs rs Bb T b Ðèñ. 1.5: Èíäóêöèîííûé øàã ïîñòðîåíèÿ äåðåâà T (G, S). Òàêèì îáðàçîì, ãðàô BT(G, S) ïîëó÷àåòñÿ èç BT(G, S0 ) ïåðåèìåíîâàíèåì âåðøèíû A â D, ïðèñîåäèíåíèåì ê D ðàçðåçà T , à ê T ÷àñòè B (ñì. ðèñóíîê 1.5). 1) è 2) Èç ñêàçàííîãî âûøå ÿñíî, ÷òî BT(G, S) äåðåâî. Îòìåòèì, ÷òî ðàçðåç T ñìåæåí â ýòîì äåðåâå ñ äâóìÿ ÷àñòÿìè, ñîäåðæàùèìè åãî ãðàíèöû ýòî B è D ⊂ B 0 , è äðóãèõ òàêèõ ÷àñòåé íåò. Òåïåðü ïîíÿòíî, ÷òî äëÿ äåðåâà BT(G, S) âûïîëíåíî óòâåðæäåíèå 2. ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 65 3) Ìû äîêàçàëè, ÷òî ÷àñòü B 0 ∈ Part(T ) ñîäåðæèò âñå îòëè÷íûå îò B ÷àñòè Part(S), à òàêæå äëÿ êàæäîãî ðàçðåçà S ∈ S ÷àñòü B 0 ñîäåðæèò ÷àñòü A0S ∈ Part(S). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàçðåç T îòäåëÿåò êðàéíþþ ÷àñòü B îò âñåõ îñòàëüíûõ ÷àñòåé è ðàçðåçîâ êàê â BT(G, S), òàê è â ãðàôå G. Áîëåå òîãî, T íå îòäåëÿåò äðóã îò äðóãà â ãðàôå G íèêàêèå îòëè÷íûå îò B ÷àñòè Part(S) è ðàçðåçû èç S0 , òàê êàê âñå ýòè ÷àñòè è ðàçðåçû ëåæàò â ÷àñòè B 0 ∈ Part(T ). Ðàññìîòðèì ëþáîé ðàçðåç S ∈ S0 , íàïîìíèì, ÷òî Part(S) = {AS , A0S }, ïðè÷åì AS ⊃ B . Â ãðàôå G ðàçðåç S îòäåëÿåò ÷àñòè è ðàçðåçû, ñîäåðæàùèåñÿ â AS îò ÷àñòåé è ðàçðåçîâ, ñîäåðæàùèõñÿ â A0S . Íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî òî æå ñàìîå âåðíî è äëÿ äåðåâà BT(G, S). Èç èíäóêöèîííîãî ïðåäïîëîæåíèÿ äëÿ äåðåâà BT(G, S0 ) ñëåäóåò, ÷òî ýòî óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ ðàçðåçîâ èç S0 è ÷àñòåé Part(S), ÿâëÿþùèõñÿ ÷àñòÿìè Part(S0 ) à ïî äîêàçàííîìó âûøå ýòî âñå ÷àñòè Part(S), êðîìå B è D = A ∩ B 0 . Ðàçðåç S íå îòäåëÿåò â äåðåâå BT(G, S0 ) ÷àñòü A ∈ Part(S0 ) îò îñòàëüíûõ ÷àñòåé è ðàçðåçîâ, ëåæàùèõ â AS . Îòìåòèì, ÷òî AS ⊃ A = D ∪ B . Ïî ïóíêòó 2 ëåììû 1.10 ìû èìååì AS ⊃ T . Èç ïîñòðîåíèÿ BT(G, S) è ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò äîêàçûâàåìîå óòâåðæäåíèå. 4) Äëÿ êðàéíåé ÷àñòè B óòâåðæäåíèå âûïîëíåíî. Ëþáàÿ äðóãàÿ êðàéíÿÿ ÷àñòü H ∈ Part(S) ñîîòâåòñòâóåò âèñÿ÷åé âåðøèíå äåðåâà BT(G, S0 ), à çíà÷èò, äëÿ íåå ñóùåñòâóåò òàêîé ðàçðåç T 0 ∈ S0 , ÷òî H ∈ Part(T 0 ). 5) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî |S| > 1, èíà÷å óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Âñïîìíèì, ÷òî Part(T ) = {B, B 0 }, ïðè÷åì êðàéíÿÿ ÷àñòü B áûëà âûáðàíà êàê ìèíèìàëüíàÿ ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G îäíèì ðàçðåçîì èç ìíîæåñòâà S, à ÷àñòü B 0 ïðè |S| > 1 òàêîâîé íå ÿâëÿåòñÿ. Ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ êðàéíèå ÷àñòè Part(S0 ) ýòî â òî÷íîñòè ìèíèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G îäíèì ðàçðåçîì èç ìíîæåñòâà S0 . Ðàññìîòðèì òàêóþ ÷àñòü H . Åñëè H 6= A, òî H ⊂ B 0 ∈ Part(T ), ïîýòîìó, ÷àñòü H ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 66 ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G îäíèì ðàçðåçîì èç ìíîæåñòâà S. Îñòàåòñÿ ëèøü îòìåòèòü, ÷òî ÷àñòü A ∈ Part(S0 ) íå ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé ïî âêëþ÷åíèþ (íàïîìíèì, ÷òî A ⊃ B ) ñðåäè ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G îäíèì ðàçðåçîì ìíîæåñòâà S è íå ÿâëÿåòñÿ êðàéíåé ÷àñòüþ Part(S). Îïðåäåëåíèå 1.13. Ïóñòü S ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ïîïàðíî íåçà- âèñèìûõ ðàçðåçîâ ãðàôà G. Ìû ïîñòðîèì ãðàô PT(G, S) ñëåäóþùèì îáðàçîì: âåðøèíû ýòîãî ãðàôà ýòî ÷àñòè èç Part(S), ïðè÷åì äâå ÷àñòè A, B ∈ Part(S) ñìåæíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîäåðæàò ãðàíèöû îäíîãî è òîãî æå ðàçðåçà èç S. Ñëåäñòâèå 1.6. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ T(G) íàáîð èç ïî- ïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ, ïðè÷åì â S íåò äâóõ ðàçðåçîâ, ñîäåðæàùèõ îäíî è òî æå ðåáðî. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ãðàô PT(G, S) äåðåâî. 2) Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ðåáðó AB äåðåâà PT(G, S) ðàçðåç èç S, ãðàíèöû êîòîðîãî ñîäåðæàòñÿ â ÷àñòÿõ A è B . Òîãäà ýòî îòîáðàæåíèå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ð¼áðàìè äåðåâà PT(G, S) è ðàçðåçàìè èç S. 3) |Part(S)| = |S| + 1. 4) Ïóñòü R ãðàíèöà îäíîãî èç ðàçðåçîâ íàáîðà S. Òîãäà ñóùåñòâóåò ðîâíî îäíà ÷àñòü Part(S), ñîäåðæàùàÿ R. 5) Åñëè ÷àñòè A, B ∈ Part(S) ñìåæíû â äåðåâå BT(G, S) ñ îäíèì ðàçðåçîì S , òî A ∩ B = V (S). 6) Åñëè ÷àñòè A, B ∈ Part(S) ñìåæíû â äåðåâå PT(G, S), òî |A ∩ B| = k − 1. 7) Äëÿ ÷àñòè A ∈ Part(S) åå ãðàíèöà Bound(A) ýòî îáúåäèíåíèå ñîäåðæàùèõñÿ â A ãðàíèö ðàçðåçîâ, ñìåæíûõ ñ A â BT(G, S). ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß Äîêàçàòåëüñòâî. 67 1) è 2) Ïî òåîðåìå 1.7 ãðàô BT(G, S) äåðåâî, ïðè÷åì âñå åãî âåðøèíû, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçðåçàì, èìåþò â BT(G, S) ñòåïåíü 2. Èç ïóíêòà 2 òåîðåìû 1.7 ïîíÿòíî, ÷òî çàìåíèâ â ýòîì äåðåâå êàæäûé ðàçðåç S ∈ S íà ðåáðî, ñîåäèíÿþùèå äâå ñìåæíûå ñ íèì â BT(G, S) ÷àñòè Part(S), ìû ïîëó÷èì äåðåâî PT(G, S), ïðè÷åì äëÿ ýòîãî äåðåâà âûïîëíÿåòñÿ óòâåðæäåíèå 2. 3) Íåïîñðåäñòâåííîå ñëåäñòâèå óòâåðæäåíèÿ 2. 4) Íåïîñðåäñòâåííîå ñëåäñòâèå óòâåðæäåíèÿ 2 òåîðåìû 1.7. 5) Ïî òåîðåìå 1.7 ÷àñòè A è B ñîäåðæàò ðàçíûå ãðàíèöû ðàçðåçà S , ïîýòîìó A ∩ B ⊃ V (S). Ðàçðåç S îòäåëÿåò ÷àñòü A îò ÷àñòè B , ïîýòîìó V (S) ⊃ A ∩ B . 6) Ïî îïðåäåëåíèþ è ïóíêòó 2 òåîðåìû 1.7, ÷àñòè A è B ñìåæíû â äåðåâå BT(G, S) ñ îäíèì ðàçðåçîì S . Òàêèì îáðàçîì, ïóíêò 6 ñëåäóåò èç ïóíêòà 5. 7) Ïî îïðåäåëåíèþ äåðåâà ðàçðåçîâ, ÷àñòü A ñîäåðæèò îäíó èç ãðàíèö êàæäîãî ðàçðåçà, ñìåæíîãî ñ íåé â BT(G, S). Äëÿ êàæäîãî ðàçðåçà S 0 ∈ S, íåñìåæíîãî ñ A, ñóùåñòâóåò ðàçðåç S ∈ S, ñìåæíûé â BT(G, S) ñ A è îòäåëÿþùèé S 0 îò A â äåðåâå BT(G, S). Ïî ïóíêòó 3 òåîðåìû 1.7 òîãäà S îòäåëÿåò S 0 îò A è â ãðàôå G, à çíà÷èò, A∩V (S 0 ) ⊂ A∩V (S). Ñëåäîâàòåëüíî, âñå âåðøèíû èç Bound(A) ïðèíàäëåæàò ãðàíèöàì ðàçðåçîâ, ñìåæíûõ ñ A â BT(G, S). Ãëàâà 2 Ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû Â ýòîì ðàçäåëå ìû áóäåì âåñòè ðàçãîâîð î ìèíèìàëüíîì k -ñâÿçíîì ãðàôå G è èñïîëüçîâàòü äëÿ íåãî ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ. Î÷åâèäíî, âñå âåðøèíû k -ñâÿçíîãî ãðàôà èìåþò ñòåïåíü íå ìåíåå k . ×åðåç Vk ìû îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí ãðàôà G, èìåþùèõ ñòåïåíü k , ïóñòü Vk+1 = V (G) \ Vk , vk = |Vk |, vk+1 = |Vk+1 |, Gk+1 = G(Vk+1 ), Ek+1 = E(Gk+1 ). Ïóñòü ek êîëè÷åñòâî ð¼áåð ãðàôà G, îáà êîíöà êîòîðûõ ëåæàò â Vk . Â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà èç êîíòåêñòà íåÿñíî, î êàêîì ãðàôå èäåò ðå÷ü, ìû áóäåì ïðèìåíÿòü îáîçíà÷åíèÿ Vk (G), Vk+1 (G) è òàê äàëåå. Ïîñêîëüêó ãðàô G ìèíèìàëåí, òî äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ Ek+1 ñóùåñòâóåò ðàçðåç, ñîäåðæàùèé e è k − 1 âåðøèíó. Ïóñòü R ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ðàçðåçîâ. 2.1 Ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû ñ ìèíèìàëüíûì êîëè÷åñòâîì âåðøèí ñòåïåíè k Â 1979 ãîäó Â. Ìàäåð [24, 25] äîêàçàë, ÷òî vk (G) ≥ (k − 1)v(G) + 2k 2k − 1 68 (2.1) ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 69 ÃÐÀÔÛ äëÿ ìèíèìàëüíîãî k -ñâÿçíîãî ãðàôà G. Ýòà îöåíêà òî÷íàÿ: äëÿ ëþáîãî k ≥ 2 ñóùåñòâóþò áåñêîíå÷íûå ñåðèè ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ, äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî (2.1) îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî. Ìû áóäåì íàçûâàòü òàêèå ãðàôû ýêñòðåìàëüíûìè ìèíèìàëüíûìè k -ñâÿçíûìè ãðàôàìè. Îïðåäåëåíèå 2.1. Ïóñòü T äåðåâî ñ ∆(T ) ≤ k + 1. Ãðàô Gk,T ñòðîèòñÿ èç k êîïèé T1 , . . . , Tk äåðåâà T ñ íåïåðåñåêàþùèìèñÿ ìíîæåñòâàìè âåðøèí. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû a ∈ V (T ) îáîçíà÷èì ÷åðåç ai ñîîòâåòñòâóþùóþ âåðøèíó êîïèè Ti . Åñëè dG (a) = j , òî ìû äîáàâèì k + 1 − j íîâûõ âåðøèí ñòåïåíè k , ñìåæíûõ ñ {a1 , . . . , ak }. Î÷åâèäíî, åñëè v(T ) = n, òî v(Gk,T ) = (2k − 1)n + 2. Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî Gk,T ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, äëÿ êîòîðîãî íåðàâåíñòâî (2.1) îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî. Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàô Gk,T ýêñòðåìàëüíûé. b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b T b b b b b b b b b G 2, T Ðèñ. 2.1: Äåðåâî T è ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô G2,T . Â ýòîì ðàçäåëå ìû äîêàæåì, ÷òî äðóãèõ ýêñòðåìàëüíûõ ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ íåò. Òåîðåìà 2.1. Ëþáîé ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô ýòî ãðàô Gk,T äëÿ íåêîòîðîãî äåðåâà T ñ ∆(T ) ≤ k + 1. Îñíîâíûì èíñòðóìåíòîì èçó÷åíèÿ ìèíèìàëüíîãî k -ñâÿçíîãî ãðàôà ÿâëÿþòñÿ ðàçðåçû. Ìû ïðîäîëæèì èçó÷åíèå èõ ñâîéñòâ, íà÷àòîå â ðàçäåëå 1.4 è èçó÷èì ñâîéñòâà ðàçðåçîâ èç R. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ 2.1.1 k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 70 Ïàðà çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ Ïóñòü ðàçðåçû S, T ∈ R çàâèñèìû, ïðè÷åì âõîäÿùèå â íèõ ð¼áðà ðàçëè÷íû. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ Part(S) = {F1 , F2 }, Ti = Int(Fi ) ∩ T, Part(T ) = {H1 , H2 }, Sj = Int(Hj ) ∩ S è Gi,j = Fi ∩ Hj , P =T ∩S Int(Gi,j ) = Gi,j \ (P ∪ Ti ∪ Sj ). (2.2) Ïóñòü Ri,j = Cut(Gi,j ), a Gi,j îáúåäèíåíèå òð¼õ îòëè÷íûõ îò Gi,j ÷àñòåé. Â äàëüíåéøåì äëÿ îïèñàíèÿ ñâîéñòâ ïàð çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ ìû áóäåì óïîòðåáëÿòü èìåííî òàêèå îáîçíà÷åíèÿ. Çàìå÷àíèå 2.1. Ëåììà 2.1. Ìíîæåñòâî P â íàøåì ñëó÷àå ñîäåðæèò òîëüêî âåðøèíû. |Ri,j | + |R3−i,3−j | ≤ |S| + |T | = 2k. Äîêàçàòåëüñòâî. Âñïîìíèì, ÷òî ìíîæåñòâî Ri,j ñîñòîèò èç P ∪ Ti ∪ Sj è ð¼áåð ðàçðåçîâ T è S , èíöèäåíòíûõ âåðøèíàì èç Int(Gi,j ). Âåðøèíû èç P â îáåèõ ÷àñòÿõ ñ÷èòàþòñÿ äâàæäû, à îñòàëüíûå âåðøèíû è ð¼áðà èç S è T â ëåâîé ÷àñòè ñ÷èòàþòñÿ íå áîëåå ÷åì îäèí ðàç, à â ïðàâîé ÷àñòè ðîâíî îäèí ðàç. 2.1.2 Ëåììû Ìàäåðà Ñëåäóþùèå ëåììà è ñëåäñòâèå ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ ïîâòîðÿþò ðåçóëüòàòû èç ðàáîòû Ìàäåðà [22]. Ìû ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî äëÿ ïîëíîòû èçëîæåíèÿ. Ëåììà 2.2. Ïóñòü ab, ac ∈ Ek+1 , Tab 3 ab è Tac 3 ac ðàçðåçû èç R, ïðè÷åì a ∈ Fa ∈ Part(Tab ) è c ∈ Hc ∈ Part(Tac ). Òîãäà |Int(Fa )| > |Int(Hc )|. Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê |Fa | − |Int(Fa )| = k − 1 = |Hc | − |Int(Hc )|, ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 71 äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî |Fa | > |Hc |. Îòìåòèì, ÷òî c ∈ Fa . Åñëè ðàçðåçû Tab è Tac íåçàâèñèìû, òî ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî Fa ⊃ Hc è a ∈ Fa \ Hc , à çíà÷èò, |Fa | > |Hc |. Åñëè ýòè ðàçðåçû çàâèñèìû, òî ïîëîæèì S = Tab , T = Tac è ïðèìåíèì ââåäåííûå âûøå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ïàðû çàâèñèìûõ ìíîæåñòâ (2.2). Ïóñòü F1 = Fa , H2 = Hc . Òîãäà íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî a ∈ Int(G1,1 ), b ∈ Int(G2,1 ), c ∈ Int(G1,2 ). Íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî |H2 | < |F1 |. Îïðåäåëåííûå âûøå ìíîæåñòâà èçîáðàæåíû íà ðèñóíêå 2.2. G 1,1 S b a S1 b F1 b T1 b T2 T c G 1,2 P G 2,1 S2 G 2,2 H2 Ðèñ. 2.2: Ìíîæåñòâà S , T è ÷àñòè ðàçáèåíèÿ. Âåðøèíà a ∈ Int(G1,1 ) ñìåæíà ñ b, c è âåðøèíàìè èç G1,1 . Çíà÷èò, åñëè Int(G1,1 ) = {a}, òî èç dG (a) ≥ k + 1 ñëåäóåò, ÷òî R1,1 ñîäåðæèò õîòÿ áû k − 1 âåðøèíó. Åñëè æå A = Int(G1,1 ) \ {a} 6= ∅, òî ìíîæåñòâî âåðøèí V (R1,1 ) ∪ {a} îòäåëÿåò A îò îñòàëüíûõ âåðøèí ãðàôà è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîäåðæèò õîòÿ áû k âåðøèí. Â ëþáîì ñëó÷àå ìû èìååì |V (R1,1 )| ≥ k − 1 è |R1,1 | ≥ k + 1. Èç ëåììû 2.1 íàì èçâåñòíî, ÷òî |R1,1 | + |R2,2 | ≤ 2k . Ñëåäîâàòåëüíî, |R2,2 | ≤ k − 1, à çíà÷èò, Int(G2,2 ) = ∅. Îòìåòèì, ÷òî F1 \ H2 = Int(G1,1 ) ∪ S1 è H2 \ F1 = Int(G2,2 ) ∪ T2 = T2 . Ïîñêîëüêó |S1 | + |P | + |S2 | = |V (S)| = k − 1 ≥ |R2,2 | ≥ |T2 | + |P | + |S2 |, ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 72 òî |S1 | ≥ |T2 |. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî |Int(G1,1 )| ≥ 1, ìû ïîëó÷àåì |F1 | > |H2 |. Ñëåäñòâèå 2.1. Ãðàô Gk+1 ëåñ. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ãðàô Gk+1 íå ëåñ, òî åñòü öèêë ñ ðåáðàìè èç Ek+1 , ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîãî, î÷åâèäíî, ïðîòèâîðå÷èò ëåììå 2.2. Ëåììà 2.3. Ïóñòü c êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 . Òîãäà vk (G) ≥ Äîêàçàòåëüñòâî. (k − 1)v(G) + 2(c + ek ) . 2k − 1 Èç êàæäîé âåðøèíû ìíîæåñòâà Vk+1 âûõîäèò íå ìå- íåå ÷åì k + 1 ðåáðî, ñóììà ñòåïåíåé âåðøèí ëåñà Gk+1 ðàâíà 2vk+1 − 2c, ñëåäîâàòåëüíî, íå ìåíåå ÷åì (k − 1)vk+1 + 2c ðåáåð âûõîäèò èç Vk+1 â Vk . Èç âåðøèí ìíîæåñòâà Vk âûõîäèò ðîâíî kvk − 2ek ð¼áåð ê âåðøèíàì ìíîæåñòâà Vk+1 . Ïîýòîìó (k − 1)vk+1 + 2c ≤ kvk − 2ek , îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû. Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ýêñòðåìàëüíîãî ãðàôà è ëåììû 2.3 ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä. Ñëåäñòâèå 2.2. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, òàêîé, ÷òî ek + c > k . Òîãäà ãðàô G íå ýêñòðåìàëüíûé. Çàìå÷àíèå 2.2. Íåðàâåíñòâî Ìàäåðà (2.1) ñëåäóåò èç ek + c ≥ k . Ìû äîêàæåì ýòî óòâåðæäåíèå è èññëåäóåì ñëó÷àè, êîãäà äîñòèãàåòñÿ ðàâåí- Îòìåòèì, ÷òî èç äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 2.3 ÿñíî, ÷òî ïðè ek + c = k ðàâåíñòâî â (2.1) ìîæåò äîñòèãàòüñÿ òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà ∆(G) ≤ k + 1. ñòâî. 2.1.3 Íîðìàëüíûå ðàçðåçû Îïðåäåëåíèå 2.2. Íàçîâåì ðàçðåç S ∈ R êðèâûì, åñëè ñóùåñòâóåò ÷àñòü A ∈ Part(S) ñ |Int(A)| < k 2 è íîðìàëüíûì, åñëè òàêîé ÷àñòè íå ñóùåñòâóåò. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 73 ÃÐÀÔÛ Ïóñòü îáà çàâèñèìûõ ðàçðåçà S, T ∈ R íîðìàëüíûå, Ëåììà 2.4. a1 a2 ∈ S è b1 b2 ∈ T ðàçëè÷íûå ð¼áðà èç Ek+1 . Òîãäà äëÿ êàæäîãî èç ð¼áåð a1 a2 è b1 b2 ñóùåñòâóþò òàêèå i, j ∈ {1, 2}, ÷òî Ri,j ðàçðåç, ñîäåðæàùèé ýòî ðåáðî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Int(G1,1 ) 6= ∅, Int(G2,2 ) 6= ∅. Òîãäà èç ëåììû 2.1 ñëåäóåò, ÷òî |R1,1 | = k = |R2,2 | è R1,1 ∪ R2,2 = S ∪ T. Ñëåäîâàòåëüíî, R1,1 ∪R2,2 ⊃ {a1 a2 , b1 b2 }, îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû. Ñëó÷àé Int(G1,2 ) 6= ∅, Int(G2,1 ) 6= ∅ ðàçáèðàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Ïóñòü óñëîâèÿ ðàññìîòðåííûõ âûøå ñëó÷àåâ íå âûïîëíåíû. Òîãäà íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Int(G1,1 ) = Int(G1,2 ) = ∅, òî åñòü, Int(F1 ) = T1 (ñì. ðèñóíîê 2.3à). Èç íîðìàëüíîñòè ðàçðåçà S ñëåäóåò, ÷òî |T1 | ≥ k2 . S 0 G 2,1 a2 S1 b b1 b T2 b 0 P G 2,2 b b2 a1 T1 a T S b1 0 b S1 0 b a1 P T1 T 0 T2 a2 S2 b2 G 2,2 b S2 b b Ðèñ. 2.3: Ðàçáèåíèå ãðàôà ïàðîé íîðìàëüíûõ çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ. Òàê êàê T = T1 ∪ T2 ∪ P ∪ {b1 b2 }, îòñþäà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä k − 1 è |R2,1 | + |R2,2 | ≤ |S| + 2|T2 ∪ P ∪ {b1 b2 }| ≤ 2k. (2.3) 2 Åñëè Int(G2,1 ) = ∅ (ñì. ðèñóíîê 2.3b), òî èç íîðìàëüíîñòè ðàçðåçà T |T2 ∪ P | ≤ ìû èìååì Int(H1 ) = |S1 | ≥ k2 , à ñëåäîâàòåëüíî, |S2 ∪ P | ≤ î÷åâèäíî ñëåäóåò |R2,2 | ≤ |S2 | + |T2 | + |P | + |{a1 a2 , b1 b2 }| ≤ k. k 2 − 1, îòêóäà ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 74 ÃÐÀÔÛ Åñëè è Int(G2,2 ) = ∅, òî Int(F2 ) = S2 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò íîðìàëüíîñòè ðàçðåçà T . Çíà÷èò, Int(G2,2 ) 6= ∅, íî ýòî âîçìîæíî òîëüêî ïðè |R2,2 | = k , ÷òî, â ÷àñòíîñòè, îçíà÷àåò, ÷òî R2,2 ⊃ {a1 a2 , b1 b2 }. Òîãäà ðàçðåç R2,2 íàì ïîäõîäèò. Îñòàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà Int(G2,1 ) 6= ∅ è Int(G2,2 ) 6= ∅. Ïî íåðàâåíñòâó (2.3) ýòî îçíà÷àåò, ÷òî |R2,1 | = |R2,2 | = k . Òîãäà îáà ðàçðåçà R2,1 è R2,2 ñîäåðæàò ðåáðî b1 b2 è R2,1 ∪ R2,2 ⊃ S 3 a1 a2 . Ñëåäîâàòåëüíî, îäèí èç ðàçðåçîâ R2,1 è R2,2 ñîäåðæèò îáà ðåáðà b1 b2 è a1 a2 , îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû. Ïóñòü ðàçðåçû S, T ∈ R çàâèñèìû, ïðè÷åì a1 a2 ∈ S Ëåììà 2.5. è b1 b2 ∈ T ðàçëè÷íûå ð¼áðà èç Ek+1 , Ri,j 3 b1 b2 è |Ri,j | = k . Òîãäà ñóùåñòâóåò ðàçðåç R ∈ R, óäîâëåòâîðÿþùèé ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì: 1◦ Part(R) = {Gi,j , U }, ïðè÷¼ì ëèáî U = Gi,j , ëèáî U = Gi,j ∪ {a}, ãäå a êîíåö ðåáðà a1 a2 , ëåæàùèé â Gi,j ; 2◦ R íåçàâèñèì è ñ S , è ñ T . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü i = j = 1. Ïî ïîñòðîåíèþ R1,1 , îäèí èç êîíöîâ ðåáðà b1 b2 ëåæèò â Int(G1,1 ), ïóñòü ýòî b1 . Çíà÷èò, Int(G1,1 ) 6= ∅ è ïî ëåììå 1.8 ìû çíàåì, ÷òî R1,1 ðàçðåç, Part(R1,1 ) = {G1,1 , G1,1 }. Åñëè a1 a2 ∈ / R1,1 , òî R1,1 ∈ R è ðàçðåç R = R1,1 íàì ïîäõîäèò. G 1,1 S a2 b a1 S1 b b G 1,2 T1 P G 2,1 T b1 b b2 T2 S2 G 2,2 a G 1,1 a1= b1 S a2 T b S1 b G 1,2 T1 P G 2,1 T2 G 2,2 b b2 S2 b Ðèñ. 2.4: Ðàçáèåíèå ãðàôà ïàðîé çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ. Ïóñòü a1 a2 ∈ R1,1 . Ïî ïîñòðîåíèþ ìíîæåñòâà R1,1 ðåáðî a1 a2 èìååò êîíåö â Int(G1,1 ), ïóñòü ýòî a1 . Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî R, ïîëó÷åííîå èç R1,1 ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 75 çàìåíîé a1 a2 íà a1 . Åñëè Int(G1,1 ) 6= {a1 }, òî R ðàçðåç, Part(R) = {G1,1 , G1,1 ∪ {a1 }} (ñì. ðèñóíîê 2.4a), îòêóäà î÷åâèäíî ñëåäóåò, ÷òî ýòîò ðàçðåç íåçàâèñèì ñ S è T , à ñòàëî áûòü, îí íàì ïîäõîäèò. Ïóñòü Int(G1,1 ) = {a1 }. Òîãäà, â ÷àñòíîñòè, a1 = b1 (ñì. ðèñóíîê 2.4b). Êðîìå a2 è b2 ýòà âåðøèíà ìîæåò áûòü ñìåæíà òîëüêî ñ âåðøèíàìè èç R1,1 . Òîãäà èç dG (a1 ) ≥ k + 1 ñëåäóåò, ÷òî |V (R1,1 )| ≥ k − 1. Íî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî |R1,1 | ≥ k + 1, ïðîòèâîðå÷èå. Ëåììà 2.6. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, à ìíîæåñòâî E ⊂ Ek+1 òàêîâî, ÷òî âñå ðàçðåçû èç R, ñîäåðæàùèå ðåáðà èç E íîðìàëüíûå. Òîãäà cóùåñòâóåò ìíîæåñòâî S = {Se }e∈E ⊂ R, ãäå e ∈ Se , ñîñòîÿùåå èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîíóìåðóåì f1 , . . . , fm ðåáðà ìíîæåñòâà E . Ïóñòü S0 = {S1 , . . . , S`−1 } ⊂ R ìíîæåñòâî ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ, ïðè÷åì fi ∈ Si . Ïóñòü f` ∈ T ∈ R. Äîêàæåì, ÷òî ìîæíî èçìåíèòü ðàçðåç T òàê, ÷òîáû îí ñòàë íåçàâèñèìûì ñî âñåìè ðàçðåçàìè èç S0 . Äîêàçàòåëüñòâî áóäåò èíäóêöèåé ïî |S0 |. Áàçà äëÿ ñëó÷àÿ |S0 | = 0 î÷åâèäíà. Äîêàæåì èíäóêöèîííûé ïåðåõîä. Ïóñòü ðàçðåç T íåçàâèñèì ñ ðàçðåçàìè S1 , . . . , Si−1 , íî çàâèñèì ñ Si . Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ Part(T ) = {H1 , H2 }, Part(Si ) = {F1 , F2 }, Gx,y = Fx ∩ Hy . Òàê êàê ðàçðåçû Si è T íîðìàëüíû, ïî ëåììàì 2.4 è 2.5 ñóùåñòâóåò òàêîé ðàçðåç R 3 f` , ÷òî îäíà èç ÷àñòåé Part(R) ýòî Gα,β , à äðóãàÿ ÷àñòü U ëèáî Gα,β , ëèáî Gα,β ∪ {a}, ãäå a êîíåö ðåáðà f` = ab, ëåæàùèé â Gα,β . k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ 76 ÃÐÀÔÛ Ìû õîòèì äîêàçàòü, ÷òî R íåçàâèñèì ñ ïðîèçâîëüíûì ðàçðåçîì Sj ∈ S0 . Ïóñòü Part(Sj ) = {D1 , D2 }. Òàê êàê ðàçðåçû Si è Sj íåçàâèñèìû, ðàçðåçû T è Sj íåçàâèñèìû, à ðàçðåçû T è Si çàâèñèìû, ïî ëåììå 1.9 ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî F1 ⊃ D2 , F2 ⊂ D1 , H1 ⊃ D2 , (2.4) H2 ⊂ D1 . Ðàçáåðåì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ. 1. α = 2. Òîãäà G2,β ⊂ F2 ⊂ D1 è U ⊃ F1 ⊃ D2 (ñì. ðèñóíîê 2.5a), òî åñòü, ðàçðåçû R è Sj íåçàâèñèìû. R R G 1,2 b H2 T G 2,2 H2 F2 b b Si a G1,1 Si Sj b R F2 a b D2 b T T b G 2,1 b S j D2 b S j D2 b Si c Ðèñ. 2.5: Ðàçðåçû Si , Sj è T . 2. α = 1. Ðàçáåðåì äâà ïîäñëó÷àÿ. 2.1. β = 2. Òîãäà Gα,β = G1,2 ⊂ H2 ⊂ D1 è U ⊃ H1 ⊃ D2 (ñì. ðèñóíîê 2.5b), ÷òî îçíà÷àåò íåçàâèñèìîñòü ðàçðåçîâ Sj è R. 2.2. β = 1. Â ñèëó (2.4) ìû èìååì D1 ⊃ H2 ∪ F2 = G1,1 (ñì. ðèñóíîê 2.5c). Òàê êàê ðàçðåçû T è Sj íåçàâèñèìû è íå èìåþò îáùèõ ð¼áåð, ïî ëåììå 1.10 ìû èìååì D1 ⊃ W (T ) 3 a. Çíà÷èò, D1 ⊃ G1,1 ∪ {a} ⊃ U. Èç D2 ⊂ F1 è D2 ⊂ H1 ñëåäóåò, ÷òî D2 ⊂ H1 \ Int(F2 ) = G1,1 . ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 77 ÃÐÀÔÛ Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðîâåðèëè íåçàâèñèìîñòü ðàçðåçîâ Sj è R. Ëåììà 2.7. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, à P = a1 . . . an ïðîñòîé ïóòü, âñå âåðøèíû êîòîðîãî ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó Vk+1 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå ïîïàðíî íåçàâèñèìûå ðàçðåçû S1 , . . . , Sn−1 ∈ R, ÷òî ai ai+1 ∈ Si , Part(Si ) = {Ai , Bi+1 }, ïðè÷åì ai ∈ Int(Ai ) è ai+1 ∈ Int(Bi+1 ). Òîãäà B2 ⊃ NG (an ). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè n = 2 ýòî óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî n ≥ 3. Äîêàæåì, ÷òî Bi ⊃ Bi+1 ïðè i ∈ {1, . . . , n−1}. Òàê êàê ðàçðåçû Si−1 è Si íåçàâèñèìû, ai ∈ Int(Bi ) è ai ai+1 ∈ / Si−1 , ìû èìååì ai+1 ∈ Bi . Çíà÷èò, íè îäíà èç ÷àñòåé Part(Si ) íå ìîæåò ñîäåðæàòü Bi 3 ai , ai+1 . Â ñèëó íåçàâèñèìîñòè ðàçðåçîâ Si−1 è Si , òîãäà Bi ñîäåðæèò îäíó èç ÷àñòåé Part(Si ) = {Ai , Bi+1 }. b ai–1 Si–1 b b Ai–1 ai+1 Si ai Ai Bi Ðèñ. 2.6: Ðàçðåçû Si−1 è Si . Cëó÷àé, êîãäà Bi ⊃ Ai . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Bi ⊃ Ai (ñì. ðèñóíîê 2.6). Òîãäà èç ai−1 ∈ / Bi ñëåäóåò ai−1 ∈ / Ai . Îäíàêî, âåðøèíà ai−1 ñìåæíà ñ âåðøèíîé ai ∈ Int(Ai ), ÷òî íåâîçìîæíî. Ñëåäîâàòåëüíî, Bi ⊃ Bi+1 . Èç äîêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî B2 ⊃ Bn . Òàê êàê an ∈ Int(Bn ), ìû èìååì NG (an ) ⊂ Bn ⊂ B2 . ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ Ëåììà 2.8. k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 78 Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, E ⊂ Ek+1 , à ìíîæåñòâî S = {Se }e∈E ⊂ R, ãäå e ∈ Se , ñîñòîèò èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ. Ïóñòü R ãðàíèöà ðàçðåçà Se ∈ S. Òîãäà ëþáîé ïðîñòîé ïóòü ñ êîíöàìè èç R ñîäåðæèò ðåáðî íå èç ìíîæåñòâà E . b a1 S1 b a2 B2 b R A1 b an Bn Ðèñ. 2.7: Ïóòü ïî ðåáðàì èç E . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå è ðàññìîòðèì êðàò÷àéøèé ïóòü a1 a2 . . . an ïî ð¼áðàì èç E , êîíöû êîòîðîãî a1 è an ëåæàò â R. Åñëè ïóòü P ñîäåðæèò âñåãî îäíî ðåáðî a1 a2 , òî a1 a2 6= e, òàê êàê ãðàíèöà R ðàçðåçà Se 3 e ñîäåðæèò ðîâíî îäíó âåðøèíó ðåáðà e. Åñëè æå n ≥ 3 è e = a1 a2 , òî ïåðåíóìåðóåì âåðøèíû ïóòè P â îáðàòíîì ïîðÿäêå. Òàêèì îáðàçîì, â ëþáîì ñëó÷àå ìû äîáüåìñÿ òîãî, ÷òî e 6= a1 a2 . Ïóñòü Si = Sai ai+1 , Part(Si ) = {Ai , Bi+1 }, ãäå ai ∈ Int(Ai ) è ai+1 ∈ Int(Bi+1 ). Òàê êàê ðàçðåçû Se è S1 íåçàâèñèìû è íå èìåþò îáùåãî ðåáðà, ïî ëåììå 1.10 îäíà èç ÷àñòåé U ∈ Part(S1 ) ñîäåðæèò W (Se ). Çíà÷èò, U ⊃ R 3 a1 , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî U = A1 . Ïî ëåììå 2.7 ìû èìååì NG (an ) ⊂ B2 (ñì. ðèñóíîê 2.7). Ïî çàìå÷àíèþ 1.6 ìû çíàåì, ÷òî R ÿâëÿåòñÿ k -âåðøèííûì ðàçäåëÿþùèì ìíîæåñòâîì ãðàôà G. Èç R ⊂ A1 ñëåäóåò, ÷òî R íå ðàçäåëÿåò B2 ∪ W (S1 ). Çíà÷èò, îäíà èç êîìïîíåíò ñâÿíîñòè M ãðàôà G − R ëåæèò ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 79 â Int(A1 ). Èç k -ñâÿçíîñòè ãðàôà G ñëåäóåò, ÷òî âåðøèíà an ∈ R äîëæíà èìåòü ñìåæíóþ âåðøèíó â M ⊂ Int(A1 ), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò äîêàçàííîìó âûøå. 2.1.4 Êðèâûå ðàçðåçû Íàïîìíèì, ÷òî c ýòî êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 , a ek êîëè÷åñòâî ð¼áåð, îáà êîíöà êîòîðûõ èìåþò ñòåïåíü k . Ëåììà 2.9. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, ïðè÷åì â ìíî- æåñòâå R åñòü êðèâûå ðàçðåçû. Òîãäà ek + c ≥ k + 1. Äîêàçàòåëüñòâî. Âåçäå â äîêàçàòåëüñòâå ÷åðåç Se ìû îáîçíà÷àåì ðàçðåç èç R, ñîäåðæàùèé ðåáðî e ∈ Ek+1 . (Äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ Ek+1 òàêîé ðàçðåç ñóùåñòâóåò, ïðè÷åì, âîçìîæíî, íå îäèí.) 1. Ïóñòü e = a1 a2 ∈ Ek+1 , à ðàçðåç Se êðèâîé, ïðè÷åì k a1 ∈ A1 ∈ Part(Se ) è |Int(A1 )| < . 2 Ïóñòü U 3 a1 , a2 êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 , à T = Gk+1 (U ). Òîãäà T äåðåâî ïî ñëåäñòâèþ 2.1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî dT (a1 ) > 1. Òîãäà â äåðåâå T ñóùåñòâóåò ïóòü îò a1 äî âèñÿ÷åé âåðøèíû a, íå ïðîõîäÿùèé ïî ðåáðó a1 a2 . Ïóñòü a0 a ïîñëåäíåå ðåáðî ýòîãî ïóòè, Saa0 ∈ R, ïðè÷åì a ∈ A ∈ Part(Saa0 ). Òîãäà ïî ëåììå 2.2 ìû èìååì Int(A) < Int(A1 ) < k2 . Â ÷àñòíîñòè, ðàçðåç Saa0 òàêæå êðèâîé. 2. Ïóñòü a1 âèñÿ÷àÿ âåðøèíà äåðåâà T , k |Int(A1 )| = p < , 2 S = V (Sa1 a2 ). Îòìåòèì, ÷òî |S| = k − 1. Ïóñòü M = Int(A1 ) ∩ Vk , m = |M | (ñì. ðèñóíîê 2.8a). Î÷åâèäíî, âåðøèíà a1 íå ìîæåò áûòü ñìåæíà ñ âåðøèíàìè èç Vk+1 ∩ A1 , ñëåäîâàòåëüíî, âåðøèíà a1 ñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ m k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ 80 ÃÐÀÔÛ âåðøèíàìè èç Int(A1 ). Èç dG (a1 ) = k + 1 ñëåäóåò, ÷òî òîãäà a1 íåñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ m − 1 âåðøèíàìè èç S . èìåþò ñòåïåíü k. Òàêèì îáðàçîì, |Int(A1 ) ∩ Vk+1 | = p − m, Âñå ñìåæíûå ñ a1 âåðøèíû èç S |S ∩ Vk+1 | ≤ m − 1 è |A1 ∩ Vk+1 | ≤ p − 1. Ðàçáåðåì äâà ñëó÷àÿ. m ≥ 2. 2.1. Âåðøèíà ìíîæåñòâà M ìîæåò áûòü ñìåæíà òîëüêî ñ âåðøèíàìè èç A1 . Ïîýòîìó, êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà M ñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ p − 1 âåðøèíàìè èç Vk+1 , à çíà÷èò, õîòÿ áû c k − p + 1 âåðøèíàìè èç Vk . Ïðîñóììèðîâàâ ð¼áðà, èñõîäÿùèå èç âñåõ âåðøèí M ê âåðøèíàì èç Vk , ìû ïîëó÷èì õîòÿ áû m(k − p + 1). Îäíàêî, ð¼áðà ìåæäó âåðøèíàìè ìíîæåñòâà M (êîòîðûõ íå áîëåå ÷åì m(m−1) ) 2 â ýòîé ñóììå ïîñ÷èòàíû äâàæäû, ïîýòîìó ìîæíî íàïèñàòü, ÷òî ek ≥ m(k−p+1)− m(m − 1) m(m − 1) ≥ k+3+(m−2)(k−p+1)− ≥ k+2, 2 2 (2.5) ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. (Ïðè m = 2 íåðàâåíñòâî (2.5) î÷åâèäíî, à ïðè m ≥ 3 ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî k − p + 1 ≥ p ≥ m è m − 2 ≥ m−1 2 , à ñëåäîâàòåëüíî, ïðàâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà (2.5) íå ìåíåå ÷åì k + 3.) A1 a r r r M r r r r A1 r b a S b T’ b b x a2 b2 b r x r r a1b r b bb b1 b r r z a1 r bb S a2 b b r r r b b a1 r A1 b S a2 r r z c Ðèñ. 2.8: Êðèâîé ðàçðåç Sa1 a2 è ÷àñòü A1 . Íà ýòîì è ñëåäóþùèõ ðèñóíêàõ êðóæî÷êè îáîçíà÷àþò âåðøèíû èç Vk+1 , à êâàäðàòèêè âåðøèíû èç Vk . ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ 2.2. k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 81 m = 1. Ïóñòü M = {x}. Ïîíÿòíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå a1 ñìåæíà ðîâíî ñ îäíîé âåðøèíîé èç Int(A1 ) (c âåðøèíîé x), à çíà÷èò, a1 ñìåæíà ñî âñåìè âåðøèíàìè èç S . Ñëåäîâàòåëüíî, S ⊂ Vk . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Y = (Int(A1 ) \ {a1 }) ∩ Vk+1 6= ∅. Ïî äîêàçàííîìó âûøå, òîãäà Y îäíà èëè íåñêîëüêî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 . Ïóñòü T 0 = Gk+1 (Y ). Ïî ñëåäñòâèþ 2.2, ãðàô T 0 ëåñ. Ïóñòü a ∈ Y , dT 0 (a) ≤ 1. Òîãäà èç dG (a) ≥ k + 1 ñëåäóåò, ÷òî dT 0 (a) = 1, ïðè÷åì a äîëæíà áûòü ñìåæíà ñ x è ñî âñåìè k −1 âåðøèíàìè èç S . Òàêèì îáðàçîì, ëåñ T 0 íå ñîäåðæèò èçîëèðîâàííûõ âåðøèí. Ïóñòü a âèñÿ÷àÿ âåðøèíà T 0 , ñìåæíàÿ â T 0 ñ âåðøèíîé b ñòåïåíè dT 0 (b) = ` (ñì. ðèñóíîê 2.8b). Òîãäà â T 0 ñóùåñòâóþò ` − 1 íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïî âíóòðåííèì âåðøèíàì ïóòè P1 , . . . , P`−1 îò b äî îòëè÷íûõ îò a âèñÿ÷èõ âåðøèí b1 ,. . . , b`−1 ëåñà T 0 . Ðàññìîòðèì ðàçðåç Sab ∈ R. Îòìåòèì, ÷òî âåðøèíà b ñìåæíà õîòÿ áû ñ k − ` + 1 âåðøèíàìè ìíîæåñòâà S ∪ {x}, è âñå ýòè âåðøèíû äîëæíû áûòü â Sab . Ðàçðåç Sab ñîäåðæèò k − 1 âåðøèíó, à çíà÷èò, íå ñîäåðæèò íåêîòîðóþ âåðøèíó z ∈ S ∪ {x}. Êàê äîêàçàíî âûøå, âåðøèíà a è êàæäàÿ èç âèñÿ÷èõ âåðøèí b1 ,. . . , b`−1 ñìåæíà ñ z , à çíà÷èò, ðàçäåëÿþùèé a è b ðàçðåç Sab äîëæåí ñîäåðæàòü ïî âåðøèíå êàæäîãî èç ïóòåé P1 , . . . , P`−1 . Íî òîãäà Sab ñîäåðæèò õîòÿ áû k âåðøèí, ÷òî íå òàê. Ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, Int(A1 ) = {a1 , x} (ñì. ðèñóíîê 2.8c). Â ýòîì ñëó÷àå ìû èìååì ek ≥ k − 1 (ñòîëüêî ð¼áåð âåäåò îò x äî âåðøèí èç S ). Åñëè óòâåðæäåíèå äðóãèõ ð¼áåð â Ek íåò, à ãðàô Gk+1 èìååò îäíó êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè, òî åñòü, Gk+1 äåðåâî. Îñòàåòñÿ ïðîàíàëèçèðîâàòü ïîñëåäíèé ñëó÷àé. Â ýòîì ñëó÷àå âñå ð¼áðà èç Ek ñîåäèíÿþò âåðøèíó x ∈ Int(A1) ñ âåðøèíàìè ìíîæåñòâà S . Îòìåòèì, ÷òî â NG(x) íåò îòëè÷íûõ îò a1 âåðøèí èç Vk+1. ëåììû íå âûïîëíåíî, òî ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ 3. k -ÑÂßÇÍÛÅ 82 ÃÐÀÔÛ Äîêàæåì, ÷òî âñå ð¼áðà ãðàôà Gk+1 , âõîäÿùèå â êðèâûå ðàçðåçû ýòî ð¼áðà íåêîòîðîãî ïðîñòîãî ïóòè Q = a1 a2 . . . an , ïðè÷åì n ≤ k−1 2 , à âñå âíóòðåííèå âåðøèíû ýòîãî ïóòè èìåþò ñòåïåíü 2 â ãðàôå Gk+1 . Ïóñòü c1 c2 ∈ E(Gk+1 ), Sc1 c2 ∈ R êðèâîé ðàçðåç, k c1 ∈ C1 ∈ Part(Sc1 c2 ) è |Int(C1 )| < . 2 Ðàññìîòðèì ëþáîé ïóòü â ãðàôå Gk+1 îò c1 äî íåêîòîðîé âèñÿ÷åé âåðøèíû a01 , íå ïðîõîäÿùèé ÷åðåç c2 (ñì. ðèñóíîê 2.9a). Ïóñòü a02 a01 ïîñëåäíåå ðåáðî ýòîãî ïóòè, Sa01 a02 ∈ R, a01 ∈ Int(A01 ) ∈ Part(Sa01 a02 ). Òîãäà ïî ëåììå 2.2 ìû èìååì |Int(A01 )| < |Int(C1 )| < k2 . Ïóñòü a01 6= a1 . Ïðîâåäåì ðàññóæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ñäåëàííîìó â ïóíêòàõ 1 è 2, äëÿ ÷àñòè A01 . Ìû íàéäåì íå ìåíåå ÷åì k − 1 ðåáåð èç Ek â ÷àñòè A01 . Ìû ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé, êîãäà ek = k − 1. Ïîýòîìó, â ÷àñòè A01 ðîâíî k−1 ðåáðî èç Ek , íî òîãäà âñå ýòè ð¼áðà èíöèäåíòíû ñìåæíîé ñ a01 âåðøèíå x0 . Î÷åâèäíî, x0 6= x. Òîãäà Ek ñîäåðæèò õîòÿ áû k ð¼áåð: ýòî k − 1 ðåáåð, èíöèäåíòíûõ âåðøèíå x è õîòÿ áû îäíî îòëè÷íîå îò íèõ ðåáðî, èíöèäåíòíîå x0 . Â ýòîì ñëó÷àå óòâåðæäåíèå ëåììû äîêàçàíî. Ñêàçàííîå âûøå îçíà÷àåò, ÷òî âñå ð¼áðà ãðàôà Gk+1 , âõîäÿùèå â êðèâûå ðàçðåçû ýòî ð¼áðà íåêîòîðîãî ïðîñòîãî ïóòè Q = a1 a2 . . . an , ïðè÷åì âñå âíóòðåííèå âåðøèíû ýòîãî ïóòè èìåþò ñòåïåíü 2 â ãðàôå Gk+1 . Ïóñòü ai ai+1 ∈ Si ∈ R, ai ∈ Ai ∈ Part(Si ). Ïî ëåììå 2.2, òîãäà 2 = Int(A1 ) < Int(A2 ) < · · · < Int(An−1 ) ≤ Ñëåäîâàòåëüíî, n ≤ 4. k−1 . 2 k−1 2 . Ïóñòü E ìíîæåñòâî âñåõ ð¼áåð ãðàôà Gk+1 , êðîìå ð¼áåð ïóòè Q. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ. k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ T c1 C1 a’1 S b b v b d2 b b c2 u b r a’2 r b r a b d1 83 ÃÐÀÔÛ b d2 b b b b a1 r r r D1 b a1 d1 b w’ D1 r w r c b Ðèñ. 2.9: Ïóòü a1 . . . an è êðèâûå ðàçðåçû. 4.1 E 6= ∅. Ïî ëåììå 2.6 ìîæíî âûáðàòü ïîïàðíî íåçàâèñèìûå ðàçðåçû Se ∈ R äëÿ âñåõ ð¼áåð e ∈ E . Ïóñòü d1 d2 ∈ E(Gk+1 ), ïðè÷åì d1 îòëè÷íàÿ îò a1 âèñÿ÷àÿ âåðøèíà äåðåâà Gk+1 , a d1 ∈ D1 ∈ Part(Sd1 d2 ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî v ∈ Sd1 d2 ∩ Vk+1 (ñì. ðèñóíîê 2.9b). Ïî ëåììå 2.8, ïóòü îò v äî d2 ïî äåðåâó Gk+1 äîëæåí ñîäåðæàòü õîòÿ áû îäíî ðåáðî ïóòè Q. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî v ∈ {a1 , . . . , an } è õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí a1 ,. . . , an ëåæèò â Int(D2 ). Ïóñòü u ∈ Int(D1 ) ∩ Vk+1 . Â ýòîì ñëó÷àå ïóòü îò u äî d2 ïî äåðåâó Gk+1 äîëæåí ïðîõîäèòü ÷åðåç âåðøèíó ðàçðåçà Sd1 d2 , à òîãäà, êàê ïîêàçàíî âûøå, ýòîò ïóòü ñîäåðæèò ðåáðî ïóòè Q. Ñëåäîâàòåëüíî, u ∈ {a1 , . . . , an } è õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí a1 ,. . . , an ëåæèò â Int(D2 ). Òàêèì îáðàçîì, âñå âåðøèíû èç D1 ∩ Vk+1 , êðîìå d1 , ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó {a1 , . . . , an }, íî õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí ïóòè Q íå ëåæèò â D1 . Ñëåäîâàòåëüíî, |Vk+1 ∩ D1 | ≤ n ≤ 4.2. k−1 . 2 (2.6) E = ∅. Â ýòîì ñëó÷àå Gk+1 = Q, à an âèñÿ÷àÿ âåðøèíà ãðàôà Gk+1 . Ïóñòü d1 = an , à D1 ∈ Part(Sn−1 ) ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ an . Òàê êàê an−1 ∈ / D1 , è â ýòîì ñëó÷àå âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (2.6). ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 84 Ïðîäîëæèì ðàññóæäåíèÿ äëÿ îáîèõ ñëó÷àåâ. Âåðøèíà d1 ∈ Int(D1 ) âèñÿ÷àÿ â äåðåâå Gk+1 , è ïîòîìó ñìåæíà ñ k âåðøèíàìè èç Vk ∩ D1 , ñðåäè êîòîðûõ åñòü âåðøèíà w ∈ Int(D1 ) (ñì. ðèñóíîê 2.9c). Ïîñêîëüêó d1 6= a1 , òî x 6= w. Âåðøèíà w ñìåæíà ñ k âåðøèíàìè èç D1 . Èç íåðàâåíñòâà (2.6) ñëåäóåò, ÷òî â NG (w) åñòü õîòÿ áû k+1 >1 2 âåðøèí ñòåïåíè k , ñðåäè êîòîðûõ ìîæíî íàéòè âåðøèíó w0 6= x (ñì. ðèk − |Vk+1 ∩ D1 | ≥ k − n ≥ ñóíîê 2.9ñ). Òîãäà ðåáðî ww0 äàåò íàì ek ≥ k è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî ëåììû. 2.1.5 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.1 Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî k > 1, èíà÷å äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î÷åâèäíî. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ. 1. Ek+1 = ∅. Òîãäà vk+1 = c ≤ k . Åñëè vk+1 = k , òî ek = 0 è íàø ãðàô ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé k ïîïàðíî íåñìåæíûõ âåðøèí ñòåïåíè k + 1, ñ êàæäîé èç êîòîðûõ ñìåæíû k + 1 ïîïàðíî íåñìåæíûõ âåðøèí ñòåïåíè k . Ýòî ãðàô Kk,k+1 , êîòîðûé ðàâåí Gk,T äëÿ îäíîâåðøèííîãî äåðåâà T . Ïóñòü vk+1 < k . Òîãäà ëþáàÿ âåðøèíà x ∈ Vk ñìåæíà õîòÿ áû ñ k − vk+1 âåðøèíàìè ñòåïåíè k , îòêóäà ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî vk (k − vk+1 ) > k − vk+1 , 2 à ýòî ïðîòèâîðå÷èò ñëåäñòâèþ 2.2. (Ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî ek ≥ vk ≥ k + 1 > 2.) 2. Äàëåå ìû ñ÷èòàåì, ÷òî Ek+1 6= ∅. Èç ëåììû 2.9 è ñëåäñòâèÿ 2.2 ïîíÿòíî, ÷òî äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà ð¼áðà èç Ek+1 íå âõîäÿò â êðèâûå ðàçðåçû. Òîãäà ïî ëåììå 2.6 äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ Ek+1 ìû ïîñòðîèì ðàçðåç Se 3 e òàê, ÷òîáû ýòè ðàçðåçû áûëè ïîïàðíî íåçàâèñèìû. Ïóñòü S ìíîæåñòâî ïîñòðîåííûõ ðàçðåçîâ. k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ 85 ÃÐÀÔÛ Ââåäåì íåîáõîäèìûå îáîçíà÷åíèÿ. Ïóñòü [ A= Part(S), S∈S à A1 , . . . , An âñå ìèíèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ÷àñòè èç A. Î÷åâèäíî, n ≥ 2. Ïóñòü Si ∈ S îòäåëÿþùèé ÷àñòü Ai ðàçðåç èç S, Ri = Ai ∩ W (Si ), pi = |Ri ∩ Vk |, Bi = Ai \ Ri . Ïóñòü ai ∈ Int(Ai ) êîíåö ðåáðà èç Ek+1 , âõîäÿùåãî â ðàçðåç Si (ñì. ðèñóíîê 2.10a). Òîãäà {ai } = Int(Ai ) ∩ Ri . Èçó÷èì ñâîéñòâà ÷àñòåé Ai . Ri b Si ai Ai b b Sxy ai b Ai b x a Si b Ai b R’ y ai Q’ Q b Si P’ b P c Ðèñ. 2.10: ×àñòü Ai . Ëåììà 2.10. Âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Bi 6= ∅, ìíîæåñòâî Ri îòäåëÿåò Bi îò îñòàëüíûõ âåðøèí ãðàôà. Êàæäàÿ âåðøèíà èç Ri ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç Bi . 2) Åñëè x ∈ Bi ∩ Vk+1 , òî {x} êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 . 3) Ïóñòü ci ýòî êîëè÷åñòâî ëåæàùèõ â Bi îäíîâåðøèííûõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 , à ek,i ýòî êîëè÷åñòâî èíöèäåíòíûõ âåðøèíàì èç Bi ð¼áåð èç Ek . Òîãäà ci + ek,i ≥ pi . Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Òàê êàê ðàçðåç Si íîðìàëåí, |Int(Ai )| > 1, à çíà÷èò, Bi = Int(Ai ) \ {ai } 6= ∅. Òîãäà Ri îòäåëÿåò Bi îò îñòàëüíûõ âåðøèí ãðàôà G. Èç |Ri | = k è k -ñâÿçíîñòè ãðàôà G ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà Ri ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç Bi . ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 86 2) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî y ∈ Vk+1 è xy ∈ E(G). Òîãäà y ∈ Ai , xy ∈ Ek+1 . Ðàññìîòðèì ðàçðåç Sxy ∈ S (ñì. ðèñóíîê 2.10b). Èç íåçàâèñèìîñòè ðàçðåçîâ Si è Sxy è ìèíèìàëüíîñòè ÷àñòè Ai ñëåäóåò, ÷òî îäíà èç ÷àñòåé Part(Sxy ) äîëæíà ñîäåðæàòü Ai , ÷òî, î÷åâèäíî, íåâîçìîæíî: âåðøèíû x, y ∈ Ai ëåæàò â ðàçíûõ ÷àñòÿõ Part(Sxy ). Ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. 3) Ïóñòü P ìíîæåñòâî âñåõ âõîäÿùèõ â Ri âåðøèí ñòåïåíè k , à Q ìíîæåñòâî âñåõ ñìåæíûõ ñ P âåðøèí èç Bi . Ïóñòü Vk+1 ∩ Q = Q0 , à P 0 ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí èç P , ñìåæíûõ â Int(Ai ) òîëüêî ñ âåðøèíàìè èç Q0 . Íàïîìíèì, ÷òî |P | = pi . Òîãäà ci ≥ |Q0 | ïî ïóíêòó 2. Êàæäàÿ âåðøèíà èç P \ P 0 ñìåæíà ñ âåðøèíîé ñòåïåíè k èç ìíîæåñòâà Q, îòêóäà ek,i ≥ |P | − |P 0 |. Åñëè |P 0 | ≤ |Q0 |, òî ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ek,i + ci ≥ pi , ÷òî íàì è íóæíî. Îñòàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà |P 0 | > |Q0 |. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Bi 6= Q0 . Òîãäà ìíîæåñòâî R0 = (R \ P 0 ) ∪ Q0 ñîñòîèò ìåíåå ÷åì èç k âåðøèí è îòäåëÿåò íåïóñòîå ìíîæåñòâî Bi \ Q0 îò îñòàëüíûõ âåðøèí ãðàôà G (ñì. ðèñóíîê 2.10c). Â k -ñâÿçíîì ãðàôå òàêîå íåâîçìîæíî. Ñëåäîâàòåëüíî, Q0 = Bi 6= ∅. Êàê ìû çíàåì èç ïóíêòà 2, êàæäàÿ âåðøèíà èç Q0 ìîæåò áûòü ñìåæíà òîëüêî ñ âåðøèíàìè èç Ai ∩ Vk , à ýòî â íàøåì ñëó÷àå òîëüêî âåðøèíû ìíîæåñòâà P . Íî |P | < k , ïðîòèâîðå÷èå. Âåðíåìñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû. Ïóñòü p1 = min(p1 , . . . pn ). Òîãäà ïî ëåììå 2.8 âåðøèíû èç Vk+1 ∩ (∪ni=1 Ri ) âõîäÿò õîòÿ áû â k − p1 ðàçëè÷íûõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 . Åñëè p1 > 0, òî â ñèëó ëåììû 2.10 ìû èìååì c + ek ≥ (k − p1 ) + n X j=1 pj ≥ k − p1 + 2p1 ≥ k + 1, ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 87 ÃÐÀÔÛ ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ñëåäñòâèþ 2.2. Îñòàåòñÿ ïîñëåäíèé, ñàìûé èíòåðåñíûé ñëó÷àé p1 = 0. Â ýòîì ñëó÷àå ïî ëåììå 2.8 âñå k âåðøèí èç R1 ïðèíàäëåæàò ðàçíûì êîìïîíåíòàì ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî c = k . Ïóñòü U1 , . . . , Uk êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 , òîãäà Ti = G(Ui ) äåðåâüÿ. Ïî ñëåäñòâèþ 2.2 ìû èìååì ek = 0, òî åñòü, íèêàêèå äâå âåðøèíû ñòåïåíè k â ãðàôå G íå ñìåæíû. Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìåíüøåãî ÷åì G ýêñòðåìàëüíîãî ìèíèìàëüíîãî k -ñâÿçíîãî ãðàôà óòâåðæäåíèå òåîðåìû äîêàçàíî. Ïî ëåììå 2.8 êàæäîå èç äåðåâüåâ T1 , . . . , Tk ñîäåðæèò ðîâíî ïî îäíîé âåðøèíå ìíîæåñòâà R1 . Ïóñòü R1 = {b1 , . . . , bk }, ïðè÷åì bi ∈ V (Ti ). Îäíà èç ýòèõ âåðøèí ñîâïàäàåò ñ a1 êîíöîì âõîäÿùåãî â ðàçðåç S1 ðåáðà. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî b1 = a1 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî bi ñìåæíà ñ âåðøèíîé x ∈ B1 ∩ Vk+1 . Òîãäà ðàññìîòðèì ðàçðåç Sxbi ∈ S. Ýòîò ðàçðåç ïî ïîñòðîåíèþ íåçàâèñèì ñ S1 . Ïóñòü A ∈ Part(Sxbi ) ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ x, íî íå ñîäåðæàùàÿ bi (ñì. ðèñóíîê 2.11a). Òîãäà A ( A1 ïðîòèâîðå÷èå ñ ìàêñèìàëüíîñòüþ ÷àñòè A1 . A1 A R1 rb Sxbi A1 x bi rb br rb a b b b bb b bi b’i bb b bb b’1 b b bb br b b G’ b bb b’i b rb b b b R1 b’k c Ðèñ. 2.11: ×àñòü A1 è ãðàô G0 . Ïóñòü b1 b01 ∈ S1 è N1 = NG (b1 ) \ {b01 }. Òàê êàê b1 ∈ Int(A1 ), ìû èìååì N1 ⊂ A1 . Èç äîêàçàííîãî âûøå ÿñíî, ÷òî N1 ⊂ Vk . Âìåñòå ñ R1 ⊂ Vk+1 ýòî îçíà÷àåò, ÷òî N1 ⊂ B1 . Òàê êàê ek = 0, êàæäàÿ âåðøèíà x ∈ N1 äîëæíà áûòü ñìåæíà ñ k ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 88 âåðøèíàìè èç Vk+1 , è âñå ýòè âåðøèíû ëåæàò â ÷àñòè A1 . Èç c = k è äîêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî Vk+1 ∩ A1 = R1 , à çíà÷èò, NG (x) = R1 = {b1 , . . . , bk }. Òåïåðü ïîíÿòíî, ÷òî B1 = N1 è ýòî ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç k âåðøèí ñòåïåíè k , êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñìåæíà ñ âåðøèíàìè b1 , . . . , bk (ñì. ðèñóíîê 2.11b). Ïî çàìå÷àíèþ 2.2, âñå âåðøèíû b1 , . . . , bk èìåþò â ãðàôå G ñòåïåíü k + 1, à çíà÷èò, äëÿ âñåõ i ∈ {1, . . . , k} âåðøèíà bi âèñÿ÷àÿ â äåðåâå Ti. Ïóñòü bi b0i ∈ E(Ti ) åäèíñòâåííîå èíöèäåíòíîå bi ðåáðî äåðåâà Ti . Òîãäà âñå âåðøèíû b01 ,. . . , b0k ðàçëè÷íû. Ïîñòðîèì íîâûé ãðàô G0 , äîáàâèâ ê ãðàôó G−R1 −B1 íîâóþ âåðøèíó b ñòåïåíè k ñ NG0 (b) = {b01 , . . . , b0k } (ñì. ðèñóíîê 2.11c). Ïóñòü Ti0 = Ti − bi . Îòìåòèì, ÷òî vk (G0 ) = vk (G) − k + 1, Ëåììà 2.11. v(G0 ) = v(G) − 2k + 1. (2.7) Ïóñòü x ∈ Vk (G). Òîãäà NG (x) ñîäåðæèò ïî îäíîé âåðøèíå êàæäîãî èç äåðåâüåâ T1 , . . . , Tk . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x ñìåæíà ñ âåðøèíàìè y1 è ym îäíîãî äåðåâà T` , à y1 y2 . . . ym ïóòü â T` ìåæäó íèìè. Ïóñòü Sy1 y2 ∈ S, Part(Sy1 y2 ) = {Y1 , Y2 }, Y1 3 y1 è Y2 3 y2 . Ïî ëåììå 2.7 ìû çíàåì, ÷òî NG (ym ) ⊂ Y2 . Ïîñêîëüêó y1 ∈ Int(Y1 ), ìû èìååì x ∈ Sy1 y2 (ñì. ðèñóíîê 2.12). Ðàçðåç Sy1 y2 ðàçäåëÿåò êàêèå-òî äâå ìèíèìàëüíûå ÷àñòè Ai è Aj , à èõ ãðàíèöû, êàê äîêàçàíî âûøå, ñîäåðæàò ïî âåðøèíå êàæäîãî èç äåðåâüåâ T1 , . . . , Tk . Çíà÷èò, è Sy1 y2 äîëæåí ñîäåðæàòü ïî âåðøèíå êàæäîãî èç ýòèõ äåðåâüåâ, êðîìå T` , òî åñòü, íå ìîæåò ñîäåðæàòü âåðøèíó x, ïðîòèâîðå÷èå. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ b Ai b b y1 b k -ÑÂßÇÍÛÅ Sy1 y2 b y2 ÃÐÀÔÛ ym b b b b b b b Y1 r x Y2 89 Aj b Ðèñ. 2.12: Âåðøèíà x ñìåæíà ñ äâóìÿ âåðøèíàìè îäíîãî äåðåâà. Ëåììà 2.12. G0 ìèíèìàëüíûé k ñâÿçíûé ãðàô. Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Äîêàæåì, ÷òî ãðàô G0 k -ñâÿçíûé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî G0 èìååò ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî Q èç ìåíåå ÷åì k âåðøèí. Òîãäà Q íå ñîäåðæèò íè îäíîé âåðøèíû êàêîãî-òî èç äåðåâüåâ T10 , . . . , Tk0 . Ïóñòü Q ∩ V (T10 ) = ∅, à U êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà G0 − Q, ñîäåðæàùàÿ âñå âåðøèíû äåðåâà T10 . Ïóñòü x ∈ Vk (G0 ) \ Q, x 6= b. Òîãäà ïî ëåììå 2.11 âåðøèíà x ñîåäèíåíà ðåáðîì ñ äåðåâîì T10 , ñëåäîâàòåëüíî, x ∈ U . Åñëè b ∈ / Q, òî âåðøèíà b òàêæå ïðèíàäëåæèò U (òàê êàê ñìåæíà ñ T10 ). Ïóñòü x ∈ Vk+1 (G0 ) \ Q, x ∈ / U . Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî x ∈ V (T20 ). Ïóñòü dT20 (x) = m. Òîãäà â äåðåâå T20 ñóùåñòâóþò m íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïóòåé îò x äî ðàçëè÷íûõ âèñÿ÷èõ âåðøèí y1 , . . . , ym . Êàæäàÿ âåðøèíà yi ñìåæíà â ãðàôå G0 ñ âåðøèíîé zi ∈ Vk (G0 ). Êðîìå òîãî, âåðøèíà x ñìåæíà â G0 ñ âåðøèíàìè zm+1 , . . . , zk+1 ∈ Vk (G0 ) (ñì. ðèñóíîê 2.13a). Ïî ëåììå 2.11, âñå âåðøèíû z1 ,. . . , zk+1 ðàçëè÷íû. Âûøå äîêàçàíî, ÷òî ýòè âåðøèíû ïðèíàäëåæàò êîìïîíåíòå U . Çíà÷èò, äëÿ êàæäîãî i ∈ {1, . . . , k + 1} ìíîæåñòâî Q äîëæíî ñîäåðæàòü îòëè÷íóþ îò x âåðøèíó, ëåæàùóþ íà ïóòè îò x äî zi . Íî òîãäà |Q| ≥ k + 1, ïðîòèâîðå÷èå. Òàêèì îáðàçîì, U ⊃ V (G0 −Q), òî åñòü, ãðàô G0 −Q ñâÿçåí. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. 2. Äîêàæåì, ÷òî ãðàô G0 ìèíèìàëüíûé. Ïóñòü xy ∈ E(G0 ). Åñëè õîòÿ áû îäèí èç êîíöîâ ýòîãî ðåáðà èìååò â G0 ñòåïåíü k , òî ãðàô G0 − xy íå ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì. Îñòàåòñÿ ðàññìîòðåòü ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ b b r r r z4 b b y 4 z1 r b y x 1 a r b z7 b b b y T2 y 2 b r b 3 r z3 y x Sxy Ux U b z5 z6 b b 90 ÃÐÀÔÛ b T1 b k -ÑÂßÇÍÛÅ A1 b1 T1 b b b B’ B b b S’ Uy b z2 b b Ðèñ. 2.13: Ðàçðåçû Sx è S 0 . ñëó÷àé, êîãäà xy ∈ Ek+1 (G0 ). Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïîëîæèì, ÷òî xy ∈ E(T10 ). Ðàññìîòðèì ðàçðåç Sxy ∈ S ãðàôà G, îí äåëèò G íà äâå ÷àñòè Ux 3 x è Uy 3 y (ñì. ðèñóíîê 2.13b). Òàê êàê ðàçðåçû â S íåçàâèñèìû, à ÷àñòü A1 ìèíèìàëüíàÿ ïî âêëþ÷åíèþ â A, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî A1 ⊂ Ux . Åñëè Sxy ∩ R1 = ∅, òî Sxy ðàçðåç ãðàôà G0 , îòäåëÿþùèé Uy îò (Ux \ A1 ) ∪ {b}. Ïóñòü B = R1 ∩ Sxy è B 0 = {b0i : bi ∈ B}. Îòìåòèì, ÷òî b1 ∈ / B ïî ëåììå 2.8. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû bi ∈ B â ÷àñòè Uy äîëæíà áûòü âåðøèíà, ñìåæíàÿ ñ bi , íî òàêàÿ âåðøèíà ìîæåò áûòü òîëüêî îäíà ýòî b0i . Ñëåäîâàòåëüíî, S 0 = (Sxy \ B) ∪ B 0 ðàçðåç ãðàôà G ñ Part(G; S 0 ) = {Ux ∪ B 0 , Uy \ B}. Òîãäà S 0 ðàçðåç ãðàôà G0 ñ Part(G0 ; S 0 ) = {(Ux ∪ B 0 ∪ {b}) \ A1 ), Uy \ B}. Òàêèì îáðàçîì, ãðàô G0 ìèíèìàëüíûé. Èòàê, ðàññìîòðèì ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô G0 . Èç vk (G) = (k − 1)v(G) + 2k 2k − 1 è ðàâåíñòâ (2.7) ñëåäóåò, ÷òî (k − 1)v(G0 ) + 2k vk (G ) = . 2k − 1 0 ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 91 ÃÐÀÔÛ Ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ G0 = Gk,T 0 äëÿ íåêîòîðîãî äåðåâà T 0 c ∆(T 0 ) ≤ k + 1. Òîãäà T10 , . . . , Tk0 ýòî êîïèè äåðåâà T 0 . Òàê êàê b ∈ Vk (G0 ) è NG0 (b) = {b01 , . . . , b0k }, ïî ïîñòðîåíèþ ãðàôà Gk,T 0 â äåðåâå T 0 åñòü âåðøèíà b0 , êîòîðàÿ ïðè èçîìîðôèçìå êîïèé ñîîòâåòñòâóåò âåðøèíàì b01 , . . . , b0k . Íàïîìíèì, ÷òî ïî çàìå÷àíèþ 2.2 ìû èìååì ∆(G) = k + 1. Ïîýòîìó, dT 0 (b0 ) = dT10 (b01 ) = dT1 (b1 ) − 1 ≤ ∆(G) − 1 = k. (2.8) Ïóñòü äåðåâî T ïîëó÷åíî èç T 0 ïðèñîåäèíåíèåì âèñÿ÷åé âåðøèíû ê b0 . Èç íåðàâåíñòâà (2.8) ñëåäóåò, ÷òî ∆(T ) ≤ k + 1. Âñïîìíèâ ïîñòðîåíèå ãðàôà G0 ïî ãðàôó G íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî G = Gk,T . Òåîðåìà 2.1 ïîëíîñòüþ äîêàçàíà. 2.1.6 Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿç- íûõ ãðàôîâ Â 1982 Îêñëè [30] ïðåäñòàâèë àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ è òð¼õñâÿçíûõ ãðàôîâ. Áûëî äîêàçàíî, ÷òî ëþáîé ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç ïîëíîãî äâóäîëüíîãî ãðàôà K2,3 íåñêîëüêèìè îïåðàöèÿìè çàìåíû âåðøèíû ñòåïåíè 2 íà ãðàô K2,2 , ïðèñîåäèíåííûé ê äâóì âåðøèíàì èç îêðåñòíîñòè çàìåíÿåìîé âåðøèíû. Òàì æå äîêàçàíî, ÷òî ëþáîé ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé òð¼õñâÿçíûé ãðàô ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç ïîëíîãî äâóäîëüíîãî ãðàôà K3,4 íåñêîëüêèìè îïåðàöèÿìè çàìåíû âåðøèíû ñòåïåíè 3 íà ãðàô K3,3 . Èç òåîðåìû 2.1 íåñëîæíî âûâåñòè àíàëîãè÷íûé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ âñåõ ýêñòðåìàëüíûõ ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ ïðè ïðîèçâîëüíîì k . Ñëåäñòâèå 2.3. Ïóñòü G ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà G ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç Kk,k+1 ñåðèåé îïåðàöèé çàìåíû âåðøèíû ñòåïåíè k íà ïîëíûé äâóäîëüíûé ãðàô Kk,k (â õîäå îïåðàöèè ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 92 ÃÐÀÔÛ äîáàâëÿåòñÿ ïàðîñî÷åòàíèå, ñîåäèíÿþùåå k âåðøèí îäíîé äîëè Kk,k c âåðøèíàìè, âõîäÿùèìè â îêðåñòíîñòü çàìåíÿåìîé âåðøèíû ñòåïåíè k ). b b b b b br b rb b rb b b rb rb b b b b rb b b Ðèñ. 2.14: Îïåðàöèÿ çàìåíû âåðøèíû ñòåïåíè k íà ãðàô Kk,k . Äîêàçàòåëüñòâî. Îòìåòèì, ÷òî ãðàô Kk,k+1 ýòî ãðàô Gk,T äëÿ îäíî- âåðøèííîãî äåðåâà T . Ïóñòü Gk,T ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, v(T ) > 1, a âèñÿ÷àÿ âåðøèíà äåðåâà T , à a1 , . . . , ak ñîîòâåòñòâóþùèå a âåðøèíû â êîïèÿõ äåðåâà T , íà êîòîðûõ ïîñòðîåí ãðàô Gk,T . Òîãäà ïî ïîñòðîåíèþ ýòîãî ãðàôà îí ñîäåðæèò ïîëíûé äâóäîëüíûé ãðàô Kk,k , îäíà äîëÿ êîòîðîãî ýòî {a1 , . . . , ak }, à äðóãàÿ ýòî k ïðèñîåäèíåííûõ ê íèì âåðøèí ñòåïåíè k . Ïóñòü a0i åäèíñòâåííàÿ âåðøèíà äåðåâà Ti , ñìåæíàÿ ñ ai . Ïðîèçâåäåì îïåðàöèþ, îáðàòíóþ ê îïèñàííîé â ôîðìóëèðîâêå ñëåäñòâèÿ: çàìåíèì íàéäåííûé ïîäãðàô Kk,k íà íîâóþ âåðøèíó b ñòåïåíè k , ñìåæíóþ ñ a01 , . . . , a0k . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ìû ïîëó÷èëè ãðàô Gk,T 0 ãäå T 0 = T − a, òî åñòü, èç äåðåâà T ìû óäàëèëè âèñÿ÷óþ âåðøèíó. Ïîíÿòíî, ÷òî â ðåçóëüòàòå òàêèõ îïåðàöèé äåðåâî ñòàíåò îäíîâåðøèííûì, à çíà÷èò, íàø k -ñâÿçíûé ãðàô ïðåâðàòèòñÿ â Kk,k+1 . ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ 2.2 k -ÑÂßÇÍÛÅ 93 ÃÐÀÔÛ Ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû Ìû áîëåå ïîäðîáíî èçó÷èì ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû ïðè ïîìîùè êîíñòðóêöèè äåðåâà ðàçáèåíèÿ äâóñâçÿíîãî ãðàôà. Íàïîìíèì, ÷òî ìèíèìàëüíûé äâóñâçÿíûé ãðàô G óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó v(G) + 4 . (2.9) 3 ×åðåç GM(n) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ ìèíèìàëüv2 (G) ≥ Îïðåäåëåíèå 2.3. íûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ íà n âåðøèíàõ, â êîòîðûõ ðîâíî d v(G)+4 e 3 âåðøèí ñòåïåíè 2. Ïîíÿòíî, ÷òî ðàâåíñòâî v2 (G) = v(G)+4 3 ìîæåò äîñòèãàòüñÿ òîëüêî ïðè v(G) = 3m + 2. ×àñòíûì ñëó÷àåì òåîðåìû 2.1 äëÿ k = 2 ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Ñëåäñòâèå 2.4. Ìíîæåñòâî GM(3m + 2) ñîñòîèò èç ãðàôîâ âèäà G2,T , ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) ≤ 3. Îêñëè â ñòàòüå [30] ècñëåäîâàë ñòðóêòóðó ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ èç GM(n). Äëÿ n ñðàâíèìûõ ñ 0 è 1 ïî ìîäóëþ 3 â [30] äîêàçàíî, ÷òî ãðàôû èç GM(n) ìîæíî ïîëó÷èòü íåñêîëüêèìè îïåðàöèÿìè çàìåíû âåðøèíû ñòåïåíè 2 íà ãðàô K2,2 èç îäíîãî èç íà÷àëüíûõ ãðàôîâ, ïåðå÷èñëåííûõ â ðàáîòå. Íà÷àëüíûå ãðàôû ýòî K3 , òðè ãðàôà íåñêîëüêî áîëåå ñëîæíîé ñòðóêòóðû è äâå áåñêîíå÷íûå ñåðèè ãðàôîâ. Ìû äàäèì îïèñàíèå ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ èç GM(n) ñ ïîìîùüþ ãðàôîâ âèäà G2,T è ñòÿãèâàíèÿ ð¼áåð. Òåîðåìà 2.2. Ïóñòü m ≥ 2. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäå- íèÿ. 1) GM(3m + 1) ñîñòîèò èç ãðàôîâ âèäà G2,T · xy , ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) = 3, x, y ∈ V3 (G2,T ) è xy ∈ E(G2,T ). 2) Äëÿ ëþáîãî ãðàôà G ∈ GM(3m + 1) ïðåäñòàâëåíèå â âèäå G2,T · xy èç ïóíêòà 1 åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 94 ÃÐÀÔÛ Äëÿ îïèñàíèÿ ãðàôîâ èç GM(3m) íàì ïîòðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü åùå îäíó ñåðèþ ãðàôîâ. Îïðåäåëåíèå 2.4. Ïóñòü T äåðåâî ñ ∆(T ) = 3 è a ∈ V (T ) âåðøèíà ñòåïåíè dT (a) = 3. Ïóñòü NT (a) = {x, y, z}. Ðàññìîòðèì ãðàô G2,T : ïóñòü Ra , Rx = {x1 , x2 }, Ry = {y1 , y2 }, Rz = {z1 , z2 } åãî îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà, ñîîòâåòñòâóþùèå âåðøèíàì a, x, y , z . Ïîëîæèì GT,a = (G2,T − Ra ) + x1 y2 + y1 z2 + z1 x2 (ñì. ðèñóíîê 2.15). b b x a b b b y b b b z b b b b b b b b b b Ry Rz b b b b b b b b b b b b b A Ry b Rz b b b GT– R a T b b b b Rx b b b b b b b b b Rx b b b b b b b b G T,a Ðèñ. 2.15: Ïîñòðîåíèå ãðàôà GT,a . Çàìå÷àíèå 2.3. Ïóñòü T äåðåâî ñ v(T ) = m, ∆(T ) = 3. 1) Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ãðàô GT,a äâóñâÿçåí. 2) Âåðøèíå a ñîîòâåòñòâóåò ÷àñòü-øåñòèóãîëüíèê, îñòàëüíûå íåêðàéíèå ÷àñòè ãðàôà GT,a ÷åòûð¼õóãîëüíèêè, à âñå êðàéíèå ÷àñòè òðåóãîëüíèêè. Îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà ãðàôà GT,a ñîîòâåòñòâóþò îòëè÷íûì îò a âåðøèíàì äåðåâà T , äâå âåðøèíû êàæäîãî îäèíî÷íîãî ìíîæåñòâà íåñìåæíû. Çíà÷èò, ïî òåîðåìå 1.6 ãðàô GT,a ìèíèìàëåí. 3) Îòìåòèì, ÷òî v(GT,a ) = v(G2,T ) − 2 = 3m, v2 (GT,a ) = v2 (G2,T ) = m + 2. Ïîýòîìó, GT,a ∈ GM(3m). 4) Ïðè ïîñòðîåíèè ãðàôà GT,a ìîæíî íåñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ñîåäèíèòü â ãðàôå G2,T − Ra âåðøèíû èç Rx , Ry , Rz òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëàñü ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 95 ÷àñòü-øåñòèóãîëüíèê. Îäíàêî íåñëîæíî ïîíÿòü, ÷òî âñå ïîëó÷åííûå òàêèì îáðàçîì ãðàôû áóäóò èçîìîðôíû äðóã äðóãó. Òåîðåìà 2.3. Ïóñòü m ≥ 2. Òîãäà GM(3m) ñîñòîèò èç ãðàôîâ òð¼õ ïåðå÷èñëåííûõ íèæå âèäîâ. 1◦ Ãðàôû G2,T · xy · zt, ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) ≤ 3, xy, zt ∈ E(G2,T ) äâà ðàçëè÷íûõ ðåáðà, êîíöû êîòîðûõ èìåþò â ãðàôå G2,T ñòåïåíü 3 (ó âûáðàííûõ ð¼áåð ìîãóò áûòü ñîâïàäàþùèå êîíöû). 2◦ Ãðàôû, ïîëó÷åííûå èç ãðàôîâ âèäà G2,T − xy ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m − 1 è ∆(T ) ≤ 3, à xy ∈ E(G2,T ), äîáàâëåíèåì íîâîé âåðøèíû ñòåïåíè 2, ñìåæíîé ñ x è y . 3◦ Ãðàôû âèäà GT,a , ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) = 3, à a ∈ V (T ) âåðøèíà ñòåïåíè 3. Äàëåå ìû äîêàæåì ýòè äâå òåîðåìû. Íà÷íåì ñ íåñêîëüêèõ òåõíè÷åñêèõ ëåìì. Íàì ïîíàäîáèòñÿ äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà, îïðåäåëåííîå â ïðåäûäóùåé ãëàâå è ðÿä åãî ñâîéñòâ. Ëåììà 2.13. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô, S ∈ O(G) îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî, íå ñìåæíîå â BT(G) ñ áëîêàìè. Òîãäà dBT(G) (S) ≥ 3. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ýòî íå òàê è S = {x, y} ñìåæíî â BT(G) ðîâíî ñ äâóìÿ ÷àñòÿìè öèêëàìè B1 è B2 . Âûáåðåì îòëè÷íûå îò x, y âåðøèíû z1 ∈ B1 è z2 ∈ B2 . Äîêàæåì, ÷òî R = {z1 , z2 } îòäåëÿåò x îò y â ãðàôå G0 − xy (à ñëåäîâàòåëüíî, è â ãðàôå G ïîäãðàôå G0 − xy .) Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå è ðàññìîòðèì êðàò÷àéøèé xy -ïóòü P â ãðàôå G0 − xy − R. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îí ñîäåðæèò âåðøèíó v ∈ / B1 ∪ B2 . Òîãäà ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî T ∈ O(G), îòäåëÿþùåå v îò B1 ∪ B2 (ñì. ðèñóíîê 2.16). Íàïîìíèì, ÷òî ìíîæåñòâî S äåëèò ãðàô íà äâå ÷àñòè, îäíà èç êîòîðûõ ñîäåðæèò z1 , à äðóãàÿ z2 . Ïîýòîìó, T 6= S . Ïðè äâèæåíèè îò v k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ b b B1 b z1 b S x b b b z2 96 ÃÐÀÔÛ b y B2 P b v b b T Ðèñ. 2.16: Ïóòü P â ãðàôå G0 − xy . â îáå ñòîðîíû ïî ïóòè P ìû ïîïàäåì â âåðøèíû ìíîæåñòâà T , êîòîðûå â ãðàôå G0 − xy − R ñìåæíû. Íî òîãäà ñóùåñòâóåò áîëåå êîðîòêèé ïóòü: ìîæíî çàìåíèòü ó÷àñòîê ïóòè, ñîäåðæàùèé v , íà ðåáðî ìåæäó äâóìÿ âåðøèíàìè ìíîæåñòâà T . Ïðîòèâîðå÷èå ñ âûáîðîì ïóòè P ïîêàçûâàåò, ÷òî V (P ) ⊂ B1 ∪ B2 , íî òàêîãî xy -ïóòè â G0 − xy − R, î÷åâèäíî, íåò. Çíà÷èò, R ðàçäåëÿåò â G ìíîæåñòâî S = {x, y}, òî åñòü, S è R çàâèñèìû. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî S íåîäèíî÷íîå. Ïðîòèâîðå÷èå. Ñëåäóþùàÿ ëåììà õàðàêòåðèçóåò ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû â òåðìèíàõ ñòÿãèâàíèÿ ð¼áåð. Ëåììà 2.14. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô, âñå ÷àñòè êî- òîðîãî öèêëû, w ∈ V (G), dG (w) ≥ 4. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô H è âåðøèíû w1 , w2 ∈ V3 (H), òàêèe, ÷òî G = H · w1 w2 è ïðè ýòîì w = w1 · w2 . Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïî ñëåäñòâèþ 1.5, âåðøèíà w âõîäèò â îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî R = {w, u} ãðàôà G. Âåðøèíû w è u ïî òåîðåìå 1.6 íåñìåæíû. Ñëåäîâàòåëüíî, N = NG (w) 63 u, à çíà÷èò, âñå (õîòÿ áû ÷åòûðå) âåðøèíû èç N ýòî âíóòðåííèå âåðøèíû ÷àñòåé Part(R). Ïî ëåììå 2.13 â Part(R) õîòÿ áû òðè ÷àñòè. Èç äâóñâÿçíîñòè ãðàôà G ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ èç íèõ ñîäåðæèò õîòÿ áû ïî îäíîé âåðøèíå èç N . Çíà÷èò, ìîæíî òàê ðàçáèòü ÷àñòè Part(R) íà äâå ãðóïïû, ÷òîáû ÷àñòè èç êàæäîé ãðóïïû ñîäåðæàëè õîòÿ áû äâå âåðøèíû ìíîæåñòâà N . Ïóñòü N1 è N2 ýòî ìíîæåñòâà âåðøèí èç N , ñîäåðæàùèåñÿ â ÷àñòÿõ ïåðâîé è âòîðîé ãðóïï ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà N = N1 ∪ N2 . ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 97 ÃÐÀÔÛ Ìû èçìåíèì íàø ãðàô: çàìåíèì âåðøèíó w íà äâå ñìåæíûå âåðøèíû w1 è w2 (ñì. ðèñóíîê 2.17a). Â íîâîì ãðàôå H âåðøèíà w1 áóäåò ñìåæíà ñî âñåìè âåðøèíàìè èç N1 è c w2 , à âåðøèíà w2 áóäåò ñìåæíà ñî âñåìè âåðøèíàìè èç N2 è c w1 . Òîãäà dH (w1 ) ≥ 3 è dH (w2 ) ≥ 3. Î÷åâèäíî, G = H · w1 w2 è w = w1 · w2 . 2. Äîêàæåì, ÷òî ãðàô H äâóñâÿçåí. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê è ðàññìîòðèì êëàññè÷åñêèå áëîêè ãðàôà H . Èõ õîòÿ áû äâà. Îäèí èç íèõ íàçîâåì åãî B ñîäåðæèò ðåáðî w1 w2 . Ïðè ñòÿãèâàíèè ðåáðà w1 w2 îòëè÷íûå îò B áëîêè íå ìåíÿþòñÿ, íî ïîëó÷àåòñÿ äâóñâÿçíûé ãðàô G. Çíà÷èò, ó ãðàôà H âñåãî äâà áëîêà, ïðè÷¼ì áëîê B ñîñòîèò èç äâóõ âåðøèí w1 è w2 è ðåáðà ìåæäó íèìè. Òîãäà îäíà èç âåðøèí w1 è w2 äîëæíà èìåòü ñòåïåíü 1 â H , ÷òî íå òàê. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî ãðàô H äâóñâÿçåí. G N1 w b b b b R u b N1 N2 b w1 b w2 H G b b b b N2 U1 b a u b U2 b b b b b w H w1 b b U2 U1 b b b w2 b b Ðèñ. 2.17: Ïðåîáðàçîâàíèå âåðøèíû w. 3. Äîêàæåì, ÷òî H ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô. Ñíà÷àëà äîêàæåì, ÷òî ãðàô H − w1 w2 íåäâóñâÿçåí: îí èìååò òî÷êó ñî÷ëåíåíèÿ u. Äåéñòâèòåëüíî, â ãðàôå H − {w1 , w2 , u} = G − {u, w} âåðøèíû èç N1 íå ñâÿçàíû ñ âåðøèíàìè èç N2 . Äîáàâèâ â ýòîò ãðàô âåðøèíó w1 (íå ñâÿçàííóþ ñ N2 ) è âåðøèíó w2 (íå ñâÿçàííóþ ñ N1 ) áåç ðåáðà w1 w2 , ìû íå ñäåëàåì ãðàô ñâÿçíûì. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ êàê ðàç íåñâÿçíûé ãðàô H − w1 w2 − u. Ïóñòü e 6= w1 w2 . Òàê êàê ãðàô G ìèíèìàëåí, â ãðàôå G − e åñòü òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ a. Åñëè a 6= w, òî w ñìåæíà òîëüêî ñ îäíîé ÷àñòüþ ðàçáèåíèÿ Part(G − e; {a}), ïîýòîìó a òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ è â H − e. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 98 Ïóñòü a = w, à Part(G − e; {w}) = {U1 , . . . Uk }. Òîãäà ãðàô H − e áóäåò äâóñâÿçíûì, åñëè è òîëüêî åñëè îáå âåðøèíû w1 è w2 ñìåæíû ñ êàæäîé èç ÷àñòåé U1 , . . . , Uk (ñì. ðèñóíîê 2.17b). Íî òîãäà ãðàô H − w1 w2 äâóñâÿçåí, òàê êàê â ýòîì ãðàôå ñóùåñòâóåò k ≥ 2 ïóòåé ìåæäó w1 è w2 : ïî êàæäîé èç ÷àñòåé U1 , . . . , Uk . Ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëåíèå 2.5. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô. 1) Îáîçíà÷èì ÷åðåç V20 (G) ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí ñòåïåíè 2, âõîäÿùèõ â êðàéíèå ÷àñòè ãðàôà G. 2) Äëÿ ÷àñòè A ∈ Part(G) ïîëîæèì ( |A|, åñëè A áëîê s(A) = dBT(G) (A), åñëè A öèêë. Ëåììà 2.15. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô, èìåþùèé k íåêðàéíèõ ÷àñòåé A1 , . . . , Ak , à H = G − V20 (G). Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ãðàô H ëåñ ñ c= X k s(Ai ) − 2k + 2 (2.10) i=1 êîìïîíåíòàìè ñâÿçíîñòè. 2) Äëÿ ëþáîãî îäèíî÷íîãî ìíîæåñòâà S äâå åãî âåðøèíû ïðèíàäëåæàò ðàçíûì êîìïîíåíòàì ñâÿçíîñòè H . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîíóìåðóåì âñå âåðøèíû äåðåâà T = BT(G) (êàê ñî- îòâåòñòâóþùèå ÷àñòÿì, òàê è ñîîòâåòñòâóþùèå îäèíî÷íûì ìíîæåñòâàì) a1 , . . . , am , òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû äëÿ âñåõ ` ãðàô T ({a1 , . . . , a` }) áûë äåðåâîì, à a` åãî âèñÿ÷åé âåðøèíîé. Ïóñòü íåêðàéíèå ÷àñòè Part(G) â íóìåðàöèè A1 , . . . , Ak èäóò â òîì æå ïîðÿäêå, êàê â íóìåðàöèè âñåõ âåðøèí äåðåâà T . Ïîëîæèì W` = ` [ i=1 Ai , H` = H(W` ). ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 99 Òîãäà ïîíÿòíî, ÷òî Wk = V (H) è, ñëåäîâàòåëüíî, Hk = H . Èíäóêöèåé ïî ` ìû äîêàæåì, ÷òî H` îáúåäèíåíèå c` = X ` s(Ai ) − 2` + 2 i=1 äåðåâüåâ è óòâåðæäåíèå 2 âûïîëíåíî äëÿ îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ, ñîäåðæàùèõñÿ â W` . Áàçà ` = 1. Åñëè A1 áëîê, òî ãðàô G(A1 ) ïî òåîðåìå 1.6 íå èìååò ð¼áåð, à çíà÷èò, åñòü îáúåäèíåíèå s(A1 ) = |A1 | îäíîâåðøèííûõ äåðåâüåâ. Ïóñòü ÷àñòü A1 öèêë. Òîãäà G0 (A1 ) ýòî öèêë, ïðè÷åì äâå âåðøèíû ëþáîãî îäèíî÷íîãî ìíîæåñòâà, ëåæàùåãî â A1 ñîñåäíèå â ýòîì öèêëå è ïî òåîðåìå 1.6 îíè íåñìåæíû â G. Ïîýòîìó H1 = H(A1 ) îáúåäèíåíèå dBT(G) (A1 ) = s(A1 ) äåðåâüåâ, ïðè÷åì âåðøèíû êàæäîãî îäèíî÷íîãî ìíîæåñòâà ïðèíàäëåæàò ðàçíûì äåðåâüÿì. Ïåðåõîä ` → ` + 1. Ìû òàê ïðîíóìåðîâàëè íåêðàéíèå ÷àñòè, ÷òî A`+1 ÿâëÿåòñÿ âèñÿ÷åé âåðøèíîé â íåêîòîðîì ïîääåðåâå T 0 äåðåâà ðàçáèåíèÿ BT(G), ïðè÷åì V (T 0 ) ñîäåðæèò âñå ÷àñòè A1 , . . . , A` . Òîãäà A`+1 ñìåæíà â T 0 ðîâíî ñ îäíîé âåðøèíîé, è ýòà âåðøèíà ñîîòâåòñòâóåò îäèíî÷íîìó ìíîæåñòâó íàçîâåì åãî S . Ïî òåîðåìå 1.1, ìíîæåñòâî S îòäåëÿåò A`+1 îò A1 , . . . , A` . Òàêèì îáðàçîì, ðîâíî äâå âåðøèíû ÷àñòè A`+1 âõîäÿò â W` = V (H`) ýòî äâå âåðøèíû ìíîæåñòâà S è îíè ïðèíàäëåæàò ðàçíûì êîìïîíåíòàì ñâÿçíîñòè H` â ñèëó óòâåðæäåíèÿ 2. Ðàçáåðåì äâà ñëó÷àÿ. a. ×àñòü A`+1 áëîê. Âñå âåðøèíû áëîêà A`+1 â ãðàôå H`+1 ïîïàðíî íåñìåæíû. Â V (H`+1 ) äîáàâÿòñÿ |A`+1 | − 2 = s(A`+1 ) − 2 âåðøèíû ÷àñòè A`+1 , íå âõîäÿùèå â S , êàæäàÿ èç íèõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íîâóþ îäíîâåðøèííóþ êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè. Îòñþäà íåìåäëåííî ñëåäóåò óòâåðæäåíèå 1 äëÿ ãðàôà H`+1 è óòâåðæäåíèå 2 äëÿ ñîäåðæàùèõñÿ â W`+1 îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 100 b b b b b b F1 b b b Wl S Al +1 b b F2 b b b Ðèñ. 2.18: Øàã ñ ÷àñòüþ-öèêëîì A`+1 . b. ×àñòü A`+1 öèêë. Ãðàô H` ëåñ. Ïóñòü U1 è U2 êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà H` , êîòîðûå ñîäåðæàò âåðøèíû ìíîæåñòâà S (ïî óòâåðæäåíèþ 2 îíè ðàçëè÷íû). Îñòàëüíûå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà H` áóäóò êîìïîíåíòàìè ñâÿçíîñòè ãðàôà H`+1 . Ïóñòü Fi = H` (Ui ). Êàê ïîêàçàíî âûøå, H(A`+1 ) îáúåäèíåíèå s(A`+1 ) äåðåâüåâ, ïðè÷åì âåðøèíû êàæäîãî îäèíî÷íîãî ìíîæåñòâà (â òîì ÷èñëå, âåðøèíû S ) ïðèíàäëåæàò ðàçíûì äåðåâüÿì (ñì. ðèñóíîê 2.18). Çíà÷èò, âåðøèíû äåðåâüåâ F1 è F2 ïîïàäàþò â ðàçíûå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà H`+1 . Îñòàëüíûå s(A`+1 ) − 2 êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà H(A`+1 ) ýòî êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà H`+1 . Îòñþäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå 1 äëÿ ãðàôà H`+1 è óòâåðæäåíèå 2 äëÿ ñîäåðæàùèõñÿ â W`+1 îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ. Ñëåäñòâèå 2.5. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô, à ãðàô H = G − V20 (G) èìååò c êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Åñëè G èìååò õîòÿ áû îäèí áëîê, òî c ≥ 4. 2) Åñëè G èìååò ÷àñòü-öèêë A ñòåïåíè dBT(G) (A) = d, òî c ≥ d. 3) Åñëè c = 3, òî âñå ÷àñòè ãðàôà G öèêëû, ðîâíî îäíà èç íèõ èìååò ñòåïåíü 3 â BT(G), à îñòàëüíûå ñòåïåíü 2. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Â áëîêå A ãðàôà G õîòÿ áû ÷åòûðå âåðøèíû, à ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 101 ãðàô G(A) ïóñò. Ñëåäîâàòåëüíî, áëîê ãðàôà G åãî íåêðàéíÿÿ ÷àñòü. Ïî ôîðìóëå (2.10) òîãäà c ≥ |A| ≥ 4. 2) Óòâåðæäåíèå íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ôîðìóëû (2.10). 3) Óòâåðæäåíèå íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ôîðìóëû (2.10) è ïóíêòîâ 1 è 2. Îïðåäåëåíèå 2.6. 1) Äëÿ ëþáîé âåðøèíû x ∈ V (G) íàçîâåì åå óìåíü- øåííîé ñòåïåíüþ âåëè÷èíó d0G (x) = dG (x) − 2. 2) ×åðåç s(G) îáîçíà÷èì ñóììó óìåíüøåííûõ ñòåïåíåé âåðøèí ãðàôà G. Çàìå÷àíèå 2.4. 1) Î÷åâèäíî, óìåíüøåííàÿ ñòåïåíü ëþáîé âåðøèíû èç V3 (G) íå ìåíåå 1. 2) s(G) = 2e(G) − 2v(G). Äàëåå â ýòîì ðàçäåëå áóäåì ïðèìåíÿòü äëÿ ìèíèìàëüíîãî äâóñâÿçíîãî ãðàôà G ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: • t êîëè÷åñòâî êðàéíèõ ÷àñòåé ãðàôà G; • c êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà H = G − V20 (G); • s = s(G). Ëåììà 2.16. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà 2t = s + 2c. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñìîòðèì íà ð¼áðà, ñîåäèíÿþùèå âåðøèíû èç V3 (G) ñ âíóòðåííèìè âåðøèíàìè êðàéíèõ ÷àñòåé ãðàôà G. Ïóñòü èõ êîëè÷åñòâî ðàâíî q . Äëÿ êàæäîé êðàéíåé ÷àñòè A îò åå âíóòðåííîñòè Int(A) âûõîäèò ðîâíî äâà ðåáðà â V3 (G) (ê âåðøèíàì èç Bound(A)). Ïîýòîìó q = 2t. Ïîñêîëüêó H îáúåäèíåíèå c äåðåâüåâ, òî e(H) = v(H) − c. Î÷åâèäíî, V3 (G) ⊆ V (H). Ìíîæåñòâî W = V (H) \ V3 (G) ñîñòîèò èç âåðøèí ìíîæåñòâà V2 (G), âõîäÿùèõ â íåêðàéíèå ÷àñòè òî åñòü, ïî ñëåäñòâèþ 1.5, èç ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 102 âíóòðåííèõ âåðøèí íåêðàéíèõ ÷àñòåé. Ïîýòîìó êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà W èìååò ñòåïåíü 2 â ãðàôå H , à çíà÷èò, X 2|W | + dH (x) = X dH (x) + x∈W x∈V3 (G) X dH (x) = x∈V3 (G) X dH (x) = 2v(H) − 2c = 2v3 (G) + 2|W | − 2c, x∈V (H) îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî X dH (x) = 2(v3 (G) − c). x∈V3 (G) Òåïåðü ïîñ÷èòàåì q ñ äðóãîé ñòîðîíû: q= X (dG (x) − dH (x)) = x∈V3 (G) X dG (x) − 2(v3 (G) − c) = x∈V3 (G) X dG (x) − 2v(G) + 2c = s + 2c. x∈V (G) Äëÿ ìèíèìàëüíîãî äâóñâÿçíîãî ãðàôà G îïðåäåëèì f (G) = 3v2 (G) − (v(G) + 4) = 2v2 (G) − v3 (G) − 4. Çàìå÷àíèå 2.5. Ïóñòü G ∈ GM(n), n ≥ 5. Èç îïðåäåëåíèÿ 2.3 ñëåäóåò, ÷òî f (G) ðàâíÿåòñÿ îñòàòêó îò äåëåíèÿ n + 4 íà òðè. Íåïîñðåäñòâåííî èç ëåììû 2.16 ñëåäóåò, ÷òî f (G) = 2(v2 (G) − t) + 2(c − 2) + (s − v3 (G)). Ëåììà 2.17. (2.11) Êàæäîå èç òðåõ ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (2.11) íåîòðèöàòåëüíî. Äîêàçàòåëüñòâî. Êàæäàÿ êðàéíÿÿ ÷àñòü ãðàôà G ñîäåðæèò õîòÿ áû îä- íó âåðøèíó èç V2 (G), ïîýòîìó v2 (G) ≥ t. Èç ëåììû 2.15 î÷åâèäíî, ÷òî c ≥ 2. Òàê êàê óìåíüøåííàÿ ñòåïåíü êàæäîé âåðøèíû èç V3 (G) íåîòðèöàòåëüíà, s ≥ v3 (G). ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 103 Ñëåäóþùàÿ ëåììà ïîìîæåò êëàññèôèöèðîâàòü ãðàôû ñ ìàëûì çíà÷åíèåì f (G). Ëåììà 2.18. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà âûïîë- íÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Åñëè v2 (G) − t = 0, òî âñå êðàéíèå ÷àñòè ãðàôà G òðåóãîëüíèêè, à âñå íåêðàéíèå ÷àñòè èìåþò ïóñòóþ âíóòðåííîñòü. 2) Åñëè c − 2 = 0, òî âñå íåêðàéíèå ÷àñòè ãðàôà G öèêëû è èìåþò ñòåïåíü 2 â äåðåâå BT(G). 3) Åñëè s−v3 (G) = 0, òî âñå îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà èìåþò ñòåïåíü 3 â ãðàôå BT(G) è íå èìåþò îáùèõ âåðøèí. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Åñëè v2 (G) − t = 0, òî íåêðàéíèå ÷àñòè íå ñîäåð- æàò âåðøèí ñòåïåíè 2 (à çíà÷èò, ïî ñëåäñòâèþ 1.5 èìåþò ïóñòóþ âíóòðåííîñòü), à êàæäàÿ êðàéíÿÿ ÷àñòü ñîäåðæèò ðîâíî îäíó âåðøèíó ñòåïåíè 2 (òî åñòü, ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíèêîì). 2) Ïî ïóíêòó 1 ñëåäñòâèÿ 2.5 âñå ÷àñòè Part(G) öèêëû. Òåïåðü èç ôîðìóëû (2.10) ñëåäóåò, ÷òî âñå îíè èìåþò ñòåïåíü 2 â BT(G). 3) Ïî çàìå÷àíèþ 2.4, ðàâåíñòâî s = v3 (G) îçíà÷àåò, ÷òî âñå âåðøèíû èç V3 (G) èìåþò ñòåïåíü 3. Åñëè êàêîå-òî îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî èìååò ñòåïåíü 4 â BT(G), òî ïî ëåììå 1.2 åãî âåðøèíû èìåþò ñòåïåíü õîòÿ áû 4. Çíà÷èò, âñå îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà èìåþò ñòåïåíü 3 â ãðàôå BT(G). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàêèå-òî äâà îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâà S è S 0 ãðàôà G ïåðåñåêàþòñÿ ïî âåðøèíå a. Ïî ïóíêòó 2 òåîðåìû 1.1 íàì èçâåñòíî, ÷òî |Part(S)| = dBT(G) (S) = 3. Ïóñòü Part(S) = {A1 , A2 , A}, ïðè÷åì S 0 ⊂ A. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Part(S 0 ) = {A01 , A02 , A0 }, ïðè÷åì S ⊂ A0 . Òîãäà âíóòðåííîñòè Int(A1 ), Int(A2 ), Int(A01 ), Int(A02 ) ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ. Òàê êàê a ∈ S , òî a ñìåæíà õîòÿ áû c îäíîé âåðøèíîé èç Int(A1 ) è õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç Int(A2 ). Òàê êàê a ∈ S 0 , òî a ñìåæíà õîòÿ áû c îäíîé âåðøèíîé èç Int(A01 ) è õîòÿ áû c îäíîé âåðøèíîé èç Int(A02 ). Òàêèì îáðàçîì, dG (a) ≥ 4, ïðîòèâîðå÷èå. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 104 Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâàì òåîðåì. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.2. 1) Åñëè G = G2,T · xy äëÿ äåðåâà T ñ v(T ) = m è ∆(T ) = 3, òî ïî òåîðåìå 1.6 ãðàô G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé, v(G) = 3m + 1 è v2 (G) = m + 2. Ïîýòîìó, G ∈ GM(3m + 1). Ïóñòü G ∈ GM(3m + 1). Òîãäà v2 (G) = m + 2. Ïî çàìå÷àíèþ 2.5 ìû èìååì f (G) = 1, ÷òî ââèäó ôîðìóëû (2.11) îçíà÷àåò v2 (G) = t, c = 2, s − v3 (G) = 1. Óñëîâèÿ c = 2 è v2 (G) = t îçíà÷àþò, ÷òî âñå ÷àñòè ãðàôà G öèêëû. Óñëîâèå s − v3 (G) = 1 îçíà÷àåò, ÷òî â ãðàôå G åñòü ðîâíî îäíà âåðøèíà ñòåïåíè 4, îñòàëüíûå âåðøèíû èìåþò ñòåïåíü 2 èëè 3. Òîãäà ïî ëåììå 2.14 ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô H è âåðøèíû w1 , w2 ∈ V3 (H), òàêèå, ÷òî G = H · w1 w2 . Ïîíÿòíî, ÷òî v2 (H) = v2 (G) = m + 2, v(H) = v(G) + 1 = 3m + 2. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî H ∈ GM(3m + 2), îòêóäà ïî ñëåäñòâèþ 2.4 ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå 1 òåîðåìû. 2) Êàê ìû äîêàçàëè, ñóùåñòâóåò ïðåäñòàâëåíèå G = G2,T · w1 w2 , ãäå w1 , w2 ∈ V3 (G2,T ). Ïóñòü w = w1 ·w2 . Ãðàô G2,T −V20 (G2,T ) ýòî îáúåäèíåíèå äâóõ äåðåâüåâ T1 è T2 , èçîìîðôíûõ T . Ïîíÿòíî, ÷òî âåðøèíû w1 è w2 ïðèíàäëåæàò îäíîìó è òîìó æå äåðåâó, ïóñòü ýòî T1 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç u1 è u2 âåðøèíû äåðåâà T2 , ñîîòâåòñòâóþùèå w1 è w2 ïðè èçîìîðôèçìå êîïèé äåðåâà T . Òîãäà ãðàô G − V20 (G) ýòî îáúåäèíåíèå äâóõ äåðåâüåâ T10 = T1 · w1 w2 è T2 (ñì. ðèñóíîê 2.19á). Òàêèì îáðàçîì, äåðåâî T â ïðåäñòàâëåíèè G = G2,T · w1 w2 èçîìîðôíî òîìó èç äâóõ äåðåâüåâ ãðàôà G − V20 (G), ÷òî ñîäåðæèò áîëüøå âåðøèí. Èòàê, ìû óæå îïðåäåëèëè äåðåâî T . Ó ãðàôà G åñòü ðîâíî îäíà íåêðàéíÿÿ ÷àñòü-òðåóãîëüíèê A = {w, u1 , u2 } (ñì. ðèñóíîê 2.19à). Äåðåâüÿ ðàçáèåíèÿ ó ãðàôîâ G2,T è G = G2,T ·w1 w2 , î÷åâèäíî, èçîìîðôíû. Îïðåäåëèì ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ b b b b b b b b b b A w b b b b T’1 b b b b b b b b b b b b b 105 ÃÐÀÔÛ b b w b k -ÑÂßÇÍÛÅ b a b u2 b T2 b b u1 b b b b b b Ðèñ. 2.19: Ãðàôû G ∈ GM(3m + 1) è G − V20 (G). â BT(G2,T ) ÷àñòü A0 , ñîîòâåòñòâóþùóþ A ïðè èçîìîðôèçìå äåðåâüåâ ðàçáèåíèÿ (ýòî ìîæíî ñäåëàòü ñ òî÷íîñòüþ äî àâòîìîðôèçìà ãðàôà G2,T ). Âåðøèíû w1 è w2 ýòî äâå ñìåæíûå âåðøèíû ÷àñòè A0 (ìîæíî âûáðàòü ëþáóþ èç äâóõ òàêèõ ïàð). Çàìå÷àíèå 2.6. Òàêèì îáðàçîì, åñëè G ∈ GM(3m + 1), òî ó íåãî m îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ è ñòåïåíü êàæäîãî èç íèõ â BT(G) ðàâíà 3. Âñå êðàéíèå ÷àñòè òðåóãîëüíèêè, âñå íåêðàéíèå ÷àñòè èìåþò ïóñòóþ âíóòðåííîñòü. Ðîâíî îäíà íåêðàéíÿÿ ÷àñòü ãðàôà G òðåóãîëüíèê, ýòî êàê ðàç ÷àñòü ñ ãðàíèöåé èç äâóõ îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ, èìåþùèõ îáùóþ âåðøèíó. Îñòàëüíûå íåêðàéíèå ÷àñòè ÷åòûð¼õóãîëüíèêè. Ïðèìåð òàêîãî ãðàôà èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 2.19à. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.3. Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ ñ ïîìîùüþ òåîðå- ìû 1.6, ÷òî âñå îïèñàííûå â óñëîâèè ãðàôû ïðèíàäëåæàò GM(3m). Ïóñòü G ∈ GM(3m). Òîãäà v2 (G) = m+2. Ïî çàìå÷àíèþ 2.5 ìû èìååì f (G) = 2, ÷òî ââèäó ôîðìóëû (2.11) âîçìîæíî â òð¼õ ñëó÷àÿõ: 1. c = 2, v2 (G) = t, s = v3 (G) + 2; 2. c = 2, v2 (G) = t + 1, 3. c = 3, v2 (G) = t, s = v3 (G); s = v3 (G). Ðàçáåð¼ì ýòè ñëó÷àè. 1. Óñëîâèÿ c = 2 è v2 (G) = t îçíà÷àþò, ÷òî âñå ÷àñòè ãðàôà G öèêëû. Óñëîâèå s − v3 (G) = 2 îçíà÷àåò, ÷òî â ãðàôå G åñòü âåðøèíà ñòåïåíè ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 106 íå ìåíåå 4. Òîãäà ïî ëåììå 2.14 ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô H , è òàêèå âåðøèíû w1 , w2 ∈ V3 (H), ÷òî G = H · w1 w2 . Ïîíÿòíî, ÷òî v2 (H) = v2 (G) = m + 2, v(H) = v(G) + 1 = 3m + 1. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî H ∈ GM(3m + 1). Òåïåðü ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 2.2 ïîíÿòíî, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 1◦ . 2. Â ýòîì ñëó÷àå êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíè 2 áîëüøå êîëè÷åñòâà êðàé- íèõ ÷àñòåé íà 1, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò ëèáî êðàéíÿÿ ÷àñòü-÷åòûð¼õóãîëüíèê, ëèáî íåêðàéíÿÿ ÷àñòü ñ âíóòðåííåé âåðøèíîé. Ïóñòü A òàêàÿ ÷àñòü, à v ∈ V2 (G)∩Int(A). Ïî ñëåäñòâèþ 2.5, ÷àñòü A öèêë. Òîãäà NG (v) = {x, y} ÿâëÿåòñÿ íåîäèíî÷íûì ðàçäåëÿþùèì ìíîæåñòâîì ãðàôà G. Ñëåäîâàòåëüíî, âåðøèíû x è y íåcìåæíû. Çíà÷èò, ãðàô H = G − a + xy äâóñâÿçåí. Áîëåå òîãî, ó H òå æå îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà, ÷òî y G è ïî÷òè ÷òî òå æå ÷àñòè: åäèíñòâåííîå îòëè÷èå â òîì, ÷òî ÷àñòü A çàìåíåíà íà öèêë ìåíüøåé äëèíû. Òàêèì îáðàçîì, ãðàô H ïî òåîðåìå 1.6 ìèíèìàëåí. Ïîñêîëüêó v2 (H) = v2 (G) − 1 = m + 1 è v(H) = v(G) − 1 = 3m − 1, òî H ∈ GM(3m − 1). Òîãäà ïî ñëåäñòâèþ 2.4 ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî H = G2,T äëÿ äåðåâà T c v(T ) = m − 1 è ∆(T ) = 3. Çíà÷èò, âûïîëíåíî óñëîâèå 2◦ . 3. Òàê êàê c = 3, ïî ñëåäñòâèþ 2.5 ó ãðàôà G âñå ÷àñòè ãðàôà G öèêëû è ñðåäè íèõ åñòü ÷àñòü A ñòåïåíè dBT(G) (A) = 3, à îñòàëüíûå ÷àñòè èìåþò ñòåïåíü 2 â BT(G). Èç s = v3 (G) ïî ëåììå 2.18 ñëåäóåò, ÷òî íèêàêèå äâà îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâà ãðàôà G íå ïåðåñåêàþòñÿ è êàæäîå èç íèõ èìååò ñòåïåíü ðîâíî 3 â BT(G). Èç v2 (G) = t ñëåäóåò, ÷òî âñå íåêðàéíèå ÷àñòè èìåþò ïóñòóþ âíóòðåííîñòü. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷àñòü A øåñòèóãîëüíèê, ïðè÷åì ãðàíèöó ÷àñòè A îáðàçóþò òðè íåïåðåñåêàþùèõñÿ îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâà ïóñòü ýòî Rx = {x1 , x2 }, Ry = {y1 , y2 }, Rz = {z1 , z2 }. Íóìåðàöèÿ âåðøèí âûáðàíà òàê, ÷òî x1 y1 , y2 z2 , x2 z1 ∈ E(G). Èçìåíèì ãðàô G: óäàëèì ð¼áðà x1 y1 , y2 z2 è x2 z1 , äîáàâèì äâå íîâûå âåðøèíû ìíîæåñòâà Ra = {a1 , a2 } è ð¼áðà a1 x1 , a2 x2 , a1 y1 , a2 y2 , a1 z1 , a2 z2 (ñì. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ x1 b b x2 z1 b b b b b 2 b z2 b b Rx b b b y x2 z1 b b b b A Ry b Rz b b b x1 b b b b b b b b G Ry y Ra b b a2 b b y1 a1 Rz b b b 107 ÃÐÀÔÛ b b y1 Rx b k -ÑÂßÇÍÛÅ b b b b b b b b b 2 b b z2 H Ðèñ. 2.20: Ãðàôû G è H . ðèñóíîê 2.20). Ïîëó÷åííûé ãðàô H , î÷åâèäíî, äâóñâÿçåí. Âìåñòî ÷àñòè A äîáàâèëîñü íîâîå îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî Ra è òðè ÷àñòè-÷åòûð¼õóãîëüíèêà. Ïîýòîìó, ãðàô H ìèíèìàëåí. Êðîìå òîãî, v2 (H) = v2 (G) = m + 2 è v(H) = v(G) + 2 = 3k + 2. Ïîýòîìó H ∈ GM(3m + 2), à ñëåäîâàòåëüíî, H = G2,T äëÿ äåðåâà T c v(T ) = m è ∆(T ) ≤ 3. Êàæäîìó îäèíî÷íîìó ìíîæåñòâó ãðàôà H ñîîòâåòñòâóåò âåðøèíà äåðåâà T . Ïóñòü äëÿ ìíîæåñòâ Ra , Rx , Ry , Rz ýòî âåðøèíû a, x, y , z ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà NT (a) = {x, y, z}. Òåïåðü èç ïîñòðîåíèÿ ãðàôà GT,a è èç ïîñòðîåíèÿ ãðàôà H ïî ãðàôó G ñëåäóåò, ÷òî G = GT,a . b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b a b b b b b b GT b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b c Ðèñ. 2.21: Ãðàôû èç GM(3m), ïîëó÷åííûå èç G2,T ∈ GM(3m + 2) ñòÿãèâàíèåì äâóõ ð¼áåð. Çàìå÷àíèå 2.7. Ïóñòü G ∈ GM (3m) ãðàô, ïîëó÷åííûé èç ãðàôà G2,T ∈ GM(3m + 2) ñòÿãèâàíèåì äâóõ ð¼áåð, êàæäîå èç êîòîðûõ ñîåäèíÿåò âåðøèíû ñòåïåíè 3. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 108 ÃÐÀÔÛ 1) Òîãäà â ãðàôå G âñå êðàéíèå ÷àñòè òðåóãîëüíèêè, âñå íåêðàéíèå ÷àñòè èìåþò ïóñòóþ âíóòðåííîñòü. 2) Åñëè ñòÿíóòûå ð¼áðà ãðàôà G2,T ëåæàëè â ðàçíûõ ÷àñòÿõ, òî ðîâíî äâå íåêðàéíèõ ÷àñòè ãðàôà G òðåóãîëüíèêè: ýòî ÷àñòè, ïîëó÷åííûå èç ÷àñòåé G2,T , ñîäåðæàùèõ ñòÿíóòûå ð¼áðà. Îñòàëüíûå ÷àñòè ÷åòûð¼õóãîëüíèêè. Ãðàô G â ýòîì ñëó÷àå èìååò ðîâíî m îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ è ñòåïåíü êàæäîãî èç íèõ â BT(G) ðàâíà 3. Ïðèìåð òàêîãî ãðàôà èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 2.21b. Àíàëîãè÷íî ïóíêòó 2 òåîðåìû 2.2 ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ òàêîãî ãðàôà G ãðàô G2,T ∈ GM(3m + 2) åäèíñòâåíåí. 3) Åñëè ñòÿíóòûå ð¼áðà ãðàôà G2,T ëåæàëè â îäíîé ÷àñòè-÷åòûð¼õóãîëüíèêå A, òî ýòà ÷àñòü èñ÷åçíåò, à îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà Rx è Ry , ñîñòàâëÿþùèå ãðàíèöó A, ñêëåÿòñÿ â îäíî ìíîæåñòâî, êîòîðîå áóäåò èìåòü â BT(G) ñòåïåíü 4. Âñå íåêðàéíèå ÷àñòè ãðàôà G â òàêîì ñëó÷àå ÷åòûð¼õóãîëüíèêè. Ïðèìåð òàêîãî ãðàôà èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 2.21c. Äëÿ òàêîãî ãðàôà G ãðàô G2,T ∈ GM(3m + 2) íååäèíñòâåíåí. b b GT b b b b b b b b b b b b b b b b b b a b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b c Ðèñ. 2.22: Ãðàôû èç GM(3m), ïîëó÷åííûå èç G2,T ∈ GM(3m − 1) äîáàâëåíèåì âåðøèíû ñòåïåíè 2. Çàìå÷àíèå 2.8. Ïóñòü G ∈ GM(3m) ãðàô, ïîëó÷åííûé èç ãðàôà G2,T ∈ GM(3m − 1) çàìåíîé ðåáðà íà ïóòü äëèíû 2, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç íîâóþ âåðøèíó ñòåïåíè 2. 1) Òîãäà â ãðàôå G ðîâíî m − 1 îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî, âñå îíè èìåþò ñòåïåíü 3. 2) Åñëè âåðøèíà ñòåïåíè 2 äîáàâëåíà â íåêðàéíþþ ÷àñòü ãðàôà G2,T , òî â ãðàôå G ïîëó÷àåòñÿ íåêðàéíÿÿ ÷àñòü-ïÿòèóãîëüíèê, à äîáàâëåííàÿ âåð- ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 109 ÃÐÀÔÛ øèíà åäèíñòâåííàÿ âíóòðåííÿÿ âåðøèíà ýòîé ÷àñòè. Îñòàëüíûå íåêðàéíèå ÷àñòè ãðàôà G ÷åòûð¼õóãîëüíèêè, îíè èìåþò ïóñòóþ âíóòðåííîñòü. Âñå êðàéíèå ÷àñòè ãðàôà G òðåóãîëüíèêè. Ïðèìåð òàêîãî ãðàôà èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 2.22b. 3) Åñëè âåðøèíà ñòåïåíè 2 äîáàâëåíà â êðàéíþþ ÷àñòü ãðàôà G2,T , òî â ãðàôå G ïîëó÷àåòñÿ êðàéíÿÿ ÷àñòü-÷åòûð¼õóãîëüíèê ñ äâóìÿ âíóòðåííèìè âåðøèíàìè. Îñòàëüíûå êðàéíèå ÷àñòè ãðàôà G òðåóãîëüíèêè, à âñå íåêðàéíèå ÷àñòè G ÷åòûð¼õóãîëüíèêè áåç âíóòðåííèõ âåðøèí. Ïðèìåð òàêîãî ãðàôà èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 2.22c. 4) Â îáîèõ ñëó÷àÿõ ãðàô G2,T äëÿ ãðàôà G åäèíñòâåíåí. 2.3 k -ñâÿçíûõ Ñòðóêòóðà ìèíèìàëüíûõ ãðàôîâ ïðè k≤5 Â òåîðåìå 2.1 ïîêàçàíî, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíîì k ýêñòðåìàëüíûå ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû èìåþò äðåâîâèäíóþ ñòðóêòóðó. Ïðè k ≤ 5 ìû ìîæåì ïîñòðîèòü àíàëîãè÷íóþ ñòðóêòóðó äëÿ ëþáîãî ìèíèìàëüíîãî k -ñâÿçíîãî ãðàôà. Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì ðàçäåëà ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 2.4. Ïóñòü k ≤ 5, à G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ Ek+1 ìîæíî âûáðàòü ñîäåðæàùèé e ðàçðåç Se ∈ R òàê, ÷òî âñå âûáðàííûå ðàçðåçû ïîïàðíî íåçàâèñèìû. Ïîêàæåì, êàê ïðèìåíÿåòñÿ ýòà òåîðåìà. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, à ìíîæåñòâî C = {Se }e∈Ek+1 ⊂ R, ãäå e ∈ Se ñîñòîèò èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ. Äëÿ íàáîðà èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ C ìîæíî îïðåäåëèòü äåðåâüÿ BT(G, C) è PT(G, C). Ýòè äåðåâüÿ ïîêàçûâàþò âçàèìíîå ðàñïîëîæå- ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 110 íèå ðàçðåçîâ ìíîæåñòâà C è ÷àñòåé èç Part(C). Ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ð¼áðàìè äåðåâà PT(G, C) è ð¼áðàìè èç Ek+1 . Ïîýòîìó, äåðåâüÿ BT(G, C) è PT(G, C) ïîêàçûâàþò òàêæå ñòðóêòóðó âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ð¼áåð èç ìíîæåñòâà Ek+1 . Êðîìå òîãî, äëÿ èçó÷åíèÿ ñòðóêòóðû ìèíèìàëüíîãî k -ñâÿçíîãî ãðàôà òåïåðü ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìíîãî÷èñëåííûå ñâîéñòâà, äîêàçàííûå â òåîðåìå 1.7 è ñëåäñòâèè 1.6. Òàêæå ìû äîêàæåì ðÿä ñâîéñòâ ÷àñòåé Part(C), èñïîëüçóþùèõ ìèíèìàëüíîñòü ãðàôà G. ×àñòíûì ñëó÷àåì ëåììû 2.6 ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Ñëåäñòâèå 2.6. Ïóñòü k ≤ 5, a G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô. Ïóñòü R ãðàíèöà ðàçðåçà Se ∈ C. Òîãäà âñå âåðøèíû èç Vk+1 ∩ R ïðèíàäëåæàò ðàçíûì êîìïîíåíòàì ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 . Ñëåäñòâèå 2.7. Ïóñòü k ≤ 5, G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, C îïðåäåëåííîå âûøå ìíîæåñòâî ðàçðåçîâ, à A ∈ Part(C). Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Âåðøèíû ìíîæåñòâà A ∩ Vk+1 ïîïàðíî íåñìåæíû. 2) Ïóñòü A êðàéíÿÿ ÷àñòü, ñìåæíàÿ â BT(G, C) ñ ðàçðåçîì Sab . Òîãäà A ∈ Part(Sab ). ×àñòü A ñîäåðæèò íå ìåíåå ÷åì k âåðøèí ñòåïåíè k , õîòÿ áû îäíà èç íèõ ïðèíàäëåæèò Int(A). Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Åñëè âåðøèíû x, y ∈ A ∩ Vk+1 ñìåæíû, òî ðàçðåç Sxy ∈ C ðàçäåëÿåò äâå âåðøèíû ÷àñòè A ∈ Part(C), ÷òî íåâîçìîæíî. 2) Ïî ïóíêòó 4 òåîðåìû 1.7 ìû èìååì A ∈ Part(Sab ). Ïóñòü a ∈ Int(A). Òîãäà NG (a) \ {b} ⊂ A. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ax ∈ Ek+1 , x 6= b. Ïî ñëåäñòâèþ 2.6 ìû çíàåì, ÷òî x∈ / Bound(A). Ñëåäîâàòåëüíî, x ∈ Int(A). Òåïåðü ðàññìîòðèì ðàçðåç Sax , ïóñòü x ∈ X ∈ Part(Sax ). Òîãäà Int(X) ∩ Int(A) 3 x, íî Int(X) 63 a. Èç íåçàâèñèìîñòè ðàçðåçîâ Sax è Sab ñëåäóåò, ÷òî X ( A, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïóíêòó 3 òåîðåìû 1.7. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 111 Òàêèì îáðàçîì, âåðøèíà a ñìåæíà ñ k âåðøèíàìè ÷àñòè A è âñå ýòè âåðøèíû èìåþò ñòåïåíü k . Òàê êàê Sab ñîäåðæèò íå áîëåå k − 1 âåðøèíû, õîòÿ áû îäíà èç ñìåæíûõ ñ a âåðøèí ñòåïåíè k ëåæèò â Int(A). Îñòàâøàÿñÿ ÷àñòü ðàçäåëà áóäåò ïîñâÿùåíà äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 2.4. Ìû áóäåì âåñòè ðàçãîâîð î ìèíèìàëüíîì k -ñâÿçíîì ãðàôå G è èñïîëüçîâàòü äëÿ íåãî îáîçíà÷åíèÿ, ââåäåííûå â íà÷àëå ãëàâû. Ïîñêîëüêó ãðàô G ìèíèìàëåí, òî äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ Ek+1 ñóùåñòâóåò ðàçðåç, ñîäåðæàùèé e è k − 1 âåðøèíó. Ïóñòü R ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ðàçðåçîâ. Èçó÷èì ñâîéñòâà ðàçðåçîâ èç R. 2.3.1 Õîðîøèå è ïëîõèå ïàðû çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ Íàì ïîòðåáóåòñÿ íåñêîëüêî âñïîìîãàòåëüíûõ îïðåäåëåíèé. Çàìå÷àíèå 2.9. Îòìåòèì, ÷òî íà ýòîò ðàç, èñõîäÿ èç ñïåöèôèêè ðàáîòû ñ k -ñâÿçíûìè ãðàôàìè ïðè k ≤ 5, ìû îïðåäåëèì êðèâûå è íîðìàëüíûå ðàçðåçû èíà÷å, ÷åì ýòî áûëî ñäåëàíî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî k â ðàçäåëå 2.1.3. Îïðåäåëåíèå 2.7. 1) Íàçîâåì ðàçðåç S ∈ R êðèâûì, åñëè ñóùåñòâóåò ÷àñòü A ∈ Part(R) ñ |Int(A)| ≤ 2 è íîðìàëüíûì, åñëè òàêîé ÷àñòè íå ñóùåñòâóåò. 2) Íàçîâåì óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ (S, T ) èç R ïëî- õîé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü A ∈ Part(S), ÷òî Int(A) ⊂ T . 3) Íàçîâåì íåóïîðÿäî÷åííóþ ïàðó ðàçðåçîâ S, T èç R õîðîøåé, åñëè îáå óïîðÿäî÷åííûå ïàðû (S, T ) è (T, S) íå ÿâëÿþòñÿ ïëîõèìè. Äëÿ ïàðû çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ (2.2). Ìû äîêàæåì äâå òåõíè÷åñêèå ëåììû, â öåëîì àíàëîãè÷íûå ëåììå 2.4, íî ó÷èòûâàþùèå ñïåöèôèêó ðàáîòû ñ êðèâûìè ðàçðåçàìè. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ Ëåììà 2.19. k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 112 Ïóñòü ïàðà çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ S, T èç R õîðîøàÿ, ðåáðî b1 b2 ∈ T íå ïðèíàäëåæèò ðàçðåçó S . Òîãäà ñóùåñòâóþò òàêèå i, j ∈ {1, 2}, ÷òî Ri,j 3 b1 b2 ðàçðåç. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Int(G1,1 ) 6= ∅, Int(G2,2 ) 6= ∅. Òîãäà èç ëåììû 2.1 ñëåäóåò, ÷òî |R1,1 | = k = |R2,2 |. Ýòî, â ÷àñòíîñòè, îçíà÷àåò, ÷òî R1,1 ∪ R2,2 = S ∪ T. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ïîëîæèì b1 b2 ∈ R1,1 . Òîãäà ðàçðåç R1,1 íàì ïîäõîäèò. Ñëó÷àé Int(G1,2 ) 6= ∅, Int(G2,1 ) 6= ∅ ðàçáèðàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Ïóñòü óñëîâèÿ ðàññìîòðåííûõ âûøå ñëó÷àåâ íå âûïîëíåíû. Òîãäà íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Int(G1,1 ) = Int(G1,2 ) = ∅ èëè Int(G1,1 ) = Int(G2,1 ) = ∅. Â ïåðâîì ñëó÷àå Int(F1 ) = T1 , ñëåäîâàòåëüíî, ïàðà (S, T ) ïëîõàÿ. Âî âòîðîì ñëó÷àå Int(H1 ) = S1 , ñëåäîâàòåëüíî, ïàðà (T, S) ïëîõàÿ. Â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå. Ëåììà 2.20. Ïóñòü k ≤ 5, à ïàðà çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ (S, T ) èç R ïëîõàÿ. Ïóñòü a1 a2 ∈ S è b1 b2 ∈ T ðàçëè÷íûå ð¼áðà èç Ek+1 . Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1◦ Ðàçðåç S êðèâîé, à ðàçðåç T íîðìàëüíûé. 2◦ Ñóùåñòâóþò òàêèå i, j ∈ {1, 2}, ÷òî Ri,j 3 b1 b2 ðàçðåç. Äîêàçàòåëüñòâî. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Int(F1 ) ⊂ T , òî åñòü, Int(F1 ) = T1 . Òîãäà îäèí èç êîíöîâ ðåáðà a1 a2 ∈ S ëåæèò â T1 . Ïóñòü a1 ∈ T1 (ñì. ðèñóíîê 2.23a). Îòìåòèì, ÷òî dG (a1 ) ≥ k + 1 è âñå âåðøèíû, ñìåæíûå ñ a1 , ëåæàò â T1 ∪V (S)∪{a2 }. Ñëåäîâàòåëüíî, |T1 | = t ≥ 2. Áîëåå òîãî, ðàçðåçà S . âåðøèíà a1 ìîæåò áûòü íåñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ t−2 âåðøèíàìè Òàê êàê T = T1 ∪ T2 ∪ P ∪ {b1 b2 }, ìû èìååì |T2 |+|P | = k−t−1 è |R2,1 |+|R2,2 | = |S|+2(|T2 |+|P |+|{b1 b2 }|) ≤ 3k−2t. (2.12) ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 113 ÃÐÀÔÛ Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ. 1. t = 2. Òîãäà a1 ñìåæíà ñî âñåìè k − 1 âåðøèíàìè ðàçðåçà S . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî b1 ∈ S (ñì. ðèñóíîê 2.23b). Òîãäà a1 b1 ∈ Ek+1 , ñëåäîâàòåëüíî, a1 b1 ∈ T 0 ∈ R. Ïóñòü A ∈ Part(T 0 ) ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ b1 . Èç a1 a2 ∈ S ñëåäóåò, ÷òî a2 ∈ / S , à çíà÷èò, b1 6= a2 . Òîãäà |Int(A)| < |Int(F1 )| = 2 ïî ëåììå 2.2, à çíà÷èò, Int(A) = {b1 }. Ñëåäîâàòåëüíî, dG (b1 ) ≤ k , ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, b1 ∈ / S è, àíàëîãè÷íî, b2 ∈ / S . Òîãäà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî b1 ∈ Int(G2,1 ) è b2 ∈ Int(G2,2 ) (ñì. ðèñóíîê 2.23a). Â ýòîì ñëó÷àå |R2,1 | ≥ k è |R2,2 | ≥ k . Èç k ≤ 5 è íåðàâåíñòâà (2.12) ñëåäóåò, ÷òî |R2,1 | = k èëè |R2,2 | = k (ïóñòü âûïîëíåíî ïåðâîå ðàâåíñòâî). Òîãäà R2,1 ∈ R ðàçðåç, ñîäåðæàùèé ðåáðî b1 b2 . Òàêèì îáðàçîì, R2,1 óäîâëåòâîðÿåò òðåáîâàíèÿì ïóíêòà 2. S G 2,1 0 a2 S1 b b1 b T2 b b2 T1 0 P G 2,2 b a1 T a S2 S b1 0 b a2 S1 G 2,1 b b a1 T T1 0 P T2 S2 G 2,2 b S b1 0 b S1 0 b a1 G 2,2 T1 0 P T2 T b a2 S2 c Ðèñ. 2.23: Ðàçáèåíèå ãðàôà ïàðîé çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ. Òàê êàê |Int(F1 )| = 2, ðàçðåç S êðèâîé. Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî ðàçðåç T íîðìàëåí. Äîêàæåì, ÷òî |Int(H1 )| ≥ 3. Êàê ìû çíàåì, b1 ∈ Int(G2,1 ) è dG (b1 ) ≥ k + 1. Íå áîëåå äâóõ ð¼áåð ìîæåò âûõîäèòü èç b1 â âåðøèíû íå èç G2,1 : ýòî ðåáðî b1 b2 è, â ñëó÷àå, êîãäà a2 = b1 , ðåáðî b1 a1 . Ó÷èòûâàÿ ñàìó âåðøèíó b1 , ïîëó÷àåì |G2,1 | ≥ k . Ïðè ýòîì, |G2,1 ∩ T | = |T2 ∪ P | ≤ k − 3 ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 114 ïî íåðàâåíñòâó (2.12). Çíà÷èò, |Int(H1 )| ≥ |G2,1 \ T | ≥ 3. Àíàëîãè÷íî, |Int(H2 )| ≥ 3 è ðàçðåç T íîðìàëåí. 2. t ≥ 3. Ïî íåðàâåíñòâó (2.12), òîãäà |R2,1 | + |R2,2 | < 2k , à çíà÷èò, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî |R2,1 | < k . Â ýòîì ñëó÷àå Int(G2,1 ) = ∅ è Int(H1 ) = S1 . Òîãäà îäèí èç êîíöîâ ðåáðà b1 b2 ëåæèò â S1 , ïóñòü ýòî b1 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåðøèíû b1 è a1 ñìåæíû (ñì. ðèñóíîê 2.23c). Òîãäà a1 b1 ∈ Ek+1 , ñëåäîâàòåëüíî, a1 b1 ∈ T 0 ∈ R. Ïóñòü A ∈ Part(T 0 ) ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ b1 . Àíàëîãè÷íî ïóíêòó 1, èç b1 ∈ S ñëåäóåò, ÷òî b1 6= a2 . Òîãäà ïî ëåììå 2.2 ìû èìååì |Int(A)| < |Int(H1 )|. Êàê äîêàçûâàëîñü âûøå, |Int(A)| ≥ 2, ñëåäîâàòåëüíî, |S1 | = |Int(H1 )| ≥ 3. Ïóñòü âåðøèíû b1 è a1 íåñìåæíû. Òàê êàê dG (b1 ) ≥ k+1, à âñå âåðøèíû, ñìåæíûå ñ b1 , ëåæàò â S1 ∪ (V (T ) ∪ {b2 }), ìû è â ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì |S1 | ≥ 3. Ìíîæåñòâî R2,2 âêëþ÷àåò â ñåáÿ âåðøèíû èç P , S2 , T2 è íå áîëåå ÷åì äâà ðåáðà. Òàêèì îáðàçîì, âî âñåõ ñëó÷àÿõ, |R2,2 | ≤ (|S2 | + |P | + 1) + (|T2 | + 1) ≤ (k − |S1 |) + (k − |T1 |) ≤ 2k − 6 < k, à çíà÷èò, Int(G2,2 ) = ∅. Íî òîãäà b2 ∈ S2 è àíàëîãè÷íî äîêàçàííîìó âûøå ìû èìååì |S2 | ≥ 3, ÷òî íåâîçìîæíî. 2.3.2 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.4 Îïèøåì àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ èñêîìîãî ìíîæåñòâà ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ. Íàì ïîíàäîáÿòñÿ äâà ñ÷åò÷èêà p è q . Èçíà÷àëüíî ïîëîæèì p = q = 0. Øàã àëãîðèòìà. 1. Âûáîð ðåáðà e. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 115 Ïóñòü ïåðåä øàãîì èìåþòñÿ ïîïàðíî íåçàâèñèìûå ðàçðåçû: êðèâûå K1 , . . . , Kp è íîðìàëüíûå N1 , . . . , Nq (åñëè p = 0 èëè q = 0, òî ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçðåçîâ íåò). Ïóñòü ei ∈ Ki , fj ∈ Nj , ïðè÷åì e1 ,. . . , ep , f1 , . . . , fq ðàçëè÷íûå ð¼áðà èç Ek+1 . Ïîëîæèì S = {K1 , . . . , Kp , N1 , . . . , Nq }, E 0 = Ek+1 \ {e1 , . . . , ep , f1 , . . . , fq }. Ðàññìîòðèì ðåáðî e ∈ E 0 , ïóñòü e ∈ T ∈ R. Ïîëîæèì S0 = ∅. Ìû áóäåì ïî î÷åðåäè ðàññìàòðèâàòü ðàçðåçû èç S, ñîâåðøàòü ñ íèìè ïîñëåäóþùèå øàãè, èçìåíÿþùèå ðàçðåç T , ïîñëå ÷åãî äîáàâëÿòü ðàcñìîòðåííûé ðàçðåç â ìíîæåñòâî S0 . Ïåðåéäåì ê âûáîðó ðàçðåçà S . 2. Âûáîð ðàçðåçà S. Åñëè ðàçðåç T íîðìàëüíûé, òî âûáåðåì ëþáîé ðàçðåç S ∈ S \ S0 (åñëè îí ñóùåñòâóåò). Åñëè ðàçðåç T êðèâîé, òî âûáåðåì ëþáîé êðèâîé ðàçðåç S ∈ S \ S0 (åñëè îí ñóùåñòâóåò). Â ñëó÷àÿõ, êîãäà íåâîçìîæíî âûáðàòü ðàçðåç S , ìû ïåðåéäåì ê îêîí÷àíèþ øàãà àëãîðèòìà. Ïóñòü ìû ñìîãëè âûáðàòü ðàçðåç S . Åñëè ðàçðåçû S è T íåçàâèñèìû, âûáîðó ñëåäóþùåãî ðàçðåçà S . Åñëè ðàçðåçû S è T çàâèñèìû, òî ìû ïåðåéäåì ê ïðåîáðàçîâàíèþ ðàçðåçà T . òî ìû ïîìåñòèì S â S0 è âåðíåìñÿ ê 3. Ïðåîáðàçîâàíèå ðàçðåçà T. Ïóñòü Part(T ) = {H1 , H2 }, Part(S) = {F1 , F2 }, Gi,j = Fi ∩ Hj . Ïî âûáîðó ðàçðåçà S , óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà ðàçðåçîâ (S, T ) íå ÿâëÿåòñÿ ïëîõîé. Òîãäà ïî ëåììàì 2.19, 2.20 è 2.5 ñóùåñòâóåò òàêîé ðàçðåç R 3 e, ÷òî îäíà èç ÷àñòåé Part(R) ýòî Gα,β , à äðóãàÿ ÷àñòü U ëèáî Gα,β , ëèáî Gα,β ∪ {a}, ãäå a êîíåö ðåáðà e = ab, ëåæàùèé â Gα,β . Äîêàæåì, ÷òî R íåçàâèñèì ñ ïðîèçâîëüíûì ðàçðåçîì S 0 ∈ S0 . Ïóñòü Part(S 0 ) = {D1 , D2 }. Òàê êàê ðàçðåçû S è S 0 íåçàâèñèìû, ðàçðåçû T è S 0 ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 116 ÃÐÀÔÛ íåçàâèñèìû, à ðàçðåçû S è T çàâèñèìû, ïî ëåììå 1.9 ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî F 1 ⊃ D2 , F2 ⊂ D1 , H1 ⊃ D2 , (2.13) H2 ⊂ D1 . Ðàçáåðåì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ. a. α = 2. Òîãäà G2,β ⊂ F2 ⊂ D1 è U ⊃ F1 ⊃ D2 (ñì. ðèñóíîê 2.24a), òî åñòü, R è S 0 íåçàâèñèìû. R R T b F2 b b G 2,1 b H2 S’ D 2 G 2,2 H2 G 1,2 b b T b S’ D2 b S a a G1,1 S’ D2 T S b S b F2 R c Ðèñ. 2.24: Ðàçðåçû S , S 0 è T . b. α = 1. Ðàçáåðåì äâà ïîäñëó÷àÿ. b1. β = 2. Òîãäà Gα,β = G1,2 ⊂ H2 ⊂ D1 è U ⊃ H1 ⊃ D2 (ñì. ðèñóíîê 2.24b), ÷òî îçíà÷àåò íåçàâèñèìîñòü ðàçðåçîâ S 0 è R. b2. β = 1. Â ñèëó (2.13), ìû èìååì D1 ⊃ H2 ∪ F2 = G1,1 (ñì. ðèñóíîê 2.24c). Òàê êàê T è S 0 íå èìåþò îáùèõ ð¼áåð, ïî ïóíêòó 2 ëåììû 1.10 ìû èìååì D1 ⊃ W (T ) 3 a. Çíà÷èò, D1 ⊃ G1,1 ∪ {a} ⊃ U . Èç D1 ⊃ F2 è íåçàâèñèìîñòè ðàçðåçîâ S è S 0 ñëåäóåò D2 ∩ Int(F2 ) = ∅. Çíà÷èò, D2 ⊂ H1 \ Int(F2 ) = G1,1 . Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðîâåðèëè íåçàâèñèìîñòü ðàçðåçîâ S 0 è R. Ïîëîæèì T = R, äîáàâèì S â S0 è âåðíåìñÿ ê ðàçðåçà S . âûáîðó ñëåäóþùåãî ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 117 4. Îêîí÷àíèå øàãà àãîðèòìà. Åñëè ðàçðåç T íîðìàëüíûé, òî ðàññìîòðåíû âñå ðàçðåçû èç S è T c íèìè íåçàâèñèì. Òîãäà ïîëîæèì Nq+1 = T , ïîìåñòèì ýòîò ðàçðåç â S è ïîëîæèì q = q + 1. Ïóñòü ðàçðåç T êðèâîé. Òîãäà ðàññìîòðåíû âñå êðèâûå ðàçðåçû èç S è T ñ íèìè íåçàâèñèì. Â ýòîì ñëó÷àå ïîëîæèì Kp+1 = T , ïîìåñòèì ýòîò ðàçðåç â S è ïîëîæèì p = p + 1. Êðîìå òîãî, ïîëîæèì q = 0 è óäàëèì âñå ðàçðåçû N1 , . . . , Nq èç S. Âåðíåìñÿ ê âûáîðó ñëåäóþùåãî ðåáðà e. Íà ýòîì îïèñàíèå øàãà àëãîðèòìà çàêîí÷åíî. Â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ êàæäîãî øàãà àëãîðèòìà ëèáî óâåëè÷èòñÿ p, ëèáî p íå èçìåíèòñÿ è ïðè ýòîì óâåëè÷èòñÿ q . Ïîýòîìó àëãîðèòì îáÿçàòåëüíî çàêîí÷èò ðàáîòó, â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ èñêîìîå ìíîæåñòâî ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ. Íà ýòîì äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.4 çàêîí÷åíî. Ãëàâà 3 Ãèïåðäåðåâî è òåîðåìà ðàçáèåíèÿ Â ýòîé ãëàâå ìû äîêàæåì òåîðåìó î ðàçáèåíèè àáñòðàêòíîå óòâåðæäåíèå î ñòðóêòóðå, îáîáùàþùåé ñâîéñòâà ìíîæåñòâà òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà. 3.1 Ãèïåðãðàô è ãèïåðäåðåâî Íàïîìíèì îïðåäåëåíèÿ ãèïåðãðàôà è ãèïåðäåðåâà. Äëÿ ãèïåðãðàôà H ìû áóäåì ïðèìåíÿòü òàêèå æå îáîçíà÷åíèÿ êàê è äëÿ ãðàôà: ìíîæåñòâà âåðøèí è ãèïåððåáåð áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç V (H) è E(H) ñîîòâåòñòâåííî. Ãëàâíîå îòëè÷èå ãèïåðãðàôà îò îáû÷íîãî ãðàôà â òîì, ÷òî ãèïåððåáðî ýòî ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî V (H), ñîñòîÿùåå õîòÿ áû èç äâóõ âåðøèí. Ïîýòîìó óäîáíî îïåðèðîâàòü ñ ãèïåðð¼áðàìè êàê ñ ìíîæåñòâàìè âåðøèí ãðàôà. Äëÿ âåðøèíû v ∈ V (H) ïóñòü dH (v) åå ñòåïåíü â ãèïåðãðàôå H , òî åñòü, êîëè÷åñòâî ñîäåðæàùèõ v ãèïåððåáåð. Äëÿ ìíîæåñòâà âåðøèí X ⊂ V (H) îïðåäåëèì ãèïåðãðàô H − X ñëåäóþùèì îáðàçîì: V (H − X) = V (H) \ X , à E(H − X) ñîñòîèò èç âñåõ ìíîæåñòâ âèäà R \ X (ãäå R ∈ E(H )), ñîäåðæàùèõ õîòÿ áû äâå âåðøèíû. Îïðåäåëåíèå 3.1. 1) Áóäåì íàçûâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 118 ðàçëè÷íûõ âåð- ÃËÀÂÀ 3. ÃÈÏÅÐÄÅÐÅÂÎ È ÒÅÎÐÅÌÀ Î ÐÀÇÁÈÅÍÈÈ 119 øèí a1 a2 . . . ak ïóò¼ì, åñëè ñóùåñòâóþò ãèïåððåáðà e1 , e2 , . . . , ek−1 òàêèå, ÷òî ai , ai+1 ∈ ei . 2) Åñëè, êðîìå òîãî, ñóùåñòâóåò ãèïåððåáðî ek 3 ak , a1 , òî ìû íàçîâåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçëè÷íûõ âåðøèí a1a2 . . . ak öèêëîì 3) Ãèïåðãðàô íàçûâàåòñÿ ñâÿçíûì, åñëè ëþáûå äâå åãî âåðøèíû ñâÿ- çàíû, òî åñòü, ñîåäèíåíû ïóò¼ì. 4) Êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà îïðåäåëÿþòñÿ òàê æå, êàê è êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà ýòî ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâa ïîïàðíî ñâÿçàííûõ âåðøèí. Ãëàâà 3 íà÷èíàåòñÿ ñ îïðåäåëåíèÿ ãèïåðäåðåâà è èçó÷åíèÿ åãî ñâîéñòâ. Îïðåäåëåíèå 3.2. Ïóñòü H ãèïåðãðàô. 1) Áóäåì íàçûâàòü ãèïåðãðàô H ãèïåðäåðåâîì, åñëè îí ñâÿçåí, íè îäíî åãî ãèïåððåáðî íå ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì äðóãîãî è äëÿ ëþáîãî öèêëà â ýòîì ãðàôå ñóùåñòâóåò ãèïåððåáðî, ñîäåðæàùåå âñå åãî âåðøèíû. 2) Íàçîâåì âåðøèíó v ãèïåðäåðåâà H êðàéíåé, åñëè ãðàô H − v ñâÿçåí. 3) Ïî ãèïåðãðàôó H ïîñòðîèì äâóäîëüíûé ãðàô T (H), âåðøèíû îäíîé äîëè êîòîðîãî âåðøèíû H , à âåðøèíû äðóãîé äîëè ãèïåððåáðà H . Ãèïåððåáðî R ñîåäèíèì ñî âñåìè âåðøèíàìè, êîòîðûå îíî ñîäåðæèò. Ãèïåðäåðåâî èìååò ìíîæåñòâî ñâîéñòâ, àíàëîãè÷íûõ ñâîéñòâàì îáû÷íîãî äåðåâà. Òåîðåìà 3.1. Ïóñòü H ãèïåðäåðåâî. Òoãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ãðàô T (H) äåðåâî. 2) Íèêàêèå äâà ãèïåððåáðà H íå èìåþò äâóõ îáùèõ âåðøèí. 3) Ïóñòü a ∈ V (H). Òîãäà dH (a) ðàâíÿåòñÿ êîëè÷åñòâó êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà H − a. Áîëåå òîãî, äëÿ ëþáîé êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè W ãèïåðãðàôà H−a ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ãèïåððåáðî R ∈ E(H), ÃËÀÂÀ 3. ÃÈÏÅÐÄÅÐÅÂÎ È ÒÅÎÐÅÌÀ Î ÐÀÇÁÈÅÍÈÈ 120 ñîäåðæàùåå a è âåðøèíû èç W . Ýòî ãèïåððåáðî íå ñîäåðæèò âåðøèí äðóãèõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà H − a. 4) Êðàéíèå âåðøèíû ãèïåðäåðåâà H ýòî â òî÷íîñòè âñå åãî âåðøèíû, èìåþùèå còåïåíü 1. 5) Åñëè v(H) ≥ 2, òî ìíîæåñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí äåðåâà T (H) ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì êðàéíèõ âåðøèí ãèïåðäåðåâà H . Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ñâÿçíîñòü T (H) î÷åâèäíà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ãðà- ôå T (H) åñòü ïðîñòîé öèêë a1 . . . an . Ïóñòü ãèïåðð¼áðà R1 , . . . , Rn òàêîâû, ÷òî Ri 3 ai , ai+1 (ìû ñ÷èòàåì, ÷òî n + 1 = 1) è Rk0 = Rk \ k−1 [ ! Ri ∪ {a1 , . . . , an } . i=1 Âûïèøåì âåðøèíû â òàêîì ïîðÿäêå: ñíà÷àëà âñå âåðøèíû èç R10 , çàòåì a1 , çàòåì âñå âåðøèíû èç R20 , çàòåì a2 , . . . , çàòåì âñå âåðøèíû èç Rn0 è, íàêîíåö, an . Ìû ïîëó÷èëè öèêë â ãèïåðäåðåâå H , ñîäåðæàùèé âñå âåðøèíû ãèïåððåáåð R1 , . . . , Rn , à çíà÷èò, ñóùåñòâóåò ãèïåððåáðî R, ñîäåðæàùåå âñå âåðøèíû ýòîãî öèêëà. Íî òîãäà R ) R1 , ÷òî íåâîçìîæíî. 2) Åñëè îáà ãèïåððåáðà E1 è E2 ñîäåðæàò âåðøèíû a è b, òî â ãðàôå T (H) åñòü öèêë, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïóíêòó 1. 3) Òàê êàê H ñâÿçíûé ãèïåðãðàô, òî ñóùåñòâóåò åãî ãèïåððåáðî, ñîäåðæàùåå a è íåñêîëüêî âåðøèí èç W . Ýòî ãèïåððåáðî íå ìîæåò ñîäåðæàòü âåðøèíû, îòëè÷íûå îò a è íå âõîäÿùèå â W (èíà÷å W íå áûëà áû êîìïîíåíòîé ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà H − a). Ïóñòü ñóùåñòâóåò äâà òàêèõ ãèïåððåáðà E1 è E2 . Òîãäà E1 ∩ E2 = {a} ïî ïóíêòó 2. Ðàññìîòðèì âåðøèíû b1 ∈ E1 \ {a} è b2 ∈ E2 \ {a}. Òàê êàê b1 , b2 ∈ W , ñóùåñòâóåò òàêîé ïðîñòîé ïóòü P îò b1 äî b2 , ÷òî âñå åãî ãèïåððåáðà ñîäåðæàò òîëüêî âåðøèíû èç W . Çíà÷èò, â T (H) ñóùåñòâóåò íå ïðîõîäÿùèé ÷åðåç a ïóòü îò b1 äî b2 . Äîáàâèâ ê ýòîìó ïóòè ãèïåððåáðî E2 , âåðøèíó a è ãèïåððåáðî E1 , ìû ïîëó÷èì öèêë â T (H), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ÃËÀÂÀ 3. ÃÈÏÅÐÄÅÐÅÂÎ È ÒÅÎÐÅÌÀ Î ÐÀÇÁÈÅÍÈÈ 121 ïóíêòó 1. Èç äîêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî dH (a) ðàâíÿåòñÿ êîëè÷åñòâó êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà H − a. 4) Ïðÿìîå ñëåäñòâèå ïóíêòà 3. 5) Ïóñòü a âèñÿ÷àÿ âåðøèíà äåðåâà T (H), à b åäèíñòâåííàÿ ñìåæíàÿ ñ íåé âåðøèíà. Åñëè a ñîîòâåòñòâóåò ãèïåððåáðó R ãèïåðäåðåâà H , òî R = {b}. Îäíàêî, ïî îïðåäåëåíèþ ãèïåðãðàôà äîëæíî áûòü |R| ≥ 2, ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, a ∈ V (H) è ïî ïóíêòó 4 î÷åâèäíî, ÷òî ýòà âåðøèíà êðàéíÿÿ. Íàîáîðîò, ïóñòü a êðàéíÿÿ âåðøèíà ãèïåðäåðåâà H . Ïî ïóíêòó 4, îíà âõîäèò ðîâíî â îäíî ãèïåððåáðî R, à çíà÷èò, ÿâëÿåòñÿ âèñÿ÷åé â äåðåâå T (H). 3.2 Ãèïåðäåðåâî Struct(V ) Ðàññìîòðèì êîíå÷íîå ìíîæåñòâî âåðøèí V . Ïóñòü êàæäîé âåðøèíå w ∈ V ñîîòâåòñòâóåò ðàçáèåíèå Vw ìíîæåñòâà V \ {w} íà íåñêîëüêî êëàññîâ (âîçìîæíî, òàêîé êëàññ âñåãî îäèí). Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî âåðøèíà w ðàçäåëÿåò âåðøèíû v1 è v2 , åñëè v1 è v2 ëåæàò â ðàçíûõ êëàññàõ Vw . Íàçîâåì âåðøèíû v1 , v2 ∈ V ñîñåäíèìè, åñëè èõ íå ðàçäåëÿåò íèêàêàÿ îòëè÷íàÿ îò íèõ âåðøèíà ìíîæåñòâà V . Ïîñòðîèì ãèïåðãðàô ðàçáèåíèÿ Struct(V ) íà âåðøèíàõ ìíîæåñòâà V , ãèïåððåáðà êîòîðîãî ýòî ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâà ïîïàðíî ñîñåäíèõ âåðøèí. Ïðèâåäåì ïðèìåð ìíîæåñòâà âåðøèí è ãèïåðãðàôà ðàçáèåíèÿ, ïîêàçûâàþùèé, êàêîå îòíîøåíèå ýòà êîíñòðóêöèÿ èìååò ê òåîðèè ñâÿçíîñòè. Ïóñòü F ñâÿçíûé ãðàô, R1 (F ) ìíîæåñòâî âñåõ åãî òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ, à äëÿ êàæäîé òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ a ∈ R1 (F ) êëàññû ðàçáèåíèÿ (R1 (F ))a ñîñòîÿò èç òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ, ëåæàùèõ â îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ãðàôà F − a. Èìåííî êëàññè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà ïîäñêàçûâàåò íàì ðåçóëüòàò òåîðåìû 3.2. ÃËÀÂÀ 3. ÃÈÏÅÐÄÅÐÅÂÎ È ÒÅÎÐÅÌÀ Î ÐÀÇÁÈÅÍÈÈ Òåîðåìà 3.2. 122 Ïóñòü äëÿ ëþáûõ a, b, c ∈ V åñëè a ðàçäåëÿåò b è c, òî b íå ðàçäåëÿåò a è c. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ãðàô Struct(V ) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðäåðåâîì. 2) Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîé âåðøèíû a ∈ V ãèïåðãðàô Struct(V )−a ðàñïàäàåòñÿ íà êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè W1 , . . . , W` . Òîãäà Va = {W1 , . . . , W` }. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) a. Äîêàæåì èíäóêöèåé ïî êîëè÷åñòâó âåðøèí, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå âåðøèíû a, b ∈ V , äëÿ êîòîðûõ |Va | = |Vb | = 1. Áàçà äëÿ ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùåãî íå áîëåå ÷åì èç òðåõ âåðøèí, î÷åâèäíà. Äîêàæåì èíäóêöèîííûé ïåðåõîä. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ âåðøèíó c ∈ V , ïóñòü V 0 = V \ {c}. Ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ, ñóùåñòâóþò òàêèå äâå âåðøèíû a, b ∈ V 0 , ÷òî |Va0 | = |Vb0 | = 1. Åñëè |Va | = |Vb | = 1, òî óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî |Va | > 1. Òîãäà âåðøèíà a ðàçäåëÿåò V 0 \ {a} 3 b è c, ñëåäîâàòåëüíî, âåðøèíà b íå ìîæåò ðàçäåëÿòü a è c, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî |Vb | = 1. Äëÿ ëþáîé âåðøèíû x ∈ V 0 \ {a} âåðøèíà a ðàçäåëÿåò c è x, ñëåäîâàòåëüíî, âåðøèíà c íå ðàçäåëÿåò a è x. Òàêèì îáðàçîì, |Vc | = 1. Â ýòîì ñëó÷àå âåðøèíû b è c íàì ïîäõîäÿò. b. Äîêàæåì èíäóêöèåé ïî êîëè÷åñòâó âåðøèí â ìíîæåñòâå V ñâÿçíîñòü ãðàôà Struct(V ). Áàçà äëÿ ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùåãî íå áîëåå ÷åì èç òðåõ âåðøèí, î÷åâèäíà. Ðàññìîòðèì âåðøèíû a, b ∈ V òàêèå, ÷òî |Va | = |Vb | = 1. Ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ, ãèïåðãðàô Struct(V \{a}) ñâÿçåí. Òàê êàê |Va | = 1, òî âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà V \ {a} ñâÿçàíû è â ãèïåðãðàôå Struct(V ). Ïî àíàëîãè÷íûì ïðè÷èíàì, âåðøèíû ìíîæåñòâà V \ {b} ñâÿçàíû â Struct(V ), ÷òî îçíà÷àåò ñâÿçíîñòü ãèïåðãðàôà Struct(V ). c. Ïóñòü a1 a2 . . . ak ïóòü â ãèïåðãðàôå Struct(V ), à âåðøèíà b íå ëåæèò íà íåì. Òîãäà b íå ðàçäåëÿåò ïàðû âåðøèí a1 è a2 ,. . . , ak−1 è ak . Ñëåäîâàòåëüíî, b íå ðàçäåëÿåò a1 è ak . ÃËÀÂÀ 3. ÃÈÏÅÐÄÅÐÅÂÎ È ÒÅÎÐÅÌÀ Î ÐÀÇÁÈÅÍÈÈ 123 Èç ýòîãî ôàêòà î÷åâèäíî ñëåäóåò, ÷òî ëþáûå äâå âåðøèíû, âõîäÿùèå â êàêîé-ëèáî öèêë ãðàôà Struct(V ), íåâîçìîæíî ðàçäåëèòü íèêàêîé îòëè÷íîé îò íèõ âåðøèíîé. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå âåðøèíû öèêëà ïðèíàäëåæàò îäíîìó ãèïåððåáðó. Òàêèì îáðàçîì, ãðàô Struct(V ) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðäåðåâîì. W1 W2 w2 w1 a w3 W3 w4 b b b b b W4 Ðèñ. 3.1: Êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè Struct(V ) − a. 2) Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî Wi . Èç äîêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî a íå ðàçäåëÿåò íèêàêèå äâå âåðøèíû èç Wi , ñëåäîâàòåëüíî, âñå âåðøèíû èç Wi ëåæàò â îäíîì êëàññå ðàçáèåíèÿ Va . Ðàññìîòðèì äâå ðàçíûõ êîìïîíåíòû Wi è Wj è âûáåðåì â íèõ ñìåæíûå ñ a âåðøèíû wi è wj ñîîòâåòñòâåííî (ñì. ðèñóíîê 3.1). Íèêàêàÿ îòëè÷íàÿ îò wi , wj , a âåðøèíà íå ìîæåò ðàçäåëèòü ïàðû ñìåæíûõ âåðøèí {wi , a} è {wj , a}. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçäåëèòü âåðøèíû wi è wj ìîæåò òîëüêî a. Ïîñêîëüêó wi è wj íå ïðèíàäëåæàò îäíîìó ãèïåððåáðó, òî a èõ ðàçäåëÿåò, ñëåäîâàòåëüíî, âñå âåðøèíû èç Wi ëåæàò â îäíîì êëàññå Va , à âñå âåðøèíû èç Wj â äðóãîì. Ãëàâà 4 Êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè Â ãëàâå 1 áûëè ïîñòðîåíû ñòðóêòóðíûå äåðåâüÿ äëÿ ðàçáèåíèÿ k -ñâÿçíîãî ãðàôà íàáîðîì èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ èëè ðàçðåçîâ è èçó÷àëèñü ñâîéñòâà òàêèõ äåðåâüåâ. Îäíàêî, k -ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà â k -ñâÿçíîì ãðàôå ìîãóò áûòü çàâèñèìû. Â ýòîé ãëàâå ìû ðàçîáüåì íàáîð ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ S ⊂ Rk (G) íà êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè è èçó÷èì ñòðóêòóðó èõ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ñ ïîìîùüþ òåîðåìû î ðàçáèåíèè. Îïðåäåëåíèå 4.1. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ Rk (G). 1) Ãðàô çàâèñèìîñòè Dep(S) íàáîðà S ýòî ãðàô, âåðøèíû êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò ìíîæåñòâàì íàáîðà, à äâå âåðøèíû ñìåæíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå èì ìíîæåñòâà çàâèñèìû. 2) Áóäåì íàçûâàòü êîìïîíåíòîé çàâèñèìîñòè íàáîðà S ëþáîé íàáîð T ⊂ S, ñîñòîÿùèé èç âñåõ ìíîæåñòâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ âåðøèíàì îäíîé èç êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà çàâèñèìîñòè Dep(S). 3) Îáîçíà÷èì ÷åðåç Comp(S) ìíîæåñòâî âñåõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè íàáîðà S. 124 ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ 4.1 125 Íåêîòîðûå òåõíè÷åñêèå ëåììû Ïåðåä îñíîâíûìè òåîðåìàìè ðàçäåëà íàì íåîáõîäèìî äîêàçàòü íåñêîëüêî ëåìì. Ëåììà 4.1. Ïóñòü íàáîðû S1 , . . . , Sn ⊂ Rk (G) ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþò- ñÿ, S = ∪ni=1 Si . Ðàññìîòðèì âñå ìíîæåñòâà âåðøèí âèäà A= n \ Ai , (4.1) i=1 ãäå Ai ∈ Part(Si ). Âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ëþáàÿ ÷àñòü A ∈ Part(S) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå (4.1). 2) Èç âñåõ ìíîæåñòâ âåðøèí ãðàôà G, ïðåäñòàâèìûõ â âèäå (4.1), ÷àñòÿìè Part(S) ÿâëÿþòñÿ òå è òîëüêî òå, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ìàêñèìàëüíûìè ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè ìíîæåñòâ òàêîãî âèäà. 3) Åñëè ìíîæåñòâî âåðøèí A ïðåäñòàâèìî â âèäå (4.1) è A 6∈ Part(S), òî A ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì îäíîãî èç ìíîæåñòâ íàáîðà S. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïóñòü A ∈ Part(S). Äëÿ êàæäîãî i ∈ {1, 2, . . . , n} íè îäíî èç ìíîæåñòâ íàáîðà Si íå ðàçäåëÿåò A, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ÷àñòü Ai ∈ Part(Si ), ñîäåðæàùàÿ A. Ïóñòü 0 A = n \ Ai . i=1 Âêëþ÷åíèå A ⊂ A0 î÷åâèäíî. Ïîíÿòíî, ÷òî íèêàêîå ìîæåñòâî íàáîðà S íå ðàçäåëÿåò A0 , ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü B ∈ Part(S), ÷òî A0 ⊂ B . Òàêèì îáðàçîì, A ⊂ A0 ⊂ B , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî A = A0 = B . 2) Ïóñòü ìíîæåñòâî A ⊂ V (G), ïðåäñòàâèìîå â âèäå (4.1) ìàêñèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè ìíîæåñòâ òàêîãî âèäà. Òîãäà A íåâîçìîæíî ðàçäåëèòü íèêàêèì ìíîæåñòâîì èç íàáîðà S. Åñëè A 6∈ Part(S), òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü B ∈ Part(S), ÷òî B ) A. Ïî ïóíêòó 1 ÷àñòü B òàêæå ïðåäñòàâèìà â âèäå (4.1). Ïðîòèâîðå÷èå ñ ìàêñèìàëüíîñòüþ A. ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ 126 Ïóñòü A ∈ Part(S). Ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèå A â âèäå (4.1) è ïðåäïîëîæèì, ÷òî A íå ìàêñèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè ìíîæåñòâ òàêîãî âèäà. Ïóñòü ìíîæåñòâî B ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå (4.1) è A ( B . Òîãäà B íåâîçìîæíî ðàçäåëèòü íèêàêèì ìíîæåñòâîì èç íàáîðà S, ñëåäîâàòåëüíî, A íå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ Part(S). Ïðîòèâîðå÷èå. 3) Ïóñòü A 6∈ Part(S) è A= n \ Ai ãäå Ai ∈ Part(Si ). i=1 Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü B ∈ Part(S), ÷òî B ) A. Ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèå B= n \ Bi , ãäå Bi ∈ Part(Si ). i=1 Òàê êàê B 6= A, òî Aj 6= Bj äëÿ êàêîãî-òî j . Ñëåäîâàòåëüíî, A ⊂ Aj ∩ Bj , à òàêîå ïåðåñå÷åíèå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì îäíîãî èç ìíîæåñòâ íàáîðà Sj . Ëåììà 4.2. Ïóñòü íàáîðû S, T ⊂ R(G) íå ïåðåñåêàþòñÿ, à ÷àñòü A ∈ Part(S) òàêîâà, ÷òî íè îäíî èç ìíîæåñòâ íàáîðà T åå íå ðàçäåëÿåò. Òîãäà A ∈ Part(S ∪ T). Äîêàçàòåëüñòâî. Íè îäíî èç ìíîæåñòâ íàáîðà S ∪ T íå ðàçäåëÿåò A, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü B ∈ Part(S ∪ T), ÷òî A ⊂ B . Êðîìå òîãî, î÷åâèäíî, ñóùåñòâóåò ñîäåðæàùàÿ B ÷àñòü A0 ∈ Part(S). Òàêèì îáðàçîì, A ⊂ B ⊂ A0 , îòêóäà î÷åâèäíî ñëåäóåò, ÷òî A = B = A0 . Ñëåäóþùàÿ ëåììà õàðàêòåðèçóåò ãðàíèöó ÷àñòè ðàçáèåíèÿ k -ñâÿçíîãî ãðàôà íàáîðîì k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ. Ëåììà 4.3. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, S ⊂ Rk (G) è A ∈ Part(S). Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Âåðøèíà x ∈ Int(A) íå ñìåæíà íè ñ îäíîé èç âåðøèí ìíîæåñòâà V (G) \ A. Ãðàíèöà Bound(A) ñîñòîèò èç âñåõ âåðøèí ÷àñòè A, èìåþùèõ ñìåæíûå âåðøèíû â V (G) \ A. 127 ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ 2) Åñëè Int(A) 6= ∅, òî Bound(A) îòäåëÿåò Int(A) îò V (G) \ A. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïóñòü âåðøèíà x ∈ A ñìåæíà ñ âåðøèíîé y ∈ V (G) \ A. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî S ∈ S, îòäåëÿþùåå y îò A 3 x, ñëåäîâàòåëüíî, x ∈ S . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî x ∈ Bound(A). Íàîáîðîò, ïóñòü x ∈ Bound(A). Òîãäà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî x ∈ S ∈ S. ×àñòü A ∈ Part(S) ñîäåðæèòñÿ â îäíîé èç ÷àñòåé Part(S). Èç |Part(S)| ≥ 2 ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü B ∈ Part(S), ÷òî Int(B) ⊂ V (G) \ A. Èç k -ñâÿçíîñòè ãðàôà G ñëåäóåò, ÷òî âåðøèíà x ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç Int(B), îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò äîêàçûâàåìîå óòâåðæäåíèå. 2) Óòâåðæäåíèå ïóíêòà 2 íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ïóíêòà 1. Ëåììà 4.4. 1) Ïóñòü S, T ∈ Rk (G) è ÷àñòü A ∈ Part(S) òàêîâû, ÷òî T ∩ Int(A) = ∅. Òîãäà S è T íåçàâèñèìû, ïðè÷åì T íå ðàçäåëÿåò ÷àñòü A. 2) Ïóñòü ìíîæåñòâà S, T ∈ Rk (G) íåçàâèñèìû, à ÷àñòü A ∈ Part(S) ñîäåðæèò T . Òîãäà â Part(T ) åñòü ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ âñå îòëè÷íûå îò A ÷àñòè èç Part(S), à âñå îñòàëüíûå ÷àñòè Part(T ) ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâàìè A. Äîêàçàòåëüñòâî. Èíäóöèðîâàííûé ïîäãðàô ãðàôà G íà ìíîæåñòâå âåð- øèí Int(A) ñâÿçåí, à êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà S = Bound(A) ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç Int(A) è T ∩ Int(A) = ∅. Ïîýòîìó âñå âåðøèíû èç A \ T ëåæàò â îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ãðàôà G − T , òî åñòü, T íå ðàçäåëÿåò A è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ðàçäåëÿåò S . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâà S è T íåçàâèñèìû. 2) Ïî ïóíêòó 1, ìíîæåñòâî T íå ðàçäåëÿåò íèêàêîé îòëè÷íîé îò A ÷àñòè èç Part(S). Ïîñêîëüêó S \ T 6= ∅, âñå ýòè ÷àñòè ñîäåðæàòñÿ â îäíîé ÷àñòè èç Part(T ). Ñëåäîâàòåëüíî, âñå îñòàëüíûå ÷àñòè Part(T ) ïîäìíîæåñòâà ÷àñòè A. ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ Îïðåäåëåíèå 4.2. 128 Íàçîâåì íàáîðû S, T ⊂ Rk (G) íåçàâèñèìûìè, åñëè îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ è ëþáûå äâà ìíîæåñòâà S ∈ S è T ∈ T íåçàâèñèìû. Ïîíÿòíî, ÷òî ëþáûå äâå êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè íàáîðà S íåçàâèñèìû. Ëåììà 4.5. Ïóñòü íàáîðû S, T ⊂ Rk (G) íåçàâèñèìû, à ãðàô çàâèñè- ìîñòè Dep(S) ñâÿçåí. Òîãäà âñå ìíîæåñòâà íàáîðà S ëåæàò â îäíîé ÷àñòè A ∈ Part(T), à íèêàêàÿ äðóãàÿ ÷àñòü èç Part(T) íå ñîäåðæèò íè îäíîãî ìíîæåñòâà íàáîðà S. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî T ∈ T. Òàê êàê T è ëþáîå ìíîæåñòâî S ∈ S íåçàâèñèìû, òî S ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîé ÷àñòè èç Part(T ). Ïóñòü ìíîæåñòâà S1 , S2 ∈ S ëåæàò â ðàçíûõ ÷àñòÿõ A1 , A2 ∈ Part(T ), ñîîòâåòñòâåííî (ñì. ðèñóíîê 4.1). Òîãäà S2 ∩Int(A1 ) = ∅, ñëåäîâàòåëüíî, ïî ëåììå 4.4 ìíîæåñòâî S2 íå ðàçäåëÿåò ÷àñòü A1 , à çíà÷èò è ìíîæåñòâî S1 . Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâà S1 è S2 íåçàâèñèìû. A1 S1 T S2 A2 Ðèñ. 4.1: Ìíîæåñòâà S1 è S2 èç ðàçíûõ ÷àñòåé Part(T ). Îòñþäà â ñèëó ñâÿçíîñòè ãðàôà çàâèñèìîñòè Dep(S) ñëåäóåò, ÷òî âñå ìíîæåñòâà íàáîðà S ñîäåðæàòñÿ â îäíîé ÷àñòè èç Part(T ). Òàê êàê ýòî óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà T ∈ T, òî ñóùåñòâóåò ÷àñòü A ∈ Part(T), ñîäåðæàùàÿ âñå ìíîæåñòâà íàáîðà S. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îòëè÷íàÿ îò A ÷àñòü B ∈ Part(T), ñîäåðæèò ìíîæåñòâî S ∈ S. Òîãäà S ⊂ A ∩ B , íî ïåðåñå÷åíèå A ∩ B ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì îäíîãî èç ìíîæåñòâ íàáîðà T, ÷òî íåâîçìîæíî. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ Ëåììà 4.6. 129 Ïóñòü íàáîðû S, T ⊂ Rk (G) íåçàâèñèìû, ÷àñòü A ∈ Part(T) ñîäåðæèò âñå ìíîæåñòâà íàáîðà S, à ÷àñòü B ∈ Part(S) ñîäåðæèò âñå ìíîæåñòâà íàáîðà T. Òîãäà B ñîäåðæèò îáúåäèíåíèå âñåõ îòëè÷íûõ îò A ÷àñòåé èç Part(T). Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì îòëè÷íóþ îò A ÷àñòü A0 ∈ Part(T). Åñ- ëè Int(A0 ) = ∅, òî ÷àñòü A0 ñîñòîèò èç âåðøèí ìíîæåñòâ íàáîðà T è, ñëåäîâàòåëüíî, A0 ⊂ B . Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé, êîãäà Int(A0 ) 6= ∅. Ïî ëåììå 4.1, ñóùåñòâóåò ïðåäñòàâëåíèå A0 = \ ãäå AT ∈ Part(T ). AT , T ∈T Ðàññìîòðèì ëþáîå ìíîæåñòâî S ∈ S: îíî îòäåëåíî êàêèì-òî ìíîæåñòâîì T ∈ T îò ÷àñòè A0 , ñëåäîâàòåëüíî, S ∩ Int(AT ) = ∅. Ïî ëåììå 4.4, òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü AS ∈ Part(S), ÷òî AS ⊃ AT ⊃ A0 (ñì. ðèñóíîê 4.2). Ìíîæåñòâî âåðøèí M = ∩S∈S AS ñîäåðæèò A0 . Òàê êàê M íåâîçìîæíî ðàçäåëèòü íèêàêèì ìíîæåñòâîì íàáîðà S, òî ñóùåñòâóåò ÷àñòü B 0 ∈ Part(S), ñîäåðæàùàÿ M , è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîäåðæàùàÿ A0 . AT AS S T A’ Ðèñ. 4.2: ×àñòè A0 , AT è AS . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî B 0 6= B . Ãðàíèöà ÷àñòè A0 ∈ Part(T) ñîñòîèò èç âåðøèí ìíîæåñòâ íàáîðà T è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîäåðæèòñÿ â B . Òàêèì îáðàçîì, èç B 0 6= B ñëåäóåò Bound(A0 ) ⊂ B ∩ B 0 ⊂ S ∈ S, (4.2) Èç Int(A0 ) 6= ∅ ñëåäóåò, ÷òî |Bound(A0 )| ≥ k . Âìåñòå ñ (4.2) ýòî îçíà÷àåò, ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ 130 ÷òî Bound(A0 ) = S . Ïî óñëîâèþ, S ⊂ A, ñëåäîâàòåëüíî, S ⊂ A ∩ A0 ⊂ T ∈ T, îòêóäà S ∈ T, ÷òî íåâîçìîæíî. Òàêèì îáðàçîì, ñäåëàííîå âûøå ïðåäïîëîæåíèå íåâîçìîæíî è A0 ⊂ B . Äî êîíöà ýòîé ãëàâû ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî Comp(S) = {S1 , . . . , Sm }. Îïðåäåëåíèå 4.3. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ÷àñòü Part(Si ) ñîäåðæèò êîì- ïîíåíòó çàâèñèìîñòè Sj , åñëè îíà ñîäåðæèò âñå âõîäÿùèå â Sj ìíîæåñòâà. Òàêàÿ ÷àñòü ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà ïî ëåììå 4.5, îáîçíà÷èì åå ÷åðåç Ai⊃j . Ïåðåôîðìóëèðóåì óòâåðæäåíèå ëåììû 4.6 â îáîçíà÷åíèÿõ îïðåäåëåíèÿ 4.3. Ñëåäñòâèå 4.1. ×àñòü Ai⊃j ñîäåðæèò îáúåäèíåíèå âñåõ ÷àñòåé Part(Sj ), êðîìå Aj⊃i . 4.2 Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè Êàæäîé êîìïîíåíòå çàâèñèìîñòè T ∈ Comp(S) ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ðàçáèåíèå îñòàëüíûõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè íà êëàññû: êàæäûé êëàññ áóäóò îáðàçîâûâàòü êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè, ñîäåðæàùèåñÿ â îäíîé èç ÷àñòåé Part(T). Îïðåäåëåíèå 4.4. Ãèïåðãðàô Struct(Comp(S)) îïèñàííîãî âûøå ðàçáè- åíèÿ ìû áóäåì íàçûâàòü ãèïåðãðàôîì êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè íàáîðà S è äëÿ ïðîñòîòû îáîçíà÷àòü ÷åðåç Struct(S). Òåîðåìà 4.1. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ Rk (G). Òîãäà âûïîë- íÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ãèïåðãðàô êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè Struct(S) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðäåðåâîì. ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ 131 2) Ïóñòü T ∈ Comp(S), à C1 , . . . , Cn êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà Struct(S) − T. Òîãäà êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè èç ìíîæåñòâà Ci ñîäåðæàòñÿ â îäíîé ÷àñòè Bi ∈ Part(T), ïðè÷åì Bi 6= Bj ïðè i 6= j . 3) Ïóñòü T ∈ Comp(S), à ÷àñòü A ∈ Part(T) ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíî ìíîæåñòâî èç S \ T. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ãèïåððåáðî ãèïåðãðàôà Struct(S), âåðøèíàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ T è íåñêîëüêî (áûòü ìîæåò, îäíà) êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè, ëåæàùèõ â ÷àñòè A. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) è 2) Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ èç òåîðåìû 3.2 äëÿ îïèñàííîãî âûøå ðàçáèåíèÿ ìíîæåñòâà Comp(S). Ïóñòü êîìïîíåíòà çàâèñèìîñòè Si ðàçäåëÿåò Sj è S` , òî åñòü, ÷àñòè Ai⊃j è Ai⊃` ðàçëè÷íû. Òîãäà ïî ñëåäñòâèþ 4.1 ìû èìååì Aj⊃i ⊃ Ai⊃` , òî åñòü, Sj íå ðàçäåëÿåò Si è S` . Òåïåðü óòâåðæäåíèå 1 è 2 íàñòîÿùåé òåîðåìû ñëåäóåò èç òåîðåìû 3.2. 3) Êàê ïîêàçàíî âûøå, äëÿ êàæäîé êîìïîíåíòû èç Comp(S) ëèáî âñå åå ìíîæåñòâà ñîäåðæàòñÿ â A, ëèáî íè îäíî èç íèõ íå ëåæèò â A. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî CA ⊂ Comp(S) êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè, âñå ìíîæåñòâà êîòîðûõ ñîäåðæàòñÿ â A, íåïóñòî. Èç ïóíêòîâ 1 è 2 ñëåäóåò, ÷òî êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè èç CA îáðàçóþò êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà Struct(S) − T. Òåïåðü ïóíêò 3 íàñòîÿùåé òåîðåìû ñëåäóåò èç ïóíêòà 5 òåîðåìû 3.1. Äàëåå ìû îïèøåì ÷àñòè Part(S) ñ ïîìîùüþ ãèïåððåáåð ãèïåðäåðåâà Struct(S). Íàì ïîíàäîáÿòñÿ äâà âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèÿ. Ëåììà 4.7. Ïóñòü T ⊂ Rk (G), ãðàô çàâèñèìîñòè Dep(T) ñâÿçåí, ìíî- æåñòâî T ∈ Rk (G) \ T ÿâëÿåòñÿ ãðàíèöåé ÷àñòè B ∈ Part(T), à âñå ìíîæåñòâà íàáîðà T ëåæàò â ÷àñòè F ∈ Part(T ). Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) ×àñòü B ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáúåäèíåíèå âñåõ îòëè÷íûõ îò F ÷àñòåé Part(T ). ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ 132 2) Íèêàêàÿ îòëè÷íàÿ îò B ÷àñòü èç Part(T) íå ñîäåðæèò ìíîæåñòâî T . Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Î÷åâèäíî, íàáîðû T è {T } íåçàâèñèìû. Ïî ëåì- ìå 4.6, ÷àñòü B ñîäåðæèò îáúåäèíåíèå âñåõ îòëè÷íûõ îò F ÷àñòåé èç Part(T ). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ëþáàÿ ÷àñòü èç Part(T) ñ ãðàíèöåé T åñòü îáúåäèíåíèå íåñêîëüêèõ ÷àñòåé èç Part(T ), ìû ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå ïóíêòà 1. 2) Ïî ëåììå 4.5, íèêàêàÿ îòëè÷íàÿ îò B ÷àñòü èç Part(T) íå ìîæåò ñîäåðæàòü ìíîæåñòâî T , à âñå ìíîæåñòâà íàáîðà T ëåæàò â îäíîé ÷àñòè F ∈ Part(T ). Ëåììà 4.8. Ïóñòü ãðàôû çàâèñèìîñòè íåïåðåñåêàþùèõñÿ íàáîðîâ T1 , T2 ⊂ Rk (G) ñâÿçíû, à ìíîæåñòâî R ∈ Rk (G) \ (T1 ∪ T2 ) òàêîâî, ÷òî âñå ìíîæåñòâà èç T1 è T2 ñîäåðæàòñÿ â îäíîé ÷àñòè F ∈ Part(R). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ÷àñòü A ∈ Part(T1 ) ∩ Part(T2 ) ñ Bound(A) = R. Òîãäà íàáîðû T1 è T2 íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ïóñòü íàáîðû T1 è T2 íåçà- âèñèìû. Ïî ëåììå 4.7, ÷àñòü A ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì âñåõ îòëè÷íûõ îò F ÷àñòåé èç Part(R). Ïî ëåììå 4.5, âñå ìíîæåñòâà íàáîðà T1 ëåæàò â îäíîé ÷àñòè B ∈ Part(T2 ). Ïîñêîëüêó R⊂ [ T ⊂ B, T ∈T1 òî ïî ïóíêòó 2 ëåììû 4.7 èìååì A = B . Îäíàêî, âñå ìíîæåñòâà íàáîðà T1 ëåæàò â F , ïðè÷åì F ∩ A = R. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå ýòè ìíîæåñòâà ñîâïàäàþò ñ R, ÷òî íåâîçìîæíî. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. Ëåììà 4.9. Ïóñòü R = {S1 , . . . Sn } ãèïåððåáðî ãèïåðãðàôà Struct(S). Äëÿ âñåõ i ∈ {1, . . . , n} ïóñòü Ai ∈ Part(Si ) ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ ìíî- 133 ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ æåñòâà âñåõ îñòàëüíûõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè èç R. Òîãäà äëÿ ìíîæåñòâà âåðøèí A= n \ Ai i=1 âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç äâóõ óòâåðæäåíèé. 1◦ Ìíîæåñòâî A ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ Part(S), ñîäåðæèò õîòÿ áû k âåðøèí, ïðè÷åì Bound(A) = n [ Bound(Ai ). i=1 2◦ n = 2, Bound(A1 ) = Bound(A2 ) = A ∈ S, ïðè÷åì îäíà èç êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè S1 èëè S2 ýòî {A}. Äîêàçàòåëüñòâî. a. Ðàññìîòðèì ëþáóþ êîìïîíåíòó çàâèñèìîñòè S` , íå âõîäÿùóþ â R (åñëè òàêàÿ ñóùåñòâóåò). Ðàññìîòðèì âñå ïóòè â Struct(S) îò S` äî ãèïåððåáðà R, âíóòðåííèå âåðøèíû êîòîðûõ íå âõîäÿò â R è îòìåòèì ìíîæåñòâî âñåõ èõ êîíöîâ â ãèïåððåáðå R. Ïóñòü ìû îòìåòèëè õîòÿ áû äâå âåðøèíû (òî åñòü, êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè) èç R. Òîãäà â Struct(V ) ñóùåñòâóåò öèêë Z , ñîäåðæàùèé äâå îòìå÷åííûå âåðøèíû è õîòÿ áû îäíó âåðøèíó íå èç R (ñì. ðèñóíîê 4.3a), à ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò è ãèïåððåáðî E , ñîäåðæàùåå âñå âåðøèíû Z . Ýòî ãèïåððåáðî íå ñîâïàäàåò ñ R è |E ∩ R| ≥ 2, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïóíêòó 2 òåîðåìû 3.1. b R R b b b b b E b b b l b b b b b b b b b b i b b b l b b b b b a b Ðèñ. 4.3: Ãèïåðäåðåâî Struct(S) è åãî ãèïåððåáðî R. Çíà÷èò, êàæäûé ïóòü â Struct(S) îò S` äî ãèïåððåáðà R, âíóòðåííèå âåðøèíû êîòîðîãî íå âõîäÿò â R, èìååò êîíöîì îäíó è òó æå êîìïîíåíòó ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ 134 çàâèñèìîñòè ïóñòü ýòî Si (ãäå 1 ≤ i ≤ n). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî Si îòäåëÿåò S` îò êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè, âõîäÿùèõ â R è îòëè÷íûõ îò Si (ñì. ðèñóíîê 4.3b). Òîãäà ïî óòâåðæäåíèþ 2 òåîðåìû 4.1 ìû èìååì Ai⊃` 6= Ai . Òàêèì îáðàçîì, íè îäíî èç ìíîæåñòâ íàáîðà S` íå ìîæåò ñîäåðæàòüñÿ â Ai, à ñòàëî áûòü, è â A. b. Ïî ñëåäñòâèþ 4.1, èç Ai⊃` 6= Ai ñëåäóåò, ÷òî A`⊃i ⊃ Ai ⊃ A. Ñëåäîâà- òåëüíî, ìíîæåñòâà êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè, íå ïðèíàäëåæàùèõ ãèïåððåáðó R, íå ðàçäåëÿþò A. Òîãäà ïî ëåììå 4.1 ëèáî A ∈ Part(S), ëèáî A ïîäìíîæåñòâî îäíîãî èç ìíîæåñòâ íàáîðà S. Ïóñòü R= n [ Bound(Aj ). j=1 Ïîñêîëüêó Ai ⊃ R äëÿ âñåõ i ∈ {1, . . . , n}, òî A ⊃ R. Èç óñëîâèÿ ëåììû ñëåäóåò, ÷òî Int(Aj ) 6= ∅ äëÿ êàæäîãî j , ïîýòîìó |Bound(Aj )| ≥ k . Ñëåäîâàòåëüíî, |R| ≥ k . Ïóñòü A ∈ Part(S). Ðàññìîòðèì âåðøèíó x ∈ Bound(A). Ïî ëåììå 4.3 ñóùåñòâóåò âåðøèíà y 6∈ A, ñìåæíàÿ ñ x. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî y 6∈ Ai . Òîãäà ïî ëåììå 4.3 ìû èìååì x ∈ Bound(Ai ) ⊂ R. Íàîáîðîò, êàæäàÿ âåðøèíà èç R ïðèíàäëåæèò ÷àñòè A è êàêîìó-òî èç ìíîæåñòâ íàáîðà S. Òàêèì îáðàçîì, Bound(A) = R. Ïóñòü A 6∈ Part(S). Ïî ïóíêòó 3 ëåììû 4.1, òîãäà R ⊂ A ⊂ S ∈ S. Òàê êàê |S| = k è |R| ≥ k , ìû èìååì R = A = S è, áîëåå òîãî, Bound(A1 ) = Bound(A2 ) · · · = Bound(An ) = A ∈ S. Èç ÷àñòè a äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî A ∈ S äîëæíî ïðèíàäëåæàòü îäíîé èç êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè ãèïåððåáðà R. Òîãäà íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî A ∈ S1 . Òàê êàê A = Bound(A1 ) ãðàíèöà ÷àñòè Part(S1 ), òî A è ëþáîå ìíîæåñòâî íàáîðà S1 íåçàâèñèìû, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî S1 = {A}. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî n ≥ 3. Òîãäà ïî ëåììå 4.7 ìíîæåñòâî B , ðàâíîå îáúåäèíåíèþ 135 ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ âñåõ îòëè÷íûõ îò A1 ÷àñòåé èç Part(A), ïðèíàäëåæèò Part(S2 )∩Part(S3 ). Îäíàêî, êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè S2 è S3 íåçàâèñèìûå íàáîðû, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ëåììå 4.8. Îïðåäåëåíèå 4.5. Îïðåäåëåííóþ â ëåììå 4.9 ÷àñòü A ìû íàçîâåì ÷à- ñòüþ, ñîîòâåòñòâóþùåé ãèïåððåáðó R (äàæå â ñëó÷àå, êîãäà A ∈ / Part(S)). Òåîðåìà 4.2. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, S ⊂ Rk (G). Òîãäà âûïîëíÿ- þòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ïóñòü S0 ∈ Comp(S) è ÷àñòü A ∈ Part(S0 ) òàêîâû, ÷òî A íå ñîäåðæèò ìíîæåñòâ èç S \ S0 . Òîãäà A ∈ Part(S). 2) Ïóñòü H ∈ Part(S). Òîãäà ëèáî ÷àñòü H ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîìó ãèïåððåáðó R ãèïåðäåðåâà Struct(S), ëèáî cóùåñòâóåò òàêàÿ êîìïîíåíòà çàâèñèìîñòè S0 ∈ Comp(S), ÷òî H ∈ Part(S0 ). Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Òàê êàê ÷àñòü A íå ñîäåðæèò ìíîæåñòâ èç S \ S0 , òî ïî ëåììå 4.6 íè îäíî èç ýòèõ ìíîæåñòâ íå ðàçäåëÿåò A. Òîãäà ïî ñëåäñòâèþ 4.2 ìû èìååì A ∈ Part(S). 2) Äîêàæåì óòâåðæäåíèå èíäóêöèåé ïî êîëè÷åñòâó êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè â íàáîðå. Áàçà äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà êîìïîíåíòà çàâèñèìîñòè îäíà, î÷åâèäíà. Äîêàæåì ïåðåõîä. Ïóñòü T ∈ Comp(S) êîìïîíåíòà çàâèñèìîñòè, ñîîòâåòñòâóþùàÿ êðàéíåé âåðøèíå ãèïåðäåðåâà Struct(S); ýòà êîìïîíåíòà çàâèñèìîñòè íå ðàçäåëÿåò íèêàêèå äâå äðóãèå è ïî òåîðåìå 3.1 ïðèíàäëåæèò ðîâíî îäíîìó ãèïåððåáðó R ãèïåðäåðåâà Struct(S). Óòâåðæäåíèå ïóíêòà 2 äëÿ íàáîðà T0 = S\T óæå äîêàçàíî. Ïóñòü ÷àñòü B ∈ Part(T) ñîäåðæèò âñå ìíîæåñòâà íàáîðà T0 , à ÷àñòü B 0 ∈ Part(T0 ) ñîäåðæèò âñå ìíîæåñòâà íàáîðà T (òàêèå ÷àñòè ñóùåñòâóþò ïî ëåììå 4.5). Ïî ëåììå 4.1, äëÿ ëþáîé ÷àñòè H ∈ Part(S) ñóùåñòâóåò ïðåäñòàâëåíèå H = H1 ∩ H2 , ãäå H1 ∈ Part(T) è H2 ∈ Part(T0 ). Åñëè H1 = B è H2 = B 0 , òî H ÷àñòü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ãèïåððåáðó R. Ïî ëåììå 4.6 ÷àñòü B ñîäåðæèò îáúåäèíåíèå âñåõ îòëè÷íûõ îò B 0 ÷àñòåé èç ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ 136 Part(T0 ), à ÷àñòü B 0 ñîäåðæèò îáúåäèíåíèå âñåõ îòëè÷íûõ îò B ÷àñòåé èç Part(T). Òîãäà ïî ñëåäñòâèþ 4.2 îñòàëüíûå ÷àñòè èç Part(S) ýòî ëèáî ÷àñòè èç Part(T), ëèáî ÷àñòè èç Part(T0 ), îòêóäà ñëåäóåò äîêàçûâàåìîå óòâåðæäåíèå. Ãëàâà 5 Óäàëåíèå âåðøèí èç 5.1 k -ñâÿçíîãî ãðàôà Óäàëåíèå âåðøèí èç äâóñâÿçíîãî ãðàôà ñ ñîõðàíåíèåì äâóñâÿçíîñòè Åñëè èç ñâÿçíîãî ãðàôà óäàëèòü ëþáóþ âíóòðåííþþ âåðøèíó ëþáîãî áëîêà, òî ñâÿçíîñòü íå íàðóøèòñÿ. Íà÷íåì ñ îïèñàíèÿ ìíîæåñòâà âåðøèí, óäàëåíèå êîòîðûõ íå ëèøàåò ãðàô äâóñâÿçíîñòè. Ëåììà 5.1. Ïóñòü G äâóñâÿçíûé ãðàô, a ∈ A ∈ Part(G). Òîãäà ãðàô G − a äâóñâÿçåí åñëè è òîëüêî åñëè a ∈ Int(A) è ÷àñòü A áëîê èëè òðåóãîëüíèê. Äîêàçàòåëüñòâî. Ãðàô G − a äâóñâÿçåí åñëè è òîëüêî åñëè a íå ïðè- íàäëåæèò ìíîæåñòâàì èç R2 (G). Âåðøèíà a íå ïðèíàäëåæèò îäèíî÷íûì ìíîæåñòâàì åcëè è òîëüêî åñëè a ∈ Int(A). Îñòàåòñÿ äîáàâèòü, ÷òî ïî ïóíêòó 2 òåîðåìû 1.2 âñå âåðøèíû öèêëîâ äëèíû õîòÿ áû 4 ïðèíàäëåæàò íåîäèíî÷íûì ìíîæåñòâàì, à âíóòðåííèå âåðøèíû áëîêîâ è òðåóãîëüíèêîâ íå ïðèíàäëåæàò. Åñëè óäàëèòü èç ñâÿçíîãî ãðàôà ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç íåñêîëüêèõ âíóòðåííèõ âåðøèí áëîêîâ è ñîäåðæàùåå íå áîëåå ÷åì ïî îäíîé âåðøèíå 137 ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ÃÐÀÔÀ 138 êàæäîãî áëîêà, òî ñâÿçíîñòü ñîõðàíèòñÿ. Â ñëåäóþùåé òåîðåìå áóäåò äîêàçàíî àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà. Òåîðåìà 5.1. Ïóñòü G äâóñâÿçíûé ãðàô, à W ìíîæåñòâî, ñîñòîÿ- ùåå èç âíóòðåííèõ âåðøèí íåïóñòûõ ÷àñòåé-áëîêîâ ãðàôà G è ñîäåðæàùåå íå áîëåå ÷åì ïî îäíîé âåðøèíå èç êàæäîãî áëîêà. Òîãäà ãðàô G − W äâóñâÿçåí. Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû íåâåðíî è ðàññìîòðèì ìèíèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâî W , âåðøèíû êîòîðîãî ïðèíàäëåæàò âíóòðåííîñòÿì ðàçíûõ íåïóñòûõ áëîêîâ è òàêîå, ÷òî ãðàô G∗ = G − W íåäâóñâÿçåí. Òàê êàê âíóòðåííèå âåðøèíû áëîêîâ íå âõîäÿò â ìíîæåñòâà èç R2 (G), ìû èìååì |W | ≥ 2. Òàê êàê âåðøèíû W ïðèíàäëåæàò âíóòðåííîñòÿì ðàçíûõ áëîêîâ, ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî S = {a, b} ∈ R2 (G), ðàçäåëÿþùåå W . Òàê êàê S íå ñîäåðæèò âåðøèí èç W è ðàçäåëÿåò W , ÷àñòè Part(S) ìîæíî ðàçáèòü íà äâå ãðóïïû òàê, ÷òîáû â êàæäîé ãðóïïå áûëà ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ âåðøèíó èç W . Ïóñòü U1 è U2 îáúåäèíåíèÿ âåðøèí ýòèõ ÷àñòåé, U ∗ = V (G) \ W = V (G∗ ), U1∗ = U1 \ W, U2∗ = U2 \ W. Òàê êàê êàæäûé áëîê ãðàôà G ñîäåðæèò õîòÿ áû 4 âåðøèíû è íå áîëåå ÷åì îäíà èç íèõ óäàëåíà, ìíîæåñòâà âåðøèí U1∗ è U2∗ ñîäåðæàò õîòÿ áû ïî òðè âåðøèíû. Ïîëîæèì G∗1 = G(U1∗ ), 2. G∗2 = G(U2∗ ), G1 = G∗1 + ab, G2 = G∗2 + ab. Ðàññìîòðèì âåðøèíó x ∈ U2 ∩W . Èç âûáîðà ìíîæåñòâà W ìû çíàåì, ÷òî ãðàô Gx = G − (W \ {x}) äâóñâÿçåí. Î÷åâèäíî, ìíîæåñòâî S îòäåëÿåò U1∗ îò U2∗ ∪ {x} â äâóñâÿçíîì ãðàôå Gx . Ïîýòîìó, ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ìåíãåðà íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ãðàô G1 íå èìååò òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Òàê êàê |U1∗ | ≥ 3, ãðàô G1 äâóñâÿçåí. Àíàëîãè÷íî, ãðàô G2 äâóñâÿçåí. ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ 3. k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ÃÐÀÔÀ 139 Äîêàæåì, ÷òî îò ëþáîé âåðøèíû x ∈ U ∗ â ãðàôå G∗ ñóùåñòâóåò xa-ïóòü Pa è xb-ïóòü Pb , íå èìåþùèå îáùèõ âåðøèí, êðîìå x. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïîëîæèì, ÷òî x ∈ U1∗ . Òîãäà ïî òåîðåìå Ìåíãåðà äâà èñêîìûõ ïóòè åñòü â äâóñâÿçíîì ãðàôå G1 , ýòè æå ïóòè åñòü è â G∗ . 4. Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîé âåðøèíû v ∈ U ∗ â ãðàôå G∗ − v âñå âåðøèíû èç U ∗ \ {v} ñâÿçàíû, òî åñòü, ãðàô G∗ = G − W äâóñâÿçåí. Ðàññìîòðèì ëþáóþ âåðøèíó x ∈ / S . Ïî ïóíêòó 3, â ãðàôå G∗ ñóùåñòâóåò äâà íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïóòè îò x äî âåðøèí ìíîæåñòâà S . Îäèí èç ýòèõ ïóòåé åñòü è â G∗ − v . Îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî ïðè v ∈ / S âåðøèíû a è b ìíîæåñòâà S ñâÿçàíû â ãðàôå G∗ − v . Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî v ∈ U1∗ . Òîãäà ñóùåñòâóåò ab-ïóòü P â ãðàôå G∗ − v , ïðîõîäÿùèé ïî âåðøèíàì èç U2∗ , çíà÷èò, a è b ñâÿçàíû â G∗ − v . Äâóñâÿçíîñòü ãðàôà G∗ ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ. Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàô G − W äâóñâÿçåí äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà W , óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèþ. b a b b b b c b Ðèñ. 5.1: Ãðàô òåðÿåò äâóñâÿçíîñòü ïðè óäàëåíèè âåðøèí a è c. Îòìåòèì, ÷òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû íå ìîæåò áûòü ðàñïðîñòðàíåíî íà âíóòðåííèå âåðøèíû íåïóñòûõ ÷àñòåé-òðåóãîëüíèêîâ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G. Åñëè ÷àñòü-òðåóãîëüíèê A èìååò âíóòðåííþþ âåðøèíó, òî ìû èìååì |Int(A)| = 1 è |Bound(A)| = 2. Ñëåäîâàòåëüíî, Bound(A) ∈ O(G), à çíà÷èò, ÷àñòü A êðàéíÿÿ. Íà ðèñóíêå 5.1 èçîáðàæåí ãðàô, â êîòîðîì îòìå÷åíà âíóòðåííÿÿ âåðøèíà a êðàéíåé ÷àñòè-òðåóãîëüíèêà è âíóòðåííÿÿ âåðøèíà c ÷àñòè-áëîêà. Èõ îäíîâðåìåííîå óäàëåíèå äåëàåò ãðàô íåäâóñâÿçíûì. ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ 5.2 Óäàëåíèå âåðøèí èç k -ÑÂßÇÍÎÃÎ k -ñâÿçíîãî 140 ÃÐÀÔÀ ãðàôà ïðè k>2 Â ýòîì ðàçäåëå G ýòî k -ñâÿçíûé ãðàô. Íàïîìíèì îïðåäåëåíèÿ è ñôîðìóëèðóåì îñíîâíîé ðåçóëüòàò ðàçäåëà. Îïðåäåëåíèå 5.1. Ïóñòü S ∈ Rk (G), à H êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà G − S . Ìû áóäåì íàçûâàòü H ôðàãìåíòîì. Ìíîæåñòâî S áóäåì íàçûâàòü ãðàíèöåé ôðàãìåíòà H è îáîçíà÷àòü ÷åðåç Bound(H). Ïîêàæåì, ÷òî ïîíÿòèÿ ôðàãìåíòà è åãî ãðàíèöû èìåþò ñàìîñòîÿòåëüíûé ñìûñë. Ëåììà 5.2. Ïóñòü H ôðàãìåíò â k -ñâÿçíîì ãðàôå G. Òîãäà Bound(H) = NG (H). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Bound(H) = S . Òîãäà H = Int(A) äëÿ íåêî- òîðîé ÷àñòè A ∈ Part(S). Èç k -ñâÿçíîñòè ãðàôà G ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà S ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç H , òî åñòü, S ⊂ NG (H). Ïîñêîëüêó S = Bound(A) îòäåëÿåò H = Int(A) îò V (G) \ A, òî S = NG (A). Çàìå÷àíèå 5.1. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à H åãî ôðàãìåíò. Îò- ìåòèì, ÷òî èíäóöèðîâàííûé ïîäãðàô G(H) ñâÿçåí, à êàæäàÿ âåðøèíà èç Bound(H) ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç H â ñèëó k -ñâÿçíîñòè G. Îïðåäåëåíèå 5.2. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, A ∈ Part(Rk (G)). 1) Íàçîâåì ÷àñòü A ïðàâèëüíîé, åñëè |Bound(A)| = k è Int(A) 6= ∅. 2) Ïóñòü Int(A) 6= ∅. Íàçîâåì ìíîæåñòâî S ∈ Rk (G) ñóùåñòâåííûì äëÿ ÷àñòè A, åñëè íå ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâà T ∈ Rk (G), îòäåëÿþùåãî S îò Int(A). Îáîçíà÷èì ÷åðåç Bound2 (A) ìíîæåñòâî âñåõ ãðàíè÷íûõ âåðøèí ÷àñòè A, âõîäÿùèõ â äâà è áîëåå ñóùåñòâåííûõ äëÿ ÷àñòè A ìíîæåñòâà. Íàçîâåì ÷àñòü A õîðîøåé, åñëè |Int(A)| > |Bound2 (A)|. ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ Çàìå÷àíèå 5.2. ÃÐÀÔÀ 141 1) Âíóòðåííîñòü ïðàâèëüíîé ÷àñòè Part(Rk (G)) ýòî ôðàãìåíò ãðàôà G. 2) Íåñëîæíî ïîíÿòü, ÷òî øåé. k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ïðàâèëüíàÿ ÷àñòü îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ õîðî- Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ÷àñòü A ïðàâèëüíàÿ, òî ìíîæåñòâî Bound(A) ∈ Rk (G) îòäåëÿåò Int(A) îò ëþáîãî äðóãîãî ìíîæåñòâà T ∈ Rk (G), òî åñòü, Bound(A) åäèíñòâåííîå ñóùåñòâåííîå ìíîæåñòâî äëÿ ïðàâèëüíîé ÷àñòè A. Ïîýòîìó Bound2 (A) = ∅. Òåîðåìà 5.2. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, ïðè÷åì ñòåïåíü ëþáîé âåð- øèíû, âõîäÿùåé â îäíî èç ìíîæåñòâ Rk (G), íå ìåíåå 2k − 1, à ëþáîé ôðàãìåíò èìååò õîòÿ áû k+1 2 âåðøèí. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìíîæå- ñòâî W , ñîäåðæàùåå ïî îäíîé âíóòðåííåé âåðøèíå êàæäîé õîðîøåé ÷àñòè Part(Rk (G)), òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî W 0 ⊂ W ãðàô G − W 0 ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì. Ïåðåä äîêàçàòåëüñòâîì òåîðåìû ìû ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì ðÿä òåõíè÷åñêèõ ëåìì. Ëåììà 5.3. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, A ∈ Part(Rk (G)), Int(A) 6= ∅, S ∈ Rk (G) íåñóùåñòâåííîå äëÿ ÷àñòè A ìíîæåñòâî. Òîãäà ñóùåñòâóåò ñóùåñòâåííîå äëÿ ÷àñòè A ìíîæåñòâî T ∈ Rk (G), êîòîðîå îòäåëÿåò S îò Int(A). Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî T ∈ Rk (G), êîòîðîå îòäåëÿåò Int(A) îò S . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå ðàçëè÷íûå ÷àñòè H, H 0 ∈ Part(T ), ÷òî Int(A) ⊂ H è S ⊂ H 0. Ìû âûáåðåì T òàê, ÷òîáû ÷àñòü H áûëà ìèíèìàëüíîé ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè âñåõ âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî T íåñóùåñòâåííîå äëÿ ÷àñòè A ìíîæåñòâî. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî R ∈ Rk (G), îòäåëÿþùåå T îò Int(A). Òî åñòü, ñóùåñòâóþò òàêèå ÷àñòè F, F 0 ∈ Part(R), ÷òî Int(A) ⊂ F è T ⊂ F 0. ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ÃÐÀÔÀ 142 Åñëè ìíîæåñòâî R íå ëåæèò â ÷àñòè H , òî R ∩ Int(H) = ∅ è ïî ëåììå 4.4 ìû çíàåì, ÷òî R íå ðàçäåëÿåò H è, â ÷àñòíîñòè, íå îòäåëÿåò T îò Int(A). Çíà÷èò, R ⊂ H . Òîãäà ÷àñòü F 0 ∈ Part(R), ñîäåðæàùàÿ T \ R, ñîäåðæèò è îáúåäèíåíèå âñåõ îòëè÷íûõ îò H ÷àñòåé Part(T ). Ñëåäîâàòåëüíî, F ( H , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó ìíîæåñòâà T . Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî T ñóùåñòâåííîå äëÿ ÷àñòè A. Îïèøåì ðàçáèåíèå ãðàôà ïàðîé çàâèñèìûõ ìíîæåñòâ èç Rk (G). Ëåììà 5.4. Ïóñòü ìíîæåñòâà S, T ∈ Rk (G) çàâèñèìû, Part(S) = {A1 , . . . , Am }, P = T ∩ S, Part(T ) = {B1 , . . . , Bn }, Ti = T ∩ Int(Ai ), Sj = S ∩ Int(Bj ), Gi,j = Ai ∩ Bj . Òîãäà âñå ìíîæåñòâà T1 , . . . , Tm ; S1 , . . . , Sn íåïóñòû, Part({S, T }) = {Gi,j }i∈{1,...,m}, j∈{1,...,n} , ïðè÷åì Bound(Gi,j ) = P ∪ Ti ∪ Sj . Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó ëåììû 4.4 è çàâèñèìîñòè ìíîæåñòâ S è T , Ti = T ∩ Int(Ai ) 6= ∅ è Sj = S ∩ Int(Bj ) 6= ∅. ×àñòè Part({S, T }) ýòî ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè ìíîæåñòâ âèäà Gi,j . Äîêàæåì, ÷òî ýòî âñå òàêèå ìíîæåñòâà. Ïóñòü (α, β) 6= (γ, δ). Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî α 6= γ . Òîãäà Tα ⊂ Gα,β , è Tγ 6⊂ Gα,β , ñëåäîâàòåëüíî, Gα,β 6⊂ Gγ,δ . Óòâåðæäåíèå Bound(Gi,j ) = P ∪ Ti ∪ Sj î÷åâèäíî. Äàëåå äëÿ îïèñàíèÿ ðàçáèåíèÿ ãðàôà ïàðîé çàâèñèìûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ èç ëåììû 5.4. Ëåììà 5.5. áû ïî k+1 2 Ïóñòü âñå ôðàãìåíòû k -ñâÿçíîãî ãðàôà G ñîäåðæàò õîòÿ âåðøèí, à ìíîæåñòâà S, T ∈ Rk (G) çàâèñèìû. Òîãäà êàæäîå èç ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ÃÐÀÔÀ 143 íèõ äåëèò ãðàô íà äâå ÷àñòè, ïðè÷åì ìîæíî çàíóìåðîâàòü ýòè ÷àñòè òàê, ÷òî Part(S) = {A1 , A2 }, Part(T ) = {B1 , B2 }, |Bound(G1,2 )| = |Bound(G2,1 )| = k, Äîêàçàòåëüñòâî. 1. |T1 | = |S1 |, |T2 | = |S2 |. Ïóñòü Part(S) = {A1 , . . . , Am }, Part(T ) = {B1 , . . . , Bn }. Èçîáðàçèì ðàçáèåíèå ãðàôà ìíîæåñòâàìè S è T â âèäå òàáëèöû m × n, ãäå êëåòêà ñ êîîðäèíàòàìè (i, j) ñîîòâåòñòâóåò ÷àñòè Gi,j = Ai ∩ Bj : ìû çàïèøåì â ýòîé êëåòêå êîëè÷åñòâî âåðøèí â Int(Gi,j ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî åñòü ñòîëáåö èëè ñòðîêà, ñîäåðæàùàÿ òîëüêî íóëè (íå óìàëÿÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî ïåðâûé ñòîëáåö). Òîãäà Int(G1,j ) = ∅ äëÿ âñåõ j ∈ {1, . . . , n} è [ Int(A1 ) = Bound(G1,j ) \ S = T1 , j∈{1,...,n} ñëåäîâàòåëüíî, |T1 | ≥ |Ti | ≤ k−1 2 . k+1 2 . Çíà÷èò, äëÿ êàæäîãî i ∈ {2, . . . , m} ìû èìååì Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ïîëîæèì |S1 | ≥ |S2 |, òîãäà |S2 | ≤ k 2. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ êàæäîãî i ∈ {2, . . . , m} |T1 | + |S1 | + |P | + |Ti | + |S2 | + |P | ≤ |T | + |S| = 2k, ñëåäîâàòåëüíî, |Bound(Gi,2 )| = |Ti | + |S2 | + |P | < k. Åñëè Int(Gi,2 ) 6= ∅, òî ïî ëåììå 4.3 ñîñòîÿùåå ìåíåå ÷åì èç k âåðøèí ìíîæåñòâî Bound(Gi,2 ) îòäåëÿåò îò îñòàëüíûõ âåðøèí ãðàôà íåïóñòîå ìíîæåñòâî Int(Gi,2 ), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò k -ñâÿçíîñòè ãðàôà G. Ñëåäîâàòåëüíî, Int(Gi,2 ) = ∅ äëÿ âñåõ i ∈ {2, . . . , m}. Íàïîìíèì, ÷òî ïî ïðåäïîëîæåíèþ Int(G1,2 ) = ∅. Ñëåäîâàòåëüíî, ôðàãìåíò Int(B2 ) = [ i∈{1,...,m} Bound(Gi,2 ) \ T = S2 , è k |S2 | ≤ , 2 ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ 144 ÃÐÀÔÀ ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. 2. Òàêèì îáðàçîì, â êàæäîé ñòðîêå è â êàæäîì ñòîëáöå åñòü õîòÿ áû îäèí íå íîëü. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò ïàðû èíäåêñîâ (α, β) è (γ, δ) òàêèå, ÷òî α 6= γ , β 6= δ , Int(Gα,β ) 6= ∅ è Int(Gγ,δ ) 6= ∅. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ïîëîæèì α = δ = 1 è β = γ = 2. Òîãäà |Bound(G1,2 )| ≥ k è |Bound(G2,1 )| ≥ k. Çàìåòèì, ÷òî 2k ≤ |Bound(G1,2 )| + |Bound(G2,1 )| = 2|P | + |T1 | + |T2 | + |S1 | + |S2 | ≤ |S| + |T | = 2k. Çíà÷èò, îáà íåðàâåíñòâà îáðàùàþòñÿ â ðàâåíñòâà, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî T = T1 ∪ T2 ∪ P è (5.1) S = S1 ∪ S2 ∪ P. Ïî ëåììå 5.4 èç (5.1) ñëåäóåò, ÷òî |Part(S)| = |Part(T )| = 2 è |Bound(G1,2 )| = |Bound(G2,1 )| = k. Òîãäà |T1 | + |S2 | + |P | = |Bound(G1,2 )| = k = |T | = |T1 | + |T2 | + |P |, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî |S2 | = |T2 |. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî |S1 | = |T1 |. Ëåììà 5.6. Ïóñòü H ìèíèìàëüíûé ïî âêëþ÷åíèþ ôðàãìåíò k -ñâÿç- íîãî ãðàôà G, âñå ôðàãìåíòû êîòîðîãî ñîäåðæàò õîòÿ áû ïî k+1 2 âåðøèí. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïðàâèëüíàÿ ÷àñòü A ∈ Part(Rk (G)), ÷òî H = Int(A). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü S = Bound(H), Part(S) = {A1 , . . . , Am } è H = Int(A1 ). ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ 145 ÃÐÀÔÀ Ïîñêîëüêó S ∈ Rk (G), òî ëèáî A1 ∈ Part(Rk (G)), ëèáî A1 îáúåäèíåíèå íåñêîëüêèõ ÷àñòåé Part(Rk (G)). Òàêèì îáðàçîì, íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî íè îäíî èç ìíîæåñòâ íàáîðà Rk (G) íå ðàçäåëÿåò A1 . Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ïóñòü ìíîæåñòâî T ∈ Rk (G) ðàçäåëÿåò A1 . Èç ëåììû 4.4 ñëåäóåò, ÷òî òîãäà T ∩ Int(A1 ) 6= ∅. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ. 1. Ìíîæåñòâà S è T íåçàâèñèìû. Èç íåçàâèñèìîñòè S è T ñëåäóåò, ÷òî T ⊂ A1 . Ïî ëåììå 4.4, òîãäà T íå ðàçäåëÿåò íè îäíîé èç ÷àñòåé A2 , . . . , Am . Òàê êàê S 0 = S \ T 6= ∅, ìíîæåñòâî T íå ðàçäåëÿåò (V (G)\A1 )∪S 0 . Çíà÷èò, ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü B ∈ Part(T ), ÷òî B ⊂ A \ S 0 . Îäíàêî, òîãäà ôðàãìåíò Int(B) ⊂ (A \ S 0 ) \ Bound(B) = A \ (S ∪ T ) ( H, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ìèíèìàëüíîñòè H . 2. Ìíîæåñòâà S è T çàâèñèìû. Ïóñòü Part(T ) = {B1 , . . . , Bn }. Áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ èç ëåììû 5.4. Ïî ëåììå 5.5 ìîæíî âûáðàòü íóìåðàöèþ ÷àñòåé Part(T ) òàê, ÷òî |Bound(G1,2 )| = |Bound(G2,1 )| = k . Òîãäà Int(G1,2 ) = ∅ (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå Int(G1,2 ) ( H ñòðîãî ìåíüøèé ôðàãìåíò, ñì. ðèñóíîê 5.2). S1 H T1 P 0 T2 S2 Ðèñ. 5.2: Ôðàãìåíò H è ìíîæåñòâî T . Ïî ëåììå 5.5, ìû èìååì |T1 | = |S1 |. Åñëè |T1 | < k2 , òî |R(G1,1 )| < k . Â ýòîì ñëó÷àå Int(G1,1 ) = ∅ è H = T1 , ÷òî íåâîçìîæíî: òîãäà |H| < Ïóñòü |T1 | = k 2. k+1 2 . Åñëè ïðè ýòîì Int(G1,1 ) 6= ∅, òî |Bound(G1,1 )| = k è Int(G1,1 ) ( H ñòðîãî ìåíüøèé ôðàãìåíò, ÷òî íåâîçìîæíî. Åñëè æå Int(G1,1 ) = ∅, òî |H| = |T1 | < k+1 2 , ÷òî òàêæå íåâîçìîæíî. ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ÃÐÀÔÀ Îñòàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà |T1 | > k2 . Òîãäà |T2 | = |S2 | < k 2 146 è |Bound(G2,2 )| = 2k − |T1 | − |S1 | < k, à çíà÷èò, Int(G2,2 ) = ∅. Íî òîãäà ôðàãìåíò Int(B2 ) = S2 ñîñòîèò ìåíåå ÷åì èç k+1 2 âåðøèí, ÷òî íåâîçìîæíî. Ýòî ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò ðàçáîð ñëó÷àåâ. Ëåììà 5.7. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, ëþáîé ôðàãìåíò êîòîðîãî ñî- äåðæèò õîòÿ áû k+1 2 âåðøèí. Ïóñòü ìíîæåñòâî W ⊂ V (G) ñîñòîèò èç âíóòðåííèõ âåðøèí ÷àñòåé Part(Rk (G)), ïðè÷åì |W | ≥ 2 è íèêàêèå äâå åãî âåðøèíû íå ïðèíàäëåæàò îäíîé ÷àñòè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãðàô G−W íå ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì, íî äëÿ ëþáîãî ñîáñòâåííîãî ïîäìíîæåñòâà W 0 ( W ãðàô G − W 0 ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì. Ïóñòü R1 , R2 , . . . , Rn âñå ìíîæåñòâà èç Rk (G), ðàçäåëÿþùèå W , à R= n \ Ri . i=1 Òîãäà ïîñëå óäàëåíèÿ ëþáûõ k−1 âåðøèí èç ãðàôà G−W âñå âåðøèíû, íå âõîäÿùèå â R, ïîïàäóò â îäíó êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè. Áîëåå òîãî, êîëè÷åñòâî íå âîøåäøèõ â ýòó êîìïîíåíòó âåðøèí èç ìíîæåñòâà R íå ïðåâîñõîäèò k−1 2 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî Ri (ãäå i ∈ {1, . . . , n}), ïóñòü Part(Ri ) = {A1 , . . . , A` }. Ñóùåñòâóþò äâå âåðøèíû w1 , w2 ∈ W , ðàçäåëåííûå ìíîæåñòâîì Ri , ïóñòü w1 ∈ Int(A1 ) è w2 ∈ Int(A2 ). Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ A∗j = Aj \ W, G∗j = G(A∗j ), Uj = A∗j \ Ri , G∗ = G − W. Ïî óñëîâèþ, ãðàô G − (W \ {w1 }) ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì. Ïðè ýòîì èç ÷àñòåé A2 , . . . , A` ìû óäàëèëè âñå âõîäÿùèå â íèõ âåðøèíû ìíîæåñòâà W . äëÿ ëþáîé âåðøèíû x ∈ Uj â ãðàôå G∗j ñóùåñòâóåò k âåðøèííî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïóòåé îò x äî Òîãäà ïî òåîðåìå Ìåíãåðà äëÿ êàæäîãî j ∈ {2, . . . , `} è ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ÃÐÀÔÀ 147 ðàçëè÷íûõ âåðøèí ìíîæåñòâà Ri. Ðàññìîòðåâ ãðàô G − (W \ {w2}), ìû ïîéìåì, ÷òî àíàëîãè÷íîå ñâîéñòâî âåðíî è äëÿ j = 1. Ïóñòü T ⊂ V (G∗ ), |T | = k − 1. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ R∗ = Ri \ T, t0 = |T ∩ Ri |, tj = |T ∩ Uj |. Ìû õîòèì äîêàçàòü, ÷òî â ãðàôå G∗ − T âñå âåðøèíû íå èç R∗ ñâÿçàíû è ñðåäè íèõ åñòü âåðøèíà, ñâÿçàííàÿ áîëåå ÷åì ñ ïîëîâèíîé âåðøèí èç R∗ . Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ. 1. Õîòÿ áû äâà èç ìíîæåñòâ U1 \ T , . . . , U` \ T íåïóñòû. Ïóñòü x ∈ Up \T è y ∈ Uq \T , p 6= q . Ìû çíàåì, ÷òî â ãðàôå G∗ îò âåðøèíû x åñòü k íå èìåþùèõ îáùèõ âåðøèí ïóòåé äî âñåõ âåðøèí ìíîæåñòâà Ri . Çíà÷èò, â G∗ −T åñòü õîòÿ áû k −tp −t0 âåðøèííî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïóòåé îò x äî ðàçíûõ âåðøèí èç R∗ . Àíàëîãè÷íî, â ãðàôå G∗ − T åñòü k − tq − t0 âåðøèííî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïóòåé îò y äî ðàçíûõ âåðøèí èç R∗ . Òàê êàê tp + tq = |T ∩ Up | + |T ∩ Up | ≤ |T \ (T ∩ Ri )| = k − 1 − t0 < k − t0 = |R∗ |, â ãðàôå G∗ − T ñóùåñòâóþò ïóòè îò x è y äî îáùåé âåðøèíû èç R∗ . Òàêèì îáðàçîì, ëþáûå äâå íå ïðèíàäëåæàùèå Ri ∪ T âåðøèíû èç ðàçíûõ ÷àñòåé â ãðàôå G∗ −T ñâÿçàíû, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî âñå âåðøèíû íå èç Ri ñâÿçàíû â ãðàôå G∗ − T . Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ïîëîæèì tp ≤ tq . Òîãäà âåðøèíà x ñâÿçàíà â ãðàôå G∗ − T áîëåå ÷åì ñ ïîëîâèíîé âåðøèí èç R∗ . 2. Ðîâíî îäíî èç ìíîæåñòâ U1 \ T , . . . , U` \ T íåïóñòî. Ïóñòü U1 \ T 6= ∅. Ðàññìîòðèì äâå âåðøèíû x, y ∈ U1 \ T . Àíàëîãè÷íî ïóíêòó 1 ïîëó÷àåì, ÷òî â ãðàôå G∗ − T åñòü õîòÿ áû k − t1 − t0 âåðøèííî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïóòåé îò x äî ðàçíûõ âåðøèí èç R∗ è õîòÿ áû k − t1 − t0 âåðøèííî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïóòåé îò y äî ðàçíûõ âåðøèí èç R∗ . Åñëè 2(k − t1 − t0 ) > |R∗ | = k − t0 , (5.2) ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ÃÐÀÔÀ 148 òî ñóùåñòâóþò ïóòè îò x è y äî îáùåé âåðøèíû èç R∗ , òî åñòü, x è y ñâÿçàíû â ãðàôå G∗ − T . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåðàâåíñòâî (5.2) íå âûïîëíåíî. Òîãäà t1 ≥ k−t0 2 è t2 ≤ |T \ (T ∩ Ri )| − t1 ≤ k − 1 − t0 − k − t0 k − t0 ≤ − 1. 2 2 (5.3) Èç U2 \ T = ∅ ñëåäóåò, ÷òî T ⊃ A2 \ (Ri ∪ W ) = Int(A2 ) \ W. Ôðàãìåíò Int(A2 ) ñîäåðæèò õîòÿ áû îäèí ìèíèìàëüíûé ïî âêëþ÷åíèþ ôðàãìåíò H . Ïî ëåììå 5.6, òîãäà H = Int(B), ãäå B ∈ Part(Rk (G)). Ìíîæåñòâî W ñîäåðæèò íå áîëåå îäíîé âåðøèíû èç H , íî òîãäà T ñîäåðæèò âñå îñòàëüíûå âåðøèíû èç H . Cëåäîâàòåëüíî, t2 ≥ |H| − 1 ≥ k−1 , 2 ÷òî ïðîòèâîðå÷èò íåðàâåíñòâó (5.3). Ñëåäîâàòåëüíî, íåðàâåíñòâî (5.2) âûïîëíåíî, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ãðàôå G∗ − T âñå âåðøèíû íå èç Ri ñâÿçàíû è ñðåäè íèõ åñòü âåðøèíà x, ñâÿçàííàÿ áîëåå ÷åì ñ ïîëîâèíîé âåðøèí èç R∗ . Èòàê, â ëþáîì ñëó÷àå â ãðàôå G∗ − T âñå âåðøèíû íå èç ìíîæñòâà Ri ñâÿçàíû, ïóñòü îíè ïîïàëè â êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè Y . Èç âûïîëíåííîãî âûøå ðàçáîðà ñëó÷àåâ, êðîìå òîãî, ñëåäóåò, ÷òî âñåãäà ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ V (G∗ − T ) \ Ri , ñìåæíàÿ áîëåå ÷åì ñ ïîëîâèíîé âåðøèí ìíîæåñòâà R∗ = Ri \T . Çíà÷èò, â ãðàôå G∗ −T áîëåå ïîëîâèíû âåðøèí ìíîæåñòâà R∗ òàêæå ïîïàëè â êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè Y . Îáîçíà÷èì ÷åðåç P ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí ãðàôà G∗ − T , íå ïîïàâøèõ â êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè Y . Ìû äîêàçàëè, ÷òî P ⊂ Ri è |R∗ \ P | > Ïîýòîìó k − t0 k |P | ≤ |Ri | − |Ri ∩ T | − |R \ P | < k − t − ≤ . 2 2 ∗ Ñëåäîâàòåëüíî, |P | ≤ k−1 2 . 0 k−t0 2 . ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ÃÐÀÔÀ 149 Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî P ⊂ R, òàê êàê P ⊂ Ri äëÿ êàæäîãî i ∈ {1, . . . , `}. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 5.2. 1. Îïèøåì ïðîöåññ âûáîðà âåðøèíû â õîðîøåé ÷àñòè A ∈ Part(Rk (G)), ó êîòîðîé Bound2 (A) 6= ∅ (â ñëó÷àå, êîãäà Bound2 (A) = ∅, ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíóþ âíóòðåííþþ âåðøèíó ÷àñòè A). Ïóñòü Bound2 (A) = {d1 , . . . , dq }. Ðàññìîòðèì âåðøèíó d1 è îòìåòèì â Int(A) îäíó èç ñìåæíûõ ñ íåé âåðøèí (åñëè òàêèå åñòü). Ïîòîì ðàññìîòðèì âåðøèíó d2 , è îòìåòèì â Int(A) îäíó èç íåîòìå÷åííûõ âåðøèí, cìåæíûõ ñ d2 (åñëè òàêàÿ âåðøèíà åñòü). È òàê äàëåå, íà i øàãå ìû îòìåòèì â Int(A) îäíó èç åùå íå îòìå÷åííûõ âåðøèí, ñìåæíûõ ñ di (åñëè òàêèå âåðøèíû åñòü). Òàêèì îáðàçîì, îêàæóòñÿ îòìå÷åííûìè íå áîëåå, ÷åì |Bound2 (A)| âåðøèí èç Int(A), ñëåäîâàòåëüíî, îñòàíåòñÿ íåîòìå÷åííîé õîòÿ áû îäíà âåðøèíà. Ìû âûáåðåì ëþáóþ èç íåîòìå÷åííûõ âåðøèí â Int(A). âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà Bound2(A), íå èìåþùèå ñìåæíûõ âåðøèí â Int(A) ïîñëå óäàëåíèÿ èç Int(A) âûáðàííîé âåðøèíû, íå èìåëè ñìåæíûõ âåðøèí â Int(A) è äî óäàëåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, 2. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ïóñòü ïðè óäàëåíèè íåêîòîðîãî ìíîæå- ñòâà èç âûáðàííûõ âåðøèí k -ñâÿçíîñòü íàðóøèòñÿ. Ïóñòü ìèíèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâî èç âûáðàííûõ âåðøèí, ïðè óäàëåíèè êîòîðîãî òåðÿåòñÿ k -ñâÿçíîñòü ýòî W ∗ = {a1 , . . . , an }, ïðè÷åì ai ∈ Int(Ai ), Ai ∈ Part(Rk (G)). Òîãäà âåðøèíà ai íå âõîäèò â ìíîæåñòâà èç Rk (G), ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ k-ñâÿçíûì. Â ÷àñòíîñòè, n ≥ 2. ãðàô G − ai Ïóñòü S1 , S2 , . . . , Sm ∈ Rk (G) âñå ìíîæåñòâà, êîòîðûå ðàçäåëÿþò W ∗ . ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ÃÐÀÔÀ 150 Èç n ≥ 2 ñëåäóåò, ÷òî òàêèå ìíîæåñòâà åñòü. Ïóñòü ∗ ∗ G =G−W , S = {S1 , . . . Sm }, P = m \ Si . i=1 Ðàññìîòðèì ÷àñòü Ai , ãäå i ∈ {1, . . . , n}. Òàê êàê Int(Ai ) 6= ∅ è S ⊂ Rk (G), ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ÷àñòü Bi ∈ Part(S), òàêàÿ, ÷òî Ai ⊂ Bi . Îòìåòèì, ÷òî ïðè i 6= j ÷àñòè Bi è Bj ðàçëè÷íû: ìíîæåñòâî S ∈ Rk (G), îòäåëÿþùåå Ai îò Aj , îòäåëÿåò äðóã îò äðóãà âåðøèíû ai , aj ∈ W , à ïîòîìó S ∈ S. Ñëåäîâàòåëüíî, S îòäåëÿåò Bi îò Bj , òî åñòü, ýòè ÷àñòè ðàçëè÷íû. Äîêàæåì âñïîìîãàòåëüíîå óòâåðæäåíèå. Ëåììà 5.8. Ïóñòü P 0 ⊂ P , p = |P 0 | è Int(Ai ) ñîäåðæèò âåðøèíó, ñìåæ- íóþ ñ P 0 â ãðàôå G. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ïóñòü P 0 ⊂ Bound2 (Ai ), à ti êîëè÷åñòâî âåðøèí èç Int(Ai ) \ {ai }, ñìåæíûõ ñ P 0 â ãðàôå G∗ . Òîãäà ti ≥ 1, à âåðøèíà ai ñìåæíà â G íå áîëåå ÷åì ñ ti âåðøèíàìè ìíîæåñòâà P 0 . 2) Ïóñòü P 0 6⊂ Bound2 (Ai ). Òîãäà Int(Bi ) \ {ai } ñîäåðæèò õîòÿ áû p âåðøèí, ñìåæíûõ ñ P 0 â ãðàôå G∗ . Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Âñïîìíèì, êàê âûáèðàëàñü âåðøèíà ai â Int(Ai ) ïðè ïîñòðîåíèè ìíîæåñòâà W : òàê êàê â Int(Ai ) åñòü âåðøèíà, ñìåæíàÿ ñ P 0 â ãðàôå G, â Int(Ai ) \ {ai } = Int(Ai ) \ W òàêàÿ âåðøèíà òîæå åñòü. Ñëåäîâàòåëüíî, ti ≥ 1. Â ïðîöåññå âûáîðà âåðøèíû ai ìû â íåêîòîðîì ïîðÿäêå ðàññìîòðåëè âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà P 0 è íà êàæäîì èç ýòèõ øàãîâ ìû îòìå÷àëè îäíó èç åùå íå îòìå÷åííûõ ê ýòîìó ìîìåíòó âåðøèí, ñìåæíûõ ñ ðàññìàòðèâàåìîé âåðøèíîé èç P 0 (åñëè òàêàÿ âåðøèíà áûëà). Îòìå÷åííûå âåðøèíû ëåæàò â V (G∗ ) è ïîòîìó íå áîëåå ÷åì ti èç íèõ ñìåæíû ñ P 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ìû îòìå÷àëè âåðøèíû íå áîëåå ÷åì íà ti øàãàõ, ñäåëàííûõ ñ âåðøèíàìè èç P 0 . Åñëè â P 0 åñòü áîëåå ÷åì ti âåðøèí, ñìåæíûõ ñ ai , òî ïðè ðàññìîòðåíèè îäíîé èç ýòèõ âåðøèí ìû íå îòìåòèëè íè îäíîé âåðøèíû â Int(Ai ). Íî ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ÃÐÀÔÀ 151 ýòî íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó â ýòîò ìîìåíò â Int(Ai ) áûëà íåîòìå÷åííàÿ âåðøèíà, ñìåæíàÿ c ðàññìàòðèâàåìîé (âåðøèíà ai ). 2) Òàê êàê âñå ìíîæåñòâà íàáîðà S ñîäåðæàò P 0 è P 0 6⊂ Bound2 (Ai ), ðîâíî îäíî ìíîæåñòâî èç S ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì äëÿ ÷àñòè Ai îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç R. Ïóñòü Ai ⊂ H ∈ Part(R). Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî S ∈ S, S 6= R. Òàê êàê S íåñóùåñòâåííîå äëÿ ÷àñòè Ai , ïî ëåììå 5.3 åñòü ñóùåñòâåííîå ìíîæåñòâî R0 , îòäåëÿþùåå S îò Int(Ai ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî R0 6= R. Ïóñòü Ai ⊂ H 0 ∈ Part(R0 ). Òîãäà R0 íå ðàçäåëÿåò ìíîæåñòâî âåðøèí W è W ∩ Int(Ai ) 6= ∅, ñëåäîâàòåëüíî, H 0 ⊃ W . Íî S ∩ Int(H 0 ) = ∅ è ïî ëåììå 4.4 ìíîæåñòâî S íå ìîæåò ðàçäåëÿòü H 0 , à ñëåäîâàòåëüíî, è W . Ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, èìåííî ìíîæåñòâî R ∈ S îòäåëÿåò Int(Aj ) îò âñåõ îñòàëüíûõ ìíîæåñòâ èç S. Ñëåäîâàòåëüíî, H ∈ Part(S). Ïîñêîëüêó H ⊃ Int(Ai ) è Bi ⊃ Int(Ai ), òî Bi = H . Èòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî ÷àñòü Bi ïðàâèëüíàÿ. Çíà÷èò, Int(Bi ) ôðàãìåíò ãðàôà G, êîòîðûé äîëæåí ñîäåðæàòü õîòÿ áû k+1 2 âåðøèí ïî óñëîâèþ òåîðåìû. Ïóñòü F = Int(Bi ) \ {ai }, à Q ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí èç F , ñìåæíûõ ñ P 0 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî |Q| ≤ p − 1. Î÷åâèäíî, |F \ Q| ≥ k+1 − 1 − (p − 1) ≥ 1. 2 Ãðàô G − ai , êàê óæå ñêàçàíî âûøå, k -ñâÿçåí. Îäíàêî, ñîñòîÿùåå ìåíåå ÷åì èç k âåðøèí ìíîæåñòâî (R \ P 0 ) ∪ Q îòäåëÿåò íåïóñòîå ìíîæåñòâî F \ Q îò îñòàëüíûõ âåðøèí k -ñâÿçíîãî ãðàôà G − ai , ÷òî íåâîçìîæíî. Ñëåäîâàòåëüíî, |Q| ≥ p, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. 3. Âåðíåìñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 5.2. Ïóñòü â ãðàôå G∗ ñóùåñòâó- åò ñîñòîÿùåå íå áîëåå ÷åì èç k − 1 âåðøèí ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî T . Ïî ëåììå 5.7, â ãðàôå G∗ − T â îäíó êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè U ïîïàäóò âñå íåóäàëåííûå âåðøèíû, íå âõîäÿùèå â P , è áîëåå ïîëîâèíû íåóäàëåííûõ ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ÃÐÀÔÀ 152 âåðøèí ìíîæåñòâà P . Çíà÷èò, â G∗ −T åñòü êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè P 0 ⊂ P , ïðè÷åì |P 0 | ≤ k−1 2 . Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âíóòðåííîñòè ÷àñòåé A1 , . . . , A` ñîäåðæàò âåðøèíû, ñìåæíûå ñ P 0 â èñõîäíîì ãðàôå G, à âíóòðåííîñòè ÷àñòåé A`+1 , . . . , An íå ñîäåðæàò. Ïî ëåììå 5.8, âíóòðåííîñòü êàæäîé èç ÷àñòåé B1 , . . . , B` ∈ Part(S) ñîäåðæèò ïî âåðøèíå, ñìåæíîé ñ P 0 â ãðàôå G∗ . Âñå ýòè ` âåðøèí ðàçëè÷íû è äîëæíû ñîäåðæàòüñÿ â T . Èç |T | ≤ k − 1 ñëåäóåò, ÷òî ` ≤ k − 1. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî âêëþ÷åíèå P 0 ⊂ Bound2 (Ai ) âûïîëíÿåòñÿ â òî÷íîñòè äëÿ i ∈ {1, . . . , s}. Áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ èç ëåììû 5.8. Ïðè i ∈ {1, . . . , s} â Int(Ai ) \ {ai } åñòü ðîâíî ti âåðøèí, ñìåæíûõ ñ P 0 â ãðàôå G∗ , è âñå ýòè âåðøèíû âõîäÿò â T . Ïî ïóíêòó 2 ëåììû 5.8, ïðè i ∈ {s + 1, . . . , `} â Int(Bi ) \ {ai } åñòü õîòÿ áû p âåðøèí, ñìåæíûõ ñ P 0 â ãðàôå G∗ , è âñå ýòè âåðøèíû âõîäÿò â T . Òàêèì îáðàçîì, ìû èìååì íåðàâåíñòâî s X ti + p(` − s) ≤ k − 1. (5.4) k=1 Ïî ïóíêòó 1 ëåììû 5.8, äëÿ i ∈ {1, . . . , s} âåðøèíà ai ñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ ti âåðøèíàìè èç P 0 . Äëÿ i ∈ {s + 1, . . . , `} âåðøèíà ai ñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ |P 0 | = p âåðøèíàìè èç P 0 . Ïóñòü W 0 = {a1 , . . . , a` }. Ó÷èòûâàÿ íåðàâåíñòâî (5.4), ïîëó÷àåì 0 0 eG (P , W ) ≤ s X ti + p(` − s) ≤ k − 1. (5.5) k=1 Òåïåðü îöåíèì ñóììó ñòåïåíåé âåðøèí ìíîæåñòâà P 0 . Íàïîìíèì, ÷òî êàæäàÿ èç íèõ íå ìåíåå 2k−1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âåðøèíà ìíîæåñòâà P 0 ìîæåò áûòü ñìåæíà â ãðàôå G òîëüêî ñ âåðøèíàìè ìíîæåñòâ T , W 0 è äðóãèìè âåðøèíàìè èç P 0 . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî |P 0 | = p è |T | ≤ k − 1, ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà (5.5) ïîëó÷àåì p(2k − 1) ≤ p(p − 1) + p(k − 1) + eG (P 0 , W 0 ) ≤ p(p − 1) + (p + 1)(k − 1). ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ 153 ÃÐÀÔÀ Ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ ïîëó÷àåì êâàäðàòíîå íåðàâåíñòâî (5.6) p2 − (k + 1)p + k − 1 ≥ 0. Ìåíüøèé êîðåíü ñîîòâåòñòâóþùåãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ìåíüøå 1, à áîëüøèé êîðåíü áîëüøå k . Ïîñêîëüêó â íàøåì ñëó÷àå 1 ≤ p ≤ k−1 2 , íåðà- âåíñòâî (5.6) íå âûïîëíåíî. Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàô G∗ ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì. Ýòî ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Ãëàâà 6 Îñòîâíûå äåðåâüÿ ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì ëèñòüåâ Ãëàâà ïîñâÿùåíà äîêàçàòåëüñòâó íèæíèõ îöåíîê íà u(G) (òî åñòü, ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå êîëè÷åñòâî ëèñòüåâ â îñòîâíîì äåðåâå ñâÿçíîãî ãðàôà G). Äîêàçàòåëüñòâî êàæäîé îöåíêè áóäåò ñîïðîâîæäåíî àëãîðèòìîì ïîñòðîåíèÿ îñòîâíîãî äåðåâà ñ ñîîòâåòñòâóþùèì êîëè÷åñòâîì ëèñòüåâ. Äëÿ êàæäîé îöåíêè áóäåò ïîñòðîåíà áåñêîíå÷íàÿ ñåðèÿ ãðàôîâ ýêñòðåìàëüíûõ ïðèìåðîâ (ó êîòîðûõ ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ëèñòüåâ â îñòîâíîì äåðåâå ðàâíÿåòñÿ âåëè÷èíå èç íèæíåé îöåíêè). 6.1 Íèæíÿÿ îöåíêà íà u(G) ÷åðåç êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíåé 3 è íå ìåíåå 4 Òåîðåìà 6.1. Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô ñ áîëåå, ÷åì îäíîé âåðøèíîé, s êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí ñòåïåíè 3, à t êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí ñòåïåíè íå ìåíåå 4. Òîãäà 2 1 8 u(G) = t + s + α, ãäå α ≥ . 5 5 5 Áîëåå òîãî, α ≥ 2, êðîìå òð¼õ ãðàôîâ-èñêëþ÷åíèé: C62 , C82 (êâàäðàòû öèêëîâ íà 6 è 8 âåðøèíàõ) è ðåãóëÿðíîãî ãðàôà G8 ñòåïåíè 4 íà 8 âåð154 155 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß øèíàõ, èçîáðàæåííîãî íà ðèñóíêå 6.1. b b b b b b b b b b b b b r b b b C 62 b 2 C8 b b b b b G8 Ðèñ. 6.1: Ãðàôû-èñêëþ÷åíèÿ. Ýòîò ðàçäåë ïîñâÿùåí äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 6.1. Ââåäåì íåîáõîäèìûå îáîçíà÷åíèÿ. Îïðåäåëåíèå 6.1. Ïóñòü H ïðîèçâîëüíûé ãðàô. ×åðåç S(H) îáîçíà- ÷èì ìíîæåñòâî âåðøèí ñòåïåíè 3 â ãðàôå H , à ÷åðåç T (H) ìíîæåñòâî âåðøèí ñòåïåíè íå ìåíåå 4 â ãðàôå H . Ïóñòü x ∈ V (H). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî öåíà cH (x) âåðøèíû x â ãðàôå H ýòî cH (x) =     2 5 ïðè x ∈ T (H), ïðè x ∈ S(H),    1 5 0 ïðè x ∈ / T (H) ∪ S(H). Ñòîèìîñòüþ ãðàôà H íàçîâ¼ì âåëè÷èíó X 1 2 c(H) = cH (x) = |T (H)| + |S(H)|. 5 5 x∈V (H) Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà âåðøèí U ⊂ V (H) ìû îïðåäåëèì ñòîèìîñòü ýòîãî ìíîæåñòâà â ãðàôå H êàê cH (U ) = X cH (x). x∈U Äëÿ ëþáîãî äåðåâà F ïîäãðàôà ãðàôà H ìû îïðåäåëèì åãî ñòîè- ìîñòü â ãðàôå H êàê cH (F ) = cH (V (F )). 156 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Äëÿ ëþáîãî îñòîâíîãî äåðåâà F ãðàôà H ââåäåì îáîçíà÷åíèå α(F ) = u(F ) − c(H). Ïóñòü α(H) ýòî ìàêñèìóì α(F ) ïî âñåì îñòîâíûì äåðåâüÿì F ãðàôà H . Çàìå÷àíèå 6.1. Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî u(G) = c(G) + α(G). Òàêèì îáðàçîì, ìû õîòèì äîêàçàòü, ÷òî α(G) ≥ 2 äëÿ âñåõ ñâÿçíûõ ãðàôîâ G, êðîìå òð¼õ èñêëþ÷åíèé. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû äëÿ ãðàôà G ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ âñåõ ìåíüøèõ ãðàôîâ òåîðåìà óæå äîêàçàíà. 6.1.1 Ðåäóêöèîííûå ïðàâèëà Ñíà÷àëà ìû èçìåíèì ãðàô òàê, ÷òîáû ñ íèì áûëî óäîáíåå ðàáîòàòü. Îïèøåì äâà ðåäóêöèîííûõ ïðàâèëà. Ïóñòü x ∈ V (G), dG (x) = 2, NG (x) = {a, b}, ïðè÷¼ì a è b íåñìåæ- R1. íû. Ìû çàìåíèì ãðàô G íà ãðàô G0 = G − x + ab. Î÷åâèäíî, c(G0 ) = c(G). x R1 b a b b b b b b a b b b b a1 b b R2 b b a2 b b a b Ðèñ. 6.2: Ðåäóêöèîííûå ïðàâèëà. R2. Ïóñòü a1 , a2 ∈ S ñìåæíûå âåðøèíû, NG (a1 ) ∩ NG (a2 ) = ∅. Ìû çàìåíèì ãðàô G íà G0 = G · a1 a2 . Ïóñòü a = a1 · a2 . Ïîíÿòíî, ÷òî dG0 (a) = 4, à òîãäà c(G0 ) = c(G). Â îáîèõ ñëó÷àÿõ îñòîâíîå äåðåâî F 0 ãðàôà G0 ìû áåç òðóäà ñìîæåì ïðåîáðàçîâàòü â îñòîâíîå äåðåâî F ãðàôà G c íåìåíüøèì ÷èñëîì âèñÿ÷èõ âåðøèí è, ñëåäîâàòåëüíî, ñ α(F ) ≥ α(F 0 ). Òàêèì îáðàçîì, α(G) ≥ α(G0 ). ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Çàìå÷àíèå 6.2. 157 Äàëåå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ãðàô óäîâëåòâîðÿåò ñëåäó- þùèì óñëîâèÿì: ëþáàÿ âåðøèíà ñòåïåíè 2 âõîäèò â òðåóãîëüíèê ñ äâóìÿ âåðøèíàìè ñâîåé îêðåñòíîñòè; 2◦ íåò äâóõ ñìåæíûõ âåðøèí ñòåïåíè 3, îêðåñòíîñòè êîòîðûõ íå ïåðåñåêàþòñÿ. 1◦ 6.1.2 Îáùåå îïèñàíèå ìåòîäà ì¼ðòâûõ âåðøèí Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ìû ïîñòðîèì èñêîìîå îñòîâíîå äåðåâî, èñïîëüçóÿ ìåòîä ì¼ðòâûõ âåðøèí, êàê è â ðàáîòàõ [19, 9]. Îïðåäåëåíèå 6.2. Ïóñòü äåðåâî F ïîäãðàô ñâÿçíîãî ãðàôà G. Âèñÿ÷óþ âåðøèíó x äåðåâà F íàçîâåì ìåðòâîé, åñëè NG (x) ⊂ V (F ) è æèâîé â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Êîëè÷åñòâî ì¼ðòâûõ âåðøèí äåðåâà F ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç b(F ). Ââåäåì îáîçíà÷åíèå α0 (F ) = 2 13 u(F ) + b(F ) − cG (F ). 15 15 Ìû áóäåì ñòðîèòü â ãðàôå G îñòîâíîå äåðåâî ïîñëåäîâàòåëüíî, ïî øàãàì äîáàâëÿÿ ê íåìó âåðøèíû. Ïóñòü S = S(G), à T = T (G). Ïîäðîáíåå îñòàíîâèìñÿ íà øàãå àëãîðèòìà (íàçîâ¼ì ýòîò øàã A). Ïóñòü ïåðåä øàãîì A ìû èìååì äåðåâî F (åñòåñòâåííî, F ïîäãðàô ãðàôà G). ×åðåç ∆u è ∆b ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ïðèðîñò êîëè÷åñòâà âèñÿ÷èõ âåðøèí è êîëè÷åñòâà ìåðòâûõ âèñÿ÷èõ âåðøèí â äåðåâå F íà øàãe A, ÷åðåç ∆t è ∆s êîëè÷åñòâî äîáàâëåííûõ íà ýòîì øàãå â äåðåâî F âåðøèí èç T è èç S ñîîòâåòñòâåííî. Íàçîâ¼ì äîõîäîì øàãà A âåëè÷èíó p(A) = 2 2 1 13 ∆u + ∆b − ∆t − ∆s. 15 15 5 5 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 158 Åñëè F1 äåðåâî, ïîëó÷åííîå ïîñëå øàãà A, òî íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî α0 (F1 ) = α0 (F ) + p(A). Ìû áóäåì âûïîëíÿòü òîëüêî øàãè, äëÿ êîòîðûõ äîõîä íåîòðèöàòåëåí. Çàìå÷àíèå 6.3. 1) Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ìåðòâûå âåðøèíû îñòàíóòñÿ ìåðòâûìè âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè íà âñåõ ïîñëåäóþùèõ ýòàïàõ ïîñòðîåíèÿ. Ïî îêîí÷àíèè ïîñòðîåíèÿ, êîãäà áóäåò ïîñòðîåíî îñòîâíîå äåðåâî, âñå åãî âèñÿ÷èå âåðøèíû áóäóò ì¼ðòâûìè. 2) Òàê êàê ó îñòîâíîãî äåðåâà F ãðàôà G âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû ì¼ðòâûå, â ýòîì ñëó÷àå α0 (F ) = α(F ). Ñíà÷àëà ìû îïèøåì âñå âîçìîæíûå øàãè, à ïîòîì ðàñcìîòðèì íà÷àëî ïîñòðîåíèÿ è îöåíèì α(T ) äëÿ ïîñòðîåííîãî îñòîâíîãî äåðåâà T . Äëÿ óäîáñòâà ìû â îïèñàíèè øàãà áóäåì îáîçíà÷àòü ìíîæåñòâî âåðøèí, íå âîøåäøèõ â äåðåâî F , ÷åðåç W . Âåðøèíû ìíîæåñòâà W , ñìåæíûå õîòÿ áû ñ îäíîé èç âåðøèí V (F ), íàçîâåì âåðøèíàìè óðîâíÿ 1. Íå âîøåäøèå â óðîâåíü 1 âåðøèíû èç W , ñìåæíûå õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé óðîâíÿ 1, íàçîâåì âåðøèíàìè óðîâíÿ 2. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû x èç W ÷åðåç P (x) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí èç V (F ), ñìåæíûõ ñ x. 6.1.3 Øàã àëãîðèòìà Ìû áóäåì ïûòàòüñÿ âûïîëíèòü î÷åðåäíîé øàã àëãîðèòìà, ïåðåõîäÿ ê ñëåäóþùåìó âàðèàíòó, òîëüêî êîãäà íåâîçìîæíî âûïîëíèòü íè îäèí èç ïðåäûäóùèõ. Äîïîëíèòåëüíî îá ýòîì óïîìèíàòü â îïèñàíèè øàãîâ ìû íå áóäåì. çàêîí÷åííîãî øàãà (òî åñòü øàãà, èìåþùåãî íåîòðèöàòåëüíûé äîõîä) ìû áóäåì ïîäñ÷èòûâàòü ïàðàìåòðû ýòîãî øàãà: ∆u, ∆b è äîõîä ñäåëàííîãî øàãà. Âñå ýòè ïàðàìåòðû ïîíàäîáÿòñÿ íàì â ïîñëåäíåì ðàçäåëå ðàáîòû. Êîëè÷åñòâî âåðøèí, äîáàâëåííûõ â äåðåâî íà øàãå, íå ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì ýòîãî øàãà! Ïîñëå êàæäîãî 159 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Íà÷íåì ñ øàãà, êîòîðûé òàêîâûì ôàêòè÷åñêè íå ÿâëÿåòñÿ, íî ïîìîæåò íàì â îïèñàíèè äðóãèõ øàãîâ. Z0. Âèñÿ÷àÿ âåðøèíà v äåðåâà F , ïîñ÷èòàííàÿ ðàíåå êàê æèâàÿ, îêà- çàëàñü ì¼ðòâîé. Â ýòîì ñëó÷àå ìû íå áóäåì ìåíÿòü äåðåâî. Ó÷èòûâàÿ èíôîðìàöèþ î âåðøèíå v ìû ïîëó÷àåì ∆u = 0, ∆b = 1, p(Z0) = 2 . 15 Ïðè îïèñàíèè øàãîâ ìû áóäåì ñ÷èòàòü æèâûìè âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû, ïðî êîòîðûå íå ñêàçàíî, ÷òî îíè ì¼ðòâûå. Äîáàâëåíèå ëèøíåé ì¼ðòâîé âåðøèíû áóäåò îôîðìëåíî, êàê øàã Z0. Çàìå÷àíèå 6.4. Øàãè òèïà A Îïðåäåëåíèå 6.3. Ïóñòü x ∈ V (G), W ⊂ V (G). ×åðåç dG,W (x) îáîçíà÷èì êîëè÷åñòâî âåðøèí èç ìíîæåñòâà W , ñìåæíûõ ñ x. Â ïåðâûõ ÷åòûð¼õ âàðèàíòàõ â äåðåâî äîáàâëÿþòñÿ íîâûå âèñÿ÷èå âåðøèíû. A1. Â äåðåâå F åñòü íåâèñÿ÷àÿ âåðøèíà x, ñìåæíàÿ ñ âåðøèíîé y ∈ W . Òîãäà ïðèñîåäèíèì y ê x. Òàê êàê cG (x) ≤ 52 , ìû ïîëó÷àåì ∆u = 1, A2. ∆b = 0, p(A1) ≥ 13 2 7 − = . 15 5 15 Â äåðåâå F åñòü òàêàÿ âåðøèíà x, ÷òî dG,W (x) ≥ 2. Òîãäà ïðèñîåäèíèì ê x äâå ñìåæíûå ñ íåé âåðøèíû èç W . Òàê êàê ñòîèìîñòü äâóõ äîáàâëåííûõ âåðøèí íå áîëåå 2 · 52 , ìû ïîëó÷àåì ∆u = 1, ∆b = 0, p(A2) ≥ 13 2 1 −2· = . 15 5 15 160 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß A3. Ñóùåñòâóåò òàêàÿ âåðøèíà x óðîâíÿ 1, ÷òî dG,W (x) ≥ 3. Òîãäà ïðèñîåäèíèì ê äåðåâó F âåðøèíó x è çàòåì òðè ñìåæíûõ ñ x âåðøèíû ìíîæåñòâà W . Ñòîèìîñòü ÷åòûðåõ äîáàâëåííûõ âåðøèí íå áîëåå 4 · 2 5 è ìû èìååì ∆u = 2, x p(A3) ≥ 2 · ∆b = 0, b F b F b b b x b b 13 2 2 −4· = . 15 5 15 b b A2 b x y b b A4 A3 b b b Ðèñ. 6.3: Øàãè òèïà A. íåâèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâà F íå ñìåæíû ñ âåðøèíàìè èç W , êàæäàÿ âèñÿ÷àÿ âåðøèíà ñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ îäíîé âåðøèíîé èç W è, íàêîíåö, êàæäàÿ âåðøèíà óðîâíÿ 1 ñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç W . Â ÷àñòíîñòè, åñëè x ∈ T âåðøèíà óðîâíÿ 1, òî |P (x)| ≥ 2 è ïðè ïðèñîåäèíåíèè âåðøèíû x ê äåðåâó õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí ìíîæåñòâà P (x) ñòàíåò ì¼ðòâîé. Çàìå÷àíèå 6.5. A4. Äàëåå ìû ñ÷èòàåì, ÷òî Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ S óðîâíÿ 1, ñìåæíàÿ ðîâíî ñ îäíîé âåðøèíîé èç W , ïðè÷¼ì ýòà âåðøèíà y ∈ T óðîâíÿ 2. Ïðèñîåäèíèì ê äåðåâó F âåðøèíû x, y è òðè îòëè÷íûå îò x âåðøèíû èç W , ñìåæíûe ñ y (âåðøèíà y íå ñìåæíà ñ äåðåâîì F ). Ñòîèìîñòü ïÿòè äîáàâëåííûõ âåðøèí íå áîëåå ∆u = 2, ∆b = 1, 1 5 +4· 2 5 = 9 5 p(A4) ≥ 2 · è ìû èìååì 13 2 9 1 + − = . 15 15 5 15 161 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Øàãè òèïîâ M è N Äàëåå ìû ðàññìîòðèì ãîðàçäî áîëåå ñëîæíûé ñëó÷àé. M. Ñóùåñòâóåò òàêàÿ âåðøèíà x ∈ T óðîâíÿ 1, ÷òî dG,W (x) = 2. Ìû ïðèñîåäèíèì ê äåðåâó âåðøèíó x. Öåíà ýòîé âåðøèíû ñîñòàâëÿåò 52 . Âåðøèíà x ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè äåðåâà F (ñì. ðèñ. 6.4), îäíà èç íèõ òî÷íî ñòàíåò ìåðòâîé. Ïðèñîåäèíèì äâå ñìåæíûå ñ x âåðøèíû y1 , y2 ∈ W , ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ øàã A2. Ó÷èòûâàÿ ñêàçàííîå âûøå, ìû ïîëó÷èì ∆u = 1, N. ∆b = 1, p(M ) ≥ 2 3 2 − + p(A2) ≥ − . 15 5 15 Ñóùåñòâóåò òàêàÿ âåðøèíà x ∈ S óðîâíÿ 1, ÷òî dG,W (x) = 2. Ìû ïðèñîåäèíèì ê äåðåâó âåðøèíó x è äâå ñìåæíûå ñ x âåðøèíû y1 , y2 ∈ W è ïîëó÷èì àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ñëó÷àþ ∆u = 1, ∆b = 0, 2 1 p(N ) = − + p(A2) ≥ − . 5 15 Øàãè M è N ìû íå ñ÷èòàåì çàêîí÷åííûìè. Ìû äîáàâèëè â äåðåâî âåðøèíû x, y1 , y2 , îäíàêî, ïóñòü F ïîêà ÷òî îáîçíà÷àåò äåðåâî, ïîñòðîåííîå ïîñëå ïðåäûäóùåãî çàêîí÷åííîãî øàãà. Ïîñëå âûïîëíåíèÿ øàãîâ M è N ìû ïîñòàâèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó: êàæäàÿ âèñÿ÷àÿ âåðøèíà èç V (F ) ñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ îäíîé âåðøèíîé èç W ; êàæäàÿ âåðøèíà ïåðâîãî óðîâíÿ ñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç W . Òðåáóåòñÿ âûïîëíèòü øàã ñ äîõîäîì íå ìåíåå 3 15 . íå âêëþ÷àþò â ñåáÿ âûïîëíåííûå ðàíåå øàãè M èëè N . Ïðè ïîäñ÷åòå ïàðàìåòðîâ øàãîâ âåðøèíû, äîáàâëåííûå íà ïðåäøåñòâóþùåì øàãå M èëè N , íå ó÷èòûâàþòñÿ. Øàãè, êîòîðûå ìû ðàññìàòðèâàåì äàëåå â ýòîì ðàçäåëå, Ïðèñòóïèì ê ðàçáîðó ñëó÷àåâ. 162 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß y1 , y2 6∈ T . 1. Ýòè âåðøèíû ñòîÿò äåøåâëå, ÷åì áûëî ïîñ÷èòàíî, ÷òî äîáàâëÿåò äîõîä õîòÿ áû 25 . Ïîëó÷àåì 6 . 15 p(1) ≥ ∆u = ∆b = 0, Ïóñòü W1 = W \ {x, y1, y2}. Åñëè ðîâíî îäíà èç âåðøèí y1 è y2 ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó T , òî ìû äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî y1 ∈ T . Åñëè æå y1, y2 ∈ T , òî ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî dG,W (y1) ≥ dG,W (y2). 1 b x b y 1 F b b M b b b y 2 y 1 F 1 x y b b N b y b 2 x b b b y y 1 b b 2 y b 3.1 b b x b F b b b b 2 b F b 1 2 y 1 b b x 3.2 y b 2 Ðèñ. 6.4: Øàãè M , N , 2, 3.1 è 3.2. 2. dG,W1 (y1 ) ≥ 3. Ïðèñîåäèíèì ê äåðåâó òðè ñìåæíûå ñ y1 âåðøèíû ìíîæåñòâà W1 , ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ øàãè A2 è A1. Ïîëó÷àåì ∆u = 2, 3. ∆b = 0, p(2) = p(A1) + p(A2) ≥ 8 . 15 dG,W1 (y1 ) ≤ 1. Âåðøèíà y1 ñìåæíà íå áîëåå, ÷åì ñ òðåìÿ íå âõîäÿùèìè â äåðåâî F âåðøèíàìè: ýòî x è, âîçìîæíî, y2 è îäíà âåðøèíà èç W1 . Òàê êàê dG (y1 ) ≥ 4, òî y1 âåðøèíà óðîâíÿ 1. Ïî çàìå÷àíèþ 6.5 ìû èìååì |P (y1 )| ≥ 2, ÷òî äîáàâèò íàì õîòÿ áû äâå ì¼ðòâûõ âåðøèíû. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ. 3.1. Åñëè y2 ∈ T , òî ïî âûáîðó âåðøèíû y1 ìû èìååì dG,W1 (y2 ) ≤ 1. Àíàëîãè÷íî ñêàçàííîìó âûøå äëÿ âåðøèíû y1 , ìû ïîëó÷àåì åùå äâå ì¼ðòâûå âåðøèíû. Â ýòîì ñëó÷àå ∆u = 0, ∆b = 4, p(3.1) = 4 · 2 8 = . 15 15 163 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 3.2. Åñëè y2 6∈ T , òî ýòî äîáàâèò íàì õîòÿ áû (âåðøèía y2 ñòîèò 1 5 äåøåâëå, ÷åì ïîñ÷èòàíî ðàíåå). Â ýòîì ñëó÷àå ∆u = 0, 2 7 1 +2· = . 5 15 15 p(3.2) ≥ ∆b = 2, dG,W1 (y1 ) = 2. 4. Ïóñòü z1 è z2 äâå ñìåæíûå ñ y1 âåðøèíû èç ìíîæåñòâà W1 . Ïðèñîåäèíèì ê äåðåâó âåðøèíû z1 è z2 (÷åðåç y1 ), âûïîëíèâ øàã A2 è ïîëó÷èì p(4) = p(A2) ≥ 1 . 15 Ïîñêîëüêó ýòîãî íåäîñòàòî÷íî, ïðîäîëæèì ðàçáèðàòü ñëó÷àè. b x y 1 z1 b b y b b b b F b x b 1 z2 z1 4 F y y 2 b b b b b 4.1.1 z2 b b 1 z1 y y y 2 b x b b 2 b z1 z2 b 4.1.2 1 x b b b 4.3 y b 2 z2 Ðèñ. 6.5: Øàãè 4, 4.1.1, 4.1.2 è 4.3. 4.1. Ñðåäè âåðøèí y2 , z1 , z2 åñòü âåðøèíà, ñìåæíàÿ ñ äåðåâîì F . Ïóñòü, íàïðèìåð, âåðøèíà z1 ñìåæíà ñ äåðåâîì F , òî åñòü, âõîäèò â óðîâåíü 1. Äëÿ îñòàëüíûõ âåðøèí ðàññóæäåíèÿ àíàëîãè÷íû. 4.1.1. Åñëè z1 ∈ T , òî ïî çàìå÷àíèþ 6.5, âåðøèíà z1 äîëæíà áûòü ñìåæ- íà õîòÿ áû ñ äâóìÿ âåðøèíàìè äåðåâà F , ÷òî äîáàâèò íàì äâå ì¼ðòâûå âåðøèíû è îáåñïå÷èò ∆u = 1, 4.1.2. ∆b = 2, p(4.1.1) ≥ p(4) + 2 · 5 2 ≥ . 15 15 Åñëè z1 6∈ T , òî âåðøèíà z1 ñòîèò äåøåâëå ìèíèìóì íà 15 , íî äîáàâëÿåò ëèøü îäíó ì¼ðòâóþ âåðøèíó. Ïîýòîìó ∆u = 1, ∆b = 1, p(4.1.2) ≥ p(4) + 1 2 6 + ≥ . 5 15 15 164 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Ñðåäè âåðøèí y2 , z1 , z2 åñòü âåðøèíà íå èç ìíîæåñòâà T . 4.2. Ýòî óâåëè÷èò äîõîä õîòÿ áû íà 15 , â ðåçóëüòàòå ∆u = 1, p(4.2) ≥ p(4) + ∆b = 0, 4 1 ≥ . 5 15 NG (y2 ) = {x, y1 , z1 , z2 }. 4.3. Òîãäà âåðøèíà y2 îêàçûâàåòñÿ ì¼ðòâîé, â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ ∆u = 1, p(4.3) ≥ p(4) + ∆b = 1, 2 3 = . 15 15 Â îñòàâøèõñÿ äî êîíöà ðàçáîðà øàãîâ M è N ñëó÷àÿõ âåðøèíû y1, y2, z1, z2 ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó T è íå ñìåæíû ñ äåðåâîì F . Êàæäàÿ èç âåðøèí y1, y2 ñìåæíà ðîâíî ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç W1, à çíà÷èò, âåðøèíû y1 è y2 ñìåæíû, dG(y1) = dG(y2) = 4. Âåðøèíà y2 íå ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé èç âåðøèí z1, z2. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïîëîæèì, ÷òî y2 íå ñìåæíà ñ z1. Òîãäà z1 ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç W2 = W \ {x, y1, y2, z1, z2}. Çàìå÷àíèå 6.6. Èòàê, ïîäâåä¼ì èòîãè. dG,W2 (z1 ) ≥ 3. 4.4. Äîáàâèì òðè ñìåæíûå ñ z1 âåðøèíû ìíîæåñòâà W2 â äåðåâî, ñäåëàâ øàã A2 è øàã A1. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ∆u = 3, b x y 1 b z1 b b 4.4 b y b b b b p(4.4) ≥ p(4) + p(A2) + p(A1) ≥ ∆b = 0, x y 2 1 z1 z2 p 1 b b b b b b p b b y F b b Ðèñ. 6.6: Øàãè 4.4, 4.5, 4.5.1. y 1 z2 4.5 x y 2 2 9 . 15 b p 1 b b z1 b b b 4.5.1 p 2 z2 2 165 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 4.5. dG,W2 (z1 ) = 2. Îáîçíà÷èì äâå ñìåæíûå ñ z1 âåðøèíû èç W2 ÷åðåç p1 è p2 è äîáàâèì â äåðåâî (ñì. ðèñóíîê 6.6), ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ åùå îäèí øàã A2. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì p(4.5) ≥ p(4) + p(A2) ≥ 2 . 15 Ýòîãî íå õâàòàåò, ïðîäîëæèì ðàçáîð ñëó÷àåâ. 4.5.1. Ñðåäè âåðøèí p1 , p2 åñòü âåðøèíà, ïðèíàäëåæàùàÿ ìíîæå- ñòâó T è ñìåæíàÿ ñ äåðåâîì F . Ïóñòü ýòî âåðøèíà p1 . Ïî çàìå÷àíèþ 6.5 îíà ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ âåðøèíàìè äåðåâà F , ÷òî äîáàâèò íàì äâå ì¼ðòâûå âåðøèíû è îáåñïå÷èò ∆u = 2, Çàìå÷àíèå 6.7. âîì F . 4.5.2. ∆b = 2, p(4.5.1) ≥ p(4.5) + 2 · 6 2 ≥ . 15 15 Äàëåå âñå âåðøèíû y1, y2, z1, z2, p1, p2 íå ñìåæíû ñ äåðå- Ñðåäè âåðøèí p1 , p2 åñòü âåðøèíà íå èç ìíîæåñòâà T . Ýòî óâåëè÷èò äîõîä íà 15 , ïîëó÷èòñÿ ∆u = 2, 4.5.3. ∆b = 0, p(4.5.2) ≥ p(4.5) + 3 5 ≥ . 15 15 Ñðåäè âåðøèí y2 , z2 , p1 , p2 åñòü âåðøèíà, íå ñìåæíàÿ ñ âåðøè- íàìè èç W3 = W \ {x, y1 , y2 , z1 , z2 , p1 , p2 }. Òîãäà â ïîñòðîåííîì äåðåâå ýòà âåðøèíà ì¼ðòâàÿ, ÷òî óâåëè÷èâàåò äîõîä îò øàãà íà 2 15 . Ïîýòîìó ∆u = 2, ∆b = 1, p(4.5.3) ≥ p(4.5) + 2 4 ≥ . 15 15 Òàêèì îáðàçîì, âñå âåðøèíû y1, y2, z1, z2, p1, p2 ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó T è íå ñìåæíû ñ äåðåâîì F . Êàæäàÿ èç âåðøèí y2, z2, p1, p2 ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç W3. Çàìå÷àíèå 6.8. 166 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 4.5.4. dG,W3 (p1 ) ≥ 2 èëè dG,W3 (p2 ) ≥ 2. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî dG,W3 (p1 ) ≥ 2. Äîáàâèì äâå ñìåæíûå c p1 âåðøèíû q1 , q2 ∈ W3 â äåðåâî, âûïîëíèâ øàã A2. Ïîëó÷èòñÿ ∆u = 3, 4.5.5. 3 1 ≥ . 15 15 p(4.5.4) ≥ p(4.5) + ∆b = 0, dG,W3 (p1 ) = dG,W3 (p2 ) = 1. Òîãäà âåðøèíà p1 ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ èç âåðøèí p2 , y2 , z2 , à âåðøèíà p2 ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ èç âåðøèí p1 , y2 , z2 . Íàïîìíèì, ÷òî ïî çàìå÷àíèþ 6.6 âåðøèíû y1 è y2 cìåæíû è dG (y1 ) = dG (y2 ) = 4. Ïîñêîëüêó y2 ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç W3 , òî y2 íå ìîæåò áûòü ñìåæíà è ñ p1 , è ñ p2 . Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïîëîæèì, ÷òî y2 íå ñìåæíà ñ p1 . Òîãäà dG (p1 ) = 4, âåðøèíà p1 ñìåæíà ñ p2 è z2 (ñì. ðèñ. 6.7a). Çàìåòèì, ÷òî âåðøèíà z2 íå ìîæåò áûòü ñìåæíà ñ p2 . (Èíà÷å z2 áûëà áû ñìåæíà ñ òðåìÿ âåðøèíàìè èç W \{x, y1 , y2 , z1 , z2 }: ýòî p1 , p2 è âåðøèíà èç W3 . Òîãäà ìîæíî áûëî áû âûïîëíèòü øàã, àíàëîãè÷íûé øàãó 4.4, äîáàâèâ ýòè òðè âåðøèíû ê z2 .) Çíà÷èò, âåðøèíà p2 ñìåæíà ñ y2 è dG (p2 ) = 4 (ñì. ðèñ. 6.7b). Êðîìå òîãî, y2 ñìåæíà ðîâíî ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç W1 = W \{x, y1 , y2 } ïî çàìå÷àíèþ 6.6. Òàê êàê y2 ñìåæíà ñ p2 è âåðøèíîé èç W3 , îíà íå ñìåæíà íè ñ z1 , íè ñ z2 . Òîãäà z1 ñìåæíà ñ z2 è dG (z1 ) = dG (z2 ) = 4 (ñì. ðèñ. 6.7c). b x y 1 z1 b y b b b 2 1 b z2 p 1 b b a x y p 2 z1 b y b y 2 b b 1 b z2 p b 1 b b x p 2 z1 y b b b 1 2 b z2 p b 1 b x b y p 2 z1 c y b b b 2 1 b z2 p 1 b b b x b y r d p 2 z1 y b b b 2 b z2 p b b 1 b r p 2 e Ðèñ. 6.7: Øàã 4.5.5. Îáîçíà÷èì ÷åðåç r åäèíñòâåííóþ ñìåæíóþ ñ y2 âåðøèíó èç ìíîæåñòâà W3 . Ìîæíî ïðîâåñòè àíàëîãè÷íûå ñäåëàííûì âûøå äëÿ y1 ðàññóæ- 167 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß äåíèÿ øàãà 4 äëÿ âåðøèíû y2 . Îêàæåòñÿ, ÷òî ñìåæíûå ñ y2 âåðøèíû r è p2 ñìåæíû äðóã ñ äðóãîì è, êðîìå òîãî, dG (r) = 4 (ñì. ðèñ. 6.7d). Ïðîäîëæàÿ ýòè ðàññóæäåíèÿ äëÿ âåðøèíû p2 è ñìåæíûõ ñ íåé p1 è z1 ìû óáåäèìñÿ, ÷òî îäíà èç âåðøèí p1 è z1 äîëæíà áûòü ñìåæíà ñ r. Ïîñêîëüêó z1 íå ìîæåò áûòü ñìåæíà ñ r, òî âåðøèíû p1 è r ñìåæíû. Òåïåðü ïîíÿòíî (ñì. ðèñ. 6.7d), ÷òî z2 ñìåæíà ðîâíî ñ äâóìÿ âåðøèíàìè ìíîæåñòâà W2 : ýòî p1 è íåêàÿ âåðøèíà r0 ∈ W3 . Â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïîâòîðèòü íàïèñàííûå âûøå ðàññóæäåíèÿ äëÿ âåðøèíû z2 âìåñòî z1 è ïîëó÷èòü, ÷òî p1 ñìåæíà ñ r0 . Ñëåäîâàòåëüíî, r = r0 è z2 ñìåæíà ñ r. Ìû ïîëó÷èëè êîíôèãóðàöèþ, èçîáðàæåííóþ íà ðèñóíêå 6.7e. Äîáàâèì â äåðåâî âåðøèíó r, ïðèñîåäèíèâ åå ê îäíîé èç ñìåæíûõ ñ íåé âåðøèí. Îòìåòèì, ÷òî íè îäíà èç äîáàâëåííûõ â äåðåâî âåðøèí â ýòîì ñëó÷àå íå èìååò ñìåæíûõ âåðøèí âíå äåðåâà. Ïðîèçâåä¼ì ïîäñ÷¼ò ïàðàìåòðîâ ýòîãî øàãà: ∆t = 5, ∆u = 2, Çàìå÷àíèå 6.9. ∆b = 4, p(4.5.5) ≥ 2 · 2 2 4 13 +4· −5· = . 15 15 5 15 1) Îêàçàëîñü, ÷òî â ïðîäîëæåíèè øàãîâ M è N âñåãäà ìîæíî âûïîëíèòü øàã ñ äîõîäîì íå ìåíåå 3 15 , ÷òî â ñóììå äàåò íåîòðè- öàòåëüíûé äîõîä. Ïîñëå øàãîâ M è N ìû îáÿçàòåëüíî áóäåì âûïîëíÿòü îïèñàííûå âûøå øàãè è ïîëó÷àòü íåîòðèöàòåëüíûé äîõîä. Îáîçíà÷åíèå M 4.2 áóäåò îçíà÷àòü øàã, ñîñòîÿùèé èç M è 4.2, àíàëîãè÷íî ñ îñòàëüíûìè øàãàìè. Íàçîâåì òàêèå øàãè M N -øàãàìè. Íóëåâîé äîõîä ïîëó÷àåòñÿ òîëüêî â M N -øàãàõ M 4.3 è M 4.5.4. Â îñòàëüíûõ M N -øàãàõ äîõîä íå ìåíåå 151 . Âñå M N -øàãè, êðîìå M 4.5.5 è N 4.5.5, íå ìîãóò áûòü ïîñëåäíèìè, òàê êàê äîáàâëÿþò õîòÿ áû îäíó æèâóþ âåðøèíó. 2) Îñòàþòñÿ ëèøü âàðèàíòû, â êîòîðûõ êàæäàÿ âåðøèíà óðîâíÿ 1 ñìåæíà íå áîëåå, ÷åì ñ îäíîé âåðøèíîé ìíîæåñòâà W (èíà÷å ìû âûïîëíèëè áû øàã A3 èëè îäèí èç M N -øàãîâ). 168 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Øàãè òèïà Z Â ñëåäóþùèõ âàðèàíòàõ êîëè÷åñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí ïîñòðîåííîãî äåðåâà íå èçìåíÿåòñÿ, íî óâåëè÷èâàåòñÿ êîëè÷åñòâî ì¼ðòâûõ âåðøèí. Z1. Ñóùåñòâóåò âåðøèíà óðîâíÿ 1, íå ñìåæíàÿ ñ âåðøèíàìè èç W . Ïóñòü ýòî âåðøèíà w. Òîãäà NG (w) = P (w). Äîáàâèì âåðøèíó w â äåðåâî, â ðåçóëüòàòå âñå âåðøèíû èç NG (w), êðîìå îäíîé, ñòàíóò ì¼ðòâûìè, òàê æå êàê è âåðøèíà w. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ∆b = dG (w). Z1.1. w ∈ T. Â ýòîì ñëó÷àå äîáàâèëîñü dG (w) ≥ 4 ìåðòâûõ âåðøèí. Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà ýòîì øàãå äîáàâèëîñü ðîâíî 4 ìåðòâûõ âåðøèíû, à åñëè èõ íà ñàìîì äåëå äîáàâèëîñü áîëüøå, îôîðìèì ýòî êàê dG (w) − 4 øàãîâ Z0. Òàêèì îáðàçîì äëÿ øàãà Z1.1 ìû èìååì ∆u = 0, Z1.2. ∆b = 4, p(Z1.1) = 4 · 2 2 2 − = . 15 5 15 p(Z1.2) = 3 · 2 1 3 − = . 15 5 15 w ∈ S. Â ýòîì ñëó÷àå ïàðàìåòðû øàãà ∆u = 0, Z1.3. ∆b = 3, w 6∈ S ∪ T . Â ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷àåòñÿ p(Z1.3) = ∆b · 2 15 > 0. Ýòîò øàã ìîæíî íå ðàññìàòðèâàòü, òàê êàê ïàðàìåòðû ýòîãî øàãà â òî÷íîñòè ðàâíû ïàðàìåòðàì ∆b ïîñëåäîâàòåëüíûõ øàãîâ Z0. (Íàïîìíèì, ÷òî êîëè÷åñòâî äîáàâëåííûõ âåðøèí íå ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì øàãà.) Z2. Ñóùåñòâóåò äâå ñìåæíûå âåðøèíû v è w ïåðâîãî óðîâíÿ. Ïî çàìå÷àíèþ 6.9 òîãäà îñòàëüíûå ñìåæíûå ñ v è w âåðøèíû ýòî âèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâà F . Î÷åâèäíî, dG (v) ≥ 2 è dG (w) ≥ 2. Åñëè, íàïðèìåð, dG (v) = 2 è NG (v) = {x, w}, òî x âèñÿ÷àÿ âåðøèíà äåðåâà F , ñìåæíàÿ ñ w (èíà÷å ìû ïðèìåíèëè áû ðåäóêöèîííîå ïðàâèëî R1) è dG,W (x) ≥ 2, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò çàìå÷àíèþ 6.5. 169 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî v, w ∈ S ∪ T . Ñëó÷àé v, w ∈ S íåâîçìîæåí, â íåì ìû áû ïðèìåíèëè ðåäóêöèîííîå ïðàâèëî R2. Äîáàâèì âåðøèíû w è v â äåðåâî, ïðèñîåäèíèâ ê ñìåæíûì ñ íèìè âåðøèíàì, â ðåçóëüòàòå v è w ñòàíóò ì¼ðòâûìè è ∆b = dG (w) + dG (v) − 2. Êàê è â ñëó÷àå Z1.1, ìû áóäåì çàïèñûâàòü â ïàðàìåòðû øàãîâ ìèíèìàëüíî âîçìîæíûå ∆b è ïðè íåîáõîäèìîñòè ïðèìåíÿòü øàãè Z0. Z2.1. Z2.2. Z3. Åñëè îäíà èç âåðøèí v è w ëåæèò â S , à äðóãàÿ â T , òî 2 1 2 1 ∆u = 0, ∆b = 5, p(Z2.1) = 5 · − − = . 15 5 5 15 Ïðè v, w ∈ T ïîëó÷àåòñÿ 2 2 ∆u = 0, ∆b = 6, p(Z2.2) = 6 · − 2 · = 0. 15 5 Âåðøèíà w óðîâíÿ 1 ñìåæíà ñ âåðøèíîé v ∈ W \ (S ∪ T ). Äîáàâèì âåðøèíû w è v â äåðåâî. Åñëè dG (v) = 2, òî ìû ëèáî ïðèìåíèëè áû ðåäóêöèîííîå ïðàâèëî R1, ëèáî v ñìåæíà ñ P (w). Îáà ñëó÷àÿ íåâîçìîæíû, ïîýòîìó dG (v) = 1 è â ðåçóëüòàòå âåðøèíà v ñòàíåò ì¼ðòâîé. Çíà÷èò, ∆b = dG (w) − 1. Z3.1. Ïðè w ∈ S ïîëó÷àåòñÿ ∆u = 0, Z3.2. ∆b = 2, p(Z3.1) = 2 · 1 1 2 − = . 15 5 15 Ïðè w ∈ T ïîëó÷àåòñÿ 2 2 − = 0. 15 5 Ïóñòü w âåðøèíà óðîâíÿ 1. Òîãäà w ∈ T , ïðè÷åì âåðøè∆u = 0, Ëåììà 6.1. ∆b = 3, p(Z3.2) = 3 · íà w ñìåæíà ñ âåðøèíîé v ∈ S ∪ T óðîâíÿ 2 è íå ìåíåå, ÷åì ñ òðåìÿ âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè äåðåâà F . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî çàìå÷àíèþ 6.9 ìû èìååì dG,W (w) ≤ 1. Ïîñêîëüêó íåëüçÿ âûïîëíèòü øàã Z1, òî dG,W (w) = 1, òî åñòü, w ñìåæíà ñ âåðøèíîé v ∈ W . 170 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Òàê êàê íåëüçÿ âûïîëíèòü øàã Z2, òî v âåðøèíà óðîâíÿ 2. Òàê êàê íåëüçÿ âûïîëíèòü øàã Z3, òî v ∈ T ∪ S . Ïîñêîëüêó íåëüçÿ âûïîëíèòü ðåäóêöèþ R1, òî w ∈ T ∪ S . Íàêîíåö, óñòàíîâèì, ÷òî w ∈ T . Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, òîãäà w ∈ S . Åñëè ïðè ýòîì v ∈ T , òî ìû âûïîëíèëè áû øàã A4. À â ñëó÷àå v ∈ S ìû âûïîëíèëè áû ðåäóêöèþ R2. Òàêèì îáðàçîì, w ∈ T . Òàê êàê dG,W (w) = 1, âåðøèíà w ñìåæíà íå ìåíåå, ÷åì ñ òðåìÿ âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè äåðåâà F . b b w b b F b b b Z2.1 v b b w b F b b b Z2.2 b b b v b b b w1 b b w2 Z4 b b F G2 b b b b wn Ðèñ. 6.8: Øàãè òèïà Z . Z4. Ñóùåñòâóåò íå âîøåäøàÿ â äåðåâî âåðøèíà. Ïóñòü w1 , . . . , wn âñå âåðøèíû óðîâíÿ 1. Ïî ëåììå 6.1 êàæäàÿ èç íèõ ñìåæíà õîòÿ áû ñ òðåìÿ âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè äåðåâà F . Âñåãî èìååì õîòÿ áû 3n ðàçëè÷íûõ æèâûõ âåðøèí, òî åñòü, u(F ) − b(F ) ≥ 3n è u(F ) = cG (F ) + α0 (F ) + 2 2n (u(F ) − b(F )) ≥ cG (F ) + α0 (F ) + . 15 5 (6.1) Ðàçðåæåì âñå ð¼áðà, âåäóùèå îò w1 , . . . , wn ê äåðåâó F , â ðåçóëüòàòå ãðàô G ðàñïàä¼òñÿ íà G1 = G(V (F )) è ãðàô G2 = G(W ). Ïîñêîëüêó cG (wi ) − cG2 (wi ) = 52 , òî 2 c(G2 ) = cG (W ) − n · . 5 (6.2) Îòìåòèì, ÷òî ãðàô G2 ìîæåò áûòü íåñâÿçíûì, íî â êàæäîé åãî êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè åñòü õîòÿ áû ÷åòûðå âåðøèíû è ñðåäè íèõ åñòü âèñÿ÷àÿ (îäíà èç âåðøèí w1 , . . . , wn ), ïîýòîìó ê êàæäîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ãðàôà G2 ìîæíî ïðèìåíèòü óòâåðæäåíèå íàøåé òåîðåìû (îíà íå ÿâëÿåòñÿ 171 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß èñêëþ÷åíèåì è ñîäåðæèò ìåíüøå âåðøèí, ÷åì ãðàô G). Ïóñòü â ãðàôå G2 ðîâíî k êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè. Òîãäà ìû ìîæåì ïîñòðîèòü â íåì îñòîâíûé ëåñ F 0 èç k äåðåâüåâ ñ u(F 0 ) ≥ c(G2 ) + 2k. (6.3) Ïðèñîåäèíèì ê F êàæäóþ èç k êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ëåñà F 0 ïðîèçâîëüíûì ðåáðîì, â ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì îñòîâíîå äåðåâî T ãðàôà G. Îöåíèì u(T ) ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâ (6.1), (6.2) è (6.3): 2n 0 0 + c(G2 ) = u(T ) = u(F ) + u(F ) − 2k ≥ cG (F ) + α (F ) + 5 cG (V (F )) + α0 (F ) + cG (W ) = c(G) + α0 (F ). Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå ìû èìååì α(G) ≥ α(T ) ≥ α0 (F ). 6.1.4 Íà÷àëî ïîñòðîåíèÿ è îöåíêà α Ìû ïîñòàðàåìñÿ íà÷àòü ïîñòðîåíèå ñ áàçîâîãî äåðåâà F 0 ñ êàê ìîæíî áîëüøèì α0 (F 0 ) è äîêàæåì, ÷òî â ðåçóëüòàòå äëÿ ëþáîãî ãðàôà, êðîìå òð¼õ èñêëþ÷åíèé, ïîëó÷èòñÿ îñòîâíîå äåðåâî T ñ α(T ) ≥ 2. Ðàçáåð¼ì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ, â êàæäîì èç íèõ áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óñëîâèÿ âñåõ ïðåäûäóùèõ ñëó÷àåâ íå âûïîëíÿþòñÿ. Íà÷íåì ñî ñëó÷àåâ, â êîòîðûõ óäàåòñÿ ïîñòðîèòü áàçîâîå äåðåâî F 0 ñ α0 (F 0 ) ≥ 2 è, òåì ñàìûì, çàêîí÷èòü äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. B1. Â ãðàôå åñòü äâå ñìåæíûå âåðøèíû a, a0 ∈ T , ó êîòîðûõ NG (a) ∩ NG (a0 ) = ∅. Ìû íà÷í¼ì ïîñòðîåíèå ñ áàçîâîãî äåðåâà F 0 , â êîòîðîì a è a0 ñîåäèíåíû äðóã ñ äðóãîì è ñî âñåìè âåðøèíàìè èç èõ îêðåñòíîñòåé. Â òàêîì äåðåâå u(F 0 ) = u ≥ 6, 2 cG (F 0 ) ≤ (u + 2) è 5 α0 (F 0 ) ≥ 13 7u − 12 u − cG (F 0 ) ≥ ≥ 2. 15 15 172 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß B2. Â ãðàôå åñòü âåðøèíà a ∈ T , ñìåæíàÿ ñ âåðøèíîé ñòåïåíè íå áîëåå 2. Ïóñòü v ∈ NG (a), dG (v) ≤ 2. Ìû íà÷í¼ì ïîñòðîåíèå ñ áàçîâîãî äåðåâà F 0 , â êîòîðîì a ñîåäèíåíà ñî âñåìè âåðøèíàìè èç å¼ îêðåñòíîñòè. Åñëè dG (v) = 1, òî âåðøèíà v , î÷åâèäíî, ì¼ðòâàÿ. Åñëè æå dG (v) = 2, òî, òàê êàê íåâîçìîæíî âûïîëíèòü ðåäóêöèþ R1, âåðøèíû a è v âõîäÿò â òðåóãîëüíèê, òðåòüÿ âåðøèíà êîòîðîãî, î÷åâèäíî, ëåæèò â NG (a). Çíà÷èò, è â ýòîì ñëó÷àå âåðøèíà v ì¼ðòâàÿ. Òàêèì îáðàçîì, u(F 0 ) = dG (a) = u ≥ 4, 2 cG (F 0 ) ≤ u è 5 2 7u + 2 13 − cG (F 0 ) ≥ ≥ 2. α0 (F 0 ) ≥ u + 15 15 15 b(F 0 ) ≥ 1, Â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü íà÷àëà ïîñòðîåíèÿ, â êîòîðûõ α0 (F 0 ) < 2. Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ îöåíêè α(G) ≥ 2 ìû îáðàòèì âíèìàíèå íà êîíåö ïîñòðîåíèÿ. Ëåììà 6.2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ãðàôå íåò êîíôèãóðàöèé, îïèñàííûõ â ñëó÷àÿõ B1 è B2 è îïèñàííûì âûøå àëãîðèòìîì áûëî ïîñòðîåíî îñòîâíîå äåðåâî. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Åñëè õîòÿ áû îäèí ðàç âûïîëíÿëñÿ øàã Z4, òî ñóùåñòâóåò áàçîâîå äåðåâî F 0 ñ α0 (F 0 ) ≥ 2. 2) Åñëè íå âûïîëíÿëñÿ øàã Z4, òî ïîñëåäíèé øàã àëãîðèòìà íå äîáàâëÿåò æèâûõ âåðøèí è äà¼ò äîõîä íå ìåíåå Äîêàçàòåëüñòâî. 1 15 . 1) Âåðí¼ìñÿ ê øàãó Z4 è îòðåçàííîìó îò çàãîòîâêè äåðåâà F ãðàôó G2 (ñì. ðèñ 6.8), òî÷íåå, ê îäíîé èç åãî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè G0 . Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïîëîæèì, ÷òî â G0 ïîïàëè âåðøèíû w1 , . . . , wk è íå ïîïàëè âåðøèíû wk+1 , . . . , wn . Òàê êàê G0 ìåíüøèé ãðàô ñ âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè, â íåì åñòü îñòîâíîå äåðåâî T 0 c α(T 0 ) = u(T 0 ) − cG0 (T 0 ) ≥ 2. 173 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Ðàññìîòðèì äåðåâî T 0 êàê ïîäãðàô ãðàôà G. Ê ñîæàëåíèþ, âåðøèíû w1 , . . . , wk ñòîÿò â ãðàôå G íå ïî 0, êàê â ãðàôå G0 , à ïî 25 , òî åñòü, cG (T 0 ) = cG0 (T 0 ) + 2k . 5 Êðîìå òîãî, òåïåðü ýòè âèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâà T 0 íå ì¼ðòâûå (à îñòàëüíûå âèñÿ÷èå âåðøèíû ìåðòâûå), òî åñòü, u(T 0 ) − b(T 0 ) = k . Ó÷èòûâàÿ ñêàçàííîå âûøå, â ãðàôå G ìû èìååì 2 · u(T 0 ) − b(T 0 ) = α0 (T 0 ) = u(T 0 ) − cG (T 0 ) − 15 2k 2k 2k 0 0 0 0 u(T ) − cG (T ) − = u(T ) − cG0 (T ) + ≥ − 15 5 15 8k 8k u(T 0 ) − cG0 (T 0 ) − ≥2− . 15 15 Âñïîìíèì øàã Z4 è ïðè âñåõ i ∈ {1, . . . , k} âûäåëèì äëÿ êàæäîé âåðøèíû wi òðè ñìåæíûå ñ íåé âåðøèíû xi1 , xi2 , xi3 ∈ V (F ). Òàêèå òðîéêè äëÿ ðàçíûõ âåðøèí íå ïåðåñåêàþòñÿ, âñå èõ âåðøèíû íå âõîäÿò â äåðåâî T 0 . Âûïîëíèì k ðàç ïî î÷åðåäè ñî âñåìè âåðøèíàìè w1 , . . . , wk øàã A2 è øàã A1, ïðèñîåäèíèâ ê wi âåðøèíû xi1 , xi2 , xi3 . Â ñóììå ìû ïîëó÷èì äîõîä k · 8 15 è ïîñòðîèì áàçîâîå äåðåâî F 0 ñ α0 (F 0 ) ≥ 2. 2) Ðàññìîòðèì ïîñëåäíèé øàã. Íà ýòîì øàãå íå äîáàâèëîñü æèâûõ âåðøèí. Ïðîñìîòðåâ ïàðàìåòðû øàãîâ, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ïîñëåäíèì ìîã áûòü òîëüêî îäèí èç øàãîâ Z0, Z1.1, Z1.2, Z2.1, Z2.2, Z3.1, Z3.2, N 4.5.5 è M 4.5.5. Øàã Z2.2 íåâîçìîæåí, òàê êàê äëÿ ýòîãî øàãà â ãðàôå äîëæíà áûòü êîíôèãóðàöèÿ, ðàññìîòðåííàÿ â ïóíêòå B1, à øàã Z3.2 íåâîçìîæåí, òàê êàê äëÿ ýòîãî øàãà â ãðàôå äîëæíà áûòü êîíôèãóðàöèÿ, ðàññìîòðåííàÿ â ïóíêòå B2. Ëþáîé èç îñòàëüíûõ øàãîâ äà¼ò äîõîä õîòÿ áû 1 15 . íà øàãàõ, íà êîòîðûõ äîáàâëÿþòñÿ æèâûå âåðøèíû, áóäåò ïîñòðîåíî äåðåâî F c Òàêèì îáðàçîì, â äàëüíåéøåì íàì äîñòàòî÷íî äîêàçûâàòü, ÷òî α0 (F ) ≥ 29 15 . Ïðîäîëæèì ðàçáîð ñëó÷àåâ. 174 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß B3. Â ãðàôå åñòü âåðøèíà a ñòåïåíè íå ìåíåå 5. Íà÷í¼ì ïîñòðîåíèå ñ áàçîâîãî äåðåâà F 0 , â êîòîðîì a ñîåäèíåíà ñî âñåìè âåðøèíàìè èç å¼ îêðåñòíîñòè. Î÷åâèäíî, u(F 0 ) = dG (a) = u ≥ 5, 2 cG (F 0 ) ≤ (u + 1) è 5 13 7u − 6 29 α0 (F 0 ) ≥ u − cG (F 0 ) ≥ ≥ . 15 15 15 Ïî ëåììå 6.2, ýòîãî äîñòàòî÷íî. B4. Â ãðàôå åñòü âåðøèíà x ∈ S , ñìåæíàÿ ñ âåðøèíîé ñòåïåíè íå áîëåå 2. Ïóñòü v ∈ NG (x), dG (v) ≤ 2, NG (x) = {v, y1 , y2 }. Ìû íà÷í¼ì ïîñòðîåíèå ñ áàçîâîãî äåðåâà F 0 , â êîòîðîì x ñîåäèíåíà ñî âñåìè âåðøèíàìè èç å¼ îêðåñòíîñòè. Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ B2, âåðøèíà v áóäåò ì¼ðòâîé. Òàêèì îáðàçîì, u(F 0 ) = 3, b(F 0 ) ≥ 1 è α0 (F 0 ) ≥ 13 2 41 ·3+ − cG (F 0 ) = − cG (F 0 ). 15 15 15 Åñëè õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí y1 , y2 íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó T , òî cG (F 0 ) ≤ 2 · 1 2 4 + = 5 5 5 α0 (F 0 ) ≥ è 29 . 15 Ïî ëåììå 6.2 ìû ïîëó÷èì α(G) ≥ 2. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé y1 , y2 ∈ T . Òîãäà îáå âåðøèíû y1 , y2 æèâûå, cG (F 0 ) = 1 2 26 + 2 · = 1 è α0 (F 0 ) = . 5 5 15 Ïîñòðîåíèå íå çàêîí÷åíî, íà äàííûé ìîìåíò íàì íå õâàòàåò 4 15 . Ïðè ðàç- áîðå ñëó÷àåâ M è N ìû ðåøàëè àíàëîãè÷íóþ çàäà÷ó î íåäîñòàòêå äîõîäà â 3 15 (äàæå ñ òåìè æå îáîçíà÷åíèÿìè x, y1 , y2 ). Ïîâòîðèâ ýòè ðàññóæäåíèÿ è øàãè, ìû ïîëó÷èì äåðåâî F ∗ c α0 (F ∗ ) ≥ 29 15 . Áîëåå òîãî, α0 (F ∗ ) < 2 ìû ïîëó÷èì òîëüêî â êîíôèãóðàöèÿõ M 4.3 è M 4.5.4, íî â ýòèõ ñëó÷àÿõ â ïîñòðîåííûõ äåðåâüÿõ åñòü æèâûå âåðøèíû è ïî ëåììå 6.2 ïîñëåäíèé øàã ïîñòðîåíèÿ äàñò äîïîëíèòåëüíûé äîõîä â 1 15 è îáåñïå÷èò α(G) ≥ 2. 175 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Çàìå÷àíèå 6.10. Â ïóíêòàõ B2 è B4 ðàññìîòðåíû âñå ñëó÷àè, êîãäà â ãðàôå åñòü âåðøèíà ñòåïåíè íå áîëåå 2. Â ïóíêòå B3 ðàññìîòðåí ñëó÷àé, Ïîýòîìó, äàëåå ìû ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àè, êîãäà â ãðàôå ñòåïåíè âñåõ âåðøèí ðàâíû 3 è 4. êîãäà â ãðàôå åñòü âåðøèíà ñòåïåíè áîëåå 4. Â òàáëèöå 1 ïðèâåäåíà ñâîäêà äàííûõ ïî âñåì âîçìîæíûì øàãàì. Äëÿ ïðîñòîòû âîñïðèÿòèÿ äîõîäû âñåõ øàãîâ óìíîæåíû íà 15. A2, A4, Øàã ∆u − ∆b 15·äîõîä A1 1 7 1 1 2 2 0 3 1 4 2 5 3 6 M 3.1 −4 5 N 3.1 −3 6 M 3.2 −2 4 N 3.2 −1 5 −1 2 M 4.3 0 0 N 4.4 4 7 N 4.5.2 3 3 M 4.5.4 3 0 N 4.5.4 4 1 M 4.5.5 −2 1 Z1.1 −4 2 Z1.2 −3 3 Z2.1 −5 1 M 4.2, A3, N 4.2, M 1, M 4.5.2, M 4.1.2, N 1, N 4.3, M 4.5.1, N 4.1.2, M 4.5.3 N 4.5.3 N 4.1.1 N 4.5.1 M2 N 2, M 4.1.1, M 4.4 N 4.5.5, Z0 Òàáëèöà 1. ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 176 Ìû ó÷ëè íåâîçìîæíîñòü øàãîâ Z2.2, Z3.1, Z3.2 è Z4. (Ïðî øàãè Z2.2, Z3.2 è Z4 ñêàçàíî â ëåììå 6.2 è åå äîêàçàòåëüñòâå, øàã Z3.1 íåâîçìîæåí, òàê êàê ìû ðàññìàòðèâàåì ãðàô, âñå âåðøèíû êîòîðîãî èìåþò ñòåïåíè íå ìåíåå 3.) Ñ òàêèì áîëüøèì êîëè÷åñòâîì øàãîâ íåóäîáíî ðàáîòàòü è ñëåäóþùåé ëåììîé ìû çíà÷èòåëüíî ñîêðàòèì êîëè÷åñòâî âîçìîæíûõ øàãîâ. Ëåììà 6.3. Åñëè â ïðîöåññå ïîñòðîåíèÿ îñòîâíîãî äåðåâà (ñ íåêîòîðûì áàçîâûì äåðåâîì) õîòÿ áû ðàç âûïîëíÿëñÿ îäèí èç óêàçàííûõ íèæå øàãîâ, òî α(G) ≥ 2. 1) Øàã N 4.2, N 4.3, N 4.4, N 4.5.2, N 4.5.3, N 4.5.5. Îäèí èç øàãîâ N 1, N 2, N 4.5.4 ïðè óñëîâèè, ÷òî âñå äîáàâëåííûå íà ýòîì øàãå âåðøèíû, êðîìå x, íå ñìåæíû ñ äåðåâîì F . 2) Øàã M 4.2, M 4.3, M 4.4, M 4.5.2, M 4.5.3, M 4.5.5. Îäèí èç øàãîâ M 1, M 2, M 4.5.4 ïðè óñëîâèè, ÷òî âñå äîáàâëåííûå íà ýòîì øàãå âåðøèíû, êðîìå x, íå ñìåæíû ñ äåðåâîì F . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ïåðåä øàãîì áûëî ïîñòðîåíî îñòîâíîå äåðåâî F , ê êîòîðîìó ÷åðåç âåðøèíó x ∈ S ∪ T óðîâíÿ 1 äîáàâèëè ïîääåðåâî F0 èç íåñêîëüêèõ âåðøèí, ïðè÷¼ì äîõîä øàãà ðàâåí p. Îòìåòèì, ÷òî âî âñåõ óêàçàííûõ â óñëîâèè øàãàõ âåðøèíà x ñìåæíà ðîâíî ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç W = V (G)\V (F ), à âñå äîáàâëÿåìûå â ïîñòðîåííîå ðàíåå äåðåâî F âåðøèíû, êðîìå x, íå ñìåæíû ñ V (F ) ÷òîáû â ýòîì óáåäèòüñÿ, äîñòàòî÷íî ïîñìîòðåòü îïèñàíèå øàãîâ è óñëîâèå ëåììû. 1) Â ñëó÷àå, êîãäà âûïîëíÿëèñü øàãè òèïà N , ìû èìååì x ∈ S . Èç òàáëèöû 1 âèäíî, ÷òî äîõîä p ≥ 1 15 . Âñïîìíèì, êàê ïðîèçâîäèëñÿ ïîäñ÷åò äîõîäà øàãà. Âåðøèíà x ñìåæíà ñ åäèíñòâåííîé âåðøèíîé a ∈ V (F ). Ïîñëå ïðèñîåäèíåíèÿ F0 âåðøèíà a ïåðåñòàëà áûòü âèñÿ÷åé âåðøèíîé, çà ýòî èç äîõîäà âû÷ëè 13 15 . Íîâûå ìåðòâûå âåðøèíû â èñõîäíîì äåðåâå F íå ïîÿâëÿëèñü, ïîýòîìó âñå íîâûå âèñÿ÷èå è ìåðòâûå âåðøèíû ýòî âåðøèíû äåðåâà F0 , ó÷òåííûå ðîâíî ñ òàêèìè æå êîýôôèöèåíòàìè, êàê ïðè 177 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß ïîäñ÷åòå α0 (F0 ). Ïîýòîìó α0 (F0 ) = p + 13 14 ≥ . 15 15 Î÷åâèäíî, NG (a)∩NG (x) = ∅. Ïîýòîìó, â ñèëó çàìå÷àíèÿ 6.2 ìû èìååì a ∈ T . Ñëåäîâàòåëüíî, a ñìåæíà ñ òðåìÿ âåðøèíàìè b1 , b2 , b3 ∈ V (F ), ýòè âåðøèíû íå âîøëè â äåðåâî F0 . Ïîñòðîèì íîâîå áàçîâîå äåðåâî F1 , ïðèñîåäèíèâ ê F0 ÷åðåç íåâèñÿ÷óþ âåðøèíó x âåðøèíû a, b1 , b2 , b3 (ñì. ðèñ. 6.9). Â ðåçóëüòàòå êîëè÷åñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí óâåëè÷èòñÿ íà 3. Ñëåäîâàòåëüíî, îò ýòîé îïåðàöèè ìû ïîëó÷èì äîõîä íå ìåíåå ÷åì 3 · ðåçóëüòàòå α0 (F1 ) ≥ 29 15 , 13 15 −4· 2 5 = 1, â ÷òî â âèäó ëåììû 6.2 äîñòàòî÷íî äëÿ α(G) ≥ 2. b b b a b x b V(F) F0 Ðèñ. 6.9: Ïîñòðîåíèå áàçîâîãî äåðåâà. Ñëó÷àé øàãîâ òèïà N . 2) Îïèøåì îáùèé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ áàçîâîãî äåðåâà äëÿ øàãîâ òèïà M . Â ýòîì ñëó÷àå x ∈ T . Âñïîìíèì, êàê ïðîèçâîäèëñÿ ïîäñ÷åò äîõîäà øàãà. Âåðøèíà x ñìåæíà ñ äâóìÿ âåðøèíàìè a1 , a2 ∈ V (F ). Ïîñëå ïðèñîåäèíåíèÿ F0 îäíà èç âåðøèí ìíîæåñòâà P (x) = {a1 , a2 } ïåðåñòàëà áûòü âèñÿ÷åé âåðøèíîé, çà ÷òî âû÷ëè ÷òî ïðèáàâèëè 2 15 . 13 15 , à äðóãàÿ âåðøèíà èç P (x) ñòàëà ìåðòâîé, çà Âñå îñòàëüíûå íîâûå âèñÿ÷èå è ìåðòâûå âåðøèíû ýòî âåðøèíû äåðåâà F0 , ó÷òåííûå ðîâíî ñ òàêèìè æå êîýôôèöèåíòàìè, êàê ïðè ïîäñ÷åòå α0 (F0 ). Ïîýòîìó α0 (F0 ) = p + 11 . 15 Ïîñòðîèì íîâîå áàçîâîå äåðåâî F1 , ïðèñîåäèíèâ ê íåâèñÿ÷åé âåðøèíå x 178 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß äåðåâà F0 âåðøèíû a1 , a2 ∈ V (F ). Çà ýòîò øàã ìû ïîëó÷èëè äîõîä 2· 13 2 − 15 5 = 14 15 α0 (F1 ) ≥ è Ïðè a1 , a2 6∈ T ìû âûèãðàåì õîòÿ áû 2 5 25 + p. 15 è ïîëó÷èì α0 (F1 ) ≥ 31 15 , ÷òî íàì äîñòàòî÷íî. Ïóñòü a1 ∈ T , òîãäà dG (a1 ) = 4. Îòìåòèì, ÷òî a1 âèñÿ÷àÿ âåðøèíà äåðåâà F , è ïîòîìó íå ñìåæíà ñ îòëè÷íûìè îò x âåðøèíàìè èç W , à çíà÷èò, ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ îòëè÷íûìè îò a2 âåðøèíàìè èç V (F ). Ýòèõ âåðøèí íåò â F1 , äîáàâèì èõ â äåðåâî è ïîëó÷èì íîâîå äåðåâî F2 . Åñëè ìû äîáàâèëè áîëåå äâóõ âåðøèí, òî ïîëó÷èëè äîõîä õîòÿ áû p(A2) + p(A1) ≥ 8 15 (äîáàâëåíèå ïåðâûõ äâóõ âåðøèí øàã A2, äîáàâëåíèå ñëåäóþùåé øàã A1) è α0 (F2 ) > 2. Îñòàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà òàêèõ âåðøèí äâå, ïóñòü ýòî b1 , b2 . Îòìåòèì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå âåðøèíû a1 è a2 ñìåæíû. Äîáàâëåíèå äâóõ âåðøèí ýòî øàã A2 ñ äîõîäîì íå ìåíåå 1 15 , ïîýòîìó α0 (F2 ) ≥ Ïðè p ≥ 3 15 26 + p. 15 ýòîãî â âèäó ëåììû 6.2 äîñòàòî÷íî. Äëÿ îñòàâøèõñÿ øàãîâ ìû ðàçáåð¼ì äâà ñëó÷àÿ: a2 ì¼ðòâàÿ (ñì. ðèñ. 6.10à) è æèâàÿ (ñì. ðèñ. 6.11a) âåðøèíà äåðåâà F2 , ñîîòâåòñòâåííî. a. Ïóñòü a2 ì¼ðòâàÿ âåðøèíà äåðåâà F2 . Ýòî óâåëè÷èâàåò äîõîä íà 2 15 è îáåñïå÷èâàåò α0 (F2 ) ≥ 28 + p. 15 Îáå âåðøèíû b1 , b2 æèâûå âåðøèíû äåðåâà F2 , èíà÷å äîõîä âîçðàñòàåò õîòÿ áû íà 2 15 è ìû ïîëó÷àåì α0 (F2 ) ≥ 2. Ïðè p ≥ 1 15 â ñèëó ëåììû 6.2 ìû èìååì α(G) ≥ 2. Îñòàþòñÿ ëèøü øàãè ñ íóëåâûì äîõîäîì M 4.5.4 è M 4.3. Ðàçáåðåì ýòè äâà ñëó÷àÿ. 179 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Øàã M 4.5.4. a1. Ðàññìîòðèì äàëüíåéøåå ïîñòðîåíèå îñòîâíîãî äåðåâà óêàçàííûì âûøå àëãîðèòìîì. Ó äåðåâà F2 ðîâíî 7 æèâûõ âåðøèí (ýòî b1 , b2 , y2 , z2 , p2 , q1 è q2 , ñì. ðèñóíîê 6.10c), ñëåäîâàòåëüíî, â ïðîöåññå ïîñòðîåíèÿ ñòàëè ì¼ðòâûìè íå ìåíåå ÷åì 7 æèâûõ âåðøèí. Ïîñìîòðèì íà òàáëèöó 1: ëþáîé øàã, 1 15 , óìåíüøàþùèé êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí, ïðèíîñèò äîõîä õîòÿ áû ïðè- ÷åì ðîâíî ñ òàêèì äîõîäîì ìîæíî óìåíüøèòü êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí òîëüêî íà 2 èëè íà 5, òî åñòü, ìåíüøå, ÷åì íà 7. Çíà÷èò, çà óìåðòâëåíèå íå ìåíåå ÷åì 7 æèâûõ âåðøèí ìû ïîëó÷èì äîõîä õîòÿ áû b1 b 2 V(F) a2 b b a1 b1 b2 V(F) a2 b b a1 b b b x b y b F0 a 1 z1 b b z2 a1 b q 1 z1 1 q b b b y F0 2 2 b b b 1 b b a2 b b b p b2 b x y F0 è α(G) ≥ 2. b x b b b1 V(F) b 2 15 y 2 z2 p 2 c Ðèñ. 6.10: Ïîñòðîåíèå áàçîâîãî äåðåâà. Ñëó÷àé øàãîâ òèïà M è ì¼ðòâîé âåðøèíû a2 . a2. Øàã M 4.3. Ðàññìîòðèì äàëüíåéøåå ïîñòðîåíèå îñòîâíîãî äåðåâà óêàçàííûì âûøå àëãîðèòìîì. Ó äåðåâà F2 ðîâíî 4 æèâûå âåðøèíû (ýòî b1 , b2 , z1 è z2 , ñì. ðèñóíîê 6.10b), ñëåäîâàòåëüíî, â ïðîöåññå ïîñòðîåíèÿ ñòàëè ì¼ðòâûìè íå ìåíåå ÷åì 4 æèâûõ âåðøèí. Íàì íóæíî îáåñïå÷èòü ñóììàðíûé äîõîä îñòàâøèõñÿ øàãîâ íå ìåíåå 2 15 . øèí âñåãäà ïðèíîñèò äîõîä õîòÿ áû Óìåíüøåíèå êîëè÷åñòâà æèâûõ âåð1 15 . Åäèíñòâåííîå êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí, íå ìåíüøåå 4, çà óìåðòâëåíèå êîòîðûõ ìû ïîëó÷èì ìåíåå 2 15 ýòî 5. Íî äëÿ ïîëó÷åíèÿ 5 æèâûõ âåðøèí íóæíî äîáàâèòü ðîâíî îäíó æè- 180 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß âóþ âåðøèíó, à çà ýòó îïåðàöèþ ìû ïîëó÷àåì äîõîä íå ìåíåå 1 15 . Â ëþáîì ñëó÷àå, ìû ïîëó÷èì α(G) ≥ 2. á. Ïóñòü a2 æèâàÿ âåðøèíà äåðåâà F2 . Òàê êàê a2 ñìåæíà ñ a1 è dG (a2 ) ≤ 4, â ýòîì ñëó÷àå õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí b1 è b2 íåñìåæíà ñ a2 (ïóñòü ýòî b1 ). Åñëè b1 6∈ T , òî äîõîä óâåëè÷èâàåòñÿ íà 51 , â ðåçóëüòàòå α0 (F2 ) ≥ 29 15 è ïî ëåììå 6.2 ìû èìååì α(G) ≥ 2. Çíà÷èò, b1 ∈ T . Âåðøèíû äåðåâà F0 íåñìåæíû ñ b1 ∈ V (F ), ïîýòîìó èç V (F2 ) âåðøèíà b1 ñìåæíà òîëüêî ñ a1 è, âîçìîæíî, ñ b2 . Ñëåäîâàòåëüíî, b1 ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ âåðøèíàìè íå èç V (F2 ), êîòîðûå ìû è äîáàâèì â äåðåâî F2 , â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ äåðåâî F3 . Åñëè ìû äîáàâèëè áîëåå äâóõ âåðøèí, òî ïîëó÷èëè äîõîä õîòÿ áû p(A1) + p(A2) ≥ 8 15 . Â ýòîì ñëó÷àå î÷åâèäíî, ÷òî α0 (F3 ) > 2. Çíà÷èò, äîáàâëåíî ðîâíî äâå âåðøèíû, ïóñòü ýòî c1 , c2 (ñì. ðèñ. 6.11a). Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî b2 , c1 , c2 æèâûå âåðøèíû äåðåâà F3 . Åñëè ñðåäè íèõ åñòü ìåðòâûå, òî ìû ó÷òåì ýòî â êîíöå ïîñòðîåíèÿ ñ ïîìîùüþ øàãîâ Z0. Âûïîëíèâ ýòîò øàã A2, ìû ïîëó÷èëè äîõîä α0 (F3 ) ≥ Ïðè p ≥ 2 15 ìû èìååì α0 ≥ 29 15 ëèøü øàãè ñ äîõîäîì ìåíåå M 4.5.3, M 4.5.5 (ñ äîõîäîì á1. 1 15 è 27 + p. 15 è ïî ëåììå 6.2 ïîëó÷èì α(G) ≥ 2. Îñòàþòñÿ 2 15 : 1 15 ). ýòî M 4.5.4, M 4.3 (ñ äîõîäîì 0), M 4.2, Ðàçáåð¼ì ýòè ñëó÷àè. Øàã M 4.5.4. Â ýòîì ñëó÷àå â äåðåâå F3 ðîâíî 9 æèâûõ âåðøèí (ýòî a2 , b2 , c1 , c2 , y2 , z2 , p2 , q1 è q2 , ñì. ðèñóíîê 6.11b) è α0 (F3 ) ≥ 27 15 . Ðàññìîòðèì äàëüíåéøåå ïî- ñòðîåíèå îñòîâíîãî äåðåâà óêàçàííûì âûøå àëãîðèòìîì. Çà óìåðòâëåíèå îäíèì øàãîì ëþáîãî êîëè÷åñòâà âèñÿ÷èõ âåðøèí, êðîìå 2 è 5, ìû ïîëó÷àåì äîõîä íå ìåíåå 2 15 (ìîæíî óìåðòâèòü çà øàã 1, 2, 3, 4 èëè 5 âèñÿ÷èõ âåðøèí, ñì. òàáëèöó 1). Ïîýòîìó, åäèíñòâåííîå êîëè÷åñòâî óìåðòâëåííûõ âåðøèí, íå ìåíüøåå 9, çà êîòîðîå äîõîä ìîæåò áûòü ìåíåå 3 15 ýòî 10 181 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß c1 b b b1 c2 V(F) b b a1 2b c1 c2 b2 b b x b b b1 V(F) a1 y1 F0 b F0 b q z1 1 q b 2 b p1 b b b b a2 b b b b b2 b x a2 a b y2 z2 p 2 c Ðèñ. 6.11: Ïîñòðîåíèå áàçîâîãî äåðåâà. Ñëó÷àé øàãà M 4.5.4 è ì¼ðòâîé âåðøèíû a2 . (äîõîä 2 15 ). Íî äëÿ ïîëó÷åíèÿ 10 âåðøèí íóæíî äîáàâèòü ðîâíî îäíó æè- âóþ âåðøèíó, à çà ýòó îïåðàöèþ ìû ïîëó÷àåì äîõîä íå ìåíåå 1 15 . Â ëþáîì ñëó÷àå, ìû ïîëó÷èì α(G) ≥ 2. Çàìå÷àíèå 6.11. Òåïåðü ñëó÷àè øàãîâ M 4.5.4 è N 4.5.4 â ëåììå 6.3 ïîë- íîñòüþ ðàçîáðàíû. Ïóñòü ñ ïîìîùüþ íàøåãî àëãîðèòìà áûëî ïîñòðîåíî îñòîâíîå äåðåâî T ñ α(T ) < 2 è â ïðîöåññå ïîñòðîåíèÿ îñòîâíîãî äåðåâà âûïîëíÿëñÿ øàã M 4.5.4 èëè N 4.5.4. Ïóñòü F äåðåâî, ïîñòðîåííîå ïåðåä øàãîì. Òîãäà õîòÿ áû îäíà èç äîáàâëåííûõ íà ýòîì øàãå âåðøèí äîëæíà áûòü ñìåæíà ñ äåðåâîì F . Ýòî ìîæåò áûòü òîëüêî îäíà èç äâóõ äîáàâëåííûõ âèñÿ÷èõ âåðøèí, ñìåæíûõ ñ p1 (èíà÷å áûë áû âûïîëíåí îäèí èç ïðåäûäóùèõ øàãîâ, ñì. ðèñóíîê 6.6 è îïèñàíèÿ øàãîâ). Íàçîâ¼ì ýòó âåðøèíó q . Åñëè q ∈ T (â ýòîì ñëó÷àå ìû íàçîâ¼ì øàãè M 4.5.4.1 è N 4.5.4.1), òî q ñìåæíà ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç V (F ) (ïî çàìå÷àíèþ 6.5), ÷òî äîáàâëÿåò íàì äâå ì¼ðòâûå âåðøèíû. Òàêèì îáðàçîì, 2 4 ≥ , ∆u = 4, ∆b = 3, 15 15 2 5 p(N 4.5.4.1) ≥ p(N 4.5.4) + 2 · ≥ , ∆u = 4, ∆b = 2. 15 15 Åñëè q 6∈ T (â ýòîì ñëó÷àå ìû íàçîâ¼ì øàãè M 4.5.4.2 è N 4.5.4.2), òî p(M 4.5.4.1) ≥ p(M 4.5.4) + 2 · 182 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß äîáàâëÿåòñÿ îäíà ì¼ðòâàÿ âåðøèíà è åùå íå ìåíåå 1 5 â äîõîä, òàê êàê öåíà âåðøèíû q óìåíüøàåòñÿ. Â ýòîì ñëó÷àå 1 5 2 + ≥ , ∆u = 4, ∆b = 2, 15 5 15 2 1 6 p(N 4.5.4.2) ≥ p(N 4.5.4) + + ≥ , ∆u = 4, ∆b = 1. 15 5 15 p(M 4.5.4.2) ≥ p(M 4.5.4) + Òåïåðü ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ëþáîé óâåëè÷èâàþùèé ÷èñëî æèâûõ âåðøèí øàã ïðèíîñèò äîõîä õîòÿ áû 151 . Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü â ïîñëåäóþùèõ ðàññóæäåíèÿõ. Ïðîäîëæèì äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 6.3. Øàã M 4.3. á2. Â ýòîì ñëó÷àå â äåðåâå F3 ðîâíî 6 æèâûõ âåðøèí (ýòî a2 , b2 , c1 , c2 , z1 è z2 , ñì. ðèñóíîê 6.12a) è α0 (F3 ) ≥ 27 15 . Çà óìåðòâëåíèå ëþáîãî êîëè÷åñòâà æèâûõ âåðøèí, áîëüøåãî 5, ìû ïîëó÷àåì äîõîä íå ìåíåå âåðøèí ìû ïîëó÷àåì õîòÿ áû 3 15 . 2 15 , ïðè÷¼ì çà 6 À ïðè óâåëè÷åíèè êîëè÷åñòâà æèâûõ âåðøèí ïîëó÷èì äîïîëíèòåëüíûé äîõîä íå ìåíåå 1 15 . Â ëþáîì ñëó÷àå, ìû ïîëó÷èì α(G) ≥ 2. c1 b b b1 c2 V(F) b b a1 x b b b b1 c2 V(F) b b a1 b2 b x b b z2 y2 F0 y1 z1 b c1 c2 b b b V(F) a1 y1 b b z2 y2 z1 F0 F0 b b b b y2 z2 p 2 c b b b b1 V(F) a1 b y1 F0 z1 b2 b b b x b b a2 c1 c2 b b b p1 b2 b x b b b1 a2 b b b a a2 b b y1 z1 b2 c1 a2 b b b b y2 b z2 b b p1 r p 2 b d Ðèñ. 6.12: Ïîñòðîåíèå áàçîâîãî äåðåâà. Ñëó÷àé ì¼ðòâîé âåðøèíû a2 è øàãîâ M 4.3, M 4.2, M 4.5.3 è M 4.5.5. á3. Øàãè M 4.2, M 4.5.3, M 4.5.5. Â ýòèõ ñëó÷àÿõ α0 (F3 ) ≥ 28 . 15 183 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Äëÿ øàãà M 4.2 â äåðåâå F3 ðîâíî 7 æèâûõ âåðøèí (ýòî a2 , b2 , c1 , c2 , y2 , z1 è z2 , ñì. ðèñóíîê 6.12b). Äëÿ øàãà M 4.5.3 â äåðåâå F3 òàêæå ðîâíî 7 æèâûõ âåðøèí (ýòî a2 , b2 , c1 , c2 è êàêèå-òî òðè èç âåðøèí y2 , z2 , p1 è p2 , ñì. ðèñóíîê 6.12ñ) â äåðåâå F3 ðîâíî 7 æèâûõ âåðøèí. Çíà÷èò, íåîáõîäèìî óìåðòâèòü íå ìåíåå 7 æèâûõ âåðøèí, çà ÷òî ìû ïîëó÷èì äîõîä õîòÿ áû 2 15 (ñì. òàáëèöó 1) è îáåñïå÷èì α(G) ≥ 2. Â ñëó÷àå øàãà M 4.5.5 (ñì. ðèñóíîê 6.12d) â äåðåâå F3 ðîâíî 4 æèâûõ âåðøèíû: ýòî a2 , b2 , c1 è c2 . Ñëåäîâàòåëüíî, ìû äîëæíû óìåðòâèòü m ≥ 4 æèâûõ âåðøèíû. Èç òàáëèöû 1 âèäíî, ÷òî åñëè m 6= 5, òî ìû ïîëó÷èì äîõîä íå ìåíåå 2 15 è îáåñïå÷èì α(G) ≥ 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî m = 5. Â ýòîì ñëó÷àå çà óìåðòâëåíèå âåðøèí ìû ïîëó÷èì äîõîä õîòÿ áû 1 15 . Îäíàêî, íóæíî ñäåëàòü õîòÿ áû îäèí øàã, óâåëè÷èâàþùèé ÷èñëî æèâûõ âåðøèí, êîòîðûé äàñò äîõîä õîòÿ áû 1 15 è òàêæå îáåñïå÷èò α(G) ≥ 2. Òåïåðü â íàøåé òàáëèöå øàãîâ ïðîèçîøëè áîëüøèå èçìåíåíèÿ, íèæå ïðèâåä¼ì îáíîâëåííûé âàðèàíò òàáëèöó 2. Çàìå÷àíèå 6.12. 1) Àíàëèçèðóÿ òàáëèöó 2, ëåãêî ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû: çà ëþáîé øàã ìû ïîëó÷àåì äîõîä õîòÿ áû 1 15 ; çà îäèí èëè íåñêîëüêî øàãîâ, óâåëè÷èâàþùèõ êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí 5, ìû ïîëó÷àåì äîõîä õîòÿ áû 5 15 . øàã, íå ìåíÿþùèé êîëè÷åñòâà æèâûõ âåðøèí, ïðèíîñèò äîõîä õîòÿ áû 3 15 . øàã, óìåíüøàþùèé êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí íà âåëè÷èíó, îòëè÷íóþ îò 5, ïðèíîñèò äîõîä õîòÿ áû 2 15 . 2) Ïîñòðîåíèå îñòîâíîãî äåðåâà ïî íàøåìó àëãîðèòìó çàêàí÷èâàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû ïîñòðîåííîãî äåðåâà ó ïîñëåäíåãî øàãà ïîñòðîåíèÿ ïàðàìåòð ∆u − ∆b äîëæåí áûòü îòðèöàòåëüíûì. ñòàíîâÿòñÿ ìåðòâûìè. Ïîýòîìó íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî 184 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Øàã ∆u − ∆b 15·äîõîä A1 1 7 1 1 2 2 N 4.1.1 0 3 M 4.5.4.1 1 4 2 5 3 6 M 3.1 −4 5 N 3.1 −3 6 M 3.2 −2 4 N 3.2 −1 5 −1 2 Z1.1 −4 2 Z1.2 −3 3 Z2.1 −5 1 A2, A4 A3 M 1, N 1, M 4.1.2, N 4.1.2, M 2, M 4.5.1, N 4.5.1, N 4.5.4.1, N 2, M 4.5.4.2 N 4.5.4.2 M 4.1.1, Z0 Òàáëèöà 2. Ïðîäîëæèì ðàññìîòðåíèå ñëó÷àåâ â ïîñòðîåíèè áàçîâîãî äåðåâà. B5. Â ãðàôå åñòü äâå ñìåæíûå âåðøèíû a ∈ T è b ∈ S , ó êîòîðûõ NG (a) ∩ NG (b) = ∅. Ìû íà÷í¼ì ïîñòðîåíèå ñ áàçîâîãî äåðåâà F 0 , â êîòîðîì a è b ñîåäèíåíû äðóã ñ äðóãîì è ñî âñåìè âåðøèíàìè èç èõ îêðåñòíîñòåé. Â òàêîì äåðåâå u(F 0 ) = 5, cG (F 0 ) ≤ 1 2 13 +6· = 5 5 5 è α0 (F 0 ) ≥ 5 · 13 26 − cG (F 0 ) ≥ . 15 15 Åñëè õîòÿ áû îäíà èç âèñÿ÷èõ âåðøèí äåðåâà F 0 íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó T , ýòî óâåëè÷èò α0 (F 0 ) íà 1 5 è ñäåëàåò α0 (F 0 ) ≥ 29 15 , ÷åãî ñ ó÷¼òîì ëåììû 6.2 íàì äîñòàòî÷íî. Îñòà¼òñÿ ñëó÷àé, êîãäà âñå ýòè âåðøèíû èç T , òî åñòü, èìåþò ñòåïåíü 4. Áóäåì äîñòðàèâàòü äåðåâî ïî íàøåìó àëãîðèòìó. Ðàññìîòðèì äâà 185 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß âàðèàíòà. B5.1. Â ïðîöåññå ïîñòðîåíèÿ óâåëè÷èâàëîñü êîëè÷åñòâî æèâûõ âåð- øèí. Èçíà÷àëüíî ýòî êîëè÷åñòâî ðàâíî 5. Çà óìåðòâëåíèå ëþáîãî êîëè÷åñòâà æèâûõ âåðøèí, áîëüøåãî 5, ìû ïîëó÷èì õîòÿ áû 2 15 , ïðè÷¼ì ðîâíî 2 15 ìîæíî ïîëó÷èòü òîëüêî çà 10 âåðøèí. Äëÿ îñòàëüíûõ êîëè÷åñòâ ìû ïîëó÷èì çà óìåðòâëåíèå äîõîä õîòÿ áû 3 15 è åùå õîòÿ áû 1 15 çà óâåëè÷åíèå êîëè÷åñòâà æèâûõ âåðøèí è îáåñïå÷èì α(G) ≥ 2. Ïóñòü êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí óâåëè÷èëîñü äî 10. Ïî çàìå÷àíèþ 6.12, ìû íà ýòîì ïîëó÷èëè äîõîä õîòÿ áû B5.2. 5 15 . Ñëåäîâàòåëüíî, α(G) > 2. Â ïðîöåññå ïîñòðîåíèÿ íå óâåëè÷èâàëîñü êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî áûë âûïîëíåí êàêîé-òî øàã, íå èçìåíèâøèé êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí è ìû ïîëó÷èëè äåðåâî F1 . Ïî çàìå÷àíèþ 6.12, ýòîò øàã íå ïîñëåäíèé, à åãî äîõîä áûë õîòÿ áû 3 15 . Çíà÷èò, α0 (F1 ) ≥ 29 15 , è ïî ëåììå 6.2 ìû ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî α(G) ≥ 2. Îñòà¼òñÿ ñëó÷àé, êîãäà ñ áàçîâûì äåðåâîì F 0 ïðîèçâîäèëèñü òîëüêî øàãè, óìåíüøàþùèå êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí. Íóæíî óìåðòâèòü 5 æèâûõ âåðøèí. Ëþáîé ñïîñîá ñäåëàòü ýòî, êðîìå øàãà Z2.1, äàñò äîõîä õîòÿ áû 4 15 è îáåñïå÷èò α(G) ≥ 2. Çíà÷èò, âûïîëíåí øàã Z2.1, äîáàâèâøèé äâå ñìåæíûå âåðøèíû a0 ñòåïåíè 4 è b0 ñòåïåíè 3. Òàêèì îáðàçîì, íàø ãðàô ñîñòîèò èç 9 âåðøèí: â íåì åñòü äâå êîïèè äåðåâà F 0 (ñ öåíòðàìè a, b è a0 , b0 ) ñ ïÿòüþ îáùèìè âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè x1 , x2 , x3 ∈ NG (a) è y1 , y2 ∈ NG (b). Èç dG (x1 ) = dG (x2 ) = dG (x3 ) = dG (y1 ) = dG (y2 ) = 4 ñëåäóåò, ÷òî G({x1 , x2 , x3 , y1 , y2 }) ðåãóëÿðíûé ãðàô ñòåïåíè 2, òî åñòü, öèêë èç ïÿòè âåðøèí. Â ëþáîì ñëó÷àå, ñóùåñòâóþò äâà íåçàâèñèìûõ ðåáðà, ñîåäèíÿþùèõ {x1 , x2 , x3 } ñ {y1 , y2 }. Ïóñòü ýòî áóäóò ð¼áðà x1 y1 è x2 y2 . 186 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî x1 è y2 íåñîñåäíèå âåðøèíû ýòîãî öèêëà èç 5 âåðøèí. (Åñëè âåðøèíû x1 è y2 ñîñåäíèå â öèêëå, òî x2 è y1 íåñîñåäíèå. Â ýòîì ñëó÷àå ìû ñìåíèì íóìåðàöèþ âåðøèí.) Òîãäà a, b, x2 , x3 , y1 ∈ NG (x1 ) ∪ NG (y2 ), ïðè÷¼ì îäíà èç âåðøèí x2 , x3 , y1 âõîäèò â NG (x1 ) ∩ NG (y2 ). a b b b b b x1 b b a’ b b y 2 b b b’ a x1 a’ b b y 2 b b a b b b b z b b’ b Ðèñ. 6.13: Ñëó÷àé B5.2. Åñëè a0 ∈ NG (x1 ) ∩ NG (y2 ), òî ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî, ñîåäèíèâ a0 ñ x1 è y2 è ïðèñîåäèíèâ ê íèì âñå îñòàëüíûå âåðøèíû (âåðøèíó b0 ïðèñîåäíèì ê a0 , ñì. ðèñ. 6.13a). Àíàëîãè÷íî â ñëó÷àå b0 ∈ NG (x1 ) ∩ NG (y2 ). Îñòà¼òñÿ ñëó÷àé, êîãäà îäíà èç âåðøèí a0 è b0 ñìåæíà ñ x1 , à äðóãàÿ ñ y2 . Òîãäà ñîåäèíèì x1 è y2 ñ âåðøèíîé èç NG (x1 )∩NG (y2 ) (âûøå ñêàçàíî, ïî÷åìó òàêàÿ åñòü, íàçîâ¼ì åå z ) è ïðèñîåäèíèì ê ýòèì äâóì âåðøèíàì âñå îñòàëüíûå (ñì. ðèñ. 6.13b). Â èòîãå ïîëó÷èòñÿ îñòîâíîå äåðåâî ñ 6 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè. Îñòàåòñÿ ëèøü îòìåòèòü, ÷òî 6 > Çàìå÷àíèå 6.13. 2 5 · 7 + 15 · 2 + 2. 1) Â ðàññìàòðèâàåìûõ äàëåå ñëó÷àÿõ íå âûïîëíÿþòñÿ øàãè Z2.1 è A4 â âèäó îòñóòñòâèÿ ðàçîáðàííîé â ïóíêòå B5 êîíôèãóðàöèè. Äàëåå ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ëþáûå äâå ñìåæíûå âåðøèíû a, b ∈ V (G) èìåþò îáùóþ ñìåæíóþ âåðøèíó. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ýòî íå òàê è 2) NG (a) ∩ NG (b) = ∅. Ñëó÷àé a, b ∈ S íåâîçìîæåí ìû âûïîëíèëè áû ðåäóêöèþ R2. Åñëè a, b ∈ T , òî ãðàô óäîâëåòâîðÿë áû óñëîâèþ ïóíêòà B1. 187 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß À â ñëó÷àÿõ, êîãäà îäíà èç âåðøèí ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó S , à äðóãàÿ ìíîæåñòâó T , ãðàô óäîâëåòâîðÿë áû óñëîâèþ ïóíêòà B5. B6. Â ãðàôå íåò âåðøèí ñòåïåíè 4. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî G ðåãóëÿðíûé ãðàô ñòåïåíè 3. Â ýòîì ñëó÷àå Êëåéòìàí è Âåñò [19] äîêàçàëè, ÷òî â òàêîì ãðàôå u(G) ≥ s· 41 +2, îòêóäà ñëåäóåò ðåçóëüòàò íàøåé òåîðåìû. Ëåììà 6.4. Åñëè α(G) < 2, òî ïîñëå ëþáîãî èç øàãîâ M 1, N 1, M 2, N 2, M 3.1, N 3.1, M 3.2, N 3.2, M 4.1.1, N 4.1.1, M 4.1.2, N 4.1.2, M 4.5.1, N 4.5.1, M 4.5.4.1, N 4.5.4.1, M 4.5.4.2, N 4.5.4.2 äîëæíà ïîÿâèòüñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ (ïî îòíîøåíèþ ê òàáëèöå 2) ì¼ðòâàÿ âåðøèíà. Äîêàçàòåëüñòâî. Â êàæäîì èç ýòèõ øàãîâ îäíà èç äîáàâëåííûõ âèñÿ÷èõ âåðøèí v áûëà ñìåæíà ñ V (F ) (äëÿ øàãîâ M 1, N 1, M 2, N 2, M 4.5.4.1, N 4.5.4.1, M 4.5.4.2, N 4.5.4.2 ýòî áûëî óñòàíîâëåíî â ëåììå 6.3, äëÿ øàãîâ M 3.1, N 3.1, M 3.2, N 3.2 ýòî óñòàíîâëåíî ñðàçó ïîñëå îïèñàíèÿ øàãà 3, äëÿ îñòàëüíûõ øàãîâ ñëåäóåò èç èõ îïèñàíèÿ). Âñïîìíèì äåòàëè øàãîâ. Âî âñåõ øàãàõ ìû ê äåðåâó F ïðèñîåäèíÿëè íåêîòîðîå ïîääåðåâî (íàçîâåì åãî F0 , ñì. ðèñóíîê 6.14) ÷åðåç êîðåíü x ∈ W , ãäå W = V (G)\V (F ). Íàïîìíèì, ÷òî âñå âåðøèíû èç W , ñìåæíûå ñ V (F ), íàçûâàþòñÿ âåðøèíàìè óðîâíÿ 1. F b b x w F0 b b b b b b b v a Ðèñ. 6.14: Äîïîëíèòåëüíàÿ ìåðòâàÿ âåðøèíà. Îòìåòèì, ÷òî v 6= x (âåðøèíà x âî âñåõ øàãàõ íåâèñÿ÷àÿ). Òîãäà ñóùåñòâóåò w ∈ W ïðåäîê v â äîáàâëåííîì ïîääåðåâå F0 . Ïî çàìå÷àíèþ 6.13 ìû èìååì NG (v) ∩ NG (w) 6= ∅. 188 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Ïóñòü a âåðøèíà, ñìåæíàÿ è ñ v , è c w. Ïîíÿòíî, ÷òî a 6∈ V (F ), òàê êàê íè îäíà âåðøèíà èç V (F ) íå ñìåæíà ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç W ïî çàìå÷àíèþ 6.5. Âåðøèíà w íåâèñÿ÷àÿ â ïîëó÷åííîì ïîñëå øàãà äåðåâå. Òîãäà ïî ïîñòðîåíèþ âñå ñìåæíûå ñ w âåðøèíû ëåæàò â V (F ) ∪ V (F0 ) (â ýòîì íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ïðîñìîòðåâ äåòàëè øàãîâ). Ñëåäîâàòåëüíî, a ∈ V (F0 ). Òàêèì îáðàçîì, v èìååò äâå ñìåæíûå âåðøèíû w, a ∈ W , âîøåäøèå â ïîñòðîåííîå ïîñëå øàãà äåðåâî. Âåðøèíà v ∈ W âåðøèíà óðîâíÿ 1, òàê êàê ñìåæíà ñ V (F ). Òîãäà ïî çàìå÷àíèþ 6.5 âåðøèíà v íå ìîæåò áûòü ñìåæíà áîëåå ÷åì ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç W . Ïîýòîìó v ïîñëå îêîí÷àíèÿ øàãà áóäåò ì¼ðòâîé âåðøèíîé, êîòîðàÿ íå ó÷òåíà â ïàðàìåòðàõ øàãà. M 1, N 1, Øàã ∆u − ∆b 15·äîõîä A1 1 7 A2 1 1 A3 2 2 N 4.1.1 −1 5 M 4.5.4.1 0 6 1 7 2 8 M 3.1 −5 7 N 3.1 −4 8 M 3.2 −3 6 N 3.2 −2 7 M 4.1.1 −2 4 Z0 −1 2 Z1.1 −4 2 Z1.2 −3 3 M 4.1.2, N 4.1.2, M 4.5.1, N 4.5.1, M 2, N 4.5.4.1, N 2, M 4.5.4.2 N 4.5.4.2 Òàáëèöà 3. 189 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Ïåðåä ïîñëåäíèì è ñàìûì ñëîæíûì ñëó÷àåì ïåðåïèøåì íàøó òàáëèöó øàãîâ, äîáàâèâ â óêàçàííûå â ëåììå 6.4 øàãè ïî ì¼ðòâîé âåðøèíå è äîõîä çà íåå. Êðîìå òîãî, óáåðåì øàãè Z2.1 è A4, íåâîçìîæíûå â âèäó çàìå÷àíèÿ 6.13. Îáíîâëåííûå ïàðàìåòðû øàãîâ ïðèâåäåíû â òàáëèöå 3. B7. Ãðàô íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ íè îäíîãî èç ïðåäûäóùèõ ñëó÷àåâ. Òîãäà â ãðàôå åñòü âåðøèíà a ñòåïåíè 4. Åñëè ñîåäèíèòü a ñ âåðøèíàìè èç åå îêðåñòíîñòè, ïîëó÷èòñÿ äåðåâî F 0 ñ 4 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè v1 , v2 , v3 , v4 . Ìû ñ÷èòàåì ýòè âåðøèíû æèâûìè. Åñëè ñðåäè íèõ åñòü ì¼ðòâûå, ýòî áóäåò îôîðìëåíî ñîîòâåòñòâóþùèì êîëè÷åñòâîì øàãîâ Z0 . Òîãäà α0 (F 0 ) ≥ 4 · 2 22 13 −5· = . 15 5 15 Ïðîäîëæèì ïîñòðîåíèå ïî íàøåìó àëãîðèòìó. Ïîäñ÷èòàåì ñóììàðíîå êîëè÷åñòâî ïðèáàâîê æèâûõ âåðøèí íà øàãàõ, êîãäà èõ èçìåíåíèå ïîëîæèòåëüíî è îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç `. Øàãè, óìåíüøàþùèå êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí, äîëæíû óìåðòâèòü ` + 4 âåðøèíû. Ðàçáåð¼ì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ. B7.1. ` ≥ 2. Èç òàáëèöû 3 âèäíî, ÷òî äîáàâèâ ` æèâûõ âåðøèí ìû ïîëó÷èëè äîõîä íå ìåíåå ` 15 . Ïðè ` = 2 ìû äîëæíû óìåðòâèòü 6 æèâûõ âåðøèí, ìèíèìàëüíûé äîõîä çà ýòî ðàâåí 6 15 , ïîëó÷àåì α(G) ≥ 2. Ïðè ` = 3 ìû äîëæíû óìåðòâèòü 7 æèâûõ âåðøèí, ìèíèìàëüíûé äîõîä çà ýòî ðàâåí 5 15 , ïîëó÷àåì α(G) ≥ 2. Ïðè ` ≥ 4 ìû äîëæíû óìåðòâèòü íå ìåíåå 8 æèâûõ âåðøèí, ìèíèìàëüíûé äîõîä çà ýòî íå ìåíåå B7.2. 4 15 , ïîëó÷àåì α(G) ≥ 2. ` = 0. Ïî çàìå÷àíèþ 6.12 ïîñëåäíèé øàã äîëæåí èìåòü îòðèöàòåëüíûé ïàðàìåòð ∆u − ∆b. Èç òàáëèöû 3 ëåãêî âèäåòü, ÷òî òàêîé øàã äîáàâëÿåò â äîõîä íå ìåíåå 2 15 . Åñëè áûë ñäåëàí øàã, íå èçìåíÿþùèé êîëè÷åñòâî æè- âûõ âåðøèí, çà íåãî ïîëó÷åí äîõîä íå ìåíåå 6 15 , òîãäà α(G) ≥ 2. Çíà÷èò, âûïîëíÿëèñü òîëüêî øàãè, óìåíüøàþùèå êîëè÷åñòâî æèâûõ 190 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß âåðøèí. Èç òàáëèöû 3 âèäíî, ÷òî ñóùåñòâóþò äâà ñïîñîáà óìåðòâèòü 4 æèâûõ âåðøèíû, çàðàáîòàâ ìåíåå 8 15 (è íå îáåñïå÷èâ α(G) ≥ 2) ýòî øàã Z0 âìåñòå ñ øàãîì Z1.2 (ñóììàðíûé äîõîä B7.2.1. 5 15 ) è øàã Z1.1 (äîõîä 2 15 ). Âûïîëíåíû øàã Z0 è øàã Z1.2. Ìû ïîëó÷àåì äîõîä 5 15 , èòîãî α(G) ≥ 27 15 . Åñëè õîòÿ áû îäíà èç âèñÿ÷èõ âåðøèí äåðåâà F 0 íå èç T , òî äîõîä âûðàñòåò õîòÿ áû íà 3 15 è ïîëó÷èòñÿ α(G) ≥ 2. Çíà÷èò, âñå ýòè âåðøèíû èç T è èìåþò ñòåïåíü 4 â ãðàôå G. Òîãäà â ãðàôå G ðîâíî 6 âåðøèí: 5 âåðøèí ñòåïåíè 4 è îäíà âåðøèíà ñòåïåíè 3 (äîáàâëåííàÿ íà øàãå Z1.2). Î÷åâèäíî, ýòî íåâîçìîæíî. B7.2.2. Âûïîëíåí øàã Z1.1. Ìû ïîëó÷àåì äîõîä 2 15 , èòîãî α(G) ≥ 24 15 = 85 . Ãðàô â ýòîì ñëó÷àå èìååò 6 âåðøèí. Äîáàâëåííàÿ íà ïîñëåäíåì øàãå âåðøèíà èìååò ñòåïåíü 4. Åñëè õîòÿ áû äâå èç âåðøèí v1 , v2 , v3 , v4 íå ïðèíàäëåæàò T , òî äîõîä óâåëè÷èâàåòñÿ íà 6 15 è α(G) ≥ 2. Åñëè îäíà èç íèõ íå ïðèíàäëåæèò T , ìû ïîëó÷àåì ãðàô íà 5 âåðøèíàõ ñòåïåíè 4 è îäíîé âåðøèíå ñòåïåíè 3, ÷òî íåâîçìîæíî. Çíà÷èò, α(G) < 2 ìîæåò áûòü òîëüêî ó ðåãóëÿðíîãî ãðàôà ñòåïåíè 4 íà 6 âåðøèíàõ, íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî åäèíñòâåííûé òàêîé ãðàô ýòî C62 , êîòîðûé äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ãðàôîì-èñêëþ÷åíèåì (α(C62 ) = 58 ). B7.3. ` = 1. Â ýòîì ñëó÷àå ìû ñäåëàëè ðîâíî îäèí øàã, óâåëè÷èâàþùèé êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí, è óâåëè÷èëè åãî íà 1. Èç òàáëèöû 3 âèäíî, ÷òî ëèáî ýòî øàã A2, ëèáî ìû ïîëó÷èëè äîõîä õîòÿ áû 7 15 è äåðåâî F1 ñ α0 (F1 ) ≥ 29 15 , ÷òî äîñòàòî÷íî äëÿ α(G) ≥ 2. Çíà÷èò, ìû ñäåëàëè ðîâíî îäèí øàã A2 ñ äîõîäîì âî F1 ñ α0 (F1 ) ≥ 23 15 . 1 15 è ïîëó÷èëè äåðå- Êàê è â ïðåäûäóùåì ïóíêòå, åñëè ìû ñäåëàëè øàã, íå èçìåíÿþùèé êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí, òî α(G) ≥ 2. Çíà÷èò, øàã A2 áûë åäèíñòâåííûì, êðîìå øàãîâ, óìåíüøàþùèõ ÷èñëî æèâûõ âåðøèí. Èç òàáëèöû 3 âèäíî, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ñïîñîá óìåðòâèòü 5 æèâûõ âåðøèí, çàðàáîòàâ ìåíåå 7 15 (è íå îáåñïå÷èâ α ≥ 2) ýòî øàã Z0 âìåñòå 191 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß ñ øàãîì Z1.1 (äîõîä 4 15 , äîáàâëÿåò âåðøèíó ñòåïåíè 4). Ñóììàðíûé äîõîä âñåõ ýòèõ øàãîâ îáåñïå÷èâàåò α(G) ≥ 27 15 . Åñëè õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí v1 , v2 , v3 , v4 èëè äâóõ âåðøèí, äîáàâëåííûõ íà øàãå A2, èìååò ñòåïåíü 3, òî äîõîä óâåëè÷èâàåòñÿ íà 3 15 è îáåñïå- ÷èâàåò α(G) ≥ 2. Â îñòàâøåìñÿ ñëó÷àå G ðåãóëÿðíûé ãðàô ñòåïåíè 4 íà 8 âåðøèíàõ. Ïî çàìå÷àíèþ 6.13 êàæäîå ðåáðî ãðàôà G äîëæíî âõîäèòü â òðåóãîëüíèê. Óáåäèìñÿ, ÷òî ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà ñóùåñòâóåò äâà 4-ðåãóëÿðíûõ ãðàôà íà 8 âåðøèíàõ, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ýòîìó óñëîâèþ. Åñëè G ÿâëÿåòñÿ âåðøèííî 4-ñâÿçíûì ãðàôîì, òî âîñïîëüçóåìñÿ ðàáîòîé [27] òàì äîêàçàíî, ÷òî G ýòî Cn2 èëè ð¼áåðíûé ãðàô 4-öèêëè÷åñêè-ñâÿçíîãî êóáè÷åñêîãî ãðàôà. Âòîðàÿ âîçìîæíîñòü îòïàäàåò, òàê êàê êîëè÷åñòâî âåðøèí òàêîãî ð¼áåðíîãî ãðàôà äîëæíî äåëèòüñÿ íà 3, à ïåðâàÿ âîçìîæíîñòü äà¼ò ãðàô C82 , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ èñêëþ÷åíèåì (α(C82 ) = 95 ). Ïóñòü G èìååò ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî R ìåíåå ÷åì èç 4 âåðøèí. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ìíîæåñòâî èç 4 − k âåðøèí íå ìîæåò îòäåëèòü â 4-ðåãóëÿðíîì ãðàôå êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè, ñîäåðæàùóþ ìåíåå k + 1 âåðøèíû, ïîýòîìó |R| ≥ 2. Åñëè |R| = 2, òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ âîçìîæíîñòü: ìíîæåñòâî R äîëæíî ðàçäåëÿòü ãðàô íà äâå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè èç òð¼õ âåðøèí, ïðè÷¼ì âñå ýòè 6 âåðøèí äîëæíû áûòü ñìåæíû ñ äâóìÿ âåðøèíàìè ìíîæåñòâà R. Òîãäà ñòåïåíè âåðøèí èç R áóäóò ïî 6, ïðîòèâîðå÷èå. a r1 b 1 r2 r a b b b 2 b r3 b b1 b b2 b b3 Ðèñ. 6.15: Ãðàô G8 . Ïóñòü |R| = 3, R = {r1 , r2 , r3 }. Òîãäà îäíà èç êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ñî- 192 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß äåðæèò äâå âåðøèíû (ïóñòü ýòî a1 , a2 ), à äðóãàÿ òðè âåðøèíû (b1 , b2 , b3 ), ñì. ðèñóíîê 6.15. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî a1 è a2 ñìåæíû è êàæäàÿ èç íèõ ñìåæíà ñ r1 , r2 , r3 (èíà÷å dG (ai ) < 4). Îò êàæäîé èç âåðøèí r1 , r2 , r3 âûõîäèò íå áîëåå, ÷åì ïî äâà ðåáðà ê b1 , b2 , b3 , çíà÷èò, ñóììà ñòåïåíåé âåðøèí â ãðàôå G({b1 , b2 , b3 }) íå ìåíåå 6, òî åñòü, ýòî òðåóãîëüíèê. Ñëåäîâàòåëüíî, îò êàæäîé èç âåðøèí r1 , r2 , r3 âûõîäèò ðîâíî ïî äâà ðåáðà ê b1 , b2 , b3 , òî åñòü, âåðøèíû r1 , r2 , r3 ïîïàðíî íå ñìåæíû. Òåïåðü äâóäîëüíûé ãðàô ñ äîëÿìè {r1 , r2 , r3 } è {b1 , b2 , b3 } îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ýòî K3,3 áåç ïàðîñî÷åòàíèÿ. Ïîëó÷åííûé ãðàô ýòî ãðàô G8 , èçîáðàæåííûé íà ðèñóíêå 6.15. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî α(G8 ) = 27 15 , òî åñòü, ýòîò ãðàô äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ èñêëþ÷åíèåì. 6.1.5 Ðåäóêöèÿ è êîíòðïðèìåðû Äîêàæåì, ÷òî åñëè ê ãðàôó G õîòÿ áû îäèí ðàç áûëî ïðèìåíåíî ðåäóêöèîííîå ïðàâèëî R1 èëè R2, òî G íå èñêëþ÷åíèå. Êàê ìû çíàåì, ïðèìåíåíèå ïðàâèë R1 è R2 íå ìîæåò óìåíüøèòü α(G). Çíà÷èò, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî α(G) ≥ 2 äëÿ ãðàôà G, èç êîòîðîãî ñ ïîìîùüþ R1 èëè R2 ïîëó÷åí îäèí èç ãðàôîâ C62 , C82 èëè G8 . Ðàññìîòðèì 6 ñëó÷àåâ. 1. Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ R1 ïîëó÷èëñÿ ãðàô C62 . Ïóñòü èç íàøåãî ãðàôà G ïîëó÷èëñÿ êâàäðàò öèêëà a1 a2 a3 a4 a5 a6 ïîñëå òîãî, êàê íà îäíîì èç ð¼áåð óáðàëè âåðøèíó w ñòåïåíè 2. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïîëîæèì, ÷òî âåðøèíà w áûëà íà ðåáðå a1 a2 èëè a1 a3 . Â îáîèõ ñëó÷àÿõ ëåãêî ïîñòðîèòü îñòîâíûå äåðåâüÿ ñ 5 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè: ñì. ðèñ. 6.16a è 6.16b. Çíà÷èò, u(G) ≥ 5 > 6 · 2. 2 + 2 è α(G) > 2. 5 Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ R2 ïîëó÷èëñÿ ãðàô C62 . Îáîçíà÷åíèÿ îñòàâèì, êàê â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, ïóñòü ïîñëå ñêëåèâàíèÿ 193 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß a2 w a 1 a2 a3 b b b b b b a6 b b a a4 a a3 b b w b 1 a4 b a6 a5 b a2 w v b a6 b b b c a2 w b a5 b a3 b b b a4 v a3 b b b b b a5 a6 b b d a4 a5 Ðèñ. 6.16: Ðåäóêöèÿ: ñëó÷àé C62 . äâóõ âåðøèí v è w ñòåïåíè 3 îáðàçîâàëàñü âåðøèíà a1 . Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåðøèíà a2 ñìåæíà â ãðàôå G ñ w. Åñëè a3 ñìåæíà â G ñ v , ìû ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî ñ 5 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè, êàê íà ðèñóíêå 6.16ñ. Åñëè a3 ñìåæíà â G ñ w, òî âåðøèíà a6 ñìåæíà â ãðàôå G ñ v , è ìû ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî ñ 5 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè, êàê íà ðèñóíêå 6.16d. Òàêèì îáðàçîì, u(G) ≥ 5 è α(G) > 2. 3. Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ R1 ïîëó÷èëñÿ ãðàô C82 . Ïóñòü èç íàøåãî ãðàôà G ïîëó÷èëñÿ êâàäðàò öèêëà a1 a2 . . . a8 ïîñëå òîãî, êàê íà îäíîì èç ð¼áåð óáðàëè âåðøèíó w ñòåïåíè 2. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïîëîæèì, ÷òî âåðøèíà w áûëà íà ðåáðå a1 a2 èëè a1 a3 . Â ïåðâîì ñëó÷àå ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî ñ 6 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè, êàê íà ðèñóíêå 6.17a, à âî âòîðîì ñëó÷àå êàê íà ðèñóíêå 6.17b. Òàêèì îáðàçîì, u(G) ≥ 6 > 8 · a3 b b a 1 a3 a5 a b b a b 8 a a7 a 6 a1 a3 a4 b a5 w b b b a b 8 b a7 b b b b 2 b b b b b b 2 w a a4 2 + 2 è α(G) > 2. 5 a6 a w b a5 b v b b a b 8 b b b b 2 a3 a4 a7 c a6 a a5 b b 2 w a4 b b v b b a b 8 a6 a7 d Ðèñ. 6.17: Ðåäóêöèÿ: ñëó÷àé C82 . 4. Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ R2 ïîëó÷èëñÿ ãðàô C82 . Îáîçíà÷åíèÿ îñòàâèì, êàê â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, ïóñòü ïîñëå ñêëåèâàíèÿ 194 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß äâóõ âåðøèí v è w ñòåïåíè 3 îáðàçîâàëàñü âåðøèíà a1 . Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåðøèíà a2 ñìåæíà â ãðàôå G ñ w. Åñëè a3 ñìåæíà â G ñ v , ìû ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî ñ 6 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè, êàê íà ðèñóíêå 6.17c. Åñëè a3 ñìåæíà â G ñ w, òî âåðøèíà a8 ñìåæíà â ãðàôå G ñ v è ìû ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî ñ 6 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè, êàê íà ðèñóíêå 6.17d. Òàêèì îáðàçîì, u(G) ≥ 6 è α(G) > 2. 5. Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ R1 ïîëó÷èëñÿ ãðàô G8 . Áóäåì èñïîëüçîâàòü äëÿ ãðàôà G8 îáîçíà÷åíèÿ, êàê íà ðèñóíêå 6.15. Â ñèëó ñèììåòðèè äîñòàòî÷íî ðàçîáðàòü ÷åòûðå ñëó÷àÿ ðàñïîëîæåíèÿ âåðøèíû w ãðàôà G íà îäíîì èç ðåáåð ãðàôà G8 : íà a1 a2 (îñòîâíîå äåðåâî ñ 6 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå 6.18a), b1 b3 (ðèñóíîê 6.18b), r3 b3 (ðèñóíîê 6.18c) è r3 a1 (ðèñóíîê 6.18d). Òåì ñàìûì, â ëþáîì cëó÷àå ïîñòðîåíî îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G ñ 6 âåðøèíàìè, u(G) ≥ 6 è α(G) > 2. a r1 1 b w r2 b a b b b a 2 b r3 r1 1 r2 b b b b1 b a b b a 2 b r3 r1 1 r2 b b a b3 b1 w b b2 b b b b3 b1 b b2 c a 2 b b b b b b2 a b b b r3 r1 1 r2 b w b3 a b b w b 2 b b r3 b b1 b b2 b b3 d Ðèñ. 6.18: Ðåäóêöèÿ: ñëó÷àé ãðàôà G8 è ïðàâèëà R1. 6. Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ R2 ïîëó÷èëñÿ ãðàô G8 . Îáîçíà÷åíèÿ îñòàâèì, êàê â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå. Â ñèëó ñèììåòðèè ãðàôà âîçìîæíû òðè ïðèíöèïèàëüíî ðàçíûõ âàðèàíòà: ïîñëå ñêëåèâàíèÿ äâóõ âåðøèí v è w ñòåïåíè 3 â ãðàôå G îáðàçîâàëàñü âåðøèíà a1 , b1 , r1 ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè îáðàçîâàëàñü âåðøèíà a1 , òî NG ({w, v}) = {a2 , r1 , r2 , r3 }. Ðàññìîòðèì äåðåâî F1 , èçîáðàæåííîå íà ðèñóíêå 6.19à. Â íåì òðè íåâèñÿ÷èõ âåðøèíû a2 , r2 , r3 è êàæäàÿ èç âåðøèí w è v ñìåæíà â ãðàôå G ñ îäíîé èç 195 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß íèõ. Ñëåäîâàòåëüíî, F1 ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G ñ 6 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè. a b r1 r2 b a 2 b b b2 b a r1 b a b b r2 b a 2 b r3 b b3 b v b b b1 r3 1 b2 1 w a b b r2 b 2 b r3 b b b b3 b1 b b b2 b c b3 Ðèñ. 6.19: Ðåäóêöèÿ: ñëó÷àé ãðàôà G8 è ïðàâèëà R2. Åñëè îáðàçîâàëàñü âåðøèíà b1 , òî NG ({w, v}) = {b2 , b3 , r1 , r2 }. Ðàññìîòðèì äåðåâî F2 , èçîáðàæåííîå íà ðèñóíêå 6.19b. Â í¼ì òðè íåâèñÿ÷èõ âåðøèíû b2 , b3 , r2 è êàæäàÿ èç âåðøèí w è v ñìåæíà ñ îäíîé èç íèõ. Ñëåäîâàòåëüíî, F2 ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G ñ 6 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè. Ïóñòü îáðàçîâàëàñü âåðøèíà r1 , òîãäà NG ({w, v}) = {a1 , a2 , b1 , b2 }. Â ñèëó ñèììåòðèè âîçìîæíû äâà ïðèíöèïèàëüíî ðàçíûõ ñëó÷àÿ: a1 , a2 ∈ NG (w), b1 , b2 ∈ NG (v); a1 , b2 ∈ NG (w), a2 , b1 ∈ NG (v). Â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî ñ 6 âåðøèíàìè â ãðàôå G, êàê íà ðèñóíêå 6.19ñ. Òàêèì îáðàçîì, â ëþáîì ñëó÷àå u(G) ≥ 6 è α(G) > 2. Òåïåðü ìû ïîëíîñòüþ äîêàçàëè òåîðåìó 6.1. 6.1.6 Ýêñòðåìàëüíûå ïðèìåðû Ñóùåñòâóåò ìíîãî áåñêîíå÷íûõ ñåðèé ïðèìåðîâ ãðàôîâ G, ñîäåðæàùèõ s > 0 âåðøèí ñòåïåíè 3 è t > 0 âåðøèí ñòåïåíè áîëåå 3, äëÿ êîòîðûõ 2 1 u(G) = t + s + 2. 5 4 196 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Ìû ïðèâåä¼ì ïðèìåð ñåðèè ãðàôîâ, âñå âåðøèíû êîòîðûõ èìåþò ñòåïåíè 3 è 4. Òàêèì îáðàçîì, ãðàôû ýòîé ñåðèè ÿâëÿþòñÿ òàêæå îáåùàííûìè âî ââåäåíèè êîíòðïðèìåðàìè ê ñèëüíîé ãèïîòåçå Ëèíèàëà. Ïðèñòóïèì ê ïîñòðîåíèþ. Êëþ÷åâîé äåòàëüþ íàøåãî ïîñòðîåíèÿ áóäåò ñëåäóþùèé ãðàô Di : ê ãðàôó K4 íà âåðøèíàõ xi , yi , zi , vi äîáàâëåíû âåðøèíà ai , ñìåæíàÿ ñ xi è yi , è âåðøèíà bi , ñìåæíàÿ ñ zi è vi . Ãðàôû D1 ,. . . , Dn (ãäå n > 1) ìû ðàñïîëîæèì ïî öèêëó è ñîåäèíèì ai+1 ñ bi (ìû ñ÷èòàåì, ÷òî n + 1 = 1). Ïîëó÷åííûé ãðàô îáîçíà÷èì Hn (ñì. ðèñóíîê 6.20). Î÷åâèäíî, c(Hn ) = 2n · v(Hn ) = 6n, a1 x1 b b z1 b b y1 b b b b b v1 b b b1 x2 b b z2 b b a2 b y2 b b b b b b v2 b b2 b b b b b b b b 2 1 + 4n · = 2n. 5 5 b b b b b Ðèñ. 6.20: Ýêñòðåìàëüíûå ïðèìåðû. Ïîêàæåì, ÷òî u(Hn ) = 2n + 2. Îòìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí îñòîâíîãî äåðåâà T íå ÿâëÿåòñÿ ðàçäåëÿþùèì â ãðàôå Hn . Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ öèêëè÷åñêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç 4n íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ âåðøèí ãðàôà Hn : {a1 }, {x1 , y1 }, {z1 , v1 }, {b1 }, {a2 }, {x2 , y2 }, {z2 , v2 }, {b2 }, ... {an }, {xn , yn }, {zn , vn }, {bn }. Ëþáûå äâà íåñîñåäíèõ â öèêëè÷åñêîì ïîðÿäêå ìíîæåñòâà â îáúåäèíåíèè äàþò ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî ãðàôà G, ïîýòîìó ìíîæåñòâî U âèñÿ÷èõ âåðøèí îñòîâíîãî äåðåâà íå ìîæåò ñîäåðæàòü èõ îáúåäèíåíèå. Ñëåäîâàòåëüíî, U ñîäåðæèò íå áîëåå ÷åì äâà ìíîæåñòâà èç íàøåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Çíà÷èò, õîòÿ áû 4n − 2 èç ýòèõ ìíîæåñòâ ñîäåðæàò âåðøèíó, íå 197 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß âõîäÿùóþ â U , òî åñòü, |U | ≤ v(Hn ) − 4n + 2 = 2n + 2. Ïðèìåð îñòîâíîãî äåðåâà ãðàôà Hn ñ 2n+2 ëèñòüÿìè ïîñòðîèòü íåñëîæíî. 6.2 Íèæíÿÿ îöåíêà íà u(G) ÷åðåç êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíåé 1, 3 è íå ìåíåå 4 Òåîðåìà 6.2. Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô c áîëåå ÷åì îäíîé âåðøèíîé, s êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí ñòåïåíåé 1 è 3, à t êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí ñòåïåíè íå ìåíåå 4. Òîãäà 1 3 1 u(G) ≥ t + s + . 3 4 2 Ðàçäåë ïîñâÿùåí äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 6.2. Ïðè ïîñòðîåíèè èñêîìîãî îñòîâíîãî äåðåâà äëÿ ãðàôà G ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ âñåõ ìåíüøèõ ãðàôîâ (òî åñòü, ãðàôîâ, èìåþùèõ ìåíüøå âåðøèí èëè ñòîëüêî æå âåðøèí, íî ìåíüøå ð¼áåð) òåîðåìà óæå äîêàçàíà. Ïóñòü S(G) ìíîæåñòâî âåðøèí ñòåïåíåé 1 è 3, à T (G) ìíîæåñòâî âåðøèí ñòåïåíè íå ìåíåå 4 â ãðàôå G, s(G) = |S(G)|, t(G) = |T (G)|. Îïðåäåëåíèå 6.4. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî öåíà âåðøèíû x ∈ V (G) ýòî cG (x) =     1 3 ïðè x ∈ T (G), 1 4 ïðè x ∈ S(G),    0 ïðè x ∈ / T (G) ∪ S(G). Ñòîèìîñòüþ ãðàôà G íàçîâ¼ì âåëè÷èíó X 1 1 c(G) = t(G) + s(G) = cG (x). 3 4 x∈V (G) Äëÿ ëþáîãî ïîäãðàôà F ãðàôà G îïðåäåëèì åãî ñòîèìîñòü â ãðàôå G êàê cG (F ) = X x∈V (F ) cG (x). ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 198 Ìû õîòèì äîêàçàòü íåðàâåíñòâî u(G) ≥ c(G) + 32 , î÷åâèäíî, ýêâèâàëåíòíîå óòâåðæäåíèþ òåîðåìû 6.2. 6.2.1 Ðåäóêöèÿ Â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ìû áóäåì ñâîäèòü çàäà÷ó ê ìåíüøåìó ãðàôó. Äëÿ ðåäóêöèè íàì ïîíàäîáèòñÿ íåñêîëüêî âñïîìîãàòåëüíûõ îïðåäåëåíèé è óòâåðæäåíèé. Îïðåäåëåíèå 6.5. Ïóñòü äàíû äâà ãðàôà G1 è G2 , â êîòîðûõ âûäåëåíû âåðøèíû x1 ∈ V (G1 ) è x2 ∈ V (G2 ) ñîîòâåòñòâåííî, V (G1 ) ∩ V (G2 ) = ∅. Ñêëåèòü ãðàôû G1 è G2 ïî âåðøèíàì x1 è x2 îçíà÷àåò ñêëåèòü äâå âåðøèíû x1 è x2 â îäíó âåðøèíó x, êîòîðîé áóäóò ïåðåäàíû âñå âûõîäÿùèå èç x1 è x2 ð¼áðà îáîèõ ãðàôîâ. Îñòàëüíûå âåðøèíû è ð¼áðà ãðàôîâ G1 è G2 âîéäóò â ïîëó÷åííûé ïðè ñêëåéêå ãðàô áåç èçìåíåíèé. Íàïîìíèì, ÷òî ìîñò ãðàôà G ýòî åãî ðåáðî, íå âõîäÿùåå íè â îäèí öèêë. Ëåììà 6.5. Ïóñòü G1 è G2 ñâÿçíûå ãðàôû ñ V (G1 ) ∩ V (G2 ) = ∅, v(G1 ) ≥ 2, v(G2 ) ≥ 2 è âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè x1 è x2 . Ïóñòü G ãðàô, ïîëó÷åííûé èç G1 è G2 ñêëåèâàíèåì ïî âåðøèíàì x1 è x2 è ïîñëåäóþùèì ñòÿãèâàíèåì íåñêîëüêèõ ìîñòîâ, íå èíöèäåíòíûõ âèñÿ÷èì âåðøèíàì. Òîãäà u(G) = u(G1 ) + u(G2 ) − 2. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü G0 ãðàô, ïîëó÷åííûé èç G1 è G2 ñêëåèâàíèåì ïî x1 è x2 . Î÷åâèäíî, ìîñòû ãðàôà G0 âõîäÿò â ëþáîå åãî îñòîâíîå äåðåâî. Ïîýòîìó, ïðè ñòÿãèâàíèè ìîñòîâ, íå èíöèäåíòíûõ âèñÿ÷èì âåðøèíàì, íå ìåíÿåòñÿ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå ÷èñëî ëèñòüåâ â îñòîâíîì äåðåâå, òî åñòü, u(G0 ) = u(G). Îñòà¼òñÿ äîêàçàòü, ÷òî u(G0 ) = u(G01 ) + u(G02 ) − 2. ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 199 Ïóñòü x âåðøèíà ãðàôà G0 , ïîëó÷åííàÿ èç x1 è x2 â ðåçóëüòàòå ñêëåèâàíèÿ. ≥. Ðàññìîòðèì îñòîâíûå äåðåâüÿ T1 è T2 ãðàôîâ G01 è G02 c u(T1 ) = u(G01 ) è u(T2 ) = u(G02 ). Ñêëåèâ â íèõ âèñÿ÷èå âåðøèíû x1 è x2 â îäíó âåðøèíó x, ìû ïîëó÷èì îñòîâíîå äåðåâî T ãðàôà G0 c u(T ) = u(T1 ) + u(T2 ) − 2 (âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâüåâ T1 è T2 , êðîìå x1 è x2 , îñòàëèñü âèñÿ÷èìè â äåðåâå T ). Ñëåäîâàòåëüíî, u(G0 ) ≥ u(G01 ) + u(G02 ) − 2. ≤. Òåïåðü ðàññìîòðèì îñòîâíîå äåðåâî T 0 ãðàôà G0 ñ u(T 0 ) = u(G0 ). Âåðøèíà x ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G0 è ïîòîìó íå ÿâëÿåòñÿ âèñÿ÷åé âåðøèíîé äåðåâà T 0 , çíà÷èò, dT 0 (x) = dG0 (x) = 2. Î÷åâèäíî, äåðåâî T 0 ñêëååíî ïî âåðøèíàì x1 è x2 èç îñòîâíîãî äåðåâà T10 ãðàôà G01 (â êîòîðîì âåðøèíà x1 âèñÿ÷àÿ) è îñòîâíîãî äåðåâà T20 ãðàôà G02 (â êîòîðîì âåðøèíà x2 âèñÿ÷àÿ). Âñå îñòàëüíûå âèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâüåâ T10 è T20 ÿâëÿþòñÿ âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè äåðåâà T 0 , ïîýòîìó u(G0 ) = u(T 0 ) = u(T10 ) + u(T20 ) − 2 ≤ u(G01 ) + u(G02 ) − 2. Çàìå÷àíèå 6.14. Â ðàçäåëå 6.2, â îòëè÷èå îò îñòàëüíîé ÷àñòè äèññåðòà- öèè, ïîä êîìïîíåíòîé ñâÿçíîñòè ãðàôà ìû ïîíèìàåì ìàêñèìàëüíûé ïî âêëþ÷åíèþ äâóñâÿçíûé ïîäãðàô, à íå ìíîæåñòâî åãî âåðøèí. Ëåììà 6.6. Ïóñòü a, b ∈ V (G) ñìåæíûå âåðøèíû, à ïîäãðàô G0 êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà G−a, ñîäåðæàùàÿ âåðøèíó b. Òîãäà, åñëè b òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G0 , òî u(G) ≥ u(G0 ) + 1. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü T 0 îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G0 ñ u(T 0 ) = u(G0 ). Ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî T ãðàôà G, ïðèñîåäèíèâ âåðøèíó a ê b è äàëåå ïðèñîåäèíèâ ê âåðøèíå a âñå îòëè÷íûå îò G0 êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà G − a. Âåðøèíà b òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G0 , ïîýòîìó îíà íå ÿâëÿåòñÿ âèñÿ÷åé âåðøèíîé â äåðåâå T 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, u(G) ≥ u(T ) ≥ u(T 0 ) + 1 = u(G0 ) + 1. 200 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Îïèøåì ðåäóêöèîííûå ïðàâèëà. Â êàæäîì ñëåäóþùåì ïóíêòå ìû ñ÷èòàåì, ÷òî íå âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ íè îäíîãî èç ïðåäûäóùèõ. R1. Â ãðàôå G åñòü âåðøèíà a ñòåïåíè 2. Åñëè a òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ, òî, ñòÿíóâ èíöèäåíòíîå åé ðåáðî, ìû ïîëó÷èì ìåíüøèé ãðàô G0 ñ c(G0 ) = c(G) è u(G0 ) = u(G). Åñëè æå a íå òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ, òî èíöèäåíòíîå åé ðåáðî ab íå ìîñò è ãðàô G0 = G − ab ñâÿçåí. Î÷åâèäíî, cG0 (a) − cG (a) = 1 4 è 1 cG (b) − cG0 (b) ≤ , 4 ïîýòîìó c(G0 ) ≥ c(G). Òàê êàê ëþáîå îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G0 ÿâëÿåòñÿ îñòîâíûì äåðåâîì ãðàôà G, ìû èìååì u(G0 ) ≤ u(G). Â îáîèõ ñëó÷àÿõ óòâåðæäåíèå òåîðåìû äëÿ ãðàôà G ñëåäóåò èç óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû äëÿ ìåíüøåãî ãðàôà G0 . Çàìå÷àíèå 6.15. Äàëåå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ãðàôå G íåò âåðøèí ñòåïåíè 2. Ïóñòü U ìíîæåñòâî âñåõ âèñÿ÷èõ âåðøèí ãðàôà G. Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî U 6= ∅ (ñëó÷àé ãðàôà áåç âèñÿ÷èõ âåðøèí ìû ðàçáåð¼ì â ñëåäóþùåì ðàçäåëå). Åñëè êàêèå-òî äâå âåðøèíû èç U ñìåæíû, òî â ãðàôå åñòü òîëüêî ýòè äâå âåðøèíû, à äëÿ ãðàôà èç äâóõ âåðøèí óòâåðæäåíèå òåîðåìû 6.2 î÷å- Äàëåå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ãðàôå áîëåå äâóõ âåðøèí, ïîýòîìó, íèêàêèå äâå âåðøèíû èç U íå ñìåæíû. âèäíî. Ïóñòü W ⊂ V (G) ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí, ñìåæíûõ ñ âèñÿ÷èìè, à X ⊂ V (G) ìíîæåñòâî âñåõ íå âîøåäøèõ â U è W âåðøèí, ñìåæíûõ ñ W. Ïóñòü H = G − U . Ïîíÿòíî, ÷òî ãðàô H ñâÿçåí. 201 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß R2. Ãðàô H íåäâóñâÿçåí. Ïóñòü a òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà H . Òîãäà a òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G è ñóùåñòâóþò òàêèå ñâÿçíûå ãðàôû G1 è G2 , ÷òî V (G1 ) ∪ V (G2 ) = V (G), V (G1 ) ∩ V (G2 ) = {a} è v(G1 ), v(G2 ) > 2. Äëÿ i ∈ {1, 2} ðàññìîòðèì ãðàô G0i , ïîëó÷åííûé èç Gi ïðèñîåäèíåíèåì íîâîé âèñÿ÷åé âåðøèíû xi ê âåðøèíå a (ñì. ðèñóíîê 6.21). Òîãäà ãðàô G ïîëó÷àåòñÿ èç G01 è G02 ñêëåéêîé âåðøèí x1 è x2 â îäíó âåðøèíó x è ïîñëåäóþùèì ñòÿãèâàíèåì äâóõ èíöèäåíòíûõ x ìîñòîâ (ïðè ýòîì äâå êîïèè âåðøèíû a â ãðàôàõ G01 è G02 ñêëåÿòñÿ â âåðøèíó a ãðàôà G). Òàêèì îáðàçîì, âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ëåììû 6.5 è ìû èìååì u(G) = u(G01 ) + u(G02 ) − 2. G a b a G1 b b b G’1 G2 x1 a b x2 G’2 Ðèñ. 6.21: Ðåäóêöèÿ R2 Ïîñêîëüêó dG (a) = dG01 (a) + dG02 (a) − 2, òî íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî cG (a) ≤ cG01 (a) + cG02 (a). Òàê êàê âåðøèíû x1 ∈ V (G01 ) è x2 ∈ V (G02 ) (êîòîðûå ñòîÿò ïî 41 ) íå ïðèíàäëåæàò V (G), à âñå îòëè÷íûå îò a âåðøèíû ãðàôà G âõîäÿò ðîâíî â îäèí èç ãðàôîâ G01 è G02 è èìåþò â ýòîì ãðàôå òàêóþ æå ñòåïåíü, êàê â ãðàôå G, ìû èìååì 1 c(G) ≤ c(G01 ) + c(G02 ) − 2 · . 4 Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî v(G01 ) < v(G) è v(G02 ) < v(G). Òîãäà ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ u(G01 ) ≥ c(G01 ) + 3 2 è 3 u(G02 ) ≥ c(G02 ) + . 2 202 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Òàêèì îáðàçîì, u(G) = u(G01 ) + u(G02 ) − 2 ≥ c(G01 ) + c(G02 ) − 1 3 3 + ≥ c(G) + , 2 2 2 ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Çàìå÷àíèå 6.16. Â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ãðàôå H íåò òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G ýòî âåðøèíû ìíîæåñòâà W (êàæäàÿ òàêàÿ âåðøèíà îòäåëÿåò ñìåæíûå ñ íåé âèñÿ÷èå âåðøèíû îò îñòàëüíûõ âåðøèí ãðàôà). R3. Ñóùåñòâóþò òàêèå ñìåæíûå âåðøèíû x, y ∈ V (G), ÷òî dG (x) ≥ 5 è dG (y) ≥ 5. Òîãäà ðàññìîòðèì ãðàô G0 = G − xy . Èç äâóñâÿçíîñòè ãðàôà H = G − U î÷åâèäíî ñëåäóåò ñâÿçíîñòü ãðàôà G0 , äëÿ íåãî óòâåðæäåíèå òåîðåìû óæå äîêàçàíî. Î÷åâèäíî, dG0 (x) ≥ 4 è dG0 (y) ≥ 4, ïîýòîìó cG (x) = cG0 (x), cG (y) = cG0 (y) è c(G0 ) = c(G). Òàê êàê îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G0 ÿâëÿåòñÿ îñòîâíûì äåðåâîì G, óòâåðæäåíèå òåîðåìû äîêàçàíî è äëÿ G. Çàìå÷àíèå 6.17. Â ðàçäåëå 1.2, â îòëè÷èå îò îñòàëüíîé ÷àñòè äèññåðòà- öèè, ïîä êîìïîíåíòîé ñâÿçíîñòè ãðàôà ìû ïîíèìàåì ìàêñèìàëüíûé ïî âêëþ÷åíèþ äâóñâÿçíûé ïîäãðàô, à íå ìíîæåñòâî åãî âåðøèí. R4. Ñóùåñòâóþò òàêèå ñìåæíûå âåðøèíû a, b ∈ V (G), ÷òî b òî÷- êà ñî÷ëåíåíèÿ â ñîäåðæàùåé åå êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè G0 ãðàôà G − a è c(G0 ) ≥ c(G) − 1. Òàê êàê âåðøèíà b ∈ NG0 (a) ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G0 , ïî ëåììå 6.6 ìû èìååì u(G) ≥ u(G0 )+1. Äëÿ ìåíüøåãî ãðàôà G0 óòâåðæäåíèå óæå äîêàçàíî, ïîýòîìó u(G) ≥ u(G0 ) + 1 ≥ c(G0 ) + 1 + ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. 3 3 ≥ c(G) + , 2 2 203 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Ëåììà 6.7. Eñëè ãðàô óäîâëåòâîðÿåò îäíîìó èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé, òî ìîæíî ïðîâåñòè ðåäóêöèþ R4. 1◦ Ñóùåñòâóþò òàêèå ñìåæíûå âåðøèíû a, b ∈ V (G), ÷òî b òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ â ñîäåðæàùåé åå êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè G0 ãðàôà G − a è dG (a) ≤ 3. 2◦ Cóùåñòâóåò ñìåæíàÿ ñ w ∈ W âåðøèíà x òàêàÿ, ÷òî dG (x) = 3. 3◦ Cóùåñòâóþò äâå âåðøèíû x, y ∈ U , ñìåæíûå ñ îäíîé âåðøèíîé w ∈ W. 4◦ Ñóùåñòâóåò ñìåæíàÿ ñ W âåðøèíà x, òàêàÿ, ÷òî dG (x) ≤ 6 è x ñìåæíà íå áîëåå, ÷åì ñ îäíîé âåðøèíîé èç S(G). 5◦ Ñóùåñòâóåò ñìåæíàÿ ñ W âåðøèíà x, òàêàÿ, ÷òî dG (x) = 4 è x ñìåæíà íå áîëåå, ÷åì ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç S(G). Äîêàçàòåëüñòâî. 1◦ Èç äâóñâÿçíîñòè H ñëåäóåò, ÷òî â G0 âõîäÿò âñå âåð- øèíû ãðàôà G − a, êðîìå ñìåæíûõ ñ a âèñÿ÷èõ âåðøèí. Îò óìåíüøåíèÿ ñòåïåíè íà 1 öåíà âåðøèíû óìåíüøàåòñÿ íå áîëåå, ÷åì íà 41 . Ñìåæíûå ñ x âèñÿ÷èå âåðøèíû (åñëè òàêèå åñòü) òàêæå èìåþò öåíó 14 . Ïîýòîìó c(G) − c(G0 ) ≤ cG (a) + X (cG (v) − cG0 (v)) ≤ v∈NG (a) 1 1 +3· =1 4 4 è óñëîâèå R4 äëÿ âåðøèí a è b âûïîëíåíî. 2◦ è 3◦ . Â îáîèõ ñëó÷àÿõ ðàññìîòðèì êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè G0 ãðàôà G − x, ñîäåðæàùóþ w. Î÷åâèäíî, w òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G0 , òàê êàê îòäåëÿåò ñìåæíóþ ñ íåé âèñÿ÷óþ âåðøèíó (îòëè÷íóþ îò x) îò îñòàëüíûõ âåðøèí ãðàôà G. Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàô óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ 1◦ äëÿ a = x è b = w. 4◦ è 5◦ . Ïóñòü w ∈ W âåðøèíà, ñìåæíàÿ ñ x. Â îáîèõ ñëó÷àÿõ ðàññìîòðèì êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè G0 ãðàôà G − x, ñîäåðæàùóþ w. Êàê è âûøå, íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî G0 ñîäåðæèò âñå âåðøèíû ãðàôà G − x, êðîìå ñìåæíûõ ñ x âèñÿ÷èõ âåðøèí, à w òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G0 . 204 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî c(G) − c(G0 ) ≤ 1. Îò óìåíüøåíèÿ ñòåïåíè íà 1 öåíà âåðøèíû èç S(G) óìåíüøàåòñÿ íà 14 , à öåíà ëþáîé äðóãîé âåðøèíû íå áîëåå, ÷åì íà 1 3 − 1 4 = c(G) − c(G0 ) ≤ cG (x) + 1 12 . Íàïèøåì îöåíêó äëÿ ñëó÷àÿ 4◦ : X (cG (y) − cG0 (y)) ≤ y∈NG (x) 1 1 1 + +5· = 1. 3 4 12 Àíàëîãè÷íàÿ îöåíêà âåðíà è â ñëó÷àå 5◦ : 0 c(G) − c(G ) ≤ cG (x) + X (cG (y) − cG0 (y)) ≤ y∈NG (x) 1 1 1 +2· +2· = 1. 3 4 12 Òåïåðü ìû âèäèì, ÷òî óñëîâèÿ ðåäóêöèè R4 äëÿ a = x è b = w âûïîëíåíû. Çàìå÷àíèå 6.18. Â äàëüíåéøåì ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ãðàô íå óäîâëåòâîðÿåò íè îäíîìó èç óñëîâèé 1◦ − 5◦ ëåììû 6.7. Ëåììà 6.8. Åñëè íåëüçÿ ïðèìåíèòü ïðàâèëà R1 − R4, òî íèêàêèå äâå âåðøèíû èç W íå ñìåæíû â ãðàôå G. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ïóñòü ñóùåñòâóþò äâå ñìåæ- íûå âåðøèíû w, w0 ∈ W , dG (w) ≤ dG (w0 ). Òîãäà dG (w) ≤ 4 (èíà÷å ìîæíî áûëî áû âûïîëíèòü R3). Áîëåå òîãî, dG (w) = 4 (èíà÷å w è w0 óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ 2◦ ëåììû 6.7). Âñå ñìåæíûå ñ w âåðøèíû, êðîìå îäíîé âèñÿ÷åé, èìåþò ñòåïåíü íå ìåíåå 4, èíà÷å ãðàô óäîâëåòâîðÿåò îäíîìó èç óñëîâèé 2◦ èëè 3◦ ëåììû 6.7. Íî â òàêîì ñëó÷àå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 4◦ ëåììû 6.7 äëÿ x = w, ïðîòèâîðå÷èå. Çàìå÷àíèå 6.19. Òàêèì îáðàçîì, êàæäàÿ âåðøèíà w ∈ W ñìåæíà ñ îäíîé âåðøèíîé èç U è dG (w) − 1 âåðøèíîé ìíîæåñòâà X . Â ÷àñòíîñòè, îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî X 6= ∅. Òàê êàê íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 2◦ ëåììû 6.7, âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà X èìåþò â ãðàôå G ñòåïåíü õîòÿ áû 4. 205 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß R5. Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ X , ñìåæíàÿ ñ âåðøèíàìè w, w0 , ïðè- ÷¼ì w ∈ W , dG (w) = dG (w0 ) = 3 è â NG (w0 ) íå áîëåå îäíîé âåðøèíû èç S(G). Çàìå÷àíèå 6.20. Òàê êàê X ∩ S(G) = ∅, â ñëó÷àå w0 ∈ W óñëîâèå R5 âûïîëíåíî. Ïóñòü NG (w) = {x, y, u}, ãäå u ∈ U . Îòìåòèì, ÷òî ïî çàìå÷àíèþ 6.19 ìû èìååì dG (y) ≥ 4. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ãðàô G0 = G · wx ñâÿçåí. Ïóñòü x0 = x · w ∈ V (G0 ) (ñì. ðèñóíîê 6.22). Ëþáàÿ òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ v 6= x0 ãðàôà G0 ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G. Áîëåå òîãî, ïóñòü K êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè Çàìå÷àíèå 6.21. ãðàôà G0 − v . Åñëè K íå ñîäåðæèò x0 , òî K ÿâëÿåòñÿ êîìïîíåíòîé ñâÿçíîñòè ãðàôà G−v . Åñëè æå K ñîäåðæèò x0 , òî K ∪{x, w}\{x0 } êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà G − v . y b b x y b b b b b w u x’ b b w’ b b b G w’ u b G’ Ðèñ. 6.22: Ãðàôû G è G0 . Åñëè w0 ∈ W , òî ãðàô G0 − w0 èìååò äâå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè, ïðè÷åì îäíà èç íèõ ñîñòîèò èç âèñÿ÷åé âåðøèíû, ñìåæíîé ñ w0 . Ïóñòü G∗ äðóãàÿ êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà G0 − w0 , êîòîðàÿ ñîäåðæèò âñå îñòàëüíûå âåðøèíû. Åñëè w0 6∈ W , òî ãðàô G0 − w0 ñâÿçåí. Òîãäà ïîëîæèì G∗ = G0 − w0 . Î÷åâèäíî, â îáîèõ ñëó÷àÿõ c(G∗ ) = c(G0 − w0 ). Òàê êàê ñâÿçíûé ãðàô G∗ ìåíüøå G, äëÿ ýòîãî ãðàôà âûïîëíåíî óòâåðæäåíèå òåîðåìû. Âåðøèíà x0 òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G∗ (ñ íåé ñìåæíà âèñÿ÷àÿ âåðøèíà u), ïîýòîìó â ñèëó ëåììû 6.6 3 u(G) ≥ u(G0 ) ≥ u(G∗ ) + 1 ≥ c(G∗ ) + 1 + . 2 206 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî c(G∗ ) = c(G0 − w0 ) ≥ c(G) − 1. Îòìåòèì, ÷òî dG0 (x0 ) ≥ 4, ïîýòîìó, cG0 (x0 ) = 1 3 = cG (x). Ïðè ñòÿãèâàíèè ðåáðà xw ñòåïåíü îòëè÷íîé îò x è w âåðøèíû ìîãëà óìåíüøèòüñÿ òîëüêî íà 1 (â ñëó÷àå, êîãäà ýòà âåðøèíà ñìåæíà â ãðàôå G è ñ x, è ñ w). Òàêîé âåðøèíîé ìîæåò áûòü òîëüêî y , ñëåäîâàòåëüíî, cG0 (y) ≥ cG (y) − 1 12 (òàê êàê y ∈ X ⊂ T (G) ïî çàìå÷àíèþ 6.19). Còåïåíè îòëè÷íûõ îò x, y, w âåðøèí â ãðàôàõ G è G0 îäèíàêîâû. Òàêèì îáðàçîì, 1 c(G0 ) ≥ c(G) − . 3 Ïîñêîëüêó dG0 (x0 ) ≥ 4, òî S(G) ⊃ S(G0 ). Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî â NG (w0 ) íå áîëåå îäíîé âåðøèíû èç S(G), ïîýòîìó â NG0 (w0 ) íå áîëåå îäíîé âåðøèíû èç S(G0 ). Ñëåäîâàòåëüíî, 0 0 0 0 c(G − w ) = c(G ) − c (w ) − G0 X (cG0 (v) − cG0 −w0 (v)) ≥ v∈NG0 (w0 ) 1 c(G0 ) − − 4 1 1 +2· 4 12 = c(G0 ) − 2 ≥ c(G) − 1, 3 ÷òî äëÿ íàñ äîñòàòî÷íî. R6. Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ X , dG (x) ≤ 6. Ìû âûáåðåì âåðøèíó x ∈ X íàèìåíüøåé ñòåïåíè. Òàê êàê âåðøèíà x íå äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ 4◦ ëåììû 6.7, òî îíà ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç S(G). Òàê êàê x 6∈ W , îáå ýòè âåðøèíû èìåþò ñòåïåíü 3. Ïîñêîëüêó íåëüçÿ âûïîëíèòü R5, òî õîòÿ áû îäíà èç ýòèõ äâóõ âåðøèí íå ïðèíàäëåæèò W (ñì. çàìå÷àíèå 6.20) è èìååò äâóõ ñîñåäåé èç S(G). Îáîçíà÷èì ýòó âåðøèíó ÷åðåç y , ïóñòü NG (y) = {x, z, z 0 }. Òîãäà, òàê êàê y ∈ / W , ìû èìååì dG (z) = dG (z 0 ) = 3. Ïóñòü âåðøèíà w ∈ W ñìåæíà ñ x. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ. 207 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß R6.1. dG (x) = 4, dG (w) ≥ 4. Ïóñòü NG (x) = {w, y, y1 , y2 }. Òîãäà dG (y) = dG (y1 ) = dG (y2 ) = 3, èíà÷å âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 5◦ ëåììû 6.7. Íàøà ïåðâàÿ öåëü ïîñòðîèòü â ãðàôå G ïðîñòîé ïóòü P îò âåðøèíû y äî íåêîòîðîé âåðøèíû q (ãäå q 6∈ S(G)∪NG(x) èëè q ∈ {y1, y2}), âñå âíóòðåííèå âåðøèíû êîòîðîãî ëåæàò â S(G) è íå ëåæàò â NG(x), à ãðàô G − E(P ) − x ñâÿçåí. Ðàññìîòðèì z ∈ NG (y), z 6= x. Ïî çàìå÷àíèþ 6.19 èç dG (y) = 3 ñëåäóåò, ÷òî y ∈ / X , òî åñòü, y íå ìîæåò áûòü ñìåæíà ñ w ∈ W . Çíà÷èò, z 6= w. Åñëè ðåáðî yz ìîñò â G − x, òî x òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ â ãðàôå G − y è âûïîëíåíî óñëîâèå 1◦ ëåììû 6.7 äëÿ âåðøèí y è x, ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, ðåáðî yz íå ìîñò â G − x. y b b 2 b b w y 1 b z x b b b b t’ b v1 y b b t b q Ðèñ. 6.23: Ðåäóêöèÿ R6.1, ïóòü P . Â íà÷àëå ïîñòðîåíèÿ ìû ðàññìîòðèì ïóòü P 0 , ñîäåðæàùèé åäèíñòâåííîå ðåáðî yz . Îòìåòèì, ÷òî ãðàô G − yz − x ñâÿçåí è dG (z) ≥ 3. Ïóñòü â íåêîòîðûé ìîìåíò ïîñòðîåí ïóòü P 0 îò y äî t, ïðè÷¼ì ãðàô G − E(P 0 ) − x ñâÿçåí, dG (t) ≥ 3 è t 6= w (â íà÷àëå ïîñòðîåíèÿ t = z è âñå ýòè óñëîâèÿ âûïîëíåíû). Ïîíÿòíî, ÷òî t ∈ S(G) (òî åñòü, dG (t) = 3) èt∈ / {y1 , y2 }, èíà÷å ïóòü P = P 0 íàì ïîäõîäèò. Ïóñòü NG (t) = {t0 , v1 , v2 }, ãäå t0 ïðåäûäóùàÿ âåðøèíà ïóòè P 0 . Òîãäà dG (t0 ) = 3. Ïîïðîáóåì ïðîäëèòü ïóòü P 0 íà îäíî ðåáðî. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî v1 6= w. Î÷åâèäíî, v1 6= x. Ïóñòü tv1 ìîñò ãðàôà G − E(P 0 ) − x. Òîãäà t òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G − E(P 0 ) − x − t0 (êîòîðûé, î÷åâèäíî, ñâÿçåí, òàê êàê ïîëó÷åí èç ñâÿç- 208 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß íîãî ãðàôà G − E(P 0 ) − x óäàëåíèåì âèñÿ÷åé âåðøèíû t0 ). Òîãäà u(G) ≥ u(G − E(P 0 )) ≥ u(G − E(P 0 ) − x − t0 ) + 2 (â îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G − E(P 0 ) − x − t0 äîáàâèì äâå íîâûå âèñÿ÷èå âåðøèíû: x ïðèñîåäèíèì ê òî÷êå ñî÷ëåíåíèÿ w, à t0 ê òî÷êå ñî÷ëåíåíèÿ t). Îöåíèì c(G)−c(G−E(P 0 )−x−t0 ). Óäàëåíû âåðøèíû x è t0 ñóììàðíîé ñòîèìîñòüþ 1 3 + 14 . Òàê êàê öåíà âåðøèí ñòåïåíè 1 è 3 îäèíàêîâà, òî öåíà îòëè÷íûõ îò t0 è t âåðøèí ïóòè P 0 íå èçìåíèëàñü. Òîãäà â ðåçóëüòàòå óäàëåíèÿ E(P 0 ), x è t0 èç ãðàôà G0 öåíà ìîãëà èçìåíèòüñÿ ëèøü ó òðåõ âåðøèí èç NG (x) \ {y} è äâóõ èç òð¼õ âåðøèí ìíîæåñòâà NG (t0 ) (êðîìå ïðåäøåñòâóþùåé t0 âåðøèíû ïóòè P 0 ), ÷òî äàåò íàì ìàêñèìóì 54 . Çíà÷èò, c(G − E(P 0 ) − x − t0 ) ≥ c(G) − 1 1 5 − − > c(G) − 2 3 4 4 è ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ ìû èìååì u(G) ≥ u(G − E(P 0 ) − x − t0 ) + 2 ≥ c(G − E(P 0 ) − x − t0 ) + 2 + 3 3 > c(G) + . 2 2 Â ýòîì ñëó÷àå òåîðåìà äîêàçàíà. Îñòàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà tv1 íå ìîñò ãðàôà G − E(P 0 ) − x. Òîãäà dG−E(P 0 ) (v1 ) ≥ 2, ñëåäîâàòåëüíî, v1 6∈ V (P 0 ) è dG (v1 ) ≥ 3. Ìû ïðîäëèì ïóòü P 0 íà ðåáðî tv1 è ïðîäîëæèì ðàññóæäåíèÿ ñ íîâûì ïóò¼ì è åãî êîíöîì v1 . Ðàíî èëè ïîçäíî ïðîöåññ â âèäó êîíå÷íîñòè ãðàôà çàêîí÷èòñÿ è ìû ïîëó÷èì èñêîìûé ïóòü P . Òåïåðü ðàññìîòðèì ãðàô G−E(P )−x. Àíàëîãè÷íî äîêàçàííîìó âûøå, u(G) ≥ u(G − E(P ) − x) + 1 è íàì îñòàåòñÿ ëèøü îöåíèòü c(G) − c(G − E(P ) − x). Ìû óäàëèëè âåðøèíó x öåíîé 31 . Ïðè q ∈ / {y1 , y2 } ìû óìåíüøèëè öåíó òðåõ îòëè÷íûõ îò y 1 âåðøèí èç NG (x) (ìàêñèìóì íà 2 · 14 + 12 , òàê êàê w 6∈ S(G)) è âåðøèíû q 209 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß (íà 1 12 ). Ïðè q ∈ {y1 , y2 } ìû óìåíüøèëè öåíó òîëüêî äâóõ îòëè÷íûõ îò y è q âåðøèí èç NG (x), ìàêñèìóì íà 1 4 1 + 12 . Â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷àåì, ÷òî c(G) − c(G − E(P ) − x) ≤ 1 è u(G) ≥ u(G − E(P ) − x) + 1 ≥ c(G − E(P ) − x) + 1 + R6.2. 3 3 ≥ c(G) + . 2 2 Âûïîëíåíî îäíî èç äâóõ óñëîâèé: • dG (x) = 4 è dG (w) = 3; • dG (x) > 4. Êàê è â ïóíêòå R5, ìû ðàññìîòðèì ãðàô G0 = G · xw è âåðøèíó x0 = x · w ∈ V (G0 ) (ñì. ðèñóíîê 6.22). Ïîíÿòíî, ÷òî x0 òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G0 , îíà îòäåëÿåò îò îñòàëüíûõ âåðøèí âèñÿ÷óþ âåðøèíó. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî dG0 (x0 ) ≥ dG (x) ≥ 4. (Âåðøèíà x0 ñìåæíà â ãðàôå G0 ñî âñåìè âåðøèíàìè èç NG (x), êðîìå w è, êðîìå òîãî, ñìåæíà ñ âèñÿ÷åé âåðøèíîé èç NG (w).) Çàìå÷àíèå 6.22. 1) Ïðè ñòÿãèâàíèè ðåáðà xw óìåíüøàþòñÿ, ïðè÷åì ðîâ- íî íà 1, ëèøü ñòåïåíè âåðøèí, âõîäÿùèõ â òðåóãîëüíèê ñ w è x, à òàêèå âåðøèíû ïðèíàäëåæàò X (â ñèëó ëåììû 6.8) è èìåþò ñòåïåíü íå ìåíåå 4 (èíà÷å âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 2◦ ëåììû 6.7). 2) Ïîýòîìó, èç dG (a) = 3 è a 6= w ñëåäóåò, ÷òî dG0 (a) = 3. Åñëè dG (w) = 3, òî c(G0 ) ≥ c(G) − 13 , êàê äîêàçàíî â ïóíêòå R5. Ïóñòü dG (x) > 4, òîãäà ñòåïåíü êàæäîé âåðøèíû èç X íå ìåíåå 5. Ïî çàìå÷àíèþ 6.22 ïðè ñòÿãèâàíèè ðåáðà xw ìîãóò óìåíüøèòüñÿ ëèøü ñòåïåíè âåðøèí èç ìíîæåñòâà X , ïðè÷åì ðîâíî íà 1. Â íàøåì ñëó÷àå ñòåïåíü òàêèõ âåðøèí â ãðàôå G íå ìåíåå 5, ïîýòîìó öåíà ëþáîé òàêîé âåðøèíû â G è G0 îäíà è òà æå. Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå 1 c(G) − c(G0 ) = cG (w) ≤ . 3 210 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Íàïîìíèì, ÷òî y òàêàÿ ñìåæíàÿ ñ x âåðøèíà ãðàôà G, ÷òî y∈ / W, NG (y) = {x, z, z 0 } è dG (z) = dG (z 0 ) = 3 (ñì. íà÷àëî ïóíêòà R6). Îòìåòèì, ÷òî NG0 (y) = {x0 , z, z 0 }. Ìû áóäåì ñòðîèòü â ãðàôå G0 ïðîñòîé ïóòü P îò âåðøèíû z äî íåêîòîðîé âåðøèíû q (ãäå q 6∈ S(G0) ∪ NG(y) èëè q = z0), âñå âíóòðåííèå âåðøèíû êîòîðîãî ëåæàò â S(G0) è íå ëåæàò â NG (x0) è ãðàô G0 − E(P ) − y ñâÿçåí. 0 z’ y b b x’ z b b b t’ b v1 b b b v b b t b q Ðèñ. 6.24: Ðåäóêöèÿ R6.2: ãðàô G0 è ïóòü P . Ïóñòü v ∈ NG0 (z), v 6∈ {y, x0 }. Åñëè ðåáðî zv ìîñò â G0 − y , òî z òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ â G0 −y . Ïî çàìå÷àíèþ 6.21, òîãäà z òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ â G − y , òî åñòü, âåðøèíû y è z óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ 1◦ ëåììû 6.7, ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, ðåáðî zv íå ìîñò â G0 − y . Â íà÷àëå ïîñòðîåíèÿ ìû ðàññìîòðèì ïóòü P 0 , ñîäåðæàùèé åäèíñòâåííîå ðåáðî zv . Îòìåòèì, ÷òî ãðàô G0 − E(P 0 ) − y ñâÿçåí è dG0 (v) ≥ 3. Ïóñòü â íåêîòîðûé ìîìåíò ïîñòðîåí ïðîñòîé ïóòü P 0 îò z äî t, ïðè÷¼ì ãðàô G0 − E(P 0 ) − y ñâÿçåí, t 6= x0 è dG0 (t) ≥ 3 (â íà÷àëå ïîñòðîåíèÿ t = v è âñå ýòè óñëîâèÿ âûïîëíåíû). Ïîíÿòíî, ÷òî t 6= z 0 è t ∈ S(G0 ), èíà÷å ïóòü P = P 0 íàì ïîäõîäèò. Ñëåäîâàòåëüíî, dG0 (t) = 3. Ïîïðîáóåì ïðîäëèòü ïóòü P 0 íà îäíî ðåáðî. Ïóñòü NG0 (t) = {t0 , v1 , v2 }, ãäå t0 ïðåäøåñòâóþùàÿ t âåðøèíà ïóòè P 0 è v1 6= x0 . Òîãäà dG0 (t0 ) = 3. Ïóñòü tv1 ìîñò ãðàôà G0 − E(P 0 ) − y . Òîãäà t òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà G0 − E(P 0 ) − y − t0 (ýòîò ãðàô ñâÿçåí, òàê êàê ïîëó÷åí èç ñâÿçíîãî ãðàôà G0 −E(P 0 )−y óäàëåíèåì âèñÿ÷åé âåðøèíû t0 ). Àíàëîãè÷íî 211 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß ïóíêòó R6.1, ìû ïîëó÷èì, ÷òî u(G) ≥ u(G0 ) ≥ u(G0 − E(P 0 )) ≥ u(G0 − E(P 0 ) − y − t0 ) + 2. Îöåíèì c(G) − c(G0 − E(P 0 ) − y − t0 ). Êàê ìû çíàåì, c(G) − c(G0 ) ≤ 31 . Èç ãðàôà G0 óäàëåíû âåðøèíû y è t0 ñóììàðíîé ñòîèìîñòüþ 21 . Ïðè óäàëåíèè èç G0 âåðøèí y è t0 öåíà ìîãëà èçìåíèòüñÿ ó äâóõ ñîñåäåé y è ó äâóõ ñîñåäåé t0 (ñòåïåíè ñîñåäåé y è t0 , ëåæàùèõ ìåæäó íèìè íà ïóòè P 0 , èçìåíèëèñü ñ 3 íà 1, ÷òî íå ìåíÿåò öåíó âåðøèíû). Ýòî äàåò íàì íå áîëåå ÷åì 4 · 41 . Çíà÷èò, c(G0 − E(P 0 ) − y − t0 ) ≥ c(G0 ) − 1 1 11 − 4 · ≥ c(G) − 2 4 6 è ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ èìååì u(G) ≥ u(G0 − E(P 0 ) − y − t0 ) + 2 ≥ c(G0 − E(P 0 ) − y − t0 ) + 2 + 3 3 > c(G) + . 2 2 Â ýòîì ñëó÷àå òåîðåìà äîêàçàíà. Îñòàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà tv1 íå ìîñò ãðàôà G0 − E(P 0 ) − y . Òîãäà dG0 −E(P 0 ) (v1 ) ≥ 2, ïîýòîìó v1 ∈ / V (P 0 ) è dG0 (v1 ) ≥ 3. Ìû ïðîäëèì ïóòü P 0 íà ðåáðî tv1 è ïðîäîëæèì ðàññóæäåíèÿ ñ íîâûì ïóò¼ì è åãî êîíöîì v1 . Ðàíî èëè ïîçäíî ïðîöåññ â âèäó êîíå÷íîñòè ãðàôà çàêîí÷èòñÿ è ìû ïîëó÷èì èñêîìûé ïóòü P . Òåïåðü ðàññìîòðèì ãðàô G0 −E(P )−y . Àíàëîãè÷íî äîêàçàííîìó âûøå, u(G) ≥ u(G0 ) ≥ u(G0 − E(P ) − y) + 1 è íàì îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî c(G0 − E(P ) − y) ≥ c(G0 ) − 2 ≥ c(G) − 1. 3 Íà ýòîò ðàç ìû óäàëèëè èç G0 âåðøèíó y öåíîé 41 . Ïðè q 6= z 0 ìû óìåíü1 øèëè öåíó äâóõ îòëè÷íûõ îò z âåðøèí èç NG0 (y) (ìàêñèìóì íà 14 + 12 , òàê êàê x0 6∈ S(G0 )) è âåðøèíû q (íà 1 12 ). Ïðè q = z 0 ìû óìåíüøèëè òîëüêî öåíó âåðøèíû x0 , ïðè÷åì íå áîëåå, ÷åì íà 1 12 . Â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷àåì c(G0 ) − c(G0 − E(P ) − x) ≤ 23 , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Ëåììà 6.9. 212 Åñëè â ñâÿçíîì ãðàôå G áîëåå äâóõ âåðøèí, åñòü âèñÿ÷èå âåðøèíû è íåâîçìîæíî âûïîëíèòü íè îäèí èç ïóíêòîâ R1 − R6, òî ãðàô óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì. 1◦ Âåðøèíû ìíîæåñòâà X ïîïàðíî íåñìåæíû è èìåþò ñòåïåíü õîòÿ áû 7. 2◦ Âåðøèíû ìíîæåñòâà W ïîïàðíî íåñìåæíû è èìåþò ñòåïåíü íå áîëåå 4. 3◦ Êàæäàÿ âèñÿ÷àÿ âåðøèía ãðàôà G ñìåæíà ñ âåðøèíîé ìíîæåñòâà W . Êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà W ñìåæíà ðîâíî ñ îäíîé âèñÿ÷åé âåðøèíîé ãðàôà G. Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê â ãðàôå õîòÿ áû äâå âåðøèíû, òî íèêàêèå äâå åãî âèñÿ÷èå âåðøèíû íå ñìåæíû. Çíà÷èò, êàæäàÿ âèñÿ÷àÿ âåðøèíà ñìåæíà ñ âåðøèíîé èç W . Òàê êàê íåâîçìîæíî âûïîëíèòü R6, âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà X èìåþò ñòåïåíü õîòÿ áû 7 è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîïàðíî íåñìåæíû. Ïî ëåììå 6.8 âåðøèíû ìíîæåñòâà W ïîïàðíî íåñìåæíû è, êàê ìû çíàåì, îíè èìåþò ñòåïåíü õîòÿ áû 3. Çíà÷èò, êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà W ñìåæíà ñ ìíîæåñòâîì X . Òàê êàê ñòåïåíè âñåõ âåðøèí èç X õîòÿ áû 7 è íåâîçìîæíî âûïîëíèòü R3, òî ñòåïåíè âåðøèí ìíîæåñòâà W íå ïðåâîñõîäÿò 4. 6.2.2 Ìåòîä ì¼ðòâûõ âåðøèí Ïóñòü íåâîçìîæíî ïðèìåíèòü íè îäíî èç ïðàâèë ðåäóêöèè R1 − R6. Â ýòîì ñëó÷àå ìû ïîñòðîèì èñêîìîå îñòîâíîå äåðåâî â ãðàôå G ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ì¼ðòâûõ âåðøèí. Íàøà ìîäèôèêàöèÿ áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò êëàññè÷åñêîãî ìåòîäà: ìû íà÷íåì ïîñòðîåíèå ñ ëåñà (íå îáÿçàòåëüíî äåðåâà). Áóäåì ïîñëåäîâàòåëüíî, ïî øàãàì äîáàâëÿòü ê íåìó âåðøèíû è óìåíüøàòü êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè. 213 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ãðàôà H ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç k(H) êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ýòîãî ãðàôà. Ïóñòü ïîñëå íåñêîëüêèõ øàãîâ ïîñòðîåíèÿ ìû ïîëó÷èëè ëåñ F (ãäå V (F ) ⊂ V (G), E(F ) ⊂ E(G)). Âñå ð¼áðà ëåñà F îñòàíóòñÿ â íàøåì ëåñå íà ïîcëåäóþùèõ ýòàïàõ ïîñòðîåíèÿ è âîéäóò â èòîãîâîå îñòîâíîå äåðåâî. Îïðåäåëåíèå 6.6. Âèñÿ÷óþ âåðøèíó x ëåñà F íàçîâåì ìåðòâîé, åñëè âñå âåðøèíû ãðàôà G, ñìåæíûå c x, âõîäÿò â ëåñ F , ïðè÷¼ì â òó æå êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè, ÷òî è x. Äëÿ ëåñà F ÷åðåç b(F ) îáîçíà÷èì êîëè÷åñòâî åãî ì¼ðòâûõ âåðøèí. Çàìå÷àíèå 6.23. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ìåðòâûå âåðøèíû îñòàíóòñÿ ìåðòâûìè âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè íà âñåõ ïîñëåäóþùèõ ýòàïàõ ïîñòðîåíèÿ. Ïî îêîí÷àíèè ïîñòðîåíèÿ, êîãäà áóäåò ïîñòðîåíî îñòîâíîå äåðåâî, âñå åãî âèñÿ÷èå âåðøèíû ñòàíóò ì¼ðòâûìè. Äëÿ ëåñà F ìû îïðåäåëèì 1 5 α(F ) = u(F ) + b(F ) − cG (F ) − 2(k(F ) − 1). 6 6 (6.4) Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ T = T (G) è S = S(G). Â íàøåì ñëó÷àå V (G) = S ∪ T. Íà÷àëî ïîñòðîåíèÿ Îòäåëüíî îïèøåì íà÷àëî ïîñòðîåíèÿ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ãðàôå G áîëåå äâóõ âåðøèí. Íà ýòîì ýòàïå ìû ïîñòðîèì â ãðàôå G ëåñ F ∗ ñ äîñòàòî÷íî áîëüøèì α(F ∗ ), ñîäåðæàùèé âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû ãðàôà G. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ. B1. Â ãðàôå G íåò âèñÿ÷èõ âåðøèí. Â ýòîì ñëó÷àå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ãðàôå åñòü âåðøèíà a ñ dG (a) ≥ 4, èíà÷å íàøà òåîðåìà ñëåäóåò èç ðåçóëüòàòà ðàáîòû [19]. Ìû íà÷í¼ì ïîñòðîåíèå ñ áàçîâîãî äåðåâà F ∗ , â êîòîðîì a ñîåäèíåíà ñ 4 âåðøèíàìè èç 214 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß å¼ îêðåñòíîñòè. Òîãäà 5 1 5 ·4− ·5= . 6 3 3 α(F ∗ ) ≥ B2. Â ãðàôå G åñòü âèñÿ÷èå âåðøèíû, òî åñòü U 6= ∅. Â ýòîì ñëó÷àå âûïîëíÿåòñÿ óòâåðæäåíèå ëåììû 6.9. Ïóñòü Y ⊂ V (G) ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí, ñìåæíûõ ñ X è íå âîøåäøèõ â W . Ðàññìîòðèì ãðàô G∗ íà âåðøèíàõ W ∪ X ∪ U ∪ Y , âñå ð¼áðà êîòîðîãî ýòî ð¼áðà ãðàôà G, èíöèäåíòíûå W èëè X . Èç ëåììû 6.9 ïîíÿòíî, ÷òî G∗ äâóäîëüíûé ãðàô ñ äîëÿìè W ∪ Y è X ∪ U . Ïóñòü G0 êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà G∗ . Ìû ïîñòðîèì â G0 îñòîâíîå äåðåâî F 0 ñ α(F 0 ) ≥ 2. Äëÿ íà÷àëà ðàññìîòðèì ïîäãðàô G00 = G0 −Y , ïóñòü â ýòîì ïîäãðàôå k êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè. Ðàçëè÷íûå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà G00 ñîåäèíÿþòñÿ äðóã ñ äðóãîì ÷åðåç âåðøèíû ìíîæåñòâà Y (ñì. ðèñóíîê 6.25). U X X U W X U W W Y Ðèñ. 6.25: Áàçà B2, ãðàô G0 . Ïóñòü W 0 = W ∩ V (G0 ), X 0 = X ∩ V (G0 ), Y 0 = Y ∩ V (G0 ), U 0 = U ∩ V (G0 ). Êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà X 0 ñìåæíà õîòÿ áû ñ 7 âåðøèíàìè èç W 0 ∪Y 0 . Êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà W 0 ñìåæíà ðîâíî ñ îäíîé âåðøèíîé èç U è, ñëåäîâàòåëüíî, ñ 2 èëè 3 âåðøèíàìè èç X 0 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç W20 è W30 ìíîæåñòâà âåðøèí èç W 0 , ñìåæíûõ ñ 2 è 3 âåðøèíàìè èç X 0 , ñîîòâåòñòâåííî. Ïîíÿòíî, ÷òî W20 ⊂ S è W30 ⊂ T . 215 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà Y 0 ñìåæíà ñ âåðøèíàìè ìíîæåñòâà X 0 , èìåþùèìè ñòåïåíü õîòÿ áû 7. Òàê êàê íåëüçÿ âûïîëíèòü R3, âåðøèíû èç Y 0 èìåþò ñòåïåíü íå áîëåå 4, òî åñòü, êàæäàÿ èç íèõ ñìåæíà íå áîëåå, ÷åì ñ 4 âåðøèíàìè èç X 0 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Y40 ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí èç Y 0 , ñìåæíûõ ñ 4 âåðøèíàìè èç X 0 , ïóñòü Y30 = Y 0 \ Y40 . Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèÿ x = |X 0 |, w2 = |W20 |, w3 = |W30 |, y3 = |Y30 |, y4 = |Y40 |. Òîãäà 2w2 + 3w3 + 3y3 + 4y4 . (6.5) 7 Âûäåëèì â ãðàôå G0 îñòîâíûé ëåñ F 0 , ïîäâåñèâ ê W 0 ∪ X 0 âåðøèíû èç |U 0 | = w2 + w3 , x≤ Y 0 ∪U 0 (ýòè âåðøèíû áóäóò âèñÿ÷èìè, èõ êîëè÷åñòâî ðàâíî w2 +w3 +y3 +y4 ). Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî â òàêîì ëåñó k êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè (ñòîëüêî æå, ñêîëüêî â ãðàôå G00 = G0 − Y ). Ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî T 0 ãðàôà G0 , ñâÿçàâ ýòè k êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè â îäíó, äëÿ ÷åãî ïðîâåä¼ì k − 1 íîâîå ðåáðî ìåæäó Y 0 è X 0 . Â ðåçóëüòàòå êîëè÷åñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí èç Y 0 ∪ U 0 óìåíüøèòñÿ íå áîëåå ÷åì íà k − 1 è ïîëó÷èòñÿ u(T 0 ) ≥ w2 + w3 + y3 + y4 − k + 1. (6.6) Îöåíèì còîèìîñòü äåðåâà T 0 : cG (T 0 ) ≤ 1 1 · (2w2 + w3 ) + · (w3 + x + y3 + y4 ). 4 3 (6.7) Âñå âåðøèíû èç U 0 , î÷åâèäíî, ÿâëÿþòñÿ ì¼ðòâûìè âåðøèíàìè äåðåâà T 0 . Ïîñêîëüêó êàæäàÿ âåðøèíà èç Y èìååò ñòåïåíü íå áîëåå 4, òî òå âåðøèíû èç Y40 , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè â äåðåâå T 0 ì¼ðòâûå âåðøèíû ýòîãî äåðåâà. Òàêèì îáðàçîì, ìåíüøå âñåãî ì¼ðòâûõ âåðøèí ó äåðåâà T 0 â ñëó÷àå, êîãäà âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû ëåñà F 0 , ïðîïàâøèå ïðè ñêëåéêå êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè, ëåæàëè â Y40 è ìû èìååì b(T 0 ) ≥ |U 0 | + y4 − k + 1 = w2 + w3 + y4 − k + 1. (6.8) 216 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Ó÷èòûâàÿ ïîëó÷åííûå âûøå íåðàâåíñòâà (6.6), (6.7) è (6.8), ïîëó÷àåì 1 5 α(T 0 ) = u(T 0 ) + b(T 0 ) − cG (T 0 ) ≥ 6 6 5 1 (w2 + w3 + y3 + y4 − k + 1) + (w2 + w3 + y4 − k + 1) − cG (T 0 ) ≥ 6 6 5 w2 + w3 + y4 + y3 − cG (T 0 ) − k + 1 ≥ 6 5 1 2 1 1 + y3 · + y4 · − x · − k + 1. (6.9) w2 · + w 3 · 2 12 2 3 3 Äàëåå íàì íóæíî îöåíèòü k . Ðàññìîòðèì êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè G0 ãðàôà G00 . Â G0 åñòü âåðøèíà v ∈ W20 ∪ W30 . Åñëè v ∈ W20 , òî â G0 õîòÿ áû äâå âåðøèíû èç X 0 , à åñëè v ∈ W30 òî õîòÿ áû òðè âåðøèíû èç X 0 . Òàêèì îáðàçîì, 2k ≤ x. (6.10) Ïóñòü k2 êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà G00 , ñîäåðæàùèõ ïî äâå âåðøèíû èç X 0 . Â êàæäîé òàêîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè îáÿçàòåëüíî åñòü âåðøèíà èç W20 , ïîýòîìó k2 ≤ w2 . Òîãäà x ≥ 3(k − k2 ) + 2k2 = 3k − k2 ≥ 3k − w2 , ÷òî ìû ïåðåïèøåì â âèäå 3k ≤ x + w2 . Ñëîæèâ óìíîæåííîå íà 3 2 (6.11) íåðàâåíñòâî (6.10) è íåðàâåíñòâî (6.11) è ñî- êðàòèâ íà 6, ïîëó÷èì k≤ 5 1 x + w2 . 12 6 (6.12) Îòìåòèì, ÷òî X 0 6= ∅, à êàæäàÿ âåðøèíà èç X 0 ñìåæíà õîòÿ áû ñ 7 âåðøèíàìè èç W 0 ∪ Y 0 . Ïîýòîìó, w2 + w3 + y3 + y4 ≥ 7. Òåïåðü ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ. (6.13) 217 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß B2.1. W30 = ∅. Âåðí¼ìñÿ ê íåðàâåíñòâó (6.9). C ó÷åòîì w3 = 0 è íåðàâåíñòâà (6.10) ïîëó÷àåì α(T 0 ) ≥ w2 · 1 2 1 1 + y3 · + y4 · − x · − k + 1 ≥ 2 2 3 3 1 1 2 5 w2 · + y3 · + y4 · − x · + 1. (6.14) 2 2 3 6 Ïîäñòàâèâ â (6.14) îöåíêó íà x èç (6.5), ó÷èòûâàÿ (6.13) è w3 = 0, ïîëó÷èì α(T 0 ) ≥ w2 · 1 4 1 11 + y3 · + y4 · + 1 ≥ (w2 + y3 + y4 ) · + 1 ≥ 2, 42 7 21 7 ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. B2.2. W20 = ∅, k = 1. Òîãäà èç íåðàâåíñòâà (6.9), w2 = 0 è k = 1 ïîëó÷àåì α(T 0 ) ≥ w3 · 5 1 2 1 + y3 · + y4 · − x · . 12 2 3 3 (6.15) Ïîäñòàâèâ â (6.15) îöåíêó íà x èç (6.5), ïîëó÷èì α(T 0 ) ≥ w3 · 5 10 23 5 23 + y3 · + y4 · ≥ w3 · + (y3 + y4 ) · . 84 14 21 84 14 (6.16) Åñëè y3 = y4 = 0, òî âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâà T 0 ì¼ðòâûå, òî åñòü, G = G0 . Â ýòîì ñëó÷àå èç (6.13) èìååì w3 ≥ 7 è u(G) ≥ u(T 0 ) ≥ c(G) + 23 , 12 òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà. Ïóñòü y3 + y4 ≥ 1. Òîãäà èç (6.16) è (6.13) ìû èìååì α(T 0 ) ≥ 6 · 23 5 + = 2, 84 14 ÷òî íàc óñòðàèâàåò. B2.3. k ≥ 2. Â îñòàâøåìñÿ ñëó÷àå ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî w3 6= 0, èíà÷å ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïóíêòîì B2.1. Â ãðàôå G00 õîòÿ áû äâå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè. Ñðåäè íèõ åñòü êîìïîíåíòà, êîòîðàÿ ñîäåðæèò âåðøèíû èç W30 , â íåé õîòÿ áû 3 âåðøèíû èç X 0 . Â äðóãîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè íå ìåíåå ÷åì 2 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 218 âåðøèíû èç X 0 . Òàêèì îáðàçîì, x ≥ 5. Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì (6.9), îöåíêîé íà k èç (6.12) è îöåíêîé íà x èç (6.5): 1 1 5 1 2 α(T 0 ) ≥ w2 · + w3 · + y3 · + y4 · − x · − k + 1 ≥ 2 3 3 2 12 5 1 2 1 5 1 1 − + w3 · + y3 · + y4 · − x · + +1≥ w2 · 2 6 12 2 3 3 12 1 5 1 2 3 2w2 + 3w3 + 3y3 + 4y4 w2 · + w3 · + y3 · + y4 · − +1≥ 3 12 2 3 4 7 2 5 5 5 + w3 · + y3 · + y4 · +1≥ w2 · 42 28 21 21 2 2 2w2 + 3w3 + 3y3 + 4y4 + 1 ≥ x · + 1 > 2, 9 7 9 ÷òî íàì è íóæíî. Ëåììà 6.10. Åñëè ê ñâÿçíîìó ãðàôó G íåâîçìîæíî ïðèìåíèòü íè îäíî èç ðåäóêöèîííûõ ïðàâèë, òî ñóùåñòâóåò ëåñ F ∗ ïîäãðàô ãðàôà G c α(F ∗ ) ≥ 23 . Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè v(G) = 2, òî G äåðåâî ñ äâóìÿ âåðøèíàìè, ñëåäîâàòåëüíî, 1 1 3 = , è α(G) = . 4 2 2 Äàëåå ïóñòü v(G) > 2. Â ýòîì ñëó÷àå ìû ïðèìåíèì îïèñàííîå âûøå ïîu(G) = 2, c(G) = 2 · ñòðîåíèå áàçîâîãî ëåñà. Åñëè ãðàô G íå èìååò âèñÿ÷èõ âåðøèí, òî ïî ïóíêòó B1 ìîæíî ïîñòðîèòü äåðåâî F ∗ ñ α(F ∗ ) ≥ 53 . Â ñëó÷àå, êîãäà ãðàô G èìååò âèñÿ÷èå âåðøèíû, âûäåëèì â ãðàôå G∗ îñòîâíûé ëåñ F ∗ , äåéñòâóÿ îïèñàííûì â ïóíêòå B2 ñïîñîáîì. Òîãäà êàæäàÿ êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè F 0 ëåñà F ∗ èìååò α(F 0 ) ≥ 2. Ñëåäîâàòåëüíî, α(F ∗ ) ≥ 2. Îòìåòèì, ÷òî â ýòîò ëåñ âîøëè âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû ãðàôà G. Øàã ïîñòðîåíèÿ Îïèøåì øàã àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ îñòîâíîãî äåðåâà (íàçîâ¼ì ýòîò øàã A). Ïóñòü ïåðåä øàãîì A ìû èìååì ëåñ F ïîäãðàô ãðàôà G. (Ïåðåä ïåðâûì ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 219 øàãîì ìû èìååì ëåñ F = F ∗ , ïîñòðîåííûé âûøå.) ×åðåç ∆u è ∆b ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ïðèðîñò êîëè÷åñòâà âèñÿ÷èõ âåðøèí è êîëè÷åñòâà ìåðòâûõ âèñÿ÷èõ âåðøèí â ëåñå F íà øàãe A, ÷åðåç ∆t è ∆s êîëè÷åñòâî äîáàâëåííûõ íà ýòîì øàãå â ëåñ F âåðøèí èç T è èç S , ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü F1 ëåñ, ïîëó÷åííûé ïîñëå øàãà A. Ââåäåì îáîçíà÷åíèå ∆k = k(F ) − k(F1 ). Íàçîâ¼ì äîõîäîì øàãà A âåëè÷èíó 1 1 1 5 p(A) = ∆u + ∆b + 2∆k − ∆t − ∆s. 6 6 3 4 Ìû áóäåì âûïîëíÿòü òîëüêî øàãè, äëÿ êîòîðûõ äîõîä íåîòðèöàòåëåí. Èç ôîðìóëû (6.4) è îïðåäåëåíèÿ öåíû âåðøèíû íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî α(F1 ) = α(F ) + p(A). Îïèøåì âñå âîçìîæíûå âèäû øàãîâ. Äëÿ óäîáñòâà ìû â îïèñàíèè øàãà áóäåì îáîçíà÷àòü ìíîæåñòâî âåðøèí, íå âîøåäøèõ â ëåñ F , ÷åðåç Z . Âåðøèíû ìíîæåñòâà Z , ñìåæíûå õîòÿ áû ñ îäíîé èç âåðøèí V (F ), íàçîâåì âåðøèíàìè óðîâíÿ 1. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû x ∈ Z ÷åðåç P (x) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí èç V (F ), ñìåæíûõ ñ x. Çàìå÷àíèå 6.24. 1) Îòìåòèì, ÷òî âñå íå âîøåäøèå â F âåðøèíû ïðè- íàäëåæàò S ∪ T è èìåþò ñòåïåíü íå ìåíåå 3. Äåéñòâèòåëüíî, âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû ãðàôà G âîøëè â ëåñ F ∗ , à âåðøèí ñòåïåíè 2 íåò, èíà÷å ìîæíî áûëî áû âûïîëíèòü ðåäóêöèþ R1. 2) Ïðè îöåíêå äîõîäà øàãà ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå äîáàâëåííûå âåðøèíû, ïðî êîòîðûå íåèçâåñòíà èõ ïðèíàäëåæíîñòü ìíîæåñòâó S , ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó T . Åñëè êàêàÿ-òî äîáàâëåííàÿ âåðøèíà ïîñ÷èòàíà êàê âåðøèíà èç T , íî íà ñàìîì äåëå ïðèíàäëåæèò S , òî äîõîä øàãà óâåëè÷èòñÿ íà 1 12 . 220 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Äàëåå ìû ïðåäñòàâèì íåñêîëüêî âàðèàíòîâ âûïîëíåíèÿ øàãà àëãîðèò- Ìû áóäåì ïûòàòüñÿ âûïîëíèòü î÷åðåäíîé âàðèàíò øàãà àëãîðèòìà, òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà íåâîçìîæíî âûïîëíèòü íè îäèí èç ïðåäûäóùèõ. Äîïîëìà. íèòåëüíî îá ýòîì óïîìèíàòü â îïèñàíèè øàãîâ ìû íå áóäåì. S1. Ñóùåñòâóåò ðåáðî xy , êîíöû êîòîðîãî âåðøèíû ðàçíûõ êîìïî- íåíò ñâÿçíîñòè ëåñà F . Äîáàâèì â F ðåáðî xy , òåì ñàìûì óìåíüøèâ êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè íà 1. Òàêèì îáðàçîì, ∆k ≥ 1 è ∆u ≥ −2. Ïîëó÷àåì p(S1) ≥ −2 · S2. 1 5 +2= . 6 3 Â F åñòü íåâèñÿ÷àÿ âåðøèíà x, ñìåæíàÿ ñ âåðøèíîé y ∈ Z . Ïðèñîåäèíèì y ê x. Â ýòîì ñëó÷àå ∆u = 1, cG (y) ≤ 1 3 è 5 1 1 − = . 6 3 2 Äàëåå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íåâèñÿ÷èå âåðøèíû F p(S2) ≥ Çàìå÷àíèå 6.25. íåñìåæíû ñ âåðøèíàìè ìíîæåñòâà Z è íèêàêîå ðåáðî íå ñîåäèíÿåò ðàçíûå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ëåñà F . S3. Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ V (F ), ñìåæíàÿ ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç Z . Äîáàâèì ýòè äâå âåðøèíû â äåðåâî, ïðèñîåäèíèâ èõ ê âåðøèíå x. Òîãäà ∆u = 1, còîèìîñòü äâóõ äîáàâëåííûõ âåðøèí íå áîëåå p(S3) ≥ S4. 2 3 è 5 2 1 − = . 6 3 6 Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ Z , ñìåæíàÿ ñ âåðøèíàìè õîòÿ áû äâóõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ëåñà F . Òîãäà ñîåäèíèì ýòè äâå êîìïîíåíòû ÷åðåç x, ïðîâåäÿ îò êàæäîé èç íèõ ïî îäíîìó ðåáðó ê x. Ïîëó÷èì ∆u ≥ −2, ∆k = 1 è, ïîñêîëüêó cG (x) ≤ 13 , òî p(S4) ≥ −2 · 5 1 + 2 − = 0. 6 3 221 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß S5. Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ Z , ñìåæíàÿ ñ m ≥ 3 âåðøèíàìè èç V (F ). Òàê êàê íåâîçìîæíî âûïîëíèòü S4, âåðøèíà x ñìåæíà ñ òðåìÿ âåðøèíàìè îäíîé êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ëåñà F . Ïðèñîåäèíèì x ê îäíîé èç ýòèõ âåðøèí, äâå äðóãèå ñòàíóò ì¼ðòâûìè. Òîãäà ∆u = ∆k = 0, ∆b ≥ 2 è, òàê êàê cG (x) ≤ 13 , ìû ïîëó÷àåì 1 1 − = 0. 6 3 Çàìå÷àíèå 6.26. Äàëåå ìû ñ÷èòàåì, ÷òî êàæäàÿ âèñÿ÷àÿ âåðøèíà ëåñà F p(S5) ≥ 2 · ñìåæíà ðîâíî ñ îäíîé âåðøèíîé èç Z è íå ñìåæíà ñ äðóãèìè êîìïîíåíòàìè ñâÿçíîñòè ëåñà F . Êàæäàÿ âåðøèíà óðîâíÿ 1 ñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç V (F ) è, åñëè òàêèõ âåðøèí äâå, òî îíè ïðèíàäëåæàò îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ëåñà F . S6. Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ T óðîâíÿ 1. Ïî çàìå÷àíèþ 6.26 âåðøèíà x ñìåæíà íå áîëåå, ÷åì ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç V (F ). Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ. S6.1. Âåðøèíà x ñìåæíà ñ îäíîé âåðøèíîé èç V (F ). Òîãäà x ñìåæíà ñ òðåìÿ âåðøèíàìè, íå âîøåäøèìè â F . Äîáàâèì x è ýòè òðè âåðøèíû â F . Ïîëó÷èì ∆u = 2, ñòîèìîñòü ÷åòûð¼õ äîáàâëåííûõ âåðøèí íå áîëåå 4 · 13 , ïîýòîìó p(S6.1) ≥ 2 · S6.2. 5 4 1 − = . 6 3 3 Âåðøèíà x ñìåæíà ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç V (F ). Òîãäà x ñìåæíà ñ äâóìÿ âåðøèíàìè y1 , y2 ∈ Z . Äîáàâèì x, y1 , y2 â ëåñ F è ïîëó÷èì ∆u = 1. Äâå ñìåæíûå ñ x âåðøèíû èç V (F ) ïðèíàäëåæàò îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè, ïîýòîìó ∆b ≥ 1. Còîèìîñòü òð¼õ äîáàâëåííûõ â F âåðøèí íå áîëåå 3 · 1 3 = 1 è ìû èìååì p(S6.2) ≥ S7. 5 1 + − 1 = 0. 6 6 Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ S óðîâíÿ 1, ñìåæíàÿ ñ îäíîé âåðøèíîé èç V (F ). 222 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Òîãäà x ñìåæíà ñ äâóìÿ íå âîøåäøèìè â F âåðøèíàìè y1 , y2 . Äîáàâèì x, y1 , y2 â ëåñ F è ïîëó÷èì ∆u = 1. Ðàçáåð¼ì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ. S7.1. y1 , y2 ∈ S . Òîãäà ñòîèìîñòü òð¼õ äîáàâëåííûõ âåðøèí íå áîëåå 3 · p(S7.1) ≥ 1 4 è â ðåçóëüòàòå 5 1 1 −3· = , 6 4 12 ÷òî íàñ óñòðàèâàåò. S7.2. y1 ∈ T . Òîãäà ñòîèìîñòü òð¼õ äîáàâëåííûõ â F âåðøèí íå áîëåå 1 4 +2· 1 3 = 11 12 . Ïóñòü F1 êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ëåñà F , ñ êîòîðîé ñìåæíà âåðøèíà x. Äîáàâèì â äåðåâî F1 âåðøèíû x, y1 , y2 . Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì p(S7.2) ≥ 1 5 11 − =− , 6 12 12 ÷òî íàì íå ïîäõîäèò. Ðàçáåð¼ì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ, ñ ÷åì ìîæåò áûòü ñìåæíà âåðøèíà y1 , è â êàæäîì èç íèõ ïðîäîëæèì øàã äî òåõ ïîð, ïîêà äîõîä íå ñòàíåò íåîòðèöàòåëüíûì. S7.2.1. Âåðøèíà y1 ñìåæíà ñ z ∈ V (F1 ). Òîãäà z â ðåçóëüòàòå ñäåëàííîãî øàãà ñòàëà ì¼ðòâîé âåðøèíîé (ñì. ðèñóíîê 6.26a), òî åñòü ∆b ≥ 1 è ìû èìååì p(S7.2.1) ≥ p(S7.2) + S7.2.2. 1 1 = . 6 12 Âåðøèíà y1 ñìåæíà ñ z ∈ V (F ) \ V (F1 ). Òîãäà äîáàâèì â F ðåáðî zy1 , ñîåäèíèâ äâå ðàçëè÷íûå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ëåñà F â îäíó, ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ øàã S1 (ñì. ðèñóíîê 6.26b). Â ðåçóëüòàòå 1 p(S7.2.2) ≥ p(S7.2) + p(S1) ≥ . 4 223 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß b z F1 b b 1 b z b a F1 b x b y F2 b y y 2 b 1 b z x b F1 b b 1 y z2 2 b b b c y 1 x b y 2 Ðèñ. 6.26: Øàã S7.2. S7.2.3. Âåðøèíà y1 íåñìåæíà ñ V (F ). Òàê êàê dG (y1 ) ≥ 4, âåðøèíà y1 ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ åùå íå äîáàâëåííûìè â F âåðøèíàìè z1 , z2 . Äîáàâèì èõ â F , ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ øàã S3 (ñì. ðèñóíîê 6.26ñ), è ïîëó÷èì p(S7.2.3) ≥ p(S7.2) + p(S3) ≥ S8. 1 . 12 Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ S óðîâíÿ 1, ñìåæíàÿ ñ äâóìÿ âåðøè- íàìè èç V (F ). Îáå âåðøèíû èç P (x), êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, ëåæàò â îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè F1 ëåñà F . Äîáàâèì x â äåðåâî F1 , â ðåçóëüòàòå îäíà èç âåðøèí ìíîæåñòâà P (x) ñòàíåò ì¼ðòâîé. Ïîêà ÷òî ìû èìååì ∆s = 1, ∆b = 1. Âåðøèíà x ñìåæíà ðîâíî ñ îäíîé âåðøèíîé èç Z , ïóñòü ýòî âåðøèíà y . Äîáàâèì y â ëåñ. Ïîëó÷àåòñÿ p(S8) ≥ 1 1 1 − − cG (y) ≥ − − cG (y). 6 4 12 (6.17) Ðàçáåð¼ì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ, ñ ÷åì ìîæåò áûòü ñìåæíà âåðøèíà y , è â êàæäîì èç íèõ ïðîäîëæèì øàã äî òåõ ïîð, ïîêà äîõîä íå ñòàíåò íåîòðèöàòåëüíûì. S8.1. Âåðøèíà y ñìåæíà ñ V (F ). Ïîñêîëüêó íåâîçìîæíî âûïîëíèòü øàãè S1 − S7 ñ âåðøèíîé y , òî y ∈ S è y ñìåæíà ñ äâóìÿ âåðøèíàìè îäíîé êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè F2 ëåñà F . 224 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Ó÷èòûâàÿ äàííûå î âåðøèíå y , ìû ïîëó÷èì cG (y) = 41 . Â ñèëó (6.17), òîãäà 1 p(S8) ≥ − . 3 Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ. S8.1.1. F 2 = F1 . Òîãäà îáå âåðøèíû èç P (y) è ñàìà âåðøèíà y ñòàëè ì¼ðòâûìè (ñì. ðèñóíîê 6.27à) è ìû èìååì p(S8.1.1) ≥ p(S8) + 3 · F1 b b y b b b b F2 x 1 1 = . 6 6 b b b y b a b F1 x b Ðèñ. 6.27: Øàã S8.1. S8.1.2. F2 6= F1 . Òîãäà ñîåäèíèì ýòè äâå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè, äîáàâèâ ðåáðî ìåæäó y è îäíîé èç âåðøèí P (y), ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ øàã S1 (ñì. ðèñóíîê 6.27b). Ïîëó÷èì p(S8.1.2) ≥ p(S8) + p(S1) ≥ 0. S8.2. Âåðøèíà y íåñìåæíà ñ V (F ). Òîãäà âñå ñìåæíûå ñ y âåðøèíû, êðîìå x, åùå íå âîøëè â F . Ðàçáåð¼ì äâà ñëó÷àÿ. S8.2.1. y ∈ T. Òîãäà ìû ìîæåì äîáàâèòü â äåðåâî F1 òðè ñìåæíûå ñ y âåðøèíû, ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ øàã S3 è øàã S2 (ñì. ðèñóíîê 6.28a). Ó÷èòûâàÿ (6.17) è 5 òî, ÷òî cG (y) = 31 , ïîëó÷èì p(S8) ≥ − 12 è 1 p(S8.2.1) ≥ p(S8) + p(S3) + p(S2) ≥ . 4 225 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß S8.2.2. y ∈ S. Â ýòîì ñëó÷àå ìû ìîæåì äîáàâèòü â äåðåâî F1 òîëüêî äâå ñìåæíûå ñ y âåðøèíû z1 , z2 . Äîáàâèì èõ â äåðåâî F1 , â ðåçóëüòàòå âûïîëíèâ øàã S3 (ñì. ðèñóíîê 6.28b). Ó÷èòûâàÿ (6.17) è òî, ÷òî cG (y) = 41 , ïîëó÷èì p(S8) ≥ − 13 è 1 p(S8.2.2) ≥ p(S8) + p(S3) ≥ − . 6 Ïðîäîëæèì ðàññìàòðèâàòü âàðèàíòû. F1 b b b F1 x b y y b F1 b y b F2 b F1 b b x x b b b b y F1 b x b b b x b y b b b b b b b a z1 b b z2 z1 b b z2 c b z1 b d b z2 b b z1 e b z2 Ðèñ. 6.28: Øàã S8.2. S8.2.2.1. z1 , z2 ∈ S Òîãäà äâå äîáàâëåííûå â ïîñëåäíþþ î÷åðåäü âåðøèíû ñòîÿò 2· 41 , à íå 2· 31 , êàê áûëî ïîñ÷èòàíî âûøå è p(S8.2.2.1) ≥ p(S8.2.2) + 1 ≥ 0, 6 ÷òî íàñ óñòðàèâàåò. S8.2.2.2. Âåðøèíà z1 ∈ T ñìåæíà ñ ëåñîì F . Åñëè z1 ñìåæíà ñ äåðåâîì F1 (ñì. ðèñóíîê 6.28c), òî ê ïàðàìåòðàì øàãà S8.2.2 äîáàâëÿåòñÿ åùå îäíà ì¼ðòâàÿ âåðøèíà è 1 p(S8.2.2.2) ≥ p(S8.2.2) + ≥ 0. 6 Ïóñòü z1 ñìåæíà ñ äåðåâîì F2 6= F1 . Òîãäà ïðîâåä¼ì ðåáðî, ñîåäèíÿþùåå F2 ñ z1 (ñì. ðèñóíîê 6.28d), óìåíüøèâ ÷èñëî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ëåñà F íà 1 è ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ øàã S1. Ïîëó÷èì 1 p(S8.2.2.2) ≥ p(S8.2.2) + p(S1) ≥ . 6 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß S8.2.2.3. 226 Âåðøèíà z1 ∈ T íåñìåæíà ñ ëåñîì F . Òàê êàê dG (z1 ) ≥ 4, âåðøèíà z1 ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ åùå íå äîáàâëåííûìè â F âåðøèíàìè. Äîáàâèì èõ â F (ñì. ðèñóíîê 6.28e), ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ øàã S3 è ïîëó÷èì p(S8.2.2.3) ≥ p(S8.2.2) + p(S3) ≥ 0. 6.2.3 Îêîí÷àíèå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 6.2 Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà ê ãðàôó íåâîçìîæíî ïðèìåíèòü íè îäíî èç ðåäóêöèîííûõ ïðàâèë. Ïî ëåììå 6.10 ïîñòðîèì ëåñ F ∗ ïîäãðàô ãðàôà G ñ α(F ∗ ) ≥ 23 . Åñëè F ∗ íå ÿâëÿåòñÿ îñòîâíûì äåðåâîì ãðàôà G, òî ïðîäîëæèì ïîñòðîåíèå ñ ïîìîùüþ îïèñàííûõ âûøå øàãîâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ îïèñàííîãî âûøå àëãîðèòìà ïîñòðîåíî äåðåâî F , ñ êîòîðûì íåâîçìîæíî âûïîëíèòü íè îäèí èç øàãîâ. Åñëè íå âñå âåðøèíû ãðàôà G âîøëè â F , òî ñóùåñòâóåò íå âîøåäøàÿ â F âåðøèíà, ñìåæíàÿ ñ F . Ïî ïîñòðîåíèþ, åå ñòåïåíü õîòÿ áû 3, à çíà÷èò, ìîæíî âûïîëíèòü îäèí èç øàãîâ, ïðîòèâîðå÷èå. Ñëåäîâàòåëüíî, F îñòîâíûé ëåñ ãðàôà G. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãðàô F íåñâÿçåí. Òîãäà êàêèå-òî äâå åãî êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ñîåäèíåíû ðåáðîì â ãðàôå G è ìîæíî âûïîëíèòü øàã S1. Çíà÷èò, F ñâÿçåí, òî åñòü, ýòî îñòîâíîå äåðåâî. Òîãäà âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâà F ì¼ðòâûå, â äåðåâå F ðîâíî îäíà êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè è 1 3 5 u(F ) = u(F ) + b(F ) ≥ cG (F ) + α(F ) ≥ cG (F ) + α(F ∗ ) ≥ cG (F ) + , 6 6 2 òàê êàê âñå âûïîëíåííûå øàãè èìåëè íåîòðèöàòåëüíûé äîõîä. Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 6.2 çàêîí÷åíî. 6.2.4 Ýêñòðåìàëüíûå ïðèìåðû Ñëåäóþùàÿ ëåììà ïîìîæåò íàì ñêëåèâàòü áîëüøèå ýêñòðåìàëüíûå ïðèìåðû ê îöåíêå èç òåîðåìû 6.2 èç ìàëåíüêèõ. Ãëàâíîå òðåáîâàíèå ê îáúåê- 227 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß òàì ñêëåéêè íàëè÷èå âèñÿ÷èõ âåðøèí. Ëåììà 6.11. Ïóñòü G1 è G2 ñâÿçíûå ãðàôû ñ v(G1 ) > 2, v(G2 ) > 2, V (G1 ) ∩ V (G2 ) = ∅ è âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè x1 è x2 . Ïóñòü G ãðàô, ïîëó÷åííûé èç G1 è G2 ñêëåèâàíèåì ïî âåðøèíàì x1 è x2 (ïóñòü â ðåçóëüòàòå èç x1 è x2 ïîëó÷èëàñü âåðøèíà x) è ïîñëåäóþùèì ñòÿãèâàíèåì îäíîãî èíöèäåíòíîãî x ìîñòà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî 3 3 u(G1 ) = c(G1 ) + è u(G2 ) = c(G2 ) + . 2 2 Òîãäà 3 u(G) = c(G) + . 2 Äîêàçàòåëüñòâî. Îòìåòèì, ÷òî v(G) = v(G1 )+v(G2 )−2. Äåéñòâèòåëüíî, äâå âåðøèíû x1 è x2 ìû ñêëåèëè â îäíó âåðøèíó x, ïîñëå ÷åãî ñòÿãèâàíèå îäíîãî ðåáðà óìåíüøèëî ÷èñëî âåðøèí åùå íà îäíó (â ðåçóëüòàòå ñòÿãèâàíèÿ èñ÷åçëà âåðøèíà x ñòåïåíè 2). Òàêèì îáðàçîì, âñå âåðøèíû ãðàôà G ýòî âñå îòëè÷íûå îò x1 è x2 âåðøèíû ãðàôîâ G1 è G2 , ïðè÷åì ðîâíî ñ òàêèìè æå ñòåïåíÿìè, êàê â G1 è G2 . Êàê ìû çíàåì, âåðøèíû x1 ∈ V (G1 ) è x2 ∈ V (G2 ) íå ïðèíàäëåæàò V (G) è cG1 (x1 ) = cG2 (x2 ) = 41 , ñëåäîâàòåëüíî, c(G) = c(G1 ) + c(G2 ) − 2 · 14 . Hàïèøåì öåïî÷êó ðàâåíñòâ (â ïåðâîì ðàâåíñòâå âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé 6.5): 3 u(G) = u(G1 ) + u(G2 ) − 2 = c(G1 ) + c(G2 ) + 1 = c(G) + . 2 Îñòàåòñÿ ïðèâåñòè ýêñòðåìàëüíûé ïðèìåð ê òåîðåìå 6.2, â êîòîðîì õîòÿ áû äâå âèñÿ÷èõ âåðøèíû è åñòü âåðøèíû ñòåïåíè íå ìåíåå 4, ÷òîáû îöåíêà èç òåîðåìû áûëà îñìûñëåííîé. Òàêîé ãðàô ìû âèäèì íà ðèñóíêå 6.29a. Â ýòîì ãðàôå G ïî òðè âåðøèíû ñòåïåíåé 1, 3 è 4, à çíà÷èò, t = 3, s = 6, è c(G) = 3 · 1 1 5 +6· = . 3 4 2 228 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b a b b b b b b Ðèñ. 6.29: Ýêñòðåìàëüíûå ïðèìåðû. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî u(G) = 4 (â îñòîâíîì äåðåâå ìîãóò áûòü âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè òðè âèñÿ÷èõ âåðøèíû ãðàôà G è íå áîëåå ÷åì îäíà èç âåðøèí ñòåïåíè 4). Òàêèì îáðàçîì, 3 u(G) = 4 = c(G) + . 2 Ìû ìîæåì ñêëåèòü èç òàêèõ ãðàôîâ ñêîëü óãîäíî äëèííûå öåïî÷êè (ñì. ðèñóíîê 6.29b). Ïî ëåììå 6.11, íà ýòèõ ãðàôàõ áóäåò äîñòèãàòüñÿ îöåíêà íà êîëè÷åñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí â îñòîâíîì äåðåâå èç òåîðåìû 6.2. 6.3 Íèæíÿÿ îöåíêà íà u(G), ó÷èòûâàþùàÿ âåðøèíû ñòåïåíè 2 Òåîðåìà 6.3. Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô, v(G) ≥ 2, `(G) ≤ k , k ≥ 1. Òîãäà u(G) ≥ 1 3 v(G) + . 2k + 4 2 Ýòîò ðàçäåë ïîñâÿùåí äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 6.3. Ïåðåä äîêàçàòåëüñòâîì îñíîâíîé òåîðåìû ðàçäåëà ìû äîêàæåì äâå ëåììû. Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü áëîêè è òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ. Â ýòîì ðàçäåëå ãðàô G ñâÿçíûé. Íàïîìíèì, ÷òî âåðøèíà a ∈ V (G) íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ñî÷ëåíåíèÿ, åñëè ãðàô G − a íåñâÿçåí. Áëîêîì íàçûâàåòñÿ ëþáîé ìàêñèìàëüíûé ïî âêëþ÷åíèþ ïîäãðàô ãðàôà G, íå èìåþùèé òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. 229 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Çàìå÷àíèå 6.27. Åñëè v(G) ≥ 2, òî ëþáîé áëîê ãðàôà G ñîäåðæèò õî- òÿ áû äâå âåðøèíû è ÿâëÿåòñÿ ëèáî äâóñâÿçíûì ãðàôîì, ëèáî ïîëíûì ãðàôîì íà äâóõ âåðøèíàõ. Îïðåäåëåíèå 6.7. Ïóñòü B áëîê ãðàôà G. 1) Ãðàíèöåé áëîêà B (îáîçíà÷åíèå: Bound(B)) íàçîâåì ìíîæåñòâî âñåõ âõîäÿùèõ â íåãî òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Ìíîæåñòâî Int(B) = V (B) \ Bound(B) íàçîâåì âíóòðåííîñòüþ áëîêà B , à âñå âõîäÿùèå â íåãî âåðøèíû áëîêà âíóòðåííèìè. 2) Áëîê B íàçûâàåòñÿ êðàéíèì, åñëè îí ñîäåðæèò ðîâíî îäíó òî÷êó ñî÷ëåíåíèÿ (òî åñòü |Bound(B)| = 1). 3) Áëîê íàçûâàåòñÿ ïóñòûì, åñëè ó íåãî íåò âíóòðåííèõ âåðøèí (òî åñòü, Int(B) = ∅.) Èíà÷å áëîê íàçûâàåòñÿ íåïóñòûì. 4) Áëîê B íàçûâàåòñÿ áîëüøèì, åñëè |Int(B)| > |Bound(B)|. Ëåììà 6.12. Ïóñòü B áîëüøîé áëîê ãðàôà G, v(G) > 2. Òîãäà ñóùå- ñòâóåò íåïóñòîé íàáîð ð¼áåð F ⊂ E(B), óäîâëåòâîðÿþùèé ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: 1◦ ãðàô B − F ñâÿçåí; 2◦ äëÿ ëþáîé âåðøèíû x ∈ Bound(B) âûïîëíÿåòñÿ dB−F (x) ≥ 2; 3◦ åñëè âåðøèíû y, z ∈ Int(B) ñìåæíû â B − F è dB−F (y) = dB−F (z) = 2, Äîêàçàòåëüñòâî. òî dB (y) = dB (z) = 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî v(B) = 2. Òîãäà, òàê êàê áëîê B áîëüøîé, îáå åãî âåðøèíû äîëæíû áûòü âíóòðåííèìè, òî åñòü, B íå ñîäåðæèò íè îäíîé òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ. Èç ñâÿçíîñòè ãðàôà G òîãäà ñëåäóåò, ÷òî B = G. Ïðîòèâîðå÷èå ñ v(G) > 2. Òàêèì îáðàçîì, v(B) > 2 è â âèäó äâóñâÿçíîñòè ãðàôà B ìû èìååì dB (x) ≥ 2 äëÿ ëþáîé âåðøèíû x ∈ V (B). Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ. 1. Ïóñòü â áëîêå B ñóùåñòâóþò ñìåæíûå âåðøèíû u, w ∈ Int(B), ïðè÷¼ì dG (u) = 2. ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 230 Î÷åâèäíî, ãðàô B−uw ñâÿçåí, â ãðàôå B−uw ñòåïåíè âåðøèí èç Bound(B) òàêèå æå, êàê â B , òî åñòü, íå ìåíåå äâóõ. Åñëè äëÿ íàáîðà F = {uw} âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 3◦ , òî ýòîò íàáîð ð¼áåð íàì ïîäõîäèò. Ïóñòü äëÿ íàáîðà F = {uw} íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 3◦ . Òîãäà â ãðàôå B − uw åñòü ïàðà ñìåæíûõ âåðøèí y, v ñòåïåíè 2 èç Int(B), ïðè÷¼ì dB (y) > 2. Òîãäà íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî y = w, ïðè÷¼ì dB (w) = 3, dB (v) = 2 è vw ∈ E(B). Ðàññìîòðèì íàáîð F = {uw, vw}. Âcå âåðøèíû èç Bound(B) èìåþò â ãðàôå B − F òàêóþ æå ñòåïåíü, êàê è â B , òî åñòü, íå ìåíåå äâóõ. Íîâûõ âåðøèí ñòåïåíè 2 ïðè óäàëåíèè F , î÷åâèäíî, íå ïîÿâèëîñü, òàê êàê dB−F (u) = dB−F (v) = dB−F (w) = 1. Îñòà¼òñÿ ïðîâåðèòü ñâÿçíîñòü ãðàôà B − F . Ïóñòü w0 òðåòüÿ âåðøèíà ãðàôà B , ñìåæíàÿ c w. Îòìåòèì, ÷òî ãðàô B − w ñâÿçåí (â âèäó äâóñâÿçíîñòè B ). Òîãäà âåðøèíû èç V (B) \ {w} ñâÿçàíû â B − F , à, ïîñêîëüêó ww0 ∈ E(B − F ), òî ãðàô B − F ñâÿçåí. Òàêèì îáðàçîì, íàáîð ð¼áåð F = {uw, vw} íàì ïîäõîäèò. 2. Ïóñòü â áëîêå B ñóùåñòâóþò ñìåæíûå âåðøèíû u, w ∈ Int(B), íî ñòåïåíü êàæäîé âõîäÿùåé â òàêóþ ïàðó âåðøèíû íå ìåíåå òð¼õ. Òîãäà ðàññìîòðèì íàáîð F = {uw}. Î÷åâèäíî, ãðàô B − uw ñâÿçåí, â ãðàôå B − uw ñòåïåíè âåðøèí èç Bound(B) òàêèå æå, êàê â B , òî åñòü, íå ìåíåå äâóõ. Ïóñòü x, y ∈ Int(B), xy ∈ E(B − uw). Òîãäà õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí x è y (ïóñòü ýòî x) îòëè÷íà îò u è w, ñëåäîâàòåëüíî, dB−uw (x) ≥ 3. Òàêèì îáðàçîì, íàáîð ð¼áåð F = {uw} íàì ïîäõîäèò. 3. Ïóñòü â áëîêå B íåò ñìåæíûõ âåðøèí èç Int(B). Ïîñêîëüêó |Int(B)| > |Bound(B)| è dB (x) ≥ 2 äëÿ ëþáîé âåðøèíû x ∈ Int(B), òî ñóùåñòâóåò âåðøèíà u ∈ Bound(B), ñìåæíàÿ õîòÿ áû ñ òðåìÿ âåðøèíàìè èç Int(B). Ïóñòü w ∈ Int(B), uw ∈ E(B). Òîãäà ãðàô B − uw ñâÿçåí, dB−uw (y) ≥ 2 äëÿ ëþáîé âåðøèíû y ∈ Bound(B). Òàê ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 231 êàê íèêàêèå äâå âåðøèíû èç Int(B) íå ñìåæíû â B − uw, íàáîð ð¼áåð F = {uw} íàì ïîäõîäèò. Ëåììà 6.13. Ïóñòü G ãðàô ñ áîëåå ÷åì äâóìÿ âåðøèíàìè. Òîãäà ñóùå- ñòâóåò íàáîð ð¼áåð F ⊂ E(G), óäîâëåòâîðÿþùèé ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: 1◦ ãðàô G − F ñâÿçåí; 2◦ ó ãðàôà G − F íåò áîëüøèõ áëîêîâ; 3◦ åñëè âåðøèíû x è y ñìåæíû â G − F è dG−F (x) = dG−F (y) = 2, òî dG (x) = dG (y) = 2. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü B áîëüøîé áëîê ãðàôà G. Òîãäà ñóùåñòâóåò íàáîð ð¼áåð F1 ⊂ E(B), óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì 1◦ − 3◦ ëåììû 6.12. Òàê êàê ãðàô B − F1 ñâÿçåí, òî ñâÿçåí è ãðàô G − F1 . Ïóñòü xy ∈ E(G − F1 ), dG−F1 (y) = dG−F1 (x) = 2 è dG (y) > 2. Òîãäà âåðøèíà y èíöèäåíòíà ðåáðó èç F1 , ñëåäîâàòåëüíî, y ∈ V (B). Ïóñòü y ∈ Bound(B). Òîãäà ïî ëåììå 6.12 ìû èìååì dB−F1 (y) ≥ 2 è, òàê êàê y òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G, îíà ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç V (G) \ V (B). Ñëåäîâàòåëüíî, dG−F1 (y) ≥ 3, ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, y ∈ Int(B). Èç xy ∈ E(G) ñëåäóåò, ÷òî x ∈ V (B). Òåïåðü àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî x ∈ Int(B). Íî òîãäà ïî ëåììå 6.12 ìû èìååì dG (x) = dG (y) = 2, ïðîòèâîðå÷èå. Åñëè â ãðàôå G1 = G−F1 åñòü áîëüøèå áëîêè, ïîâòîðèì îïåðàöèþ. Ïîíÿòíî, ÷òî ÷åðåç íåñêîëüêî òàêèõ îïåðàöèé áîëüøèõ áëîêîâ íå îñòàíåòñÿ è îáúåäèíåíèå âñåõ íàáîðîâ óäàë¼ííûõ èç ãðàôà G ð¼áåð áóäåò èñêîìûì íàáîðîì F . Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 6.3. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî v(G) > 2, èíà÷å óòâåðæäåíèå òåîðåìû î÷åâèäíî. 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãðàô G èìååò áîëüøèå áëîêè. Ïî ëåììå 6.13 ìû ìîæåì âûáðàòü òàêîé íàáîð ð¼áåð F ⊂ E(G), ÷òî ãðàô G0 = G − F ñâÿçåí, íå èìååò áîëüøèõ áëîêîâ è äëÿ ëþáûõ äâóõ ñìåæíûõ 232 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß â G0 âåðøèí x è y èç dG0 (x) = dG0 (y) = 2 ñëåäóåò dG (x) = dG (y) = 2. Òîãäà `(G0 ) = max(`(G), 1) ≤ k. Òàê êàê ëþáîå îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G0 ÿâëÿåòñÿ îñòîâíûì äåðåâîì ãðàôà G, òî u(G) ≥ u(G0 ). Ïîýòîìó, äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà ãðàô G íå èìååò áîëüøèõ áëîêîâ. Äàëåå ìû ðàññìîòðèì ýòîò ñëó÷àé. 2. Ïðåîáðàçîâàíèå ãðàôà G â ãðàô H . Ïóñòü a òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G, âõîäÿùàÿ â áëîêè B1 , . . . , Bm , ãäå m ≥ 3. Çàìåíèì âåðøèíó a íà öèêë a1 a2 . . . am è ñîåäèíèì âåðøèíó ai ñ òåìè æå âåðøèíàìè áëîêà Bi , ñ êîòîðûìè áûëà ñîåäèíåíà âåðøèíà a. Â ðåçóëüòàòå òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ çàìåíåíà íà áëîê ñ ïóñòîé âíóòðåííîñòüþ (ñì. ðèñóíîê 6.30). B2 a2 B2 B1 b a b B3 B1 a1 b b b B4 a3 B3 a4 B4 Ðèñ. 6.30: Çàìåíà òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ íà öèêë. Âûïîëíèì òàêèå çàìåíû äëÿ âñåõ òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ, âõîäÿùèõ õîòÿ áû â òðè áëîêà è ïîëó÷èì íîâûé ãðàô H , â êîòîðîì êàæäàÿ òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ âõîäèò ðîâíî â äâà áëîêà. Îòìåòèì, ÷òî v(H) ≤ v(G), `(H) = `(G) ≤ k, òàê êàê íà êàæäîì øàãå ìû ìåíÿëè îäíó âåðøèíó ñòåïåíè áîëåå 2 íà íåñêîëüêî âåðøèí ñòåïåíè áîëåå 2. 3. Äîêàæåì, ÷òî u(H) ≥ u(G). 233 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Ðàññìîòðèì îñòîâíîå äåðåâî T ãðàôà H ñ u(T ) = u(H). Ïóñòü A ìíîæåñòâî íîâûõ âåðøèí ãðàôà H , íà êîòîðûå áûëà çàìåíåíà òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ a ãðàôà G. Òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà íå ìîãóò áûòü âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè â åãî îñòîâíîì äåðåâå, ñëåäîâàòåëüíî, âñå âåðøèíû èç A íåâèñÿ÷èå â äåðåâå T . Èç ïîñòðîåíèÿ ãðàôà H è íåñâÿçíîñòè ãðàôà G − a ñëåäóåò, ÷òî ãðàô H − A òàêæå íåñâÿçåí. Ïîýòîìó, ïîäãðàô T (A) ñâÿçåí, òî åñòü, ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ïóò¼ì (íàïîìíèì, ÷òî ãðàô H(A) ïî ïîñòðîåíèþ ïðîñòîé öèêë). Ïîñëåäîâàòåëüíî ñòÿíóâ â äåðåâå T âñå ð¼áðà ïóòè T (A), ìû ïîëó÷èì âìåñòî ìíîæåñòâà A âåðøèíó a è íîâîå äåðåâî ñ òåì æå ìíîæåñòâîì âèñÿ÷èõ âåðøèí, ÷òî è T . Âûïîëíèâ òàêèå îïåðàöèè äëÿ âñåõ çàìåíåííûõ òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G, ìû ïîëó÷èì îñòîâíîå äåðåâî T 0 ãðàôà G ñ òåì æå ìíîæåñòâîì âèñÿ÷èõ âåðøèí, ÷òî è T . Òàêèì îáðàçîì, u(H) ≥ u(T 0 ) = u(G). 4. Ïîñòðîèì ãðàô D, âåðøèíàìè êîòîðîãî áóäóò áëîêè ãðàôà H , à äâà áëîêà ñìåæíû åñëè è òîëüêî åñëè îíè èìåþò îáùóþ òî÷êó ñî÷ëåíåíèÿ. Òàê êàê êàæäàÿ òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà H âõîäèò ðîâíî â äâà áëîêà, ãðàô D ïîëó÷àåòñÿ èç äåðåâà áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà H çàìåíîé êàæäîé òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ a è äâóõ èíöèäåíòíûõ åé ð¼áåð íà ðåáðî, ñîåäèíÿþùåå äâà áëîêà, â êîòîðûå âõîäèò a. Ñëåäîâàòåëüíî, D äåðåâî, â êîòîðîì êàæäàÿ âèñÿ÷àÿ âåðøèíà êðàéíèé áëîê ãðàôà H . Ïóñòü V = V (D) ìíîæåñòâî âñåõ áëîêîâ ãðàôà H , v = |V|. Ñòåïå- íüþ áëîêà B ∈ V ìû áóäåì íàçûâàòü âåëè÷èíó dD (B) = |Bound(B)| êîëè÷åñòâî âõîäÿùèõ â B òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèÿ: Vi ìíîæåñòâî âñåõ áëîêîâ ñòåïåíè i; Wi ìíîæåñòâî íåïóñòûõ áëîêîâ ñòåïåíè i; W ìíîæåñòâî âñåõ íåïóñòûõ áëîêîâ; Ui ìíîæåñòâî ïóñòûõ áëîêîâ ñòåïåíè i. Ïîëîæèì vi = |Vi |, wi = |Wi |, w = |W|, ui = |Ui |. 234 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Îòìåòèì, ÷òî wi + ui = vi . Î÷åâèäíî, ñóùåñòâóåò îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà H ñ w âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè (ïî îäíîé âíóòðåííåé âåðøèíå êàæäîãî íåïóñòîãî áëîêà). Òàêèì îáðàçîì, (6.18) u(G) ≥ u(H) ≥ w. 5. Ïóñòü P = W1 ∪U2 , Q = V \P . Äîêàæåì, ÷òî áëîêè èç P ñîäåðæàò ðîâíî ïî äâå âåðøèíû, à áëîêè èç Q, ñîäåðæàò íå ìåíåå òð¼õ âåðøèí. Åñëè B ∈ U2 , òî áëîê B ñîäåðæèò äâå òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ è íè îäíîé âíóòðåííåé âåðøèíû, òî åñòü, v(B) = 2. Ïóñòü B ∈ W1 . Òîãäà áëîê B ñîäåðæèò îäíó òî÷êó ñî÷ëåíåíèÿ è ÿâëÿåòñÿ íåïóñòûì, ñëåäîâàòåëüíî, |Int(B)| ≥ 1. Îäíàêî, áëîê B íå ÿâëÿåòñÿ áîëüøèì, ñëåäîâàòåëüíî, |Int(B)| ≤ |Bound(B)| = 1. Òàêèì îáðàçîì, v(B) = 2. Ïóñòü B ∈ W2 . Òîãäà áëîê B ñîäåðæèò äâå òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ è õîòÿ áû îäíó âíóòðåííþþ âåðøèíó. Ñëåäîâàòåëüíî, v(B) ≥ 3. Åñëè B ∈ Vi è i ≥ 3, òî î÷åâèäíî, ÷òî v(B) ≥ 3. 6. Íàøåé öåëüþ áóäåò îöåíêà ñâåðõó êîëè÷åñòâà âåðøèí ãðàôà H ÷å- ðåç w. Íà÷í¼ì ñ äâóõ íåñëîæíûõ íåðàâåíñòâ. Òàê êàê âíóòðåííîñòü êðàéíåãî áëîêà íåïóñòà, W1 = V1 , U1 = ∅. Ñëåäîâàòåëüíî, ïóñòûå áëîêè ëèáî âõîäÿò â U2 , ëèáî èìåþò ñòåïåíü õîòÿ áû 3, îòêóäà ïîëó÷àåòñÿ íåðàâåíñòâî v X i=1 iui ≥ 3 v X ui − u2 = 3(v − w) − u2 . (6.19) i=2 Ïðîñóììèðîâàâ ñòåïåíè âåðøèí äåðåâà D è âîñïîëüçîâàâøèñü ðàâåíñòâîì e(D) = v(D) − 1, ìû ïîëó÷èì v v X X (i − 2)vi = 2, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî v1 − 2 = (i − 2)vi . i=1 i=3 235 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Îòìåòèì, ÷òî i i−2 ≤ 3 ïðè i ≥ 3. Ïîýòîìó v X i=3 7. ivi ≤ 3 v X (i − 2)vi = 3v1 − 6 = 3w1 − 6. (6.20) i=3 Îöåíèì u2 ÷åðåç êîëè÷åñòâî íåïóñòûõ áëîêîâ. Ðàññìîòðèì ëþáóþ ìàêñèìàëüíóþ ïî âêëþ÷åíèþ öåïî÷êó L = B1 B2 . . . Bn ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèí¼ííûõ â äåðåâå D áëîêîâ èç P . Ïî äîêàçàííîìó âûøå, v(Bi ) = 2 äëÿ âñåõ i ∈ {1, . . . , n}. Ïîñêîëüêó áëîêè èç W1 âèñÿ÷èå â äåðåâå D, òî B2 , . . . , Bn−1 ∈ U2 . Òàê êàê áëîêè Bi è Bi+1 èìåþò îáùóþ òî÷êó ñî÷ëåíåíèÿ, ìû ìîæåì ïîëîæèòü V (Bi ) = {xi , xi+1 } (äëÿ i ∈ {1, . . . , n}). Îòìåòèì, ÷òî äâå âåðøèíû êàæäîãî èç áëîêîâ Bi ñìåæíû. Ïîýòîìó ïðè i ∈ {2, . . . , n − 1} âåðøèíà xi ñìåæíà â ãðàôå H ñ xi−1 è xi+1 . Òàêèì îáðàçîì, ìû èìååì öåïî÷êó ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèí¼ííûõ âåðøèí x1 . . . xn+1 â ãðàôå H , ïðè÷¼ì dH (x2 ) = · · · = dH (xn ) = 2. Ñëåäîâàòåëüíî, n ≤ k + 1. Ðàçðåæåì öåïî÷êó L íà äâå ïîëîâèíû ïî n 2 áëîêîâ: ëåâóþ, îò B1 äî ñå- ðåäèíû è ïðàâóþ, îò ñåðåäèíû äî Bn (â ñëó÷àå, êîãäà n íå÷åòíî, ìûñëåííî ðàçäåëèì ñðåäíèé áëîê L íà äâå ïîëîâèíêè). Åñëè B1 ∈ U2 , òî ëåâóþ ïîëîâèíó öåïî÷êè ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå áëîêó èç Q, ñìåæíîìó ñ B1 . Åñëè æå B1 ∈ W1 , òî ëåâàÿ ïîëîâèíà öåïî÷êè çà âû÷åòîì ñàìîãî áëîêà B1 áóäåò ïîñòàâëåíà â ñîîòâåòñòâèå êàê ðàç áëîêó B1 . Àíàëîãè÷íî, â çàâèñèìîñòè îò òèïà áëîêà Bn , ïîñòóïèì ñ ïðàâîé ïîëîâèíîé öåïî÷êè. Òàê æå ñäåëàåì ñî âñåìè îñòàëüíûìè ìàêñèìàëüíûìè öåïî÷êàìè áëîêîâ èç P . Îòìåòèì, ÷òî òàêèå öåïî÷êè íå ïåðåñåêàþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, êàæäîìó áëîêó èç W1 cîîòâåòñòâóåò íå áîëåå ÷åì k−1 n −1≤ 2 2 áëîêîâ èç U2 . Êàæäûé áëîê ñòåïåíè i èç Q ñìåæåí íå áîëåå, ÷åì ñ i áëîêàìè èç U2 , à çíà÷èò, åìó ñîîòâåòñòâóåò íå áîëåå ÷åì i· n k+1 ≤i· 2 2 236 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß áëîêîâ èç U2 . Òåïåðü, èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî (6.20), íàïèøåì öåïî÷êó íåðàâåíñòâ: v X k−1 k+1 u2 ≤ w1 + (2w2 + ivi ) ≤ 2 2 i=3 k+1 k−1 w1 + (k + 1)w2 + (3w1 − 6) = 2 2 (k + 1)w2 + (2k + 1)w1 − 3k − 3. (6.21) 8. Îöåíèì v(G) ÷åðåç ïàðàìåòð w. Ïî ïîñòðîåíèþ ãðàôà D, êîëè÷åñòâî òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà H ðàâíî e(D) = v − 1. Âñå îñòàëüíûå âåðøèíû ãðàôà H (îáîçíà÷èì èõ êîëè÷åñòâî ÷åðåç s) ýòî âíóòðåííèå âåðøèíû íåïóñòûõ áëîêîâ ãðàôà H . Èç îòñóòñòâèÿ áîëüøèõ áëîêîâ ñëåäóåò, ÷òî |Int(B)| ≤ |Bound(B)| = dD (B) äëÿ ëþáîãî íåïóñòîãî áëîêà B ãðàôà H . Ñëåäîâàòåëüíî, s≤ X dD (B) = v X i=1 B∈W iwi = v X i=1 ivi − v X iui = 2v − 2 − i=1 v X iui (6.22) i=1 (â ïîñëåäíåì ïåðåõîäå ìû èñïîëüçîâàëè òî, ÷òî D äåðåâî). Âîñïîëüçîâàâøèñü íåðàâåíñòâàìè (6.18) − (6.22) è òåì, ÷òî w1 + w2 ≤ w, íàïèøåì öåïî÷êó íåðàâåíñòâ: v(G) ≤ v(H) = v − 1 + s ≤ v − 1 + 2v − 2 − v X iui = i=1 3v − 3 − v X iui ≤ 3v − 3 − 3(v − w) − u2 = 3w − 3 + u2 ≤ i=1 3w − 3 + (k + 1)w2 + (2k + 1)w1 − 3k − 3 ≤ (2k + 4)w − (3k + 6) ≤ (2k + 4)u(G) − (3k + 6), îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû. 237 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 6.3.1 Ýêñòðåìàëüíûå ïðèìåðû Ìû ïðèâåäåì áåñêîíå÷íóþ ñåðèþ ïðèìåðîâ ãðàôîâ, â êîòîðûõ ìàêñèìàëüíàÿ öåïî÷êà ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèí¼ííûõ âåðøèí ñòåïåíè 2 ñîñòîèò èç k > 0 âåðøèí è îöåíêà èç òåîðåìû 6.3 îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî. Ðàññìîòðèì äåðåâî T , â êîòîðîì åñòü òîëüêî âåðøèíû ñòåïåíåé 1 è 3, ïðè÷¼ì âåðøèí ñòåïåíè 3 ðîâíî n. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíè 1 òîãäà ðàâíî n + 2, à e(T ) = 2n + 1. Çàìåíèì êàæäîå ðåáðî äåðåâà T öåïî÷êîé äëèíû k + 1 (òî åñòü, äîáàâèì íà êàæäîì ðåáðå ïî k íîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèí¼ííûõ âåðøèí ñòåïåíè 2), ïîñëå ÷åãî êàæäóþ âåðøèíó x ñòåïåíè 3 çàìåíèì íà òðåóãîëüíèê, òðè âåðøèíû êîòîðîãî ñîåäèíèì ñ òðåìÿ äîáàâëåííûìè âåðøèíàìè ñòåïåíè 2, ñ êîòîðûìè áûëà ñîåäèíåíà âåðøèíà x (êàæäóþ âåðøèíó òðåóãîëüíèêà ðîâíî ñ îäíîé âåðøèíîé). Ïðèìåð òàêîãî ãðàôà äëÿ k = 2 è n = 5 èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 6.31. b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b Ðèñ. 6.31: Ýêñòðåìàëüíûé ïðèìåð. Â ïîëó÷åííîì ãðàôå G áóäåò n + 2 âèñÿ÷èõ âåðøèí, (2n + 1)k âåðøèí ñòåïåíè 2 è n òðåóãîëüíèêîâ, èòîãî v(G) = n + 2 + k(2n + 1) + 3n = (2k + 4)n + k + 2. Âñå íåâèñÿ÷èå âåðøèíû ãðàôà G ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè ñî÷ëåíåíèÿ è ïîòîìó íå ìîãóò áûòü âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè îñòîâíîãî äåðåâà. Òàêèì îáðàçîì ëåãêî âèäåòü, ÷òî u(G) = n + 2 = 1 3 v(G) + . 2k + 4 2 Ëèòåðàòóðà [1] N. Alon. Transversal numbers of uniform hypergraphs.// Graphs and Combinatorics v. 6 (1990), p. 1-4. [2] P. S. Bonsma Spanning trees with many leaves in graphs with minimum degree three. // SIAM J. Discrete Math. v. 22, no. 3 (2008), p. 920-937. [3] P. S. Bonsma, F. Zickfeld Spanning trees with many leaves in graphs without diamonds and blossoms. // LATIN 2008: Theoretical informatics, p. 531-543, Lecture Notes in Comput. Sci., 4957, Springer, Berlin, 2008. [4] Y. Caro, D. B. West, R. Yuster. Connected domination and spanning trees with many leaves. // SIAM J. Discrete Math. v. 13, no. 2 (2000), p. 202-211. [5] G. Chartrand, A. Kaugars, D. R. Lick. Critically n-connected graphs. // Proc. of the Amer. Math. Soc., v. 32 (1972), p. 63-68. [6] G. Ding, T. Johnson, P. Seymour Spanning trees with many leaves. // J. Graph Theory v. 37 (2001), no. 4, p. 189-197. [7] G. A. Dirac. Minimally 2-connected graphs. // J. Reine and Angew. Math. v. 268 (1967), p.204-216. [8] J. R. Griggs, D. J. Kleitman, A. Shastri. Spanning trees with many leaves in cubic graphs. // J. Graph Theory v. 13, no. 6 (1989), p. 669-695. 238 239 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß [9] J. R. Griggs, M. Wu. Spanning trees in graphs of minimum degree 4 or 5. // Discrete Math. v. 104 (1992), p. 167183. [10] R. Halin. A theorem on n-connected graphs. // Journal of Combinatorial Theory, v. 7 (1969), p. 150-154. [11] R. Halin. On the structure of n-connected graphs. // Recent Progress in Combinatorics (ed: W. T. Tutte), Academic Press, London New York, 1969, p. 91-102. [12] R. Halin. Zur Theorie der n-fach zusammenh angenden Graphen. // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, v. 7 (1969), p. 133-164. [13] R. Halin. Studies on minimally n-connected graphs. // Combinatorial Mathematics and its Applications (ed: D. J. A. Welsh), Academic Press, London New York, 1971, p. 129-136. [14] Y. O. Hamidoune. On critically h-connected simple graphs. // Discrete Mathematics, v. 32 (1980), p. 257-262. [15] F. Harary, Y. Kodama. On the genus of an n-connected graph. // Fund. Math., v. 54 (1964), p. 7-13. [16] S. Hedetniemi. Characterizations and constructions of minimally 2- connected graphs and minimally strong digraphs. // Proceedings of the Second Louisiana Conference on Combinatorics, Graph Theory and Computing, 1971, p. 257-282. [17] W. Hohberg. The decomposition of graphs into k -connected components. // Discrete Mathematics, v. 109 (1992), p. 133-145. [18] J. E. Hopcroft, R. E. Tarjan. Dividing a graph into triconnected components // SIAM J. Comput., v. 2 (1973), p. 135-158. [19] D. J. Kleitman, D. B. West. Spanning trees with many leaves.// SIAM J. Discrete Math. v. 4 (1991), no. 1, p. 99-106. ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß [20] 240 A structural characterizations of planar combinatorial S. MacLane. graphs. // Duke Math. J., v. 3 (1937), p. 460-472. [21] Eine Eigenschaft der Atome endlicher Graphen. // Arch. W. Mader. Math., v. 22 (1971), p. 333-336. [22] Ecken vom Grad n in minimalen n-fach zusammenhangen- W. Mader. den Graphen. // Arch. Math., v. 23 (1972), p. 219-224. [23] Endlichkeitssatze f ur k -kritische Graphen. // Math. Ann., W. Mader. v. 229 (1977), p. 143-153. [24] W. Mader. Zur Struktur minimal n-fach zusammenhangender Graphen. // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, v. 49 (1979), p. 49-69. [25] W. Mader. On vertices of degree n in minimally n-connected graphs and digraphs // Combinatorics, Paul Erdos is eighty (Volume 2) Keszthely (Hungray), 1993. Budapest: Janos Bolyai Mathematical Society, 1996, p. 423-449. [26] D. W. Matula. k -Blocks and Ultrablocks in Graphs. // Journal of Com- binatorial Theory, Series B, 1978, v. 24, p. 1-13. [27] N. Martinov. A recursive characterization of the 4-connected graphs. // Discrete Math. v. 84, no. 1 (1990), p. 105-108. [28] K. Menger. Zur allgemeinen Kurventheory. // Fund. Math., 1927, p. 10, p. 96-115. [29] L.Nebesky. On induced subgraphs of a block. // J. Graph Theory v. 1 (1977), 69-74. [30] J. G. Oxley. On some extremal connectivity results for graphs and matroids. Discrete Math.,v. 41 (1982), p. 181-198. 241 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß [31] M. D. Plummer. On minimal blocks // Trans. Amer. Math. Soc., v. 134 (1968), p. 85-94. [32] A classication of 4-connected graphs. // Journal of Com- P. J. Slater. binatorial Theory, v. 17 (1974), p. 257-282. [33] P. J. Slater. Soldering and Point Splitting. // Journal of Combinatorial Theory, Ser. B, v. 24 (1974), p. 338-343. [34] J. A. Storer. Constructing full spanning trees for cubic graphs.// Inform. Process. Lett. v. 13 (1981), no. 1, p. 8-11. [35] W. T. Tutte. A theory of 3-connected graphs. // Indag. Math. v. 23 (1961), p. 441-455. [36] W. T. Tutte. Connectivity in graphs. // Toronto, Univ. Toronto Press, 1966. [37] H. J. Veldman. Non-κ-critical vertices in graphs. // Diskrete Mathematics, 1983, vol. 44, p. 105-110. [38] À. Â. Áàíêåâè÷. Îöåíêè êîëè÷åñòâà âèñÿ÷èõ âåðøèí â îñòîâíûõ äåðåâüÿõ â ãðàôàõ áåç òðåóãîëüíèêîâ. // Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ ò. 391 (2011) ñòð. 5-17. [39] À. Â. Áàíêåâè÷, Ä. Â. Êàðïîâ. Îöåíêè êîëè÷åñòâà âèñÿ÷èõ âåð- øèí â îñòîâíûõ äåðåâüÿõ. // Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ ò. 391 (2011) ñòð. 18-34. [40] Ê. Áåðæ. Òåîðèÿ ãðàôîâ è åå ïðèìåíåíèÿ. // Ìîñêâà, Èíîñòðàí- íàÿ ëèòåðàòóðà, 1962. (Ïåðåâîä ñ ôðàíöóçñêîãî. C. Berge, Theorie des graphes et ses applications. Dunod, Paris, 1958.) [41] Í. Â. Ãðàâèí. Ïîñòðîåíèå îñòîâíîãî äåðåâà ãðàôà ñ áîëüøèì êî- ëè÷åñòâîì ëèñòüåâ. // Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 381 (2010), ñòð. 31-46. ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß [42] Ä. Â. Êàðïîâ. 242 Îñòîâíîå äåðåâî ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì âèñÿ÷èõ âåðøèí. // Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà, ò. 13, â .1 (2001), ñòð. 63-72. [43] Ä. Â. Êàðïîâ. Áëîêè â k -ñâÿçíûõ ãðàôàõ. Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíà- ðîâ ÏÎÌÈ, ò. 293 (2002), ñòð. 59-93. [44] Ä. Â. Êàðïîâ. Ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà â k -ñâÿçíîì ãðàôå. Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 340 (2006), ñòð. 33-60. [45] Ä. Â. Êàðïîâ. Îñòîâíîå äåðåâî ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì âèñÿ÷èõ âåðøèí. Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ ò. 381 (2010) ñòð. 78-87. [46] Ä. Â. Êàðïîâ. Îñòîâíûå äåðåâüÿ ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì âèñÿ÷èõ âåðøèí: íîâûå íèæíèå îöåíêè ÷åðåç êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíåé 3 è íå ìåíåå 4. Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 406 (2012), ñòð. 31-66. [47] Ä. Â. Êàðïîâ. Îñòîâíûå äåðåâüÿ ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì âèñÿ÷èõ âåðøèí: íèæíèå îöåíêè ÷åðåç êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíåé 1, 3 è íå ìåíåå 4. Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 406 (2012), ñòð. 67-94. [48] Ä. Â. Êàðïîâ. Äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà. Çàïèñêè íàó÷- íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 417 (2013), ñòð. 86-105. [49] Ä. Â. Êàðïîâ. Ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû. Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 417 (2013), ñòð. 106-127. [50] Ä. Â. Êàðïîâ. Äåðåâî ðàçðåçîâ è ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô. Çà- ïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 427 (2014), ñòð. 22-40. [51] Ä. Â. Êàðïîâ. Ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû ñ ìèíèìàëüíûì ÷èñ- ëîì âåðøèí ñòåïåíè k . Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 427 (2014), ñòð. 41-65. 243 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß [52] Ä. Â. Êàðïîâ. Óäàëåíèå âåðøèí èç äâóñâÿçíîãî ãðàôà ñ ñîõðàíåíè- åì äâóñâÿçíîñòè. Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 427 (2014), ñòð. 66-73. [53] Ä. Â. Êàðïîâ, À. Â. Ïàñòîð. Î ñòðóêòóðå k -ñâÿçíîãî ãðàôà. // Çà- ïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 266 (2000), ñòð. 76-106. [54] Ä. Â. Êàðïîâ, À. Â. Ïàñòîð. Ñòðóêòóðà ðàçáèåíèÿ òðåõñâÿçíîãî ãðàôà. // Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 391 (2011), ñòð. 90148. [55] Î. Îðå. Òåîðèÿ ãðàôîâ. // Ìîñêâà, Íàóêà, 1968. (Ïåðåâîä ñ àíãëèé- ñêîãî. O.Ore, Theory of graphs, 1962.) [56] Ó. Òàòò. Òåîðèÿ ãðàôîâ. // Ìîñêâà, Ìèð, 1988. (Ïåðåâîä ñ àíãëèé- ñêîãî. W. T. Tutte, Graph theory. Enciclopedia of Mathematics and its Applications, v. 21, 1984.) [57] Ô. Õàðàðè. Òåîðèÿ ãðàôîâ. // Ìîñêâà, Ìèð, 1973. (Ïåðåâîä ñ àí- ãëèéñêîãî. F.Harary, Graph theory, 1969.) [58] À. Ñ. ×óõíîâ. Óäàëåíèå âåðøèí èç k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ áåç ïîòåðè k - ñâÿçíîñòè. Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 340 (2006), ñòð. 103116.

Структура связности графа

Related documents

Products

Support

Структура связности графа

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib