1.3. Равенство векторов

1.3. Равенство векторов. Векторы полностью характеризуются длиной и направлением.
Поэтому два вектора называются равными, если, во-первых, их длины равны и, вовторых, они сонаправлены (рис.1.16).
Рис.1.16
Итак, a = b , если 1) ⎜ a ⎜=⎜ b ⎜ и 2) a ↑↑ b .
Ясно, что одно лишь первое условие не достаточно для равенства векторов: на рис.17,а
длины векторов a и b равны, но векторы a и b не равны. Аналогично, и одной
сонаправленности двух векторов мало для их равенства: на рис.17,б векторы AB и PQ
сонаправлены, но не равны.
Рис.1.17
Нам часто придется выполнять такое построение: от выбранной точки откладывать
вектор, равный данному вектору. Оно осуществляется так.
Зададим некоторую точку С и зададим некоторый вектор a , например направленным
отрезком AB = a (рис.18,а). Требуется построить такую точку D, что CD = AB . Чтобы построить
эту точку D, во-первых, из точки С проведем луч р, сонаправленный с лучом АВ (рис.18,б).
Такой луч р лишь один. Теперь на луче р откладываем отрезок CD=AB (рис.18,в). Точка D
построена. Ясно, что такая точка лишь одна.
а)
б)
в)
Рис.1.18
Итак. мы доказали следующее утверждение: от любой точки можно отложить
вектор, равный данному вектору, и притом только один. g
Равенство векторов обладает всеми обычными свойствами равенств. В частности, два
вектора, равные третьему вектору, равны друг другу (это свойство назовем первым
признаком равенства векторов). Докажем его.
1Пусть a = c и b = c . Тогда, во-первых ⎜ a ⎜= ⎜ c ⎜ и ⎜ b ⎜= ⎜ c ⎜. Поэтому ⎜ a ⎜= ⎜ b ⎜. Вовторых, векторы a и c сонаправлены, а также векторы b и c сонаправлены. Поэтому,
согласно признаку сонаправленности векторов, векторы a и b сонаправлены. Поскольку, как
уже доказано, и ⎜ a ⎜= ⎜ b ⎜, то a = b .g
Если CD = AB и точка С не лежит на прямой АВ, то четырехугольник ABDС параллелограмм (напомним, что четырехугольник, в котором две противоположные стороны
равны и параллельны – параллелограмм, рис.1.19). Верно и обратное утверждение: если
четырехугольник ABDС - параллелограмм, то CD = AB . Действительно, в этом случае векторы
CD и AB сонаправлены и имеют равные длины.
Рис.1.19
Рис.1.20
Объединяя эти два взаимно обратных утверждения, получаем второй признак равенства
векторов: если точка С не лежит на прямой АВ, то CD = AB тогда и только тогда, когда
четырехугольник ABDС - параллелограмм.
Рисунок 1.19 подсказывает нам еще один (уже третий) признак равенства векторов:
ведь то, что четырехугольник ABDС - параллелограмм, можно установить, используя
примененный признак параллелограмма, по любой из его пар противоположных сторон.
Поэтому : AB = CD тогда и только тогда, когда AC = BD .
Этот признак справедлив и для точек A, B, C, D, лежащих на одной прямой. Введем на
этой прямой координату х и пусть числа хА, хВ, хС, хD – координаты этих точек (рис.1.20). Тогда
условие AB = CD означает, что выполнено равенство
х В - х А = х D - хС .
(1)
Из (1) вытекает
хС - хА = хD - хВ .
(2)
А равенство (2) и означает для векторов AC и BD , лежащих на одной прямой,
равенство их длин и сонаправленность, т.е. их равенство: AC = BD . g
Динамические модели
"1_04_Равенство векторов"
Вопросы для самоконтроля
1. Чем определяется равенство двух векторов?
2. Какие вам известны признаки равенства двух векторов?
Задачи
Смотрим. 3.1. Дан прямоугольник ABCD. Среди векторов, заданных его вершинами,
укажите равные.
3.2. Даны: а) отрезок AB и его середина O; б) параллелограмм ABCD и две его
диагонали, пересекающиеся в точке O. Среди векторов, заданных этими точками, укажите
равные.
Рисуем. 3.3. Нарисуйте прямую и на ней две точки А и В. а) Нарисуйте вектор AB и
вектор BC = AB . б) Нарисуйте вектор BA и вектор AD = BA . в) Равны ли векторы AD и BC ?
3.4. Нарисуйте вектор a и какую-нибудь точку А. Отложите от нее вектор AB = a . От
точки В отложите вектор BC = a . Нарисуйте такую точку Х, что XA = a .
3.5. Нарисуйте куб ABCDA1B1C1D1. а) Среди векторов, заданных его вершинами,
укажите равные. б) От точки А отложите вектор, равный DA , CD , DD1 . в) Те же задания, что и
в предыдущем пункте, выполните для середины ребра В1С1.
Представляем. 3.6. Сколько пар равных векторов задаются вершинами треугольной
призмы?
Исследуем. 3.7. Пусть AB = CD . Какие еще равные векторы можно задать этими точками
A, B, C, D?
3.8. Нарисуйте треугольник АВС. Нарисуйте точку К и отложите векторы KL = AB ,
LM = BC , KN = AC . Что вы заметили? Как бы вы это объяснили?
3.9. Нарисуйте треугольник. От всех его точек отложите равные векторы. Концы этих
векторов образуют новую фигуру. Сравните ее с нарисованным вами треугольником. Какое
предположение вы сможете сделать. Сможете ли вы его обосновать? Решите аналогичные
задачи для окружности и для куба.
Рассуждаем. 3.10. Что следует из условий: а) KL = 0 ; б) AB = BA ; в) a ⎜⎜ b и a ⊥ b ?