Н - Проблемы информатики в образовании, управлении

Шинкаренко А.А., Куюков В.В. Математическая модель движения автомобиля по
криволинейной траектории. // Проблемы информатики в образовании, управлении,
экономике и технике: Сб. статей XIII Междунар. научно-техн. конф. – Пенза: ПДЗ, 2013. –
С. 36-39.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ АВТОМОБИЛЯ
ПО КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАЕКТОРИИ
А.А. Шинкаренко, В.В. Куюков
Кубанский государственный технологический университет,
г. Краснодар, Россия,
[email protected], [email protected]
Разработана математическая модель движения автомобиля по криволинейной траектории
в зависимости от величин углов увода его передней и задней осей.
Shinkarenko A.A., Kuyukov V.V. Mathematical model of movement of the car on the
curvilinear path. The mathematical model of movement of the car on the curvilinear path depending on values of angles of withdrawal of its lobby and back axes is developed.
В первый момент движения автомобиля по криволинейной траектории за
счет центробежной силы инерции происходит процесс нарастания углов увода
колес его передней и задней осей. Поскольку в общем случае характер
нарастания углов увода δ1 и δ2 неизвестен, будем считать, что разворот
продольной оси автомобиля на курсовой угол γ1 происходит за счет поворота
управляемых колес на небольшой угол Ө, то есть δ1-δ2=Ө. При этом угол Ө
изменяется от Ө=0 до Ө=γ1.
Производная по времени разности (δ1-δ2) дает угловую скорость поворота
автомобиля в процессе нарастания углов увода d (1   2 )  .
dt
Угол γ1 можно выразить через угловую скорость поворота за время γ1=ω1t1,
при этом радиус поворота продольной оси автомобиля:
R
L
L

.
tg 1 tg1t1
Путь S1, пройденный центром заднего моста за время t1 равен S1=vt1, а его
проекции на оси координат: y=v sin1t1 и x=v cos1t1 для бесконечно малого
отрезка времени поворота; dy= v sin1dt1 и dx= v cos1dt1.
Так как радиус поворота автомобиля является радиусом кривизны
траектории, а центр поворота – центром кривизны, то S=R1 или
V
d  1  L dt.
tgt1
Для бесконечно малого времени поворота с учетом γ1=ω1t1 находим
V
d  1  L dt ,
tgt1
откуда
1 
V
V
tg1t dt  
ln cos 1t1  C1.
L
L1
Так как при выбранной системе координат при γ=0,
получим:  1   V ln cos 1t1 , а заменив γ1 , в уравнениях
L1
то окончательно
 V

 V

dy  v sin 
ln cos 1t1  dt; dx =v cos 
ln cos 1t1  dt ,
 L1

 L1

откуда:
y
x
где
V
1 
V
1 
sin(u[ln cos z )dz ],
cos(u[ln cos z )dz ],
u
V
; z  1t1 .
L1
x
V
1
z; y 
Ограничиваясь только первым членом разложения, находим
V
Uz 3
61
или х=Vt;
y
y2
1t13 .
6L
Согласно гипотезе проф. А.С. Литвинова (МАДИ) процесс бокового увода
устанавливается на расстоянии, равном примерно шести длинам контактных
отпечатков, тогда время, за которое пройдет автомобиль этот путь, равно t  S0 .
V
Подставим это значение в формулу:
S
y  0 1 ; X=S0.
6VL
Поскольку нас интересует не вся траектория движения, на которой
произойдет поворот продольной оси автомобиля, а только часть траектории, то
ограничимся курсовым углом γ = 100. При этом условии можно считать, что
боковые силы и нормальные реакции, а значит и углы увода осей, остаются
практически неизменными, следовательно, на этом участке траектории радиус
поворота R=const, то есть движение автомобиля будет происходит по дуге
окружности. Уравнение окружности в неявном виде записывается следующим
образом:
[(x]0 –a)+(y0–b)=R2,
где a и b – координаты центра поворота.
Координаты центра поворота могут быть найдены из того условия, что в
месте перехода кубической параболы в окружность кривые имеют одинаковую
кривизну и общую касательную.
Радиус кривизны в точке перехода равен:
x
R
2
 y2

3
x y  yx
где
2
,
. v 2
. v 2
1 2
1
x  0; y 
t ; y
t1 .
2L
2L
Находим:

 2 x4 
L  V 2  1 2c 
4L 
R 
2
V 1 x0
3
2
при
t
x0
.
V
Уравнение касательной можно получить путем дифференцирования
уравнения
2(x10–a)+2(y1(0–)b) dy/dx=0, dy   x0  a .
dx
y0  b
После подстановок и преобразований имеем:
 R 
 R 
a  x0  y 
; b  y0  
.

 y 1 
 y  1 




Переходим к уравнению окружности в параметрической форме:
V 
V 
x  a  R cos  t  , y  b  R sin  t  .
R
 
R 
Подставляя значения a и b, получим:
 R 
R
V 
V 
x  x0  y 
 R cos  t  , y  y0 
 R cos  t  .
 y  1 
R
y0  1
 
R 


Подставим в уравнения значения R и y и получим окончательное уравнение
траектории при движении автомобиля по наклонной плоскости:
 x  Vt
x0


V 21 3 ï ðè 0  t 
V
t
y 
6L







2 2
1V t
V 
 x  Vt  R 
 cos   t 


R 
 2V 4 t 4

 2L 1 2  1

4L









2

V 1 3
1
V 
y 
t R
 sin  t  
  2V t 4
6L

 R 
 1 42  1


4L



при t> x0 .
V
Таким образом, при известных изменениях нормальных и боковых нагрузок
на оси автомобиля и уравнения формы траектории можно рассчитать и
проанализировать возможные направления движения автомобиля по
криволинейной траектории в зависимости от величин углов увода его
передней и задней осей, т.е. иметь информацию о возможных выходах
автомобиля за пределы коридора безопасности движения.