Л № 5 .

ЛЕКЦИЯ № 5.
([1], стр. 30-34)
9
Эквивалентные преобразования источника сигнала (теорема об эквивалентном
источнике).
Реальные источники тока и напряжения обладают внутренним сопротивлением.
Рассмотрим возможные замены двухполюсной части схемы этими источниками.
i
RI
I
i
I
U
i1
IRI
Рис. 5.1 Источник тока
i = I − i1 = I −
i
U
Рис. 5.2 График потерь
IR − U
U
= I
RI
RI
RE
i
E
Re
U
E
E
U
Рис. 5.4 График потерь
Рис. 5.3 Источник напряжения
E −U
RE
Если R I = R E = R , то
U = E − iR E ⇒ i =
IR − U E − U
=
R
R
IR = E
R=
E
I
i
i
RE
RI = RE = R
I
RI
U
⇔
U
E
i1
Рис. 5.5
9
Для определения внутреннего сопротивления источника напряжения (тока) следует
измерить напряжение холостого хода на клеммах источника, отключив его от остальной
схемы и ток короткого замыкания, закоротив его клеммы.
R=
U XX
I KЗ
E
⎧
⎪R = I
⎪
⎨ E = U XX
⎪I = I
KЗ
⎪
⎩
Сформулируем теорему об эквивалентном источнике.
♦
♦
9
Любую двухполюсную часть схемы, содержащую независимые источники тока и ЭДС и
пассивные элементы, можно заменить эквивалентным источником напряжения с ЭДС,
равной напряжению холостого хода двухполюсника. Режим холостого хода – это режим,
при котором клеммы двухполюсника разомкнуты.
Эту же самую двухполюсную часть схемы можно заменить эквивалентным источником
тока, равного току короткого замыкания. Режим короткого замыкания – это режим, при
котором клеммы двухполюсника замкнуты.
Замечания:
ƒ
ƒ
ƒ
При замене двухполюсной части схемы на эквивалентный источник тока (напряжения)
токи и напряжения в остальной части схемы не изменятся.
Замена двухполюсника на источник напряжения – теорема Твена, замена
двухполюсника на эквивалентный источник тока – теорема Нортона.
Теорема об эквивалентном источнике справедлива как для постоянных токов и
напряжений и резистивного сопротивления, так и для комплексных амплитуд токов и
напряжений и комплексного сопротивления Z
U
Z = XX
I
KЗ
Внутреннее сопротивление эквивалентного источника можно определить следующим
образом:
ƒ Замкнуть все источники напряжения и разорвать все источники тока в заменяемой
двухполюсной части схемы.
ƒ Подать снаружи напряжение на клеммы двухполюсника и определить сопротивление
двухполюсника току, протекающего через зажимы двухполюсника.
Пример: (Решим пример из лекции 3, используя теорему об эквивалентном источнике)
Дано:
E = 10в
R1 = R2 = R3 = R4 = 100Ом
Найти U вых
100
100
10В
100
100
Uвых
Найдем U хх , I кз и R выделенной части схемы.
Сначала определим напряжение холостого хода. Для этого разорвем клеммы выделенной части
схемы (заменяемого двухполюсника) и определим напряжение на этих клеммах.
100
10в
100
U хх =
Uxx
10в ⋅ 100Ом
= 5в
100Ом + 100Ом
Затем замкнем клеммы выделенной части схемы (заменяемого двухполюсника) и определим ток
короткого замыкания, протекающий через замыкающую перемычку
100
Iкз
I КЗ =
100
10в
= 0,1А
100Ом
10В
Теперь найдем внутреннее сопротивление эквивалентного источника R =
U XX
5
=
= 50Ом
I КЗ
0,1
Рассмотрим два варианта определения U вых
1.
Заменим выделенную пунктиром часть схемы эквивалентным источником напряжения
50
100
100
Uвых
5В
150
100
5В
Используя формулу делителя напряжения, имеем:
U=
2.
5в ⋅ 100Ом
= 2в
250Ом
Заменим выделенную пунктиром часть схемы эквивалентным источником тока:
100
i2
0.1А
50
i2
0.1А
100
50
Uвых
200
Используя формулу делителя тока, имеем
50
= 0,02 A
50 + 200
= 0,02 A ⋅ 100Ом = 2в
i2 = 0,1 ⋅
U ВЫХ
♦
♦
Метод наложения (суперпозиции).
Метод наложения используется при анализе линейных цепей.
Ток (напряжение) на участке цепи, в которой действует несколько независимых
источников ЭДС и тока равен алгебраической сумме токов (напряжений), вызванных
каждым из этих источников в отдельности.
Суть метода сводится к следующему. Мы по очереди устраняем все источники тока
(напряжения), оставляя только один. При этом устраняемые источники напряжения
закорачиваются, а источники тока разрываются. Затем мы ищем реакцию (напряжение или ток)
на интересующем нас элементе от оставшегося источника. Эту реакцию будем называть
парциальным током (напряжением). И, наконец, находим алгебраическую сумму парциальных
токов (напряжений).
Пример:
Дано:
E1 , E 2 , I 3 ;
R1 , R2 , R3 ;
i2 протекающий через R2 − ?
R1
E2
R2
R3
E1
i2
I3
Найдем три парциальных тока для трех частных схем.
ƒ Устраним E 2 и I 3 : E 2 = 0, I 3 = 0 . Заменим источник напряжения E1 на
эквивалентный источник тока и определим первый парциальный ток
I1 =
i2' .
E1
= E1G1
R1
R1
i’2
R2
E1
R3
i’2
R1
<=>
I1
R2
R3
<=>
i’2
G1
<=>
G2
G3
I1
i2′ =
Gi =
ƒ
Устраним E1
I 1G2
E1G1G2
=
G1 + G2 + G3 G1 + G2 + G3
1
Ri
i2′ > 0
и I 3 : E1 = 0, I 3 = 0 , заменим источник напряжения Е2 , на
''
эквивалентный источник тока и определим второй парциальный ток i2 .
I2 =
E2
R2
R1
E2
= Е2 G3
R3
<=>
R3
G2
G1
G3
I”2
i2′′ =
ƒ
I2
E2 G2 G3 ⎛
G2 I 2
1⎞
; ⎜⎜ Gi = ⎟⎟ i2′′ < 0
=
G1 + G2 + G3 G1 + G2 + G3 ⎝
Ri ⎠
Устраним E1 и Е 2 , E1 = 0, E 2 = 0 , и найдем третий парциальный ток i2
'''
i”’2
R1
R2
i”’2
<=>
R3
G1
G2
G3
I3
i2′′′ =
G2 I 3
1
, Gi = , i2′′′ > 0
G1 + G2 + G3
ri
i2 = i2′ − i2′′ + i3′′′ =
''
I3
E1G1G2 − E 2 G2 G3 + G2 I 3
G1 + G2 + G3
''
'
'''
Замечание: i2 берем со знаком “-“ поскольку ток i2 направлен навстречу токам i2 и i2
Пример:
Дано:
E1 , I 2, R1 ...R4
U R4 − ?
R1
E1
R2
I2
R3
UR4
R4
Составим две частных схемы и найдем напряжение на R4 для каждой из них.
ƒ
Устраним I 2 = 0 и найдем U R′ 4
2
R1
R2
3
1
E1
R3
U
R4
'
R 4
4
Используя формулу для делителя напряжения, получим
U R′ 4 = E1
ƒ
Устраним E1 = 0 и найдем
R4
R3 + R4
U R′′4
1
R1
R3
2
I2
i”2
R2
R4
3
Используя формулу для делителя токов, найдем I 2′′
I 2′′ =
I 2 R2
R2 + R4
4
U R'' 4
Используя закон Ома получим: U R′′4 = I 2′′R4 =
ƒ
I 2 R 2 R4
R 2 + R4
Найдем U R4
Учитывая, что напряжения
U R′ 4 совпадает с выбранным направлением U R4 , а напряжение U R′′4
противоположно этому направлению, окончательно получим:
U R4 = U R′ 4 − U R′′4 = E1
R4
I R R
R4
(E1 − I 2 R2 )
− 2 2 4 =
R2 + R4 R2 + R4 R2 + R4
Контрольные вопросы к лекции №5
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Сформулируйте теорему Нортона об эквивалентном источнике.
Сформулируйте теорему Твена об эквивалентном источнике.
Как определить внутреннее сопротивление эквивалентного источника?
Какой режим называют режимом холостого хода?
Какой режим называют режимом короткого замыкания?
Для каких токов и напряжений справедлива теорема об эквивалентном источнике?
Прокомментируйте практическую ценность теоремы об эквивалентном источнике.
Для анализа каких цепей используется метод наложения?
Сформулируйте метод наложения.
В чем суть метода наложения?
Типовые задачи к экзамену
1. Используя принцип наложения (суперпозиции), определите ток,
R3
R1
i2(t)=I
e1(t)=E
R4
R2
R5
протекающий через R5 в схеме, изображенной на рисунке, если e1(t)=E,
i2(t)=I, R1= R2= R3= R4= R5=R.
2. Используя эквивалентное преобразование источника тока в источник
напряжения и принцип наложения, определите ток, протекающий через
R3
R1
i2(t)=I
e1(t)=E
R7
R2
R4
R5
R6
источник напряжения в схеме, изображенной на рисунке, если e(t)=E, I(t)=I,
R1= R2= R3= R6= R7=R, R4= R5=2R.