Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н.Толстого физический факультет

Тульский государственный педагогический университет
им. Л.Н.Толстого
физический факультет
кафедра общей физики
курс общей физики
электричество
и
магнетизм
сборник задач
Тула 2004
Тульский государственный педагогический университет
им. Л.Н.Толстого
физический факультет
кафедра общей физики
курс общей физики
Электричество
и магнетизм
сборник задач
Тула 2004
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
4
ББК 22.33я73
Э69
Рецензенты:
кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры теоретической физики ТГПУ им.Л.Н.Толстого
Ю.В. Бобылев
Э69 Электричество и магнетизм. Сборник задач/Сост. А.И.Грибков, Р.В.Романов. Тула: Издательство Тульского государственного педагогического университета
им. Л.Н.Толстого, 2004. - 64 с.
Настоящее пособие представляет собой сборник задач по электричеству и магнетизму, и является
приложением к курсу, который читался автором на протяжении ряда лет для студентов
физических специальностей педагогического университета. Может быть интересен для студентовфизиков, не-физиков, преподавателей и, вообще, всех людей, интересующихся сущностью вещей.
ББК 22.33я73
© А.И.Грибков, РВ.Романов, 2004
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
5
Предисловие.
Сказки помогают детям
познать мир взрослых.
Задачи служат аналогичной цели
при знакомстве студента с физикой.
(С.М.Козел)
Настоящее пособие предназначено для проведения практических занятий
по дисциплине «Электричество и магнетизм» со студентами физических
специальностей ТГПУ им.Л.Н.Толстого. Составлено на основе опыта
проведения практических занятий на протяжении ряда лет на физическом
факультете университета. Содержит набор задач по всем разделам
электричества и магнетизма от простых до достаточно сложных. Полностью
соответствует уровню, предъявляемому ГОС ВПО второго поколения.
Может быть использовано для работы со студентами нефизических
специальностей.
При работе над пособием использованы материалы многих популярных
задачников, о чем в пособии есть соответствующие ссылки, однако тексты
многих задач уточнены, изменены, исправлены, проверены ответы и т.д.
Все справочные данные приведены в тексте задач, за исключением
фундаментальных постоянных. Большое внимание обращено на задачи с
построением графиков. Количество задач превышает возможность их решения
за одну пару, так что у преподавателя есть возможность выбрать необходимые
задачи в соответствии с уровнем подготовки группы и личными пожеланиями.
Пособие структурировано по количеству практических занятий,
отведенных учебным планом для изучения данной дисциплины.
Тексты контрольных работ не приводятся, однако уровень задач не
выходит за рамки типовых.
Первый вариант пособия составлен в 1993-94 учебном году при участии
А.В.Луговского. В 1999 году переписаны разделы «Электростатика» и
«Постоянный ток». В настоящем издании переписаны разделы «Магнетизм» и
«Колебания» Кроме того, пособие в целом достаточно серьезно переработано.
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
6
Электростатика.
§1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД.
1. С какой относительной погрешностью надо измерять заряды порядка 10-9 Кл,
чтобы обнаружить дискретную природу заряда.
e
−10
Ответ: ε ≤ = 10
(Сав.3.01)
q
2. Чему равен заряд моля электронов.
(Сав.3.03).
Ответ: Q=eNa=-9,6484554·104 Кл/моль (постоянная Фарадея)
3. Найти суммарный заряд атомных ядер меди, содержащихся в 1,00 куб. см.
Порядковый номер меди в таблице Менделеева 29, относительная атомная
масса 63,546, плотность 8930 кг/куб. м.
e ZρV
N A =3,93⋅105 Кл
(Сав.3.04)
Ответ: Q =
µ
4. Сравнить силы кулоновского и гравитационного взаимодействия двух
электронов и протонов.
Fk
ke 2
42
36
=
Ответ:
2 , для электронов - 4,17⋅10 ; для протонов – 1,35⋅10 ;
Fg γ m
направления противоположны.
(Сав.3.05)
5. Определить ускорение, сообщаемое одним покоящимся электроном другому,
находящемуся от первого на расстоянии 1,00 мм.
ke 2
Ответ: a = 2 =2,56⋅108 м/с2. Частицы отталкиваются.
(Cав.3.06).
ml
Домашнее задание
1. Найти циклическую частоту вращения электрона в атоме водорода
Резерфорда-Бора на 1-ой боровской орбите. 1-ый боровский радиус атома
водорода r1=0,529⋅10-10 м.
e
k
Ответ: ω =
=4,13⋅1016 рад/с.
(В.9.01)
r1 mr1
2. Построить график зависимости силы взаимодействия между двумя
точечными зарядами 20,0 нКл и 30,0 нКл от расстояния r между ними в
интервале 2,00<r<10,0 мм.
Ответ:
(В.9.03)
3. На каком расстоянии нужно поместить два точечных заряда в масле
(ε=5,00), чтобы они взаимодействовали также как в вакууме на расстоянии
20,0 см.
(В.9.02)
Ответ: r = r0 / ε =8,94 см
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
7
§2. ЗАКОН КУЛОНА.
1. Два закрепленных точечных заряда q1 и q2 расположены на расстоянии R.
Где нужно поместить третий заряд, чтобы он находился в равновесии.
R
x
=
Ответ:
, знак «+» - для одноименных, «-» - для разноименных
q2
1±
q1
2. Определить зависимость силы взаимодействия между равномерно
заряженным тонким кольцом с зарядом Q и радиусом R, и точечным зарядом
q, находящимся на оси кольца, от расстояния до центра кольца. Построить
график.
x
(аналог Ц.17.33)
Ответ: Fx = kqQ
3
2
2 2
R +x
3. Один из опытов Кулона заключался в следующем. В окрестности маленького
заряженного шарика подвешивается небольшая горизонтальная шеллаковая1
стрелка, на одном конце которой небольшой электрически заряженный
кружок из золотой бумаги. Определить период колебаний в зависимости от
расстояния до шарика r. Момент инерции стрелки равен I, заряды q и Q,
длина стрелки l (r>>l). (Кудрявцев. Крутильные весы Кулона).
2I
Ответ: T = 2π r
(Сивухин. стр.23)
kqQl
4. Два маленьких заряженных шарика, подвешенные в одной точке на нитях
одинаковой длины, опускаются в керосин плотностью 0,800 г/куб. см.
Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы угол расхождения
нитей в воздухе и керосине был один и тот же. Диэлектрическая
проницаемость керосина равна 2,00.
(
Ответ: ρ =
)
ρkε
=1600 кг/куб. м
ε −1
(Т.11.1)
5. В вершинах правильного шестиугольника помещены одинаковые заряды по
10,0 нКл каждый. Какой заряд надо поместить в центре шестиугольника,
чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд, была равна
нулю?
⎛5 1 ⎞
⎟⎟ =-18,3 нКл.
(Ц.17.7)
Ответ: q 0 = − q⎜⎜ +
4
3
⎝
⎠
1
ШЕЛЛАК (нидерл. schellak) - воскоподобное вещество, выделяемое тропическими
насекомыми из семейства лаковых червецов. Применение ограничено (главным образом для
изготовления спиртовых лаков и политур).
8
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
6. Одноименные заряды 0,200 мкКл, 0,500 мкКл
и 0,400 мкКл расположены в вершинах
треугольника со сторонами a=4,00 см,
b=5,00 см и c=7,00 см. Определить модуль и
направление силы, действующей на третий
заряд.
Ответ: F=0,769 Н
(Ц.17.04).
Домашнее задание
1. Расстояние между двумя точечными зарядами q1=1,00 мкКл и q2=-1,00 мкКл
равно 5,00 см. Определить силу, действующую на точечный заряд
q=0,100 мкКл, удаленный на расстояние 3,00 см от первого заряда и 4,00 см
от второго. Электрическая постоянная ε0=8,85418782710-12 Ф/м. Заряды
находятся в вакууме.
⎛ | q | ⎛ r ⎞2 ⎞
q12 q 22
⎜ 2 ⎜ 1⎟ ⎟
=300
Ответ: F = kq 4 + 4 =1,15 Н; α = arctg ⎜
q1 ⎜⎝ r2 ⎟⎠ ⎟
r1
r2
⎝
⎠
(аналог В.9.13)
2. Два шарика одинаковых радиуса и массы подвешены на нитях одинаковой
длины так, что их поверхности соприкасаются. После сообщения шарикам
заряда 0,400 мкКл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на угол
2α=60 градусов. Найти массу каждого шарика, если расстояние от центра
шарика до точки подвеса 20,0 см.
kq 2
=1,60 г.
(В.9.14; Г.стр.5)
Ответ: m =
16l 2 g sin 2 α tgα
3. Два шарика одинаковых радиуса и массы подвешены на нитях одинаковой
длины так, что их поверхности соприкасаются. После сообщения шарикам
заряда 0,400 мкКл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на угол
60 градусов. Какова плотность материала шариков, если при погружении в
керосин угол расхождения нитей стал 54 градуса. Диэлектрическая
проницаемость керосина равна 2,00, плотность керосина 800 кг/куб. м.
1
ρ
=
ρ
k
(В.9.16; Г.стр.5)
Ответ:
ε sin 2 α tgα =2550 кг/куб.м.
1−
ε k sin 2 α k tgα k
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
9
§3. ЗАКОН КУЛОНА (продолжение)
1. В вакууме на расстоянии 4,00 мм от середины прямого тонкого проводника
длиной 150 см, по которому равномерно распределен заряд 0,200 мкКл,
находится пылинка с зарядом -1,67⋅10-16 Кл. Определить силу, действующую
на пылинку.
| qQ |
1
Ответ: F = k d
=0,10 нН.
(Сах.20.14; аналог Ц.17.31)
l2
2
+d
4
2. По тонкой нити длиной 8,00 см равномерно распределен заряд 350 мкКл,
действующий силой 120 мкН на точечный заряд, находящийся на
продолжении той же нити на расстоянии 6,00 см от ее середины. Определить
значение точечного заряда, если вся система находится в воздухе.
F
l2
2
(d − ) =76,2 фКл.
Ответ: q =
(Ц.17.16)
kQ
4
3. Проволочному кольцу радиусом 5,00 см сообщили заряд 40,0 нКл. С какой
силой будет растягиваться кольцо, если в его центре поместить одноименный
заряд 30,0 нКл? Силы, растягивающие кольцо за счет собственного поля, не
учитывать.
kQq
Ответ: F =
=0,69 мН.
(Ц.17.17)
2π R 2
4. Два одноименных заряда 0,700 и 1,30 нКл находятся в воздухе на расстоянии
6,00 см друг от друга. На каком расстоянии между ними нужно поместить
третий заряд, чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд,
была равна нулю? Чему равен этот заряд?
1
d
q0 = q 2
x
=
2 =0,95 нКл
Ответ:
=2,53 см от первого заряда;
⎛
⎞
q2
⎜1 + q 2 ⎟
1+
q1
⎜
q1 ⎟
⎝
⎠
(Ц.17.01)
5. Маятник состоит из металлического шарика, подвешенного на невесомой
нерастяжимой нити. Как изменится период его колебаний, если шарику
сообщить положительный заряд, а другой шарик, заряженный отрицательно,
поместить внизу на одной вертикали с нитью подвеса маятника?
Ответ: T = 2π
l
F
g+ k
m
< 2π
l
. Период уменьшится.
g
(Ц.17.02)
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
10
6. В модели атома Томсона предполагалось, что положительный заряд
распределен внутри шара. Как должна зависеть объемная плотность этого
заряда от расстояния до центра шара, чтобы электрон, помещенный внутрь
шара, мог совершать гармонические колебания. Расчет сделать для атома
водорода. Считать, что радиус атома 0,100 нм. Электрон считать точечным
зарядом.
1
3| e|
10
Кл/м3; ν =
Ответ: ρ =
3 =3,82ּ10
2π
4πR
ke 2
15
Гц, что
3 =2,50ּ10
mR
c
соответствует длине волны λ = =120 нм оптический диапазон (Козел.3.2)
ν
Домашнее задание
1. Два одинаковых шарика массой 20,0 мг каждый подвешены в воздухе на
невесомых нерастяжимых непроводящих нитях длиной 0,200 м,
закрепленных в одной точке подвеса. Один из шариков отвели в сторону и
сообщили ему заряд, затем отпустили. После соприкосновения с другим
шариком они разошлись так, что нити образовали угол 60 градусов.
Определить модуль заряда на шариках.
α
mgtg ( )
α
2
=44,9 нКл.
(Ц.17.10)
Ответ: Q = 4l sin( )
2
k
2. В центре квадрата расположен положительный заряд 250 нКл. Какой
отрицательный заряд надо поместить в каждой вершине квадрата, чтобы
система зарядов находилась в равновесии?
⎛1
2⎞
⎟ =261 нКл
(Ц.17.05)
Ответ: q = q0 / ⎜⎜ +
⎟
4
2
⎝
⎠
3. Заряженный шарик массой 10,0 г, подвешенный в воздухе
на
невесомой
нерастяжимой
непроводящей
нити,
образующей угол 45 градусов с вертикалью, движется с
постоянной угловой скоростью 10,0 рад/с по окружности
радиусом 5,00 см. В точке В находится другой неподвижный
заряженный шарик, причем расстояние АО=ОВ. Найти
модули зарядов шариков, считая их одинаковыми.
Ответ: q = r
2m( g − ω 2 r )
2k
=0,13 мкКл.
(Ц.17.13)
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
11
§4. НАПРЯЖЕННОСТЬ.
1. В однородном электрическом поле, силовые линии которого горизонтальны,
на тонкой невесомой нерастяжимой нити длиной 35,0 см подвешен шарик
массой 15,0 г, несущий заряд 3,00 мкКл. Найти период собственных
колебаний шарика, если напряженность электрического поля 40 кВ/м.
l
=1,045 c.
(Ц.17.21)
Ответ: T = 2π
g 2 + (qE / m) 2
2. Два точечных положительных заряда, равных по величине, находятся в
воздухе на расстоянии 5,00 см друг от друга. Найти на оси симметрии этих
зарядов точку, в которой напряженность электрического поля максимальна.
Качественно нарисовать картину линий напряженности.
l
= ± 1,8 см
(Ц.17.26)
Ответ: x = ±
2 2
3. По круглой очень тонкой пластинке радиуса R равномерно распределен заряд
Q. Приняв ось пластинки за ОХ, найти зависимость Ех(х) на оси. Построить
график.
⎞
⎛
⎟
⎜
Q
1
⎟
⎜
E
k
2
sign
(
x
)
1
=
−
x
2
⎜
Ответ:
2 ⎟
R
R
⎜
1 + 2 ⎟⎟
⎜
x ⎠
⎝
4. Тонкая проволока длиной 8,00 см равномерно заряжена с линейной
плотностью 10,0 нКл/м. Определить напряженность поля в точке, отстоящей
на 6,00 см от одного конца и 10,0 см от другого.
⎛ r ⎞
2⎜⎜1 − 1 ⎟⎟ =1,34 кВ/м; β=26 градусов
r1 ⎝ r2 ⎠
5. Найти модуль напряженности поля в центре полусферы радиуса R,
заряженной однородно с поверхностной плотностью σ.
Ответ: E = k
Ответ: E =
τ
σ
4ε 0
(С.3.17, Ир.3.31; Г.2.6)
6. Два точечных заряда 27 нКл и -64 нКл расположены на концах диаметра
окружности радиуса 15 метров. В какой точке на окружности напряженность
электрического поля будет минимальна? Чему она равна?
3
⎛ q2
q1
2
⎜⎜
z
=
(
1
+
z
)
=1,25
В/м,
где
Ответ: E = k
(2 R) 2
⎝ q1
⎞
⎟⎟
⎠
2
3
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
12
7. Найти зависимость плотности зарядов от декартовых координат, при
которой
напряженность
поля
описывалась
бы
функцией
G
G
G
G
2
3
E = 1xi + 2 y j + 3 z k
2
Ответ: ρ = ε 0 (1 + 4 y + 9 z ) (С.3.60)
8. Какая система зарядов может создать в вакууме поле с напряженностью
G
G
E = ar , где а – постоянная величина. Чему равен поток такой напряженности
через произвольную поверхность, ограничивающую некоторый объем V.
Φ = 3aV
Ответ: ρ = 3ε 0 a,
(С.3.62)
G
G G
9. Может ли электростатическое поле иметь вид E = a ( yi − xj )
G
G
Ответ: rotE = −2ak ≠ 0 этот поле не электростатическое
(С.3.65)
10. С какой силой на единицу длины отталкиваются две одноименно
заряженные бесконечно длинные параллельные нити с одинаковой
плотностью заряда 3,00 мкКл/м, находящиеся на расстоянии 20,0 мм друг от
друга? Какую работу на единицу длины нужно совершить, чтобы сблизить
их до расстояния 10,0 мм.
d
τ2
F
=
2
k
l =8,10 Н; A12 = 2kτ 2l ⋅ ln 1 =0,110 Дж
Ответ:
(С.3.74)
d2
d1
Домашнее задание.
1. Точечные заряды 20,0 нКл и –10,0 нКл находятся в воздухе на расстоянии 10
см друг от друга. Определить напряженность поля в точке, удаленной на
расстояние 8,00 см от первого и 7,00 см от второго зарядов.
1 q12 q 22 q12 q 22 (r12 + r22 − r 2 )
+
−
Ответ: E = k
=31,8 кВ/м
(Ц.17.24)
ε r14 r24
r13 r23
2. Длинный тонкий прямой стержень, расположенный в вакууме, равномерно
заряжен зарядом линейной плотностью 1,00 нКл/м. Определить
напряженность электрического поля на расстоянии 2,00 м от стержня.
Ответ: E = 2k
τ
=9,00 В/м
(Ц.17.29)
r
3. Два бесконечно длинных параллельных стержня, находящиеся на расстоянии
2,00 м в вакууме, заряжены равномерно зарядом с линейной плотностью
15,0 нКл/м. Определить силу, действующую на единицу длины стержня.
1 τ2
=
F
Ответ:
=2,00 мкН.
(Ц.17.30)
2π ε 0 l
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
13
§5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ.
1. Электрический диполь с зарядами +90,0 нКл и –90,0 нКл и расстоянием
между ними 10,0 см находится в воздухе. Определить напряженность поля в
центре диполя. Построить график E(x) распределения поля между зарядами.
⎛
⎞
⎜
⎟
1
1
⎜
⎟
q
+
2
2 ⎟
Ответ: E = 8k 2 =648 кВ/м; E ( x) = kq⎜
(Ц.17.25)
⎛l
⎞ ⎟
l
⎜ ⎛⎜ l + x ⎞⎟
⎜ − x⎟ ⎟
⎜ 2
⎠
⎝2
⎠ ⎠
⎝⎝
2. Молекулу воды можно рассматривать как диполь длиной 39,0 пм с зарядами,
равными заряду электрона. Определите напряженность поля, созданного
одной молекулой воды на расстоянии 3,00 нм от середины диполя в точке,
лежащей на продолжении оси диполя.
2ql
Ответ: E = k 3 =4,16 МВ/м
(Г.2.9)
r
3. Молекулу воды можно рассматривать как диполь длиной 39,0 пм с зарядами
равными заряду электрона. Определите напряженность поля, созданного
одной молекулой воды на расстоянии 3,00 нм от середины диполя в точке,
лежащей на перпендикуляре к диполю.
ql
Ответ: E = k 3 =2,08 МВ/м
(Г.2.9)
r
4. В однородном электрическом поле, напряженность которого 30,0 кВ/м,
находится диполь длиной 39,0 пм с зарядами, равными заряду электрона. Ось
диполя составляет с направлением линий напряженности угол 30 градусов.
Найдите вращающий момент, действующий на диполь.
Ответ: M=qlEsinα=9,36⋅10-26 Н⋅м
(Г.2.10)
5. Система из двух точечных разноименных электрических зарядов 10,0 нКл
имеет
электрический
момент,
равный
0,500 нКл⋅м.
Определить
напряженность поля в точках, расположенных на прямой, соединяющей
заряды, на расстояниях 5,00 см и 2,00 м от середины диполя.
⎞
⎛
⎟
⎜
1
1
⎟
⎜
E
kq
=
+
1
⎟ =128 кВ/м, где l=p/q.
⎜
2
2
Ответ:
l
l
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜⎜ + r⎟
⎜ − r ⎟ ⎟⎟
⎜ 2
⎠
⎝2
⎠ ⎠
⎝⎝
2p
E 2 = k 3 =1,125 В/м,
(Г.2.11)
r
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
14
Домашнее задание
1. Электрический диполь с зарядами +90,0 нКл и –90,0 нКл и расстоянием
между ними l=10,0 см находится в воздухе. Определить напряженность поля
на оси диполя на расстоянии l/4 от одного из зарядов.
160 q
k =1,44 МВ/м,
Ответ: E =
(Ц.17.25)
9 l2
2. Электрический диполь с зарядами +90,0 нКл и –90,0 нКл и расстоянием
между ними l=10,0 см находится в воздухе. Определить напряженность поля
на перпендикуляре к оси диполя, проходящем через один из зарядов, на
расстоянии l/2.
| q | 16
32
+ 16 +
Ответ: E = k 2
=194,3 кВ/м
(Ц.17.25)
25
l
5 5
3. Электрический диполь с зарядами +90,0 нКл и –90,0 нКл и расстоянием
между ними l=10,0 см находится в воздухе. Определить напряженность поля
на перпендикуляре к оси диполя, восстановленном из середины его, на
расстоянии l/2.
q
Ответ: E = 8k 2 =230 кВ/м
(Ц.17.25)
l
§6.КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1.
«Закон Кулона. Напряженность»
текст контрольной работы, ответы и решения
находятся в спецприложениях
к учебно-методическому комплексу по дисциплине
«Электричество и магнетизм»
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
15
§7. ПОТЕНЦИАЛ.
1. По тонкому проволочному кольцу радиуса R равномерно распределен заряд
Q. Найти потенциал поля на оси перпендикулярной плоскости кольца, как
функцию расстояния от центра кольца. Построить график. Подтвердить
известную связь между напряженностью и потенциалом (см. задачу №2.2)
1
R
x=±
,
точки
перегиба
(Сав.3.30,3.34)
Ответ: ϕ = kQ 2
1
/
2
2
R + x2
2. Электрическое поле создано сферой радиуса 4,00 см, равномерно
заряженной с поверхностной плотностью 1,00 нКл/м2. Определить разность
потенциалов между двумя точками поля, лежащими на расстояниях 6,00 см
и 10,0 см от центра сферы. Как изменится решение, если первая точка
находится на расстоянии 1,00 см от центра сферы?
σ R2 ⎛ 1 1 ⎞
σ R2 ⎛ 1 1 ⎞
⎟
⎜
⎜ − ⎟ =2,71 В
−
=1,21 В; ϕ1 − ϕ 2 =
Ответ: ϕ1 − ϕ 2 =
ε 0 ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠
ε 0 ⎜⎝ R r2 ⎟⎠
(Тр.11.6)
3. Какую работу совершают внешние силы при перемещении точечного заряда
20,0 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии 1,00 см от
поверхности сферы радиуса 1,00 см с поверхностной плотностью заряда
10,0 мкКл/м2?
qσ R 2
=113 мкДж.
(В.9.45)
Ответ: A =
ε 0 (R + d )
4. Шарик с массой 1,00 г и зарядом 10,0 нКл перемещается из точки, потенциал
которой 600 В, в точку, потенциал которой 0 В. Найти его скорость в
исходной точке, если в конечной точке она стала равной 20,0 см/с.
2q(ϕ 2 − ϕ1 )
+ v 22 =0,167 м/с
Ответ: v1 =
(В.9.46)
m
5. В плоском горизонтально расположенном конденсаторе, между пластинами
которого расстояние 1,00 см, находится заряженная капелька масла. В
отсутствии электрического поля капелька падает с постоянной скоростью
0,110 мм/с. Если на пластины подать разность потенциалов 150 В, то
капелька падает со скоростью 0,429 мм/с. Найти радиус капельки и ее заряд.
Динамическая вязкость воздуха 18,2 мкПа⋅с. Плотность масла больше
плотности газа, в котором падает капелька, на 900 кг/м3. Сколько электронов
на капельке? (опыт Милликена)
9 η v0
6π η r (v − vo )d
=1,00 мкм, q =
=73⋅10-19 Кл, n=46 (В.9.58)
Ответ: r =
2 g∆ρ
U
(
)
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
16
6. Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов 300 В, при
прохождении через незаряженный плоский горизонтально расположенный
конденсатор параллельно его пластинам дает светящееся пятно на
флуоресцирующем экране, расположенном на расстоянии 12,0 см от конца
конденсатора. При зарядке конденсатора пятно на экране смещается на
расстояние 3,00 см. Расстояние между пластинами 1,40 см, длина
конденсатора 6,00 см. Найти разность потенциалов, приложенную к
пластинам конденсатора.
2dU 0 y
Ответ: U =
=28,0 В
(В.9.73)
b(b / 2 + l )
Домашнее задание.
1. Найти потенциал точки поля, находящейся на расстоянии 10,0 см от центра
заряженного шара радиусом 1,00 см. Задачу решить, если: а) задана
поверхностная плотность заряда на шаре 0,100 мкКл/м2, б) задан потенциал
шара 300 В.
σ 4π R 2
R
Ответ: а) ϕ = k
=11,3 В, б) ϕ = ϕ ш =30 В.
(В.9.44)
r
r
2. Электрон влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор
параллельно пластинам со скоростью 9000 км/с. Разность потенциалов
между пластинами 100 В, расстояние между пластинами 1,00 см. Найти
полное, нормальное и тангенциальное ускорения электрона через 10,0 нc
после начала его движения в конденсаторе.
a
qE
Ответ: a =
=17,6⋅1014 м/с2, aτ =
=15,7⋅1014 м/с2,
2
m
1 + (v0 / at )
an = a 2 − aτ2 =8⋅1014 м/с2,
(В.9.69)
3. В плоском горизонтально расположенном конденсаторе, между пластинами
которого расстояние 1,00 см, находится заряженная капелька массой 50,0 нг.
В отсутствии электрического поля капелька вследствие сопротивления
воздуха падает с некоторой постоянной скоростью. Если к пластинам
конденсатора приложена разность потенциалов 600 В, то капелька падает
вдвое медленнее. Найти заряд капельки.
mgd
Ответ: q =
=4,1 фКл
(В.9.55)
2U
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
17
§8. ПРОВОДНИКИ
1. Точечный заряд q=20,0 нКл находится в вакууме на расстоянии а=50,0 мм от
заземленной плоской металлической стенки. Найти силу F, с которой стенка
действует на заряд. (Применить метод зеркальных изображений)
q2
Ответ: F = k 2 =0,360 мН
(Сав.3.103; Ц.17.52)
4a
2. Точечный заряд q находится в вакууме на расстоянии h от заземленной
плоской металлической стенки. Определить поверхностную плотность σ
зарядов, индуцированных на стенке, как функцию расстояния от основания
перпендикуляра, опущенного из заряда на стенку. Построить график данной
зависимости. Вычислить суммарный индуцированный заряд, полагая
размеры стенки бесконечно большими.
2Qhε 0
1
Qh
=
−
Ответ: σ = − k 2
, Q=-q
(Сав.3.104)
3
2π (r 2 + h 2 ) 3 2
(r + h 2 ) 2
3. Металлическая сфера радиуса R=1,00 см заряжена до потенциала 1,00 В. В
каком знаке после запятой изменится заряд сферы, если с нее вылетят 100
электронов.
n|e|k
Ответ: δ =
=0,0000144; в 5-ом знаке
(Сав.3.105)
Rϕ
4. Определить разность потенциалов между поверхностями концентрических
сфер радиусами R1 и R2 (R1<R2) с зарядами +Q и -Q соответственно.
Нарисовать график ϕ(r).
1
1
Ответ: ϕ( R1 ) − ϕ( R2 ) = kQ( − )
R1 R2
5. Определить разность потенциалов между точками, находящимися от
бесконечной заряженной нити с линейной плотностью заряда τ на
расстояниях r1 и r2 .
r2
Ответ: ϕ1 − ϕ 2 = 2kτ ln
r1
6. Большую металлическую пластину толщины а зарядили так, что плотность
заряда на поверхности каждой стороны пластины равна σ. Затем пластину
поместили в однородное поле с напряженностью Е, перпендикулярное
плоскости пластины. Определить напряженность поля внутри и снаружи
пластины и плотности зарядов на сторонах пластины.
Ответ: Евнутри=0, Еслева=Е0-σ/ε0, Есправа=Е0+σ/ε0, σ1=σ−ε0Ε0, σ2=σ+ε0Ε0
(Баб.3.82)
7. Найти заряд заземленного металлического шарика радиусом R, если на
расстоянии r от его центра находится точечный заряд Q.
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
18
R
Q
(Ц.17.51)
r
8. Точечный заряд q=100 мкКл находится на расстоянии l=1,50 см от
безграничной проводящей плоскости. Найти работу, которую совершит
электрическая сила, действующая на этот же заряд, при его медленном
удалении по прямой на очень большое расстояние.
q2
Ответ: A = − k
=-0,15 Дж
(Ир.стр.57, Ир.3.53)
4l
9. Одному шарику сообщили заряд 13,0 нКл, другому 18,0 нКл, затем шарики
соединили проводником. Найти окончательное распределение зарядов на
шариках, находящихся далеко друг от друга. Радиус первого шарика 8,00 см,
второго 18,0 см. Емкостью проводника пренебречь.
R1
R2
'
'
Ответ: q1 = (q1 + q 2 )
=21,5 нКл
=9,50 нКл, q2 = (q1 + q2 )
R1 + R2
R1 + R2
(Ц.17.67)
Ответ: q = −
Домашнее задание
1. Восемь заряженных водных капель радиусом 1,00 мм и зарядом 0,100 нКл
каждая сливаются в одну большую каплю. Найти ее потенциал.
q 2/3
Ответ: ϕ = k n =3,60 кВ
(В.9.79)
r
2. Два маленьких шарика одинаковых радиуса 1,00 см и массы 40,0 мг
подвешены на нитях одинаковой длины так, что их поверхности
соприкасаются. Когда шарики зарядили, нити разошлись на некоторый угол,
и сила натяжения нитей стала равной 490 мкН. Найти потенциал заряженных
шариков, если известно, что расстояние от центра каждого шарика до точки
подвеса 10,0 см.
mg
2l
kN sin 3 α =19,5 кВ, где cos α =
Ответ: ϕ =
(В.9.80)
N
r
3. Найти соотношение между радиусом шара и максимальным потенциалом, до
которого он может быть заряжен в воздухе, если при нормальном давлении
разряд в воздухе наступает при напряженности электрического поля
3,00 МВ/м. Каков будет максимальный потенциал шара диаметром 1,00 м?
Ответ: ϕ max = E кр R =1,50 МВ
(В.9.82)
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
19
§9. ДИЭЛЕКТРИКИ
1. В однородное электрическое поле с напряженностью 100 В/м помещена
бесконечная плоскопараллельная пластина из однородного изотропного
диэлектрика с проницаемостью 2,00. Поле перпендикулярно пластине.
Определить напряженность поля и электрическую индукцию внутри
пластины, поляризованность диэлектрика, поверхностную плотность
связанных зарядов. Пластина находится в вакууме.
Ответ: E=50 В/м, D=8,85⋅10-10 Кл/м2, P=σ=4,42⋅10-10 Кл/м2
(Сав.3.89)
2. Стеклянная пластинка с проницаемостью 6,00 внесена в однородное поле с
напряженностью 10,0 В/м и расположена так, что угол между нормалью к
пластинке и направлением внешнего поля равен 30 градусов. Найти
напряженность поля в пластинке, угол, который образует это поле с
нормалью к пластинке и плотность связанных поверхностных зарядов,
возникающих на поверхностях пластинки. Диэлектрическая проницаемость
среды вне пластинки равна 1,00.
E1
ε 12 cos 2 α 1 + ε 22 sin 2 α 1 =5,204 В/м,
Ответ: E 2 =
ε2
⎛ε2
⎞
tgα 1 ⎟⎟ =740, σ=6,39⋅10-11 Кл/м2
⎠
⎝ ε1
α 2 = arctg ⎜⎜
(С.3.94)
G
G
G
G
3. Внутри диэлектрика известны его поляризованность P = a ( 2 xi + 4 yj + 6 zk )
G
G a G
G
( xi + 2 yj + 3 zk ) , где a-константа. Определить
и напряженность поля E =
ε0
плотность связанных и свободных зарядов в диэлектрике. Чему равна
диэлектрическая проницаемость материала?
G
G G
ρ
=
−
div
P
=
−
12
a
ρ
=
div
(
ε
E
+ P) = 18a ,
, своб
Ответ: связ
0
P
ε = 1+
=3
(Баб.3.71)
ε0E
4. Бесконечная пластина из изотропного диэлектрика помещена в
перпендикулярное к ней однородное внешнее электрическое поле
напряженностью Е0. Толщина пластины а, диэлектрическая проницаемость
изменяется линейно от значения ε1 на левой границе до ε2 на правой границе.
Вне пластины – вакуум. Найти: ∇Е внутри пластины, поток напряженности
через воображаемую цилиндрическую поверхность с образующими,
параллельными полю; основания цилиндра расположены на границах
пластины, объемную плотность связанных зарядов как функцию
координаты. Найти объемную плотность связанных зарядов в центре
пластины, если ε1=2,00, ε2=4,00, а=1,00 см, Е0=3,00 кВ/м.
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
20
G
∇
E
=−
Ответ:
ρ=−
⎛ 2
⎞
E0 k
ε − ε1
− 1⎟⎟
k= 2
; Φ = SE0 ⎜⎜
2 , где
(ε 1 + kx)
a
⎝ (ε 2 + ε 1
⎠
ε 0 E0 k
=-0,59 мкКл/м3
(ε 1 + kx) 2
(С.3.91-3.92)
Домашнее задание
1. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом
с диэлектрической проницаемостью 6,00. Расстояние между пластинами
4,00 мм. На пластины конденсатора подана разность потенциалов 1,20 кВ.
Найти: а) напряженность поля в стекле; б) поверхностную плотность заряда
на пластинах конденсатора; в) поверхностную плотность связанных зарядов
на стекле; г) диэлектрическую восприимчивость стекла.
U
U
Ответ: E = =300 кВ/м; σ = εε 0 =15,9 мкКл/м2;
d
d
U
σ связ = ε 0 (ε − 1) =13,3 мкКл/м2; χ=ε–1=5,00
(В.9.124)
d
2. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено маслом.
Расстояние между пластинами 1,00 см. Какую разность потенциалов надо
подать на пластины конденсатора, чтобы поверхностная плотность
связанных зарядов на масле была равна 6,20 мкКл/м2. Диэлектрическая
проницаемость масла 5,00.
σ связ d
=1,75 кВ
(В.9.125)
Ответ: U =
ε 0 (ε − 1)
3. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено
диэлектриком. Расстояние между пластинами 2,00 мм. На пластины
конденсатора подана разность потенциалов 600 В. Если, отключив источник
напряжения, вынуть диэлектрик из конденсатора, то разность потенциалов
на пластинах конденсатора возрастет до 1,80 кВ. Найти поверхностную
плотность связанных зарядов на диэлектрике и диэлектрическую
восприимчивость диэлектрика.
⎞
U1 ⎛ U 2
U
⎜⎜ ε 2 − 1⎟⎟ =5,3 мкКл/м2;
χ = 2 ε 2 − 1 =2,00
Ответ: σ связ = ε 0
d ⎝ U1
U1
⎠
(В.9.128)
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
21
§10. ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ
1. В каждое ребро проволочного куба вставлен конденсатор с известной
одинаковой емкостью. Определить емкость между противоположными
вершинами куба.
Ответ: С=6С0/5
2. На два последовательно соединенных конденсатора емкостями 100 пФ и
200 пФ подано постоянное напряжение 300 В. Определить напряжения на
конденсаторах, заряд на их обкладках, емкость системы.
C1C 2
=66,7 пФ, q=UС=20 нКл, U1=200 В, U2=100 В (Сав.3.117)
Ответ: C =
C1 + C 2
3. Площадь каждой обкладки плоского конденсатора 1,00 м2, расстояние между
обкладками равно 5,00 мм и заполнено двухслойным диэлектриком.
Диэлектрическая проницаемость и толщина первого слоя ε1=2,00,
d1=3,00 мм, второго слоя ε2=3,00, d2=2,00 мм. Найти емкость такого
конденсатора.
S
(Сав.3.108)
Ответ: C = ε 0 d
d1 =4,09 нФ
2
+
ε2
ε1
4. Найти емкость конденсатора, образованного двумя одинаковыми шариками
радиуса R, находящимися в среде с диэлектрической проницаемостью ε.
Расстояние между центрами шариков b (b>>R). Вычислить емкость, если
R=10,0 мм, ε=1,00.
Ответ: C=2πεε0R=55,6 пФ
(Сав.3.121)
5. Как нужно соединить конденсаторы емкостями 2,00 пФ, 4,00 пФ, 6,00 пФ,
чтобы получить систему с емкостью 3,00 пФ?
Ответ: Два первых параллельно, и третий последовательно (Сав.3.116)
6. Электрический кабель состоит из центральной жилы радиусом 1,30 см и
оболочки радиусом 3,00 см, между которыми находится диэлектрик с
диэлектрической проницаемостью 3,20. Найти емкость единицы длины
кабеля.
2πεε 0
C
=
l
(В.9.91)
Ответ:
R2 =213 пФ
ln
R1
7. Площадь каждой обкладки плоского конденсатора 1,00 м2, расстояние между
обкладками 5,00 мм. Зазор между обкладками заполнен диэлектриком,
проницаемость которого изменяется в направлении, перпендикулярном
обкладкам, по линейному закону от значения 2,00 вблизи одной обкладки до
значения 5,44 вблизи другой. Определить емкость такого конденсатора.
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
22
S ε 2 − ε1
C
=
ε
0
Ответ:
ε =6,1 нФ
d
ln 2
(Сав.3.109)
ε1
8. Напряженность поля заряженного плоского конденсатора с расстоянием
между пластинами 6,00 см равна 150 В/см. Параллельно пластинам в
конденсатор вносится незаряженная металлическая пластина толщиной
1,50 см. Найти разность потенциалов между пластинами конденсатора до и
после внесения металлической пластины.
(Ц.17.84)
Ответ: ∆ϕ1 = Ed =900 В
равна
электроемкость
батареи
9. Чему
конденсаторов, изображенной на рисунке.
Емкость каждого конденсатора С0.
Ответ: С=2С0
Домашнее задание
1. Найти емкость земного шара. Считать радиус земного шара равным 6400 км.
На сколько изменится потенциал земного шара, если ему сообщить заряд
1,00 Кл.
(В.9.77)
Ответ: C=4πεε0R=711 мкФ ∆ϕ=1406 В
2. Требуется изготовить конденсатор емкостью 250 пФ. Для этого на
парафинированную бумагу с диэлектрической проницаемостью 2,00
толщиной 50,0 мкм наклеивают с обеих сторон кружки станиоля. Каков
должен быть их диаметр?
4dC
=3,00 см
(В.9.86)
Ответ: D =
πεε 0
3. Площадь пластин плоского конденсатора 0,0100 м2, расстояние между ними
1,00 см. К пластинам приложена разность потенциалов 300 В. В
пространстве между пластинами находятся плоскопараллельная пластинка
стекла с диэлектрической проницаемостью 6,00 толщиной 0,500 см и
плоскопараллельная
пластинка
парафина
с
диэлектрической
проницаемостью 2,00 толщиной 0,500 см. Найти напряженности
электрического поля и изменения потенциала в каждом слое. Каковы при
этом емкость конденсатора и поверхностная плотность заряда на пластинах?
Ответ: Е1=15 кВ/м, Е2=45 кВ/м; U1=75 В; U2=225 В; С=26,6 пФ;
σ=0,8 мкКл/м2
(В.9.89)
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
23
§11. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
1. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора S=0,0100 м2,
расстояние между ними d=2,00 см. К пластинам конденсатора приложена
разность потенциалов ∆ϕ=3,00 кВ. Какова будет напряженность поля
конденсатора, если, не отключая его от источника напряжения, пластины
раздвинуть до расстояния d=5,00 см? Найти энергии W1 и W2 конденсатора
до и после раздвижения пластин.
(В.9.116)
Ответ: Е=60 кВ/м; W1=19,91 мкДж; W2=7,97 мкДж
2. Плоский конденсатор имеет в качестве изолирующего слоя стеклянную
пластину толщиной d=2,00 мм с диэлектрической проницаемостью 7,00, и
площадью S=300 см2. Конденсатор заряжен до напряжения U=100 В, после
чего отключен от источника напряжения. Определить механическую работу,
которую нужно произвести, чтобы вынуть стеклянную пластину из
конденсатора.
SU 2
(ε − 1) =27,9 мкДж
(Сах.24.24)
Ответ: A = εε 0
2d
3. Электрон вращается вокруг ядра атома водорода на расстоянии 0,0529 нм
(т.н. первый боровский радиус). Определить энергию взаимодействия ядра и
электрона, кинетическую энергию электрона, полную механическую
энергию электрона в электронвольтах, скорость электрона.
ke 2
=-4,36⋅10-18 Дж=-27,22 эВ; Wk=13,61 эВ;
Ответ: W p = −
RB
W=Wp+Wk=-13,61 эВ; v =
ke 2
=2,19 Мм/с
mRB
(Сав.3.123)
4. Определить работу, которую нужно совершить, чтобы увеличить на
0,200 мм расстояние между пластинами плоского конденсатора,
заряженными разноименными зарядами с модулем q=0,200 мкКл. Площадь
каждой пластины S=400 см2. В зазоре между пластинами воздух.
q2
∆x =11,3 мкДж
(Сав.3.133)
Ответ: A =
2ε 0 S
5. Первоначально заряд 0,100 нКл был распределен равномерно по объему
шара радиуса 1,00 см. Затем вследствие взаимного отталкивания заряды
переходят на поверхность шара. Какую работу совершают при этом
электрические силы над зарядами. Диэлектрическая проницаемость среды
равна 1,00.
kq 2
=0,900 нДж
(Сав.3.129)
Ответ: A =
10 R
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
24
Домашнее задание
1. Заряженный проводящий шар радиусом 2,00 см соединили тонкой
проволокой с незаряженным проводящим шаром радиус которого 3,00 см.
После того как шары разъединили, энергия второго шара оказалось равной
0,400 Дж. Какой заряд был на первом шаре до соприкосновения со вторым?
2εR2W2 ⎛
R ⎞
⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ =2,72 мкДж
(В.9.110)
Ответ: q1 =
k
⎝ R2 ⎠
2. Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора 280 В.
Площадь пластин 0,0100 м2, поверхностная плотность заряда на пластинах
495 нКл/м2. Найти напряженность поля внутри конденсатора, расстояние
между пластинами, скорость, которую получит электрон, пройдя в
конденсаторе путь от одной пластины до другой, энергию конденсатора,
силу притяжения пластин конденсатора, емкость конденсатора.
Ответ: E=σ/ε0=56 кВ/м; d=U/E=5 мм; v = 2 | e | U / m =107 м/с;
W=σSU/2=695 нДж; F=W/d=139 мкН; С=17,7 пФ
(В.9.114)
3. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора S=0,0100 м2,
расстояние между ними d=2,00 см. К пластинам конденсатора приложена
разность потенциалов U=3,00 кВ. Какова будет напряженность Е поля
конденсатора, если, отключив его от источника напряжения, пластины
раздвинуть до расстояния d=5,00 см? Найти энергии W1 и W2 конденсатора
до и после раздвижения пластин.
(В.9.117)
Ответ: Е=150 кВ/м; W1=20 мкДж; W2=50 мкДж
§12. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2.
«Потенциал. Энергия »
текст контрольной работы, ответы и решения
находятся в спецприложениях
к учебно-методическому комплексу по дисциплине
«Электричество и магнетизм»
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
25
Постоянный ток.
§13. ЗАКОН ОМА
1. Две квадратные пластины со стороной 300 мм, закрепленные на расстоянии
d=3,00 мм друг от друга, образуют плоский конденсатор, подключенный к
источнику напряжения 250 В. Эти пластины, расположенные вертикально,
погружают в сосуд с керосином, диэлектрическая проницаемость которого
равна 2,00, со скоростью 5,00 мм/с. Найти силу тока, текущего при этом по
проводам.
l
(Сав.3.143)
Ответ: I = ε 0 (ε − 1)Uv = 1,10 нА
d
2. В электрической цепи, изображенной на рисунке,
R1=3,00 Ом, R2=2,00 Ом, ε1=10,0 В, ε2=5,0 В. При
какой ЭДС третьего источника ток через резистор R3
не течет? Сопротивления источников не учитывать.
Ответ: ε 3 =
ε 2 R1 + ε 1 R2
=7 В
(Бендр.7.88)
R1 + R2
3. На рисунке изображена цепь постоянного
тока, состоящая из трех источников тока
ε1=2,00 В, ε2=5,00 В, ε3=2,00 В, и трех
сопротивлений R1=1,00 Ом, R2=2,00 Ом,
R3=3,00 Ом, включенных последовательно.
Определить разность потенциалов между
точками А и В. Сопротивлением
источников тока и соединительных
проводов пренебречь.
− (ε 1 + ε 3 ) ⋅ ( R1 + R2 ) − ε 2 R3
Ответ: ϕ A − ϕ B =
=-4,50 В
(С.3.159)
R1 + R2 + R3
4. Найти сопротивление проволочного куба, если ток подведен к
противоположным вершинам, а сопротивление каждого ребра R0.
( )
Ответ: R=5R0/6
5. На рисунке изображена бесконечная цепь,
образованная повторением одного и того
же звена, состоящего из сопротивлений
R2=4,00 Ом.
Найти
R1=2,00 Ом,
сопротивление этой цепи.
Ответ: R =
R1 + R12 + 4 R1 R2
2
=4,00 Oм
(Сав.3.137) (Ц-18.15).
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
26
6. Найти общее сопротивление участка цепи между точками А и В, если
сопротивление каждого проводника равно R.
Ответ: a) Rобщ=5R/11; б) Rобщ=4R/5
(Ц-18.13(а,б).)
Домашнее задание
1. Найти напряжения на сопротивлениях
R1=4,00 Ом, R2=2,00 Ом, R3=4,00 Ом, если
амперметр показывает ток 3,00 А (см. рис).
Найти токи во всех сопротивлениях.
Ответ: U1=12,0 В; U2=U3=4,00 В; I2=2,00 A; I3=1,00 A;
(В.10.11)
2. Элемент, имеющий ЭДС 1,10 В и внутреннее сопротивление 1,00 Ом,
замкнут на внешнее сопротивление 9,00 Ом. Найти ток в цепи, напряжение
во внешней цепи, и падение потенциала внутри элемента. С каким КПД
работает элемент?
(В.10.12)
Ответ: I=0,110 A; U=0,990 В; Ur=0,110 В; η=0,90
3. Имеются два одинаковых элемента с ЭДС 2,00 В и внутренним
сопротивлением 0,300 Ом. Последовательно или параллельно надо
соединить эти элементы, чтобы получить больший ток, если внешнее
сопротивление а) 0,200 Ом, б) 16,0 Ом?
Ответ: а) Iпосл=5,00 А, Iпар=5,70 А, б) Iпосл=0,240 А, Iпар=0,124 А (В.10.19)
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
27
§14. ПРАВИЛА КИРХГОФА.
1. Найти силы токов в схеме на рисунке, если
ε=5,00 В,
r=0,100 Ом,
R1=1,00 Ом,
R3=3,00 Ом.
Применить
R2=2,00 Ом,
правила Кирхгофа. Сравнить результат с
известным, рассчитав сопротивление по
законам
последовательного
и
параллельного соединения.
Ответ: I1=2,17 A; I2=1,30 A; I3=0,87 A (С.3.161)
2. Найти силы токов в схеме на рисунке, если
внутреннее сопротивление источников
мало, ε1=10,0 В, ε2=20,0 В, ε3=30,0 В,
R2=2,00 Ом,
R3=3,00 Ом,
R1=1,00 Ом,
R5=5,00 Ом,
R6=6,00 Ом,
R4=4,00 Ом,
R7=7,00 Ом.
Ответ: I612=0,627 A, по часовой стрелке, I345=2,863 A, по часовой стрелке,
(С.3.162)
I7=2,236 A, снизу вверх
3. Все сопротивления в цепи на рисунке
одинаковы и равны R0. Определить
сопротивление между точками 1 и 2.
Ответ: R12=R0/2. Потенциалы точек 3 и 4 одинаковы, поэтому через
сопротивление вверху ток не идет, и схема становится элементарной.
4. Между точками А и В цепи на рисунке
поддерживается разность потенциалов 20
В. Найти ток и его направление в участке
СД, если R=5 Ом.
ϕ A − ϕB
=1 А, сверху вниз
(Ир.3.188) (аналог Ц.18.26)
4R
5. Найти силу тока в каждой ветви мостика Уитстона, если ЭДС источника
тока 2,00 В, R1=30,0 Oм, R2=45,0 Ом, R3=200 Ом и гальванометр показывает
силу тока, равную 0. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
См. рисунок.
Ответ: I cd =
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
28
Ответ: I1 = I 2 =
ε
R1 + R2
= 0, 0266 A I 3 = I 4 =
ε
RR
R3 + 1 3
R2
= 0, 0060 A (Ц.18.29)
Домашнее задание.
1. На рисунке ЭДС элементов ε1=2,10 В и
ε2=1,90 В, сопротивление R1=45,0 Ом,
R2=10,0 Ом и R3=10,0 Ом. Найти токи во
всех участках цепи.
Ответ: I1=0,040 А, I2=0,010 А, I3=0,030 А.
2. На рисунке элементы имеют ЭДС ε1=110 В
и ε2=220 В, сопротивления R1=R2=100 Ом,
R3=500 Ом. Найти показания амперметра.
(ε 2 − ε 1 ) ⋅ ( R3 + R2 ) − ε 2 R2
=0,400 А.
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
3. На рисунке элементы имеют ЭДС
ε1= ε2=1,50 В и внутренние сопротивления
сопротивления
r1=r2=0,500 Ом,
и
R3=1,00 Ом,
R1=R2=2,00 Ом
сопротивление амперметра RА=3,00 Ом.
Найти показания амперметра.
(В.10.77)
Ответ: I =
(В.10.81)
Ответ: I=75,0 мА
(В.10.95)
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
29
§15. РАБОТА И МОЩНОСТЬ ТОКА
1. Требуется изготовить нагревательную спираль для электрической плитки
мощностью 0,500 кВт, предназначенной для включения в сеть с постоянным
напряжением 220 В. Сколько нужно взять для этого нихромовой проволоки
диаметром 0,400 мм? Удельное сопротивление нихрома в нагретом
состоянии равно 1,05 мкОм⋅м.
πU 2 d 2
Ответ: l =
=11,58 м
(Сав.3.139)
4 ρN
2. Конденсатор
емкостью
С=5,00 мкФ
подсоединяется к источнику постоянного тока с
напряжением
200 В
(см. рисунок).
Затем
переключатель переводится с контакта 1 на
контакт
2. Найти количество теплоты,
выделившееся в сопротивлении R1=500 Ом.
Сопротивление R2=300 Ом.
U 2 CR1
Ответ: Q =
=62,5мДж
(Сав.3.147)
2( R1 + R2 )
электрического
чайника
3. Нагреватель
сопротивлением R1 включен в цепь, как показано
на рисунке. ЭДС элемента 120 В, сопротивление
R2=10,0 Ом. Амперметр показывает ток 2,00 А.
Через какое время закипит 0,500 л воды.
Начальная температура 4 0С, KПД кипятильника
76,0 %. Внутренним сопротивлением источника
пренебречь. Удельная теплоемкость воды 4200
Дж/(кг⋅К).
cm(T − T0 )
Ответ: ∆t =
=1326 c=22 мин
(В.10.66)
I (ε − IR2 )η
4. Батарея с ЭДС 240 В и внутренним сопротивлением r=1,00 Ом замкнута на
внешнее сопротивление R=23,0 Ом. Найти полную мощность, полезную
мощность, и КПД батареи. Построить графики их зависимости от R.
Ответ: 2400 Вт; 2300 Вт; 96%
(В.10.46)
5. Элемент с ЭДС 6,00 В дает максимальный ток 3,00 А. Найти наибольшее
количество теплоты, которое может быть выделено во внешнем
сопротивлении в единицу времени.
ε I max
=4,50 Вт
(В.10.45)
Ответ: P =
4
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
30
6. В замкнутой цепи с помощью реостата равномерно меняют ток от 2,00 А до
3,00 А в течение 9,00 секунд. Определить количество теплоты,
выделившееся на сопротивлении 1,00 Ом.
R∆t I 23 − I13 R∆t 2
=
I1 + I1 I 2 + I 22 ) =57,0 Дж
(
Ответ: Q =
3 I 2 − I1
3
Домашнее задание.
1. Элемент замыкают сначала на внешнее сопротивление 2,00 Ом, а затем на
внешнее сопротивление 0,500 Ом. Найти ЭДС и внутреннее сопротивление,
если известно, что в обоих случаях мощность, выделяющаяся во внешней
цепи одинакова, и равна 2,54 Вт.
P
=3,38 В, где r = R1 R2 =1 Ом
(В.10.50)
Ответ: ε = ( R1 + r )
R1
2. Элемент с ЭДС и внутренним сопротивлением замкнут на внешнее
сопротивление. Наибольшая мощность, выделяющаяся во внешней цепи
9,00 Вт. При этом в цепи течет ток 3,00 А. Найти ЭДС и внутреннее
сопротивление. Построить график зависимости мощности от внешнего
сопротивления.
Pmax
2 Pmax
=6 В, r = 2 =1 Ом
(В.10.52)
Ответ: ε =
I
I
3. Нагреватель электрического чайника имеет 2 обмотки. При включении
одной из них вода в чайнике закипит через 15 мин, при включении другой через 30 мин. Через какое время закипит вода в чайнике, если включить обе
обмотки последовательно, параллельно?
(В.10.65)(Ц.18.64)
Ответ: tпослед=t1+t2=45 мин, tпаралл=t1 t2/(t1+t2)=10 мин
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
31
§16. ТОК В МЕТАЛЛАХ
1. Из материала с удельным сопротивлением ρ изготовлено плоское кольцо
толщиной d. Радиусы кольца a и b (a<b). Между внешней и внутренней
цилиндрическими поверхностями кольца поддерживается некоторая
разность потенциалов. Найти сопротивление кольца в этих условиях.
Установить связь между сопротивлением и емкостью кольца, считая, что
диэлектрическая проницаемость материала кольца ε.
b
ln
a
Ответ: R = ρ
,
RC= ρεε0
(Сав.3.140)
2πd
2. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен веществом с
проницаемостью ε=7,00 и удельным сопротивлением ρ=100 ГОм⋅м. Емкость
конденсатора 3000 пФ. Найти силу тока утечки через конденсатор при
подаче на него напряжения 2000 В.
(Сав.3.154)
Ответ: I=UC/(ρεε0)=0,97 мкА
3. Может ли стационарная (не зависящая от времени) плотность тока
G
G
G
G
G
G
G
G
описываться
формулами:
а) j = 2 xi + 3 yj − 5 zk ,
б) j = 2xi + 3yj + 2zk
G
G
G
G
в) j = 2 yi + 3 zj + 4 xk . Все числовые константы имеют размерность А/м3.
Ответ: да, нет, да.
(Баб.3.102)
4. Оценить среднюю скорость упорядоченного движения электронов в
проводнике с концентрацией электронов 1029 м-3 при плотности тока
100 А/см2. Сравнить эту скорость со средней скоростью теплового движения
электронов при комнатной температуре, считая, что распределение
электронов по скоростям является максвелловским.
(Баб.3.98)
Ответ: v=j/ne=6,24⋅10-5 м/c; v/vт=10-10
5. Реостат из железной проволоки, амперметр, и источник тока включены
сопротивление
реостата
R0=120 Ом,
последовательно.
При
00С
сопротивление амперметра RА=20,0 Ом. Амперметр показывает ток 22,0 мА.
Какой ток будет показывать амперметр, если реостат нагреется на 50 К?
α=6⋅10-3 К-1.
Температурный
коэффициент
сопротивления
железа
Сопротивлением источника пренебречь.
R0 + R A
=17,5 мА.
(В.10.8)
Ответ: I = I 0
R0 (1 + α∆T ) + R A
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
32
Домашнее задание.
1. Сколько витков нихромовой проволоки диаметром d=1,00 мм надо навить на
фарфоровый цилиндр радиусом а=2,50 см, чтобы получить печь
сопротивлением R=40,0 Ом? Удельное сопротивление нихрома 1,00 мкОм⋅м.
Rd 2
N
=
=200
(В.10.3)
Ответ:
8 ρa
2. Вольфрамовая нить электрической лампочки при температуре 20,0 0С имеет
сопротивление 35,8 Ом. Какова будет температура нити лампочки, если при
включении в сеть напряжением 120 В по нити идет ток 0,330 А?
Температурный коэффициент сопротивления вольфрама α=4,6⋅10-3 К-1.
U
(1 + αt1 )
−1
IR1
=2200 0С
(В.10.7)
Ответ: t 2 =
α
3. Найти напряжение на концах медного провода длиной 500 м и диаметром
2,00 мм, если ток в нем 2,00 А. Удельное сопротивление меди 1,72⋅10-8 Ом⋅м.
4 Iρ l
Ответ: U =
=5,47 В.
(В.10.10)
π d2
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
33
§17. ТОК В ГАЗАХ И ВАКУУМЕ
1. Скорость электронов на выходе из электронного ускорителя V,
концентрация электронов спадает по мере удаления от оси электронного
пучка по закону n(r)=n0 exp(-r2/r20), где n0 - концентрация электронов на оси
пучка, r - расстояние от оси пучка, r0 - константа (т.н. эффективный радиус
пучка). Написать выражения для плотности тока пучка и найти силу тока,
рассчитать концентрацию электронов на оси пучка, если I=100 мA, V=0,95с,
r0=0,500 см. с – скорость света в вакууме.
Ответ: I=en0vπr02; n0=2,79⋅1013 м-3
(Баб.3.101)
2. Найти сопротивление трубки длиной 84,0 см и площадью поперечного
сечения 5,00 мм2, если она заполнена воздухом, ионизированным так, что в
единице объема при равновесии находится 1013 однозарядных ионов
каждого знака. Подвижности ионов b+=1,30⋅10-4 м2/(В⋅с) и b-=-1,80⋅104 2
м /(В⋅с)
l
=3,40⋅1014 Ом.
(В.10.118)
Ответ: R =
e nS (b+ + b− )
3. К электродам разрядной трубки приложена разность потенциалов 5,00 В,
расстояние между ними 10,0 см. Газ, находящийся в трубке, однократно
ионизирован. Число ионов каждого знака в единице объема газа 108.
Подвижности ионов b+=3,00⋅10-2 м2/(В⋅с) и b-=-3,00⋅102 м2/(В⋅с). Найти
плотность тока в трубке. Какая часть полного тока переносится
положительными ионами?
(В.10.115)
Ответ: j=0,24 мкА/м2, I+/I=0,01%
4. Какой наименьшей скоростью V должен обладать электрон для того, чтобы
ионизировать атом водорода? Потенциал ионизации атома водорода 13,60 В.
2eϕ
=2,2 Мм/с.
(В.10.120)
Ответ: v =
m
5. Во сколько раз катод из торированного вольфрама (Th) при температуре
T=1800 К дает большую удельную эмиссию, чем катод из чистого вольфрама
(W) при той же температуре? Эмиссионная постоянная для чистого
для
торированного
вольфрама
вольфрама
ВW=0,600⋅106 А/(м2⋅К2),
7
2 2
ВTh=0,300⋅10 А/(м ⋅К ). Работа выхода для вольфрама 4,50 эВ, для
торированного вольфрама 2,63 эВ.
A −A
jTh BTh WkT Th
=
e
=8,5⋅105.
(В.10.125)
Ответ:
jW
BW
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
34
Домашнее задание
1. Площадь каждого электрода ионизационной камеры S=0,0100 м2, расстояние
между ними d=6,20 см. Найти ток насыщения IH в такой камере, если в
единице объема в единицу времени образуется число однозарядных ионов
каждого знака N=1015 м-3⋅с-1. Какой ток I пойдет между электродами, если к
электродам приложена разность потенциалов U=20,0 В? Подвижности ионов
b+=b-=10-4 м2/(В⋅с), коэффициент рекомбинации r=10-12 м3/с. Какую долю
тока насыщения составляет найденный ток?
(В.10.116+В.10.119)
Ответ: Iн=0,100 мкА, I=3,30 нА, I/Iн=3,30%.
2. При какой температуре T атомы ртути имеют кинетическую энергию
поступательного движения, достаточную для ионизации? Потенциал
ионизации атома ртути U=10,4 В.
2 | e |U
=8,0⋅104 К
(В.10.121)
Ответ: T =
3k
3. Какой наименьшей скоростью должны обладать свободные электроны в
цезии (Cs) и платине (Pt) для того, чтобы они могли свободно покинуть
металл. Работа выхода для цезия 1,90 эВ, платины – 5,30 эВ.
2eϕ
=0,83 Mм/c; 1,40 Мм/с
(В.10.123)
Ответ: v =
m
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
35
§18. ТОК В ЭЛЕКТРОЛИТАХ
1. Через раствор азотной кислоты HNO3 пропускается ток I=2,00 А. Какой
заряд переносится за 1,00 мин ионами каждого знака? Подвижности ионов
водорода b+=32,6⋅10-8 м2/(В⋅с), ионов NO3 – b-=-6,40⋅10-8 м2/(В⋅с).
(В.10.107)
Ответ: q+=100 Кл, q-=20 Кл.
2. Найти сопротивление раствора нитрата серебра AgNO3, заполняющего
трубку длиной 84,0 см и площадью поперечного сечения 5,00 мм2.
концентрация раствора η=0,100 моль/л, степень диссоциации α=81,0%.
Подвижности ионов серебра Ag b+=5,6⋅10-8 м2/(В⋅с), ионов NO3 – b-=-6,4⋅108 2
м /(В⋅с).
Ответ: R=180 кОм.
(В.10.109)
3. Коэффициент диссоциации водного раствора, содержащего 0,0640 г азотной
кислоты HNO3 в 1,00 см3 равен 0,824. Какова удельная электропроводность
этого раствора при 180С. Подвижности ионов водорода b+=32,6⋅10-8 м2/(В⋅с),
ионов NO3 – b-=-6,40⋅10-8 м2/(В⋅с).
ρN a
α (b+ + b− ) =31,34 Cм/м
(Сах.30-6)
Ответ: σ = e
µ
4. Удельная проводимость децинормального раствора соляной кислоты HCl
σ=3,50 См/м. Найти степень диссоциации α, число ионов n каждого знака в
единице объема раствора. Подвижности ионов водорода b+=32,6⋅10-8 м2/(В⋅с),
ионов хлора Cl – b-=-6,80⋅10-8 м2/(В⋅с)
Ответ: α=92%, n=5,50⋅1025 м-3
(В.10.112+10.113)
5. Эквивалентная проводимость раствора хлорида калия KCl при некоторой
концентрации Λ=12,2⋅10-3 м2/(Ом⋅моль), удельная проводимость при той же
концентрации σ=0,122 См/м, эквивалентная проводимость при бесконечном
разведении Λ∞=13,0⋅10-3 м2/(Ом⋅моль). Найти: а) степень диссоциации α
раствора KCl при данной концентрации, б) эквивалентную концентрацию η
раствора, в) сумму подвижностей (b+ +b-) ионов K и Cl.
Ответ: α=94%, η=0,1 моль/л, (b+ +|b-|)=1,35⋅10-7 м2/(В⋅с)
(В.10.108)
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
36
Домашнее задание
1. Найти электрохимический эквивалент водорода. Относительная атомная
масса водорода 1,0079. Постоянная Фарадея 9,6456⋅104 Кл/моль.
Ответ: k =
µ
=1,0446183⋅10-8 кг/Кл
(В.10.100)
Fz
2. Амперметр, включенный последовательно с электролитической ванной с
раствором нитрата серебра AgNO3, показывает ток I=0,900 А. Верен ли
амперметр, если за 5,00 мин прохождения тока выделилось 316 мг серебра?
Относительная атомная масса серебра 107,868.
Fmz
=-0,04 А; амперметр показывает меньше
Ответ: ∆I = I − I 0 = I −
µ∆t
(В.10.101)
3. Найти сопротивление R раствора нитрата калия KNO3, заполняющего трубку
длиной 2,00 см и площадью поперечного сечения S=7,00 см2. Эквивалентная
концентрация раствора η=0,050 моль/л, эквивалентная проводимость
Λ=1,1⋅10-6 м2/(Ом моль).
l
=520 кОм
(В.10.110)
Ответ: R =
ΛηS
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
37
§19. ЭЛЕКТРОЛИЗ
1. Никелирование металлического изделия с площадью поверхности 120 см2
продолжалось 5,00 ч током 0,300 А. Валентность никеля 2. Определить
толщину слоя никеля. Относительная атомная масса никеля 58,69, плотность
8800 кг/м3, постоянная Фарадея 9,64⋅104 Кл/моль.
µI∆t
=15,6 мкм
(Сах.30-2)
Ответ: l =
FzρS
2. За какое время при электролизе водного раствора хлорной меди (CuCl2) на
катоде выделится 4,74 г меди, если ток I=2,00 A? Относительная атомная
масса меди 63,546.
mFz
=7150 с=2ч
(В.10.97)
Ответ: ∆t =
µI
3. При электролизе медного купороса CuSO4 за 1,00 ч выделилось 0,500 г меди.
Площадь каждого электрода S=75,0 см2. Найти плотность тока.
Относительная атомная масса меди 63,546.
mFz
=56,0 А/м2
(В.10.99)
Ответ: j =
µS∆t
4. Две электролитические ванны с растворами нитрата серебра AgNO3 и
сульфата меди CuSO4 соединены последовательно. Какая масса меди
выделится за время, в течение которого выделилось 180 мг серебра?
Относительная атомная масса меди 63,546. Относительная атомная масса
серебра 107,868.
Z Ag µ Cu
=53,4 мг
(В.10.102)
Ответ: mCu = m Ag
Z Cu µ Ag
5. Какую электрическую энергию надо затратить, чтобы при электролизе
раствора нитрата серебра AgNO3 выделилось 500 мг серебра? Разность
потенциалов на электродах 4,00 В. Относительная атомная масса серебра
107,868.
mFZ
=1,8 кДж
(В.10.104)
Ответ: W = U
µ
6. Реакция образования воды из водорода и кислорода происходит с
выделением тепла (в расчете на 1 моль):
2H2+O2=2H2O+5,75⋅105 Дж
Найти наименьшее напряжение, при котором будет происходить разложение
воды при электролизе.
Ответ: U =
W
=1,49 В
2νFZ
(В.10.105)
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
38
Домашнее задание
1. За какое время при электролизе медного купороса масса медной пластинки
(катода) увеличится на 99,0 мг? Площадь пластинки 25,0 см2, плотность тока
200 А/м2. Найти толщину слоя меди, образовавшегося на пластинке.
Относительная атомная масса меди – 63,546. Плотность меди – 8900 кг/м3.
∆m
∆mFz
=10 мин, d =
=4,60 мкм.
(В.10.98)
Ответ: ∆t =
µjS
ρS
2. При получении алюминия электролизом раствора Al2O3 в расплавленном
криолите проходил ток 20,0 кА при разности потенциалов на электродах
5,00 В. За какое время выделится 1,000 тонна алюминия? Какая
электрическая энергия при этом будет затрачена?
∆mFz
=149 часов, W=IUt=53,6 ГДж
(В.10.103)
Ответ: ∆t =
µI
§20. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3
«ПОСТОЯННЫЙ ТОК»
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
39
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§21. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ТОКОВ.
1. В замкнутой цепи постоянного тока имеется участок в
виде двух образующих прямой угол прямолинейных
проводов. Длина этих проводов настолько велика, что
влиянием остальных участков цепи на поле в окрестности
вершины угла можно пренебречь. Найти магнитную
индукцию в точке, указанной на рисунке.
G µ0 I G
B
b
(Сав.3.170)
Ответ: =
4π a
2. По круглому бесконечно длинному проводу радиуса R течет ток одинаковой
по всему сечению плотности j. Найти выражение для напряженности
магнитного
поля
в
точке,
положение
которой
определяется
перпендикулярным к оси провода радиус-вектором r. Рассмотреть случаи,
когда точка лежит внутри и вне провода. Построить график H(r).
⎧ 1
⎪ 2 jr , r ≤ R
Ответ: H = ⎨ 1 jR 2
(Сав.3.178)
⎪
,r>R
⎩2 r
3. Ток силой 1,00 А циркулирует в контуре, имеющем форму равнобедренной
трапеции. Отношение оснований трапеции равно 2,00. Найти магнитную
индукцию в точке пересечения продолжений боковых сторон трапеции.
Меньшее основание трапеции равно 100 мм, расстояние от него до искомой
точки равно 50,0 мм.
⎛ 1⎞
µ0
2 Il
⎜1 − ⎟ =1,41 мкТл
(Сав.3.175)
Ответ: B =
1 ⎜
4π a (l 2 + 4a 2 ) 2 ⎝ η ⎟⎠
4. Внутри прямого провода круглого сечения имеется круглая цилиндрическая
полость, ось которой параллельна оси провода. Смещение оси полости
относительно оси провода определяется вектором а. По проводу течет ток
одинаковой по всему сечению плотности j. Найти напряженность
магнитного поля внутри полости. Рассмотреть случай а=0.
1
(Сав.3.179)
Ответ: H = ja; ; H=0
2
5. Найти напряженность магнитного поля, создаваемого отрезком AB
прямолинейного проводника с током, в точке C, расположенной на
перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии а=5,00 см от него.
По проводнику течет ток I=20,0 A. Отрезок AB проводника виден из точки C
под углом 60 градусов.
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
40
α
1 I
sin =31,8 А/м
(В.11.11)
2π a
2
6. По длинному вертикальному проводнику сверху вниз идет ток I=8,00 А. На
каком расстоянии от него напряженность поля, получающегося от сложения
земного магнитного поля и поля тока, направлена вертикально вверх?
Горизонтальная составляющая напряженности земного поля H3=16,0 А/м.
Ответ: H =
Ответ: R =
I
=0,0796 м
2πH 3
(В.11.10)
7. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника
расположены перпендикулярно друг к другу и находятся
в одной плоскости (см. рис). Найти напряженности
магнитного поля в точках A и B, если токи I1=2 A и
I2=3 A. Расстояния OC=OD=1,00 см и ВD=СA=2,00 см.
Ответ: H A, B =
1
2π
I ⎞
⎛ I1
± 2 ⎟ =55,7 А/м; 7,96 А/м
⎜
⎝ OC AC ⎠
(В.11.7)
Домашнее задание.
1. Найти напряженность магнитного поля в точке, отстоящей на расстоянии
R=2,00 см от бесконечно длинного прямолинейного проводника, по
которому течет ток I=5,00 А.
I
=39,8 А/м
(В.11.1)
Ответ: H =
2πR
рисунке
изображены
сечения
двух
2. На
прямолинейных бесконечно длинных проводников
с токами. Расстояние между проводниками
AB=10,0 см, токи I1=20,0 A и I2=30,0 A. Найти
напряженности H магнитного поля, вызванного
этими токами в точках С, D и E. Расстояние
СA=2,00 см, AD=4,00 см и BE=3,00 см. Решить эту
задачу при условии, что токи текут в одинаковых
и разных направлениях.
Ответ: при разных направлениях: 119 А/м; 159 А/м; 135 А/м;
при одинаковых направлениях 199 А/м; 0; 184 А/м. (В.11.3+В.11.4)
3. Ток I=20,0 A идет по длинному проводнику, согнутому под прямым углом.
Найти напряженность магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе
этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии a=10,0 см.
I ⎛ 1
0⎞
tg
45
+
⎟ =77,3 А/м
⎜
(В.11.15)
Ответ: H =
2πa ⎝ cos 45 0
⎠
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
41
§22. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ КРУГОВЫХ ТОКОВ.
1. По тонкому круговому витку радиуса R=100 мм циркулирует ток 1,00 А.
Найти магнитную индукцию на оси витка, как функцию расстояния от
центра витка. Построить график. Вычислить индукцию в центре витка и на
расстоянии 100 мм от центра.
µ0
IR 2
B
=
; B0=6,28 мкТл; B1=2,22 мкТл
(Сав.3.169)
Ответ: Z
2 (R 2 + z 2 ) 32
2. Магнитный момент кругового контура с током pm=1,00 А⋅м2, радиус контура
R=10,0 см. Найти индукцию в центре контура.
µ 0 pm
Ответ: B =
=200 мкТл
(Сав.3.183)
2π R 3
3. Цепь постоянного тока включает однородное тонкое
кольцо и два подсоединенных к нему очень длинных
радиальных проводника. Замыкающая эти проводники
часть цепи (включая источник тока) расположена так
далеко, что не оказывает заметного влияния на поле в
области кольца. Чему равна магнитная индукция в центре
кольца (см. рис).
Ответ: B=0
(Сав.3.172)
4. Сфера радиуса 50,0 мм, заряженная равномерно распределенным
поверхностным зарядом плотности 10,0 мкKл/м2, приводится во вращение
вокруг своей оси с угловой скоростью 100 рад/с. Найти магнитную
индукцию в центре сферы. Вычислить то же самое, используя параметры
Земли: 6400 км, общий заряд 0,6 МКл, период обращения – сутки.
(Сав.3.180)
Ответ: B=2µ0σωR/3=42,0 пТл; B=µ0Q/3RT=0,455 пТл
5. По объему однородного шара массы m и радиуса R равномерно распределен
заряд q. Шар приводится во вращение вокруг своей оси с угловой скоростью
ω. Найти возникающие в результате вращения момент импульса
(механический момент) и магнитный момент, а также их отношение.
2
2
(Сав.3.182)
Ответ: M=2mR ω/5; P=qR ω/5; P/M=q/2m
6. Ток I=20,0 А, протекая по кольцу из медной проволоки сечением S=1,00 мм2,
создает в центре кольца напряженность магнитного поля H=178 А/м. Какая
разность потенциалов приложена к концам проволоки, образующей кольцо?
Удельное сопротивление меди 17,5 нОм⋅м.
πρI 2
=
ε
Ответ:
=0,124 В
(В.11.16)
SH
7. Катушка, по которой течет ток 1,00 А помещена в однородное магнитное
поле так, что ее ось совпадает с направлением поля. Обмотка катушки
выполнена из медной проволоки диаметра 1,00 мм; радиус витков 100 мм.
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
42
При каком значении индукции внешнего магнитного поля обмотка катушки
была бы разорвана? Прочность меди на разрыв 230 МПа.
σπd 2
=1,81 кТл
(Сав.3.190)
Ответ: B =
4 IR
Домашнее задание.
1. Найти напряженность магнитного поля в центре кругового проволочного
витка радиусом R=1,00 см, по которому течет ток 1,00 A.
I
Ответ: H =
=50 А/м
(В.11.2)
2R
прямолинейных
бесконечно
длинных
2. Два
проводника расположены перпендикулярно друг к
другу и находятся во взаимно перпендикулярных
плоскостях (см. рис). Найти напряженности
магнитного поля в точках С и D, если токи
I1=2,00 A и I2=3,00 A. Расстояния AC=AD=1,00 см
и AB=2,00 см.
(В.11.8)
Ответ: H1=35,6 А/м; H2=57,4 А/м
3. Напряженность магнитного поля в центре кругового витка H0=0,800 Э.
Радиус витка R=11,0 см. Найти напряженность H магнитного поля на оси
витка на расстоянии a=10,0 см от его плоскости. 1 Эрстед=79,6 А/м.
⎛
a2 ⎞
⎟
⎜
1
H
=
H
+
Ответ:
0⎜
2 ⎟
R
⎠
⎝
−3
2
=25,8 А/м
(В.11.18)
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
43
§23. ЗАКОНЫ МАГНЕТИЗМА.
1. Электрон движется равномерно и прямолинейно со скоростью 300 км/с.
Найти магнитную индукцию, создаваемую электроном в точке, находящейся
на расстоянии 1,00 нм и лежащей на перпендикуляре к скорости, проходящем
через мгновенное положение электрона.
µ0 e v
Ответ: B =
=4,80 мТл
(Сав.3.166)
4π a 2
2. Два электрона движутся в вакууме по параллельным прямым в одном
направлении с одинаковой скоростью 300 км/с. Расстояние между
электронами а=1,00 мм. Найти силу магнитного взаимодействия между
электронами. Сравнить с кулоновской силой.
µ0 e2v 2
-28
F
=
Ответ: m
Н; Fm/Fk=10-6
(Сав.3.168)
2 =2,30⋅10
4π a
3. В однородном магнитном поле с индукцией 0,100 Тл находится прямой
медный проводник сечением 8,00 мм2, концы которого подключены гибким
проводником, находящимся вне поля, к источнику постоянного тока.
Определить силу тока в проводнике, если известно, что при расположении
его перпендикулярно линиям индукции поля проводник находится в
равновесии. Вес гибких проводов не учитывать. Плотность меди
8,90⋅103 кг/м3.
(Ц.21.31)
Ответ: I=ρSg/B=7,00 A
4. Рядом с длинным прямым проводом, по которому течет ток 10,0 А
расположена квадратная рамка с током 1,00 А. Рамка и провод лежат в одной
плоскости. Проходящая через середины противолежащих сторон ось рамки
параллельна проводу и отстоит от него на расстоянии b=100 мм, сторона
рамки а=80,0 мм. Найти силу, действующую на рамку, и работу, которую
нужно совершить, чтобы повернуть рамку вокруг ее оси на 180 градусов.
µ0
a2
µ0
2b + a
I 1 I 2 a ln
=271 нДж
Ответ: F = 2π I 1 I 2
2 =1,50 мкН; A =
a
π
2
b
−
a
2
b −
4
(Сав.3.187)
5. В двух параллельных проводниках двухпроводной линии длиной 5,00 м сила
тока равна 500 А. Направление токов противоположное. С какой силой
взаимодействуют провода, если расстояние между ними 25,0 см?
µ0
l
I1 I 2 =1,00 Н
Ответ: F =
(Ц.21.47)
2π
d
6. Два прямолинейных длинных проводника находятся на расстоянии
d1=10,0 см друг от друга. По проводникам в одном направлении текут токи
I1=20,0 А и I2=30,0 А. Какую работу А надо совершить (на единицу длины
проводников), чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния d2=20,0 см?
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
44
Ответ: A =
µ0
d
I 1 I 2 l ln 2 =83,2 мкДж
2π
d1
(В.11.56)
7. Какой вращающий момент испытывает рамка с силой тока 10,0 А при
помещении ее в однородное магнитное поле с индукцией 0,500 Тл, если
рамка содержит 50 витков площадью 20,0 см2, а ее нормаль образует с
вектором индукции магнитного поля угол 300?
Ц-21.50.
Ответ: M=NISBsinα=0,250 Н⋅м
Домашнее задание.
1. Между полюсами электромагнита создается однородное магнитное поле с
индукцией 0,100 Тл. По проводу длиной 70,0 см, помещенному
перпендикулярно к направлению магнитного поля, течет ток 70,0 А. Найти
силу, действующую на провод.
Ответ: F=IBl=4,90 H
(В.11.55)
2. Из проволоки длиной 20,0 см сделаны круговой и квадратный контуры.
Найти вращающие моменты сил, действующие на каждый контур,
помещенный в однородное магнитное поле с индукцией 0,100 Тл. По
контурам течет ток 2,00 А. Плоскость каждого контура составляет угол
45 градусов с направлением поля.
l2
l2
sin α =0,450 мН⋅м; M = IB sin α =0,534 мН⋅м (В.11.58)
Ответ: M = IB
16
4π
3. Алюминиевый провод площадью поперечного сечения 1,00 мм2 подвешен в
горизонтальной плоскости перпендикулярно магнитному меридиану и по
нему течет ток с запада на восток 1,60 А. Какую долю от силы тяжести,
действующей на провод, составляет сила, действующая на него со стороны
земного магнитного поля? На сколько уменьшится сила, действующая на
единицу длины провода, вследствие магнитной силы. Горизонтальная
составляющая напряженности магнитного поля Земли 15,0 А/м. Плотность
алюминия 2600 кг/м3.
F µ 0 IH
=
=0,00118; ∆F=µ0Ihl=30,2 мкН
(В.11.59)
Ответ:
G
ρSg
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
45
§24. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И
МАГНИТНОМ ПОЛЯХ.
1. В расположенном горизонтально плоском конденсаторе с зазором между
пластинами d=10,0 мм находится заряженная капелька массой 6,40⋅10-16 кг. В
отсутствие напряжения между обкладками капелька падает с постоянной
скоростью V0=0,0780 мм/с. После подачи на конденсатор напряжения
U=95,0 В капелька движется равномерно вверх со скоростью V1=0,0160 мм/с.
Определить заряд капельки в элементарных зарядах.
mgd ⎛ V1 ⎞
⎜1 + ⎟ =5
Ответ: n =
(Сав.3.232)
U | e | ⎜⎝ V0 ⎟⎠
2. Первоначально α-частица движется свободно со скоростью v=3,50 Мм/с. В
некоторый момент времени вблизи частицы создается перпендикулярное ее
скорости однородное магнитное поле с индукцией В=1,00 Тл. Найти: а)
радиус траектории частицы, период обращения; б) модуль и направление
магнитного момента; в) отношение магнитного момента частицы к ее
механическому моменту.
G
G
mv
πm
Ответ: R =
=0,0730 м; T =
=130 нс; Pm ↑↓ B ;
2|e| B
|e| B
mv 2
Pm =
=4,1⋅10-14 А⋅м2; Pm/L=q/2m=2,5⋅107 Кл/кг
(Сав.3.234)
2B
3. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U=6,00 кВ, влетает в
однородное магнитное поле под углом α=30 градусов к направлению поля и
движется по винтовой траектории. Индукция магнитного поля В=13,0 мТл.
Найти радиус R и шаг h винтовой траектории.
1 2mU
1 2mU
sin α =1,00 см; h = 2π
cosα =10,9 см (В.11.86)
Ответ: R =
B |e|
B |e|
4. Винтовая линия, по которой движется электрон в однородном магнитном
поле, имеет диаметр d=80,0 мм и шаг h=200 мм. Индукция магнитного поля
В=5,00 мТл. Определить скорость электрона.
2
|e|B
⎛ πd ⎞
h 1 + ⎜ ⎟ =45 Мм/с; α=arctg(πd/h)=51,50
Ответ: v =
(Cав.3.235)
2πm
⎝ h ⎠
5. Найти скорость альфа-частицы, которая при движении в пространстве, где
имеются взаимно перпендикулярные однородные электрическое и
магнитное поля, не испытывает никакого отклонения. Индукция магнитного
поля 6,00 мТл, напряженность электрического поля 6,00 кВ/м. Направление
скорости альфа-частицы перпендикулярно полям.
Ответ: v=E/B=1,00 Мм/с
(Ц.21.39)
6. Cначала электрон летел свободно со скоростью v0. В момент времени t=0
включается однородное электрическое поле c напряженностью Е,
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
46
образующее с направлением v0 угол α. По какой траектории движется
электрон после включения поля.
Ответ: парабола
(Сав.3.231)
Домашнее задание.
1. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U=1,00 кВ, влетает в
однородное магнитное поле, направление которого перпендикулярно к
направлению его движения. Индукция магнитного поля В=1,19 мТл. Найти
радиус R окружности, по которой движется электрон, период обращения Т и
момент импульса L электрона относительно центра окружности.
1 2mU
2πm
2mU
Ответ: R =
=8,96 см; T =
=30 нс; L =
=1,53⋅10-24 кг⋅м2/с
B |e|
|e| B
B
(В.11.69)
2. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U=300 В, движется
параллельно прямолинейному длинному проводу на расстоянии а=4,00 мм от
него. Какая сила F будет действовать на электрон, если по проводнику
пустить ток I=5,00 А?
µ0 | e | I 2 | e | U
Ответ: F =
=4,11⋅10-16 Н
(В.11.70)
m
2π a
3. Электрон влетает в однородное магнитное поле, направление которого
перпендикулярно к направлению его движения. Скорость электрона
40,0 Мм/с. Индукция магнитного поля 1,00 мТл. Найти тангенциальное и
нормальное ускорения электрона.
| e | vB
Ответ: a n =
=7,03⋅1015 м/с2; аτ=0
(В.11.72)
m
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
47
§25. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
1. По горизонтально расположенному П-образному проводу перемещается с
постоянной скоростью v под действием силы F, замыкающая провод
перемычка. Контур находится в перпендикулярном к его плоскости
однородном магнитном поле. Чему равна сила F, если в контуре каждую
секунду выделяется количество теплоты λ. Трением пренебречь.
Ответ: F=λ/v
(Сав.3.206)
2. В однородном магнитном поле с индукцией В=0,500 Тл движется
равномерно проводник длиной l=10,0 см. По проводнику течет ток I=2,00 А.
Скорость движения проводника v=20,0 см/с и направлена перпендикулярно к
направлению магнитного поля. Найти работу А перемещения проводника за
время t=10,0 с и мощность P, затраченную на это перемещение.
Ответ: A=IBLV∆t=0,200 Дж; Р=IBLV=0,0200 Вт
(В.11.65)
3. Тонкий металлический стержень длины 1,20 м вращается с частотой
ν=120 об/мин в однородном магнитном поле вокруг оси, перпендикулярной
к стержню и отстоящей от одного из его концов на расстоянии 0,250 м.
Вектор магнитной индукции В параллелен оси вращения и равен 1,00 мТл.
Найти разность потенциалов, возникающую между концами стержня.
Ответ: ∆φ=πBνl(l-2l1)=5,28 мВ
(Сав.3.207)
4. Изолированный металлический диск радиуса R=0,250 м вращается с
частотой ν=1000 об/мин. Найти разность потенциалов между центром и
краем диска, возникающую: а) в отсутствии магнитных полей; б) в случае,
когда имеется перпендикулярное к диску однородное магнитное поле с
индукцией 10,0 мТл.
2π 2 v 2 R 2 m
=
ε
Ответ:
=1,90 нВ; ε = πνR 2 B =32,7 мВ;
(Сав.3.208)
|e|
5. Между полюсами электромагнита помещена небольшая катушка,
расположенная так, что оси катушки и полюсных наконечников магнита
совпадают. Площадь поперечного сечения катушки 3,00 мм2, число витков
60. При повороте катушки на 180 градусов через соединенный с ней
баллистический гальванометр протекает заряд q=4,50 мкКл. Определить
напряженность поля H между полюсами. Сопротивление катушки,
гальванометра и соединительных проводов R=40,0 Ом.
Ответ: H=qR/(2µ0SN)=398 кА/м
(Сав.3.209)
6. В однородном магнитном поле с индукцией В=0,100 Тл движется проводник
длиной l=10,0 см. Скорость движения проводника v=15,0 м/с и направлена
перпендикулярно к магнитному полю. Найти
индуцированную в
проводнике ЭДС.
Ответ: ε=BLV=0,150 В
(В.11.93)
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
48
В однородном магнитном поле, индукция которого В=0,100 Тл, равномерно
вращается катушка, состоящая из N=100 витков проволоки. Частота вращения
катушки =5,00 об/с. Площадь поперечного сечения катушки S=0,0100 м2. Ось
вращения перпендикулярна к оси катушки и направлению магнитного поля.
Найти максимальную ЭДС во вращающейся катушке.
Ответ: ε=2πNBSν=3,14 В
(В.11.99)
7. Тонкая медная лента толщиной 0,100 мм помещена в однородное магнитное
поле с индукцией 0,900 Тл так, что плоскость ленты перпендикулярна
силовым линиям поля. В ленте сила тока 10,0 А. Определить разность
потенциалов, возникающую вдоль ширины ленты, считая, что в ней имеется
по одному свободному электрону на каждый атом.
µ
IB
Ответ: U =
=6,92 мкВ
(Ц.21.40)
| e | N A Z ρl
Домашнее задание.
1. Катушка диаметром d=10,0 см, состоящая из N=500 витков проволоки,
находится в магнитном поле. Найти ЭДС индукции, возникающую в этой
катушке, если индукция магнитного поля увеличивается в течение времени
∆t=0,100 с от 0 до 2,00 Тл.
∆B πd 2
=76,5 В
(В.11.94)
Ответ: ε = N
∆t 4
2. Скорость самолета с реактивным двигателем V=950 км/ч. Найти ЭДС
индукции, возникающую на концах крыльев самолета, если вертикальная
составляющая напряженности земного магнитного поля H=39,8 А/м и размах
крыльев самолета l=12,5 м.
Ответ: ε=µ0HlV =0,16 B
(В.11.95)
3. В магнитном поле, индукция которого В=0,0500 Тл, вращается стержень
длиной l=1,00 м с угловой скоростью ω=20,0 рад/с. Ось вращения проходит
через конец стержня и параллельна магнитному полю. Найти ЭДС индукции,
возникающую на концах стержня.
Bl 2ω
Ответ: ε =
=0,50 В
(В.11.96)
2
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
49
§26. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА. ИНДУКТИВНОСТЬ.
1. В однородное магнитное поле с индукцией В0 помещена бесконечная
плоскопараллельная пластина из однородного изотропного магнетика с
проницаемостью µ. Пластина расположена перпендикулярно к линиям
индукции. Определить магнитную индукцию и напряженность магнитного
поля в магнетике.
Ответ: B=B0; H=B0/µµ0
(Сав.3.196)
2. На границе вакуум-магнетик (µ) построена замкнутая поверхность в виде
«консервной банки» очень малой высоты. Определить знаки потоков
магнитной индукции и магнитной напряженности через эту поверхность,
если магнитное поле направлено из вакуума в магнетик под углом к границе.
Написать граничные условия для нормальных составляющих напряженности
и индукции магнитного поля.
Ответ: ФВ=0; ФН<0; B1n=B2n; H1n=µH2n
(Баб.3.149)
3. Для измерения магнитной проницаемости железа из него был изготовлен
тороид длиной 50,0 см и площадью поперечного сечения 4,00 см2. Одна из
обмоток тороида имела 500 витков и была присоединена к источнику тока,
другая имела 1000 витков и была присоединена к гальванометру.
Переключая направление тока в первичной обмотке на обратное, мы
вызываем во вторичной обмотке индукционный ток. Найти магнитную
проницаемость железа, если известно, что при переключении в первичной
обмотке направления тока 1,00 А через гальванометр прошел заряд
0,0600 Кл. Сопротивление вторичной обмотки 20,0 Ом.
qRL
Ответ: µ =
=1200
(В.11.124)
2 µ 0 IN 1 N 2 S
4. Электрическая лампочка, сопротивление которой в нагретом состоянии
10,0 Ом, подключается через дроссель к 12-вольтовому аккумулятору.
Индуктивность дросселя 2,00 Гн, сопротивление 1,00 Ом. Через какое время
после включения лампочка загорится, если она начинает заметно светиться
при напряжении на ней 6,00 В. Внутреннее сопротивление аккумулятора не
учитывать.
L
⎛ U (R + r) ⎞
ln⎜1 −
⎟ =0,145 c
Ответ: t = −
(В.11.125)
εR ⎠
R+r ⎝
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
50
Домашнее задание.
1. Катушка длиной 20,0 см имеет 400 витков. Площадь поперечного сечения
катушки 9,00 см. Найти индуктивность катушки. Какова будет
индуктивность катушки, если внутрь катушки введен железный сердечник?
Магнитная проницаемость материала сердечника 400.
N 2S
Ответ: L = µµ 0
; L=0,90 мГн; L=0,36 Г
(В.11.107)
l
2. Имеется катушка длиной 20,0 см и диаметром 2,00 см. Обмотка катушки
состоит из 200 витков медной проволоки, площадь поперечного сечения
которой 1,00 мм2, а удельное сопротивление 17,2 нОм⋅м. Катушка включена
в цепь с некоторой ЭДС. При помощи переключателя ЭДС выключается, а
катушка замыкается накоротко. Через какое время после выключения ЭДС
ток в цепи уменьшится в 2 раза?
µ 0 NDS
ln 2 =0,25 c
Ответ: t =
(В.11.126)
4 ρL
§27 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4.
«МАГНИТНОЕ ПОЛЕ»
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
51
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
§28. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР.
1. Колебательный контур радиоприемника состоит из катушки индуктивности
1,00 мГн и переменного конденсатора, емкость которого может меняться в
пределах от 9,70 до 92,0 пФ. В каком диапазоне длин волн может принимать
радиостанции этот приемник?
Ответ: λ = 2π v LC ; 186 м<λ<572 м
(С.3.248)
2. Катушка с индуктивностью 30,0 мкГн присоединена к плоскому
конденсатору с площадью пластин 0,0100 м2 и расстоянием между ними
0,100 мм. Найти диэлектрическую проницаемость среды, заполняющей
конденсатор, если контур настроен на длину волны 750 м.
λ2 d
Ответ: ε =
=5,96
(В.14.4)
4π 2 v 2 Lε 0 S
3. Найти отношение энергий магнитного и электрического полей
колебательного контура, в момент времени Т/8, где Т - период колебаний.
Ответ: Wм=Wе
(В.14.9)
4. Параметры колебательного контура имеют значения С=4,00 мкФ,
L=0,100 мГн, R=1,00 Ом. Чему равна добротность контура?
1
L
− =4,97
Ответ: Q =
(С.3.251)
2
R C 4
5. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 0,200 мкФ и
катушки с индуктивностью 5,07 мГн. При каком логарифмическом
декременте затухания разность потенциалов на обкладках конденсатора за
1,00 мс уменьшится в 3 раза? Каково сопротивление контура?
2π
1 U0
θ=
Ответ: δ = ln
=1099 c-1;
=0,220; R=2δL=11,14 Ом
1
t1 U 1
−1
LCδ 2
(В.14.11)
6. Активное сопротивление колебательного контура равно 0,330 Ом. Какую
мощность потребляет контур при поддержании в нем незатухающих
колебаний с амплитудой силы тока 30,0 мА.
I 02 R
Ответ: P =
=0,15 мВт
(С.3.249)
2
7. Параметры колебательного контура имеют значения С=1,00 нФ,
L=6,00 мкГн, R=0,500 Ом. Какую мощность нужно подводить к контуру,
чтобы поддерживать в нем незатухающие колебания с амплитудой
напряжения на конденсаторе Um=10,0 В?
RCU 02
Ответ: P =
=4,20 мВт
(С.3.250)
2L
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
52
8. Добротность колебательного контура равна 10,0. На сколько процентов
отличается частота свободных колебаний контура от собственной частоты
контура.
ω0 − Ω
2Q
1
= 1−
≈
Ответ:
(С.3.252)
2 =0,0012477=0,125%
ω0
4Q 2 − 1 8Q
9. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 2,22 нФ и
катушки длиной 20,0 см из медной проволоки диаметром 0,500 мм. Найти
логарифмический декремент затухания колебаний. Удельное сопротивление
меди 0,0175 мкОм⋅м.
π
8 πlC
Θ=
≈ 2
Ответ:
=0,0187
(В.14.13)
µµ 0πd 4 1 d µµ 0
−
64 ρ 2 lC 4
10. Какую индуктивность нужно включить в колебательный контур, чтобы при емкости 2,00 мкФ получить
частоту 1000 Гц.
Ответ: L =
1
4π ν 2 C
2
=0,01267 Гн=12,7 мГн
(В.14.03)
Домашнее задание.
1. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 888 пФ и
катушки с индуктивностью 2,00 мГн. На какую длину волны настроен
контур?
(В.14.01)
Ответ: λ = 2πv LC =2512 м
2. Уравнение изменения со временем напряжения на обкладках конденсатора
в колебательном контуре имеет вид U(В)=50cos(104πt(с)). Емкость
конденсатора 0,100 мкФ. Найти период колебаний, индуктивность контура,
закон изменения со временем тока в цепи и длину волны, на которую
настроен этот контур.
2π
1
Ответ: T =
=0,200 мс; L = 2 =10,1 мГн; I(A)=-0,157 sin(104πt(с));
ω
ω C
2πv
λ=
=60,0 км
(В.14.07)
ω
3. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 405 нФ, катушки
с индуктивностью 10,0 мГн и сопротивления 2,00 Ом. На сколько процентов
уменьшится разность потенциалов на обкладках конденсатора за один
период колебаний?
U0 −U
U
=
1
−
=e
Ответ:
U0
U0
−
π
L
1
−
R 2C 4
=0,040=4%
(В.14.12)
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
53
§29. ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК
1. Рамка площадью 60,0 см2 равномерно вращается с частотой 20,0 об/с в
однородном магнитном поле с индукцией 20,0 мТл. Ось вращения и
направление поля взаимно перпендикулярны. Определить амплитудное и
действующее значения ЭДС, возникающих в рамке.
(С.3.243)
Ответ: εmax=2πνBS=15,1 мB; εэфф= 2 πνBS=10,7 мB
2. Цепь переменного тока образована последовательно включенными
активным сопротивлением R=800 Ом, индуктивностью L=1,27 Гн, и
емкостью С=1,59 мкФ. На клеммы цепи подано действующее напряжение
127 В с частотой 50,0 Гц. Найти: а) действующее значение силы тока в цепи;
б) сдвиг фаз между током и напряжением; в) действующие значения
напряжения на резисторе, индуктивности и емкости; г) нарисовать
векторную диаграмму напряжений; д) вычислить среднюю мощность,
выделяющуюся в цепи.
Ответ:
U эфф
I эфф =
2 =70,9 мА;
1 ⎞
⎛
2
R + ⎜ Lω −
⎟
ωC ⎠
⎝
1
2πνL −
2πνC
ϕ = arctg
=-63,50;
R
U Rээф = I эфф R =56,7 B; U Lээф = I эфф 2πνL =28,3 B;
1
U Cээф = I эфф
=142 B. P = I эффU эфф cos ϕ =4,02 Вт
2πνC
(С.3.244)
3. Катушка длиной l=50,0 см, площадью поперечного сечения S=10,0 см2 и
состоящая из 3000 витков включена в цепь переменного тока частотой
50,0 Гц. Найти активное сопротивление катушки, если сдвиг фаз между
напряжением и током 60 градусов.
µµ 0 N 2 S 2πν
=4,1 Ом
(В.14.16)
Ответ: R =
ltgϕ
4. Конденсатор емкостью 20,0 мкФ и резистор, сопротивление которого
R=150 Ом включены последовательно в цепь переменного тока частотой
50 Гц. Какую часть напряжения, приложенного к этой цепи, составляют
напряжения на конденсаторе и на резисторе.
UR
1
Uc
1
=
=
=0,73;
= 0,69;(В.14.20)
Ответ:
U0
1
U0
R 2 (2πν ) 2 C 2 + 1
+1
R 2 (2πν ) 2 C 2
5. Переменное напряжение, действующее значение которого 220 В, а частота
50 Гц, подано на катушку без сердечника с индуктивностью 31,8 мГн и
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
54
активным сопротивлением 10,0 Ом. Найти количество теплоты,
выделяющееся в катушке за секунду. Как изменится это количество теплоты,
если последовательно с катушкой включить конденсатор емкостью 319 мкФ.
2
2
U эфф
R
U эфф
R
P=
=2,42
кВт;
Ответ: P = 2
1 2 =4,84 кВт
2
R + 4π 2ν 2 L2
R + (2πνL −
)
2πνC
(С.3.245)
Домашнее задание.
1. Обмотка катушки состоит из 500 витков медной проволоки, площадь
поперечного сечения которой 1 мм2. Длина катушки 50,0 см, ее диаметр
5,00 см. При какой частоте переменного тока полное сопротивление
катушки вдвое больше ее активного сопротивления? Удельное
сопротивление меди 0,0175 мкОм⋅м.
2 3lρ
Ответ: ν =
=307 Гц
(В.14.17)
πµ 0 NdS
2. Два конденсатора с емкостями 0,200 мкФ и 0,100 мкФ включены
последовательно в цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой
50,0 Гц. Найти ток в цепи и напряжения на обоих конденсаторах.
U0
U0
2πνU 0
U
=
U
=
I
=
1
2
0
Ответ:
C =146,7 В
C =73,3 В;
1
1 =4,60 мА;
1+ 2
+
1+ 1
C1
C1 C 2
C2
В.(14.18)
3. В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50,0 Гц включены
последовательно емкость 35,4 мкФ, сопротивление 100 Ом и индуктивность
0,700 Гн. Найти ток в цепи и напряжения на всех элементах. Определить
сдвиг фаз между током и напряжением. Нарисовать
векторную диаграмму напряжений.
U0
I
=
Ответ: 0
2 =1,34 А; U L = I 0 2πνL =295 B;
1 ⎞
⎛
2
R + ⎜ Lω −
⎟
ωC ⎠
⎝
1
UC = I0
=121 B; U R = I 0 R =134 B;
2πνC
1
2πνL −
2πνC
ϕ = arctg
=520
(В.14.25)
R
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
55
§30. ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
1. В электрическую цепь, состоящую из последовательно
соединенных индуктивности L, емкости C и резистора R
добавили источник переменной гармонической ЭДС с
амплитудой ε0 и частотой ω. Определить при каком
соотношении между параметрами амплитуда напряжения
на конденсаторе будет максимальной. Во сколько раз
данная амплитуда больше исходной. Нарисовать график
зависимости амплитуды от частоты.
Ответ: ω p = ω − 2δ ; U 0 (ω = ω p ) = ε 0
2
0
U 0 (ω = ω p )
ε0
=
2
ω 02
ω 02
2δ ω 02 − δ 2
;
≈ Q , где Q – добротность, а ω 0 =
1
;δ =
R
2L
LC
2δ ω 02 − δ 2
2. На зажимы цепи, изображенной на рисунке, подается
переменное напряжение с действующим значением 220 В
и частотой 50,0 Гц. Активное сопротивление цепи 22,0 Ом,
индуктивность 318 мГн. Емкость цепи подбирается так,
чтобы показание вольтметра, включенного параллельно
катушке индуктивности, стало максимальным. Найти
показания вольтметра и амперметра в этих условиях.
Полным сопротивлением амперметра и ответвлением тока в цепь
вольтметра можно пренебречь.
U0
2πνL
Ответ: при резонансе I 0 =
=10 А; U L = U 0
=1000 В
(С.3.246)
R
R
3. На точки А и В схемы, изображенной на рисунке, подается
переменное напряжение с действующим значением 220 В.
Емкость
конденсатора
С=1,00 мкФ,
индуктивность
L=1,00 мГн, активное сопротивление R=100 мОм. При
каком значении частоты ω ток через подводящий провод
будет минимальным? Чему при этом равны все токи?
1
=31623 рад/с; I cээф = U эффωC =6,82 A;
Ответ: ω =
LC
U эфф
U эфф
I Rэфф = I Lэфф =
≈
= 6,96 А;
Lω
R 2 + ( Lω ) 2
R=10000 Ом; I=0,022 A (С.3.247)
4. Дуга Петрова питается током промышленной частоты с эффективным
напряжением 127 В. определить индуктивность дросселя с активным
сопротивлением 1,00 Ом, который нужно включить последовательно с
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
56
дугой, чтобы получить эффективную силу тока 20,0 А при сопротивлении
горящей дуги 2,00 Ом
Ответ: L =
⎛U0
⎜⎜
⎝ I0
2
⎞
⎟⎟ − ( R + Rd ) 2
⎠
=0,0178 Гн
2πν
(Ц.23.08)
Домашнее задание
1. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 25,0 нФ и
катушки с индуктивностью 1,015 Гн. Обкладкам конденсатора сообщается
заряд 2,50 мкКл. Написать уравнение (с числовыми коэффициентами)
изменения разности потенциалов на обкладках конденсатора и тока в цепи.
Найти разность потенциалов на обкладках конденсатора и ток в цепи в
моменты времени Т/8, Т/4, Т/2. Построить графики напряжения и тока в
пределах одного периода.
Ответ:
U1=70,7 B
U2=0,0 B
U3=-100 B
U(B)=100cos(2000πt)
I1=-11,1 мА
I2=-15,7 мА
I1=0,0 мА
I(mA)=-15,7sin(2000πt)
(В.14.05)
2. Катушка длиной 25,0 см и радиусом 2,00 см имеет обмотку из 1000 витков
медной проволоки, площадь поперечного сечения которой 1,00 мм2.
Катушка включена в цепь переменного тока с частотой 50,0 Гц. Какую часть
полного сопротивления катушки составляют активное и индуктивное
сопротивления. Определить сдвиг фаз между током и напряжением.
Удельное сопротивление меди 0,0175 мкОм⋅м.
XL
1
1
R
1
=
=
Ответ:
=74,2%;
=67,0%, ϕ = arctg
=47,940,
2
|
|
z
1
|z|
x
1+ x
1+ 2
x
X L νµµ 0 NπSr
=
где x =
=0,902
(В.14.19)
R
ρl
3. Конденсатор и электрическая лампочка соединены последовательно и
включены в цепь переменного тока напряжением 440 В и частотой 50,0 Гц.
Какую емкость должен иметь конденсатор для того, чтобы через лампочку
протекал ток 0,500 А и напряжение на ней было равным 110 В.
I0
1
=3,74 мкФ
(В.14.21)
Ответ: C =
2πν U 02 − U R2
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
57
§31. ПЕРЕМЕННЫЕ ПОЛЯ
1. Неоновая лампа, которая зажигается и гаснет при напряжении 84,0 В,
включена в цепь переменного тока промышленной частоты с эффективным
напряжением 120 В. Определить время между вспышками лампы и
продолжительность вспышки.
Ответ: моменты зажигания и гашения лампы определяются выражениями
⎤
⎛ U3 ⎞
1 ⎡
n
⎜
⎟
⎢
t1 =
+ πn ⎥ ,
(−1) arcsin
⎜ 2U ⎟
2πν ⎢
⎥⎦
эфф ⎠
⎝
⎣
⎤
⎛
U 3 ⎞⎟
1 ⎡
n
⎜
⎢
t2 =
+ πn ⎥
(−1) arcsin −
⎜
⎟
2πν ⎢
⎥⎦
2U эфф ⎠
⎝
⎣
Следовательно, продолжительность
(Ц.23.09)
(аналог Б.937)
вспышки
-
6,70 мс,
а
время
между
вспышками
3,30 мс
2. Ртутно-кварцевая лампа ПРК-2 подключается к источнику переменного тока
частотой 50,0 Гц через дроссель, рабочее напряжение на котором 180 В, а
эффективная сила тока 4,00 А. Определить активное сопротивление
дросселя, если его индуктивность 0,100 Гн.
Ответ:
R=
2
U эфф
I
2
эфф
− 4π 2ν 2 L2
=32,2 Ом
(Ц.23.10)
3. Первичная обмотка понижающего трансформатора с коэффициентом
трансформации 8 включена в сеть переменного тока с напряжением 220 В.
Сопротивление вторичной обмотки 2,00 Ом, ток в ней 3,00 А. Найти
напряжение на зажимах вторичной обмотки.
U1
− I 2 r2 =21,5 В
(Б.940)
Ответ: U 2 =
k
4. Первичная обмотка трансформатора для питания накала радиоприемника
имеет 12000 витков и включена в сеть переменного тока с напряжением
120 В. Какое число витков должна иметь вторичная обмотка, если ее
сопротивление 0,500 Ом. Напряжение накала радиоприемника 3,50 В, при
токе 1,00 А.
U 2 + I 2 r2
Ответ: N 2 = N1
=400 витков
(Б.941)
U1
5. Первичная обмотка понижающего трансформатора с коэффициентом
трансформации 10 включена в сеть переменного тока с напряжением 120 В.
Сопротивление вторичной обмотки 1,20 Ом, ток в ней 5,00 А. Найти
сопротивление нагрузки трансформатора и напряжение на зажимах
вторичной обмотки.
U
U1
− I 2 r2 =6,00 В; R2 = 1 − r2 =1,20 Ом
(Б.943)
Ответ: U 2 =
kI 2
k
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
58
6. Доказать, что из уравнений Максвелла следует уравнение непрерывности.
G
G G ∂D
G
, учитывая, что
Ответ: исходя из уравнений divD = ρ и rotH = j +
∂t
G ∂ρ
G
=0
div (rotA) ≡ 0 для любого вектора, получаем искомое divj +
∂t
(Тр.3.237)
7. Определить силу тока смещения между квадратными пластинами плоского
воздушного конденсатора со стороной 5,00 см, если напряженность
электрического поля изменяется со скоростью 4,52 МВ/(м⋅с)
∂E
2
=0,100 мкА
(Тр.3.238)
Ответ: I = a εε 0
∂t
8. определить глубину скин-слоя при прохождении переменного тока
промышленной частоты по медному проводнику. Как изменится эта
величина, если вместо меди взять никель. Удельное сопротивление меди
0,0172 мкОм⋅м. Удельное сопротивление никеля 0,973 мкОм⋅м. Магнитная
проницаемость никеля 1120.
1
ρ
=
Ответ: λ =
;λ(Cu)=9,41 мм; λ(Ni)=2,97 мм
πνµµ0σ
πνµµ0
Домашнее задание.
1. Катушка с активным сопротивлением 10,0 Ом и некоторой индуктивностью
включена в цепь переменного тока напряжением 127 В и частотой 50,0 Гц.
Найти индуктивность катушки, если известно, что катушка поглощает
мощность 400 Вт и сдвиг фаз между напряжением и током 60 градусов.
U 4 cos 2 ϕ
Rtgϕ
2
R
−
L
=
=55,7
мГ
или
=55,1 мГн (В.14.22)
2πν
2πν
P2
2. Ток в первичной обмотке трансформатора 0,500 А, напряжение на ее концах
220 В. Ток во вторичной обмотке трансформатора 11,0 А, напряжение на ее
концах 9,50 В. Найти КПД трансформатора.
I 2U 2
=95,0%
(Б.939)
Ответ: η =
I 1U 1
3. Первичная обмотка понижающего трансформатора включена в сеть
переменного тока с напряжением 220 В. Напряжение на зажимах вторичной
обмотки 20,0 В, ее сопротивление 1,00 Ом, ток в ней 2,00 А. Найти
коэффициент трансформации и КПД трансформатора.
U1
U2
=10,0; η =
=90,9%
(Б.942)
Ответ: k =
U 2 + I 2 r2
U 2 + I 2 r2
Ответ: L =
1
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
59
§32.УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
1. Ток, проходящий по обмотке длинного прямого соленоида
радиуса R, изменяют так, что магнитное поле внутри
соленоида растет со временем по закону B=At2, где A –
некоторая постоянная. Определить плотность тока
смещения как функцию расстояния от оси соленоида.
Построить график зависимости.
Ответ: jϕ = − Aεε 0 r (см.рис.)
(Тр.3.236)
2. Показать, что любая функция вида f(t,z)=f(ωt-kz+α) удовлетворяет
ω
∂2 f
1 ∂2 f
− 2 2 = 0 , где v =
- фазовая скорость
волновому уравнению
2
k
∂z
v ∂t
волны.
Ответ:
(Тр.4.167)
3. В однородной и изотропной среде с ε=3,00 и µ=1,00 распространяется
плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического
поля волны Еm=10,0 В/м. Найти: а) амплитуду напряженности магнитного
поля волны; б) фазовую скорость волны.
c
εε 0
E m =46,0 мА/м
=1,73⋅108 м/с; H m =
Ответ: v =
εµ
µµ 0
(С.4.51) аналог (Тр.4.3.11)
4. Распространяющаяся в вакууме вдоль оси OZ плоская электромагнитная
E x = E m cos(ωt − kz )
волна,
описываемая
уравнениями:
и
H y = H m cos(ωt − kz ) отражается без потери интенсивности от плоскости
перпендикулярной оси OZ. Написать уравнения, описывающие отраженную
волну.
Ответ: E x = E m cos(ωt + kz + α ) ; H y = H m cos(ωt + kz + π + α )
(С.4.52) аналог (Тр.4.170)
5. Рассмотреть суперпозицию двух плоских монохроматических с одинаковой
частотой и амплитудой электромагнитных волн, распространяющихся вдоль
оси ОZ в противоположных направлениях. Определить координаты
пучностей и узлов для электрического вектора Ех и магнитного вектора Ну,
возникших в результате суперпозиции стоячей волны. Для упрощения
формул начальную фазу в уравнениях прямой и обратной волны считать
равной нулю. Сравнить полученные результаты. Как соотносятся фазы
колебаний этих векторов.
Ответ: Пучности для напряженности электрического поля совпадают с
узлами для напряженности магнитного поля и наоборот. Фазы колебаний
отличаются на π/2. Когда напряженность электрического поля максимальна,
тогда напряженность магнитного поля равна 0 и наоборот.
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
60
(С.4.53) аналог (Тр.4.171)
для m=0,±1,±2,±3
пучности
Е
Н
zm = m
λ
2
1 λ
z m = (m + )
2 2
узлы
1 λ
z m = (m + )
2 2
zm = m
λ
2
6. В некоторой среде распространяется плоская электромагнитная волна
частотой ω. При этой частоте диэлектрическая проницаемость среды равна
2,00, а магнитная проницаемость практически равна единице. Найти вектор
Пойнтинга в той точке, в которой электрический вектор изменяется по
G
G
закону E ( В / м) = 10,0 cos(ωt + α )i . Амплитуда вектора напряженности
G
G
магнитного поля имеет вид H m = H m j
G
G
2
2
2
Ответ: P( Вт / м ) = Pm cos (ωt + α )k , где Pm = E m
εε 0
=0,375 Вт/м2
µµ 0
(С.4.54)
Домашнее задание.
1. Электромагнитная волна с частотой 5,00 МГц переходит из немагнитной
среды с диэлектрической проницаемостью 2,00 в вакуум. Определить
изменение ее длины волны.
c ⎛⎜ 1
1 ⎞⎟
∆
=
−
λ
Ответ:
=17,6 м
(Тр.4.159)
ν ⎜⎝ ε 2
ε 1 ⎟⎠
2. Радиолокатор обнаружил в море подводную лодку, отраженный сигнал от
которой дошел до него за 36,0 мкс. Учитывая, что диэлектрическая
проницаемость воды при данной температуре 81,0, определить расстояние
от локатора до подводной лодки.
c∆t
=600 м
(Тр.4.160)
Ответ: S =
2 ε
3. После того как между внутренним и внешним проводниками кабеля
поместили диэлектрик, скорость распространения электромагнитных волн
по кабелю уменьшилась на 63,0%. Определить диэлектрическую
восприимчивость вещества прослойки.
1
− 1 =6,30
(Тр.4.161)
Ответ: χ =
(1 − α ) 2
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
61
§33. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ (Продолжение)
1. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна с частотой ω
порядка 1010 с-1. Амплитуда электрического вектора волны 0,775 В/м. На
пути волны располагается поглощающая поверхность, имеющая форму
полусферы радиуса 0,632 м, обращенная своей вершиной в сторону
распространения волны. Какую энергию поглощает эта поверхность за
1,00 с.
1 εε 0 2 2
E mπR ∆t =1,00 мДж
(С.4.55)
Ответ: < W >=
2 µµ 0
2. В вакууме распространяется вдоль оси OZ плоская электромагнитная волна.
Амплитуда напряженности магнитного поля волны 0,0500 А/м. Определить
амплитуду напряженности электрического поля волны; среднюю по времени
плотность энергии волны; интенсивность волны; среднюю плотность
импульса волны.
µµ 0
1
H m =18,8 В/м; < w >= µµ 0 H m2 =1,57 нДж/м3;
Ответ: Em =
εε 0
2
G
1 µµ 0 2
µµ 0 H 2 G
G кг
dp
2;
I=
H m =0,47 Вт/м <
>=
e z = 5,23 ⋅10 −18 e z 2
(С.4.58)
2 εε 0
2c
dV
м ⋅с
3. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна и падает по
нормали на поверхность тела, полностью ее поглощающего. Амплитуда
напряженности электрического поля волны равна 2,00 В/м. Определить
давление, оказываемое волной на тело.
εε 0 E 2
=17,7 пПа.
(Тр.4.173)
Ответ: < p >=
2
4. Радиус круговой орбиты электрона в бетатроне 15,0 см. В конце цикла
ускорения скорость электрона достигает значения 0,99995с. Найти
мощность излучения при этой скорости.
µ0 q 2v 4
dW
1
=
=2,05⋅10-18 Вт
(С.4.63)
Ответ:
dt
6πc 2 ε 0 R 2
5. Электрон движется в плоскости перпендикулярной однородному
магнитному полю с индукцией 1,00 Тл. Скорость электрона 1,00⋅107 м/с.
Определить какую долю кинетической энергии теряет электрон на
излучение за 1 оборот. За какое время кинетическая энергия уменьшится на
1%. Какое число оборотов совершит электрон за это время.
Wизл 2 µ 0 q 2 B
ε 0 m 3c 2
-11 ∆t = −3π
ln 0,99 =0,0259 с
=
=1,38⋅10 ;
Ответ:
Wкин 3 ε 0 m 2 c 2
µ0 q 4 B 2
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
62
3 ε 0 m2c 2
N =−
ln 0,99 =7,24⋅108 оборотов
3
2 µ0 q B
Домашнее задание
(С.4.64)
1. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда
напряженности магнитного поля волны 1,00 мА/м. Определить амплитуду
напряженности электрического поля волны.
µµ 0
H m =0,377 В/м
(Тр.4.169)
εε 0
2. В вакууме вдоль оси OZ распространяется плоская электромагнитная волна.
Амплитуда напряженности электрического поля волны составляет
50,0 мВ/м. Определить интенсивность волны, т.е. среднюю энергию,
проходящую через единицу поверхности в единицу времени.
1 2 εε 0
=3,31 мкВт/м2
(Тр.4.175)
Ответ: I = E
2
µµ 0
3. Плоская электромагнитная волна падает по нормали на поверхность тела,
полностью ее поглощающего. Амплитуда напряженности магнитного поля
волны равна 0,150 А/м. Определить давление волны на тело.
1 H m2 µ 0 µµ 0 H m2
=
=14,1 нПа
(Тр.4.172)
Ответ: p =
2 c ε0
2
Ответ: Em =
§34. Контрольная работа
«колебания и волны»
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
63
§35. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ (КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ)
1. На какую длину волны настроен приемный контур радиоприемника, если он
обладает индуктивностью 1,50 мГн и емкостью 0,670 нФ?
(Л.19.37)
Ответ: λ = 2πv LC =1890 м;
2. Катушка с индуктивностью 30,0 мкГн присоединена к плоскому
конденсатору с площадью пластин 100 см2 и расстоянием между ними
0,100 мм. Найти диэлектрическую проницаемость среды, заполняющей
конденсатор, если контур настроен на длину волны 750 м
λ2 d
Ответ: ε =
=5,96
(Л.19.31; аналог В.14.4)
4π 2 v 2 Lε 0 S
3. Плоская монохроматическая электромагнитная волна с частотой 100 Мгц
переходит из вакуума в немагнитную среду с показателем преломления 2,45.
Найти изменение длины волны.
c⎛1 ⎞
(Л.19.41)
Ответ: ∆λ = ⎜ − 1⎟ =-1,78 м
ν ⎝n ⎠
4. Радиолокатор работает на длине волны 20,0 см и излучает 2000 импульсов в
секунду длительностью 0,0200 мкс каждый. Определить число колебаний в
одном импульсе и глубину действия радиолокатора.
c ⎛ t0
c
⎞
Ответ: N 1 = t имп =30; L = ⎜ − t имп ⎟ =75 км
(Л.19.38)
2⎝ N
λ
⎠
5. Плоская электромагнитная волна Ex=Emcos(ωt-kz) распространяется вдоль
оси OZ в среде с диэлектрической проницаемостью ε и магнитной
проницаемостью µ. Найти вектор Пойнтинга этой волны и его среднее
значение за период.
E m2 εε 0
εε 0
2
2
cos (ωt − kz ); < Pz >=
(Л.19.43)
Ответ: Pz = E m
µµ 0
2 µµ 0
6. В вакууме распространяется вдоль оси OZ плоская монохроматическая
волна. Средняя энергия, проходящая через единицу поверхности за единицу
времени равна 21,2 мкВт/м2. Определить амплитуду напряженности
электрического поля волны.
Ответ: E m = 2 < P >
µ0
=0,126 В/м
ε0
(Тр. Стр.187 пр.12)
7. В среде распространяется вдоль оси OZ плоская монохроматическая волна.
Амплитуда напряженности электрического поля волны 5,00 мВ/м,
амплитуда напряженности магнитного поля волны 1,00 мА/м. Определить
энергию, перенесенную волной за 10,0 мин через перпендикулярную
площадку с площадью поверхности 15,0 см2. Частота волны достаточно
велика.
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
64
Ответ: W=E0H0S∆t/2=2,25 мкДж
(Тр.4.174)
8. Энергия от источника постоянного напряжения U передается потребителю
по длинному прямому коаксиальному кабелю с пренебрежимо малым
активным сопротивлением. Ток равен I. Найти поток вектора Пойнтинга
через поперечное сечение кабеля. Внешняя оболочка кабеля тонкостенная.
Ответ: Ф=UI
(Ир.4.239, Ир.(учебник) стр.282 10.9; аналог Л.19.46)
9. По прямому проводнику круглого сечения течет ток I. Найти поток вектора
Пойнтинга через боковую поверхность участка данного проводника,
имеющего сопротивление R.
(Ир.4.235; аналог Л.19.45)
Ответ: Ф=I2R
10. Плоский воздушный конденсатор обкладки которого имеют форму дисков
радиуса 9,00 см подключен к переменному гармоническому напряжению
частоты ω=1000 1/c. Найти отношение амплитудных значений магнитной и
электрической энергии внутри конденсатора.
Wmmax ω 2 R 2
-14
=
Ответ:
2 =1,125⋅10
Wemax
8c
(Ир.4.232, Ир.(учебник) стр.282 10.10; аналог Л.19.47)
11. Найти среднюю мощность излучения электрона, совершающего колебания
по гармоническому закону с амплитудой 0,100 м и частотой ω=6,5⋅1014 1/c.
dW
k q 2ω 4 A 2
>=
=5,00⋅10-15 Вт
(Ир.4.249; аналог Л.19.49)
Ответ: <
3
dt
3 c
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
65
Использованные задачники
1. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики, М., Наука, 1990,
400 с
2. Балаш В.А. Сборник задач по курсу общей физики, М., Просвещение, 1978,
208 с
3. Сборник задач по курсу общей физики /под ред. М.С.Цедрика Москва,
Просвещение, 1989,271 с
4. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике, М., Наука, 1988,
288 с
5. Иродов И.Е Задачи по общей физике, М., Наука, 1988, 416 с
6. Сахаров Д.И. Сборник задач по физике, М., Просвещение, 1967, 287 с
7. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики, М., ВШ, 1991, 303 с
8. Бабаджан Е.И., Гервидс В.И., Дубовик В.М., Нерсесов Э.А. Сборник
качественных вопросов и задач по общей физике, М., Наука, 1990, 400 с
9. Бендpиков Г.А.,Буховцев Б.Б.,Кеpженцев В.В., и дp., Задачи по физике для
поступающих в ВУЗы, М.,Hаука, 1984, 400с
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
66
Содержание
§
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
раздел
Электростатика
Постоянный ток
Магнетизм
Колебания и волны
тема
Предисловие
Электрический заряд
Закон Кулона
Закон Кулона (продолжение)
Напряженность
Электрический диполь
К/Р №1.«Закон Кулона. Напряженность»
Потенциал
Проводники
Диэлектрики
Электроемкость
Электростатическая энергия
К/Р №2 «Потенциал. Энергия»
Закон Ома
Правила Кирхгофа
Работа и мощность тока
Ток в металлах
Ток в газах и вакууме
Ток в электролитах
Электролиз
К/Р №3 «Постоянный ток»
Магнитное поле прямолинейных токов
Магнитное поле круговых токов
Законы магнетизма
Движение заряженных частиц
Электромагнитная индукция
Магнитные свойства вещества
К/Р №4 «Магнетизм»
Колебательный контур
Переменный ток
Переменный ток (продолжение)
Переменные поля
Уравнения Максвелла. Электромагнитные
волны
Электромагнитные волны (продолжение)
К/Р №5 «Колебания и волны»
Дополнительные задачи
Литература
стр
3
4
5
7
9
11
12
13
15
17
19
21
22
23
25
27
29
31
33
35
36
37
39
41
43
45
47
48
49
51
53
55
57
59
60
61
63
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
67
Учебное издание
Электричество и магнетизм
Сборник задач
Составители
Грибков Александр Иванович
Романов Роман Васильевич
Оригинал-макет предоставлен авторами.
Подписано в печать 24.06.2004. Формат 60×90/16.
Бумага офсетная. Печать трафаретная.
Усл. печ. л. 4,0. Тираж 200 экз. Заказ 04/078.
Отпечатано в Издательском центре
Тульского государственного педагогического университета им. Л. Н. Толстого.
300026, Тула, просп. Ленина, 125
«Электричество и магнетизм» Сборник задач. Составители: А.И.Грибков, Р.В.Романов
68