Проект изучения темы «Тригонометрические уравнения и неравенства» (10 класс).

Проект изучения темы «Тригонометрические уравнения и неравенства»
(10 класс).
Урок-лекция по теме «Решение уравнений и неравенств sin x=a(<,>).
Арксинус числа. Свойство арксинуса.»
[А. и н.а. 10-11], Г. VI
Выполнил студент гр. МИ-10 ФЕМиКН НГПУ им. Козьмы Минина
Коржавин Максим
Обзор математической и методической литературы по теме
1. Алгебра. 10 класс: поурочные планы к учебнику Ш.А. Алимова и др./авт. – сост. Е. Г. Лебедева.
– Волгоград: Учитель, 2007. – 207 с.
Издание представляет собой поурочные планы по алгебре для 10 класса и предназначено, в первую
очередь, для работы с учебником Ш.А. Алимова и др.
В теме «Тригонометрические уравнения» рассматриваются следующие дидактические единицы:
Понятия: уравнения cosx=a, sinx=a, tgx=a, решение уравнений : сводящиеся к квадратным, с помощью
замены переменной, разложения на множители, формул универсальной подстановки, однородные и
неоднородные тригонометрические уравнения.
2. Бескин Н.М. Вопросы тригонометрии и ее преподавания. - М.: Учпедгиз, 1950.
Книга представляет собой методическое пособие. В книге описывается основные разборы вопросов
связанных с построение курса тригонометрии в средней школе. Книга предназначена для учителей
математики, студентов пединститутов.
Обоснование и последовательность вопросов при составлении урока связанных с решением
тригонометрических уравнений рассматривается в V главе. Далее рассматриваются различные
приемы для решения тригонометрических уравнений.
3. Теория и технология обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов
математических специальностей педагогических вузов/Под ред. Т. А. Ивановой. 2-е изд.,
испр. и доп. – Н. Новгород: НГПУ, 2009. 355 с.
Издание представляет собой учебное пособие для студентов математических специальностей
педагогических вузов.
В данном пособии рассматривается структура проведение урока семинар-практикум.
4. Кузнецова Л.И. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа: Учебно-методическое
пособие для студентов факультета математики, информатики и физики. Н.Новгород: НГПУ,
2007, 60 с.
Издание представляет собой учебное пособие для студентов математических специальностей
педагогических вузов. В нем выделены основные типы, методы и приемы решения
тригонометрических задач. В § 2.4. рассматриваются различные методы решения
тригонометрических уравнений.
5. Кузнецова Л.И. Тригонометрические уравнения, неравенства, системы. Часть 1: Учебнометодическое пособие для студентов факультета математики, информатики и физики.
Н.Новгород: НГПУ, 2008, 56 с.
Издание представляет собой учебное пособие для студентов математических специальностей
педагогических вузов. В нем содержится тематический план, основные теоретические
положения, выделены основные типы, методы и приемы решения тригонометрических
уравнений. В §3.1. рассматриваются тригонометрические уравнения sinx,cosx и отбор корней
алгебраическим и тригонометрическим способом. Далее в пособии рассматриваются методы
решения тригонометрических уравнений в общем виде с примером решения. Подробно
рассматривается свойство ограниченности множества значений sinx и cosx, свойство
монотонности.
6. В.В.Репьев. Методика тригонометрии .-М.:Учпедгиз, 1937.
Книга представляет собой методическое пособие. В книге описывается основные разборы
вопросов связанных с построение курса тригонометрии в средней школе и так же
представлены фрагменты уроков. Книга предназначена студентов пединститутов.
Обоснование и последовательность вопросов при составлении урока связанных с решением
тригонометрических уравнений рассматривается в ХV главе. Далее рассматриваются
интересные тригонометрические решения для работе в кружке.
7. Элементарная математика: элементарные функции: Методические рекомендации для
студентов математического факультета/ авт. – сост. С.В. Кириллова, О. К. Огурцова. - Н.
Новгород: НГПУ, 2006.
Данное издание представляет собой методические рекомендации для студентов
математического факультета. Методические рекомендации содержат программу
дисциплины «Элементарная математика: элементарные функции», планы практических
занятий с выделением основных типов и методов решения задач, список рекомендуемой
литературы, список задач к зачёту.
Общая характеристика темы:
 особенности и роль темы в математике (включая историческую справку) и в
школьном курсе математики;
Тригонометрические уравнения является наиболее важным этапом изучения тригонометрии
и наиболее трудным для восприятия материалом в школьном курсе алгебры. При изучении
тригонометрических уравнений в школьном курсе математики постепенно расширяются
понятия, причем рассматриваются не уравнения, а вводится понятие тригонометрической
функции и построение графиков функций.
В настоящее время тригонометрию изучают в старших классах школы. Материал соответственно
разделен на три части, которые изучаются в разные периоды времени обучения. Впервые
тригонометрические выражения появляются в курсе планиметрии, после теоремы Пифагора или
непосредственно перед ней. Используются они преимущественно для решения плоских
треугольников. При этом отрабатываются первоначальные навыки работы с таблицами
тригонометрических функций. Ученики усваивают определения синуса, косинуса и тангенса острого
угла.
Во второй раз тригонометрические функции определяются с помощью производящей окружности.
Постепенно переходят к рассмотрению тригонометрических функций любого аргумента,
выраженного в радианах, и соотношений между ними. Школьников обучают строить графики
функций, рассматриваются некоторые свойства.
В третьей части изучаются решения тригонометрических уравнений и неравенств. Рассматривается
приложение тригонометрических функций в физике при изучении гармонических колебаниях.
Историческая справка:
Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников.
В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е.
определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое
количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и
других приводятся к задаче решения треугольников.
Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом.
Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии
понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами
треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием
Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами
начали называть тригонометрическими функциями.
Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани(850-929) и Абуль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с
точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти
неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274).
Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил
плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.
Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника
и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в
работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В
римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и
не приобрели специального названия. Современный синус, например, изучался как полухорда, на
которую опирается центральный угол величиной, или как хорда удвоенной дуги.
Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т.
е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”).
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также
котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые
таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались
неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким
математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан
составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и
сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.
Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens
переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).
 программа по математике: инвариантное содержание темы;
Примерная программа по математике составлена на основе федерального компонента
государственного стандарта среднего (полного) общего образования на базовом уровне.
Примерная программа конкретизирует содержание предметных тем образовательного
стандарта и дает примерное распределение учебных часов по разделам курса.
Тригонометрические уравнения рассматриваются в разделе тригонометрия.
Основное содержание раздела функции: Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла.
Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические
тождества. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и
косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических
функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через
тангенс половинного аргумента. Преобразования тригонометрических выражений.
Простейшие тригонометрические уравнения. Решения тригонометрических уравнений. Простейшие
тригонометрические неравенства.
Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа.
В результате изучения данной темы ученик:
научится:




находить табличные значения, что необходимо для безошибочного решения
тригонометрических уравнений.
понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические
обозначения);
строить графики тригонометрических функций; исследовать свойства
тригонометрических функций;
распознавать типы тригонометрических уравнений и методы их решения;
получит возможность научиться:
• проводить исследования, связанные с изучением свойств функций (область определения и
множество значений, четность, нечетность, периодичность), в том числе с использованием
компьютера; на основе графиков изученных функций строить обратные
тригонометрические функции;
• использовать функциональные представления и свойства функций в применении
производной к исследованию функций .
 сравнительный анализ содержания темы в различных школьных учебниках.
В учебнике Ш. А. Алимова и др. тема «Тригонометрия» отделена в отдельную главу VI главу
«Тригонометрические уравнения » и рассматривается после главы «Тригонометрические
формулы». Изучение темы начинается с рассмотрения конкретных простейших уравнений, решение
которых иллюстрируется на единичной окружности, что хорошо подготовлено материалом главы
“Тригонометрические формулы”.
Понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса вводятся до знакомства с обратными
тригонометрическими функциями (тригонометрические функции изучаются в 11 классе) и
иллюстрируются также на единичной окружности. В дальнейшем не следует уделять много
внимания упражнениям на нахождение значений и использование свойств арксинуса, арккосинуса,
арктангенса: все это будет закрепляться в ходе решения уравнений. При решении уравнений полезно
иллюстрировать нахождение корней на единичной окружности: это позволит осознанно применять
формулы корней.
Решение более сложных тригонометрических уравнений рассматривается на примерах
уравнений, сводящихся к квадратным, уравнений вида a sin x + b cos x = c, уравнений,
решаемых разложением левой части на множители. Таким образом, схема изучения выглядит
так: функция → преобразования→ уравнения.
Совершенно другая структура изложена в учебнике Колмогоров А.Н. Учебник содержит 4
главы. Схема изучения материала по теме «Решение тригонометрических уравнений и
неравенств» радикально отличается от предыдущих, т.к. сначала рассматриваются
тригонометрические функции числового аргумента и основные формулы тригонометрии. В
этой же первой главе, но несколько позже, рассматриваются основные свойства
тригонометрических функций, их графики и их исследование. После этого вводятся понятия
арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс и «параллельно» с этим решение
простейших тригонометрических уравнений и неравенств. Автор не называет методов
решения тригонометрических уравнений, а описывает алгоритм их решения. Тоже касается и
решения тригонометрических неравенств. Таким образом, схема изучения выглядит так:
преобразования → функции → уравнения.
Другая структура введения тригонометрических уравнений изложена в учебнике А. Г.
Мордковича. Учебник разбит на 8 глав. В конце изучения каждой главы чётко обозначены
основные результаты изучения. Курс изучения математики в 10 классе начинается с
изучения главы «Тригонометрические функции». Здесь автор вводит понятия
тригонометрической окружности на координатной плоскости, понятия синус и косинус,
основные тригонометрические соотношения с ними связанные, решения простейших
уравнений по тригонометрической окружности. Как таковые формулы приведения вводятся
после изучения тригонометрических функций углового аргумента. Далее рассматриваются
свойства и графики тригонометрических функций. Во второй главе «Тригонометрические
уравнения» подробно рассматривается решение каждого простейшего тригонометрического
уравнения, на основе ранее введенных понятий арксинуса, арккосинуса, арктангенса. В
этой же главе рассмотрены такие методы решения: разложение на множители и введение
новой переменной; метод решения однородных тригонометрических уравнений. Другие
методы решения рассматриваются после изучения третьей главы «Преобразование
тригонометрических выражений». Здесь схема изучения выглядит следующим
образом: функция → уравнения → преобразования.
Логико-дидактический анализ содержания темы
Анализ теоретического материала
Алгебра. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю.
В. Сидоров и др.]. – 16-е изд. – М. : Просвещение, 2011 – 287 с. : ил. Глава 6, § 33 - 37
Выделим основные дидактические единицы:
- понятия: арксинус, арккосинус, арктангенс;
- формулы: арксинус, арккосинус, арктангенс.
1. Определение арккосинуса.
Арккосинусом числа a⋲[-1; 1] называется такое число а⋲[0; π], косинус которого равен а:
Arccos a= a, если сos a= a и а⋲[0; π]
2. Все корни уравнения сos х= a, где a⋲[-1; 1], можно находить по формуле:
X=±arccos a + 2 πn, n⋲Z
3. Для любого a⋲[-1; 1] справедлива формула:
Arcos(-a)= π- arcos a
Эта формула позволяет находить значения арккосинусов отрицательных чисел через значения
арккосинусов положительных чисел.
4. Арксинусом числа a⋲[-1; 1] называется такое число а⋲[ π/2; π/2], синус которого равен а:
Arcsin a= a, если sin a= a и а⋲[ π/2; π/2],
5. Все корни уравнения sin х= a, где a⋲[-1; 1], можно находить по формуле:
X= (-1)ᶰarcsin a + πn, n⋲Z
6. Для любого a⋲[-1; 1] справедлива формула:
Arcsin(-a)= - arcsin a
Эта формула позволяет находить значения арксинусов отрицательных чисел через значения
арксинусов положительных чисел.
7. Арктангенсом числа а⋲ R называется такое число a⋲( π/2; π/2), тангенс которого равен а:
Arctg a=a, если tg a=a и а⋲( π/2; π/2)
8. Все корни уравнения tg x= a, где а⋲ R.
X=±arctg a + πn, n⋲Z
9. Для любого a⋲R справедлива формула:
Arctg(-a)= - arctg a
Эта формула позволяет находить значения арктангенсов отрицательных чисел через значения
арктангенсов положительных чисел.
Вывод по анализу теоретического материала
Перед введением определений необходимо повторить определения: cинуса, косинуса, тангенса,
формулы приведения.
Ещё какие выводы?
Не все дидактические единицы рассмотрены: где анализ решения простейших
тригонометрических уравнений, их формул корней?
Анализ задачного материала
При изучении темы "Тригонометрические уравнения и неравенства" у школьников
необходимо сформировать следующие умения:
-безошибочно определять все основные элементы тригонометрических функций.
-исследовать свойства тригонометрических функций
- решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, сводящиеся к
простейшим разными способами;
-решать тригонометрические неравенства методом введения новой переменной;
Анализ задач показал, что в теме "Тригонометрические уравнения и неравенства" можно
выделить следующие группы задач:
1. Уравнения и неравенства, сводящиеся к квадратным.
Задачи:630,574,576,581,586,587,594,594,596,602,604,605,606,615,616,617,634,645
Ключевая задача: №630
2. Уравнения и неравенства вида a sin x + b cos x = c
Задачи:625,575,579,580,584,585,588,589,592,593,607,608,609,610,611,612,618,619,620,621626,6
27,630,658,678
Ключевая задача:№625
3. Уравнения и неравенства, решаемые разложением левой части на множители.
Задачи:631,577,578,582,583,590,591,599,600,605,603,613,614,622,623,624,625,675,689
Ключевая задача: №631
4. Уравнения и неравенства смешанного типа (использование несколько методов)
Задачи:688,679,683,684,687
Ключевая задача:№688
Выводы из анализа задачного материала:
В учебнике Ш.А.Алимова широко рассмотрены различные методы решения
тригонометрических уравнений и неравенств, формулы выведены на первое место, однако,
простейшим уравнениям внимания уделено недостаточно.
Постановка учебных задач, диагностируемых целей.
1.Учебная задача: Рассмотреть простейшее тригонометрическое уравнения и неравенства.
Дать определение arc числа a. Изучить основные свойства arc a и использования его для
записи решений тригонометрических уравнений и неравенств.
2. Диагностируемые цели.
В результате урока ученик
- знает
Формулы универсальной подстановки ;
Различные приемы решения тригонометрических уравнений:
приведение уравнения к квадратному уравнению относительно одной из функций,
приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса,
возведение обеих частей уравнения в квадрат, разложение левой части уравнения на множители ;
Формулы двойного угла;
Формулы половинного угла;
Формулы приведения
- понимает:
Как применять приемы решения тригонометрических уравнений,
Взаимосвязь тригонометрического уравнения и приема решения к нему;
- умеет:
Применять различные приемы для решения тригонометрических уравнений.
Тематическое планирование.
№
Тема урока
Тип урока
урока
1
Решение
Урок
уравнений и
изучения
неравенств sin
нового
Учебная задача
урока
Повторить понятие
синуса. Ввести
понятие арксинуса,
Методы
обучения
Эвристическая
беседа, УДЕ
x=a(<,>). Арксинус
числа. Свойство
арксинуса
2
Решение
уравнений и
неравенств sin
x=a(<,>). Арксинус
числа. Свойство
арксинуса
Решение
уравнений и
неравенств cos
x=a(<,>).
Арккосинус
числа. Свойство
арккосинуса
Урокпрактикум
Решение
уравнений и
неравенств cos
x=a(<,>).
Арккосинус числа.
Свойство
арккосинуса
Решение
уравнений и
неравенств tg x=a
(<,>). Арктангенса
числа. Свойство
арктангенса.
Урокпрактикум
6
Уравнение
tg x=a
Урокпрактикум
7
Решение
Урок
тригонометрическ усвоения
их уравнений
теории
3
4
5
Урок
изучения
нового
Урок
изучения
нового
формулу решения
уравнения sin x=a и
неравенств sin x>a и
sin x<a, частные
случаи решения
уравнения. Изучить
основные свойства
arcsin a.
Отработать умения и
навыки решать
простейшие
тригонометрические
уравнения и
неравенства.
Повторить понятие
синуса. Ввести
понятие арксинуса,
формулу решения
уравнения cos x=a и
неравенств cos x>a и
cos x<a, частные
случаи решения
уравнения. Изучить
основные свойства
arccos a.
Отработать умения и
навыки решать
простейшие
тригонометрические
уравнения и
неравенства.
Повторить понятие
синуса. Ввести
понятие арксинуса,
формулу решения
уравнения tg x=a и
неравенств tg x>a и tg
x<a, частные случаи
решения уравнения.
Изучить основные
свойства arctg a.
Отработать умения и
навыки решать
простейшие
тригонометрические
уравнения и
неравенства.
Отработать умение
решать простейшие
тригонометрические
Репродуктивный,
частичнопоисковые
Эвристическая
беседа, УДЕ
Репродуктивный,
частичнопоисковые
Эвристическая
беседа, УДЕ
Репродуктивный,
частичнопоисковые
Репродуктивный,
частичнопоисковые
8
Решение
тригонометрическ
их уравнений
9
Решение
тригонометрическ
их уравнений
10
Основые приемы
решения
тригонометрическ
их уравнений
11
Примеры решения
простейших
тригонометрическ
их неравенств
12
Заключительный
урок
13
Заключительный
урок
14
Контрольная
работа
уравнения и
неравенства.
Урок
Отработать умение
решения
решать различного
задач
вида
тригонометрических
уравнений и
неравенства.
Урок
Организовать
контроля
деятельность
школьников по
самостоятельному
применению знаний в
ходе выполнения
письменной работы
Урок
Введение некоторых
семинарвидов
практикум
тригонометрических
уравнений. В виде
докладов учащиеся
выявляют виды
тригонометрических
уравнений и методы,
приёмы их решения
Урок решения Отработать умение
решать простейшие
задач
тригонометрические
задачи, закрепить
умение решать
тригонометрические
уравнения по
алгоритму.
Урок
обобщить и
обобщения и систематизировать
систематизац знания учащихся по
ии
теме:
«Тригонометрические
уравнения и
неравенства.».
Урок
обобщить и
обобщения и систематизировать
систематизац знания учащихся по
ии
теме:
«Тригонометрические
уравнения и
неравенства.».
Урок
Организовать
контроля
деятельность
школьников по
самостоятельному
применению знаний в
Репродуктивный,
частичнопоисковые,
метод УДЕ
Репродуктивный,
частичнопоисковые
Эвристическая
беседа,
репродуктивный,
частичнопоисковые
Репродуктивный,
частичнопоисковые,
метод УДЕ
Репродуктивный,
частичнопоисковые
Репродуктивный,
частичнопоисковые
Репродуктивный,
частичнопоисковые
ходе выполнения
письменной работы
Конспект урока по теме: «Решение уравнений и неравенств sin
x=a(<,>). Арксинус числа. Свойство арксинуса.»
Название учебника:
Алгебра: учеб. Для 10-11кл. общеобразовательных учреждений/ Ш. А. Алимов, Ю. М.
Колягин, Ю. В. Сидоров и др.-10-е изд. -М.:Просвещение, 2002.- 168стр. Глава 6, Пар.33.
Тип урока: Урок-лекция .
Цели урока:
Учебная задача урока: В совместной деятельности с учащимися вывести формулы решения
простейших тригонометрических уравнений и неравенств sinx=a, sinx<a, sinx>a.
Сформулировать определение arcsin a, изучить его основные свойства.
Диагностируемые цели:
В результате урока ученик:
Знает: определение арксинуса, формулу решения уравнения sin x=a и неравенств sinx<a, sin
x>a, частные случаи решения (а=1, а=-1, а=0)
Умеет:решать простейшие тригонометрические уравнения.
Понимает:связь между корнями тригонометрических уравнений и решениями неравенств.
Методы обучения:
 УДЕ
 Репродуктивный
 Частично-поисковые
 Эвристическая беседа
Формы работы: фронтальная.
Средства обучения: традиционные, презентация, раздаточный материал.
Структура урока:
Мотивационно-ориентировочный этап(5 мин),
Содержательный этап(37 мин),
Рефлексивно-оценочный этап(3 мин).
Ход урока:
1) Мотивационно-ориентировочный этап.
Действия учителя
Действия ученика
Актуализация.
Какие мы прошли с вами
тригонометрические
функции?
Синус, косинус, тангенс,
котангенс.
Записи на доске и в
тетрадях
Сформулируйте
определение sin угла х?
sin x - ордината точки
единичной окружности,
полученной поворотом
точки P(1;0) вокруг начала
координат на угол x.
Как изменяется функция
sin x c изменением угла?
Мотивация.
Мы знаем, как находить
значения функций sin x,
cos x,tg x ,ctg x, но как
решить задачу обратную
данной?
Сегодня на уроке мы будем
изучать
тригонометрические
уравнения и неравенства,
т.е. решать задачу
обратную для нахождения
sin x.
Введем определение arcsin
a, изучим его основные
свойства.
2) Содержательный этап.
Действия учителя
Какая область значения у функции
sin x?
Тогда при каких значениях а, уравнение
sin x=a будет иметь корни?
Рассмотрим уравнение sin x=а и
неравенствах sin x>a и sin x<a, при
1
а=
2
Отметим на единичной окружности
1
точки, в которых sin 𝑥 = 2
Сколько в результате точек мы
получили?
Каким углам эти точки соответствуют?
Действия ученика
[-1;1]
а ∈ [−1; 1]
2
1
𝜋
Т.к. 2 = sin 6 , то
точка 𝑀1
получается из
точки P(1;0)
поворотом на угол
𝜋
𝑥1 = 6
Записи на доске и в тетрадях
А точка 𝑀2 ?
1
5𝜋
Т.к. = sin , то
2
6
точка 𝑀2
получается из
точки P(1;0)
поворотом на угол
5𝜋
𝑥2 = 6
1
На каком интервале sin x > 2 ?
1
Где начальная точка этого интервала?
Где конечная?
(2;1]
1
2
1
𝜋
т.е. основной первый промежуток 6 <
5𝜋
𝑥< 6
Как найти следующий интервал?
На каком интервале будет иметь
решение неравенство?
Необходимо к
левой и правой
части прибавить
полный оборот
(2 𝜋)
𝜋
5𝜋
+ 2𝜋𝑘 < 𝑥 <
6
6
+ 2𝜋𝑘
Назовите промежуток, где sin x< 2.
Покажите точку, с которой мы входим в
этот промежуток?
1
[−1; )
2
5𝜋
6
Покажите точку, в которой мы выходим
из промежутка?
𝜋
6
1
Когда мы в ходим в интервал в точку
5𝜋
3𝜋
по пути нам попадаются точки 𝜋, 2
6
и т.д.
Какой угол поворота надо выполнить,
чтобы попасть в эту точку?
2𝜋
Значит на каком интервале будет
находится решение неравенства
1
sin x< 2 ?
5𝜋
𝜋
+ 2𝜋𝑘 < 𝑥 <
6
6
+ 2𝜋𝑘
но данная запись не корректна, т.к.
𝜋 5𝜋
<
6 6
Как мы можем еще обозначить точку
5𝜋
6
−7𝜋
6
?
Таким образом решение данного
неравенство будет иметь вид:
−7𝜋
𝜋
+ 2𝜋𝑘 < 𝑥 < + 2𝜋𝑘
6
6
Аналогично, рассмотрим уравнение sin
x=а, и неравенствах sin x>a и sin x<a,
1
при а= - -2.
Отметим на единичной окружности
1
точки, в которых sins x= - 2
Сколько в результате точек мы
получили?
2
Каким углам эти точки соответствуют?
1
Абцисса, равная - 2 имеет две точки
1
окружности 𝑀1 и 𝑀2 Так как − 2 =
𝜋
sin − 6 , то точка 𝑀1 получается из
точки (1,0) поворотом на угол
𝜋
𝑥1 = − 6 ,
𝜋
а так же углы 𝑥 = − 6 + 2𝜋𝑘, где к Z.
А точка 𝑀2 получается из точки P(1,0)
5𝜋
поворотом на угол 𝑥2 = − 6 , а так же
5𝜋
углы 𝑥 = − 6 + 2𝜋𝑘.
Итак, уравнение sin x=а имеет два
множества корней
𝜋
5𝜋
𝑥1 = − 6 + 2𝜋𝑘 и 𝑥2 = − 6 + 2𝜋𝑘, к Z.
Тогда какое решение будут иметь
неравенство sin x>a?
−𝜋
+ 2𝜋𝑘 < 𝑥
6
7𝜋
6
+ 2𝜋𝑘
<
а sin x<a?
Таким образом, каждое из этих
−𝜋
+ 2𝜋𝑘 < 𝑥
6
5𝜋
<−
+ 2𝜋𝑘
6
1
1
уравнений sin 𝑥 = 2 и sin 𝑥 = − 2
имеет бесконечное множество корней.
Как мы решим наше уравнение или
неравенство, если значение sin x равно
не табличному значению?
2
Рассмотрим уравнение sin x= 3.
Рассмотрим на единичной окружности,
точки, при которых абсцисса угла х
равна 2/3. Тогда, как будет выглядеть
наше решение?
𝑥1 = 𝑡 + 2𝜋𝑘, к Z и 𝑥2 = −𝑡 + 2𝜋𝑘, к Z.
0<t<𝜋
2
Теперь рассмотрим sin x= − 3.
-𝜋 <𝑡 <0
Каждое из уравнений
2
2
𝜋 𝜋
sin x= 3 и sin x= − 3 на отрезке [− 2 ; 2 ]
Имеет только один корень.
Что же такое t?
Для записи решения не табличных
значений а введем понятие — арксинус
числа а.
НО уравнение sin x=a, где 𝑎 ∈ [−1; 1],
𝜋 𝜋
имеет на отрезке [− 2 ; 2 ] только один
корень.
Если а>=0, то корень заключен в
𝜋
промежутке [0; 2 ], но если а<0, то в
𝜋
промежутке [− 2 ; 0). Этот корень
называют арксинусом числа а и
обозначают arcsin a.
Итак, арккосинусом числа а, модуль
которого не больше единицы,
называется такое число t из
𝜋
𝜋
промежутка − 2 < 𝑡 < 2 , синус которого
равен а:
arcsin a=t
𝜋
𝜋
, если − 2 < 𝑡 < 2 и sin t=a.
Тогда решение уравнения sin x=а
запишется:
𝑥 = arcsin 𝑎 ± 2 𝜋𝑘 , k∈ 𝑍
А значит неравенство sin x>a какое
будет иметь решение?
𝜋
(arcsin a+2 𝜋𝑘 ≤ х≤arcsin а + 2 +2 𝜋𝑘, кєZ)
Неравенство sin x<a какое будет иметь
решение?
𝜋
(-arcsin a+2 𝜋𝑘 ≤ х≤-arcsin- 2 +2 𝜋𝑘, кєZ).
Такое решение имеет значение при
a  1, a  0.
А если |a|>1, сколько тогда решений
будет иметь уравнение sin х=а?
- Не будет иметь
решений.
Рассмотрим пример:
3
arcsin x = 4
3
> 1?
4
Нет
Значит можем найти x?
Да
Как запишем неизвестное?
3
3
Обозначим arcsin a=х. По определению
арксинуса числа имеем:
𝜋
𝜋
1) - 2 ≤ х≤ 2 ;
2) sin x=a;
В первом случае, по свойствам неравенств
𝜋
𝜋
получаем - 2 ≤ х≤ 2 , умножим -1:
𝜋
3
𝜋
arcsin 4+2 𝜋𝑘 ≤ х≤arcsin 4 + 2 +2 𝜋𝑘,
кєZ
А если нам дано уравнение arcsin x > 4
Что в ответе получим?
Поставим уравнение arcsin a=t
в уравнение sin x=a.
Таким образом мы получаем, что
arcsin(arcsin a)= а, если a  1, a  0.
𝜋
3
x=arcsin(4) + 2𝜋𝑘, к Z
- 2 ≤ -х≤ 2 ;
Во втором случае, по формуле
приведения найдем значение sin(-х)=
-sin(х)=-а.
Найдем по определению arsin(-a)= -х=
-arcsin а.
Таким образом мы получили свойство
арксинуса:
arsin(-a)= -arcsin а.
Рассмотрим задачу:
arcsin 1 - arcsin (-1);
интервал
𝜋
arcsin 1 = 2 ;
𝜋
arcsin (-1) по свойству = arcsin 1 =
2
𝜋 𝜋
− =0
2 2
3) Рефлексивно-оценочный этап
Действия учителя
Действия ученика
Какие новые понятия мы с
Решение уравнений, ввели
вами разобрали на уроке?
понятие арксинуса.
Что называется arcsin числа
а?
При каких значениях а
имеет смысл равенство
arcsin a=x?
Какое свойство арксинуса
мы узнали на этом уроке?
Домашнее задание: № 569, №571(1)
Домашнее задание.
№586 (2,4,6)
Вычислить:
№589
Решить уравнения:
№593
№651
Решить неравенства:
Записи на доске и в
тетрадях