1.6. Основные характеристики постоянного электрического тока

1.6. Основные характеристики постоянного электрического тока
Как отмечалось ранее, проводники являются таковыми по причине наличия в них
большого числа носителей заряда, способных
относительно легко перемещаться в пределах
рассматриваемого образца. Металлы, как
правило, являются хорошими проводниками
тепла и электрического тока именно благодаря свободным электронам. Если металлический проводник (рис. 1.67) поместить в однородное электрическое поле напряжённостью
r
Рис. 1.67. Направленное движение носителей
E , то на каждый свободный электрон (e ≅
электрического заряда в проводнике
1,6⋅10 − 19 Кл, me ≅ 1⋅10 − 30 кг), в классическом
представлении, будет действовать элементарная сила Кулона. Как и всякий материальный
объект, электрон начнёт двигаться в направлении, противоположном направлению вектора
напряжённости поля (элементарный заряд электрона принято считать отрицательным).
Если бы в распоряжении исследователей был маленький человечек, то он бы обнаружил,
что через сечение проводника S, за которым он приставлен наблюдать, в одном направлении
движутся электроны, что собственно и означает возникновение электрического тока. Направлением тока условились считать направление движения положительных зарядов. Таким
образом, электрический ток есть направленное движение носителей зарядов. В металлах
направление тока принимается противоположным движению электронов проводимости. Линии, вдоль которых перемещаются
носители заряда, по аналогии с гидромеханикой называются линиями тока (рис. 1.68).
Совокупность линий тока образует трубку
тока, которая позволяет качественно и колиРис. 1.68. Трубка тока
чественно охарактеризовать направленное
движение носителей заряда. Движущиеся в
электрическом поле носители не пересекают
поверхность трубки тока. Поверхность проводника, расположенного в диэлектрической
среде представляет собой трубку тока.
Выделим в проводнике физически малый
объём (рис. 1.69) внутри которого направr
ленно движутся со средней скоростью u
носители заряда. В металлах электроны, будучи свободными частицами, в соответствие
с законами термодинамики находятся в соРис. 1.69. Элементарный объём проводника
стоянии непрерывного хаотического теплового движения, причём средняя скорость < v > теплового движения определяется как
3k BT
< v >=
,
(1.117)
me
где kB ≅ 1,4⋅10 − 23 Дж/К − постоянная Больцмана, Т − абсолютная температура, me − масса
электрона. В отличие от спонтанно направленной скорости теплового движения скорость
r
под действием силы Кулона u будет направленной, её называют средней дрейфовой скоро-
58
стью. Пусть в рассматриваемом металлическом проводнике в единице его объёма содержится n электронов. Выделим далее элементарную площадку dS, перпендикулярную вектору
дрейфовой скорости, являющуюся основанием цилиндра с высотой udt. Все носители заряда, содержащиеся внутри этого цилиндра, через площадку dS за время dt перенесут заряд
dq = n ⋅ e ⋅ u ⋅ dS ⋅ dt .
(1.118)
Пронормируем уравнение (1.118) относительно площади и времени
dq
= j = neu ,
(1.119)
dSdt
где j − плотность тока, т.е. сила тока i = dq/dt, отнесённая к площади. Плотность тока величина векторная, что определяется направленными свойствами дрейфовой скорости
r
r
j = neu .
(1.120)
Модуль плотности тока определяет величину заряда, переносимого электрическим полем
r
в единицу времени через единицу площади. Направление вектора j совпадает с направлением дрейфовой скорости носителей заряда. Если в процессе участвуют несколько типов
носителей заряда, например положительные и отрицательные ионы, то вектор плотности
тока определяется в виде суммы
r i=n
r
j = ∑ n i ei u i .
(1.121)
i =1
Используя понятие плотности тока, заряд, переносимый через площадку dS можно определить следующим образом
(1.122)
dq = j dS dt ,
а силу тока, как
dq ⎡ Кл
⎤
(1.123)
i=
,
= А⎥ .
dt ⎢⎣ с
⎦
Сила тока является величиной скалярной, т.к. представляет собой частное от деления
двух не векторных величин. О силе тока в 1 ампер говорят тогда, когда через поперечное
сечение проводника в течение одной секунды перемещается заряд в 1 кулон. На практике
пользуются как большими 1 ампера величинами, килоамперами − (1 кА = 103 А), мегаамперами − (1 МА = 106 А), так и меньшими: миллиамперами −(1 мА = 10 − 3 А) и микроамрерами
(1мкА = 10 − 6 А). Размерность плотности тока получается из анализа очевидного соотношения
di
⎡A⎤
(1.124)
j=
, ⎢ 2⎥.
dS ⎣ м ⎦
Силу тока, в случае не перпендикулярности элементарной площадки вектору дрейфовой
скорости, можно выразить через плотность тока следующим интегралом
i = ∫ jn dS ,
(1.125)
S
r
где jn − проекция вектора плотности тока на направление внешней нормали n .
Вернёмся далее к закону сохранения заряда, представленного нами ранее в виде
i=n
∑q
i
= const .
(1.126)
i =1
Выразим этот фундаментальный закон через такие макропараметры как: объёмную плотность заряда ρ и плотr
ность электрического тока j . Выделим в проводящей среде
произвольную замкнутую поверхность S, ограничивающую
объём V (рис. 1.70). Количество электричества, покидающего выделенный объём в единицу времени представится
интегралом
(1.127)
∫ jn dS .
S
59
Рис. 1.70. Элементарный объём
Сравнивая уравнения (1.125) и (1.127), запишем
dq
−
= jn dS .
dt ∫S
Выразим далее заряд через его объёмную плотность
q = ∫ ρdV ,
(1.128)
(1.129)
V
а поверхностный интеграл (1.128) преобразуем в объёмный
r
∫ jn dV = ∫ div j dV .
S
(1.130)
V
r
d
ρdV = − ∫ div j dV .
(1.131)
∫
dt V
V
Так как соотношение (1.131) справедливо для всего объёма V, то его можно переписать
следующим образом
r
∂ρ
= −div j .
(1.132)
∂t
Что, собственно, и является математическим выражением закона сохранения заряда
применительно к макроскопической электродинамике. Соотношение (1.132) ещё называют
уравнением неразрывности. Если сила тока не изменяется во времени (случай постоянного
тока), то ρ = const, т.е.
r
div j = 0 .
(1.133)
Величина плотности тока оказалась удобной не только для теоретического рассмотрения
процессов, поскольку это векторная характеристика, но и для практического применения в
электротехнике. Дело в том, что одной из постоянно решаемых на практике задач является
выбор площади сечения проводников под определённую нагрузку, а также по заданной площади проводника определение допустимой силы тока.
Рассмотрим пример: в рентгеновской трубке
пучок носителей заряда (электронов) с плотностью
тока j = 0,2 А/мм2 попадает на скошенный под углом α = 300 торец металлического круглого электрода площадью сечения s = 4⋅10 − 4 м2. Найти силу
тока в стержне. Для решения задачи необходимо
воспользоваться уравнением (1.25) с учётом постоянства сечения проводника и силы тока
j⋅s
0,2 ⋅ 10 6 ⋅ 4 ⋅ 10 −4
I=
≅
≅ 10 A
sin α
0,87
Вот ещё один пример использования плотности тока. Температура вольфрамовой спирали электрической лампочки равна t = 2000 0С, диаметр проволоки составляет d = 2⋅10 − 4 м,
сила тока I = 2 А. Найти напряжённость электрического поля в проводнике. Запишем для
начала уравнение плотности силы тока j
I
4I
E
= = 2,
j = λE =
ρ R (0 ) s πd
откуда
4Iρ R (0 ) (1 + αt ) 4 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 10 −8 (1 + 5 ⋅ 10 −3 ⋅ 2 ⋅ 103 )
В
≅
≅ 37 .
E=
2
−8
πd
3 ⋅ 4 ⋅ 10
м
60