Урок математики. 11 класс. 6 октября 2010 г.

Урок математики. 11 класс. 6 октября 2010 г.
Преподаватель ГОУ № 671 Манасевич Н.А.
РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ЦЕЛИ УРОКА
1. Обобщение знаний по решению тригонометрических уравнений всех типов.
2. Выделение основных проблем при решении этих уравнений:
 потеря корней.
 посторонние корни.
 отбор корней.
ПЛАН УРОКА.
1. Вводная часть, повторение теоретического материала. (Фронтальная работа)
2. Решение тригонометрических уравнений. (Групповая работа)
3. Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений.
I.
Вводная часть.
1. Основные методы решения тригонометрических уравнений.



Разложение на множители.
Введение новой переменной.
Функционально – графический метод.
2. Некоторые типы тригонометрических уравнений.
1) Уравнения, сводящиеся к квадратным, относительно
cos х = t, sin х = t.
A sin2 x + B cosx + C = 0
A cos2 x + В sinx + C = 0
Решаются методом введения новой переменной.
2) Однородные уравнения первой и второй степени.
I ст.
A sinx + B cosx = 0
: cosx
A tg x + B = 0
II ст.
A sin2 x + B sinx cosx + A cos2 x = 0
: cos2x
A tg2 x + B tgx + C = 0
Решаются методом разложения на множители и методом введения новой переменной.
1
3) Уравнение вида:
А sinx + B cosx = C.
А, В, С  0
Применимы все методы.
4) Понижение степени.
А cos2x + В cos2x = C.
A cos2x + B sin2x = C.
Решаются методом разложения на множители.
A sin2x + B sin2x = C.


A sin2x + B cos2x = C.
Сводятся к однородным уравнениям С = С(sin2х + cos2х).
Сводятся к уравнению А sin2x + B cos2x = C.
5) Уравнение вида:
A (sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.
Сводятся к квадратным относительно t = sinx + cosx.
sin2x = t2 – 1.
3. Формулы.
Универсальная подстановка.
x
2 ;
sinx 
x
1  tg 2
2
2tg
x
x
2tg
2 ;
2 .
cosx 
tgx 
x
x
1  tg 2
1  tg 2
2
2
Проверка обязательна!
1 - tg 2
х   + 2n;
Понижение степени.
cos2x = (1 + cos2x ) : 2
sin2x = (1 – cos 2x) : 2
2
Метод вспомогательного аргумента.
a cosx +b sinx
С  a 2  b2 ,
заменим на C sin(x+), где
sin =
а
b
; cos = ;
С
С
 - вспомогательный аргумент.
4. Правила.



Увидел квадрат – понижай степень.
Увидел произведение – делай сумму.
Увидел сумму – делай произведение.
5. Потеря корней, лишние корни.
1.Потеря корней:
 Делим на g(х).
 Опасные формулы (универсальная подстановка).
Этими операциями мы сужаем область определения.
2. Лишние корни:
 Возводим в четную степень.
 Умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя).
Этими операциями мы расширяем область определения.
II.
Примеры тригонометрических уравнений.
1. Уравнения вида Asinx + Bcosx = C
 3sin 2x + cos2x + 1 = 0.
Решение.
Воспользуемся универсальной подстановкой:
2tgх
sin2x 
,
1  tg 2 х
Положим tgx = u. где x 
cos2x 
1 - tg 2 х
1  tg 2 х

6u
+ n, тогда sin2x =
,
2
1 u2
6u
1 u2

1  0
1 u2 1 u2
1
Решив это уравнение, получим
u =
3
1
1
Таким образом, tg x =  , откуда x = arctg(  ) + k,
3
3
cos2x =
1 u2
.
1 u2
Уравнение примет вид
k  Z.
3
Проверим отброшенные корни x 

+ n.
2
Проверка:
3 sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1 = 3 sin  + cos  + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

Т.е.
x=
+ n, n  Z, являются корнями уравнения.
2
1
Ответ: х = arctg(  ) + k, k  Z,
3

+ n,
2
x=
n Z.
 sinx – cosx = 1
Решение.
Воспользуемся функционально-графическим методом.
Преобразуем уравнение к виду sinx = cosx + 1. Построим графики функций y= sinx, y=cosx+1
У_
2
y = cos x + 1
_1
|
-2π
Ответ: х =
|
3

2
|
-π

|

0
2
_ -1
|

2
|
3
2
π
|
2π
Х
y = sin x

+ 2 n, n  ; x =  + 2 k, k Z.
2
 8 cosx + 15 sinx = 17.
Решение.
Воспользуемся введением вспомогательного аргумента.
2
2
8
15
 8   15 
С  64  125  17 ,
cosx +
sinx = 1, т.к.       1 , то существует такое ,
17
17
 17   17 
8
15
8
что sin =
, cos =
, значит sin cosx + sinx cos = 1;
 = arcsin
.
17
17
17
sin(x + ) = 1,
Ответ: x =
x+=

+ 2n,
2
x=

+ 2n - .
2


8
+ 2n - , x =
+ 2n – arcsin
, n Z.
2
2
17
4
2.
Понижение порядка.
Уравнения вида
A cos2x + B sin2x = C.
A cos2x + B cos2x = C.
 sin2 3x + sin2 4x +sin2 6x + sin2 7x = 2.
Решение.
1  cos6x 1  cos 8 x 1  cos 12 x 1  cos 14 x



2
2
2
2
2
1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0,
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0,
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0,
2cos10x 2cos3x cosx = 0,
cos10x = 0,
cos3x = 0,
cosx = 0.

n

k

Ответ: х =
+
, n  Z; x =
+
, k  Z; x =
+ m, m Z.
20
10
3
6
2
при k = 1 и m = 0
серии совпадают.
k = 4 и m = 1.
3. Сведение к однордному.
Уравнения вида
 5 sin2 x +
A sin2x + B sin2 x = C,
3 sinx
Asin2x + Bcos2 x = C.
cosx + 6 cos2 x = 5.
Решение.
5 sin х +
2
3 sinx cosx + 6cos х – 5 sin х – 5 cos2 х = 0
2
2
3 sinx cosx + cos2х = 0 разложим на множители
cosx ( 3 sinx + cosx ) = 0, откуда
1. cosx = 0,
х=

+ k, k  Z.
2
2.
3 sinx + cosx = 0.
tgx = 
x= 
Ответ: х =

+ k, k  Z.
2
4. Уравнение вида:


x= 

6

6
1
3
,
+ n, n  Z.
+ n, n  Z
А(sinx + cosx) + В sin2x + С = 0.
4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0.
5
Решение.
sinx + cosx = t,
sin2x = t2 – 1.
4 + 2t2 – 2 – 5t = 0,
t 
2 t2 – 5t + 2 = 0.
sinx + cosx =
sinx + sin(x +
sin(x +
t1 = 2, t2 =
1
,
2
заменим

1
)= ,
2
2
1
2
cosx = sin(x +
2sin(x +

1
)=
;
4
2 2
Ответ: х = (-1)karcsin(
2
x+
1
2 2
)-

),
2


1
) cos(  ) = ,
4
2
4

1
= (-1)karcsin(
) + k,
4
2 2

+ k,
4
k  Z.
k  Z.
5. Разложение на множители.
 cos2х -2 cosx = 4 sinx - sin2x
Решение.
cosx(cosx –2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.
1). сosx = 2,
2). сosx +2 sinx = 0
корней нет.
2tgx + 1 = 0
x = arctg(
Ответ: x = arctg(
1
) + n, n Z.
2
1
) + n, n Z.
2
III. Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений.
1.Потеря корней.


Делим на g(х).
Применяем опасные формулы.
Найдите ошибку.

х
1 сosx = sinx* sin ,
2
6
Решение.
Заменим левую часть уравнения по формуле
а правую часть уравнения по формуле
х
,
2
х
х
sinx = 2sin *cos
, получим
2
2
1 - сosx = 2sin2
х
х
х
х
х
х
= 2sin * сos
*sin
, разделим на 2 sin2 обе части уравнения, получим 1 = сos ,
2
2
2
2
2
2
х
решая это уравнение, найдем корни
= 2 n,
x = 4n,
n  Z.
2
2sin2
х
= 0, х = 2k, k  Z.
2
х
х
Правильное решение:
2sin2 (1 – сos ) = 0.
2
2
х
sin2 = 0
или
2
Потеряли корни sin
x = 2k, k  Z.
Ответ: x = 2k, k  Z, x = 4n, n  Z.
1 – сos
х
=0
2
x = 4n, n  Z.
2. Посторонние корни.
 Освобождаемся от знаменателя.
 Возводим в четную степень.

(sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx - 1):(2sin2x -
3 ) = 0.
Решение.
3
.
2
2сos 3х sinx – сos3x + 2sinx - 1 = 0
О.Д.З.: sin 2x 
(сos3x + 1)(2sinx - 1) = 0
1. сos3x + 1 = 0,
х=
2. 2sinx - 1 = 0

2n
+
, n  Z.
2
3
0 х < 
5
6 \
У

2
x = (-1)k

2n
+
,n Z
3
3
1. n = 0
3
2
sin
=
3
2
не удовл-т. О.Д.З.
2. n = 1
I. х =

/3

/6
π
2π Х
\ 5
3

+ k, k  Z.
6
II. x = (-1)k

+ k, k  Z
6
1. k = 0
3
2
sin
=
6
2
не удовл-т О.Д.З.
2. k = 1
7
3
10
=2
6
удовл-т О.Д.З.
sin 2 = 0
sin
удовл-т О.Д.З.
3. n = 2
3
2
=3
2
удовл-т О.Д.З.
sin
Ответ: х =  + 2k,

x=
5
+ 2k,
3
5
+ 2k,
6
x=
k  Z.
1  sin 2x  2 cos 2 x
Решение.
Введем подстановку t = 2x, получим 1  sin t  2 cos t , где cos t  0,
Возведем обе части уравнения в квадрат, получим 1 - sin t = 2 cos2 t, откуда
1
1. sin t = -1,
2. sin t = ,
2


t=+ 2 k, k  Z;
t = (-1)n
+ n, n  Z;
2
6
-
5
6 \


t
2
2
У

2
π
I. t = -

/6
2π

1.

+ 2 k, k  Z;
2

2
удовл-т ОДЗ.
k = 0, t = -

2
Ответ: t = -
x=-
II. t = (-1)n

+ k, k  Z,
4
x=

12

+ 2 k,
2
+ n,

+ n, nZ;
6

6
удовл-т О.Д.З.
5
2.
n = 1, t =
6
не удовл-т О.Д.З.
1.
n = 0, t =
t=

+ 2 n,
6
n  Z.
3. Отбор корней.

tgx + tg2x = tg3x
Решение.



+ k, x 
+ k, x 
+ k, k  Z.
2
4
6
sin 3x
sin 3x
 0 , а tg3x =
Заменим tgx + tg2x =
, получим
cos x  cos 2x
cos 3x
О.Д.З.: х 
8
sin3x ((cos2x cosx – sin2x sinx) – cosx cos2x) = 0,
sin3x (cos3x - cosx cos2x) = 0,
sin3x*sinx*sin2x = 0.
1. sin3x = 0
n
x=
, n  Z,
3
n = 0, x = 0 уд.

n = 1, x =
уд.
3
2
n = 2, x =
уд.
3
n = 3, x = 
4
3
5
n = 5, x =
3
n = 4, x =
2. sinx = 0
x = h, h  Z,
h = 0, x = 0
уд.
h =1, x = 
уд.
h = 2, x = 2 
3. sin2x = 0
m
x=
, m  Z.
2
m = 0, x = 0 уд.

m = 1, x =
не уд.
2
m = 2, x = 
уд.
уд.
m = 3, x =

6
уд.
уд.
n
Ответ: x =
, n  Z.
3
0
3
2

2
5
6
7
6

4
3
4
5
4
уд.
не уд.
3
2
11
6
х
7
4
х
IV. Подведение итогов.
9