Яремко Н.Н. Элементарный метод вычисления симметрических сумм корней много-

Яремко Н.Н. Элементарный метод вычисления симметрических сумм корней многочлена. // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике: Сб. статей XIII Междунар. научно-техн. конф. – Пенза: ПДЗ, 2013. – С. 46-49.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ
СУММ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА
Н.Н. Яремко
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия,
[email protected]
В работе исследуется теория симметрических многочленов. Приводится элементарное
доказательство основных результатов, в частности, формулы Варинга.
Yaremko O.E. The elementary method of calculation of the symmetric sums of polynomial roots. Theory of symmetric polynomials examines in article. The elementary proof of the main
result is provided. Waring’s formula is proven.
1. Формулы Виета.
Покажем вывод формул Виета для многочлена третьей степени:
(1)
p  x   x3  ax2  bx  c =  x  x1    x  x2    x  x3  ,
где x1 , x2 , x3 – корни многочлена. Подставим в это выражение х=0:
p  0   0  x1    0  x2    0  x3  .
Следовательно, произведение корней x1  x2  x3 равно:
x1  x2  x3   p  0  c .
Далее найдем производную p/  x  и вычислим ее в нуле:
p/  x    x  x2    x  x3    x  x1    x  x3    x  x1    x  x2 
Следовательно:
x2 x3  x1 x3  x1 x2  p /  0  b.
Наконец, нахождение второй производной дает:
p/ /  x   2  x  x1   2  x  x2   2  x  x3  ;
с другой стороны
p / /  0  2a .
Итак,
2  0  x1   2  0  x2    0  x3   2a ,
т.е. сумма корней x1  x2  x3 равна: x1  x2  x3  a .
Теорема (Виет): пусть
корни кубического многочлена
x1 , x2 , x3
3
2
p  x   x  ax  bx  c , тогда
x1  x2  x3   p  0  c ,
(2)
x2 x3  x1 x3  x1 x2  p /  0  b ,
x1  x2  x3  
p/ /  0
2
 a.
Формулы (2) связывают основные симметрические многочлены 1 ,  2 ,  3 от
корней кубического многочлена р(х) со значениями самого многочлена и его
производных в точке ноль.
2. Суммы обратных степеней корней многочлена.
Предложение 1. Для кубического многочлена р(х) вида (1), корни которого
x1 , x2 , x3 , выполняется тождество:
p/  x 
1
1
1



x  x1 x  x2 x  x3
p  x
(3)
для каждого фиксированного х такого, что p  x   0 .
Доказательство. Найдем производную p/  x  и разделим ее на р(х):
p/  x 
p  x

 x  x2  x  x3    x  x1  x  x3    x  x1  x  x2 
.
 x  x1  x  x2  x  x3 
Разделим числитель на знаменатель почленно:
 x  x2  x  x3    x  x1  x  x3    x  x1  x  x2 
 x  x1  x  x2  x  x3 

1
1
1


x  x1 x  x2 x  x3
.
Предложение 2. Для кубического многочлена р(х) вида (1), корни которого
x1 , x2 , x3 , справедлива формула:
1
 x  x1 
2

1
 x  x2 
2

1
 x  x3 
2

/
d  p  x 


dx  p  x  
(4)
для каждого фиксированного х такого, что p  x   0 .
Доказательство. Продифференцируем тождество (3) и получим требуемое.
Предложение 3. Пусть x1, …, xn корни многочлена р(х) произвольной степени n, все простые, причем p  0  0 , тогда:
n
1
i 1
l
i
x

 p/  x  
1
Dl 1 
  0 ,
 l  1!  p  x  
(5)
где l – натуральное число и Dl–1 – производная порядка l–1 от дроби
p/  x
p  x
, вы-
численная в точке 0.
Предложение 4. Пусть r(x) правильная рациональная дробь, все нули знаменателя которой r1, …, rm простые и ни один из них не является корнем многочлена р(х), тогда:
n
m
k 1
j 1
 r  xk    Aj
p /  rj 
p  rj 
,
где Aj – коэффициенты в разложении дроби r(x) на простейшие дроби, т.е.
m
Aj
j 1
x  rj
r  x  
, x1, …, xn – корни многочлена р(х).
3. Сумма натуральных степеней корней многочлена.
Хорошо известна проблема нахождения степенных сумм всех корней многочлена р(х) без вычисления самих значений корней многочлена. Эта проблема
имеет несколько решений: по формуле Варинга, по рекуррентной формуле
Ньютона, см. [2, с. 541]. Наше решение данной задачи основано на идее рассмотреть многочлен: p  x   xn p  1  , где многочлен р(х) степени n такой, что
 x
p  0  0 .
Предложение 5. Если число x=0 – не корень кубического многочлена р(х), то
для корней x1, …, xn многочлена р(х) выполняется:
n
 xil  
i 1
 p /  x  
1
Dl 1  
  0 .
 l  1!  p  x  
Библиографический список
1. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. – М.:
Наука, 1978. – 416 с.
2. Энциклопедия «Математика». – М.: Сов. энциклопедия, 1988. – 847 с.
3. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.:
Наука, 1966. – 664 с.