1. Введение - MES conference

МЕТОДЫ И СРЕДСТВА АВТОМАТИЗАЦИИ
ПРОЕКТИРОВАНИЯ МЭС
***
Методы моделирования электрических
характеристик СБИС, методы смешанного и
аналогового поведенческого
моделирования в схемотехническом
проектировании
12
АДАПТИВНЫЙ МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА
Гурарий М.М. 1, Жаров М. М. 1, Русаков С.Г. 1, Ульянов С.Л. 1, Малвани Б.Дж. 2
1
Институт проблем проектирования в микроэлектронике РАН, [email protected]
2
Freescale Inc.
Обсуждается новый вычислительный подход моделирования радиотехнических
интегральных схем (АГБА). Подход направлен на расширение метода гармонического
баланса (ГБ) для решения существенно нелинейных задач. Подход основан на адаптивном
изменении порядка задач ГБ в соответствии с уровнем нелинейности. Предлагаемый
адаптивный метод гармонического баланса (АГБА) позволяет сократить вычислительные
затраты при моделировании существенно нелинейных схем высокой размерности
методом ГБ за счет автоматического изменения числа гармоник
в процессе
моделирования. Разработанные вычислительные процедуры используют методы
Крыловских подпространств.
1. Введение
В настоящее время метод гармонического баланса является широко распространенным
средством моделирования нелинейных радиосхем. Во многих практических случаях он обеспечивает
относительно быстрый расчет установившихся режимов как для одночастотных, так и для
многочастотных входных воздействий.
Метод гармонического баланса (ГБ) традиционно применялся для приближенного
исследования периодических режимов нелинейных систем, математическая модель которых может
быть задана системой дифференциальных уравнений [1]. Метод ГБ нашел применение в различных
областях науки и техники и описан в соответствующей специальной литературе. Например, в работах
[2-4] приведена методика исследования периодических режимов в нелинейных системах
автоматического регулирования методом ГБ, значительное число работ посвящено применению
метода для исследования периодических режимов в нелинейных электрических цепях (см., например
[5-11]). Метод гармонического баланса относится к группе спектральных методов [12], которые
позволяют находить периодическое решение. Метод использует базис тригонометрических функций
и находит решение в терминах коэффициентов Фурье
Метод ГБ имеет известные преимущества при расчёте установившихся периодических
режимов в сравнении с методами моделирования во временной области [5]. Стандартный метод ГБ
очень эффективен при решении слабо нелинейных задач, но имеет ограничения при анализе
существенно нелинейных схем. Так как каждая переменная представлена ограниченным рядом
Фурье, то результирующая система имеет порядок ORD  2K  1 N , где K - число гармоник и


N - число переменных в анализируемой цепи. Для обеспечения желаемой точности существенно
нелинейные задачи требуют большого числа гармоник, в результате чего размер линейных систем
получается очень большим. Проблема решения высокоразмерных систем уравнений – ключевая
вычислительная проблема при разработке методов ГБ.
Значительное число работ посвящено различным аспектам повышения вычислительной
эффективности метода ГБ, в том числе, применению методов Крыловских подпространств (см.,
например [6,7,13,14]). Методы Крыловских подпространств [15-17] могут быть успешно
использованы для решения систем линейных уравнений высокого порядка, когда прямые методы
неприменимы.
Благодаря своим характеристикам метод ГБ применялся, в первую очередь, для
моделирования систем с относительно малым числом нелинейностей. Специализированный
подсхемный вариант метода ГБ был разработан для этих целей [9,18]. В случае, когда исходная
система разделяется на линейную и нелинейную подсхемы, подсхемный вариант повышает
вычислительную эффективность исключением внутренних переменных линейной подсхемы из
итеративного процесса. Такое разбиение, однако, предполагает заранее известным тип элементов
схемы, подключенных к ее узлам, и эффективно при условии, что линейная часть схемы значительно
больше нелинейной. Данный подход успешно применялся для моделирования электронных схем,
включающих дискретные компоненты, а также гибридных интегральных схем. При моделировании
монолитных ИС, в частности современных радиотехнических схем, выполненных по КМОП
технологии, этот подход становится неэффективен, так как такие схемы содержат большое число
нелинейных элементов. Кроме того в них нельзя заранее выделить строго линейные элементы.
В отличие от стандартного метода ГБ рассматриваемый подход позволяет исключать вклады
не только линейных, но и слабо нелинейных компонент без предварительного разбиения.
Эффективность метода ГБ значительно повышается, так как существенно нелинейные системы
включают, как правило, большое число слабо нелинейных компонент. Для большинства
13
радиотехнических интегральных схем это является следствием совместной работы приборов как в
существенно нелинейном режиме, так и слабо нелинейном режиме.
Подход базируется на адаптации порядка линейных систем на шаге ньютоновских итераций в
соответствии с уровнем нелинейности каждой схемной переменной. Новый вариант метода ГБ
рассматривается далее как адаптивный ГБ анализ (АГБА – подход). Основные цели АГБА – подхода:
- разработать вычислительные схемы, обеспечивающие уменьшение порядка задач ГБ благодаря
адаптации к уровню нелинейности;
- уменьшить вычислительные затраты решения высокоразмерных ГБ задач с большим числом малых
элементов.
Секция 2 включает мотивацию предлагаемого подхода, основные принципы приведены в
секции 3, в секции 4 приведено краткое описание вычислительных процедур.
2. Мотивация
Метод гармонического баланса - частотный метод анализа. Он использует линейную
комбинацию тригонометрических функций для представления решения и формирования уравнений
модели схемы в частотной области. Уравнения модели ГБ могут быть представлены в следующей
компактной форме:
H ( x)  0
(1)
где
  
X  xn
k
- вектор неизвестных, т.е. гармоник электрических переменных, n- номер
узла, k- номер гармоники.
Основной итеративный ГБ цикл включает на каждом шаге ньютоновской итерации решение
линейной системы
(2)
JX  H X или
JX  b
 
относительно коррекции X . Здесь J - матрица Якоби и b - правая часть. Матрица Якоби
в (2) имеет блочную структуру [5]. В частности, J - блочно - диагональная матрица J  D , если
система имеет только линейные компоненты.
Система (2) имеет обычно очень высокий порядок. Этот порядок быстро растёт с
увеличением числа гармоник K. Для стандартного ГБ метода размерность задачи определяется
наиболее нелинейным схемным элементом.
Для ускорения ГБ анализа предлагается учитывать индивидуальный уровень нелинейности
схемных уравнений. Эффективность определяется большим разбросом степени нелинейности разных
уравнений на практике. Это свойство является важным ресурсом уменьшения размерности ГБ задачи
при заданной точности. Изменение степени нелинейности ведёт к возможному индивидуальному
числу гармоник для разных схемных переменных. Порядок линейной системы ORD  2K  1 N

заменяется в этом случае порядком ORD 
N
 2K
i 1
i

 1 , где, как правило, K i  K . В противном
случае малая часть существенно нелинейных переменных может диктовать высокий порядок ГБ
модели.
Следующие концепции AГБA подхода положены в основу адаптивных вычислительных схем
для уменьшения размера ГБ задачи.
Концепции AГБA подхода :
- преобразование исходных уравнений ГБ модели к форме, обеспечивающей адаптацию
размера задачи к уровню нелинейности или, иначе говоря, конструирование такой формы ГБ модели,
что различие численных свойств между слабо нелинейными ГБ задачами и линейными ГБ задачами
монотонно увеличивается с ростом уровня нелинейности;
- выбор оценки уровня нелинейности;
- определение критерия уменьшения размерности задачи при управлении уровнем ошибки;
- автоматическое исключение линейных компонент из ГБ модели;
- автоматический выбор числа гармоник для каждой узловой переменной.
3. AГБA подход
Для определения индивидуального числа гармоник в каждом узле в АГБА подходе
используется критерий нормы невязки в узле.
Будем рассматривать модифицированную задачу ГБ, полученную после применения к
исходной задаче блочно-диагонального предобуславливателя D , который представляет собой
матрицу Якоби линеаризованной схемы. Линейное преобразование включает предобуславливание и
замену переменных.
После предобуславливания система (2) имеет вид:
J  DD 1 y  y  b
(3)
14
где y  Dx , вектор переменных y имеет компоненты
y ik , вектор правой части - bik , i -

индекс узла (i = 1,..,N), k  K - индекс гармоники (k = 1,..,K для одного тона).
y '  b  y , получим
Вводя новые переменные
J  DD 1 y '  y '  b '
'
1
где b  J  D D b .
(4)
Можно показать, что для преобразования (4) справедливы следующие утверждения:
'
Компоненты вектора b , соответствующие линейным узлам, т. е. таким узлам к которым
подсоединены элементы линейной части схемы, равны нулю, а решение имеет все нулевые гармоники.
Следовательно, такие переменные могут быть исключены из рассмотрения. Кроме того, для
'
слабо нелинейных узлов вектор b содержит меньшее количество гармоник по сравнению с вектором
b . Таким образом, преобразование позволяет исключить линейную часть и снизить количество
гармоник для слабонелинейных узлов.
Дополнительно для построения адаптивной процедуры, используются следующие
предположения:
'
1) преобразование обеспечивает почти линейное соотношение между b ik . и вектором
'
неизвестных y ik : (Рис .1)
2) малое отклонение от линейности вызывает малые значения гармоник невязки и
соответственно решений.
'
В результате величина b i может быть использована в качестве оценки нелинейности узлов,
'
при этом ее нулевое значение соответствует чисто линейной схеме, а рост b i дает увеличение
y 'i ,
обусловленное увеличением числа гармоник. Это означает, что для уменьшения или увеличения
'
числа гармоник в i-ом узле можно использовать критерий b i
Рис. 1. Зависимость нормы невязки от величины нормы вектора правой части для
3-7 итераций ньютоновского процесса
4. Вычислительные аспекты
4 .1 Ре ду цир о ва н ие л и н ей ных ГБ за да ч
Пусть линейная задача (4) вида
Ay  b
(5)
получается после нашего преобразования.
Формулировка задачи редукции:
- найти приближённое решение системы (5), используя решение редуцированной системы
 

Ay b
(6)

Пусть P - оператор, соответствующий исключению гармоник. Тогда

A  PAP, y  Py,

b  Pb .
Основная идея конструирования алгоритма - решать вместо системы (5) новую
редуцированную систему (6) существенно более низкой размерности.
15
Для формирования такой редуцированной системы применяются следующие принципы:
1) компоненты правой части b с малым вкладом в норму могут быть исключены;
2) соответствующие компоненты вектора y также могут быть исключены:




y n  b n  0 при k  K n , где K n - набор принятых гармоник узла n ;
k
k
3) редуцированная система решается относительно укороченного вектора.
Автоматическое уменьшение числа гармоник обеспечивается при заданной точности.
Две основные стадии алгоритма автоматического определения числа гармоник на шаге
ньютоновской итерации выполняются:
- определение адаптационного порогового параметра для усечения переменных;
- определение усеченного множества переменных (индивидуального числа гармоник для
каждой узловой переменной).
4 .2 А да пт а ция по р о г о во г о па р а мет р а
y Мы делаем следующее предположение относительно точности замены (5) на (6): Если ~
является точным решением (6), то

A~
y b  c bb
(7)
где c - некоторый регулируемый параметр.
Если уравнение (6) решено приближенно (методом GMRES), то можно записать следующее
соотношение:
2

A y b
 2
 

 c b  b  A y b
2
(8)
Следовательно, для разработки практического алгоритма должны быть решены следующие
подзадачи:
1) Зная значения c , определить количество гармоник, обеспечивающее желательную
точность.
2) Оценить значение c для следующей ньютоновской итерации.

Чтобы решить (5) с заданной погрешностью
t , т.е., удовлетворить критерию A y  b  t ,
можно представить
t как сумму погрешности отбрасывания гармоник t r и погрешности метода
решения t g : t  t r  t g . Тогда решение линейной системы будет включать следующие шаги:

a) определить множество гармоник из условия b  b 
tr
c
 

б) приближенно решить уравнение (6), т.е. найти такое значение , что: A y  b t g .
Количество гармоник определяется, используя текущее значения c и t r .
Для оценки значения c на следующем ньютоновском шаге можно использовать выражение,
полученное из (8):
c new 
2
  
 
 A y b  A y b






(9)

bb
Предполагая выражения (7) равенством и подставляя его в (9), мы получаем:
c new
c

tr

2
 
 2
A y b  A y b
(10)
16
5. Экспериментальные результаты
Численные эксперименты с большим числом схемотехнических задач подтвердили
эффективность предлагаемого адаптивного метода гармонического баланса - AГBA метода.
Изложенный адаптивный метод ГБ применялся для моделирования ряда схем.
В таблице 1 представлены результаты расчетов для некоторых схем. Таблица 1. содержит
исходную размерность задачи ГБ и фактор снижения размерности, который дает усредненное по
ньютоновским итерациям отношение размерности редуцированной системы к исходной. Как видно из
таблицы, применение адаптивного метода позволяет в несколько раз снижать размерность реально
решаемой линейной системы.
Результаты уменьшения порядка ГБ моделей для этих схем приведены на рис. 2 в случаях
использования как прямых методов (LU-декомпозиция), так и итеративных (GMRES- метод).
Результаты относительного ускорения приведены на рис. 3 для итерационных методов решения
линейных систем.
Таблица 1
Результаты моделирования схем
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Схема
Число узлов
Источник вторичного питания
Усилитель
Дифференциальная пара
Усилитель класса C
МДП усилитель
Выпрямитель
ОУ uA741
Пассивный фильтр
Фильтр 5 порядка
ОТА (mosAMP)
6
8
12
12
24
10
29
43
183
159
Исходная
размерность
системы
486
488
492
612
1464
1720
4118
6966
7686
38478
Фактор
снижения
размерности
6.1
3.8
5.0
5.9
3.2
1.6
5.6
10.3
4.2
6.3
6. Заключение
Адаптивный метод гармонического баланса (АГБА - метод) является перспективным
подходом для ускоренного решения высокоразмерных задач гармонического баланса. Разработанные
численные процедуры обеспечивают уменьшение порядка решаемых задач ГБ благодаря вариации
числа гармоник узловых переменных в соответствии с уровнем нелинейности. Предложенный
критерий позволяет определять индивидуальное число гармоник по заданному уровню допустимой
ошибки. Разработанные адаптивные вычислительные схемы применимы для определения набора
переменных редуцированной системы.
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику, Изд. АН УССР, 1937.
Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических
систем, М.:Физматгиз, 1960.
Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и др. Приближенные методы решения
операторных уравнений. - М.:Наука, 1969.
Бобылев И.А., Бурман Ю.М., Коровин С.К. Оценка погрешности метода гармонического баланса
// ДАН. – 1991. - Т. 320. - № 3. - C. 572-576.
Kundert K., White J, and Sangiovanni-Vincentelli A., Steady State Methods for Simulating Analog and
Microwave Circuits, Boston: Kluwer Academic, 1990.
Telichevesky R., Kundert K., Elfadel I., and White J., Fast Simulation Algorithms for RF Circuits //
Proc. of the IEEE Custom Integrated Circuits Conf., May 1996. - Р. 437.
Feldman P., Melvill B., Long D., Efficient Frequency Domain Analysis of Large Nonlinear Analog
Integrated Circuit // Proc. of the Custom Integrated Circuits Conf, May 1996. - Р. 461.
Kundert K.S., Simulation Methods for RF Integrated Circuits // Proc. of the Int. Conf. on ComputerAided Design, San Jose 1997, - Р. 752-765.
Rizzoli V., Lipparini A., Costanzo A., Mastri F., Cecchetti C., Neri A., Masotti D. State-of-the-Art
Harmonic-Balance Simulation of Forced Nonlinear Microwave Circuits by the Piecewise Technique //
IEEE Trans. on Microwave Theory and Techniques, 1992. - V. 40, № 1. - Р. 12-27.
Ильин В.Н., Жигалов И.Е., Ланцов В.Н., Методы автоматизированного схемотехнического
проектирования нелинейных радиотехнических цепей // Изв. Вузов, Радиоэлектроника. – 1985. № 6. - C. 7-17.
17
11. Gilmore R., Steer M. Nonlinear circuit analysis using the method of harmonic balance - a review of the
art. Part 1 - Introductory Concepts // Int. J. on Microwave and Millimeter Wave Computer Aided
Engineering, 1991. - V. 1. - №. 1
12. Алексеев О.В., Асович П.Л., Соловьев А.А. Спектральные методы анализа нелинейных
радиоустройств с помощью ЭВМ. - М.: Радио и связь, 1985. - 152 с.
13. Brachtendorf H. G., Welsch G., and Laur R., Fast Simulation of the Steady State of Circuits by the
Harmonic Balance Technique // Proc. Int. Symposium on Circuits and Systems, 1995. - Р. 1388-1391.
14. Gourary M., Rusakov S., Ulyanov S., Zharov M., Gullapalli K., and Mulvaney B., Iterative Solution of
Linear Systems in Harmonic Balance Analysis // IEEE MTT-S Int. Microwave Symposium Digest,
Denver, 1997. - Р. 1507-1510.
15. Saad Y., Iterative methods for Sparse Linear Systems, Boston: PWS publishing company, 1996.
16. Freund R., Golub G.H., Nachtigal N.M., Iterative solution of linear systems // Acta Numerica, 1991. Р. 57-100.
17. Saad Y., Shultz M.H., GMRES: a generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric
linear system // SIAM J. on Scientific and Statistical Computing, 1986, 7. -Р. 856-869.
18. Nakhla M.S., Vlach J., A Piecewise Harmonic-BalanceTechnique for Determination of Periodic
Response of Nonlinear Systems // IEEE Trans. on Circuits and Systems, 1976. - V. CAS-23. - P. 85-91.
19. Gourary M., Rusakov S., Ulyanov S., Zharov M., Gullapalli K., and Mulvaney B., New Methods for
Speeding up Computation of Newton Updates in Harmonic Balance // Proc. of the Int. Conf. on
Computer-Aided Design, 1999. - P. 61-64.
Рис. 2. Экспериментальные результаты: уменьшение порядка адаптивным методом для
прямых методов и GMRES метода
Рис. 3. Экспериментальные результаты: соотношение вычислительных затрат ГБ/АГБ при
использовании итерационного GMRES метода
18