методическое пособие по дисциплине «Математика

Горбунова Ксения Александровна, Ерисова Валентина Петровна, Ющенко Ольга
Владимировна.
ГАПОУ КТиХО
Учебно - методическое пособие по дисциплине «Математика» «Нестандартные
методы и решения уравнений и неравенств»
Для решения большинства уравнений и неравенств, достаточно владеть курсом
математики, но при этом необходимо уметь их решать не только с помощью стандартных
приемов, предназначенных для вполне определенных типов уравнений и неравенств, но и с
помощью «нестандартных» методов, о которых речь пойдет ниже.
Как правило, суть указанных методов – реализовать «иной взгляд» на задачу, что
позволяет, существенно упростить решение некоторых задач, то есть можно применять
хорошо известные утверждения, но в ситуациях, где ими пользуются сравнительно редко.
Применение свойств квадратного трехчлена.
Один из часто встречающихся методов – «посмотреть» на некоторое уравнение (или
неравенство) как на квадратное относительно некоторой переменной или выражения.
Пример 1. Решите систему уравнений:
Решение. Будем рассматривать первое уравнение как квадратное относительно x:
Найдем дискриминант уравнения:
То есть система уравнений может иметь решения, только если y = 3, откуда из первого
уравнения получим, что x = 2. Мы никак не использовали второе уравнение, следовательно,
проверка полученных решений подстановкой во второе уравнение системы необходима.
Ответ: (2; 3).
Пример 2. Решите уравнение:
4cos4 x = cos 2x + 2cos2 x * cos 8x.
Решение. Перепишем уравнение в виде:
4cos4 x - 2cos2 x(cos 8x + 1) +1 = 0
Пусть теперь 2cos4 x= t. Получим уравнение
t2 – t(cos 8x + 1) +1 = 0
которое имеет корни, если D = (cos 8x + 1)2 – 4 ≥ 0. Полученное неравенство
равносильно
системе:
Ответ:
Использование свойств функций
Иногда при решении уравнения или неравенства необходимо использовать области
определения (ОДЗ) и области значений входящих в него функций.
Пример 3.Решите уравнение
Решение. Заметим, что x ≥ 0 и
, следовательно,
и
x<x+
Поэтому равенство
невозможно.
Ответ нет корней.
Пример 4.Решите уравнение
Решение.
– иначе левая часть уравнения не определена.
1.
sinx
2.
cos x ≥ 0 – так как левая часть уравнения неотрицательна.
3.
Следовательно,
Получим,
Ответ:
.
Пример 5.Решите неравенство:
Решение. Найдем область определения функции:
Получим:
Итак, область определения f(x) состоит из двух чисел: 2 и 3.
Осталось выполнить проверку:
x = 3, тогда f (3) = log3
1)
, что неверно.Следовательно, число 3 не является
решением неравенства;
x = 2, тогда f (2) = log3
2)
, что верно.
Ответ: 2.
Свойство ограниченности.
Теорема 1. Если f (x) ≥ A и g (x) ≤ А, то
f(x)=g(x)
Пример6. Решите уравнение
Решение.
Перепишем
уравнение
в
виде:
Поскольку
Следовательно, данное уравнение равносильно системе
Ответ: - 1.
Нередко признаком того, что следует применить оценок, является наличие в
уравнении функций разной природы.
Пример 7. Решите уравнение 2 + 2sin2 (x - 1) =
.
Решение. Заметим, что 2 + 2sin2 (x - 1) ≥ 2,
а
Следовательно,
2+2
Ответ: 1.
Пример 8. Решите уравнение cos
Решение. Так как,
и
то уравнение
равносильно системе уравнений
cos
Из первого уравнения системы получим, что x=2 k, где k
, откуда x=4
, где n
,n
Следовательно, 2 k=4
, а из второго, - что
, откуда
.
Так как
- иррациональное число, то равенство возможно, только если n = k = 0.
Поэтому единственным решением исходного уравнения является x = 0.
Ответ: 0.
Решим методом оценок более сложное уравнение.
Пример 9. Решите уравнение:
Sin3x-2sin18x * sinx=
Решение. Преобразуем данное уравнение к виду:
Sin3x+cos3x=2sin18x * sinx +2cosx+3
Заметим теперь, что:
1) Sin3x+cos3x=
sin
2)3
Причём
Таким образом, исходное уравнение равносильно системе:
Решим первое уравнение системы:
При этом
2
=
Осталось решить систему
Рассмотрим три случая:
1)
Подставим значение x во второе уравнение. Получим:
, что
неверно.
2)
Получим:
3)
,что верно.
Получим:
,что неверно.
Ответ:
Пример 10. Решить неравенство:
arccos(2x2 – 7) ≤ = - arccos(x2 - 2x - 3)
Решение. Заметим, что 0 ≤ что arccos(2x2 – 7) ≤
и-
≤ - arccos(x2 - 2x - 3) ≤ 0.
Следовательно, неравенство может быть выполнено только при условии,
что
arccos(2x2 – 7) = - arccos(x2 - 2x - 3) = 0, а это достигается при 2x2 – 7 = x2 - 2x - 3 = 1, что
невозможно.
Ответ: нет решений.
В следующих примерах воспользуемся очевидным следствием теоремы 1:
Если для любого x ∈ А выполнены неравенства f(x) > А и g(x) < А, то уравнение
f(x) = g(x) не имеет корней на множестве А.
Пример 11.Решите уравнение 2x + 1 + 21 – x = – 1 – 4x – x2.
Решение.
1.
2x + 1 + 21 – x ≥ 2
2.
– 1 – 4x – x2 = 3 – (x – 2)2 ≤ 3.
Тогда 2x + 1 + 21 – x ≥ 4 > 3 ≥ – 1 – 4x – x2.
Ответ: нет корней.
Пример 12. Решите неравенство
Решение. Рассмотрим случаи:
1.
x < 0, тогда неравенство можно записать в виде:
Если -2
то
. Решений нет.
Если 0
. Поэтому x
2.
Если
x
>
– решения неравенства.
0,то
неравенство
можно
виде:
Если 1 ≥ x > 0,
Если 2 ≥ x> 1, то
то – решений нет.
– решений нет.
переписать
в
Неравенство
докажите самостоятельно.
Если x ≥ 2, то
– решений нет.
Ответ: x
Свойство монотонности
Нам понадобятся следующие свойства монотонных функций:
Теорема 2. Пусть y = f (x) – функция, возрастающая (убывающая) на некотором
промежутке I.Тогда уравнение f (x) = a имеет на промежутке I не более одного корня.
Теорема 3. Пусть y = f (x) – функция, возрастающая на некотором промежутке I, а y
= g (x) – функция, убывающая на этом промежутке. Тогда уравнение f (x) = g (x) имеет на
промежутке I не более одного корня.
Пример 13. Решите уравнение
Решение. Функция f (x) =
возрастает на своей области
определения, как сумма двух возрастающих функций:
и
.
Следовательно, уравнение f (x) = 2 имеет не более одного корня.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что f(1) = 0.
Уравнение решено: мы нашли корень и доказали, что других корней нет.
Ответ: 1.
Пример 14. Решите уравнение.
Решение. Перепишем уравнение в виде:
Функция y=
убывает на промежутке [1; + ∞), а y = x2 – 2x + 2
возрастает на этом промежутке, поскольку ветви соответствующей параболы
направлены вверх, а вершина x0 = 1. 2 – корень уравнения. Других корней нет.
Ответ: 2.
Пример 15. Решите уравнение log5(5x – 4) = 1 – x.
Решение. Это уравнение можно решать вполне стандартным способом.
Можно предложить следующее рассуждение. В левой части уравнения –
возрастающая функция, в первой части – убывающая функция. Следовательно, данное
уравнение не может иметь более одного корня. Число 1 – корень уравнения, что
проверяется подстановкой.
Ответ: 1.
Пример 16. Решите систему уравнений
Решение. Функция f(t) = t + 2t возрастает, следовательно, f(t) принимает каждое
свое значение только при одном значении t.
Поэтому уравнение x + 2x = y + 2y равносильно x = y. Тогда уравнения x2 + xy + y2
= 27 получаем, что x = y = ± 3.
Ответ: (3;3), ( - 3; - 3).
Соображения монотонности можно использовать и при решении неравенств.
Пример 17. Решите неравенство
Решение. Пусть f(x)=
. Функция f(x) определена при x ∈ [ 1;
+∞) и f(x) – возрастающая функция.
Поскольку f(2) = 4, то при всех x < 2 (и только при них) выполнено неравенство f(x)
< 4.
Ответ: [ 1; 2).
Использование суперпозиций функций
Теорема 4. Уравнение f( f(x)) = x является следствием уравнения f(x) = x.
Или в виде схемы:
f(x) = x
f( f(x)) = x.
Доказательство. Пусть x0 – корень уравнения f(x) = x, тогда f(x0) = x0 и f( f(x0)) =
x0, следовательно, x0 – корень уравнения f( f(x)) = x.
Пример 18. Решите уравнение
( x2 + 2x – 5)2 + 2(x2 + 2x - 5) – 5 = 0.
Решение. Пусть f(x) = x2 + 2x – 5, тогда данное уравнение можно переписать в виде
f( f(x)) = x. Согласно только что доказанному утверждению, корни уравнения x2 + 2x – 5 =
x, а значит, и уравнения x2 + 2x – 5 = 0 являются корнями исходного уравнения. Тогда
(x2 + 2x – 5)2 + 2(x2 + 2x - 5) = x
x4 + 4x3 - 4x2 – 17x + 10 = 0
Разделим столбиком левую часть уравнения на x2 + 2x – 5.
Получим:
(x2 + x – 5)( x2 + 3x – 2) = 0
Ответ:
;
;
Теорема 5. Если функция f(x) возрастает, то уравнение f(x) = x равносильно f( f(x)) = x.
Доказательство.1. f(x) = x
f( f(x)) = x – уже доказано (см. теорему 4 на с. 28).
2.Докажем, что f( f(x)) = x
f(x) = x. Пусть x0 – корень уравнения f( f(x)) = x, то
есть f( f(x0)) = x0.
Предположим, что f(x0) > x0, но тогда в силу возрастания функции f(x) получим: f(
f(x0)) > f(x0) > x0. Противоречие. Если же f(x0) < x0, то тогда f( f(x0)) < f(x0) < x0 –
противоречие. Следовательно, f(x0) = x0, что и требовалось доказать.
Теорема 6. Если Функции f(x) и g(x) взаимно обратные и функция f(x) возрастает,
то уравнения f(x) = g(x) и f(x) = x равносильны.
Доказательство. Пусть f(x) и g(x) – взаимно обратные функции. Из определения
взаимно обратных функций следует, что если f(n) = m, то g(m) = n.
1.
Предположим, что f(x0) = x0 и g(x0) = x0, тогда f(x0) = g(x0).
Другими словами, если x0 – корень уравнения f(x) = x, то x0 – корень уравнения f(x) = g(x).
2.
Предположим, что f(x0) = g(x0) = y0, тогда g(y0) = f(y0) = x0.
Тогда f(x0) - f(y0) = y0 – x0, что противоречит определению возрастающей функции: знаки
разностей y0 – x0 и f(y0) - f(x0) должны совпадать.
Теорема доказана.
Подумайте, будут ли верны теоремы 5 и 6, если слова «функция f(x) возрастает»
заменить словами « функция f(x) убывает»?
Пример 19. Решите уравнение 32+x=
Решение. Возводить в пятую степень представляется бесперспективным. Пусть a = 2,
тогда исходное уравнение записывается как
Рассмотрим функции f(a) = a5 + x и
. Поскольку эти функции взаимно
обратны и f(a) возрастает, то согласно теореме уравнение a5 + x=
равносильно
уравнению a5 + x = a, откуда x = a – a5.
Ответ : - 30.
Примечание. Если корень x = - 30 удалось угадать, то единственность корня доказать
легко: слева – возрастающая функция, справа – убывающая (относительно x).
Пример 20. Решите систему уравнений
Решение. Определим функцию f(t) = t3 = 2t2 + 2t. Поскольку f′(t) = 3t2 + 2t + 2 > 0, то
f(t) возрастает на множестве действительных чисел. Перепишем систему уравнений в виде:
,
Воспользуемся методом подстановки: f( f ( f (x))) = x. Применив теорему 1, получим:
f( f ( f (x))) = x
f (x) = x
или иначе:
x3 + 2x2 + 2x = x
x3 + 2x2 + x = 0
x(x + 1)2 = 0,
откуда x1 = 0, x2 = -1.
Если x = 0, то из первого уравнения системы получим, что y = 0, а из второго
уравнения, - что z = 0.
Аналогично если x = -1, то y = z = -1.
Ответ: (0;0;0), ( -1; -1; -1).
В следующем примере при решении уравнений помимо свойства монотонности
используется нечетность функций, входящих в уравнение.
Пример 21. Решите уравнение (2x+1)(1+
Решение. Пусть f (t)= t
.
Уравнение можно переписать в виде f(2x = 1) = f(x) = 0 или иначе: f(2x = 1) = - f(x).
Заметим, что функция f(t) – нечетная и возрастает на области определения.
Следовательно:
1)
уравнение имеет не более одного корня;
2)
в силу нечетности: f(2x+1)= -f(x)
Ответ:
Как известно, свойство непрерывности функции или, точнее, свойство непрерывной
функции, не имеющей корней на интервале, сохранять знак на этом интервал используется
для обоснования так называемого обобщенного метода интервалов.
Рассмотрим другие применения свойства непрерывности.
Геометрические интерпретации
Геометрическая интерпретация алгебраической задачи, или, точнее, перевод задачи на
геометрический язык, нередко является эффективным средством решения алгебраических
задач.
Пример
22.
Решите
систему
уравнений:
Решение. Пусть M (x; y), N (2; 4), K (5; 8). Тогда первое уравнение можно представить
в виде равенства MN + MK = 5. Кроме того, NK = 5. Другими словами, точка M принадлежит
отрезку NK. Уравнение прямой NK имеет вид y=
Следовательно,
Осталось решить полученную систему.
Ответ: (3; 5; 6).
При решении алгебраических задач иногда эффективен векторный подход.
Пример 23. Решите уравнение
Решение. Пусть
) , тогда
.
Последнее означает, что векторы
коллинеарны (сонаправлены)
То есть существует k > 0 такое, что x
откуда следует, что
Далее просто: x2(3 – x) = 1 + x, или x3 – 3x2 + x + 1 = 0, откуда x = 1 и (x – 1)(x2 - 2x - 1)
= 0.
Ответ: 1;1
Пример
24.
Решение. Пусть вектор
Решите
имеет координаты,
имеет координаты (1; 1; 1). Тогда
*
,откуда следует, что
и
систему
= 6,
* =
уравнений:
:
вектор
=
* | |, что возможно, только если векторы
коллинеарны. В данном случае
Откуда x = y = z.
Ответ: x = y = z =
Два «почти одинаковых» решения одной задачи
Пример 25. Решите уравнение:
Решение. Преобразуем исходное уравнение:
Ключ к решению: разность между выражениями, стоящими под знаками логарифма,
равна 1, и разность квадратов оснований логарифмов равна 1.
Перепишем
полученное
уравнение
в
виде
logm+1(n
+
1)
=
logm n,
где
. Далее разделим переменные m и n:
m=
Рассмотрим функцию
(t)=
Поскольку
при любых положительных значениях t, то функция f(t) убывает: уравнение f(n) =
f(m)равносильно уравнению m = n.
Осталось решить уравнение x2 – 2x – 3 = 7 +
Ответ:
.
.
Можно решить немного иначе.
Пусть,
тогда
И
Вычтем из первого уравнения второе, а затем домножим нa
.
Получим:
Заметим, что функция f(y) =
убывает
как
сумма
Получим уравнение:
двух
убывающих
показательных
функций,
поскольку
И так далее.
Три разных решения другой задачи
Пример 26. Решите систему уравнений
Решение.
Способ I. Вычтем из второго уравнения удвоенное первое.
Получим:
x2 - 2x + y2 - 2y + z2 - 2z = - 3
( x – 1)2 + (y – 1)2 + (z - 1)2 = 0
x = y = z = 1.
Осталось провести проверку найденных решений.
Ответ: (1; 1; 1).
Способ II. Пусть
(x; y; z),
(1; 1; 1), тогда
,
Следовательно, векторы
и
,
коллинеарны, то есть
Способ III.
Если рассматривать последнее уравнение как квадратное относительно x, то
D = (3 – y)2 – 4y2 + 12y – 12 = - 3y2 + 6y – 3 = - 3(y – 1)2, откуда
y = 1. И так далее.
Упражнения для самостоятельной работы
Решите уравнение (1 – 11).
1.
tg2 + 2tg x * (sin x + cos x) + 2 = 0.
2.
sin2 x = x2 + 1.
3.
2
4.
5.
6.
log2 x = 3 – x.
7.
sin x + sin 5x = 2.
8.
4arcsin(2x – 7) = arccos(5x – 124) +
9.
(2x+1)
10.
11.
Решите неравенство (12-15).
12.
13. log2 (2-3x) > 4x – 1.
14. x3 + 2x + 33 ≥ 0.
15.
Решите систему (16 – 18).
17.
18.
1.
Ответы, указания, решения
Корней нет. Указание. Представьте уравнение как квадратное относительно tg x.
2.
0.
3.
5. Указание. Используйте векторную интерпретацию.
4.
1. Указание. Исследуйте ОДЗ уравнения.
5.
2. Указание. Исследуйте ОДЗ уравнения.
6.
2. Указание. Воспользуйтесь свойством монотонности.
Указание. Воспользуйтесь ограниченностью функции синус.
7.
8.
3.
9.
Указание. Рассмотрите функцию как
10.
Решение. Пусть А(x; 0), B(3; 1), C(2; - 2). Данное равенство можно переписать в
виде AB + AC =
BC =
, кроме того,
. Следовательно, точка А лежит на пресечении отрезка BC и оси абсцисс.
Уравнение прямой BC: y = kx + t, где k и t можно найти из системы
Решив систему, получим: k = 3, t = - 8. Корень уравнения – абсцисса точки
пересечения прямой y = 3x – 8 с осью абсцисс.
Указание.
11.
Перепишем
уравнение
. Заметим, что
промежутков ( - ∞; 0) и (0; + ∞), поскольку
в
виде
возрастает на каждом из
. Следовательно, на каждом
из указанных промежутков f(t) имеет не более одного корня.
12.
[1; 5). Указание. Воспользуйтесь свойством монотонности.
13.
( - ∞; 0).
14.
[ - 3; + ∞).
15.
2. Решение. Заметим, что
равенство достигается при x = 2. Далее: 4x – x2 –
2 = 2 –(x – 2)2 ≤ 2, причем равенство достигается также при x = 2. Следовательно, log2(
4 – x2 – 2) ≤ 1, и исходное неравенство равносильно системе уравнений:
и
log2( 4 – x2 – 2) = 1.
16.
( 3; 3 ).
17.
( 3; 3; 3 ).
18.
( n;
k; ( - 1)l *
l), где n, k, l ∈ Z. Указание. Воспользуемся неравенством Коши о
средних:
Получим:
Таким образом, исходная система равносильна:
Проверь себя.
Решите уравнения (1 – 5):
1.
sin 2x = sin 4x.
Ответ :
2.
Ответ: 1 и 3log3 2.
3.
8cos x cos 2x cos 4x = 1.
Ответ:
4.
где n,k,t,p
,n
4
Ответ: 4 и
5.
2x + 2-x = 2cos2 x.
Ответ: 0.
Решите систему уравнений (6 – 8):
6.
Ответ:
.
7.
Ответ:
8.
Ответ:
Решите неравенства (9 – 12)
9.
Ответ: ( - ∞; 2) (2; 5).
10.
Ответ:(1,5; 1,8)
11.
Ответ: [2; 4).
12. (x – 6)log5(x2 – 6x + 8) ≤ 0.
Решите задачи с параметром (13 – 14)
13. Найдите все значения параметра a, при которых больший корень уравнения x2 – (14a –
3)x + 49a2 – 21a + 2 = 0 меньше – 8.
Ответ: ( - ∞; - 1).
14. При каких значениях параметра а система
решение?
имеет единственное
Ответ: 16 и 36.
Список заданий для самостоятельной работы
Решите следующие уравнения и неравенства:
Ответы:
1.|x| = |2x + 3|+ x – 1
2.|x2 - 9| + |x2 - 4| = 5
4
3.
[ - 3; - 2]
<3
4. |5 – x|<|x - 2|+|7 + 2x|
1)
( - ∞; - 6]
[2; 3]
( - ; + ∞)
Литература
Говоров В. М. Сборник конкурсных задач по математике (с методическими
указаниями и решениями) [Текст] / В.М. Говоров, П. Т. Дыбов, Н. В. Мирошин, С. Ф.
Смирнова. - М.:Наука, 1983. – 384 с.
2)
Сборник задач по математике для поступающих в вузы [Текст]: учеб. пособие /
П. Т. Дыбов, А. И. Забоев и др.; под ред. А. И. Прилепко. – М.: Высшая школа, 1982.
– 239 с.
3)
Чулков П.В. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики: учеб. –
метод. пособия [Текст] / П. В. Чулков. – М.: Педагогический ун – т «Первое
сентября», 2006. – 84 с.