КР3_реш_АС567x

1
Прохождение гомоцентричного пучка света через плоскопараллельную пластинку.
ПП пластинка с коэффициентом преломления, отличным от показателя преломления среды,
не изменяет направление луча, она лишь смещает
его параллельно самому себе. Если на пластинку
падает гомоцентричный пучок лучей, то при небольших углах падения – α, если tg (α)≈sin(α), гомоцентричность сохраняется. Однако кажущийся
центр пучка смещается вдоль оси пучка. В случае
сходящегося пучка его центр удаляется от пластинки на расстояние Δ, а, в случае расходящегося пучка – приближается к пластинке на то же
расстояние.
Рисунок 1
Вычислим величину Δ согласно рисунку.
Δ=АО’-AO=d+CD*ctg(α)-AB*ctg(α)=d-(AB-CD) *ctg(α)
AB-CD=d*tg(β)
Подставим AB-CD в формулу для Δ:
Δ=d- d*tg(β) ctg(α)=d(1- tg(β)/tg(α)) Для малых углов отношение тангенсов заменяется отношением синусов, а отношение синусов – относительным
показателем преломления – n. В результате получим.
1
∆= 𝑑 (1 − )
(1)
𝑛
Исходные данные варианта приведены в таблице, а расположение элементов на рисунке 2.
9
R1 ,
м
R2 ,
м
R3 ,
м
R4 ,
м
һ,
см
a1,
см
a2,
см
b,
см
0,25
0,55
0,65
0,85
8,5
6,5
4,5
65
Решение:
1.
Найти фокусные расстояния и оптические
силы линз Вашей оптической системы
• Формула, определяющая оптическую силу:
1
1
• 𝐷 = (𝑛 − 1) ( − )
(2)
𝑅
𝑅
1
2
Тип
билинз
ы
6б
ε,
мм
λ,
нм
0,25
490
• Где R1, R2 – радиусы кривизны соответственно левой и
Рисунок 2
правой поверхностей линзы. Радиус положителен, если
центр кривизны правее центра линзы. Радиус отрицателен, если центр кривизны левея центра линзы.
1
1
• Для линзы 1 𝐷1 = (1.5 − 1) (
+
(3)
) = 3.6667дптр
0.25м
1.2∗0.25м
Фокусные расстояния f1=1/D=0.273 м
−1
−1
Для линзы 3 𝐷3 = (1.5 − 1) (
+
(4)
) = −1.731дптр
0.65м
0.8∗0.65м
Фокусные расстояния f3=1/D=-0.578 м.
2
Пункт 1 выполнен.
2.
Найти положение изображения источника.
Источник света находится на расстоянии 65 см от первой линзы, у которой фокусное расстояние f=23.7 см. Поскольку предмет находится на расстоянии, превышающем двойное фокусное расстояние собирающей линзы,
изображение будет действительным перевернутым и уменьшенным. Расходящийся пучок света от источника после прохождения первой линзы станет
сходящимся. Поместим начало координат в центр первой линзы. Координата
источника xs=-0.65 м. Если пока не учитывать действие плоскопараллельной
пластинки, то координата изображения источника – xs’, даваемого первой
линзой определится из формулы линзы:
1
1
1
− =
(5)
𝑥𝑠′ 𝑥𝑠 𝑓1
Откуда:
𝑓1
0.273 м
𝑥𝑠′ = 𝑥𝑠
= −0.65м
= 0.4707м
(6)
𝑓1 + 𝑥𝑠
0.273 м − 0.65м
Плоскопараллельная пластинка, получая сходящийся пучок лучей, отдалит точку схождения пучка на расстояние
1
∆= ℎ (1 − ) = 8.5см ∗ 0.333 = 2.83см
(7)
𝑛
В результате координата изображения источника, даваемого первой
линзой и пластинкой, будет равна:
𝑥𝑠′′ = 𝑥𝑠′ + ∆= 0.5 м.
(8)
Перенесем начало координат в центр второй линзы и будем считать
изображение источника первой линзой предметом для второй линзы. Для
различения систем координат для первой и второй линз обозначим координаты для второй линзы буквой z. Тогда координата предмета для второй
линзы будет равна:
𝑧𝑠 = 𝑥𝑠′′ − (𝑎1 + 𝑎2 ) = 0.39 м
(9)
Координата изображения, даваемого второй линзой, определится формулой (6) с заменой обозначений. Учтем также, что вторая линза – рассеивающая и ее фокусное расстояние отрицательною
𝑧𝑠 𝑓3
𝑧𝑠′ =
= 0.503 м
𝑥𝑠 + 𝑓3
Изображение получается справа от второй линзы, т.е является действительным.
Пункт 2 выполнен.
3.
Определить увеличение, даваемое системой линз
Увлечение, даваемое системой линз, равно произведению увеличений,
даваемых каждой из линз системы: Г=Г1*Г2
Формула для поперечного увеличения одиночной линзы:
3
𝑓
,
(10)
𝑓 + 𝑥𝑠
Где f – фокусное расстояние линзы, xs – координата предмета.
𝑓1
0.273 м
Г1 =
=
= −0.724
(11)
𝑥𝑠 + 𝑓1 −0.65 м + 0.273 м
Изображение в первой линзе получается уменьшенным, перевернутым
𝑓3
−0.578 м
Г2 =
=
= 7.71
(12)
𝑧𝑠 + 𝑓3 0.503 м − 0.578 м
Хоть линза и рассеивающая, но изображение дает действительное, увеличенное, не перевернутое.
Общее увеличение системы из двух линз:
Г=Г1*Г2=-5.58
Изображение действительное перевернутое, увеличенное.
Пункт 3 выполнен.
Г=
4.
В системе оставляют одну собирающую линзу (если их в системе две, то любую по Вашему выбору). Из этой линзы делают билинзу
Бийе путем распиливания по диаметру на две половины и: сдвиганием
или раздвиганием частей симметрично относительно оси на расстояние ε. Два возможных варианта билинзы
показаны на рисунке.
Источник монохроматического
света с длиной волны λ находится на
Рисунок 3
оси симметрии билинзы. Задавая самостоятельно расстояние от источника до
билинзы и расстояние от билинзы до экрана, перпендикулярного оси симметрии, найти ширину интерференционных полос на экране и количество полос
на экране.
Положение источника света необходимо задать так, чтобы световые потоки от него после прохождения верхней и нижней полулинз затем пересекались. Для этого при использовании раздвижной билинзы источник должен
находится от линзы дальше ее фокальной плоскости, а в случае сдвижной билинзы - ближе.
На рисунке 4 показаны области пересечения световых потоков в обоих
случаях. Эта область заключена между лучами, проходящими от источника
через оптические центры полулинз (точки О1, О2). В случае раздыижной билинзы эти центры находятся на линии разреза, в случае сдвижной билинзы
оптические центры сошлифованы и являются воображаемыми.
Для расчета ширины интерференционных полос можно полагать, что
свет исходит из двух вторичных когерентных источников S1 и S2. В случае
4
раздвижной билинзы эти источники являются действительными изображениями, которые дают половинки билинзы, а в случае сдвижной изображения
источника являются мнимыми.
Рисунок 4
В приводимом примере заданный вариант билинзы Бийе является
сдвижным, т.е. после разрезания линзы по диаметру часть стекла по разрезу
сошлифовывается и полученные полулинзы соединяются, как показано на
рисунке 3. В качстве источника света используется освещенная щель, параллельная разрезу.
5.
Найти количество полос на экране, определяемое геометрией,
системы
5
Для расчета ширины интерференционных полос сведем схему с билинзой к схеме Юнга. Для этого вычислим расстояние между изображениями источника света, давемыми половинками билинзы. Воспользуемся формулой
линзы:
1
1
𝑎
−
= 𝐷1 ⟹ 𝑏 =
(13)
−𝑏 −𝑎
1 − 𝑎𝐷1
Мы полагаем расстояния a и b положительными. Поскольку в формуле
линзы фигурируют координаты предмета и изображения, которые слева от
линзы отрицательны, в формулу расстояния подставлены со знаком минус.
Если источник находится в фокальной плоскости билинзы, то мнимые изображения его оказываются в бесконечности (b=∞).
Расстояние между изображениями источника – d найдем из подобия
треугольников S1S2S и O1O2S:
𝑑 𝑏−𝑎
𝑏−𝑎
𝜀𝑎𝐷1
=
⇒ 𝑑=𝜀
=
(14)
𝜀
𝑎
𝑎
1 − 𝑎𝐷1
Зададим произвольно расстояние l между экраном и линзой. Ширина
полос определится формулой для схемы Юнга:
𝜆(𝑏 + 𝑙) 𝜆(𝑎 + 𝑙(1 − 𝑎𝐷1 )
∆𝑥 =
=
(15)
𝑑
𝜀𝑎𝐷1
Формула для ширины полосы становится очень простой, если источник
расположить в фокальной плоскости билинзы, т.е. взять, а=f1. В этом случае
𝜆
𝜆𝑓1
∆𝑥 =
=
(16)
𝜀𝐷1
𝜀
Т.е. ширина полосы не зависит от расстояния между линзой и экраном.
Это естественно, поскольку когерентные источники света находятся в бесконечности, а лучи от них параллельны оси симметрии и перпендикулярны
экрану.
Ширина области перекрытия интерферирующих потоков на экране |MK| определится из подобия треугольников SMK и SO2O1:
|𝑆𝑂|
𝑙+𝑎
𝑙
|𝑀𝐾| = 𝜀
=𝜀
= 𝜀 ( + 1)
(17)
𝑎
𝑎
𝑎
Отношение |MK|/Δх дает число интерференционных полос:
𝑙
𝜀 ( + 1)
𝜀2
𝑎+𝑙
𝑎
𝑁=
=
(18)
[
]
𝜆(𝑎 + 𝑙(1 − 𝑎𝐷1 ) 𝜆𝑓1 𝑎 + 𝑙(1 − 𝑎𝐷1 )
𝜀𝑎𝐷1
Вместо оптической силы D1 использовано фокусное расстояние
f`1=1/D1. Эта формула записана таким образом, что первый сомножитель (перед квадратной скобкой) состоит только из заданных в условии величин, а
второй множитель зависит от величин l и a, которые можно задать самостоятельно. В частном случае, когда a=f1, т.е. aD1=1, будем иметь:
𝜀2
𝑙
𝑁=
(19)
(1 + )
𝜆𝑓1
𝑎
6
Зададим, наконец, расстояния от билинзы до источника a=f1=0.273 м и
расстояние от билинзы до экрана l=9a=2.457 м. Такой выбор расстояний позволить вычислить ширину полосы и число полос по простым формулам (16)
и (19). После подстановки числовых данных получим:
𝜆
𝜆𝑓1 0.49 мкм ∗ 0.273м
∆𝑥 =
=
=
= 0.535 мм
𝜀𝐷1
𝜀
0.25 мм
𝜀2
𝑙
(0.25 мм)2
𝑁=
10 = 4.67
(1 + ) =
𝜆𝑓1
𝑎
0.49мкм ∗ 0.273м
Т. Е. на экране буде т видна центральная полоса и еще по две полосы с
двух сторон (всего 5 штук).
Задание 5 выполнено.
6.
На систему из двух длинных прямоугольных щелей, показанных на рис. 5, падает нормально свет с длиной волны λ. Пусть I0' – интенсивность
света, наблюдаемого в направлении первоначального распространения в отсутствие
среднего непрозрачного промежутка шириной b1. Найти отношение интенсивности
света, наблюдаемого в направлении, опредеРисунок 5
ляемом углом φ, к I0'. При φ<0 угол откладывается от вертикали по часовой стрелке.
Будем использовать метод суммирования колебаний с помощью суммирования векторов, изображающих колебания. Если световой поток падает
перпендикулярно на узкую щель, то во всех точках щели фаза световых колебаний одинакова.
При суммировании векторов колебаний, переносимых волнами, идущими в первоначальном направлении, все векторы оказываются направлены одинаково и в сумме дают вектор того
же направления, как показано на рисунке 9
Если рассматривать волны, распространяющиеся под углом
φ по отношению к первоначальному направлению, то появляется
разность хода между волнами от соседних элементов щели и векторная сумма закручивается в дугу окружности, показанную на
рисунке 10. Угол, на который закручивается дуга, равен разности
фаз волн от крайних элементов щели. Эта разность фаз выражается формулой
2𝜋𝑑𝑠𝑖𝑛(𝜑)
𝛼=
(20)
𝜆
Где d – ширина щели. При этом угол β который составляет вектор
суммы с горизонтальной осью, оказывается равным α/2. Длина дуги, представляющей векторную сумму остается неизменной и равной длине отрезка
векторной суммы при φ=0. Нам задана интенсивность света, проходящего в
направлении φ=0, при величине щели, равной a+b+c (см. рисунок 2). Так как
7
интенсивность – это квадрат амплитуды можно определить амплитуду
волны, идущей в направлении φ=0.
𝐴0 = √𝐼0′
(21)
Величина А0 будет равна длине дуги на которой происходит суммирование векторов колебаний.
Если какая-то часть щели перекрыта, то из векторной суммы исключается соответствующая часть дуги.
Где d – ширина щели. При этом угол β который составляет вектор
суммы с горизонтальной осью, оказывается равным α/2. Длина дуги, представляющей векторную сумму остается неизменной и равной длине отрезка
векторной суммы при φ=0. Нам задана интенсивность света, проходящего в
направлении φ=0, при величине щели, равной a+b+c (см. рисунок 2). Так как
интенсивность – это квадрат амплитуды можно определить амплитуду
волны, идущей в направлении φ=0.
𝐴0 = √𝐼0′
Величина А0 будет равна длине дуги на которой происходит суммирование векторов колебаний.
Если какая-то часть щели перекрыта, то из векторной суммы исключается соответствующая часть дуги.
Суммарный вектор колебаний, переносимых волнами от первой щели,
определится в виде хорды дуги с радиусом – r и углом α1. Процесс суммирования показан на рисунке 11. Сразу же вычислим горизонтальную и вертикальную суммарного вектора колебаний от первой щели
𝐴𝑥1 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝛼1 − π/2) = 0.39𝑟
(22)
π
𝐴𝑦1 = 𝑟 + 𝑟𝑠𝑖𝑛 (𝛼1 − ) = 1.92𝑟
(23)
2
На первом открытом и перекрытом участке щели –b создается разность фаз
2𝜋(𝑎 + 𝑏) ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝜑)
𝛼2 =
= 2𝜋 ∗ 0.95 = 6.02рад
𝜆
Вторая щель, с шириной – с, открывает путь волнам, которые несут колебания, соответствующие дуге в интервале углов от α2=6.02 рад. До α=9.86 рад. Суммирование колебаний
этой дуги показано на рисунке 12. Вычислим координаты начально и конечной точки суммарного вектора.
𝑥2н = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝛼2 − π/2) = −0.26𝑟
𝑦2н = 𝑟 + 𝑟𝑠𝑖𝑛(𝛼2 − π/2) = 0.034𝑟
𝑥2к = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝛼 − π/2) = −0.42𝑟
𝑦2к = 𝑟 + 𝑟𝑠𝑖𝑛(𝛼 − π/2) = 1.91𝑟
8
Горизонтальная и вертикальная составляющие суммарного вектора будут равны:
𝐴𝑥2 = 𝑥2к − 𝑥2н = −0.16 𝑟
𝐴𝑦2 = 𝑦2к − 𝑦2н = 1.876 𝑟
Векторы колебаний, переносимых волнами от каждой щели
в направлении угла φ определены. Теперь очень просто вычислить координаты суммарного вектора:
𝐴𝑥 = 𝐴𝑥1 + 𝐴𝑥2 = 0.23 𝑟
𝐴𝑦 = 𝐴𝑦1 + 𝐴𝑦2 = 3.8 𝑟
Квадрат модуля этого вектора определяет амплитуду суммарной
волны, идущей в направлении угла φ.
𝐼𝜑 = 𝐴2𝑥 + 𝐴2𝑦 = 14.49𝑟 2
Но r2=I0’/α2, следовательно
14.49𝐼0′
14.49
′
𝐼𝜑 =
=
𝐼
= 0.149𝐼0′
0
2
𝛼
97.22
𝐼𝜑
′ = 0.149 Пункт 6 выполнен
𝐼0
7. Пусть I0'' – интенсивность света, наблюдаемого в направлении
первоначального распространения при наличии среднего непрозрачного
промежутка шириной b. Найти отношение интенсивности света,
наблюдаемого в этом случае в направлении угла φ, к I0'
Для нахождения интенсивности I’’ необходимо из общей суммы векторов колебаний удалить векторы, приходящиеся на непрозрачную перегородку b. В результате длина суммарного вектора умножится на отношение
ширины пропускающих щелей к общей ширине преграды (a+c)/(a+b+c). Поскольку интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды колебаний,
можем записать:
𝑎+𝑐 2
′′
′
𝐼0 = 𝐼0 (
(24)
)
𝑎+𝑏+𝑐
Искомое отношение будет равно
𝐼𝜑
𝐼0′′
=
𝐼𝜑 𝑎+𝑏+𝑐 2
𝐼0′
(
𝑎+𝑐
) = 0.33
Пункт 7 выполнен.
8.
На дифракционную решетку, содержащую n1 штрихов на 1мм
длины, падает нормально свет с длиной волны λ. Расстояние от решетки до экрана L. Найти общее число наблюдаемых максимумов и расстояние от центрального максимума до последнего наблюдаемого. Пусть
на решетку падает белый свет с длинами волн в интервале (450÷700) нм.
Найти длину спектра второго порядка. Начиная со спектров каких порядков наблюдается их перекрытие?
Положение главных максимумов при дифракции на решетке определяется формулой d*sin(φ)=kλ, в которой d-период решетки, k – целое число –
порядок главного максимума. Полагая φ=π/2, определим максимально возможный порядок
9
d ∗ sin(φ)
10−3 м ∗
𝑘𝑚𝑎𝑥 = 𝑖𝑛𝑡 (
) = 𝑖𝑛𝑡 (
)=4
λ
𝑛1 ∗ 600 мкм
(Функция int(х) – взятие от дроби только целой части.)
Общее число видимых на экране главных максимумов, включая центральный будет равно 9. Четыре по обе стороны от центрального - нулевого.
Найдем угол направления на последний главный максимум
4𝜆
sin(𝜑𝑚𝑎𝑥 ) =
= 0.81
𝑑
Следовательно, φmax=0.95 рад. (46.6о)
Расстояние от центрального до четвертого максимума определится из
чертежа, показанного на рисунке 13
l=L*tg(φmax)=1.82 м
Предположим, что решетка освещается белым светом,
λmin=450 нм, , λmax=700 нм. Тогда максимум второго порядка для фиолетовых лучей будет под углом φ1, который
определится уравнением:
𝑑𝑠𝑖𝑛(𝜑ф ) = 2 ∗ 𝜆𝑚𝑖𝑛
Максимум второго порядка для красных лучей удовлетворяет такому
же уравнению:
𝑑𝑠𝑖𝑛(𝜑кр ) = 2 ∗ 𝜆𝑚𝑎𝑥
Из этих уравнений найдем
sin(φф)=2*λmin/d=0.306
=> φф=0.37 рад
sin(φкр)=2*λmax/d=0.47
=> φкр=0.49 рад
Теперь определим расстояние на экране между максимумами для красных и фиолетовых лучей, это будет протяженностью спектра второго порядка
Δl=L(tg(φкр) – tg(φф))=0.189 м.
Дифракционная решетка отклоняет красные лучи сильнее, чем фиолетовые. Поэтому красная часть спектра k-того порядка может наложиться на
фиолетовую часть k+1 порядка. В качестве условия такого наложения возьмем равенство синусов углов отклонения:
sin(φф)=(k+1)*λmin/d = sin(φкр)=k*λmax/d
Из этого равенства получим
(k+1)*λmin = k*λmax => 1+1/k=1.5555
=> k=1.8
Это означает, что красная часть спектра второго порядка наложится на
фиолетовую часть спектра третьего порядка.
Пункт 8 выполнен.
9. Проектируем электролампочку с вольфрамовой нитью накала.
Возьмем следующие исходные данные=200 Вт, k=0.5, U=220 B, T=2400 K.
Излучаемая мощность равна поглощаемой электрической мощности.
По закону Стефана – Больцмана запишем::
𝜎𝑇 4 𝑆𝑘 = 𝑃,
(25)
10
Где S – площадь боковой поверхности нити накала. Если l – длина
нити, d – ее диаметр, то
𝑆 = 𝜋𝑑𝑙
(26)
И после подстановки площади получим:
𝜎𝑇 4 𝜋𝑑𝑙𝑘 = 𝑃
(27)
Электрическое сопротивление нити накала выражается через длину
нити и площадь ее поперечного сечения, которая равна πd2/4:
4𝑙
𝑅 = 𝜌 2,
(28)
𝜋𝑑
Где ρ – удельное сопротивление вольфрама, которое зависит от температуры. Данная зависимость является линейной и выражается следующей
формулой:
𝜌 = 𝜌20 [0.904 + 𝛼 ∗ (Т − 273)]
(29)
Громоздкость этой формулы обусловлена тем, что в справочниках приводится удельное сопротивление металлов при температуре 20оС, в то время
как нам необходима зависимость удельного сопротивления от абсолютной
температуры (в Кельвинах). Можно немного преобразовать формулу, используя известное значение температурного коэффициента для вольфрама:
α=4.8*10-3 1/К:
𝜌 = 𝜌20 (−0.406 + 𝛼𝑇)
С учетом этой формулы сопротивление нити накала выразится следующей формулой:
4𝑙
𝑅 = 𝜌20 (−0.406 + 𝛼𝑇) 2
(30)
𝜋𝑑
С другой стороны, сопротивление нити накала выражается через электрическую мощность:
𝑈2
𝑅=
(31)
𝑃
Из двух последних равенств будем иметь следующее уравнение:
4𝑙
𝑈2
𝜌20 (−0.406 + 𝛼𝑇) 2 =
(32)
𝜋𝑑
𝑃
Из которого выразится длина нити:
𝜋𝑑 2 𝑈 2
𝑙=
(33)
4𝑃𝜌20 (−0.406 + 𝛼𝑇)𝑃
После подстановки (33) в (27) получим уравнение для диаметра нити:
𝜋 2 𝑑3 𝑈2
4
𝜎𝑇
𝑘=𝑃
4𝑃𝜌20 (−0.406 + 𝛼𝑇)
4𝑃2 𝜌20 (−0.406 + 𝛼𝑇)
3
𝑑 =
𝜎𝑇 4 𝜋 2 𝑈2 𝑘
Поскольку формула получена путем множества преобразований и подстановок, необходима проверка размерности:
Вт2 ∗ Ом ∗ м
3
м =
(Вт/м2 )В2
11
Размерность левой и правой части равенства совпадают, это позволяет
надеется на правильность результата. Подставим числовые данные:
1/3
4𝑃2 𝜌20 (−0.406 + 𝛼𝑇)
𝑑=(
) = 60.2 ∗ 10−6 м
4
2
2
𝜎𝑇 𝜋 𝑈 𝑘
Подставим полученное значение диаметра в формулу для длины нити
(33):
𝜋𝑑 2 𝑈 2
𝑙=
= 1.1 м
4𝑃𝜌20 (−0.406 + 𝛼𝑇)𝑃
Пункт 9 и работа в целом выполнены.