МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ КАНСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ
КАНСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ
ЦМК общеобразовательных, математических, общих естественнонаучных и
общепрофессиональных дисциплин
Дисциплина: Дискретная математика
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ПРАКТИЧЕСКИМ РАБОТАМ
для специальности
Компьютерные системы и комплексы
МУ.00479926.230113.14
1
Разработчик:
____________ И.В. Моргун, преподаватель Канского политехнического
(подпись)
колледжа
Рецензент:
_____________ Л.В. Искорнева, преподаватель Канского политехнического
(подпись)
колледжа
Рассмотрена:
ЦМК общеобразовательных,
математических, общих
естественнонаучных и
общепрофессиональных
дисциплин
Протокол № __
от «__» _________ 20_____г.
Председатель ЦМК
___________ Л.В. Искорнева
(подпись)
2
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 1
Основные операции над множествами: объединение, пересечение
Цель: закрепить навыки нахождения объединения и пересечения множеств.
Теоретическая часть
Определения основных понятий и их обозначения
Определение: Два множества A и B называются равными, если они состоят
из
одних
и
тех
же элементов,
элемент множества A принадлежит
множеству B
т.е. если каждый
и,
обратно,
каждый
элемент B принадлежит A.Следовательно, два множества равны, если каждое
из них является подмножеством другого (A = B  (A  B и В А)).
Определение: Множества не равны, если хотя бы в одном множестве
существует хотя бы один элемент, не принадлежащий другому множеству.
Определение:
Объединением множеств А и В называется
состоящее
всех элементов,
из
принадлежащих
хотя
множество С,
бы
одному
из
данных множеств (т. е. либо A, либо B, либо одновременно и A и B).
Объединение множеств обозначается символами "+" и "U": C = A U B.
Определение:
Пересечением множеств А и В называется
множество С,
состоящее из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и
множеству В. Если
их пересечение равно
множества А и В не
пустому
имеют
множеству
общих элементов,
∅;
в
этом
"•"
(знак
случае множества А и В называются непересекающимися.
Пересечение множеств обозначается
символами
"∩"
и
умножения): С = А ∩ В или С = АВ.
3
Определение: Множество A содержится во множестве B (множество B
включает множество A), если каждый элемент A есть элемент В:
Говорят,
что множество А содержится
в
множестве В или множество А
является подмножеством множества В ( в этом случае пишут А
каждый элемент множества А одновременно является
множества В .
Эта
зависимость
между
В ), если
элементом
множествами
называется включением. Для любого множества А имеют место включения:
Ø АиА
А
Примеры:
1. Пусть A = {1,2,3,4},B = {3,4,5,6,7}. Тогда
2. А={2,4,6,8,10}, В = {3,6,9,12}. Найдём объединение и пересечение этих
множеств:
{2,4,6,8, 10,3,6,9,12},
= {6}.
3. Множество детей является подмножеством всего населения
4.
Пересечением
множества
целых чисел с
множеством
положительных чисел является множество натуральных чисел.
5. Объединением
множества
рациональных чисел с
множеством
иррациональных чисел является множество положительных чисел.
6.Нуль является дополнением множества натуральных чисел относительно
множества неотрицательных целых чисел.
Задача 1. В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует.
Известно,
что
поют
17 человек,
а
танцевать умеют 19 человек.
Сколько человек поёт и танцует одновременно?
Решение: Сначала заметим, что из 30 человек не умеют петь 30 - 17 =
13 человек.
4
Все они умеют танцевать, т.к. по условию каждый ученик класса поёт или
танцует. Всего умеют танцевать 19 человек, из них 13 не умеют петь, значит,
танцевать и петь одновременно умеют 19-13 = 6человек.
Практическая часть
1. Даны множества А = {3,5, 0, 11, 12, 19}, В = {2,4, 8, 12, 18,0}.
Найдите множества AU В.
2. Составьте не менее семи слов, буквы которых образуют подмножества
множества А -{к,а,р,у,с,е,л,ь}.
3. Пусть A - это множество натуральных чисел, делящихся на 2, а В множество натуральных чисел,
делящихся
на
4.
Какой
вывод можно сделать относительно данных множеств?
4. На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 немецкий язык, а 23 - оба языка. Сколько человек фирмы не знают ни
английского, ни немецкого языков?
5. Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 - лимонад, а 15 - и
молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко,
ни лимонад?
6. 12 моих одноклассников любят читать детективы, 18 -фантастику, трое с
удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает.
Сколько учеников в нашем классе?
7. Из тех 18 моих одноклассников, которые любят смотреть триллеры,
только 12 не прочь посмотреть и мультфильмы. Сколько моих
одноклассников смотрят одни «мультики», если всего в нашем классе25
учеников, каждый из которых любит смотреть или триллеры, или
мультфильмы, или и то и другое?
8. Из 29 мальчишек нашего двора только двое не занимаются спортом, а
остальные посещают футбольную или теннисную секции, а то и обе.
Футболом занимается 17 мальчишек, а теннисом - 19. Сколько
футболистов играет в теннис? Сколько теннисистов играет в футбол?
5
9. 65 % бабушкиных кроликов любят морковку, 10 % любят и морковку, и
капусту. Сколько процентов кроликов не прочь полакомиться капустой?
10. В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 -черешню. Двое
любят груши и черешню; 6 - груши и яблоки; 5 -яблоки и черешню. Но
есть в классе два ученика, которые любят все и четверо таких, что не
любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?
11. В конкурсе красоты участвовали 22 девушки. Из них 10 было красивых,
12 -умных и 9 -добрых. Только 2 девушки были и красивыми, и умными;
6 девушек были умными и одновременно добрыми. Определите, сколько
было красивых и в то же время добрых девушек, если я скажу вам, что
среди участниц не оказалось ни одной умной, доброй и вместе с тем
красивой девушки?
12. В
нашем классе 35
учеников.
За
первую
четверть
пятерки
по
русскому языку имели 14 учеников; по математике - 12; по истории - 23.
По русскому и математике - 4; по математике и истории - 9; по
русскому языку и истории - 5. Сколько учеников имеют пятерки по всем
трем предметам, если в классе нет ни одного ученика, не имеющего
пятерки хотя бы по одному из этих предметов?
13. Из
100 человек 85 знают английский язык,
80
-
испанский,
75
-
немецкий. Все владеют, по крайней мере, одним иностранным языком.
Среди них нет таких, которые знают два иностранных языка, но есть
владеющие тремя языками. Сколько человек из этих 100 знают три
языка?
14. Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 -в Италии, 6 - в
Англии; в Англии и Италии - 5; в Англии и Франции - 6; во всех трех
странах - 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и
Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них
побывал хотя бы в одной из названных стран?
6
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 2
Основные операции над множествами: разность, дополнение.
Классификация множеств.
Цель: закрепить навыки нахождения разности, дополнения множеств, разбиения
множества на классы.
Теоретическая часть
Определение:
содержащее
Разностью множеств А и В называется
те
элементы множества А,
множество А\В,
которые
не
принадлежат
множеству В. В определении разности множеств А и В не предполагается,
что В является подмножеством множества A.
Определение:
Если В подмножество A,
то
разность А\В
называется
дополнением множества В до множества А. Для дополнения множества А до
универсального множества U применяется обозначение
.
Определение: Классификация – это действие распределения объектов по
классам на основании сходств внутри класса и их отличия от других
объектов.
Любая
классификация
связана
с
разбиением
некоторого множества объектов на подмножества.
Считают, что множество Х разбито на классы Х , Х ,…, Х , если:
1)
подмножества Х , Х ,…, Х попарно не пересекаются;
2)
объединение этих подмножеств совпадает с множеством Х.
Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, классификацию
считают неправильной.
Примеры:
а) Множество треугольников Х разбито
на
три класса:
остроугольные,
прямоугольные и тупоугольные. Действительно, выделенные подмножества
попарно не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х;
b) Из множества треугольников Х выделили подмножества равнобедренных,
равносторонних
и
разносторонних треугольников.
Так
как
множества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются,
7
значит,
не
выполнено
первое
условие
классификации,
и
разбиения множества Х на классы мы не получили.
Так как разбиение множества на классы связано с выделением его
подмножеств, то классификацию можно выполнять при помощи свойств
элементов множеств.
Практическая часть
1. Записать множество
, если А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9, 12}.
2. Записать множество
, если А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9, 12}.
3. Проиллюстрировать
с
помощью
кругов
Эйлера
следующую
формулу:
4. Проиллюстрировать с помощью Диаграмм Венна верность тождества:
.
5. По диаграмме Венна записать формулу:
6.
Даны множества A, B и C,
которые
представлены
следующими
элементами: A = {1, 2, 4, 5}, B = {1, 3, 5}, C = {4, 5, 6}. Найдите разность
множеств А и В, А и С. Найдите дополнение множества В до А, и С до А,
если это возможно.
.
7.Пусть
Найдите
разность
множеств А и В, В и А.
8. Приняв отрезок за универсальное множество T=[0,1] найти и изобразить на
числовой оси дополнения следующих множеств: {0,1}; {1/4}∪[3/4,1).
9.Запищите элементы пересечения, объединения, разности, декартова
произведения множеств А и В:
а) А= {а,о,и,у,ю}, В={а,б,и,к,о};
б) А={3,6,9,12,15}; В={6,1,2,5,9,13};
в) А={1,2,3,4,5,6} В={12,34,56}.
8
10. Найдите разность множеств А и В:
а) А={д,о,м}, В={м,о,р,е}; б) А={11,12,48,54,7}, B={7,12};
в) А=х/ хN, х 11, В=х/ хN, х 5.
11. Выпишите все двузначные числа, в которых число десятков принадлежит
множеству {8,6,2}, а число единиц множеству {3,5,0}.
12. Даны множества: А={а, б, с},
множества:
B={m,n} ,С={х, у, z}. Запишите
АВС и ВАС. Выясните, какие из следующих
высказываний верны: а) (б, m, х)АВС; б) (б, m, х)ВАС; в)
АВС=ВАС. 6) Покажите графически, что декартово умножение
множеств А= {3,2,1} и
В= {1, 4,6} не обладает свойством
коммутативности.
13. Среди следующих выражений найдите такие, которые представляют
собой равные множества:
а) РМК; б) Р(МК); в) РМР К; г) Р(МК);
д) (РМ)К; е)(МР)(РК).
14. Даны множества: А - натуральных чисел, кратных 2; В - натуральных
чисел, кратных 3; С- натуральных чисел, кратных 5.
а) Изобразите при помощи кругов Эйлера данные множества и отметьте
штриховкой область, изображающую множество АВ  С.
б)
Сформулируйте характеристическое свойство элементов этого
множества и назовите 3 элемента, которые ему принадлежат.
в) Верно ли, что АВ С = (А В) (А  С)?
15. Сформулируйте условия, при которых истинны следующие выказывания:
а) 5А \ В;
б) 7  А \ В.
16. Известно, что х  А \ В. Следует ли из этого, что: а)хА; б)хВ?
17. Найдите разность множеств Аи В, если
а) А = {1,2, 3,4,5,6}, В ={2,4, 6, 8, 10};
б) А = {1,2, 3,4, 5, 6}, В = ;
в) А = {1,2,3,4,5,6},В={1,3,5};
9
г) А= {1, 2, 3,4, 5, 6}, В = {6, 2, 3, 4, 5, 1}.
18. Найдите дополнение множества У до множества X, если:
а) Х-множество точек прямой АВ, Y- множество точек отрезка АВ;
б) X- множество точек квадрата, У - множество точек круга, вписанного
в этот квадрат.
19. Из каких чисел состоит дополнение:
а) множества натуральных чисел до множества целых;
б) множества целых чисел до множества рациональных;
в) множества рациональных чисел до множества действительных.
20. Из множества X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} выделили
подмножества X1, Х2и Х3. В каком из следующих случаев множество X
оказалось разбитым на классы:
а) X1 ={1,3,5,7, 11}, Х2= {2,4,6,8, 10, 12},Х3={9};
б)X1 = {1,3,5,7,9,11}, Х2= {2,4,6,8,10, 12},Х3= {10, 11, 12};
в) X1= {3, 6, 9, 12}, Х2 = {1, 5, 7, 11}, Х3= {2, 10}?
21. Из множества X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10, 11, 12} выдели подмножества:
а) А - четных чисел, В- нечетных чисел;
б) А - чисел, кратных 2; В - чисел, кратных 3; С- чисел, кратных 4;
в) А - нечетных однозначных чисел; В- четных двузначных чисел.
В каком случае произошло разбиение множества X на классы?
10
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 3
Применение комбинаторики
Цель: сформировать умения и навыки применения основных формул при
решении комбинаторных задач.
Теоретическая часть
Правила комбинаторики
1) Правило произведения: Если элемент ‘x’ можно выбрать N способами
и при каждом таком выборе элемент ‘y’ можно выбрать M способами,
то пару ‘x и y’ можно выбрать M*N.
2) Правило суммы: Если элемент ‘x’ можно выбрать N способами и при
каждом таком выборе элемент ‘y’ можно выбрать M способами, то
‘или x или y’ можно выбрать M+N.
Определение: Выборкой объекта ‘k’ из М={a,an} называется всякая
последовательность ’k’ элементов множества М.
Определение: Если элементы выборки повторяются, то выборка называется
без повторной иначе выборкой с повторением.
При без повторной выборки все равно каким образом осуществляется
выбор, берутся все элементы сразу или же по одному.
Определение: Расположение элементов выборки в определенном порядке
называется упорядочение.
Выборка без повторений
Определение:
Расположения
‘n’
различных
элементов
выборки
в
определенном порядке называется перестановкой без повторений ‘n’
элементов.
Определение: Сочетанием без повторений из ‘n’ элементов по ‘k’
называется неупорядоченное ‘k’ элементное подмножество ‘n’ элементного
множества.
11
Определение: Сочетания это элементы которые различаются только по
составу, порядок не важен.
Определение:
Размещение без повторений из ‘n’ элементов по ‘k’
называется упорядоченное ‘k’ элементное подмножество ‘n’ элементного
множества.
Определение: Размещение это выборки которые различаются, как по
составу так и по расположению элементов , когда из всей совокупности
выбирает часть и важна последовательность.
A={a,b,c}
Число различных перестановок без повторений, из ‘n’ элементов
обозначается Pn=n!
Число сочетаний без повторения из ‘n’ элементного по ‘k’ равно
Сnk =
𝐧!
𝐤!(𝐧−𝐤)!
Ank=n(n-1)*(n-2)…(n-k+1)
𝐧!
Ank=(𝐧−𝐤)! - порядок важен.
Выборки с повторением
Если число различных перестановок на множестве из ‘n’ элементов имеет
k1,k2,…km.
𝐧!
Число перестановок с ‘k’ повторениями ‘n’ элементов Pn(k)=
𝐤!
Cnk=Ckn+k-1 – выборки с повторением.
𝐧!
Pn(k1, k2,…km)=
𝐤𝟏!𝐤𝟐!…𝐤𝐦!
Практическая часть
1. Сколькими способами можно составить набор из 5 шоколадок, если
имеются шоколадки трех сортов в количестве по 10 штук каждого вида?
2. Сколькими способами можно рассадить 7 человек по 9 вагонам?
3. Сколькими способами можно рассадить 7 человек по 9 вагонам по одному
в вагон?
12
4. Сколько различных сигналов можно составить из четырех флажков
различных цветов, если каждый сигнал должен состоять не менее чем из двух
флажков?
5. Номер автомобиля состоит из трех букв и трех цифр. Сколько различных
номеров можно составить, используя 10 цифр и алфавит в 30 букв.
6. Определить, сколько трехзначных чисел можно составить из множества
цифр 1,2,3,4,5 без повторений.
7. К кассе за получением денег одновременно подошли 4 человека.
Сколькими
способами
они
могут
выстроиться
в
очередь.
8. Имеется 6 штаммов бактерий. Для определения скорости их роста
необходимо выбрать 3 штамма. Сколькими способами можно это сделать?
9. Выбрать из 20 человек в группе 8 человек для сдачи зачета досрочно.
10.В ящике 20 шаров, среди них 12 белых, остальные зелёные. Отбирается
наугад 2. Сколькими способами можно отобрать а) два белых шара, б) два
зелёных, в) один белый и один зелёный.
11.
человек садятся за круглый стол. Два размещения по местам
будем считать совпадающими, если каждый человек имеет одних и тех же
соседей в обоих случаях. Сколько существует способов сесть за стол.
12. Из колоды в 52 карты вынули 10 карт. В скольких случаях среди этих
карт окажется а) хотя бы один туз; б) ровно один туз; в) не менее двух тузов;
г) ровно два туза.
13. Сколькими способами можно посадить за круглый стол
мужчин и
женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом.
14. Сколькими способами можно составить 3 пары из
шахматистов?
15. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из
n1 элементов, а вторая - из n2 элементов. Сколько различных пар элементов
можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по
одному элементу от каждой группы?
16.Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, если цифры могут повторяться?
13
17. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7,
8?
18. Сколько всех двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3?
19. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и
цифра единиц различные и нечетные?
20. Для множества {1, 2, 3} найдите сочетания.
21.Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести
имеющихся?
22. Какие всевозможные перестановки можно получить из множества,
состоящего из трех элементов {1, 2, 3}?
23.Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на
полке в один ряд?
Задачи. Часть 2
1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, если цифры могут повторяться?
2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются
слева направо и справа налево?
3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами
можно составить расписание на один день?
4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в
группе 20 человек?
5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по
восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно
письмо?
6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию,
состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами
это можно сделать?
7. Имеется 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно
выбрать конверт с маркой?
14
8. Сколько словарей нужно издать, чтобы переводить с любого из 5 языков
на любой другой?
9. Есть пятиразрядный цифровой замок, каждый диск которого содержит
цифры от 0 до 5. Сколько комбинаций таких цифр?
10. Сколькими способами можно упорядочить множество цифр от 1 до 2n
так, чтобы все четные числа стояли на четных местах.
11. Сколькими способами можно упорядочить множество цифр от 1 до n так,
чтобы
числа
1,2,3
стояли
рядом
и
в
порядке
возрастания.
12. Какое количество различных символов можно передать не более чем 5
знаками «.» и «-».
13. Автомобильные номера состоят из 3 букв и 4 цифр. Найти количество
возможных номеров, если используются 32 букв русского алфавита.
14. Сколько машинных слов можно составить из букв слова КОЛОКОЛ,
слова ВОДОРОД.
15. Сколькими способами 9 одинаковых конфет можно разложить по 5
пакетам, если ни один из пакетов не должен быть пустым. Тот же вопрос, но
пакеты могут быть пустыми.
15
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 4
Логические операции
Цель: закрепить умения и навыки выполнять логические операции.
Теоретическая часть
Определение:
Простым
высказыванием называют
повествовательное
предложение, относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно
или ложно.
Определение: Простые высказывания назвали логическими переменными,
а сложные - логическими функциями. Значения логической функции также
только истинно оно или ложно. Для простоты записи высказывания
обозначаются латинскими буквами А, В, С.
В
булевой
алгебре
простым
высказываниям
соответствие логические переменные,
ставятся
значение
равно 1, если высказывание истинно,
в
которых
и 0,если высказывание ложно.
Обозначаются логические переменные, большими
буквами
латинского
алфавита.
Существуют разные варианты обозначения истинности и ложности
логических переменных:
Истина И
True
T
1
Ложь
False
F
0
Сложные
Л
(составные) высказывания
представляют
собой
набор простых высказываний (по крайней мере двух) связанных логическими
операциями.
С
помощью
логических
переменных
и
символов
операций любое высказывание можно формализовать,
то
логических
есть
заменить логической формулой (логическим выражением).
16
Определение:
Логическое
выражение -
это
символическая
запись
высказывания, состоящая из логических величин (констант или переменных),
объединенных логическими операциями (связками).
Логические операции
1. Конъюнкция - логическое умножение:

в естественном языке соответствует союзу «И»;

в алгебре высказываний обозначение «&»;

в языках программирования обозначение «And».
Определение: Конъюнкция (A˄B) - это логическая операция, ставящая в
соответствие каждым двум простым (или исходным) высказываниям
составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда
оба
исходных
высказывания
истинны. Если хотя
бы
одно
из составляющих высказываний ложно, то и полученное из них с помощью
союза «И» сложное высказывание также считается ложным. (Союзы и, а, но)
В
алгебре множеств конъюнкции соответствует
пересечения множеств,
т.е.
умножения множеств А и В
множеству
получившемуся
соответствует
операция
в
результате
множество, состоящее из
элементов, принадлежащих одновременно двум множествам.
Таблица истинности
A
B
А&В
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Диаграмма Эйлера-Венна
2. Дизъюнкция - логическое сложение:

в естественном языке соответствует союзу «ИЛИ»;

в алгебре высказываний обозначение «V» или «+»;

в языках программирования обозначение «Or».
17
Определение: Дизъюнкция (AvB) - это логическая операция, которая
каждым двум простым (или исходным) высказываниям ставит в соответствие
составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда
оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух
образующих его высказываний истинно.
В
алгебре множеств дизъюнкции соответствует
объединения множеств,
т.е.
множеству
получившемуся
операция
в
результате
сложения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов,
принадлежащих либо множеству А, либо множеству В.
Таблица истинности
A
B
A+B
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Диаграмма
Эйлера-
Венна
3. Инверсия - отрицание:

в естественном языке соответствует словам «неверно, что...» и
частице «не»;

в алгебре высказываний обозначение «¬» или «-»;

в языках программирования обозначение «Not».
Определение: Отрицание - логическая операция, которая с помощью
связки «не» каждому исходному высказыванию ставит в соответствие
составное высказывание,
заключающееся
в
том,
что
исходное высказывание отрицается.
В
алгебре множеств логическому
операция дополнения до
универсального
отрицанию соответствует
множества,
т.е.
множеству
18
получившемуся
в
результате
отрицания
множества А соответствует
множество, дополняющее его до универсального множества.
Таблица истинности
A
¬А
0
1
1
0
Диаграмма
Эйлера-
Венна
4. Логическое следование (импликация):
Определение: Высказывание, составленное из двух высказываний при
помощи связки «если ..., то ...», называется логическим следованием,
импликацией
A =>B - "Из А следует В". Импликация является
ложной тогда и только тогда, когда условие (посылка А) - истинно, а
следствие (заключение В) - ложно и истинно во всех остальных случаях.
A
B
A=>B
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
5. Эквивалентность (логическое тождество):
Определение: Высказывание, составленное из двух высказываний при
помощи
связки «тогда и
только тогда,
эквивалентностью (эквивалентность
-
когда»,
логическое
называется
тождество,
равнозначность, взаимная обусловленность. ) A <=> B - "А равносильно
В". Эквивалентность является истинной тогда и только тогда, когда оба
исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.
19
A
B
А<=>В
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
6. Строгая дизъюнкция (исключающее ИЛИ)
Определение:
Высказывание,
соответствующее
строгой
дизъюнкции,
похоже на дизъюнкцию, но исключает одновременную истинность обоих
высказываний. Логическая связка «ЛИБО…, ЛИБО». Обозначения: АВ,
(A𝒗̇ B). Строгая дизъюнкция истинна только тогда, когда одно высказывание
истинно, а другое ложно.
A
B
AB
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Порядок выполнения логических операций в сложном логическом
выражении
1. Инверсия;
2. Конъюнкция;
3. Дизъюнкция;
4. Импликация;
5. Эквивалентность.
Составление таблицы истинности для сложного высказывания
Число исходных столбцов равно числу переменных – n
Число строк равно 2n.
20
Пример:
Для какого из указанных значений числа Х истинно выражение
(Х>2) Λ ¬(Х>3).
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.
Решение: Задача решается последовательным вычислением логического
выражения. Проверяем первый вариант ответа:
(Х>2) Λ ¬(Х>3) = (1>2) Λ ¬(1>3) = (ложь) Λ ¬(ложь) = (ложь) Λ (истина) =
ложь. Проверяем второй вариант ответа:
(Х>2) Λ ¬(Х>3) = (2>2) Λ ¬(2>3) = (ложь) Λ ¬(ложь) = (ложь) Λ (истина) =
ложь. Проверяем третий вариант ответа:
(Х>2) Λ ¬(Х>3) = (3>2) Λ ¬(3>3) = (истина) Λ ¬(ложь) = (истина) Λ (истина)
= истина. Проверяем четвертый вариант ответа:
(Х>2) Λ ¬(Х>3) = (4>2) Λ ¬(4>3) = (истина) Λ ¬(истина) = (истина) Λ (ложь)
= ложь.
Итак, правильный ответ под номером 3.
Практическая часть
1. Установите, какие из следующих предложений являются логическими
высказываниями, а какие — нет (объясните почему):

"Солнце есть спутник Земли";

"2+3?4";

"сегодня отличная погода";

"в романе Л.Н. Толстого "Война и мир" 3 432 536 слов";

"Санкт-Петербург расположен на Неве";

"музыка Баха слишком сложна";

"первая космическая скорость равна 7.8 км/сек";

"железо — металл";

"если один угол в треугольнике прямой, то треугольник будет
тупоугольным";
21

"если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату
третьей, то он прямоугольный".
2. Укажите, какие из высказываний предыдущего задания истинны, какие —
ложны, а какие относятся к числу тех, истинность которых трудно или
невозможно установить.
3. Запишите логические высказывания из задания 1 с помощью символов.
4. При каких значениях числа Х истинно выражение (Х > 2) Λ ¬ (Х < 4)?
1) Х = 1; 2) Х = 2; 3) Х = 3; 4) Х = 4.
5. При каких значениях числа Х логическое выражение
¬ ((Х > 3) V (Х < – 3)) принимает значение ЛОЖЬ?
1) Х = – 3; 2) Х = 5; 3) Х = 1; 4) Х = 3; 5) Х = 0.
6. При каких значениях числа Х логическое выражение ¬ ((Х > 1) Λ (Х < 3))
принимает значение ЛОЖЬ?
1) Х > 3; 2) Х < 0; 3) Х ≤ 1; 4) Х = 2; 5) Х = 3.
7. При каких значениях числа Х истинно выражение (Х + 3 > – 10) Λ (Х < 0).
1) Х = – 15; 2) Х = – 10; 3) Х = – 20; 4) Х = 10; 5) Х = 0.
8. При каких значениях числа Х истинно выражение ¬ (Х < 7) V (Х < 0).
1) Х = 0; 2) Х < 0; 3) Х < 7 4) Х > 0 5) Х = 5.
9. Какое из логических выражений при Х = 2 принимает значение ЛОЖЬ?
1) ¬ ((Х > 1) Λ (Х < 3)); 2) (Х > 1) Λ (Х < 3); 3) (Х > 1) V (Х < 3);
4) (Х < 1) V (Х < 3); 5) (Х ≤ 1) V (Х = 2).
10. При каких значениях числа Х истинно выражение (Х < 2) V (Х < 20) Λ
(Х > 10):
1) Х < 2; 2) Х < 20; 3) 2 ≤ Х ≤ 10; 4) Х > 10; 5) Х > 2.
11. При каких значениях числа Х логическое выражение
(Х < 2) V ¬ ((Х > 20) V (Х < 10)) будет ложным?
1) 2 ≤ Х < 10; 2) Х < 20; 3) Х > 10; 4) 2 ≤Х ≤ 10; 5) Х > 2.
12. Для какого из указанных значений числа Х истинно выражение
(Х < 3) Λ ((Х < 2) V (Х > 2))?
1) Х = 1; 2) Х = 2; 3) Х = 3; 4) Х = 4.
22
13. Для какого из указанных значений числа Х истинно выражение
(Х < 4) Λ (Х > 1) Λ (Х ≠ 2)?
1) Х = 1; 2) Х = 2; 3) Х = 3; 4) Х = 4.
14. Для какого из указанных значений числа Х истинно выражение
(Х > 4) Λ (Х < 7) Λ (Х < 6)?
1) Х = 5; 2) Х = 6; 3) Х = 3; 4) Х = 4.
15. Для какого из указанных значений числа Х истинно выражение (Х > 1) Λ
(Х > 2) Λ (Х ≠ 3)?
1) Х = 1; 2) Х = 2; 3) Х = 3; 4) Х = 4.
16. При каких значениях числа Х истинно выражение ¬ (Х ≥ 7) Λ (Х < 11)?
1) Х = 11; 2) Х = 7; 3) Х = –3; 4) Х = 18.
17. Для какого из указанных значений числа Х ложно выражение (Х > 6) V ¬
(Х ≤ 4)?
1) Х = 7; 2) Х = 6; 3) Х = 5; 4) Х = 4.
18. При каких значениях числа Х истинно выражение
¬ ((Х > 12) V (Х ≤ –5))?
1) Х = –6; 2) Х = –5; 3) Х = 12; 4) Х = 13.
19. Для какого из указанных значений числа Х ложно выражение ¬ ((Х < –3)
Λ (Х ≤ 14))?
1) Х = –10; 2) Х = –3; 3) Х = 0; 4) Х = 14.
20. Для какого из указанных значений числа Х истинно выражение
(¬ (Х > –1) Λ (Х ≤ 3)) V (Х > 9)?
1) Х = –1; 2) Х = 5; 3) Х = 3; 4) Х = 9.
21. Для какого из указанных значений числа Х ложно выражение
¬ ((Х > –4) V (Х ≤ 12)) V (Х ≤ 17)?
1) Х = –4; 2) Х = 12; 3) Х = 17; 4) Х = 20.
22.
Для какого имени истинно высказывание: Первая буква гласная И
Последняя буква согласная?
1) Никита 2) Константин 3) Антон 4) Илья
23
23. Для какого имени ложно высказывание: Вторая буква согласная ИЛИ
Последняя буква согласная?
1) Алена 2) Тимур 3) Софья 4) Платон
24.Для
какого
из
перечисленных
ниже
названий
стран
истинно
высказывание: Первая буква согласная И Третья буква согласная И
Последняя буква гласная?
1) Люксембург 2) Бельгия 3) Австрия 4) Греция
25. Для какого из перечисленных ниже названий стран ложно высказывание:
Первая буква гласная ИЛИ Вторая буква согласная ИЛИ Последняя буква
гласная?
1) Кипр 2) Италия 3) Мальта 4) Франция
26. Для какого из перечисленных ниже названий животных ложно
высказывание: (Последняя буква гласная ИЛИ Вторая буква согласная) И
Третья буква гласная?
1) адакс 2) ехидна 3) енот 4) белка
27. Для какого из перечисленных ниже названий животных ложно
высказывание: (Первая буква согласная И Вторая буква гласная) ИЛИ Третья
буква согласная?
1) василиск 2) ирбис 3) коала 4) тритон
24
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5
Логические формулы, таблицы истинности.
Применение алгебры логики.
Цель: закрепить умения и навыки составлять логические формулы, таблицы
истинности.
Теоретическая часть
Свойства логических операций
1. Законы коммутативности (переместительный) :
(А Λ В) ≡ (В Λ А) ;
(А V В) ≡ (В V А) ;
2. Законы ассоциативности (сочетательный) :
(А V В) V С ≡ А V (В V С);
(А Λ В) Λ С ≡ А Λ (В Λ С);
3. Законы дистрибутивности:
А Λ (В V С) ≡ (А Λ В) V (А Λ С)
А V (В Λ С) ≡ (А V В) Λ (А V С)
4. Дистрибутивность конъюнкций и дизъюнкции относительно строгой
дизъюнкции:
.
5. Другие законы (1):
A A  0
A A  A
A 1  A
A0  0
0 1
10
A A 1
A A  A
A 1  1
A 0  A
6. Формулы склеивания:
( A  B)  ( A  B )  A
( A  B)  ( A  B )  A
25
7. Законы инверсии (де Моргана):
A B  A  B
A B  A  B
8. Формулы поглощения:
A  ( A  B)  A
A  ( A  B)  A
A  ( A  B)  A  B
A  ( A  B)  A  B
9. Закон двойного отрицания:
AA
10. Другие законы (2):
A & ( A  B)  A & B
( А  B)  A & B
A  B  A B
A  ( A & B)  A  B
A  B  ( A & B)  ( A & B)
A  B  ( A & B)  ( A & B)  ( A  B) & ( A  B)
 (Другие
A  B)законы
& ( A(3):
 B)
11.

.

.

.

.

.

.


.
.
26
Практическая часть
1. Вычислить значение логического выражения «(2·2=5 или 2·2=4}) и (2·2 ≠ 5
или 2·2 ≠ 4)»
2. Определите истинность составного высказывания состоящего из простых
высказываний:
А={Принтер – устройство вывода информации}
В={Процессор – устройство хранения информации}
C={Монитор – устройство вывода информации}
D={Клавиатура – устройство обработки информации}
3. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений
от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
X Y Z F
1 0 0 1
0 0 0 1
1 1 1 0
Какое выражение соответствует F?
4. Составьте таблицы истинности логических выражений:

А  (¬B  C) .

¬ (А  B)  (A  ¬ B) .

(А  B)  (C  B) .
5. Составьте логическую функцию F (X, Y, Z) для заданной таблицы
истинности:
X
Y
Z
F
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
6. Выражение (¬(¬А)  С)  B  (¬C) равносильно:
а) A  (¬C) ;
б) (¬A)  B;
в) A  (¬C).
7. Проставьте порядок выполнения логических операций в сложном
27
логическом
выражении
и
составьте
к
нему
таблицу
истинности:
ABC→CA~B  CA
8. Изобразите в виде формулы суждение и составьте к нему таблицу
истинности: "Я обязательно поеду на футбольный матч, если достану билет
или меня пригласит товарищ и если не будет дождя".
9. Изобразите в виде формул суждения и составьте к ним таблицы
истинности:
 Забор красный И забор деревянный.
 Коля старше, чем Петя ИЛИ Коля старше, чем Федя
 Забор НЕ красный.
10. На вопрос: «Кто из трех студентов готовился к экзамену?» получен
верный ответ – «Если готовился Иванов, то готовился и Сидоров, но неверно,
что если готовился Петров, то готовился и Сидоров». Кто готовился к
экзамену?
11. «Вернувшись домой, Мегрэ позвонил на набережную:
- Говорит Мегрэ. Есть новости?
- Да, шеф. Поступили сообщения от инспекторов. Торранс установил,
что если Франсуа был пьян, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет.
Жусье считает, что или Этьен убийца или Франсуа не был пьян и убийство
произошло после полуночи. Инспектор Люка просил передать Вам, что если
убийство произошло после полуночи, то либо Этьен убийца, либо Франсуа
лжет. Затем позвонила ….
- Все. Спасибо. Этого достаточно. – Комиссар положил трубку. Он знал,
что трезвый Франсуа никогда не лжет. Теперь он знал все». Какой вывод
сделал Мегрэ?
12. В школе, перешедшей на самообслуживание, четырем старшеклассникам:
Андрееву, Костину, Савельеву и Давыдову поручили убрать 7-й, 8-й, 9-й и
10-й классы. При проверке оказалось, что 10-й класс убран плохо. Не
ушедшие домой ученики сообщили о следующем:
1) Андреев: «Я убирал 9-ый класс, а Савельев – 7-й».
28
2) Костин: «Я убирал 9-й класс, а Андреев – 8-й».
3) Савельев: «Я убирал 8-й класс, а Костин – 10-й».
Давыдов уже ушел домой. В дальнейшем выяснилось, что каждый ученик в
одном из двух высказываний говорил правду, а во втором ложь. Какой класс
убирал каждый ученик?
13. Пять школьников из пяти различных городов Брянской области прибыли
для участия в областной олимпиаде по математике. На вопрос: «Откуда
Вы?» каждый дал ответ:
1) Иванов: «Я приехал из Клинцов, а Дмитриев – из Новозыбкова».
2) Сидоров: «Я приехал из Клинцов, а Петров – из Трубчевска».
3) Петров: «Я приехал из Клинцов, а Дмитриев – из Дятькова».
4) Дмитриев: «Я приехал из Новозыбкова, а Ефимов – из Жуковки».
5) Ефимов: «Я приехал из Жуковки, а Иванов живет в Дятькове».
Откуда приехал каждый из школьников, если одно из утверждений
верно, а другое ложно?
14. Семья, состоящая из отца A, матери B и трех дочерей C, D, E, купила
телевизор. Условились, что в первый вечер будут смотреть передачи в таком порядке:
1) Когда отец A смотрит передачу, то мать B делает то же.
2) Дочери D и E, обе или одна из них, смотрят передачу.
3) Из двух членов семьи – мать B и дочь C – смотрят передачу
одна и только одна.
4) Дочери C и D или обе смотрят, или обе не смотрят.
5) Если дочь E смотрит передачу, то отец A и дочь D делают то же.
Кто из членов семьи в этот вечер смотрел передачу?
15. На вопрос «Кто из трех студентов изучал математическую логику?»
получен верный ответ – «Если изучал первый, то изучал и третий, но
неверно, что если изучал второй, то изучал и третий». Кто изучал
математическую логику?
16. Определить, кто из четырех студентов сдал экзамен, если известно:
29
1) Если первый сдал, то и второй сдал.
2) Если второй сдал, то третий сдал или первый не сдал.
3) Если четвертый не сдал, то первый сдал, а третий не сдал.
4) Если четвертый сдал, то и первый сдал.
17. Известно следующее: если Петя не видел Колю на улице, то Коля либо
ходил в кино, либо Петя сказал правду; если Коля не ходил в кино, то Петя
не видел Колю на улице, и Коля сказал правду. Если Коля сказал правду, то
либо он ходил в кино, либо Петя солгал. Выясните, ходил ли Коля в кино.
18. Четыре студентки, имена которых начинаются буквами A, E, C, P,
посещают институт по очереди и ведут общий конспект лекций. Необходимо
составить график посещения на ближайшую неделю, учитывая, что:
1) Понедельник – день самостоятельной работы на курсе, и в институт
не ходит никто, а в субботу необходимо быть всем.
2) C и P не могут пойти на занятия во вторник в связи с большой
загруженностью в понедельник.
3) Если C пойдет в среду или P – в четверг, то Е согласится побывать на
занятиях в пятницу.
4) Если A не пойдет в вуз в четверг, то E позволит себе сходить туда в
среду.
5) Если A и P будут в институте в среду, то C сможет пойти в пятницу.
6) Если P в пятницу вместо института пойдет на свадьбу подруги, то A
придется сходить в институт во вторник, а C – в четверг.
19. Четыре друга – Антонов (А), Вехов (В), Сомов (С), Деев (Д) решили
провести каникулы в четырех различных городах – Москве, Одессе, Киеве и
Ташкенте. Определите, в какой город должен поехать каждый из них, если
имеются следующие ограничения:
1) Если А не едет в Москву, то С не едет в Одессу.
2) Если В не едет ни в Москву, ни в Ташкент, то А едет в Москву.
3) Если С не едет в Ташкент, то В едет в Киев.
4) Если Д не едет в Москву, то В не едет в Москву.
30
5) Если Д не едет в Одессу, то В не едет в Москву.
20. Однажды следователю пришлось одновременно допрашивать трех
свидетелей: Клода, Жака и Дика. Их показания противоречили друг другу и
каждый из них обвинял кого-нибудь во лжи.
1) Клод утверждал, что Жак лжет.
2) Жак обвинял во лжи Дика.
3) Дик уговаривал следователя не верить ни Клоду, ни Жаку.
4) Но следователь быстро вывел их на чистую воду, не задав им
ни одного вопроса. Кто из свидетелей говорил правду?
31
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 6
ДНФ и КНФ. Представление функции в СНФ.
Цель: закрепить умения и навыки представления функций в ДНФ, КНФ и
СНФ.
Теоретическая часть
Нормальные формы формул логики высказываний. Минимизируют
(упрощают) формулы логики высказываний, приводя их к нормальным
формам: дизъюнктивной (ДНФ) и конъюнктивной (КНФ).
Определение: Элементарной дизъюнкцией (конъюнкцией) (дизъюнктом/
конъюнктом) называется выражение, состоящее из конечного числа
переменных и их отрицаний, взятых не более одного раза и разделенных
операциями дизъюнкции (конъюнкции).
Определение: Конъюнктивной (дизъюнктивной) нормальной формой
КНФ (ДНФ)
называется конъюнкция (дизъюнкция)
конечного числа
конъюнктов (дизъюнктов).
Определение:
СКНФ
Нормальная форма называется совершенной КНФ или
(совершенной ДНФ или СДНФ), если в каждом дизъюнкте
(конъюнкте) представлены все переменные, входящие в данную формулу
(либо сами, либо с отрицанием).
На СДНФ накладываются требования:
1) формула не является тождественно ложной;
2) формула приведена к одному из видов ДНФ;
3)
удалены
элементарные
конъюнкции,
включающие
одновременно
переменную и ее отрицание (согласно закона инверсии);
4) удалены одинаковые элементарные конъюнкции, кроме одной (согласно
правилу идемпотентности);
5) каждая элементарная конъюнкция в ДНФ включает все логические
переменные, входящие в эту формулу.
32
Если в формуле не выполняется требование 5), то в неполную
элементарную конъюнкцию необходимо ввести дополнительный множитель,
включающий дизъюнкцию отсутствующей переменной и ее отрицание (т.к.
согласно закону инверсии.
Аналогично, любую формулу, имеющую вид ДНФ, можно привести к
СКНФ, для которой выполняются требования:
1) формула не является тождественно ложной;
2) формула приведена к одному из видов КНФ;
3) удалены одинаковые элементарные дизъюнкции, кроме одной;
4) каждая элементарная дизъюнкция в КНФ включает все логические
переменные, входящие в эту формулу.
Если формула имеет вид КНФ, то привести ее к виду совершенной
КНФ (т.е. СКНФ) можно, дополняя каждую элементарную дизъюнкцию
логическим нулем. В следующем шаге логический ноль заменяется
конъюнкцией недостающей переменной и ее отрицания.
Для того чтобы привести формулу к совершенной нормальной
форме (СНФ) надо:
1) Используя равносильности алгебры логики, заменить все имеющиеся
операции на конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание.
2) Применяя законы де Моргана, снять отрицание с логических операций
конъюнкции и дизъюнкции.
3) Используя распределительный и другие законы, привести формулу к
нормальной форме.
4) Используя законы идемпотентности, склеивания и др., минимизировать
полученные булевы выражения.
5) Применяя правила операций с константами, привести минимизированные
нормальные формы к совершенному виду.
Любая формула, не являющаяся тождественным нулем или единицей,
имеет только одну СДНФ и только одну СКНФ, с точностью до
расположения слагаемых и множителей.
33
Определение: Минимальная или сокращенная нормальная форма
получается из совершенной дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной
формы удалением некоторых элементарных конъюнкций (дизъюнкций)
согласно основным равносильностям.
Определение: Тупиковой нормальной формой называется ДНФ (КНФ),
из
которой
нельзя
удалить
ни
одной
элементарной
дизъюнкции
(конъюнкции) так, чтобы сохранить неизменной заданную формулу.
Практическая часть
1. Получить ДНФ и СДНФ: f x1 , x 2 , x3   x1  x2 x1  x3 
2. Доказать тождество: x1 x2  x1  x 3  x2  x3   x1  x2  x3 
3. Получить ДНФ и СДНФ функции, привести соответствующие логические
схемы: f  x1 x2  x3   x1 x3
4. Преобразовать логическую функцию к нормальному виду:


f x1 , x 2 , x3   x1 x 2  x 2 x 3  x1 x 2
5. Получить ДНФ и СДНФ: f a, b, c   ab  c  bc  a .
6. Преобразовать в СДНФ функцию: f x1 , x2 , x3   x1  x 2  x3
7. Является ли высказывание (XY)(YX) тавтологией. Выписать
СКНФ и СДНФ.
8. Установить эквивалентны ли высказывания. Выписать СКНФ или СДНФ.
а) X 1  A  B  C
б) X 1  X  Y
X2  A B C
X2  X Y


X3  A B  C
X3 X Y
9. Методом эквивалентных преобразований построить для функции ДНФ и
КНФ: f ( x , y , z ) = ( x ˅ y )  yz
10. С помощью эквивалентных преобразований привести к ДНФ формулы:
1) ( x ˅ yz )( x ˅ z );
2) (( a ˅ b c d )( b ˅ d )  a cd ) ˅ ( a ˅ d );
3) ( x ˅ ( x ~ y ))  x ˅ y.
11. С помощью эквивалентных преобразований привести к КНФ формулы:
1) x  yz;
2) (( ab ˅ c )  d ) a.
34
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 7
Минимизация логических функций
Цель: отработать навыки минимизации логических функций.
Теоретическая часть
Проблема минимизации булевых функций состоит в том, чтобы построить
ДНФ, у которой число вхождений минимально по сравнению со всеми
другими ДНФ, реализующими булеву функцию.
Определение 1: ДНФ функции f называется кратчайшей, если она имеет
наименьшую длину среди всех эквивалентных ей ДНФ.
Определение 1: ДНФ функции f называется минимальной, если она имеет
наименьшее число вхождений среди всех эквивалентных ДНФ.
Практическая часть
1. Упростить выражение: f x1 , x2   x1  x 2  x1  x 2  x1  x2  x2  x1  x1
2. Упростить выражение: f x1 , x2   x1  x 2  x1  x 2  x1  x2  x2  x1  x1
3. Упростить выражение: f x1 , x2 , x3   x2 x1  x3 x 2  x1  x3 x 2  x 2
4. Привести к базису И-НЕ выражение:


F x1, x2 , x3   x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3 x1x3  x1 x2 x3  x1x2 x3

5. Доказать тождество: x1 x2  x1  x 3  x2  x3   x1  x2  x3 
6. Преобразовать логическую функцию к нормальному виду:


f x1 , x 2 , x3   x1 x 2  x 2 x 3  x1 x 2
7. Минимизировать функцию: f a, b, c   ab  c  bc  a .
35
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 8
Построение логических схем
Цель: отработать навыки построения логических схем.
Теоретическая часть
Правило построения логических схем:
1) Определить число логических переменных.
2) Определить количество базовых логических операций и их порядок.
3) Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей вентиль
(базовый логический элемент).
4) Соединить вентили в порядке выполнения логических операций.
Примеры:
Практическая часть
1. Составить схему для логического выражения: F=A v B & A.
2. Составить схему для логического выражения:
3. Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению
F=А&Вv (ВvА). Вычислить значения выражения для А=1,В=0.
36
4. Минимизировать логическую схему:
5.Минимизировать логическую схему:
37
6. Минимизировать логическую схему:
7. Минимизировать логическую схему:
38
8. Минимизировать логическую схему:
9. Минимизировать логическую схему:
39
10. Минимизировать логическую схему:
11. Минимизировать логическую схему:
40
12. Минимизировать логическую схему:
13.Минимизировать логическую схему:
41
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 9
Логические операции над предикатами.
Цель: отработать навыки выполнения логических операций.
Теоретическая часть
Язык логики предикатов. Алфавит логики предикатов:
1) предметные переменные X, Y, Z, Xi, Yi, …, т.е. отдельные предметы –
«имена» в указанной предметной области;
2) предметные константы x0, y0, z0, a, b, c, … – принимающие значения 0 и 1 в
указанной предметной области;
3) предикатные переменные P, Q, R,…;
4) переменные высказывания p, q, r … –, принимающие два значения: 1
(истина) и 0 (ложь), тогда p0, q0, r0, … – фиксированные значения.
5) символы логических операций ,,( ),,( ,) ;
6) кванторные символы ,;
7) вспомогательные символы ( ), – запятая и скобки.
Термы, кванторы и формулы логики предикатов.
а) Всякая предметная константа и всякая предметная переменная есть терм.
б) Если t1, t2, …,tn – термы, а f – функциональная переменная, то f(t1,
t2,…,tn) – терм.
в) Других термов, кроме определенных в пунктах а) и б) логика предикатов
не имеет.
Кванторы
Определение:
Для количественных характеристик в логике предикатов
используют понятия все, некоторые, существуют и другие, которые
называют кванторами (от лат. quantum – сколько).
Определение: Символ x называется квантором общности и читается «для
любого x», «для всех x». Квантор общности x P(x) превращает предикат
P(x) в высказывание «Для любого x высказывание P(x) – истинно».
42
Определение: Символ x называется квантором существования и читается
«существует x». Квантор существования x P(x) превращает предикат P(x)
в высказывание «Существует такой элемент x, что высказывание P(x) –
истинно».
Определение:Часть формулы, на которую распространяется действие
квантора, называется областью действия этого квантора: в формуле x
P(x) областью действия квантора x служит предикат P(x).
Определение:Если переменная расположена либо непосредственно после
знака квантора, либо в области действий квантора, после которого стоит
переменная, то ее вхождение в формулу называется связным. Все прочие
вхождения – свободные.
Определение:Переменная называется свободной, если после подстановки
вместо нее имени некоторых конкретных объектов предикат превращается в
осмысленное предложение. Так, переменная x в предикате P(x) является
свободной.
Так, для одноместного предиката предложение «По меньшей мере один
объект обладает свойством P» имеет тот же смысл, что и предложение
«Существует хотя бы один объект, обладающий свойством P»: xP(x) .
Пример: термами являются выражения 5x, x+y-z, ax2 bx c, x4 ,
f(x), f(x+ t) и т.д. Формулами являются P(x)= «x=1», P(f(x)), P( ax2
bx c ).
Логические операции над предикатами
Над предикатами можно выполнять операции, аналогичные тем,
которые выполняются в алгебре высказываний. Пусть, например, P(x) и Q(x)
– одноместные предикаты, которые определены на множестве D причем T(P)
и T(Q) – их множества истинности.
Определение: Отрицанием предиката P(x) называется предикат Р(х), также
определенный на множестве D и истинный при тех значениях переменной x,
при которой P(x) ложен, т.е. Т(Р) D \ Т(Р).
43
Определение: Дизъюнкцией предикатов P(x,…) и Q(x,…) называется
предикат Р(х) Q(x) , определенный на множестве D и истинный при тех
значениях переменной x, при которых истинен хотя бы один из предикатов
P(x) или Q(x). Поэтому Т(Р Q) T(P) UT(Q) .
Определение: Импликацией предиката P(x,…) в Q(x,…) называется
предикат Р(х)Q(x) , определенный на множестве D и ложный только
при тех значениях переменной x, при которой предикат P(x,…) истинен, а
предикат Q(x,…) ложен.
Определение: Эквиваленцией предикатов P(x,…) и Q(x,…) называется
предикат Р(х) Q(x) определенный на множестве D и истинный при тех
значениях переменной x, при которых либо оба предиката истинны, либо оба
предиката ложны.
Для двухместного предиката «Не более одного объекта обладает
свойством P» тождественно предложение «Если есть объекты, обладающие
свойством P, то они совпадают»: x,y ( P(x) P( y)x y ). Тогда
предложение «Один и только один объект обладает свойством P» является
конъюнкцией этих предложений.
Определение: формы Ф1, если импликация Ф1Ф2 обращается в истинное
высказывание при любых наборах значений переменных, входящих в нее.
Формула Ф2 логики предикатов называется логическим следствием
формулы Ф1, если при всякой интерпретации, при которой Ф1 превращается
в тождественно истинный предикат, формула Ф2 тоже превращается в
тождественно истинный предикат. Для операции логического следования
принято обозначение Ф1 Ф2.
Пусть высказывательные формы Ф1(x1, x2, …, xn) и Ф2(x1, x2, …, xn)
соответствуют
предикатам
P1
и
P2,
а
их
множества
истинности
соответственно T(P1) и T(P2). Поскольку Ф1|=Ф2, то если (x1, x2, …,
xn)T(P1), т.е. Ф1 истинна, то должна быть истинна Ф2, т.е. (x1, x2, …,
xn)T(P2). Поскольку такое свойство должно быть у любого элемента из
44
T(P1), то это определение подмножества. Итак, T(P1)T(P2). Если Ф1
Ф2, а Ф2 Ф1, то Ф1Ф2.
Тогда T(P1) = T(P2). Т.о., две формулы равносильны тогда, и только
тогда, когда каждая из них является логическим следствием другой. Для
операции логического следования справедливо Ф1 Ф2 Ф1 →
Ф2.
Основные равносильности.
Пусть А(х) и В(х) - переменные предикаты, а С - переменное
высказывание. Тогда:
45
Практическая часть
1. Для следующих предложений выделить предикаты и для каждого из них
указать область истинности, если область определения для одноместного
М=R, для двухместного M=R2 :
1) х+5=1;
2) при х=2 выполняется равенство х2 – 1 = 0;
3) существует такое число х, что х2 – 2х + 1 =0;
4) х2 – 2х + 1 =0;
5) х+2<3x – 4;
6) однозначное число х кратно 3;
7) (х+2)-(3х-4);
8) х2 + у2 >0.
2. Какие из предикатов тождественно истинны?
a. х2 + у2  0;
b. sin2x + cos2x =1;
c. x2 + 1(x+1)2;
d. х2 + у2 > 0;
e. (x+1)2>x-1.
3. Найти области истинности предикатов, если хR:
1) х  6  2;
x 2  3x  2
;
x 2  4x  3
2
 x  13x  40  0;
3) 2
2 x  x  30  0.
2)
4. Изобразить на декартовой плоскости области истинности предикатов:
1) х+у=1;
2) х+3у=3;
3) sinx=siny;
4) (x-2)2+(y+3)2=0;
5) (x-2)2+(y+3)24;
46
6) ((x>2)v(y>1))((x<-1)v(y<-2)).
5.На множестве М = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} заданы предикаты А(х): «х не
делится на 5», В(х): «х – четное число», С(х): «х кратно 3». Найти множество
истинности предиката: А(х)VB(x)C(x).
6. Изобразить на диаграмме Эйлера -Венна область истинности предиката:
(P(x)Q(x))VR(x) Q (x ).
7. Записать предикат, полученный в результате логических операций над
предикатами P(x), Q(x), R(x):
8. Будут ли предикаты равносильны, или один является следствием другого?
1
;
2
cos x
2) x  y  z; ( x  y )( x  z )   zy;
1) sin 2 x  cos 2 x  1; tg 2 x  1 
3) x 3  y 3  0; x 2  y 2  0.
9. Какие из следующих выражений являются формулами? В каждой формуле
выделить свободные и связанные переменные:
10. Даны утверждения А(n):«число п делится на 3», В(n): «число п делится на
2», С(n): «число п делится на 4», D(n): «число п делится на 6», Е(n): «число п
47
делится на 12». Укажите, какие из следующих утверждений истинны, какие
ложны:
11. Доказать равносильности :
1) х(А(х)с)хА(х)с;
2) хА(х)уВ(у)ху(А(х)В(х)).
12. Каким условиям удовлетворяют области истинности предикатов А(х) и
В(х), определенных на множестве М, если истинно высказывание:
х( А( х) В( х))  (х( А( х)  В( х))).
13. Предикаты А(х, у) и В(у, z) определены на множестве МхМ, где М={a, b,
c}. Записать формулу xуA(x, y)ухB(х, у) без кванторных операций.
14. Дан предикат Q(x,y): «х делится на у». Какие из предикатов тождественно
истинные и какие тождественно ложные: хQ(x,y), уQ(x,y), уQ(x,y),
хQ(x,y).
Найти
значения
высказываний:
хуQ(x,y):
ухQ(x,y):
ухQ(x,y): хуQ(x,y).
48
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 10
Применение аппарата алгебры высказываний для работы с
умозаключениями
Цель: отработать навыки работы с умозаключениями.
Теоретическая часть
Определение: Умозаключение — это форма мышления, посредством которой
из одного или нескольких суждений выводится новое суждение. Логическая
сущность умозаключения состоит в движении мысли от анализа имеющегося
знания к синтезу нового знания. Это движение имеет объективный характер
и определяется реальными связями действительности. Объективная связь, отраженная в сознании, обеспечивает логическую связь мыслей. Напротив,
отсутствие объективных связей действительности приводит к логическим
ошибкам.
Структура любого умозаключения включает 3 элемента:

посылки - исходное знание (суждение), из которого выводится новое
суждение;

обосновывающее знание, выражающееся в правилах или выводе
умозаключения (логический переход от посылок к заключению);

выводное знание, выражающееся в заключении или выводе (новое
суждение, полученное логическим путем из посылок).
При анализе умозаключения посылки и заключение принято записывать
отдельно, располагая их друг над другом. Заключение записывают под
горизонтальной чертой, отделяющей его от посылок и обозначающей
логическое следование. В соответствии с этим рассмотрим следующий
пример умозаключения:
Все граждане России имеют право на образование – посылка
Новиков – гражданин России - посылка
Новиков имеет право на образование – заключение
49
При наличии содержательной связи между посылками можно получить в
процессе рассуждения новое истинное знание при соблюдении двух условий.
Во-первых, должны быть истинными исходные суждения – посылки. Однако
следует сказать, что иногда и ложные суждения могут дать истинное
заключение. Так, в результате специального подбора ложных посылок в
следующем рассуждении получим истинное заключение: Все слоны имеют
крылья. Все птицы – слоны. Все птицы имеют крылья.
Это свидетельствует о том, что ориентация только на форму (структуру)
посылок при игнорировании их объективно – истинных связей может создать
видимость правильного умозаключения.
Во-вторых, в процессе рассуждения необходимо соблюдать правила вывода,
которые обусловливают логическую правильность умозаключения. Без этого
даже из истинных посылок можно получить ложное заключение. Например:
Все гусеницы едят капусту. Я ем капусту. Следовательно, я гусеница.
Практическая часть
1. Даны три следующие посылки: а). Если целое число оканчивается на 0 или
2, то оно делится на 2. б). Данное число делится на 2. в). Данное число не
оканчивается на 0. Вытекает ли из этих посылок логическое следствие, что
число оканчивается на 2?
2. Сделать непосредственные умозаключения (превращение, обращение и
противопоставление предикату) из суждений: а). Ни одно простое
нераспространенное предложение не имеет второстепенные члены; б).
Некоторые подлежащие выражаются именами существительными; в). Ни
один ученик нашего класса не является шахматистом; г). Некоторые
спортсмены - юниоры.
3. Проверить любым способом (по особым правилам фигур, по модусам и по
правилам категорического силлогизма), являются ли приведенные ниже
категорические силлогизмы правильными, а заключение - истинным
суждением.
50
а. Все рыбы плавают.
Это животное плавает.
б. Все ягоды – плоды.
Арбуз – ягода.
Это животное – рыба.
Арбуз – плод.
в. Во всех городах за полярным кругом бывают белые ночи.
Санкт Петербург не находится за полярным кругом.
В Санкт-Петербург не бывает белых ночей.
г. Чистый воздух полезен для дыхания человека.
В этой комнате чистый воздух.
Воздух этой комнаты полезен для дыхания человека.
4. Определить вид умозаключения.
а. Все, что способствует эффективному обучению детей, полезно.
Новаторство способствует эффективному обучению детей.
Новые методы обучения - новаторство.
Метод российского педагога Шаталова - новый метод обучения.
Метод российского педагога Шаталова полезен.
б. Все летучие мыши - представители отряда рукокрылых.
Все представители отряда рукокрылых - животные.
Все животные обладают обменом веществ.
Все летучие мыши обладают обменом веществ.
в. Все, что способствует прогрессу общества, полезно.
Подлинное искусство способствует прогрессу общества.
Значит, подлинное искусство полезно.
Опера Н. А. Римского-Корсакова “Царская невеста” - подлинное искусство.
Опера Н. А. Римского-Корсакова “Царская невеста” полезна.
г. Все, что требует мужества и героизма, есть подвиг.
Первый полет человека в космос требовал мужества и героизма.
Первый полет человека в космос есть подвиг.
д. Подвиги бессмертны.
Первый полет человека в космос есть подвиг.
Первый полет человека в космос бессмертен.
51
5. Определить вид умозаключения, написать формулу, проверить, является
ли она законом логики.
а. Если весна наступила, то в фермерском хозяйстве предстоит много работ.
Весна не наступила.
В фермерском хозяйстве не предстоит много работ.
б. Если на заводе повысится производительность труда, то возрастет
рентабельность производства.
Если возрастет рентабельность производства, то снизится себестоимость
произведенной продукции.
Если на заводе повысится производительность труда, то на нем снизится
себестоимость произведенной продукции.
в. Если подземная вода в местах обнажения выходит наружу, то образуется
родничок.
Подземная вода в местах обнажения вышла наружу.
Образовался родничок.
г. Если магнит нагреть, то он размагнитится.
Магнит размагнитился.
Магнит нагрели.
д. “Если жизнь тебя обманет, не печалься, не сердись” (А. С. Пушкин).
Жизнь тебя обманула.
Ты не печалься, не сердись.
6. Постройте условно-категорическое умозаключение, первой посылкой
которого является следующее высказывание И. В. Гете, процитированное Ю.
П. Азаровым в книге “Искусство воспитывать” (М., 1985): “Если хочешь,
чтобы твои наставления влияли действительно благотворно на твоих
учеников, предостерегай их от бесполезных знаний и ложных правил”.
7. Придумайте умозаключение, построенное по формуле:
((a→b) ^ )
.
8. Постройте условно-категорическое умозаключение на основе следующих
пословиц русского народа:
52
Не узнав горя, не узнаешь и радости.
Бояться несчастья - и счастья не будет (вариант: не видать).
Что с возу упало, то пропало.
Люди рады лету, пчела рада цвету.
На красный цветок и пчела летит.
От одного порченого яблока целый воз загнивает.
Куда один баран, туда и все стадо.
В умной беседе ума набраться, в глупой - свои растерять.
Напряталась матка от деток - напрячутся и детки от матки.
Где дым, там и огонь. Огонь без дыму не живет.
Кто о ком за глаза худо говорит, тот того боится.
Неправдой нажитое впрок не пойдет.
Неправедное богатстве прахом пойдет.
8. Постройте условно-категорическое умозаключение на основе следующего
сложного суждения: “Попробуй-ка научить сострадать, если человек с
детства не страдал, если боится даже самой малой боли, пустякового
неудобства и если его всю жизнь предохраняли от сострадания” (С.
Алексеев).
Первая условная посылка этого умозаключения такая: “Если человек с
детства не страдал, боится даже самой малой боли, пустякового неудобства,
его всю жизнь предохраняли от сострадания, то попробуй-ка научить этого
человека сострадать”.
Формула этой посылки;
( ^b^c^d)→е. Сформулируйте вторую посылку и заключение.
9. Приведем пример рассуждений Шерлока Холмса из рассказа А. Конан
Дойла “Пестрая лента”:
“В ее остановившихся глазах был испуг, словно у затравленного зверя. Ей
было не больше тридцати лет, но в волосах уже блестела седина.
Шерлок Холме окинул ее своим быстрым всепонимающим взглядом.
- Вам нечего бояться, - сказал он, ласково погладив ее по руке.
53
- Я уверен, что нам удастся отстранить от Вас все неприятности... Вы
приехали утренним поездом.
- Разве Вы меня знаете?
- Нет, но я заметил в Вашей левой перчатке обратный билет. Вы рано встали,
а потом, направляясь на станцию, долго тряслись в двуколке по скверной
дороге.
Дама вздрогнула и в замешательстве взглянула на Холмса,
- Здесь нет никакого чуда, сударыня, - сказал он, улыбаясь. -Левый рукав
Вашего жакета, по крайней мере, в семи местах обрызган грязью. Пятна
совершенно свежие. Так обрызгаться можно только в двуколке, сидя слева от
кучера.
- Все так и было, - сказала она”.
Постройте
условно-категорическое
умозаключение,
соответствующие
структуре ((а→b)^ а) →b, взяв за основу приведенные рассуждения Шерлока
Холмса.
10. Определите вид умозаключения, напишите формулу, проверьте, является
ли она законом логики.
а. Водоемы бывают пресные или соленые.
Это озеро - пресный водоем.
Это озеро не является соленым водоемом.
б. Светофор светит красным, или желтым, или зеленым цветом.
Сейчас светофор не светит ни красным, ни зеленым цветом.
Сейчас светофор светит желтым цветом.
в. У человека различают следующие виды памяти: двигательная,
эмоциональная, образная, словесно-логическая.
Ведущее место у человека, как правило, занимает словесно-логическая
память.
Ведущее место у человека, как правило, не занимают ни двигательная, не
эмоциональная, ни образная память.
г. Иммунитет бывает или естественный, или искусственный.
54
Естественный иммунитет бывает или врожденный, или приобретенный.
Иммунитет бывает или врожденный, или приобретенный, или искусственный.
11. Придумайте умозаключения, построенные по таким формулам:
((a ú b)^ b)
((а ú b) ^
)→b
12. В “Словаре античности” в статье “Шерсть” написано: “Шерсть. Служила
в античности основным текстильным сырьем. Большую часть шерсти давали
овцы, хотя использовалась также козья и верблюжья шерсть. Для
производства разнообразных видов тканей разводились овцы различных пород. Шерсть получали путем стрижки пинцетными ножницами, реже выщипыванием”.
Постройте два разделительно-категорических умозаключения, используя
этот материал: а) на основании видов шерсти; б) на основании способов
получения шерсти.
13. Правильно ли построено следующее разделительно-категорическое
умозаключение? Если оно построено неправильно, то укажите, какая
допущена ошибка:
Ученик в переводе предложения ошибся или из-за незнания
грамматики языка, или из-за отсутствия знаний о многозначности
смысла переводимых слов.
Этот ученик ошибся в переводе предложения из-за незнания
грамматики
языка.
Этот ученик не ошибался в переводе из-за отсутствия знаний о
многозначности смысла переводимых слов.
14. Определите вид дилеммы на примере, взятом из романа американского
писателя Г. Мелвилла “Моби Дик, или Белый кит”, напишите ее формулу.
55
Несколько лет назад китобойцы одного корабля, охотившись на Белого
кита, потерпели крушение. Вступив в бой с китом, все члены экипажа
погибли, за исключением капитана. Капитан собирает новую команду
китобойцев. Измученные долгим плаванием, оставшись без продуктов,
китобойцы, наконец, встречают Белого кита, который заманивает их во
льды. Перед капитаном стоит дилемма:
Если мы будем преследовать кита и далее, то мы, обессилев, можем
погибнуть во льдах.
А если мы повернем назад, то Белый кит будет нападать на другие
корабли.
Но мы можем его преследовать или повернуть назад.
Мы можем погибнуть во льдах или погибнут другие экипажи.
56
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 11
Различные методы доказательств.
Дедуктивный, индуктивный, метод от противного.
Цель: сформировать умения и навыки применения основных методов
доказательств умозаключений при решении задач.
Теоретическая часть
Определение:
Доказательством в
математике
называют
конечную
последовательность предложений данной теории, каждое из которых либо
является аксиомой, либо выводится из одного или нескольких предложений
этой последовательности по правилам логического вывода.
В основе доказательства лежит рассуждение – логическая операция, в
результате которой из одного или нескольких взаимосвязанных по смыслу
предложений получается предложение, содержащее новое знание. (В логике
вместо термина «рассуждения» чаще используется слово «умозаключение»).
Определение: Умозаключение – это способ получения нового знания на
основе некоторого имеющегося. Умозаключение состоит из посылок и
заключения.
Определение: Посылки – это высказывания, содержащие исходное знание.
Определение: Заключение – это высказывание, содержащее новое знание,
полученное из исходного.
Как правило, заключение отделяется от посылок с помощью слов
«следовательно», «значит». Умозаключение с посылками р1, р2, …, рn и
заключением Р будем записывать в виде:
или (р1, р2, …, рn)
Р.
Пример: а) Число а = b. Число b = с. Следовательно, число а = с.
57
Существует
несколько
стандартных
типов
доказательств,
истинно
и
включающих следующие:
1. Прямое рассуждение (доказательство).
Предполагаем,
что
высказывание
А
показываем
справедливость В. Такой способ доказательства исключает ситуацию, когда
A истинно, a B  ложно, поскольку именно в этом и только в этом случае
импликация (АВ) принимает ложное значение.
Таким
образом,
прямое
доказательство
идет
от
рассмотрения
аргументов к доказательству тезиса, т. е. истинность тезиса непосредственно
обосновывается аргументами. Схема этого доказательства такая: из данных
аргументов (а, b, с, ...) необходимо следует доказываемый тезис q.
Примеры:
а. Учитель на уроке при прямом доказательстве тезиса “Народ  творец
истории”,
показывает;
во-первых,
что
народ
является
создателем
материальных благ, во-вторых, обосновывает огромную роль народных масс
в политике, разъясняет, как в современную эпоху народ ведет активную
борьбу за мир и демократию, в-третьих, раскрывает его большую роль в
создании духовной культуры.
б. На уроках химии прямое доказательство о горючести сахара может
быть представлено в форме категорического силлогизма: Все углеводы горючи. Сахар - углевод. Сахар горюч.
2. Обратное рассуждение (доказательство). Предполагаем, что
высказывание В ложно и показываем ошибочность А. То есть, фактически,
прямым способом проверяем истинность импликации ((не В)(не А)), что
логически эквивалентно истинности исходного утверждения (АВ).
3. Дедуктивный метод рассуждений - это рассуждение от общего к
частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является общий
результат, а заключительным моментом частный результат.
58
Определение:
Умозаключение
называется правильным, если
формула,
соответствующая его структуре и представляющая собой конъюнкцию
посылок, соединенная с заключением знаком импликации тождественно
истинна.
Для
того чтобы
установить,
является
ли
умозаключение
правильным, поступают следующим образом:
1) формализуют все посылки и заключение;
2)
записывают формулу, представляющую конъюнкцию посылок,
соединенную знаком импликации с заключением;
3) составляют таблицу истинности для данной формулы;
4)
если
формула
тождественно-истинна,
то
умозаключение
правильное, если нет – то умозаключение неправильное.
В логике считают, что правильность умозаключения определяется его
формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него
утверждений. И в логике предлагаются такие правила, соблюдая которые,
можно
строить
дедуктивные
умозаключения.
Эти
правила
называют правилами вывода или схемами дедуктивных рассуждений:
а.
– правило заключения;
б.
– правило отрицания;
в.
– правило силлогизма.
4. Метод индукции
Индукция применяется при переходе от частных результатов к общим, т.е.
является методом, противоположным дедуктивному.
Принцип математической индукции  это следующая теорема: Пусть
мы имеем бесконечную последовательность утверждений P1, P2, ...,Pn
занумерованных
натуральными
числами,
причём:
утверждение P 1

59
истинно; если некоторое утверждение Pk

истинно, то следующее
утверждение Pk+1 тоже истинно.
Тогда принцип математической индукции утверждает, что все
утверждения последовательности истинны.
математической
индукции
Другими
словами
принцип
можно сформулировать так: если в очереди
первой стоит женщина, и за каждой женщиной стоит женщина, то все в
очереди – женщины.
Определение:
Способ
рассуждений,
основанный
на
принципе
математической индукции называется методом математической индукции.
Для решения задач методом математической индукции необходимо:
1) сформулировать утверждение задачи в виде последовательности
утверждений P1, P2, ..., Pn , ... ;
2) доказать, что утверждение P1 истинно (этот этап называется
базой индукции); 3) доказать, что если утверждение Pn истинно при
некотором n= k, то оно истинно и при n = k + 1 (этот этап
называется шагом индукции).
Определение: Неполная индукция – это умозаключение, в котором на
основании того, что некоторые объекты класса обладают определенным
свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты
данного класса.
Неполная индукция не является дедуктивным умозаключением,
поскольку, рассуждая по такой схеме, можно прийти к ложному выводу.
Пример: рассмотрим такие выражения: 3 + 5 и 3 5; 2 + 7 и 2 7. Видим,
что 3 + 5 < 3 5; 2 + 7 < 2 7, т.е. для некоторых натуральных чисел можно
утверждать, что сумма меньше их произведения. Значит, на основании, что
некоторые числа обладают данным свойством, можно сделать вывод, что
этим свойством обладают все натуральные числа:
a+b<a
b.
Но это утверждение ложно, в чем можно убедиться с помощью
контрпримера: числа 1 и 2 – натуральные, но 1 + 2 > 1 2.
60
Поэтому выводы, полученные с помощью неполной индукции,
необходимо либо доказывать, либо опровергать.
5. Метод аналогии.
Под аналогией понимают умозаключение, в котором на основании сходства
двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного
признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у
другого объекта.
Вывод по аналогии носит характер предположения, гипотезы и
поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в опровержении.
Пример : При обучении делению на однозначное число используется такой
прием. Сначала выясняется: чтобы найти значение выражения 12 : 4, следует
узнать, на какое число надо умножить делитель 4, чтобы получить
делимое 12. Известно, что4 3 = 12. Значит, 12 : 4 = 3.
6. Метод от противного
Этот метод часто используется в математике. Пусть а - тезис или
теорема, которую надо доказать. Предполагаем от противного, что а ложно,
т. е. истинно не-а (или a ). Из допущения a выводим следствия, которые
противоречат действительности или ранее доказанным теоремам. Имеем
a  a , при этом a - ложно, значит, истинно его отрицание, т.е. a , которое по
закону двузначной классической логики ( a →а) дает а. Значит, истинно а,
что и требовалось доказать.
Практическая часть
1. Покажите прямым способом рассуждений, что произведение ху двух
нечетных целых чисел х и у всегда нечетно.
2. Пусть n  N. Покажите, используя обратный способ доказательства, что
если n2 нечетно, то и n нечетно.
61
3. Методом «от противного» покажите, что решение уравнения х2 = 2
является иррациональным числом, т. е. не может быть записано в виде дроби
с целыми числителем и знаменателем.
4. Докажите
по
индукции
следующее
равенство (которое, конечно,
допускает и другие доказательства): 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2.
6. Прямым рассуждением докажите истинность высказывания: n и m —
четные числа  n+m — число четное.
7. Дайте обратное доказательство высказывания: n2 — четное число  n —
четное.
8. Методом «от противного» докажите, что n+m — нечетное число  одно из
слагаемых является четным, а другое — нечетным.
9. Докажите каждое из высказываний методом математической индукции.
1) 1 + 5 + 9 +…+(4n - 3) = n(2n1) для всех натуральных чисел n.
2) 12+22+…+n2 = n(n+1)(2n+1)/6 для всех натуральных чисел n.
3)
1
1
1
n

 ... 

для всех натуральных чисел n.
1 3 3  5
(2n  1)(2n  1) 2n  1
4) Число n3  n делится на 3 при всех натуральных значениях числа n.
5) 1*1! + 2* 2!+…+-n*n! = (n + 1)!  1 для всех натуральных чисел n.
(Символ n! читается как «n факториал» и обозначает произведение всех
натуральных чисел от 1 до n включительно: n! = l*2*3*** (nl)*n.)
10. Найдите ошибку в следующем «доказательстве» того, что все лошади
одной масти.
Будем доказывать индукцией по n следующее утверждение: «В любом табуне
из n это лошадей, все они одной масти». База (n = 1) очевидна: в этом случае
все лошади - одна лошадь, она очевидно одной масти. Ш : пусть в любом
табуне из k лошадей все лошади имеют одну масть. Рассмотрим табун из k +
1 лошади. Выберем в нём двух лошадей a и b и рассмотрим оставшиеся k – 1
лошадь. Составим табун из этих оставшихся лошадей, добавив к ним a. В нём
62
k лошадей, поэтому, по предположению индукции, все они одной масти.
Значит, лошадь a имеет ту же масть, что и оставшиеся лошади. Аналогично
доказывается, что ту же масть имеет лошадь b. Значит, все k + 1 лошадь
имеют одинаковую масть. Утверждение доказано.
11. На бесконечном клетчатом листе бумаги 100 клеток закрашены в чёрный
цвет, а все остальные — в белый. За один ход разрешается перекрашивать в
противоположный цвет любые четыре клетки, образующие квадрат 2x2.
Докажите, что за несколько ходов можно добиться того, что все клетки
окажутся белыми тогда и только тогда, когда любая горизонталь и любая
вертикаль содержит чётное число чёрных клеток.
12. Доказать несправедливость утверждений:
а) «Если дифференцируемая функция у= f(x) имеет в точке х0 вторую
производную, равную нулю, то точка х0 – точка перегиба графика функции».
б) «Если числовая последовательность ограничена, то она имеет предел».
в) «Если функция непрерывна в точке х0, то она имеет производную в этой
точке».
13. Для каждого из условий выясните, является ли оно необходимым и
является ли оно достаточным, чтобы выполнялось неравенство х2 – 3х – 18 
0: а) х=1, б) -2 х 5, в) х -3, г) х> -3, д) -1 х  10, е) –3  х  6.
14. Запишите на языке логики предикатов определение: «Функция f(x)
называется ограниченной на множестве М, если существует такое
неотрицательное число L, что для всех х М, справедливо неравенство |f(x)|
M.»
15. В предложениях вместо многоточия поставьте слова «необходимо, но не
достаточно»,
«достаточно,
но
не
необходимо»,
«не
необходимо
и
недостаточно», «необходимо и достаточно»:
а) Для того, чтобы четырехугольник был прямоугольным…, чтобы длины его
диагоналей были равны;
б) Для того, чтобы х2 – 5х + 6 = 0…, чтобы х=3;
63
в) Для того, чтобы сумма четного числа натуральных чисел была четным
числом…, чтобы каждое слагаемое было четным;
г) Для того, чтобы окружность можно было вписать в четырехугольник…,
чтобы сумма длин суммы длин его противоположных сторон были равны;
д) Для того, чтобы множество было счетным…, чтобы его элементы можно
было записать в виде занумерованной последовательности;
е) Для того, чтобы числовая последовательность имела предел…, чтобы она
была ограниченной.
5.Сформулируйте:
а) Необходимый, но недостаточный признак параллелограмма;
б) Необходимый и достаточный признак параллелограмма;
в) Достаточное, но не необходимое условие, чтобы уравнение sinx = a имело
решение.
г) Необходимое, но не достаточное условие, чтобы уравнение sinx = a имело
решение.
64
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12
Перевод целых и дробных чисел. Арифметические операции.
Цель: сформировать умения перевода целых и дробных чисел из одной
системы
счисления
в
другую;
отработать
навыки
выполнения
арифметических операций.
Теоретическая часть
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
n1. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другую.
Правило перевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему
с основанием q:
1. Последовательно выполнять деление исходного числа и получаемых
частных на q до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.
2. Полученные при таком делении остатки – цифры числа в системе
счисления q – записать в обратном порядке (снизу вверх).
Пример1. Перевести 2610 в двоичную систему счисления. А10→А2
Решение:
26
2
26
13
2
0
12
6
2
1
6
3
0
2
2
1
Ответ: 2610=110102
1
Пример 2. Перевести 24110 в восьмеричную систему счисления. А10→А8.
Решение:
241
8
240
30
8
1
24
3
6
Ответ: 24110=3618
65
Пример 3. Перевести 362710 в шестнадцатеричную систему счисления.
А10→А16.
Решение:
3627
16
3616
226
16
11
224
14
Т.к. в шестнадцатеричной системе счисления
14 – Е, а 11 – В, то получаем ответ Е2В16.
2
Ответ: 362710=E2B16
n2. Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в другую.
Правило перевода дробных чисел из десятичной системы счисления в
систему с основанием q:
1. Последовательно
выполнять
умножение
исходного
числа
и
получаемых дробные части на q до тех пор, пока дробная часть не
станет равна нулю или не достигнем требуемую точность.
2. Полученные при таком умножении целые части - числа в системе
счисления q – записать в прямом порядке (сверху вниз).
Пример1. Перевести 0,562510 в двоичную систему счисления. А10→А2.
Решение:
0, 5625
*
2
1 1250
*
2
0 2500
*
2
Ответ: 0,562510=0,10012
0 5000
2
Пример2. Перевести* 0,5625
10 восьмеричную систему счисления. А10→А8
Решение:
1 0000
0, 65625
*
8
5 25000
*
8
2 00000
*
2
Ответ:
0,562510=0,528
0
5
0
0*
0
2
66
Пример 3. Перевести 0,66510 в двоичную систему счисления. А10→А2
Решение:
0, 665
*
1
2
330
*
0
2
*
0
бесконечности.
2
320
*
0
Тогда
его
прерывают
на
некотором шаге, когда считают, что получена
2
требуемая точность представления числа
640
*
1
Процесс умножения может продолжаться до
660
2
280
Ответ: 0,66510=0,100012
…………..
n3. Перевод произвольных чисел из десятичной системы счисления в
другую.
*
Перевод произвольных чисел, то есть чисел, содержащих целую и
дробную части, осуществляют в два этапа. Отдельно переводится целая
часть, отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть
отделяется от дробной запятой.
2
0 систему счисления. А10→А2
Пример1. Перевести 26,2510 в двоичную
Решение:
переводим целую часть
5
переводим
дробную часть
0
0
0, 25
0
26
2
26
13 2
0
12 6
2
1 6
3
0
2
* 2
0
2
1
1
50
*
2
*
1 00000
Ответ: 26,2510=11010,01
2
*
2
2
0
1 0000
5
0
0
0
67
Пример2. Перевести 123,562510 в двоичную систему счисления. А10→А8
Решение:
переводим целую часть
123
8
120
15
8
8
1
3
переводим дробную часть
0, 5625
*
4
7
8
5000
*
8
4 00000
Ответ: 123,562510=173,44
8
*
2
n4. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную.
0
Правило Для того чтобы число из любой системы счисления
перевести в
5
0
десятичную систему счисления, необходимо его представить
в развернутом
0
0
виде и произвести вычисления.
Пример1. Перевести число 1101102 из двоичной системы
счисления в
*
десятичную.
2
Решение:
1 0000
5 4 3 2 10
1 1 0 1 1 0 2 = 1*25 + 1*24 + 0*23+1*22+1*21+0*20 =32+16+4+2=5410
Ответ: 1101102 = 5410
Пример2. Перевести число 101,012 из двоичной системы счисления в
десятичную.
Решение:
2 1 0 -1 -2
1 0 1,0 1
2
= 1*22 + 0*21 + 1*20+0*2-1+1*2-2 =4+0+1+0+0,25=5,2510
Ответ: 101,012 = 5,2510
Пример6. Перевести число 2Е16 в десятичную систему счисления.
Решение:
2 1
2 Е16 = 2*161 +14*160 = 32 +14 = 4610.
Ответ: 2Е16 = 4610.
68
n5. Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и
шестнадцатеричную системы счисления.
Перевод целых чисел.
Правило Чтобы перевести целое двоичное число в восьмеричную (8=23)
систему счисления необходимо:
 разбить данное число справа налево на группы по 3 цифры в каждой;
 рассмотреть каждую группу и записать ее соответствующей
цифрой восьмеричной системы счисления.
Пример 1. Перевести число 111100000101102 в восьмеричную систему
счисления.
Решение:
111110000010110
7 6 0 2 6
Ответ: 111100000101102= 760268
Правило Чтобы перевести целое двоичное число в шестнадцатеричную
(16=24) систему счисления необходимо:
 разбить данное число справа налево на группы по 4 цифры в каждой;
 рассмотреть каждую группу и записать ее соответствующей
цифрой шестнадцатеричной системы счисления.
Пример 2. Перевести число 111000102 в шестнадцатеричную систему
счисления.
Решение:
11100010
Е
2
Ответ: 111000102 = Е216
Пример 3. Перевести число 111100000101102 в шестнадцатеричную
систему счисления.
Решение:
69
11110000010110
3 С 1 6
Ответ: 111100000101102= 3С1616
Перевод дробных чисел.
Правило Чтобы перевести дробное двоичное число в восьмеричную
(шестнадцатеричную) систему счисления необходимо:
 разбить данное число, начиная от запятой влево целую часть и вправо
дробную часть на группы по 3 (4) цифры в каждой;
 рассмотреть каждую группу и записать ее соответствующей
цифрой восьмеричной (шестнадцатеричной)системы счисления.
Пример 4. Перевести число 0,101100001112 в шестнадцатеричную систему
счисления.
Решение:
0,10110000111
В 0 7
Ответ: 0,101100001112 = В0716
n6. Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем
счисления в двоичную систему счисления.
Правило Для того, чтобы восьмеричное (шестнадцатеричное) число
перевести в двоичную систему счисления, необходимо каждую цифру этого
числа заменить соответствующим числом, состоящим из 3 (4) цифр
двоичной системы счисления.
Пример1. Перевести число 5288 перевести в двоичную систему счисления.
Решение:
5 2 3
101 010 011
Ответ: 5288 = 1010100112
70
Пример2. Перевести число 4ВА35,1С216
перевести в двоичную систему
счисления.
Решение:
4 В
А 3 5 ,
1
С 2
100 1011 101000110101 0001 1100 0010
Ответ: 4ВА35,1С216 = 10010111010001101010001 110000102
Арифметические операции в системах счисления
n1. Сложение в двоичной системе счисления.
Правило
0+0 =0
1+0=1
Пример1. Сложить числа 1112 и 102.
Решение: 111
+ 10
1001
0+1=1
Проверка: 1112 = 710, 102= 210, 10012 =910 7+2=9
1+1=10
Ответ: 10012
Пример1. Выполните сложение 1111,1012+101,112.
Решение:
111,101
+ 101,11
1101,011
(Пояснение: по правилам математики при
сложение дробных чисел запятая записывается
под запятой)
Ответ: 1101,0112
n2. Вычитание в двоичной системе счисления.
Пример1. Из числа 10012 вычесть число 1112.
Решение:
_ 1001
111
10
Проверка: 10012 =9, 1112 = 7, 102 = 2, 9-7=2
Ответ: 102
71
Правило
Пример2.
0-0=0
111,1112
1-0=1
Решение: _ 100101,010
111,111
11101,101
Ответ: 11101,1012
1-1=0
0-1=1 (занимаем у
Выполнить действие 100101,012 –
старшего разряда)
n3. Умножение в двоичной системе счисления.
Умножение в двоичной системе счисления производится аналогично
умножению в десятичной системе счисления.
Пример1. Умножить число 1012 на 1102
Решение:
Пример2.
101
*110
000
+ 101
101 .
11110
Ответ: 111102
Выполнить действие 1011,012 ∙ 111,112
Решение: 1011,01
* 111,11
101101
101101
+ 101101
101101
101101
,
1010111,0011
Ответ: 1010111,00112
n4. Деление в двоичной системе счисления.
Операция деления выполняется также как и в десятичной системе
счисления.
Пример1. Разделить число 1010001012 на число 11012.
72
Решение:
101000101 1101
1101
11001
1110
1101
1101
1101
0
Ответ: 110012
Пример2. Выполните деление с точностью до 3 знаков после
запятой 10012 :112
Решение:
1011 11
11 .11,010
101
11
100
11
101
11
10
Ответ: 11,0102
n5. Сложение и вычитание в восьмеричной системе счисления.
Правило
Пример1. Вычислите 6348+2758
Решение:
634
+ 275
1131
Ответ: 11318
Пример2. Вычислите 305,48+24,758
Решение:
305,4
+ 24,75
332,35
Ответ: 332,358
Пример3. Вычислите 6348-2758
73
Решение:
634
- 275
337
Пояснение: Т.к. от 4 не отнять 5, то
занимаем
у
следующего
система
восьмеричная
разряда
то
1
(т.к.
разряд
составляет 8 единиц). От 8 -5+4=7
Ответ: 3378
Аналогично, т.к. у тройки одну единицу
заняли, то необходимо от 2 отнять 7,
поэтому, заняв
у следующего разряда,
получаем 8-7+2=3 и т.д.
Пример4. Вычислите 305,48-24,758
Решение:
305,40
- 24,75
260,43
Ответ: 260,438
n6. Умножение в восьмеричной системе счисления.
Правило
Пример. Вычислите 638∙27,58
Решение:
27,5
63
1067
2156 ,
2264,7
Ответ: 2264,78
n7. Сложение и вычитание в шестнадцатеричной системе счисления.
Сложение и вычитание осуществляется аналогично таким же действиям в
восьмеричной системе счисления
74
Пример. Вычислите
Правило
E5F616+A0716
Решение:
E5F6
A07
EFFD
Ответ: EFFD 16
n8. Умножение в шестнадцатеричной системе счисления.
Правило
Пример
FFA,3
* D,E
DFAEA
CFB47 /
DDAF,5A
Практическая часть
1. Переведите числа из десятичной системы счисления в другую.
а) 24510→А2
д) 40410→А8
б) 198710→А2
е) 67310→А16
в) 16110→А3
ж) 4534810→А16
75
г) 33310→А5
з) 44410→А7
2. Переведите числа из десятичной системы счисления в другую.
а) 0, 6562510→А16
б) 0,710→А2 с точностью до 4 знаков после запятой
в) 0,412510→А8 с точностью до 6 знаков
3. Перевести из десятичной системы счисления следующие числа:
а) 173,562510→А2
б) 404,6562510→А16
в) 125,2510→А8
4. Перевести из различных систем счисления в десятичную:
а) 1111001112
г) 367,28
б) 1001110,112
в) АВ2Е,816
5. Перевести числа в восьмеричную и шестнадцатеричную системы
счисления:
а) 11010001010112
б) 100000011,0001011102
в) 10010111011101,111010112
г) 111110000000111111111,0000011111000001111101012
6. Перевести числа в двоичную систему счисления
а) 6217,2518
б) А4ВС10А,5Е16
в) 236548
г) АСЕ560В16
7. Переведите число из римской системы счисления в десятичную:
MCMLXXXIV = ____________10
8. Переведите число в римскую систему счисления:
1499 = _______________________
9. Представьте число в развернутой форме:
235428,210 = ____________________________________________
122231014 = ____________________________________________
10. Переведите числа из десятичной системы счисления в другие:
5610 = _____________2
76
5610 = _____________5
11. Переведите числа в десятичную систему счисления:
110110112 = __________________10
12223 = ____________________10
12. Выполните действия:
1) 111110011012+11111112
3) 111,11012+101,00112
2) 1010101112+1111102
4) 111,01010112+101011,11112
13. Выполните действия:
1) 111110011012-11111112
2) 1010101112-1111102
3) 111,11012-101,00112
4) 101011,11112 - 111,01010112
14. Выполните действия:
1) 111110011012-11111112
2) 111,11012-101,00112
15. Выполните действия:
1011110011012:1101012
16. Выполните деление с точностью до 4 знаков после запятой 1001 2:1012
17. Выполните действия:
1) 560378+555728
2) 536,2418+5673,668
3) 50238- 44448
4) 56,328-37,5678
18. Выполните умножение чисел:
1) 560378∙555728
2) 536,2418∙5673,668
77
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 13
Матрицы смежности и инцидентности графа
Цель: сформировать умения составлять матрицы смежности и матрицы
инцидентности графа.
Теоретическая часть
Матричное задание графов, матрицы смежности, инцидентности
Пусть D = (V, Х) – орграф, где V={v1, v2, …,vn}, X={x1, x2, …, xm}.
Определение: Матрицей смежности орграфа D называется квадратная
матрица A(D)=[aij] порядка n, у которой
Определение: Матрицей инцидентности орграфа D называется (nґm) –
матрица B(D)=[bij], у которой
Введем
также
неориентированных
матрицы
графов.
смежности
Пусть G
=
и
(V, X) –
инцидентности
граф,
для
где V={v1,v2,
…,vn}, X={x1, x2, …, xm}.
Определение: Матрицей смежности графа G называется квадратная
матрица A(G)=[aij] порядка n, у которой
Определение: Матрицей инцидентности графа G называется (nґm) –
матрица B(G)=[bij], у которой
78
Пример. Построить матрицы смежности и инцидентности для графа G =
(V, X) (рис. 25).
Решение.
Матрица смежности имеет вид
.
Поскольку граф не имеет петель, то на главной диагонали стоят все нули.
Для любого графа матрица смежности симметрична относительно главной
диагонали.
Для того, чтобы построить матрицу инцидентности
необходимо пронумеровать ребра графа (рис. 26).
Матрица инцидентности имеет вид:
Напомним, что в строках указываются вершины, в столбцах – ребра.
Матрица инцидентности может быть как квадратной, так и прямоугольной.
Пример. Построить матрицы смежности и инцидентности для орграфа D=
(V, X) (рис. 27).
Решение.
Матрица смежности имеет вид:
79
Матрица инцидентности имеет вид:
Практическая часть
1. Для неориентированного графа, изображённого на рисунке, постройте
матрицу смежности и матрицу инцидентности.
2. Пусть даны графы G1 ( X ,Y ) и G2 (Y , E), изображённый на рисунке.
Установите, изоморфны ли данные графы.
3. Из пункта А в пункт В выехали пять машин одной марки разного цвета:
белая, чёрная, красная, синяя, зелёная. Чёрная едет впереди синей, зелёная –
впереди белой, но позади синей, красная впереди чёрной. Какая машина едет
первой и какая последней?
80
4. Для графов, изображённых ниже, построить матрицы смежности и
инцидентности:
1)
2)
3)
5)
4)
6)
7)
8)
9)
81
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
82
18)
3
19)
20)
21)
83
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 14
Построение графов по матрицам смежности
Цель: отработать навыки построения графов по матрицам смежности.
Практическая часть
1 0
2 0
1. Дана матрица 3 1

4 3
0
0
1

0
1 2 3 4
2
0
0
1
0
1
0
0
Постройте орграф, для которого данная матрица является матрицей
смежности. Найдите матрицу инцидентности орграфа.
2. Дано множество V  1, 2, 3, 4, 5. На этом множестве задано отношение f:
x  y.
Постройте орграф данного отношения.
3. Задан граф GV , E , где V  v1, v2 , v3 , v4 , v5 ; Ev  v1 , v3 , v5 ; Ev  ; Ev  v1 , v2 , v5 ;
1
Ev 4  v1; Ev5  v1 , v2 , v3 , v4 , v5 .
2
3
. Задайте граф с помощью бинарного отношения,
т. е. совокупности множества V и подмножества множества упорядоченных
пар
vi , v j  V  V .
Изобразите орграф на рисунке. Постройте матрицу
смежности.
4. Постройте орграфы по матрицам
смежности. Найдите для графов
матрицы инцидентности:
1)
2)
3)
84
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
85
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 15
Операции над графами.
Цель: отработать навыки выполнения операций над графами.
Теоретическая часть
1. Удаление вершины. Если хi -вершина графа G = (X, A), то G–хi порожденный подграф графа G на множестве вершин X–хi , т. е. G–хi
является графом, получившимся после удаления из графа G вершины хi и
всех ребер, инцидентных этой вершине. Удаление вершины х3 показано
на рис. б (для исходного графа, изображенного на рис. а).
Удаление ребра или удаление дуги. Если ai - дуга графа G = (X, A),
то G-ai – подграф графа G, получающийся после удаления из G дуги ai .
Заметим, что концевые вершины дуги ai не удаляются.
Удаление из графа множества вершин или дуг определяется как
последовательное удаление определенных вершин или дуг. Удаление
дуг a4 и a7 показано на рис. в.
86
2. Определение: Подграфом графа G называется граф, все вершины и ребра
которого
содержатся
среди
вершин
и
ребер
графа G.
Подграф
называется собственным, если он отличен от самого графа.
3. Определение: Дополнением простого графа G называется простой граф с
множеством вершин V(G), в котором две вершины смежны тогда и только
тогда, когда они не смежны в исходном графе. Обозначение.
Другими словами, дополнением графа является граф, содержащий все
вершины исходного графа и только те ребра, которых не хватает исходному
графу для того, чтобы он стал полным.
4.
Определение: Объединением графов
называется
граф
5. Определение: Пересечением графов
где
,
, называется граф
87
6. Определение: Соединением графов G1 и G2 является новый граф, у
которого V=V1ИV2 , а множеством ребер являются все ребра первого и
второго графа и ребра, соединяющие между собой каждую вершину первого
графа с первой вершиной второго графа.
Определение: Соединение графов N1 и Cn-1 (nі3) называется колесом с n
вершинами. Обозначается Wn .
Определение: Граф называется связным, если его нельзя представить в виде
объединения двух графов, и несвязным в противном случае.
Очевидно, что всякий несвязный граф можно представить в виде
объединения
конечного
числа связных графов
–
каждый
из
таких связных графов называется компонентой связности графа.
Определение: Связный
регулярный
граф
степени
2
называется циклическим графом. Обозначается Сn.
88
Практическая часть
1. Пусть даны два графа G1 V1, E1  , G2 V2 , E2 
Изобразите геометрически объединение графов G1  G2 ; пересечение графов
G1  G2 и сумму по модулю два G1  G2 .
2. Найдите эйлеров цикл в эйлеровом графе
3. Найдите цикл, содержащий все вершины додекаэдра, причём в точности
по одному разу каждую.
4. На рисунке приведены графы G1 и G2. Найти G1  G2 и G1  G2 .
x1
x2
G1:
x1
G2:
x4
x3
x3
x2
89
5. Доказать, что три графа, изображённых на рисунке, изоморфны.
x2
x2
x3
x3
x6
x2
x4
x6
x4
x4
x1
x5
x3
x5
x6
6. Доказать, что три графа, изображённых на рисунке, неизоморфны.
x2
x2
x3
x1
x1
x4
x6
x3
x4
x6
x5
x5
7. Для графа, изображённого на рисунке, составить матрицы смежности
вершин, смежности дуг и инциденций.
x3
u1
x2
u3
u7
x1
x4
8.
По матрице смежности вершин построить наглядное изображение
графа:
1
1

2

0
0

9.
1
0
1
3
0
2
1
1
0
2
0
3
0
1
1
0
0 
2 .

1
0 
По матрице смежности вершин построить наглядное изображение
графа:
1
0

0

0
1

0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0 
1 .

0
1 
90
10.
Найти матрицы сильных компонент и маршрутов длины три дуги,
исходящих из вершины x1, для графа, изображённого на рисунке.
x2
x1
x3
x4
11.
Найти матрицы сильных компонент и маршрутов длины три ребра,
исходящих из вершины x1, для графа, изображённого на рисунке.
x2
x1
12.
Найти эксцентриситеты вершин, радиус и диаметр графа, приведённого
на рисунке.
13.
x1
x2
x3
x4
x8
x7
x6
x5
Упорядочить вершины и дуги орграфа, изображённого на рисунке,
графическим и матричным способом (дуги - только графическим способом).
x2
u7
u8
x3
u5
x1
u3
x4
x5
91
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 16
Представление алгебраических выражений
с помощью корневых деревьев.
Цель: научить представлять алгебраические выражения в виде корневых
деревьев.
Теоретическая часть
Дерево - это частный случай графа, наиболее широко применяемый в
программировании.
Существует довольно много равносильных определений деревьев, вот лишь
некоторые из них.
1. Дерево - это связный граф без циклов.
2. Дерево - это связный граф, в котором при N вершинах всегда ровно N1 ребро.
3. Дерево - это граф, между любыми двумя вершинами которого
существует ровно один путь.
Аналогичным образом определяется и ориентированное дерево - как
орграф, в котором между любыми двумя вершинами существует не более
одного пути.
Определение: Граф G называется деревом, если он является связным и не
имеет циклов. Граф G, все компоненты связности которого являются
деревьями, называется лесом.
Пример. Граф G1 является деревом. Граф G2 является лесом, он содержит
три связные компоненты, каждая из которых является деревом.
92
Корневые деревья. Есть специальный способ представления (изображения)
дерева. Выбирается некоторая вершина, которая именуется «корнем дерева».
При изображении все вершины располагают по ярусам, следующим образом.
На нулевом ярусе располагается корень дерева (см. рис.). на 1 ярусе
располагают все вершины дерева, смежные с корнем; затем на 2 ярусе — все
вершины, смежные с вершинами 1-го яруса; на 3-ем — вершины, смежные с
с вершинами 2-го яруса и так далее.
Определение дерева
имеет исключительно рекурсивную природу.
Элемент этой структуры данных называется вершиной. Дерево представляет
собой либо отдельную вершину, либо вершину, имеющую
число
ограниченное
указателей - другие деревья (ветвей). Нижележащие деревья для
текущей вершины называются поддеревьями, а их вершины - потомками. По
отношению к потомкам текущая вершина называется предком.
Одно и то же арифметическое выражение ((a / (b + c)) + (x * (y - z))) может
быть записано тремя способами:
1. Инфиксный
способ
записи
(знак
операции
находится
между
операндами): ((a / (b + c)) + (x * (y - z))). Все арифметические операции,
привычные нам со школьных лет, записываются именно таким
образом.
2. Префиксный
способ
записи
(знак
операции
находится
перед
операндами): +( /(a, +(b,c)), *(x, -(y,z))). Из знакомых всем нам функций
префиксный способ записи используется, например, для sin(x), tg(x),
f(x,y,z) и т.п.
93
3. Постфиксный
способ
записи
(знак
операции
находится
после
операндов): ((a,(b,c)+ )/ ,(x,(y,z)- )* )+.
4. Способ записи выражения 5 * (b – 3) + a в виде двоичного дерева:
+
/\
* a
/\
5 /\
b 3
Практическая часть
1. Дайте рекурсивное определение двоичного дерева:
1)
3)
2)
4)
94
5)
6)
7)
8)
2. Представьте каждое из следующих выражений:
1) в префиксной форме записи;
2) в постфиксной форме записи;
3) двоичным деревом.
а) a*(b+c)
б) a*b + a*c
в) 8*(4*a+1)*(1−2*a)
г) (x+y)*(z+t)
д) r*(s+((x+y)*z))
е) t+x*y*z
ж) x*y*z
з) x  y*z;
и) (( a*b + c )  d ) a;
95
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 17
Построение графов автомата.
Цель: показать способы построения графов автомата.
Теоретическая часть
Способы задания автомата
Чтобы задать конечный автомат S, необходимо описать все элементы
множества S = {A, X, Y, d, l} , т.е. необходимо описать входной, выходной
алфавиты и алфавит состояний, а также функции переходов d и выходов l.
При этом среди множества A = {a0,a1,…, an} необходимо выделить начальное
состояния a0, в котором автомат находится в момент времени t = 0.
Языком в алфавите А называем произвольное подмножество слов L из
А*. Язык L именуем конечным, если в его составе конечное множество слов;
язык L бесконечен, если в его составе бесконечное множество слов.
Совокупности
всех
слов
русского,
всех
слов
английского
языка
представляют собой примеры конечных языков. Множество записей всех
простых чисел в десятичной или двоичной системе счисления является
бесконечным
языком.
Множество
всех
языков
алфавита
А
имеет
континуальную мощность.
Язык L в алфавите А называем универсальным, если L=А*. Язык L
называем пустым, если множество L пусто (L=).
Пусть L1 и L2 – языки в алфавите А. Через L1L2 и L1L2 будем
обозначать объединение и пересечение этих языков соответственно. Слово
 принадлежит объединению двух языков, если оно принадлежит по
меньшей мере одному из них; слово  принадлежит пересечению двух
языков, если оно принадлежит как одному, так и другому языку. Пусть L –
язык в алфавите А; через Lс будем обозначать дополнение этого языка. Язык
Lс образуют слова алфавита А, не входящие в состав языка L: Lс=А*\L.
Операции объединения, пересечения и дополнения – основные теоретикомножественные операции.
96
Пусть L1 и L2 – языки в алфавите А. Через L1\L2 будем обозначать
разность языков L1 и L2 . Слово  из А* считается принадлежащим L1\L2
тогда и только тогда, когда оно принадлежит языку L1, но не принадлежит
языку L2. Очевидно, что операция разности представима через основные
теоретико-множественные операции: L1\L2=L1(L2)с.
Конечный автомат – это модуль, имеющий конечное число
возможных состояний и функционирующий в дискретном времени.
Существует несколько способов задания работы автомата, но наиболее
часто используются табличный и графический.
1. Табличный способ
2. Графический способ задания автомата
Графический способ задания автомата
(задание автомата с помощью графа)
Этот
способ
основан
ориентированных связных графов.
Вершины
на
использовании
графов
соответствуют
состояниям автомата, а дуги – переходам между ними. Две вершины графа ai
и as соединяются дугой, направленной от ai к as, если в автомате имеется
переход из ai в as, т.е. as = d(ai, xj). В автомате Мили дуга отмечается входным
сигналом xj, вызвавшим переход, и выходным сигналом yg, который
возникает при переходе. Внутри кружочка, обозначающего вершину графа,
записывается состояние. Например, для автомата Мили, приведенного ниже,
граф имеет вид а), а для автомата Мура вид б).
а)
б)
97
Язык L назовем регулярным, если для него можно построить
распознающий конечный автомат.
Конечный автомат удобно задавать диаграммой его переходов.
Диаграмма представляет собой ориентированный граф, вершины которого
одноименны состояниям автомата; дуга из вершины qi, в вершину qk с
надписанной над ней буквой аj проводится тогда и только тогда, когда
g(qi,аj)=qk. В случае, когда переход из qi в qk осуществляется под
воздействием любой из букв некоторого подмножества S, SА, все буквы
этого подмножества подписываются над соответствующей дугой (вместо
перечня всех букв допускается сокращенная запись «xS» или просто «S»).
Если произвольное состояние qi входит в F, то данный факт на диаграмме
отмечается жирным кружком, выделяющим вершину qi.
Очевидно, что любой конечный автомат полностью определяется своей
диаграммой переходов.
На рисунке
показана диаграмма автомата K1, работающего над
a,b,c
a,
b
q0
c
q
1
словами алфавита A={a,b,c}. Автомат имеет два состояния, q0 и q1, причем
«хорошим» является только состояние q1. Начав работу в состоянии q0,
автомат под воздействием букв a, b из этого состояния не выходит; под
воздействием буквы с реализуется переход в состояние q1; любая далее
поступающая буква оставляет автомат в том же состоянии. Таким образом,
автомат K1 распознает язык L1, состоящий из слов, имеющих в своем составе
букву с. Данный язык является регулярным.
На рис. 2.7 и 2.8 представлены диаграммы конечных автоматов,
распознающих числа, делящиеся на 2 и на 3 соответственно.
98
0,3,6,9
1,4,7
1,3,5,7,9
0
0,2,4,6,8
2,5,8
1,4,7
q
q1
q
q1
2,5,8
0,3,6,9
0,2,4,6,8
1,4,7
0
1,3,5,7,9
2,5,8
q2
0,3,6,9
Рис. 2.7.
Рис. 2.8.
На рис. 2.9 представлен имеющий два состояния конечный автомат,
распознающий числа, кратные пяти (используется тот факт, что кратное пяти
число имеет своей последней цифрой 0 или 5).
x{0,5}
x{0,5}
q1
q
0
x{0,5}
x{0,5}
Рис. 2.9.
На рис.2.10 представлен конечный автомат К(3)[], распознающий
числа, кратные трем (пустое слово, в язык, распознаваемый данным
автоматом, не входит).
0,3,6,9
1,4,7
q0
0,3,6,9
q1
2,5,8
1,4,7
0,3,6,9
q0’
1,4,7
1,4,7
2,5,8
2,5,8
2,5,8
q2
0,3,6,9
Рис. 2.10.
99
Практическая часть
В нижеперечисленных примерах требуется построить конечный
автомат, распознающий язык L. Алфавит А={a,b,c}.
1. L тогда и только тогда, когда в слове  встречается не более трех букв а
подряд.
2. L тогда и только тогда, когда в слове  сочетание ab встречается не
более двух раз.
3. L тогда и только тогда, когда в слове  содержится подслово bbсс.
4. L тогда и только тогда, когда слово  имеет длину не более 8 и
содержащит одинаковое число букв a и b.
5. L тогда и только тогда, когда слово  содержит четное число букв.
6. L тогда и только тогда, когда слово  содержит нечетное число букв а.
7. L тогда и только тогда, когда при наличии в слове  буквы a там
встречается также и буква b.
8. L тогда и только тогда, когда каждая буква алфавита встречается в
слове  не более двух раз.
100