ПрактЭВМзадан1x

ПРОЧЕСТЬ студентам групп ПИ-11, ПИ-12 и ФИ-12 (бакалавриат ФПМиК, приём 2013 года)
В этих группах дисциплину «Практикум на ЭВМ» ведёт доцент Савватеев Владимир Васильевич. Дисциплина
изучается в течение всего года (модули 1, 2, 3, 4). Занятия черезнедельные длительностью 2 академических часа каждое.
Они происходят в компьютерном зале в здании МИЭМ на улице Малой Пионерской (МП). В конце 4 модуля сдаётся
зачёт в письменном виде с использованием компьютера и под наблюдением преподавателя. В конце 1 модуля сдаётся
аудиторная контрольная работа. В конце 2 и 3 модуля производится тестирование студентов и собеседование с каждым
из них. Контроль знаний в конце каждого модуля сопровождается анализом аудиторной работы студента и его
самостоятельной работы. С их помощью выводится так называемая «накопленная оценка», и с учётом сдачи зачета
после 4 модуля вычисляется итоговая оценка, идущая в диплом. В течение модуля при желании можно улучшить
формирующуюся оценку за этот модуль. По окончании модуля его оценка стабилизируется, и далее изменять её нельзя.
Все оценки даются в 10-балльной системе и в конце модуля округляются до целого числа. (Подробности «роста»
оценки можно узнать, если прочесть рабочую учебную программу (РУП) данной дисциплины. Она уже написана и
скоро будет выложена в интернете на сайте hse.ru (сайт ВШЭ) в Справочнике учебного процесса). Работа на
компьютере в основном будет вестись в пакете Excel, который будет изучаться на более глубоком уровне, чем в школе.
Возможно, немного будет затрагиваться работа в пакете МАТЛАБ («Матричная лаборатория»). Что такое матрицы,
будет объяснено Савватеевым В.В. в ближайшее время (на 2-м занятии). Про них будут рассказывать и в «Линейной
алгебре». Планируется организовать работу со студентами (как и в прошлом году) в среде LMS. Об этом – позже.
Следует иметь в виду, что всё сказанное выше относится к Практикуму на ЭВМ по кафедре Высшей математики. Задачи, решаемые в нём на компьютере, носят математический характер. Аналогичный Практикум на ЭВМ
имеется и в исполнении кафедры Кибернетики. Там сделан уклон в сторону программирования, и, может быть, изучения языка С++. Правила выведения оценки и РУП по этой кафедре могут не совпадать с изложенными выше для
кафедры Высшей математики.
Занятие 1. Этот материал во всех указанных выше группах, КРОМЕ группы ПИ-12, будет изложен в начале
первого аудиторного занятия. В группе ПИ-12 первое занятие не состоялось, т.к. 3 сентября было посвящено изучению
БЖД. Студенты этой группы (29 человек) получают 1-е задание на дом, поскольку оно посвящено теме, известной ещё
со школы: построение графиков на экране компьютера. Краткие теоретические сведения будут изложены ниже. Если их
не хватит для выполнения индивидуального зачетного задания по теме «Построение различных видов графиков», желающие приглашаются на необязательную аудиторную консультацию. На ней всё будет показано прямо на компьютере.
Консультация начнётся в четверг (день, свободный от БЖД) в 13.40, сбор желающих на каф. Высшей матем.
около аудитории 470. Ниже для всех студентов (и «желающих», и «нежелающих» ) даны персональные варианты для
выполнения на домашнем компьютере и показа преподавателю на флэшке (если с компьютером или флэшкой будут
проблемы, можно выполнить задание в ауд. 251 или 252 на МП во второй половине дня, спросив на это разрешение у
дежурного). Сдавать задание Савватееву В.В. можно по вторникам (с 12.00 до 14.00 в ауд. 470 на МП). А также во
время занятий в ПИ-12. А также во время других моих занятий (по четвергам и пятницам; расписание занятий для всех
преподавателей нашей кафедры будет вывешено немного позже около ауд. 470).
Теоретические вопросы. Используются пять основных методов построения графиков на ЭВМ: для функции,
заданной уравнением y=f(x), либо уравнением x=g(y), либо уравнением F(x,y) = 0 («неявная» функция), либо в
полярной системе координат r = h(φ) (см. ниже или см. в интернете), либо в параметрическом виде: x = f(t), y = g(t)
(см. ниже или в интернете).
Для первых трёх методов используется обычная «школьная» система координат на плоскости (её называют
декартовой). В четвёртом методе используется полярная система на плоскости. Она удобна, например, при изображении географической карты в окрестности северного (или южного) полюса. ЗАДАЧА-ШУТКА про полярную систему:
«Человек стоял недалеко от южного полюса. Затем он прошёл ровно 10 км, двигаясь всё время на запад. И попал в ту
же точку, откуда вышел! Могло ли такое быть?». В полярной системе положение точки задаётся не с помощью двух
перпендикулярных прямых, а с помощью точки (называемой «полюсом») и луча, выходящего из этой точки (называемого «полярной осью»). Обычно полюс помещают в точке, где декартовы координаты обе равны нулю, а ось и дёт в
положительном направлении оси иксов. Точка М, у которой мы хотели бы найти полярные координаты, соединяется с
полюсом, и получается первая полярная координата r (как правило, она считается неотрицательной). Она равна длине
отрезка ОМ (где О – полюс). Далее вычисляется угол между полярной осью и отрезком ОМ (как правило, он измеряется
в радианах и не превышает полного оборота). Выражение «как правило» мы будем понимать так: в основном мы
будем придерживаться этого правила, но если нам будет удобно, можем временно от него и отступить! Обычно этот
угол обозначается φ и называется второй полярной координатой. ВТОРАЯ ШУТКА про полярную систему:
«Студенты физтеха изобрели новую модель часов, в любой момент показывающих абсолютно точное время. Для этого
они сняли стрелки с обычных часов. Осталась ось, которая является нулевым вектором, а он может считаться
направленным в любую сторону – в том числе и в сторону точного времени». Отсюда следует вывод: если r=0, то
координата φ НЕ ОПРЕДЕЛЕНА. Полярная система удобна для построения кривых, несколько раз обходящих начало
координат.
В пятом методе используется параметрическое задание кривой на плоскости (и в пространстве). Некоторая
величина, связанная с кривой, которую мы хотим построить (угол поворота вокруг начала, либо длина участка кривой,
пройденной от её начала, или время, прошедшее с начала построения этой кривой и т.п.) выбирается в качестве
параметра (и обычно обозначается буквой t ). Через этот параметр выражаются декартовы координаты строящейся
кривой (на плоскости – x, y , в пространстве – x, y, z). Мы, как правило, будем строить только кривые на
плоскости. Дело в том, что экран компьютера плоский, а не объёмный. Чтобы изобразить на нём пространственный
объект, надо применять методы 3D- графики. Когда будут изобретены объёмные дисплеи, всё станет гораздо проще .
Пример кривой на плоскости: { x = t4 – t; y = 1/t } (где (3 <= t <= 10). Пример кривой в пространстве: { x = cos t, y =
-sin t, z = 5t } (где (0 <= t <= 7).
А теперь – пять примеров для пяти способов построения кривых на плоскости.
1) y = (x – 1)3 / (x + 1)2 (где удобно взять -10 <= x <= 10). На том же графике удобно построить также прямую
y=x-5 (ВОПРОС: а какое она имеет отношение к нашему графику?). Используем пакет Excel. В первом столбце
перебираем значения «х» от -10 до 10 с шагом, ну скажем, 0,2. Во втором столбце вычисляем значения функции, а в
третьем – значения прямой y=x-5. Все три столбца выделяем и показываем результат в виде точечной диаграммы, где
точки соединены отрезками прямых. Полученный результат представлен на рис.1.
10
5
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
-5
-10
Series1
Series2
-15
-20
-25
-30
Рис.1
График построен, но вопросы остались. Но на них студенты должны ответить сами (предварительно сделав всё
это в Excel). Есть подозрение, что с первого раза это у вас не получится. А когда это получится с 4-го или 5-го раза,
ответьте на вопрос: почему в графике прямой имеется какой-то досадный разрыв? И почему от него никак не удаётся
избавиться?
2) y2 + 2y + y3 = 3x + 6. Здесь не удаётся выразить «у» через «х». Но зато легко выразить «х» через «у».
Далее всё делается как в первом примере. Перебираем игреки от -3 до 1 с шагом 0,05 и так далее. Результат
представлен на рис.2. Эта кривая называется «кубическая парабола». При её построении была сделана «маленькая
хитрость», благодаря которой иксы оказались изображены по горизонтали, а не по вертикали. Какая именно?
1.5
1
0.5
0
-12
-10
-8
-6
-4
-2
-0.5
0
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
Рис.2. Кубическая парабола, «лежащая на боку».
3) Неявная функция y3 – 1/y = 4x3 + x6 - 5. Да ещё такая неявная, что, кажется, ни игрек не выразишь через
икс, ни икс через игрек. Впрочем, что-то про это мы учили в школе. Там были биквадратные уравнения, а это
уравнение, так сказать, БИКУБИЧЕСКОЕ. Обозначаем х3 через z, и дело сводится ко второму случаю. Конкретно,
z = -2 плюс-минус корень (y3 – 1/y -1). Значит,
х = корень кубический (-2 плюс-минус корень (y3 – 1/y -1)).
«Плюс-минус» означает, что график состоит из двух ветвей. Если позаботиться о том, чтобы иксы попрежнему отмечались на горизонтальной оси, то первая ветвь буде выше, а вторая – ниже. Перебираем игреки от -2 до 3
с шагом 0,1 и строим график и той, и другой ветви сразу. Результат представлен на рис.3. Но сначала изучим
подкоренное выражение y3 – 1/y -1 (рис.3а).
30
25
20
15
10
5
0
-3
-2
-1
-5
0
1
2
3
-10
-15
Рис.3а. График подкоренного выражения D = y3 – 1/y -1. По горизонтальной
оси – значения игреков.
4
Теперь извлечём корень из графика 3а. При этом там, где подкоренное выражение отрицательно, график не
существует. А там, где оно положительно, итоговый график состоит из двух ветвей, симметричных относительно
горизонтальной оси. Эта особенность изображена на рис.3б.
6
4
2
0
-1
0
1
2
3
4
-2
-4
-6
Рис.3б. Симметричные ветви плавно переходят друг в друга, но на рисунке
этого не видно, так как, перемещаясь по горизонтальной оси с шагом 0,1 ,
мы не попали в точки, где кривые сращиваются.
Осталось вычесть 2 и извлечь кубический корень из каждой ветви. Это и будет окончательный график (см.
рис.3). Он состоит из двух (а не из четырёх) ветвей. Напомним, что по горизонтали отмечены не иксы, а игреки!
2
1.5
1
0.5
0
-1
-0.5
0
1
2
3
4
-1
-1.5
-2
-2.5
Рис.3. График неявной функции y3 – 1/y = 4x3 + x6 – 5.
4) Кривая в полярной системе координат. Excel приспособлен для построения графика в декартовых, а не в
полярных координатах. Поэтому надо перейти от полярных координат к декартовым, что делается по следующим двум
формулам: x = r cos φ, y = r sin φ. Например, если нужно построить кривую с уравнением r = 5/(φ2 + 4), то надо
рассчитать иксы и игреки (с некоторым шагом по φ) по следующим формулам: x = 5 cos φ/(φ2 + 4), y = 5 sin φ/(φ2 + 4).
Будем перебирать φ с шагом π/40 от значения -2π до значения 2π. (См. рис.4).
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05
Рис.4. График кривой r = 5/(φ2 + 4), с шагом π/40 (от -2π до 2π). Область малых значений φ
пришлось вырезать, так как получаются значительно удалённые от начала координат
точки. Так как шаг взят слишком крупный, на графике якобы видны изломы (на самом
деле это – плавная кривая, пересекающая сама себя).
5) И наконец, пример построения графика кривой, заданной в параметрическом виде. Например, кривой
x = 5 cos φ/(φ2 + 4), y = 5 sin φ/(φ2 + 4). Да ведь мы её только что построили! В самом деле, здесь в роли
параметра t выступает угол поворота φ. Дело в том, что когда мы превращаем полярные координаты в декартовы, мы
всегда принимаем в качестве параметра переменную φ (хотя и не говорим об этом явно). Советуем каждому студенту
построить эту же кривую ещё раз, но взять шаг не π/40 , а π/200 (чтобы «сгладить углы» на кривой).
А теперь - ПЕРСОНАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ГРУППЫ
ПИ-12
Текст любого задания одинаковый, но названия кривых разные. Текст звучит так:
Найти в интернете, каким уравнением задаётся кривая …………………….. , и построить график этой кривой.
1. Алексеев – лемниската Бернулли
2. Алексьян – четырёхлепестковая роза
3. Богданов – трёхлепестковая роза
4. Большакова – улитка Паскаля
5. Бондарь – полукубическая парабола (парабола Нейля)
6. Братеньков – спираль Архимеда (три витка вокруг начала координат)
7. Гаджиев – трезубец Ньютона
8. Горяинова – конхоида Никомеда
9. Григорьева – инволюта окружности
10.Дорджиев – Декартов лист
11.Дубровный – локон Аньези
12.Клетушкина – цепная линия
13.Кожановский – эвольвента окружности
14.Корчагина – эвольвента квадрата
15.Кузьмин – гиперболическая спираль
16.Кулаков – трактриса
17.Литвинова – спираль Кейли
18.Лобанова – логарифмическая спираль
19.Никитенко – построить кривую дельтоид
20.Перфилова – нефроида
21.Петров – строфоида
22.Рудаков – циссоида Диоклеса
23.Рязанский – спираль Ферма (обе ветви)
24.Смирнов – спираль Галилея
25.Степанов – кривая лист щавеля
26.Шамшин – трисектриса Маклорена
27.Шутов – трилистник
28.Яльницкая – кардиоида
29.Янакаева – эвольвента правильного треугольника.